Analisis de Sistemas Lineales Aplicación a Procesos Industriales

CAPITULO 1

Anlisis de Sistemas Lineales, Marcos Crutchik N.

EDITORIAL UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES: APLICACIN A PROCESOS INDUSTRIALES

MARCOS CRUTCHIK NORAMBUENA

ANTOFAGASTA 2005A la memoria de mi padre,

Don David Crutchik WassermanINDICE DE MATERIAS

MATERIAPagina

PREFACIO 06

CAP 1: CONCEPTOS BSICOS DE SISTEMAS09

1.1.Introduccin09

1.2.Caracterizacin de Sistemas10

1.2.1Modelo General de Sistemas: Entradas, Perturbaciones, Salidas, Variables de Estado, Parmetros10

1.3.Clasificacin de Sistemas12

1.3.1Sistemas Naturales o Artificiales, Causales o Anticipativos, Abiertos o Cerrados, SISO o MIMO, Variantes o Invariantes en el tiempo, Concentrados o Distribuidos, Determinsticos o Aleatorios, Continuos o Discretos, Lineales o No Lineales 12

1.4.Tcnicas de Linealizacin de Sistemas No Lineales18

EJERCICIOS PROPUESTOS22

CAP 2: MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS FISICOS29

2.1.Introduccin 29

2.2.Modelos matemticos del tipo Fenomenolgico de Sistemas Industriales tpicos.35

2.2.1Los Sistemas Mecnicos36

2.2.1.1Los Sistemas Mecnicos Traslacionales36

2.2.1.2Los Sistemas Mecnicos Rotacionales39

2.2.2Los Sistemas Trmicos42

Calor por Conduccin, Conveccin, y Radiacin42

Calor en Fluidos Circulantes46

2.2.3Los Sistemas de Fluidos49

Fuentes, Resistencias Hidrulicas, Vlvulas, Capacitancias Hidrulicas52

2.2.4Los Sistemas Elctricos58

2.2.4.1Elementos de Sistemas Elctricos: Resistencia, Capacitancia, Inductancia, Transformador, Maquina Elctrica (DC, Rotor Bobinado, Jaula de Ardilla, Sincrnica58

2.2.5Los Procesos de Naturaleza Mixta66


CAP 3: HERRAMIENTAS MATEMTICAS PARA EL ANLISIS

DE SISTEMAS LINEALES82

Introduccin 82

3.1.Herramientas Matemticas en el Dominio del Tiempo83

3.1.1.Mtodo Basado en Resolucin de Ecuaciones Diferenciales83

Respuesta Transiente84

Respuesta Estacionaria86

COMENTARIOS FINALES89

3.1.2.Mtodo de la Convolucin Continua90

Propiedades de la Funcin Convolucin Continua93


3.2.Herramientas Matemticas en el Dominio de la Frecuencia97

3.2.1.Las Series de Fourier99

3.2.1.1La Serie Geomtrica y Exponencial de Fourier99

Concepto de Armnicos, Planos Discretos de Amplitud y de Fase100

3.2.1.2Serie Geomtrica y Exponencial de Fourier de Funciones Peridicas 102

3.2.1.3Generalizacin del Concepto de la Serie de Fourier: La Transformada de Fourier106

3.3.1Propiedades de la Transformada de Fourier110

3.3.2Existencia de la Transformada de Fourier116

Casos especiales de Transformada de Fourier117

3.3.3Aplicaciones de la Transformada de Fourier118

3.3.3.1Clculo de la Respuesta Temporal de un Sistema118

Concepto de Funcin de Transferencia, Clculo de Respuesta, Definicin de Polos y Ceros119

3.3.3.2Filtros y Caractersticas de Filtraje de Sistemas122

Filtros Pasa Bajos, Pasa Altos, Pasa Banda, Elimina Banda122

3.3.3.3Transmisin Sin Distorsin y Ancho de Banda127

3.3.3.4Sistema de Transmisin en Amplitud Modulada128


3.4.La Transformada de Laplace 131

La Transformada Bilateral de Laplace131

3.4.1La Existencia de la Transformada Bilateral de Laplace133

3.4.2No Unicidad de la Transformada Bilateral Inversa de Laplace136

3.4.3La Transformada Unilateral de Laplace137

Propiedades de la Transformada Unilateral de Laplace138

3.4.4Aplicacin de la Transformada Unilateral de Laplace al Anlisis de Sistemas141

Funcin de Transferencia, Polos y Ceros, Plano de Laplace141

3.5Representacin de Sistemas en Diagramas en Bloques146

Ejemplo de Motivacin147

3.5.1Reglas de Diagramas en Bloques149


CAP 4: ANLISIS DE LA RESPUESTA DE SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES169

Introduccin 169

(i)Definicin de Parmetros de las Respuesta de un Sistema: Valor Final, Ganancia Estacionaria, Retardo, Sobreimpulso, Tiempo de Reaccin, Tiempo de Respuesta169

4.1. Anlisis de la Respuesta de Sistemas de 1 Orden173

Respuesta a Escaln173

4.1.1.Respuesta de Sistemas de 1 Orden a Rampa e Impulso178

4.2.Anlisis de la Respuesta de Sistemas de 2 Orden178

(i)Respuesta Sobreamortiguada179

(ii)Respuesta Amortiguada Crtica181

(iii)Respuesta Subamortiguada182

(iv)Respuesta de Sistemas de 2 Orden a Rampa e Impulso187

4.3.Anlisis de la Respuesta de Sistemas de Orden Superior188

4.4.Estabilidad Absoluta en Sistemas Lineales191

(i)Conceptos Bsicos de Estabilidad Absoluta193

4.4.1.Anlisis de Estabilidad Absoluta en Sistemas Lineales194

4.4.4.1Mtodo de Routh Hurwitz195

(i)Casos Especiales del Mtodo de Routh Hurwitz197

4.4.2.Estabilidad de Sistemas de Lazo Cerrado200


PREFACIO

El conocer a priori la forma en que reaccionan los sistemas, de cualquier tipo, ante algn estimulo es importante, no solo para conocer la forma en que operan los procesos, sino que tambin para poder realizar las adecuaciones y los perfeccionamientos para mejorar su comportamiento, como tambin para tomar los resguardos en caso que se detecte la posibilidad de algn mal funcionamiento. As, el saber el tiempo que demorar un horno en alcanzar la temperatura de trabajo permitir una adecuada planificacin de las faenas y de la produccin, o, el saber que la dinmica de un estanque de cido presenta un importante sobreimpulso permite planificar los resguardos para evitar que ste se rebalse y cause daos en su entorno, como tambin, el conocer el modelo de comportamiento de un proceso, llamado Modelo Matemtico, hace posible su mejor diseo y una ms ptima seleccin de componentes y materiales.

El siguiente libro lidia con todo eso, esto es, entregar las herramientas que permitan analizar y obtener la respuesta de los sistemas frente a ciertas entradas predeterminadas, de modo que, a partir de estas respuestas, se puedan tomar decisiones respecto a la mejor utilizacin de los procesos o el diseo de los mismos. El tema as planteado puede enfocarse desde dos puntos de vista, el Fenomenolgico o llamado tambin Analtico, en donde la idea es representar los sistemas por medio de ecuaciones matemticas representativas de los principios fenomenolgicos fsicos que rigen este tipo de procesos, de modo que la solucin de las ecuaciones planteadas entrega las respuestas buscadas. Los modelos matemticos de este tipo son usualmente complejos y no siempre fciles de obtener, y menos de resolver, requiriendo para su planteamiento un buen conocimiento de las leyes fsicas asociadas al proceso en estudio. Una segunda aproximacin al tema es la denominada Emprica, siendo la idea en este caso la de experimentar directamente con el proceso real de modo de conocer sus parmetros de comportamiento en el terreno, no en forma terica. La gran ventaja del mtodo emprico esta asociada a su simplicidad y fcil aplicacin, cosa que puede ser muy importante para los ingenieros que trabajan en la industria, profesionales que usualmente no tienen mucho tiempo para la realizacin de largos estudios tericos. La gran desventaja de los mtodos empricos tiene que ver con el hecho de que no permiten el diseo y desarrollo de nuevos equipos, pues estos mtodos requieren de la existencia fsica del proceso para poder experimentar. Otro inconveniente de los sistemas empricos tiene que ver con el rango ms restringido de informacin que es posible de obtener, y del obvio problema de tener que experimentar con los procesos, hecho el cual no siempre es posible ni permitido por las jefaturas (puede tener incidencias en la produccin), sino que tambin exige a aquel que va a realizar las pruebas una amplia experiencia en el proceso, so riesgo de realizar alguna maniobra inconveniente que termine por daar alguno de los equipos del sistema.

La temtica as planteada ser tratada en dos instancias distintas, el primero, que es el objetivo del presente libro, tiene que ver con los mtodos fenomenolgicos-analticos, mientras que el segundo, la metodologa emprica, ser tratada en otro texto ms adelante.

Todo estudio de este tipo parte por la necesidad de presentar un Modelo Matemtico, esto es, un conjunto de ecuaciones que presente de la mejor manera posible la dinmica del sistema real. Es decir, la idea es establecer un conjunto de ecuaciones que represente el funcionamiento de un horno, de un motor, o de un estanque, de modo que el estudio de estas ecuaciones permitir conocer el comportamiento que cada uno de esos procesos tendra frente a una situacin determinada. Lamentablemente los sistemas fsicos reales son extremadamente complejos, tienen grandes no linealidades, presentan por lo general un comportamiento aleatorio, dems de ciertas caractersticas de distribucin espacial de la variables, hecho que hace que los modelos matemticos resultantes sean por lo general no lineales, basados en derivadas parciales, y de comportamiento probabilstico, caractersticas todas estas que hacen muy difcil el anlisis, pues para realizarlo hay que usar herramientas matemticas de gran complejidad. Una alternativa, que han utilizado algunos cientficos (centrados principalmente en los pases de la Europa oriental) es aceptar el desafo y desarrollar las herramientas que permitan el anlisis de cualquier sistema, por complejo que sea. Aportes interesantes en esta materia han hechos Liapunov, Popov, y otros, cuyas metodologas son ampliamente utilizadas por quienes aceptan este tipo de visin del problema. La ventaja de este tipo de aproximacin al problema es que lo resultados obtenidos son de gran calidad, siendo prcticamente iguales a los de los sistemas reales. La desventaja de esta metodologa reside en el hecho de que la obtencin de los resultados requiere de clculos muy complejos que usualmente requieren un largo tiempo de trabajo. Lo anterior trae consigo tambin un inconveniente econmico, pues ello hace que el desarrollo de los proyectos sea de tiempos ms largos (esto es, ms horas-hombre dedicadas al proyecto), adems de necesitar hardware y software especializado para la realizacin del anlisis, todo lo cual se traduce en mayores costos y en menores rentabilidades, ya sean estas privadas o sociales. Una aproximacin distinta al problema, desarrollada fundamentalmente por lo cientficos de EEUU y la Europa Occidental, plantea que lo mejor es plantear simplificaciones y aproximaciones en los modelos matemticos de los procesos, logrando con ello ecuaciones ms simples y sencillas de resolver. Lo anterior se traduce en que el anlisis es mucho ms sencillo y mucho menos complejo, hecho el cual se traduce en menores costos para los proyectos, y periodos de tiempos ms cortos para la ejecucin de los mismos. El precio que se paga por la utilizacin de simplificaciones y aproximaciones a los modelos es que los resultados obtenidos son de menor calidad, siendo las respuestas solo aproximadamente iguales a las que arrojan los sistemas reales. En este tipo de casos el compromiso simplicidad-exactitud es uno de los problemas a resolver.

