Analise Real 2-08

8/19/2019 Analise Real 2-08

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Análise II (a parte no IRn)

Notas de aulas

André Arbex Hallack

Janeiro/2008


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Índice

1 Noções Topológicas no IRn 1

1.1 O espaço vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Norma de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Diferenciabilidade 25

2.1 Definição: diferenciabilidade de uma aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Exemplos de aplicações diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Funções reais de m variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 Teorema/Desigualdade do valor médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8 As classes de diferenciabilidade C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9 O vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Funções impĺıcitas 57

i


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3.1 Motivação: superf́ıcies regulares no IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 O Teorema da Função Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Generalização: Variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Derivadas de ordem superior e a Fórmula de Taylor 69

4.1 Inversão na ordem de derivação: Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 A Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Referências 77


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Caṕıtulo 1

Noções Topológicas no IRn

1.1 O espaço vetorial IRn

Consideremos o conjunto IRn = { (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR , i = 1, 2, . . . , n } das n-uplas denúmeros reais.

Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α.x = (αx1, αx2, . . . , α xn)

Estas operações fazem do IRn um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo IR dos

números reais.

Produto interno no espaço IRn:

Definimos o PRODUTO INTERNO CANÔNICO < , > : IRn × IRn → IR pondo:

< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn

Normas:

A partir do Produto Interno Canônico acima definido, constrúımos a NORMA(?)

EUCLI-

DIANA e : IRn → IR pondo:

xe = √

< x, x > ∀ x ∈ IRn

1


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2 CAP ́ITULO 1

Obs.: Outras duas normas(?)

se destacam no IRn:

A NORMA DO MÁXIMO m : IRn → IR dada por

xm = max { |x1| , |x2| , . . . , |xn| } ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

A NORMA DA SOMA s : IRn → IR dada por

xs = |x1| + |x2| + . . . + |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn

É fácil mostrar(?)

que estas duas normas não provêm de produto interno algum no IRn.

Para todo x ∈ IRn temos(?) :

xm ≤ xe ≤ xs ≤ n. xm

Métricas, bolas e conjuntos limitados:

A partir de qualquer norma no IRn podemos construir, de modo natural, uma métricad : IRn × IRn → IR (noção de distância), pondo:

d(x, y) = x − y ∀ x, y ∈ IRn

Seguem definições de certos lugares geométricos básicos:

Definição 1.1. Consideremos uma norma no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um n´ umero real r > 0, definimos:

(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = {x ∈ IRn ; x − a < r}

(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] =

{x

∈ IRn ;

x

−a

≤ r

}(iii) ESFERA de centro a e raio r: S [a; r] = {x ∈ IRn ; x − a = r}

Obs.: É claro que os lugares geométricos acima definidos dependem da norma considerada.

A seguir definimos uma relação de equivalência entre normas:

Definição 1.2. Duas normas 1 e 2 no IRn s˜ ao ditas EQUIVALENTES quando,

sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, é posśıvel obter uma bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.


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Noç˜ oes Topológicas no IRn 3

A “equivalência”, assim definida, além de SIMÉTRICA (por definição), é REFLEXIVA E

TRANSITIVA, sendo portanto uma RELAÇ ÃO DE EQUIVALÊNCIA(?)

.

Proposição 1.3. (?)

Duas normas 1 e 2 no IRn s˜ ao equivalentes se, e somente se,existem constantes k,l > 0 tais que:

l. x2 ≤ x1 ≤ k. x2 ∀ x ∈ IRn

Já vimos antes que xm ≤ xe ≤ xs ≤ n. xm , para todo x ∈ IRn.Portanto as normas Euclidiana, do Máximo e da Soma são EQUIVALENTES!

Definição 1.4. Um conjunto X ⊂ IRn é limitado (“em relaç˜ ao à norma ”) quando existir uma constante c > 0 tal que x ≤ c para todo x ∈ X .

É imediato que se duas normas 1 e 2 no IRn são equivalentes então um conjuntoX ⊂ IRn é limitado em relação à norma 1 se, e somente se, X é limitado em relação ànorma 2.

(?)


Um conjunto X

⊂ IRn é limitado (em relaç˜ ao a qualquer norma equi-

valente à Norma do M´ aximo) se, e somente se, todas as suas projeç˜ oes

X 1 = π1(X ), X 2 = π2(X ), . . . , X n = πn(X )

s˜ ao conjuntos limitados em IR.

1.2 Seqüências

Definição 1.6. Dizemos que uma seq¨ ûencia (xk) no IRn converge para o limite a ∈ IRn(“em relaç˜ ao à norma ”) quando, para cada > 0 dado, é posśıvel obter um ı́ndice k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ xk − a < . Neste caso escrevemos: a = lim xk ou xk → a.

De modo equivalente temos que, para cada > 0 , os termos xk est˜ ao na bola aberta

B(a; ) (em relaç˜ ao à norma considerada), para todo k suficientemente grande.

Uma conseqüência importante da definição acima é que, se duas normas no IRn são

equivalentes, então a convergência de uma seqüência independe de qual das nor-

mas equivalentes é considerada (?)

.


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4 CAP ́ITULO 1

Conseqüências imediatas: (?)

(i) lim xk = a ⇔ lim xk − a = 0

(ii) Toda seqüência convergente é limitada.

(iii) Se lim xk = a então toda subseqüência de (xk) converge para a.

(iv) O limite de uma seqüência convergente é único.

Uma seqüência (xk) no IRn equivale a n seqüências de números reais, ou seja, para todo

k ∈ IN , xk =

x(k)1 , x

(k)2 , . . . , x

(k)n

, onde x

(k)i = πi(xk) = i-ésima coordenada de xk. Essas n

seqüências são ditas as Seqüências DAS COORDENADAS de (xk).


Uma seq¨ ûencia (xk) no IRn converge (em relaç˜ ao a qualquer norma

equivalente à Norma do M´ aximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para

cada i = 1, 2, . . . , n tem-se lim x(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a

coordenada correspondente de a.

Coroĺario 1. Dadas as seq¨ uências convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam

lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. Ent˜ ao:

(i) lim(xk + yk) = a + b

(ii) lim αk.xk = α.a(iii) lim < xk, yk > = < a, b >

A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensão finita:

Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass) (?)

Toda seq¨ uência limitada (em relaç˜ ao a qualquer

norma equivalente à Norma do M´ aximo) em IRn possui uma subseq¨ uência convergente.

Prova: Exercı́cio (Sugestão: use o mesmo resultado em IR para as seqüências das coorde-

nadas, juntamente com a proposição anterior)

Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaço IRn s˜ ao equivalentes.

Demonstração:

Sejam s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por

x

s =

|x1

|+

|x2

|+ . . . +

|xn

| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn)

∈ IRn

e : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.


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Temos:

(i) Por transitividade, se mostrarmos que s e são equivalentes, então o teorema

estará demonstrado.(ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela é equivalente à Norma

do Máximo.

Consideremos a Base Canônica β = {e1, e2, . . . , en} do IRn.Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:

x = x1e1 + . . . + xnen ≤ |x1| . e1 + . . . |xn| . en ≤ b.(|x1| + . . . + |xn|) = b. xs

onde b = max { e1 , . . . , en } (repare que este b está bem definido, pois tomamos omáximo em um conjunto finito de números reais).

Logo x ≤ b. xs para todo x ∈ IRn. (1)

Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que xs ≤ a. x ∀x ∈ IRn.

De fato: se isto não ocorrer temos que para todo k ∈ IN é posśıvel obter um xk ∈ IRntal que xks > k. xk (pois k não serviria como tal a > 0 ).

Tomemos, para cada k ∈ IN, uk = xkxks (note que a seqüência (uk) está bem definida,

pois xks > 0 ∀k )Como uks = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) é limitada em relação à Norma

da Soma.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subseqüência (ukj) convergente (na

Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.

Temos então que ukjs → us. Logo us = 1 , o que significa que u = 0.Agora, dado > 0, é posśıvel obter k j0 tal que

ukj0 − us < 2b e 1k j0 <

2 .

Logo

u ≤ ukj0 − u+ ukj0 ≤ b. ukj0 − us + 1k j0 < b.

2b +

2 = .

Assim u = 0 ⇒ u = 0 (contradição!)

Então, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que

x

s

≤ a.

x

∀x

∈ IRn. (2)

Por (1) e (2), s e são equivalentes, qualquer que seja a norma no IRn.


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6 CAP ́ITULO 1

Por transitividade, temos então que duas normas quaisquer no IRn são equivalentes.

Obs.: À luz deste último teorema, temos também que os resultados anteriores são

válidos para qualquer norma considerada no IRn.

Proposição 1.10. ( IRn é Banach) (?)

Uma seq¨ uência (xk) no IRn é convergente (em

relaç˜ ao à qualquer norma considerada) se, e somente se, ela é uma Seq¨ uência de Cauchy.

