Analisi Matematica I - polito.itcalvino.polito.it/~bacciotti/aa.pdf1 Prima esercitazione 1.1 Intervalli e intorni L’insieme ]a;b[= fx 2 R: a < x < bg si dice intervallo aperto di

PRIMA FACOLTA DI INGEGNERIA DEL POLITECNICO DI TORINO

Classe delle Ingegnerie Industriali

Lauree in Ingegneria Chimica, Elettrica, dei Materiali

Anno Accademico 2003/04

Analisi Matematica I

Materiale didattico

ed esercizi per il lavoro individuale

Progetto per il miglioramento della qualita della didattica

del Dipartimento di Matematica

ii

Indice

Prerequisiti 1

1 Prima esercitazione 5

1.1 Intervalli e intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Gli insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Sommatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Seconda esercitazione 11

2.1 Le funzioni e gli operatori geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Logaritmi e esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Funzioni elementari reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Proprieta qualitative delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Terza esercitazione 23

3.1 Algebra dei limiti, limiti di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Quarta esercitazione 29

4.1 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Quinta esercitazione 33

5.1 Studi di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Sesta esercitazione 43

6.1 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 Settima esercitazione 47

7.1 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iii

Prerequisiti

Prerequisiti all’insegnamento universitario dell’Analisi Matematica sono: algebra elementare, geometria ana-

litica, equazioni e disequazioni, sistemi lineari e sistemi di disequazioni, calcolo con i logaritmi, trigonometria,

semplici nozioni di teoria degli insiemi.

Gli esercizi che seguono si riferiscono ad alcuni di questi argomenti e vengono dati unicamente a scopo

di ripasso.

Esercizio 0.1 Scrivere l’equazione delle rette:

(a) passante per (3, 1) e per (3,−7).

(b) passante per (0, 0) e inclinata di π4 rispetto all’asse delle x positive.

(c) per (4, 2) e parallela alla retta del punto (b).

(d) per (3, 1) e perpendicolare alla retta y = 2x − 1.

Esercizio 0.2 Scrivere l’equazione delle circonferenze:

(a) di centro (0, 0) e raggio r.

(b) di centro (2, 1) e raggio 1.

(c) di centro (−1,−2) e raggio 2.

(d) di centro (−3, 4) e passante per l’origine.

Esercizio 0.3 Determinare le intersezioni fra le curve y = mx e y = 34x2 − 3x + 3, al variare di m ∈ R.

Esercizio 0.4 Determinare le intersezioni fra le curve y = mx e y = 1 − x2, al variare di m ∈ R.

Esercizio 0.5 Determinare le intersezioni fra le curve y = mx − 2m + 1 e x = 2y2, al variare di m ∈ R.

Esercizio 0.6 Risolvere in R le seguenti equazioni:

(a) 2x + 1 = 3x − 2 (b) 4x + 1 = 12x − 2

3

(c) x2 − 2x + 2 = 0 (d) x2 + 7x − 2 = 0

(e) (x3 − 2x2)(2x + 5) = 0 (f) (x2 − 5)(3x − 5) = 0

(g) |x − 1| = 1 (h) x2 + 3|x| − 2 = 0

(i) |x − 2| = |x| (j) |x2 + 1| + x = 0

Esercizio 0.7 Nell’esercizio precedente, al posto del segno di = porre un segno di ≥, e risolvere le disequa-

zioni ottenute.

Esercizio 0.8 Risolvere in R le seguenti equazioni irrazionali:

2

(a)√

25 − x2 − 7 = −x (b) 3√

12x2 − 4x − 1 = 2x − 1

(c)√

2x − 1 −√x − 2 = 0 (d) 1

x+√

4−x2+ 1

x−√

4−x2= x

(e)√

7−xx+1 +

√

x+17−x = 2 (f)

√x + 3 = 7−

√x2−16√x−3

Esercizio 0.9 Risolvere i seguenti sistemi:

(a)

{

x + 2y = 3

2x − y = 1(b)

{

2x + 4y = 6

x + 2y = 1

(c)

{−x + 3y = 1

2x − 6y = −2(d)

{

3(x + y) − xy = 9

(x + y)2 − xy = 19

(e)

{√x + y +

√x − y = 2

x2 + y2 = 1(f)

{

x +√

x2 + y2 = 2

y +√

x2 + y2 = 3

Esercizio 0.10 Risolvere le seguenti disequazioni:

(a) (x − 1)(x − 2) > 0; (b) − x2 + 3x + 4 > 0

(c) (2x + 1)2 − 8 ≤ (2x − 1)2 (d) x2 + 5x − 4 > 0

(e) (x + 2)(x − 1)(x − 53 ) > 0 (f) x2 − 2x ≤ x + 1

(g) 2x−35x+1 > 0 (h) x−3

1−x < 1

(i) 4−3x1−x > 3

4x2 − 4x + 4 (j) x2−1x+2 < 0

(k) |x2 + 4x − 1| ≥ x − 3 (l) x2 + |x + 1| ≤ 4

(m) |2x2−1|x−|3x+2| ≥ 0 (n)

√7 − 2x ≥ 2 − x

(o)√

7 − 2x ≥ x − 3 (p)√

(2x − 1)(−x + 3) > −2x + 3

(q)√

x + 1 < 2 − x (r)√

(2x + 1)(x − 2) ≤ x + 5

(s)√

x + 1 < |x| (t) x√

3 − 2x + 1 > 0

Esercizio 0.11 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni:

(a)

{

3x − 1 > x + 2

6x + 5 < 4x − 3(b)

{

x2 − 9 < 0

6x + 2 > 3

(c)

{

x2 − 1 ≥ 0

3 − 2x ≥ 0(d)

{

−2x3 − x2 + 5x − 2 > 0

x + x2 < 0

Esercizio 0.12 Delle seguenti affermazioni, dire quali sono vere e quali sono false.

(a) sin(α + β) = sin α + sinβ VERO FALSO

(b) tg α = 1cotg α VERO FALSO

(c) cos nx = n cos x VERO FALSO

(d) sin(

x + 3π2

)

= − cos x VERO FALSO

(e) sin x = 12 =⇒ x = π

4 VERO FALSO


(a) log(a + b) = log a + log b VERO FALSO

(b) log(ab) = log a + log b VERO FALSO

(c) log(a + b) = log a log b VERO FALSO

(d) − log x = log 1x VERO FALSO

(e) (log x)2 = 2 log x VERO FALSO

3


(a) 2−2 = −4 VERO FALSO

(b) 232

= 64 VERO FALSO

(c) a3 · a2 = a6 VERO FALSO

(d) (a3)2 = a6 VERO FALSO

SOLUZIONI

Esercizio 0.1.

(a) x = 3; (b) y = x; (c) y = x − 2; (d) y = − x2 + 5

2

Esercizio 0.2.

(a) x2 + y2 = r2; (b) x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0; (c) x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0; (d) x2 + y2 + 6x − 8y = 0

Esercizio 0.3.

Due punti di intersezione distinti per m < −6 e m > 0; due punti di intersezione coincidenti per m = −6 e

m = 0; nessuna intersezione per −6 < m < 0.

Esercizio 0.4.

Due punti di intersezione distinti per ogni m ∈ R.

Esercizio 0.5.

Due punti di intersezione distinti per m 6= 1/4, m 6= 0; un unico punto di intersezione per m = 0; per

m = 1/4 la retta e la parabola sono tangenti.

Esercizio 0.6.

(a) x = 3

(b) x = −10/21

(c) nessuna soluzione reale

(d) x1,2 = −7±√

572

(e) x1,2 = 0, x3 = 2, x4 = − 52

(f) x1 =√

5, x2 = −√

5, x3 = 5/3

(g) x1 = 2, x2 = 0

(h) x1 = −3+√

172 , x2 = 3−

√17

2

(i) x = 1

(j) nessuna soluzione reale

Esercizio 0.7.

(a) x ≤ 3

(b) x ≥ −10/21

(c) per ogni x ∈ R

(d) x ≤ −7−√

572 e x ≥ −7+

√57

2

(e) x ≤ − 53 , x = 0 e x ≥ 2

(f) −√

5 ≤ x ≤ 53 e

√5 ≤ x

(g) x ≤ 0 e x ≥ 2

(h) x ≤ 3−√

572 e x ≥ −3+

√57

2

(i) x ≤ 1

(j) per ogni x ∈ R

Esercizio 0.8.

(a) x1 = 3, x2 = 4

(b) x1 = 0, x2 = 1/2, x3 = 5/2

4

(c) x = 25

(d) x1 = 0, x2,3 = ±√

3

(e) x = 3

(f) x = 5

Esercizio 0.9.

(a) (x, y) = (1, 1)

(b) impossibile

(c) tutte le coppie (t, t+13 ), t ∈ R

(d) (x1, y2) = (3, 2), (x2, y2) = (2, 3), (x3, y3) = (3,−5), (x4, y4) = (−5, 3)

(e) (x, y) = (1, 0)

(f) (x, y) = (−3 + 2√

3,−2 + 2√

3), (x, y) = (−3 − 2√

3,−2 − 2√

3),

Esercizio 0.10.

