Análise de Filas Análise do Ponto de Equilíbrio Modelagem PERT/CPM Programação Linear Programação Não-Linear Simulação Outras Técnicas Quantitativas

• Análise de Filas• Análise do Ponto de Equilíbrio• Modelagem• PERT/CPM• Programação Linear• Programação Não-Linear• Simulação

Outras Técnicas Quantitativas

Aonde Gastamos nosso Tempo

8 meses

1 ano

2 anos

4 anos – fazendo trabalhos domésticos

5 anos – esperando em filas

6 anos – alimentando-nos

6 meses

tentando, sem sucesso, retornar ligações

procurando por objetos mal guardados

abrindo correspondência sem utilidade

aguardando em semáforos

Elementos da Análisede Filas de Espera

• Fila:– uma seqüência única de espera por serviço.

• O sistema da Fila consiste de:– chegadas– atendimento– estrutura ou disciplina da fila

3

Elementos da Análisede Filas de Espera

• População demandadora do serviço:– chegam das “fontes” de clientes.– infinito - grande o suficiente de tal modo que um ou mais

clientes podem sempre chegar para serem servidos.– finito - número de potenciais clientes é finito.

• Taxa de chegada ()– é a freqüência de chegada de clientes ao sistema da fila. – normalmente acompanha uma distribuição de Poisson.

4

Características Operacionais• Características operacionais são aquelas variáveis que

descrevem o desempenho de um sistema.

• Estado de equilíbrio é a situação que o sistema atinge após

um longo tempo de operação, apresentando características

de desempenho constantes e dentro de uma média.

• As fórmulas da Teoria das filas não indicam as soluções

ótimas e sim permitem simular situações diversas para

“trade-offs” entre custos e níveis de serviço.

Chegada POISSON

• Probabilidade de chegada de certo número de clientes por hora segue uma distribuição de Poisson (descontínua).

• Hipóteses:– A probabilidade de mais de uma ocorrência em um único ponto é

desprezível. (Dois clientes chegando no mesmo instante).– O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do

número de ocorrências em outros intervalos.

a distribuição é totalmente caracterizada pela média

Chegada POISSON• Tempo de serviço

– geralmente segue uma distribuição exponencial negativa

– tempo médio de serviço =

• A taxa de chegada () precisa ser menor que a taxa de serviço ou o sistema nunca se esvazia (clientes eternamente não atendidos)

• Taxa de Atendimento

(ou utilização)

7

=

Componentesdo Sistema Fila

8

Bloco de

clientes

ChegadasPosto deServiço

ClientesServidos

Linha de esperaou Fila

Comprimento eDisciplina da Fila

• Disciplina da fila– Ordem na qual os clientes são atendidos.– Por ordem de chegada (first come, first served) é o mais

comum.

• Comprimento pode ser finito ou infinito– Infinito é o mais comum.– Quando há algum limite físico, o comprimento pode ser finito.– Às vezes, comprimento da fila é determinado pela percepção

de serviço (desistência com fila muito grande).

9

Estrutura Básica daFila de Espera

• Canais – Referem-se ao número de postos de serviço paralelos

que podem atender à demanda (maior número de canais, melhor nível de serviço e maior custo de servir).

• Fases – Referem-se ao número de postos de serviço pelos quais

um cliente deve passar para ser atendido (maior número diminui nível de serviço e melhora a produtividade).

Canais Únicos

11

postos de serviçofila

Canal único, múltiplas fases

fila posto de serviço

Canal único com fase única

Estrutura de Multi-Canais

12

postos de serviço

postos de serviço

fila

Múltiplo canais, fase única

Múltiplo canais, múltiplas fases

Características Operacionais

Notação Descrição

L Número médio de clientes no sistema(esperando e recebendo o serviço)

Lq Número médio de clientes na fila

T Tempo médio que um cliente despende no sistema (esperando e sendo servido)

Tq Tempo médio que um cliente gasta na fila

Modelo Básico paraAtendimento Único

• Hipóteses:– chegada Poisson– tempo de serviço exponencial– primeiro a chegar, primeiro a ser atendido– fila com comprimento infinito– demanda de clientes infinita– Número de canais (K = 1)

= tempo médio de chegada = tempo médio de atendimento

Fórmulas para Modelo de Atendimento Único

U =

Tq =

L =

Taxa de utilização do sistema

Número médio de clientes no sistema

Tempo médio gasto peloclientes na fila

T =

Tempo médio que um clientegasta no sistema

Lq =

Número médio declientes na fila

ExemploDados: chegada = 24 por hora, atendimento = 30 clientes por hora, calcular:

Lf =

L =

= 24/(30-24) = 4

= 242/30(30-24) = 3.2

Número médio de clientes no sistema

Número médio de clientes na fila

T =

Tf =

= 1(30-24) = 0.167 hr = 10 min

= 24/30(30-24) = 0.133 hr = 8 min


Tempo médio que o clientegasta na fila

Modelos de Atendimento Múltiplo

• Hipóteses:– chegada Poisson– tempo de serviço exponencial– primeiro a chegar, primeiro a ser atendido– fila com comprimento infinito– demanda de clientes infinita– Número de canais (K > 1)

= tempo médio de chegada = tempo médio de atendimento

Fórmulas para Atendimento MúltiploU =

Tf = Lf /

Taxa de utilização do sistema

Tempo médio gasto peloclientes na fila

T = Tf + (60/


Número médio declientes na fila

Lf - Consultar Tabela (

= 24/(2x30) = 0,4

= 0,0415m + 2 = 2,0415m

= 0,0166 / 24 x 60 = 0,0415min

Tabela ( \ k ( \ k 1 2 3 4 5

0,10 0,0111

0,20 0,0500 0,0020

0,30 0,1285 0,0069

0,40 0,2666 0,0166

0,50 0,5000 0,0333 0,0030

0,60 0,9000 0,0593 0,0061

0,70 1,6333 0,0976 0,0112

0,80 3,2000 0,1523 0,0189

0,90 8,1000 0,2285 0,0300 0,0041

1,00 0,3333 0,0454 0,0067

1,20 0,6748 0,0904 0,0158

1,40 1,3449 0,1778 0,0324 0,0059

Relação dos Custos em Análise de Filas

Cu

sto

Esp

era

do

Nível de Serviço

Custo Total

Custo do Serviço

Custo de espera

Vantagem Competitiva e a Teoria das Filas

• Na visão tradicional, o nível de serviço deveria coincidir com o ponto de mínimo custo total da curva.

• A visão de Diferenciação é a de que um nível de serviço melhor ocasiona, a longo prazo, custos menores (é mais eficaz).

21

Aguarde sua vez, por favor...

• A percepção de fila é diferente para:

– Esperar antes da hora marcada

– Esperar após a hora marcada

• Esperar em fila organizada (primeiro a chegar, primeiro a ser atendido) é menos estressante.

• É diferente esperar em situações nas quais o provedor está fazendo o possível para atender (Avião ou médico) X

• situações de aparente relapso (Banco ou lanchonete)

22

Percepção do Tempo na Fila

23

5 10

5

10

Tem

po p

erc

ebid

o n

a fi

la

(min

uto

s)

Tempo real na fila (minutos)

sem

ges

tão

objetivo para o gerenciamento

3

Instrumentos de Gestão:

•Senha e informação•Distração•Conforto•Atividades antecipadas•Imagem de estar fazendo o (im)possível para atender rápido

Espera e Qualidade Percebida do Serviço

Como otempo foi

preenchido

Aborrecimento Avaliaçãodo Serviço

Incerteza

O provedor poderia evitar o

atraso

Atraso

(-)

(-)

(-)

(+)

(+)(+)

(+)

Estoques (fila de materiais)

• Empata capital• Requer armazém• Defeitos são escondidos• Estoques tornam estágios

independentes• Estoques em processo mantém

processo ocupado• Evita ter que sincronizar o fluxo

Filas (fila de pessoas)

• Desperdiça tempo• Requer áreas de espera• Gera impressão negativa• Permite divisão do trabalho e

especialização• Clientes esperando mantém os

servidores ocupados• Evita ter que adequar

fornecimento e demanda

Abordagem de Management Scienceno processo de tomada de decisão

• Management Sciences– área de estudos que utiliza computadores, estatística

e matemática para resolver problemas de negócios.

• Três objetivos inter-relacionados:– Converter dados em informações significativas.– Apoiar a tomada de decisão transferíveis e

independentes.– Criar sistemas úteis para usuários não técnicos.

26

Sistemas de Apoio à Decisão

Abordagem da Management Scienceconversão de dados em informações

Números e FatosProcessamento

de Dados

Sist.de Informação Gerencial

SistemasEspecialistas

Dados

Informações

Decisões

Insights

27

Modelo de Computador• Modelo de Computador é um conjunto de relações

matemáticas e hipóteses lógicas implementadas em computador como uma representação de um problema real de tomada de decisão.

• Durante a última década foi observado que uma das maneiras mais efetivas de se resolver problemas de negócios consiste na utilização de modelos de computador baseados em planilhas eletrônicas.

28

Processo de Modelagem

Modelo Resultado

SituaçãoGerencial

Decisões

Abs

traç

ão

Inte

rpre

taçã

o

MundoSimbólico

MundoReal

Análise

Intuição

Julgamento

Gerencial

29

Processo de Modelagem• Força os decisores a tornarem explícitos seus objetivos.