Prova: Exercı́cio (Sugestão: use a norma do máximo, a proposição 1.7 e o resultado já

conhecido para seqüências de números reais)

Prove também o resultado acima sem usar o que já foi provado para seqüências de números

reais (?)

.

1.3 Topologia usual

Conjuntos abertos:

Definição 1.11. Um ponto a é dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂

IRn

quando existe > 0 tal que B(a; ) ⊂ X . Se denotarmos por int X o conjunto dos pontos interiores a X (INTERIOR de X ), é imediato que int X ⊂ X . Se a ∈ int X ent˜ ao X é ditouma VIZINHANÇA de a.

Um conjunto A ⊂ IRn é dito ser ABERTO (em IRn) quando A = int A.Um conjunto B ⊂ X é dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto

aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .


(i) φ e IRn são abertos.

(ii) A interseção A = A1 ∩ . . . ∩ Al de uma coleção FINITA de abertos é um aberto.(iii) A reunião A =

λ∈L

Aλ de uma coleção arbitrária {Aλ}λ∈L de abertos é um aberto.

(iv) Toda bola aberta B(a; r) é um conjunto aberto.

(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: int X = A ⊂ XA aberto

A


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Conjuntos fechados:

Definição 1.12. Um ponto a é dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn

quando existe uma seq¨ uência (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por cl X o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X ), é imediato que X ⊂ cl X .

Um conjunto F ⊂ IRn é dito ser FECHADO (em IRn) quando F = cl F .Um conjunto B ⊂ X é dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto

fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .Dado X ⊂ IRn , definimos fr X = cl X ∩ cl (IRn\X ) (FRONTEIRA de X ).Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y é DENSO em X quando X ⊂ cl Y (todo ponto

de X é limite de uma seq¨ uência de pontos de Y ).


(i) a ∈ cl X ⇔ toda vizinhança de a possui algum ponto de X .(ii) F ⊂ IRn é fechado ⇔ A = IRn\F é aberto.(iii) φ e IRn são fechados.

(iv) A reunião F = F 1 ∪

. . .∪

F l

de uma coleção FINITA de fechados é um fechado.

(v) A interseção F =λ∈L

F λ de uma coleção arbitrária {F λ}λ∈L de fechados é um fechado.

(vi) Toda bola fechada B[a; r] é um conjunto fechado.

(vii) Toda esfera S [a; r] é um conjunto fechado.

(viii) Qn é denso no IRn.

(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: cl X =

F ⊃ X

F fechado

F

Pontos de acumulação:

Definição 1.13. Um ponto a é dito um PONTO DE ACUMULAÇ ˜ AO de um conjunto

X ⊂ IRn quando existe uma seq¨ ûencia (xk) em X \ {a} ( xk ∈ X , xk = a ∀ k ) tal que xk → a . Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulaç˜ ao de X .

Se a ∈ X n˜ ao é ponto de acumulaç˜ ao de X , ent˜ ao a é um PONTO ISOLADO de X .

Se todos os pontos de X s˜ ao isolados, X é chamado um conjunto DISCRETO.


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8 CAP ́ITULO 1


(i) a ∈ X ⇔ toda vizinhança de a possui algum ponto de X \ {a}.

(ii) a ∈ X

⇔ toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X .(iii) Se X = φ então X é infinito.(iv) O conjunto X dos pontos de acumulação de X é fechado.

(v) Se X ⊂ IRn é infinito e limitado, então X = φ (Bolzano-Weierstrass)

1.4 Limites e continuidade

Estudaremos agora noções de limites e continuidade para aplicações f : X → IRn ,com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicações como esta atrav́es de suas funçõescoordenadas:

A cada aplicação f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funções f 1, f 2, . . . , f n : X → IRdadas por f i = πi ◦ f ( i = 1, . . . , n ), ditas as FUNÇ ÕES COORDENADAS da aplicação f .

Para todo x ∈ X temos f (x) = (f 1(x), f 2(x), . . . , f n(x)) .Escrevemos f = (f 1, f 2, . . . , f n).

Limites:

Definição 1.14. Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ( a é ponto de acumulaç˜ ao de X ).Dizemos que b ∈ IRn é o LIMITE DE f (x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos

b = limx→a

f (x)

quando, para cada > 0 dado, é possı́vel obter δ > 0 tal que

x ∈ X, 0


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Continuidade:

Definição 1.17. Uma aplicaç˜ ao f : X ⊂ IRm → IRn é CONT ́ INUA NO PONTO a ∈ X

quando, para cada > 0 dado, é possı́vel obter δ > 0 tal que

x ∈ X, x − a < δ ⇒ f (x) − f (a) <

Se f como acima é cont́ınua em todos os pontos do conjunto X , dizemos simplesmente que

f é uma aplicaç˜ ao CONT ́ INUA.


Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja cont́ınua em a ∈ X é necess ́ario e suficiente que, para toda seq¨ ûencia (xk) em X com xk → a se tenha f (xk) → f (a) .


Uma aplicaç˜ ao f : X ⊂ IRm → IRn é cont́ınua se, e somente se, para cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f −1(A) é

um conjunto aberto em X (ou f −1(F ) é um conjunto fechado em X ).


A composta de duas aplicaç˜ oes cont́ınuas é cont́ınua.


Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicaç˜ ao f : X → IRn , cujas funç˜ oes coordenadas s˜ ao f 1, f 2, . . . , f n : X → IR , tem-se: f é cont́ınua em a se, e somente se, cada uma das suas funç˜ oes coordenadas f i = πi ◦ f : X → IR é cont́ınua no ponto a.Coroĺario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn dada por h(x) = (f (x), g(x)) . Ent˜ ao h é contı́nua se, e somente se, f e g s˜ ao ambas cont́ınuas.

Uma conseqüência deste corolário: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR são contı́nuasentão são também contı́nuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) ,(α.f ) : X → IRn dada por (α.f )(x) = α(x).f (x) , < f, g > : X → IR dada por< f, g > (x) = < f (x), g(x) >.

Obs.: Se, para obtermos f (x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f 1, f 2, . . . , f n) ),para cada função coordenada aplicada em x ( f i(x) ) submetemos as coordenadas do ponto

x = (x1, . . . , xm) a operações definidas por funções contı́nuas, então f é cont́ınua.

Exemplos: f (x, y) = ((sen x).y,x2y3, ex cos y) define uma função contı́nua f : IR2 → IR3.

A função determinante det : M n(IR) → IR é cont́ınua.


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10 CAP ́ITULO 1

Continuidade uniforme:

Ao estudarmos a continuidade de uma aplicação f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do

domı́nio X , o δ obtido para cada (veja a definição) depende, em geral, não apenas do dado, mas também depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f .

Quando, para cada dado, for posśıvel obter um δ que dependa apenas de e portanto

sirva (como na definição) para TODOS OS PONTOS DE X , temos um fenômeno conhecido

como Continuidade Uniforme:

Definição 1.22. Uma aplicaç˜ ao f : X ⊂ IRm → IRn é dita UNIFORMEMENTE CONT ́ INUAquando, para cada > 0 dado, é possı́vel obter δ > 0 tal que

x, y

∈ X,

x

−y

< δ

⇒ f (x)

−f (y)

<

Resultados relacionados com a continuidade uniforme: (?)

(i) Uma aplicação f = (f 1, . . . , f n) : X ⊂ IRm → IRn é uniformemente contı́nua se, e somentese, suas funções coordenadas f 1, . . . , f n : X → IRn o são.(ii) Uma aplicação f : X ⊂ IRm → IRn é uniformemente cont́ınua se, e somente se, para todopar de seqüências (xk), (yk) em X , com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f (xk) − f (yk)] = 0 .(iii) Se f : X ⊂ IRm → IRn é uniformemente contı́nua então, para todo a ∈ X , existe olimite limx→a f (x) .

Uma fonte natural de aplicações uniformemente cont́ınuas:

Definição 1.23. Uma aplicaç˜ ao f : X ⊂ IRm → IRn é dita LIPSCHITZIANA quando existe uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f ) tal que

f (x) − f (y) ≤ k. x − y ∀ x, y ∈ X

Alguns resultados:

(i) Toda aplicação lipschitziana é uniformemente contı́nua. (?)

(ii) Toda transformação linear A : IRm → IRn é lipschitziana (mostre), logo uniformementecont́ınua e portanto cont́ınua.

(iii) Se ϕ : IRm × IRn → IR p é uma aplicação bilinear (linear em cada componente) então ϕé lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.Portanto toda aplicação bilinear é contı́nua.

Exemplos: multiplicação de números reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canônico( < x, y > = x1y1 + . . . + xnyn ); multiplicação de matrizes ( ϕ(A, B) = A.B )


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(iv) As projeções πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm

( i = 1, 2, . . . , m ), são lineares, logo lipschitzianas e portanto cont́ınuas.

Homeomorfismos:

Definição 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre X e Y é uma bijeç˜ ao contı́nua f : X → Y cuja inversa f −1 : Y → X tamb́em é cont́ınua.Diz-se ent˜ ao que X e Y s˜ ao conjuntos homeomorfos.