Ambas formas de aproximarse al problema del anlisis de sistemas son igualmente vlidas, y el usar una u otra es una opcin que depende del contexto en que se sita un problema en particular. Para los efectos de este texto, y en general por su mayor utilizacin global, en particular en los pases de la orbita occidental, se optar por la metodologa de la aproximacin y simplificacin, ello en la seguridad de que los resultados, a pesar de ser solo aproximados, son suficientemente buenos. El impresionante desarrollo tecnolgico que han tenido las naciones de la orbita occidental son un prueba fehaciente de esta aseveracin.

Consecuente con lo anterior, es que el primer Capitulo de este texto tratar a los sistemas en forma general, discutiendo sus caractersticas, sus propiedades, e indicando las aproximaciones y compromisos que es posible hacer para su simplificacin. Bajo el prisma de los compromisos tomados en el capitulo anterior se proceder a continuacin derechamente al planteamiento de modelos matemticos. Si bien los conceptos y herramientas a utilizar en este caso son validos para cualquier tipo de proceso, ya sea este econmico, biolgico, u de otro tipo, se centrar la atencin en los procesos del tipo industrial, ello por su obvia relacin con la ingeniera. El nfasis estar en analizar sistemas del tipo trmico, hidrulicos, neumticos, mecnicos, y elctricos, y sus combinaciones, por ser estos la base de la mayora de los procesos industriales productivos. Una vez planteados los modelos, en el Capitulo 3, se empezarn a discutir las herramientas matemticas disponibles para analizar las ecuaciones planteadas en los modelos. El anlisis se orientar en dos direcciones, Herramientas en el Plano del Tiempo, esencialmente el concepto de Convolucin, y Herramientas en el Plano de La Frecuencia, siendo stas las ya conocidas transformadas de Fourier y de Laplace. Finalmente, en el ltimo capitulo, se realizar el anlisis de los sistemas propiamente tal, definiendo en primer lugar los parmetros que interesa conocer (valor final, tiempos de respuesta, sobreimpulso, estabilidad absoluta, etc.), para despus pasar a discutir las metodologas existentes para el calculo de estos parmetros, adems de interpretar los resultados obtenidos.

Marcos Crutchik N.

Dpto. Ing. Elctrica

Universidad de Antofagasta

CAPITULO 1

CONCEPTOS BASICOS DE SISTEMAS

1.1 Introduccin

Un Sistema o Proceso puede definirse como Un conjunto de elementos interconectados que reaccionan de una manera determinada frente a uno o ms estmulos. As, la economa de Chile, y la forma que sta reacciona frente a estmulos como el inters bancario que fija el Banco Central, el precio del dlar o de la libra de cobre, configurara lo que se podra llamar un Sistema Econmico, cuyo anlisis podra entregar importante informacin para el mejor diseo de las polticas macroeconmicas del pas. De igual forma, el cuerpo humano, y la forma en que este acta frente a estmulos, tambin sera un sistema, que podra denominarse Sistema Biolgico, que sera interesante estudiar. Desde el punto de vista de la ingeniera, estn tambin los sistemas industriales, como ser las plantas de molienda, las de Electroobtencin, u otras, los cuales los profesionales de esas reas estudian y perfeccionan. Estn tambin los sistemas sociales, los sistemas educacionales, etc., todos lo cuales calzan con la definicin dada. Significa todo esto que cuando se habla de Anlisis de Sistemas, ello implica de cualquiera los sistemas anteriormente nombrados?, Qu las tcnicas de modelacin matemtica, o las herramientas que se utilizarn en esta asignatura son igualmente aplicables en todo tipo de sistemas?. La respuesta es s, en efecto, los economistas tambin predicen los resultados en base a modelos, los bilogos pueden conocer la respuesta a estmulos de los organismos vivos por medio de la resolucin de cierto conjunto de ecuaciones matemticas, como tambin los ingenieros pueden predecir el resultado de una planta de molienda mediante un planteamiento de un modelo matemtico de la misma, y su posterior anlisis. Es decir, los sistemas econmicos, biolgicos o sociales, tambin tienen comportamiento lineal o no lineal, pueden ser aleatorios y probabilsticos, o ser de parmetros distribuidos, y para su anlisis se puedan aplicar herramientas como las desarrolladas por Liapunov, la Convolucin, o la transformada de Laplace, no solo los sistemas industriales del tipo ingenieril.

Naturalmente, si bien ello sera en teora posible, escapa de los objetivos de este curso entrar a analizar la respuesta de todo este tipo de sistemas, razn por la cual se centrar el estudio solo en el de tipo industrial ingenieril, como ser los trmicos, representados por hornos y procesos de transferencia de calor, los mecnicos traslacionales y los rotacionales, los de fluidos caracterizados por procesos que contienen estanques, bombas y vlvulas, y por los elctricos, con sus transformadores, motores y otro tipo de equipos. El nfasis no estar en el conocimiento del sistema en si mismo, sera en extremo pretencioso con un solo curso transformarse en un experto en todo este tipo de sistemas, solo en el procedimiento de modelacin, en las herramientas y en los parmetros de anlisis.

1.2 Caracterizacin de los Sistemas

Desde un punto de vista general un sistema puede visualizarse como se muestra en la figura Fig.1.1, en donde:

Entradas (U): Representan las excitaciones o estmulos que se introducen intencionalmente, de modo de lograr que el sistema realice alguna accin predeterminada. Ejemplo de lo anterior podra ser el contacto de ignicin de un automvil, o la activacin de un interruptor para poner en marcha un sistema elctrico determinado, etc.

Perturbaciones (W): Son entradas no deseadas, de carcter aleatorio, sobre las cuales no tenemos control, que perturban el funcionamiento de un sistema, haciendo que la respuesta se desve del comportamiento deseado. Ejemplo de perturbaciones son los ruidos electromagnticos que hay en el medio ambiente, la temperatura o la presin ambientales, entre otros. Las Perturbaciones se pueden clasificar en dos tipos:

Perturbaciones Medibles: Es decir, son entradas indeseadas que son posibles de medir, y por lo tanto es posible tomar alguna accin correctiva a priori para eliminar o atenuar su efecto (Ejemplo, temperatura ambiental). Perturbaciones No Medibles: Tal como lo indica su nombre, corresponden a entradas aleatorias no deseadas que no son posibles de medir, que afectan el funcionamiento de un sistema. Dado al hecho de que no son medibles, su efecto sobre el sistema solo es observable por la desviacin que tienen las salidas del sistema del comportamiento deseado.

Salidas (Y): Corresponde a la respuesta del sistema frente a los estmulos dados por las Entradas Deseadas (U) y las Perturbaciones (W).

X (Variables de Estado), P (Parmetros): Corresponden a las variables internas del sistema, a las propiedades y parmetros, y a las relaciones que existen entre ellas, que hacen que un sistema responda de una manera caracterstica determinada.

Fig. 1.1. Diagrama esquemtico representativo de un sistema.

Ejemplo: Considere el Pozo Sumidero de la Figura 1.2. Este sistema forma parte de las plantas de Molienda en las industrias de extraccin y procesamiento de minerales. En esta planta se reciben las pulpas de las salidas de dos molinos, un Molino SAG, que se encarga de moler las piedras de mayor tamao, y un Molino de Bolas, que realiza molienda ms fina, mezclando ambas con una cantidad de agua. La mezcla e trasportada a una etapa posterior de procesamiento con la ayuda de una Bomba elctrica.

Fig. 1.2. Esquema de Sistema de Pozo Sumidero en una Planta de Molienda.

De acuerdo al esquema planteado en la Fig. 1.1, en este caso es posible distinguir las siguientes caractersticas:

Existen tres entradas, corresponden al Flujo de Pulpa del Molino SAG (FSAG), Flujo de Pulpa de Molino de Bolas (FMB), y el Flujo de Agua (FA).

Existe una Salida, corresponde al Flujo al Hidrocicln (FHC).

C (Capacitancia Hidrulica), y Rh (Resistencia Hidrulica), son parmetros del Pozo Sumidero, y H (Nivel de Pulpa en el Pozo), y P (Presin en el fondo del Pozo) son las variables internas. Las relaciones entre estas variables estn dadas por las siguientes ecuaciones:

(1) CdP = FSAG + FMB + FA - FHC

dt

(2) FHC2 Rh = P - Pa(3) P = H + Pa, = Densidad Especfica material en Pozo Sumidero.

(4) FHC = f(P)

Pa (Presin Ambiental) es una entrada tipo Perturbacin, del tipo Medible, que afecta la presin P en el Pozo, y con ello el flujo FHC en la salida.

Todo lo cual se traduce en el siguiente esquema:

1.3 Clasificacin de Sistemas

De acuerdo a sus caractersticas internas (dadas por X y P), un sistema se puede clasificar de las siguientes Categoras:

Sistemas Naturales o Sistemas Artificiales: Los sistemas Naturales, como su nombre lo indica, corresponden a sistemas que existen en forma natural en la naturaleza. Un sistema es Artificial si ha sido construido por el hombre. Los sistemas que se estudian en la ingeniera, y que son materia de este apunte, son generalmente Artificiales.

Sistemas Causales o Sistemas Anticipativos: Un sistema es Causal, o No Anticipativo, si su salida en cualquier instante de tiempo depende solo de los valores de la entrada en el tiempo presente y del tiempo pasado, es decir, tiene respuesta solo para tiempos mayores que cero (en el entendido que el tiempo t=0 corresponde al instante en que es aplicado el estimulo). Un sistema es Anticipativo si requiere informacin del futuro para determinar la respuesta en el presente. Los sistemas anticipativos son solo una concepcin terica, claramente no es posible construir un sistema que adivine el futuro, que responda a una excitacin antes de que sta sea aplicada. Para los efectos de este texto se centrar la atencin en los sistemas del tipo Causal.

Sistemas Abiertos o Sistemas Cerrados: Los sistemas Abiertos son aquellos que tienen una interaccin con el medio externo. Por otra parte, los sistemas Cerrados son aquellos que tienen solo interacciones internas, sin que haya interaccin con el medio externo.

Sistemas SISO o Sistemas MIMO: Un sistema SISO (Self Input Self Output), o Monovariable, es aquel que tiene una sola entrada y una sola salida. Un sistema MIMO (Multiple Input Multiple Output), o Multivariable, es aquel que tiene varias entradas y ms de una salida.

