Analisis de Respuesta Temporal.pdf

7/24/2019 Analisis de Respuesta Temporal.pdf

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Ing. Jos A. Machuca Mines1

ANALISIS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS

SISTEMAS DE DE CONTROL

En el anlisis y diseo de sistemas de control, se debe tener una base de comparacin del

desempeo de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las sealesde entrada de prueba particulares y comparando las respuestas de varios sistemas a estas

seales de entrada.

Seales de prueba tpicas. Las seales de prueba que se usan regularmente son funcionesescaln, rampa, parbola, impulso, senoidales, etc. Con estas seales de prueba, es posible

realizar con facilidad anlisis matemticos y experimentales de sistemas de control, dado que

las seales son funciones del tiempo muy simples. Por ejemplo la siguiente figura ilustra la

forma de un escaln unitario.

t0

1

s(t)

0;0

0;1)(

t

tts

ssUs

1)(

Escaln unitario

Respuesta transitoria y respuesta en estado estable. La respuesta en el tiempo de un

sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estadoestable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por

respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del

sistema conforme ttiende a infinito.

t

y(t)

y(0)

tsRgimen

transitorio

Rgimen

permanente

0


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RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE CONTROL

RESPUESTA DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Considere el sistema de control de primer orden de la figura

R(s) Y(s)

-+

1

T s

E(s)

Fsicamente este sistema representa un circuito elctricoRC, un sistema hidrulico, un sistema

trmico o algo similar.La relacin entrada-salida o funcin de transferencia se obtiene como:

1

1

(s)R

(s)

Ts

Y

Respuesta al escaln unitario de sistemas de primer orden

Si R(s) = 1/s, y sustituyendo en la ecuacin anterior se obtiene:

s

1

1Ts

1Y(s)

, y al expandir Y(s) en fracciones parciales se obtiene:

)/1(

11)(

TsssY

tomando la transformada inversa de Laplace se obtiene la salida del sistema en funcin del

tiempo como:0.t,1)( T

t

paraety

Esta ecuacin nos dice que la saliday(t)es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Unacaracterstica importante para y(t) es que, para t = T el valor de y(t) es de 0.632, o que la

respuesta alcanz el 63.2% de su cambio total.

y (t)

t

1

0 5T4T3T2TT

63.2%

86.5%

95% 98.2%

99.3%


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Respuesta a la una rampa unitario de sistemas de primer orden

En este caso R(s) = 1/s2 , as la salida del sistema es:2

1 1( )

1Y s

Ts s

, y al expandir en

fracciones parciales se obtiene:2

21( )

1

T TY ss Tss

, y tomando la transformada de Laplace

inversa obtenemos:-

( ) -tTy t t T T e .

De este modo la seal de error e(t)es: e(t) = r(t) y(t) =-

(1- )tTT e , y conforme tse hace

grande o tiende a infinito la seal de error se aproxima a T.

La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la figura siguiente. El error

despus que la entrada es igual a T, para cuando t es suficientemente grande. Cuando ms

pequeo es la constante de tiempo T, ms pequeo es el error en estado estable.

t

r(t)

y(t)

5T4T3T2TT

Error en estado

estable

2T

T

3T

4T

5T

0

RESPUESTA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Consideremos el sistema de control de 2 orden de la figura:

R(s) Y(s)

-

+ss n

n

22

2

E(s)

La funcin de transferencia en lazo cerrado es:

22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sY


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donde: = factor de amortiguamiento relativo

n= frecuencia natural no amortiguadaLas races al de denominador de la funcin de transferencia son:

1;1

02

2

2

2

1

22

nnnn

nn

ss

ss

Las races s1ys2dependen del valor del amortiguamiento relativo por lo tanto la respuesta

y(t)depende de

a) Caso sobreamortiguado ( > 1)El sistema presenta dos races reales negativas:

1;1 222

1 nnnn ss Las races se ubican en el plano Scomo sigue:

j

s1s2

La funcin de transferencia del sistema quedar:

))(()(

)(

21

2

sssssR

sY n

b) Caso crticamente amortiguado ( = 1)El sistema presenta dos races reales negativas e iguales:

nn ss 21 ;

Las races se ubican en el plano S como sigue:

j

s1, s2


2

2

)()(

)(

n

n

ssR

sY


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c)

Caso subamortiguado (0< < 1)

El sistema presenta dos races complejas conjugadas con parte real negativa:

2

2

2

1 1;1 nnnn jsjs O que es lo mismo:

jsjs 21 ;21; nn

donde: = factor de amortiguamiento; = d = frecuencia amortiguadaLas races se ubican en el plano Scomo sigue:

s2

s1

j

-

-


22

2

222

2

)()1()()(

)(

sssR

sY n

nn

n

d) Caso oscilatorio ( = 0)

