ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS … a 15/09/06 Goiânia,GO Pesquisa Operacional na Sociedade:Educação,MeioAmbiente e Desenvolvimento XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO PESQUISA OPERACIONALDE

12 a 15/09/06 Goiânia, GOPesquisa Operacional na Sociedade: Educação, Meio Ambiente e DesenvolvimentoXXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO PESQUISA OPERACIONALDE

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS REGRESSÕES NA METODOLOGIA LEAST SQUARES MONTE CARLO (LSM) PARA O

CÁLCULO DO PREÇO DE UMA OPÇÃO AMERICANA: QUAL REGRESSÃO É A MAIS APROPRIADA?

Javier Gutierrez Castro, Doutorando (PUC-Rio)

Departamento de Engenharia Industrial Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio

Rua Marquês de São Vicente, 225 – 22453-900 – Rio De Janeiro - RJ Tel. +55.21.2553-3876 / +55.21.8139-5529

[email protected]

Tara Keshar Nanda Baidya, Ph. D. (U.C. Berkeley) Departamento de Engenharia Industrial

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Rua Marquês de São Vicente, 225 – 22453-900 – Rio De Janeiro - RJ

Tel. +55.21.3527-1284 / +55.21.3527-1285 FAX. +55.21.3527-1289 [email protected]

RESUMO A metodologia de Longstaff e Schwartz, na atualidade tem se constituído em um dos

principais métodos de simulação de Monte Carlo que determina com bastante precisão o preço de diversos derivativos, tais como o preço de opções americanas. No método, a cada período se compara se é melhor exercer no momento ou esperar. O valor esperado de continuação é calculado através de uma regressão de Mínimos Quadrados, entre os preços do ativo que estão in the money com o valor da opção um período à frente, mas descontado um período com taxa livre de risco.

Deseja-se conhecer qual a aparência destas regressões e assim poder determinar alguma regressão que seja mais apropriada para o conjunto de dados. Analisaram-se exemplos de puts americanas simples, e os resultados mostraram que, quando são realizadas muitas simulações, as linhas de tendência de regressões polinomiais, com diferentes graus, ficam muito parecidas.

PALAVRAS CHAVE. Simulação de Monte Carlo. Regressão de Mínimos Quadrados. Put Americana. EF - Economia e Finanças.

ABSTRACT Longstaff & Schwartz’s methodology, in present time, it represents one of the main

methods by Monte Carlo Simulation that it can calculate with enough accuracy the price of many derivatives, such as the price of American options. Each period, this approach compares the value of the immediate exercise versus continuation value. The expected continuation value is computed through one Least Squares Regression, among stocks in the money with the option value one period ahead, but updated one period with risk-free rate.

It would be convenient to know how the regressions’ appearance are, for to establish some regression more appropriate for the data sets. It was analyzed examples of simple American puts, and the results showed that, when many simulations are done, the tendency lines of polynomial regressions with different degrees, they are very similar.

KEYWORDS. Monte Carlo Simulation. Least Squares Regression. American Put. EF – Economy and Finances.

XXXVIII SBPO [ 596 ]


1. Introdução Métodos clássicos analíticos para o cálculo do preço de opções européias (cuja data de

exercício é só no final do período de expiração), tais como a fórmula de Black & Scholes ou o método de diferenças finitas fornecem um resultado exato. Mas estes métodos de precificação de opções são só aplicáveis quando existe uma única variável estocástica: o preço do ativo subjacente (St), seguindo uma trajetória de Movimento Geométrico Browniano (MGB) ao longo do tempo. No caso de opções americanas, as quais podem ser exercidas em qualquer momento até a data de expiração, diversas metodologias por aproximações foram desenvolvidas, por exemplo, o método da árvore binomial, que oferece resultados satisfatórios, mas que lamentavelmente se restringe também ao caso de uma só variável estocástica (St) seguindo um caminho browniano.

Nesse sentido a simulação de Monte Carlo tem se constituído nos últimos anos em uma poderosa ferramenta que permite determinar o preço de opções reais e financeiras de maneira bastante simples (acompanhado de um certo trabalho computacional). Esta é particularmente útil nos casos em que o preço da opção se vê afetada pela combinação de diversas incertezas em relação às variáveis que intervêm no seu cálculo, tais como o preço do ativo subjacente (St), a taxa de juros (r) e a volatilidade (σ), e que não necessariamente tem um comportamento de geométrico browniano.