(a) x < 1 e x > 2

(b) −1 < x < 4

(c) x ≤ 1

(d) x < −5−√

412 e x > −5+

√41

2

(e) −2 < x < 1 e x > 5/3

(f) 3−√

132 ≤ x ≤ 3+

√13

2

(g) x < −1/5 e x > 3/2

(h) x < 1 e x > 2

(i) 0 < x < 1 e 43 < x < 5

(j) x < −2 e −1 < x < 1

(k) qualunque sia x ∈ R

(l) 1−√

212 ≤ x ≤ −1+

√13

2

(m) per nessun x ∈ R

(n) −1 ≤ x ≤ 7/2

(o) x ≤ 2 +√

2

(p) 32 < x ≤ 3

(q) −1 ≤ x < 5−√

132

(r) 13−√

2772 ≤ x ≤ − 1

2 e 2 ≤ x ≤ 13+√

2772

(s) −1 < x < 1−√

52 e x > 1+

√5

2

(t) − 12 < x ≤ 3

2

Esercizio 0.11.

(a) nessuna soluzione; (b) 16 < x < 3; (c) x ≤ −1 e 1 ≤ x ≤ 3

2 ; (d) nessuna soluzione

Esercizio 0.12.

(a) F; (b) V; (c) F; (d) V; (e) F

Esercizio 0.13.

(a) F; (b) V; (c) F; (d) V; (e) F

Esercizio 0.14.

(a) F; (b) F; (c) F; (d) V

1

Prima esercitazione

1.1 Intervalli e intorni

• L’insieme ]a, b[= {x ∈ R : a < x < b} si dice intervallo aperto di estremi a e b.

• L’insieme [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} si dice intervallo chiuso di estremi a e b.

• Si dice distanza fra due elementi a, b ∈ R il numero non negativo |a − b|.

• Si dice intorno di x0 ogni intervallo aperto contenente x0.

• Si dice intorno simmetrico (o semplicemente intorno) di centro x0 e raggio r l’insieme di tutti i punti che

hanno distanza da x0 minore di r:

{x ∈ R : |x − x0| < r} = (x0 − r, x0 + r).

• Si dice intorno di +∞ ogni semiretta aperta (a,+∞).

• Si dice intorno di −∞ ogni semiretta aperta (−∞, b).

Esercizio 1.1 (a) Scrivere in forma di intervallo l’intorno di centro 2 e raggio 5.

(b) Scrivere in forma d’intervallo l’intorno di 0 di raggio 3.

Esercizio 1.2 (a) Determinare l’intorno di x = 2 di raggio massimo contenuto in [−√

2, 6).

(b) Determinare l’intorno di x = −1 di raggio massimo contenuto in [−√

2, 6).

Esercizio 1.3 (a) Calcolare la distanza fra -3 e 5.

(b) Determinare l’insieme dei punti che hanno distanza da x0 superiore a 4.

(c) Determinare l’insieme dei punti che distano meno di 3 e piu di 1 da x = −1. Tale insieme contiene un

intorno di x = 0?

Esercizio 1.4 Scrivere un intorno di +∞ che contiene x = π.

Esercizio 1.5 Sia dato l’insieme A = {x ∈ R : 0 < |x| < 6}. Si puo concludere con certezza che:

(a) A e un intorno di 0. VERO FALSO

(b) A e unione di due intervalli disgiunti. VERO FALSO

(c) A e unione di due intervalli chiusi. VERO FALSO

(d) A contiene un intorno di 2. VERO FALSO

6

Esercizio 1.6 Sia dato l’insieme B = (−3, 5). Si puo concludere con certezza che:

(a) B e un intorno di centro l’origine e raggio 5. VERO FALSO

(b) B e un intorno di centro 1 e raggio 4. VERO FALSO

(c) B = {x ∈ R : (x − 1)2 < 16}. VERO FALSO

(d) B = {x ∈ R : x2 − 1 < 16}. VERO FALSO

Esercizio 1.7 Sia dato l’insieme C = {x ∈ R : 0 < |x – 8| < π}. Si puo concludere con certezza che:

(a) C e un intorno di 8. VERO FALSO

(b) C e un intorno di centro π. VERO FALSO

(c) C e un intervallo aperto. VERO FALSO

(d) C non e un intervallo. VERO FALSO

Esercizio 1.8 Sia dato l’insieme D = {x ∈ R : |x – 3| ≥ 2}. Si puo concludere con certezza che:

(a) D contiene un intorno di +∞. VERO FALSO

(b) D e unione di due intervalli limitati. VERO FALSO

(c) D e unione di due semirette chiuse. VERO FALSO

(d) 2 /∈ D. VERO FALSO

Esercizio 1.9 Sia dato l’insieme E = {x ∈ R : 0 < |x – 2| < 3} ∪ {x ∈ R : 0 < |x| < 2}. Si puo concludere

con certezza che:

(a) E contiene un intorno di 0. VERO FALSO

(b) E contiene un intorno di 2. VERO FALSO

(c) E e un intervallo. VERO FALSO

(d) −1 /∈ E. VERO FALSO

SOLUZIONI

Esercizio 1.1. (a) {x ∈ R : |x − 2| < 5} = (−3, 7); (b) {x ∈ R : |x| < 3} = (−3, 3).

Esercizio 1.2. (a) (−√

2, 4 +√

2); (b) (−√

2,−2 +√

2).

Esercizio 1.3. (a) 8; (b) {x ∈ R : |x − x0| > 4} = (−∞, x0 − 4)∪ (x0 + 4,+∞); (c) {x ∈ R : 1 < |x + 1| <

3} = (−4,−2) ∪ (0, 2). Non contiene un intorno di zero.

Esercizio 1.4. (3,+∞).

Esercizio 1.5. A = (−6, 0) ∪ (0, 6). Quindi: (a) F, (b) V, (c) F, (d) V.

Esercizio 1.6. (a) F, (b) V, (c) V, (d) F.

Esercizio 1.7. C = (8 − π, 8) ∪ (8, 8 + π). Quindi: (a) F, (b) F, (c) F, (d) V.

Esercizio 1.8. D = (−∞, 1] ∪ [5,+∞). Quindi: (a) V, (b) F, (c) V, (d) V.

Esercizio 1.9. E = (−2, 2) ∪ (2, 5). Quindi: (a) V, (b) F, (c) F, (d) F.

7

1.2 Gli insiemi numerici

• Si dice che un sottoinsieme A ⊂ R e limitato inferiormente se esiste h ∈ R tale che A ⊂ [k,+∞). A e

limitato superiormente se esiste k ∈ R tale che A ⊂ (−∞, k]. Diciamo infine che A e limitato se e limitato

sia superiormente che inferiormente, cioe se esistono h, k ∈ R tali che A ⊂ [h, k].

• Si dice che b ∈ R e un minorante di A se b ≤ a, per ogni a ∈ A.

• Si dice che c ∈ R e un maggiorante di A se a ≤ c, per ogni a ∈ A.

• Se A e limitato superiormente, si dice estremo superiore di A il piu piccolo dei suoi maggioranti. L’estremo

superiore S di un insieme limitato esiste sempre in R, e si indica con supA. Se S ∈ A, si dice che e il

massimo di A, e si indica con max A. Se A e superiormente illimitato, si dice che supA = +∞.

• Se A e limitato inferiormente, si dice estremo inferiore di A il piu grande dei suoi minoranti. L’estremo

inferiore s di un insieme limitato esiste sempre in R, e si indica con inf A. Se s ∈ A, si dice che e il minimo

di A, e si indica con min A. Se A e inferiormente illimitato, si diche che inf A = −∞.

Esercizio 1.10 Dire se i seguenti insiemi sono limitati; calcolarne inoltre estremo superiore e inferiore,

specificando se sono anche massimo e minimo.

(a) A ={

12n+1 : n ∈ N

}

(b) B ={

12n+1 : n ∈ Z

}

(c) C ={

n − 1n : n ∈ N \ {0}

}

(d) D ={

(−1)n+1

1–2n : n ∈ N}

(e) E ={

|x| : x2 + x < 2, x ∈ R}

(f) F = {x ∈ R : 2 < |x + 5| < 8}

Esercizio 1.11 Sia dato l’insieme A ={

sin k π2 : k ∈ Z

}

. Si puo concludere con certezza che:

(a) e limitato. VERO FALSO

(b) contiene infiniti elementi. VERO FALSO

(c) ha massimo. VERO FALSO

(d) ha un estremo inferiore che non e minimo di A. VERO FALSO

Esercizio 1.12 Sia dato l’insieme B ={

2 – 1n : n ∈ N \ {0}

}


(a) supB = 2. VERO FALSO

(b) inf B = 0. VERO FALSO

(c) B e illimitato inferiormente. VERO FALSO

(d) 2 ∈ B. VERO FALSO

Esercizio 1.13 Sia dato l’insieme C = {x ∈ R : 0 < |x| < 3}. Si puo concludere con certezza che:

(a) C e illimitato superiormente. VERO FALSO

(b) max C = 3. VERO FALSO

(c) inf C = −3. VERO FALSO

(d) C ⊂ (0,+∞). VERO FALSO

Esercizio 1.14 Sia dato l’insieme D ={

e1n : n ∈ Z \ {0}

}


(a) 3 e un maggiorante di D. VERO FALSO

(b) 1 ∈ D. VERO FALSO

(c) max D = e. VERO FALSO

(d) D non ha minimo. VERO FALSO

8

Esercizio 1.15 Sia dato l’insieme E ={

x ∈ R : 4x2 − 1 ≤ 2}


(a) min E = −1. VERO FALSO

(b) −1 e un minorante di E. VERO FALSO

(c) [1,+∞) e un insieme di maggioranti di E. VERO FALSO

(d) E e illimitato superiormente. VERO FALSO

SOLUZIONI

Esercizio 1.10.

(a) A e limitato, max A = 1, inf A = 0 /∈ A.

(b) B e limitato, max B = 1, min B = –1.

