ANALISIS DE SENSIBILIDAD

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Despus de obtener la solucin ptima en un problema de programacin a menudo es deseable estudiar el efecto de cambios de discretos de los coeficientes del problema en la solucin ptima actual. Una forma de lograrlo es resolviendo el problema de nuevo pero esto puede ser computacionalmente ineficiente (es eficiente). Si se hace uso de las propiedades de la solucin este ser el objetivo del anlisis de sensibilidad. Los cambios estudiados por el anlisis de sensibilidad son:

1.- rigidez de las restricciones, esto es cambios en el lado derecho de las restricciones.

2.- coeficiente de la funcin objetivo

3.- coeficientes tecnolgicos de las variables de decisin

4.- adicin de las nuevas variables al problema

5.- adicin de restricciones nuevas.

Al efectuar alguno de los cambios anteriores, pueden presentarse los siguientes casos:

1.- La solucin ptima permanece sin cambiar esto es, las variables bsicas y sus valores permanecen sin cambiar. 2.- Las variables bsicas siguen siendo las mismas, pero sus valores han cambiado la solucin bsica cambia totalmente.A.-En base a las propiedades primal-duales, se tiene que:

Los cambios en las restricciones en el primal (dual), pueden afectar solamente la factibilidad del primal (dual), o equivalente la optimizacin del dual (primal).B.- Los cambios en los coeficientes de la funcin objetivo en el primal (dual) pueden afectar solamente la optimalidad del primal (dual) o equivalente de la factibilidad de dual (primal).

C.- Los cambios en los coeficientes tecnolgicos de variables no bsicas del primal(dual) pueden afectar solamente la optimidad del primal(dual), o en forma equivalente la factibilidad del dual(primal) CAMBIOS EN LAS RESTRICCIONES

Algunas veces, al efectuar modificaciones en una o varias restricciones, puede ocurrir que la solucin llegue a no ser factible, por ejemplo: si en el siguiente problema se incrementan las horas de proceso en 35 horas (2da restriccin), analizar los cambios que se realicen despus de la modificacin.(Primero resolver el problema original o primal)

La fabricacin de dos tipos de cerveza requiere del uso de dos recursos en distintas proporciones. En el siguiente cuadro se dan los requerimientos de cada tipo de cerveza.

CERVEZA TIPO 1CERVEZA TIPO 2DISPONIBLILIDAD

Cebada 2kg/lt4kg/lt80 Kg.

Hrs. de proceso1hr/lt5hr/lt70 horas

Utilidad$3/ lit.$10/lit.

Formulacin primal; sea X1 cerveza Tipo1, X2 cerveza Tipo 2MAX Z =3X1 +10X2 - MAX Z -3X1 -10X2 = 0

SA. 2X1 +4X 2 80 2X1+ 4X2 +S1 = 80

. X1 + 5X2 70 X1 +5X2+S2 = 70

X1, X2 0 XJEC.NOV.B.X1X2S1S2BJ

0Z-3-10000

1S1241080

2S2150170

80/4

70/5=14

EC.NOV.B.X1X2S1S2BJ

0Z-1002140

1S16/501-4/524

2X21/510114

(10)

(-4)

5

EC.NOV.B.X1X2SX3SX4BJ

0Z005/64/3160

1X1105/6-2/320

2X201-1/61/310

(1)

6/5

(-1/5)

Z = 160, X1 = 20, X2 = 10

Compruebe sus restricciones.

De interpretacin sobre los valores de las variables de holgura. (No se tienen sobrantes en ningn recurso)De la ltima iteracin del primal

Matriz de los coeficientes tecnolgicos que no aparecen la base.

X1 5/6 -2/3 80 400/6 -210/3 -10/3 = = = X2 -1/6 1/3 70+35=105 -80/6 +105/03 65/3

Se observa que el valor de X1, corresponde a la bebida 1 no es factible (-10/3)

En la funcin objetivo original, sustituir los nuevos valores de X1 y X2.

Para volver a la factibilidad de esta solucin, utilizar el dual simplex (se refiere a los valores de las variables de holgura en el primal de la ultima tabla rengln 0 Z). EC.NOV.B.X1X2S1S2BJ

0Z005/64/3620/3

1X1105/6-2/3-10/3

2X201-1/61/365/3

Para lograr el mejor rendimiento marginal se tiene que ver en la tabla final del dual aquella variable que corresponda a la restriccin primal a que tiene el valor ms alto.EC.NOV.B.X1X2S1S2BJ

0Z025/20200

1SX4-3/20-5/415

2X21/211/4020

(-4/3)

- 4/6

(-1/3)

Compruebe sus restricciones

De una interpretacin sobre los valores de las variables de holgura.