Sistemas Invariantes o Sistemas Variantes en el Tiempo: Un sistema es Invariante en el Tiempo si su respuesta no depende del instante en que se aplique la excitacin. Es decir, frente a una mismo estimulo responde de una misma manera, sin importar el instante de tiempo en que el estimulo fue aplicado (Ejemplo, una ampolleta de una pieza se enciende cada vez que se conmuta el interruptor, con independencia de la hora, da, o mes en que esta accin es ejecutada). Los sistemas Invariantes se caracterizan por ecuaciones matemticas de coeficientes constantes (Ejemplo, Y= A1X1 +A2X2+.+AnXn).

Matemticamente la propiedad de la Invariancia de se puede definir como sigue: Si un sistema frente a una excitacin Xo(t) responde con Yo(t), y, si frente a una excitacin Xo(t-T) responde con Yo(t-T), entonces el sistema es Invariante en el Tiempo.

Un sistema es Variante en el Tiempo si su respuesta frente a un estmulo cambia dependiendo del instante de tiempo en que este estimulo es aplicado (ejemplo, la respuesta de un cohete frente a los estmulos va cambiando a medida que el cohete va quemando combustible). Los sistemas Variantes se caracterizan por ecuaciones matemticos cuyos coeficientes son funcin del tiempo (Ejemplo, Y= A1(t)X1+A2(t)X2+.+An(t)Xn).

Sistema Concentrado y Sistema DistribuidoUn sistema es Concentrado si sus atributos estn concentrados en un punto, de modo que sus variables y salidas solo cambian en funcin del tiempo. Este tipo de sistemas esta representado por ecuaciones diferenciales, lineales o no lineales, con derivadas totales.

Un sistema es Distribuido si sus parmetros y atributos, adems de la variable tiempo, dependen tambin de la ubicacin espacial del observador. As, bajo este contexto, la temperatura es una variable distribuida, claramente, por ejemplo, la temperatura en una pieza no es igual en todas partes, razn por la cual el sistema trmico representativo de la pieza es un sistema Distribuido. Puesto que las variables en los sistemas Distribuidos son funcin de ms de un parmetro, usualmente este tipo de sistemas esta representados por ecuaciones diferenciales de derivadas parciales, cuya resolucin analtica por lo general es muy compleja, y muchas veces solo posible en forma computacional.

En la prctica una gran parte de los sistemas reales son del tipo Distribuido, hecho que hace muy su complejo su anlisis. Una forma de lidiar con el problema, en el contexto de la metodologa de simplificacin planteada en la Introduccin de este Apunte, es realizar alguna de las siguientes aproximaciones:

(i) Cuando el inters del anlisis esta centrado en conocer tendencias de comportamiento de un sistema, no en predecir con exactitud los resultados reales, considerar derechamente que los parmetros del sistema son Concentrados y aceptar el error que esta asumpcin puede significar. A pesar de lo inexacto que parece esta metodologa es ampliamente utilizada, basta recordar que en la fsica se acepta que la masa esta concentrada en un punto (cosa que en realidad no es cierta), que en la meteorologa se supone que la temperatura o la humedad es igual en cualquier parte de una ciudad, y que en la electricidad se considera que la carga elctrica en un condensador es un parmetro concentrado.

(ii) Dividir el sistema en un conjunto de subsistemas en los cuales se pueden considerar que los parmetros son concentrados, tcnica la cual recibe el nombre de Sistemas con Parmetros Semidistribuidos. En la figura Fig. 1.3 se ilustra esta tcnica para la temperatura en un acuario, all se ha dividido el acuario en tres subespacios en donde se supone que las temperaturas son T0, T1, y T2 respectivamente. Naturalmente cuando ms subsistemas se consideren mayor exactitud tendr el anlisis, pero, como era de esperarse, la resolucin del problema ser tambin ms compleja.

Fig. 1.3. Esquema de Parmetros Semidistribuidos para un Acuario.

Sistema Determinsticos o sistemas AleatoriosUn sistema es Determinstico si su repuesta frente a cualquier circunstancia se puede conocer con 100% de certeza. En otras palabras, en un sistema Determinstico todas las respuestas tiene una probabilidad de ocurrencia igual a 100%. Es decir, el televisor siempre funcionar cuando lo enciendan, el motor del auto encender cuando se de la ignicin, la ampolleta iluminar cuando conmute el interruptor, etc.

Un sistema es Aleatorio si bajo ninguna circunstancia es posible predecir su respuesta frente a una excitacin. En la prctica la mayora de los sistemas tienen una combinacin entre informacin determinstica y otra del tipo aleatoria. Este tipo de sistemas se conoce con el nombre de Estocstico, y en ellos solo existe una cierta probabilidad que frente a una accin determinada se obtenga una respuesta o el comportamiento esperado. Los sistemas estocsticos para su anlisis requieren del uso de herramientas de estadsticas y probabilidades. Afortunadamente, si bien en la prctica en realidad todos los sistemas son estocsticos, en la mayora de ellos, en particular los del tipo industrial, que son del inters de esta asignatura, las probabilidades de ocurrencia son muy altas, razn por la cual es perfectamente posible aproximar a casi todos ellos por sistemas Determinsticos.

Sistemas Continuos o Sistemas DiscretosUn sistema es Continuo si todas sus variables y respuestas tienen un valor para todo instante de tiempo (ver Fig. 1.4 a). Los sistemas Continuos son representados por ecuaciones diferenciales.

Un sistema es Discreto si sus variables y respuestas son discretas, esto es, tienen un valor solo en algunos instantes puntuales de tiempo (ver Fig. 1.4 b). Los sistemas Discretos son representados por ecuaciones de diferencias.

Fig. 1.4. (a) Variable en sistema Continuo, (b) Variable en sistema Discreto

Un subconjunto importante de los sistemas Discretos lo constituyen los sistemas Digitales, sistemas en los cuales estn basados todos los equipos computacionales en la actualidad. Los sistemas Digitales estn formados por secuencias de unos y ceros que forman cdigos representativos del valor de un cierto parmetro. A pesar de lo que aparece en cierta literatura, es importante recalcar que los trminos Discreto y Digital no pueden ser considerados como sinnimos, pues si bien todos los sistemas digitales son digitales, lo contrario no es cierto, hay muchos sistemas discretos que no son digitales, es ms, que ni siquiera son electrnicos.

Sistemas Lineales o Sistemas No LinealesUn sistema es Lineal si cumple con los Principios de Homogeneidad y Superposicin (o tambin llamado Aditividad).

Principio de Homogeneidad: Si un sistema responde a X(t) con Y(t), y a X1=KX(t), K= Constante, con Y1 =KY(t), entonces el sistema es Homogneo, es decir, cumple con el principio de Homogeneidad.

Principio de Superposicin: Si un sistema responde a X1(t) con Y1(t), y a X2(t) con Y2(t), entonces el sistema ser Aditivo, esto es cumple con el principio de Superposicin, si a X1(t)+X2(t) responde con Y1(t)+Y2(t).

Los sistemas Lineales se representan por ecuaciones diferenciales lineales.

Un sistema es No Lineal si no cumple con el Principio de Homogeneidad, o el Principio de Superposicin, o con ambos.

Ejemplo: Comprobar si el siguiente sistema es lineal

En donde:

Y(t)= a X(t)+b

a ,b = Constantes

Principio de Superposicin:De a cuerdo a lo planteado:

Para una entrada X1, el sistema responde con Y1= aX1+b

Para una entrada X2, el sistema responde con Y2= aX2+b

Entonces para: X3= X1+ X2

Y3= a(X1+ X2) + b = (aX1+b)+ (aX2+b) b

= Y1 + Y2 -b

Entonces, puesto que Y3 Y1 + Y2, entonces el sistema no es Aditivo, de lo que se concluye que el sistema no cumple con el Principio de Superposicin, razn por la cual el sistema bajo estudio no es lineal.

Principio de Homogeneidad: En realidad basta con la prueba anterior para probar que el sistema no es lineal, de modo que no es estrictamente necesario probar este Principio para establecer la no linealidad, es ms, aunque el sistema resultase homogneo, igual seguira siendo no lineal, se analizar este Principio solo con la finalidad de practicar la metodologa que habra que eventualmente utilizar para su aplicacin.

As, si para un entrada X= X1 el sistema responde con Y1= aX1+b, entonces para una entrada X2= KX1 se tiene que:

Y2= K(aX1+b) Kb + b

= KY1 + b(1-K)

Entonces, puesto que Y2 KY1, entonces el sistema tampoco es Homogneo.

Nota: es importante observar que el sistema sera lineal si b=0, es decir si la caracterstica del sistema es una recta que pasa por el origen. En otra palabras, no basta con que la caracterstica del sistema sea una lnea recta para que el sistema sea lineal, es necesario tambin que esta recta pase por el origen del sistema de coordenadas.

Mtodo de la Recta Caracterstica para prueba de linealidad de sistemas:

La nota anterior sugiere un mtodo alternativo para averiguar la linealidad, utilizar el concepto de lo que se podra llamar la linealidad de la Expresin Caracterstica representativa de una ecuacin o de un modelo matemtico. La Expresin Caracterstica se obtiene transformando la ecuacin matemtica, por medio de cambio de variables, en otra ecuacin equivalente que contiene solo variables independientes. Si la ecuacin resultante es una lnea recta que pasa por el origen entonces la ecuacin, y el sistema, es lineal. Para entender la metodologa considere los siguientes ejemplos:

Ejemplo: Determine la linealidad del siguiente sistema

Sean: , , y, , entonces:

Esto es:

La ecuacin resultante es una recta, de cinco variables, que pasa por el origen, de lo que se concluye que el sistema es lineal.

Ejemplo: Considere la linealidad del siguiente sistema

Usando la misma transformacin de variables utilizada en el ejemplo anterior, se tiene que.

Ecuacin que, si bien pasa por el origen, no es una recta, pues tiene dos elementos del tipo cuadrticos (w2 e yp), razn por la cual el sistema en estudio no es lineal.

Nota Si X1, X2, ..., Xn son variables independientes, y A1, A2, ..., An son constantes, o alguna funcin del tiempo, entonces la siguiente ecuacin es la expresin generalizada para una recta de n-dimensiones que pasa por el origen:

1.4. Tcnica de Linealizacin de Sistemas No Lineales

En la realidad, en la gran mayora de los casos se desea que el sistema se mantenga trabajando en torno a ciertas condiciones predeterminadas. As por ejemplo, se quiere que el horno de fundicin de mineral de cobre se mantenga permanentemente en 1200 C, o que la tensin que alimenta los aparatos elctricos de la casa sea siempre 220 Volts, etc. Bajo estas condiciones es posible suponer que los sistemas no varan mucho sus entradas y sus salidas, y que stas se mantienen alrededor de un punto de trabajo predeterminado. Bajo este contexto, si se trabaja en torno a un punto de operacin, es posible, sin cometer un error excesivo, aproximar la caracterstica del sistema en la zona de trabajo por una recta que pasa por el origen un nuevo eje coordenadas centrado en el punto de trabajo (ver Fig. 1.5), logrando con ello un sistema equivalente de funcionamiento lineal.

Fig. 1.5. Esquema conceptual de la Linealizacin, (a) Sistema de una entrada y una salida, (b) Sistema de dos entradas y una salida.