• Força a identificação e armazenamento das diferentes decisões que influenciam os objetivos.

• Força a identificação e armazenamento dos relacionamento entre as decisões.

• Força a identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas serão quantificáveis.

• Força o reconhecimento de limitações.

• Permitem a comunicação de suas idéias e seu entendimento para facilitar o trabalho de grupo.

30

Processo de Modelagem

• Realismo– Um modelo só tem valor se o seu uso provoca

melhores decisões.

• Intuição– Modelos quantitativos e intuição gerencial não se

encontram em lados opostos.– Intuição é crucial durante a interpretação e

implementação.

31

Modelos SimbólicosCaracterísticas

• Um modelo sempre simplifica a realidade.• Um modelo simbólico deve conter detalhes

suficientes para que:– Os resultados atinjam suas necessidades– O modelo seja consistente com os dados– O modelo possa ser analisado no período de tempo

disponível a sua concepção

32

Modelos de Tomada de Decisão• São modelos simbólicos nos quais algumas variáveis

representam decisões que devem ser tomadas.

Decisão

Parametros

Performance

Consequências

VariáveisExógenas

VariáveisExplicativas

VariáveisEndógenas

VariáveisDependentes

Modelo

33

Modelos de Tomada de Decisão• Modelos Determinísticos

– São modelos nos quais todas as variáveis relevantes são assumidas como certas e disponíveis.

• Modelos Probabilísticos ou Estocásticos– São modelos nos quais uma ou mais variáveis não

são conhecidas com certeza.• Variáveis Randômicas ou Aleatórias

34

Tipos de Modelagem• Modelagem Dedutiva

– Hipóteses das variáveis relevantes e suas interligações.– Modelagem de Cima para Baixo, maior peso no

conhecimento do modelador a respeito das variáveis e parâmetros

• Modelagem Inferencial– Análise dos dados para estabelecimento das relações

entre variáveis.– Modelagem de Baixo para Cima

35

Modelos de Tomada de Decisão MODELAGEM DEDUTIVA

MODELAGEM INFERENCIAL

ModelosDeterminísticos

ModelosProbabilísticos

• Modelagem Decisória• Árvore de Decisão• Teoria de Filas

• Modelagem Decisória• Projeções Se Então• Otimização

• Previsão de dados• Simulação• Análise Estatística• Estimação de Parâmetro

• Análise de Dados• Estimação de

Parâmetro• Pesquisa em Banco de Dados

Modelagem

36

Modelo Caixa Preta

Modelo Caixa Preta

Variáveis deDecisão

Parâmetros

PerformanceConseqüências

37

Análise de Ponto de Equilíbrio

• Muitas vezes desejamos descobrir qual a quantidade mínima que devemos produzir para viabilizarmos a produção de um produto.

• Este estudo se chama ponto de equilíbrio e se baseia nas equações de Receita e Custos de um determinado produto.

38

200

100

400

300

600

500

5 10 15 20 25 30 35 40

Custo Fixo

Custo Variável

Custo Total

Lucro

Prejuíz

o

Ponto de equilíbrio

Receita de vendas

Análise do ponto de equilíbrio

Análise de Ponto de EquilíbrioDiagrama de Blocos

Ponto deEquilíbrio

Resultado

Equação deDemanda

Equação deOfertaModelo

QuantidadeDemandada

PreçoQuantidade

OfertadaVariáveis

40

Caso LCL Impressoras Ltda.

• A LCL Impressoras Pessoais, líder na produção de impressoras no Brasil, espera lançar um novo tipo de impressora laser colorida de baixo custo. Para tal fez uma pesquisa junto aos consumidores potenciais para determinar a demanda que teria para cada tipo de preço. Ao mesmo tempo fez um levantamento dos custos fixos e variáveis para junto com o preço determinar uma curva de oferta. Com as informações são apresentadas a seguir determine o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.

41

Caso LCL Impressoras Ltda.

42

Caso LCL Impressoras Ltda.Equação de Receita

ReceitaReceita = 65,714 quantidade

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

0 200 400 600 800 1000 1200

Quantidade

Rea

is

43

Caso LCL Impressoras Ltda.Equação de Custo Total

Custo Total

y = 9,3879x + 320670

10000

20000

30000

40000

50000

0 200 400 600 800 1000 1200

Quantidade

Rea

is

44

Caso LCL Impressoras Ltda.Ponto de Equilíbrio

Ponto Equilíbrio

Rec = 65,714q

CTot = 9,3879x + 32067

0,0

10000,0

20000,0

30000,0

40000,0

50000,0

60000,0

70000,0

0 200 400 600 800 1000 1200

45

Caso LCL Impressoras Ltda.Ponto de Equilíbrio

62,37411320673098,5693879,9

62,374113098,569714,65

3098,569320673261,56

320673879,9714,65

)()(

320673879,9)(

714,65)(

e

e

e

C

R

qq

qq

qCustoqRec

qqCusto

qqRec

46

Problemas de Otimização

• Em problemas reais de otimização busca-se maximizar ou minimizar uma quantidade específica, chamada objetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada.

