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DEPARTAMENTO DE M.M.C. Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

PROYECTO FIN DE CARRERA

“ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE

SOLICITACIONES SÍSMICAS DEPENDIENDO DE LA TIPOLOGÍA DE LA

CIMENTACIÓN Y LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA”

ALUMNO: CARLOS MESA BAYA TUTOR: D. FERNANDO MEDINA ENCINA

JUNIO DE 2005

DEPARTAMENTO DE M.M.C. Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

PROYECTO FIN DE CARRERA

“ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE

SOLICITACIONES SÍSMICAS DEPENDIENDO DE LA TIPOLOGÍA DE LA

CIMENTACIÓN Y LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA”

ALUMNO: CARLOS MESA BAYA TUTOR: D. FERNANDO MEDINA ENCINA

JUNIO DE 2005

Desde estas líneas quisiera manifestar mi más sincero agradecimiento a mi tutor

D. Fernando Medina Encina, por su ayuda, apoyo y amistad durante el tiempo que me ha llevado confeccionar el presente proyecto, así como a todas aquellas personas del Departamento de Estructuras que de manera directa o indirecta me han ayudado a la realización del mismo. También me gustaría manifestar mi agradecimiento al Departamento de Estructuras por permitirme el uso de sus dependencias así como de las herramientas informáticas, sin las cuales me hubiera sido imposible la realización del presente proyecto.

ÍNDICE

ÍNDICE

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE SOLICITACIONES SÍSMICAS

ÍNDICE

PARTE 0: INTRODUCCIÓN AL PROYECTO Y OBJETIVOS Capítulo 0: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 0.1 Introducción y objetivos

PARTE 1: INTRODUCCIÓN TEÓRICA AL CÁLCULO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS

Capítulo 1: ESTUDIO DE LA ACCIÓN SÍSMICA 1.1 Introducción 4 1.2 Evaluación de la acción sísmica 4 1.3 Fundamentos sísmicos 5 1.3.1 Ondas sísmicas 5 1.3.2 Energía de la acción sísmica 6 1.3.3 Intensidad 6 1.3.4 Magnitud 7 Capítulo 2: ACCIONES SÍSMICAS DE DISEÑO 2.1 Introducción 8 2.2 Formas de representación de la acción sísmica. Acelerogramas y espectros de respuesta 8 2.3 Caracterización de la acción sísmica en las normativas 11 2.3.1 Norma de la construcción sismorresistente española. NCSE-94 12 2.3.2 Eurocódigo 8, parte 1-1 (ENV 1998-1-1:1994) 14 2.3.2.1 Espectro elástico de respuesta 14 2.3.2.2 Espectro de cálculo para análisis lineal 15 Capítulo 3: MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO Y SÍSMICO 3.1 Introducción 18 3.2 Sistemas de un grado de libertad 18 3.2.1 Vibración libre 19 3.2.1.1 Vibración libre sin amortiguamiento 19 3.2.1.2 Vibración libre con amortiguamiento 20 3.2.2 Vibración forzada 21 3.2.2.1 Respuesta a vibraciones armónicas 21 3.2.2.2 Respuesta a un impulso. Integral de Duhamel 22 3.2.2.3 Respuesta a un movimiento de la base 23 3.3 Sistemas de varios grados de libertad 24 3.3.1 Ecuaciones de equilibrio dinámico 24 3.3.2 Métodos de resolución movimiento 26 3.3.2.1 Superposición modal. Extracción de frecuencias naturales y modos de vibración 26 3.3.2.2 Análisis mediante el método de espectros de frecuencias 29 3.3.2.3 Solución en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier 31

ÍNDICE


3.3.2.4 Análisis dinámico por integración numérica 33 3.4 Otros factores a tener en cuenta en el análisis dinámico de estructuras 35 3.4.1 Interacción suelo-estructura 35 3.4.2 Otras formas de modelar la interacción suelo-estructura 41 Capítulo 4: SISTEMAS DE CONTROL ESTRUCTURAL ANTE ACCIONES SÍSMICAS 4.1 Introducción 42 4.2 Sistemas de control pasivo 43 4.2.1 Sistemas de control pasivo con aislamiento de la base 43 4.2.2 Sistemas de control pasivo con disipadores de energía 45 4.2.3 Sistemas de control pasivo mediante sistemas inerciales acoplados 46 4.3 Sistemas de control activo 46 4.4 Sistemas de control híbrido 47 4.5 Sistemas de control semiactivo 47 PARTE 2: ESTUDIO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DE

PUENTES SOMETIDOS A CARGAS SÍSMICAS Capítulo 5: DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS DE PUENTES OBJETO DE ESTUDIO 5.1 Introducción 49 5.2 Tipología y modelos de puentes estudiados 49 5.2.1 Materiales empleados 50 5.2.2 Dimensiones de los elementos estructurales 51 5.2.3 Descripción de la conexión entre los diferentes elementos estructurales y de la interacción suelo-estructura 53 5.2.3.1 Modelo del puente con cimentación por zapatas 53 5.2.3.2 Modelo del puente con cimentación por pilotes 56 5.3 Modelos matemáticos empleados en el cálculo de la estructura 58 Capítulo 6: RESULTADOS NÚMERICOS DE LOS ESTUDIOS REALIZADOS 6.1 Modelo del puente con cimentación por zapatas 60 6.1.1 Frecuencias naturales y modos de vibración 60 6.1.2 Respuesta a las cargas de peso propio 64 6.1.3 Respuesta ante solicitaciones sísmicas prescritas por el Eurocódigo 8. 66 6.1.4 Respuesta del puente sometido al terremoto de “El Centro” 74 6.2 Modelo del puente con cimentación por pilotes 93 6.2.1 Frecuencias naturales y modos de vibración 93 6.2.2 Respuesta a las cargas de peso propio 99 6.2.3 Respuesta ante solicitaciones sísmicas prescritas por el Eurocódigo 8. 100 6.2.4 Respuesta del puente sometido al terremoto de “El Centro” 106 6.3 Resumen de los resultados 125

ÍNDICE


PARTE 3: ESTUDIO PARAMÉTRICO Capítulo 7: ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA RESPUESTA DEL PUENTE CON Y SIN APOYOS DE NEOPRENO 7.1 Introducción 127 7.2 Modelo del puente con cimentación por zapatas 127 7.2.1 Resultados 127 7.3 Modelo del puente con cimentación por pilotes 129 7.3.1 Resultados 130 Capítulo 8: ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA RESPUESTA DE LA ESTRUCTURA DEL PUENTE DEPENDIENDO DE LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA 8.1 Introducción 133 8.2 Modelo del puente con cimentación por zapatas 133 8.3.1 Resultados 133

PARTE 4: CONCLUSIONES Capítulo 9: CONCLUSIONES 9.0 Conclusiones generales 137 9.1 Conclusiones acerca de la introducción de cimentaciones por pilotes 137 9.2 Conclusiones acerca de la introducción de apoyos de neopreno 138 9.2.1 Modelo del puente con cimentación por zapatas 138 9.2.2 Modelo del puente con cimentación por pilotes 140 9.3 Conclusiones acerca de la interacción suelo-estructura 141

ANEXO Anexo 1: RIGIDECES DINÁMICAS DEL TERRENO A.0 Introducción 143 A.1 Rigideces estáticas para cimentaciones superficiales 143 A.2 Corrección de las rigideces estáticas para una profundidad de enterramiento “E” 143 A.3 Rigideces dinámicas 144

BIBLIOGRAFÍA Bibliografía 148

“ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE SOLICITACIONES SÍSMICAS DEPENDIENDO DE LA TIPOLOGÍA DE

LA CIMENTACIÓN Y LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA”

PARTE 0: INTRODUCCIÓN AL PROYECTO Y OBJETIVOS

Capítulo 0: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES ANTE SOLICITACIONES SÍSMICAS 1

Capítulo 0: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS 0.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

El presente proyecto, como su propio nombre indica, trata del análisis general del comportamiento de estructuras de puentes cuando se encuentran sometidas a solicitaciones sísmicas.

En tiempos recientes, algunos puentes han sufrido daños estructurales causados por cargas sísmicas, que ha tenido como consecuencia que la construcción y reparación de puentes se ha hecho más cara y requiere más tiempo que en el pasado. Debido a los altos niveles de exigencia en el diseño de estructuras sismorresistentes, es necesario un mayor conocimiento de las solicitaciones sísmicas y los efectos que estas producen en las estructuras. En este proyecto se pretende hacer un estudio de la respuesta de un puente teórico cuando lo sometemos a una serie de solicitaciones de tipo sísmico, estudiando las posibles tipologías de cimentaciones y posibles elementos que pueden reducir la respuesta, reduciéndose así los posibles daños estructurales que se pudieran producir.

También se hace un especial hincapié en las posibles modelizaciones de la interacción suelo-estructura. Como vamos a comentar en las siguientes páginas, el comportamiento de la interacción entre suelo y estructura cuando está sometido a cargas dinámicas no es el mismo al comportamiento cuando está sometido a cargas estáticas. En el presente proyecto se estudia las diferencias de la respuesta de una estructura cuando se realiza un cálculo pseudoestático y cuando se realiza un cálculo dinámico puro.

La idea inicial del presente proyecto era hacer un estudio de la respuesta de estructuras de puentes sometidas a solicitaciones sísmicas modelando la interacción suelo-estructura mediante el método de los elementos de contorno, para lo cual íbamos a utilizar como herramienta informática el programa elaborado por D. Miguel Ángel Millán Muñoz incluido en su tesis doctoral, la cual está incluida en la bibliografía del presente proyecto. Por razones de cambio de lugar de residencia, a D. Miguel Ángel Millán Muñoz le fue imposible seguir colaborando en la realización de este proyecto, por lo que hubo que cambiar su enfoque. Mientras que los análisis a realizar se mantuvieron sin variación, la modelización de la interacción entre suelo y estructura pasó a realizarse usando elementos conectores tipo muelle y amortiguador, utilizando como herramienta informática el programa ABAQUS, basado en el cálculo mediante el método de los elementos finitos.

Otro objetivo de este proyecto es obtener resultados que puedan ser comparados

con resultados obtenidos usando el método de los elementos de contorno para modelar la interacción entre suelo y estructura.

El presente proyecto se ha estructurado en cinco partes diferenciadas.

En la primera parte (Parte 0), es la presente. En esta pretendemos exponer “el porque” del proyecto.

Capítulo 0: INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS


En la segunda parte (Parte 1), se exponen los elementos teóricos necesarios que sirven como introducción al cálculo sísmico y dinámico de estructuras y que sitúan al lector en un punto de partida para la comprensión de los estudios realizados en el presente proyecto, así como proveerle de un conocimiento general del comportamiento de las estructuras ante cargas dinámicas. Esta parte se ha dividido en una serie de capítulos, que pretenden separar y ordenar el estudio de estructuras sometidas a cargas sísmicas. En el capítulo 4 de esta parte hacemos un breve resumen de los medios existentes para reducir en lo posible la respuesta de las estructuras a las cargas sísmicas.

En la tercera parte (Parte 2), hacemos una descripción de las estructuras objeto de estudio, diferentes análisis que vamos a realizar, y los resultados obtenidos de dichos análisis, los cuales van a ser la base para la obtención de conclusiones.

En la cuarta parte (Parte 3), vamos a realizar unos estudios paramétricos, que consisten en la comparación de los resultados de varios análisis de nuestra estructura cuando cambiamos algún parámetro. En concreto, en el “Capítulo 7” vamos estudiar las diferencias en la respuesta cuando introducimos apoyos de neopreno en la unión entre los estribos y las barras que soportan el tablero, y en el “Capítulo 8” vamos a estudiar las diferencias de la respuesta cuando cambiamos la modelización de la interacción entre suelo y estructura.

En la quinta parte (Parte 4), se recogen las conclusiones finales a las que se ha llegado con la elaboración de este proyecto mediante la realización de los análisis pertinentes con las herramientas informáticas antes mencionadas.

Por último, se incluye la bibliografía utilizada en la realización de este proyecto, a la cual se hace continua referencia.



PARTE 1: INTRODUCCIÓN TEÓRICA AL CÁLCULO SÍSMICO DE ESTRUCTURAS

Capítulo 1: ESTUDIO DE LA ACCIÓN SÍSMICA



1.1 INTRODUCCIÓN

Toda obra de la Ingeniería Civil tiene que ser diseñada para resistir diversos tipos de solicitaciones que le impone el medio ambiente natural, entre ellas la fuerza de la gravedad, mientras que la más difícil de prever y eventualmente la más severa es la fuerza que le puede imponer en terremoto. Los terremotos, fuertes vibraciones, están entre los fenómenos naturales más peligrosos; en casos extremos pueden generar fuerzas (verticales y horizontales) superiores a aquella de la gravedad.

A diferencia de la fuerza de la gravedad, que para fines prácticos como el diseño de estructuras se puede considerar como constante en tiempo y espacio sobre toda la Tierra, los terremotos y las fuerzas que generan tienen todo lo que puede hacer difícil su previsión y cálculo:

• son fenómenos escasos y transitorios • su distribución en tiempo y espacio es irregular • ocurrencia prácticamente imposible de predecir.

Para cuantificar los esfuerzos sísmicos que una estructura debe poder resistir durante su vida útil, lo necesario y factible es entonces la evaluación de los patrones que la actividad sísmica tiene en el área de interés.

El fenómeno sísmico está caracterizado por incertidumbres de muchas fuentes:

• por falta de conocimiento fundamental sobre el fenómeno sísmico • escasez de información sobre la sismicidad en el área de interés • cualquier resultado es una evaluación de un escenario probable.

1.2 EVALUACIÓN DE LA ACCIÓN SÍSMICA

La intensidad de la acción sísmica depende fundamentalmente de tres factores: 1. Foco sísmico:

• Cuando, donde y de que tamaño será el próximo terremoto • Cual será el nivel de movimiento sísmico máximo durante la vida útil

de la estructura.

2. Efecto de la trayectoria sobre la energía sísmica, en términos de la atenuación:

• Esta información es necesaria para estimar cuanta energía sísmica

puede llegar al emplazamiento de nuestra estructura • Que formas de ondas tendrán las vibraciones.

3. La modificación de la energía sísmica a su paso por las formaciones geológicas superficiales del sitio de referencia.

• Como modificarán los suelos en el sitio la forma y el nivel de la

vibración



1.3 FUNDAMENTOS SÍSMICOS 1.3.1 ONDAS SÍSMICAS

Hay dos tipos de ondas símicas, las ondas de volumen (que se transmiten por el

interior de la tierra) y las ondas superficiales. Estas ondas tienen unas características energéticas y de velocidad de propagación.

1. Ondas de volumen

En este grupo están las ondas P (también “longitudinales” ó “de presión”) y las

ondas S (también “de corte” o “de cortante”). En las ondas P la dirección de movimiento de partículas coincide con la

dirección de propagación de la onda; en las ondas S la dirección de movimiento de partículas es ortogonal a la dirección de propagación de las ondas. En consecuencia, las ondas P tienen una dirección única, mientras que las ondas P pueden estar polarizadas en cualquier dirección sobre su plano de movimiento de partícula.

La velocidad de propagación de las ondas P es:

Vp = [(K + 4/3G)/ρ]1/2 Siendo: K el módulo de compresibilidad, G el módulo de rigidez y ρ la densidad.

La velocidad de propagación de las S es:

Vs = (G/ ρ)1/2 Siendo: G el módulo de rigidez y ρ la densidad.

Al depender solo de la resistencia a cortante (G), las ondas S no se pueden propagar en fluidos.

Las ondas P siempre tienen mayor velocidad de propagación y por tanto, a cualquier distancia de la fuente, siempre son “fases” distinguibles. La relación de velocidades promedio (en roca) es de Vp = 1,75 Vs.

Velocidades de propagación típicas para roca en superficie son 5 km/s y para sedimentos (suelo) 1,5 km/s.

2. Ondas superficiales

En el grupo de las ondas superficiales hay dos principales, las ondas Love y las

Rayleigh. Mientras que las ondas de volumen se generan en la fuente misma, las

superficiales son generadas por incidencia y transformación de ondas de volumen sobre una interfaz o superficie libre.

Como su nombre lo expresa, las ondas superficiales se propagan principalmente en superficies (libre o interna) y por tanto atenúan mucho menos con la distancia que las ondas de volumen.



La velocidad de propagación de las ondas superficiales es del orden del 90% de la de ondas de corte. Ondas superficiales siempre tienen longitudes de onda mayores que ondas S y (más aun) ondas P.

Sus mecanismos de generación (interacción con superficies) hacen que la proporción de ondas superficiales sea mayor en sismos superficiales y así pueden contribuir al peligro de las vibraciones. Además, por atenuar menos con la distancia que las ondas de volumen, las Love y Rayleigh con la distancia llegan a tener mayor amplitud (y energía) que las ondas de volumen.

Figura 1.1: Desde arriba hacia abajo se muestran los cuatro tipos de onda y sus esquemas de movimiento para ondas P, ondas S, ondas Rayleigh y ondas Love.

1.3.2 ENERGÍA DE LA ACCIÓN SÍSMICA

Se produce el fenómeno de la atenuación geométrica, la densidad de energía disminuye con la distancia. Características como las propiedades geométricas y la cohesión de los constituyentes del suelo hacen que las ondas sufran procesos de fricción interna (convirtiendo parte de la energía elástica en calor). Esto es la llamada absorción inelástica. La absorción es exponencialmente proporcional a un factor material y a la distancia, en primera aproximación. También es función del contenido frecuencial de las ondas, y de las dimensiones de los constituyentes del medio. Generalmente la absorción es mayor para componentes de período corto. Suelos (menos cohesivos que roca) causan mayor atenuación inelástica que rocas.

En general se puede decir que los suelos duros transmiten las frecuencias altas y las amplifica, y los suelos blandos trasmiten las frecuencias bajas y las amplifica.

1.3.3 INTENSIDAD

La creación del concepto de la “intensidad macrosísmica” obedeció a la necesidad de cuantificar el tamaño de terremotos (sin registro instrumental) y de evaluar otras características del evento, tales como localización epicentral y profundidad focal. Los indicadores usados, por todas las escalas, son:

• Testimonios de personas • Comportamiento de animales • Movimientos de objetos y estructuras, daños • Sismograma – Información básica en el dominio del tiempo • Cambios en formaciones geológicas, ríos, lagos



Los criterios aplicados son:

• Sensaciones • Efectos transitorios (movimiento de objetos) • Efectos irreversibles (geológicos y en construcciones)

Las ventajas de las escalas de intensidad son:

• Comparación con sismos históricos • Evaluación post-terremoto en áreas con poca instrumentación

Pero también tienen algunas desventajas:

• Subjetividad • Variable “integral” (aceleración, duración, período dominante, etc.) • Distribución irregular de indicadores • Involucra la vulnerabilidad de edificaciones como variable

1.3.4 MAGNITUD

Richter propuso esta forma de cuantificar (a partir de sismogramas) el tamaño de un sismo en una escala es logarítmica.

Gutenberg y Richter (1956) encontraron una relación empírica que relaciona la energía (expresada en Julios) con la magnitud del sismo:

Log E = 1.5M + 11.8

Capítulo 2: ACCIONES SÍSMICAS DE DISEÑO



2.1 INTRODUCCIÓN

Con el fin de construir una estructura sismorresistente tenemos que caracterizar el movimiento del suelo para un emplazamiento dado. Para ello vamos describir los parámetros que hay que tener en cuenta y formas de representación comúnmente empleados. En relación con la forma de representación, vamos a hacer algunas consideraciones sobre la importancia del contenido frecuencial del movimiento en el grado de daño que experimenta la estructura, razón por la cual el espectro de respuesta es la representación más generalizada con el fin propuesto. No obstante revisaremos otros parámetros que tienden a emplearse de forma complementaria, combinando información tanto de las amplitudes como de las frecuencias de la agitación. Se exponen también los antecedentes y estado actual en la estimación de parámetros y espectros, una vez determinadas las características de los movimientos esperados por medio de estudios de peligrosidad. Vamos a concluir indicando cómo se aborda el problema en Normativas Sismorresistentes, con un análisis particular del tratamiento seguido por la NCSE-94 y el Eurocódigo 8. 2.2 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA ACCIÓN SÍSMICA. ACELEROGRAMAS Y ESPECTROS DE RESPUESTA

El acelerograma de un terremoto es una gráfica de variaciones de la aceleración del terreno en el tiempo. Cada terremoto tiene un acelerograma, todos los terremotos que se producen en una misma zona tienen acelerogramas muy parecidos.