(c) C e illimitato superiormente, limitato inferiormente. supC = +∞, min C = 0.

(d) D e limitato, min D = –1, max D = 13 .

(e) E e limitato; min E = 0, sup E = 2 /∈ E.

(f) F e limitato; inf F = –13 /∈ F , sup F = 3 /∈ F .

Esercizio 1.11. A = {0,−1, 1}. Quindi: (a) V, (b) F, (c) V, (d) F.

Esercizio 1.12. B ⊂ [1, 2), 1 ∈ B, 2 /∈ B. (a) V, (b) F, (c) F, (d) F.

Esercizio 1.13. C = (−3, 0) ∪ (0, 3). Quindi: (a) F, (b) F, (c) V, (d) F.

Esercizio 1.14. D ⊂ [e−1, e]. (a) V (e < 3), (b) F (1 = e0 /∈ D), (c) V, (d) F.

Esercizio 1.15. E =[

−√

32 ,

√3

2

]

. Quindi: (a) F, (b) V, (c) V, (d) F.

9

1.3 Sommatorie

• ∑nk=0 ak = a0 + a1 + . . . + an−1 + an.

• Proprieta delle sommatorie.

(1)∑n

k=1 c = n · c.(2)

∑nk=0 b · ak = b

∑nk=0 ak.

(3)∑n

k=0 ak =∑n+1

k=1 ak−1.

(4)∑n

k=0(ak + bk) =∑n

k=0 ak +∑n

k=0 bk.

• Progressione aritmetica:∑n

k=1 k = 12n(n + 1).

• Progressione geometrica di ragione a 6= 1:∑n

k=0 ak = 1−an+1

1−a .

• Progressione telescopica:∑n

k=0(ak − ak+1) = a0 − an+1.

Esercizio 1.16 Calcolare le seguenti somme:

(a)∑n

k=0(−1)k52k (b)∑n

k=2(−1)k52k (c)∑n

k=0(−1)k+15−2k

(d)∑n

k=1(−1)k(

− 12

)2k+1(e)

∑10k=1(4

k − 2k) (f)∑10

k=0(3k + (−1)k3k)

(g)∑100

k=0(2k − 2k+1) (h)

∑nk=0

[

(−1)k2k + 2k]

(i)∑100

k=1 3k

Esercizio 1.17 La somma∑n

k=1(−1)k+12k e uguale a:

A∑n

k=1(−1)k2k−1

B −∑nk=1(−2)k

C∑n−1

k=0(−1)k2k−1

D∑n

k=0(−1)k2k−1


k=0(3k − 3k+1) e uguale a:

A∑n

k=0 3k − ∑n+1k=1 3k+1

B∑n

k=0 3k − ∑n+1k=1 3k

C∑n

k=0 3k − 3∑n

k=0 3k

D∑n

k=0 3k − 3∑n

k=1 3k

E 1 − 3n

F 1 − 3n+1

Esercizio 1.19 La somma∑15

k=3 3 e uguale a:

A 15 · 3B 14 · 3C 13 · 3D 12 · 3

10


2 3k e uguale a:

A 3 · n(n+1)2

B 3 · n(n−1)2

C 3n(3n+1)2 − 3

D 3 · n(n+1)2 − 3

SOLUZIONI

Esercizio 1.16. (a) 1−(−25)n+1

26 . (b) 1−(−25)n+1

26 + 24. (c) 2526

[

(

− 125

)n+1 − 1]

. (d) 110 − 1

10

(

− 14

)n. (e)

23 + 411

3 − 211. (f) 312−14 . (g) 1 − 2101. (h) 1

3 − 13 · (−2)n+1 + n(n + 1). (i) 15.150.

Esercizio 1.17. B.

Esercizio 1.18. B,C,F.

Esercizio 1.19. C.

Esercizio 1.20. D.

2

Seconda esercitazione

2.1 Le funzioni e gli operatori geometrici

Per operatore geometrico si intende una trasformazione del piano cartesiano che muta il grafico di una data

funzione f(x) nel grafico di un’altra funzione g(x). Gli operatori piu comuni sono rappresentati nella Figura

2.1 e possono essere classificati nel modo seguente:

• Traslazione a destra: f(x) si muta in g(x) = f(x − a), dove a > 0

• Traslazione a sinistra: f(x) si muta in g(x) = f(x + a), dove a > 0

• Traslazioni verticali: f(x) si muta in g(x) = f(x) + a, dove a ∈ R

• Ribaltamento rispetto all’asse y: f(x) si muta in g(x) = f(−x)

• Ribaltamento rispetto all’asse x: f(x) si muta in g(x) = −f(x)

• Cambiamento di scala sull’asse x: f(x) si muta in g(x) = f(ax)

• Cambiamento di scala sull’asse y: f(x) si muta in g(x) = af(x)

Se dopo aver operato una trasformazione il grafico si presenta immutato, si dice che la funzione e inva-

riante rispetto a quella trasformazione. Le funzioni invarianti rispetto alla trasformazione g(x) = f(−x) si

dicono pari; le funzioni invarianti rispetto alla trasformazione g(x) = −f(−x) si dicono dispari; le funzioni

invarianti rispetto alla trasformazione g(x) = f(x+T ), dove T puo essere sia positivo che negativo, si dicono

periodiche di periodo T .

Esercizio 2.1 E data la funzione f(x) il cui grafico e rappresentato nella Figura 2.2 in alto a sinistra. Quale

degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione g(x) = f(1 − x)?


degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione g(x) = f(−1 − x)?


degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione g(x) = 2f(x/2)?

12

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=f(x)

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=f(x-2)

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=f(x+2)

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=f(x)+1

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=f(-x)

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=-f(x)

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=f(x/2)

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=2f(x)

-4 -2 0 2-4

-2

0

2

y=f(2x)

Figura 2.1. Operatori geometrici

Esercizio 2.4 Quale di quattro grafici A, B, C, D mostrati nella Figura 2.5 e invariante sotto la trasforma-

zione g(x) = −f(−x − 2)?

Esercizio 2.5 E data una funzione f(x), periodica di periodo T . Dire quali delle seguenti affermazioni sono

vere, e quali sono false.

A f(x) e periodica di periodo 2T

B f(x) e periodica di periodo√

2T

C f(x) e periodica di periodo T/2

D f(x) e periodica di periodo −T .

Esercizio 2.6 Sia f(x) = x2 − x. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni:

f(x), |f(x)|, f(|x|), |f(|x|)|, −f(x), f(−x).

Esercizio 2.7 Disegnare i grafici delle seguenti funzioni;

[x

2

]

,1

2[x] , [x + 1] , [x] + 1 , sgn (sin x) , sin |x| , | sin |x|| , | sin x| .

13

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=f(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4A

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4B

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4C

Figura 2.2. Esercizio 1

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=f(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4A

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4B

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4C


SOLUZIONI

Esercizio 2.1 (B); Esercizio 2.2 (A); Esercizio 2.3 (C); Esercizio 2.4 (D); Esercizio 2.5 (sono vere A e D ).

14

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=f(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4A

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4B

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4C


-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4A

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4B

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4C

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4D


2.2 Funzioni composte

Siano date due funzioni f e g. A partire dalla variabile indipendente x, applichiamo la funzione f in modo

da ottenere i valori della variabile dipendente y. Quindi, applichiamo a questi ultimi la funzione g, in modo

da ottenere i valori di un’ulteriore variabile dipendente che chiameremo z. In altre parole, z dipende dalla x

attraverso y. La funzione che trasforma la x nella z si indica con g ◦ f e si chiama funzione composta.

Una funzione f e invertibile se non esiste nessuna coppia di punti distinti x1, x2 ∈ dom f per cui f(x1) =

15

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=f(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4A

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4B

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4C


f(x2). Se g e la funzione inversa di una funzione invertibile f , allora (g ◦ f)(x) = x.


degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione h(x) = f(−|x|)?

Esercizio 2.9 Siano date le funzioni f(x) = 3x+4 e g(x) = −x+2. Quale delle seguenti funzioni corrisponde

a (f ◦ g)(x)?

A h(x) = −3x + 10

B h(x) = −3x − 2

C h(x) = −3x + 8

D h(x) = −3x2 + 2x + 8

Esercizio 2.10 Sono date le funzioni f(x) e g(x) il cui grafico e mostrato nella Figura 2.7. Quale degli altri

due grafici A, B rappresenta la funzione composta (g ◦ f)(x)?

Esercizio 2.11 Sono date le funzioni f(x) e g(x) il cui grafico e mostrato nella Figura 2.8. Quale degli altri

due grafici A, B rappresenta la funzione composta (g ◦ f)(x)?

Esercizio 2.12 E data la funzione f(x) = 2x + 3. Quale delle seguenti funzioni corrisponde alla funzione

inversa di f(x)?

A h(x) = x2 + 1

3

B h(x) = 12x+3

C h(x) = −2x − 3

D h(x) = x2 − 3

2

Esercizio 2.13 Verificare che x|x − 2| + 2x e invertibile, e determinarne la funzione inversa.

16

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=f(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=g(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4A

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4B


-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=f(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4y=g(x)

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4A

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4B


Esercizio 2.14 Data la funzione f(x) = (2x + 1)(x − |x − 1|), verificare che la restrizione di f a [0,+∞) e

invertibile. Determinare f([0,+∞)) e scrivere la funzione inversa.

Esercizio 2.15 Determinare il piu grande intervallo in cui

f(x) =√

1 − |x| + |x − 1|

e invertibile. Scrivere l’espressione della funzione inversa e disegnarne il grafico.

