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ANALISE DE MODELO NUMERICO ESPECTRAL PARA REPRESENTACAO
DE TANQUE DE ONDAS
Martha Luiza Vilela Hermann
Projeto de Graduacao apresentado ao
Curso de Engenharia Naval e Oceanica
da Escola Politecnica, Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de
Engenheiro.
Orientadores: Sergio Hamilton Sphaier
Marcelo de Araujo Vitola
Rio de Janeiro
Setembro de 2016
ANALISE DE MODELO NUMERICO ESPECTRAL PARA REPRESENTACAO
DE TANQUE DE ONDAS
Martha Luiza Vilela Hermann
PROJETO DE GRADUACAO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO
CURSO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEANICA DA ESCOLA POLITECNICA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE
ENGENHEIRO NAVAL.
Aprovada por:
Prof. Sergio Hamilton Sphaier, Dr-Ing.
Prof. Marcelo de Araujo Vitola, D.Sc.
Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperanca, D.Sc.
Prof. Claudio Alexis Rodrıguez Castillo, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO DE 2016
Hermann, Martha Luiza Vilela
Analise de Modelo Numerico Espectral para
Representacao de Tanque de Ondas/ Martha Luiza
Vilela Hermann. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola
Politecnica/ 2016.
XI, 39 p. 29, 7cm.
Orientadores: Sergio Hamilton Sphaier
Marcelo de Araujo Vitola
Projeto de Graduacao – UFRJ/Escola Politecnica/
Curso de Engenharia Naval e Oceanica, 2016.
Referencias Bibliograficas: p. 38 – 39.
1. HOS-NWT. 2. Tanque de ondas. 3. simulacao
numerica. 4. modelo espectral. I. Sphaier, Sergio
Hamilton et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Escola Politecnica, Curso de Engenharia Naval e Oceanica.
III. Tıtulo.
iii
Para meu engenheiro naval
honorario, meu parceiro Peu
iv
Agradecimentos
Aos meus pais, que me educaram para o que sou hoje. Voces sempre foram exigentes
e amigos na medida certa, sempre me incentivando a ser curiosa e a estudar, pois o
conhecimento ninguem pode tomar de mim.
Aos meus irmaos, as conversas de bioquımica, economia e naval sempre tornam
os papos interessantes. Quem sabe um dia ainda nao teremos uma empresa de navios
de fungo.
A minha famılia, que vibrou a cada conquista e que mesmo nao sendo engenheiros
sempre quiseram saber todos os detalhes dos meus projetos. Tambem aos que nao
estao mais presentes, mas que continuam na memoria.
Aos amigos de sempre, que me ajudaram a me distrair da engenharia quando
era preciso e que fizeram parte da jornada diaria que me levou a esta universidade.
Aos amigos de hoje, que a engenharia me trouxe. Ninguem tirou mais duvidas
minhas e me socorreu nos trabalhos impossıveis mais do que voces. Em especial aos
colegas de profissao, so voces sabem como eu o que significa se formar um engenheiro
naval.
Aos professores que me motivaram e me deslumbraram com seu conhecimento e
com as historias navais.
Ao professor Marcelo Vitola, que me orientou ao longo da execucao deste traba-
lho, me ensinando como seguir com um projeto de pesquisa e sofrendo junto comigo
quando o modelo se mostrava um verdadeiro quebra-cabeca.
Ao meu Peu, meu companheiro e melhor amigo, que aprendeu tudo sobre projetos
de navio, estando ao meu lado mesmo quando os prazos eram apertados e as noites
mal dormidas.
v
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Naval.
ANALISE DE MODELO NUMERICO ESPECTRAL PARA REPRESENTACAO
DE TANQUE DE ONDAS
Martha Luiza Vilela Hermann
Setembro/2016
Orientadores: Sergio Hamilton Sphaier
Marcelo de Araujo Vitola
Curso: Engenharia Naval e Oceanica
Tanques de ondas vem sendo utilizados para o ensaio de estruturas e o estudo
do ambiente marinho, permitindo a analise do comportamento de prototipos em
estados de mar especıficos. Com o avanco da capacidade computacional, observamos
o aparecimento de ferramentas numericas que permitem simular estas instalacoes,
colaborando para que a calibracao das ondas seja cada vez mais eficiente e que novos
experimentos possam ser executados. Este projeto apresenta o trabalho realizado
com o modelo numerico ’HOS-NWT’ (High-Order Spectral Numerical Wave Tank),
com o objetivo de estuda-lo e implementa-lo para atuar em conjunto ao LabOceano.
Buscamos compreender o funcionamento do programa a partir da analise dos casos
de Sloshing e de ondas regulares 2D, comparando os dados obtidos do modelo com
valores analıticos e ensaios experimentais. Os resultados comprovam o potencial do
modelo em descrever de forma realista um tanque de ondas.
Palavras-chave: HOS-NWT, Tanque de ondas, simulacao numerica, modelo
espectral.
vi
Abstract of Undergraduated Project presented to POLI/UFRJ as a partial
fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.
SPECTRAL NUMERICAL MODEL FOR WAVE TANK REPRESENTATION
Martha Luiza Vilela Hermann
September/2016
Advisors: Sergio Hamilton Sphaier
Marcelo de Araujo Vitola
Course: Naval and Ocean Engineering
In order to overcome the difficulties of reproducing marine environments, wave
tanks are utilized to create a controlled sea state acting over a prototype. With
upraise of computational capacity, numerical tools have been developed to simulate
these installations, providing an efficient method to calibrate waves and bringing
new experiment possibilities. This work explores the applications of the open-source
software ’HOS-NWT’ (High-Order Spectral Numerical Wave Tank) in the context
of the LabOceano wave tank. For a thorough comprehension of the model, cases
of Sloshing and 2D regular waves were analyzed and compared to analytical and
experimental values. Based on the results obtained, it was demonstrated that the
model has the potential to simulate a wave tank accordingly.
Keywords: HOS-NWT, Wave tank, numerical simulation, Spectral Method.
vii
Sumario
Lista de Tabelas xi
1 Introducao 1
1.1 Geracao de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Absorcao das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 O laboratorio experimental (LabOceano) . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Tanques numericos e o modelo numerico estudado . . . . . . . . . . . 4
2 Modelo Matematico 6
2.1 Formulacao do problema generalizado de propagacao de ondas . . . . 6
2.2 Modelo de Zakharov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Serie de perturbacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Modelo Espectral HOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Formulacao do modelo numerico HOS-NWT . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Calculo do coeficiente de reflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Utilizacao do HOS-NWT 18
3.1 Parametros importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Arquivo de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Resultados e Discussoes 22
4.1 Sloshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Ondas Regulares 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Conclusoes 37
Referencias Bibliograficas 38
viii
Lista de Figuras
1.1 Principais tipos de atuadores para geracao de ondas em laboratorio . 2
1.2 Alguns modelos de praia de absorcao de ondas [1] . . . . . . . . . . . 3
1.3 Configuracao do LabOceano conforme Mello [2] . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Coordenadas do problema de propagacao de ondas . . . . . . . . . . . 6
2.2 Esquematizacao do tanque numerico e seu sistema de coordenadas [3] 11
2.3 Tipos de batedor de ondas representados no HOS-NWT [3] . . . . . . 11
2.4 Esquematizacao da praia numerica do HOS-NWT [4] . . . . . . . . . 12
2.5 Configuracao para medicao do coeficiente de reflexao [5] . . . . . . . . 13
3.1 Arquivo ’common vars.f90’ de configuracoes gerais do modelo HOS-
NWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Arquivo ’input HOS-NWT’ de definicao das propriedades da si-
mulacao do modelo HOS-NWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1 Os quatro primeiros modos naturais do tanque numerico . . . . . . . 23
4.2 Elevacao medida em um probe no meio do tanque para o caso ka=0.1
e Case001a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Perıodo de onda medido para a simulacao ka01Case001a . . . . . . . 28
4.4 Espectro da onda ka02Case002a simulada no HOS-NWT . . . . . . . 29
4.5 Altura de onda medida para a simulacao ka01Case001a . . . . . . . . 30
4.6 Variacao da media da altura de onda medida para a simulacao
ka01Case001a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.7 Relacao entre a amplitude da crista e do cavado da onda medida para
a simulacao ka01Case001a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8 Relacao entre a largura da crista e do cavado da onda medida para a
simulacao ka01Case001a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
ix
4.9 Comparacao entre o perıodo medio obtido para diferentes malhas e
ordens do batedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.10 Comparacao entre o perıodo medio obtido para diferentes malhas e
ordens do batedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.11 Probes utilizados no experimento replicado no modelo numerico . . . 35
4.12 Coeficiente de reflexao calculado em funcao da variacao da forca da
praia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
x
Lista de Tabelas
4.1 Resultado do sloshing para os dez primeiros modos . . . . . . . . . . 24
4.2 Resultado do sloshing para diferentes profundidades . . . . . . . . . . 24
4.3 Perıodo natural do tanque do LabOceano para os dez primeiros modos 25
4.4 Malhas testadas no modelo para ondas regulares . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Amplitude e frequencia utilizadas para teste de diferentes esbeltezes . 26
4.6 Resumo dos testes simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Testes experimentais realizados no LabOceano em 2012 . . . . . . . . 34
4.8 Resultados numericos e experimentais do coeficiente de reflexao da
praia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
xi
Capıtulo 1
Introducao
Tanque de ondas e uma instalacao que permite a geracao de ondas de superfıcie
para observacao do comportamento de estruturas no ambiente marinho. Este tipo
de laboratorio e usualmente composto de um tanque de agua doce aberto para
pressao atmosferica, apresentando um atuador para geracao de ondas em uma das
paredes e uma regiao de absorcao no extremo oposto para minimizar a reflexao.