Figura 2.1: Ejemplo de acelerograma.

La forma más completa de representación del movimiento para fines de diseño

es por medio de espectros de respuesta, que indican la respuesta máxima de osciladores simples de un grado de libertad con cierto amortiguamiento, ante una excitación sísmica, en función de la frecuencia propia del oscilador. Dicha respuesta puede



expresarse en términos de aceleración, velocidad o desplazamiento para las distintas frecuencias del movimiento, SA(ω,ξ), SV(ω,ξ), SD(ω,ξ). En la figura 2.2 se muestra un ejemplo de un espectro de respuesta en frecuencias.

Figura 2.2: Ejemplo de espectro de respuesta.

Cabe destacar, por su importancia práctica, la relación existente entre valores

pico del movimiento (valores máximos de la respuesta) y las ordenadas de los espectros de frecuencia. Para vibraciones de frecuencia muy alta una estructura rígida tiende a moverse con el terreno, y por tanto la aceleración de respuesta coincide prácticamente con la máxima del suelo. Por eso, la aceleración espectral de periodo T=0 (límite de alta frecuencia), coincide prácticamente con la aceleración pico del movimiento, es decir, SA(ω,ξ) ≈ PGA (aceleración máxima). Para vibraciones de frecuencia muy baja (ω=0) una aproximación similar se tiene con el desplazamiento en estructuras flexibles, por tanto, SD(ω=0) ≈ PGD (desplazamiento máximo). La aceleración pico del movimiento determina entonces el límite de alta frecuencia del espectro, mientras que el desplazamiento pico condiciona el de baja frecuencia.

Otra cuestión de importancia práctica es la forma de representación de estos espectros. Los parámetros espectrales definidos SD(ω,ξ), SV(ω,ξ), SA(ω,ξ), se pueden representar por medio de diagramas de distribución de amplitudes en función de la frecuencia, dando lugar entonces a los espectros de respuesta de desplazamiento, velocidad y aceleración. Pero la forma más común de representación en ingeniería sísmica, es por medio de diagramas trilogarítmicos, donde se indican simultáneamente los valores del desplazamiento SD(ω,ξ), junto con valores de otros dos parámetros, pseudo-velocidad espectral, PSV(ω,ξ), y pseudo-aceleración espectral PSA(ω,ξ), que se definen en las fórmulas [1] y [2]. Se construyen así pseudo-espectros, que constituyen una aproximación aceptable a los espectros de respuesta reales. Un ejemplo es mostrado en la figura 2.3.

PSV = ω·SD [1] PSA = ω2·SD = ω·PSV [2]



Figura 2.3: Ejemplo de pseudo-espectro de respuesta en diagrama trilogarítmico.

La caracterización del movimiento del suelo (máximo o probable) por medio de

espectros de respuesta es generalmente, el paso final de todo estudio de peligrosidad dirigido a diseño sismorresistente, con el que concluye el aspecto más sismológico del problema. A partir de ahí, comienza el análisis de la respuesta de la estructura cuyo diseño se pretende, que se aborda ya desde un punto de vista ingenieril.

CONTENIDO FRECUENCIAL DEL MOVIMIENTO

Por su propia definición, los espectros de respuesta indican cuál es la máxima respuesta a un determinado movimiento, dada por edificios de diferentes frecuencias naturales. La relación entre el movimiento de entrada y la respuesta de la estructura está fuertemente condicionada por la rigidez o flexibilidad de ésta y por el contenido de frecuencias de la agitación, además de por sus amplitudes máximas.

Cuando una estructura es sacudida por un terremoto real, cuyo movimiento es un sumatorio de frecuencias, la respuesta depende de la natural del edificio y del contenido frecuencial del movimiento. Así por ejemplo, un edificio de 10 pisos con frecuencia propia de 1 Hz, se verá particularmente afectado por esta componente del movimiento y mucho menos por las mayores y menores frecuencias. La aceleración máxima con la que responde esta estructura a un cierto movimiento es justamente la ordenada espectral de T = 1 s. El espectro completo representa esta máxima respuesta para estructuras de diferentes periodos naturales, y su forma dependerá del contenido frecuencial del movimiento y del amortiguamiento de la estructura.



Por su parte, los aspectos que más influyen en el contenido de frecuencias del movimiento son la distancia al epicentro y el tipo de suelo en el emplazamiento de registro. A medida que aumenta la distancia el movimiento presenta menores frecuencias; en campo lejano el contenido frecuencial es menor que en campo próximo. En cuanto al suelo, los suelos blandos tienen baja frecuencia propia, y tienden a amplificar las bajas frecuencias del movimiento, determinando también así la forma de los correspondientes espectros.

La respuesta de un edificio está fuertemente condicionada por la relación entre la frecuencia predominante del movimiento (en la base rocosa), la natural del suelo y la propia del edificio. Si todas ellas son del mismo orden la capacidad de daño aumenta notablemente. En la figura 2.4 se ilustran dos ejemplos típicos de espectros de respuesta, junto con el tipo de edificios que pueden verse más afectados. (Coburn et al., 1992)

Figura 2.4: Dos ejemplos típicos de espectros de respuesta, junto con el tipo de edificios que pueden

verse más afectados (Coburn et al., 1992). .

2.3 CARACTERIZACIÓN DE LA ACCIÓN SÍSMICA EN LAS NORMATIVAS

En general los espectros de diseño o de proyecto propuestos en las normativas de construcción, son formas espectrales suavizadas, medias o envolventes, construidas con tramos rectos (en escala logarítmica) que aproximan espectros de respuesta reales de la zona de aplicación.

Estas formas espectrales han sido normalizadas por el valor de la aceleración máxima del terreno, por lo que, en realidad las ordenadas espectrales de la aceleración vienen dadas como factores de amplificación para distintos tramos de frecuencias o periodos, en función del amortiguamiento, del tipo de suelo, y del tipo de terremoto.



2.3.1 NORMA DE LA CONSTRUCCIÓN SISMORRESISTENTE ESPAÑOLA. NCSE-94

Siguiendo esta filosofía, propuesta inicialmente por Newmark y Hall (1969), la Norma NCSE-94 define los espectros de respuesta elástica de diseño, para periodos de retorno de 500 años, a partir de una forma espectral de 3 tramos dada por el factor de amplificación α(T), que para el caso de movimiento horizontal y con amortiguamiento crítico del 5% viene dado por:

α(T) = 1,0 + [α(T0) – 1,0] ·T/T0 para T < T0 α(T) = α(T0) para T0 ≤ T ≤ T1 [3] α(T) = α(T0)·T1/T para T > T1 Donde, T0 = T0 ( C , K ) = 0,125 · C + 0,2 · K – 0,175; es el límite superior del intervalo

de periodos bajos. α (T0) = ( 3 · C – 3,8 ) · ( K – 1,25 ) + 2,30; da la amplificación del tramo

intermedio. T1 = [ 0,215 · K · ( 5 · C – 1)] / α(T0); es el límite inferior del intervalo de

periodos altos. De esta forma, el factor de amplificación a y la separación en los 3 tramos de

periodos dependen del tipo de suelo del emplazamiento a través del coeficiente del terreno C, y del llamado coeficiente de contribución K, cuyo objetivo final es valorar la influencia en el espectro de respuesta de los terremotos lejanos.

Estos dos coeficientes están tabulados para todas las poblaciones principales de España.

El coeficiente de suelo C toma los valores: C = 1,0 para terrenos tipo I (roca compacta, Vs > 750 m/s) C = 1,4 para terrenos tipo II (suelos de compacidad media a dura,

400 m/s ≤ Vs ≤ 750 m/s) C =1,8 para terrenos tipo III (suelo granular suelto, cohesivo medio a blando,

VS ≤ 400 m/s) El coeficiente de contribución K toma valores comprendidos entre K = 1 para

aquellos emplazamientos en los que la mayor contribución a la peligrosidad sísmica sea debida a terremotos peninsulares próximos, y K = 1,5 para los emplazamientos en los que la mayor contribución de peligrosidad proceda de terremotos de la falla Azores-Gibraltar (terremotos lejanos con mayor contenido de baja frecuencia).

La construcción final del espectro de respuesta se hace teniendo en cuenta que: α(T) = PSA(T)/PGA Donde,



PGA es la aceleración máxima del terreno (periodo de retorno de referencia 500 años),

PSA(T) es el pseudo-espectro de respuesta de aceleración. El espectro de respuesta del movimiento horizontal, se construye así,

conociendo el valor de la aceleración máxima de cada emplazamiento dada por el cálculo de peligrosidad sísmica. Para el movimiento vertical la Norma propone tomar el 70% del espectro del movimiento horizontal.

En la figura 2.5 se muestran las formas espectrales (factores de amplificación) para las tres clases de suelo y los dos valores extremos del coeficiente K (1 y 1,5)

Figura 2.5: Espectros de respuesta propuestos en la NCSE-94 para las tres clases de suelo y los dos

valores extremos de K: 1,0 y 1,5 (amortiguamiento crítico 5%).



2.3.2 EUROCÓDIGO 8, PARTE 1-1 (ENV 1998-1-1:1994)

El Eurocódigo 8, “Disposiciones para el proyecto de estructuras sismorresistentes” recoge en su Parte 1-1 “Reglas generales. Acciones sísmicas y requisitos generales de las estructuras”, todo lo referente a caracterización y representación del movimiento del suelo. La Normativa viene expresada por una serie de principios (enunciados generales y definiciones o requisitos y modelos analíticos para los que no se permite ninguna otra alternativa, salvo que esté específicamente indicado) y por reglas de aplicación (que siguen los principios y satisfacen sus requisitos).

Uno de estos principios declara que la acción sísmica en un punto dado de la superficie se representa generalmente por un espectro de respuesta elástica de la aceleración del suelo. Algunas de las reglas de aplicación incluidas señalan que puede necesitarse más de un espectro para representar adecuadamente la peligrosidad (caso en el que fuentes sísmicas a diferentes distancias afecten al emplazamiento), y también que pueden utilizarse representaciones alternativas como por ejemplo el espectro de potencia o acelerogramas de cálculo (historias temporales).

2.3.2.1 ESPECTRO ELÁSTICO DE RESPUESTA

El espectro de respuesta elástica, Se(T), para movimiento horizontal y para el

periodo de retorno de referencia (475 años) definido por esta Normativa, está dado por: Se(T) = ag · S · [1 + (T / TB) (η · β0 - 1)] para 0 ≤ T ≤ TB Se(T) = ag · S · η · β0 para TB ≤ T ≤ TC Se(T) = ag · S · η · β0 · ( Tc / T )k1

para TC ≤ T ≤ TD Se(T) = ag · S · η · β0 · ( Tc / TD )k1 · ( TD / T )k2

para TD ≤ T Donde, T es el periodo de vibración de un sistema lineal con un grado de

libertad. ag es la aceleración de cálculo del terreno para el periodo de retorno

de referencia. β0 es el factor de amplificación de la aceleración espectral para un

amortiguamiento viscoso del 5%. TB, TC son los límites del tramo de aceleración espectral constante. TD es el valor que define el comienzo del tramo de desplazamiento

espectral constante. k1 y k2 son los exponentes que definen la forma del espectro para un

periodo de vibración mayor de TC y TD respectivamente. S es el parámetro del suelo. η es el factor de corrección del amortiguamiento (valor de

referencia η = 1 para un amortiguamiento viscoso del 5%). Si para estudios especiales tiene que considerarse un amortiguamiento viscoso diferente del 5%, su valor se indicará en las partes del Eurocódigo 8 que corresponda. Su valor puede determinarse por la expresión siguiente:



7,02

7≥

+=

ξη

Los valores inicialmente asignados a cada uno de estos parámetros se indican en la Tabla 2.1, si bien la Normativa señala la posibilidad de que cada país miembro ajuste dichos parámetros de acuerdo a sus condiciones sismogenéticas y de peligrosidad.

Estos valores han sido seleccionados de manera que las ordenadas espectrales tengan una probabilidad de excedencia uniforme del 50% para todos los periodos.

Para la componente vertical de la acción sísmica, salvo estudios específicos, el Eurocódigo indica que se representará por el espectro de respuesta horizontal reducido en la siguiente forma:

- para T < 0,15 s las ordenadas se multiplican por un factor 0,70 - para T > 0,50 s las ordenadas se multiplican por un factor 0,50 - para 0,15 ≤ T ≤ 0,50 s se utilizará una interpolación lineal

Subsuelo S b0 k1 k2 TB TC TD

A 1,0 2,5 1,0 2,0 0,10 0,40 3,0 B 1,0 2,5 1,0 2,0 0,15 0,60 3,0 C 0,9 2,5 1,0 2,0 0,20 0,80 3,0 Tabla 2.1: Valores de los parámetros del espectro de respuesta propuesto en el Eurocódigo 8.

La influencia de las condiciones locales del terreno sobre la acción sísmica ha de

tenerse en cuenta considerando las tres clases de subsuelo A, B y C cuya descripción resumida es la que sigue:

A. Roca, Vs ≥ 800 m/s, incluyendo un espesor máximo de 5 m de material débil

en superficie, o bien, depósitos de arena, grava o arcilla sobreconsolidada con varias decenas de metros de espesor (Vs ≥ 400 m/s a 10 m de profundidad)

B. Depósitos de arenas, gravas o arcillas de densidad o consistencia media, con espesores entre decenas y cientos de metros (Vs ≥ 200 m/s a 10 m de profundidad, y Vs ≥ 350 m/s a 50 m)

C. Depósitos de suelo suelto, no cohesivos, o cohesivos de rigidez débil a media, caracterizados por valores de Vs ≤ 200 m/s en los 20 primeros metros. En la figura 2.6 se muestran los espectros de respuesta elástica del movimiento horizontal, para estas tres clases de suelo y para los valores de los parámetros dados en la Tabla 2.1.



Figura 2.6: Espectros de respuesta propuestos en el Eurocódigo 8 para las tres clases de suelo

consideradas (amortiguamiento crítico 5%).

2.3.2.2 ESPECTRO DE CÁLCULO PARA ANÁLISIS LINEAL La capacidad de los sistemas estructurales para resistir acciones sísmicas en el

rango no lineal permite generalmente proyectarlas para fuerzas menores que las que corresponden a una respuesta elástica lineal. Para no realizar un análisis explícitamente no lineal se tiene en cuenta la capacidad de disipación de energía de la estructura (principalmente a través del comportamiento dúctil de sus elementos) mediante la realización de un cálculo lineal basado en un espectro de respuesta reducido con respecto al elástico basado en la introducción del factor de comportamiento q. Además se utilizan exponentes kd1 y kd2 modificados.

Para el periodo de retorno de referencia el espectro de cálculo Sd(T), normalizado para la aceleración de la gravedad g, se define por las siguientes expresiones:

Sd(T) = α · S · [1 + ( T / TB) (β0 / q - 1)] para 0 ≤ T ≤ TB Sd(T) = α · S · β0 / q para TB ≤ T ≤ TC Sd(T) = α · S · β0 · ( Tc / T )kd1 / q ≥ 0,2 · α para TC ≤ T ≤ TD Sd(T) = α · S · β0 · ( Tc / TD )kd1 · ( TD / T )kd2 / q ≥0,2·α para TD ≤ T Donde, Sd(T) es la ordenada del espectro de cálculo, normalizada al valor de g; α es el cociente entre la aceleración del suelo de cálculo , ag, y la

aceleración de la gravedad; q es el factor de comportamiento; kd1, kd2 son los exponentes que influyen en la forma del espectro de

cálculo, cuyos valores para cada tipo de suelo se indican en la Tabla 2.2.



Subsuelo k1 k2 A 2 / 3 5 / 3 B 2 / 3 5 / 3 C 2 / 3 5 / 3

Tabla 2.2: Valores de kd1 y kd2

Capítulo 3: MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO Y SÍSMICO


Capítulo 3: MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO Y SÍSMICO 3.1 INTRODUCCIÓN

El objeto de este trabajo es presentar algunas reflexiones sobre el análisis dinámico aplicado a las construcciones sismorresistentes, y en particular a las estructuras de puentes, para servir de apoyo a los colegas y estudiantes en la aplicación de esos procedimientos. La parte más importante del trabajo se dedica al método de la superposición modal espectral, que es el más difundido actualmente.

En el estudio de la respuesta de las estructuras reales sujetas a cualquier tipo de

carga, estas se comportan de manera dinámica. Las fuerzas de inercia, provenientes de la segunda ley de Newton, son proporcionales a la aceleración. Si las cargas o desplazamientos son aplicados muy lentamente, las fuerzas de inercia se pueden despreciar, en cuyo caso, un análisis estático estaría justificado.

Además, todas las estructuras reales tienen un número infinito de posibles

desplazamientos por lo que es muy importante crear modelos matemáticos con un número finito de grados de libertad que simulen el comportamiento de la estructura real de manera precisa y eficiente. Las masas de un sistema estructural así como sus propiedades elásticas lineales pueden ser aproximadas con muy alto nivel de confianza. No ocurre así con las cargas dinámicas, propiedades de disipación de energía y la interacción entre el suelo y la estructura, que en muchos casos se hacen difíciles de estimar especialmente para cálculo sísmico.

A continuación hacemos una breve descripción de los diferentes métodos

utilizados para el análisis dinámico de estructuras, haciendo especial hincapié en el análisis sísmico. 3.2 SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

El esquema dinámico de un sistema de un grado de libertad se muestra en la figura 3.1.

Figura 3.1: Sistema dinámico de un grado de libertad.

A fin de establecer las bases para estudiar los métodos de resolución de las ecuaciones de equilibrio dinámico de los sistemas discretos de varios grados de libertad



es indispensable estudiar los métodos de resolución de las ecuaciones de equilibrio dinámico de un sistema de un grado de libertad, cuyas ecuaciones de equilibrio resultan ser:

)(tfkxxcxm =+⋅+⋅ &&& [1]

Sometida a las siguientes condiciones iniciales:

00)( xtx tt == Desplazamiento inicial de la masa del sistema de 1 grado de libertad.

00)( vtx tt ==& Velocidad inicial de la masa del sistema de 1 grado de

libertad.

Donde,

m es la masa del sistema de 1 grado de libertad c es la constante de amortiguamiento del sistema de 1 grado de

libertad k es la constante de rigidez del sistema de 1 grado de libertad x(t) es el desplazamiento del sistema de 1 grado de libertad

xm &&⋅ es la fuerza de inercia xc &⋅ es la fuerza de amortiguamiento xk ⋅ es la fuerza ejercida por el muelle

f(t) es la fuerza excitadora del sistema de 1 grado de libertad

La función f(t) es la función excitadora que depende del tiempo, si es cero el sistema en vibración libre, en otro caso tenemos vibración forzada. 3.2.1 VIBRACIÓN LIBRE 3.2.1.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO

En este caso tenemos, f(t) = 0, c = 0 La solución general para la ecuación [1] es:

x (t) = xo cos ωnt + ( xo / ωn) sin ωt [2]

Donde,

ωn = mk se llama frecuencia natural del sistema, en radianes/s.

La frecuencia f, en ciclos por segundo, se obtiene mediante la ecuación f=ωn/2π, y el periodo del movimiento es T = 1/f. Las unidades son en ciclos por segundo, o Hz. El periodo viene expresado en segundos.