17

SOLUZIONI

Esercizio 2.8 (C); Esercizio 2.9 (A); Esercizio 2.10 (A); Esercizio 2.11 (B); Esercizio 2.12 (D);

Esercizio 2.13 La funzione inversa e h(x) =

{

2 −√

4 − x se x < 4√x se x ≥ 4

Esercizio 2.14 La funzione inversa e h(x) =

{√

1 + x se x ≤ 1x−1

2 se x > 1

Esercizio 2.15 La funzione e invertibile su [0, 1]; la funzione inversa e h(x) = 1 − x2

2 per x ∈ [0,√

2].

18

2.3 Logaritmi e esponenziali

Ricordiamo che:

• loga x e definito per x > 0, a > 0, a 6= 1.

loga x e strettamente crescente, se a > 1.

loga x e strettamente decrescente, se a < 1.

loga x < logb x, se a > b > 1 e x > 0.

• ax e definito per x ∈ R, a > 0.

ax e strettamente crescente, se a > 1.

ax e strettamente decrescente, se a < 1.

ax > bx, se a > b > 1, e x > 0.

Ricordiamo anche che come base dei logaritmi e degli esponenziali, in Analisi Matematica si usa preferi-

bilmente il numero irrazionele e = 2, 718...

Esercizio 2.16 Risolvere le seguenti disequazioni:

(a) e√

x−1+4 > 1 (b) log√

1 − x2 < 0

(c) e3x+√

x21 < e (d) log(x − 1)(x + 4) > log 4

Esercizio 2.17 Mettere in ordine crescente le sequenze assegnate:

(a) (1/e)3, e3, 23, eπ, (1/2)3

(b) e√

2, log√

2, log3

√2, 3

√2

(c) π√

17, 2π, 3√

17, 3π

Esercizio 2.18 Indicare quali risposte sono corrette, motivando le risposte:

(a) log3 x > log2 x :

A ∀x > 1. B ∀x > 0. C ∀x ∈ (0, 1). D ∀x < 1.

(b) logx 2 < logx 5 :

A ∀x > 0. B ∀x > 1. C ∀x ∈ (0, 1). D mai.

(c) log5 x2 ≥ 2 log5 |x| :

A mai. B ∀x ∈ R. C ∀x ∈ R \ {0}. D ∀x ≥ 0.

(d) 2x+1 > 2x−1 :

A mai. B ∀x ∈ R. C ∀x > 1. D ∀x > −1.

(e) e|x| − 1 ≥ 0 :

A ∀x > 0. B ∀x ∈ R. C ∀x < 0. D ∀x 6= 0.

(f) (1/5)|x| − 1 ≥ 0 :

A ∀x > 0. B mai. C x = 0. D ∀x ∈ R.

(g) log4√

x2 = 12 log x :

A ∀x > 0. B ∀x ≥ 0. C mai. D ∀x ∈ R.

19

SOLUZIONI

Esercizio 2.16. (a) [1,+∞). (b) (−1, 0) ∪ (0, 1). (c) (−∞,−1]. ( d) (−∞, −3−√

412 ) ∪ (−3+

√41

2 ,+∞).

Esercizio 2.17. (a) e−3, (1/2)3, 23, e3, eπ. (b) log3

√2, log

√2, e

√2, 3

√2. (c) 2π, 3π, 3

√17, π

√17.

Esercizio 2.18. (a) C, (b) B, (c) C, (d) B,C,D (e) tutte (f) C, (g) A

20

-2 -1 0 1 2-2

0

2A

-2 -1 0 1 2-2

0

2B

-2 -1 0 1 2-2

0

2C

-2 -1 0 1 2-2

0

2D

-2 -1 0 1 2-2

0

2E

-2 -1 0 1 2-2

0

2F


2.4 Funzioni elementari reali

Le funzioni di uso piu comune appartengono alla classe delle funzioni elementari reali. Essa comprende

tutte le funzioni costanti, la funzione identica f(x) = x, la funzione esponenziale f(x) = ex e la funzione

trigonometrica f(x) = sin x. Inoltre, operando con le funzioni elementari reali si ottengono altre funzioni

elementari reali.

In particolare, sono funzioni elementari comuni la funzione f(x) = 1/x per x 6= 0, la funzione f(x) =√

x

per x ≥ 0, la funzione f(x) = cos x e la funzione f(x) = log x per x > 0. Sono inoltre funzioni elementari

comuni le potenze, i polinomi e le funzioni razionali, negli intervalli dove sono definite.

Esercizio 2.19 Associare a ciascuna delle seguenti funzioni il proprio grafico, scegliendo tra quelli mostrati

nella Figura 2.9.

f1(x) = x5 , f2(x) =1

x4, f3(x) =

3√

x2 ,

f4(x) =

(

1

2

)x

, f5(x) = log10 x , f6(x) =2√

x3 .

SOLUZIONE

Esercizio 2.19 (f1E, f2C, f3D, f4F, f5A, f6B).

21

2.5 Proprieta qualitative delle funzioni

Esercizio 2.20 Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

(a) log(tan x) (b) log |sinx| (c) sin(log x)

(d) log1−√x x (e) (x + 1)3x (f) (sin x)2x+1

Esercizio 2.21 Siano f, g funzioni strettamente crescenti e h, k funzioni strettamente decrescenti, definite

su tutto R.

(a) Studiare la monotonia delle funzioni composte f ◦ g, f ◦ h, h ◦ k, h ◦ g.

(b) In base alle sole informazioni note, e possibile stabilire se f + g, f − g, h + k, h− k,f + h, f − h sono

monotone?

Esercizio 2.22 Data la funzione f(x) = tan x2:

(a) f e periodica di periodo π. VERO FALSO

(b) f e periodica di periodo π2. VERO FALSO

(c) f e pari. VERO FALSO

(d) f non passa per l’origine. VERO FALSO

Esercizio 2.23 Data la funzione f(x) = ex2+1 − 1:

(a) f e pari. VERO FALSO

(b) f e sempre positiva. VERO FALSO

(c) f passa per l’origine. VERO FALSO

(d) f e illimitata inferiormente. VERO FALSO

Esercizio 2.24 Data la funzione f(x) = (sin(x + 1))2:

(a) f e periodica di periodo 2π. VERO FALSO

(b) f e dispari. VERO FALSO

(c) f e sempre ≥ 0. VERO FALSO

(d) f(x) ∈ [0, 1] per ogni x ∈ R. VERO FALSO

Esercizio 2.25 Date le funzioni f(x) = log2 x, g(x) = x3, h(x) = e−x, k(x) = − 3√

x:

(a) f ◦ g e strettamente crescente. VERO FALSO

(b) g ◦ h e strettamente crescente. VERO FALSO

(c) g ◦ k e strettamente crescente. VERO FALSO

(d) k ◦ f e strettamente crescente. VERO FALSO

Esercizio 2.26 Data la funzione

f(x) =

{

x, x ≤ 0

x − 1, x > 0

(a) f e strettamente crescente su [−1, 2]. VERO FALSO

(b) f e strettamente crescente su [0,+∞). VERO FALSO

(c) f e invertibile su [0,+∞). VERO FALSO

(d) f e invertibile su una semiretta. VERO FALSO

22

Esercizio 2.27 Data la funzione f(x) dell’esercizio precedente, e data g(x) = x2 − 4:

(a) f ◦ g e pari. VERO FALSO

(b) f ◦ g e strettamente crescente su [0,+∞). VERO FALSO

(c) f ◦ g e invertibile in [0, 2]. VERO FALSO

(d) f ◦ g ha piu di due intersezioni con l’asse delle x. VERO FALSO

Esercizio 2.28 Data la funzione f(x) dell’esercizio precedente, e data h(x) = 1 − ex:

(a) f ◦ h e strettamente negativa. VERO FALSO

(b) f ◦ h e strettamente decrescente su R. VERO FALSO

(c) f ◦ h e limitata superiormente. VERO FALSO

(d) f ◦ h e limitata inferiormente. VERO FALSO

SOLUZIONI

Esercizio 2.20.

(a) ∪k∈Z(kπ, π2 + kπ)

(b) {x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z}.(c) (0,+∞).

(d) (0, 1).

(e) [−1,+∞).

(f) ∪k∈Z[2kπ, (2k + 1)π].

Esercizio 2.21. (a) f ◦ g, h ◦ k strettamente crescenti; f ◦ h, h ◦ g strettamente crescenti. (b) f + g, f − h

strettamente crescenti; h + k strettamente decrescente; f − g e h − k possono essere non monotone.

Esercizio 2.22. (a) F, (b) F, (c) V, (d) F.

Esercizio 2.23. (a) V, (b) V, (c) F, (d) F.

Esercizio 2.24. (a) V, (b) F, (c) V, (d) V.

Esercizio 2.25. (a) V, (b) F (e strett. decresc.), (c) F (= −x), (d) F (e strett. decresc.).

Esercizio 2.26. (a) F, (b) F, (c) V, (d) V.

Esercizio 2.27. (a) V, (b) F, (c) V, (d) V.

Esercizio 2.28. (a) F, (b) F, (c) F, (d) V.

3

Terza esercitazione

3.1 Algebra dei limiti, limiti di funzioni composte

Ricordiamo i principali teoremi sui limiti.

• Se limx→∗ f(x) = l e limx→∗ g(x) = m, allora limx→∗(f(x) + g(x)) = l + m e limx→∗ f(x)g(x) = lm.

• Se limx→∗ f(x) = l, limx→∗ g(x) = m e m 6= 0, allora limx→∗(g(x)/f(x)) = l/m.

