Análisis de Potencia de RF en Cuadripolos mediante

Diagrama de Flujo de Señales

Ing. Alejandro Henze

Lab. Metrología RF & Microondas, INTI

http://www.inti.gov.ar/electronicaeinformatica/metrologiarf

ahenze@inti.gov.ar

Versión 2.6

Mayo 2014

1

Índice

1. Introducción 2

2. Dispositivos de 1 Puerto 2 2.1. Generador de señales • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2

2.2. Carga (ZL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2 2.3. Generador y carga • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 3

3. Transferencia de potencia entre el generador y la carga 4 3.1. Potencia disipada en la carga (PL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 4

3.2. Potencia disponible en el generador (PA) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5

4. Dispositivos de 2 Puertos 6 4.1. Cuadripolo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 6

4.2. Cuadripolo cargado con ZL • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 6

4.3. Coeficiente de Reflexión del cuadripolo cargado (ΓIN) • • • • • • • • • • • • • 7

4.4. Cuadripolo cargado y conectado a un generador de señales • • • • • • • • • • • 7

5. Transferencia entre el generador y el cuadripolo cargado 8 5.1. Potencia disipada por el cuadripolo cargado (PIN) • • • • • • • • • • • • • • • 8

5.2. Transferencia entre el generador y la carga • • • • • • • • • • • • • • • • • • 10

5.3. Potencia disipada en la carga (PL) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 10

6. Análisis del generador equivalente 11 6.1. Cálculo de PGZO´ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 11

6.2. Cálculo de ΓG´ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 11

7. Pérdida de Inserción de un cuadripolo (IL(dB)) 13 7.1. Carga conectada directamente al generador • • • • • • • • • • • • • • • • • • 13

7.2. Cuadripolo insertado entre el generador y la carga • • • • • • • • • • • • • • • • 14

7.3. Cálculo de IL • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 14

8. Atenuación de un cuadripolo (A(dB)) 15

9. Error por Desadaptación en Transmisión (M(dB)) 15

10. Eficiencia en Potencia de un cuadripolo (ηηηη) 16

Referencias 17

2

1. Introducción

En el presente documento se detallan los métodos de análisis por diagrama de flujo de señales, para el cálculo

de distintas transferencias de potencia en alta frecuencia entre un generador de señales y una carga de

impedancia ZL, a través de un cuadripolo caracterizado con parámetros S. Asimismo, se describen algunos

parámetros característicos de un cuadripolo como Pérdida de Inserción, Atenuación y Eficiencia en Potencia.

2. Dispositivos de 1 Puerto

Abarca básicamente a toda red de 1 puerto, de carácter pasivo o activo, que puede ser representando por un

circuito o una caja negra equivalente con una sola entrada o salida, y su comportamiento caracterizado mediante

parámetros de dispersión en el plano de referencia.

2.1. Generador de señales

Sea un generador de señales tipo senoidal, el cual se puede representar por su circuito equivalente de Thevenin,

se puede establecer la siguiente equivalencia:

Circuito equivalente Diagrama de flujo de señal Ecuaciones asociadas

OG

OG

GZZ

Z.Eb

+= (1)

GZOG Pb =2

(2)

Donde

EG: Tensión eficaz del generador de Thevenin

ZG: Impedancia equivalente de salida del generador de Thevenin

bG: Onda viajera generada internamente por el generador

PGZO: Potencia entregada por el generador a una carga ZL = ZO

b: Onda viajera incidente en el plano de referencia

a: Onda viajera reflejada en el plano de referencia

2.2. Carga (ZL)

En un sistema de transmisión la carga ZL es la terminación o el valor de la impedancia de entrada de la siguiente

etapa. Su parte resistiva disipará la potencia entregada por el generador. Análogamente al caso anterior, se

puede establecer una equivalencia:

bG b 1

ΓG

a

EG

ZG

Plano de referencia

Figura 1: Equivalencias entre el circuito equivalente y el diagrama de flujo para un generador de señales

b

a

3

Circuito equivalente Diagrama de flujo de señal Ecuaciones asociadas

OL

OLL

ZZ

ZZΓ

+

−= (3)