Se puede observar que x(t) es una función armónica, con frecuencia ω. 3.2.1.2 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO

Para encontrar la solución de la ecuación [1] cuando c ≠ 0, probamos con soluciones del tipo:

x(t) = eλt

Reemplazando esa expresión de x(t) en la ecuación [1], llegamos a la siguiente ecuación:

m λ2 + c λ + k = 0

de la cual obtenemos el valor de λ

( ) mkmcmc /2/2/ 2 −±−=λ

El comportamiento de la solución depende del signo del término que está dentro de la raíz cuadrada. Tenemos tres posibles casos:

(c/2m )2 > k/m el sistema está sobreamortiguado, la solución tiene dos raíces reales por lo que tenemos dos exponenciales y no términos harmónicos.

(c/2m )2 < k/m el sistema está amortiguado, lo que lleva a una solución con términos harmónicos que decrecen exponencialmente.

(c/2m )2 = k/m el sistema está críticamente amortiguado, es decir, con menos amortiguamiento tendríamos oscilaciones y con mas amortiguamiento se eliminarían las oscilaciones por completo.

Así se define el amortiguamiento crítico: ncr mkmc ω22 ==

Así se define el parámetro ξ, que expresa el amortiguamiento del sistema en función del amortiguamiento crítico:

ξ = c/ccr

Para el caso en que c < ccr , o ξ < 1, la solución para λ se puede expresar como:

21 ξωξωλ −±−= nn i

y por lo tanto, la solución general de un sistema amortiguado es:



( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−

++−= − t

xvtxetx n

n

onno

tn 1sin 1

1 cos )( 2

2

02 ξωξω

ξωξωξω [6]

La frecuencia de oscilación del sistema ha variado ligeramente de ω a 21 ξω −n . A esta frecuencia de vibración modificada se le denomina frecuencia de

vibración amortiguada y se puede aproximar a la frecuencia natural del sistema para la mayoría de casos prácticos en los que ξ no suele superar el valor 0,05. 3.2.2 VIBRACIONES FORZADAS

Para las vibraciones forzadas tenemos que f(t) es distinto de cero, por lo que la solución de la ecuación [1] se obtiene por superposición de la solución general de la ecuación homogénea (caso de vibración libre, con f(t) igual a cero) y la solución particular de la ecuación completa.

x(t) = xh(t) + xp(t) Así, para el caso más general de un sistema amortiguado, la solución tendría la

siguiente forma:

( ) ( ))(

1sin 1

)())(( 1 cos (o))-( )( 2

2

2

tx

toxoxxx

txxetx

P

n

n

PPononPo

tn

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−

−−++−= − ξω

ξω

ξωξωξω &&

Para los diferentes funciones f(t) tendríamos que hallar la solución particular de la ecuación completa, xp(t). 3.2.2.1 RESPUESTA A VIBRACIONES ARMÓNICAS

La función de excitación sería de la forma:

tsenFtf ω0)( =

Para la cual tendríamos la siguiente respuesta:

)(

21

/)(

222

0 ϕω

ωωξ

ωω

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= tsenkF

tx

nn

p

donde φ es el desfase de la respuesta con respecto a la excitación y se puede

hallar mediante la siguiente expresión:



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

n

ntg

ωωωξω

ϕ1

/2

3.2.2.2 RESPUESTA A UN IMPULSO. INTEGRAL DE DUHAMEL.

Aplicando una fuerza impulsiva al sistema como la mostrada en la figura 3.2:

Figura 3.2: Fuerza impulsiva.

La fuerza F se aplica en el instante t = 0 y dura un espacio muy breve de tiempo,

dt, volviendo a ser cero después, aunque el sistema continua vibrando después de que la carga deja de aplicarse. Para hallar el valor de x para un determinado valor de t aplicamos la ecuación [6] para vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento para lo cual, antes tenemos que hallar las condiciones iniciales, que serán las condiciones cuando la carga deja de actuar. Después de algunos cálculos sencillos encontramos que las condiciones iniciales son:

xo = 0 vo = F dt / m

Introduciendo las condiciones iniciales en la ecuación [6], encontramos la

siguiente expresión de x(t):

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= − t

mFdtetx n

n

t 1sin 1

)( 2

2ξω

ξωξω

Esta es la respuesta ante un impulso, pero si tenemos una secuencia de impactos,

la respuesta total se obtiene por superposición, lo cual proporciona un método para obtener la respuesta ante una función de excitación arbitraria f(t), después de haber sido discretizada en una serie de impulsos de duración dt.

.



Figura 3.3: Discretización de una función de excitación f(t) arbitraria.

Por supuesto tenemos que considerar que si un impulse aparece en un tiempo τ,

y queremos la respuesta en un tiempo t, el efecto del impacto tendrá lugar para un tiempo (t - τ), dando por superposición o integración la siguiente expresión, también llamada integral de Duhamel:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

−= −−∫ )(1sin

1

)( )( 2

2

)(t

0

τξωξω

τττξω tM

dFetx t [12

Para una función de oscilación dada f(t), la respuesta a la ecuación [3], solo

depende de la frecuencia natural del oscilador y del amortiguamiento, para un sistema de un grado de libertad. Podemos calcular el máximo de la respuesta para una determinada función de excitación f(t). Este máximo dependerá de la frecuencia natural del sistema y del amortiguamiento, por lo que podemos obtener una gráfica como la de la figura 3.4:

Figura 3.4: Creación de un espectro de frecuencia.

Este tipo de gráficas reciben el nombre de “espectro de respuesta en frecuencia” del oscilador para la función de excitación f(t). 3.2.2.3 RESPUESTA A UNA EXCITACIÓN DE LA BASE.

Las vibraciones producidas por los terremotos están asociadas a un movimiento en la base del sistema. En la figura 3.5 se muestra un esquema del sistema en el que y(t) representa el movimiento de la base en función del tiempo.



Figura 3.5: Sistema dinámico de un grado de libertad. Movimiento de la base.

Al igual que en los casos anteriores la ecuación del movimiento se obtiene

planteando el equilibrio de fuerzas para la masa aislada, resultando la ecuación [13]

( ) ( ) 0=−+−⋅+⋅ yxkyxcxm &&&& [13] Considerando el movimiento relativo entre la masa y la base, z = x - y, la

ecuación [13] queda:

ymkzzczm &&&&& −=+⋅+⋅ donde y&& es la aceleración de la base del sistema. Resolviendo esa ecuación diferencial, podemos obtener la respuesta del sistema

z(t) conocida la aceleración de la base del sistema. En caso de un terremoto la fuerza excitadora es el registro de aceleraciones del sistema.

)(tay G=&&

donde aG(t) es la aceleración del terreno. Así, el espectro de respuesta en frecuencia para un determinado registro de aceleraciones del terreno se obtiene calculando el máximo valor de la función z(t) de la ecuación [16], para diferentes valores ωn y ξ .

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

−= −−∫ )(1sin

1

)( - )( 2

2

)(t

0

τξωξω

τττξω tda

etz n

n

Gtn [16

3.3 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 3.3.1 ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO

Las ecuaciones de equilibrio dinámico para un sistema de varios grados de libertad como una función del tiempo son las siguientes:

FI(t) + FD(t) + FE(t) = F(t) [17] Donde,



FI(t) son las fuerzas de inercia actuando en los nudos FD(t) son las fuerzas de amortiguamiento actuando en los nudos FE(t) son las fuerzas internas de la estructura F(t) son las fuerzas exteriores aplicadas en los nudos

La ecuaciones [17] están basadas en leyes físicas y son válidas sistemas lineales

y no lineales si el equilibrio está formulado con respecto a la geometría deformada de la estructura. Para muchos sistemas estructurales, la aproximación a comportamiento lineal se hace para convertir las ecuaciones de equilibrio [17] a ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales, las ecuaciones [18].

)(tFXKXCXM AAA =⋅+⋅+⋅ &&&

Donde, M es la matriz de masa del sistema C es la matriz de amortiguamiento del sistema K es la matriz de rigidez estática del sistema

AX es el vector de desplazamientos absolutos de los nudos del sistema

AX& es el vector de velocidades absolutas de los nudos del sistema

AX&& es el vector de aceleraciones absolutas de los nudos del sistema F(t) es el vector de las fuerzas exteriores aplicadas en los nudos (incluidas las

reacciones)

Para excitaciones sísmicas, el vector de fuerzas exteriores F(t) es igual a cero. Los movimientos básicos de un sismo son las tres componentes de los desplazamientos del terreno. Así podemos escribir las ecuaciones [19] en término de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones relativas a las tres componentes del desplazamiento del terreno (ecuaciones [20]). Distinguiendo entre los grados de libertad de los apoyos (r grados de libertad) y los grados de libertad libres (3n grados de libertad, siendo n el número de nudos libre) las ecuaciones quedan:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= RRRN

NRNN

KKKK

K ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= RRRN

NRNN

CCCC

C ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= RRRN

NRNN

MMMM

M

Llamando, X=XA-XS

Donde, X es el vector de movimientos relativos de los nudos, con respecto a los

movimientos del terreno XS es el vector de movimientos del terreno Ix es un vector de movimiento unidad de la estructura como sólido rígido

en la dirección x. Iy es un vector de movimiento unidad de la estructura como sólido rígido

en la dirección y.



Iz es un vector de movimiento unidad de la estructura como sólido rígido en la dirección z.

R es el vector de las reacciones en los apoyos

Las ecuaciones [19] nos quedan de la siguiente forma:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅+⋅+⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

RIZIYIX

MMMM

XKKKKX

CCCCX

MMMM

ZSYSXSRRRN

NRNN

N

RRRN

NRNNN

RRRN

NRNNN

RRRN

NRNN

0

000

&&&&&&

[20]

Nos quedamos solo con la parte superior de las ecuaciones, es decir, las 3n primeras ecuaciones, ya que las otras r ecuaciones solo nos sirven para hallar las reacciones en los apoyos:

[ ] ( )ZSYSXSNRNNNNNNNN IZIYIXMMXKXCXM ⋅+⋅+⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ &&&&&&&&& [21]

Resolviendo las ecuaciones [21] obtendríamos la solución del problema.

3.3.2 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO 3.3.2.1 SUPERPOSICIÓN MODAL. EXTRACCIÓN DE FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN OBTENCIÓN DE MODOS Y FRECUENCIAS NATURALES

Al igual que sucedía en los sistemas de un grado de libertad, las características dinámicas intrínsecas de una estructura de n grados de libertad se obtienen considerando sus vibraciones libres no amortiguadas. En este caso las ecuaciones del movimiento [19] se reducen a:

0=⋅+⋅ AA XKXM && [22]

Esta ecuación admite soluciones no triviales, es decir, compatibles con un

movimiento sin fuerzas exteriores aplicadas, de la forma:

( )ϕω +⋅⋅= tieXtX )( [23] siendo X un vector formado por las amplitudes de los movimientos. Sustituyendo [23] en [22] se obtiene: ( ) 02 =⋅⋅− XMK ω [24] Las ecuaciones [24] corresponden a un problema de obtención de autovalores y

autovectores. Para que haya soluciones distintas de la trivial debe cumplirse que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo

02 =⋅− MK ω [25]



Como solución de este polinomio característico se obtienen n autovalores 2

iω que corresponden a las n frecuencias naturales o frecuencias propias ωi con las que la estructura puede vibrar libremente. A la frecuencia más baja del sistema se le denomina frecuencia fundamental, ω1, y tiene asociado un período fundamental

T1 = 2π/ ωi Cada autovalor 2

iω lleva asociado un autovector Xi, denominado modo de vibración, que indica la forma de la deformada que adquiere el sistema vibrando con la correspondiente frecuencia natural ωi. Dado que [24] es un sistema de ecuaciones homogéneas con determinante nulo, sólo es posible determinar n - 1 componentes de Xi en función de una de ellas, por ejemplo, puede determinarse la forma con que vibra el sistema libremente pero no su amplitud. Resulta habitual normalizar estos modos asignando un valor unidad a su primera componente

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

in

i

i

i

ii X

X

φ

φφ

φM

3

2

1

1

o aplicando cualquier otro criterio para obtener los modos normalizados. En general la estructura vibrará libremente o bien según uno de los modos y su

frecuencia propia asociada, o bien según una combinación lineal de dichos modos.

PROPIEDADES DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN

Se puede demostrar fácilmente que los modos de vibración de una estructura satisfacen las siguientes condiciones de ortogonalidad respecto a las matrices de masa y rigidez

iiTi MM =⋅⋅ φφ ; 0=⋅⋅ j

Ti M φφ i ≠ j

iiiiTi KMK =⋅=⋅⋅ 2ωφφ ; 0=⋅⋅ j

Ti K φφ i ≠ j

Donde Mi y Ki son escalares. En caso de que la matriz de amortiguamiento se

pueda expresar como una combinación lineal de las matrices de rigidez y de masas del sistema, según una relación como la de la ecuación [26], los modos también serán ortogonales respecto a ella

KMC ⋅+⋅= βα [26] ( ) iiii

Tii

Ti CKMKMM =⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ βαφβαφφφ

0=⋅⋅ jTi K φφ i ≠ j

Por tanto, ordenando todos los modos de vibración en una matriz modal Ф



[ ]Nφφφ K21=Φ Las condiciones de ortogonalidad anteriores resultan en

MM =Φ⋅⋅Φ CC =Φ⋅⋅Φ [27] KK =Φ⋅⋅Φ

Donde M , C y K son matrices diagonales cuyos términos vienen definidos

por las relaciones [27] En el caso poco habitual de que existan raíces dobles, se puede demostrar que

hay infinitos autovectores asociados a este autovalor contenidos en un plano que es ortogonal al resto de modos de vibración. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN NODAL

En la sección anterior se ha visto como los n modos de vibración de un sistema de n grados de libertad son independientes y ortogonales entre sí, por lo que forman una base completa. Por tanto, cualquier movimiento del sistema puede expresarse como combinación lineal de dichos modos

∑=

Γ⋅Φ=⋅=n

iii ttX

1)()( ζφ [28]

Donde )(tiζ son funciones escalares del tiempo. Las coordenadas iζ se

denominan coordenadas generalizadas y describen la posición del sistema referido a un sistema de coordenadas cuyos vectores directores son los modos de vibración.

Premultiplicando [28] por MTi ⋅φ se obtiene:

ii

n

i

Tiii

Ti

Ti MtMtXM ζφφζφφφ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅ ∑

=1)()( [29]

Dadas las condiciones de ortogonalidad (2.41). De esta forma, los valores de las

coordenadas generalizadas iζ se pueden obtener a partir de las coordenadas Xi mediante la expresión:

iTi

Ti

i MtXM

φφφ

ζ⋅⋅⋅⋅

=)(

[30]

Haciendo el cambio de coordenadas cartesianas X a coordenadas generalizadas

en las ecuaciones [21], es decir, sustituyendo X(t) por la expresión en la ecuación [28] se obtiene:

[ ] ( )ZSYSXSNRNN

n

iii

NNn

iii

NNn

iii

NN

IZIYIXMM

tKtCtM

⋅+⋅+⋅⋅−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⋅ ∑∑∑

===

&&&&&&

&&&

)()()(111

ζφζφζφ [31]



Teniendo en cuenta que las formas modales no dependen del tiempo.

Premultiplicando esta ecuación por Tiφ y teniendo en cuenta las condiciones de

ortogonalidad [27] se obtiene:

[ ] ( )ZSYSXSNRNNT

i

i

NNii

NNii

NNi

IZIYIXMM

tKtCtM

⋅+⋅+⋅⋅⋅−

=⋅+⋅+⋅&&&&&&

&&&

)()()(

φ

ζζζ [32]

El sistema de 3n ecuaciones diferenciales acopladas se ha transformado en un

conjunto de 3n ecuaciones independientes, resolubles cada una de ellas por cualquiera de los métodos aplicables a sistemas de un grado de libertad. Todavía podemos simplificar mas el problema expresando las ecuaciones de un grado de libertad de

manera adimensional, dividiendo la ecuación [32] por nnii

nnTi MM =⋅⋅ φφ , con lo que

obtenemos la ecuación [33].

[ ] ( )i

nnTi

ZSYSXSNRNNT

i

iiiiii

MIZIYIXMM

ttt

φφφ

ζωζωξζ

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅−

=

=⋅+⋅⋅⋅+&&&&&&

&&&

)()(2)( 2

[33]

3.3.2.2 ANÁLISIS MEDIANTE EL MÉTODO DE ESPECTROS DE FRECUENCIAS

Dada su sencillez de aplicación y los buenos resultados que proporciona, el método de cálculo recomendado por la mayoría de las normas sísmicas es el análisis modal espectral. La respuesta máxima del sistema se obtiene combinando las respuestas máximas calculadas para cada uno de sus modos más significativos, en base a una acción sísmica caracterizada por su espectro de respuesta.

Dado que, en análisis lineal, cualquier sistema de n grados de libertad puede expresarse como superposición de n sistemas de un grado de libertad –asociados a sus modos de vibración–, y puesto que el espectro sísmico de respuesta permite determinar la respuesta máxima de cada uno de estos sistemas de un grado de libertad a la acción sísmica, es posible obtener la respuesta máxima de la estructura completa –con n grados de libertad– superponiendo las aportaciones de los n sistemas de un grado de libertad en que se ha descompuesto el sistema original.

En cada una de las tres direcciones del espacio se produce un movimiento del terreno que lo podemos caracterizar mediante espectros de frecuencia en desplazamientos, pseudo-velocidades y pseudo-aceleraciones como vimos en el apartado referente a movimiento sísmico.

SD(ω) [34] PSV(ω) = ω·SD(ω) [35] PSA(ω) = ω2·SD(ω) = ω·PSV(ω) [36] En cada dirección del espacio tendríamos los respectivos espectros de

frecuencia, SDx(ω), SDy(ω), SDz(ω), PSVx (ω), PSVy (ω), PSVz (ω), PSAx (ω), PSAy (ω), PSAz (ω). Por lo tanto, la máxima respuesta para un grado de libertad generalizado iζ , teniendo en cuanta la ecuación [33] será:



[ ] ( )

innT

i

ZizYiyXixNRNNT

iMAXi M

ISDISDISDMMφφ

ωωωφζ

⋅⋅

⋅+⋅+⋅⋅⋅−=

)()()( [37]

Y si la matriz de masa es diagonal, la ecuación se simplifica mucho, quedando

de la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

−=

)()()(

)()()(

3

3

3

1

1

1

izn

iyn

ixn

iz

iy

ix

innT

i

Ti

MAXi

SDmSDmSDm

SDmSDmSDm

M

ωωω

ωωω

φφφ

ζ M [38]

COMBINACIÓN DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN

Una vez obtenidas las soluciones para las coordenadas generalizadas iζ tenemos

que combinarlas para obtener las soluciones en las coordenadas del sistema X(t). Para ello podemos utilizar varios métodos, de los cuales vamos a describir dos, el método SRSS y el método CQC.

En general, no podemos hacer directamente la composición nodal de los modos de vibración según la expresión [28], modificada para sus máximos valores en la ecuación [39].

∑=

⋅=n

iMAXiitX

1

)( ζφ [39]

Donde n es el número de modos que se van a utilizar en el análisis. Esto conduce a resultados erróneos, ya que

MAXiζ es siempre positivo independientemente de cómo hayamos definido el signo del autovector iφ .

a) Método SRSS o método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados:

Es el método más simple, el más usado y el más racional donde las respuestas modales se suman usando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados. La ecuación que gobierna el método SRSS se puede expresar según [40].

∑=

⋅=n

iMAXiiMAX

X1

22 ζφ [40]

Donde n es el número de modos que se van a utilizar en el análisis. El método SRSS generalmente es conservador, aunque tiende a ser poco conservador cuando las frecuencias naturales están muy poco distanciadas.

b) Método CQC o método de la combinación cuadrática completa:



El método CQC está basado en el uso de coeficientes de correlación intermodal. Estos coeficientes reflejan la duración y el contenido en frecuencias del evento sísmico las frecuencias naturales y razones de amortiguamiento de la estructura. La ecuación que gobierna el método CQC se puede expresar según [41].

ijMAXjj

n

j

n

iMAXiiMAX

X ρζφζφ ⋅⋅⋅⋅= ∑∑= =1 1

[41]

Donde,

( )( ) ( ) ( ) 222222

5,1

4141

8

rrrr

rr

jiji

jijiij

⋅+⋅++⋅⋅⋅⋅+−

⋅⋅+⋅⋅⋅=

ξξξξ

ξξξξρ [42]

ijr ωω /= [43]

Cuando las razones de amortiguamiento de todos los modos de vibración que tenemos en cuenta para el análisis son nulas, el método CQC es equivalente al método SRSS.