• As variáveis de entrada podem ser:– Independentes uma das outras.– Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou

mais restrições.

• Em problemas reais de otimização busca-se maximizar ou minimizar uma quantidade específica, chamada objetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada.

• As variáveis de entrada podem ser:– Independentes uma das outras.– Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou

mais restrições.

47

Aplicações deOtimização Matemática

• Determinação de Mix de Produtos

• Scheduling

• Roteamento e Logística

• Planejamento Financeiro

48

Programação Matemática• Um problema de programação matemática é um

problema de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressos como funções matemáticas e relações funcionais

• Um problema de programação matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressos como funções matemáticas e relações funcionais

nnn

n

n

n

b

b

b

xxxg

xxxg

xxxg

xxxfz

:

),...,,(

:

),...,,(

),...,,(

:a Sujeito

),...,,( :Otimizar

2

1

21

212

211

21

49

Variáveis de Decisão

• x1 , x2,...,xn , são as chamadas Variáveis de Decisão.

As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que podemos escolher (decidir) livremente.

As variáveis de decisão representam as opções que um administrador têm para atingir um objetivo. Quanto produzir para maximizar o lucro? Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da

carteira?

50

Programação Linear• Um problema de programação matemática é

linear se a função-objetivo e cada uma das funções que representam as restrições forem lineares, isto é, na forma abaixo:

e

• Um problema de programação matemática é linear se a função-objetivo e cada uma das funções que representam as restrições forem lineares, isto é, na forma abaixo:

e

nnn xcxcxcxxxf ...),...,,( 221121

g x x x a x a x a xi n i i in n( , ,..., ) ...1 2 1 1 2 2

),...,,( 21 nxxxf

51

Quebrando a Linearidade• A presença de qualquer das expressões abaixo

tornam o problema não linear.• Exemplos:

–

–

–

1 para 1 nx n

a basequalquer para log 1xa

aa x devalor qualquer para 1

52

Programação LinearExemplos

1 2

1 2

1 2

1 2

s.r.3 4 2618 10 60

, 0

Max Z x x

x xx x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

2s.r.2 3 30200 20 500

, 0

Min Z x x

x xx x

x x

53

Programação Linear Áreas de Aplicação

• Administração da Produção• Análise de Investimentos• Alocação de Recursos Limitados• Planejamento Regional• Logística

– Custo de transporte– Localização de rede de distribuição

• Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação.

• Administração da Produção• Análise de Investimentos• Alocação de Recursos Limitados• Planejamento Regional• Logística

– Custo de transporte– Localização de rede de distribuição

• Alocação de Recursos em Marketing entre diversos meios de comunicação.

54

Programação LinearHipótese de Aditividade

• Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados, tanto na função-objetivo como nas restrições.

55

Programação LinearHipótese de Proporcionalidade

• O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade de cada variável de decisão, isto é, o valor da função-objetivo se altera de um valor constante dada uma variação constante da variável de decisão;

56

Programação LinearHipótese de Divisibilidade

• Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em qualquer nível de fracionamento, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor positivo fracionário.

• Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um problema especial de programação linear, chamado de problema inteiro.

57

Programação Linear Hipótese de Certeza

• Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas.

• Em problemas reais quase nunca satisfeita – as constantes são estimadas.

• Requer uma análise de sensibilidade, sobre o que falaremos posteriormente.

58

Programação LinearTerminologia

• Solução– No campo de Programação Linear é qualquer

especificação de valores para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se trata de uma escolha desejável ou permissível.

59

Exemplo de Solução

x1 = 2 ; x2 = 2 (2,2)S

x1 = 3 ; x2 = 4 (3,4)S

1 2

1 2

1 2

1 2

s.r.3 4 2618 10 60

, 0

Max Z x x

x xx x

x x

60

Classificação das Soluções

• Solução Viável– É uma solução em que todas as restrições são

satisfeitas;

• Solução Inviável– É uma solução em que alguma das restrições ou as

condições de não-negatividade não são atendidas;

61

Exemplos de Solução Viável e Inviávelx1 = 2 ; x2 = 2 ; S = (2, 2)Solução ViávelTodas as restrições não são violadas

x1 = 3 ; x2 = 4 ; S = (3, 4)Solução InviávelPelo menos uma das restrições é violada

1 2

1 2

1 2

1 2

s.r.3 4 2618 10 60

, 0

Max Z x x

x xx x

x x

62

Valor da Função-Objetiva• É especialmente importante verificar como fica o

valor da função-objetivo (Z) nas soluções viáveis que podemos determinar:

(1,1)S 2Z

(2,1)S 3Z

(3,2)S 5Z

1 2

1 2

1 2

1 2

s.r.3 4 2618 10 60

, 0

Max Z x x

x xx x

x x

63

A Solução Ótima

• A Solução Ótima é uma solução viável especial.

• Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função-objetivo otimizado é chamada de ótima;

• A grande questão é como determinar a solução ótima.

64

Programação Linear Solução Gráfica

• Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

• Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente.

)(0

)(0

)(7

)(4

)(5..

24

2

1

21

2

1

21

ex

dx

cxx

bx

axrs

xxZMax

65

Programação Linear Solução Gráfica 51 x 51 x

42 x

51 x

42 x

01 x 51 x01 x

42 x

02 x


721 xx

x1+x2

x1+x27 reta limite

x1+x27 região abaixo

da reta limite

67


21 240 xx 21 240 xx

21 2424 xx

(5 ; 2), z=24

68

• Considere o seguinte o problema de LP

• Encontre a solução ótima.

Programação Linear Solução Gráfica - Exercício

1 2

1 2

1 2

1 2

=4 2. . 2 3 14

3 2 12 , 0

Max Z x xs r x x

x xx x

69


024 21 xx

1624 21 xx

(4;0)

024 21 xx

1432 21 xx

1223 21 xx

70

Programação Linear Restrições Redundantes

• Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste.

• É uma restrição que não participa como uma aresta do conjunto de soluções viáveis.

• Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima e o mesmo conjunto de soluções viáveis.

71

Programação Linear Restrições Redundantes

• Resolva o seguinte problema

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2

4 2

. . 5

4

7

2 3 20

0

0

MaxZ x x

sr x

x

x x

x x

x

x

72

21 240 xx

21 2424 xx

21 240 xx

(5;2)

1 22 3 20x x

Redundante

73

1 2 7x x

O Problema do Artesão• Um artesão faz colares e brincos para vender num

bazar que acontece todos os dias. Ele os vende por R$10,00 e R$5,00, respectivamente. Ele nunca conseguiu vender mais de 10 colares e 8 brincos por dia. Um colar é feito em 20 minutos enquanto um anel é feito em 40 minutos. O artesão trabalha 4 horas por dia antes de ir para o bazar. Quantos colares e quantos brincos ele deve produzir para maximizar a sua receita diária?

74

O Problema do Artesão• Quem deve tomar a decisão?

• O que o decisor deve decidir?

• Com que objetivo ele deve tomar a decisão?

• Com que restrições a decisão será tomada?

– O artesão

– Quantos colares e brincos deve produzir por dia

– Maximizar sua receita

– Tempo para produção– Demanda dos consumidores (colares/brincos)

75

A Decisão do Artesão

• Precisamos traduzir a decisão do Artesão em um modelo de programação linear para resolvê-lo;

• Chamemos de x1 e x2 as quantidades de colares e brincos que ele faz por dia, respectivamente.

• O Objetivo do Artesão é maximizar sua receita.

76

O Modelo para a Decisão do Artesão•Função-objetivo

–Maximizar a receita•Restrições

–Demanda de Colares

–Demanda de Brincos

–Tempo Padrão

–Não Negatividade

1 210 5MaxReceita x x

1 10x

2 8x

1 220 40 240x x

1 20 0x ex

77

2 8x

1 10x

1 220 40 240x x

1 210 5 105x x

(10;1)

78

Problemas de Minimização

• O processo de resolução gráfica de um problema de minimização é análogo ao de maximização, isto é:1. Utiliza as restrições para determinar o conjunto de

soluções viáveis.

2. Utiliza a função-objetivo para determinar a solução ótima.

• A diferença é que a solução ótima levará a função-objetivo ao menor valor possível.

79

Minimização Solução Gráfica

• Encontre a solução ótima de:

1 2

1 2

1 2

1 2

4 2

. . 2 3 14

3 2 12

, 0

Min x x

sr x x

x x

x x

80

1 22 3 14x x

1 23 2 12x x

1 2

284 2

3x x

81

Soluções Múltiplas

• Até agora todos os problemas apresentaram apenas uma única solução ótima, isto é, apenas uma solução viável levava a função-objetivo ao seu valor ótimo.

• Existem problemas em que uma ou mais soluções viáveis nos levam ao mesmo valor ótimo, isto é, existem soluções múltiplas.

82

O Problema do Artesão Modificado

• Um artesão faz colares e brincos para vender num bazar que acontece todos os dias. Ele os vende por R$10,00 e R$5,00, respectivamente. Ele nunca conseguiu vender mais de 10 colares e 8 brincos por dia. Um colar é feito em 20 minutos enquanto um anel é feito em 40 minutos. O artesão trabalha 4 horas por dia antes de ir para o bazar. Quantos colares e quantos brincos ele deve produzir para atingir uma receita diária de R$ 50,00?