Dos métodos por simulação, a grande maioria deles tenta aproximar o preço da opção através da programação dinâmica, é dizer, utilizando procedimentos recursivos de cálculo (de trás para frente) a partir de simulações dos valores do ativo subjacente ao longo do tempo até a data de expiração da opção. As metodologias elaboradas por Boyle, Broadie e Glasserman (1997), Broadie e Glasserman (1997) e Grant, Vora e Weeks (1997), constituem-se referências para as pesquisas que posteriormente se desenvolveram para aprimorar o cálculo do preço da opção americana por meio da simulação de Monte Carlo.

Um método, ultimamente muito em voga, que determina o preço de uma opção americana, é o desenvolvido por Longstaff e Schwartz (2001). A metodologia chamada de LSM (Least Squares Monte Carlo) utiliza também o critério da programação dinâmica. Feitas as simulações do preço do ativo ao longo do tempo, e com uma análise recursiva a cada instante de tempo anterior à data de maturidade da opção, se compara o valor intrínseco (exercer no instante tn) com o valor de continuação (obtido se esperar para exercer num tempo posterior a tn). O valor de continuação, que é a parte mais difícil de determinar, se resolve através de um valor esperado proveniente de uma regressão de mínimos quadrados entre os preços do ativo S que estão in the money1 em tn, versus o valor da opção em um instante tn+1 trazido com taxa livre de risco ao tempo tn. Estas comparações se realizam a cada tempo tn até chegar ao t1. Assim, se existem N datas de exercício, serão necessárias realizar N-1 regressões (em tempos: tN-1, tN-2,..., t1).

A metodologia dos “Mínimos Quadrados de Monte Carlo” tem alcançado uma grande aceitação, pela sua facilidade de cálculo e por fornecer resultados bem próximos do real. Nas dissertações de Frota (2003) e Araújo (2004) se apresentam diversos testes que analisam a sensibilidade dos parâmetros envolvidos na metodologia. Por outro lado, comparam-se por meio de testes numéricos os algoritmos LSM e GVW (Grant, Vora e Weeks) Na maioria das vezes, a metodologia de Longstaff e Schwartz resulta mais precisa.

No Anexo 1 se reproduz o exemplo numérico que Longstaff e Schwartz (2001) apresentaram no seu artigo, que servirá para um melhor entendimento da metodologia. Sugere-se consultar Frota (2003) e Araújo (2004) para uma explicação mais detalhada no que diz respeito ao algoritmo.

O objetivo deste trabalho consiste em analisar o grau de influência dos parâmetros que intervêm no modelo tais como o número de datas de exercício e o grau do polinômio usado nas regressões. Existe algo de mistério em relação ao uso adequado destes parâmetros. Em especial quer se conhecer qual seria a regressão que melhor ajuste os conjuntos de dados que o algoritmo

1 O termo in the money indica que a opção tem valor e pode ser exercida.



demanda realizar. Qual o visual destes conjuntos a cada período em que são feitas as regressões?

2. Como se comportam os dados ao realizar as regressões Nos testes numéricos aplicando o algoritmo LSM que serão apresentados a seguir,

emprega-se um número elevado de simulações do preço do ativo base (100000 caminhos brownianos, 50000 mais seus valores antitéticos). Fazer os testes sob estas características teve como objetivo evitar qualquer desvio no resultado causado por utilizar um número baixo de simulações. Monte Carlo oferece, na maioria das vezes, um melhor ajuste para o valor verdadeiro quanto maior for o número de caminhos simulados. Portanto, ao considerar uma grande quantidade de caminhos esta variável vira constante e ficam isoladas na análise da metodologia só duas variáveis: o grau do polinômio e o número de datas de exercício.

Resulta lógico que ao aumentar as datas de exercício os resultados sejam mais próximos dos verdadeiros, já que se assemelha melhor ao comportamento real de uma opção americana, na qual o exercício se da em tempo continuo e não por intervalos de tempo discretos (opção bermuda). O método de Monte Carlo não pode simular em tempo continuo, portanto, quanto mais intervalos discretos sejam considerandos a aproximação será melhor.

Ao respeito do grau do polinômio, é sabido que quanto mais elevado este seja, melhor representará um conjunto de dados. Seria conveniente analisar a forma em que se apresentam os dados no momento de fazer as regressões para assim ver qual polinômio (no caso de utilizar regressões polinomiais) seria o mais apropriado. Isto para não elevar o grau dele desnecessariamente, consumindo um maior tempo computacional como conseqüência.