3.3.2.3 SOLUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Una forma alternativa de resolver las ecuaciones [19] es mediante procedimientos de análisis en el dominio de la frecuencia. Los análisis en el dominio de la frecuencia son especialmente convenientes cuando las ecuaciones de movimiento contengan parámetros de rigidez y amortiguamiento que dependan de la frecuencia., como en el caso de interacción suelo-estructura. Un análisis en el dominio de la frecuencia contiene tres fases que se describen a continuación.

a) La primera fase consiste en la conversión de las cargas aplicadas F(t), al dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier. En este proceso se sustituyen las amplitudes de las cargas en dominio del tiempo por valores complejos en una secuencia específica de frecuencias. Estos valores complejos se pueden interpretar como la expresión de las cargas en el dominio de la frecuencia. En la expresión [44] tenemos la transformada de Fourier que transforma las cargas del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia:

∫∞

∞−

− ⋅⋅= dtetFF tiωω )()( [44]

b) En la segunda fase se calcula la respuesta de la estructura en el dominio de la

frecuencia. Esto se consigue multiplicando la función de respuesta de la estructura en el dominio de la frecuencia, por las cargas a las que esté sometida en el dominio de la frecuencia, en donde los resultados de la respuesta vienen expresados en el dominio de la frecuencia.

)()()( ωωω FHX A ⋅= [45]



Donde H(ω) es la función de transferencia de la estructura.

c) En el último paso del análisis, transformamos la función de respuesta obtenida en el paso anterior del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo mediante la transformada inversa de Fourier, ecuación [46]. Una vez obtenidos los desplazamientos en el dominio del tiempo, podemos obtener cualquier otra magnitud, como tensiones o deformaciones, mediante las ecuaciones que relacionan estas magnitudes en el dominio del tiempo.

∫∞

∞−

⋅⋅⋅= dteFtF tiωωπ

)(21)( [46]

Las expresiones [44] y [46] son conocidas como transformadas continuas de

Fourier. Para funciones discretas, como el movimiento del terreno en un terremoto, se emplean transformadas de Fourier discretas, que tienen la siguiente expresión:

∑−

=

−⋅⋅=1

0

/2)(1)(N

n

Nimnnm etF

NF πω [47]

∑−

=

⋅=1

0

/2)()(N

m

Nimnmn eFtF πω [48]

Donde, N es el número de puntos

)()( tnFtFn ∆= [ ])1(,...,1,0 −∈ Nn )()( ωω ∆= imFFm [ ])1(,...,1,0 −±±∈ Mm

N = 2M-1

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA. Es conveniente describir el sistema mediante la función de transferencia, que es

la relación entre la excitación y la respuesta dinámica del sistema. Para un sistema de un grado de libertad con una ecuación de movimiento como la expresada en [1], podemos expresar esta ecuación en el dominio de la frecuencia, aplicando la transformada de Fourier a cada término de la ecuación, con lo que nos quedaría la siguiente expresión:

( ) )()(2 ωωωω FXkcim =⋅+⋅⋅+⋅− [49] Por definición, la función de respuesta compleja para un sistema de un grado de

libertad, viene dada por:

( )kcimH

+⋅⋅+⋅−=

ωωω 2

1)( [50]

Donde se han tenido en cuenta las siguientes propiedades de la transformada de

Fourier:



∫∞

∞−

− ⋅⋅= dtetxX tiωω )()( [51]

∫∞

∞−

− ⋅⋅=⋅⋅ dtetxXi tiωωω )()( & [52]

∫∞

∞−

− ⋅⋅=⋅− dtetxX tiωωω )()(2 && [53]

Para sistemas con varios grados de libertad, tendríamos las siguientes ecuaciones

de movimiento:

)(tFxKxCxM =⋅+⋅+⋅ &&& [54] Donde M, C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del

sistema respectivamente, y F(t) es el vector de fuerzas exteriores. Para expresar estas ecuaciones en el dominio del tiempo, aplicamos la

transformada de Fourier a cada uno de los términos, resultando la expresión: ( ) )()(2 ωωωω FXKCiM =⋅+⋅⋅+⋅− [55] Esta expresión se puede escribir de una forma mas compacta:

)()()()()( 1 ωωωωω FHFIX ⋅=⋅= − [56] Donde H(ω) es la función de transferencia compleja del sistema en forma

matricial. Para obtener esta matriz es necesario invertir la matriz de impedancias del sistema. 3.3.2.4 ANÁLISIS DINÁMICO POR INTEGRACIÓN NUMÉRICA.

La forma mas general de afrontar la resolución de sistemas dinámicos es la integración numérica de las ecuaciones de movimiento. Esto conlleva, después de la definición de la solución en el instante inicial, satisfacer las ecuaciones de equilibrio dinámico en una serie discreta de puntos en el tiempo. Los métodos de integración numérica se pueden clasificar fundamentalmente como métodos implícitos y explícitos. 3.3.2.4.1 Métodos explícitos

El concepto básico común de los métodos explícitos es escribir las ecuaciones de movimiento al principio del paso, y aproximar los términos iniciales de aceleración y velocidad por expresiones en diferencias finitas, y resolver para hallar la respuesta al final del paso. De esta manera, los valores calculados en cada paso dependen solo de las cantidades obtenidas en el paso anterior, de esta forma, el método avanza directamente de un paso al siguiente. Los métodos explícitos son efectivos, pero son solo condicionalmente estables y divergen cuando el paso no es lo suficientemente pequeño. Un ejemplo de métodos explícitos el método de la diferencia central, que describimos brevemente a continuación.



MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL

Este método utiliza las siguientes expresiones para aproximar los términos de velocidades y aceleraciones en cada paso.

[ ]tttttt xxxt

x ∆+∆− +−⋅∆

= 212

&& [57]

[ ]ttttt xxt

x ∆+∆− +−⋅∆

=21

& [58]

La solución para el desplazamiento al final del paso, ttx ∆+ , se obtienen considerando las ecuaciones de movimiento para el paso “t”.

tttt fkxxcxm =+⋅+⋅ &&& [59]

En las que se sustituyen las ecuaciones [57] y [58], resultando:

tttttt xct

mt

xmt

kfxct

mt ∆−∆+ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∆−⋅

∆−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆−−=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∆+⋅

∆ 2112

211

222 [60]

3.3.2.4.2 Métodos implícitos

En los métodos implícitos las expresiones para obtener los nuevos valores en el tiempo “t+∆t”, usan las ecuaciones de equilibrio en “t+∆t”, por lo que se incluyen uno o mas valores pertenecientes a ese mismo paso. A continuación describimos varios ejemplos de métodos implícitos.

a) Método de Newmark: Es un procedimiento de integración paso a paso con las siguientes ecuaciones de integración para desplazamientos y velocidades para el paso “t+∆t”.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅∆+∆+= ∆+∆+ ttttttt xxtxtxx &&&&& ββ

212 [61]

( )[ ]tttttt xxtxx ∆+∆+ ⋅+⋅−⋅∆+= &&&&&& γγ1 [62]

Donde β y γ son factores de peso que se pueden elegir para obtener una óptima estabilidad y precisión dependiendo del caso. Por ejemplo:

• β=1/4; γ=1/2. En este caso resultaría un método de aceleración constante a lo largo del paso, igual a la media.

• β=1/6; γ=1/2. En este caso resultaría un método en el que la aceleración varía linealmente a lo largo del paso.

El método consiste en la resolución de las ecuaciones [61] y [62] simultáneamente con las ecuaciones de movimiento en el paso “t”, para obtener los valores del paso “t+∆t”.



El método de Newmark tiene las siguientes condiciones de estabilidad:

βγπ 21

21

−⋅≤

∆

nTt

[63] Donde T1 es el primer periodo natural del sistema.

b) Método Wilson θ: El método de Newmark se hace incondicionalmente estable con la introducción de un factor θ. Usando un paso definido por la expresión [64].

tt ∆⋅=∆ θ' [64]

Y unas cargas definidas por la expresión:

( )tttttt RRRR ∆−∆− −⋅+= θ' [65] Donde θ≥1. Después de hallar el vector de aceleraciones 'tx&& según el método de Newmark para el paso ∆t’, los valores de las aceleraciones, velocidades y desplazamientos se calculan según las siguientes expresiones:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅∆+⋅∆+= ∆−∆−∆− tttttttt xxtxtxx &&&&& ββ

212 [66]

( )[ ]tttttt xxtxx &&&&&& ⋅+⋅−⋅∆+= ∆−∆− γγ1 [67]

( )tttttt xxxx ∆−∆− −⋅+= &&&&&&&& '1θ

[68]

El uso del factor θ tiende a amortiguar los modos de vibración más altos del sistema. Cuando el factor θ es igual a 1, el método de Newmark no se modifica.

3.4. OTROS FACTORES A TENER EN CUENTA EN EL ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS. 3.4.1 INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA

La interacción dinámica suelo-estructura consiste en un conjunto de efectos cinemáticas e inerciales producidos en la estructura y el suelo como resultado de la deformabilidad de éste ante excitación sísmica. La interacción modifica las propiedades dinámicas relevantes que tendría la estructura supuesta con base indeformable, así como las características del movimiento del suelo en las cercanías de la cimentación. Pese a que ambos fenómenos se relacionan entre sí, para propósitos de diseño es conveniente tenerlos en cuenta por separado. En particular, las amplificaciones dinámicas del subsuelo adquieren valores extraordinariamente altos cuando los periodos predominantes de la excitación y el suelo son similares. De igual forma, la interacción puede ocasionar considerables incrementos o reducciones de la respuesta estructural, dependiendo de la relación entre los periodos fundamentales de la estructura y el sitio. Específicamente, cuando el periodo efectivo del sistema suelo-estructura se acerca al



dominante del suelo tiene lugar el fenómeno de resonancia, haciendo que la respuesta estructural sea excepcionalmente elevada.

Si se considera que la excitación sísmica en la base de la estructura es igual al movimiento de campo libre, es decir el movimiento que se tendría en el suelo en ausencia de la estructura, el efecto de interacción proviene entonces de la inercia y flexibilidad del sistema. Este efecto se conoce como interacción inercial y está controlado por el contraste de rigidez entre la estructura y el suelo. El análisis completo de interacción requiere, sin embargo, introducir un efecto adicional debido a la diferencia entre el movimiento de campo libre y la excitación efectiva de la base, el cual puede ser importante para cimentaciones enterradas. Este efecto se origina porque la rigidez de la cimentación le impide ajustarse a las deformaciones del suelo causadas por el movimiento de campo libre, generándose un fenómeno de difracción de ondas que modifica el movimiento del suelo en la proximidad del cimiento. La superposición de las ondas incidentes y reflejadas por la superficie del terreno con las ondas difractadas por el cimiento provoca un movimiento de entrada para la cimentación diferente del movimiento de campo libre. Este efecto se conoce como interacción cinemática y depende de la geometría de la cimentación, la estratigrafía del subsuelo y la naturaleza de la excitación sísmica.

RESORTES Y AMORTIGUADORES EQUIVALENTES DEL SUELO

Es usual en la práctica evaluar los efectos de interacción reemplazando al suelo por resortes y amortiguadores constantes. El estado actual del conocimiento permite, sin embargo, realizar el análisis de interacción usando el concepto de función de impedancia o rigidez dinámica del suelo. Las técnicas modernas sustituyen al suelo por resortes y amortiguadores que dependen de la frecuencia de excitación, considerando además aspectos como la profundidad de desplante de la cimentación y el perfil estratigráfico del subsuelo.

La rigidez dinámica del suelo se define como la relación en estado estacionario entre la fuerza (momento) excitadora y el desplazamiento (rotación) resultante en la dirección de la fuerza, para una cimentación rígida carente de masa y excitada armónicamente. Estas funciones son de tipo complejo y dependientes de la frecuencia de excitación. Matemáticamente expresan, la parte real, la rigidez e inercia del suelo y, la imaginaria, los amortiguamientos material y geométrico del suelo. Físicamente representan los resortes y amortiguadores equivalentes de la cimentación.



Figura 3.6: Modelo para considerar los efectos de interacción suelo-estructura.

La rigidez dinámica del suelo suele expresarse en términos de la rigidez estática

y los coeficientes de rigidez y amortiguamiento, de la forma (Gazetas, 1991):

[ ]( )smmmm icikKK ξηηη 21)()(~ 0 ++⋅= [69]

Donde,

SVR /⋅= ωη es la frecuencia adimensional y m = x ,r indica el modo de vibración de la cimentación, que puede ser de traslación o rotación. El factor ( )siξ21+ intenta aislar el efecto del amortiguamiento material del suelo.

Ts es el periodo de vibración predominante del sitio. Vs es la velocidad de propagación de las ondas de corte en el terreno. ξs es el factor de amortiguamiento modal del terreno en la dirección

de estudio.

Por otra parte, si mK representa el resorte equivalente y mC el amortiguador equivalente de la cimentación, la rigidez dinámica del suelo se definen alternativamente como

)()(~ ωωω mmm CiKK ⋅+= [70]

Igualando las partes real e imaginaria de las ecuaciones [69] y [70], se

encuentran las siguientes relaciones:

[ ]msmmm ckKK ηξη 2)(0 −⋅= [71] [ ] ωξη /20

msmmm kcKC −⋅= [72] El término mK representa un resorte lineal que expresa tanto la rigidez como la

inercia del suelo; la dependencia de la frecuencia se debe a su influencia en la inercia,



puesto que la rigidez del suelo es esencialmente independiente de la frecuencia. En tanto que el término mC representa un amortiguador viscoso que expresa los amortiguamientos material y geométrico del suelo; el primero es básicamente independiente de la frecuencia y se debe al comportamiento histerético, mientras que el segundo es dependiente de la frecuencia y se debe a la radiación de ondas.

En la tabla 1 se resumen las expresiones para calcular la rigidez dinámica del suelo para cimentaciones con zapatas. Se han despreciado las condiciones de contacto entre el suelo y las paredes de la cimentación. Para cimentaciones con pilotes se dispone de pocas soluciones fiables que permitan evaluar sencillamente las rigideces y amortiguamientos de pilotes individuales. En la tabla 2 se consignan expresiones para pilotes de fricción, las cuales son aplicables sólo a pilotes flexibles en que cp LL > , siendo pL la longitud del pilote y

25,0

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

s

pc E

EdL [73]







3.4.2 OTRAS FORMAS DE MODELAR LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA

Existen otras formas de modelar la interacción suelo estructura, como la

utilización del método de los elementos de contorno combinado con el método de los elementos finitos o modelar el suelo como un elemento sólido y hacer un análisis mediante el método de los elementos finitos.

Capítulo 4: SISTEMAS DE CONTROL ESTRUCTURAL ANTE ACCIONES SÍSMICAS



4.1 INTRODUCCIÓN

El control estructural ante acciones sísmicas se está planteando como una alternativa al diseño sismo resistente convencional, basado en la ductilidad y el hiperestatismo estructural. Los sistemas sismorresistentes avanzados tienen por objetivo el control de los desplazamientos de una estructura haciendo uso de alguno o varios de los siguientes recursos:

a) La modificación de las propiedades dinámicas del edificio, de forma que

se reduzca su “input” energético o evite el comportamiento en resonancia.

b) La disipación de energía introducida al sistema a través de dispositivos mecánicos.

c) El control de dispositivos que ejerzan fuerzas que contrarresten la acción sísmica.

Figura 4.1: Estructura con aislamiento sísmico (izquierda) comparada con estructura sin aislamiento sísmico (derecha).

Los sistemas de control de la respuesta sísmica se pueden clasificar como:

elementos de control pasivo, elementos de control semiactivo y elementos de control activo y sistemas de control híbrido.

En la tabla 4.1 se muestra una clasificación de los diferentes tipos de dispositivos para el control estructural ante acciones sísmicas.



Mecanismos Deslizantes o por rodamiento: Rodamientos de bolas, placas deslizantes,…

Aislante de la Base

Elementos Flexibles: elementos elastoméricos multicapa, pilotes flexibles,… Por histéresis: Elementos de plomo o acero. Por fricción Con fluidos: Disipación viscosa o hidráulica.

Disipación de Energía

Disipación viscoelástica Masa y rigidez Tipo péndulo

Control Pasivo

Masas Adicionales

Vibración de líquido Control del amortiguamiento Control

Semiactivo Control de la rigidez Control mediante masa adicional Control Activo Control mediante fuerza exterior HMD Control Híbrido Aislamiento de la base con control activo

Tabla 4.1: Clasificación de sistemas de control de respuesta sísmica. 4.2 SISTEMAS DE CONTROL PASIVO

Lo elementos de control pasivo tienen carácter reactivo, cuya respuesta no es controlable y depende únicamente de las condiciones de trabajo en que se encuentren. Son sistemas que intervienen alterando las propiedades dinámicas del edificio, provocando la reducción de su respuesta estructural. Entre sus ventajas se encuentra su competitividad económica y la robustez de su comportamiento. Los sistemas de control pasivo pueden clasificarse en:

a) Sistemas de aislamiento de la base. b) Sistemas disipativos. c) Sistemas inerciales acoplados.

4.2.1 CONTROL PASIVO CON AISLAMIENTO DE LA BASE

Se fundamenta en el desacoplamiento de la estructura del movimiento del suelo. Se consigue a través de dispositivos flexibles al movimiento horizontal y rígidos al desplazamiento vertical, situados entre los cimientos y la superestructura.

Los aislantes de neopreno zunchado intercalan placas delgadas de acero, dotando al edificio de flexibilidad pero su capacidad disipativa resulta baja.

En la figura 4.2 se muestra un ejemplo de aislante de la base que consiste en capas alternativas de neopreno y acero unidas con un cilindro de plomo insertado en el agujero central. Las capas de neopreno permiten que el elemento aislante se mueva fácilmente en las direcciones horizontales, actuando a la vez como elementos tipo muelle, asegurando que la estructura vuelve a su posición original después de que la carga haya cesado. La unión entre las capas de neopreno y las capas de acero, hace que



el elemento sea muy rígido en la dirección vertical, de forma que la estructura no sufra movimientos en esta dirección debido a cargas de uso cotidiano. El elemento contiene dos capas gruesas de acero en sus extremos, de forma que el aislante quede unido solidamente a la estructura arriba y a la cimentación abajo. El núcleo central de plomo impide movimientos laterales bajo cargas de viento y otras cargas de tipo no sísmico. Durante la acción sísmica, este núcleo central es empujado por las capas de acero y neopreno, absorbiendo una porción de la energía del terremoto.

Figura 4.2: Esquema de un elemento aislante sísmico.

Figura 4.3: Montaje de un elemento aislante sísmico.

Un segundo grupo de aislantes de la base corresponde a los de fricción. Limitan

la fuerza máxima que se transmite a la estructura mediante un coeficiente de fricción.



Su principal ventaja es su coste y no tener prácticamente limitación de carga vertical que se puede transmitir.

Por último, hay otro tipo de aislantes de la base basados en el movimiento pendular de la estructura sobre las superficies cóncavas de los aisladores. El periodo del péndulo depende del radio de curvatura de la superficie deslizante. La principal ventaja de este tipo de dispositivo es su capacidad de proporcionar periodos y desplazamientos largos, manteniendo su capacidad portante. 4.2.2 SISTEMAS DE CONTROL PASIVO CON DISIPADORES DE ENERGÍA

Una primera clasificación distingue entre disipadores histeréticos y viscoelásticos.

Los dispositivos histeréticos se basan en la plastificación de metales por flexión, torsión, cortante o extrusión y la fricción entre superficies. Son dispositivos que dependen básicamente del desplazamiento.

