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ANÁLISIS DE DATOS MULTIVARIANTES CON COORDENADAS
PARALELAS
Dr. Estadística Multivariante Aplicada
Resumen
En este artículo, se estudian las Coordenadas Paralelas ( ),
que es un sistema de visualización que permite representar n-
dimensiones en un sistema bidimensional. En este sistema, cada eje
vertical (ordenada) representa un atributo (dimensión) que puede ser
continuo o categórico. Cada uno de los ejes verticales de un sistema de
puede tener su propia escala o definirse todos con una sola
escala, la primera forma nos permite la visualización de híper-superficies y
el análisis del funcionamiento del conjunto de datos, con la segunda
podemos hacer un análisis de las relaciones entre las variables.
En general, las son una técnica de visualización donde las
dimensiones son simbolizadas como una serie de ejes paralelos
perpendiculares, con la misma separación entre ellos (equidistantes) y
donde los valores están representados. Cada eje representa una
coordenada en la dimensión correspondiente. Uniendo con líneas los
ejes, podemos simbolizar los puntos en n-dimensiones. Asimismo, un
punto en un espacio n-dimensional es transformado en una línea
poligonal a través de n ejes paralelos como n-1 segmentos de línea.
El objetivo del trabajo es analizar las coordenadas paralelas como
técnica de análisis multivariante y así aprovechar su potencial para la
visualización n-dimensional de los datos.
Palablas claves: coordenadas paralelas, visualización multidimensional
de datos.
Abstract
In this paper, we study the Parallel Coordinates ( ), a display
system that allows us to represent n-dimensions on a two-dimensional
system. In this system, each vertical axis (ordinate) represents an attribute
(dimension) that can be continuous or categorical. Each of the vertical axis
system may have its own scale or defined all with a single scale,
the first form allows the display of hyper-surfaces and performance
analysis of the data set, the second can to analyze the relationships
between variables.
In general, are visualization techniques where the dimensions are
symbolized as a series of parallel lines perpendicular to the same
separation between them (equidistant) and where the values are
represented. Each axis represents a coordinate in dimension. Lines joining
the axes, we can symbolize the points in n-dimensions. Also, a point in a
n-dimensional space is transformed into a polygonal line through n parallel
axes and n-1 line segments.
The study aims to analyze the parallel coordinates as multivariate analysis
technique and exploit their potential for n-dimensional visualization of data.
Keywords: parallel coordinate, multidimensional data visualization.
INTRODUCCIÓN
En los últimos años, se han propuesto gran cantidad de métodos
gráficos para el Análisis Exploratorio de Datos Espaciales (AEDE)
aunque, existen pocos estudios que valoren la utilidad y efectividad de
todos ellos. Podría afirmarse que un buen método gráfico de AEDE es
aquél capaz de analizar y representar características en toda su
distribución espacial: variabilidad, tendencia central, clúster y puntos
atípicos.
Entre los muchos gráficos propuestos por el AED clásico para el análisis
multivariante, estudiaremos los gráficos de coordenadas paralelas
( ). Estas fueron propuestas por Alfred Inselberg de la Universidad
de Illinois en 1959, como metodología para la visualización de n-
dimensiones en problemas de datos multivariantes.
Las es un sistema de visualización que permite representar n-
dimensiones en un sistema bidimensional. En este sistema, cada eje
vertical (ordenada) representa un atributo (dimensión) que puede ser
continuo o categórico. Cada uno de los ejes verticales de un sistema de
puede tener su propia escala o definirse todos con una sola
escala, la primera forma nos permite la visualización de híper-superficies y
el análisis del funcionamiento del conjunto de datos, con la segunda
podemos hacer un análisis de las relaciones entre las variables.
En general, las son una técnica de visualización donde las
dimensiones son simbolizadas como una serie de ejes paralelos
perpendiculares, con la misma separación entre ellos (equidistantes) y
donde los valores están representados. Cada eje representa una
coordenada en la dimensión correspondiente. Uniendo con líneas los
ejes, podemos simbolizar los puntos en n-dimensiones. Asimismo, un
punto en un espacio n-dimensional es transformado en una línea
poligonal a través de n ejes paralelos como segmentos de línea.