El sistema presenta dos races imaginarias conjugadas:

nn jsjs 21 ;

Las races se ubican en el plano Scomo sigue:

j

n

-n


22

2

)(

)(

n

n

ssR

sY


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Respuesta al escaln unitario de sistemas de segundo orden

Ahora se obtendr la respuesta del sistema y(t)en funcin del tiempo para una entrada r(t)de

un escaln unitario es decirR(s) = 1/s. Considerando los siguientes casos:

(a)Caso sobreamortiguado ( > 1):Para este caso la ecuacin de la respuesta en trminos de la transformada de Laplace sin

condiciones iniciales se expresa como:

ssssY

nn

n 1

)1()1()(

2

n

2

n

2

y con la transformada inversa de Laplace se obtiene:2 2

- ( 1) - ( 1)

2 2 2( ) 1- ; 0

2 1 ( 1) ( 1)

n nt t

n

n n

e ey t t

La respuesta temporal y(t) del sistema de segundo orden grficamente se presenta en lasiguiente figura:

(b)Caso crticamente amortiguado ( = 1):Para este caso la ecuacin de la respuesta en trminos de la transformada de Laplace sin


sssY

n

n 1

)()(

2

2

y tomando la transformada inversa de Laplace se obtiene:-

( ) 1- (1 ) ; 0nt

ny t e t t


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(c)Caso subamortiguado (0 < < 1):Para este caso la ecuacin de la respuesta en trminos de la transformada de Laplace sin


ss

sY n1

)(

)(22

2

Expresando mediante fracciones parciales se obtiene:

22222 )(

1)(

1)(

ss

s

ssY

donde 2-1 nd se denomina frecuencia natural amortiguada, n . Se

denomina factor de amortiguamiento. Luego de tomar transformada inversa de Laplace se

obtiene:

2

( ) 1 cos( ) ; 0

1-

ty t e t sen t t

Simplificando la expresin anterior se obtiene:

2( ) 1 ; 0

1-

tey t sen t t

donde

acos)

-1atan(;1;

22 nn ; para t .0


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(d)Caso oscilatorio ( = 0):

Para este caso la ecuacin de la respuesta en trminos de la transformada de Laplace sin


sssY

n

n 1)(22

2

Expresando mediante fracciones parciales se obtiene:

2

n

2

1)( s

s

ssY

Luego de tomar transformada inversa de Laplace se obtiene:( ) 1 cos( ) ; 0y t t t



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DEFINICIONES DE ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA

TRANSITORIA

Con frecuencia, las caractersticas de desempeo de un sistema de control se especifican en

trminos de la respuesta transitoria para una entrada escaln unitario, dado que sta es fcil degenerar y es suficientemente drstica.La respuesta transitoria de un sistema de control prctico exhibe con frecuencia oscilaciones

amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las caractersticas de la

respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escaln unitario, es comnespecificar lo siguiente:

(a)Tiempo de retardo(td): Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera

vez la mitad del valor final.

(b)Tiempo de levantamiento(tr): Es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de

segundo orden, por lo comn se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para

sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.(c)Tiempo pico (tp):Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del

sobrepaso.

(d)Sobrepaso mximo (Mp): Es el valor pico mximo de la curva de respuesta, medido a

partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de launidad, es comn usar el porcentaje de sobrepaso mximo. Se define mediante:

(e)Tiempo de asentamiento (ts): Es el tiempo que requiere la curva de respuesta para que

alcance un rango alrededor del valor final del tamao especificado por el porcentaje

absoluto del valor final (por lo general de 2 a 5%) y permanezca dentro de el.

y(t)

5% o 2%

0.5

1

st

pt

rt t

d

pM

t


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NOTA: A continuacin se determinan el tiempo de levantamiento, el tiempo pico, elsobrepaso mximo y el tiempo de asentamiento para un sistema de 2 orden subamortiguado y

normalizado. Estos valores estn dados en trminos den

y .

Tiempo de levantamiento: -1 -1

2

cos cos

1r

n

t

o

2-1

2

1 1tan

1r

n

t

Tiempo pico:21

p

n

t

seg

Sobrepaso mximo: 2 / 1 -

100 (%)p

M e

Tiempo de asentamiento: 4sn

t seg (Criterio del 2%)

3

sn

t

seg (Criterio del 5%)


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APLICACIONES

Apl icacin 01Sea un sistema de control mostrado en el siguiente diagrama de bloques:

5

( 8)s s

R(s)

E(s) U(s) Y(s)

K

Gp(s)

a) Determinar los valores de la ganancia K para que el sistema presente los siguientes

valores de coeficiente de amortiguamiento = 1.2, 1, 0.75, 0.5, 0.3b) Con los valores de K encontrados determinar y graficar la respuesta de y(t) para una

entada de un escaln unitario en r(t)

Solucin

La funcin de transferencia del sistema se escribe como:

2

( ) 5

( ) 8 5

Y s K

R s s s K

La cual se puede equiparar con la ecuacin general de un sistema de segundo ordennormalizado como:

2

2 2

( )

( ) 2

n

n n

Y s

R s s s

De las dos ecuaciones anteriores se deduce que se debe cumplir 8 2 n y25n

K .