Ha dois tipos principais de tanques para o estudo de ondas: canal de ondas e
tanque oceanico. O primeiro apresenta a largura significativamente menor que o
comprimento, compondo um canal estreito ideal para visualizacao das propriedades
das ondas em duas dimensoes. O segundo, que sera o foco deste trabalho, possui
as dimensoes de mesma magnitude, eliminando o efeito da parede do tanque sobre
as ondas e proporcionando um ambiente ideal para o teste de modelos da industria
offshore, inclusive de analise multidirecional.
No restante do capıtulo, iremos comentar a respeito de duas caracterısticas fun-
damentais de um tanque oceanico: a geracao e a absorcao de ondas. Seguidas da
descricao do laboratorio de ensaios experimentais e o modelo numerico utilizados.
1.1 Geracao de ondas
Um dos principais aspectos de um tanque de ondas e sua capacidade de gerar certos
tipos de ondas em um ambiente controlado. A geracao de ondas e possıvel gracas a
atuadores localizados em uma das extremidades do tanque. O trabalho de Michima
[6] apresenta os principais tipos de batedores encontrados em laboratorio. Estes sao:
1
pneumatico, cunha oscilante, pistao e placa basculante (”flap”), conforme ilustrado
na figura 1.1.
Figura 1.1: Principais tipos de atuadores para geracao de ondas em laboratorio
O atuador pneumatico consiste em uma camara parcialmente imersa na agua
que permite variar a pressao na superfıcie, gerando as ondas. Por nao conter par-
tes mecanicas moveis em contato com a a agua, pode ser considerado um atuador
passivo.
O batedor tipo cunha gera as ondas a partir da oscilacao vertical de um corpo
prismatico. Sua maior limitacao e a necessidade de espaco acima da superfıcie da
agua para permitir a movimentacao da cunha.
O modelo pistao e uma placa rıgida parcialmente imersa que oscila na horizontal,
gerando as ondas a partir do deslocamento da massa de agua.
E, finalmente, temos o atuador do tipo placa basculante, que e analogo ao pistao,
porem apresenta sua movimentacao em torno de um ponto articulado.
1.2 Absorcao das ondas
Uma das vantagens de um tanque de ondas e poder escolher as ondas que serao
geradas, focando no tipo de ensaio desejado. Entretanto, isto so e possıvel se nao
houver interferencia sobre as ondas oriundas do batedor. Assim, e preciso minimizar
a reflexao das ondas nas paredes do tanque, o que e feito a partir de absorvedores
de onda. Ha dois grupos principais de atuadores para a absorcao de ondas: ativos
e passivos.
- Ativos: sao constituıdos de batedores posicionados na extremidade oposta aos
geradores. Estes atuadores formam ondas de mesma amplitude, mas em antifase
2
as ondas incidentes, criando uma interferencia destrutiva e anulando as ondas que
seriam refletidas [6].
- Passivos: sao praias usualmente construıdas de concreto, areia, cascalho ou pe-
dras. Devem ter uma inclinacao suave para que a absorcao de ondas seja eficiente, o
que pode ser inviavel devido a limitacao do comprimento do tanque. Uma forma de
obter uma praia mais curta eficiente e optar por praias de inclinacao variavel, como
as parabolicas, utilizadas em conjunto com superfıcies rugosas ou de materiais poro-
sos [1]. Sao responsaveis por dissipar a energia das ondas incidentes, principalmente
atraves da quebra. A figura 1.2 ilustra algumas geometrias de praia.
Figura 1.2: Alguns modelos de praia de absorcao de ondas [1]
3
1.3 O laboratorio experimental (LabOceano)
O Laboratorio de Tecnologia Oceanica (LabOceano), inaugurado em 2003, faz parte
do programa de Engenharia Naval da COPPE/UFRJ. Possui um tanque oceanico
com 45m de comprimento, dos quais 5m sao ocupados por uma praia para absorcao
das ondas, 30m de largura e 15m de profundidade, que pode ser ajustada atraves de
um fundo movel. Alem disso, conta com um poco central de 5m de diametro com
10m adicionais de profundidade [2]. Sua configuracao esta ilustrada na figura 1.3
Figura 1.3: Configuracao do LabOceano conforme Mello [2]
O laboratorio esta equipado com um gerador de ondas do tipo serpente, que
conta com 75 pas no estilo placa basculante (’flap’), permitindo a formacao de ondas
multidirecionais. O gerador e capaz de produzir ondas regulares, multicromaticas e
irregulares, possibilitando ainda a alteracao da direcao das ondas.
1.4 Tanques numericos e o modelo numerico es-
tudado
Devido ao aumento da capacidade computacional, observamos o desenvolvimento
de ambientes virtuais que permitem a simulacao de certas condicoes de teste de
4
modelos. Em particular, diversas ferramentas conhecidas como ’Numerical Wave
Tanks’ (NWT), os tanques de onda numericos, foram concebidas para o estudo da
propagacao de ondas de gravidade. [3]
Estes modelos numericos sao relevantes por tres principais motivos: auxiliar na
implementacao e analise de testes experimentais; permitir estudos sistematicos do
ambiente de ondas; e permitir a integracao com outros softwares. [4]
De acordo com Bonnefoy et al. [7], o estudo de estados de mar nao-lineares tri-
dimensionais requer uma enorme quantidade de nos espaciais e de passos de tempo
para que seja corretamente mapeado. O metodo potencial apresenta as simpli-
ficacoes necessarias para tornar este tipo de analise possıvel e por isso e o mais
adequado para esta modelagem numerica.
Ao longo das ultimas decadas, uma classe de metodos potenciais nao-lineares
tem sido desenvolvida: o modelo espectral. Atraves do uso da transformada rapida
de Fourier (FFT), este modelo permite a simulacao de diversas condicoes de onda de
forma rapida, mesmo para malhas finas [7]. Particularmente dentro desta categoria,
temos o modelo chamado High-Order Spectral (HOS), desenvolvido em 1987 por
West et al.[8] e Dommermuth & Yue [9] e aperfeicoado desde entao.
O modelo ’HOS-NWT’ (High-Order Spectral Numerical Wave Tank) e um tan-
que numerico desenvolvido pelo laboratorio LHEEA da Ecole Centrale de Nantes.
O codigo fonte escrito em Frotran esta livre para uso na pagina do laboratorio no
Github [10]. O modelo e baseado no metodo HOS e propoe reproduzir as principais
caracterısticas de um tanque oceanico (geracao de ondas direcional, paredes refle-
xivas e praia de absorcao) de forma realıstica e eficiente computacionalmente. O
objetivo deste trabalho e analisar o comportamento deste programa, observando os
fatores que garantam um bom funcionamento. Futuramente, esperamos implementa-
lo em conjunto ao LabOceano para acelerar a calibracao dos testes experimentais
e ser uma alternativa ao tanque oceanico para experimentos que fiquem fora da
capacidade do laboratorio.
5
Capıtulo 2
Modelo Matematico
Este capıtulo apresenta as principais formulacoes matematicas utilizadas no modelo
numerico HOS-NWT.
