ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE SEÇÕES SUBMETIDAS À ... · ii Bastos, Felipe Pinheiro de Souza Análise de Confiabilidade de Seções Submetidas à Flexão Simples e Composta Pelo

ANLISE DE CONFIABILIDADE DE SEES SUBMETIDAS FLEXO

SIMPLES E COMPOSTA PELO MTODO DE MONTE CARLO

Felipe Pinheiro de Souza Bastos

Projeto de Graduao apresentado ao Curso de

Engenharia Civil da Escola Politcnica, Universidade

Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessrios obteno do ttulo de Engenheiro.

Orientadores: Cludia Ribeiro Eboli

Srgio Hampshire de Carvalho Santos

Rio de Janeiro

Agosto de 2012

ii

Bastos, Felipe Pinheiro de Souza

Anlise de Confiabilidade de Sees Submetidas Flexo

Simples e Composta Pelo Mtodo de Monte Carlo/ Felipe

Pinheiro de Souza Bastos. Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola

Politcnica, 2012.

XIII, 108 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Cludia Ribeiro Eboli e Srgio Hampshire

de Carvalho Santos

Projeto de Graduao UFRJ/ Escola Politcnica/ Curso

de Engenharia Civil, 2012.

Referncias Bibliogrficas: p. 96-97.

1. Concreto Armado 2. Anlise de Confiabilidade. 3.

Mtodo de Monte Carlo.

I. Eboli, Cludia Ribeiro et al. II. Universidade Federal do

Rio de Janeiro, Escola Politcnica, Curso de Engenharia

Civil. III. Ttulo.

iii

Resumo do Projeto de Graduao apresentado Escola Politcnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Engenheiro Civil.

ANLISE DE CONFIABILIDADE DE SEES SUBMETIDAS FLEXO

SIMPLES E COMPOSTA PELO MTODO DE MONTE CARLO


Agosto/2012

Orientadores: Cludia Ribeiro Eboli e Srgio Hampshire de Carvalho Santos

Curso: Engenharia Civil

A norma brasileira de projeto de estruturas de concreto NBR 6118 apresenta

coeficientes de majorao das cargas e de minorao das resistncias dos materiais que

no foram completamente amparados por uma anlise de confiabilidade. Por esse

motivo, as probabilidades de falha de diferentes elementos estruturais dimensionados de

acordo com os mesmos princpios podem ser bastante diferentes, sendo alguns muito

seguros e outros nem tanto.

Este trabalho tem como objetivo avaliar a probabilidade de falha flexo simples e

flexo-compresso das sees mais solicitadas de elementos estruturais usuais,

dimensionados de acordo com a referida norma. As sees estudadas so retangulares e

possuem armadura disposta ao longo de um bordo (flexo simples) ou disposta prxima

aos dois bordos (flexo-compresso). Para realizar a anlise de confiabilidade, ser

utilizado o mtodo de simulao de Monte Carlo, com o auxlio de um programa

comercial.

As probabilidades de falha encontradas para os diversos elementos estudados sero

comparadas entre si e tambm com o valor alvo estabelecido no Eurocode EN 1990

(2001).

Palavras-chave: Concreto Armado, Anlise de Confiabilidade, Mtodo de Monte Carlo.

iv

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

RELIABILITY ANALYSIS OF SECTIONS SUBJECTED TO BENDING MOMENTS

BY THE MONTE CARLO METHOD


August/2012

Advisor: Cludia Ribeiro Eboli and Srgio Hampshire de Carvalho Santos

Course: Civil Engineering

The Brazilian Standard for the design of concrete structures, NBR 6118, defines partial

safety factors for the loads and strength of materials that were not fully supported by a

reliability analysis. Therefore, the probability of failure of different structural elements

designed according to the same principles can be quite different, some being very secure

and others not so secure.

This study objective is to evaluate the probability of failure of simple bending and

eccentric compression of the most loaded sections of usual structural elements, designed

according to the aforementioned standard. The studied sections are rectangular and have

steel reinforcement disposed along one edge (simple bending) or disposed next to the

two edges (eccentric compression). To perform the reliability analysis will be used the

method of Monte Carlo simulation, with the aid of a commercial program.

The failure probabilities of the various studied elements are then compared among

themselves and with the target value established in Eurocode EN 1990 (2001).

Keywords: Reinforced Concrete, Reliability Analysis, Monte Carlo Method.

v

SUMRIO

1. INTRODUO ........................................................................................................ 1

1.1. Consideraes gerais .......................................................................................... 1

1.2. Objetivos e justificativas .................................................................................... 2

1.3. Escopo do trabalho ............................................................................................. 2

2. CONCEITOS DE PROBABILIDADE E ESTATSTICA ...................................... 3

2.1. Introduo .......................................................................................................... 3

2.2. Axiomas ............................................................................................................. 4

2.3. Variveis aleatrias ............................................................................................ 4

2.4. Funes de variveis aleatrias .......................................................................... 5

2.5. Momentos de variveis aleatrias ...................................................................... 6

2.5.1. Mdia .......................................................................................................... 6

2.5.2. Varincia e desvio padro........................................................................... 7

2.5.3. Outros momentos ........................................................................................ 8

2.6. Associao entre duas variveis aleatrias ........................................................ 9

2.7. Distribuies aleatrias contnuas ................................................................... 11

2.7.1. Uniforme ou retangular ............................................................................ 11

2.7.2. Normal ...................................................................................................... 12

2.7.3. Lognormal ................................................................................................ 14

2.7.4. Gumbel ..................................................................................................... 15

3. CONCEITOS DE CONFIABILIDADE ................................................................. 17

3.1. Introduo ........................................................................................................ 17

3.2. Variveis bsicas .............................................................................................. 17

3.3. ndice de confiabilidade ................................................................................... 18

3.4. Definio do tipo de distribuio e seus parmetros ....................................... 19

3.5. Problema bsico ............................................................................................... 20

vi

3.6. Mtodos de Anlise ......................................................................................... 22

3.7. Mtodo de Monte Carlo ................................................................................... 22

3.7.1. Definio do problema ............................................................................. 23

3.7.2. Procedimentos de resoluo ..................................................................... 23

3.7.3. Exemplo do mtodo .................................................................................. 27

3.7.4. Nmero de amostras ................................................................................. 27

3.8. Definio de um risco aceitvel ....................................................................... 28

3.8.1. Valores alvo .............................................................................................. 29

4. CONCEITOS DE CONCRETO ARMADO .......................................................... 30

4.1. Propriedades dos materiais .............................................................................. 30

4.1.1. Concreto ................................................................................................... 30

4.1.2. Ao ........................................................................................................... 33

4.2. Mtodo dos coeficientes parciais ..................................................................... 34

4.3. Aes ............................................................................................................... 35

4.3.1. Aes permanentes ................................................................................... 35

4.3.2. Aes variveis ......................................................................................... 35

4.3.3. Aes excepcionais................................................................................... 35

4.4. Combinaes de aes no estado limite ltimo ............................................... 35

4.5. Dimensionamento a solicitaes normais de acordo com a NBR-6118 .......... 36

4.5.1. Estados limites .......................................................................................... 36

4.5.2. Verificao dos estados limites ltimos ................................................... 36

4.6. Domnios de ruptura para sees sob solicitaes normais ............................. 37

4.6.1. Reta a ........................................................................................................ 37

4.6.2. Domnio 1 ................................................................................................. 38

4.6.3. Domnio 2 ................................................................................................. 38

4.6.4. Domnio 3 ................................................................................................. 38

4.6.5. Domnio 4 ................................................................................................. 38

vii

4.6.6. Domnio 4a ............................................................................................... 38

4.6.7. Domnio 5 ................................................................................................. 39

4.6.8. Reta b ........................................................................................................ 39

4.7. Critrio de ductilidade ..................................................................................... 39

5. FLEXO SIMPLES ............................................................................................... 40

5.1. Casos estudados ............................................................................................... 40

5.2. Dados gerais ..................................................................................................... 41

5.2.1. Funo de falha ......................................................................................... 41

5.2.2. Variveis aleatrias................................................................................... 43


5.2.4. Determinao dos esforos solicitantes .................................................... 43

5.3. Descrio do programa utilizado ..................................................................... 45

5.4. Exemplos numricos variando a taxa de armadura.......................................... 46

5.4.1. Descrio .................................................................................................. 46

5.4.2. Valores das variveis aleatrias ................................................................ 46

5.4.3. Resultados ................................................................................................. 55

5.5. Exemplos numricos de lajes ........................................................................... 59

5.5.1. Descrio .................................................................................................. 59

5.5.2. Valores de entrada das variveis aleatrias .............................................. 59

5.5.3. Resultados ................................................................................................. 63

5.6. Exemplos numricos de lajes com o coeficiente n ......................................... 67

5.6.1. Descrio .................................................................................................. 67

5.6.2. Valores das variveis aleatrias ................................................................ 67

5.6.3. Resultados ................................................................................................. 69

5.7. Exemplos numricos de vigas .......................................................................... 73

5.7.1. Descrio .................................................................................................. 73

5.7.2. Valores de entrada .................................................................................... 73

viii

5.7.3. Resultados ................................................................................................. 75

5.8. Comparao entre os problemas de flexo ...................................................... 76

6. FLEXO-COMPRESSO ....................................................................................... 79

6.1. Casos estudados ............................................................................................... 79

6.2. Dados gerais ..................................................................................................... 80