83

O Problema do Artesão Modificado• Quem deve tomar a decisão?

– O artesão

• O que o decisor deve decidir?– Quantos colares e anéis deve produzir por dia

• Com que objetivo ele deve tomar a decisão?– Atingir a receita mínima

• Com que restrições a decisão será tomada?– Tempo para produção– Demanda dos consumidores (colares e brincos)– Receita mínima

84

A Decisão do Artesão Modificado• Precisamos traduzir a decisão do Artesão em um

modelo de programação linear para resolvê-lo;

• Chamemos de x1 e x2 as quantidades de colares e brincos que ele faz por dia, respectivamente.

• O Objetivo do Artesão é atingir a receita mínima.

85

O Modelo para aDecisão do Artesão Modificado

•Função-objetivo–Minimizar a receita

•Restrições–Demanda de Colares

–Demanda de Brincos

–Tempo Padrão

–Receita Mínima

–Não Negatividade

1 210 5Min Receita x x

1 10x

2 8x

1 220 40 240x x

1

2

0

0

x

x

1 210 5 50x x

86

1 210 5 50x x

2 8x

1 10x

1 220 40 240x x

SoluçõesMúltiplas

1 210 5 0x x

87

Soluções Ilimitadas

• Um problema de programação linear apresenta soluções ilimitadas quando uma das variáveis não tem nenhuma restrição de crescimento ou decrescimento e este fato causa que a função-objetivo não tenha valor ótimo que possa ser identificado.

88

• Encontre a solução ótima:

Programação Linear Solução Ilimitada

1 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

6 10

. . 2

6

3 5 15

5 4 20

, 0

Max Z x x

s r x x

x

x x

x x

x x

89

x1108642

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

Cresce indefinidamente

x1108642

62 x

221 xx10

14

12

x2

8

6

4

-2

2

-2

1553 21 xx

2045 21 xx

02 x

01 x

Cresce indefinidamente

90

• Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de soluções viáveis é vazio.

• Considere o problema1 2

1 2

1 2

1 2

. . 2 12

2 15

, 0

Max x x

s r x x

x x

x x

Programação Linear Solução Inviável

91


122 21 xx

152 21 xx

92

• Conjunto Convexo em R2

– Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem fazem parte do conjunto.

• Conjunto Convexo em R2

– Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem fazem parte do conjunto.

ConjuntoConvexo

Conjunto nãoConvexo

Programação Linear e Convexidade

93

Método SimplexTeoremas Fundamentais

• Teorema I– O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo

de Programação Linear formam um conjunto convexo.

• Teorema II– Toda solução compatível básica, do sistema de

equações lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.

• Teorema I– O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo

de Programação Linear formam um conjunto convexo.

• Teorema II– Toda solução compatível básica, do sistema de

equações lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.

94


95

1 2

1

2

1 2

1

2

5 2

. .

3

4

2 9

0

0

Max Z x x

s r

x

x

x x

x

x

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

21=5x1+2x2

A B

CD

E

SoluçãoViável

• Nos pontos extremos temos os seguintes valores para Z• Nos pontos extremos temos os seguintes valores para Z

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

21=5x1+2x2 z

pontosextremos

A B C D E

21

1513

8

A B

CD

E

SoluçãoViável


96

• Teorema III

– Se a função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis.

• Teorema IV

– Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses pontos extremos.


97

Verificação Geométrica do Teorema III

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

Mínimo =AB

C = máximo

DE

SoluçãoViável

• O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca. Logo, o valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido deslocando-se o máximo ou o mínimo a função-objetivo.

98

Verificação Geométrica do Teorema IV

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

B

DE

SoluçãoViável

• Entretanto, a função-objetivo pode assumir uma inclinação tal que no ponto ótimo ela coincida com a inclinação de alguma restrição.

SoluçõesMúltiplas

Em todos os pontos do segmento de reta CD, o valor da função-objetivo é o mesmoA

C

x2

99

• Considere a solução gráfica do problema • Considere a solução gráfica do problema

x2

x1

(0,4)(1,4)

(0,0) (3,0)

(3,3)

z

pontosextremos

A B C D E

A B

CD

E

SoluçãoViável


100

101

PERT / CPM (Tempo)

• O PERT / CPM é uma ferramenta de valiosa colaboração quando da elaboração de um planejamento e de seu respectivo controle, objetivando atingir uma determinada meta.

102

PERT / COM Origem

• O CPM – Critical Path Method, foi elaborado entre 1956 e 1958 pela Dupont Company, que desenvolvia projetos de produtos químicos. Para cumprirem os seus objetivos deveriam executar os projetos com o máximo de precisão em relação ao fator tempo.

