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Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN
1
Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estruturas Dada a estrutura abaixo, determine os deslocamentos no nó 2 e as reações de apoio utilizando a análise matricial de estruturas.
Dados da Barra 1: EA = 300000 kN EI = 32400 kN.m² Comprimento = 4,0 m Dados da Barra 2: EA = 300000 kN EI = 32400 kN.m² Comprimento = 3,0 m
Resposta Passo 1: Numeração dos graus de liberdade da estrutura:
Esta numeração indica a posição de cada deslocamento ou esforço na matriz de rigidez que será elaborada a seguir. Podemos afirmar que a estrutura tem 9 graus de liberdade e, portanto, terá uma matriz de rigidez de dimensão 9 x 9.
Passo 2: Incidência das barras Barra Nó de Início Nó de Fim
1 1 2 2 2 3
Passo 3: Cálculo de [ k ] para cada barra, no sistema local: Barra 1: Barra Bi-engastada
As referências estão indicadas ao lado. A partir destas referências, tem-se a matriz de rigidez indicada:
50 kN
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
1
2 3
4
5 6
7
8 9
1
2 3
4
5 6
Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN
2
[ ]
−
−−−
−
−
−
−
=
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEI
lEA
lEA
k
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 1:
75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 6075,00 12150,00 0,00 -6075,00 12150,00 0,00 12150,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00
-75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 -12150,00 0,00 6075,00 -12150,00
[ k ]1=
0,00 12150,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Barra 2 Barra Bi-engastada
Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 2
100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00
-100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00
[ k ]2=
0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Passo 4: Transformando coordenadas locais em coordenadas globais: Para esta transformação, usa-se a matriz [T] e sua transposta [T]t. A matriz [T] é:
[ ]
−
−
=
1000000cosαsenα0000senαcosα0000001000000cosαsenα0000senαcosα
T
A transformação ocorre pela multiplicação de matrizes: [ ] [ ] [ ][ ]TkTk t=
1
2 3
4
5 6
Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN
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Barra 1: Dado que o ângulo α=90°, tem-se a seguinte matriz [T]:
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
[T] =
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 A matriz transposta [T]t é apresentada a seguir:
0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
[T]t =
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Assim, pode-se fazer o produto [ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= . Primeiro começa-se pelo produto [ ] [ ]kT t :
0,00 -6075,00 -12150,00 0,00 6075,00 -12150,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00
0,00 12150,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00 0,00 6075,00 12150,00 0,00 -6075,00 12150,00
-75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00
[ ] [ ]kT t =
0,00 12150,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]:
6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,000,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00
-12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00-6075,00 0,00 12150,00 6075,00 0,00 12150,00
0,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00
[ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= =
-12150,00 0,00 16200,00 12150,00 0,00 32400,00 Essa é a matriz de rigidez da barra 1. Barra 2: Dado que o ângulo α=0°, tem-se a seguinte matriz [T]:
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
[T] =
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
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A matriz transposta [T]t é apresentada a seguir:
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
[T]t =
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 Assim, pode-se fazer o produto [ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= . Primeiro começa-se pelo produto [ ] [ ]kT t :
100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00
-100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00
[ ] [ ]kT t =
0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]:
100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,000,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00
-100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00
[ ] [ ] [ ][ ]TkTk t= =
0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Essa é a matriz de rigidez da barra 2. Passo 5: Montagem da Matriz de Rigidez [K] da estrutura pelo método da colocação: O Método da Colocação consiste em definir uma matriz com todos os graus de liberdade (que são 9, neste exemplo) e colocar as matrizes de rigidez de cada barra de acordo com a incidência das barras (passo 2). No nosso exemplo, tem-se:
[ ]
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3
2
1
321nó
K =
Assim, podemos criar a matriz de rigidez de cada barra, na posição colocada e somá-las para obter a matriz de rigidez.
Barra 1
Barra 2
Soma das barras
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5
Para a barra 1:
6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 6075,00 0,00 12150,00 0,00 0,00 0,00
0,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 0,00 32400,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
[K]1=
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Para a barra 2:
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00
[K]2=
0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Somando-se as duas matrizes, obtem-se a matriz de rigidez global:
6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00
0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00
0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00
[K]=
0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 A partir desta matriz, pode-se montar o sistema geral conforme está mostrado na página seguinte. A matriz [P] é a matriz dos esforços, [K] é a matriz de rigidez e [p] é a matriz dos deslocamentos. Lembrar que [P] = [K] [p].
Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN
6
A matriz, então fica:
R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0
R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0
R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0
0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 D1
-50,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 D2
0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 D3
R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0
R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0
R9
=
0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00
x
0 Note que R1 é a força de reação horizontal no nó 1, R2 é a força de reação vertical no nó 1 e R3 é o momento de reação no nó 1; R7 a força de reação horizontal no nó 3, R8 é a força de reação vertical no nó 3 e R3 é o momento de reação no nó 3. D1 é o deslocamento horizontal no nó 2, D2 é o deslocamento vertical no nó 2 e D3 é o deslocamento rotacional no nó 2. Esta matriz representa um sistema de 9 equações com 9 incógnitas e, portanto, pode ser resolvido. Vamos separar a resolução deste sistema calculando primeiro os deslocamentos e depois calculando as reações de apoio.
Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN
7
Passo 6: Determinação dos deslocamentos dos nós livres Na matriz abaixo, estão indicadas as linhas onde podem ocorrer deslocamentos.
R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0
R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0
R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0
0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 D1
-50,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 D2
0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 D3
R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0
R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0
R9
=
0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00
x
0
Note que estas linhas formam um sistema de três equações com três incógnitas. Isolando estas equações, tem-se o sistema abaixo:
0,00 106075,00 0,00 12150,00 D1 -50,00 0,00 89400,00 21600,00 D2 0,00
= 12150,00 21600,00 64800,00
xD3
Resolvendo pela inversa da matriz1, tem-se:
D1 9,653E-06 4,756E-07 -1,968E-06 -50,00 D2 4,756E-07 1,219E-05 -4,152E-06 0,00 D3
= -1,968E-06 -4,152E-06 1,719E-05
x0,00
Fazendo-se a multiplicação das matrizes, chega-se que:
D1 = -0,00002378 m; D2 = -0,00060944m; D3 = 0,00020761 rad Passo 7: Determinação das reações de apoio Para determinar as reações de apoio, devemos substituir D1, D2 e D3 determinados no passo 6 na matriz definida no passo 5. Essa matriz está colocada na próxima página.
1 Com o MS Excel, pode-se inverter facilmente uma matriz com a função ÍNDICE(MATRIZ.INVERSO(matriz);linha;coluna). Verificar na ajuda do programa para detalhes de sua utilização.
Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN
8
R1 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00
R2 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
R3 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 -0,00002378
-50,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 -0,00060944
0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00020761
R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00
R8 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0,00
R9
=
0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00
x
0,00
Procedendo-se à multiplicação das matrizes, chega-se ao resultado:
R1 = -2,378 kN
R2 = 45,708 kN
R3 = 3,074 kN.m
-50,00 = 0,000 kN
0,00 = -50,000 kN
0,00 = 0,000 kN.m
R7 = 2,378 kN
R8 = 4,292 kN
R9 = -8,680 kN.m
Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN
9
A representação física deste resultado em um diagrama de corpo livre é dada pelo diagrama:
A partir do diagrama de corpo livre, pode-se desenhar os esforços solicitantes na estrutura.
2,378 kN
45,708 kN
50 kN
3,074 kN.m
2,378 kN
4,292 kN
8,680 kN.m