6.2.1. Funo de falha ......................................................................................... 80

6.2.2. Variveis aleatrias................................................................................... 83


6.2.4. Determinao dos esforos solicitantes .................................................... 84

6.3. Descrio do programa utilizado ..................................................................... 84

6.4. Exemplos numricos de flexo-compresso de pilares ..................................... 84

6.4.1. Descrio .................................................................................................. 85

6.4.2. Valores de entrada .................................................................................... 85

6.4.3. Resultados ................................................................................................. 90

7. CONCLUSES E SUGESTES ........................................................................... 96

8. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................... 97

9. ANEXOS ................................................................................................................ 99

A. Tabela de distribuio normal padro .................................................................... 99

B. Exemplo do Mtodo de Monte Carlo ................................................................... 101

C. Programa VaP ....................................................................................................... 106

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 2-1 Ilustrao do conceito de desvio padro e varincia.................................... 8

Figura 2-2 Dependncia linear entre variveis aleatrias ............................................ 10

Figura 2-3 Funo densidade de varivel com distribuio uniforme......................... 11

Figura 2-4 Funo cumulativa de varivel com distribuio uniforme ....................... 12

Figura 2-5 Funo de densidade de variveis com distribuio normal...................... 13

Figura 2-6 Funes cumulativas de variveis com distribuio normal ..................... 14

Figura 2-7 Funes densidade de variveis com distribuio lognormal .................... 15

Figura 2-8 Funes cumulativas de variveis com distribuio lognormal ................ 15

Figura 2-9 Funes densidade de variveis com distribuio Gumbel ....................... 16

Figura 2-10 Funes cumulativas de variveis com distribuio Gumbel .................. 16

Figura 3-1 ndice de confiabilidade ............................................................................. 18

Figura 3-2 Curvas das funes densidade de probabilidade das variveis Z, R e S .... 21

Figura 3-3 - Mtodo da transformao inversa .............................................................. 25

Figura 4-1 - Valor caracterstico da resistncia .............................................................. 31

Figura 4-2 Diagrama de clculo de tenso-deformao do concreto .......................... 32

Figura 4-3 - Diagrama de clculo de tenso-deformao do ao CA-50 ....................... 34

Figura 4-4 - Estados Limites da NBR6118 .................................................................... 37

Figura 5-1 - ndice de confiabilidade para os casos analisados ...................................... 58

Figura 5-2 - ndice de confiabilidade ............................................................................. 65

Figura 5-3 Fator de importncia das variveis na funo de falha .............................. 66

Figura 5-4 - ndice de confiabilidade para os casos analisados ...................................... 72

Figura 5-5 ndice de confiabilidade das vigas ............................................................. 76

Figura 5-6 - ndice de confiabilidade influncia do coeficiente n nas lajes ............... 77

Figura 5-7 ndices de confiabilidade influncia das dimenses do elemento .......... 77

Figura 6-1 - Seo transversal ........................................................................................ 79

Figura 6-2 Solicitaes na seo transversal ............................................................... 80

Figura 6-3 - Distncias d1 e d2 ........................................................................................ 82

Figura 6-4 - ndice de confiabilidade dos pilares no domnio 3 ..................................... 93

Figura 6-5 - ndice de confiabilidade dos pilares no domnio 4 ..................................... 93

Figura 6-6 - ndice de confiabilidade dos pilares ........................................................... 94

Figura 6-7 Fator de importncia das variveis na funo de falha .............................. 95

Figura 9-1 - Tela inicial do programa VaP ................................................................... 106

x

Figura 9-2 - Janela para entrada da funo de falha ..................................................... 106

Figura 9-3 - Janela para definir os parmetros das variveis aleatrias ....................... 107

Figura 9-4 - Janela mostrando o resultado do mtodo de Monte Carlo ....................... 108

Figura 9-5 - Resumo dos resultados na forma de texto ................................................ 108

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 3-1 - Resultados do exemplo pelo Mtodo de Monte Carlo ............................... 27

Tabela 3-2 Parmetros para o clculo do nmero de amostras ................................... 28

Tabela 5-1 - Descrio das variveis aleatrias .............................................................. 42

Tabela 5-2 Distribuies e parmetros adotados ......................................................... 43

Tabela 5-3 Parmetros das variveis aleatrias ........................................................... 46

Tabela 5-4 - Parmetros de As e d .................................................................................. 47

Tabela 5-5 - Esforos em funo de ............................................................................ 47





Tabela 5-10 - Parmetros de As e d ................................................................................ 50

Tabela 5-11 - Esforos em funo de .......................................................................... 50









Tabela 5-20 - Resultados da laje com h=10 cm e =0,4% ............................................. 55

Tabela 5-21 - Resultados da laje com h=10cm e =0,8% .............................................. 55



Tabela 5-24 - Resultados da laje com h=20cm e kmd limite ......................................... 56

Tabela 5-25 - Resultados da viga 20x50 e p=0,4% ........................................................ 57

Tabela 5-26 - Resultados da viga 20x50 e p=0,8% ........................................................ 57

Tabela 5-27 - Resultados da viga 20x50 e kmd limite ................................................... 57

Tabela 5-28 Valores das variveis para os problemas ................................................. 59

Tabela 5-29 - Altura til das lajes .................................................................................. 59

Tabela 5-30 - Parmetro dos momentos solicitantes para a laje de 10 cm ..................... 60

xii






Tabela 5-36 - Resultados para a laje de h=10cm ............................................................ 63

Tabela 5-37- Resultados ................................................................................................. 63

Tabela 5-38 - Resultados ................................................................................................ 64




Tabela 5-42 - Variveis aleatrias adotadas ................................................................... 67

Tabela 5-43 - Altura til das lajes .................................................................................. 67

Tabela 5-44 - Variveis aleatrias dos momentos solicitantes para a laje de 10 cm ...... 68




Tabela 5-48 - Resultados para a laje com h=10cm e coeficiente n .............................. 70




Tabela 5-52 Valores das variveis para os problemas ................................................. 73

Tabela 5-53 - Parmetros da altura til (d) ..................................................................... 73

Tabela 5-54 - Mdia e desvio padro das solicitaes ................................................... 74

Tabela 5-55 - Mdia e desvio padro das solicitaes - viga 20 x 70 ............................ 74

Tabela 5-56 - Resumo dos resultados para a viga 20 x 50 cm ....................................... 75

Tabela 5-57 - Resumo dos resultados para a viga 20 x 70 cm ....................................... 75

Tabela 6-1 - Descrio das variveis aleatrias .............................................................. 83

Tabela 6-2 - Variveis aleatrias adotadas ..................................................................... 84

Tabela 6-3 Valores das variveis para os problemas ................................................... 85

Tabela 6-4 - Altura dos pilares ....................................................................................... 86

Tabela 6-5 Tenses e excentricidade para o pilar 12 cm x 60 cm Domnio 3.......... 86

Tabela 6-6 - Parmetros dos momentos para o pilar de 12 cm x 60 cm Domnio 3 ... 86


xiii

Tabela 6-8 - Parmetros dos momentos para o pilar de 12 cm x 60 cm Domnio 4 ... 87


Tabela 6-10 - Parmetros dos momentos para o pilar de 15 cm x 60 cm Domnio 3 . 88

Tabela 6-11 Tenses e excentricidade para o pilar 15 cm x 60 cm Domnio 4........ 88






Tabela 6-17 - Resultados do Pilar 12 x 60 Domnio 3 ................................................ 90






1

1. INTRODUO

1.1. Consideraes gerais

Quando um engenheiro civil projeta uma estrutura, ou um elemento estrutural, a sua

maior preocupao em relao segurana. Ou seja, deseja-se que esta estrutura (ou

elemento estrutural) no sofra ruptura, o que pode ocasionar perda de vidas ou prejuzos

financeiros.

O ideal seria que a estrutura fosse totalmente segura, ou seja, uma estrutura 100%

confivel. Porm, de acordo com a teoria da probabilidade, esta segurana no pode ser

atingida. Pode-se, entretanto, atingir valores de confiabilidade relativamente prximos a

um, o que significa uma probabilidade de falha perto de zero.

O problema que quanto mais se aumenta a segurana de uma estrutura, maior tende a

ser a quantidade de material utilizado e, consequentemente, o seu custo. Portanto, o

objetivo do engenheiro em um projeto estrutural no deve ser encarado simplesmente

como projetar uma estrutura totalmente segura. Este objetivo deve ser considerado

como sendo o de se projetar uma estrutura que, na sua vida til, atenda aos requisitos de

segurana e durabilidade ao menor custo possvel.

Este trabalho ir analisar, pelo mtodo de Monte Carlo, a confiabilidade flexo das

sees mais solicitadas de elementos estruturais que foram dimensionadas de acordo

com a norma NBR 6118 (2007). Devido ausncia de norma nacional, os ndices de

confiabilidade sero comparados com valores estabelecidos em normas internacionais.

Ao final do trabalho, so apresentados alguns exemplos numricos, os resultados

obtidos e as concluses.

Este trabalho segue uma linha de pesquisa sobre confiabilidade que vem sendo adotada

no Departamento de Estruturas (DES). Dentre os trabalhos sobre este assunto podem ser

citados alguns artigos escritos pelos orientadores deste projeto: SANTOS e EBOLI

(2006), EBOLI e VAZ (2005) e STUCCHI e SANTOS (2011). Outro trabalho recente

sobre o assunto o projeto final de FRANCO (2010).

