Análisis de Sistemas Lineales en el Dominio de la Frecuencia.

Jesús Peña Rodríguez

Trazas de Bode o Trazas Logarítmicas.

Una función de transferencia senoidal puede representarse mediante dos gráficas distintas: una que ofrece la magnitud contra la frecuencia y otra que muestra el ángulo de fase (en grados) contra la frecuencia. Las trazas de Bode están formadas por dos gráficas: una es el logaritmo de la magnitud de una función de transferencia senoidal y la otra es el ángulo de fase. Ambas se grafican contra la frecuencia en la escala logarítmica.

La representación común de la magnitud logarítmica de G(jω) es 20 log l G(jω)l, en donde la base del logaritmo es 10. La unidad que se usa en esta representación de la magnitud es el decibel, por lo general abreviado dB. En la representación logarítmica, se trazan las curvas sobre papel semilogarítmico, con la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para cualquier magnitud (en decibeles) o el ángulo de fase (en grados). (El rango de frecuencia de interés determina la cantidad de ciclos logarítmicos que se requieren en la abscisa.)

La ventaja principal de usar la traza de Bode es que la multiplicación de magnitudes se convierte en adición. Además, cuenta con un método simple para trazar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si sólo se necesita información general sobre la característica de la respuesta en frecuencia. Si se desea obtener curvas exactas, es fácil corregir las curvas asintóticas. Las curvas de ángulo de fase se dibujan con facilidad si se cuenta con una plantilla de la curva de ángulo de fase de 1 + jω. Es muy provechoso ampliar el rango de frecuencia baja mediante el uso de una escala logarítmica, dado que las características de las frecuencias bajas son lo más importante en los sistemas prácticos.

Aunque no es posible graficar las curvas hasta una frecuencia cero, debido a la frecuencia logarítmica (log 0 = -α), esto no significa un problema serio.

Fig. 1 Curva logarítmica mediante el método de aproximaciones asintóticas.

Observe que la determinación experimental de una función de transferencia se hace simplemente si se presentan datos de la respuesta en frecuencia en la forma de una traza de Bode.

Factores básicos de G(jω)H(jω). Como se planteo antes, la ventaja principal de usar una traza logarítmica es la facilidad relativa de graficar las curvas de la respuesta en frecuencia. Los factores básicos que suelen ocurrir en una función de transferencia arbitraria G(jω)H(jω) son:

• La ganancia K• Los factores de integral y de derivada • Los factores de primer orden • Los factores cuadráticos

La ganancia K. Un numero mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibeles, en tanto que un número menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibeles. El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante correspondiente, pero no afecta la curva de fase.

En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a 2 ω1, en donde ω1 es cualquier frecuencia.Una década es una banda de frecuencia de ω1 a 10 ω1, en donde, otra vez, ω1 es cualquier frecuencia. (En la escala logarítmica del papel semilogarítmico, cualquier razón de frecuencia determinada se representa mediante la misma distancia horizontal.

Fig. 2. Línea de conversión de números a decibeles.

Fig.3. (a) Trazas de Bode de G(jω) = 1/jω; (b) Trazas de Bode de G(jω) = jω.

El ángulo de fase de jω es constante e igual a 90”. La curva de magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de 20 dB/década. La fig. 3 muestran curvas de respuesta en frecuencia para 1/jω y jω, respectivamente. Es fácil observar que las diferencias en las respuestas en frecuencia de los factores l/jω y jω estriban en los signos de las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica y en los signos de los ángulos de fase. Ambas magnitudes logarítmicas se vuelven iguales a 0 dB en ω = 1.

Si la función de transferencia contiene el factor (1/ jω)^n o (jω)^n, la magnitud logarítmica se convierte, respectivamente, en:

Por tanto, las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores (1/jω)^n y (jω)^n son -20n dB/década y 20n dB/década, respectivamente. El ángulo de fase de (1/jω)^n es igual a -90° X n durante todo el rango de frecuencia, en tanto que el de (jω)^n es igual a 90°X n en todo el rango de frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0 dB, ω = 1).

La frecuencia en la cual las dos asíntotas se encuentran se denomina frecuencia de esquina o frecuencia de corte. Para el factor 1/(1 + jωT), la frecuencia ω= 1/T es la frecuencia de esquina, dado que en ω= 1/T , ambas asíntotas tienen el mismo valor. (La expresión asintótica de baja frecuencia en ω= 1/T es 20 log 1 dB = 0 dB y la expresión asintótica de alta frecuencia en ω= 1/T también es 20 log 1 dB = 0 dB.) La frecuencia de esquina divide la curva de respuesta en frecuencia en dos regiones, una curva para la región de baja frecuencia y una curva para la región de alta frecuencia. La frecuencia de esquina es muy importante cuando se trazan curvas logarítmicas de frecuencia en respuesta.

Fig. 4. Frecuencia de esquina ubicada en medio de las frecuencias altas y bajas.