(∗ puo essere indifferentemente +∞, −∞, x0 ecc.). La regola relativa alla somma si estende anche al caso

di limiti infiniti, ad eccezione del caso +∞−∞ che da luogo ad una forma indeterminata. Anche la regola

relativa al prodotto si estende al caso di limiti infiniti, ad eccezione del caso 0 · ∞ che da luogo ad un’altra

forma indeterminata. Per quanto riguarda il rapporto di due funzioni, forme indeterminate si presentano

quando il numeratore e il denominatore tendono entrambi a zero o all’infinito.

Si ricordi inoltre che se limx→∗ f(x) = 0 e g(x) e una funzione limitata, allora limx→∗ f(x)g(x) = 0 (anche

se il limite della g non esiste).

Si tenga presente che se f(x) e una funzione elementare reale e se x0 ∈ dom f , allora f(x) e continua in

x0 e quindi

limx→x0

f(x) = f(x0)

(il limite si calcola sostituendo il valore di x0 al posto della x).

Particolare attenzione deve essere fatta nel trattamento di limiti di funzioni composte. Si tenga presente

che se f(y) e una funzione continua e se limx→∗ g(x) = y0 ∈ dom f , allora

limx→∗

f(g(x)) = f(

limx→∗

g(x))

= f(y0) .

Tuttavia, se f non e una funzione continua, questa regola puo ammettere eccezioni.

Per calcolare i limiti, e infine utile ricordare i limiti di alcune funzioni principali. In particolare, per ogni

n = 1, 2, 3, . . . si ha

limx→+∞

xn = +∞ limx→−∞

xn =

{

+∞ n pari

−∞ n dispari

limx→±∞

1

xn= 0 lim

x→+∞n√

x = +∞

24

limx→0+

1

xn= +∞ lim

x→0−

1

xn=

{

+∞ n pari

−∞ n dispari

e per ogni a > 1

limx→+∞

ax = +∞ limx→−∞

ax = 0

limx→+∞

loga x = +∞ limx→0+

loga x = −∞

Esercizio 3.1 Supponiamo di sapere che limx→0 f(x) = 0, e che f(x) 6= 0 per x 6= x0. Allora, possiamo

affermare con certezza che

A limx→01

f(x) = +∞

B limx→01

f(x) = −∞

C limx→01

f(x) = ∞

D limx→0 f2(x) = 0

E limx→1 f(x) = 1

Esercizio 3.2 Supponiamo di sapere che limx→0 f(x) = +∞. Allora, possiamo affermare con certezza che

A limx→+∞ f(x) = 0

B limx→01

f(x) = 0

C limx→0 −f(x) = −∞D limx→0 f2(x) = +∞E limx→0(f(x) − 5) = +∞

Esercizio 3.3 Supponiamo di sapere che limx→x0(f(x)−g(x)) = 0. Allora, possiamo affermare con certezza

che

A limx→x0f(x) = limx→x0

g(x)

B f(x) = g(x) + o(1) (x → x0)

C limx→x0(g(x) − f(x)) = 0

D f(x0) = g(x0)

Esercizio 3.4 Supponiamo di sapere che limx→+∞ f(x) = +∞ e che limx→+∞ g(x) = −∞. Allora, possia-

mo affermare con certezza che

A limx→+∞(f(x) − g(x)) = +∞B limx→+∞(f(x) − g2(x)) e una forma indeterminata

C limx→+∞f(x)g(x) = −∞

D limx→+∞ f(x)g(x) = 0

25

Esercizio 3.5 Siano date le funzioni f(x) = sin x, g(x) = x + 3, h(x) = x. Per ciascuna delle seguenti

domande, indicare qual’e la risposta esatta tra quelle suggerite e spiegare perche.

A il limite limx→+∞ f(x)g(x)

= +∞= −∞non esiste

esiste finito

B il limite limx→+∞(f◦g)(x)

h(x)


= 0

C il limite limx→+∞ h(x)(g ◦ f)(x)


= 0

D il limite limx→+∞(g◦f)(x)

h(x)


= 0

Esercizio 3.6 Sia data la funzione

f(x) =x3 + 3x + cos x

3x3 + x2.

Stabilire quali le seguenti uguaglianze sono vere e quali sono false, spiegando perche.

A limx→+∞ f(x) = limx→+∞x3

3x3+x2

B limx→0 f(x) = limx→0cos xx2

C limx→0 f(x) = limx→03x+cos x

x2

D limx→0+ f(x) = +∞E limx→0− f(x) = −∞

Esercizio 3.7 Calcolare il limite per x → +∞ delle seguenti funzioni (il risultato e indicato a fianco):

f(x) = x3−2x+1x2+3 (+∞) f(x) = 2(x+1)+1

2x+1 (1)

f(x) = x4−3x2+2−x5+5 (0) f(x) = −x5−3x3+5

2x5+1 (− 12 )

f(x) = 1+x−x6

3+x4 (−∞) f(x) =√

x−1√x

(1)

f(x) =√

x3+2xx+3 (+∞) f(x) = 5−x+2 (0)

f(x) = 6x+3 (+∞) f(x) = 1+2x

2x (1)

f(x) = 3x+3

2x (+∞) f(x) = sin xx2 (0)

f(x) =(

12

)x+ x − 3x3 (−∞) f(x) = (1 + 5x − 3

√x5 + 1) log x (−∞)

Esercizio 3.8 Calcolare i seguenti limiti (il risultato e indicato a fianco):

limx→1± xx−1 (±∞) limx→1±

(x−1)3+2x−23(x−1)4 (±∞)


26

limx→04x3+2x3x2+5x ( 2

5 ) limx→04x5+2x2

3x6+5x (0)

limx→0− 4x5−3x5x8−5x3 (+∞) limx→0+

4x5−3√

x3

4x6−2√

x3−1(0)

limx→0+−4x6−2

√x3

4x6−2√

x4+x3(1) limx→0+

x+√

xlog x (0)

SOLUZIONI:

Esercizio 3.1: sono vere C e D ;

Esercizio 3.2: sono vere B , C , D e E ;

Esercizio 3.3: sono vere B e C ;

Esercizio 3.4: sono vere A , B e D .

Esercizio 3.5: A (non esiste), B (= 0), C (= +∞), D (= 0).

Esercizio 3.6: sono vere A , B , C e D .

27

3.2 Teorema del confronto

Esistono varie versioni del teorema del confronto, tutte in qualche modo utili nel calcolo dei limiti. Ricordiamo

le seguenti.

• Se limx→∗ f(x) = +∞ e f(x) ≤ g(x), allora limx→∗ g(x) = +∞.

• Se limx→∗ f(x) = 0 e |g(x)| ≤ f(x), allora limx→∗ g(x) = 0.

Esercizio 3.10 Calcolare il limite per x → +∞ delle seguenti funzioni (il risultato e indicato a fianco):

f(x) = cos x+3x2

x2+2 (3) f(x) = (x + 3) sin x (non esiste)

f(x) = (x + 3) sin(x + 3) (non esiste) f(x) = (x + 3)(sin x + 3) (+∞)


limx→+∞cos x√

x(0) limx→+∞

x+cos x√x−1

(+∞)

limx→±∞x−1+sin x√

2x2−1(± 1√

2) limx→+∞

2 cos x+3 sin x−x√x−x2+sin x

(0)

28

3.3 Limiti notevoli

Il calcolo di limiti si riconduce molto spesso mediante opportune sostituzioni e manipolazioni algebriche a

uno dei cosı detti limiti notevoli

limx→0

sinx

x= 1 lim

x→0

1 − cos x

x2=

1

2

limx→+∞

(

1 +1

x

)x

= e limx→0

ex − 1

x= 1

limx→0

log(1 + x)

x= 1 lim

x→0

(1 + x)α − 1

x= α

Si ricordi anche che, per ogni n = 1, 2, 3, . . .,

limx→+∞

ex

xn= +∞ lim

x→+∞e−xxn = 0

limx→+∞

log x

x1n

= 0 limx→+∞

log x

xn= 0

Esercizio 3.12 Calcolare i seguenti limiti:

a. limx→0sin x4

sin2 x2

b. limx→0x+sin x

x−2 sin x

c. limx→0x+sin 4xx−sin x

d. limx→0sin(sin x)

x

Esercizio 3.13 Calcolare i seguenti limiti:

a. limx→+∞(

1 − ex

)x

b. limx→01−log(e+x)

x

c. limx→0log(1+xex)

e−3x−1

d. limx→0

√4+3x−2√9+2x−3

e. limx→3sin(3−x)x−3ex−3 .

SOLUZIONI

Esercizio 3.12.

a. 1

b. −2

c. +∞d. 1

Esercizio 3.13.

a. e−e

b. −1/e

c. −1/3

d. 9/4

e. −1/2

4

Quarta esercitazione

4.1 Derivate

Riportiamo innanzitutto le principali regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari

reali piu comuni.

• Se due funzioni f e g sono entrambe derivabili per x = x0, anche il loro prodotto f · g e derivabile in x0 e

si ha

(f · g)′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g′(x0) .

In particolare, se a e una costante, (a · g)′(x0) = a · g′(x0).

• Se f e derivabile per x = x0 e se f(x0) 6= 0, anche il suo reciproco 1/f e derivabile in x0 e si ha

(

1

f

)′(x0) = − f ′(x0)

f2(x0).

Combinando la regola per la derivata del prodotto con quella per la derivata del reciproco si ha, se

f(x0) 6= 0,

(

g

f

)′(x0) =

(

g · 1

f

)′(x0) =

g′(x0)f(x0) − g(x0)f′(x0)

f2(x0).