Donde

a´: Onda viajera incidente en el plano de referencia

b´: Onda viajera reflejada en el plano de referencia

2.3. Generador y carga

Si se conecta la carga ZL al generador de señales, se producirá la propagación de una onda electromagnética y,

dependiendo del grado de adaptación de ambos respecto a la impedancia característica del sistema de

transmisión, existirá en el plano de referencia una potencia incidente a la carga y una potencia reflejada

nuevamente hacia el generador. Esto se lo expresa de la siguiente manera:

Circuito equivalente Diagrama de flujo de señal Ecuaciones asociadas

INCID

O

INCID PZ

Vb ==

2

2 (4)

REFL

O

REFL PZ

Va ==

2

2 (5)

Donde:

|b|

2: Potencia incidente en la carga

|a|2: Potencia reflejada en la carga

ΓL

bG b 1

ΓG

a

EG

ZG

Plano de referencia

ZL

ΓL

a´

b´

ZL

Plano de referencia

Figura 2: Equivalencias entre el circuito equivalente y el diagrama de flujo para una carga ZL

Figura 3: Equivalencias entre el circuito equivalente y el diagrama de flujo para un generador cargado con ZL

a´

b´

b=a´

a=b´

4

3. Transferencia de potencia entre el generador y la carga Es fundamental poder calcular, en base a los parámetros del sistema, la potencia que entregará un generador a

una carga conectada al mismo. Para ello se deben hallar las transferencias de las potencias incidentes y

reflejadas analizando el diagrama de flujo de la figura 3. Aplicando la Regla de Mason [1]:

Lazos de 1er orden: L(1) = GL.ΓΓ

Lazos de 2do orden: L(2) = 0

Transferencia Incidente b / bG

Rama 1: P1 = 1 ∑ = 01 1)L( ∑ = 01 2)L(

Rama 2: P2 = 0

( )

LGLGG Γ.ΓΓ.Γ

.

b

b

−=

+−

+−=

1

1

01

0011 (6) ⇒

LG

G

Γ.Γ

bb

−=1

(7)

Transferencia reflejada a / bG

Rama 1: P1 = LΓ ∑ = 01 1)L( ∑ = 01 2)L(

Rama 2: P2 = 0

( )

LG

L

LG

L

Γ.Γ

Γ

Γ.Γ

Γ

b

a

−=

+−

+−=

101

001

G

(8) ⇒ LG

LG

Γ.Γ

Γ.ba

−=1

(9)

3.1. Potencia disipada en la carga (PL) La potencia que se disipa en la carga ZL es la diferencia entre la potencia que incide y la potencia que se refleja

en el plano de referencia.

22abPL −= (10)

Reemplazando (7) y (9) en (10):

2

22

2

2

11 LG

LG

LG

G

LΓ.Γ

Γ.b

Γ.Γ

bP

−−

−= (11)

Utilizando la equivalencia (2), la ecuación (11) queda:

( )2

2

1

1

LG

LGZO

LΓ.Γ

Γ.PP

−

−= (12)

( ) 011=∑L

5

3.2. Potencia disponible en el generador (PA) La máxima potencia que puede entregar un generador con impedancia interna ZG, se produce cuando la carga ZL

es su valor complejo conjugado. En ese caso, se produce una transferencia máxima de energía del generador a la

carga. Esta potencia máxima se denomina potencia disponible del generador PA [2].

Si ZG = ZL* entonces se cumple:

|ZG| =|ZL| y ΦZG = -ΦZL (13)

|ΓG| =|ΓL| y ΦΓG = -ΦΓL (14)

PA = PL (15)

Reemplazando (14) y (15) en (12) y desarrollando:

( )( )

( )( )

22

2

22

2

cos21

1

cos21

1

GGLGGG

GGZO

LGLGLG

GGZO

AΓ.ΓΦΦ.Γ.Γ.