O número de regressões que são realizadas para calcular o preço da opção via LSM é igual ao número de datas de exercício menos um. No exemplo ilustrativo apresentado no Anexo 1, existem três datas de exercício, e as regressões (X, Y) são duas: - Regressão 2: Variável X: preços do ativo em t = 2, cuja opção se encontra in the money;

Variável Y: Fluxo de Caixa em t=3 (obtido fazendo o exercício das opções que estão in the money nesse último período), mas trazido com taxa livre de risco ao tempo t=2.

- Regressão 1: Variável X: preços do ativo em t = 1, cuja opção se encontra in the money; Variável Y: Fluxo de Caixa em t=2 (obtido fazendo a comparação entre o valor do exercício imediato com o valor de continuação fornecido pela primeira regressão), mas trazido com taxa livre de risco ao tempo t=1.

Seja Sti o preço do ativo base no tempo ti, e FCt=i o Fluxo de Caixa no tempo ti. Generalizando para N datas de exercício (t1,t2,.., tN-1, tN), as N-1 regressões seriam: - Regressão N-1: Variável XN-1 = StN-1 in the money // Variável YN-1 = )t--r(t

Nt1-NNe*FC

�

- Regressão N-2: Variável XN-2 = StN-2 in the money // Variável YN-2 = )t--r(t1-Nt

2-N1-Ne*FC�

- … - Regressão 2: Variável X2 = St2 in the money // Variável Y2 = )t--r(t

3t23e*FC

�

- Regressão 1: Variável X1 = St1 in the money // Variável Y1 = )t--r(t2t

12e*FC�

O FCt=i, ou Fluxo de Caixa no tempo ti é a denominação que Longstaff e Schwartz

empregaram para denotar o preço da opção daqueles caminhos nos quais o valor de exercício imediato é maior do que o valor de continuação (dado pela regressão E[Yi/Xi] = ƒ(Xi)). Uma vez calculado o FCt=i, os FCt>i devem ser atualizados; é dizer, um determinado FCt>i vira zero se no seu caminho o FCt=i tem valor maior do que zero. Isto porque em ti foi analisado que era melhor exercer em ti do que esperar para exercer num tempo posterior a ti (o exemplo do Anexo 1 ilustra bem estes detalhes).

A variável Yi representa o Fluxo de Caixa no tempo ti+1 descontado para ti daqueles caminhos nos quais o Sti está in the money. Este seria, grosso modo, o valor de continuação atualizado para o tempo ti. A regressão E[Yi/Xi] = ƒ(Xi) permite encontrar uma função que explique em média o comportamento que poderia apresentar o valor de continuação.

Dadas estas explicações, se procederá a analisar alguns testes numéricos com o



algoritmo LSM.

2.1. Análise do caso put americana com 5 datas de exercício e T = 0,5833 anos Parâmetros invariáveis nas simulações: S0 = 40; r = 0,0488; δ = 0; M=100000 caminhos brownianos simulados (50000 mais seus respectivos valores antitéticos).

Os testes mantêm constantes o número de datas de exercício e o tempo até a maturidade (T). Posteriormente se analisa como influenciam nas regressões alterações nestas variáveis.

2.1.a. Caso K= 35; sigma = 0,2:

Tabela 1: RMSE e R-Quadrado das Regressões caso 2.1.a.

Root_Mean_Square_Error (RMSE) R-Quadrado Grau Polinômio Regressão 1 Regressão 2 Regressão 3 Regressão 4 Regressão 1 Regressão 2 Regressão 3 Regressão 4

1 2,188887 2,118822 1,921393 1,785727 0,031622 0,129965 0,288247 0,4374752 2,188901 2,116879 1,915937 1,779257 0,032032 0,131679 0,292347 0,4415833 2,18918 2,11701 1,915941 1,779032 0,032207 0,131691 0,292407 0,4417654 2,189609 2,117153 1,915988 1,779082 0,03225 0,131692 0,292435 0,4417735 2,18873 2,117072 1,915832 1,77914 0,033448 0,131878 0,292613 0,4417776 2,186981 2,117157 1,915832 1,779203 0,035414 0,131927 0,292676 0,4417777 2,187447 2,117283 1,915884 1,779045 0,035424 0,131943 0,2927 0,4419168 2,187347 2,117415 1,915944 1,779063 0,035934 0,131954 0,292718 0,441945

Figura 1: Comportamento das Regressões Polinomiais nos diferentes períodos i (t=idt=i∆t). T=5dt significa que o

tempo até a maturidade foi dividido em 5 períodos. K= 35; sigma = 0,2; T = 0,5833.