Se observa que los miembros del vector Bj son positivos y tienen la solucin ptima.

Por lo tanto se vuelve la factibilidad del primal y el problema esta resuelto cuando se analizan los valores de las variables duales y alguna nos indica sobre la conveniencia de invertir en la adquisicin del recurso i, la primera pregunta que se tiene que responder es la siguiente.Cunto se puede incrementar el recurso i sin dejar de ganar la contribucin sealada por la variable dual yj?Tener en cuenta que el valor de la variable dual permanecer siendo el mismo mientras que el primal permanezca factible.

Si representa el incremento posible para que la contribucin sealada por la variable dual bajo anlisis siga contribuyendo a la ganancia en la misma proporcin el clculo seria como sigue:

Para Y; de la tercera iteracin del primal del problema anterior:

X1 0 5/6 -2/3 80 + 5/6(80 + ) -2/3(70) (400+5 ) /6 -140/3 ; = = X2 0 -1/6 1/3 70 -1/6(80 + ) +1/3(70) (-80 - ) /6 + 70/3

400+5 -280/6 120 +5 /6 0 ; 120 + 5 0; 120 -5; 120/ 5 - ; -24 = -80 - + 140/6 60 - /6 0 ; 60

Es decir se puede aumentar hasta en 60 unidades el recurso 1 sin perder la factibilidad

2.-cambios en los coeficientes en la funcin objetivoEstos cambios pueden afectar nicamente a los coeficientes de la ecuacin de Z y por lo tanto la optimidad del problema puede ocurrir en los siguientes casos:

Los coeficientes bsicosLos coeficientes de las variables no bsicasa.- Coeficientes bsicosEn base a la propiedad 1 las variables duales dependen de los coeficientes de las variables bsicas en la funcin objetivo. Para que la solucin permanezca optima, los nuevos valores duales deben proporcionar una nueva ecuacin de Z con todos sus coeficientes satisfaciendo las condiciones de optimalidad.Supongamos que los coeficientes de la funcin objetivo en el problema anterior (de las cervezas) cambian de la siguiente manera.

5/6 -4/6 [5,7] = [5(5/6) + 7(-1/6), 5(-4/6) +7(1/3)] = [25/6 - 7/6, -20/6 +7/3]

-1/6 1/3

= [18/6, -6/6] = [3,-1]

Y los nuevos coeficientes para X1, X2 en Z son: sustituyendo en las restricciones duales.

Formulacin primal originalMAX =3X1 +10 X2SA. 2X1 + 4X2 80

X1 + 5X2 70

X1, X2 0

2Y1 +Y2 5; 2(3)+ (-1)-5 0; 6-1-5= 0; 6-6 = 0

4Y1 +5Y2 7; 4(3) + 5(-1)-7 0; 12-5-7=0; 12-12 = 0

Dado que el coeficiente de Y2 es menor que cero, la solucin pierde optimalidad y deben hacerse nuevas operaciones de rengln para volver a tener una solucin ptima en nuestro ejemplo tenemos:

EC.NOV.B.X1X2SX3SX4BJ

0Z003-1170

1X1105/6-2/320

2X201-1/61/310

EC.NOV.B.X1X2SX3SX4BJ

0Z035/20200

1X1121/2040

2SX403-1/2130

b) cambiamos en los coeficientes de las variables no bsicas. Este tipo de cambio no afecta las variables duales, por consiguiente los valores duales pueden usarse directamente para checar los coeficientes de la funcin objetivo. Esto se hace verificando la factibilidad de las nuevas restricciones duales correspondientes y sus nuevos valores. Ejemplo, si se cambia el coeficiente X2 de 10 a 9 en la funcin objetivo, su restriccin dual cambia de:

Primal original Cambio en el Primal

Max Z = 3X1 + 10X2 Max Z = 3X1 + 9X2 S.A. 2X1 + 4X2 80 S.A. 2X1 + 4X2 80

X1 + 5X2 70 X1 + 5X2 70

Xj 0 Xj 0 Dual actual del primal (con el cambio del coeficiente)

Min Y = 80Y1 + 70Y2

S.A. 2Y1 + Y2 3

4Y1 + 5Y2 9

Yj 0

Utilizando los valores duales del (primal de las cervezas)Y1 = 5/6, Y2 = 4/3 y sustituyendo en la nueva restriccin dual queda: 4 (5/6) + 5 (4/3) 9; 10/3 + 20/3 9; 30/3 9; 10 9

Lo cual si cumple con la restriccin dual En el caso de que el valor de la restriccin dual hubiera resultado negativo al sustituir los valores duales, entonces, la variable primal asociada a esta restriccin dual seria candidata a entrar a la base.