Γ.P

Γ.ΓΦΦ.Γ.Γ.

Γ.PP

++−

−=

++−

−= (16)

( ) ( )( ) ( )222

2

42

2

11

1

21

1

G

GZO

G

GGZO

GG

GGZO

A

Γ

P

Γ

Γ.P

ΓΓ.

Γ.PP

−=

−

−=

+−

−= (17)

Despejando PGZO:

( )21 GAGZO Γ.PP −= (18)

Reemplazando (18) en (12):

( )( ) ( )( )LG

LGA

LG

LGA

LM

Γ.Γ.P

ΓΓ

Γ.Γ.PP

,

22

2

2211

.1

11 −−=

−

−−= (19)

donde:

2

, .1 LGLG ΓΓM −= (20)

Se define:

( )21 GΓ− : Pérdida por desadaptación del generador (Generator Mismatch Loss)

( )21 LΓ− : Pérdida por desadaptación de la carga (Load Mismatch Loss)

LGM , : Error por desadaptaciones múltiples entre generador y carga [3], [4] (Reflection Mismatch Error)

ΓΓΓΓG

ΓΓΓΓL

Figura 4: Diagrama de Smith con valores de

impedancias complejo conjugadas

6

Analizando la ecuación (19) desde el punto de vista de las desadaptaciones, se observa que:

si ΓL = 0 ⇒ PL = PGZO si ΓG = 0 ⇒ PA = PGZO si ΓL = 0 y ΓG = 0 ⇒ PL = PA = PGZO

El último ejemplo es un caso particular de la condición complejo conjugado entre ZG y ZL

4. Dispositivos de 2 Puertos 4.1. Cuadripolo

Se denomina comúnmente cuadripolo a toda red de 2 puertos, de carácter pasivo o activo, que puede ser

representando por un circuito o una caja negra equivalente con 2 entradas/salidas, y su comportamiento

caracterizado mediante parámetros de dispersión entre los planos de referencia 1 y 2.

2121111 .. aSaSb += (21)

2221212 .. aSaSb += (22)

4.2. Cuadripolo cargado con ZL

Si un cuadripolo es cargado en su salida con una terminación ZL como muestra la siguiente figura:

Su diagrama de flujo de señal equivalente es:

S11

a1

b1

ΓL

b2

S22

a2

S21

S12

Cuadripolo ZL

a1

b1

b2

a2

1 2

Figura 5: Cuadripolo o red de 2 puertos

Figura 6: Cuadripolo cargado con ZL

Figura 7: Diagrama de flujo de un cuadripolo cargado

Cuadripolo

a1

b1

b2

a2

1 2

7

Donde:

a1: Onda incidente al cuadripolo en el plano de referencia 1

b1: Onda reflejada al cuadripolo en el plano de referencia 1

b2: Onda incidente a la carga en el plano de referencia 2

a2: Onda reflejada a la carga en el plano de referencia 2

4.3. Coeficiente de Reflexión del cuadripolo cargado (ΓΓΓΓIN)

El cuadripolo cargado con ZL se comportará con el generador como una carga equivalente ZIN. Para hallar dicho

valor, se calcula el ΓIN aplicando la Regla de Mason al diagrama de flujo de la figura 7:

Lazos de 1er orden: L(1) = S22 . ΓL Lazos de 2do orden: L(2) = 0

Rama 1: P1 = S11 LΓ.S)L(∑ = 22

11 ∑ = 01 2)L(

Rama 2: P2 = S21 . ΓL . S12 ∑ = 02 1)L(

Transferencia b1 / a1

( )( )L

LL

.ΓS

.S.ΓS.ΓS.S

a

b

22

12212211

1

1

1

1

−

+−= (23)