Los disipadores viscoelásticos pueden basarse en sólidos viscoelásticos, fluidos conducidos a través de orificios y fluidos viscoelásticos. Su comportamiento depende fundamentalmente de la velocidad. 4.2.2.1 Disipadores histeréticos

a) Disipadores por plastificación de metales: La plastificación de metales en disipadores puede producirse a partir de esfuerzos estructurales o bien a partir del proceso de extrusión. Cualquier esfuerzo, sea torsión, flexión, cortante o axial, puede conducir a procesos de plastificación en metales. El acero ha sido sin duda el material mas empleado en disipadores. Entre sus virtudes están las posibilidades constructivas que ofrece (fácil mecanizado y soldabilidad), su bajo coste y su elevada ductilidad.

b) Disipadores por fricción: Los sistemas de fricción disipan energía basándose en el rozamiento entre dos superficies en contacto bajo presión y en desplazamiento entre ellas. El principal inconveniente que presentan este tipo de dispositivos es que el coeficiente de fricción, durante el desplazamiento, depende de la velocidad, la presión normal y las condiciones de las superficies de contacto, por lo que resulta difícil garantizar un coeficiente de fricción independiente del tiempo y de las condiciones de los disipadores. Sin embargo se ha observado que la variación del coeficiente de fricción durante el desplazamiento no afecta significativamente a la respuesta estructural si la estructura permanece en el rango lineal elástico, mientras que esta influencia puede ser significativa si entra en el rango no lineal.

4.2.2.2 Disipadores con comportamiento viscoelástico.

Los disipadores viscoelásticos sólidos están formados por chapas metálicas unidas por capas finas de material viscoelástico y presentan unos ciclos histeréticos característicamente elípticos. Su acción disipativa se basa en el aumento de amortiguamiento estructural. Presentan algunas ventajas con respecto a los disipadores histeréticos, entre las cuales destacan que no precisan de una fuerza umbral para disipar energía y no cambian de forma significativa los modos de vibración, con lo cual resulta posible linealizar el comportamiento estructural y realizar una modelización mas



sencilla. Como inconvenientes están, primero, la poca variación del periodo fundamental no evita el comportamiento resonante, segundo, los materiales viscoelásticos son sensibles a los cambios de temperatura, frecuencia y deformación, y resulta necesario minimizar la influencia de estas variables en el rango de servicio y por último, se necesitan una gran cantidad de dispositivos para conseguir un aumento del amortiguamiento estructural a valores que reduzcan significativamente la respuesta estructural ante un sismo severo. 4.2.3 SISTEMAS DE CONTROL PASIVO MEDIANTE SISTEMAS INERCIALES ACOPLADOS

El control pasivo mediante sistemas inerciales acoplados o “Tuned Mass Damper” (TMD), consta de los siguientes elementos: Un oscilador de un grado de libertad, un mecanismo de muelle, y un mecanismo de amortiguamiento. Normalmente se instalan en la parte superior de las estructuras. La masa y la rigidez del muelle se determinan de forma que la frecuencia de oscilación sea la misma que la frecuencia fundamental de la estructura.

Este sistema se ha demostrado efectivo para reducir la vibración del viento y también para resistir las fuerzas sísmicas. La mayor desventaja de este dispositivo es que requiere una gran masa y espacio para su instalación. Otra desventaja es que su efectividad se reduce a una banda estrecha de frecuencias cercanas al periodo fundamental del edificio. 4.3 SISTEMAS DE CONTROL ACTIVO

Un sistema de control estructural activo consta de los siguientes elementos:

1. Sensores situados en la estructura para medir las variables correspondientes a la excitación externa o variables de la respuesta estructural.

2. Sistemas controladores basándose en las medidas de los sensores y a través de un algoritmo de control, calculan la fuerza a aplicar por los actuadotes para contrarrestar los esfuerzos sísmicos, habitualmente alimentados por fuentes de energía externas.

Un Ejemplo de control activo es el amortiguador de masa activo. Una masa

auxiliar móvil, usualmente inferior al 1% de la masa total de la estructura, con un actuador conectado a ella, y aplicando el algoritmo adecuado, debe contrarrestar los efectos de la acción sísmica.

En comparación con los sistemas pasivos, los sistemas activos presentan las siguientes ventajas e inconvenientes:

Ventajas:

• Mayor efectividad en el control de la respuesta. • Efectividad menos sensible a las condiciones locales del suelo y a las

características del terremoto. • Aplicación ante solicitaciones diversas, también se pueden usar para el

control ante vientos fuertes y otras cargas dinámicas. • Permite seleccionar objetivos de control, lo cual permite enfatizar por

ejemplo el confort humano.



Inconvenientes:

• Elevado coste de mantenimiento. • Dependencia respecto a fuentes de alimentación externa. • La respuesta dinámica de una estructura con muchos grados de libertad y

un posible comportamiento no lineal resulta imprevisible y su control plantea un problema dinámico complejo.

4.4 SISTEMAS DE CONTROL HÍBRIDO

Los sistemas híbridos son la combinación de sistemas activos y pasivos, debido a que el control se consigue a partir de la actuación de un dispositivo pasivo, los sistemas híbridos suponen mejoras respecto a los activos:

• En caso de fallo del componente activo, y aunque de forma menos

efectiva, el sistema pasivo sigue ejerciendo funciones de control. • Los requerimientos energéticos son inferiores.

Dos de los mecanismos de control híbrido que han despertado mayor interés son el HMD (Hibrid Mass Damper) y el aislamiento de la base con control activo del desplazamiento.

El HMD dispone de una masa oscilante pasiva que por si misma reduce la respuesta del edificio (TMD), y un actuador activo, el cual mejora la eficiencia del sistema frente a cambios dinámicos de la estructura.

En el sistema de aislamiento de la base con control activo de los desplazamientos, su componente pasivo desacopla parcialmente la estructura del terreno, a costa de un desplazamiento entre subestructura y superestructura. El objetivo del sistema activo es el de controlar este movimiento mediante un actuador. 4.5 SISTEMAS DE CONTROL SEMIACTIVO

Los sistemas semiactivos se diferencian de los sistemas de control activo en que el control estructural se consigue a partir de dispositivos de carácter reactivo, cuyas características mecánicas (rigidez y amortiguamiento) son controlables, lo cual permite modificar las propiedades dinámicas de la estructura con costes energéticos muy reducidos.

Algunas de las técnicas de control empleadas en los sistemas semiactivos son:

• Fricción variable • Movimiento de masa de líquido en el interior de tanques (Tuned Liquid

Column Dampers). • Incorporación de dispositivos hidráulicos o oleodinámicos de rigidez o

amortiguamiento variable. • Amortiguadores con fluidos de viscosidad controlable a partir de campos

eléctricos o magnéticos.



PARTE 2: ESTUDIO DE LA RESPUESTA DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DE PUENTES SOMETIDOS A CARGAS SÍSMICAS

Capítulo 5: DECRIPCIÓN DE LOS MODELOS DE PUENTES OBJETO DE ESTUDIO


Capítulo 5: DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS DE PUENTES OBJETO DE ESTUDIO

5.1 INTRODUCCIÓN

En el presente proyecto vamos a estudiar la respuesta dinámica de un puente ante diferentes solicitaciones de tipo sísmico. El estudio se centra en analizar la respuesta de un puente dependiendo del tipo de cimentación empleada (cimentación por zapata o por pilotes) y la modelización de la interacción entre suelo y estructura.

En la modelización de la interacción suelo-estructura hemos considerado dos casos:

• Modelización de la conexión entre el suelo y la cimentación mediante elementos muelle y amortiguador, haciendo un estudio pseudoestático en el cual los valores de las rigideces y las constantes de amortiguamiento son independientes de la frecuencia a la que vibra la estructura.

• En un segundo caso vamos a estudiar la respuesta de la estructura de nuestro puente modelando la conexión entre el terreno y la estructura mediante elementos muelle y amortiguador cuyo valor es dependiente de la frecuencia a la cual vibra la estructura.

También vamos a analizar la dependencia que tiene en la respuesta el tipo de

unión entre los estribos y las barras que soportan la placa. Hemos tenido en cuenta dos tipos de unión. En primer lugar hemos modelado dichas uniones como uniones articuladas y en segundo lugar hemos modelado la unión introduciendo una capa de neopreno entre ambos de 5 cm.

Para la realización de estos estudios hemos utilizado una serie de herramientas informáticas. Los cálculos de la respuesta de la estructura se han realizado con el programa ABAQUS. 5.2 TIPOLOGÍAS Y MODELOS DE PUENTES ESTUDIADOS

En este apartado vamos a hacer una descripción de las dimensiones y características mecánicas del puente de estudio así como las diferentes tipologías de cimentación, modelos de conexión entre los diferentes elementos de la estructura y modelos de interacción entre suelo y estructura. Las características que vamos a detallar son:

• Dimensiones físicas de los diferentes elementos • Materiales empleados y sus propiedades mecánicas • Tipos de conexión entre los diferentes elementos de la estructura, detallando

si dichas conexiones se modelan como uniones rígidas, articuladas o con elementos de una cierta rigidez.

• Características mecánicas en la modelización de la interacción suelo estructura.

• Solicitaciones a las que está sometida la estructura (este punto lo trataremos mas adelante).

En la figura 5.1 se muestran diferentes vistas de los puentes objeto de estudio.



Figura 5.1: Esquema del puente con cimentación por zapatas (figuras superior y central) y con

cimentación por pilotes (figura inferior).

Figura 5.2: Detalle de las vigas que soportan el tablero.

5.2.1 MATERIALES EMPLEADOS HORMIGÓN HA-35



• Densidad (ρ): 2551 kg/m3 • Módulo de elasticidad (E): 35 GPa • Resistencia característica (fck): 35 MPa • Coeficiente de Poisson (ν): 0,3

NEOPRENO DE DUREZA SHORE 60

• Módulos de elasticidad: Sin coacción transversal (E0) 4,4 MPa Coacción transversal completa (E∞) 1150 MPa Con nivel medio de tensiones (E) 600 MPa

• Módulo de cortante (G): 1,0 MPa • Deformación máxima a cortante: 60%

ACERO (EMPLEADO EN EL ARMADO DE LOS ELEMENTOS DE HORMIGÓN) B 400 S

• Densidad (ρ): 7821 kg/m3 • Módulo de elasticidad (E): 210 GPa • Módulo de cortante (G): 80,77 GPa • Coeficiente de Poisson (ν): 0,3

TERRENO

• Densidad (ρ): 1900 kg/m3 • Módulo de elasticidad (E): 104 MPa • Módulo de cortante (G): 35,6 MPa • Coeficiente de Poisson (ν): 0,46 • Velocidad de las ondas P (Vp): 571 m/s • Velocidad de las ondas S (Vs): 137 m/s

5.2.2 DIMENSIONES DE LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES

El puente de estudio es un puente de carretera que consta de dos carriles y dos arcenes con una anchura total de 10,20 m. y una longitud de 50 m. El puente está dividido en dos vanos, cada uno de 25 m. y consta de los siguientes elementos:

1. Tablero: Es el elemento sobre que el que circularían los vehículos. Construido con hormigón armado, con un hormigón HA-35 y acero B 400 S.

• Longitud 50 m. • Anchura: 10,20 m. • Espesor: 0,30 m.

2. Vigas: El tablero está soportado por 6 vigas de hormigón armado, con un

hormigón HA-35 y acero B 400 S.

• Longitud: 50 m. • Sección:



3. Estribos y pila: Las 6 vigas descritas anteriormente se apoyan, en sus extremos, en dos estribos y en su centro, en una pila. Los tres elementos tienen las mismas características, están fabricados con hormigón armado, con un hormigón HA-35 y acero B 400 S y las siguientes dimensiones.

• Espesor: 1 m. • Sección:

4. Neopreno: Entre las vigas y la pila se coloca una capa de neopreno con las características mecánicas descritas en el apartado anterior y con las siguientes dimensiones.

• Longitud 10 m. • Anchura: 1 m. • Espesor: 5 cm.



5. Zapatas: Tanto los dos estribos como la pila van apoyadas sobre unas zapatas de

base rectangular que se encuentran enterradas a una profundidad de tres metros.

• Longitud 12 m. • Anchura: 8 m. • Altura: 2 m.

6. Pilotes: En el modelo con pilotes estos van unidos a un encepado con las mismas

dimensiones que las zapatas del punto 5. En cada encepado hay 15 pilotes, distribuidos en tres filas de cinco pilotes cada una, cuyos ejes están distanciados 2 m. Están fabricados con hormigón armado, con un hormigón HA-35 y acero B 400 S.

• Longitud 15 m. • Diámetro: 85 cm.

7. Terreno: El terreno sobre el que se apoya la estructura tiene las características

mecánicas indicadas en el apartado anterior y tiene un espesor de 23 m., 20 m. desde la base de las zapatas. Esta capa se apoya sobre roca que se considera infinitamente rígida.

5.2.3 DESCRIPCIÓN DE LA CONEXIÓN ENTRE LOS DIFERENTES ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y DE LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA 5.2.3.1 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR ZAPATAS UNIÓN TABLERO-VIGAS

Consideramos que el tablero y las vigas trabajan conjuntamente, por lo que en la realización de los cálculos hemos considerado que la parte superior de las vigas se mueven solidariamente con la parte inferior del tablero. UNIÓN VIGAS-PILA

La unión entre las vigas que soportan el tablero y la pila se realiza utilizando una capa de neopreno intermedia de 5 cm. de espesor, la cual es muy poco rígida a esfuerzos transversales, por lo que permite desplazamientos horizontales relativos entre las vigas y la pila.

La unión entre vigas y pila mediante una capa de neopreno la modelamos con elementos tipo muelle en cada una de las seis uniones, con una rigidez en la dirección vertical (ky), una rigidez en la dirección horizontal x (kx), y una rigidez en la dirección horizontal z (kz), que hemos calculado teniendo en cuenta las propiedades mecánicas del neopreno en las diferentes direcciones del espacio.

102EL

AEk y =⋅

= N/m



733,3 EL

AGkk zx =⋅

== N/m

Donde:

E es el módulo de elasticidad; E = 600 MPa A es el área de neopreno que trabaja en cada viga; A = 1m ·

·1,6667m=1,6667m2 L es el espesor de la capa de neopreno; L = 5 cm G es el módulo de cortante; G = 1,0 MPa

UNIÓN VIGAS-ESTRIBOS

Hemos considerado dos posibilidades para modelar estas uniones.

a) En primer lugar, hemos modelado las uniones como nudos articulados, en los cuales los tres desplazamientos relativos estarían impedidos, así como el giro alrededor del eje global z. Los giros alrededor de los ejes globales x e y están liberados.

b) En segundo lugar, hemos modelado las uniones utilizando una capa intermedia de neopreno con las mismas características que la utilizada en la unión entre las vigas y la pila, con lo que las uniones tendrían las mismas características y las mismas rigideces.

Vamos a hacer un estudio de la respuesta de la estructura, sacando conclusiones acerca de la conveniencia de la utilización de un tipo u otro de uniones cuando la estructura se encuentra sometida a cargas sísmicas. UNIÓN ESTRIBOS-ZAPATA

Vamos a considerar que la construcción de la zapata y los estribos se realiza hormigonando ambos como un elemento monolítico, consiguiendo una unión rígida entre ambos. UNIÓN PILA-ZAPATA

Vamos a considerar que la construcción de la zapata y la pila se realiza hormigonando ambos como un elemento monolítico, consiguiendo una unión rígida entre ambos. INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA

Hemos considerado dos posibilidades para modelar la interacción entre suelo y estructura:

a) Interacción dinámica: Modelamos la interacción entre el suelo y la estructura mediante elementos tipo muelle y amortiguador. Estos elementos tienen unas características de rigidez y amortiguamiento en las tres direcciones del espacio x, y, z, cuyo valor depende de la frecuencia a la cual vibra el elemento. Los valores de rigideces y amortiguamiento se han hallado utilizando las fórmulas detalladas en el apartado “Interacción Suelo-Estructura”.



La conexión de cada zapata con el terreno se ha discretizado en 24 puntos, cada uno de ellos, se conecta al terreno con elementos tipo muelle y amortiguador. Los valores empleados, para cada uno de los puntos de conexión, calculados para nuestra cimentación y tipo de terreno, vienen expuestos en la tabla 5.1.

w(ciclos/s) Ky(N/m) Kz(N/m) Kx(N/m) cy(Ns/m) cz(Ns/m) cx(Ns/m) 0 84848551,8 157973573 164020114 0 0 0

0,1 84844744,7 157973573 164020114 0,40726048 0,32745944 0,367359960,5 84753568 157973573 164020114 2,03630239 1,63729719 1,83679979

1 84470994,3 157973573 164020114 4,07260478 3,27459439 3,673599585 76984344,6 157973573 164020114 20,3630239 16,3729719 18,3679979

10 64171693,8 157973573 164020114 40,7260478 32,7459439 36,735995820 49962144,8 157973573 164020114 81,4520957 65,4918877 73,4719917

Tabla 5.1: Rigideces dinámicas del terreno.

b) Interacción estática: Vamos a realizar un cálculo pseudoestático, que consiste en hacer un cálculo dinámico de la estructura utilizando un modelización estática de la interacción entre suelo y estructura. Cuando la estructura se encuentra sometida a cargas estáticas, la interacción entre el suelo y la estructura se puede hacer mediante elementos tipo muelle, con una rigidez equivalente a la que realizaría el terreno. Si utilizamos un modelo estático de interacción entre suelo y estructura para realizar un cálculo dinámico, se comete un error. En el presente proyecto vamos a estudiar las diferencias que se producen en la respuesta al utilizar un modelo estático y otro dinámico de interacción con el terreno. Al igual que en el caso dinámico, la conexión de cada zapata con el terreno se ha discretizado en 24 puntos, cada uno de ellos se conecta al terreno con elementos tipo muelle. Los valores empleados para las rigideces, para cada uno de los puntos de conexión, serían los correspondientes a los valores de las rigideces del caso dinámico para una frecuencia de vibración nula, los cuales vienen expuestos en la tabla 5.1.

Figura 5.3: Esquema de la modelización del puente con cimentación por zapatas.



Figura 5.4: Detalle de la modelización de las vigas de soporte del tablero mediante elementos

unidimensionales (beam).

Figura 5.5: Perspectiva del puente y su cimentación mediante zapatas rectangulares.

5.2.3.2 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR PILOTES

La estructura del puente con cimentación por pilotes es básicamente la misma que realizando la cimentación mediante zapatas. La principal diferencia es que hemos añadido a la anterior 15 pilotes en la base de cada zapata. Vamos a estudiar como varía la respuesta de la estructura ante las diferentes cargas cuando le añadimos pilotes a la cimentación existente.

La cimentación por pilotes consta de tres encepados, con las mismas dimensiones y características que tenían las zapatas del modelo anterior, a cada uno de los cuales se unen 15 pilotes de 15 m. de longitud.

Las uniones entre tablero y vigas, vigas y pila, vigas y estribos se modelan igual a como se modelaron en el puente con cimentación por zapatas. A continuación vamos a describir las características especiales del modelo del puente con cimentación por pilotes. UNIÓN ESTRIBOS-ENCEPADO

Vamos a considerar que la construcción del zapata y los estribos se realiza hormigonando ambos como un elemento monolítico, consiguiendo una unión rígida entre ambos.



UNIÓN PILA-ENCEPADO

Vamos a considerar que la construcción del encepado y la pila se realiza hormigonando ambos como un elemento monolítico, consiguiendo una unión rígida entre ambos. UNIÓN ENCEPADO-PILOTES

Vamos a considerar que la construcción del encepado y cada uno de los pilotes se realiza hormigonándolos como elementos monolíticos, consiguiendo una unión rígida entre ellos. INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA

Para la cimentación mediante pilotes vamos a realizar un estudio pseudoestático de la respuesta de la estructura ante cargas sísmicas, a falta de datos fiables de los valores de rigideces y amortiguamientos dinámicos para grupos de pilotes trabajando conjuntamente.