La realizacin de cambios simultneos en los coeficientes bsicos y no bsicos puede tratarse combinando los dos procedimientos anteriores. Primero.- se determinan los nuevos valores duales empleando los nuevos coeficientes de la solucin inicial en la funcin objetivo para checar la optimidad del primal.

Segundo.- se verifican las nuevas restricciones duales empleando los nuevos coeficientes para ver la factibilidad del dual (o la optimidad del primal).

3.- Cambios en los niveles de actividad de las variables.

Segn la propiedad primal dual. Estos cambios pueden afectar el lado izquierdo de sus restricciones duales y por lo tanto, a la factibilidad del dual (o de manera equivalente a la optimidad del primal). Lo importante es que al cambiar los coeficientes de una variable bsica puede afectar directamente los elementos de la matriz bajo la solucin inicial. Esto puede originar que la solucin sea no factible o no optima, o puede dejar de ser bsica. En el caso de que el cambio se realice en una variable no bsica, se forma la nueva restriccin dual, para ver si la solucin sigue siendo optima, para conocer los coeficientes de la variable no bsica en la tabla final. Se multiplica la matriz generadora por el vector de los nuevos coeficientes de la variable no bsica. 4.- Adicin de una nueva variable

Este caso corresponde al efectuar cambios simultneos en los coeficientes en los a i j de una variable no bsica, que inicialmente estaba a nivel cero. Consecuentemente, la adicin de una nueva variable puede modificar solamente la optimidad y esta variable entrara a la base si y solo si incrementa Z en (caso de maximizacin). Supngase que ahora se ha decidido elaborar un tercer tipo de cerveza X3 y que tiene una contribucin de $7/litro, producido y consume 2 kgs. Del recurso 1 por litro de cerveza producido y 3 unidades del recurso 2 por litro producido. El nuevo problema ser:

Max Z = 3X1 + 10X2 + 7X3 su restriccin dual seria:

S.A. 2X1 + 4X2 + 2X3 80 2Y1 + 3Y2 7

X1 + 5X2 + 3X3 70 si se sustituye Y1, Y2 de la ultima iteracin se tiene

Xj 0

2 (5/6) + 3 (4/3) 7; 10/6 + 12/3 7 = 0; 5/3 + 12/3 7 = 0; 17/3 21/3 = 0 = - 4/3

Se nota que aun promete mejoras; se introduce a la base, recordar que para conocer los valores de los coeficientes tecnolgicos en la tabla final se hace.

5/6 - 2/3 2 5/6 X 2 - 2/3 X 3 10/6 6/3 5/3 - 6/3 - 1/3 = = = = - 1/6 1/3 3 - 1/6 X 2 + 1/3 X 3 - 2/6 + 1 - 2/6 + 6/6 2/3

La nueva tabla es;

Ec. No. V. B. X1 X2X3SX3SX4 Bj

0 Z 0 0-4/35/64/3160

1 X1 1 0-1/35/6-2/320

2 X2 0 12/3-1/61/310

Ec. No. V. B. X1X2X3SX3SX4 Bj

0Z0201/22180

1X111/203/4-1/225

2X303/21-1/415

Z =180, X1 = 25, X3 = 15

5.- Adicin de nuevas restricciones

En este caso, es muy simple pues solo requiere que se cheque en primer lugar la efectividad de la restriccin, en este caso de ser efectiva, simplemente se adiciona en la tabla final y se hacen los clculos necesarios en la base de la solucin debiendo examinar el efecto que esta cause en el vector b.

Ejemplo si mercadotecnia nos da restricciones de mercado tales que: para que aparezca la cerveza 2, X2 en el mercado X2 5;

Ec. No.V. B. X1X2X3S1S2S3Bj

0 Z 0 2 01/2 2 0180

1 X1 11/2 03/4-1/2 0 25

2 X3 03/2 1-1/41/2 0 15

3 X2 0- 1 0 0 0 1 -5

Ec. No.V. B. X1 X2X3 SX3 SX4 SX5 Bj

0 Z 0 0 01/2 2 2170

1 X1 1 0 03/4-1/21/245/2

2 X3 0 0 1-1/41/23/215/2

3 X2 0 1 0 0 0 - 15

Solucin ptima.

X1 = 45/2, X2 = 5, X3 = 15/2, Z = $ 170.0

No factible

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