• O PERT – Program (Project) Evaluation and Review Technique, foi elaborado por volta de 1957 por uma equipe de Projetos Especiais da Marinha dos EUA quando necessitava desenvolver um projeto muito complexo, construir um foguete, o qual requeria um sólido planejamento e um rígido controle, considerando a grandeza dos projeto.

O projeto contava com 200 empreiteiras, 9000 subempreiteiras e deveriam ser construídas em torno de 70.000 peças.

Com a aplicação da técnica, foi possível reduzir de 5 para apenas 3 anos o tempo para execução do projeto do submarino atômico que conduziria o míssil “Polaris”.

103

PERT / CPM Campo de Aplicação

• O PERT / CPM, pode ser aplicado em tudo que se possa imaginar que tenha uma origem e um término previamente fixado. Desde a fabricação de um alfinete até a elaboração de um projeto para colocar um satélite em órbita.

104

PERT / CPM Diferenças Básicas

• O PERT trabalha com três estimativas de tempo:– Tempo otimista – condições favoráveis.– Tempo mais provável – tempo mais próximo da realidade.– Tempo pessimista – condições desfavoráveis.

• Por este motivo o PERT possui características probabilísticas e variáveis aleatórias. Portanto para calcular o tempo de cada atividade é necessário usar a formula abaixo.

• O CPM possui características determinísticas e variáveis reais.

105

PERT / CPM Conceitos Básicos

• Atividade: representa uma parcela do trabalho total necessário para a execução de um projeto. Consome tempo e recursos (humanos, financeiros, tecnológicos e materiais).

• Evento: é a caracterização no tempo da origem ou do término de uma atividade, não consome tempo e nem recursos.

106

PERT / CPM Conceitos Básicos

• Atividade fantasma: não consome tempo e nem recursos, mas só deve ser utilizada quando for realmente necessária.

• Casos que deve ser utilizada:

– Evitar que entre dois eventos sucessivos exista mais do que uma atividade.

– Demonstrar a independência de uma atividade.

107

PERT / CPM Conceitos Básicos• Atividades condicionantes: são

aquelas que condicionam a realização das atividades que lhes sucedem.

• Atividades paralelas: são duas ou mais atividades ocorridas entre dois eventos sucessivos.

• Atividades simultâneas: são duas ou mais atividades que partem de um único evento e se direcionam para eventos diferentes.

108

1. Levantar todas as atividades necessárias para a realização do projeto.

2. Elaborar o Quadro de Prioridades – QP, o qual consiste em demonstrar a interdependência das atividades, ou seja, ordem de relacionamento (atividades que antecedem sucedem umas a outras).

Roteiro Básico para aplicar a técnica PERT / CPM

109

Roteiro Básico para aplicar a técnica PERT / CPM 3. Com base no QP, montar o Diagrama ou a Rede, que é a

representação gráfica do projeto.

110

• Passos necessários para montar a rede:– Por meio do QP verificar quais atividades partem do evento inicial;– Ignorar as atividades antecessoras e montar a rede observando o destino

de cada atividade, segundo o QP na ordem seqüencial em que são empregadas (de cima para baixo);

– Numerar os eventos, no início o número 1 e ao final o maior número de acordo com o projeto;

– Verificar se a Rede foi montada corretamente, “perguntando” ao QP de cima para baixo, qual a origem de cada atividade e observar a sua concordância com a Rede.


111

4. Calcular as datas mais cedo e mais tarde

# Data mais cedo – é o momento no qual é possível ter concluídas todas as atividades que condicionam um evento.

C = Dcant + Dativ (t >)

(4)2

34

C = Data mais cedo

Dcant = Data mais cedo anterior

Dativ = Duração da atividade

(t >) = Maior tempo


112

Cálculo do cedo:a) Ao evento inicial atribuir o valor 0 (zero), caso não seja determinado;

b) Empregar a fórmula de cálculo do cedo - C = Dcant + Dativ (t >) , para cada evento (a partir do evento inicial).

c) Se em determinado evento chegar mais do que uma atividade (evento 9), escolher aquela de (maior tempo).


113

4. Calcular as datas mais cedo e mais tarde

# Data mais tarde – é o último momento permissível para as atividades chegarem a um determinado evento sem atrasar o início das atividades que lhes sucedem.

3A

B

T = Dtpost - Dativ (t<)

T = Data mais tarde

Dtpost = Data mais cedo anterior

Dativ = Duração da atividade

(t <) = Menor tempo

A – deve iniciar-se no 3º dia

B – deve iniciar-se no 5º dia


114

Cálculo do tarde (exatamente igual ao do cedo, mas no sentido inverso):

a) Ao evento final atribuir o mesmo valor da data mais cedo final (quando não determinado);

b) Empregar a fórmula de cálculo do tarde T = Dtpost - Dativ (t<), para cada evento (a partir do evento final);

c) Se de determinado evento partir mais do que uma atividade (evento 1), compare as atividades que dele saíram (A, B e C) e escolha a de menor valor.


