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UNIVERSITA' LA SAPIENZA

FACOLTA' DI ECONOMIA LAUREA MAGISTRALE FINASS

CORSO DI ANALISI DELLE SERIE STORICHE

ANALISI DI CONTAGIO DEI MERCATI FINANZIARI

Paolo Lelio Galante – 1468695

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ABSTRACT

Questo elaborato presenta un'analisi dell'effetto contagio nei mercati finanziari, noto come effetto Spillover. La definizione di contagio tra due mercati utilizzata in questa trattazione è la seguente: si definisce contagio l'aumento delle relazioni tra due o più mercati in seguito ad uno shock in uno degli stessi. L'idea è quella di analizzare dei mercati che rappresentino al meglio una unica macro area, in modo tale da cercare di stimare il comportamento delle relazioni che intercorrono tra le diverse economie.

DATI E CAMPIONE DI ANALISI A tale scopo sono stati scelti i seguenti indici: Eurostox50 e Standard and Poor's500. Il primo rappresentante la macro area europea, il secondo quella americana. E' stato scelto un campione di dati sufficientemente lungo in modo da catturare eventi di shock per entrambe le economie, e per analizzare anche l'evoluzione nel tempo dell'interdipendenza tra i due mercati. La trattazione di questo lavoro si ferma, per semplicità e per mantenere un carattere generale, ad una analisi comparativa tra due sole macro aree, ma i medesimi argomenti possono essere applicati ad una analisi più complessa.

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ANALISI DEI RENDIMENTI

Passiamo ad una analisi della serie storica principale di questa trattazione: Eurostox50 dal 1987-01-01 al 2015-06-11.

Successivamente calcoliamo i rendimenti e eseguiamo un plot dei rendimenti, rendimenti assoluti e rendimenti al quadrato.

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Come ci si poteva aspettare la ACF dei rendimenti conferma l'assenza di autocorrelazione, mentre sono correlati fra loro i rendimenti al quadrato e i rendimenti presi in valore assoluto. Nel seguito di questa analisi verranno utilizzati i rendimenti al quadrato come proxy della varianza giornaliera. La presenza di autocorrelazione tra i rendimenti al quadrato ci permette di fittare un modello che catturi questa dipendenza temporale. Vediamo la distribuzione dei rendimenti e confrontiamola con qualche distribuzione teorica.

L'immagine in alto mostra l'istogramma dei rendimenti sul quale è stata applicata in blu una distribuzione Normale avente la stessa media e varianza dei rendimenti. Si può notare già graficamente una sostanziale differenza nell'indice di curtosi ed una più sottile differenza nell'indice di simmetria.

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Si procede con un approccio più analitico: Dalla tabella con le statistiche di base della serie si può confermare un indice di curtosi elevato e la presenza di asimmetria. Un modello per catturare la relazione non lineare tra rendimenti di serie finanziarie leptocurtiche è il modello GARCH, presentato da Bollerslev nel 1986. Sono state sviluppate poi, nel tempo, varianti del modello GARCH più flessibili in grado di catturare diversi fatti stilizzati. Questa analisi partirà da un modello GARCH(1,1) , per poi ricercare quale tra i sottomodelli del GARCH

si adatta meglio ai dati. La scelta del modello avverrà in base ai criteri informativi, principalmente AIC e BIC.

SCELTA DEL MODELLO In prima analisi è stato scelto un modello GARCH(1,1) Gaussiano per poi utilizzare dei sottomodelli più specifici e delle distribuzioni diverse per cercare di catturare meglio alcuni fatti stilizzati che verranno illustrati più avanti. Risultati per il GARCH(1,1):

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E' uso comune filtrare con un modello ARIMA la serie dei residui della quale si vuole analizzare la varianza, in questa trattazione tutti i modelli saranno filtrati solo tramite una costante, il parametro mu nell’immagine in alto. Filtrando con un modello ARIMA la serie storica dei residui, si può adattare il modello GARCH ai residui del modello ARIMA, ottenendo così una serie più "pulita" da analizzare; meno disturbata, per meglio dire. Un ulteriore vincolo posto a questa analisi è la parsimonia del modello utilizzato per la varianza. Un fatto stilizzato molto importante nelle serie storiche finanziarie è il Leverage effect. Per Leverage effect si intende il diverso impatto di uno shock negativo rispetto ad uno positivo sulla variabilità futura. Gli shock negativi infatti impattano in modo più intenso rispetto a quelli positivi, ed inoltre si propagano più velocemente tra diversi mercati. Economicamente possiamo interpretare questo dicendo che le crisi o le bad news, vengono percepite da investitori avversi al rischio in maniera più importante rispetto a notizie positive, ed il processo di contagio in situazioni di paura avviene molto più velocemente. Alcuni sottomodelli del GARCH riescono a catturare Leverage effect, sono stati allora testati alcuni di questi e sono state raccolte le statistiche relative ai criteri informativi, riportate in basso:

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I modelli sopra citati utilizzano tutti una distribuzione Gaussiana. Il modello con l'AIC ed il BIC più basso risulta il modello APARCH. APARCH è l'acronimo di Asymmetric Power ARCH, riesce a cogliere attraverso l'introduzione di un parametro aggiuntivo il Leverage effect.