Resultados imediatos:

(i) O inverso de um homeomorfismo é um homeomorfismo.

(ii) A composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo.

(iii) Se dois conjuntos X e Y são homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topológica,

ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva”

abertos de Y em abertos de X . (?)

Exemplos:

1) Qualquer aplicação linear invert́ıvel A : IRn → IRn é um homeomorfismo.

2) As translações T a : IRm → IRm , onde T a(x) = x + a, a ∈ IRm (fixado).3) As homotetias H λ : IR

m → IRm , onde H λ(x) = λ.x, 0 = λ ∈ IR (fixado).4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm são homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas

bolas fechadas arbitrárias no IRm ou duas esferas no mesmo espaço. (?)

5) Toda bola aberta no IRm é homeomorfa ao espaço IRm. (?)

6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicação cont́ınua. Seu GRÁFICO é o conjunto G ⊂IRm × IRn formado pelos pontos (x, f (x)) , com x ∈ X . O domı́nio X e o gráfico G daaplicação contı́nua f são homeomorfos.


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12 CAP ́ITULO 1

7) Sejam S m =

x ∈ IRm+1 ; < x,x > = 1 ⊂ IRm+1 a esfera unitária m-dimensional e p = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ S m seu POLO NORTE.

A PROJEÇ ˜AO ESTEREOGR

´AFICA ϕ : S

m

\ { p} → IRm

é um homeomorfismo.

1.5 Compacidade

Definição 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn ser´ a dito um conjunto COMPACTO quando for limitado e fechado.

Buscaremos agora novas caracterizações para os compactos do IRn:

Teorema 1.26. (?)

Um subconjunto K ⊂ IRn é compacto se, e somente se, toda seq¨ ûencia

(xk) ⊂ K possui uma subseq¨ uência convergente para um ponto de K .

Teorema 1.27. (?)

(Propriedade de Cantor) Dada uma seq¨ uência “decrescente” de conjuntos

compactos e n˜ ao-vazios K 1 ⊃ K 2 ⊃ . . . ⊃ K i ⊃ . . . , sua interseç˜ ao K =∞i=1

K i (limitada e

fechada) n˜ ao é vazia.

Lema 1.28. (?)

Todo conjunto X ⊂ IRn é separ ́avel, isto é, possui um subconjunto enumer´ avel E = {x1, x2, . . . , xl, . . .} ⊂ X, E denso em X .


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Lema 1.29. (Lindel¨ of) Considere um conjunto arbitr´ ario X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta X ⊂

Aλ admite uma subcobertura enumer´ avel.

Chegamos então ao resultado que nos interessa:

Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn é compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.

Demonstração:

(⇐) (Exercı́cio) (?)

(⇒) Borel-Lebesgue:Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).

Seja K ⊂

Aλ uma cobertura aberta de K .

Pelo Lema de Lindelöf, ela admite uma subcobertura enumerável

K ⊂∞i=1

Aλi = Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .

Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha

K i = K

(IRn

\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))K i ⊂ K (limitado) ⇒ K i é limitado.Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi é aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi) é fechado. Como K é fechado, temos

então que K i é fechado.

Assim, para todo i ∈ IN, K i é limitado e fechado.

Observemos agora que K ⊃ K 1 ⊃ K 2 ⊃ K 3 ⊃ . . . ⊃ K i ⊃ . . .

Dado x ∈ K , existe λi tal que x ∈ Aλi (pois K ⊂∞i=1

Aλi ) ⇒ x ∈ K i

Logo∞i=1

K i = φ .

Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que K i0 = φ e teremos

φ = K i0 = K

X \ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0 ) ⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0 )

Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.


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14 CAP ́ITULO 1

Destacamos a seguir os principais resultados relativos à compacidade:

Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn é uma aplicaç˜ ao

contı́nua, ent ̃ao sua imagem f (K ) é um conjunto compacto do IR

n

.

Coroĺario 1. (?)

(Weierstrass) Toda funç˜ ao real contı́nua f : K → IR definida num compactoK ⊂ IRm atinge seu m´ aximo e seu mı́nimo em K , isto é, existem pontos x1, x2 ∈ K tais que f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) para qualquer x ∈ K .

Coroĺario 2. (?) Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicaç˜ ao cont́ınua f : K → IRn é fechada,ou seja, se F ⊂ K é fechado, ent ̃ao f (F ) ⊂ IRn é fechado.

Coroĺario 3. (?)

A inversa de uma bijeç˜ ao cont́ınua definida num compacto é uma funç˜ ao

contı́nua, isto é, toda bijeç˜ ao cont́ınua definida num conjunto compacto é um homeomorfismo

sobre sua imagem.

Teorema 1.32. (?)

Toda aplicaç˜ ao contı́nua f : K → IRn definida num conjunto compactoK ⊂ IR

m

é uniformemente contı́nua.

1.6 Conexidade

Definição 1.33. Uma CIS ˜ AO de um conjunto X ⊂ IRn é uma decomposiç˜ ao X = A ∪ B ,onde A e B s˜ ao disjuntos ( A ∩ B = φ ) e abertos em X .

Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CIS ̃ AO TRIVIAL X = X ∪ φ .

Um conjunto X ⊂ IRn

é dito CONEXO quando s´ o admite a cis˜ ao trivial. Caso contr´ arioele é dito DESCONEXO.


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Uma decomposiç˜ ao X = A ∪ B é uma cis˜ ao de X se, e somente se, nenhum dos conjuntos A, B cont́em um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos

cl A

∩B = φ = A

∩ cl B .


X ⊂ IR é conexo se, e somente se, X é um intervalo da reta.

Destacamos a seguir o principal resultado relativo à conexidade:

Teorema 1.36. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn é uma aplicaç˜ aocontı́nua, ent ̃ao sua imagem f (X ) é um conjunto conexo do IRn.

Corolário 1. (?)

(Teorema do Valor Intermedi´ ario) Seja f : X → IR uma funç˜ ao real cont́ınua, definida num conjunto conexo X ⊂ IRm . Se existem a, b ∈ X e d ∈ IR tais que f (a) < d < f (b) , ent˜ ao existe c ∈ X tal que f (c) = d .

Veremos a seguir uma série de resultados sobre conexidade:


(Teorema da Alfˆ andega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexoC ⊂ IRn contém um ponto a ∈ X e um ponto b ∈ X , ent˜ ao C contém algum ponto da fronteira de X .

Sugestão: use que IRn = int X ∪ fr X ∪ int (IRn\X )

Lema 1.38. (?)

Seja X = A

∪B uma cis˜ ao do conjunto X

⊂ IRn . Se Y

⊂ X é conexo e

n˜ ao-vazio ent˜ ao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .


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16 CAP ́ITULO 1


Se X ⊂ IRn é conexo e X ⊂ Y ⊂ cl X , ent˜ ao Y é conexo.

Coroĺario 1. Se X ⊂ IRn é conexo e Y é formado a partir de X adicionando-se alguns ou

todos os pontos de seu fecho, ent˜ ao Y é conexo.

Teorema 1.40. A reuni˜ ao de uma famı́lia de conjuntos conexos com um ponto em comum é

um conjunto conexo.

Coroĺario 1. (?) A fim de que X ⊂ IRn seja conexo é (necess´ ario e) suficiente que, para quaisquer a, b ∈ X , exista um conjunto conexo C ab com a, b ∈ C ab ⊂ X .

Coroĺario 2. (?)

Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n é conexo se, e somente se, X e Y s˜ ao conexos.

Definição 1.41. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reuni˜ ao C x de todos os

subconjuntos conexos de X que contêm o ponto x.

É imediato que C x é o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que

contém o ponto x.

Segue também que, dados dois pontos x, y ∈ X , suas componentes conexas C x, C y emX , ou coincidem ou são disjuntas

(?).

Assim, a relação “x e y pertencem à mesma componente conexa em X ” é uma relação

de equivalência em X (?)

e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de

equival̂encia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X .


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Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se C x é a componente conexa do ponto x em X , ent˜ ao Dy = h(C x) é a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .

Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijeção entre as componentesconexas de X e as componentes conexas de Y .

(?)

(Exemplos)

Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn é uma aplicação contı́nua f : I → X definidanum intervalo I ⊂ IR.

Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f (I )

Por exemplo, se X é convexo então cada dois pontos a, b

∈ X podem ser ligados por um

caminho em X , a saber, o caminho retiĺıneo [a, b] = { t.a + (1 − t).b ; t ∈ [0, 1] }.Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X então existe um caminho

ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b. (?)

Um conjunto X ⊂ IRn é dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontosa, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X .

Por exemplo: todo conjunto convexo é conexo por caminhos.

Teorema 1.43. Todo conjunto conexo por caminhos é conexo. (Exerćıcio)

Obs.: Nem todo conjunto conexo é conexo por caminhos:

Exemplo: X = {(x, sen1/x) ; x ∈ (0, +∞)} ∪ {(0, 0)} ⊂ IR2 é conexo mas não é conexopor caminhos.