2.1 Formulacao do problema generalizado de pro-
pagacao de ondas
Primeiramente, iremos definir a formulacao do problema de propagacao de ondas
em um domınio fluido bidimensional. A figura 2.1, adaptada de Kofiani [11], indica
as coordenadas utilizadas.
Figura 2.1: Coordenadas do problema de propagacao de ondas
Consideramos a hipotese de fluido homogeneo, irrotacional, incompressıvel e
invıscido. Devemos entao obedecer aos seguintes princıpios.
a) Princıpio de conservacao de massa (equacao da continuidade)
Dρ
Dt+ ρ∇ · ~V = 0 (2.1)
6
A partir da hipotese de fluido incompressıvel (DρDt
= 0) e escoamento irrotacional,
tal que o campo de velocidades possa ser descrito como o gradiente de um potencial
(~V = ∇ϕ), reduzimos a eq. 2.1 a equacao de Laplace:
∇2ϕ(x, z, t) = 0 (2.2)
b) Equacao de Navier-Stokes (obtida da segunda Lei de Newton, em conjunto as
hipoteses de fluido incompressıvel e newtoniano e Lei de Stokes)
D~V
Dt= −∇p
ρ+µ
ρ∇2~V + ~f (2.3)
Assumindo fluido invıscido (µ = 0) e escoamento irrotacional (∇ × ~V = 0),
obtemos a equacao de Bernoulli:
ρ∂ϕ
∂t+
1
2ρ|∇ϕ|2 + p+ ρgz = F (t) (2.4)
c) Condicao de contorno no fundo
Assumimos a hipotese de impenetrabilidade, de modo que nao ha velocidade
vertical em z = −h.
d) Condicao de contorno cinematica na superfıcie livre
De forma a manter o limite do domınio fluido, devemos considerar que nao ha
fluxo atraves da superfıcie livre z = η(x, t), o que pode ser descrito da seguinte
formaD
Dt(z − η(x, t)) = 0 (2.5)
Levando a seguinte equacao
∂η
∂t+∂ϕ
∂x· ∂η∂x− ∂ϕ
∂z= 0 (2.6)
e) Condicao de contorno dinamica na superfıcie
Esta condicao determina que a pressao do fluido na superfıcie seja igual a pressao
atmosferica, ou seja, em z = η(x, t), temos p = pa. A partir da equacao de Bernoulli
(eq. 2.4) e das hipoteses ja destacadas, obtemos
∂ϕ
∂t+
1
2· |∇ϕ|2 + gη = 0 (2.7)
7
2.2 Modelo de Zakharov
O problema descrito na secao anterior nao apresenta uma solucao fechada, o que
exige que algumas simplificacoes sejam tomadas para que se obtenha uma solucao
aproximada, como por exemplo de que as ondas sao de pequena amplitude. Para
contornar esta limitacao e aprimorar a solucao para ondas mais esbeltas, Zakharov
[12] (1968, apud Kofiani [11], 2009) propos uma solucao a partir da introducao de
uma nova variavel, o potencial de velocidade da superfıcie livre ϕS, tal que
ϕS(x, t) = ϕ(x, η(x, t), t) (2.8)
Podemos notar que desta forma ϕS e uma funcao independente de z = η(x, t).
Consideramos entao as derivadas parciais em relacao a x e t da eq. 2.8
∂
∂tϕS(x, t) =
∂ϕ
∂t+∂ϕ
∂z· ∂η∂t
(2.9)
∂
∂xϕS(x, t) =
∂ϕ
∂x+∂ϕ
∂z· ∂η∂x
(2.10)
A seguir, substituımos ∂ϕ∂x
obtido da equacao 2.10 na equacao que define a
condicao cinematica (eq. 2.6), obtendo
∂η
∂t+∂ϕS
∂x· ∂η∂x−
(1 +
(∂η
∂x
)2)∂ϕ
∂z= 0 (2.11)
E, analogamente, substituımos as equacoes 2.9, 2.10 e 2.11 na equacao da
condicao dinamica (eq. 2.7), obtendo
∂ϕS
∂t+
1
2·(∂ϕS
∂x
)2
+ gη − 1
2·
(1 +
(∂η
∂x
)2)·(∂ϕ
∂z
)2
= 0 (2.12)
2.3 Serie de perturbacao
Seguindo o desenvolvimento apresentado por Kofiani [11], assumimos que a elevacao
da superfıcie η e de ordem ε, sendo ε = kA a esbeltez da onda. Dessa forma, podemos
expandir o potencial de velocidade ϕ em termos ate uma certa ordem M
ϕ(x, z, t) =M∑m=1
ϕ(m)(x, z, t) (2.13)
e, podemos aplicar uma separacao de variaveis, expandimos cada ordem ϕ(m) em N
ondas, tal que
ϕ(m)(x, z, t) =N∑n=1
ϕm,n(t)ψn(x, z) (2.14)
8
sendo ψn(x, z) as auto-funcoes do problema nas direcoes x e z.
Assumindo condicoes de contorno periodicas na direcao x, podemos escrever que
ψn(x, z) = Z(z) · exp(iknx) (2.15)
Em relacao a direcao z, a expressao para ψn depende das condicoes de contorno
no fundo. Lembrando que ∂ϕ∂z
= 0 para z = −h, temos que Z(z) = cosh(kn(z + h)).
Assim, da equacao 2.15 temos
ψn(x, z) = cosh(kn(z + h)) · exp(iknx) (2.16)
A seguir, iremos explicitar a descricao da primeira ordem, M = 1, da equacao
2.13. A equacao que governa o problema para a primeira ordem e dada pela equacao
de Laplace
∇2ϕ(1)(x, z, t) = 0 (2.17)
associada a condicao cinematica
∂η
∂t−∂ϕ(1)
∂z= 0 (2.18)
e a condicao dinamica em z = 0
∂ϕS(1)∂t
+ gη = 0 (2.19)
A partir do desenvolvimento apresentado, podemos obter a resolucao para cada
ordem. A solucao deve ser feita de maneira sequencial ate a ordem M , pois cada
passo depende do resultado anterior. As ordens superiores nao serao explicitadas e
podem ser encontradas na literatura associada.
2.4 Modelo Espectral HOS
O metodo ’High-Order Spectral’ (HOS) foi desenvolvido no mesmo ano por Dom-
mermuth e Yue [9] e West et al. [8] em 1987. Nesta secao iremos seguir o desenvol-
vimento apresentado por Kofiani [11] para descrever o modelo HOS.
Mantendo a suposicao de movimentacao 2D e irrotacional de um fluido ho-
mogeneo, incompressıvel e invıscido, temos que o campo pode ser descrito pelo
9
potencial de velocidade ϕ(x, z, t). Assumimos entao que a superfıcie livre e de or-
dem ε e que o potencial de velocidade pode ser representado por uma serie de
perturbacao em ε = kA, sendo ε a esbeltez, k o numero de onda e A a amplitude,
tal que
ϕ(x, z, t) =M∑m=1
ϕ(m)(x, z, t) (2.20)
sendo que ( )(m) representa uma funcao da ordem O(εm). A seguir, expandimos
cada termo ϕ(m) em uma serie de Taylor em torno da superfıcie media z = 0, de
modo que, lembrando da definicao do potencial de superfıcie de Zakharov (eq. 2.8),
obtemos
ϕS(x, t) = ϕ(x, z = η(x, t), t) =M∑m=1
M−m∑j=0
ηj
j!
∂j
∂zjϕ(m)(x, 0, t) (2.21)
Da descricao acima, obtemos uma serie de condicoes de contorno ϕ(m)(x, 0, t) =
R(m), que devem ser resolvidas sequencialmente a partir de M = 1, tal que
R(1) = ϕS(x, t)
R(m) = −m−1∑j=1
ηj
j!
∂j
∂zjϕ(m−j)(x, 0, t) (2.22)
E, como definido pela serie de perturbacao na eq. 2.14, cada ordem do potencial
de velocidade ϕ(m) contem N ondas livres
ϕ(m)(x, z, t) =N∑n=1
ϕm,n(t)ψn(x, z) (2.23)
O proximo passo do desenvolvimento e calcular a velocidade vertical da superfıcie
livre ϕz = ∂ϕ∂z
. Assim, derivando a eq. 2.21 em conjunto com a eq. 2.23, obtemos
ϕz =M∑m=1
M−m∑j=0
∂ηj
j!