Nella formula, il parametro ϓ è quello che misura il Leverage effect. Il parametro δ invece è stato imposto pari ad 1. Quando in un modello APARCH viene fissato δ = 1 , si ottiene un modello TGARCH, Threshold GARCH (Zakoian 1994), molto simile al modello GJR-GARCH. Durante l'intera trattazione il modello TGARCH verrà presentato, per mantenere generalità, come modello APARCH con δ=1. Vediamo ora i risultati del modello APARCH:

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Possiamo notare come il parametro gamma1 sia stato stimato significativamente diverso da zero, questo suggerisce la presenza del Leverage Effect che il modello riesce a cogliere. Vediamo nell'immagine sottostante l'impatto differente nei diversi modelli di un ritorno negativo sulla varianza:

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CAMBIO DI DISTRIBUZIONE Come precedentemente analizzato, la serie che si sta analizzando non si distribuisce perfettamente come una normale: ha code più pesanti ed è asimmetrica. Si può per questo motivo procedere cambiando la distribuzione degli errori del modello GARCH. Sono stati effettuati diversi test utilizzando una T di Student ed una Skew-T. Di seguito una tabella con i migliori risultati:

Nella tabella vengono riportate per comodità, anche le informazioni relative al miglior modello con distribuzione degli errori normale

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(aparch11). In conclusione possiamo notare che il modello che meglio si adatta alla serie analizzata è il modello APARCH con distribuzione degli errori Skew-T e δ=1. Osserviamo ora la stima dei parametri di tale modello e confrontiamolo poi con il modello APARCH con distribuzione degli errori normale per apprezzarne le differenze.

Si può notare come tutti i parametri stimati risultino significavi, compresi i parametri shape e skew, i quali ci confermano la bontà della scelta di una distribuzione diversa da quella Gaussiana per gli errori del modello; il primo ci conferma la bontà della distribuzione T di Student al posto della Gaussiana, il secondo conferma la asimmetria della distribuzione. Confrontiamo ora il modello trovato con quello che utilizzava una distribuzione Gaussiana degli errori. A questo proposito guardiamo la densità e il QQ-Plot degli errori

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standardizati:

ANALISI DEL SECONDO MERCATO Argomenti simili a quelli appena visti fin ora, sono stati applicati per l'analisi di Standard and Poor's 500. Dopo aver selezionato un campione di uguale lunghezza di quello utilizzato per Eurostox50, è stato individuato il modello che meglio si adatta ai dati. Anche in questo caso il modello selezionato è un APARCH con δ=1. Per completezza verrà fornita una tabella con i criteri informativi di alcuni modelli testati.

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Viene scelto quindi il modello APARCH con δ=1 e con una distribuzione Skew-T degli errori.

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Dal QQ-Plot si possono notare numerosi outlayers, e delle code più pesanti rispetto alla distribuzione scelta per gli errori del modello.

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ANALISI DI INTERDIPENDENZA

L'analisi di interdipendenza che verrà eseguita durante questa trattazione non utilizza un approccio multivariato. Si utilizzerà un modello con regressori esterni per verificare l'interdipendenza delle varianze dei due mercati, successivamente verrà calcolata la covarianza e la correlazione rolling a finestre temporali differenti, (20,74 e 156 giorni) e valutato l'incremento di queste dopo un evento di shock.

INDIVIDUAZIONE DEI REGRESSORI ESTERNI Per individuare l'impatto di uno shock di un mercato sulla variabilità di un altro è stata utilizzata una matrice di variabili dummy. La variabile D è una matrice 2Tx , dove T è il numero di osservazioni del campione analizzato. Tale variabile si comporta così:

⎩⎨⎧

≤

≥

)05.0(]0,1[)95.0(]1,0[

quantilerquandoquantilerquando

t

t

[ ] oriferimentdimercatodelTttempoalritornoilèrdove t ,0∈

La variabile D è quindi un indicatore di rendimenti appartenenti alle code della distribuzione.