Se define el coeficiente de Reflexión ΓIN como:

( )LL

IN.ΓS

.Γ.SSS

a

bΓ

22

122111

1

1

1−+== (24)

Si el cuadripolo está adaptado (S11 = S22 = 0) ⇒ ΓIN = S21.S12.ΓL (25)

Si en cambio la carga está adaptada (ΓL = 0) ⇒ ΓIN = S11 (26)

4.4. Cuadripolo cargado y conectado a un generador de señales Si se conecta el cuadripolo cargado a un generador de señales, el circuito queda de la siguiente forma:

Cuadripolo ZL

a1

b1

b2

a2

EG

ZG 1 2

Figura 8: Cuadripolo cargado y conectado a un generador

8

En los planos de referencia 1 y 2 se producirán diferentes transferencias de potencia y coexistirán potencias

incidentes provenientes desde el generador y potencias reflejadas con sentido inverso. Con esto se puede

calcular la potencia que disipa todo el cuadripolo cargado y también la potencia disipada en la carga ZL

mediante el análisis del siguiente diagrama de flujo de señal.

5. Transferencia entre el generador y el cuadripolo cargado Aplicando regla de Mason al diagrama de flujo de la figura 9:

Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG S22 .ΓL S12 .S21.ΓL. ΓG

Lazos de 2do orden: L(2) = S11 .ΓG. S22 .ΓL

Transferencia incidente a1 / bs

Rama 1: P1 = 1 LΓ.S)L(∑ = 22

11 ∑ = 01 2)L(

Rama 2: P2 = 0 ∑ = 02 1)L(

( )

LGLGLG

L

G .Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

.ΓS.

b

a

221121122211

221

1

11

+−−−

−= (27)

Transferencia reflejada b1 / bs

Rama 1: P1 = S11.1 LΓ.S)L(∑ = 22

11 ∑ = 01 2)L(

Rama 2: P2 = S12 . ΓL..S21.1 ∑ = 02 1)L(

( )

LGLGLG

LL

G .Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

.Γ.SS.ΓS.S

b

b

221121122211

211222111

1

1

+−−−

+−= (28)

5.1. Potencia disipada por el cuadripolo cargado (PIN)

Se define la potencia PIN entregada por el generador y disipada por todo el conjunto cuadripolo y carga ZL.a la

diferencia entre la potencia incidente y la potencia reflejada en el plano de referencia 1.

S11

bG a1 1

ΓG

b1

ΓL

b2

S22

a2

S21

S12

Figura 9: Diagrama de flujo de un cuadripolo cargado con ZL y conectado a un generador

9

De las ecuaciones (2), (27) y (28):

( )2

221121122211

2

21122211

22

22

2

2

1

2

1

1

11

LGLGLG

LLGLG

IN

.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

.Γ.SS.ΓS.S.b.ΓS.bbaP

+−−−

+−−−=−= (29)

( )( )2

221121122211

2

21122211

2

22

1

11

LGLGLG

LLLGZO

IN.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

.Γ.SS.ΓS.S.ΓS.PP

+−−−

+−−−= (30)

Desarrollando (30):

( )( )

2

221121122211

2

22

21121122

2

22

1

1.11

LGLGLG

L

LLLGZO

IN

.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

.ΓS

.Γ.SSS.ΓS.ΓS.P

P+−−−

−+−−−

= (31)

Reemplazando (24) en (31) y desarrollando:

( )2

221121122211

2

22

2

1

11

LGLGLG

LINGZO

IN.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

.ΓS.Γ.PP

+−−−

−−= (32)

Se busca que la ecuación (32) tenga la misma forma que (12). Reagrupando términos queda:

( )( )

( )2

22

211211

2

2

22

2112221122

2

11

1

1

11

1

L

LGG

INGZO

L

LGLGL

INGZO

IN

.ΓS

.Γ.Γ.SS.ΓS

Γ.P

.ΓS

.Γ.Γ.SS.ΓS..ΓS.ΓS

Γ.PP

−−−

−=

−

−−−−

−= (33)

( ) ( )2

2

2

22

211211

2

1

1

11

1

ING

INGZO

L

LG

INGZO

INΓ.Γ

Γ.P

.ΓS

.Γ.SSS.Γ

Γ.PP

−

−=

−−−

−= (34)

Analizando la ecuación (34) se comprueba que la potencia disipada por el cuadripolo cargado es la misma que

disiparía su carga equivalente ZIN.

