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“carteiras” — 2006/6/5 — 10:42 — page 1 — #21i
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Capítulo 1
Análise de Carteiras porMédia-Variância
Em administração financeira existe a percepção intrínseca de que investimen-tos mais arriscados podem gerar maiores lucros, ou seja, quanto maior o riscomaior pode ser a rentabilidade e vice-versa. Para tornar este conceito mensu-rável, é preciso de alguma forma quantificar o que seria a rentabilidade e o riscode um determinado ativo. Existem várias maneiras de proceder, por exemplo,por projeção de cenários econômicos, ou por análise de séries históricas depreços. A metodologia mais utilizada, e que será adotada ao longo deste livro,consiste em considerar o retorno de um determinado ativo como uma variávelaleatória, associar a medida de risco ao desvio-padrão dessa variável aleatória,e a rentabilidade ao seu valor esperado. Existem críticas a essa teoria, umavez que a distribuição estatística de uma dada série histórica de retornos mudacom o tempo, dependendo do momento econômico do mercado no qual o ativoestá inserido. No entanto, de acordo com as circunstâncias econômicas e com amaneira como esses parâmetros são estimados, essa medida de risco e retornopode ser apropriada.
Utilizando o conceito de rentabilidade e risco descritos anteriormente, serãoapresentados e exemplificados neste capítulo alguns dos principais pontos quepermeiam a abordagem por média-variância para a seleção ótima de ativos nacomposição de uma carteira. Nas Seções 1.1 e 1.2, definem-se formalmente osconceitos de risco e retorno para ativos financeiros e carteiras. A relação entrerisco e retorno para as carteiras compostas por 2 ativos de risco é apresentadana Seção 1.3. O caso de carteiras compostas por um ativo de risco e um ativolivre de risco é considerado na Seção 1.4.
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2 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros
1.1 Risco e RetornoNesta seção, definem-se risco e retorno de ativos. Seja Si(0) o valor de umativo financeiro i no instante 0 e Si(1) o valor desse ativo uma unidade detempo depois. A taxa de retorno Ri desse ativo, que é uma variável aleatória,é dada por1
Ri =Si(1)− Si(0)
Si(0). (1.1)
O retorno esperado (ou rentabilidade esperada) do ativo financeiro Ri serádenotado por ri, ou seja,
ri = E(Ri), (1.2)
e o risco do ativo financeiro Ri será representado pelo desvio-padrão σi de Ri
σi =√
E((Ri − ri)2). (1.3)
A covariância cov(Ri, Rj), i 6= j, entre os ativos financeiros Ri e Rj , é dadapor
cov(Ri, Rj) = E((Ri − ri)(Rj − rj)). (1.4)
De posse de uma série histórica de valores, preços de uma ação, por exem-plo, podem-se extrair estimativas para essas variáveis (1.2), (1.3) e (1.4), comdiferentes períodos, sendo o diário o mais utilizado. Realmente, supondo quese tenha a série histórica do retorno de 2 ativos financeiros R1(t) e R2(t),t = 1, . . . , T , o retorno esperado ri, o desvio-padrão σi, i = 1, 2 desses ativose a covariância cov(R1, R2) entre esses dois ativos podem ser estimados pormeio das seguintes fórmulas:
ri =1T
T∑t=1
Ri(t)
σi =
√√√√ 1T − 1
T∑t=1
(Ri(t)− ri)2
cov(R1, R2) =1
T − 1
T∑t=1
(R1(t)− r1)(R2(t)− r2).
1Note que para valores pequenos de x− x0, tem-se pela expansão de 1a ordem de Taylorque
ln(x) ≈ ln(x0) +1
x0(x− x0) ⇒ ln
„x
x0
«≈ 1
x0(x− x0)
e, portanto, a taxa de retorno Ri pode ser aproximadamente calculada como
Ri = ln
„Si(1)
Si(0)
«.
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Análise de Carteiras por Média-Variância 3
TABELA 1.1: Preços e retornos observados de Bradesco PN
t Data Si(t) Ri(t)0 14/11/97 6,47 −1 17/11/97 7,22 0,11592 18/11/97 7,68 0,06373 19/11/97 7,97 0,03784 20/11/97 7,68 −0,03645 21/11/97 7,97 0,03786 24/11/97 7,59 −0,04777 25/11/97 7,68 0,01198 26/11/97 7,87 0,02479 27/11/97 7,78 −0,0114
10 28/11/97 7,59 −0,024411 01/12/97 7,65 0,007912 02/12/97 7,98 0,043113 03/12/97 8,02 0,005014 04/12/97 8,35 0,041115 05/12/97 8,44 0,010816 08/12/97 8,45 0,001217 09/12/97 8,48 0,003618 10/12/97 8,53 0,005919 11/12/97 8,04 −0,057420 12/12/97 8,53 0,0609
Exemplo 1.1 Segue um exemplo que trata do ativo Bradesco PN. O períodode tempo considerado é o diário, e os preços correspondem às cotações defechamento, ou seja, ao último negócio do dia. A Tabela 1.1 mostra os preçose os retornos observados para cada dia.