∂j+1
∂zj+1
N∑n=1
ϕm,n(t)ψn(x, 0) (2.24)
Por fim, a expressao para ϕz = ∂ϕ∂z
(eq. 2.24) pode ser substituıda nas condicoes
de contorno cinematica e dinamica reformuladas de Zakharov (eqs. 2.11 e 2.12). As
equacoes resultantes sao chamadas equacoes de evolucao e sao descritas em termos
dos coeficientes modais ϕm,n. Deste modo, podemos obter a elevacao da superfıcie
η e o potencial de velocidade da superfıcie ϕs para o proximo passo de tempo.
Este procedimento e repetido para obtermos o historico temporal da elevacao da
superfıcie.
10
2.5 Formulacao do modelo numerico HOS-NWT
O modelo numerico HOS-NWT, desenvolvido pelo laboratorio LHEEA da Ecole
Centrale de Nantes, baseado no metodo espectral, busca reproduzir de maneira
realista o campo de ondas 3D de um tanque de ondas. Esta secao busca caracterizar
as principais formulacoes deste modelo.
O NWT e um tanque retangular, 3D, que tem dimensoes horizontais Lx × Ly e
a profundidade h. O escoamento dentro do domınio e calculado de forma potencial,
utilizando o metodo HOS. Seguimos um sistema de coordenadas como indica a figura
2.2, na qual x = 0 corresponde a posicao neutra do batedor de ondas. As secoes
x = Lx, y = 0 e y = Ly sao paredes perfeitamente reflexivas. [3]
Figura 2.2: Esquematizacao do tanque numerico e seu sistema de coordenadas [3]
O HOS-NWT tem implementado dois tipos de batedor: pistao e placa basculante
(’flap’), ilustrados na figura 2.3. A simulacao pode incluir ainda uma rampa para a
geracao de ondas, de modo que a movimentacao do batedor se inicia no repouso e
chega ao valor determinado ao final da rampa. Esta consideracao reduz o estresse
mecanico sobre a placa do batedor real e reduz a descontinuidade inicial.
Figura 2.3: Tipos de batedor de ondas representados no HOS-NWT [3]
11
Para permitir a integracao de geracao de ondas ao tanque numerico, Bonnefoy
et al. [4] separa o potencial de velocidade ϕ em duas partes
ϕ = ϕf + ϕadd (2.25)
sendo ϕadd representa a condicao nao-homogenea em x=0 imposta pelo batedor e
ϕf contabiliza o restante do domınio.
Assim como apresentado para a modelagem do batedor, o potencial associado a
geracao de ondas tambem e expandido em partes, o que permite a simulacao ate a
terceira ordem do batedor. Mais detalhes sobre a metodologia para representacao
do batedor podem ser encontradas em [4] ou [3].
Para que o modelo seja capaz de representar as ondas de um tanque real de forma
fiel, este deve considerar a praia. Assim, o HOS-NWT inclui uma zona de dissipacao
de ondas a partir da posicao x0 definida pelo usuario, conforme apresentado na figura
2.4.
Figura 2.4: Esquematizacao da praia numerica do HOS-NWT [4]
A praia numerica e definida a partir da mudanca local da pressao sobre a regiao
de absorcao, que passa a ser dada por pa = ρν(~x)~∇φ · ~n. O termo ν(~x) foi de-
terminado como um polinomio de terceira ordem, de modo a ser suave para nao
causar descontinuidades, definido como ν(~x) = 0 para x < x0 e αu2(3 − 2u) nos
demais locais, sendo u = (x − x0)/Lb e Lb = Lx − x0. Portanto, a absorcao passa
a depender somente de dois parametros: o comprimento da zona de absorcao Lb e
o coeficiente de intensidade de absorcao α. Estes valores devem ser determinados
de forma interativa para se obter o coeficiente de reflexao desejado. Primeiramente,
deve se manter Lb fixo e variar α. A partir de um certo valor
alpha = alphac, o coeficiente de reflexao se mantem praticamente constante, de
modo que torna-se preciso modificar Lb para atingir a reflexao desejada. [13]
12
Para calcular o coeficiente de reflexao, utilizamos a metodologia de Mansard e
Funke [5], descrita na secao a seguir.
2.6 Calculo do coeficiente de reflexao
Para o calculo do coeficiente de reflexao de onda, utilizamos o metodo de tres pontos
de Mansard e Funke [5]. Este determina que a partir dos dados de elevacao de tres
probes e do metodo de mınimos quadrados e possıvel determinar o coeficiente de
reflexao, dado pela relacao entre a amplitude das ondas refletida e incidente. A
seguir iremos descrever os passos mais importantes da resolucao.
Assumimos um canal com ondas progredindo no sentindo longitudinal e uma es-
trutura que provoque reflexao no sentido oposto. Supomos que tenhamos a medicao
simultanea da elevacao em tres probes p1, p2 e p3, localizados em uma linha paralela
a direcao de propagacao de ondas, como ilustrado na figura 2.5.
Figura 2.5: Configuracao para medicao do coeficiente de reflexao [5]
O perfil de onda observado em qualquer um dos probes pode ser dado como uma
soma de componentes de Fourier, tal que
ηp(t) =N∑j=1
Ap,j · sin(
2π · j · tT
+ αp,j
)(2.26)
sendo Ap,j o coeficiente de Fourier para a frequencia j/T , T o perıodo da onda
observada e αp,j a fase relativa a origem do registro.
Para 0 <= t <= T , podemos expressar a transformada de Fourier da funcao
ηp(t) na forma polar como
Bp,j = Ap,j · eiαp,j (2.27)
13
ou retangular como
Bp,j = Ap,j · cos(αp,j) + i · Ap,j · sin(αp,j) (2.28)
A equacao geral de propagacao de onda pode ser escrita na forma
ηx(t) =N∑j=1
Cj · sin(−2π · j · t
T+
2πx
Lj+ θj
)(2.29)
sendo θj uma fase arbitraria em relacao a origem da funcao e Lj o comprimento de
onda de frequencia j/T .
Podemos definir a elevacao no probe p como a soma dos seguintes termos:
a) uma onda incidente CI,j;
b) uma onda refletida CR,j;
c) o ruıdo do sinal, que pode ser causado por fatores como erros de medicao ou
interacoes nao-lineares.
Podemos entao descrever o perfil de onda no probe p como
ηp(t) =N∑j=1
CIj · sin(−2π · j · t
T+
2π · (X1 +X1p)
Lj+ θj
)
+N∑j=1
CRj · sin(−2π · j · t
T+
2π · (X1 + 2 ·XR1−X1p)
Lj+ θj + φj
)+ Ωp(t) (2.30)
sendo X1 a posicao do probe 1 em relacao a origem, X1p a distancia entre os
probes 1 e p (X11 = 0), XR1 a distancia entre o probe 1 e o objeto reflexivo, φj
a mudanca de fase provocada pela reflexao e Ωp(t) o efeito acumulado de todos os
ruıdos presentes.
E aplicando a transformada de Fourier na eq. 2.30 para o intervalo 0 < t < T
obtemos
F [ηp(t)] = Bp,j = CI,j · exp(i · 2π · (X1 +X1p)
Lj+ iθj
)+ CR,j · exp
(i · 2π · (X1 + 2 ·XR1−X1p)
Lj+ i(θj + φj)
)+ Yp,j · exp · (ρp,j) (2.31)
Estamos interessados apenas na diferenca de fase entre os probes, de modo que
14
se definirmos
ZI,j = CI,j · exp(i · 2π ·X1
Lj+ iθj
)ZR,j = CR,j · exp
(i · 2π · (X1 + 2 ·XR1)
Lj+ i(θj + φj)
)ZN,p,j = Yp,j · exp · (ρp,j) (2.32)
podemos simplificar a eq. 2.31, obtendo para os tres probes
B1,j = ZI,j + ZR,j + ZN,1,j (2.33)
B2,j = ZI,j ·exp(i · 2π ·X12
Lj
)+ ZR,j ·exp
(−i · 2π ·X12
Lj
)+ ZN,2,j (2.34)
B3,j = ZI,j ·exp(i · 2π ·X13
Lj
)+ ZR,j ·exp
(−i · 2π ·X13
Lj
)+ ZN,3,j (2.35)
Nao e possıvel predeterminar o ruıdo, de modo que os termos ZN nao podem
ser medidos. Porem, e possıvel resolver as equacoes 2.33, 2.34 e 2.35 empregando o
metodo dos mınimos quadrados, como sera descrito a seguir.