2

1.2. Objetivos e justificativas

O presente trabalho, elaborado pelo aluno Felipe Pinheiro de Souza Bastos e orientado

pela Professora Claudia Ribeiro Eboli e pelo Professor Sergio Hampshire de Carvalho

Santos, tem como principal objetivo calcular o ndice de confiabilidade flexo reta

(simples e composta) de sees de concreto armado dimensionadas de acordo com a

norma brasileira NBR 6118 e comparar os valores obtidos com os valores

recomendados em normas internacionais.

1.3. Escopo do trabalho

O trabalho est dividido nos seguintes captulos:

CAPTULO 2 apresenta conceitos de probabilidade e estatstica;

CAPTULO 3 apresenta conceitos de confiabilidade e o Mtodo de Monte Carlo;

CAPTULO 4 apresenta conceitos do dimensionamento de estruturas de concreto

armado;

CAPTULO 5 apresenta o problema de flexo reta simples e exemplos

numricos;

CAPTULO 6 apresenta o problema de flexo-compresso reta e exemplos

numricos;

CAPTULO 7 apresenta as concluses.

3

2. CONCEITOS DE PROBABILIDADE E ESTATSTICA

Grande parte da anlise de confiabilidade baseada nos conceitos de probabilidade e

estatstica. Alguns desses conceitos sero apresentados neste captulo.

2.1. Introduo

A probabilidade demonstra por meio de nmeros a chance de algum evento predefinido

ocorrer. Segundo MELCHERS (1999) e FABER (2001), a probabilidade da ocorrncia

de um evento pode ser estimada por meio de trs formas:

I) estabelecimento de hipteses sobre o fenmeno (abordagem clssica);

II) observao repetida dos eventos (abordagem frequentista);

III) opinio de um observador (abordagem bayesiana).

A primeira forma ser ilustrada com o seguinte exemplo. Imagine que se deseja

conhecer a probabilidade de se obter cara ao se jogar uma moeda. Sabe-se que h

somente dois resultados possveis: cara ou coroa. Considerando que a moeda no esteja

viciada, a probabilidade de se tirar cara a mesma de se tirar coroa, ou seja, de 50%.

A segunda forma tambm ser ilustrada com o exemplo da moeda. De acordo com esta

abordagem, necessrio realizar um nmero de experimentos, de preferncia grande,

para se conhecer a probabilidade do evento. Ento, se a moeda for jogada 500 vezes e,

destas 500 vezes, 256 tiverem dado cara como resultado, a probabilidade de se tirar cara

ser

(2-1)

e, consequentemente, a probabilidade de se tirar coroa ser

(2-2)

Espera-se que medida que o nmero de experimentos aumente, a probabilidade de se

obter cara ou coroa aproxime-se de 50%.

A terceira forma baseada no princpio de Bayes. As probabilidades so baseadas na

opinio de um observador, geralmente um especialista. O observador pode at mesmo

utilizar as abordagens anteriores (frequentista e clssica) para basear a sua opinio. Por

4

ser baseada em opinies, duas pessoas podem estimar probabilidades diferentes para o

mesmo evento. Apesar de a probabilidade de um evento na abordagem bayesiana ser

dependente da pessoa que a faz, a liberdade de se definir esta probabilidade na anlise

de confiabilidade de estruturas no grande, como pode parecer (FABER, 2001).

A abordagem bayesiana a mais utilizada nas anlises de confiabilidade, visto que as

duas anteriores so de aplicao limitada. Esta limitao decorre do fato de o nmero de

estruturas idnticas ser muito pequeno, ou mesmo um, e as condies de carregamento

das estruturas serem diferentes entre si. Alm disso, no se tem muitos dados sobre

falhas de estruturas.

2.2. Axiomas

Toda a teoria da probabilidade baseada nos seguintes axiomas (FABER, 2001):

I) a probabilidade de um evento A ocorrer um nmero real tal que

(2-3)II) a probabilidade de um evento certo C ocorrer e, de um evento

impossvel I, ; III) a probabilidade de ocorrncia de pelo menos um dos eventos e dada

pela expresso a seguir, comumente chamada de regra da adio

(2-4)Se e forem mutuamente exclusivos, ou seja, se a probabilidade de eles ocorrerem simultaneamente for nula, ento a probabilidade de ocorrncia de pelo menos um dos

eventos e ser dada por (2-5)

2.3. Variveis aleatrias

Quando um experimento realizado diversas vezes, provvel que os valores medidos

em cada experimento no sejam iguais entre si, mesmo quando realizados sob as

mesmas condies. Se esta variabilidade nos resultados realmente ocorre, a grandeza

estudada uma varivel aleatria. Por outro lado, se os valores medidos forem

idnticos, tem-se uma grandeza determinstica.

5

As variveis aleatrias podem, em geral, ser representadas por distribuies aleatrias.

Para isso, necessrio que se determine alguns parmetros destas variveis. Os mais

comuns so a mdia e o desvio padro.

As variveis aleatrias podem ser qualitativas ou quantitativas. Variveis qualitativas

so aquelas que apresentam como realizaes uma qualidade, enquanto variveis

quantitativas apresentam como realizaes nmeros resultantes de uma contagem ou

mensurao (BUSSAB; MORETTIN, 2004). A classificao da rugosidade do terreno,

utilizada para se obter a velocidade caracterstica do vento, pode ser interpretada como

uma varivel do tipo qualitativa. Por outro lado, o peso prprio de uma estrutura uma

varivel quantitativa.

As variveis quantitativas podem ser classificadas em discretas ou contnuas. Variveis

discretas so aquelas que s podem assumir valores discretos. Um exemplo deste tipo

de varivel o nmero mdio de anos que uma determinada solicitao na estrutura leva

para atingir ou ultrapassar um determinado valor.

Por outro lado, variveis contnuas so aquelas que podem assumir qualquer valor real

dentro de um determinado intervalo. Como exemplo, pode ser citada a resistncia do

concreto ou a altura efetiva de uma viga. Nas anlises realizadas neste trabalho sero

usadas somente variveis quantitativas e contnuas.

Para facilitar a compreenso, ser utilizada letra maiscula para designar a varivel

aleatria (ex: ) e letra minscula para designar uma realizao da varivel, ou seja, o valor que ela assume em um experimento (ex: ). 2.4. Funes de variveis aleatrias

Muitas vezes interessante representar uma varivel aleatria por meio de uma funo

contnua. Esta funo chamada de funo densidade de probabilidade. Uma funo

densidade de probabilidade deve atender aos seguintes requisitos (HART, 1982):

I) A funo densidade de probabilidade sempre maior ou igual zero, isto , para qualquer valor de ; II) A rea abaixo da curva da funo densidade de probabilidade deve ser unitria,

ou seja

6

(2-6)

III) A probabilidade de um valor observado ser menor ou igual a dada por:

(2-7)

Apesar do fato de que qualquer funo que atenda aos requisitos mencionados possa ser

utilizada, comum que se utilizem alguns tipos predefinidos dessas funes. Algumas

dessas funes so apresentadas no item 2.7.

Da expresso (2-7), pode-se notar que, como a funo contnua, incluir ou no o

extremo no alterar o resultado. A integral do lado direito da equao (2-7) chamada de funo de distribuio acumulada (ou funo cumulativa de distribuio). A

probabilidade de um valor observado situar-se entre dois valores, a e b, dada por

(2-8)

A expresso acima tambm pode ser escrita como

(2-9)A funo de distribuio acumulada tem algumas propriedades:

I) II) III)

A funo densidade de probabilidade tambm chamada de PDF (Probability Density

Function) e a funo de densidade acumulada de CDF (Cumulative Distribution

Function).

2.5. Momentos de variveis aleatrias

2.5.1. Mdia

A mdia o principal nmero utilizado para representar uma srie de valores. Para o

caso de variveis discretas, a mdia pode ser calculada como a soma dos valores

observados dividida pelo nmero total de observaes, como na equao (2-10):

7

(2-10)onde o nmero de observaes e o valor da varivel na observao . J para o caso de variveis contnuas, a mdia pode ser calculada pela expresso

(2-11)A mdia tambm pode ser chamada de valor esperado ou de primeiro momento da

varivel aleatria (MELCHERS, 1999).

2.5.2. Varincia e desvio padro

A varincia e o desvio padro so medidas da disperso dos valores da varivel

aleatria, ou seja, eles medem quanto os valores observados variam em torno da mdia.

Para o caso de variveis discretas, a varincia dada pela seguinte expresso:

(2-12)Quando se analisa amostras de uma populao, comum utilizar o denominador em vez de no clculo da varincia. A justificativa pode ser encontrada em BENJAMIN e CORNELL (1970). Para o caso de variveis contnuas, a expresso da

varincia dada por:

(2-13)O desvio padro simplesmente a raiz quadrada positiva da varincia:

(2-14)A varincia tambm chamada de segundo momento central da varivel aleatria. A

varincia e o desvio padro possuem unidades. Por exemplo, se a varivel estudada for

uma fora, com unidade em kN, o desvio padro tambm ter unidade de kN e a

varincia ter unidade de kN.

Na figura 2-1, apresentado um grfico para ilustrar o conceito de desvio padro e de

varincia.