En la interacción entre los pilotes y el terreno hemos tenido en cuenta tres efectos:

a) Resistencia que ofrece el terreno al movimiento horizontal del pilote: Un valor típico de esta resistencia es 4,9E7 N/m3. Dado que cada pilote tiene un diámetro de 0,85 m. y una longitud de 15 m., podemos modelar la resistencia al movimiento horizontal que ofrece el terreno conectando diferentes puntos del pilote con el terreno mediante elementos tipo muelle con unas rigideces kx y kz, en las dos direcciones horizontales del espacio. Hemos utilizado 5 puntos de conexión entre cada pilote y el terreno. Cada conexión tiene los siguientes valores de rigidez:

82495,1/385,079,4 EmNEkk zx =⋅⋅== N/m

b) Resistencia vertical que ejerce el terreno sobre la superficie lateral de los pilotes: Hemos modelado la resistencia al movimiento vertical que ofrece el terreno conectando diferentes puntos del pilote con el terreno mediante elementos tipo muelle con unas rigideces ky, en la dirección vertical. En este caso, utilizamos 4 puntos intermedios de conexión entre cada pilote y el terreno. Un valor típico de esta resistencia es 4,9E7 N/m3. Cada conexión tiene los siguientes valores de rigidez:

89068,4/4

1585,079,4 EmNEk y =⋅⋅⋅= π N/m

c) Resistencia vertical que ejerce el terreno sobre la punta de los pilotes:

Un valor típico de esta resistencia es 19,6E7 N/m3. Podemos modelar la resistencia al movimiento vertical que ofrece el terreno conectando la punta del pilote con el terreno mediante un elemento tipo muelle con una rigidez ky. Dado que cada pilote tiene un diámetro de 0,85 m., cada conexión tiene los siguientes valores de rigidez:



81122,1/485,079,16

2

EmNEk y =⋅⋅= π N/m

Figura 5.6: Esquema de la modelización del puente con cimentación por pilotes.

5.3 MÉTODOS MATEMÁTICOS EMPLEADOS EN EL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS

Para los análisis realizados a las diferentes estructuras objeto de estudio se ha utilizado el programa ABAQUS, el cual utiliza el método de los elementos finitos. A continuación vamos a describir los tipos de elementos que hemos elegido en la realización de dichos análisis.

El tablero, los estribos, la pila, las zapatas (en el caso de cimentación por zapatas) y los encepados (en el caso de cimentación por pilotes) se han modelado con elementos placa de cuatro nodos, lineales.

Las barras soporte del tablero y los pilotes se han modelado con elementos tipo barra en tres dimensiones de dos nodos, lineales, considerando deformación por cortante. Estos elementos barra tienen una longitud máxima de 2,5 m.

En la figura 5.7 se muestra un esquema del mallado que se ha utilizado en los

análisis.



Figura 5.7: Esquema del mallado.

Capítulo 6: RESULTADOS NUMÉRICOS DE LOS ESTUDIOS REALIZADOS


Capítulo 6: RESULTADOS NÚMERICOS DE LOS ESTUDIOS REALIZADOS 6.1 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR ZAPATAS

El modelo de puente que vamos a estudiar en este apartado está descrito con todo detalle en el capítulo anterior. En dicho capítulo se pueden observar esquemas, tanto del puente con todos sus elementos como de la modelización realizada para los análisis con el programa ABAQUS. 6.1.1 FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN

A continuación se muestran los valores de las 20 primeras frecuencias naturales de vibración.

Nº Modo Autovalor Frecuencia(rad/s) Frecuencia(Hz) 1 204,31 14,294 2,2749 2 471,26 21,709 3,455 3 856,56 29,267 4,658 4 889,11 29,818 4,7457 5 1078,8 32,845 5,2275 6 1123,2 33,514 5,3339 7 1549,8 39,368 6,2656 8 2489,4 49,894 7,9409 9 2738,6 52,332 8,3289

10 3284,3 57,309 9,121 11 3426,7 58,538 9,3166 12 3681,1 60,672 9,6562 13 4416,3 66,455 10,577 14 4921,9 70,156 11,166 15 5071,1 71,211 11,334 16 6307,9 79,422 12,64 17 6381,6 79,885 12,714 18 6477,3 80,481 12,809 19 6564,8 81,024 12,895 20 6609,7 81,3 12,939

Tabla 6.1: Frecuencias naturales de vibración del puente con cimentación mediante zapatas. MODOS DE VIBRACIÓN

Figura 6.1: Primer modo de vibración.



Figura 6.2: Segundo modo de vibración.

En el segundo modo de vibración, el tablero sufre un desplazamiento horizontal

en la dirección tres en su centro, hay un desplazamiento relativo con respecto a los desplazamientos de la pila, debido a que la conexión entre ambos se realiza mediante un apoyo de neopreno, que permite el desplazamiento horizontal.

Figura 6.3: Tercer modo de vibración.



Figura 6.4: Cuarto modo de vibración.

Figura 6.5: Quinto modo de vibración.

Figura 6.6: Sexto modo de vibración.



Figura 6.7: Séptimo modo de vibración.

Figura 6.8: Octavo modo de vibración.

Figura 6.9: Noveno modo de vibración.



Figura 6.10: Décimo modo de vibración.

6.1.2 RESPUESTA A LAS CARGAS DE PESO PROPIO DEFORMADA

Figura 6.11: Desplazamientos bajo carga de peso propio.





La flecha máxima se produce en el centro de los vanos y tiene un valor de 1,407

cm., lo cual constituya una flecha que está dentro de los límites de seguridad, ya que supone un desplazamiento del 0,0564% en comparación con la longitud del vano. TENSIONES



Figura 6.14: Tensiones de Von Mises bajo carga de peso propio.

Las tensiones de Von Mises Máximas se producen en el centro del tablero,

alcanzando un valor de 3,410 MPa., con lo cual no se alcanzaría la tensión de fallo en el tablero. 6.1.3 RESPUESTA ANTE SOLICITACIONES SÍSMICAS PRESCRITAS EUROCÓDIGO 8.

En esta apartado vamos a estudiar la respuesta del puente cuando está sometido a cargas sísmicas según las prescripciones del Eurocódigo 8. En dicha normativa la acción sísmica en un punto dado de la superficie se representa generalmente por un espectro de respuesta elástica de la aceleración del suelo.

Dicho espectro de frecuencia, tal y como viene explicado con detalle en el apartado “Caracterización de la acción sísmica”, depende de los siguientes factores:

• Tipo de suelo sobre el que se apoya la estructura: En el Eurocódigo 8 se distinguen entre tres tipos de suelos, A, B y C, dependiendo de sus características físicas. En nuestro caso tenemos un suelo Tipo C, ya que la velocidad de propagación de las ondas de corte (Vs) es inferior a 200 m/s en los 20 primeros metros de profundidad del terreno.

• Zona de peligrosidad sísmica: Cada país esta dividido en zonas de peligrosidad sísmica, con lo que se asigna a cada emplazamiento un valor de la aceleración de cálculo. En nuestro caso, y para estar del lado de la seguridad hemos supuesto que nuestro puente va a estar emplazado en la ciudad de Granada, que es la ciudad de España con mayor valor de la aceleración de cálculo, igual a 0,23.

• Periodo de retorno: En nuestro caso hemos utilizado en los cálculos un periodo de retorno de 475 años, que es el periodo de retorno de referencia que se establece en el Eurocódigo 8.

• Ductilidad de la estructura: La capacidad de los sistemas estructurales para resistir acciones sísmicas en el rango no lineal permite generalmente proyectarlas para fuerzas menores que las que corresponden a una respuesta elástica lineal. En nuestro caso vamos a hacer un análisis puramente lineal de la respuesta de la estructura, con lo cual estaremos del lado de la seguridad, calculando nuestra estructura con el espectro de respuesta en frecuencia con comportamiento lineal.



• Movimientos sísmicos en dirección vertical: Se utiliza un espectro de respuesta reducido, tal y como viene explicado con detalle en el apartado “Caracterización de la acción sísmica”.

Los espectros de respuesta en frecuencia utilizados en los cálculos son los

siguientes:

1. Movimientos sísmicos en las dos direcciones horizontales: En la tabla 6.2 se muestran los diferentes valores de la aceleración del terreno para cada frecuencia de vibración. Para frecuencias de vibración intermedias, se calcula la aceleración del terreno mediante interpolación lineal.

Frecuencia(Hz) Aceleración(m/s^2)

0 0 0,00001 1,21716E-09

0,001 1,21716E-05 0,1 0,121716

0,33333333 1,3524 0,5 2,0286

0,666666666 2,7048 1 4,0572

1,25 5,0715 1,666666666 5,0715

2,5 5,0715 5 5,0715

6,666666666 4,310775 10 3,55005

100 2,180745 1000 2,0438145 10000 2,03012145

1000000 2,028615215 Tabla 6.2: Espectro de respuesta en frecuencia para los movimientos en las direcciones horizontales

del espacio.

ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LAS DIRECCCIONES "X" Y "Z"

0123456

Frecuencia(Hz)

Ace

lera

ción

(m/s

^2)

Figura 6.15: Espectro de respuesta en frecuencia para los movimientos en las direcciones

horizontales del espacio.



2. Movimientos sísmicos en la dirección vertical: En la tabla 6.3 se muestran los diferentes valores de la aceleración del terreno para cada frecuencia de vibración. Para frecuencias de vibración intermedias, se calcula la aceleración del terreno mediante interpolación lineal.

Frecuencia(Hz) Aceleración(m/s^2)

0 0 0,00001 6,0858E-10

0,001 6,0858E-06 0,1 0,060858

0,33333333 0,676199999 0,5 1,0143

0,666666666 1,352399999 1 2,0286

1,25 2,53575 1,666666666 2,53575

2 2,53575 2,5 2,587370626 5 2,845473755

6,666666666 3,0175425 10 2,485035

100 1,5265215 1000 1,43067015 10000 1,421085015

1000000 1,42003065 Tabla 6.3: Espectro de respuesta en frecuencia para el movimiento en la dirección vertical.

ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LA DIRECCCIÓN VERTICAL"Y"

00.5

11.5

22.5

33.5

0

1.00

E-0

5

1.00

E-0

3

0.1

0.33

3333 0.

5

0.66

6667 1

1.25

1.66

6667 2

2.5 5

6.66

6667 10 10

0

1000

1000

0

1.00

E+0

6

Frecuencia(Hz)

Ace

lera

ción

(m/s

^2)

Figura 6.16: Espectro de respuesta en frecuencia para el movimiento en la dirección vertical.

A. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE UNA ACCIÓN SÍSMICA REPRESENTADA

POR UN ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LA DIRECCIÓN “X”

A continuación vamos a mostrar la respuesta del puente sometido a un terremoto

en la dirección “x”, con un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.15.



DESPLAZAMIENTOS

• Desplazamientos en la dirección “x”: En la figura 6.17 están representados los valores máximos, o valores pico, de los desplazamientos en la dirección “x”. El máximo desplazamiento se produce en el tablero y tiene un valor de 2,821 cm.

Figura 6.17: Desplazamientos máximos de la estructura en la dirección “x” bajo una solicitación

sísmica en la dirección “x” según el EC8.

• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.18 están representados los valores máximos, o valores pico, de los desplazamientos en la dirección “y”. El máximo desplazamiento se produce en los centros de los vanos, siendo el valor de la flecha máxima 0,5588 cm.

Figura 6.18: Desplazamientos máximos de la estructura en la dirección “y” bajo una solicitación

sísmica en la dirección “x” según en el EC8.

• Desplazamientos en la dirección “z”: Los desplazamientos máximos que se producen en la dirección “z” en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en las otras dos direcciones. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,0163 cm.



Figura 6.19: Desplazamientos máximos de la estructura en la dirección “z” bajo una solicitación

sísmica en la dirección “x” según en el EC8. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.20 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometido a ese tipo de acción sísmica, son los puntos de la base de los estribos, alcanzando una tensión máxima de 9,668 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.

Figura 6.20: Tensiones de Von Mises máximas de la estructura bajo una solicitación sísmica en la

dirección “x” según en el EC8. B. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE UNA ACCIÓN SÍSMICA REPRESENTADA

POR UN ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LA DIRECCIÓN “Z”


en la dirección “z”, con un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.15.



DESPLAZAMIENTOS

• Desplazamientos en la dirección “z”: En la figura 6.21 están representados los valores máximos de los desplazamientos en la dirección “z”. El máximo desplazamiento se produce en el centro del tablero y tiene un valor de 1,289 cm.


sísmica en la dirección “z” según el EC8.

• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.22 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “y”. Los máximos desplazamientos se producen en las esquinas de los tableros, siendo el valor de la flecha máxima 0,4488 cm.


sísmica en la dirección “z” según en el EC8.

• Desplazamientos en la dirección “x”: Los desplazamientos máximos en la dirección “x” que se producen en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en las otras dos direcciones. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,0834 cm.




sísmica en la dirección “z” según en el EC8. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.24 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometido a ese tipo de acción sísmica, son los puntos de esquina en la base de los estribos, alcanzando una tensión máxima de 2,166 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.


dirección “z” según en el EC8. C. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE UNA ACCIÓN SÍSMICA REPRESENTADA

POR UN ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LA DIRECCIÓN “Y”


en la dirección “y”, con un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.16. DESPLAZAMIENTOS

• Desplazamientos en la dirección “x”: Los desplazamientos máximos en la dirección “x” que se producen en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en la dirección “y”. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,0546 cm.




sísmica en la dirección “y” según en el EC8.




• Desplazamientos en la dirección “z”: Los desplazamientos máximos en la dirección “z” que se producen en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en la dirección “y”. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,0211 cm.




sísmica en la dirección “y” según en el EC8. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.28 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometido a ese tipo de acción sísmica, son los puntos del centro del tablero, alcanzando una tensión máxima de 1,502 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.


dirección “y” según en el EC8. 6.1.4 RESPUESTA DEL PUENTE SOMETIDO AL TERREMOTO DE “EL CENTRO” DE 1940

En este apartado vamos a estudiar la respuesta de la estructura ante un terremoto real, el terremoto de “El Centro”, de magnitud 7,2 Mw, ocurrido en mayo de 1940 en California, EE.UU. Disponemos del registro de aceleraciones en el tiempo, o acelerograma, de dicho terremoto, en dirección norte-sur.

Las aceleraciones que se registraron en dicho movimiento sísmico vienen representadas en la figura 6.29.



ACELEROGRAMA DEL TERREMOTO DE "EL CENTRO", 1940.

-0,4-0,3-0,2-0,1

00,10,20,30,4

0

0,47

0,94

1,44

2,22

2,89

3,67

4,47 5,

3

5,87

6,23

6,56

6,85

7,37

7,75 8,

2

8,82

9,29 10

Tiempo(s)

Ace

lera

ción

(g)

Figura 6.29: Acelerograma registrado en el terremoto de “El Centro” en 1940, en la dirección

norte-sur.

El espectro de respuesta en frecuencia equivalente aproximado de este acelerograma viene representado en la figura 6.30, el cual nos va a servir para realizar análisis espectrales y comparar resultados, con los datos obtenidos de la respuesta en el tiempo.

ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA DEL TERREMOTO DE "EL CENTRO"

02468

10

0,00

1,99

5,97

19,8

9

Frecuencia(Hz)

Ace

lera

ción

(m/s

2)

Figura 6.30: Espectro de respuesta en frecuencia aproximado equivalente al acelerograma del

terremoto de “El Centro” en 1940, en la dirección norte-sur.

Como se puede observar, este espectro de respuesta es de una magnitud mucho mayor al que prescribe el Eurocódigo 8 para la ciudad de Granada, lo cual es lógico ya que este tuvo lugar en una zona de muy alto riesgo sísmico.

Hemos realizado el estudio de la respuesta de nuestro puente cuando lo sometemos a las siguientes acciones sísmicas:

• Estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre una aceleración en la dirección “x” aplicando el acelerograma del terremoto real de “El Centro”.

• Estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre una aceleración en la dirección “y” aplicando el acelerograma del terremoto real de “El Centro” multiplicado por un factor de 0,7. Realizamos esta minoración de la acción



sísmica en la dirección vertical, tal y como está prescrito en la normativa, ya que los valores de las aceleraciones en la dirección vertical son menores que los valores de la aceleración que se producen en el plano horizontal.

• Estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre una aceleración en la dirección “z” aplicando el acelerograma del terremoto real de “El Centro”.

• Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral de la estructura, aplicando el espectro de frecuencias equivalente al acelerograma del terremoto de “El Centro” en la dirección “x”, cuyos resultados vamos a comparar con los obtenidos cuando estudiamos la respuesta en el tiempo.

• Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral de la estructura, aplicando el espectro de frecuencias equivalente al acelerograma del terremoto de “El Centro” multiplicado por un factor de 0,7 en la dirección “y”, cuyos resultados vamos a comparar con los obtenidos cuando estudiamos la respuesta en el tiempo.

• Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral de la estructura, aplicando el espectro de frecuencias equivalente al acelerograma del terremoto de “El Centro” en la dirección “z”, cuyos resultados vamos a comparar con los obtenidos cuando estudiamos la respuesta en el tiempo.

Hemos obtenido resultados para una serie de puntos, los puntos que

proporcionan una información mas completa del comportamiento de la estructura. La situación de estos puntos, de los cuales vamos a sacar resultados, se muestra en la figura 6.31.

Los puntos de interés son, pertenecientes a las barras que soportan el tablero, van unidos rígidamente al tablero, por lo que sus movimientos son prácticamente idénticos.

• RP-1: Situado en una esquina del tablero. • RP-3: Situado en un extremo del tablero, sobre el centro del estribo. • RP-37: Situado en el plano medio del vano, en un extremo. • RP-39: Situado en el centro del vano. • RP-12: Situado en el plano medio del tablero, sobre un extremo de la pila. • RP-14: Situado en el centro del tablero.



Figura 6.31: Situación de los puntos más significativos.

A. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE EL TERREMOTO DE “EL CENTRO” EN

LA DIRECCIÓN “X”

A continuación vamos a mostrar la respuesta del puente sometido al terremoto del “El Centro” en la dirección “x”. Hemos realizado dos análisis, en el primero hemos realizado un estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre unas aceleraciones como las mostradas en el acelerograma de la figura 6.29, y en el segundo, realizamos un análisis de respuesta en frecuencia aplicando el espectro de la figura 6.30. DESPLAZAMIENTOS

• Desplazamientos en la dirección “x”: En la figura 6.32 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “x”. Su máximo valor es de 4,945 cm.

Figura 6.32: Desplazamientos máximos de la estructura en la dirección “x” sometido al terremoto

de “El Centro” en la dirección “x”.

En la figura 6.33 se representa el desplazamiento horizontal de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo. Esta variación es representativa de todo el tablero.



Figura 6.33: Desplazamientos del punto RP21 en la dirección “x” sometido al terremoto de “El

Centro” en la dirección “x”.

• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.34 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “y”. Su máximo valor es de 0,9795cm., que se produce en el centro del vano.



Figura 6.34: Desplazamientos máximos de la estructura en la dirección “y” sometido al terremoto


En la figura 6.35 se representa el desplazamiento vertical de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo.



Figura 6.35: Desplazamientos de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 en la dirección “y”

sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “x”.

• Desplazamientos en la dirección “z”: Los desplazamientos máximos en la dirección “z” no son significativos en comparación con los desplazamientos en las otras dos direcciones. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,0286 cm.



Figura 6.36: Desplazamientos de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 en la dirección “z”

sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “x”. TENSIONES




Figura 6.37: Tensiones de Von Mises máximas de la estructura sometido al terremoto de “El

Centro” en la dirección “x”. B. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE EL TERREMOTO DE “EL CENTRO” EN

LA DIRECCIÓN “Z”

A continuación vamos a mostrar la respuesta del puente sometido al terremoto del “El Centro” en la dirección “z”. Hemos realizado dos análisis, en el primero hemos realizado un estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre unas aceleraciones como las mostradas en el acelerograma de la figura 6.29, y en el segundo, realizamos un análisis de respuesta en frecuencia aplicando el espectro de la figura 6.30. DESPLAZAMIENTOS



de “El Centro” en la dirección “z”.