Por conveniencia, podemos definir
ψp,j =2π ·X1p
Lj(2.36)
βj = ψ2,j =2π ·X12
Lj(2.37)
γj = ψ3,j =2π ·X13
Lj(2.38)
E entao, reapresentamos as eqs. 2.33 a 2.35 no seguinte formato
ZI,j + ZR,j −B1,j = ε1,j (2.39)
ZI,j · eiβj + ZR,j · e−iβj −B2,j = ε2,j (2.40)
ZI,j · eiγj + ZR,j · e−iγj −B3,j = ε3,j (2.41)
sendo εp,j = −ZN,p,j + fe(ZI,j, ZR,j).
Aplicando entao o metodo dos mınimos quadrados, buscamos os valores de ZI e
ZR para os quais a soma dos quadrados de εp,j para todos os probes p seja mınima.
Isto corresponde aos valores para os quais fe(ZI,j, ZR,j) = 0 e, portanto,
3∑p=1
(εp,j)2 =
3∑p=1
(ZI,j · eiψp,j + ZR,j · e−iψp,j −Bp,j
)2= minimo (2.42)
15
Assumimos que o mınimo e obtido quando ambas as derivadas parciais sejam
zero, i.e.
∂(∑3
p=1(εp,j)2)
∂ZI,j=∂(∑3
p=1(εp,j)2)
∂ZR,j= 0 (2.43)
Assim, derivando a eq. 2.42 temos as equacoes
3∑p=1
(ZI,j · eiψp,j + ZR,j · e−iψp,j −Bp,j
)· eiψp,j = 0 (2.44)
3∑p=1
(ZI,j · eiψp,j + ZR,j · e−iψp,j −Bp,j
)· e−iψp,j = 0 (2.45)
que podem ser reescritas como
ZI,j ·(1 + ei·2·βj + ei·2·γj
)+ 3ZR,j = B1,j +B2,j · ei·βj +B3,j · ei·γj (2.46)
ZR,j ·(1 + e−i·2·βj + e−i·2·γj
)+ 3ZI,j = B1,j +B2,j · e−i·βj +B3,j · e−i·γj(2.47)
Finalmente, das eqs. 2.46 e 2.47, podemos obter a solucao para ZI e ZR como
segue:
ZI,j =1
Dj
·[B1,j · (R1 + i ·Q1) +B2,j · (R2 + i ·Q2) +B3,j · (R3 + i ·Q3)
](2.48)
ZR,j =1
Dj
·[B1,j · (R1− i ·Q1) +B2,j · (R2− i ·Q2) +B3,j · (R3− i ·Q3)
](2.49)
sendo:
Dj = 2 · (sin2 βj + sin2 γj + sin2(γj − βj)
R1j = sin2 βj + sin2 γj
Q1j = sin βj · cos βj + sin γj · cos γj
R2j = sin γj · sin(γj − βj)
Q2j = sin γj · cos(γj − βj)− 2 · sin βj
R3j = − sin βj · sin(γj − βj)
Q3j = sin βj · cos(γj − βj)− 2 · sin γj
(2.50)
As equacoes 2.48 e 2.49 sao resolvidas independentemente para cada componente
de frequencia, usando a transformada de Fourier, ou banda de frequencia, caso seja
utilizada uma analise espectral.
16
Os parametros Dj, R1,j, R2,j, R3,j, Q1,j, Q2,j e Q3,j sao facilmente obtidos do
espacamento entre os probes. Ja os parametros B1,j, B2,j e B3,j sao expressos tal
como a eq. 2.28, i.e.
Bp,j = Ap,j · cos(αp,j) + i · Ap,j · sin(αp,j) (2.51)
Os valores de Ap,j e αp,j podem ser obtidos diretamente da transformada de
Fourier do registro de onda em cada probe, ou a partir dos espectros de amplitude
e fase no caso de analise espectral.
Finalmente, a partir de ZI,j e ZR,j calculados das eqs. 2.48 e 2.49, podemos
calcular o coeficiente de reflexao
CR =|ZR(j ·∆f)||ZI(j ·∆f)|
(2.52)
Devemos atentar para a existencia de uma singularidade quando Dj = 0, que
ocorre para os espacamentos de probe X12 =qLj
2e X13 = m
nX12. Sendo q, m, n e
m/n inteiros e Lj o comprimento de onda para a frequencia considerada.
17
Capıtulo 3
Utilizacao do HOS-NWT
Este capıtulo busca caracterizar o funcionamento do modelo HOS-NWT, destacando
o processo que deve ser seguido para utiliza-lo, assim como a descricao das variaveis
que devem ser determinadas. A pagina do laboratorio no Github [10] descreve as
principais caracterısticas de utilizacao do modelo, que serao reproduzidas a seguir.
O HOS-NWT foi desenvolvido para ser utilizado na linha de comando do Li-
nux conjuntamente com um arquivo de input contendo todas as especificacoes da
simulacao. Os arquivos de output sao salvos em um diretorio ’Results’, que deve ser
criado pelo usuario.
3.1 Parametros importantes
Primeiramente, o usuario deve alterar as configuracoes gerais do modelo no arquivo
’common vars.f90’, tais como o numero de nos e a ordem de resolucao. Isto deve
ser feito no diretorio ’sources/variabledef’ do programa. A figura 3.1 ilustra este
arquivo.
As variaveis que podem ser definidas neste arquivo sao:
- n1: o numero de nos/modos na direcao x;
- n2: a quantidade de nos/modos na direcao y;
- n3: o numero de nos/modos na direcao z;
- mHOS: determina a ordem de nao-linearidade adotada para o modelo.
- p1 e p2: estao relacionadas ao fenomeno chamado ’aliasing’, que ocorre nos
termos que envolvem o produto de variaveis. O entendimento da definicao destes
18
Figura 3.1: Arquivo ’common vars.f90’ de configuracoes gerais do modelo HOS-
NWT
termos exige um aprofundamento nos estudos do modelo.
A partir destas variaveis, o usuario define se deseja uma simulacao 2D, compi-
lando com n2=1 e p2=1; ou uma abordagem 3D, em que n2 e p2 sao escolhidos
manualmente, desde que diferentes de 1.
3.2 Arquivo de entrada
Para definir as demais propriedades da simulacao, o usuario precisa preencher o
arquivo de entrada ’input HOS-NWT.dat’ localizado no mesmo diretorio em que o
modelo e compilado. Este documento apresenta o formato apresentado na figura
3.2.
Neste arquivo podemos definir as seguintes caracterısticas:
a) Dimensoes do tanque: xlen, ylen e zlen caracterizam respectivamente o com-
primento, a largura e a profundidade do tanque numerico;
b) O caso a ser rodado, que pode ser um dos seguintes:
- Sloshing: para icase=1, o usuario define o modo natural do tanque (islosh) e a
amplitude (aslosh);
- Ondas monocromaticas: para icase=2, o NWT gera ondas regulares. E possıvel
determinar a amplitude (amp mono), frequencia (nu mono) e a fase (ph mono) das
ondas. Adicionalmente para o modelo 3D, escolhemos o angulo de propagacao
(theta mono), o metodo para geracao direcional de ondas (ibat=2 para serpente
e ibat=3 para metodo de Dalrymple) e a distancia para o alvo no caso de Dalrymple
(xd mono);
- Caso de um arquivo: o movimento do batedor e descrito por um arquivo. O
19
Figura 3.2: Arquivo ’input HOS-NWT’ de definicao das propriedades da simulacao
do modelo HOS-NWT
valor de icase pode ser 3, 31, 32 ou 33, de acordo com as informacoes contidas no
arquivo de entrada.
- Ondas irregulares: o movimento do batedor gera um campo de ondas irregular,
com altura significativa (Hs) e perıodo de pico (Tp). Para icase=4, tem-se um espec-
20
tro JONSWAP com o fator de forma (gamma) definido; para icase=41, o espectro
e de Bretschneider.
c) Definicao do gerador de onda: i wmk define a ordem de nao-linearidade do
batedor, podendo ser 1, 2 ou 3 (o recomendado e i wmk=2); igeom determina o
seu tipo (1: pistao, 2:articulado); d hinge e a altura em relacao ao fundo do ponto
de articulacao (somente para igeom=2); iramp define se a rampa do batedor e do
tipo linear (iramp=1), de segunda ordem (iramp=2) ou de quarta ordem (iramp=4);
Tramp e a duracao em segundos da rampa.
d) Praia numerica: iabsnb indica se ha (iabsnb=1) ou nao (iasbnb=0) uma
praia no final do tanque; xabsf define a posicao de inıcio da praia em relacao ao
comprimento do tanque; coeffabsf determina sua forca de absorcao.
e) Probes: pro file e o nome do arquivo com a localizacao dos probes; iprob=1
indica que estes sao superficiais, para medir a elevacao, e a localizacao e dada por x
e y; iprob=2 e para probes de medicao de pressao e cada linha do arquivo contem a
localizacao x z y.
f) Integracao de tempo: T stop e a duracao da simulacao (em s); toler e a
tolerancia empregada para Runge-Kutta; f out e a frequencia do output (em Hz).
