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Análisis de Sistemas Lineales
“Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z”
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Representación General
ASL/RAD/2001
Sistema Lineal e Invariante en Tiempo
(LIT)
x[n] Z{x[n]}=X(z)
En general
y[n] = (x[n])
Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda Y(z) = Z{ (x[n])} entonces el objetivo es estudiar
esa ecuación en el plano z
y[n] Z{y[n]}=Y(z)
Definición de Transformada Z
ASL/RAD/2001
)()(21
][
l Unilatera daTransforma-anti lay
][)(][
l Unilatera daTransforma la define se manera igual De
)()(21
][
será Bilateral daTransforma-anti la que mientras
][)(][
será Bilateral daTransformasu ][función una Dada
1
0
1
zXdzzzXj
nx
Z
znxzXnx
Z
zXdzzzXj
nx
Z
znxzXnx
Znx
Un
U
n
nU
Bn
B
n
nB
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Propiedades de Interés
ASL/RAD/2001
00
00
2121
1
1
]}[{
z dominio elen toEscalamien 4)
)(]}[{
Faseen entoDesplazami 3)
)(]}[][{
Tiempoen entoDesplazami 2)
)(*)(*]}[*][*{
Linealidad 1)
serán interés de spropiedade Algunas
)}({][
cióntransforma-anti ladenotar para ausar se operador el que mientras
]}[{)(
ación transformladenotar para operador el usará Se
00
0
zz
XnxzZ
zeXnxeZ
zXznnunnxZ
zXbzXanxbnxaZ
zXZnx
Z
nxZzX
Z
n
jnj
n
U
U
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Propiedades de Interés
ASL/RAD/2001
)()(][*][
Tiempoen n Convolució 9)
)(][
nConjugació )8
)(][ entonces, k de múltiplo es non si 0,
k de múltiplo esn si ],/[][ Sea
Tiempoen Expansión 7)
1
][
Tiempo deInversión 6)
)(][
Frecuenciaen ción Diferencia 5)
2121
***
)()(
zXzXnxnxZ
zXnxZ
zXnxZknx
nx
zXnxZ
dzzdX
znnxZ
kkk
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Algunos pares Transformados de Interés
ASL/RAD/2001
221
1
1
1
)()1(][ )4
1][ )3
11][ )2
][ )1
zz
zz
nun
zAz
zA
nuA
zAz
zA
nAu
AzmnA
n
n
m
20
20
2210
10
0
20
20
2
2210
10
0
02
021
0
10
0
02
02
210
10
0
)cos(2
)]sen([
)cos(21
)]sen([][)sen( )8
)cos(2
)]cos([
)cos(21
)]cos([1][)cos( )7
1)cos(2
)sen(
)cos(21
)sen(][)(en )6
1)cos(2
)cos(
)cos(21
)cos(1][)cos( )5
rzrz
zr
zrzr
zrnunr
rzrz
zrz
zrzr
zrnunr
zz
z
zz
znuns
zz
zz
zz
znun
n
n
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Métodos de Anti-Transformación Z
ASL/RAD/2001
1) Integración en el campo complejo.
2) Identificación en una tabla de Transformadas.
2-A) Expansión en Fracciones Parciales.
2-B) División Larga.
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Teoremas de Valor Inicial y Valor Final
ASL/RAD/2001
1) Teorema del Valor Inicial.
Si Z{x[n]} = X(z) entonces x[0] =
2) Teorema del Valor Final.
Si Z{x[n]} = X(z) entonces
)( zXlimz
)()1( ][1
zXz-limnxlimzn
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Solución de Ecuaciones en Diferencias
ASL/RAD/2001
analíticos métodospor
sdiferenciaen ecuación laresolver al encontrada la asolución igual
]0[][][
11
]0[1
)(]0[)(][
daTransforma-antiaplicar al entonces,
]0[)()(
(z) despejando
,algebraicaecuación unaen convertido ha se sdiferenciaen ecuación la
)()(]]0[)([
lados ambos a daTransforma aplicando
][][]1[
*
11
1
111
nn ayanxny
azZy
azzXz
ZazzyzX
Zny
azzyzX
zY
Y
zXzaYyzYz
Z
nxnayny
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Solución de Ecuaciones en Diferencias (ejemplo)
ASL/RAD/2001
][)4/1)3)(4/9((][
será daTransforma-anti la que lopor
1/4 , 9/4- que resulta oResolviend
)1()31()(
)31)(1(23
)31)(1()1](1[31
)(
)( despejando1
1)(3]1[3)(
miembros ambos a daTransforma Aplicando
1]1[ inicialcondición lacon
][][]1[3][
sdiferenciaen ecuación la Sea
11
11
1
11
1
11
nuny
Z
BA
zB
zA
zY
zzz
zzzy
zY
zYz
zYzyzY
Z
y
nunxnyny
n
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Solución de Ecuaciones en Diferencias (otro ejemplo)
ASL/RAD/2001
][)))6435.0sen(32)6435.0cos(96()5.0()5.0(100(][
será daTransforma-anti la que lopor
1648- 16,48- , 100 que resulta oResolviend
)5.0()5.0()5.0()25.08.0)(5.0(6.102.34
)(
)( despejando5.0
10]0[8.0]1[]0[)()25.08.0(
miembros ambos a daTransforma Aplicando
2]1[ ,4]0[ iniciales scondicione lascon
)5.0(10][][25.0]1[8.0]2[
sdiferenciaen ecuación la Sea
6435.06435.02
3
22
nunnny
Z
jCjBA
ezC
ezB
zA
zzzzzzz
zY
zYzz
zyzyyzzYzz
Z
yy
nxnynyny
nn
jj
n
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
ASL/RAD/2001
Sistema Lineal e Invariante en Tiempo
(LIT)
Inicialmente en reposo
n h[n]
En general, se puede escribir
h[n] = ([n]) y[n] = x[n] * h[n]
Aplicando Transformada Z a esta última ecuación
Y(z) = X(z)H(z)
Integral de Convolución
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Función de Transferencia
ASL/RAD/2001
cia.Transferen deFunción o Sistema delFunción