8

Figura 2-1 Ilustrao do conceito de desvio padro e varincia

Pode-se perceber que a curva 1 apresenta valores mais dispersos em relao mdia,

enquanto a curva 2 apresenta valores mais prximos da mdia. Por esse motivo, o

desvio padro e a varincia da curva 1 so maiores do que os valores da curva 2.

Outra forma de se representar a disperso de valores pelo coeficiente de variao. Ele

definido como

, (2-15)onde a mdia e o desvio padro. Pode-se perceber que o coeficiente de variao adimensional.

2.5.3. Outros momentos

Outro valor que pode ser utilizado para caracterizar uma varivel aleatria chamado

de coeficiente de skewness, que o terceiro momento central adimensionalizado. Para o

caso de variveis discretas, ele dado pela expresso

1

. (2-16)

J para variveis contnuas, a expresso

1

. (2-17)

9

Este parmetro pode ser usado para medir a simetria ou a assimetria de uma varivel

aleatria em torno da sua mdia. Se o coeficiente for nulo, a funo simtrica. Valores

positivos deste coeficiente indicam que valores da varivel aleatria maiores do que a mdia so mais dispersos do que os valores menores, e valores negativos indicam o

contrrio (LIMA; SAGRILO, 2004).

O quarto momento central adimensionalizado chamado de coeficiente de kurtosis.

Para variveis discretas, ele dado pela expresso

(2-18)e, para variveis contnuas, por

(2-19)Ele mede a suavidade da curva, ou seja, quanto maior o seu valor, menos acentuado ser

o pico da curva (LIMA; SAGRILO, 2004).

Momentos de graus maiores tambm podem ser utilizados, porm os quatro primeiros

so os mais comuns na prtica. Os coeficientes de skewness e de kurtosis podem ajudar

na escolha de distribuies aleatrias para uma varivel (LIMA; SAGRILO, 2004).

O conjunto de todos os momentos de uma funo de densidade de probabilidade

descreve completamente a funo (MELCHERS, 1999). Porm, para algumas

distribuies especficas, um nmero pequeno de momentos suficiente. A distribuio

normal (ver item 2.7), por exemplo, fica completamente caracterizada com os dois

primeiros momentos: mdia e desvio padro.

2.6. Associao entre duas variveis aleatrias

s vezes, duas variveis podem estar associadas, ou seja, elas podem apresentar um

grau de dependncia. Esta associao pode ser medida por alguns parmetros, sendo um

deles a covarincia. A covarincia, para variveis discretas, dada pela expresso

(2-20)

10

E para variveis contnuas

(2-21)Pode-se perceber que a covarincia tem a mesma dimenso da varincia. A sua forma

adimensional chamada de coeficiente de correlao e dada pela expresso

(2-22)onde e so o desvio padro da varivel e o desvio padro da varivel , respectivamente. O coeficiente de correlao apresenta valores dentro do intervalo

. Quando vale 1, pode-se dizer que as variveis so linearmente dependentes e que quando o valor de uma cresce, o valor da outra tambm cresce. Quando vale -1, as variveis tambm so linearmente dependentes, porm quando o valor de uma cresce, o

da outra diminui.

Se o valor de for nulo, as variveis no so linearmente dependentes. Elas podem, entretanto, apresentar outra forma de dependncia. Na figura 2-2, so apresentados

diversos grficos para ilustrar o conceito do coeficiente de correlao.

Figura 2-2 Dependncia linear entre variveis aleatrias

~ 0 1

-1

0 1

11

Neste trabalho sero utilizadas somente variveis independentes ou que apresentem um

grau de dependncia pequeno, que pode ser desprezado.

2.7. Distribuies aleatrias contnuas

Neste item sero apresentadas algumas distribuies aleatrias contnuas, com as suas

respectivas funes densidade de probabilidade, funes cumulativas de distribuio e

os seus principais parmetros.

2.7.1. Uniforme ou retangular

A funo densidade de probabilidade da distribuio uniforme dada por:

1 , (2-23)para . Para os demais valores, 0. A mdia da distribuio

2 (2-24)e a varincia

12 . (2-25)Na figura 2-3 apresentada a curva de funo densidade de probabilidade para uma

varivel com distribuio uniforme.

Figura 2-3 Funo densidade de varivel com distribuio uniforme

12

Pode-se perceber que os parmetros dessa funo so 1 e 3. A mdia da distribuio 2 e a varincia 0,333. A curva da funo cumulativa de distribuio para a mesma varivel apresentada na figura 2-4.

Figura 2-4 Funo cumulativa de varivel com distribuio uniforme

Pode-se verificar que ela vale zero quando 1 e que ela vale 1 quando 3. Para 1 3, ela cresce linearmente.

2.7.2. Normal

A distribuio normal, ou Gaussiana, uma distribuio que aparece com muita

frequncia para representar fenmenos fsicos. A sua funo densidade de probabilidade

dada pela expresso

12 !12 "

#

$, (2-26)onde a mdia da distribuio e o desvio padro. A funo de distribuio

acumulada no tem uma expresso na forma analtica. Ela definida como

% 12 !12 "

#

$

. (2-27)Na prtica, comum utilizar a funo normal padro, que tem desvio padro unitrio e

mdia igual a zero. Assim, a funo densidade de probabilidade tem a forma

& 12 '12 &( (2-28)

e a funo de distribuio acumulada dada por

13

%& 12 '12 &( &

. (2-29)Os valores da funo de distribuio acumulada esto tabelados no anexo A e podem ser

encontrados na literatura tcnica, como em BUSSAB e MORETTIN (2004). A

transformao de uma distribuio normal qualquer para uma distribuio normal

padro pode ser feita por meio de uma mudana de varivel:

& . (2-30)A funo densidade de probabilidade normal padro comumente designada como

)& & (2-31)e a funo cumulativa normal padro designada como

& %&. (2-32)A funo de distribuio acumulada normal padro pode ser calculada por uma srie

infinita. H tambm algumas funes aproximadas para o clculo da funo acumulada

em um determinado ponto. Para mais detalhes, consultar MELCHERS (1999).

O coeficiente de skewness vale 0, o que indica que a funo simtrica em relao mdia, e o coeficiente de kurtosis vale 3. Na figura 2-5, so apresentadas curvas de funes densidade de probabilidade de variveis com distribuio normal, mdia

igual a zero e diferentes valores de desvio padro. Na figura 2-6, possvel ver as

curvas das funes de distribuio acumulada funo acumulada das mesmas variveis.

Figura 2-5 Funo de densidade de variveis com distribuio normal

14

Figura 2-6 Funes cumulativas de variveis com distribuio normal

O Teorema do Limite Central afirma que a distribuio de probabilidade da soma de um

grande nmero de variveis aleatrias, independentemente da distribuio dessas

variveis, aproxima-se da distribuio normal (MELCHERS, 1999).

A funo normal pode ser utilizada para representar as incertezas das dimenses de

elementos estruturais, como a largura de uma viga ou a posio da armadura. Nestes

casos, deve-se ficar atento para que o valor no seja negativo.

2.7.3. Lognormal

Na distribuio lognormal, o logaritmo natural da varivel aleatria X tem distribuio

normal. A funo densidade de probabilidade desta distribuio dada pela expresso

1 2 +12 '

ln (

., (2-33)

para 0 e / 0. A mdia dada por

0 2 1 (2-34)

e a varincia por

2 2 13. (2-35)A funo cumulativa da distribuio lognormal, assim como a funo cumulativa da

distribuio normal, no possui uma expresso na forma analtica. Na figura 2-7, so

apresentadas curvas de funes densidade de probabilidade de variveis com

15

distribuio lognormal, 0 e diferentes valores de . Na figura 2-8, possvel ver as curvas das funes cumulativas de distribuio das mesmas variveis.

Figura 2-7 Funes densidade de variveis com distribuio lognormal

Figura 2-8 Funes cumulativas de variveis com distribuio lognormal

A distribuio lognormal , s vezes, utilizada para representar a resistncia do concreto

compresso e a tenso de escoamento do ao, j que essas grandezas no podem

assumir valores negativos.

2.7.4. Gumbel

A distribuio de Gumbel uma distribuio de valores extremos. As distribuies de

valores extremos so utilizadas quando se est interessado nos valores mnimos ou

mximos da ocorrncia de um fenmeno. Por exemplo, a maior velocidade do vento em

um ano pode ser representada por uma distribuio do tipo Gumbel. A sua funo

densidade de probabilidade dada pela expresso

16

a 5 2 637 (2-36)e a funo cumulativa de probabilidade dada por

% 5 2 37. (2-37)A mdia dada por

8, (2-38)onde 8 0.57721566 a constante de Euler, e a varincia dada por

6 . (2-39)Na figura 2-9, so apresentadas curvas de funes densidade de probabilidade de

variveis com distribuio do tipo Gumbel. As curvas das funes acumuladas de

distribuio das mesmas variveis so apresentadas na figura 2-10.

Figura 2-9 Funes densidade de variveis com distribuio Gumbel

Figura 2-10 Funes cumulativas de variveis com distribuio Gumbel

17

3. CONCEITOS DE CONFIABILIDADE

3.1. Introduo

A anlise de confiabilidade permite que se considere a incerteza associada a cada uma

das variveis que influem no desempenho ou na segurana da estrutura. Desta forma,

podem-se considerar as incertezas associadas s dimenses do elemento estrutural, as

incertezas na resistncia dos materiais e as incertezas nas solicitaes, para citar

algumas.