Deve-se atentar para f out escolhido, pois um valor muito baixo nao ira apresentar
pontos suficientes para se analisar os resultados e uma frequencia muito alta ira
tornar o tempo de simulacao desnecessariamente longo.
g) Arquivos de saıda: escolhe-se habilitar (1) ou nao (0) cada um dos formatos
de output. Estes arquivos sao gerados em um formato para visualizacao no Tecplot.
21
Capıtulo 4
Resultados e Discussoes
Neste capıtulo, serao apresentados os principais resultados obtidos das simulacoes
no HOS-NWT e uma breve analise de seus significados.
4.1 Sloshing
O primeiro passo tomado para a utilizacao do HOS-NWT foi o caso mais simples, o
Sloshing. Este consiste no calculo do modo natural escolhido pelo usuario (islosh).
O objetivo nesta etapa foi nos familiarizarmos com o programa, testando como este
responderia aos diferentes modos e a diferentes profundidades, comparando com o
valor teorico definido por Faltinsen [14] na equacao 4.1
Ti =2π√
gπil
tanh(πihl
) , i = 1, 2, 3, ... (4.1)
sendo i o modo natural e l o comprimento do tanque.
A figura 4.1 mostra a representacao no Tecplot do arquivo de saıda ’3d.dat’ para
os quatro primeiros modos naturais de um tanque de 50m de comprimento, 29.74m
de largura e 5m de profundidade. A malha 2D utilizada foi n1=513 e n3=33, com
mHOS=3. A amplitude escolhida foi de aslosh=0.1m, a frequencia de saıda de f -
out=20Hz e o tempo de duracao de T stop=80s. Estes valores sao os do exemplo
do modelo.
Podemos observar que o numero de nos obtidos para cada modo condiz com o
esperado teorico apresentado por Faltinsen [14]. O mesmo ocorre para os demais
modos. A representacao da superfıcie se mostra suave, de modo que a malha uti-
22
Figura 4.1: Os quatro primeiros modos naturais do tanque numerico
lizada aparenta ser eficiente, nao levando mais do que alguns poucos minutos para
ser compilada.
Desta mesma simulacao, observamos o tempo decorrido entre dois picos de
elevacao em uma determinada posicao do tanque. A partir da media dos valores
medidos, obtemos o perıodo natural do tanque numerico para o modo compilado.
A tabela 4.1 mostra a comparacao entre o valor obtido pelo modelo numerico e
o calculado analiticamente da eq. 4.1 para os dez primeiros modos. Ja a tabela
4.2 apresenta esta mesma comparacao para diversas profundidades, para o caso do
segundo modo natural. Os demais fatores nao foram modificados.
Podemos observar que a diferenca percentual obtida entre modelo numerico e o
valor analıtico permanece abaixo de 1% para todos os casos testados, o que indica
que o modelo oferece uma representacao satisfatoria para o caso de Sloshing.
Em seguida, com a verificacao dos resultados obtidos para Sloshing no modelo,
simulamos os dez primeiros modos naturais de uma tanque semelhante ao LabOce-
23
Tabela 4.1: Resultado do sloshing para os dez primeiros modos
islosh T analıtico (s) T numerico (s) Diferenca (%)
1 14.510 14.50 0.07
2 7.583 7.60 0.22
3 5.385 5.40 0.29
4 4.340 4.35 0.23
5 3.737 3.75 0.34
6 3.343 3.35 0.20
7 3.062 3.05 0.40
8 2.848 2.85 0.07
9 2.677 2.70 0.86
10 2.536 2.55 0.57
Tabela 4.2: Resultado do sloshing para diferentes profundidades
h input (m) T analıtico (s) T numerico (s) Diferenca (%)
1 16.006 16.00 0.04
2 11.406 11.40 0.05
3 9.430 9.40 0.32
4 8.306 8.30 0.07
5 7.583 7.60 0.22
10 6.138 6.15 0.20
20 5.696 5.70 0.07
30 5.662 5.65 0.21
40 5.659 5.65 0.16
50 5.659 5.65 0.16
ano, com 40m de comprimento, 30m de largura e 15m de profundidade. Os valores
obtidos e a comparacao com o esperado analıtico estao indicados na tabela 4.3.
Este resultado e importante para a verificacao dos casos de propagacao de ondas no
tanque, pois possıveis ondas estacionarias podem distorcer a elevacao medida nos
probes quando o perıodo da onda gerada se aproxima de algum modo natural do
tanque.
24
Tabela 4.3: Perıodo natural do tanque do LabOceano para os dez primeiros modos
islosh T analıtico (s) T numerico (s) Diferenca (%)
1 7.872 7.85 0.28
2 5.107 5.10 0.14
3 4.136 4.15 0.33
4 3.579 3.60 0.58
5 3.201 3.20 0.04
6 2.922 2.90 0.76
7 2.706 2.70 0.20
8 2.531 2.55 0.76
9 2.386 2.40 0.58
10 2.264 2.25 0.60
4.2 Ondas Regulares 2-D
O passo seguinte ao Sloshing foi testar o modelo HOS-NWT para o caso icase=2,
de ondas regulares. Para verificar a influencia da malha e da ordem do batedor de
ondas, compilamos os mesmos casos apresentados por Ducrozet et al. [3]. A tabela
4.4 mostra estes parametros.
Tabela 4.4: Malhas testadas no modelo para ondas regulares
Case n1 n2 n3 mHOS
001 65 1 17 5
002 129 1 33 5
003 257 1 65 5
004 513 1 129 5
005 1025 1 257 5
Para cada um desses casos, variamos tambem a ordem do batedor de ondas
em iwmk=1,2,3, denotando estas simulacoes como a, b e c respectivamente. Estas
malhas foram entao aplicadas para as esbeltezes de onda ka=0.1, ka=0.2, ka=0.3 e
ka=0.4, testando ondas de pequena amplitude ate proximas ao limite de quebra. Os
parametros de onda utilizados para cada esbeltez estao apresentados na tabela 4.5.
Nao ha informacoes sobre a posicao dos sensores na referencia, portanto, arbitramos
25
um probe posicionado a 0.5Lx. As dimensoes do tanque de 46.4 x 29.74 x 5m
foram as mesmas apresentadas por Ducrozet et al. [3]. Determinamos um tempo de
simulacao de 80s, com uma frequencia de saıda de 10Hz.
Tabela 4.5: Amplitude e frequencia utilizadas para teste de diferentes esbeltezes
ka Amplitude (m, amp mono) Frequencia (Hz, nu mono)
0.1 0.047746 0.72111
0.2 0.095493 0.72111
0.3 0.143239 0.72111
0.4 0.190986 0.72111
A tabela 4.6 apresenta um resumo do que foi obtido das simulacoes. Temos tres
resultados possıveis: ’ok’ para quando o modelo funcionou por completo; ’NaN’ nos
casos em que a simulacao terminou no tempo determinado, porem, a partir do tempo
indicado entre parenteses, o modelo nao conseguiu mais calcular a propagacao da
onda; e os casos em que a simulacao foi interrompida no tempo indicado, pois o
modelo parecia nao avancar mais no tempo.
Na formulacao do modelo, Bonnefoy et al. [4] supoem que as simulacoes ocorrem
dentro dos limites em que nao ocorre quebra de ondas (ka < 0.44). Portanto, para
verificar se foi este o motivo de alguns casos nao terem sido completados, utilizamos
a expressao apresentada por Babanin et al. [15] indicada na eq. 4.2
N = −11atanh[5.5(IMS − 0.26) + 23] (4.2)
sendo N = xb/Lt o ponto onde a onda ira quebrar em relacao ao comprimento do
tanque e IMS = ka sua esbeltez. A expressao e valida para 0.08 ≤ IMS ≤ 0.44.
Verificando o valor de N para as esbeltezes simuladas, observamos que para todos
os casos N > 1, o que significa que a onda nao quebra dentro dos limites do tanque.