� O número de pontos na regressão cresce gradualmente à medida que o tempo vai chegando até a maturidade (2272 em t=1; 7430 em t=2; 11391 em t=3; e, 14129 em t=4). Dado que o preço de exercício K=35 é menor do que o preço inicial do ativo S0 = 40, e pela baixa volatilidade, a



probabilidade de que no primeiro período o preço do ativo fique abaixo de 35 é baixa, por isso são poucos os pontos na primeira regressão e o R-Quadrado muito baixo, embora tem uma leve melhora a maior grau. À medida que o tempo avança os caminhos vão adotando trajetórias mais variadas, podendo-se encontrar com mais chance ativos in the money.

� Existe uma maior concentração dos dados ao longo das linhas de tendência à medida que o tempo cresce. O RMSE diminui e o R-Quadrado aumenta a cada período.

2.1.b. Caso K= 35; sigma = 0,4:

Tabela 2: RMSE e R-Quadrado das Regressões caso 2.1.b. Root_Mean_Square_Error (RMSE) R-Quadrado Grau

Polinômio Regressão 1 Regressão 2 Regressão 3 Regressão 4 Regressão 1 Regressão 2 Regressão 3 Regressão 4 1 4,513734 4,220712 3,729249 3,263646 0,055254 0,176057 0,345521 0,5288382 4,511962 4,21363 3,718256 3,252046 0,056051 0,178852 0,349395 0,5321963 4,511955 4,213692 3,717629 3,250183 0,056109 0,17886 0,349636 0,5327464 4,511975 4,213773 3,717458 3,250075 0,056156 0,178861 0,349717 0,5327915 4,512042 4,213853 3,71752 3,250113 0,056183 0,178862 0,349717 0,5327946 4,512168 4,213935 3,717505 3,250126 0,056185 0,178862 0,349744 0,5328047 4,512246 4,21386 3,717483 3,250175 0,056208 0,178924 0,349773 0,5328048 4,512374 4,213926 3,717537 3,250194 0,05621 0,17893 0,349776 0,532813

Figura 2: Comportamento das Regressões Polinomiais nos diferentes períodos i (t=idt=i∆t). T=5dt significa que o tempo até a maturidade foi dividido em 5 períodos. K= 35; sigma = 0,4; T = 0,5833.

� Observa-se que o comportamento dos pontos é algo similar ao caso 2.1.a (maior concentração deles ao longo da linha de tendência à medida que o tempo cresce), com a diferença de que existe uma maior quantidade (17111 em t=1; 25478 em t=2; 30176 em t=3; e, 33179 em t=4), e têm uma dispersão mais ampla. Isto é devido à maior volatilidade, que aumenta a probabilidade



de que os saltos no preço do ativo de um período para outro tenham valores mais altos. � Maiores valores do RMSE em relação ao caso 2.1.a refletem a maior dispersão dos dados.

2.1.c. Caso K= 45; sigma = 0,4:

Tabela 3: RMSE e R-Quadrado das Regressões caso 2.1.c. Root_Mean_Square_Error (RMSE) R-Quadrado Grau


Figura 3: Comportamento das Regressões Polinomiais nos diferentes períodos i (t=idt=i∆t). T=5dt significa que o tempo até a maturidade foi dividido em 5 períodos. K= 45; sigma = 0,4; T = 0,5833.

� Em relação ao caso anterior 2.1.b o único parâmetro alterado foi o preço de exercício que subiu de 35 para 45. Dado que desde um início o valor de K se encontra acima do preço do ativo base S0=40, então é mais provável que no primeiro período das simulações existam muitos caminhos in the money. É por isso que os pontos das regressões apresentam ao longo do tempo um comportamento inverso ao caso 2.1.b; é dizer, decresce periodicamente a quantidade deles (81335em t=1; 74078 em t=2; 70699 em t=3; e, 68490 em t=4).

� Utilizando a mesma volatilidade do caso 2.1.b, a dispersão dos pontos é um pouco maior devido à maior quantidade de pontos. Por sua parte, o R-Quadrado apresenta certa melhora.