La forma de lograr lo anterior, en forma matemtica, parte por aproximar la caracterstica original del sistema por medio de series de Taylor en torno a un punto de trabajo. As, si la caracterstica del sistema esta dada por y=f(x1,x2,....,xn) cualquiera, un desarrollo de serie de Taylor en torno el punto de trabajo yo=f(x10, x20,...., xno) para esta funcin arrojara el siguiente resultado:

Si el sistema funciona suficientemente cerca del punto de trabajo (xi-xio) es pequeo, en consecuencia la expresin anterior se puede aproximar por:

Entonces, si para cambiar de eje de coordenadas se define: , , y, entonces la ecuacin anterior se puede rescribir como:

Esta ecuacin, en torno al nuevo Eje de Referencia, es efectivamente una lnea recta que pasa por el origen, hecho el cual indica que el sistema se ha lineal izado.

Nota: Debe recordarse que en definitiva, respecto al eje de referencia original, la salida y del sistema esta dada por y= y0+ y.

Ejemplo: Considere la linealizacin del modelo representativo del siguiente estanque:

Modelo Matemtico:

En donde:

A = Seccin Estanque

H = Nivel de liquido

R = Porcentaje apertura vlvula

= Densidad Especfica

El primer paso en una linealizacin es establecer el punto de trabajo en donde operar el sistema. Ello se obtiene suponiendo que el sistema opera en estado estacionario (condicin en la cual las derivadas son cero). As, para Fi=Fee se despeja de la ecuacin que:

De acuerdo a la metodologa planteada, la ecuacin lineal izada estara dad por:

En donde:

En la figura Fig.1.6 se muestran los resultados de las respuestas del sistema no lineal y el linealizado en torno al punto de trabajo dado por (Fe,He)=[10(m3/s),5(m)] en donde se ha considerado un estanque circular de radio 2 (m), una apertura de vlvula de un 50% (R=0.5), y siendo el lquido agua (=9.8). La comparacin de ambas respuestas muestra a las claras la validez de la metodologa de la aproximacin por medio de la linealizacin.

Fig.1.6. Comparacin de respuestas del modelo no lineal y linealizado del

estanque del ejemplo, en torno al punto de trabajo (Fe,He)=(10,5).

Debe recalcarse que la linealizacin planteada tiene validez solo en torno al punto de trabajo en el cual operar el sistema, de modo que el modelo desarrollado tendr solo validez en torno a este punto operacional. Si se quiere operar en puntos de trabajo diferentes, habr que realizar una nueva linealizacin en torno a ese nuevo punto de operacin. Para ilustrar lo anterior se muestra lo que ocurrira si se utiliza el modelo desarrollado para el punto (Fe,He)=(10,5) para evaluar la respuesta del sistema para el punto de trabajo dado por Fe=8 (m3/s). A simple vista se observa que en este caso la aproximacin dada por la linealizacin no es muy afortunada, no solo que el sistema se establece en un nivel distinto, sino que tambin que la respuesta del modelo linealizado alcanza ms lentamente el valor final.

Fig.1.7. Para el ejemplo, respuestas del modelo no lineal y linealizado del

estanque, en torno a un flujo Fi=8 (m3/s) fuera del punto de trabajo

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El sistema es un Soplador de Aire Caliente que se utiliza para entregar caudal de aire a temperatura para ciertos procesos de combustin o fundicin de metales.

Para el sistema planteado indique los:

(a) Las Entradas, salidas, y perturbaciones que Ud. visualiza en el sistema.

(b) Indique si las perturbaciones que Ud. visualiza son medibles, y si son de variacin rpida o lenta.

2. Considere el siguiente sistema de distribucin de agua para un edificio de dos pisos.

Para el sistema planteado indique:

(a) Las Entradas, salidas, y perturbaciones que Ud. visualiza en el sistema.

(b) Indique si las perturbaciones que Ud. visualiza son medibles, y si son de variacin rpida o lenta.3. Para un Proceso Ud., como ingeniero a cargo, ha linealizado su caracterstica para el punto de operacin dado por Po (Ver Figura). Para ese punto de trabajo se determina que para una entrada Xo el sistema responde con yo=1-e-t, en vista de sus xito, y dado que tiene un modelo linealizado del Proceso, su Jefe le pide determinar la respuesta del sistema para dos nuevos puntos de trabajo: P1(x1.y1) y P2(x2.y2). Frente a esta peticin Ud. le responde a su Jefe lo siguiente (Elija la alternativa correcta):(a) Que no es posible hacer lo que pide, pues el Modelo que Ud. calculo tiene solo validez en torno a punto de trabajo Po(xo.y0).

(b) Que no hay problemas, que en seguida le entrega los resultados.

(c) Que con el Modelo desarrollado solo puede dar la respuesta al punto P1(x1.y1), pero no al punto P2(x2.y2).

4. Considere el siguiente sistema cuya caracterstica se ha linealizado en torno al punto P(1,2). Si frente a una entrada x el sistema responde con el y de la figura, entonces, dibuja en forma cualitativa la forma que tendr la seal y(t).

5. Linealice el sistema para el punto de trabajo generado por la entrada x(t)=8U(t)

Linealice el Sistema para Qe =8 U(t)

6. El sistema tiene la caracterstica Esttica que muestra la figura. Linealice el sistema en torno a los siguientes puntos de trabajo:

(a) Po(1,1)

(b) P1(4,4)

(c) P2(6.2)

Linealice el Sistema en torno al punto de operacin que se genera cuando la Salida y(t) se establece en yss= 4.

7. En cada uno de los casos, indique si los sistemas son lineales e invariantes:(a) y = C, C= Constante

(b)

(c)

(d) y=Abs(x)(e)

(f)

(g) Y= 2x + 4

(h)

(i)

(j) Y(t)= x(t) + t

(k) Y(t)= x(t-to)

(l)

(m)

(n)

(o)

8. Indique cual de los siguientes elementos electrnicos de las figuras tiene un caracterstica lineal:

(g) Condensador

(h) Inductancia

9. Se sabe que un sistema es LI (Lineal e Invariante), y se sabe que para una entrada x(t)=t2 responde con y(t)= te-t. En funcin de estos resultados, indique cual ser la respuesta del mismo sistema para las siguientes entradas:(a) x1(t)= t2 + (t-2)2(b) x2(t)= U(t-2)(c) x3(t)= t2-2t+2

10. Si un sistema para una entrada x1(t)= U(t) responde con y1(t)= t2 e-2t, entonces:

(a) Si para x2(t)= U(t-2) responde con y1(t)=(t2-2) e-2(t-2), entonces el sistema es Invariante en el tiempo?. Justifique.

(b) Si para x3(t)= 2U(t-1) responde con y2(t)= 2(t-1)2 e-2t-2, El sistema es Lineal?, justifique.11. Si un sistema LI para una entrada x1(t)= U(t) responde con y1(t)= t2+t+1, entonces, determine la respuesta del mismo sistema a las siguientes entradas.(a) x3(t)= 3 (t-1)(b)

12. Si a una entrada x1(t)=U(t) responde con y1(t)=t2, y a una entrada x2(t)=3U(t)+(t-1) responde con y2(t)= 3t2+ 2(t-1). Indique si el sistema es lineal.13. Un sistema LI responde a x1(t)=U(t) con y1(t)=Sen(t), Si el mismo sistema responde con y2(t)=2Cos(t-1), calcule la entrada x2(t) que gener esta respuesta

14. Un sistema LI responde a x1(t)=U(t) con y1(t)=1-e-t, Si el mismo sistema responde con y2(t)=3(1-e-(t-1))+ e-t, calcule la entrada x2(t) que gener esta respuesta.15. Un sistema LI a una entrada x1(t)= Sen[10(t-1)] responde con y1(t)=e-t Sen(t). Indique la respuesta que tendr el mismo sistema a la entrada x2(t)=2Sen(10t)+3Cos(10t-60).16. Para un sistema se han registrado el siguiente par de respuestas a las entradas respectivas:

Para x1(t)=2U(t-) responde con y1(t)=2[1-e-(t-3)Sen(t-3)]

Para x2(t)=3(t-) responde con y1(t)=2e-(t-5)[1-Cos(t-5)]

Indique si el sistema es Lineal.

17. Si un sistema LI a una entrada x1= r(t) (Rampa Unitaria) responde con y1(t)=t2, indique la respuesta del mismo sistema a la entrada que se muestra en la figura:

18. Se sabe que un sistema LI a un entrada e1(t) responde con S1(t) (ver figura)

Ahora, si el sistema es excitado con e2(t)

Indique cual de las siguientes seales corresponde a la respuesta que el sistema frente a esta entrada.

19. Un sistema esta representado por el siguiente modelo matemtico:

(i)

(ii)

(a) Determine si el sistema es Lineal

(b) Linealice el sistema en tormo al punto de trabajo generado por Q=220. Para el sistema de la figura, que se usa para almaenar gas CO2 a ser usado en gasificar bebidas, se obtiene el siguiente modelo matemtico.

(i)

(ii)

(iii)

Para el sistema dado:

(a) Determine si el sistema es lineal

(b) Linealice el sistema en torno al punto de trabajo generado por F2=28 (m3/Min).

(c) Si para el sistema linealizado, para una entrada F2, Ud. obtuvo P(t)=1-te-t, entonces, indique un expresin matemtica para P(t).21. Considere el siguiente proceso, cuyo modelo matemtico se adjunta:

(i)

(ii)

(iii)

Datos:

CP=2, Ch=3, Rh=0.5

En donde:

P= Presin en el fondo del estanque.

Pi= Presin entregada por la bomba

Pa= Presin AmbientalFi= Caudal entregado por la Bomba.

Fo= Caudal de Salida

Para las condiciones planteadas:

(a) Determine si el sistema es lineal

(b) Linealice el sistema para el punto de operacin dado por Fi=10 (m3/Min).

22. El sistema de la figura esta representado por el modelo adjunto, en donde C1, C2, Rh1, Rh2 son constantes, y Pa es la presin ambiental

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Para las condiciones dadas:

(a) Determine si el sistema es lineal.(b) Linealice el sistema para el punto de operacin dado cundo se quiere que la salida se FO2=2 (m3/min). Considere que Pa=10 (PSI), Rh1=1, Rh2=2, C1=1, y C2=2.23. Un sistema trmico es representado por el siguiente modelo matemtico:(i)

(ii)

En donde:

Qi= Flujo de calor de entrada

QO= Flujo de calor de salida

T = temperatura del sistema

Ta= Temperatura Ambiental

Para el sistema dado:(a) Determine si el sistema es lineal.