Uma outra hipotese que justificaria as simulacoes incompletas seria a necessidade
de uma ordem maior para decompor a onda no modelo (mHOS > 5), ja que estes
casos envolvem ondas mais proximas do limite de quebra e, portanto, com uma
maior nao-linearidade.
Para o pos-processamento dos dados obtidos, utilizamos o Matlab para gerar os
graficos das informacoes calculadas a partir do arquivo de saıda ’probes.dat’, que
26
Tabela 4.6: Resumo dos testes simulados
ka 0.1 0.2 0.3 0.4
Case001a ok ok ok ok
Case001b ok ok ok ok
Case001c ok ok ok ok
Case002a ok ok ok ok
Case002b ok ok ok ok
Case002c ok ok ok ok
Case003a ok ok ok NaN (18.2)
Case003b ok ok ok NaN (22.1)
Case003c ok ok ok NaN (36.2)
Case004a ok ok 17.3 8.9
Case004b ok ok 17.2 8.9
Case004c ok ok 17.2 3.0
Case005a ok 28.6 11.1 4.0
Case005b ok 26.8 4.0 2.6
Case005c ok 5.9 2.8 1.7
apresenta o historico de elevacao medido no probe. A seguir apresentamos um caso
servindo como um exemplo para a analise de informacoes que podem ser retiradas
de cada tipo de grafico.
Figura 4.2: Elevacao medida em um probe no meio do tanque para o caso ka=0.1 e
Case001a
27
A figura 4.2 mostra o historico de elevacao da onda observado no sensor. Este
e obtido diretamente do arquivo de saıda ’probes.dat’. O grafico tambem indica o
’tempo inicial’, que e o tempo que a onda programada leva para chegar ao probe,
levando em consideracao a rampa do batedor e o deslocamento do trem de ondas
ate a posicao do probe; e a ’reflexao’, que e o momento em que as primeiras ondas
refletidas sao registradas pelo probe.
Para calcularmos alguns parametros relativos a onda, iremos considerar cada
ciclo de onda identificado no historico de elevacao que esteja entre o ’tempo inicial’
e a reflexao. Um ciclo de onda e definido como a elevacao entre dois zeros ascendentes
consecutivos. Para obter os pontos de elevacao nula, interpolamos linearmente os
pontos negativo anterior e o positivo seguinte.
Figura 4.3: Perıodo de onda medido para a simulacao ka01Case001a
O grafico da figura 4.3 apresenta o perıodo de onda para cada ciclo de onda
medido pelo probe. Podemos observar que ha uma variacao maior nas primeiras
ondas identificadas, demonstrando uma fase transiente. Depois da quinta onda, os
valores tendem a uma media proxima do perıodo de onda determinado pelo arquivo
de entrada.
Uma outra forma de analisar o perıodo de onda no tanque e observar o espectro
de onda gerado a partir da elevacao medida no probe, como mostra a figura 4.4.
28
Figura 4.4: Espectro da onda ka02Case002a simulada no HOS-NWT
Um grafico de espectro aponta a energia associada a cada frequencia de onda, indi-
cando todas as frequencias relevantes medidas durante a simulacao. Podemos notar
que, como esperado para uma onda regular, a figura possui um pico acentuado para
valores de frequencia proximas a de input, o que indica que a frequencia predomi-
nante no tanque e proxima aquela determinada como dado de entrada da simulacao.
Optamos por representar a esbeltez ka=0.2 para Case002a, pois este permite a ob-
servacao de um segundo pico nıtido para uma frequencia aproximadamente o dobro
da frequencia do pico maior, o que pode representar o efeito da onda de segunda
ordem.
Analogamente ao grafico para o perıodo de onda, podemos analisar a altura para
cada ciclo de onda identificado, como pode ser visto na figura 4.5. A altura de onda
e medida como a distancia vertical entre o pico do cavado e o pico da crista, o que
equivale a duas vezes a amplitude no caso de uma onda linear. Podemos notar que
a variacao dos valores de altura de onda e mais intensa para as primeiras ondas,
se estabilizando em torno da media em seguida. Neste caso, a diferenca observada
entre a media da altura de onda e o valor dado como input da simulacao esta em
torno de 20%.
A figura 4.6 apresenta a ’running mean’ da altura de onda, que e calculada
29
Figura 4.5: Altura de onda medida para a simulacao ka01Case001a
Figura 4.6: Variacao da media da altura de onda medida para a simulacao
ka01Case001a
conforme a eq. 4.3. Este parametro representa a media das N primeiras ondas, em
que N e o numero de ciclos de onda identificados no probe. As conclusoes tiradas
deste grafico sao as mesmas da figura 4.5, porem mostrando de forma mais objetiva
30
a tendencia da altura media se manter constante depois de passada a fase transiente.
Hr =1
N
N∑i=1
H (4.3)
Para observarmos o grau de nao-linearidade da onda, podemos comparar as
diferencas entre amplitude e largura da crista em relacao ao cavado. A onda teorica
de segunda ordem e descrita por Dean [16] atraves da equacao 4.4
η =H1
2cos(kx− ωt) +
H21k
16
cosh kh
sin3 kh(2 + cosh 2kh) cos 2(kx− ωt) (4.4)
sendo η a elevacao, H1 a altura de onda de primeira ordem, k = 2π/L o numero de
onda, h a profundidade e ω a frequencia da onda.
Figura 4.7: Relacao entre a amplitude da crista e do cavado da onda medida para a
simulacao ka01Case001a
A figura 4.7 indica a variacao de Ak = acrista/acavado, que define a assimetria de
amplitude entre crista e cavado, presente em ondas nao-lineares. Podemos observar
que os valores apresentam uma convergencia proxima ao valor de Ak calculado para
ondas de segunda ordem.
Na figura 4.8 podemos observar a relacao entre as larguras da crista e do cavado,
tal que Sk = bcrista/bcavado. Para este parametro, o grafico apresentou resultados
inusitados, com grandes variacoes sem chegar a convergir. A principal hipotese para
31
Figura 4.8: Relacao entre a largura da crista e do cavado da onda medida para a
simulacao ka01Case001a
justificar este comportamento, que tambem esta presente para outros Cases, e a
existencia de um erro numerico ou de pos-processamento, requisitando um maior
estudo e observacao a respeito.
A figura 4.9 reune os resultados da relacao entre a media do valor de saıda e de
entrada do perıodo de onda para todos os casos que obtiveram a simulacao completa.
O ideal e que o resultado encontrado para o output esteja o mais proximo possıvel do
dado de entrada, ou seja, que a relacao entre eles esteja proxima a 1. Desta forma,
podemos analisar quais malhas e ordem do batedor fornecem o melhor resultado
para cada esbeltez de onda. Temos que para ka=0.1, todos os casos satisfazem a
representacao da onda com menos de 1% de erro, de modo que podemos utilizar
a malha mais grosseira (Case001). O mesmo vale para ka=0.2, desconsiderando-se
Case005, que nao foi conclusivo. Para os demais, a malha Case002 seria a escolhida,
ja que para Case001, o erro chega a ordem de 10%. Em relacao a ordem do batedor,
nao ha diferenca perceptıvel entre a, b e c para as malhas definidas como ideais.
Da mesma forma que analisamos a influencia da malha sobre o perıodo medio de
onda, podemos observar como a altura media se comporta, de acordo com a figura
4.10. Neste caso, analogamente ao perıodo, tambem buscamos os resultados mais
32
Figura 4.9: Comparacao entre o perıodo medio obtido para diferentes malhas e
ordens do batedor
Figura 4.10: Comparacao entre o perıodo medio obtido para diferentes malhas e
ordens do batedor
proximos possıvel de 1. Temos que para ka=0.1, o modelo apresenta resultados
abaixo de 5% a partir da malha Case002, sendo Case003 a que apresenta a maior
33
precisao. Para ka=0.2, a malha Case002 foi a que atingiu o resultado mais proximo.
Podemos notar que a altura de onda que limita a malha a ser escolhida.
O proximo passo para compreensao do modelo numerico envolveu a simulacao
no HOS-NWT dos testes experimentais realizados por Silva [17] no LabOceano em
2012, descritos na tabela 4.7. Estes tiveram como objetivo calcular o coeficiente de
reflexao da praia do laboratorio, utilizando o metodo definido por Mansard e Funke
[5].