Em uma anlise de confiabilidade, estuda-se a probabilidade de uma estrutura ou de um

elemento estrutural sofrer algum tipo de falha. A falha pode ser definida como a

situao em que a estrutura atinge uma condio indesejada, o que no representa

necessariamente o colapso da totalidade ou parte da estrutura. Ela pode ser tambm o

surgimento de uma flecha ou uma abertura de fissura maior do que o esperado.

Cada uma das situaes em que se deseja verificar a probabilidade de falha ser

chamada de modo de comportamento. Neste trabalho, por exemplo, s sero estudados

os modos de comportamento relacionados com a ruptura de elementos flexo (simples

ou composta).

Uma das formas de calcular a probabilidade de falha para um modo de comportamento

pelo estabelecimento de uma funo de falha. Quando esta funo igualada zero,

tem-se a equao da falha. A equao da falha descreve a situao que separa o lado

seguro do lado no seguro, ou do funcionamento adequado do funcionamento

indesejado. Na maior parte das vezes, a funo de falha para um modo de

comportamento pode ser escrita na forma de resistncia menos solicitao

!, (3-1)onde o vetor das variveis bsicas. 3.2. Variveis bsicas

Segundo MELCHERS (1999), variveis bsicas so as variveis fundamentais que

definem e caracterizam o comportamento e a segurana de uma estrutura para um modo

de comportamento. Em geral, elas so as mesmas variveis empregadas no

dimensionamento, como as dimenses do elemento, o peso especfico do material e a

resistncia do material.

18

No necessrio que as variveis bsicas sejam independentes entre si, apesar de ser

prefervel que sejam, visto que a dependncia entre as variveis aumenta a

complexidade do problema. Se houver algum grau de dependncia significativo entre as

variveis, necessrio que essa dependncia seja considerada no problema; se a

dependncia entre as variveis for pequena, essa dependncia pode ser desprezada.

3.3. ndice de confiabilidade

O ndice de confiabilidade um parmetro de referncia utilizado com a inteno de

expressar a segurana de uma estrutura (ou elemento estrutural) para um modo de

comportamento. Definindo-se uma nova varivel aleatria Z

" ! (3-2)o ndice de confiabilidade ser dado por

# (3-3)onde a mdia e o desvio padro da varivel associada funo de falha . O ndice de confiabilidade pode ser interpretado como a distncia entre o valor mdio de Z

e a falha, medida em unidades de desvio padro, como ilustrado na figura 3-1. usual

considerar essa definio mesmo quando a varivel Z tem distribuio diferente da

normal. Quanto maior o ndice de confiabilidade da estrutura, maior tende ser a sua

segurana, ou seja, menor a probabilidade de falha. Isto indica que quanto maior a

mdia e menor o desvio padro da funo de falha, melhor a situao da estrutura.

Figura 3-1 ndice de confiabilidade

19

Se a varivel associada funo de falha apresentar uma distribuio normal, a

probabilidade de falha ser dada pela expresso

# (3-4)onde a funo cumulativa de distribuio normal padro (ver item 2.7.2). Como na maioria dos casos a varivel associada funo de falha no apresenta distribuio

normal, a expresso acima pode fornecer uma probabilidade de falha bem diferente do

valor verdadeiro.

Alm disso, para uma varivel associada a uma funo de falha qualquer, a mdia e o

desvio padro podem no ser suficientes para representar com preciso a distribuio

dessa funo. Assim, no necessariamente a varivel que tiver maior mdia e menor

desvio padro ser a que tem a menor probabilidade de falha. necessrio tambm

considerar os outros momentos da funo.

Devido dificuldade de se determinar com preciso a probabilidade de falha das

estruturas, o ndice de confiabilidade um parmetro de referncia utilizado com

frequncia para se medir a segurana das estruturas.

3.4. Definio do tipo de distribuio e seus parmetros

A definio do tipo de distribuio e dos parmetros de uma varivel aleatria depende

do conhecimento que se tem desta varivel. Ela pode ser feita com base nos mtodos

descritos a seguir, que podem ser utilizados conjuntamente ou isoladamente.

a) Ajuste de funes aos dados observados

Com os parmetros da amostra calculados (de acordo com as expresses apresentadas

no item 2.5), pode-se compar-los com os parmetros da distribuio considerada.

Como parmetros podem ser considerados a mdia, o desvio padro, o coeficiente de

skewness, coeficiente de kurtosis e outros momentos.

Pode-se tambm testar uma distribuio graficamente. Isto pode ser feito comparando o

histograma da amostra com a funo densidade de probabilidade ou por meio de papis

de probabilidade. Mais detalhes podem ser encontrados em BENJAMIN e CORNELL

(1970) e BUSSAB e MORETTIN (2004).

20

b) Recomendaes de normas ou publicaes relevantes

Algumas distribuies e parmetros podem ser inferidos a partir da definio dos

valores caractersticos (de solicitaes ou resistncias) das normas tcnicas. Pode-se

tambm utilizar distribuies recomendadas ou utilizadas em publicaes relevantes,

como apresentadas em Probabilistic Model Code (JCSS, 2006), HOLICK e SYKORA

(2011) e STUCCHI e SANTOS (2011).

c) Por raciocnio fsico

Esta forma baseada nos conceitos de probabilidade e estatstica. Por exemplo, quando

uma varivel aleatria constituda pela soma de um grande nmero de variveis, pode-

se adotar o recurso do teorema do limite central e considerar a varivel com distribuio

normal. Da mesma forma, se a varivel consiste do produto de um grande nmero de

variveis aleatrias, a sua distribuio aproxima-se da lognormal (MELCHERS, 1999).

Outros exemplos podem ser dados:

Quando se sabe que uma varivel no pode assumir valores negativos e, por

esse motivo, deseja-se escolher uma distribuio que reflita este fato;

Quando uma varivel representa os valores mximos ou mnimos de um

fenmeno, pode-se escolher uma distribuio de valores extremos.

Neste trabalho ser utilizada basicamente a abordagem descrita na letra b.

3.5. Problema bsico

Para ilustrar um problema bsico de confiabilidade, ser considerada a forma mais

simples da funo de falha:

" ! (3-5)As variveis da resistncia, , e da solicitao, !, so independentes entre si e possuem distribuio normal. Neste caso, a integrao direta pode ser utilizada. A mdia dada

por

(3-6)e o desvio padro dado por

21

(3-7)onde:

e so as mdias das variveis e !, respectivamente; e so os desvios padres das variveis e !, respectivamente.

Considerando que a varivel aleatria tem mdia e desvio padro e que a varivel aleatria ! tem mdia e desvio padro , pode-se chegar aos seguintes valores dos parmetros da varivel ":

(3-8) (3-9)

A figura 3-2 apresenta o grfico das funes densidade de probabilidade das variveis

aleatrias ", e !.

Figura 3-2 Curvas das funes densidade de probabilidade das variveis Z, R e S

O ndice de confiabilidade vale

#

(3-10)

e a probabilidade de falha pode ser obtida pela tabela do Anexo A

(3-11)que corresponde a rea marcada na figura 3-2.

22

O problema apresentado dito problema bsico de confiabilidade. Nos problemas

usuais, as funes de falha quase sempre so no lineares, com um grau de

complexidade maior do que o das funes apresentadas neste item. Alm disso, nem

sempre as variveis apresentam distribuio normal.

No tpico a seguir, so apresentadas outras formas de resolver um problema de

confiabilidade, que podero ser utilizadas em problemas gerais.

3.6. Mtodos de Anlise

A anlise de confiabilidade consiste basicamente na avaliao da probabilidade de falha,

dada pela expresso:

$ % &

(3-12)

Segundo MELCHERS (1999), h essencialmente trs formas que podem ser utilizadas

para calcular esta integral:

I) integrao direta;

II) transformar o integrando em uma distribuio normal multivariada;

III) utilizando simulao numrica.

A primeira forma, utilizada no exemplo do item 3.5, como foi visto, s pode ser

utilizada em casos especiais, quando possvel obter uma soluo analtica para a

integral. Para funes de falha complexas, a sua aplicao torna-se invivel. A segunda

forma de resoluo a base para os mtodos do FORM (First Order Reliability

Method) e SORM (Second Order Reliability Method). A terceira e ltima forma

pode ser usada sem restries, sendo a mais comum a simulao de Monte Carlo.

Mais detalhes sobre as duas primeiras formas podem ser encontrados em MELCHERS

(1999) e CHOI et. al. (2007). A seguir, ser apresentado o mtodo de Monte Carlo,

utilizado nos exemplos numricos deste trabalho.

3.7. Mtodo de Monte Carlo

O mtodo de Monte Carlo um mtodo numrico. Os mtodos numricos, de forma

geral, podem ser usados para qualquer forma de funo (linear ou no linear) e as

distribuies podem ser de qualquer tipo (normal, lognormal, Gumbel, etc.). A

23

expresso (3-12) pode, portanto, ser avaliada por mtodos de integrao conhecidos nas

disciplinas de clculo, como o mtodo dos trapzios e o mtodo de Simpson.

A grande desvantagem destes mtodos a grande demanda computacional quando o

nmero de variveis torna-se grande. Segundo MELCHERS (1999), quando o nmero

de variveis maior do que cinco, o processamento torna-se demasiadamente lento.