(b) Si se quiere que el sistema trabaje a una temperatura de T=100 C, y si se sabe que Ta= 20 C, linealice el sistema en torno al punto de operacin generado bajo estas circunstancias.CAPITULO 2

MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS

2.1. Introduccin

Inferir modelos a partir de observaciones y estudio de propiedades de los sistemas es parte de la esencia de la ciencia en si mismo. El disponer de un modelo de una sistema significa poner en manos del ingeniero una importante herramienta con una multiplicidad de propsitos, siendo los ms importantes los siguientes:

(a) Analizar, o predecir, el comportamiento un sistema bajo ciertas circunstancias conocidas, logrando con ello establecer respuestas a interrogantes de produccin, de costos, y de toma de protecciones para evitar posibles malfuncionamientos inconvenientes, todo ello realizado en el papel, o en el computador, sin que necesariamente se tenga que efectuar intervencin en el sistema fsico real. Es ms, existen hoy una gran diversidad de programas computacionales (Simulink de Matlab, CC, etc.) que permiten la simulacin de sistemas a partir del conocimiento de su modelo matemtico. La simulacin computacional de sistemas bajo condiciones de condiciones de trabajo se ha constituido en una importante herramienta de anlisis, ello por la gran rapidez con que se obtienen las respuestas (se trabaja en tiempo simulado a la velocidad del computador, no a la velocidad real del sistema), y la flexibilidad que se tiene en la fijacin de los parmetros, todo lo cual permite probar muchas condiciones de trabajo en un muy corto tiempo.

Ejemplo de Motivacin

Considere el sistema de la figura cuyo modelo matemtico se adjunta

Modelo Matemtico

AdP = Qi - Qo

dt

Qo2 R = P - Pa

P = H + PaEn donde:

Qi = Caudal de Entrada

Q0= Caudal Salida

R =% Abertura Vlvula

P = Presin en Fondo del

Estanque

A = Seccin Estanque

= Densidad Especfica

En la figura Fig. 2.1. y Fig. 2.2 se observa la simulacin de este sistema con la ayuda de Simulink, utilitario proporcionado por el Programa Matlab, y algunos resultados de la aplicacin de distintas condiciones de trabajo para el sistema.

Fig. 2.1. Simulacin en Simulink de Matlab de Estanque del Ejemplo de Motivacin

Un anlisis somero de los resultados permitira establecer las siguientes conclusiones:

(i) Para un Estanque de 1 (m) de dimetro, suponiendo una presin ambiental de 10 (PSI), y para las condiciones operacionales dadas por Qi=10 (m3/Hora), R=50%, el sistema se establece en un nivel de 5 (m), demorndose para lograrlo aproximadamente 15 horas. La presin de trabajo se establece en 60 (PSI), y un flujo de salida de Qo=10 (m3/Hora).

(ii) cerrar un poco ms la vlvula produce el efecto disminuir el nivel en el estanque, y consecuentemente la presin en el fondo del estanque. No ocurre lo mismo para el flujo de salida Qi el cual se mantiene en el mismo valor. Otro efecto visible es que disminuye en forma importante el tiempo de respuesta del sistema, alcanzndose los valores finales bastante ms rpidamente, esta ltima informacin puede significar una importante herramienta en el momento que los operadores tengan que reaccionar ante alguna emergencia.

(iii) Se ve que la seccin del Estanque no tiene efecto sobre los valores finales de las variables, solo tiene incidencia en el tiempo en que el tiempo de respuesta del sistema, la cual se hace ms lenta a medida que crece A. Es decir, si solo interesan los valores finales, da lo mismo las dimensiones del estanque.

(iv) Claramente no es posible permitir que la Bomba entregue un flujo Qi=14, pues ello hara que el estanque se rebalse (H=10>Hmax), es decir, existe un caudal Qi mximo que es posible de utilizar en el esquema.

(a)

(b) (c) (d)

Fig.2.2. Resultados del proceso de simulacin del Estanque (a) Con Qi=10, R=50%, Pa=10, y A=3.14, (b) Efecto de cambio de R a 20% de apertura de vlvula, (c) Efecto de aumento de la seccin del Estanque a A=12.56, (d) Efecto del aumento del flujo de entrada a Qi=14.

Toda la informacin se obtuvo del anlisis y simulacin del sistema se logra a partir del conocimiento de su modelo matemtico, todo el trabajo, incluida la simulacin del sistema en Simulink y la simulacin de las cuatro situaciones operacionales, tomo aproximadamente 30 minutos. Las ventajas y el potencial operacional para manejar mejor los sistemas son evidentes, y no requieren de mayor argumentacin.

(b) Otra utilidad importante de los modelos es que permite, mediante el anlisis del comportamiento del modelo ante distintas situaciones es posible introducir mejoras en los sistemas, logrando con ello perfeccionar su funcionamiento. As por ejemplo, en el estanque del ejemplo anterior, se podra estudiar el efecto que tendra el cerrar el estanque, logrando con ello a lo mejor atenuar el efecto perturbador de la presin ambiental.

(c) Por ltimo, el disponer de modelos matemticos puede ser un importante herramienta par el diseo de sistemas, pudindose analizar con la ayuda de la simulacin diferentes estructuras, materiales, arquitecturas, etc.

Ejemplo de Motivacin:

Considere el sistema de amortiguacin de un automvil cuyo modelo matemtico se adjunta.

Modelo Matemtico

En donde:

M = Masa Vehculo

D = Viscosidad del aceite

K = Coeficiente de elasticidad del

Amortiguador

P = Peso del vehculo

X = Movimiento traslacional de la rueda

Para el sistema planteado, que es de 2 Orden, el coeficiente se amortiguacin () es el que determina el tipo de respuesta que tendr el sistema de amortiguacin del automvil, estando dado su valor en este caso por:

Claramente se observa que es posible obtener cualquier comportamiento que se quiera del sistema, basta para ello una seleccin adecuada del tipo de material que se usar para fabricar el Amortiguador (para elegir K), o del tipo de aceite que se usar (para elegir D). As, por ejemplo, si se quiere que el sistema tenga una respuesta del tipo sobreamortiguado habr que elegir K y D para que se cumpla que sea mayor que uno (>1).

Cuando se quiere analizar, o utilizar un sistema, es necesario tener alguna idea de la forma en que estn relacionadas las variables, y las formas en que estas operan para lograr un comportamiento determinado. Este conjunto de relaciones, y la forma en que estas interactan es lo que se conoce con el nombre de Modelo del sistema. Esta definicin, que intenta ser generalista, requiere de algunas precisiones:

Un mismo sistema, dependiendo del inters del observador, puede ser representado por ms de un Modelo. As, por ejemplo, un arquitecto, al observar un molino de bolas con toda seguridad construir un modelo basado en variables tales como Color del molino, formas geomtricas asociadas a su estructura, o los materiales usados en su construccin. El mismo molino generar un inters distinto en un ingeniero de procesos, profesional que seguramente querr disponer de un modelo que le permita analizar y predecir el tamao del material a la salida del molino, determinar el tiempo que le toma al molino procesar el material, o conocer la influencia que puede tener la adicin de agua al proceso. De igual forma, para un especialista en medioambiente, el inters puede centrarse en evaluar el impacto que puede producir el molino en el entorno, grado de contaminacin acstica que producir, o el efecto sobre el paisaje del entorno, requiriendo en consecuencia un modelo que le permita analizar esta variables. No es intencin de este Apunte el lidiar con todas estas visiones sobre lo que se puede entender por modelo de un sistema, por razones obvias se concentrar la atencin en la visin ingenierl del problema, es decir, plantear un conjunto de ecuaciones matemticas que permitan representar la dinmica de un sistema industrial.

Dentro de la visin ingenierl del problema existen tambin distintas formas de visualizar el tema de los modelos. Estn en primer lugar los Modelos Mentales, aquellos que nacen de la experiencia, en donde el operador simplemente sabe como funciona el sistema, sin necesidad de ecuaciones, ni de ensayos, ni de cualquier otra estrategia de modelacin. Es ms, probablemente le sera difcil a este operador formalizar el conocimiento intuitivo que tiene sobre el proceso. Otra forma de visualizar la situacin es mediante la utilizacin de Modelos Grficos, forma muy utilizada en la ingenieras mecnica y qumica, en donde es posible determinar el comportamiento de un sistema a partir de un anlisis relacionado de distintos grficos. Por ltimo, y es a lo que nos dedicaremos en este capitulo, estn los Modelos Matemticos, o tambin llamados Modelos Analticos, en donde el modelo consiste en un conjunto de ecuaciones matemticas, cuya resolucin y anlisis permite conocer el comportamiento de un sistema.

Nota: La aparicin de los computadores ha permitido un interesante desarrollo de los Modelos Mentales, en particular de los que se conoce como Sistemas Expertos. Un Sistema Experto es un programa computacional que recoge la experiencia de una persona experta en alguna materia, tratando de que el computador emule el comportamiento del experto, esto es, tratar de reproducir su forma de actuar frente a situaciones especficas.

En lo que respecta a los Modelos Matemticos, existen bsicamente dos formas de obtenerlos: (i) Usando principios fsicos fenomenolgicos asociados al sistema cuyo modelo se quiere obtener (Ley Newton, Ley de Conservacin de la Energa, Leyes de Kirchoff, etc.), y, (ii) Modelos matemticos basados en mediciones, observaciones, y conocimiento emprico de los procesos. La idea aqu es registrar fsicamente la respuesta del sistema a seales de prueba predeterminadas, logrando a partir del anlisis de los datos establecer un ecuacin matemtica que aproxima el funcionamiento del proceso. Existe una gran variedad de metodologas de este tipo, agrupadas en lo que se conoce como Mtodos de Identificacin de Procesos, desee algunas que consideran la aplicacin de un entrada tipo escaln, hasta otros mtodos ms complejos que consideran el uso de seales aleatorias y de complejas tcnicas estadstico-probabilsticas para establecer el modelo matemtico.

La ventaja de los modelos empricos es que no requieren en principio un conocimiento previo del sistema, el cual para estos propsitos puede considerarse como una Caja Negra. Ello implica que es posible en principio modelar cualquier sistema, por complejo que sea. La desventaja de los mtodos empricos es que deben de aplicarse en el proceso real en la prctica, lo cual significa la necesidad de intervenir el proceso real. Lo anterior constituye la principal dificultad en la aplicacin de estos mtodos, ello puesto que los encargados de los procesos, preocupados por posibles problemas en la produccin, por lo general no estn muy llanos a dar todas las facilidades para realizar un proceso de identificacin en regla. La dificultad principal esta en la gran cantidad de datos que es necesario tener para un modelo confiable, hecho que exige largos tiempos de medicin, tiempo durante el cual el proceso no operar bajo las condiciones requeridas. Otra dificultad reside en el hecho de que es necesario producir variaciones en las entradas del proceso de modo de obtener el modelo deseado, situacin la cual, so riesgo de producir algn mal funcionamiento o falla importante, paradojalmente exige un buen conocimiento de los aspectos fenomenolgicos asociados al sistema y un conocimiento y experiencia en el proceso.

En contraparte con los mtodos empricos, los mtodos basados en principios fenomenolgicos son posibles de realizar fuera de lnea, es decir, sin tener que intervenir el proceso real. La gran ventaja de los modelos fenomenolgicos es que representan en forma ms clara las variables y parmetros del sistema, y las interrelaciones existentes entre ellas, hecho que facilita la comprensin de la forma en que opera el sistema, y facilita la toma de decisiones operacionales, como tambin la introduccin de mejoras en los procesos. La desventaja de los mtodos basados en principios fenomenolgicos es la gran complejidad que requiere su desarrollo, no solo del punto de vista del dominio que el analista tiene que tener de los principios fundamentales, que pueden ser muy diversos y asociados a muchas disciplinas, sino que tambin por lo difcil que resulta aplicarlos en sistemas con muchas variables. Lo anterior hace que los mtodos basados en principios fenomenolgicos sean utilizados por lo general para el anlisis de sistemas de no mucha complejidad, prefirindose los mtodos empricos para la modelacin de sistemas ms complejos.