Isto não ocorre se o conjunto em questão for aberto:

Teorema 1.44. Se A

⊂ IRn é aberto e conexo ent˜ ao A é conexo por caminhos.

Prova: Exercı́cio.


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18 CAP ́ITULO 1

1.7 Norma de uma transformação linear

Seja A : IRm

→ IRn uma transformação linear.

Fixadas duas normas: m em IRm e n em IRn , existe c > 0 tal que

Axn ≤ c. xm ∀ x ∈ IRm

Temos então: xm = 1 ⇒ Axn ≤ c e podemos definir ...

Definição 1.45. Fixadas duas normas: m em IRm e n em IRn , definimos uma norma

(?)em L(IRm; IRn) = M n×m(IR) = IR

nm pondo, para cada transformaç˜ ao linear

A : IRm → IRn ∈ L(IRm; IRn) :

A = sup { Axn ; xm = 1 }

Proposição 1.46. Nas condiç˜ oes da definiç˜ ao acima, temos:

A = sup { Axn ; xm ≤ 1 }

= inf { c > 0 ; Axn ≤ c. xm ∀ x ∈ IRm

}

Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma

em L(IRm; IRn) = M n×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, não vamos esquecer que as normas

obtidas neste último espaço são todas equivalentes.


Nas mesmas condiç˜ oes da definiç˜ ao anterior, temos:

Axn ≤ A . xm ∀ x ∈ IRm

AB ≤ A . B se B ∈ L(IR p; IRm) e A ∈ L(IRm; IRn)

Obs.: Na segunda parte da proposição acima, consideramos a mesma norma em IRm .


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1.8 Exerćıcios

1. Se c

∈ [a, b] =

{ t.a + (1

−t).b ; t

∈ [0, 1]

} então

b

−a

=

b

−c

+

c

−a

. Se a norma

provém de um produto interno, vale a rećıproca. Para uma norma arbitrária, pode-se ter a

igualdade acima com c ∈ [a, b] .

2. Se a norma provém de um produto interno e a = b em IRn são tais que a ≤ r e b ≤ rentão (1 − t).a + t.b < r para todo t ∈ (0, 1) (ou seja, a esfera não contém segmentos dereta).

3. Qualquer que seja a norma adotada no IRn (n > 1), a esfera unitária S n−1 = { x ∈ IRn ; x = 1 }é um conjunto infinito.

4. Um conjunto X ⊂ IRn é dito CONVEXO quando, para todos os pares de pontos a, b ∈ X ,o SEGMENTO (RETILÍNEO) [a, b] = { t.a + (1 − t).b ; t ∈ [0, 1] } que os liga cumpre [a, b] ⊂X . Mostre que a interseção de uma famı́lia arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto

convexo.

5. Dado X ⊂ IRn, a ENVOLTÓRIA CONVEXA DE X é a interseção co(X ) de todos ossubconjuntos convexos do IRn que contêm X . Prove que co(X ) é o conjunto de todas as

combinações lineares α1x1 + . . . + αkxk tais que x1, . . . , xk ∈ X , α1 ≥ 0, . . . , αk ≥ 0 eα1 + . . . + αk = 1 .

6. Mostre que o fecho de qualquer conjunto convexo no IRn é também convexo.

7. As seguintes afirmações a respeito de uma seqüência (xk) de pontos do IRn são equivalentes:

(a) lim xk = +∞ ;(b) (xk) não possui subseqüência convergente ;

(c) Para todo conjunto limitado L ⊂ IRn, o conjunto dos ı́ndices k tais que xk ∈ L é finito.

8. Prove que lim xk = a em IRn se, e só se, lim < xk, y > = < a, y > para todo y ∈ IRn .

9. Toda matriz n × n é limite de uma seqüência de matrizes invertı́veis n × n .

10. Se nenhum ponto do conjunto X ⊂ IRn é ponto de acumulação então se pode escolher,para cada ponto x ∈ X , uma bola aberta Bx, de centro x, de tal maneira que, para x = yem X se tenha Bx ∩ By = φ .

11. Todo conjunto discreto é enumerável. Em outras palavras: todo conjunto não-enumerável

contém (pelo menos) um ponto de acumulação.


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20 CAP ́ITULO 1

12. Se A ⊂ IRn é aberto então sua fronteira fr A tem interior vazio. Dê exemplo de umconjunto X ⊂ IRn cuja fronteira fr X seja um conjunto aberto.

13. Se F ⊂ IRn é fechado então sua fronteira fr F tem interior vazio.

14. Seja E ⊂ IRn um subespaço vetorial. Se E = IRn então int E = φ .

15. A ⊂ IRn é aberto se, e somente se, A ∩ cl (IRn\A) = φ .

16. Seja B(X ; ) a reunĩao das bolas abertas B(x; ) de raio e centro em algum ponto

x ∈ X . Prove que cl X =>0

B(X ; ) .

17. (i) Mostre que para toda seqüência decrescente F 1 ⊃ F 2 ⊃ . . . ⊃ F k ⊃ . . . de conjuntosfechados e não-vazios F k ⊂ IRn , com lim diam F k = 0 ( diam X = sup { d(x, y) ; x, y ∈ X } ),existe um ponto a ∈ IRn tal que

∞k=1

F k = {a}.

(ii) (Teorema de Baire) Mostre que se F =∞k=1

F k , onde cada F k é fechado em IRn e tem

interior vazio, então int F = φ . (Sugestão: olhe o livro sobre Espaços Métricos do Elon)

(iii) O que podemos concluir se IRn =∞

k=1

F k , onde cada F k é fechado no IRn ?

18. Seja f : X → IRn cont́ınua. Dada uma seqüência xk em X com lim xk = a ∈ X ef (xk) ≤ c para todo k ∈ IN então f (a) ≤ c .

19. Sejam f, g : X → IRn contı́nuas no ponto a ∈ X . Se f (a) = g(a) então existe umabola B de centro a tal que x, y ∈ B ⇒ f (x) = g(x) .

20. Seja f : X → IRn contı́nua no ponto a ∈ X . Se f (a) não pertence a B[b; r] ⊂ IRnentão existe δ > 0 tal que x

∈ X,

x

−a

< δ

⇒ f (x)

∈ B[b; r] .

21. Sejam f : X → IRn e a ∈ X . Suponha que, para todo > 0, exista g : X → IRn ,contı́nua no ponto a, tal que f (x) − g(x) < para todo x ∈ X . Então f é cont́ınua noponto a .

22. Seja f : IRm → IRn cont́ınua. Se X ⊂ IRm é limitado então f (X ) ⊂ IRn é limitado.

23. Se f : IRm → IRn é cont́ınua então, para cada parte limitada x ⊂ IRm , a restrição f |X é uniformemente cont́ınua.


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24. Se a aplicação linear A : IRm → IRn é injetiva, então existe c > 0 tal que Ax ≥ c xpara todo x ∈ IRm .

25. Se B é a bola aberta de centro na origem e raio 1 no IRn, a aplicação contı́nua f : B → IRndefinida por f (x) =

x

1 − x não é uniformemente cont́ınua.

26. Considerando as seqüências de pontos z k = (k, 1/k) e wk = (k, 0) no IR2 , prove que

a aplicação ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = xy não é uniformemente cont́ınua. Useum argumento análogo para provar que uma aplicação bilinear ϕ : IRm × IRn → IR p só éuniformemente cont́ınua se for identicamente nula.

27. O cone C = (x,y,z ) ∈ IR3 ; z

≥ 0 , x2 + y2

−z = 0 é homeomorfo ao IR2 .

28. Estabeleça um homeomorfismo entre IRn+1\ {0} e S n × IR .

29. O quadrante P =

(x, y) ∈ IR2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0 é homeomorfo ao semi-plano superiorS = { (x, y) ; y ≥ 0 } .

30. Os conjuntos X =

(x, y) ∈ IR2 ; y = 0 , 0 < x


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22 CAP ́ITULO 1

37. O conjunto das matrizes n × n com determinante 1 é um conjunto fechado, ilimitado ecom interior vazio em IRn

2

.

38. O conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compactoe não-vazio.

39. As matrizes ortogonais n × n formam um subconjunto compacto do IRn2 .

40. Todo conjunto infinito X ⊂ IRn possui um subconjunto não-compacto.

41. Seja X ⊂ IRn . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado, então X é compacto.

42. Seja f : IRm

→ IRn

cont́ınua. As seguintes afirmações são equivalentes:

(a) limx→∞

f (x) = ∞ ;(b) A imagem inversa f −1(K ) de todo compacto K ⊂ IRn é compacta.

43. Sejam X ⊂ IRm , K (compacto) ⊂ IRn , f : X × K → IR p cont́ınua e c ∈ IR p . Suponhaque, para cada x ∈ X , exista um único y ∈ K tal que f (x, y) = c . Prove que esse ydepende continuamente de x .