• Se f e derivabile per x = x0 e g e derivabile in y0 = f(x0), la funzione composta (g ◦ f)(x) = g(f(x)) e

derivabile nel punto x0 e si ha

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f′(x0) .

• Sia y = f(x) una funzione invertibile e sia x = g(y) la sua inversa. Se g′(f(x0)) 6= 0,

(g−1)′(x0) = f ′(x0) =1

g′(f(x0))=

1

g′(y0)(4.1)

dove si e posto y0 = f(x0).

30

f(x) f ′(x) Insieme di derivabilita

xα αxα−1 dipende dal valore di α

sin x cos x R

cosx − sin x R

tg x 1 + tg 2x =1

cos2 xx 6= π

2+ kπ

cotg x −1 − cotg 2x = − 1

sin2 xx 6= kπ

arcsin x1√

1 − x2|x| < 1

arccos x − 1√1 − x2

|x| < 1

arctg x1

1 + x2R

arccotg x − 1

1 + x2R

ex ex R

ax ax log a R

log x1

xx > 0

loga xloga e

xx > 0

sinhx cosh x R

coshx sinh x R

tgh x 1 − tgh 2x =1

cosh2 xR

cotgt x 1 − cotg 2x = − 1

sinh2 xx 6= 0

settsh x1√

x2 + 1R

settch x1√

x2 − 1x > 1

settth x1

1 − x2|x| < 1

settcth x1

1 − x2|x| > 1

Esercizio 4.1 Calcolare le derivate prime delle seguenti funzioni (nei punti in cui queste esistono):

a. f(x) =(

1 + 1x

)x

b. f(x) = 1arcsin x

c. f(x) = 1√1−e−√

x

d. f(x) = x sin |x| .

31

Esercizio 4.2 Calcolare, dove esistono, la derivata prima e seconda delle seguenti funzioni:

(a) f(x) =x√

2 − x2(b) f(x) =

1

arctan x(c) f(x) = e−

1

x2

(d) f(x) = cos((x2 + x)5) (e) f(x) =1

x+ sin

1

x(f) f(x) = arcsin

√

1 − x2

Esercizio 4.3 Fino a quale ordine e possibile derivare le funzioni seguenti per ogni x ∈ R?

a. f(x) = 2 − 2e−x − x, b. f(x) = x2 |x|, c. f(x) = 3x3 − 5x + 4

Esercizio 4.4 Calcolare per x = 0 le derivate destre e sinistre delle funzioni seguenti. Per quali di queste

funzioni si puo dire che esiste la derivata in x = 0?

f(x) =

1 + 2x − x2 x < 0

1 x = 0

e2x x > 0

, f(x) =

{

1 − x2 x ≤ 0

2 x > 0, f(x) =

{

0 x ≤ 0

1 x > 0

Esercizio 4.5 Sia

f(x) =

{

(x − β)2 − 2 x ≥ 0

α sinx x < 0

Determinare α e β in modo che f sia continua e derivabile su R.

Esercizio 4.6 Scrivere l’equazione della retta tangente a y = cos |x2 − 1| nel punto (−1,+1).

Esercizio 4.7 Scrivere l’equazione della retta tangente nel punto x = 2 al grafico di

f(x) = 3x2 + 4 − log(2x − 3)

Esercizio 4.8 Sia f(x) = x7 + x. Verificare che f(x) e invertibile su R. Verificare che f−1 e derivabile sul

suo dominio. Calcolare inoltre (f−1)′(0) e (f−1)′(2).

Esercizio 4.9 Sia data una funzione f(x) continua e derivabile su tutto l’asse reale. Indicare se fra le

risposte proposte, ve ne sono di corrette.

A 3√

f(x) e continua e derivabile su tutto il suo dominio.

B |f(x)| e continua e derivabile su tutto il suo dominio.

C f(|x|) e continua e derivabile per x 6= 0.

D ef(x) e continua e derivabile su tutto il suo dominio.

Esercizio 4.10 Specificare quali delle seguenti affermazioni sono vere, quali sono false.

A Se f(x) e derivabile nel punto x0, allora f(x) e continua nel punto x0

B Se f(x) ammette derivata seconda nel punto x0, allora esiste δ > 0 tale che f(x) e continua in ogni

punto x dell’intervallo (x0 − δ, x0 + δ)

C Se f(x) non e derivabile in x0, allora non puo essere continua in x0.

D Se (D−f)(x0) e (D+f)(x0) esistono finite e coincidono, allora f(x) e derivabile in x0

SOLUZIONI

Esercizio 4.1.

(a) f ′(x) =(

1 + 1x

)x[

log(1 + 1x ) − 1

x+1

]

32

(b) f ′(x) = − 1(arcsin x)2

1√1−x2

(c) f ′(x) = − 14√

xe√

x(1−e−√x)3/2

(d) f ′(x) = sin |x| + |x| cos x

Esercizio 4.2.

(a) f ′(x) = 2(2 − x2)−3/2, f ′′(x) = 6x(2 − x2)−5/2

(b) f ′(x) = −1(arctg x)2(1+x2) , f ′′(x) = 2 1+xarctg x

(arctg x)3(1+x2)2

(c) f ′(x) = 2e−1

x2 x−3, f ′′(x) = 2x−4e−1

x2 (2x−2 − 3)

(d) f ′(x) = −5 sin((x2 + x)5) · (x2 + x)4 · (2x + 1), f ′′(x) = −25 cos((x2 + x)5) · (x2 + x)8 · (2x + 1)2 −10 sin((x2 + x)5) · (x2 + x)3 · (x3 + 9x2 + 8x + 2)

(e) f ′(x) = − 1x2

(

1 + cos 1x

)

, f ′′(x) = 1x3

(

2 + 2 cos 1x − 1

x sin 1x

)

(f) f ′(x) = − sgn x√1−x2

, f ′′(x) = −xsgn x(1 − x2)−3/2

Esercizio 4.3.

(a) f(x) ∈ C∞(R)

(b) f(x) ∈ C2(R), non esiste la derivata terza per x = 0

(c) f(x) ∈ C∞(R)

Esercizio 4.6. y = 1

Esercizio 4.7. y = 10x + 16

Esercizio 4.8. f ′(x) = 7x6 + 1 > 0 per ogni x implica f strettamente crescente, quindi invertibile. Inoltre,

(f−1)′(0) = 1/f ′(0) = 1, (f−1)′(2) = 1/f ′(1) = 1/8

Esercizio 4.9. A F, B F, C V, D V.

Esercizio 4.10. A V, B V, C F, D V.

5

Quinta esercitazione

5.1 Studi di funzione

Gli esercizi sugli studi di funzione sono importanti perche in essi si applicano la maggior parte dei concetti

dell’Analisi Matematica.

Prima di iniziare lo studio si consiglia di leggere attentamente le domande, di rispondere a quelle soltanto,

seguendo l’ordine suggerito dal testo. Evitare gli automatismi, e ricordare che lo studio di una funzione non

e quasi mai fine a se stesso, ma serve per ricavare informazioni su certe proprieta qualitative della funzione

che spesso non si possono ottenere direttamente. Eseguire sempre tutti i passaggi, darne giustificazione e

riportare per scritto, sia pure in maniera sintetica, tutti i ragionamenti. Precisare quali sono i teoremi che

di volta in volta e necessario applicare ricordandosi di verificarne le ipotesi.

Esercizio 5.1 Determinare il dominio delle seguenti funzioni. Determinarne quindi i punti estremi e gli

intervalli di monotonia. Nel caso che una di esse risulti limitata superiormente o inferiormente, determinare

inoltre estremo superiore o inferiore dell’immagine. Studiare infine il comportamento per x → ±∞.

f(x) = e1/x, f(x) =|x2 − 1|

x2, f(x) = ex − x

Esercizio 5.2 Determinare massimi e minimi relativi e assoluti di f(x) = x2 − 3|x− 1|+ 2 per x ∈ [−2, 3].

Esercizio 5.3 Determinare dominio, asintoti, intervalli di monotonia, massimi e minimi, e disegnare un

grafico qualitativo, delle seguenti funzioni:

f(x) =x3 − x

x2 − 4g(x) =

log x

xh(x) = 2x +

√

x2 − 1.


f(x) =

{

5+x2

1−x x ≤ 05−x3

1−x x > 0.

(a) Dire se la funzione e continua e derivabile nel suo dominio; (b) determinare gli eventuali asintoti di

f ; (c) determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi e assoluti; (d) disegnare un grafico

qualitativo di f ; (e) determinare il numero di soluzioni dell’equazione f(x) = k al variare di k ∈ R.

34

Esercizio 5.5 Indicare se fra le risposte proposte, ve ne sono di corrette.

La funzione f(x) = x + |x| in x = 0 ha:

A una discontinuita di tipo salto.

B un punto angoloso.

C una cuspide.

D un punto di minimo assoluto.


f(x) =

{−x − 2 −1 ≤ x ≤ 0

2 − x 0 < x ≤ 1.

A A f(x) e possibile applicare il teorema degli zeri, e concludere che ha almeno uno zero in (−1, 1).

B f(x) ha un massimo assoluto in [−1, 1].

C f(x) ha un minimo assoluto in [−1, 1].

D f(x) e monotona decrescente in [−1, 1]

Esercizio 5.7 Sia data una funzione f(x) continua in (−1,+∞), strettamente crescente in (−1, 1) e stret-

tamente decrescente in (1,+∞).

A f ha un massimo in x = 1 e f ′(1) = 0.