De tal forma, el vector [ ] es representado por medio de
en la coordenada 1, en la coordenada 2 y así sucesivamente, hasta la
en al coordenada n. A partir de la representación resultante, podemos
sacar conclusiones al respecto, por ejemplo sobre la relación entre las
variables. Un grupo de líneas proyectas bastante próximas una con otra
nos indicará un grado de asociación positiva entre las variables que la
componen.
En pueden visualizarse muchas dimensiones, limitadas en la
práctica por la resolución horizontal de la pantalla del ordenador. A
medida que el número de dimensiones aumenta, las coordenadas tendrán
que ser representadas muy próximas unas con otras generando mayores
dificultades para la percepción de los patrones. Tienen la ventaja que nos
permite visualizar una cantidad mayor de variables y sus relaciones, que
no es posible con los métodos tradicionales (2 ó 3 dimensiones).
El objetivo del trabajo es analizar las coordenadas paralelas como técnica
de análisis multivariante y así aprovechar su potencial para la
visualización n-dimensional de los datos.
EL PLANO
El sistema de coordenadas cartesianas se construye por ejes en el plano
recto mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen y cada
punto del plano es definido mediante dos números ( ). En tanto, en
los ejes son paralelos y el número ( ) se representa utilizando
una línea que conecta los valores de a en la abscisa y b en el eje
(Figura 1).
Figura 1. Dualidad punto – línea en coordenadas cartesianas y paralelas.
Un punto N-dimensional ( ) es representado por una línea
poligonal1 con ̅ vértices para los valores donde . Considere
1 Línea poligonal es aquella formada solo por segmentos de recta unidos.
la representación de un punto en seis dimensiones definido como un
vector p, donde [ ] toma los valores ( ).
La línea N-dimensional se dibuja como,
Figura 2. Visualización de un punto n-dimensional .
La línea en se expresa con cierta manipulación algebraica, en
términos de hiperplanos paralelos. Equivalentemente, este conjunto
de puntos (descritos por las N-tuplas) satisfacen un conjunto de
ecuaciones lineales independientes,
La ecuación describe la proyección de sobre el plano bidimensional .
Más específicamente, las N-tuplas se representan de la siguiente manera:
{
Cada ecuación contiene un par de variables adyacentes. En el plano
la relación es indicada por la línea y por la correspondencia
es representada como (Inselberg, 1992). Un caso en
particular, es la representación de una recta en tres dimensiones (Figura
3). El hiperplano2 se visualiza en utilizando el programa MATLAB
(Anexo 1).
Figura 3. Visualización de una recta tridimensional en .
VISUALIZACIÓN DE RESULTADOS
La exploración visual de datos multidimensionales es de gran interés en
estadística y en la visualización de información. Ayuda a encontrar
tendencias y relaciones entre dimensiones. Al visualizar datos
multidimensionales, cada variable puede trazar cierta entidad o cualidad
gráfica.
Una apropiada visualización: revela claramente la estructura dentro de los
datos, puede ayudar a identificar mejor patrones (modelos) y permiten
2 Un hiperplano, es la generalización al espacio n-dimensional del concepto de recta.
detectar afloramientos. El alboroto visual3, está caracterizado por las
entidades visuales apretadas y desordenadas que distorsionan la
estructura en las representaciones visuales, que dificultan la identificación
rápida de información relevante. El desorden es contrario a la estructura
visual; corresponde a todos los factores que interfieren con el proceso de
encontrar estructuras y obstaculiza comprensión del contenido de las
exhibiciones.
Las correlaciones entre las dimensiones pueden ser descubiertas
concentrándose en las intersecciones de las polilíneas, al detectar grupos
de observaciones con pendientes comunes en las líneas de conexión
inter-variables, poniendo de relieve un determinado tipo de correlación
entre dichas variables (positiva, negativa o nula). Cuando la correlación
lineal simple entre dos variables tiende a uno, tenemos en
“efecto del cruce” (Wegman, 1990). Así la estructura de la correlación se
puede diagnosticar fácilmente; esta configuración la representó Griffen
(1958) y la utilizó como dispositivo gráfico para computar la Tau de
Kendall. La fórmula de cálculo que esbozó fue la siguiente,
( )
donde X es el número de intersecciones de líneas resultantes de la
conexión de dos variables en . El número de empalmes es
invariante a cualquier transformación monótona de x o de y en
3 El desorden visual es un problema en todo tipo de diseño que cumpla alguna función como lo son los gráficos o bien las interfaces interactivas (software o páginas web por ejemplo).
coordenadas cartesianas. Si hay una relación lineal perfecta positiva, sin
encuentros entre líneas, entonces X=0 y r=1. La Figura 4 muestra el
axioma:
Figura 4. Correlación lineal positiva perfecta en coordenadas cartesianas
y .