Existen diversos factores ya sean integral, derivado, de primer orden cuadrático que suelen presentarse en los sistemas de control y que difieren en sus respuestas en frecuencia , ángulos de fase y magnitud que dependen unos de otros.

Para obtener las curvas de respuesta en frecuencia de una función de transferencia cuadrática determinada, primero debemos determinar los valores de la frecuencia de esquina ωn y del factor de amortiguamiento relativo ζ.

Fig.5. Curvas de magnitud logarítmica, asíntotas y curvas de ángulo de fase de la función de transferencia cuadrática .

Frecuencia de resonancia ωr y el valor del pico de resonancia Mr.

Si |G(j ω)| tiene un valor pico en alguna frecuencia, ésta denomina frecuencia de resonancia.

La magnitud del pico de resonancia Mr es:

Conforme ζ tiende a cero, Mr tiende a infinito. Esto significa que, si el sistema no amortiguado se excita en su frecuencia natural, la magnitud de G(jω) se vuelve infinita. La relación entre Mr y ζ.

El ángulo de fase de G(jω) en la frecuencia en la que ocurre el pico de resonancia se obtiene:

Sistemas de fase mínima y de fase no mínima.

Las funciones de transferencia que no tienen polos ni ceros en el semiplano derecho del plano ς son funciones de transferencia de fase mínima, en tanto que las que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho del plano ς son funciones de transferencia de fase no mínima. Los sistemas con funciones de transferencia de fase mínima se denominan sistemas de fase mínima, en tanto que aquellos con funciones de transferencia con fase no mínima se denominan sistemas de fase no mínima.

Para los sistemas con la misma característica de magnitud, el rango del ángulo de fase de la función de transferencia de fase mínima es mínimo entre todos los sistemas de ese tipo, en tanto que el rango del ángulo de fase de cualquier función de transferencia de fase no mínima es mayor que este mínimo.

Se observa que, para un sistema de fase mínima, la función de transferencia se determina en forma única sólo a partir de la curva de magnitud. Para un sistema de fase no mínima, esto no sucede. Multiplicar cualquier función de transferencia por todos los filtros paso-todo no altera la curva de magnitud, sino que modifica la curva de fase.

Considere como ejemplo los dos sistemas cuyas funciones de transferencia senoidales son:

Fig. 6. Configuraciones de polos y ceros de un sistema de fase mínima G1(s) y un sistema de fase no mínima G2(s).

Fig. 7. Característica de ángulo de fase de los sistemas G1(s) y G2(s).

Retardo de transporte.

El retardo de transporte tiene un comportamiento de fase no mínima y tiene un atraso de fase excesivo sin atenuación en frecuencias altas. Estos retardos de transporte ocurren, por lo común en los sistemas térmicos, hidráulicos y neumáticos.Considere el retardo de transporte obtenido mediante:

La magnitud siempre es igual a la unidad, dado que:

Por tanto, la magnitud logarítmica del retardo de transporte es igual a 0 dB. El ángulo de fase del retardo de transporte es

El ángulo de fase varía en forma lineal con la frecuencia ω.

Fig. 8. Característica del ángulo de fase del retardo de transporte.

Relación entre el tipo de sistema y la curva de magnitud logarítmica.

Considere el sistema de control con realimentación unitaria. Las constantes estáticas de error de posición, velocidad y aceleración describen el comportamiento de baja frecuencia de los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2, respectivamente. Para un sistema definido, sólo es finita y significativa una de las constantes de error estático. (Entre mayor es el valor de la constante finita de error estático, más alta es la ganancia de lazo conforme o tiende a cero.) El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en frecuencias bajas. Por tanto, la información relacionada con la existencia y la magnitud del error en estado estable de un sistema ante una entrada definida se determina a partir de la observación de baja frecuencia de la curva de magnitud logarítmica.

Determinación de las constantes de error estático de posición.

Considere el sistema de control con realimentación unitaria. Suponga que la función de transferencia en lazo abierto se obtiene mediante

Fig. 9. Curva de magnitud logarítmica de un sistema de tipo 0.

La Fig. 9 contiene un ejemplo de la gráfica de la magnitud logarítmica de un sistema de tipo 0. En este sistema, la magnitud de G(jω) es igual a Kp en frecuencias bajas, o

De esto se deduce que la asíntota de baja frecuencia es una línea horizontal en 20 log Kp dB.

Determinación de las constantes de error estático de velocidad.

Considere el sistema de control con realimentación unitaria . La Fig. 10 contiene un ejemplo de la gráfica de la magnitud logarítmica de un sistema de tipo 1. La intersección del segmento inicial -20 dB/década (o su extensión) con la línea ω = 1 tiene la magnitud de 20 log Kv (constante de error estático).

Fig. 10 Curva de magnitud logarítmica de un sistema de tipo 1.

Determinación de las constantes de error estático de aceleración.

Considere el sistema de control con realimentación unitaria . La Fig. 11 contiene un ejemplo de la gráfica de la magnitud logarítmica de un sistema de tipo 2. La intersección del segmento inicial -40 dB/década (o su extensión) con la línea w = 1 tiene una magnitud de 20 log Ka (constante de error estático de aceleración).