En el caso particular que el cuadripolo está adaptado (S11 = S22 = 0), la ecuación (30) queda:

( ) ( )2

2

2

2112

2

2112

1

1

1

1

ING

INGZO

LG

LGZO

INΓ.Γ

Γ.P

.Γ.Γ.SS

.Γ.SS.PP

−

−=

−

−= (35)

Se llega a la misma expresión que (34) ya que en este caso:

ΓIN = S21.S21.ΓL

10

5.2. Transferencia entre el generador y la carga Para calcular la potencia que disipará solamente la carga ZL, se realiza el siguiente análisis aplicando la Regla de

Mason al diagrama de flujo de la figura 9:

Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG S22 .ΓL S12 .S21.ΓL. ΓG

Lazos de 2do orden: L(2) = S11 .ΓG. S22 .ΓL

Transferencia incidente b2 / bG

Rama 1: P1 = S21 ∑ = 01 1)L(

Rama 2: P2 = 0

LGLGLGG .Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

S

b

b

221121122211

212

1 +−−−= (36)

Transferencia reflejada a2 / bG

Rama 1: P1 = S21.ΓL ∑ = 01 1)L(

Rama 2: P2 = 0

L

GLGLGLG

L

G

.Γb

b

.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

.ΓS

b

a 2

221121122211

212

1=

+−−−= (37)

5.3. Potencia disipada en la carga (PL)

En base a lo explicado en la sección 3.1 y usando las ecuaciones (36) y (37), se calcula la potencia disipada en

la carga PL como:

( )2

221121122211

22

212

2

2

21

1

LGLGLG

LGZO

L.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.Γ-S.ΓS

Γ.S.PabP

+−−

−=−= (38)

Como la carga está recibiendo una potencia proveniente de un generador a través de un cuadripolo, dicho

conjunto generador / cuadripolo se comportará como un generador equivalente para la carga ZL. De este modo,

se puede calcular un PGZO´ y un ΓG´ y llevar la ecuación (38) a su modo más simple, similar a la ecuación (12).

Para este caso debería ser:

( )2

2

1

1

LG

LGZO

L

´.ΓΓ

Γ´.PP

−

−= (39)

11

6. Análisis del generador equivalente

6.1. Cálculo de PGZO´ Se calcula la potencia incidente del generador equivalente en el plano de referencia 2 en base al siguiente

diagrama de flujo:

Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG Lazos de 2do orden: L(2) = 0

Transferencia incidente b2 / bG

Rama 1: P1 = S21 ∑ = 01 1)L(

Rama 2: P2 = 0

G

GG

.ΓS

.Sbb´b

11

212

1−== (40)

En base a las ecuaciones (2) y (3) se define la potencia del generador equivalente PGZO´ como:

2

11

2

21

2

11

2

21

2

2

11 G

GZO

G

G

GGZO.ΓS

S.P

.ΓS

S.b´b´P

−=

−== (41)

6.2. Cálculo de ΓΓΓΓG ´ Si en la figura 8 se pasiva el generador y se calcula el coeficiente de reflexión a la izquierda del plano de

referencia 2:

S11

bG a1 1

ΓG

b1

b2

S22

a2

S21

S12

S11

a1

ΓG

b1

b2

S22

a2

S21

S12

Figura 10: Diagrama de flujo del generador equivalente

Figura 11: Diagrama de flujo del coeficiente de reflexión del generador equivalente