Igualmente, cuando se tiene una correlación perfecta negativa todas
líneas se intersecan (Figura 5). El número de intersecciones es ( ) , por
tanto la fórmula de cálculo es,
( )
( )
Figura 5. Correlación negativa perfecta en coordenadas
cartesianas y .
Una de las etapas en un análisis multivariante es la detección de valores
extremos; que son observaciones alejadas de centro de gravedad de los
datos. La presencia de valores extremos produce modificaciones
arbitrarias en los valores de los estimadores de máxima verosimilitud y por
consecuencia en los resultados (o conclusiones).
Los valores extremos pueden identificarse desde una perspectiva
univariante, bivariante o multivariante. Específicamente, la evaluación
multivariante implica una evaluación de cada observación a lo largo de un
vector de variables. Se puede utilizar una distancia Euclídea para
determinar si una observación es un valor extremo, pero esta no es
eficiente cuando existe dependencia entre las observaciones ya que no
considera la estructura de correlación.
Para evitar estos problemas podemos representar el conjunto de datos
multivariantes sobre , determinando así las direcciones de
proyección de los valores extremos. Es recomendable estandarizar las
variables para poder compáralas y permitir un mejor descubrimiento del
patrón anormal (Novotny & Hauser, 2006). La Figura 6 permite visualizar
un valor extremo multidimensional; el valor se representa por una polilínea
a través de las abscisas en la parte inferior de la figura (en rojo).
Figura 6. Representación de un valor extremo multidimensional
en .
Las resultan útiles para captar agrupamientos (“clústeres”) entre
observaciones cuando sus correspondientes líneas presenten una forma
similar (por ejemplo, estén agrupadas de forma diferente en el gráfico). El
descubrimiento de grupos o racimos de polilíneas4 diferenciadas del resto
se consigue cambiando los órdenes de las dimensiones, para procurar
que las relaciones de los datos puedan ser visualizadas. La visualización
en de grupos, es una cuestión de percepción y a la vez tratar de
descubrir las relaciones entre las coordenadas (variables), utilizando
diferentes reordenamientos de los ejes que nos permitan sacar
conclusiones válidas.
4 La representación mediante polilíneas está basada en la definición
de un objeto mediante n-1 segmentos rectos consecutivos determinados por una lista de n puntos, cuyos puntos de inflexión denominamos vértices. Una polilínea puede ser cerrada, constituyendo de esta forma un polígono.
Las polilíneas que tienden a estar cercanas constituirán un grupo a
diferencia de aquellas que se separan y cuando hay líneas que no
pertenecen a ningún grupo (fuera de los patrones) pueden considerarse
como valores extremos (Chou et al.,1999). Como ejemplo, se presenta la
visualización de dos clúster generados en tres dimensiones y en
con un pequeño programa elaborado en sistema Matlab5 (Anexo 2).
Figura 7. Visualización de clúster en 3D.
APLICACIONES Y RESULTADOS
En esta sección se describe una aplicación que hemos realizado usando
, con el propósito de poner en práctica el marco teórico visto en
anteriormente en el artículo.
5 MATLAB es la abreviatura de Matrix Laboratory (laboratorio de matrices). Es un programa de análisis numérico creado por The MathWorks en 1984.
FISHER (1936) clasificó tres especies del género de flores de Iris (Setosa,
Versicolor y Virginica, claramente diferenciadas entre sí por el color), con
una muestra total de 150 plantas y cuatro medidas asociadas al sépalo de
la flor: longitud del sépalo, ancho del sépalo, longitud del pétalo y ancho
del pétalo (en centímetros).
En la Figura 4.1, se visualiza una diferencia en el comportamiento de las
cuatro medidas asociadas al sépalo de la flor según las especies. Los tres
géneros de flores Iris forman clúster perfectamente diferenciados y en
especial, las medidas de la setosa son muy diferentes respecto a
versicolor y virginica.
Figura 8. Representación en de los datos de IRIS, Fisher
(1936).
La correlación entre las medidas está asociada con el género de flores.
Se observa correlaciones muy diferentes entre el ancho del sépalo
respecto a la longitud del sépalo y del pétalo en la especie setosa. Sin
embargo, la asociación es similar entre la longitud del sépalo y el ancho
del pétalo indiferentemente de la especie.