Fig. 11 Curva de magnitud logarítmica de un sistema de tipo 2.

TRAZAS POLARES

La traza polar de una función de transferencia senoidal G(jω) es una gráfica de la magnitud de G(jω) contra el ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares, conforme ω varía de cero a infinito. Por tanto, la traza polar es el lugar geométrico de los vectores |G(jω)| | G(jω) conforme o varía de cero a infinito. Observe que, en las gráficas polares, los ángulos de fase son positivos (negativos) si se miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj (en el sentido de las manecillas) a partir del eje real positivo. La traza polar se denomina, con frecuencia, traza de Nyquist.

Una ventaja de usar una traza polar es que representa, en una sola gráfica, las características de la respuesta en frecuencia de un sistema en el rango de frecuencia completo. Una desventaja es que la traza no indica en forma clara la contribución de todos los factores individuales de la función de transferencia en lazo abierto.

Fig. 12 Traza Polar.

Formas generales de las trazas polares.

Las trazas polares de una función de transferencia de la forma

en donde n > m, o el grado del polinomio del denominador es mayor que el del numerador, tendrá las formas generales siguientes:

Para λ = 0 o sistemas de tipo 0: el punto inicial de la traza polar (que corresponde a ω= 0) es finito y está sobre el eje real positivo. La tangente para la traza polar en o = 0 es perpendicular al eje real. El punto terminal, que corresponde a ω = α, está en el origen y la curva es tangente a uno de los ejes.

Para λ = 1 o sistemas de tipo 1: el término (jω) del denominador contribuye -90° al ángulo de fase total de G(jω) para 0 ≤ ω ≤ α. En ω = 0, la magnitud de G(jω) es infinita y el ángulo de fase se convierte en -90°. En frecuencias bajas, la traza polar es asintótica para una línea paralela al eje imaginario negativo. En ω = α, la magnitud se vuelve cero y la curva converge hacia el origen y es tangente a uno de los ejes.

Para λ = 2 o sistemas de tipo 2: el término (jω) del denominador contribuye -180° al ángulo de fase total de G(jω) para 0 ≤ ω ≤ α. En ω = 0, la magnitud de G(jω) es infinita y el ángulo de fase es igual a -180”. En frecuencias bajas, la traza polar es asintótica para línea paralela al eje real negativo. En ω = α, la magnitud se vuelve cero y la curva es tangente a uno de los ejes.

Fig. 13 Trazas polares de tipo 0, tipo 1 y los sistemas tipo 2.

Fig. 14 Trazas polares de funciones de transferencia simples

TRAZAS DE MAGNITUD LOGARíTMICA CONTRA LA FASE

Otro enfoque para representar gráficamente la característica de la respuesta en frecuencia es usar la traza de la magnitud logarítmica contra la fase, que es una traza de la magnitud logarítmica en decibeles contra el ángulo de fase o el margen de fase para un rango de frecuencia que interesa. [El margen de fase es la diferencia entre el ángulo de fase real Φ y -180°; es decir, Φ - (-180°) = 180° + Φ.] La curva se gradúa en términos de la frecuencia w. Estas trazas de la magnitud logarítmica contra la fase se denominan trazas de Nichols.

En las trazas de Bode, las características de la respuesta en frecuencia de G(jw) aparecen en papel semilogarítmico mediante dos curvas separadas, la curva de magnitud logarítmica y la curva de ángulo de fase; en la traza de magnitud logarítmica contra la fase, en cambio, las dos curvas de las trazas de Bode se combinan en una.

La traza de la magnitud logarítmica contra la fase se construye fácilmente si se leen los valores de la magnitud logarítmica y del ángulo de fase de las trazas de Bode. Observe que en la traza de magnitud logarítmica contra la fase, un cambio en la constante de ganancia de G(jw) simplemente altera la curva hacia arriba (al incrementar la ganancia) o hacia abajo (al decrementar la ganancia), pero que la forma de la curva permanece igual.

Las trazas de magnitud logarítmica contra la fase para la función de transferencia senoidal G(jw) y 1/G(jw) tienen una inclinación simétrica con respecto al origen, dado que

La Fig. 15 compara las curvas de respuesta en frecuencia de

Fig. 15. Tres representaciones de respuesta en frecuencia de

En la traza de magnitud logarítmica contra la fase, la distancia vertical entre los puntos ω = 0 y ω = ωr, en donde ωr es la frecuencia de resonancia, es el valor pico de G(j ω), en decibeles.

Conclusiones

Existen diversas maneras de representar la respuesta en frecuencia de los diferentes sistemas según sea conveniente a fin de obtener características aceptables de respuesta transitoria para el sistema.

El análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia me permiten ver la evolución de un sistema dependiendo de su respuesta en frecuencia de su función de transferencia.

La respuesta en frecuencia de un sistema de control presenta una imagen cualitativa de la respuesta transitoria, la correlación entre las respuestas en frecuencia y transitoria es indirecta.