Entonces se obtiene:

4n

y21

5 nK

Encontrando todos los valores respectivos se presentan en la tabla siguiente:

1.2 1 0.75 0.5 0.3

n (rad/seg) 3.3333 4.00 5.3333 8.0000 13.3333

K 2.2222 3.20 5.6889 12.8000 35.5556

(rad/seg) - 0.00 3.5277 6.9282 12.7192

s1

s2

-6.2111

-1.7889

-4.00

-4.00

-4.00 + 3.5277i

-4.00 - 3.5277i

-4.00 + 6.9282i

-4.00 - 6.9282i

-4.00 +12.7192i

-4.00 -12.7192i

(rad) - - 0.7227 1.0472 1.2661


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Las formulas dey(t)para cada caso de son:

Para = 1.2, n =3.3333, K=2.2222, se obtiene la siguiente expresin:

-1.7889 -6.2111

( ) 1- 2.5126 ; 01.7889 6.2111

t te ey t t

Para = 1, n =4, K=3.2, se obtiene la siguiente expresin:

-4( ) 1- (1 4 ) ; 0ty t e t t


4( ) 1 1.5119 3.5277 0.7227 ; 0ty t e sen t t

Para = 0.5, n =8, K=12.8, se obtiene la siguiente expresin:

4( ) 1 1.1547 6.9282 1.0472 ; 0ty t e sen t t


4( ) 1 1.0483 12.7192 1.2661 ; 0ty t e sen t t

Las grficas de las distintas respuestas del sistema que depende de se muestran en la figura

siguiente:

Respuesta temporal del sistema de segundo orden para varios valores deK

=1.2

=1

=0.75

=0.5

=0.3


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Apl icacin 02Sea un sistema de control mostrado en el siguiente diagrama de bloques:

5( 8)s s

R(s) E(s) U(s) Y(s)K

Gp(s)

K=10

a) Determinar y graficar la respuesta de y(t) cuando la entrada de referencia r(t) es un

impulso ideal.b) Determinar y graficar las variables de la respuesta y(t) y del error e(t) cuando la

entrada de referencia r(t)es un escaln unitario.

c) Determinar y graficar las variables de la respuesta y(t) y del error e(t) cuando la

entrada de referencia r(t)es una rampa unitaria.

SolucinLa funcin de transferencia del sistema se escribe como:

2 2

( ) 5 50

( ) 8 5 8 50

Y s K

R s s s K s s

La cual se puede equiparar con la ecuacin general de un sistema de segundo orden

normalizado como:2

2 2

( )

( ) 2

n

n n

Y s

R s s s

De las dos ecuaciones anteriores se deduce que se debe cumplir 8 2 n y250n

.

Entonces se obtiene:

7.0711n

rad/seg y =0.5657

Las races del polinomio caracterstico del sistema son se ubican en el plano S en:

s1=-4.00 + 5.8310i y s2= -4.00 - 5.8310i

Solucin (a)Con los parmetros encontrados y una entrada escaln unitario se obtiene la siguiente

expresin:

4( ) 0.8388 5.8310 ; 0ty t e sen t t La grfica en el tiempo de la respuestay(t)se grfica en la siguiente figura


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Solucin (b)Con los parmetros encontrados y una entrada escaln unitario se obtiene la siguiente

expresin:

4( ) 1 1.2127 5.8310 0.9695 ; 0ty t e sen t t

La grfica en el tiempo de la respuestay(t)se grfica en la siguiente figura


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y(t)

r(t)

Las especificaciones de respuesta transitoria son:

Mp=11.589%

tp=0.5388 seg.td=0.188 seg

tr=0.3725 seg

ts(5%)=0.75 segts(2%)=1 seg.