La variedad setosa presenta una variabilidad pequeña en la longitud y el
ancho del pétalo; aumenta su variancia en forma significativa respecto al
ancho del sépalo. Los modelos matemáticos que siguen las medidas son
muy diferentes dependiendo de las especies, especialmente en las
medidas de longitud del sépalo, ancho del sépalo y ancho del pétalo, con
una función estrictamente cóncava en las variedades virginica y
versicolor; en tanto una función estrictamente convexa en setosa.
CONCLUSIONES
Hemos mostrado que las son un método novedoso de visualizar
de un plano n-dimensional en una representación de dos dimensiones y
que son especialmente útil para mostrar patrones en los datos o para
percibir relaciones entre variables. Las tienen la ventaja respecto
a otros métodos de representación, como el Biplot, que son: fáciles de
construir, no se requieren conocimientos avanzados de matemáticas.
Además, proporcionan un medio para poder, se observan patrones o las
tendencias de las variables para los diagnósticos de modelos
matemáticos y permiten observar el grado de correlación entre pares de
variables colindantes. También, es una herramienta que nos ayuda a
detectar los valores extremos multivariantes presentes en conjunto de
datos y puede utilizarse para la visualización de clúster. Aunque su
potencialidad para el análisis de datos, se máxima cuando la visualización
es interactiva (o dinámica).
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ANEXO 1: LÍNEA 3D EN COORDENADAS PARALELAS
clf clear all npoints=300; t=linspace(0,1,npoints) position(1,:)= t; %x position(2,:)= 1-.5*t ; %y position(3,:)= 0.5-.1*t; s=t; map=jet(10) ; s = 10*(s - min(s))/(max(s)-min(s))+1; subplot(2,1,1) hold on for i = 1:npoints cindex = min( fix(s(i)), 10); plot(position(:,i), 'color', map(cindex,:) ); end axisx = [1,3; 1,1; 2,2; 3,3; ]'; axisy = [0,0; 0,1; 0,1; 0,1; ]'; line(axisx, axisy, 'color', 'k'); set(gca, 'xticklabel', {'x1', ' ', 'x2',' ','x3'}) subplot(2,1,2) Title('Line: x1=t; x2=1-.5*t; x3=0.5-.1*t;') set(gca,'color','white') box on view(22,63) axis vis3d xlabel('x1');ylabel('x2');zlabel('x3'); hold on for i = 1:npoints cindex = min( fix(s(i)), 10); plot3(position(1,i),position(2,i),position(3,i),... 'markerfacecolor', map(cindex,:),... 'markersize',2 ,'color',map(cindex,:),... 'marker','o',... 'linewidth',2) end rotate3d on
ANEXO 2: CLUSTER 3D EN COORDENADAS PARALELAS
clf clear all npoints=250; for i = 1:npoints/2; position(1,i)= randn; position(2,i)= randn; position(3,i)= randn; s(i)=1;end delta=5; for i = npoints/2+1:npoints; position(1,i)= randn+delta; position(2,i)= randn+delta, position(3,i)= randn ; s(i)=2;end map=jet(10); s = 10*(s - min(s))/(max(s)-min(s))+1; subplot(2,1,1) hold on for i = 1:npoints cindex = min( fix(s(i)), 10); plot(position(:,i), 'color', map(cindex,:) ); end axisx = [1,3; 1,1; 2,2; 3,3]'; axisy = [0,0; 0,1; 0,1; 0,1]'; line(axisx, axisy, 'color', 'k'); set(gca, 'xtick', [1 2 3]); set(gca, 'xticklabel', {'x1', 'x2','x3'}) subplot(2,1,2); set(gca,'color',[1 1 1]) box on; axis vis3d view(22,23) xlabel('x1'); ylabel('x2'); zlabel('x3'); hold on for i = 1:npoints cindex = min( fix(s(i)), 10); plot3(position(1,i),position(2,i),position(3,i),... 'markerfacecolor', map(cindex,:),... 'markersize',2 ,'color',map(cindex,:),... 'marker','o',... 'linewidth',2) line ( [position(1,i) position(1,i)],... [position(2,i) position(2,i)],... [position(3,i), -5] ,'color',map(cindex,:));end set(gca,'zlim',[-5 5]) rotate3d on