44. Toda aplicação localmente lipschitziana definida num conjunto compacto é lipschitziana.

45. Um subconjunto conexo não-vazio X ⊂ Qn consta de um único ponto.

46. Um conjunto conexo enumerável X ⊂ IRn possui no máximo um ponto.

47. O conjunto das matrizes invert́ıveis n × n é um aberto desconexo em IRn2 . Também édesconexo (mas não aberto) o conjunto das matrizes ortogonais.

48. Se X ⊂ IRn é compacto, então toda aplicação contı́nua aberta f : X → S n é sobrejetiva.

49. Seja X ⊂ IRm . Uma aplicação f : X → IRn diz-se localmente constante quandopara cada x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f |(B∩X ) é constante. X é conexose, e somente se, toda aplicação localmente constante f : X → IRn é constante.

50. Se X ⊂ IRn é conexo por caminhos e f : X → IRn é cont́ınua, ent̃ao f (X ) é conexopor caminhos.

51. Se X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn são conexos por caminhos então X × Y ⊂ IRm+n é conexo porcaminhos.


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52. A reunião de uma faḿılia de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum

é conexa por caminhos.

53. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode n ão ser conexo por caminhos.

54. As componentes conexas de um subconjunto aberto em IRn são conjuntos abertos.

55. Dada uma aplicação linear A : IRm → IRn e fixadas normas em IRm e IRn, a imagem porA da esfera unitária S = { x ∈ IRm ; x = 1 } é um conjunto limitado no IRn . Pondo, paracada A ∈ L(IRm; IRn) , A = sup { Ax ; x ∈ S } , a função A → A é uma norma noespaço vetorial L(IRm; IRn) , para a qual vale a desigualdade Ax ≤ A · x para todox

∈ IRm . Além disso, se A

∈ L(IRm; IRn) e B

∈ L(IRn; IR p) então, fixadas normas em

IRm , IRn e IR p , tem-se BA ≤ B · A .

56. Seja G o grupo das matrizes invert́ıveis n × n . Mostre que se A ∈ G e Ax ≥ |c| . xpara todo x ∈ IRn então A−1 ≤ 1/c . Conclua que se X ∈ G e X − A < c/2 entãoX −1 ≤ 2/c . Em seguida, use a identidade X −1 − A−1 = X −1(I − XA−1) para mostrarque lim

X →AX −1 = A−1 . Logo, f : G → G dada por f (X ) = X −1 é cont́ınua.

57. Dada A ∈ L(IRm; IRn) , supomos fixadas normas em IRm e IRn e definimos, como antes,

A

= sup

{ Ax

; x

∈ IRm ,

x

= 1

} . Mostre que, com essa definição de

A

, temos

também A = inf { c ∈ IR ; Ax ≤ c x para todo x ∈ IRm } .

58. Defina convergência e convergência absoluta (ou normal) de uma série

xk , cujos

termos xk = (xk1, xk2, . . . , xkn) pertencem ao IRn . Prove que a série

xk converge (resp.

converge absolutamente) se, e somente se, para cada i = 1, . . . , n , a série

k xki converge

(resp. converge absolutamente). Conclua que toda série absolutamente convergente no IRn é

convergente.

59. Dada uma seqüência de aplicações lineares Ak : IRm

→ IRn , suponha que para todo

x ∈ IRm exista Ax = limk→∞

Akx . Prove que a aplicação linear A : IRm → IRn assim definida é

linear, que lim Ak = A relativamente a qualquer norma em L(IRm; IRn) e que a convergência

Akx → Ax é uniforme em qualquer parte limitada de IRm .

60. Mostre que para toda aplicação X ∈ L(IRn) IRn2 , a série∞k=0

X k

k! é absolutamente

convergente. Indiquemos sua soma por eX . Usando que eX · eY = eX +Y se XY = Y X ,conclua que para toda X ∈ L(IRn) temos que eX é invertı́vel, com (eX )−1 = e−X .


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24 CAP ́ITULO 1


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Caṕıtulo 2

Diferenciabilidade

2.1 Definição: diferenciabilidade de uma aplicação

Definição 2.1. Uma aplicaç˜ ao f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferenci´ avel no ponto a ∈ U quando existe uma transformaç˜ ao linear T : IRm → IRn tal que, para todov ∈ IRm com a + v ∈ U , temos

f (a + v) = f (a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

v

= 0

A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximação

linear”para f numa vizinhança de a. Essa boa aproximação de f (a + v) por f (a) + T (v) numa

vizinhança de a é expressa pela condição limv→0

r(v)

v = 0.

Pondo ρ(v) = r(v)

v se v = 0 e ρ(0) = 0 , podemos exprimir a diferenciabilidade de f noponto a por:

f (a + v) = f (a) + T (v) + ρ(v)·

v

com limv→0

ρ(v) = 0

Alguns resultados imediatos:

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicação diferenciável no ponto a ∈ U .Então existe uma transformação linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com

a + v ∈ U :f (a + v) = f (a) + T (v) + ρ(v) · v com lim

v→0ρ(v) = 0

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26 CAP ́ITULO 2

(A) f é cont́ınua em a

Antes do próximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.

Seja f : U

→ IRn definida num aberto U

⊂ IRm.

A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm é, pordefinição:

∂f

∂v(a) = l im

t→0

f (a + tv) − f (a)t

∈ IRn quando existir tal limite

Se f = (f 1, f 2, . . . , f n) , onde f i : U → IR (i = 1, . . . , n) são as funções coordenadas def , então

∂f

∂v

(a) = ∂f 1

∂v

(a) , . . . , ∂f n

∂v

(a)Quando v = e j é o j-ésimo vetor da base canônica do IR

m, escrevemos ∂f

∂x j(a).

(B) T (v) = ∂f

∂v(a) ∀ v ∈ IRm


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Diferenciabilidade 27

Conseqüências de (B):

(i) A derivada direcional de f em a , se f é diferenciável em a, depende linearmente do

vetor relativamente ao qual é considerada.

(ii) A transformação linear T : IRm → IRn que dá a boa aproximação para f perto dea é única e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f (a) ou Df (a).

(iii) Podemos obter a matriz que representa a transformação linear f (a) em relação às

bases canônicas de IRm e IRn, que será uma n × m matriz chamada a matriz jacobiana de f no ponto a e indicada por Jf (a). Sua j-ésima coluna é dada por

f (a).e j = T (e j) = ∂f

∂x j(a) =

∂f 1∂x j

(a) , . . . , ∂f n∂x j

(a)

∈ IRn

onde e j é o j-ésimo vetor da base canônica do IRm ( j = 1, 2, . . . , m).

Então:

Jf (a) = [f (a)] =

∂f 1∂x1

(a) ∂f 1

∂x2(a) . . .

∂f 1∂xm

(a)

∂f 2∂x1

(a) ∂f 2

∂x2(a) . . .

∂f 2∂xm

(a)

... ...

...

∂f n∂x1

(a) ∂f n

∂x2(a) . . .

∂f n∂xm

(a)

(C) Temos: f (a + v) = f (a) + f (a)(v) + r(v) com limv→0

r(v)

v = 0

Se f = (f 1, f 2, . . . , f n) e r = (r1, r2, . . . , rn) , a condição acima é equivalente a

f i(a + v) = f i(a) +

∂f i∂x1

(a) ∂f i∂x2

(a) . . . ∂f i∂xm

(a)

· v + ri(v) com lim

v→0

ri(v)

v = 0

para todo

∀ i = 1, 2, . . . , n.

Temos então o ...


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28 CAP ́ITULO 2

Teorema 2.2. A aplicaç˜ ao f : U → IRn é diferenci ́avel no ponto a ∈ U se, e somente se,cada uma das suas funç˜ oes coordenadas f 1, f 2, . . . , f n : U → IR é diferencí avel em a.

Coroĺario 1. A aplicaç˜ ao f = (g, h) : U → IRn

× IR p

, dada por f (x) = (g(x), h(x)) é diferenci´ avel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicaç˜ oes g : U → IRn e h : U → IR p é diferenci ́avel em a.

Em caso afirmativo, temos: f (a) = (g(a), h(a)) : IRm → IRn × IR p.

2.2 Exemplos de aplicações diferenciáveis

A) Aplicações constantes: Uma aplicação constante é diferenciável em todo ponto e sua

derivada em qualquer ponto é a transformação linear nula O .

B) Transformações lineares: Qualquer transformação linear T : IRm → IRn é diferen-ciável em todos os pontos a ∈ IRm e DT (a) = T (a) = T ∀ a ∈ IRm.