Neste caso, recomenda-se a utilizao de mtodos numricos aproximados, como o

mtodo de Monte Carlo e os seus derivados.

Os procedimentos utilizados para resolver um problema pelo Mtodo de Monte Carlo

sero explicados a seguir. Porm, antes de empregar o mtodo, necessrio definir o

problema que ser estudado.

3.7.1. Definio do problema

O primeiro passo para definir o problema consiste em estabelecer a funo de falha para

o modo de comportamento estudado. O mtodo de Monte Carlo permite estudar mais de

um modo de comportamento ao mesmo tempo, mas este caso no ser abordado neste

trabalho.

Aps a definio da funo de falha, deve-se definir o tipo de distribuio e os

parmetros de cada varivel aleatria envolvida na anlise. Neste trabalho, como

mencionado no item 3.4, sero utilizados os tipos de distribuio e parmetros

recomendados por normas e publicaes relevantes.

A escolha do nmero de amostras que ser utilizado tambm muito importante, visto

que o mtodo de Monte Carlo um mtodo numrico e aproximado. Mais informaes

sobre a escolha do nmero de amostras so apresentadas no item 3.7.4.

Aps a definio do problema, possvel realizar a simulao de Monte Carlo.

3.7.2. Procedimentos de resoluo

O mtodo de Monte Carlo ir calcular a funo de falha ' vezes, onde ' o nmero de simulaes estabelecido. Para que a expresso da funo de falha seja avaliada,

necessrio, primeiramente, gerar os valores das variveis aleatrias em cada uma das

simulaes.

Esses valores so gerados de acordo com o tipo de distribuio e os parmetros das

variveis. Como o nmero de simulaes costuma ser muito grande, geralmente no

24

vivel, do ponto de vista computacional, armazenar os valores das variveis gerados em

cada simulao. Contudo, em alguns casos, pode ser possvel armazenar somente o

resultado de cada simulao.

H vrias formas de se gerar um valor para uma varivel aleatria. A maioria delas

utiliza, como ponto de partida, nmeros pseudoaleatrios gerados no intervalo (0,1),

com iguais probabilidades de ocorrncia, isto , estes nmeros tm distribuio

uniforme, com parmetros , e mdia . Os nmeros pseudoaleatrios so assim chamados porque, na verdade, so gerados por

funes e se repetem aps um ciclo, que se espera que seja longo. Testes realizados

indicam que uma sequncia de nmeros aleatrios indistinguvel de uma sequncia de

nmeros realmente aleatrios (MELCHERS, 1999, p. 67 apud RUBINSTEIN, 1981).

A partir dos nmeros pseudoaleatrios gerados possvel gerar os valores das variveis

aleatrias, em funo do tipo de distribuio e dos seus parmetros. O meio mais

comum de fazer isso pelo mtodo da transformao inversa.

O mtodo da transformao inversa baseia-se na definio da teoria da probabilidade de

que os valores da funo de distribuio acumulada situam-se no intervalo [0,1] (ver

item 2.4). Assim, o mtodo consiste em encontrar o valor da realizao da varivel , tal que a probabilidade de se obter um valor menor ou igual a ele seja igual ao nmero

pseudoaleatrio gerado no intervalo (0,1), com distribuio uniforme.

Cabe ressaltar que quase sempre conveniente que o nmero pseudoaleatrio seja

gerado no intervalo aberto (0,1), visto que em muitos casos no possvel obter um

valor para a realizao de uma varivel quando ou quando . Por exemplo, no caso de uma varivel com distribuio normal, o valor da realizao da

varivel seria para o primeiro caso e para o segundo. Para ilustrar o mtodo da transformao inversa, ser apresentado um breve exemplo.

Considere que se deseje gerar um valor para uma varivel aleatria com distribuio do

tipo Gumbel, com mdia e desvio padro . A expresso da funo de distribuio acumulada do tipo Gumbel dada pela expresso (2-37). Invertendo-se esta

expresso chega-se :

25

(3-13)Utilizando as frmulas (2-38) e (2-39), pode-se obter os valores dos parmetros a e b.

) ! (3-14)

* (3-15)Considerando que o nmero pseudoaleatrio + gerado seja

+ (3-16)ento, o valor da realizao da varivel ser

"# (3-17)

Figura 3-3 - Mtodo da transformao inversa

O mtodo da transformao inversa ilustrado na figura 3-3. A aplicao do mtodo

fcil quando se tem uma expresso analtica da funo de distribuio acumulada, como

o caso das distribuies uniforme e Gumbel. No caso da distribuio normal, que no

apresenta uma expresso analtica para a inversa da funo de distribuio acumulada,

possvel chegar ao valor da realizao de uma varivel normal padro por meio de sries

ou de frmulas aproximadas. Podem-se gerar valores para duas variveis normais

padres e independentes, por exemplo, utilizando as frmulas

, + $%& ) + - (3-18), + &' ) + (3-19)

26

onde + e + so realizaes de variveis uniformes e independentes no intervalo (0,1). O valor da realizao de uma varivel normal qualquer pode ser encontrado utilizando a

frmula (3-20), que obtida a partir da expresso (2-30).

, (3-20)Aps a gerao dos valores pseudoaleatrios para cada uma das variveis, esses valores

so substitudos na funo de falha. Se o resultado da expresso (3-5) for um nmero

menor do que zero, pode-se dizer que ocorreu uma falha e esta informao deve ser

guardada. A gerao dos valores de cada uma das variveis aleatrias, a substituio

desses valores na funo de falha e a avaliao do resultado so repetidas ' vezes. A probabilidade de falha estimada ser, ento, dada por

' $ %

(3-21)onde:

' o nmero de simulaes realizadas; um operador que vale 1 quando a expresso verdadeira, ou seja, quando , e vale 0 em caso contrrio.

Assim, considerando que o nmero de simulaes realizadas pelo mtodo ' e que ocorreu uma falha 21 vezes, a probabilidade de falha ser

(3-22)

Como o mtodo de Monte Carlo um mtodo numrico (e aproximado), o nmero de

simulaes que sero utilizadas um fator importante. Quanto menor a probabilidade de

falha, maior deve ser o nmero de experimentos realizados, para que essa

probabilidade de falha possa ser estimada com preciso.

O mtodo de Monte Carlo era considerado como um mtodo que necessitava de grande

poder computacional, pois demandava um tempo relativamente grande para que fosse

processado. Isso tem mudado com o aumento da capacidade e velocidade de

processamento dos computadores.

27

3.7.3. Exemplo do mtodo

Para exemplificar o mtodo de Monte Carlo, o procedimento ser aplicado na soluo

do exemplo do item 3.5. Os resultados so apresentados no anexo B. Por simplicidade,

foram feitas somente 200 simulaes.

A funo de falha dada pela expresso (3-5). A varivel tem distribuio normal com mdia e desvio padro e a varivel ! tem mdia e desvio padro . Primeiramente so gerados valores pseudoaleatrios, + e +, com distribuio uniforme no intervalo entre (0,1). Esses valores so ento transformados em realizaes de

variveis normais padres, , e ,, de acordo com as frmulas (3-18) e (3-19) e, em seguida, transformados em realizaes das variveis aleatrias e !, respectivamente, de acordo com a frmula (3-20).

Assim, para cada simulao calculado o valor de . Se , ento $% ; se , ento $% . Aps o final das repeties, somam-se os valores de $% e divide-se a soma pelo nmero de simulaes para encontrar a probabilidade de falha. Retomam-se os valores de em cada simulao e calcula-se a mdia e o desvio padro. A tabela 3-1 resume os resultados encontrados.

Tabela 3-1 - Resultados do exemplo pelo Mtodo de Monte Carlo

Soluo Mdia

() Desvio padro () ndice de confiabilidade (#) Probabilidade de falha () Simulao de Monte

Carlo (' ) 4,895 2,419 2,024 0,025 Soluo exata 5,0 2,5 2,0 0,0228

Como se pode verificar, os resultados foram ligeiramente diferentes dos valores (exatos)

apresentados no item 3.5. Isto decorre, principalmente, do pequeno nmero de

simulaes utilizado.

3.7.4. Nmero de amostras

H na literatura, algumas expresses que permitem realizar uma estimativa inicial do

nmero de amostras necessrias para se obter uma resposta com razovel preciso. Uma

delas (MELCHERS, 1999, p.71 apud BRODING, 1964)

28

' ( (3-23)A descrio dos parmetros da expresso (3-23) pode ser encontrada na tabela 3-2, junto

com alguns valores que podem ser utilizados na estimativa. O valor da probabilidade de

falha corresponde a aproximadamente um ndice de confiabilidade de 3,8. Tabela 3-2 Parmetros para o clculo do nmero de amostras

Parmetro Valor Descrio " Probabilidade de falha estimada, ) ! # Confiabilidade do resultado Substituindo os dados da tabela 3-2 na expresso (3-23), chega-se a um nmero

aproximado de 43000 amostras. Cabe ressaltar que o nmero de amostras a que se

referem as equaes diz respeito somente a uma varivel aleatria. O nmero de

amostras a ser considerado para o estudo da funo de falha deve ser de, pelo menos, N

vezes o nmero de variveis aleatrias (MELCHERS, 1999).

Outras formas de estimar o nmero de amostras necessrias para se ter um resultado

adequado podem ser encontradas em MELCHERS (1999).