� Um fato se mantém comum em todos os casos mostrados, é que à medida que o tempo avança existe uma maior concentração dos pontos ao longo das linhas de tendência, situação que faz



que os R-Quadrados (ou grau de ajuste da linha de regressão) sejam maiores a cada período. � Fez-se também um teste com K=45; sigma =0,2; T = 0,5833 (não mostrado aqui); é dizer, o

mesmo caso, mas com uma menor volatilidade. Como era esperado, houve também uma grande quantidade de pontos nos diferentes períodos, mas a dispersão deles foi menor e o ajuste às linhas de tendência melhorou um pouco em relação ao caso 2.1.c.

� Observa-se também que, nos três casos apresentados, num período qualquer, à medida que o grau do polinômio cresce, o R-Quadrado melhora muito pouco, fato ainda mais ressaltante nos últimos períodos e quando existem grandes quantidades de pontos (casos 2.1.b e 2.1.c).

2.2. Análise do caso put americana com 10 datas de exercício e T = 0,5833 anos Parâmetros invariáveis nas simulações: S0 = 40; r = 0,0488; δ = 0; M=100000 caminhos brownianos simulados (50000 mais seus respectivos valores antitéticos).

2.2.a. Caso K= 35; sigma = 0,2:

Tabela 4: RMSE e R-Quadrado das Regressões 1,3,6 e 9, caso 2.2.a. Root_Mean_Square_Error (RMSE) R-Quadrado Grau


Figura 4: Regressões Polinomiais nos períodos 1, 3, 6 e 9 (para analisar o comportamento das regressões não é necessário mostrar todos os períodos). T=10∆t; K= 35; sigma = 0,2; T = 0,5833.



� A diferença com o caso 2.1.a, é o maior número de datas de exercício (10). Assim, um ∆t menor propicia que as dispersões sejam menores (menores valores do RMSE). A quantidade de pontos para fazer as regressões a cada período, é menor que no caso 2.1.a (varia desde 264 em t=1 até 15324 em t=9), motivado pela baixa volatilidade, pelo menor ∆t, e também pelo preço de exercício K ser menor do que o preço do ativo base no instante inicial. Em t=1dt, por exemplo, resulta difícil afirmar que existe uma linha de tendência que se ajusta melhor aos dados, o que se reflete nos baixíssimos R-Quadrados.

� Em relação ao caso 2.1.a, existe um melhor ajuste dos dados às linhas de tendência nos últimos períodos (maiores valores dos R-Quadrados). Um ∆t pequeno ajuda que os saltos no preço do ativo de um período para outro não sejam muito bruscos.

2.2.b. Caso K= 35; sigma = 0,4:

Tabela 5: RMSE e R-Quadrado das Regressões 1, 3, 6 e 9 caso 2.2.b. Root_Mean_Square_Error (RMSE) R-Quadrado Grau


Figura 5: Regressões Polinomiais nos períodos 1,3,6 e 9 (para analisar o comportamento das regressões não é necessário mostrar todos os períodos). T=10∆t; K= 35; sigma = 0,4; T = 0,5833.

� Neste caso, em comparação com o anterior (2.2.a), uma maior volatilidade gera uma maior quantidade de pontos (mais dispersos) para as regressões (8718 em t=1 até 34239 em t=9).



Assim, os saltos no preço do ativo são mais diferenciados entre um período e outro, e por conseqüência é maior a probabilidade de encontrar mais ativos in the money.

� Em relação ao caso 2.1.b, com os menos parâmetros mas com um intervalo de tempo ∆t maior, observa-se um fato similar ao achado comparando os casos 2.1.a e 2.2.a; é dizer, que ao reduzir os intervalos de tempo se provoca uma menor dispersão dos dados e uma melhor correlação deles para um ajuste de tendência. Observa-se que esse grau de ajuste é sempre melhor à medida que o tempo avança (posteriormente se explicará o porque disto).

2.2.c. Caso K= 45; sigma = 0,4: � O fato de elevar o preço de exercício de 35 para 45, sendo que o preço do ativo base S0=40, faz

que seja mais provável encontrar nos primeiros períodos das simulações uma maior quantidade de ativos in the money. Portanto, ao invés dos pontos irem aumentando a cada período estes decrescem gradualmente (comportamento similar ao caso 2.1.c). Os gráficos e tabela de RMSE e R-Quadrado não são mostrados aqui para evitar redundância.

� Utilizando a mesma volatilidade do caso 2.2.b, o RMSE apresenta valores um pouco maiores (o fato de mudar o K de 35 para 45 gera mais pontos e uma maior dispersão deles), mas a existência de muitos pontos (que vão de 89057 em t=1dt até 67871 em t=9dt), favorece também a aglomeração deles fazendo que os R-Quadrados sejam um pouco melhores do que no caso 2.2.b.