Tabela 4.7: Testes experimentais realizados no LabOceano em 2012
Tests Amplitude (m) Frequencia (Hz) ka Cr
W01-10104 0.04 0.8000 0.103 14.5
W01-10201 0.04 0.6667 0.072 11.4
W01-10301 0.04 0.5714 0.053 20.0
W01-10401 0.04 0.5556 0.050 2.3
W01-10501 0.04 0.5000 0.040 12.8
W01-10601 0.04 0.4651 0.035 11.3
W01-10700 0.04 0.4167 0.028 15.5
W01-10802 0.04 0.4000 0.026 16.7
W01-10901 0.04 0.3774 0.023 17.7
W01-11001 0.04 0.3571 0.021 8.7
W01-11100 0.04 0.3333 0.018 5.2
Como podemos observar, os experimentos envolvem esbeltezes de onda de ate
ka=0.215, de modo que definimos que seria utilizada a malha e batedor de onda
Case002b (n1=129, n2=1, n3=33, mHOS=5 e wmk=2) que tem um bom funci-
onamento nesta faixa. As dimensoes do tanque sao as mesmas do LabOceano:
comprimento de 45m, dos quais 5m compoe a praia, 30m de largura e 15m de pro-
fundidade. A simulacao numerica tera a mesma duracao do ensaio experimental:
180s. Os probes tambem sao posicionados de acordo com o experimento, como
descrito na figura 4.11. Escolhemos o caso ’W01-10501’ para calibrar a praia, por
possuir um coeficiente de reflexao intermediario.
Para calibrar a praia, mantemos seu comprimento (xabsf) fixo e variamos sua
forca (coeffabsf) de forma iterativa ate atingir o valor de Cr = 12.8%, conforme a
34
Figura 4.11: Probes utilizados no experimento replicado no modelo numerico
tabela 4.7. O coeficiente de reflexao e calculado utilizando o metodo de Mansard
e Funke [5] para o historico de elevacao nos probes P1, P2 e P3. O coeficiente
de reflexao em funcao da forca da praia tem a forma apresentada na figura 4.12 e
apresenta caracterısticas similares as apresentadas por Bonnefoy et al. [13]. O valor
obtido que satisfaz a reflexao desejada foi de coeffabsf=0.153.
Figura 4.12: Coeficiente de reflexao calculado em funcao da variacao da forca da
praia
35
E entao, adotando este mesmo coeficiente de absorcao para os demais testes,
calculamos o coeficiente de reflexao obtido para cada um, conforme a tabela 4.8.
Tabela 4.8: Resultados numericos e experimentais do coeficiente de reflexao da praia
Tests Cr experimento (%) Cr numerico (%)
W01-10104 14.5 1.7
W01-10201 11.4 1.4
W01-10301 20.0 5.9
W01-10401 2.3 6.4
W01-10501 12.8 12.8
W01-10601 11.3 19.2
W01-10700 15.5 25.6
W01-10802 16.7 29.3
W01-10901 17.7 32.3
W01-11001 8.7 38.2
W01-11100 5.2 40.4
Podemos observar que o unico resultado que apresentou um coeficiente de re-
flexao correlacionado ao modelo experimental foi o proprio teste que utilizamos para
calibrar a praia numerica. Assim, podemos concluir que esta nao e a abordagem
correta para se trabalhar com a praia numerica e que para que sua compreensao
seja efetiva e preciso um estudo mais detalhado sobre o tema. Uma justificativa
para estes resultados e o fato da modelacao da praia numerica ser diferente da si-
tuacao real. Uma possıvel abordagem seria calibrar o HOS-NWT alterando tambem
o comprimento da praia, pois esta teria grande influencia do comprimento de onda
simulado, de modo que seria necessario obter a melhor combinacao entre coeffabsf
e xabsf para descrever uma certa faixa de ondas.
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Capıtulo 5
Conclusoes
Este trabalho teve como objetivo analisar o funcionamento do modelo numerico
HOS-NWT, avancando a compreensao dos seus limites e abordagens, abrindo o
caminho para que no futuro possa ser utilizado eficientemente para auxiliar nos
experimentos do LabOceano.
Abordamos o caso do Sloshing, obtendo os modos naturais do tanque de forma
satisfatoria. Estudamos a influencia dos principais parametros do modelo para a
simulacao de ondas regulares, tais como a malha numerica e a ordem do batedor.
Pudemos observar a progressao da onda no sensor de forma minuciosa, obtendo
dados como elevacao, espctro de onda, variacao da altura e do perıodo de onda e
as caracterısticas nao-lineares associadas a assimetria entre cristas e cavados. Por
fim, realizamos uma tentativa de calibrar a praia numerica e comparar os resultados
com experimentos realizados no LabOCeano.
O modelo apresenta uma grande complexidade e ainda apresenta muitas barreiras
para sua utilizacao, exigindo um estudo mais aprofundado de sua concepcao. Como
trabalho futuro, o tanque numerico permite a analise da calibracao da praia numerica
de forma correta, a utilizacao de modelos 3D, ondas irregulares, geracao de ondas e
assim por diante.
37
Referencias Bibliograficas
[1] CHAKRABARTI, S. K., Offshore structure modeling . 1994.
[2] DE MELLO, P. C., Um aparato para reducao da reflexao de ondas em uma praia
parabolica, M.sc., Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2006.
[3] DUCROZET, G., BONNEFOY, F., LE TOUZE, D., et al., “A modified High-
Order Spectral method for wavemaker modeling in a numerical wave
tank”, European Journal of Mechanics, B/Fluids , v. 34, pp. 19–34, 2012.
[4] BONNEFOY, F., TOUZE, D. L., FERRANT, P., “A fully-spectral 3D time-
domain model for second-order simulation of wavetank experiments.
Part A: Formulation, implementation and numerical properties”, Applied
Ocean Research, v. 28, n. 2, pp. 33–43, 2006.
[5] MANSARD, E. P. D., FUNKE, E. R., “The Measurement of Incident and Re-
flected Spectra Using a Least Squares Method”, Proceedings of 17th Con-
ference on Coastal Engineering, Sydney, Australia., pp. 154–172, 1980.
[6] MICHIMA, P. S., Estudo de um absorvedor de ondas ativo para tanque didatico,
Mestre em engenharia naval, Universidade de Sao Paulo, 2007.
[7] BONNEFOY, F., DUCROZET, G., LE TOUZE, D., et al., “Time-domain si-
mulation of nonlinear water waves using spectral methods”, In: MA,
Q. (ed), Advances in Numerical Simulation of Nonlinear Water Waves ,
chap. 4, pp. 129–164, World Scientific: London, UK, 2009.
[8] WEST, B. J., BRUECKNER, K. A., JANDA, R. S., et al., “A New numerical
method ’for surface hydrodynamics”, Journal of Geophysical Research:
Oceans , v. 92, n. C11, pp. 11803–11824, 1987.
38
[9] DOMMERMUTH, D. G., YUE, D. K. P., “A high-order spectral method for the
study of nonlinear gravity waves”, J. Fluid Mech., v. 184, pp. 267–288,
1987.
[10] LHEEA, “HOS-NWT”, <https://github.com/LHEEA/HOS-NWT/wiki>,
Acesso em 13 de setembro de 2016.
[11] KOFIANI, K. N., “A New Numerical Method for the problem of Nonlinear
Long-Short Wave Interactions”, Mechanical Engineering , 2009.
[12] ZAKHAROV, V. E., “Stability of periodic waves of finite amplitude on the
surface of a deep fluid”, Zhurnal Prildadnoi Mekhaniki i Tekhnicheskoi
Fiziki , v. 9, n. 2, pp. 86–94, 1968.
[13] BONNEFOY, F., TOUZE, D. L., FERRANT, P., “A fully-spectral 3D time-
domain model for second-order simulation of wavetank experiments. Part
B: Validation, calibration versus experiments and sample applications”,
Applied Ocean Research, v. 28, n. 2, pp. 121–132, 2006.
[14] FALTINSEN, O. M., “A nonlinear theory of sloshing in rectangular tanks”,
Journal of Ship Research, v. 18, n. 4, pp. 114–241, 1974.
[15] BABANIN, A., CHALIKOV, D., YOUNG, I., et al., “Predicting the breaking
onset of surface water waves”, Geophysical Research Letters , v. 34, 2007.
[16] DEAN, R. G., DALRYMPLE, R. A., Water Wave Mechanics for Engineers
and Scientists . v. 2. 1984.
[17] SILVA, M. C., Regular waves in the ocean basin, Tech. rep., Relatorio interno
LabOceano, COPPE/UFRJ, 2013.
39