12

Lazos de 1er orden: L(1) = S11 .ΓG Lazos de 2do orden: L(2) = 0

Transferencia b2 / a2

Rama 1: P1 = S22 G.ΓS)L( 11

11 =∑ 01 2 =∑ )L(

Rama 2: P2 = S12 .ΓG . S21 02 1=∑ )L(

Se define ΓG´ como

( )

G

G

G

GGG

.ΓS

.Γ.SSS

.ΓS

.Γ.SS.ΓS.S

a

b´Γ

11

211222

11

21121122

2

2

11

1

−+=

−

+−== (42)

Reemplazando (41) y (42) en (39):

( ) ( )2

11

211222

2

11

22

21

2

2

111

1

1

1

L

G

GG

LGZO

LG

LGZO

L

.Γ.ΓS

.Γ.SSS..ΓS

Γ.S.P

´.ΓΓ

Γ´.PP

−+−−

−=

−

−= (43)

Desarrollando el denominador de (43):

( )( )

2

11

21121122112

11

22

21

1

111

1

G

LGGLGG

LGZO

L

.ΓS

.Γ.Γ.SS.ΓS..ΓS.ΓS..ΓS

Γ.S.PP

−

−−−−−

−= (44)

( )2

211211222211

22

21

1

1

LGGLLG

LGZO

L.Γ.Γ.SS.Γ.S.ΓS.ΓS.ΓS

Γ.S.PP

−+−−

−= (45)

La expresión (45) es idéntica a (38) por lo que se comprueba la validez del planteo anterior. Con esto se puede

entonces hacer la siguiente simplificación:

OG

OG

GZ´Z

Z´.E´b

+= (46)

Cuadripolo ZL

a1

b1

b2

a2

EG

ZG

EG´

ZG´

ZL

b2

a2

Figura 11: Simplificación del generador equivalente

1 2 2

13

De la misma forma se simplifica el diagrama de flujo de señal:

Lo explicado anteriormente se resume en la siguiente tabla:

Caso general Caso particular cuando

S11 = 0 y S22 = 0

bG´ G

G

.ΓS

.Sb

11

21

1− (40) 21.SbG

PGZO´ 2

11

2

21

1 G

GZO

.ΓS

S.P

− (41)

2

21S.PGZO

ΓG´ G

G

.ΓS

.Γ.SSS

11

211222

1−+ (42) G.Γ.SS 2112

7. Pérdida de Inserción de un cuadripolo (IL(dB))

Se define Pérdida de Inserción IL (Insertion Loss) de un cuadripolo a la relación de potencias disipadas en una

carga ZL, primero conectada directamente al generador y luego a través del cuadripolo insertado [5].

2

1

L

L

P

PIL = (47)

siendo

PL1: Potencia disipada en la carga ZL conectada directamente al generador

PL2: Potencia disipada en la carga ZL conectada al generador a través del cuadripolo insertado

7.1. Carga conectada directamente al generador En base a lo explicado en la sección 3.1 se calcula la potencia PL1 disipada en la carga ZL.

( )2

2

2

22

2

2

2

1

2

111

1

11 LG

LGZO

LG

LS

LG

S

LΓ.Γ

Γ.P

Γ.Γ

Γ.b

Γ.Γ

babP

−

−=

−−

−=−= (48)

S11

bG a1 1

ΓG

b1

ΓL

b2

S22

a2

S21

S12

ΓL

bG´ b2 1

ΓG´

a2

Figura 12: Simplificación diagrama de flujo del generador equivalente

Tabla 1: Ecuaciones asociadas al generador equivalente

14

7.2. Cuadripolo insertado entre el generador y la carga

En base a lo explicado en la sección 5.3 se calcula la potencia PL2 disipada en la carga ZL.