En la figura 6.39 se representa el desplazamiento en la dirección “x” de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo.



Figura 6.39: Desplazamientos de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 en la dirección “x”

sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “z”.

• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.40 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “y”. Su máximo valor es de 0,786 cm., que se produce en las esquinas del tablero.





En la figura 6.41 se representa el desplazamiento en la dirección “y” de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo.





• Desplazamientos en la dirección “z”: En la figura 6.42 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “z”. Su máximo valor es de 2,259 cm., que se produce en el centro del tablero.

Figura 6.42: Desplazamientos máximos de la estructura en la dirección “z” sometido al terremoto


En la figura 6.43 se representa el desplazamiento en la dirección “z” de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo.




sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “z”. TENSIONES



• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.44 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometida a ese tipo de acción sísmica, son los puntos del centro del tablero, alcanzando una tensión máxima de 3,786 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente,


Centro” en la dirección “z”. C. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE EL TERREMOTO DE “EL CENTRO” EN

LA DIRECCIÓN “Y”

A continuación vamos a mostrar la respuesta del puente sometido al terremoto del “El Centro” en la dirección “y”. Hemos realizado dos análisis, en el primero hemos realizado un estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre unas aceleraciones como las mostradas en el acelerograma de la figura 6.29, multiplicadas por 0,7, y en el segundo, realizamos un análisis de respuesta en frecuencia aplicando el espectro de la figura 6.30, multiplicado por 0,7. DESPLAZAMIENTOS





de “El Centro” en la dirección “y”.

En la figura 6.46 se representa el desplazamiento en la dirección “x” de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo.




sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “y”.

• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.47 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “y”. Su máximo valor es de 1,079 cm., que se produce en los centros de los vanos.








• Desplazamientos en la dirección “z”: En la figura 6.49 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “z”. Su máximo valor es de 0,0446 cm., que se produce en la parte superior de la pila.









sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “y”. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.51 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometida a ese tipo de acción sísmica, son los puntos del centro del tablero, alcanzando una tensión máxima de 3,168 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.


Centro” en la dirección “y”.



6.2 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR PILOTES

El modelo de puente que vamos a estudiar en este apartado está descrito con todo detalle en el capítulo anterior. En dicho capítulo se pueden observar esquemas, tanto del puente con todos sus elementos como de la modelización realizada para los análisis con el programa ABAQUS. 6.2.1 FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN

A continuación se muestran los valores de las 20 primeras frecuencias naturales de vibración.

Nº Modo Autovalor Frecuencia(rad/s) Frecuencia(Hz) 1 235,43 15,344 2,442 2 889,15 29,819 4,7458 3 994,28 31,532 5,0185 4 1117,1 33,423 5,3195 5 1410,6 37,558 5,9775 6 1660,9 40,754 6,4861 7 2362,3 48,604 7,7355 8 4018,8 63,394 10,089 9 4418,7 66,473 10,58

10 4763,4 69,017 10,984 11 4921,8 70,156 11,166 12 5260,8 72,531 11,544 13 5909 76,87 12,234 14 6007,4 77,507 12,336 15 7704,4 87,775 13,97 16 7989,9 89,386 14,226 17 9093,6 95,36 15,177 18 9472,9 97,329 15,49 19 9671,4 98,343 15,652 20 9776,5 98,876 15,737

Tabla 6.4: Frecuencias naturales de vibración del puente con cimentación mediante zapatas. MODOS DE VIBRACIÓN



Figura 6.52: Primer modo de vibración.

Figura 6.53: Segundo modo de vibración.



Figura 6.54: Tercer modo de vibración.

Figura 6.55: Cuarto modo de vibración.



Figura 6.56: Quinto modo de vibración.

Figura 6.57: Sexto modo de vibración.



Figura 6.58: Séptimo modo de vibración.

Figura 6.59: Octavo modo de vibración.



Figura 6.60: Noveno modo de vibración.

Figura 6.61: Décimo modo de vibración.



6.2.2 RESPUESTA A LAS CARGAS DE PESO PROPIO DEFORMADA






La flecha máxima se produce en el centro de los vanos y tiene un valor de

0,9566 cm., lo cual constituye una flecha que está dentro de los límites de seguridad, ya que supone un desplazamiento del 0,0383% en comparación con la longitud del vano. TENSIONES

Figura 6.65: Tensiones de Von Mises bajo carga de peso propio.

Las tensiones de Von Mises Máximas se producen en el centro del tablero,

alcanzando un valor de 3,517 MPa., con lo cual no se alcanzaría la tensión de fallo en el tablero. 6.2.3 RESPUESTA ANTE SOLICITACIONES SÍSMICAS PRESCRITAS EN EL EUROCÓDIGO 8.

En esta apartado vamos a estudiar la respuesta del puente cuando está sometido a cargas sísmicas según las prescripciones del Eurocódigo 8. En dicha normativa la acción sísmica en un punto dado de la superficie se representa generalmente por un



espectro de respuesta elástica de la aceleración del suelo. A continuación vamos a mostrar los resultados de la respuesta de la estructura cuando hacemos un análisis espectral en las dos direcciones horizontales y la vertical, utilizando los espectros de respuesta en frecuencia indicados en el apartado 6.1.3 de este mismo capítulo.

A. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE UNA ACCIÓN SÍSMICA REPRESENTADA

POR UN ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LA DIRECCIÓN “X”


en la dirección “x”, con un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.15. DESPLAZAMIENTOS

• Desplazamientos en la dirección “x”: En la figura 6.66 están representados los valores máximos, o valores pico, de los desplazamientos en la dirección “x”. El máximo desplazamiento se produce en el tablero y tiene un valor de 2,707 cm.


sísmica en la dirección “x” según el EC8.

• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.67 están representados los valores máximos, o valores pico, de los desplazamientos en la dirección “y”. El máximo desplazamiento se produce en los centros de los vanos, siendo el valor de la flecha máxima 0,5442 cm.




sísmica en la dirección “x” según en el EC8.

• Desplazamientos en la dirección “z”: Los desplazamientos máximos que se producen en la dirección “z” en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en las otras dos direcciones. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,02234 cm.


sísmica en la dirección “x” según en el EC8. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.69 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometido a ese tipo de acción sísmica, son los puntos de la base de los estribos, alcanzando una tensión máxima de 11,11 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.




dirección “x” según en el EC8. B. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE UNA ACCIÓN SÍSMICA REPRESENTADA

POR UN ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LA DIRECCIÓN “Z”


en la dirección “z”, con un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.15. DESPLAZAMIENTOS

• Desplazamientos en la dirección “z”: En la figura 6.70 están representados los valores máximos de los desplazamientos en la dirección “z”. El máximo desplazamiento se produce en el centro del tablero y tiene un valor de 0,8587 cm.


sísmica en la dirección “z” según el EC8.





sísmica en la dirección “z” según en el EC8.

• Desplazamientos en la dirección “x”: Los desplazamientos máximos en la dirección “x” que se producen en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en las otras dos direcciones. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,1345 cm.


sísmica en la dirección “z” según en el EC8. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.73 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometido a ese tipo de acción sísmica, son los puntos de esquina en la base de los estribos, alcanzando una tensión máxima de 2,670 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.




dirección “z” según en el EC8. C. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE UNA ACCIÓN SÍSMICA REPRESENTADA

POR UN ESPECTRO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA EN LA DIRECCIÓN “Y”


en la dirección “y”, con un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.16. DESPLAZAMIENTOS

• Desplazamientos en la dirección “x”: Los desplazamientos máximos en la dirección “x” que se producen en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en la dirección “y”. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,04988 cm.








• Desplazamientos en la dirección “z”: Los desplazamientos máximos en la dirección “z” que se producen en este análisis espectral no son significativos en comparación con los desplazamientos en la dirección “y”. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,020 cm.





TENSIONES



dirección “y” según en el EC8. 6.2.4 RESPUESTA DEL PUENTE SOMETIDO AL TERREMOTO DE “EL CENTRO” DE 1940

En este apartado vamos a estudiar la respuesta de la estructura ante el terremoto de “El Centro”, cuyo registro de aceleraciones está definido en el apartado 6.1.4 de este mismo capítulo.

Las aceleraciones que se registraron en dicho movimiento sísmico vienen representadas en la figura 6.29.

El espectro de respuesta en frecuencia equivalente aproximado de dicho acelerograma viene representado en la figura 6.30, el cual nos va a servir para realizar análisis espectrales y comparar resultados, con los datos obtenidos de la respuesta en el tiempo.

Hemos realizado los análisis a la estructura con cimentación por pilotes descritos en el apartado 6.1.4. Estos análisis, consisten en el estudio de la respuesta de nuestra estructura cuando lo sometemos al terremoto de “El Centro”. En concreto, vamos a estudiar la respuesta en el tiempo ante un movimiento del terreno descrito por un acelerograma, y un análisis espectral con el espectro de respuesta en frecuencias equivalente.

Hemos obtenido resultados para una serie de puntos, RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39, los puntos que proporcionan una información mas completa del comportamiento de la estructura. La situación de estos puntos, de los cuales vamos a sacar resultados, se muestra en la figura 6.31. A. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE EL TERREMOTO DE “EL CENTRO” EN

LA DIRECCIÓN “X”



A continuación vamos a mostrar la respuesta del puente sometido al terremoto del “El Centro” en la dirección “x”. Hemos realizado dos análisis, en el primero hemos realizado un estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre unas aceleraciones como las mostradas en el acelerograma de la figura 6.29, y en el segundo, realizamos un análisis de respuesta en frecuencia aplicando el espectro de la figura 6.30. DESPLAZAMIENTOS




En la figura 6.79 se representa el desplazamiento horizontal de los puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo. Esta variación es representativa de todo el tablero.





• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.80 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “y”. Su máximo valor es de 0,8770cm., que se produce en el centro del vano.










• Desplazamientos en la dirección “z”: Los desplazamientos máximos en la dirección “z” no son significativos en comparación con los desplazamientos en las otras dos direcciones. En concreto, el valor máximo del desplazamiento en la dirección “z” es de 0,0303 cm.







sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “x”. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.84 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura



está sometido a ese tipo de acción sísmica, son los puntos del centro del tablero, alcanzando una tensión máxima de 17,95 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.


Centro” en la dirección “x”. B. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE EL TERREMOTO DE “EL CENTRO” EN

LA DIRECCIÓN “Z”

A continuación vamos a mostrar la respuesta del puente sometido al terremoto del “El Centro” en la dirección “z”. Hemos realizado dos análisis, en el primero hemos realizado un estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre unas aceleraciones como las mostradas en el acelerograma de la figura 6.29, y en el segundo, realizamos un análisis de respuesta en frecuencia aplicando el espectro de la figura 6.30. DESPLAZAMIENTOS






En la figura 6.86 se representa el desplazamiento en la dirección “x” de los

puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo.





• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.87 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “y”. Su máximo valor es de 0,2895 cm., que se produce en las esquinas del tablero.








• Desplazamientos en la dirección “z”: En la figura 6.89 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “z”. Su máximo valor es de 1,352 cm., que se produce en el centro del tablero.









sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “z”. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.91 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometida a ese tipo de acción sísmica, son los puntos del centro del tablero, alcanzando una tensión máxima de 4,111 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente,




Centro” en la dirección “z”. C. RESPUESTA DEL PUENTE ANTE EL TERREMOTO DE “EL CENTRO” EN

LA DIRECCIÓN “Y”

A continuación vamos a mostrar la respuesta del puente sometido al terremoto del “El Centro” en la dirección “y”. Hemos realizado dos análisis, en el primero hemos realizado un estudio de la respuesta en el tiempo cuando el terreno sufre unas aceleraciones como las mostradas en el acelerograma de la figura 6.29, multiplicadas por 0,7, y en el segundo, realizamos un análisis de respuesta en frecuencia aplicando el espectro de la figura 6.30, multiplicado por 0,7. DESPLAZAMIENTOS






En la figura 6.93 se representa el desplazamiento en la dirección “x” de los

puntos RP1, RP3, RP12, RP14, RP37, RP39 a lo largo del tiempo.





• Desplazamientos en la dirección “y”: En la figura 6.94 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “y”. Su máximo valor es de 0,6698 cm., que se produce en los centros de los vanos.








• Desplazamientos en la dirección “z”: En la figura 6.96 están representados los valores máximos, de los desplazamientos en la dirección “z”. Su máximo valor es de 0,03071 cm., que se produce en la parte superior de la pila.









sometido al terremoto de “El Centro” en la dirección “y”. TENSIONES

• Tensiones de Von Mises: En la figura 6.98 se muestran los valores máximos de las tensiones de Von Mises. Los puntos mas tensionados, cuando la estructura está sometida a ese tipo de acción sísmica, son los puntos del centro del tablero, alcanzando una tensión máxima de 2,309 MPa. Dichas tensiones no suponen una amenaza para la integridad estructural del puente.




Centro” en la dirección “y”. 6.3 RESUMEN DE RESULTADOS

A continuación vamos a mostrar un resumen de los resultados obtenidos en los análisis realizados a las estructuras con cimentación por zapatas y por pilotes. Los valores que se muestran en la tabla 6.5 son los valores máximos que se han registrado en algún punto.

Análisis Variable Zapatas Pilotes Peso Propio Flecha(cm) 1,407 0,9565 Despl. en x(cm) 0,1176 0,1094 Von Mises(MPa) 3,41 3,517 Espectro EC8 X Flecha(cm) 0,5588 0,5442 Despl. en x(cm) 2,821 2,707 Despl. en z(cm) 0,01633 0,02234 Von Mises(MPa) 9,668 11,11 Espectro EC8 Y Flecha(cm) 0,5005 0,4251 Despl. en x(cm) 0,05464 0,04988 Despl. en z(cm) 0,02112 0,02 Von Mises(MPa) 1,502 1,468 Espectro EC8 Z Flecha(cm) 0,4488 0,183 Despl. en x(cm) 0,08336 0,1345 Despl. en z(cm) 1,289 0,8587 Von Mises(MPa) 2,166 2,67 Terremoto de Flecha(cm) 0,9795 0,877 "El Centro" X Despl. en x(cm) 4,945 4,373 Despl. en z(cm) 0,0286 0,0303 Von Mises(MPa) 16,95 17,95 Terremoto de Flecha(cm) 1,079 0,6698 "El Centro" Y Despl. en x(cm) 0,01166 0,07858 Despl. en z(cm) 0,04457 0,03071 Von Mises(MPa) 3,168 2,309 Terremoto de Flecha(cm) 0,786 0,2895 "El Centro" Z Despl. en x(cm) 0,145 0,2059 Despl. en z(cm) 2,259 1,352 Von Mises(MPa) 3,786 4,111

Tabla 6.5: Resumen de resultados obtenidos.



PARTE 3: ESTUDIOS PARAMÉTRICOS

Capítulo 7: ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA RESPUESTA DEL PUENTE CON Y SIN APOYOS DE NEOPRENO



7.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo vamos a estudiar como varía la respuesta de las estructuras objeto de estudio cuando introducimos uniones de neopreno entre los estribos y las barras de soporte del tablero, tanto para la estructura con cimentación por zapatas como para la estructura con cimentación por pilotes. 7.2 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR ZAPATAS

El modelo del puente que vamos a estudiar es el mismo que el estudiado en el apartado 6.1 del capítulo 6, y que está descrito con todo detalle en el capítulo 5, introduciendo apoyos de neopreno de 5 cm de espesor entre los estribos y las barras que soportan el tablero. Estas uniones, como ya se indicó en el capítulo 5 las modelamos con elementos tipo muelle en cada uno de los extremos de las barras, con una rigidez en la dirección vertical (ky), una rigidez en la dirección horizontal x (kx), y una rigidez en la dirección horizontal z (kz), que hemos calculado teniendo en cuenta las propiedades mecánicas del neopreno en las diferentes direcciones del espacio.

102EL

AEk y =⋅

= N/m

733,3 EL

AGkk zx =⋅

== N/m

Donde:

E es el módulo de elasticidad; E = 600 MPa A es el área de neopreno que trabaja en cada viga; A = 1m ·

·1,6667m=1,6667m2 L es el espesor de la capa de neopreno; L = 5 cm G es el módulo de cortante; G = 1,0 MPa

Figura 7.1: Modelo del puente con cimentación mediante zapatas.

7.2.1 RESULTADOS

Hemos hecho un estudio de las 20 primeras frecuencias naturales de vibración cuando introducimos apoyos de neopreno a la estructura con cimentación por zapatas.



Como se puede observar en la tabla 7.1, las frecuencias naturales disminuyen con la introducción de los apoyos de neopreno, en especial las 5 primeras, las más determinantes en la respuesta ante cargas dinámicas.

Nº Modo Frecuencia con neopreno(rad/s)

Frecuencia con neopreno(Hz)

Frecuencia sin neopreno(Hz)

1 12,122 1,9293 2,2749 2 18,396 2,9279 3,455 3 25,099 3,9946 4,658 4 26,3 4,1857 4,7457 5 30,079 4,7873 5,2275 6 32,799 5,2202 5,3339 7 38,26 6,0893 6,2656 8 49,88 7,9387 7,9409 9 52,071 8,2873 8,3289

10 55,152 8,7777 9,121 11 55,995 8,9119 9,3166 12 57,838 9,2052 9,6562 13 58,772 9,3538 10,577 14 61,697 9,8194 11,166 15 62,608 9,9643 11,334 16 62,865 10,005 12,64 17 63,563 10,116 12,714 18 67,717 10,777 12,809 19 79,158 12,598 12,895 20 80,198 12,764 12,939

Tabla 7.1: Frecuencias naturales de vibración del puente con cimentación mediante zapatas.

Hemos realizado los siguientes análisis a la estructura:

• Cargas de peso propio • Solicitaciones sísmicas prescritas por el Eurocódigo 8

1. Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral aplicando un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.15 en la dirección “x”.

2. Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral aplicando un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.16 en la dirección “y”.

3. Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral aplicando un espectro de respuesta en frecuencias como el mostrado en la figura 6.15 en la dirección “z”.

• Terremoto de “El Centro” 1. Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis

espectral de la estructura, aplicando el espectro de respuesta en frecuencias de la figura 6.30 en la dirección “x”.

2. Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral de la estructura, aplicando el espectro de respuesta en frecuencias la figura 6.30 multiplicado por un factor de 0,7 en la dirección “y”.



3. Estudio de la respuesta del puente cuando realizamos un análisis espectral de la estructura, aplicando el espectro de respuesta en frecuencias de la figura 6.30 en la dirección “x”.

Vamos a mostrar los resultados obtenidos, comparados con los que obtuvimos para la estructura sin apoyos de neopreno.

Análisis Variable Sin Neopreno Con Neopreno Peso Propio Flecha(cm) 1,407 1,413 Despl. en x(cm) 0,1176 0,09291 Von Mises(MPa) 3,41 3,451 Espectro EC8 X Flecha(cm) 0,5588 0,05594 Despl. en x(cm) 2,821 1,971 Despl. en z(cm) 0,01633 0,001875 Von Mises(MPa) 9,668 5,512 Espectro EC8 Y Flecha(cm) 0,5005 0,3509 Despl. en x(cm) 0,05464 0,105 Despl. en z(cm) 0,02112 0,02786 Von Mises(MPa) 1,502 1,002 Espectro EC8 Z Flecha(cm) 0,4488 0,2599 Despl. en x(cm) 0,08336 0,03253 Despl. en z(cm) 1,289 0,9203 Von Mises(MPa) 2,166 1,185 Terremoto de Flecha(cm) 0,9795 0,1897 "El Centro" X Despl. en x(cm) 4,945 6,697 Despl. en z(cm) 0,0286 0,0063 Von Mises(MPa) 16,95 18,73 Terremoto de Flecha(cm) 1,079 1,083 "El Centro" Y Despl. en x(cm) 0,01166 0,2707 Despl. en z(cm) 0,04457 0,08613 Von Mises(MPa) 3,168 3,058 Terremoto de Flecha(cm) 0,786 0,6109 "El Centro" Z Despl. en x(cm) 0,145 0,07626 Despl. en z(cm) 2,259 2,166 Von Mises(MPa) 3,786 2,775

Tabla 7.2: Comparación de resultados obtenidos con y sin apoyos de neopreno para la estructura con cimentación por zapatas.