� Comparando com o caso 2.1.c, que possui um ∆t maior, verifica-se novamente que intervalos de tempo menores provoca uma menor dispersão dos dados e um melhor ajuste às linhas de tendência, principalmente nos últimos períodos.

� Fez-se também um teste com K=45; sigma =0,2; T = 0,5833; ∆t=T/10 (não mostrado aqui); é dizer, o mesmo caso 2.2.c, mas com uma menor volatilidade. Isto gerou uma menor dispersão dos pontos e maiores valores dos R-Quadrados.

2.3. Modificando o tempo até a maturidade T � O tempo até a maturidade tem relação direta com o tamanho do intervalo: ∆t=T/N. Portanto, ao

estender “T” sem mudar o número de intervalos N, faz que o tamanho do intervalo ∆t cresça, gerando saltos maiores no ativo base de um período para outro e uma dispersão maior dos dados.

� Ao diminuir o tempo até a maturidade, mantendo constante o número de intervalos, ocasionará o efeito contrário: intervalos de tempo menores geram menor dispersão dos dados de uma data de exercício para outra, assemelhando melhor o comportamento verdadeiro de uma put americana.

3. Conclusões e síntese da análise feita nas regressões � A seguir é feita uma análise parâmetro a parâmetro, sempre se referindo à put americana:

Preço de Exercício K: Se este fica menor do que o preço inicial do ativo base S0 (em t=0), isso fará com que exista uma menor quantidade de pontos nas regressões em comparação ao caso contrário, em que K>S0. A lógica disto está em que é mais provável encontrar ao longo do tempo mais ativos in the money se desde o início das simulações o ativo já está nessa situação. Volatilidade σ: Esta tem um papel muito importante nas simulações, quanto maior seja esta gerará uma maior quantidade de pontos, devido aos possíveis maiores saltos que o preço do ativo teria ao passar de um período para o próximo, mas também fará que os dados fiquem mais dispersos (às vezes, prejudicando a correlação). Uma maior volatilidade junto com um K>S0 gerará uma grande quantidade de pontos nas regressões, sendo que nos últimos períodos a dispersão diminui, concentrando-se os pontos em uma massa densa que melhora o R-Quadrado. Intervalo ∆t: Quanto menor seja este intervalo faz que os dados não fiquem tão dispersos, já que ∆t é diretamente proporcional com o salto do preço do ativo de um período tn=n∆t para o tn+1 = (n+1)∆t. No caso de uma put americana, quando se combinam K<S0, σ pequeno e ∆t pequeno; faz que a quantidade de pontos nas regressões dos primeiros períodos seja relativamente baixa. Uma combinação que oferece uma menor dispersão de dados e uma boa concentração dos pontos à uma linha de tendência é quando K>S0, σ pequeno e ∆t pequeno.

� Em todos os casos analisados observou-se que o R-Quadrado melhora muito pouco à medida



que se aumenta o grau do polinômio de regressão. Este fato é mais claro nos últimos períodos, onde a concentração dos pontos melhora em torno à linha de tendência (as linhas de tendência ficam muito parecidas). O grau do polinômio parece não ser muito relevante na determinação da melhor linha de tendência polinomial para estes exemplos, em que foi simulado um elevado número de caminhos brownianos (100000) para o preço do ativo base.

� As funções polinomiais trabalham muito bem em achar uma curva de regressão para os dados provenientes do método LSM a cada período de tempo. Foram também testados, à parte, outro tipo de funções, como as trigonométricas e modelos de Fourier, mas salvo nos casos em que os dados ficavam muito espalhados davam um melhor R-Quadrado, mas não funcionavam bem nos períodos em que os dados ficam mais concentrados em torno de uma linha ou quando existem grandes quantidades de pontos. Fora isso, toma um tempo computacional muito considerável trabalhar com funções complexas desse tipo e sem obter um ganho apreciável.