como conoce le se también )(n ofunci laA
].[ impulsiva respuesta la
de daTransforma la es )( donde
)()(
)(
tienese )( despejando
zH
nh
ZzH
zXzY
zH
zH
“La Función de Transferencia de un sistema es la relación de las Transformadas Z de la salida y la
entrada, bajo condiciones iniciales iguales a cero”
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Función de Transferencia
ASL/RAD/2001
“El conocimiento de la Función de Transferencia de un sistema proporciona un conjunto de informaciones
importantes acerca del sistema que representa”
“El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema proporciona información
acerca de su respuesta natural y de la estabilidad”
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
ASL/RAD/2001
POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)
“El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el
plano complejo z donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ ”
CEROS: c es un cero de un sistema si H(c) 0
Diagrama de polos y ceros
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
ASL/RAD/2001
4.03.0p ,4.03.0p ,2.0p ,3.0p
serán sistema del polos los
3.0c ,5.0c
serán sistema del ceros los
)4.03.0)(4.03.0)(2.0)(3.0()3.0)(5.0(
)(
)25.06.0)(2.0)(3.0()3.0)(5.0(
)(
ciaTransferen deFunción lapor explica se
reposo,en teinicialmen está que sistema,Un
4321
21
2
jj
j
jzjzzzjzz
zH
zzzzjzz
zH
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
ASL/RAD/2001
Re(z)
Imag(z)
0.3
-4
-2-3
-0.5
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
4
1
-1
1
-1
Sistemas de Primer Orden
ASL/RAD/2001
seránescalón y impulso respuestas las de gráficas las
][11
1][y ][][
11
)( ][]1[][
siguientes ticascaracterís las eorden tienprimer de sistema
1u
1
nuaa
nnuanh
azz
azzHnxnayny
Un
nn
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
-4 1 6 11 16
yu[n]
h[n]
a = 0.75
Sistemas de Primer Orden
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5Respuesta Impulsiva de un Sistema Discreto de Primer Orden
Tiempo n
h[n
]
a = 0.75
Sistemas de Primer Orden
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
4
5Respuesta Escalón de un Sistema Discreto de Primer Orden
Tiempo n
yu[n
]
a = 0.75
Sistemas de Segundo Orden
ASL/RAD/2001
si ][)(1
0 si ][)sen1sen
0 si ][1
][
)cos(211
)(
0 10con
][]2[]1[)cos(2][
siguientes ticascaracterís las eorden tien segundo de sistemaUn
22
2
nur)(n
nu(
))((nr
nu)r(n
nh
erereH
yr
nxnyrnyrny
n
n
n
jjj
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
Sistemas de Segundo Orden
ASL/RAD/2001
serán y de valoresparaescalón y impulso respuestas las de gráficas las
)sen(2y
)sen(2 donde
si ][1
)()1()1()(
)1(1
0 si ][ 1
)(11
)(1
0 si ][1
)1()1()1(
1
][y
22
11
1
2
1
2
u
r
je
Bje
A
nur
rrnrrr
r
nurere
Brere
A
nurrn
rr
r
n
jj
nn
j
nj
j
nj
nn
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
ASL/RAD/2001
Respuestas impulsivas de sistemas de segundo orden
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
0
0,5
1
1,5
2
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-3
-2
-1
0
1
2
3
r = 0.75
= 0°
r = 0.75
= 45°
r = 0.75
= 180°
0
0,5
1
1,5r = 0.5
= 0°
ASL/RAD/2001
Respuestas escalón de sistemas de segundo orden
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
0
5
10
15
20
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
r = 0.75
= 0°r = 0.75
= 180°
r = 0.5
= 180°
ASL/RAD/2001
Consiga la respuesta de los sistemas descritos por las ecuaciones en diferencias siguientes aplicando
Transformada Z
ecuación
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]=6 p2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+165y[n-2] = 6(0.4)n u[n]
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6u[n]
y[n] + 10y[n-1]+24y[n-2] = 50p2(n-2)
y[n]+10y[n-1]+24y[n-2] = q2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6p2(n-4)
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]= q2(n-2)
y[n]+8y[n-1]+165y[n-2]=6(0.4)n q1(n-1)
ecuación
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
ASL/RAD/2001
Consiga la función de transferencia de los sistemas descritos por las ecuaciones en diferencias siguientes
Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z
ecuación
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]=6 p2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+165y[n-2] = 6(0.4)n u[n]
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6u[n]
y[n] + 10y[n-1]+24y[n-2] = 50p2(n-2)
y[n]+10y[n-1]+24y[n-2] = q2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6p2(n-4)
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]= q2(n-2)
ecuación
y[n]+8y[n-1]+165y[n-2]=6(0.4)n q1(n-1)