( )2

221121122211

22

212

2

2

221

1

LGLGLG

LGZO

L.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

Γ.S.PabP

+−−−

−=−= (49)

7.3. Cálculo de IL

Reemplazando (48) y (49) en (47), se calcula la pérdida de inserción IL:

22

21

2

221121122211

2

1

1

1

LG

LGLGLG

L

L

.ΓΓ.S

.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.ΓS.ΓS

P

PIL

−

+−−−== (50)

En la práctica, el valor de IL se expresa en decibeles. Por lo tanto:

−

+−−=

22

21

2

221121122211

)(

1

1log.10

LG

LGLGLG

dB

.ΓΓ.S

.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.Γ-S.ΓSIL (51)

Si se plantea PL2 usando el concepto de generador equivalente de la ecuación (39):

( )2

2

2

1

1

LG

LGZO

L

´.ΓΓ

Γ´.PP

−

−= (52)

Entonces otra forma de expresar IL es la siguiente:

( )( )

M´M´P

P

Γ.Γ

´.ΓΓ

´P

P

Γ´.P

´.ΓΓ

Γ.Γ

Γ.P

P

PIL

GZO

GZO

LG

LG

GZO

GZO

LGZO

LG

LG

LGZO

L

L ⋅=−

−⋅=

−

−⋅

−

−==

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1 (53)

con

2

2

,

´,

1

1

LG

LG

LG

LG

Γ.Γ

´.ΓΓ

M

MM´M

−

−== (54)

Siendo:

PGZO: Potencia entregada por el generador a una carga ZL = ZO

PGZO´: Potencia entregada por el generador equivalente a una carga ZL = ZO

MG´,L: Error por desadaptaciones múltiples entre generador equivalente y carga ZL

MG,L: Error por desadaptaciones múltiples entre generador y carga ZL

M´M: Relación entre las desadaptaciones múltiples MG ,́L y MG,L

15

Finalmente se calcula IL expresado en dB como:

⋅= M´M´P

PIL

GZO

GZOdB log.10)( (55)

8. Atenuación de un cuadripolo (A(dB))

En el caso particular que, al calcular la pérdida de inserción de un cuadripolo, el sistema esté adaptado (ΓG = 0 y

también ΓL = 0), las ecuaciones (41), (42) y (54) se simplifican a lo siguiente:

2

21´ S.PP GZOGZO = (56)

22S´ΓG = (57)

M´M = 1 (58)

De la misma manera, la ecuación (53) se simplifica a:

ASS.P

PM´M

´P

PIL

GZO

GZO

GZO

GZO ===⋅=2

21

2

21

1 (59)

siendo A el valor de atenuación del cuadripolo. En la práctica también la atenuación A se expresa en dB. Por lo

tanto de (59):

( )21

21

2

21

)( log201

log201

log10 S.S

.S

.A dB −=

=

= (60)

)(21)( dBdB SA −= (61)

Se concluye entonces que, cuando un cuadripolo se encuentra dentro de un sistema perfectamente adaptado, su

pérdida de inserción IL(dB) es igual a su valor de atenuación A(dB) y también igual al módulo del parámetro S21(dB),

con el signo cambiado.

9. Error por Desadaptación en Transmisión (M(dB))

Es la diferencia, expresado en dB, entre los valores de pérdida de inserción y atenuación [6].

)()()( dBdBdB AILM −= (62)

Reemplazando (51) y (60) en (62) y desarrollando:

( )

−

+−−=

2

2

221121122211

1

1log10

LG

LGLGLG

dB

.ΓΓ

.Γ.S.ΓS.Γ.Γ.SS.Γ-S.ΓS.M (63)

16

Nótese que el numerador de (63) contiene todos los lazos de 1er y 2do orden que se producen con el cuadripolo

insertado, y el denominador contiene el único lazo que se produce con la carga conectada directamente al

generador. Con esto se puede observar claramente que, cuando el sistema está perfectamente adaptado (ΓG = 0 y

ΓL = 0), no existirán lazos o reflexiones múltiples con o sin el cuadripolo insertado. Por lo tanto su valor será:

( ) =

=

−

+−−=

1

1log10

01

0001log10

2

2

..M dB 0 dB

Como no necesariamente la pérdida de inserción de un cuadripolo debe ser igual o mayor que su atenuación, el

valor de M(dB) puede adoptar valores positivos o incluso negativos. Esto depende básicamente de los valores del

módulo y fase de ΓG y ΓL.