B 3√

f(x) ha un massimo in x = 1.

C Se f(x) 6= 0, 1f(x) ha un minimo in x = 1.

D ef(x) e decrescente in (2,+∞).

Esercizio 5.8 Sono date le funzioni:

f(x) = arctan ex g(x) = |x| + arctan ex.

a) Studiare dominio, eventuali asintoti e intervalli di monotonia di f , e disegnarne un grafico qualitativo.

b) Studiare dominio ed eventuali asintoti di g.

c) Determinare gli eventuali punti di non derivabilita , gli eventuali punti di massimo e di minimo locali e

globali di g, e calcolare l’immagine di f .

d) Disegnare un grafico qualitativo di g.

Esercizio 5.9 Sia data la funzione:

f(x) =1

2|x + 1| − arctan |x|.

a) Studiare dominio e eventuali asintoti di f .

b) Studiare intervalli di monotonia e eventuali massimi e minimi locali e assoluti di f . Determinarne inoltre

gli eventuali punti di non derivabilita .

c) Disegnare un grafico qualitativo di f .


f(x) =

(

2x2 +1

3

)32

e−x2

.

35

a) Studiare dominio e eventuali asintoti di f .

b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti di f , e determinare l’immagine di f .


d) Calcolare il numero delle soluzioni dell’equazione f(x) = k, al variare di k ∈ R.


f(x) =1

log |1 − x| .

a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuita , comportamento agli estremi del dominio e eventuali

asintoti di f . Dimostrare che f e prolungabile per continita in x = 1.

b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti di f . Detto f il prolungamento continuita di f ,determinare

massimi e minimi locali e assoluti di f .



f(x) =

{

1log |1−x| x > 1

24

3 log 2 (x2 − 1) x ≤ 12

a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuita e eventuali asintoti di f .

b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti, ed eventuali punti di non derivabilita di f .



f(x) =

{

1 − x2 x ≤ 03√

x3 − x x > 0

a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuita e eventuali asintoti di f .

b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti, ed eventuali punti di non derivabilita di f .


Esercizio 5.14 Studiare la funzione (dominio, asintoti, estremi locali e assoluti, flessi):

f(x) = log(log x) − log x.

Determinare k ∈ R in modo che l’equazione f(x) = k abbia un’unica soluzione.

Esercizio 5.15 Per k ≥ 0, e data la funzione:

f(x) =1 + |ex − 1|

k − ex.

a) Esistono dei valori di k per cui f(x) e derivabile in x = 0? Se sı , calcolarli.

b) Studiare la funzione per k = 0, 1, 2, 3.

36

Esercizio 5.16 Dimostrare che

arctan x + arctan1

x=

π

2, per x > 0,

arctan x + arctan1

x= −π

2, per x < 0.

Esercizio 5.17 Dimostrare che per x ≤ 0

arcsinx2 − 1

x2 + 1+ 2 arctan x = k.

Determinare poi k.

Esercizio 5.18 Date due funzioni f e g derivabili in R, e tali che

a) f(0) = 0, g(0) = 1

b) f ′ = g, g′ = −f , dimostrare che f e g hanno derivate di ogni ordine, e che f 2 + g2 = 1.

SOLUZIONI

Esercizio 5.1. La prima funzione non e definita per x = 0 ed ha un asintoto verticale destro in x = 0.

Ha inoltre un asintoto orizzontale completo (y = 1). Anche la seconda funzione ha un asintoto orizzontale

completo (y = 1), e un asintoto verticale a x = 0. I due minimi si hanno per x = ±1 (punti angolosi). La

terza funzione ha un asintoto obliquo per x → −∞, y = −x. I grafici sono mostrati nella Figura 5.1.

Esercizio 5.2. La funzione presenta due minimi (x = ±3/2) e tre massimi (x = −2, x = 1, x = 3). In

x = 1 non e derivabile. Il grafico e mostrato in Figura 5.2.

Esercizio 5.3. La funzione f ha due asintoti verticali (x = ±2) e un asintoto obliquo (y = x) per x → ±∞.

Si hanno due massimi e due minimi relativi. La funzione g e definita per x > 0, e tende a zero per x → +∞;

il massimo si ha per x = e. La funzione h e definita per |x| ≥ 1. Si ha un massimo relativo per x = −2/√

3.

Ha inoltre asintoto obliquo sinistro (y = x) e asintoto obliquo destro (y = 3x). I grafici sono mostrati nella

Figura 5.3.

Esercizio 5.4. Si ha un asintoto verticale completo per x = 1 e un asintoto obliquo y = −x − 1 per

x → −∞. Per il grafico, si veda la Figura 5.4.

Esercizio 5.8. La funzione f ha un asintoto orizzontale sinistro (y = 0) e un asintoto orizzontale destro

(y = π/2). La funzione g ha un asintoto obliquo a sinistra (y = −x) e un asintoto obliquo a destra (y = x+ π2 ).

Per i grafici, vedere la Figura 5.5.

Esercizio 5.9. La funzione presenta asintoto obliquo a sinistra (y = − x2 + π−1

2 ) e asintoto obliquo a destra

(y = x2 + 1−π

2 ). Si hanno punti di minimo per x = ±1 e un punto di massimo per x = 0. In x = −1 e in

x = 0 la funzione non e derivabile. La Figura 5.6 mostra il grafico.

Esercizio 5.10. La funzione e pari: i punti di massimo sono a x = ±2/√

3. La retta y = 0 e asintoto

orizzontale completo. Il grafico e presentato nella Figura 5.7.

Esercizio 5.11. Si hanno asintoti verticali completi per x = 0, x = 2. Si ha anche asintoto orizzontale

completo (asse delle ascisse). La funzione non e definita per x = 1. Il grafico e visualizzato nella Figura 5.8.

Esercizio 5.12. Si ha un asintoto verticale completo a x = 2 e un asintoto orizzontale destro per y = 0.

La funzione non e definita per x = 1, e non e derivabile per x = 1/2. Il grafico e presentato nella Figura 5.9.

Esercizio 5.13. La funzione presenta asintoto obliquo a destra (y = x). C’e un minimo per x = 1/3 e un

massimo per x = 0. Il punto x = 1 e a tangente verticale. Per il grafico, si veda la Figura 5.10.

37

Esercizio 5.14. La funzione ha asintoto verticale destro per x = 1 e massimo assoluto per x = e. Il grafico

e mostrato nella Figura 5.11.

Esercizio 5.15. In tutti i casi considerati, la retta y = −1 funge da asintoto orizzontale destro. Per

k = 1, 2, 3 si ha anche l’asintoto orizzontale sinistro (y = 1). Nel caso k = 1 si ha asintoto verticale per

x = 0. Per k = 2 l’asintoto verticale si trova in x = log 2 e per k = 3 si trova in x = log 3. I grafici sono

visualizzati, nei vari casi, nella Figura 5.12.

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4Prima funzione

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4Seconda funzione

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4Terza funzione

Figura 5.1. Esercizio 5.1

-3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5y=f(x)


-5 0 5-6

-4

-2

0

2

4

y=f(x)

0 2 4 6 8-0.5

0

0.5y=g(x)

-4 -2 0 2 4-5

0

5y=h(x)


-6 -4 -2 0 2 4 6-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8y=f(x)


39

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4y=f(x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4y=g(x)


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5y=f(x)


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5y=f(x)


40

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5y=f(x)


-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4y=f(x)


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3y=f(x)


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1y=f(x)


41

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4k=0

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4k=1

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4k=2

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4k=3


42

6

Sesta esercitazione

6.1 Formula di Taylor

Sia f(x) una funzione data e x0 un punto del suo dominio, nel quale f sia derivabile almeno n volte. La

formula di Taylor (col resto in forma di Peano) si scrive

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)

2 + ... +f (n)(x0)

n!(x − x0)

n + o((x − x0)n)

=n

∑

i=0

f (i)(x0)

i!(x − x0)

i + o((x − x0)n) x → x0 .

Essa risponde al seguente problema: determinare un polinomio P (x) di grado non superiore ad n che

approssima nel modo migliore possibile la funzione f nelle vicinanze del punto x0, nel senso che

limx→x0

f(x) − P (x)

x − x0= 0 .

Tale polinomio si dice il Polinomio di Taylor di ordine n della funzione f nel punto x0 o anche, se x0 = 0,

Polinomio di McLaurin. Si parla anche di sviluppi di Taylor (o di McLaurin) arrestati all’ordine n.

Se inoltre la derivata (n + 1)-esima della funzione f esiste in un intorno di x0 (eventualmente x0 escluso)

allora la formula di Taylor si puo anche scrivere col resto in forma di Lagrange

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)

2 + ... +f (n)(x0)

n!(x − x0)

n +f (n+1)(t)

(n + 1)!(x − x0)

n+1 .

ove t e un punto compreso tra x e x0. Ecco gli sviluppi di McLaurin di alcune funzioni importanti.

ex = 1 + x +x2

2+

x3

6... +

xn

n!+ o(xn) .

sin x = x − x3

6+ ... + (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+1)

cosx = 1 − x2

2+ ... + (−1)n x2n

(2n)!+ o(x2n) .

44

1

1 − x= 1 + x + x2 + ... + xn + o(xn) .

1

1 + x= 1 − x + x2 + ... + (−1)nxn + o(xn) .

log(1 + x) = x − x2

2+ ... + (−1)n−1 xn

n+ o(xn) .

arctg x = x − x3

3+ ... + (−1)n x2n+1

2n + 1+ o(x2n+1) .