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y(t)

r(t)

1.1159

Respuesta temporal del sistema de segundo orden paraK=10

La expresin en Laplace de la seal del error es:

2 250 ( 8) 1( ) ( ) ( )8 50 8 50

s sE s R s R sss s s s

La expresin en el tiempo de la seal del error para una entrada escaln unitario es:

4 4( ) 5.8310 0.08 5.8310 ; 0t te t e cos t e sen t t

La grfica en el tiempo de la respuesta e(t)se grfica en la siguiente figura


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Solucin (c)Con los parmetros encontrados y una entrada de rampa unitaria se obtiene la siguiente grfica

para la respuestay(t)en la siguiente figura:


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La grfica en el tiempo de la seal del errory(t)se grfica en la siguiente figura:


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Apl icacin 03Dado un sistema de control descrito mediante el siguiente diagrama de bloques:

E(s)P

K 50

( 4)s s

Y(s)U(s)R(s)

GP(s)

DK s

a)

Determinar los valores de las ganancias ajustablesKPyKDpara que el sistema en lazocerrado presente un coeficiente de amortiguamiento = 0.6, y frecuencia natural noamortiguada n = 10 rad/seg.

b) Para los valoresKPyKD determinados en (a), graficar (en una sola grfica) las seales

r(t), y(t), e(t), u(t)para una entrada r(t)=s(t)=escaln unitario.c) Para los valores KPyKD determinados en (a), graficar la respuesta y(t)para entrada

r(t)=impulso ideal


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d) Para los valoresKPyKD determinados en (a), graficar la respuestay(t),e(t) yu(t)parauna entrada r(t)=rampa de pendiente 0.5.

Solucin

a) La funcin de transferencia del sistema es:

2

50( )

( ) (4 50 ) 50

P

D P

KY s

R s s K s K

Igualando con la funcin de transferencia de un sistema de segundo orden normalizado y

evaluando con los parmetros y n se tiene:2

2 2 2 2

50( ) 100

( ) 2 12 100 (4 50 ) 50

n P

n D P

KY s

R s s s s s s K s K

Por lo tanto los valores de las ganancias pedidas son:

2

0.16

P

D

K

K

b) La funcin de transferencia Y(s)/R(s)es2

( ) 100

( ) 12 100

Y s

R s s s

SiR(s)=1/sentonces la expresin de Y(s)es:

2

100 1( )

12 100Y s

ss s

La funcin de transferencia U(s)/R(s)es2

( ) ( ) ( ) ( 4) 100

( ) ( ) ( ) 50 12 100

U s U s Y s s s

R s Y s R s s s

Entonces queda2

( ) 2 ( 4)

( ) 12 100

U s s s

R s s s

SiR(s)=1/sentonces la expresin de U(s)es:

2 2 2 2

2 ( 4) 1 2( 4) 2 8( )

12 100 12 100 12 100 12 100

s s s sU s

ss s s s s s s s

La funcin de transferenciaE(s)/R(s)es2

( ) ( ) 1001 1

( ) ( ) 12 100

E s Y s

R s R s s s

Finalmente queda2

2

( ) 12

( ) 12 100

E s s s

R s s s

SiR(s)=1/sentonces la expresin deE(s)es:2

2 2 2

12 1 12( )

12 100 12 100 12 100

s s sE s

ss s s s s s

Las grficas pedidas son las siguientes:


21/28



22/28


c) Respuesta ante un impulso

SiR(s)=1entonces la expresin de Y(s)es:

2

100

( ) 12 100Y s s s

La respuesta ante el impulso ideal se obtiene en la siguiente grfica:


23/28


d) La respuesta ante una rampa de magnitud 0.5

SiR(s)=1/s2entonces la expresin de Y(s)es:

2 2

100 1

( ) 12 100Y s s s s

SiR(s)=1/s2entonces la expresin de U(s)es:

2 2

2 ( 4) 1( )

12 100

s sU s

s s s

SiR(s)=1/s2entonces la expresin deE(s)es:2

2 2

12 1( )

12 100

s sE s

s s s

Las grficas pedidas son las siguientes:


24/28



25/28


Aplicacin 04

Dado un sistema de control representado en siguiente diagrama de bloques con K=12.5

E(s) 173

s

10

( 2)( 4)s s

Y(s)U(s)R(s)

GP(s)

K s

a) Para una entrada en r(t)= escaln unitario, dibujar la respuestay(t)para 0 t 2 segy

determinar los valores deMp, td, tr(0%-100%), tp, ts(5%), ts(2%).b) Para una entrada en r(t)= impulso ideal, dibujar la respuestay(t)para 0 t 3 seg

c) Graficar r(t)ey(t)(en un solo grfico) para una entrada de referencia0.4( ) 3 0.5 3 sin(3 )tr t t e t

d) Graficar r(t)ey(t)(en un solo grfico) para r(t)representado en la siguiente figura:


26/28


r(t)

2

-3

0 2 3.5 7t(seg)

1

Solucin

La funcin de transferencia total se obtiene como:

3 2

730

s 16 133 730

s s

a) La grafica pedida es:

De la grfica

Mp=20.6%Tr=0.354 seg

Tp=0.502 seg

Ts(5%)=0.98 segTs(2%)=1.07 seg


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b) La respuesta ante un impulso ideal es:

c) La grfica pedida es:


28/28

d) La grfica pedida es como sigue:

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