C) Aplicações bilineares: Qualquer aplicação bilinear ϕ : IRm× IRn → IR p é diferenciávelem cada ponto (a, b) ∈ IRm × IRn e ϕ(a, b) = Dϕ(a, b) : IRm × IRn → IR p é a transformaçãolinear dada por:

ϕ(a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) ∀ (v, w) ∈ IRm × IRn


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D) Aplicações k-lineares: Qualquer aplicação k-linear µ : IRm1 × IRm2 × . . .× IRmk → IR pé diferenciável em cada ponto (a1, a2, . . . , ak) e

Dµ(a1, . . . , ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)

Exemplo: det : IRn2

= IRn × IRn × . . . × IRn → IR é n-linear e portanto é diferenciável emcada n × n matriz real A. Dada A = (A1, A2, . . . , An) , onde cada Ai = (ai1 ai2 . . . ain) éa i-ésima linha de A, temos que det(A) : IRn

2 → IR é a transformação linear dada por

det(A)(V ) =n

i=1det(A1, . . . , Ai−1, V i, Ai+1, . . . , An) ∀ n × n matriz real V


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30 CAP ́ITULO 2

E) A derivada da “análise na reta” :

Sejam f : U (aberto) ⊂ IR → IR e a ∈ U .

Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite

limt→0

f (a + t) − f (a)t

= f (a) ∈ IR

Já vimos que f é derivável em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que,para todo t ∈ IR onde a + t ∈ U , tenhamos

f (a + t) = f (a) + c · t + r(t) com limt→0

r(t)

t = 0

Em caso afirmativo, temos ainda que f (a) = c.

Se considerarmos a transformação linear T : IR → IR dada por T (x) = c.x ∀x ∈ IR eobservarmos que lim

t→0

r(t)

t = 0 ⇔ lim

t→0

r(t)

|t| = 0 podemos ent̃ao concluir que

f é derivável em a ⇔ f é diferenciável em a

F) Caminhos diferenciáveis:

Um caminho em IRn é uma aplicação f : I

→ IRn cujo domı́nio é um intervalo I

⊂ IR.

O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ int I édefinido por:

df

dt(a) = l im

t→0

f (a + t) − f (a)t

∈ IRn desde que esse limite exista


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Temos f = (f 1, f 2, . . . , f n) , f i : I → IR , i = 1, 2, . . . , n .O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada f i for derivável

(ou seja, diferenciável) em a. Isto ocorrerá portanto se, e somente se, f for diferenciável ema. (ver teorema 2.2).

Teremos, em caso afirmativo:

df

dt(a) =

df 1dt

(a)

...

df ndt

(a)

=

f 1(a)

...

f n(a)

que pode ser “visto” tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidade df

dt(a) de f em a)

quanto como uma transformação linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por

f (a)(t) = df

dt(a) · t ).

Aplicação: Dada uma aplicação f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferenciável em a ∈ U ,tentaremos obter, via caminhos, uma interpretação para f (a)(v) , onde v ∈ IRm.

Dado v

∈ IRm, consideremos um caminho α : (

−, )

→ U

⊂ IRm dado por

α(t) = a + tv

Temos que ∃ dαdt

(0) = limt→0

α(0 + t) − α(0)t

= limt→0

a + tv − at

= v (v é o vetor veloci-

dade de α em t = 0)

Geometricamente, a imagem do caminho α é uma curva (neste caso um segmento de reta)

em U , passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.

Vamos agora olhar para o caminho γ = f ◦ α : (−, ) → f (U ) ⊂ IRn , correspondente àaplicação de f ao caminho α (composição).

Geometricamente, a imagem do caminho γ é uma curva em f (U ) , passando por f (a).

Temos:

∃ dγ dt

(0) = limt→0

(f ◦ α)(t) − (f ◦ α)(0)t

= limt→0

f (a + tv) − f (a)t

= ∂f

∂v(a) = f (a)(v)


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32 CAP ́ITULO 2

Portanto, f (a)(v) é o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, é o vetor tangente

à imagem de γ , em f (a) ):

2.3 Funções reais de m variáveis

Seja f : U ⊂ IRm → IR uma função real de m variáveis definida num aberto U ⊂ IRm.

Temos: f é diferenciável em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformação linearT : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a + v ∈ U , temos:

f (a + v) = f (a) + T (v) + r(v) com limv→0

r(v)

v = 0

Em caso afirmativo, temos T = f

(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.

Equivalentemente, f é diferenciável em a ∈ U se, e somente se, existirem constantesA1, A2, . . . , Am tais que, para todo v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a + v ∈ U , tem-se:

f (a + v) = f (a) + A1v1 + A2v2 + . . . + Amvm + r(v) com limv→0

r(v)

v = 0

Como Jf (a) =

∂f ∂x1

(a) ∂f ∂x2

(a) . . . ∂f ∂xm

(a)

, chegamos a outra definição equivalente:

f é diferenciável em a ∈ U se, e só se, existirem as derivadas parciais ∂f ∂x1

(a), . . . , ∂f

∂xm(a)

e, para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a + v ∈ U tivermos

f (a + v) = f (a) + ∂f

∂x1(a).v1 + . . . +

∂f

∂xm(a).vm + r(v) com lim

v→0

r(v)

v = 0


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A diferencial

Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma função diferenciável em a ∈ U .Sua derivada f (a) , em a, é uma transformação linear f (a) : IRm → IR, ou seja, um

funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df (a) e chamaremos a diferencial de f

no ponto a:

df (a) = f (a) : IRm → IR , df (a) ∈ (IRm)∗

Para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm, temos: df (a)(v) = ∂f ∂v

(a) =m

j=1

∂f

∂x j(a).v j

Nosso interesse agora será, uma vez que df (a) ∈ (IRm

)∗

, exprimir df (a) como combinaçãolinear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da

base canônica de IRm:

Sejam B = {e1, e2, . . . , em} a base canônica do IRm e B∗ sua base dual, em (IRm)∗.

Temos B∗ = {π1, π2, . . . , πm} , onde π j : IRm → IR é dado por π j(x1, . . . , xm) = x j , paratodo j = 1, 2, . . . , m (π j é a projeção na j-ésima coordenada).

´E comum denotarmos π j por x j . Logo B

∗

= {x1, x2, . . . , xm} (aqui cada x j é umfuncional linear).

Para todo j = 1, . . . , m temos que x j = π j : IRm → IR é uma transformação linear, logo

diferenciável em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto é a própria

transformação linear x j .

Portanto: x j = dx j(x) ∀ x ∈ IRm, ∀ j = 1, . . . , m. Logo escreveremos x j = dx j , paratodo j = 1, . . . , m.

Assim, B∗ = {dx1, dx2, . . . , d xm} é a base dual da base canônica do IRm.

Para todo j = 1, . . . , m temos: df (a)(e j) = ∂f

∂x j(a) e pela relação entre B e B∗ , temos:

df (a) = ∂f

∂x1(a).dx1 +

∂f

∂x2(a).dx2 + . . . +

∂f

∂xm(a).dxm

Conseguimos portanto escrever df (a) como combinação linear dos funcionais da base B∗

(que são também diferenciais), dual da base canônica B de IRm.


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34 CAP ́ITULO 2

Uma útil condição suficiente

Teorema 2.3. Se uma funç˜ ao f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhança de a ∈ U e cada uma delas é cont́ınua no ponto a ∈ U , ent˜ aof é diferenci ́avel em a.


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Um exemplo interessante

Seja f : U

⊂ IR2

→ IR uma função cont́ınua definida num aberto U

⊂ IR2.

Considere o conjunto S = gr f = {(x,y,f (x, y)); (x, y) ∈ U } ⊂ IR3 (gráfico de f ).Seja g : U → S a aplicação dada por g(x, y) = (x,y,f (x, y)).Temos g = (g1, g2, g3) , sendo suas funções coordenadas dadas por:

g1(x, y) = x , g2(x, y) = y , g3(x, y) = f (x, y)

Já vimos que g é um homeomorfismo de U em S , ou seja, S é topologicamente idêntico a

um “pedaço” U do plano (S é uma superf́ıcie).

Consideremos agora f diferenciável em a ∈ U .É imediato então que g é diferenciável em a (olhe para as funções coordenadas de g).

Fixemos v ∈ IR2.O caminho α : (

−, )

→ U dado por α(t) = a + tv é geometricamente um segmento de

reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)

Temos então (veja Aplicação do exemplo F) que g ◦ α : (−, ) → S é um caminho cujaimagem é uma curva em S , passando por g(a) e tendo neste ponto g

(a)(v) como vetor tan-gente:


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36 CAP ́ITULO 2

Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g(a)(v) fornece um vetortangente a uma curva na superfı́cie S , no ponto g(a)

Vamos dar uma olhada para

Jg(a) = [g(a)] =

∂g1∂x (a) ∂g1

∂y (a)

∂g2∂x

(a) ∂g2

∂y (a)

∂g3∂x

(a) ∂g3

∂y (a)

=

1 0

0 1

∂f

∂x(a)

∂f

∂y(a)

(matriz de g(a) em relação às bases canônicas)

Temos que a dimensão da imagem de g(a) é igual a 2 e portanto o conjunto dado por

T g(a)(S ) =

g(a) + g(a)(v), v ∈ IR2 é um plano (plano tangente ao gráfico S de f emg(a) = (a, f (a)) ).