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Si utilizzano quindi le variabili SPD e EUD come regressori esterni nella specificazione dei modelli rispettivamente di Eurostox50 e Standard and Poor's500.Vediamo i risultati della stima dei parametri di questi modelli:

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Eurostox50 Standard and Poor's 500

Come ci si poteva aspettare in entrambi i casi vxreg1 , il regressore relativo ai ritorni minori del quantile 0.05, è più grande di vxreg2. Questo risultato conferma la presenza di effetto Leverage. In generale le stime dei regressori vxreg1 e vxreg2, indicano l'apporto aggiuntivo di varianza relativa ad uno schock sull'altro mercato. La situazione può essere vista e resa più chiara attraverso un grafo

),( SNG = N è il numero di nodi, che nel caso in esame rappresentano i mercati; S è il numero degli spigoli, che nel caso in esame rappresentano le relazioni che intercorrono tra i mercati. Nel caso presentato non si può parlare di Spigoli, è più corretto parlare di Archi, in quanto le relazioni che intercorrono fra i mercati sono orientate.

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Vxreg1 0.002934

Vxreg2 0.002934

Vxreg1 0.001469

Vxreg2 0.000642

Chiaramente svolgendo una analisi su più mercati si avrebbe un grafo più complesso e informativo. Dal valore di vxreg1 e vxreg2 possiamo intuire subito che è Standard and Poor's 500 a influenzare maggiormente Eurostox50 e non viceversa.

CORRELATIONE E COVARIANZA ROLLING Dopo aver calcolato la correlazione e covarianza rolling a varie finestre temporali delle due serie, è stata utilizzata la stessa variabile dummy della sezione precedente per individuare eventi di shock e valutare l'incremento della covarianza e correlazione a ridosso di quella data. Essendo limitata tra -1 e +1 la correlazione si presta meglio a questa tipologia di analisi, ancor più quando la si svolge su più di due mercati. Da ora fino alla fine della trattazione, perciò, le considerazioni verranno svolte solo sulla correlazione.

SP EU

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Una volta individuata la data di shock si calcola la differenza tra la correlazione in un periodo successivo di k giorni e in un periodo precedente di k giorni; { }156,74,20∈kcon L'algoritmo scritto in R cerca un break point nella correlazione partendo dalla finestra temporale più corta. Eventi che causano un importante break nella correlazione già ad una piccola finestra temporale, possono essere interpretati come eventi di grande shock. Per valutare se il salto di correlazione è grande o meno, possiamo anzitutto visualizzare l'istogramma delle differenze prime delle rolling correlations a 20 giorni:

Possiamo prendere il quantile 0.05 e il quantile 0.95 come soglie per capire se la differenza di correlazione che si sta analizzando è un break oppure no. L'algoritmo produce quindi due tabelle che appaiono così:

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La prima tabella della quale si può apprezzare un estratto nella figura sopra, è in corrispondenza di ritorni negativi, la seconda in corrispondenza di ritorni positivi. Dalla prima alla quinta colonna possiamo osservare: il ritorno di break, il delta della correlazione a ridosso della data di break, il quantile al 5%, il qunatile al 95%, e la finestra temporale per al quale è stato trovato il break nella correlazione. Per completezza va riportato che se l'algoritmo verifica un break ad una finestra temporale k1<k2 non verifica le finestre temporali successive k1. Se alcune righe della tabella presentano valori NA , significa che l’algoritmo no ha trovato un significativo break nella correlazione a nessuna delle finestre temporali prefissate.

CONCLUSIONI Analizzando le tabelle prodotte, ed identificando alcune date particolari,

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possiamo trarre alcune conclusioni sul comportamento dei due mercati. Qualche esempio:

In corrispondenza del periodo dell’attacco alle torri gemelle possiamo notare diversi salti che incrementano la rolling correlation tra i due mercati con finestra temporale 20 giorni.

Ancora possiamo osservare salti di correlazione coincidenti con il fallimento di Lehman Brothers e in tutto il periodo di crisi di quei mesi. E’ interessante osservare invece i dati relativi al crollo del 1987:

Si può osservare dalla tabella che nel 1987 grandi shock sul mercato americano non hanno influenzato il mercato europeo. Questo comportamento può essere interpretato attraverso l’ipotesi di una evoluzione nel tempo della correlazione dei due mercati. Si pensare per tali motivi alla correlazione come un processo dinamico non solo rispetto agli shock, ma anche rispetto al tempo. Per completezza verranno forniti i grafici relativi alla serie storica delle rolling correlation per le varie finestre temporali.

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