115

5. Calcular o Tempo Disponível - TD

O TD deve ser calculado com o objetivo de verificar a disponibilidade de tempo de cada atividade para poder fazer os ajustes necessários de forma a não atrasar o prazo fixado para o término do projeto.


116

6. Calcular as Folgas das AtividadesAs folgas são estabelecidas com o objetivo de verificar a diferença entre as possíveis datas de início (cedo inicial e tarde inicial) e suas possíveis datas de término (cedo final e tarde final).

- Primeira data de início ..................... 3

- Última data de término .................... 18

- Primeira data de término ................. 13

- Última data de início ....................... 8

1 2

5 18(3) (14)A

10


117

• .


118

Cálculo das Folgas: ⇨ FL (Folga Livre) é o atraso máximo que uma atividade pode ter sem

comprometer a data mais cedo do seu evento final.

FL = (Dcf - Dci) – D

⇨ FT (Folga Total) é o Tempo Disponível menos a duração da atividade.

FT = TD – D ou FT = (Dtf - Dci) – D

⇨ FD (Folga Dependente) é o prazo que se disponível entre o tarde do evento final e o tarde do evento inicial para realizar uma atividade.

FD = (Dtf - Dti) – D

⇨ FI (Folga Independente) é o prazo disponível entre o cedo final e o tarde inicial para realizar uma atividade (eventualmente dá um número negativo).

FI = (Dcf - Dti) - D


119

Exemplo do cálculo das folgas e do tempo disponível:

1 2

5 18(3) (14)A

10


120

7. Determinação do Caminho CríticoO Caminho Crítico é formado pelas atividades mais relevantes do projeto para fins de controle, pois elas não podem sofrer qualquer tipo de atraso, e se isto acontecer irá refletir diretamente no prazo fixado para o término do projeto.

O Caminho Crítico é constituído pelas atividades (interligadas) de menor folga ou de folga nula, entre o evento inicial e o evento final, o qual, inclusive, podem passar pelas atividades fantasmas.


121

Métodos para estabelecer o Caminho Crítico:1º Pelas diferenças constantes entre os cedos e os tardes (encontrada no último evento).

Regras Básicas:

a) não são críticas as atividades cuja diferença entre cedos e tardes não seja igual àquela encontrada no último evento;

b) poderão ser críticas aquelas atividades cuja diferença no evento inicial e final entre cedos e tardes seja igual à encontrada no último evento;

c) são, realmente, atividades críticas aquelas que obedecem à condição anterior e que a data mais tarde de seu evento final, menos a sua própria duração, é exatamente igual à data mais tarde de seu evento inicial, ou seja:

Tarde Posterior – Duração da Atividade = Tarde Anterior


122

Determinação do Caminho Crítico (exemplo):


123

Métodos para estabelecer o Caminho Crítico:2º Pelas Folgas da Atividades, onde as folgas (livrem total, dependente e independente) devem ser iguais a 0 (zero).


Provão 2000 - Questão 27

Atividade Atividades antecessoras imediatas Duração da tarefa -(Dias)

A - Compra e entrega de matéria-prima - . - 2

B - Corte e preparação da madeira A 1

C - Preparação da estrutura metáli ca da base A 3

D - Acabamento da madeira B 4

E - Pintura da base C 4

F - Controle de qualidade da madeira D 5

G - Controle de qualidade da base metálica E 2

H - Montagem e embalagem F e G 5

Uma empresa de consultoria pretende reorganizar uma indústria de maneira a diminuir o tempo de fabricação de um dos seus produtos, ou seja, cadeira de espaldar alto. Como vai utilizar a técnica de PERT/CPM, fez um levantamento de todas as tarefas necessárias para a produção da cadeira. Este levantamento é apresentado na tabela e gráfico seguintes:

O caminho crítico e o tempo de duração da montagem, respectiva mente, são:(A) A - B - C - E - G - H ; 16 dias.(B) A - B - C - E - G - H ; 17 dias.(C) A - B - C - F - G - H ; 16 dias.(D) A - B - D - F - H ; 17 dias.(E) A - C - E - G - H ; 16 dias.


• Resposta: (D)

• Caminho A-B-D-F-H = 2+1+4+5+5=17

• Caminho A-C-E-G-H=2+3+4+2+5=16

• O caminho crítico será o maior deles.


Documents

Análise de Filas Análise do Ponto de Equilíbrio Modelagem PERT/CPM Programação Linear Programação Não-Linear Simulação Outras Técnicas Quantitativas