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2.4 Exerćıcios

1. (Derivadas direcionais) Sendo f (x)(h) = limt→

0

f (x + th) − f (x)t

e admitindo a existência

das derivadas em questão, calcule:

a) f (z )(h), com z = (4, −1), h = (1, 2) e f : IR2 → IR2 dada por f (x) = (x2 + y, x + y2).b) ϕ(x)(v), onde x, v ∈ IRm são vetores quaisquer e ϕ : IRm → IR é definida porϕ(x) = f (x).g(x), sendo f, g : IRm → IR funcionais lineares.c) ξ (x)(h), onde h ∈ IRm é um vetor arbitrário e ξ : U → IR é definida do seguinte modono aberto U ⊂ IRm : são dadas f, g : U → IR p diferenciáveis e ξ (x) = < f (x), g(x) > , paratodo x ∈ U , é o produto interno dos vetores f (x) e g(x).

2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaço das matrizes n

×n (se achar conveniente, identifique

E com IRn2). Defina f : E → E pondo f (X ) = X 3 para cada matriz X . Mostre que f é

diferenciável em todos os pontos de E (use o método do exerćıcio anterior para determinar o

candidato a f (X )).

3. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f , g : U → IRn diferenciáveis no ponto a ∈ U ,

com f (a) = g(a). Mostre que f (a) = g (a) se, e só se, limv→0

f (a + v) − g(a + v)v = 0.

4. (Diferenciabilidade e matriz Jacobiana) Seja f : IR3

→ IR4 dada por

f (x,y,z ) = (x2 − y2,xy,xz,zy)a) Prove que f é diferenciável em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana.

b) Mostre que a derivada f (x,y,z ) : IR3 → IR4 é uma transformação linear injetora, excetono eixo Oz (isto é, para x = y = 0).

c) Determine a imagem de f (0, 0, z ) : IR3 → IR4.

5. (Derivada) Seja f : U → IRn diferenciável no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, oconjunto f −1(b) possui um ponto de acumulação a

∈ U então f (a) : IRm

→ IRn não é injetiva.

6. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR3 dada porf (x, y) = (x2, y2, (x + y)2)

Mostre que f (x, y) : IR2 → IR3 tem posto 2, exceto na origem (isto é, f (x, y)(e1) e f (x, y)(e2)são linearmente independentes salvo quando x = y = 0).

7. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferenciável, com f (0) = 0. Se a transformação linear f (0)não tem valor próprio 1 então existe uma vizinhança V de 0 em IRm tal que f (x) = x paratodo x ∈ V − {0}.


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38 CAP ́ITULO 2

8. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 dada por

f (x,y,z ) = (x + y + z, x2 + y2 + z 2, x3 + y3 + z 3)

Mostre que f (x,y,z ) : IR3 → IR3 é uma aplicação biuńıvoca, salvo se duas das coordenadasx,y,z são iguais.

9. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn2

o espaço vetorial formado pelas matrizes n × n. Indi-cando com X ∗ a transposta de uma matriz X , considere a aplicação f : E → E definida porf (X ) = XX ∗. Descreva a derivada f (X ) : E → E . Mostre que f (X )(H ) é simétrica, paracada H ∈ E e que se X é ortogonal (isto é, X ∗ = X −1) então, para toda matriz simétrica S ,existe pelo menos uma matriz H tal que f (X )(H ) = S .

10. (Máximos e mı́nimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge ummáximo (ou mı́nimo) relativo no ponto x ∈ U , e f é diferenciável no ponto x, então f (x) = 0(transformação linear nula).

11. (Condições necessárias, não suficientes) Obtenha aplicações f : U (aberto)⊂ IRm → IRntais que:

a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas não existem todas as derivadas

direcionais (f não é diferenciável neste ponto).b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f não é contı́nua nesse ponto

(f não é diferenciável neste ponto).

c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f não é contı́nua nesse ponto

(f não é diferenciável neste ponto).

d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f é contı́nua nesseponto, mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, não dependelinearmente de v (f não é diferenciável neste ponto).

e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a

∈ U , f é cont́ınua nesse ponto,

a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v ,mas f não é diferenciável neste ponto.

12. (Derivada do determinante) Seja E = IRn2

o espaço vetorial das matrizes n × n. Sabemosque a função determinante det : E → IR é diferenciável em toda matriz A ∈ E (ver exemploD nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4 × 4, a validade da expressão∂ det

∂xij(A) = (−1)i+ j det A[i,j], onde A[i,j] é a n − 1× n−1 matriz obtida eliminando-se a i-ésima

linha e a j-ésima coluna da matriz A (a expressão foi obtida também no exemplo D), escolhendo

uma variável xij.


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13. (Caminhos diferenciáveis) Determine as equações paramétricas das retas tangentes às

seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados:

a) g : t

→ (x,y,z ) = (t, t2, t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.

b) f : t → (x,y,z ) = (t − 1, t2, 2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.c) h : t → (x,y,z ) = (2 cos t, 2sen t, t) nos pontos correspondentes a t = π/2 e t = π .

14. (Caminhos diferenciáveis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho

y = y(t) : I ⊂ IR → IR p tal que:

y(n)(t) = F (t, y(t), y(t), y(t),...,y(n−1)(t))

y(0) = η1

y

(0) = η2...

y(n−1)(0) = ηn

São dados

F : IRnp+1

→ IR p

η1, η2,...,ηn ∈ IR p

Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equações de primeira

ordem, que equivale ao problema da forma:

x1(t) = f 1(t, x1(t), x2(t),...,xn(t))

x2(t) = f 2(t, x1(t), x2(t),...,xn(t))

...xn(t) = f n(t, x1(t), x2(t),...,xn(t))

x1(0) = η1

x2(0) = η2

...

xn(0) = ηn

x1, x2,...,xn : I

⊂ IR

→ IR p

São dados

f 1, f 2,...,f n : IRnp+1 → IR p

η1, η2,...,ηn ∈ IR p

Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:

x

(t) = f (t, x(t))x(0) = η0

x : I ⊂ IR → IRnpSão dados

f : IRnp+1 → IRnpη0 ∈ IRnp

Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autônomo

(“independente” de t):

w(t) = g(w(t))

w(0) = η w : I ⊂ IR → IRnp+1

São dados

g : IRnp+1 → IRnp+1η ∈ IRnp+1


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40 CAP ́ITULO 2

15. (Caminhos diferenciáveis, EDOs) Usando a idéia do exerćıcio anterior, reduza cada pro-

blema abaixo a um formado por uma única equação de primeira ordem:

a) y + y2 = 0, y(0) = a, y(0) = b, y = y(t) : I ⊂

IR →

IR

b) (1 − t2)y − 2ty + 2y = 0, y(0) = a, y(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IRc) y − 2y + 3y − y = 0, y(0) = a, y (0) = b, y(0) = c, y = y(t) : I ⊂ IR → IR

16. (Caminhos diferenciáveis, EDOs) Consideremos o problema:

x(t) = f (t, x(t))

x(0) = x0

São dados

f : IRn+1 → IRn, cont́ınuax0 ∈ IRn

a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR → IRn é solução do problema acima se, e somente se:

x(t) = x0 +

t0

f (s, x(s)) ds , para todo t ∈ I

b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f é lipschitziana em relação

à variável x (existe uma constante k > 0 tal que ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ k ||x − y||, para todos(t, x), (t, y) ) numa vizinhança de (0, x0) então existe uma solução para o problema acima,

definida numa vizinhança de t = 0 de modo único. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece

uma seqüência de caminhos x1, x2,... : I → IRn

que converge para a solução, seqüência estadada por:

x1(t) = x0 , x2(t) = x0 +

t0

f (s, x1(s))ds , ..., xn+1(t) = x0 +

t0

f (s, xn(s))ds ,...

Use a seqüência acima para obter a única solução x = x(t) : IR → IRn do problema:

x(t) = A(x(t)) (x = Ax)

x(0) = x0

A : IRn → IRn, linear, n × n matriz de coef. constantesx0 ∈ IRn

OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes

x = Ax se encontram não só no fato de que uma série de problemas são desta natureza,

bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo

diz que, dado um problema x = f (x), f ∈ C 1 (note que f não é necessariamente linear), sex0 é ponto singular (f (x0) = 0) e os autovalores de Df (x0) têm todos parte real não nula

(neste caso x0 é dito ser um ponto singular hiperbólico), então o comportamento das soluções

x = x(t) numa vizinhança de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das soluções dosistema linear x = Df (x0)x (repare que este é linear) numa vizinhança de 0 (origem do IR

n).


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17. (Funções reais de m variáveis) Mostre que se uma função f : U (aberto)⊂ IRm → IR possuiderivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhança de a ∈ U e m −1 delas são contı́nuasno ponto a, então f é diferenciável em a.