6.2 Esercizi

1. Calcolare la formula di Taylor arrestata al 60 ordine di f(x) = sin2 x, in un intorno di x0 = 0.

2. Calcolare la formula di Taylor arrestata al 40 ordine di f(x) = log(1 − sin2 x), in un intorno di x0 = 0.

3. Calcolare la formula di Taylor arrestata al 40 ordine di f(x) = ex

1+x , in un intorno di x0 = 0.

4. Calcolare la formula di Taylor arrestata al 60 ordine di f(x) = sin x, in un intorno di x0 = π2 .

5. Calcolare la formula di Taylor arrestata all’ordine n di f(x) = ex, in un intorno di x0 = −1.

6. Calcolare la formula di Taylor arrestata all’ordine n di f(x) = 2x, in un intorno di x0 = 0.

7. Calcolare la formula di Taylor arrestata all’ordine n di f(x) = 2x, in un intorno di x0 = 2.

8. Calcolare la formula di Taylor arrestata all’ordine n di f(x) = log x, in un intorno di x0 = 3.

9. Calcolare la formula di Taylor arrestata al terzo ordine di P (x) = 2 + x + 3x2 − x3, in un intorno di

x0 = 1.

10. Determinare la parte principale in x = 1 di f(x) = 2 + x + 3x2 − x3 − 5ex−1.

11. Determinare la parte principale di f(x) = cos x2 + 1, per x → √π.

12. Calcolare - con l’ausilio delle formule di Taylor - i seguenti limiti:

a. limx→0

sinhx − sin x

x3b. lim

x→0

ex − sinx − cos x

ex2 − ex3

SOLUZIONI

Esercizio 1. sin2 x = x2 − 13x4 + 2

45x6 + o(x6) x → 0

Esercizio 2. log(1 − sin2 x) = −x2 + 16x4 + o(x4) x → 0

Esercizio 3. ex

1+x = 1 + 12x2 − 1

3x3 + 38x4 + o(x4) x → 0

Esercizio 4. sinx = 1 − 12 (x − π

2 )x2 + 14! (x − π

2 )x4 − 16! (x − π

2 )x6 + o((x − π2 )6) x → π

2

Esercizio 5. ex = 1e [

∑nk=0

1k! )(x + 1)k] + o((x + 1)n) x → −1

Esercizio 6. 2x =∑n

k=01k! ) logk 2xk + o((x)n) x → 0

Esercizio 7. 2x = 4∑n

k=01k! ) logk 2(x − 2)k + o((x − 2)n) x → 2

Esercizio 8. log x = log 3 +∑n

k=1(−1)k−1

k3k )(x − 3)k + o((x − 3)n) x → 3

Esercizio 9. 2 + x + 3x2 − x3 = 5 + 4(x − 1) − (x − 1)3

45

Esercizio 10. Parte principale −(x − 1)

Esercizio 11. Parte principale π2 (x −√

π)2

Esercizio 12. a) 1/3 b) 1

7

Settima esercitazione

7.1 Integrali

Qualunque problema di integrazione si riduce, nella pratica, alla ricerca dell’espressione esplicita di una

primitiva di una funzione data.

In molti casi, si puo risalire ad una primitiva in modo immediato, cioe “ricordando” che la funzione data

rappresenta esattamente il risultato di un esercizio di derivazione effettuato in precedenza. La ricostruzione

di una primitiva come processo inverso di una derivazione, e in generale un passaggio obbligato. Da questo

punto di vista, e utile ricorrere ad una tavola nella quale sono riportate in una prima colonna certe funzioni

(ordinate in base alla loro natura) e, in una seconda colonna, le rispettive derivate. La determinazione della

primitiva si effettua semplicemente leggendo la tabella nel senso inverso.

Le tavole delle derivate (o come piu comunemente si chiamano, in considerazione del loro uso, le tavole

degli integrali) possono essere piu o meno estese. Un esempio di tavola ridotta all’essenziale e stata data

nell’Esercitazione 4; tavole di integrali piu complete sono quelle che, raccolte sotto forma di libro, si trovano

ancora oggi in commercio oppure quelle che sono implementate nei programmi per il calcolo simbolico.

Non e tuttavia pensabile di costruire una tavola che contenga “tutti” gli integrali possibili. E necessario

quindi spesso applicare preventivamente delle regole che permettano di ricondursi, con alcuni passaggi, ad

una o piu integrazioni immediate.

Le principali regole di questo tipo sono:

• Integrazione per somma

∫

(f(x) + g(x)) dx =

∫

f(x) dx +

∫

g(x) dx

• Moltiplicazione per una costante

∫

cf(x) dx = c

∫

f(x) dx

• Integrazione per parti

∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) −∫

f ′(x)g(x) dx

• Integrazione per sostituzione

48

∫

f(x) dx =

∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt .

Ricordiamo infine che se F (x) e una qualunque primitiva di f(x) su un certo intervallo I, allora

1) l’integrale indefinito di f(x) su I si scrive

∫

f(x) dx = F (x) + k ∀k ∈ R

2) l’integrale definito (orientato) di f(x) tra a e b si calcola come

∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a)

dove a, b sono due punti appartenenti all’intervallo I.

Esercizio 7.1 Calcolare:

(a)∫

arcsin xdx

(b)∫

xarcsin xdx

(c)∫

arccos xdx

(d)∫

xarccosxdx

(e)∫

x arctan xdx

(f)∫

sin(log x)dx

(g)∫

tan2 xdx

(h)∫

(x + 2)exdx

(i)∫

x2(e2x + 1)dx

(l)∫

1x2+2x+5dx

(m)∫

1x2+2xdx

(n)∫

2x+1x(x2+2)dx

(o)∫

√x+1

4√

x+2dx

(p)∫ 2 3

√x+ 6

√x

2 3√

x+3√

x2dx

(q)∫

3x√2x+1

dx

(r)∫

12x

√x+1

dx

(s)∫

√2x+5

2x+1 dx

(t)∫ √

x2 − 4dx

Esercizio 7.2 Calcolare i seguenti integrali definiti:

(a)∫ 2

11

x√

9−x2dx

(b)∫ 0

−1(x2 − 2x + 5)exdx

(c)∫ −1

−21

x4−x3+x2 dx

(d)∫ 2

1(x2 + x − 3) sin xdx

(e)∫ π/2

0sin3 xdx

(f)∫ 4

11+

√x

x2 dx

(g)∫ 1

0x

x2+3x+2dx

(h)∫

√2/2

01√

1−x2dx

(i)∫ e

1sin(log x)

x dx

49

(l)∫ e2

e1

x log xdx

(m)∫ 1

−1(x|6x − 2| + 3x)dx

(n)∫ 2

1x3arcsin 1

xdx

Esercizio 7.3 Calcolare∫ 1

−1f(x)dx, dove:

(a) f(x) =

{

tanh x se x < 02

4−3x2 se x ≥ 0(b) f(x) =

{

tan x se x < 04

3−2x2 se x ≥ 0 .

Esercizio 7.4 Data la funzione

f(x) =x + 2

(|x| + 3)(x − 3),

calcolare∫ 2

−2f(x) dx.

SOLUZIONI

Esercizio 7.1.

(a) xarcsinx +√

1 − x2 + C;

(b) x2 (x2 − 1

2 )arcsin x + 14x

√1 − x2 + C;

(c) xarccos x −√

1 − x2 + C ;

(d) arccos ( 12x2 − 1

4 ) − 14x

√1 − x2 + C ;

(e) 12 [x2arctg x − x + arctg x] + C;

(f) 12x(sin(log x) − cos(logx)) + C;

(g) tg x − x + C;

(h) (x + 1)ex + C;

(i) 12e2x(x2 − x + 1

2 ) + x3

3 + C;

(l) 12arctg (x+1

2 ) + C;

(m) 12 log |x| − 1

2 log |x + 2| + C;

(n) 12 log |x|√

x2+2+

√2arctg x√

2+ C;

(o) 45x5/4 − 2x + 20

3 x3/4 − 20x1/2 + 80x1/4 − 160 log(x1/4+2 + C;

(p) 3x2/3 + 2x1/2 − 12x1/3 − 12x1/6 + 24 log(x1/3+2 + 12√

2arctg x1/6

√2

+ C;

(q)√

2x + 1(x − 1) + C;

(r) 12 log |1 − 2

√x+1x | + C;

(s)√

2x + 5 − log |√

2x+5+2√2x+5−2

| + C;

(t) 12x

√x2 − 4 − 2 log |x +

√x2 − 4| + C.

Esercizio 7.2.

(a) 16 log 5 log 8;

(b) 9 − 14e ;

(c) 12 (1 − log 2 − log 3 + log 7) + 1√

3

(

arctg√

3 + arctg 5√3

)

;

(d) − cos 2 − 3 cos 1 + 5 sin 2 − 3 sin 1;

(e) 2/3;

(f) 7/4;

(g) log(9/8);

(h) π/4;

(i) 1 − cos 1;

(l) log 2;

50

(m) −52/27;

(n) 1324π + 1

2

√3.

Esercizio 7.3.

(a) − log(e2 + 1) + 1 + log 2 + 1 log 2√

3 log(7 + 4√

3);

(b) log(cos 1) +√

23 log(5 + 2

√6).

Esercizio 7.4. 76 log 5 − 2 log 3 − 2

3 .

Documents

Analisi Matematica I - polito.itcalvino.polito.it/~bacciotti/aa.pdf1 Prima esercitazione 1.1 Intervalli e intorni L’insieme ]a;b[= fx 2 R: a < x < bg si dice intervallo aperto di