La atencin de este capitulo se centrar en lo modelos matemticos basados en principios fenomenolgicos. Este tipo de modelos puede ser de dos tipos:

Modelos Matemticos Dinmicos: Basados usualmente en ecuaciones diferenciales, que permiten conocer el comportamiento transiente como el estacionario del sistema. El anlisis de lo modelos matemticos de este tipo permite responder a preguntas tales como Cuanto tiempo le toma al sistema el alcanzar el punto de operacin?, Con que velocidad reacciona el sistema frente a los cambios?, etc., preguntas tpicas relacionadas con el comportamiento transiente del sistema, o cuando se trata del estados estacionario Que valor final alcanzarn en definitiva las variables del proceso?.

Modelos Matemticos Estticos: Basados en ecuaciones matemticas normales, permiten conocer solo el comportamiento en estado estacionario del sistema. En este caso solo ser posible conocer los valores finales de las variables del sistema, es decir, a modo de ejemplo, se podr predecir el nivel que alcanzar el lquido en un estanque, pero no se podr conocer el tiempo que le toma llegar a ese nivel.

Nota: El Modelo Matemtico Estacionario de un sistema es fcilmente deducible del modelo dinmico del mismo. La explicacin es sencilla, puesto que un Modelo Esttico presupone condiciones de estado estacionario, ello implica que todas las variables se han establecido en un valor constante, es decir, sus derivadas son nulas, razn por la cual es posible deducir el Modelo Matemtico Esttico de un sistema por el simple expediente de hacer cero las derivadas del Modelo Matemtico Dinmico del mismo sistema.

Ejemplo: Considere el siguiente circuito elctrico

Utilizando el mtodo de Mallas y aplicando las Leyes de Kirchoff se obtiene el siguiente Modelo Matemtico Dinmico del circuito:

(i)

(ii)

El modelo Matemtico Esttico del mismo circuito esta dado por (haciendo cero las derivadas del modelo anterior):

(i)

(ii)

2.2. Modelos Matemticos del tipo Fenomenolgicos de Sistemas Industriales Tpicos.

Al momento de enfrentar el tema de plantear modelos matemticos basados en principios fenomenolgicos, ante la imposibilidad de estudiar todos los sistemas, es necesario acotar el problema dentro de ciertos mrgenes. Puesto que se trata de un texto orientado a los estudios de la ingeniera, la eleccin natural es enfocar la atencin en los procesos del tipo industrial, sistemas los cuales por lo general estn constituidos por combinaciones de fenmenos trmicos, mecnicos, de fluidos, y elctricos. La mecnica a seguir en esta seccin ser la de plantear en cada uno de los casos las leyes fsicas fundamentales para cada uno de los sistemas genricos, junto con desarrollar los conceptos asociados a algunas de las variables, conocimientos todos los cuales sern utilizados posteriormente para la obtencin de modelos matemticos representativos de los procesos bajo estudio. Debe quedar en claro que la temtica ser tratada en un nivel simplificado, que no es el propsito de transformar a los lectores de este texto en expertos en cada uno de los tipos de procesos que se estudiarn, la idea es solo dar las herramientas metodolgicas para el planteo de los modelos, y la posibilidad de obtener modelos de algunos sistemas relativamente sencillos. El planteo de modelos de procesos ms complejos deber ser acompaado siempre de un estudio ms profundo de los fenmenos fsicos asociados al sistema.

2.2.1. Los Sistemas Mecnicos

Antes de entrar a la formulacin misma de los modelos de sistemas mecnicos es necesario desarrollar algunas ideas en relacin a los ejes de coordenadas que se utilizarn. Los sistemas mecnicos se caracterizan generalmente por ejes de coordenadas cartesianas, pudiendo estas ser del tipo de coordenadas fijas, o de coordenadas relativas. En este caso se considerar solo el uso de coordenadas cartesianas fijas, ello dado que se trata de sistemas del tipo industrial en donde los movimientos relativos no son muy usuales.

En el desarrollo de esta seccin se plantearn los modelos asociados a los sistemas mecnicos tanto del tipo Traslacional como Rotacional, las variables a considerar sern principalmente la Velocidad, las fuerzas y torques, y el desplazamiento, todas ellas se considerarn como concentradas y dependientes solo del tiempo.

2.2.1.1. Los Sistemas Mecnicos Traslacionales

Corresponden a sistemas que describen la dinmica de cuerpos que se mueven longitudinalmente siguiendo algn eje predeterminado. La ley ms importante que rige este tipo de sistemas es la Ley de Newton:

(2.1)

En donde:

M= Masa del cuerpo en movimiento, concentrada en el Centro de Gravedad

V = Velocidad del Centro de Gravedad del cuerpo, en referencia al origen

del eje de coordenadas.

F = fuerza resultante aplicada sobre el cuerpo

Puesto que la masa M no necesariamente constante (piense en vehculos que queman combustible, estanques que pierden liquido por evaporacin, etc.) razn por la cual la ecuacin (2.1) es esencialmente no lineal. En los casos que la masa se puede considerar constante, hecho bastante comn en la prctica, la Ley de Newton puede rescribirse en una forma lineal como la siguiente:

(2.2)

En donde X es la posicin del cuerpo respecto al origen del eje de coordenadas.

Existen diversas fuerzas tpicas de los sistemas mecnicos traslacionales las cuales es necesario tener presente para plantear los modelos matemticos de este tipo de sistemas: Las Fuerzas de Roce, las Elsticas, y las de Amortiguacin.

(a) Fuerzas de Roce: Fuerza que se da entre dos superficies rozantes, que por su naturaleza siempre se opone al movimiento. Dependiendo de las caractersticas de las superficies rozantes, y del tipo de lubricantes, es posible distinguir tres tipos de fuerzas de roce distintas:

Roce Seco: Es l fuerza que se produce entre dos superficies sin, o con muy poca, lubricacin. La ecuacin que caracteriza este tipo de fuerza esta dada por:

(2.3)

En donde:

= Coeficiente de Coulomb, o de Roce Seco

N = Componente Normal del peso del cuerpo en movimiento.

El Coeficiente es adimensional, toma valores ente 0 y 1, y depende fuertemente de la posicin del cuerpo, de la temperatura, y de la lubricacin. Por regla general este parmetro es mucho menor que la unidad cuando existe una buena lubricacin. Ntese que Fs es esencialmente una constante, y por lo tanto corresponde a una expresin no lineal.

En las aplicaciones industriales, puesto por lo general existe una lubricacin adecuada, la fuerza de Roce Seco es por lo general de valor poco significativo, siendo posible, sin producir errores significativos, despreciar su efecto.

Roce Viscoso: Fuerza que se da entre dos superficies lubricadas en donde una se mueve respecto a la otra. La ecuacin que rige en este caso esta dada por la siguiente expresin lineal:

(2.4)

En donde f es el Coeficiente de Poissson o de Roce Viscoso. Este parmetro es proporcional al rea de contacto de las superficies deslizantes, y a la viscosidad del lubricante. A su vez, f es inversamente proporcional al espesor de la pelcula lubricante.

Roce Cuadrtico: Fuerza que se presenta cuando existen desplazamiento a grandes velocidades, cuya expresin esta dada por la siguiente ecuacin:

(2.5)

En donde es el coeficiente de Roce Cuadrtico, siendo su valor muy pequeo para velocidades menores a 1 (m/s), razn por la cual en la mayora de las aplicacin en el mundo real la fuerza de Roce Cuadrtico tiene un efecto que puede considerarse despreciable. Como se observa de la ecuacin (2.5), Fc es una fuerza de efecto no lineal.

(b) Fuerzas Elsticas: Uno de los elementos que aparece con frecuencia en los sistemas mecnicos es la compresin, o estiramiento de cuerpos o resortes por efecto de dos fuerzas de direccin distinta. En estos casos el cuerpo, o el resorte, se opone al efecto de compresin o estiramiento ejerciendo una fuerza, llamada Elstica, en el sentido contrario. La expresin matemtica de las fuerzas del tipo elstico, que afortunadamente es lineal, esta dada por:

(2.6)

En donde K es el Coeficiente de Elasticidad del cuerpo, y es un valor conocido (generalmente proporcionado por los fabricantes) cuando se trata de resortes, en caso contrario debe ser calculado utilizando tcnicas de anlisis de esfuerzos.

Cabe destacar que este tipo de fuerzas se rige por la Ley de Hooke, correspondiendo la ecuacin (2.6) a la zona lineal definida en esa Ley. No se considerarn, por el poco sentido que tiene para el propsito de este curso, que los cuerpos puedan caer en las zonas de deformacin permanente o de rompimiento, definidas tambin en la antes mencionada Ley:

(c) Fuerzas de Amortiguacin: Son fuerzas de oposicin que aparecen cuando un objeto se mueve en un ambiente viscoso, o existe algn otro medio amortiguador. La relacin matemtica que se da en estos casos para la fuerza resistente es muy similar a la del roce viscoso, y esta dada por la siguiente expresin:

(2.7)

En donde D es el Coeficiente de Amortiguacin del medio, parmetro que depende principalmente de la viscosidad del material que se utiliza como amortiguador.2.2.1.2. Los Sistemas Mecnicos Rotacionales

Al igual que en el caso de los sistemas rotacionales, el principio ms importante que regula este tipo de sistemas tambin es la Ley de Newton:

(2.8)

En donde:

J = Momento polar de inercia del elemento rotante.

W = Velocidad angular del giro.

= Torque resultante aplicado sobre el sistema.

= Posicin angular.

Al igual que en el caso traslacional existen en los sistemas rotacionales los efectos de roce, elasticidad, amortiguacin. As para el caso del roce, este es por lo general solo del tipo Viscoso (las superficies rozantes usualmente estn lubricadas, ello puesto que los dispositivos rotacionales son artificiales, y en consecuencia la lubricacin se considera en su fabricacin). La fuerza de Roce esta dada en este caso por:

(2.9)

Los torques elsticos se presentan en este caso por el efecto de torsin que sufren los cuerpos al ser sometidos a un torque. En forma equivalente a lo que ocurre en los sistemas traslacionales, el torque elstico en los sistemas rotacionales esta dado por:

(2.10)

Cuando el cuerpo tiene que girar dentro de algn material viscoso, se produce tambin un torque de amortiguacin que tiende a disminuir la velocidad del giro. Este torque esta dado por la siguiente expresin:

(2.11)

Otro elemento que aparece con frecuencia en los sistemas mecnicos rotacionales son los sistemas de transmisin de movimiento, dados fundamentalmente por los sistemas de poleas o cajas de engranajes. Este tipo de sistemas se utiliza para aumentar, o disminuir, las velocidades de giro o de los torques aplicados. Para entender las caractersticas de este tipo de elementos obsrvese el sistema de poleas de la figura Fig. 2. 3, en donde, si se considera condiciones ideales, es decir, no hay prdidas, la potencia mecnica en ambas poleas es la misma, esto es:

(2.12)

Fig. 2.3. Conjunto de poleas de transmisin de movimiento

De igual forma, puesto que los arcos de circunferencia que recorren cada una de las poleas son iguales, ello implica que:

(2.13)

As, usando las ecuaciones (2.12), y (2.13), se logran las siguientes relaciones de transmisin para el sistema de poleas:

(2.14)

y

(2.15)

Ntese que a medida que aumenta w2 disminuye 2, y viceversa.