18. (Gráficos de funções, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma função contı́nuadefinida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = {(x,y,f (x, y))|(x, y) ∈ U } ⊂ IR3 (gráfico de f ),sabemos que g : U → S dada por g(x, y) = (x,y,f (x, y)) é um homeomorfismo entre U e S (dê uma olhada na Seção 2.3). Se f é diferenciável em um ponto a ∈ U então é imediato queg também é diferenciável em a e sabemos que existe o Plano Tangente a S (gráfico de f ) no

ponto g(a): T g(a)(S ).

Seja f : IR2 → IR a função dada por f (x, y) = x2 + y2.Faça um esboço de S (gráfico de f ).

Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2, 1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos ocaminho γ = γ (t) : IR → IR2 dado por γ (t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ é umareta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g ◦ γ )(IR)é uma curva em S (lembremos que g(x, y) = (x,y,f (x, y)), conforme acima) e que o vetor

tangente a (g ◦ γ )(IR) no ponto g(a), dado por (g ◦ γ )(0) = g (a)(v), é um vetor tangente a S em g(a) (g(a) + g(a)(v) ∈ T g(a)(S )).

Dados os vetores v1 = e1 = (1, 0), v2 = e2 = (0, 1), v3 = (2, 1), v4 = (1, 3), v5 = (3, −2)em IR2, utilizando a Matriz Jacobiana de g em a = (2, 1), calcule g(a)(vi), i = 1, ..., 5 (alguns

vetores tangentes a S em g(a) = (2, 1, 5)), faça um esboço considerando os vetores tangentes

g(a)(v1) e g(a)(v2) e finalmente verifique que todos esses cinco vetores tangentes a S em

g(a) = (2, 1, 5) são coplanares, como era de se esperar.

19. (Gráficos de funções, planos tangentes) Com as mesmas considerações do exercı́co anterior

para uma função f : U

⊂ IR2

→ IR definida num aberto U

⊂ IR2, determine os Planos

Tangentes a S (gráfico de f ) nas situações abaixo (faça os esboços):

a) f 1(x, y) = x2 + y2 . Determine T (0,0,f 1(0,0))(S ) e T (1,2,f 1(1,2))(S ) .

b) f 2(x, y) = x2 − y2 . Determine T (0,0,f 2(0,0))(S ) e T (1,2,f 2(1,2))(S ) .

c) f 3(x, y) = (4 − (x2 + y2))1/2 . Determine T (0,0,f 3(0,0))(S ) e T (1,1,f 3(1,1))(S ) .


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42 CAP ́ITULO 2

2.5 A Regra da Cadeia

Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U

⊂ IRm e V

⊂ IRn conjuntos abertos,

f : U → IRn uma aplicaç˜ ao diferenci´ avel no ponto a ∈ U , com f (U ) ⊂ V e g : V → IR puma aplicaç˜ ao diferenci´ avel no ponto b = f (a) ∈ V .Ent˜ ao a aplicaç˜ ao composta g ◦ f : U → IR p é diferenci ́avel no ponto a e temos ainda que

(g ◦ f )(a) = g(b) ◦ f (a) : IRm → IR p


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Algumas conseqüências:

(A) Interpretação geométrica para f (a)(v):

Coroĺario 1. Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicaç˜ ao diferenci´ avel em a ∈ U . Dado v ∈ IRm,seja α : (−, ) → U um caminho em U , diferenci´ avel em t = 0 (existe vetor velocidade em t = 0), com α(0) = a e α(0) = v.

Ent˜ ao f (a)(v) é o vetor velocidade do caminho f ◦ α : (−, ) → IRn em t = 0 (geometri-camente é o vetor tangente à curva (f ◦ α) (−, ) em f (a) ).

(B) Derivada da aplicação inversa:

Coroĺario 2. Seja f : U → IRn diferenci´ avel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma inversa g = f −1 : V → IRm , V ⊂ IRn (f (U ) = V, g(V ) = U, f ◦ g = idV e g ◦ f = idU )que é diferenci ́avel no ponto b = f (a).Ent˜ ao f (a) : IRm → IRn é um isomorfismo cujo inverso é g(b) : IRn → IRm e em particular temos que m = n.


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44 CAP ́ITULO 2

(C) Regra da Cadeia e derivadas parciais:

Coroĺario 3. No teorema anterior, suponha f = (f 1, f 2, . . . , f n) e g = (g1, g2, . . . , g p).

Ent˜ ao para cada i = 1, . . . , p e j = 1, . . . , m , temos:

∂ (gi ◦ f )∂x j

(a) =n

k=1

∂gi∂yk

(b) · ∂f k∂x j

(a)

(D) Regras de diferenciação:

Coroĺario 4. Sejam f, g : U → IRn diferenci´ aveis no ponto a ∈ U (aberto) ⊂ IRm e λ um n´ umero real. Ent˜ ao:

f + g : U → IRn é diferenci ́avel em a , com (f + g)(a) = f (a) + g(a)

λf : U → IRn é diferenci ́avel em a , com (λf )(a) = λ · f (a)Se ϕ : IRn

× IRn

→ IR p é uma aplicaç˜ ao bilinear ent˜ ao a aplicaç˜ ao ϕ(f, g) : U

→ IR p ,

definida por x → ϕ(f (x), g(x)) é diferencí avel no ponto a , com

[ϕ(f, g)] (a)(v) = ϕ (f (a)(v), g(a)) + ϕ (f (a), g(a)(v))


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Algumas aplicações:

(i) “Derivada do produto”: Sejam f, g : U ⊂ IR → IR diferenciáveis (deriváveis) ema ∈ U . Então f g : U → IR dada por f g(x) = f (x) · g(x) é derivável em a com

(f g) (a) = f (a) · g(a) + f (a) · g(a)

(ii) Seja f : IRm → IR dada por f (x) = x2 = < x, x > . Então

f (a)(v) = 2 < v,a > ∀ v, a ∈ IRm

(iii) Seja n : IRm → IR dada por n(x) = x = < x, x >1/2 (norma proveniente de umproduto interno). Então

n(a)(v) = < v, a >< a, a >1/2

∀ v ∈ IRm, a = 0 ∈ IRm


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46 CAP ́ITULO 2

2.6 Teorema/Desigualdade do valor médio

Tentaremos agora generalizar o Teorema do Valor Médio de Lagrange, estudado no

curso de análise na reta.

Teorema 2.5. (Generalizaç˜ ao do TVM de Lagrange da “An´ alise na Reta”)

Seja f : U ⊂ IRm → IR diferenci´ avel em todos os pontos do segmento de reta aberto(a, a + v) = { a + tv , 0 < t 1, aparece sob a forma de desigualdade.

Isto não impede que dele seja extráıda uma série de resultados significativos, conformeveremos adiante.


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Teorema 2.6. (“Vers˜ ao fraca” da Desigualdade do Valor Médio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenci´ avel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a + v) e tal que sua restriç˜ ao ao segmento de reta fechado [a, a + v] ⊂ U seja cont́ınua.Ent˜ ao existem uma constante real θ > 0 e um ponto ci0 ∈ (a, a + v) tais que

f (a + v) − f (a) ≤ θ. f (ci0)(v) ≤ θ. f (ci0) . v

Em particular, se f (x) ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) , temos

f (a + v) − f (a) ≤ θ.M. v se f (x) ≤ M


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48 CAP ́ITULO 2

Teorema 2.7. (“Vers˜ ao completa” da Desigualdade do Valor Médio)

Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenci´ avel em cada ponto do segmento de

reta aberto (a, a + v) e tal que sua restriç˜ ao ao segmento de reta fechado [a, a + v] ⊂ U seja cont́ınua.Se f (x) ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) ent˜ ao f (a + v) − f (a) ≤ M. v.

Demonstração: veja em Lima, E.L. - Análise no Espaço IRn - Capı́tulo 5, Teorema 2, pág.

27 (1a Edição).

OBS.: Se a norma considerada em IRn provém de um produto interno, então podemos

garantir ainda que existe um ponto ci0 ∈ (a, a + v) tal quef (a + v) − f (a) ≤ f (ci0)(v) ≤ f (ci0) . v

A demonstração neste caso fica mais simples e pode ser encontrada em Bartle, R.G. - Ele-

mentos de Análise Real - Caṕıtulo 7 (Seção 40), págs. 329-330 (2a Edição).

Algumas conseqüências:

(A) Uma fonte natural de aplicações Lipschitzianas:

Corolário 1. Seja U ⊂ IRm aberto e convexo. Se f : U → IRn é diferenci ́avel, com f (x) ≤ M para todo x ∈ U ent˜ ao f é Lipschitziana, com f (y) − f (x) ≤ M. y − xquaisquer que sejam x, y ∈ U .

OBS.: Para conclúırmos que f é Lipschitziana basta a “Versão fraca”(Teo 2.6)


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(B) Generalização de um resultado canônico:

Coroĺario 2. Se f : U → IRn é diferenci ́avel no aberto e conexo U ⊂ IRm e

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