3.8. Definio de um risco aceitvel

A definio do risco aceitvel uma tarefa bastante difcil. Por um lado a sociedade

espera que as estruturas nunca falhem, o que estatisticamente impossvel. Por outro, o

critrio para definio de um risco aceitvel pode no parecer muito cientfico.

MELCHERS (1999) apresenta duas formas de estabelecer o risco aceitvel. Uma das

formas baseada no risco considerado aceitvel de outras atividades realizadas pela

sociedade. Estas atividades podem ser separadas em duas categorias: uma referente a

riscos voluntrios e outra referente a riscos involuntrios. H maior aceitao para os

riscos voluntrios do que para os riscos involuntrios. Alm disso, a aceitao do risco

depende tambm dos danos em potencial de uma possvel falha.

A outra forma baseada em critrios socioeconmicos. Como exemplo, tem-se a anlise

do custo-benefcio, em que se procura maximizar a relao benefcio menos custo:

*+,. (3-24)

29

onde . o benefcio total e o custo total do projeto. Cabe ressaltar que a anlise do custo-benefcio est sujeita a uma qualidade mnima do projeto. Outra possvel anlise

baseada em funes de utilidade. Entretanto, a formulao dessas funes de utilidade

de grande dificuldade (MELCHERS, 1999).

3.8.1. Valores alvo

H na bibliografia algumas expresses para se chegar a um valor alvo para a

probabilidade nominal de falha da estrutura (ver MELCHERS, 1999). Ela chamada de

nominal porque no considera a influncia do fator humano (como erros) e, portanto,

no uma probabilidade real de falha da estrutura. Estas expresses, entretanto, no

costumam ser usadas na prtica, pois dependem de valores difceis de serem previstos,

como o nmero mdio de pessoas dentro ou nas proximidades da estrutura durante a sua

vida til.

O meio mais comum de se chegar a um valor alvo de probabilidade nominal de falha da

estrutura ou elemento estrutural pela estimativa da probabilidade de falha de

elementos dimensionados de acordo com as normas em vigor, desde que seja

considerado que estes elementos apresentam uma segurana adequada.

Segundo MELCHERS (1999), o ndice de confiabilidade (#), para um perodo igual vida til da estrutura, costuma ficar entre 3,0 e 3,5, para edificaes comerciais e

residenciais. O Probabilistic Model Code (JCSS, 2006) recomenda um valor de 4,2 para

um ano de referncia.

O Eurocode EN 1990 (CEN, 2001) recomenda um valor do ndice de confiabilidade de

4,7 para um ano e de 3,8 para cinquenta anos de referncia, para elementos estruturais

de edificaes residenciais e comerciais. Esses valores do ndice de confiabilidade

correspondem a uma probabilidade de falha em torno de ! e " ,

respectivamente, considerando que a funo de falha tenha uma distribuio

aproximadamente normal.

O valor do ndice de confiabilidade recomendado pelo Eurocode # !, por ser para um perodo de referncia de 50 anos (semelhante vida til das estruturas

brasileiras) e por se referir ao elemento estrutural (no estrutura como um todo), o

valor que ser utilizado nas comparaes.

30

4. CONCEITOS DE CONCRETO ARMADO

A seguir so apresentados alguns conceitos de concreto armado. Uma parte desses

conceitos ser utilizada no dimensionamento das sees submetidas flexo reta.

4.1. Propriedades dos materiais

4.1.1. Concreto

a) Resistncia caracterstica

Quando so conduzidos ensaios de compresso em corpos cilndricos de concreto,

percebe-se que a resistncia do material apresenta uma disperso. O valor que tomado

como representativo da resistncia daquele grupo de corpos de prova chamado de

valor caracterstico. A norma NBR 6118 (2007) define o valor caracterstico da

resistncia compresso do concreto como aquele que tem uma probabilidade de 5% de

no ser atingido. Considerando uma distribuio normal para a resistncia dos corpos de

prova, a resistncia caracterstica do concreto dada por

! " / (4-1)onde:

! a resistncia caracterstica dos corpos de prova " a resistncia mdia dos corpos de prova / o desvio padro da amostra.

O valor 1,65 sai da tabela de distribuio normal, como pode ser verificado no anexo A.

A mdia da amostra dada por

" (4-2)e o desvio padro dado por

/ 1 " (4-3)A figura 4-1 ilustra o conceito de valor caracterstico para a resistncia do concreto

compresso.

31

Figura 4-1 - Valor caracterstico da resistncia

importante ressaltar que o valor caracterstico no um parmetro estatstico. Isto

ocorre porque somente com a informao do valor caracterstico no possvel fazer o

caminho contrrio, ou seja, determinar a mdia o desvio padro da amostra, mesmo que

seja considerada alguma distribuio especfica. Para que isso seja feito, necessria

mais uma informao, como o desvio padro ou a mdia da amostra.

b) Diagramas de tenso-deformao

O diagrama de tenso-deformao adotado para o concreto, no estado limite ltimo,

segue as frmulas abaixo (equaes 4-4 a 4-7):

Se 2 !- (4-4) Se -3,5 2 -2,0 # (4-5) Se -2,0 2 0

# 3 4 5-

67 (4-6) Se 2 > 0 $ (4-7)

32

O diagrama ilustrado na figura 4-2:

Figura 4-2 Diagrama de clculo de tenso-deformao do concreto

A norma permite considerar, simplificadamente, um diagrama retangular com 0,85 fcd

(considerando que no h diminuio da largura da seo medida que se aproxima do

bordo comprimido) de altura 0,8, onde a profundidade da linha neutra. Este diagrama simplificado foi utilizado no dimensionamento.

c) Mdulo de elasticidade

A Norma NBR 6118 (2007) fornece frmulas para se estimar o mdulo de elasticidade

do concreto. O mdulo de elasticidade inicial (em MPa) dado por

> 5600?, (4-8)com em MPa, e o mdulo de elasticidade secante (em MPa) dado por

> 0,85 > 4760?. (4-9)Considerando um concreto de fck = 25MPa, pode-se obter

> 28000AB 28,0 10CD/F (4-10)e

> 23800AB 23,8 10CD/F. (4-11)

33

4.1.2. Ao

A seguir, so apresentadas as propriedades do ao CA-50 da armadura passiva que so

utilizadas neste trabalho.

a) Resistncia caracterstica

A tenso de escoamento caracterstica do ao definida da mesma forma que a

resistncia compresso caracterstica do concreto:

%! %" /$ (4-12)onde:

%! a tenso de escoamento caracterstica dos corpos de prova; %" a tenso de escoamento mdia dos corpos de prova; /$ o desvio padro da amostra.

O grfico da figura 4-1 tambm pode ser utilizado para ilustrar a tenso de escoamento

caracterstica do ao.

b) Mdulo de elasticidade

A norma NBR-6118 (2007) afirma que o mdulo de elasticidade do ao da armadura

passiva (CA-50) pode ser utilizado como

$ 8'.9 (4-13)c) Diagramas de tenso-deformao

A relao de tenso-deformao do ao dada pelas frmulas abaixo (4-14 a 4-16):

Se -10 2$ -2,07 $ %# (4-14) Se -2,07 2$ 2,07 $ $ 2$ (4-15) Se 2,07 2$ 10 $ %# (4-16)

34

onde $ o mdulo de elasticidade do ao. Este diagrama ilustrado na figura 4-3:

Figura 4-3 - Diagrama de clculo de tenso-deformao do ao CA-50

4.2. Mtodo dos coeficientes parciais

O mtodo dos coeficientes parciais o mtodo utilizado atualmente para verificao dos

estados limites. Ele representa um avano em relao ao mtodo utilizado anteriormente

(mtodo das tenses admissveis) por considerar coeficientes de ponderao diferentes

em funo da natureza das aes e das resistncias.

O mtodo do Estado Limite um mtodo semi-probabilstico, j que ele utiliza valores

caractersticos e coeficientes de ponderao diferenciados para levar em considerao a

incerteza nas variveis do dimensionamento. Ele possui, porm, dois grandes

problemas. O primeiro deles no levar em considerao todas as incertezas que podem

influenciar o dimensionamento.

O segundo problema que o mtodo dos estados limite no capaz, por si s, de

determinar os coeficientes de ponderao com um embasamento probabilstico. Para

isso, necessrio recorrer anlise de confiabilidade.

As normas mais modernas, como o Eurocode e o ACI, tm buscado utilizar a anlise de

confiabilidade na definio desses coeficientes. A definio desses coeficientes

chamada de Calibrao de normas de projeto (Code Calibration). Mais informao

35

sobre este assunto pode ser encontrada em LIMA e SAGRILO (2004), MELCHERS

(1999) e JCSS (2006).

4.3. Aes

De acordo com a NBR 6118 (2007), deve ser considerada a influncia de todas as aes

que possam produzir efeitos significativos na estrutura analisada. A NBR 8681 (2003)

define trs grupos de aes, de acordo com a variabilidade no tempo: aes

permanentes, aes variveis a aes excepcionais.

4.3.1. Aes permanentes

Aes permanentes so as que ocorrem com valores constantes ou com pouca

variabilidade durante a vida da construo ou as aes que crescem no tempo, tendendo

a um valor limite constante.

4.3.2. Aes variveis

A NBR 6118 (2007) define as aes variveis como aquelas decorrentes do uso da

construo, dos efeitos devidos s foras de frenao, foras de impacto, foras

centrfugas, efeitos do vento, das variaes de temperatura, do atrito nos aparelhos de

apoio e das presses hidrostticas e hidrodinmicas.