� Por último, observa-se em todos os casos que, à medida que o tempo avança a concentração dos pontos vai tendendo para uma linha com pendente negativa. A explicação é bastante intuitiva. No último período se dá que: FCtN = Max{0; K- StN}. Nos caminhos em que FCtN são diferentes de zero, existe uma relação linear com inclinação negativa de StNversus K- StN (esse é o comportamento de uma opção put na maturidade, Hull (2003)). A Regressão tN-1 se realiza com o FCtN descontado com taxa livre de risco ao tempo tN-1 (variável YN-1) e com os preços do ativo StN-1 que ficam in the money (variável XN-1). Dado que os valores que originam StN (que permite calcular FCtN) foram provenientes de StN-1, que de um período para outro, assumindo um intervalo ∆t relativamente curto, não devem ser muito diferentes. Por isso que, ao momento de fazer a regressão YN-1 versus XN-1 ainda os pontos mantêm um certo formato de linha com pendente negativa. Quanto menor seja o intervalo ∆t e a volatilidade σ seja relativamente pequena, a Regressão tN-1 se assemelhará mais a uma linha. À medida que se faz o cálculo recursivo das outras regressões este formato linear dos pontos vai se perdendo devido a que os Fluxos de Caixa FCtj (j=1,2,..N-2} sofrem a cada passo de trás pra frente uma maior influência do valor de continuação calculado pelas anteriores regressões. Isso faz que muitos preços de ativos in the money num determinado período se associem com valores zero (Y’s=0) ao montar a regressão, o que indica a possível existência de um melhor valor da opção em períodos posteriores. Os pontos nas regressões dos primeiros períodos ficam assim mais espalhados.

Referências Araújo, R. O. (2004), “Avaliação de Opções Reais Através do Método dos Mínimos Quadrados de Monte Carlo”. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro. Boyle, P. & Broadie, M. & Glasserman, P. (1997), "Monte Carlo Methods for Security Pricing". Journal of Economic Dynamics and Control, vol.21, no 8-9, pp.1267-1321. Broadie, M. & Glasserman, P. (1997), "Pricing American-Style Securities Using Simulation". Journal of Economic Dynamics and Control, vol.21, no 8-9, pp.1323-1352. Dias, M.A.G. “Stochastic Processes with Focus in Petroleum Applications”. Disponível em: <http://sphere.rdc.puc-rio.br/marco.ind/stochast.html>. Acesso em: 30 mar. 2006. Dixit, A. K.; Pindyck, R. S. (1994), “Investment Under Uncertainty”. Princeton University Press, 468 pp. Frota, A. (2003), “Avaliação de Opções Americanas Tradicionais e Complexas”. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro. Grant, D. & Vora G. & Weeks D.E. (1997), “Path-Dependent Options: Extending the Monte Carlo Simulation Approach”. Management Science, vol.43, no 11, pp.1589-1602. Hull, J. C. (2003), "Options, Futures, and Other Derivatives". Prentice Hall, 5th ed., Englewood Cliffs, NJ. Longstaff, F.A. & Schwartz E.S. (2001), “Valuing American Options By Simulation: A Simple Least-Squares Approach”. Review of Financial Studies, vol.14, no 1, pp.113-147.



ANEXO 1

Exemplo Numérico de Aplicação do Algoritmo de Longstaff e Schwartz Seja uma Opção Put Americana, avaliada em três períodos: t={1,2,3}com os seguintes parâmetros: r =0,06; δ = 0; K=1,10 (Strike), Preço Inicial da Ação (S0) = 1,00. Simulam-se 8 caminhos do preço da ação.

MATRIZ DE PREÇOS DA AÇÃO Caminho St0 St1 St2 St3

1 1.00 1.09 1.08 1.34 2 1.00 1.16 1.26 1.54 3 1.00 1.22 1.07 1.03 4 1.00 0.93 0.97 0.92 5 1.00 1.11 1.56 1.52 6 1.00 0.76 0.77 0.90 7 1.00 0.92 0.84 1.01 8 1.00 0.88 1.22 1.34

A estratégia ótima em t=3 seria o exercício. O Fluxo de Caixa em cada caminho seria: Max {0 ; K- St3 }. Fluxo de Caixa em t = 3:

Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 Exercer? 0 0 1 1 0 1 1 0

FCt=3 0.00 0.00 0.07 0.18 0.00 0.20 0.09 0.00 Se a put está in the money em t=2, deve-se decidir se exercê-la ou continuar mantendo-a viva. De acordo com a matriz de preços só existem 5 caminhos em que a opção se encontra in the money em t = 2.

Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 Exercer em t=2: Max {0;K- St2 } 0.02 0.00 0.03 0.13 0.00 0.33 0.26 0.00

Seja X o preço da ação em t=2 para os cinco caminhos in the money, e Y o correspondente Fluxo de Caixa descontinuado obtido em t = 3. Y = FCt=3*exp(-r) (em cada um dos 5 caminhos):

Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 X 1.08 0.00 1.07 0.97 0.00 0.77 0.84 0.00 Y 0.00 0.00 0.07 0.17 0.00 0.19 0.08 0.00

Para estimar o valor de continuação em t=2, aplica-se uma equação de regressão dos valores de Y sobre X. Neste exemplo considera-se uma regressão polinomial quadrática, sendo E[Y/X] = -1,070+2,983X-1,813X2. Assim, calcula-se o valor esperado de continuação, e se compara com o valor de exercício imediato (em t=2). Portanto, o Fluxo de Caixa em t=2, seria:

Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 Exercer 0.02 0.00 0.03 0.13 0.00 0.33 0.26 0.00

Continuar 0.0370 0.0000 0.0461 0.1177 0.0000 0.1520 0.1565 0.0000 Exercer? 0 0 0 1 0 1 1 0

FCt=2 0.00 0.00 0.00 0.13 0.00 0.33 0.26 0.00 Atualizam-se agora os fluxos de caixa no período posterior a t=2, ou seja, em t=3 os fluxos de caixa viram zero se a opção é exercida em t=2. Isto porque uma vez que se exerce a opção, posteriores fluxos de caixa já não podem existir. A matriz de Fluxos de Caixa ficaria assim:

Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 FCt=1 FCt=2 0.00 0.00 0.00 0.13 0.00 0.33 0.26 0.00 FCt=3 0.00 0.00 0.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Procedendo de uma maneira similar, analisa-se se a opção deveria ser exercida em t=1. De acordo com a matriz de preços só existem 5 caminhos em que a opção se encontrará in the money em t = 1.

Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 Exercer em t=1: Max {0;K- St1 } 0.01 0.00 0.00 0.17 0.00 0.34 0.18 0.22

Seja X o preço da ação em t=1 para os cinco caminhos in the money, e Y o correspondente Fluxo de Caixa descontinuado obtido em t = 2. Y = FCt=2*exp(-r) (em cada um dos 5 caminhos):



Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 X 1.09 0.00 0.00 0.93 0.00 0.76 0.92 0.88 Y 0.00 0.00 0.00 0.12 0.00 0.31 0.24 0.00

Para estimar o valor de continuação em t=1 da opção put, faz-se a regressão quadrática de Y sobre X. Desta forma obtém-se: E[Y/X] = 2,038 - 3,335X - 1,356X2. Com esta função pode-se calcular o valor esperado de continuação, e se compara com o valor de exercício imediato (em t=1). Calcula-se assim o Fluxo de Caixa em t=1:

Caminho 1 2 3 4 5 6 7 8 Exercer 0.01 0.00 0.00 0.17 0.00 0.34 0.18 0.22

Continuar 0.0139 0.0000 0.0000 0.1093 0.0000 0.2866 0.1175 0.1533 Exercer? 0 0 0 1 0 1 1 1

FCt=1 0.00 0.00 0.00 0.17 0.00 0.34 0.18 0.22 Atualizam-se agora os fluxos de caixa no período posterior a t=1, ou seja, em t=2 os fluxos de caixa viram zero se a opção é exercida em t=1. Isto porque uma vez que se exerce a opção, posteriores fluxos de caixa já não podem existir. A matriz de Fluxos de Caixa fica então assim:

Caminho FCt=1 FCt=2 FCt=3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00

Tendo identificado as estratégias de exercício em t=1, t=2 e t=3, a regra de decisão para o exercício da opção put americana pode ser representada pela matriz “Stopping Rule”, onde os uns indicam o momento do exercício.

Caminho t=1 t=2 t=3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 5 0 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0

Havendo determinado os Fluxos de Caixa para os 3 períodos, o valor da opção em t= 0 calcula-se:

Caminho FCt=1 FCt=2 FCt=3 1 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.07 4 0.17 0.00 0.00 5 0.00 0.00 0.00 6 0.34 0.00 0.00 7 0.18 0.00 0.00 8 0.22 0.00 0.00

Soma 0.91 0.00 0.07 Fator Desconto 0.9418 0.8869 0.8353 Valor Presente (VP). 0.9155

Preço da Put (VP / 8) 0.1144


Documents

ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS … a 15/09/06 Goiânia,GO Pesquisa Operacional na Sociedade:Educação,MeioAmbiente e Desenvolvimento XXXVIII SIMPÓSIO BRASILEIRO PESQUISA OPERACIONALDE