Nota: Las relaciones definidas para las poleas don tambin vlidas para los engranajes (bajo el supuesto de que son ideales, sin friccin ni zonas muertas entre los dientes), basta para ello reemplazar los dimetros de las poleas por el numero de dientes de cada polea.

Ejemplo: El sistema de la figura es una vlvula neumtica que se utiliza para regular el caudal de fluidos lquidos. El funcionamiento del sistema es bastante simple, se regula el caudal del fluido manipulando la posicin del conjunto vstago-obturador, usando para ello una presin de aire Po, que tomar valores entre 3-15 PSI, que acta sobre el pistn haciendo que el conjunto se desplace. El papel del resorte es fijar la posicin cero, esto es, condicin de vlvula totalmente abierta.

Se supone que la vlvula es del tipo Lineal, cuya caracterstica de regulacin de caudal esta dada por:

(2.16)

En donde, en relacin a Fig. 2.3:

q = F / Fmax, % del Flujo Mximo, Fmax, que deja pasar la vlvula.

= x / xmax Posicin relativa del conjunto Vstago-Obturador, dado en %.

Respecto a esta vlvula se pide determinar:

(a) El modelo Matemtico representativo de la vlvula.

(b) La presin Po que habra que poner para que la vlvula deje pasar el 80% del caudal mximo Fmax.

Solucin: La vlvula evidentemente es un sistema mecnico traslacional, en donde el conjunto pistn-vstago se mueve por efecto de la fuerza ejercida por la presin Po. En este caso se oponen al movimiento las fuerzas de roce, que es del tipo viscoso, y la fuerza elstica ejercida por el resorte. No existe aqu ningn efecto de amortiguacin, y pueden considerarse como despreciables las fuerzas de roce seco (hay lubricacin) y la cuadrtica (la velocidad de desplazamiento del conjunto es baja). Bajo estas condiciones, aplicando la Ley de Newton se tiene:

En donde:

A = rea del pistn

M = Masa de conjunto Pistn, Vstago,Obturador.

Agrupando todas las ecuaciones, se obtiene en definitiva la siguiente ecuacin representativa de la vlvula:

Para el calculo de Po es necesario considerar el modelo matemtico esttico de la vlvula, modelo que corresponde a la vlvula trabajando en estado estacionario. Bajo estas condiciones las derivadas son iguales a cero, razn por la cual se obtiene que:

De las ecuaciones anteriores es posible calcular , parmetro el cual esta dado por la siguiente expresin:

De la ecuacin (2.16), para q =0.8 (80% del flujo mximo), se despeja =0.766, de lo que se obtiene que la presin Po pedida esta dada por:

Po = 0.766x15 = 11.49 (PSI)

2.2.2. Los Sistemas Trmicos

Existe una gran cantidad de procesos trmicos en la industria. Sin pretender de definir los procesos trmicos o calricos, se puede establecer que las variables de inters en este caso son la temperatura y el flujo de calor. Una de las caractersticas principales de los procesos trmicos es que se trata de sistemas de parmetros distribuidos, ello pues la temperatura depende adems del tiempo de la ubicacin en el espacio en donde se encuentra el observador. Ello hace, que en estricto rigor, los sistemas trmicos deban representarse con ecuaciones diferenciales parciales, hecho que dificulta enormemente su resolucin, ello dado que en la mayora de los casos este tipo de ecuaciones puede resolverse por medio de mtodos iterativos computacionales. Existen bsicamente dos mtodos para tratar el problema de los parmetros distribuidos (i) Considerar derechamente parmetros concentrados, aproximacin que en la mayora es algo rigurosa pues entrega solo modelos no muy aproximados a la realidad, aunque suficientemente buena en la mayora de los casos. A pesar de lo aproximado de los resultados, esta metodologa es muy utilizada en la prctica, y es comn escuchar hablar de la temperatura de una pieza, o de una ciudad, como si fuera un parmetro concentrado, (ii) Cuando se requiere resultados ms exactos es posible utilizar el mtodo de parmetros semidistribuidos, esto, es, dividir el proceso en un conjunto de subsistemas ms pequeos en donde es posible considerar a la temperatura como un parmetro concentrado. Naturalmente en estos casos el modelo matemtico resultante es ms complejo, siendo un poco ms difcil calcular los resultados. Ambas metodologas sern tratadas en esta seccin.

La ley fundamental que rige los sistemas trmicos es la Ley de la Conservacin de la Energa. Esta Ley esta derechamente relacionada con la acumulacin de calor en un cuerpo u objeto. As, si a un cuerpo le llega un flujo de calor Qi y sale de l una cantidad de calor Qo, en el cuerpo queda acumulada un cantidad de calor Qa igual a la diferencia entre Qi y Qo. Suponiendo parmetros concentrados, el calor acumulado es gobernado por la siguiente expresin:

(2.17)

(2.18)

En donde:

Ct = Capacitancia Trmica

T = Temperatura del Objeto, en K

Cp = Calor Especifico del material del cual esta hecho el objeto.

V = Volumen del objeto

= Densidad del material

En funcin de lo anterior, y en lo que sigue, se considerar la siguiente expresin para la Ley de la Conservacin de la Energa:

(2.19)

Para completar la ecuacin anterior solo restara discutir el tipo de flujos de calor ms tpicos que se dan en los sistemas trmicos. En el presente curso se considerarn los siguientes: Calor por Conduccin, Calor por Conveccin, Calor por Radiacin, y Calor en Fluidos Circulantes.

Fig. 2.4. Tipos de Flujos de Calor en sistemas trmicos (a) Calor por Conduccin,

(b) Calor por Conveccin, (c) Calor por Radiacin.

(i) Calor Por Conduccin: flujo de calor que se da en un cuerpo homogneo sometido a una diferencia de temperatura (ver Fig. 2.4 a). La ecuacin que caracteriza a este tipo flujo de calor esta dada por:

(2.20)

En donde:

A = rea de las caras del objeto entre las cuales se produce la

transferencia de calor.

x = Longitud del camino del flujo calrico.

Kt = Conductividad Trmica del material

Se acostumbra a definir como Resistencia Trmica al siguiente trmino:

(C / Watt)

(2.21)

De modo que la ecuacin (2.20) puede reescibirse como:

(2.22)

Nota: Ntese la semejanza que tiene esta expresin con la Ley de Ohm en

los sistemas elctricos.

(ii) Calor por Conveccin: flujo de calor que se transfiere entre dos medios de distinta naturaleza (lquido-slido, lquido-aire, etc.) que se encuentran a distintas temperaturas (ver Fig. 2.4 b). La expresin caracterstica para este tipo de flujo de calor esta dada por:

(2.23)

En donde Ko es el Coeficiente de Transferencia de Calor entre los materiales, y la Resistencia Trmica Rt esta dada en este caso por la expresin Rt =1 / (KoA).

(iii) Calor por Radiacin: Corresponde a la energa calrica, en forma de radiacin electromagntica, que irradia hacia el exterior un cuerpo que se encuentra a una cierta temperatura (ver Fig. 2.4 c). El flujo de calor irradiado en este caso esta dado por:

(2.24)

En donde:

= Constante de Stefan Boltzman

= Emisividad de la radiacin

A = rea de la superficie que irradia

T = Temperatura del cuerpo que irradia.

La Emisividad depende de la frecuencia de la seal irradiada, sin embargo se acostumbra asociar este parmetro al color del emisor. As, para un radiador negro =1, mientras que para el color blanco =0, para el resto de los colores toma valores intermedios. Este parmetro esta directamente relacionado con la energa absorbida o reflejada por un cuerpo. En ese contexto, en un cuerpo al cual le llega por radiacin una cantidad de energa E, la energa que absorber y reflejar el cuerpo estarn dadas, respectivamente, por:

(2.25 a)

(2.25 b)

Tomando en cuenta las ecuaciones (2.24), (2.25 a) y (2.25 b), se puede plantear el flujo de calor que existira entre un emisor y un receptor de rea A por efecto de la radiacin. Este flujo calrico puede describirse mediante la expresin siguiente:

(2.26)

En donde:

Te = Temperatura del cuerpo Emisor

TR = Temperatura del cuerpo Receptor

q = Emisividad Equivalente

La Emisividad Equivalente q depende de las emisividades del Emisor, e, la del cuerpo Receptor, R, y la posicin geomtrica entre ambos cuerpos, siendo su calculo por lo general bastante complejo. Para los efectos del presente curso interesa conocer q para dos situaciones especficas, para dos superficies paralelas que se encuentran de frente entre si, como es el caso del sol respecto a la tierra, y el caso en donde el cuerpo Receptor se encuentra dentro del Emisor, como es el caso de los hornos. As, para el primer caso q estar dado por:

(2.27 a)

Mientras que para el segundo caso, si la superficie emisora tiene rea A1, la superficie receptora A2, entonces se tiene que:

(2.27 b)

Ntese que si A1>>A2, cosa bastante comn en los hornos, entonces q = R(iv) Calor en Fluidos Circulantes: Para el caso de que hay flujos de fluidos en circulacin, como en los intercambiadores de calor, el calor transportado por el fluido esta dado por:

Q = Qm Cp T

(2.28)

En donde:

Qm = Flujo de Masa (Kg/tiempo)

Cp = Calor Especfico del fluido

T = Temperatura del fluido

Ntese que puesto que Qm y T son variables, la ecuacin (2.28) es no lineal.

Ejemplo: El sistema es un estanque que se utiliza para calentar una sustancia lquida con la ayuda de un calefactor elctrico.

Para este Sistema se disponen los siguientes datos:

Q = Potencia de Calefactor =1200 (Watt)

Rsa = Resistencia Trmica Sustancia- Aire

= 0.01 (C / Watt)

Rc = Resistencia Trmica de Conduccin (vlida

Para el largo L)

= 0.01 (C / Watt)

Ta = Temperatura Ambiental = 20 (C)

Para el sistema dado se quiere:

(a) Plantear un Modelo Matemtico para el sistema.

(b) Calcular la temperatura que alcanzar la sustancia en estado estacionario.

Solucin: El sistema planteado tiene a Q como entrada (o eventualmente el voltaje V que alimente al Calefactor y que genera a Q), la salida es la temperatura To, siendo la temperatura ambiental Ta una perturbacin. Con el objeto de comparar las metodologas, para el planeo del problema se considerarn dos mtodos de solucin: (i) Considerando Parmetros Concentrados, y, (ii) Considerando Parmetros Semidistribuidos.

