Analisi e gestione del rischio

Lezione 19

Il secondo pilastro

Secondo pilastro

• Nel secondo pilastro vengono fornite raccomandazioni per la supervisione dei sistemi di risk-management con riferimento a fonti di rischio non coperte nel primo pilastro:– Integrazione tra i rischi– Rischio di concentrazione– Rischio di liquidità– Rischio di trasformazione delle scadenze

Integrazione tra rischi: approcci• Un elemento che non è coperto dal primo pilastro è

la possibilità che diversi fattori di rischio si manifestino insieme.

• L’integrazione tra i rischi (di mercato, di credito e operativo) può essere fatta secondo due approcci opposti

• Approccio bottom-up: i diversi fattori di rischio sono aggregati al livello di ogni singolo prodotto e poi aggregati insieme

• Approccio top-down: i diversi fattori di rischio sono aggregati a livello di business unit e poi aggregati tra di loro

Integrazione tra rischi: problemi

• L’approccio bottom-up è poco seguito, principalmente perché i rischi sono aggregati per fattore di rischio piuttosto che per prodotto (ricordiamo il mapping nel rischio di mercato)

• L’approccio top-down è il più diffuso. Il vero problema in questo caso è di tipo tecnico. Tipicamente, i rischi di mercato sono aggregati nel tempo su frequenze molto elevate (tipicamente, 10 gg di periodo di smobilizzo), mentre rischi di credito e operativi sono aggregati a su frequenze più basse (tipicamente, su frequenza annua)

Integrazione nel tempo dei rischi• Un problema preliminare per l’approccio top-down

è quello di aggregare nel tempo le misure di rischio. Tipicamente, il rischio di mercato deve essere riportato su base annua.

• Il problema è quindi determinare il VaR su un tempo di smobilizzo di un anno, in modo che sia coerente con quelli calcolati su base di 10 gg.

• La regola che viene utilizzata è quella della radice quadrata: il VaR calcolato su 10 giorni– viene moltiplicato per 5 (la radice quadrata di 25)– la media non viene considerata pari a zero, ma viene

posta pari al tasso risk-free più il premio per il rischio

Ipotesi del modello

• La regola della radice quadrata è basata su due assunzioni– I profitti e perdite in ogni periodo hanno

distribuzione normale– I profitti e perdite di ogni periodo sono

indipendenti dalle perdite nei periodi precedenti

• Ipotesi alternative possono portare a diversi risultati di aggregazione dei rischi.

VaR al 5%: dipendenza seriale

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

Indip

theta= 0.01

theta= 0.1

theta= 0.5

theta= 1

theta= 10

theta= 50

theta= 100

P erf c orr

L’approccio top-down

• Dopo l’aggregazione temporale otteniamo valori aggregati dei VaR per rischi di mercato, di credito e operativi

• I diversi VaR vengono poi aggregati utilizzando funzioni di copula.

• E’ particolarmente rilevante considerare funzioni di copula che rappresentino dipendenza nelle code (tail dependence), è infatti noto che i diversi fattori di rischio vedono aumentare la loro correlazione in periodi di particolare stress.

Rischio di concentrazione: cause

• Il rischio di concentrazione è legato a particolari esposizioni verso singoli fattori di rischio, singoli settori o addirittura singoli nomi.

• La concentrazione può essere dovuta a– Specializzazione nel business di intermediazione:

prodotti, tecniche, mercati. – Relazioni di clientela da parte degli intermediari– Speciale competenza nella conoscenza di particolari

settori o regioni

• La concentrazione del rischio genera maggiori ritorni a fronte di una maggiore rischiosità.

Rischio di concentrazione: tipi

• Il rischio di concentrazione viene classificato, secondo Basilea II, in tre tipi– Rischio di concentrazione “single name”:

esposizione a singoli prenditori di fondi– Rischio di concentrazione settoriale:

esposizione a particolari settori industriali o zone

– Rischio di concentrazione da micro-contagio: esposizione a gruppi di prenditori di fondi legati tra loro da rapporti di business.

Misure di concentrazione

• Misure statistiche di concentrazione:– Curva di Lorenz– Indice di concentrazione di Gini– Indice di Hirschman-Herfindahl (HHI)

• Misure di concentrazione di portafogli– Formule di aggiustamento per la granularità

dei portafogli. Una di queste è stata proposta nei lavori preparatori di Basilea II ma alla fine si è ritenuto di non farla confluire nel I pilastro.

Stress testing

• Tecniche di stress testing consentono di valutare la rischiosità della posizione a particolari eventi

• La scelta degli scenari può essere fatta– raccogliendo informazioni su particolari eventi o

situazioni di mercato– utilizzando le aspettative implicite negli strumenti

finanziari, es. futures, opzioni, ecc…

• La costruzione degli scenari deve essere coerente con la struttura di correlazione dei dati

Stress testingCome generare scenari coerenti

• Scomposizione di Cholesky– Lo shock attribuito a un dato mercato e/o

bucket si propaga agli altri attraverso la matrice di Cholesky

• Metodo di Black e Litterman– Lo scenario scelto per un dato mercato e/o

bucket è pesato e mischiato all’informazione storica con una tecnica bayesiana

Variabili Normali Multivariate• Cholesky Decomposition

– Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata .

– Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone

– Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n n tale che

AXY AXY

tAA tAA

• Cholescky Decomposition

– La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato . Se la matrice è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00

Variabili Normali Multivariate

– Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,

• Cholesky Decomposition

– Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative

– Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo

1

1

2i

kikiiii aa

1

1

2i

kikiiii aa

1

1

1 i

kjkikij

iiji aaa

a

1

1

1 i

kjkikij

iiji aaa

a

2

22

1

1

0

A

2

22

1

1

0

A

Variabili Normali Multivariate

Black e Litterman

• La tecnica proposta da Black e Litterman e utilizzata in asset management può essere utilizzata per rendere coerenti gli scenari.

• Fonti di informazione– Storica (serie storiche di prezzi)– Implicita (cross-section di prezzi di derivati)– Privata (prodotta “in house”)

Views

• Assumiamo che “in house” venga proposta una “view” sull’andamento di un mercato 1 e una “view” sull’andamento del mercato 3 rispetto al mercato 2.

• Entrambe le “view” hanno errori i con matrice di covarianza e1' r = q1 + 1

e3' r - e2' r = q2 + 2

• La dinamica delle variazioni percentuali r dei prezzi devono essere “condizionate” dalle “view” qi.

Condizionamento degli scenari alle “view”

• Riportiamo le “view” in forma di matrice

e calcoliamo la distribuzione congiunta

2

1

23

1

%0

%6

110

001

''

'

qee

eP

q

r

PVP'PV

PVV

P '

',N

~

Distribuzione condizionale

• La distribuzione condizionale di r rispetto a q risulta quindi

e si noti che può essere interpretato come un modello di regressione di tipo GLS (generalised least squares)

PVPVP'VP-V

P-qPVP'VP1

1

'

;'~qr

N

Esempio: costruzione di uno scenario

• Assumiamo di costruire uno scenario sulla curva dei tassi a 1, 10 e 30 anni.

• I valori di media, deviazione standard e correlazione sono dati da

•

192.003.0

92.0104.0

03.004.01

07.0

06.0

01.0

58.6

77.5

00.6

R

Shock alla curva dei tassi

4.5

5

5.5

6

6.5

7

1 6 11 16 21 26

Maturities

Yields Historic

Scenario

Analisi di stress testing (1)Il tasso a breve aumenta al 6%

(0.1% sd)

Scadenza Nominale MtM corrente

MtM scenario

Perdita Media

Scenario VaR

1 anno 100 95.08 94.18 0.90 0.92

10 anni 100 58.35 56.16 2.17 2.93

30 anni 100 15.54 13.88 1.66 2.30

Analisi di stress testing (2) Il tasso a breve aumenta al 6%

(1% sd)

Scadenze Nominale MtM Corrente

MtM Scenario

Perdita Media

Scenario VaR

1 anno 100 95.08 95.08 0.00 0.53

10 anni 100 58.35 58.35 0.00 1.49

30 anni 100 15.54 15.54 0.00 1.21

VaR e mercati illiquidi

• Il VaR può essere visto come una strategia in opzioni, per garantire la solvibilità della business unit.

• Determinare questa strategia richiede un mercato efficiente e liquido dell’attivo.

• Il circolo vizioso della liquidità – Mercati illiquidi Informazione rumorosa

Rischio di liquidità: misure

• Misure di liquidità– Bid-ask spread: differenza tra il prezzo a cui è

possibile acquistare o vendere un titolo (non tiene conto della dimensione della transazione)

– Slippage: differenza tra il costo reale di esecuzione e la media delle quotazioni bid e ask. Tiene conto della dimensione, rispetto allo “spessore” del mercato: ordini di dimensione maggiore“mangiano” una quota maggiore del libro ordini.

Rischio di liquidità: eventi• Elementi non misurabili:

– Liquidity holes: fasi del mercato nelle quali si riduce drasticamente l’afflusso di ordini da una delle due parti (denaro o lettera), rendendo problematica la ricerca di una controparte per lo smobilizzo

– Circuit breakers: procedure di interruzione delle contrattazioni sui mercati regolamentati. E’ un cambiamento della struttura stessa del mercato, da asta continua ad asta batch

Rischio di liquidità: le cause

• Le cause– Aspetti di “microstruttura” del mercato

• Scorte dei market-makers• Triple-witching-hour• Active learning dei market-makers

– Aspetti di tipo comportamentale degli operatori• Herd behaviour• Inerzia di portafoglio

Rischio di liquidità: gli effetti

• Gli effetti– Il costo di smobilizzo fluttua e può essere

correlato con variazioni del mercato in momenti di particolare tensione.

– Mercati illiquidi trasmettono informazione meno trasparente, e rendono più problematica sia la valutazione che l’analisi di rischio

Marking-to-Market e liquidità

• Il valore delle posizioni che calcoliamo fa riferimento a situazioni ideali di mercati perfettamente liquidi

• Tenere conto del rischio liquidità induce a definire fattori di sconto diversi per poste lunghe e corte.

• L’andamento divergente di tali fattori di sconto definisce il rischio di liquidità

Modelli di finanza e rischio liquidità

• Perché i modelli di finanza generano prezzi uguali per posizioni lunghe e corte?

• Risposta tecnica: unica misura di probabilità– da assunzioni di teoria delle decisioni

• utilità attesa e assioma di indipendenza

– da assunzioni di teoria della finanza• mercati completi e assenza di frizioni