10. Eficiencia en Potencia de un cuadripolo (ηηηη)

Se define Eficiencia en Potencia η de un cuadripolo a la relación de la potencia disipada solamente en la carga,

PL respecto a la potencia disipada por el cuadripolo cargado, PIN [7].

IN

L

P

Pη = (64)

Utilizando las ecuaciones (34), (39), (41) y (20):

( )( )

( )( ) LGING

INGL

LGINGZO

INGLGZO

IN

L

.MΓ.SΓ

.MΓS

´.ΓΓ.Γ.P

Γ.Γ.Γ´.P

P

Pη

´,

22

11

,

22

21

22

22

1.1

1.

11

11

−−

−=

−−

−−== (65)

Donde:

MG,IN: Error por desadaptaciones múltiples entre el generador y el cuadripolo cargado

MG´,L: Error por desadaptaciones múltiples entre el generador equivalente y la carga

Nótese que en el cálculo de PL se utiliza el concepto de generador equivalente y en el cálculo de PIN se utiliza el

concepto de cuadripolo cargado.

En el caso particular en que la carga ZL esté adaptada a ZO (ΓL = 0) se cumple que:

11SΓ IN = (66)

Reemplazando (66) en (65):

( )( )

( )

( ) 2

11

2

21

22

11

2

11

2

11

2

21

222

11

222

21

1011.1

101.

11.1

11.

S

S

´.Γ.S.SΓ

.SΓ.S

´.ΓΓ.Γ.SΓ

Γ.Γ.ΓSη

GG

G

LGING

INGL

−=

−−−

−−=

−−−

−−= (67)

17

Para este caso si η = 1, significa que el cuadripolo por sí solo no disipará la potencia entregada por el generador, sino que la transferirá en su totalidad a la carga ZL. Esto se aplica a casos de líneas de transmisión ideales o

también en cuadripolos con elementos reactivos puros (adaptadores de impedancia, filtros, etc.).

Referencias

[1] Mason, J. (1953), “Feedback Theory - Some Properties of Signal Flow Graphs”, Proc. IRE, Vol. 41, No. 9, pp.

1144-1156.

[2] AN 56 (1967), “Microwave Mismatch Error Analysis”, Hewlett Packard, Palo Alto, CA, EEUU.

[3] Rühaak, J., Janik, D. (1998), “HF-Leistungsmessung in Koaxialen Leistungssystemen unter Rückführung auf

Hohlleiter-Leistungsnormale”, Bericht E-58, pp. 29-52, PTB, Braunschweig, Alemania.

[4] Henze, A., Tempone, N. (2012), “Transferencia de Potencia en RF”, INTI, Buenos Aires, Argentina.

[5] Beatty, R. (1967), “Microwave Attenuation Standards and Measurements”, IEE, Stevenage, Inglaterra.

[6] Coster, A. (2004), “Attenuation Measurements”, NBS Monograph 97, Boulder, CO, EEUU.

[7] Engen, Glenn (1992), “Microwave Circuit Theory and Foundations of Microwave Metrology”, Peter Peregrinus

Ltd., Inglaterra.

[8] Anderson, R. (1967), “S-Parameter Techniques for faster, More Accurate Network Design”, HP Journal, Vol. 18,

No. 6, Palo Alto, CA, EEUU.

[9] Patterson, H. (1995), “Signal-Flow Graphs Simplify Microwave Circuit Analysis”, Microwave & RF, pp. 99-108.