(i) Mtodo de Parmetros Concentrados: En referencia a la figura adjunta, una aplicacin directa de la Ley de Conservacin de la Energa arroja:

(1)

En cuanto a QOa, flujo de calor que pierde el sistema hacia el ambiente, ste tiene bsicamente dos componentes: Conveccin y Radiacin. No existe en este caso Calor por Conduccin pues la transferencia de calor se hace entre dos medios de distinta naturaleza: Sustancia y aire. Adems, se prev que la temperatura de trabajo ser bastante menor que 100 C, razn por la cual se considera que las perdidas por Radiacin son despreciables. Bajo estas condiciones se tiene que:

(2)

Las ecuaciones (1) y (2) constituyen el Modelo Matemtico Dinmico del sistema.

Nota: Si se quiere considerar el Voltaje V como entrada habra que agregar una tercera ecuacin, como la que sigue, en donde R es la resistencia elctrica del calefactor:

(3)

Para el clculo la temperatura a la que quedar la sustancia es necesario determinar las condiciones de trabajo en estado estacionario (Modelo Matemtico Esttico). Ello se obtiene haciendo cero la derivada (), entonces:

De lo que se concluye que:

(C)

(ii) Mtodo de Parmetros Semidistribuidos: Se dividir al estanque en tres subsecciones de largo L/3 (ver figura). Para este caso deben tenerse en cuenta la siguientes consideraciones:

QO1 y Q12 son flujos de calor por conduccin, mientras que Q2a es calor por conveccin. . Anlogamente al caso de los parmetros concentrados se considerar que la transferencia de calor por radiacin entre el subsistema T2 y el ambiente es despreciable.

Puesto de que se trata de la misma sustancia, las capacitancias trmicas de todas las subsecciones son iguales. Al respecto, usando como referencia Ct del caso con parmetros concentrados, y recordando que ste parmetro depende directamente del volumen, entonces la capacitancia trmica de cada una de los subsistemas estar dada por Cts = Ct / 3.

Puesto que x = L / 3, la resistencia trmica de cada subseccin estar dada por Rcs = Rc / 3.

En consecuencia, en referencia a la figura, y teniendo en cuenta todas las consideraciones hechas, se tiene que:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Las ecuaciones (1) al (6) constituyen el modelo matemtico del sistema, bajo la consideracin de parmetros semidistribuidos.

Ahora, para condiciones de trabajo en estado estacionario, Modelo Matemtico Esttico, (), se obtiene que:

(7)

(8)

(9)

Trabajando algebraicamente el modelo matemtico esttico, se obtiene:

= 40 (C)

Adems, de la ecuacin (7):

= 36 (C)

y de la ecuacin (8):

= 32 (C)

Es interesante observar que la temperatura disminuye en 4C en cada subsistema, hecho que indica que el sistema presenta un gradiente negativo lineal respecto a la temperatura, esto es, y como era de esperarse, a mayor distancia del Calefactor, menor es la temperatura. Lo anterior sugiere que es posible generalizar el sistema suponiendo que cualquier otro punto del estanque seguir el mismo comportamiento, y por lo tanto, considerando ya el sistema derechamente como parmetros distribuidos, es posible caracterizar su comportamiento esttico aproximando la temperatura en estado estacionario por una recta como muestra la figura, recta cuya ecuacin matemtica se adjunta:

Recta Gradiente:

Del ejemplo desarrollado muestra que ciertamente existen diferencias entre los resultados para el caso de parmetros concentrados, en comparacin de un anlisis con mayor grado de distribucin de las variables. Este hecho de alguna manera confirma lo indicado en prrafos anteriores respecto a lo discutible que puede ser considerar parmetros concentrados en el caso de los sistemas trmicos.

2.2.3. Los Sistemas de Fluidos

Los sistemas de este tipo, por su gran importancia en los sistemas industriales, constituyen el rea clsica para este tipo de estudios. Se trata aqu por sistemas que utilizan, transportan y acumulan fluidos lquidos o gaseosos, siendo las variables involucradas la Presin, el Caudal, y eventualmente el volumen. En la figura Fig. 2.5 se muestra un esquema bsico que permitir considerar los diferentes aspectos de importancia en este tipo de sistemas.

Fig. 2.5. Elementos tpicos en un sistema de fluidos.

En este tipo de sistema se acostumbra a hacer distingo entre dos tipo de fluidos: Los flujos de masa, Fm, medidos en Kg / tiempo, asociados usualmente a lo fluidos lquidos, pulpas y similares, y el Flujo volumtrico, Fv, medido en M3/tiempo, lts/tiempo, que sirve para caracterizar los caudales de fluidos gaseosos, como tambin de los lquidos. Afortunadamente ambos tipos de fluidos esta relacionados entre si por medio de la densidad (Fm=Fv) de modo que para los propsitos del estudio de esta seccin se usar indistintamente con la letra F al fluido, ya sean estos del tipo volumtrico o de masa. Ser tarea del lector el hacer los ajustes del caso, ya sea multiplicando o dividiendo por la densidad.

(i) Las Fuentes: Son las fuentes, bombas, compresores, u otro elemento, que suministran la potencia hidrulica al sistema. Para el propsito del modelado de los sistemas interesa conocer sus caractersticas estticas, esto es la curva F=f(p) que los caracteriza. En la figura Fig. 2.6 alguna de las caractersticas ms importantes.

Fig. 2.6. Caractersticas tpicas de fuentes en sistemas de fluidos.

Las caractersticas del tipo A son asociadas a bombas del tipos centrfuga, mientras que las del tipo B corresponden a bombas del tipo desplazamiento (ntese la semejanza que tienen estas caractersticas con las fuentes de Tensin y de corriente elctricas).Los Compresores, y tambin los turbosopladores (muy utilizados en los procesos de fundicin en la minera), poseen caractersticas estticas semejantes a las curvas C y D. Respecto a las fuentes con caractersticas tipo D debe hacerse presente que bajo ciertas condiciones de operacin estas pueden entrar en oscilacin permanente, fenmeno llamado comnmente bombeo, situacin la cual es en extremo indeseable pues puede causar un dao importante a los equipos (en Codelco Chuquicamata hay turbosopladores de 5 Mwatt, se imagina lo que pasara si se ponen a oscilar?).

En cualquiera de los casos la potencia entregada por la fuente estar dada por:

Pm = F P

(2.29)

(ii) Las Resistencias: Representan las perdidas de energa del fluido producidas por el roce contra las paredes, o por la restricciones, vlvulas y similares que el flujo encuentra en su desplazamiento. Las resistencias pueden clasificarse en dos tipo: (a) las del tipo Inherente, que corresponde al efecto natural de perdida de energa cintica por el rozamiento del fluido contra la pared de la tubera, y, (b) Las Artificiales, que se deben a la presencia de restricciones en la caera, esencialmente dadas por la disminucin de la seccin del tubo. Este tipo de resistencia puede dividirse en dos tipos, la de valor fijo, que corresponden a un disminucin de valor constante, situacin que ocurre cuando la caera disminuye de tamao, o cuando existen en el sistema algunos sensores que por su funcionamiento restringen el paso del fluido (esencialmente algunos sensores de presin del tipo placa-orificio, Toberas, Tubos de Venturi, y similares), y las de valor variable, dadas por la vlvulas y llaves, dispositivos los cuales pueden variar el tamao de la restriccin, y con ello el valor de la resistencia.

Las resistencias producen una cada de presin en el sistema cuya magnitud vara dependiendo si el flujo es turbulento o laminar (sin turbulencias). Para el caso de flujos turbulentos la cada de presin esta dada por la siguiente expresin:

P1-P2= F2 R

(2.30)

Mientras que para un flujo laminar esta relacin esta dada por:

P1-P2= F R

(2.31)

En donde:

P1= Presin aguas arriba (la existe a la entrada de la restriccin)

P2= Presin aguas abajo (la que existe a la salida de la restriccin)

F = Caudal del fluido

R = Resistencia

El saber si el fluido es turbulento o laminar no siempre es evidente, casi siempre, por el tipo de materiales que se utilizan para fabricar las tuberas, no es posible ver el fluido, razn por la cual es necesario recurrir a otras tcnicas para determinar la caracterstica del fluido. La ms utilizada es calcular el Nmero de Reynolds, constante cuyo valor esta dado por:

(2.32)

En donde:

Fm = Flujo de masa que circula por la caera, (Kg / s)

G = Gravedad Especfica

= Viscosidad absoluta del fluido, (Kg / m-s)

d = Dimetro de la caera

As, si el numero de Reynolds es mayor que 3000 a 4000, el flujo ser turbulento, en cambio, si Rd es menor a 2000, el flujo es laminar. En el rango intermedio el flujo tiene un comportamiento tambin intermedio, siendo difcil determinar su caracterstica. Por regla general los flujos laminares se dan en caeras largas, en donde el fluido ha tenido tiempo de aquietarse.

En general es posible distinguir tres tipos Resistencias: Las Inherentes, la Restricciones, y las Vlvulas. Al respecto es posible aportar los siguientes antecedentes:

Resistencia Inherente (Rhi): Se puede determinar a partir de la siguiente expresin:

(2.33)

En donde:

f = Coeficiente de friccin

L = Longitud de la tubera

A = Seccin de la tubera

Tn = Radio interno del tubo

= Densidad del fluido

Resistencia de Restriccin Fija: Corresponde a un valor constante que normalmente se designa con Ac.

Las vlvulas: Son dispositivos cuya abertura, o tamao de la restriccin, se puede regular a voluntad. As, si x es la variable que corresponde a la apertura de la vlvula, entonces es posible plantear la resistencia de la vlvula como la siguiente expresin:

R = K f(x)

(2.34)

En donde K es una constante de proporcionalidad.

En la prctica las vlvulas reales no son totalmente hermticas de modo que an cuando estn totalmente cerradas presentan tambin un pequeo flujo que de todas maneras pasa al otro lado. Ello implica que en trminos reales una vlvula es en realidad equivale al conjunto que esta representado en la siguiente figura, una restriccin fija Ac y una vlvula ideal. De esta figura se tiene que:

adems de

De lo que se deduce la siguiente expresin para el conjunto:

(2.35)

Por lo general, se acostumbra a trabajar en estos casos indicando el porcentaje del flujo mximo, Fm, que dejar pasar la vlvula. As si se define:

(%) , (%) ,

entonces la ecuacin (2.35) se transforma en:

(2.36)

Las distintas vlvulas se distinguen entre si de acuerdo a la funcin f(), as, existen las vlvulas Lineales (f()=), las Cuadrticas (f()=2), las de Igual Porcentaje (f()=C-1, C = Constante), etc., el uso de una u otra vlvula depende del tipo de sistema y del comportamiento que se espera que tenga la vlvula. Nota: Al igual que lo observado para los sistemas trmicos, ntese la semejanza de la relacin (2.31), la de flujo laminar, con la Ley de Ohm.

(iii) Acumuladores o Estanques: Son sistemas en donde se acumula fluido, esencialmente lquido, logrando con ello la acumulacin de energa potencial que puede ser utilizada posteriormente para ejercer alguna accin. En la figura Fig. 2.7 se muestra un diagrama esquemtico en donde se muestran los principales parmetros involucrados. En referencia a la figura, la exp

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Analisis de Sistemas Lineales Aplicación a Procesos Industriales