4.3.3. Aes excepcionais

De acordo com a NBR 8681 (2003), consideram-se como excepcionais as aes

decorrentes de causas tais como exploses, choques de veculos, incndios, enchentes

ou sismos excepcionais.

4.4. Combinaes de aes no estado limite ltimo

A combinao de aes tem como finalidade transformar esforos caractersticos de

naturezas distintas e, portanto, com variabilidades diferentes, em um valor de clculo

que ser utilizado no dimensionamento, chamado de esforo de clculo (ou de projeto).

Desta forma so aplicados coeficientes de majorao das cargas, da seguinte forma

# *& &! *'& '&! *( :(! ;) ()!

36

&!'&! (!()!*(! so, respectivamente, os valores caractersticos devidos s aes permanentes diretas, aes permanentes indiretas, ao varivel

direta principal, aes variveis diretas secundrias e ao varivel indireta;

*& **& *( **( so, respectivamente, os coeficientes de majorao das aes permanentes diretas, aes permanentes indiretas, aes variveis diretas e aes

variveis indiretas;

;) -;* so coeficientes de reduo que levam em considerao a menor probabilidade de todas as cargas variveis ocorrerem ao mesmo tempo com o

seu valor caracterstico;

4.5. Dimensionamento a solicitaes normais de acordo com a NBR-6118

Os elementos estruturais que sero analisados neste trabalho sero dimensionados de

acordo com a norma brasileira de concreto armado, a NBR-6118 (2007). Somente

depois, com as dimenses do elemento estrutural e com as armaduras definidas, ser

feita a anlise de confiabilidade para determinar a probabilidade de falha na seo mais

solicitada flexo.

A seguir, sero explicados alguns conceitos do dimensionamento de peas de concreto

armado.

4.5.1. Estados limites

A norma define dois tipos de estado limite:

Estado limite ltimo: relativo ao colapso ou runa de estrutural, implicando na

paralisao do uso da estrutura.

Estado limite de servio: relativo durabilidade e aparncia das estruturas,

conforto dos usurios e boa utilizao das mesmas.

4.5.2. Verificao dos estados limites ltimos

De acordo com a NBR6118, a segurana das estruturas de concreto armado deve ser

verificada para os seguintes estados limites ltimos:

a) estado limite ltimo da perda do equilbrio;

b) estado limite ltimo do esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no

seu todo ou em parte, devido s solicitaes normais e tangenciais;

37

c) estado limite ltimo da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando os

efeitos de segunda ordem;

d) estado limite ltimo provocado por solicitaes dinmicas;

e) estado limite ltimo de colapso progressivo;

f) outros estados limites ltimos que eventualmente possam ocorrer em casos

especiais.

Neste trabalho sero estudados somente os estados limites de solicitaes normais de

flexo reta relacionados na letra b.

4.6. Domnios de ruptura para sees sob solicitaes normais

A NBR 6118 (2007) estabelece estados limites para o dimensionamento na ruptura das

sees transversais dos elementos estruturais. A figura 4-5 apresenta os domnios de

ruptura estabelecidos na norma.

Figura 4-4 - Estados Limites da NBR6118

Qualquer reta que esteja contida dentro de um domnio configura um estado limite

ltimo.

4.6.1. Reta a

A reta a representa um estado limite de deformao plstica excessiva, em que o

elemento est submetido a alongamento uniforme. Nesta situao, as armaduras

inferiores e superiores atingem um alongamento de 10 .

38

4.6.2. Domnio 1

O domnio 1 tambm um estado limite de deformao plstica excessiva. Ele se

configura quando a armadura em um dos bordos atinge o alongamento de 10 e a

armadura no bordo oposto tem um alongamento menor que 10 e maior do que 0. No

h esforo de compresso neste domnio.

4.6.3. Domnio 2

Este domnio tambm um estado limite de deformao plstica excessiva. Ele se

configura quando a armadura em um dos bordos atinge o alongamento de 10 e o

concreto no bordo oposto tem um encurtamento entre 0 e 3,5. Neste domnio, h um

bordo comprimido e outro tracionado.

Este domnio pode ser usado no dimensionamento de lajes ou vigas submetidas flexo

simples ou de elementos estruturais submetidos flexo composta.

4.6.4. Domnio 3

O Domnio 3 um estado limite de encurtamento limite do concreto. Este domnio de

ruptura se caracteriza quando um dos bordos sofre um encurtamento de 3,5 e a

armadura disposta prxima ao outro bordo sofre um alongamento entre yd (deformao

de incio do escoamento) e 10.

Este domnio pode ser utilizado no dimensionamento de sees submetidas flexo

simples (chamadas de seo subarmada) ou flexo composta.

4.6.5. Domnio 4

Este domnio de ruptura se caracteriza quando um dos bordos sofre um encurtamento de

3,5 e a armadura disposta prxima ao outro bordo sofre um alongamento entre 0 e yd

(deformao de incio do escoamento). O estado limite se caracteriza pela ruptura do

bordo comprimido de concreto, sem o escoamento do ao trao.

Este domnio pode ser utilizado no dimensionamento de peas submetidas flexo

composta. Deve ser evitado no dimensionamento de peas submetidas flexo simples

(chamadas de seo superarmada), j que a ruptura pode ocorrer de forma brusca.

4.6.6. Domnio 4a

O domnio 4a um domnio de transio entre os domnios 4 e 5. A partir deste

domnio, todas as armaduras esto comprimidas.

39

4.6.7. Domnio 5

Neste domnio, no h esforos de trao, somente de compresso. Um dos bordos

apresenta encurtamento entre 2 e 3,5, enquanto o outro bordo apresenta

encurtamento entre 0 e 2. As configuraes tm como caracterstica o encurtamento

de 2 no ponto afastado de 3/7 h do bordo mais encurtado.

Este domnio pode ser utilizado no dimensionamento de peas submetidas compresso

no uniforme, como pilares submetidos a carga excntrica.

4.6.8. Reta b

A reta b um estado limite de ruptura com encurtamento uniforme. Esta situao limite

configurada quando os bordos inferior e superior atingem um encurtamento de 2 .

4.7. Critrio de ductilidade

Um dos recursos utilizados para evitar uma ruptura frgil garantir que a seo possa

sofrer grandes rotaes. A norma NBR 6118 (2007) sugere, ento, limites para a

posio da linha neutra de vigas e lajes:

para concretos com ! !>; para concretos com ! ( !>.

No dimensionamento, a razo ser chamada de 8. Considerando concreto com ! >, na situao limite 8+" (4-18)

Chamando a razo entre o brao de alavanca (?) e a altura til da seo de 8,, o valor na situao limite, para o mesmo !

8,+" 8+" (4-19)O parmetro 8"# dado por

8"# ># # 8 8, (4-20)e o valor mximo do

8"#+" " (4-21)

40

5. FLEXO SIMPLES

Neste captulo, ser feita a estimativa da probabilidade de falha das sees mais

solicitadas flexo simples de lajes e vigas. Essa estimativa ser feita utilizando o

mtodo de Monte Carlo, com auxlio do programa VaP. Uma descrio do programa

pode ser encontrada no Anexo C. importante ressaltar que as probabilidades de falha

estimadas referem-se somente seo mais solicitada de cada caso estudado.

A probabilidade de falha do elemento estrutural ao modo de comportamento estudado

ser sempre maior que a probabilidade de falha da seo mais solicitada. Isto ocorre

porque, mesmo que a solicitao seja menor nas outras sees transversais, existe uma

probabilidade de que a rea de concreto, a resistncia do concreto, a rea das armaduras

e a resistncia do ao, para citar algumas das variveis envolvidas, tambm possam ser

menores.

No prximo item sero explicados de forma detalhada os casos estudados. Em seguida,

ser deduzida a funo de falha para o modo de comportamento estudado e

apresentados o tipo de distribuio e os parmetros de cada varivel aleatria envolvida.

Por fim, sero apresentados os resultados e sero feitos alguns comentrios e

concluses.

5.1. Casos estudados

Neste captulo, sero estudados casos de flexo simples de lajes e vigas. Ser

considerado que os elementos estudados no tm capacidade de se adaptar

plasticamente. Na primeira parte dos exemplos, ser estudada a influncia da variao

da taxa de armadura no ndice de confiabilidade. Nesses exemplos, varia-se a taxa de

armadura da seo e os esforos solicitantes variam de acordo com a capacidade

resistente da seo; as demais variveis permanecem constantes.

Na segunda parte da flexo simples, ser estudada a influncia da variao da altura dos

elementos estruturais no ndice de confiabilidade. Neste caso, a armadura mantida

constante, os esforos variam de acordo com as dimenses da seo e os demais

parmetros so mantidos constantes. Ainda na segunda parte, para as lajes com altura

menor do que 19 cm, ser estudada a influncia no ndice de confiabilidade de se

utilizar ou no um coeficiente n, como sugerido por BUENO (2011).

41

Este coeficiente ser utilizado no dimensionamento da mesma forma que o coeficiente * da NBR 6118 (2007) para pilares

Documents

ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DE SEÇÕES SUBMETIDAS À ... · ii Bastos, Felipe Pinheiro de Souza Análise de Confiabilidade de Seções Submetidas à Flexão Simples e Composta Pelo