7.3 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR PILOTES

El modelo del puente que vamos a estudiar es el mismo que el estudiado en el apartado 6.2 del capítulo 6, y que está descrito con todo detalle en el capítulo 5, introduciendo apoyos de neopreno de 5 cm de espesor entre los estribos y las barras que soportan el tablero. Estas uniones, como ya se indicó en el capítulo 5 las modelamos con elementos tipo muelle en cada uno de los extremos de las barras, con una rigidez en la dirección vertical (ky), una rigidez en la dirección horizontal x (kx), y una rigidez en la dirección horizontal z (kz), que hemos calculado teniendo en cuenta las propiedades mecánicas del neopreno en las diferentes direcciones del espacio. Las rigideces anteriormente mencionadas son las mismas a las utilizadas en el modelo de cimentación por zapatas y sus valores se indican en el apartado 7.2 de este mismo capítulo.




7.3.1 RESULTADOS

Hemos hecho un estudio de las 20 primeras frecuencias naturales de vibración cuando introducimos apoyos de neopreno a la estructura con cimentación por zapatas. Como se puede observar en la tabla 7.1, las frecuencias naturales disminuyen con la introducción de los apoyos de neopreno.

Nº Modo Autovalor Frecuencia con neopreno(rad/s)

Frecuencia con neopreno(Hz)

Frecuencia sin neopreno(Hz)

1 169,81 13,031 2,074 2,442 2 512,11 22,63 3,6017 4,7458 3 716,26 26,763 4,2595 5,0185 4 870,04 29,496 4,6945 5,3195 5 1063,3 32,609 5,1899 5,9775 6 1405,3 37,487 5,9663 6,4861 7 1582,3 39,778 6,3309 7,7355 8 3622,6 60,188 9,5792 10,089 9 3671 60,589 9,6431 10,58

10 3955,1 62,89 10,009 10,984 11 4091,9 63,968 10,181 11,166 12 4584,3 67,708 10,776 11,544 13 4633,2 68,068 10,833 12,234 14 4919,3 70,138 11,163 12,336 15 4985,8 70,611 11,238 13,97 16 7143,6 84,52 13,452 14,226 17 7181,5 84,744 13,487 15,177 18 7264,9 85,234 13,565 15,49 19 8187 90,482 14,401 15,652 20 8446 91,902 14,627 15,737

Tabla 7.3: Frecuencias naturales de vibración del puente con cimentación mediante pilotes.












Vamos a mostrar los resultados obtenidos, comparados con los que obtuvimos

para la estructura sin apoyos de neopreno.



Análisis Variable Sin Neopreno Con Neopreno Peso Propio Flecha(cm) 0,9565 0,9629 Despl. en x(cm) 0,1094 0,08339 Von Mises(MPa) 3,517 3,557 Espectro EC8 X Flecha(cm) 0,5442 0,09421 Despl. en x(cm) 2,707 3,192 Despl. en z(cm) 0,02234 0,005286 Von Mises(MPa) 11,11 10,35 Espectro EC8 Y Flecha(cm) 0,4251 0,4372 Despl. en x(cm) 0,04988 0,0576 Despl. en z(cm) 0,02 0,03754 Von Mises(MPa) 1,468 1,478 Espectro EC8 Z Flecha(cm) 0,183 0,08277 Despl. en x(cm) 0,1345 0,0756 Despl. en z(cm) 0,8587 1,359 Von Mises(MPa) 2,67 2,125 Terremoto de Flecha(cm) 0,877 0,1669 "El Centro" X Despl. en x(cm) 4,373 6,07 Despl. en z(cm) 0,0303 0,00982 Von Mises(MPa) 17,95 19,57 Terremoto de Flecha(cm) 0,6698 0,6895 "El Centro" Y Despl. en x(cm) 0,07858 0,08815 Despl. en z(cm) 0,03071 0,05919 Von Mises(MPa) 2,309 2,331 Terremoto de Flecha(cm) 0,2895 0,2284 "El Centro" Z Despl. en x(cm) 0,2059 0,1175 Despl. en z(cm) 1,352 2,143 Von Mises(MPa) 4,111 3,979

Tabla 7.4: Comparación de resultados obtenidos con y sin apoyos de neopreno para la estructura con cimentación por pilotes.

Capítulo 8: ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA RESPUESTA DEL PUENTE DEPENDIENDO DE LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA



8.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo vamos a estudiar como varía la respuesta de la estructura con cimentación por zapatas cuando consideramos valores de las rigideces del terreno que son dependientes de la frecuencia de vibración. 8.2 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR ZAPATAS

El modelo del puente que vamos a estudiar es el mismo que el estudiado en el apartado 6.1 del capítulo 6, y que está descrito con todo detalle en el capítulo 5, introduciendo valores de las rigideces del terreno que dependen de la frecuencia de vibración. Estos valores de las rigideces, las hemos calculado siguiendo una metodología que está detallada en el anexo 1. Los valores de las rigideces utilizados en nuestros análisis son los siguientes:


0,1 84844744,7 157973573 164020114 0,40726048 0,32745944 0,367359960,5 84753568 157973573 164020114 2,03630239 1,63729719 1,83679979

1 84470994,3 157973573 164020114 4,07260478 3,27459439 3,673599585 76984344,6 157973573 164020114 20,3630239 16,3729719 18,3679979

10 64171693,8 157973573 164020114 40,7260478 32,7459439 36,735995820 49962144,8 157973573 164020114 81,4520957 65,4918877 73,4719917

Tabla 8.1: Rigideces y amortiguamientos del terreno en función de la frecuencia.


8.2.1 RESULTADOS

Hemos hecho un estudio de las 20 primeras frecuencias naturales de vibración. Como se puede observar en la tabla 8.1, las frecuencias naturales disminuyen cuando realizamos un cálculo puramente dinámico, como era de esperar, ya que a mayores frecuencias las rigideces del terreno son menores. Esta variación, sin embargo, no es demasiado significativa como se puede observar en la comparación que hacemos en la tabla 8.1.



Nº Modo Frecuencia Estático (rad/s)

Frecuencia Estático(Hz)

Frecuencia Dinámico(Hz)

1 14,294 2,2749 2,2604 2 21,709 3,455 3,3884 3 29,267 4,658 4,6413 4 29,818 4,7457 4,6502 5 32,845 5,2275 5,1704 6 33,514 5,3339 5,332 7 39,368 6,2656 6,2556 8 49,894 7,9409 7,7321 9 52,332 8,3289 8,1099

10 57,309 9,121 8,9547 11 58,538 9,316no6 9,2091 12 60,672 9,6562 9,5904 13 66,455 10,577 10,576 14 70,156 11,166 11,166 15 71,211 11,334 11,298 16 79,422 12,64 12,611 17 79,885 12,714 12,69 18 80,481 12,809 12,792 19 81,024 12,895 12,85 20 81,3 12,939 12,931

Tabla 8.2: Frecuencias naturales de vibración del puente con cimentación mediante zapatas con rigideces dinámicas y estáticas.












Vamos a mostrar los resultados obtenidos, comparados con los que obtuvimos para la estructura considerando valores estáticos de las rigideces en la interacción suelo-estructura.

Análisis Variable Estático Dinámico Peso Propio Flecha(cm) 1,407 1,407 Despl. en x(cm) 0,1176 0,1176 Von Mises(MPa) 3,41 3,41 Espectro EC8 X Flecha(cm) 0,5588 0,5638 Despl. en x(cm) 2,821 2,855 Despl. en z(cm) 0,01633 0,02229 Von Mises(MPa) 9,668 9,634 Espectro EC8 Y Flecha(cm) 0,5005 0,5099 Despl. en x(cm) 0,05464 0,05531 Despl. en z(cm) 0,02112 0,02065 Von Mises(MPa) 1,502 1,507 Espectro EC8 Z Flecha(cm) 0,4488 0,4676 Despl. en x(cm) 0,08336 0,08202 Despl. en z(cm) 1,289 1,328 Von Mises(MPa) 2,166 2,167 Terremoto de Flecha(cm) 0,9795 0,9883 "El Centro" X Despl. en x(cm) 4,945 5,005 Despl. en z(cm) 0,0286 0,03907 Von Mises(MPa) 16,95 16,89 Terremoto de Flecha(cm) 1,079 1,101 "El Centro" Y Despl. en x(cm) 0,01166 0,1183 Despl. en z(cm) 0,04457 0,04411 Von Mises(MPa) 3,168 3,183 Terremoto de Flecha(cm) 0,786 0,8192 "El Centro" Z Despl. en x(cm) 0,145 0,143 Despl. en z(cm) 2,259 2,327 Von Mises(MPa) 3,786 3,79

Tabla 8.3: Comparación de resultados obtenidos con y sin apoyos de neopreno para la estructura con cimentación por zapatas.

Los resultados obtenidos en ambos modelos no muestran diferencias

apreciables. Esto es debido a que la variación de las rigideces con la frecuencia no es significativa hasta una frecuencia de vibración de 10 Hz, mientras que las 6 primeras frecuencias de vibración del sistema son inferiores a 6 Hz.



PARTE 4: CONCLUSIONES

Capítulo 9: CONCLUSIONES


Capítulo 9: CONCLUSIONES 9.0 CONCLUSIONES GENERALES

En el presente proyecto hemos aportado un mayor conocimiento de las solicitaciones sísmicas, como se representan para la realización de análisis estructurales y los posibles efectos que estas producen en las estructuras en general y en las estructuras de puentes en particular.

Hemos aportado un mayor conocimiento del comportamiento de estructuras de

puentes cuando se encuentran sometidas a solicitaciones sísmicas, haciendo un estudio de las posibles tipologías de cimentación que pudieran reducir su respuesta.

Hemos desarrollado una metodología muy eficaz para el análisis concreto y

pormenorizado de estructuras de puentes considerando diferentes modelos de interacción suelo-estructura y los efectos que una excitación sísmica real ocasiona.

Hemos hecho una serie de estudios paramétricos que nos han permitido

delimitar la importancia que los distintos factores analizados tienen en la respuesta de las estructuras.

En los apartados 9.1, 9.2 y 9.3 de este capítulo detallamos las conclusiones

particulares de cada uno de los análisis realizados. Para la consecución de dichos objetivos ha sido necesario:

• Hacer un estudio de los diferentes métodos de análisis de estructuras sometidas a solicitaciones sísmicas y dinámicas, acudiendo a la bibliografía especializada.

• Estudio de la normativa actual en lo referente al cálculo sísmico, tanto normativa española, Norma de la construcción sismorresistente española (NCSE-94), como normativa europea, Eurocódigo 8.

• Aprendizaje y uso de las herramientas informáticas oportunas, y en particular el programa ABAQUS, de propósito general, basado en el método de los elementos finitos.

9.1 CONCLUSIONES ACERCA DE LA INTRODUCCIÓN DE CIMENTACIONES POR PILOTES

En este apartado vamos a comparar los resultados obtenidos en el apartado 6.3 y vamos a sacar las conclusiones oportunas.

• Análisis de peso propio: La flecha se reduce por la introducción de los pilotes.

• Solicitaciones sísmicas: La introducción de pilotes reduce ligeramente el valor de los desplazamientos máximos registrados en la estructura pero no en una cuantía que justifique su utilización. Los valores de las tensiones máximas registradas no varían significativamente.



La introducción de pilotes tiene dos efectos contrarios cuando se diseñan estructuras sismorresistentes:

• Por un lado, se aumentan las frecuencias naturales de vibración de la estructura,

lo cual es beneficioso para reducir la respuesta ante solicitaciones dinámicas y en especial, ante solicitaciones sísmicas.

• Por otro lado, tiene el efecto contrario al efecto de aislamiento de la base. La

cimentación por pilotes afianza a la estructura en el terreno y proporciona una mayor superficie de empuje entre el terreno y la estructura, que es precisamente el efecto contrario al deseado cuando se introducen elementos sismorresistentes como elementos aislantes de la base.

Como conclusión final, decir que la introducción de una cimentación por pilotes

no está justificada desde el punto de vista de la resistencia a solicitaciones sísmicas, y solo se debe introducir si es necesario por otro tipo de consideraciones. 9.2 CONCLUSIONES ACERCA DE LA INTRODUCCIÓN DE APOYOS DE NEOPRENO 9.2.1 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR ZAPATAS

En este apartado vamos a comparar los resultados obtenidos en el apartado 7.2.1 y vamos a sacar las conclusiones oportunas.

• Análisis de peso propio:

1. La flecha aumenta ligeramente con la introducción de los apoyos de neopreno, ya que estos permiten que el tablero y las barras soporte se desplacen más hacia el centro, deformándose más en la dirección vertical.

2. Por otra parte, los desplazamientos en la dirección “x” se reducen también ligeramente. Los desplazamientos máximos se producen en la parte superior de los estribos, y debido a que la unión es menos rígida con la introducción del neopreno, los estribos sufren menor deformación.

• Solicitación sísmica en la dirección “x”:

1. Las flechas se reducen drásticamente ya que los apoyos de neopreno no transforman los movimientos horizontales del terreno en movimientos verticales del tablero.



Figura 9.1: Desplazamientos verticales cuando sometemos la estructura al terremoto

de “El Centro” en la dirección “x”. Comparación entre estructura con nudos articulados (figura superior) y apoyos de neopreno (figura inferior).

2. Los desplazamientos en la dirección “x” pueden aumentar con la

introducción de apoyos de neopreno, como en el caso de la respuesta ante el terremoto de “El Centro”. Esto se debe a que los apoyos de neopreno permiten más libertad de desplazamiento en las dos direcciones horizontales.

• Solicitación sísmica en la dirección “y”: La introducción de apoyos de neopreno

no produce una gran diferencia en la respuesta de la estructura cuando la sometemos a una carga sísmica en la dirección vertical. Las flechas y las tensiones máximas no varían apreciablemente, mientras que los desplazamientos en las otras direcciones se mantienen en valores poco significativos.

• Solicitación sísmica en la dirección “z”: Los desplazamientos y las tensiones se

reducen con la introducción de los apoyos de neopreno.

Figura 9.2: Detalle de los desplazamientos relativos con la introducción de apoyos de neopreno.



9.2.2 MODELO DEL PUENTE CON CIMENTACIÓN POR PILOTES

En este apartado vamos a comparar los resultados obtenidos en el apartado 7.3.1 y vamos a sacar las conclusiones oportunas.

• Análisis de peso propio:

1. La flecha aumenta ligeramente con la introducción de los apoyos de neopreno, ya que estos permiten que el tablero y las barras soporte se desplacen más hacia el centro, deformándose más en la dirección vertical.

2. Por otra parte, los desplazamientos en la dirección “x” se reducen también ligeramente. Los desplazamientos máximos se producen en la parte superior de los estribos, y debido a que la unión es menos rígida con la introducción del neopreno, los estribos sufren menor deformación.

• Solicitación sísmica en la dirección “x”:

1. Las flechas se reducen drásticamente ya que los apoyos de neopreno no transforman los movimientos horizontales del en movimientos verticales del tablero.

2. Los desplazamientos en la dirección “x” pueden aumentar con la introducción de apoyos de neopreno. Esto se debe a que los apoyos de neopreno permiten más libertad de desplazamiento en las dos direcciones horizontales.

• Solicitación sísmica en la dirección “y”: La introducción de apoyos de neopreno

no produce una gran diferencia en la respuesta de la estructura cuando la sometemos a una carga sísmica en la dirección vertical. Las flechas y las tensiones máximas no varían apreciablemente, mientras que los desplazamientos en las otras direcciones se mantienen en valores poco significativos.

• Solicitación sísmica en la dirección “z”:

1. Las flechas se reducen ya que los apoyos de neopreno no transforman los movimientos horizontales del en movimientos verticales del tablero.

Figura 9.3: Detalle de deformada de la estructura con apoyos de neopreno sometida a un terremoto

en la dirección “z”.



2. Los desplazamientos en la dirección “z” pueden aumentar con la introducción de apoyos de neopreno. Esto se debe a que los apoyos de neopreno permiten más libertad de desplazamiento en las dos direcciones horizontales.

9.3 CONCLUSIONES ACERCA DE LA INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA

Para nuestra estructura, y tipo de terreno sobre la que se apoya, un análisis pseudoestático ofrece prácticamente los mismos resultados que un cálculo puramente dinámico. Esto es debido a que la variación de las rigideces con la frecuencia no es significativa hasta una frecuencia de vibración de 10 Hz, mientras que las 6 primeras frecuencias de vibración del sistema son inferiores a 6 Hz.

Sin embargo, podremos hacer las siguientes observaciones:

• Análisis de peso propio: Los resultados son idénticos, ya que las cargas son estáticas y por lo tanto las rigideces son exactamente iguales.

• Solicitaciones sísmicas: En general, los desplazamientos aumentan ligeramente, lo cual era de esperar, ya que, con el aumento de frecuencia disminuye el valor de las rigideces del terreno.

ANEXO

Anexo 1: RIGIDECES DINÁMICAS DEL TERRENO


Anexo 1: RIGIDECES DINÁMICAS DEL TERRENO A.0 INTRODUCCIÓN Para las rigideces dinámicas hemos utilizado los siguientes datos:

Figura A.1: Definición del sistema de coordenadas a utilizar en la definición de las rigideces

dinámicas del terreno. A.1 RIGIDECES ESTÁTICAS PARA CIMENTACIONES SUPERFICIALES

1. Rigidez en la dirección vertical:

2. Rigidez en la dirección “x”:

3. Rigidez en la dirección “y”:

Donde G es el módulo a cortante y ν es el módulo de Poisson del terreno.

A.2 CORRECCIÓN DE LAS RIGIDECES ESTÁTICAS PARA UNA PROFUNDIDAD DE ENTERRAMIENTO “E”






Donde E es la profundidad de enterramiento de la cimentación.

A.3 RIGIDECES DINÁMICAS

Teniendo en cuenta que:






APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS ANTERIORES A NUESTRA ESTRUCTURA

Figura A.2: Esquema del perfil del terreno.

Los datos del terreno son:

• Densidad (ρ): 1900 kg/m3 • Módulo de cortante (G): 35,6 MPa • Coeficiente de Poisson (ν): 0,46 • Velocidad de las ondas P (Vp): 571 m/s • Velocidad de las ondas S (Vs): 137 m/s • Profundidad de la cimentación: 3 m • Ancho de cada zapata(2B): 8 m • Longitud de cada zapata(2L): 12 m

Cada una de nuestras zapatas está unida al terreno mediante 24 conectores del

tipo muelle y amortiguador, cada uno de los cuales tiene unos valores de rigideces y amortiguamientos en función de la frecuencia de vibración indicados en la tabla A.1.




0,1 84844744,7 157973573 164020114 0,40726048 0,32745944 0,367359960,5 84753568 157973573 164020114 2,03630239 1,63729719 1,83679979

1 84470994,3 157973573 164020114 4,07260478 3,27459439 3,673599585 76984344,6 157973573 164020114 20,3630239 16,3729719 18,3679979

10 64171693,8 157973573 164020114 40,7260478 32,7459439 36,735995820 49962144,8 157973573 164020114 81,4520957 65,4918877 73,4719917

Tabla A.1: Rigideces y amortiguamientos del terreno en función de la frecuencia.

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA


BIBLIOGRAFÍA

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Puentes Sometidos a Solicitaciones Sísmicas y Cargas Móviles”, Tesis Doctoral, Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno, 2005.

[3] EUROCODE nº 8. Previsiones para el diseño de estructuras sismorresistentes. [4] NCSE-94. Norma de la Construcción Sismorresistente Española, 1994. [5] ABAQUS, Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc., Pawtuchet, RI, U.S.A. [6] M.A. Millán, J. Domínguez, “Variabilidad de la excitación y de las condiciones

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