Considerando a janela de 20 dias indicada na Tabela 1.1, o retorno ri éestimado como a média das taxas de retorno Ri:
ri =120
20∑t=1
Ri(t) = 0,014697.
O risco σi associado a esse retorno é dado pela raiz quadrada da variância, ouseja, o desvio-padrão da taxa de retorno Ri:
σ2i =
119
20∑t=1
(Ri(t)− ri)2 = 0,001596 ⇒ σi = 0,03995.
Interpretando os resultados obtidos, o ativo Bradesco PN tem um retorno espe-rado de 1,4697% ao dia, com um risco associado de 3,995%. Esses resultados
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4 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros
estão estreitamente relacionados com a janela considerada. Se em vez de 20fossem considerados 10 ou 50 dias, os resultados seriam outros. Uma janelapequena fornece resultados mais sensíveis ao retorno e ao risco a curto prazo.Por sua vez, uma janela maior absorve grandes variações isoladas e fornece in-formações para prazos mais longos. Portanto, a escolha do tamanho da janelaé muito importante e está relacionada com o horizonte das aplicações.
A título apenas de ilustração, existem outros modelos para se calcular orisco de um ativo. Um modelo muito utilizado é o EWMA — ExponentiallyWeighted Moving Average, encontrado no RiskMetrics [Ris, 1996], cuja fórmulaé
σ2i =
∑Tt=1 λT−t(R(t)− ri)2∑T
t=1 λT−t
para 0 < λ < 1. Percebe-se que, por meio de uma ponderação da amostra, oEWMA, ao priorizar as observações mais recentes pela utilização de um fatorde desconto λ entre 0 e 1, consegue captar as mudanças no comportamento domercado mais rápido que o cálculo do desvio-padrão tradicional.
1.2 Média e Variância de CarteirasSerão consideradas na análise adiante posições a descoberto (ou vendidas), querepresentariam a seguinte situação. No instante inicial, toma-se emprestadode um agente financeiro um ativo cujo valor é Si(0). Vende-se esse ativo parapossível investimento em outros ativos. No instante seguinte, compra-se essemesmo ativo pelo valor de mercado Si(1), devolvendo-o ao agente financeiroque fez o empréstimo inicial. Logo, o investidor lucra com a queda do preço eperde com a alta.
Suponha agora que haja n ativos com valor inicial S1(0), . . . , Sn(0), e quese disponha de um valor V (0) para investir nesses ativos. Seja H1, . . . ,Hn
uma estratégia de investimento para cada ativo financeiro (valores negativosrepresentam posições a descoberto), isto é, Hi representa a quantidade do ativoi que se tem na carteira. Deve-se ter
V (0) = H1S1(0) + . . . + HnSn(0). (1.5)
Pode-se definirωi =
HiSi(0)V (0)
(1.6)
que representa a proporção do total investido no ativo i. Valores negativosrepresentam uma posição a descoberto naquele ativo. Logicamente, tem-se de(1.5) e (1.6) que
n∑
i=1
ωi = 1.
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Análise de Carteiras por Média-Variância 5
Seja P a taxa de retorno da carteira ao final de um período, e Ri, comoem (1.1), o retorno do ativo i. Como o valor da carteira no período seguinte,denotado por V (1), vale
V (1) = H1S1(1) + . . . + HnSn(1), (1.7)
tem-se de (1.5), (1.6) e (1.7) que
P =V (1)− V (0)
V (0)=
H1S1(1) + . . . + HnSn(1)− (H1S1(0) + . . . + HnSn(0))V (0)
=H1(S1(1)− S(0)) + . . . + Hn(Sn(1)− Sn(0))
V (0)
=H1R1S1(0) + . . . + HnRnSn(0)
V (0)
=H1S1(0)
V (0)R1 + . . . +
HnSn(0)V (0)
Rn
= ω1R1 + . . . + ωnRn = ω′R,
em que
ω =
ω1
...ωn
, R =
R1
...Rn
.
Define-se
r =
r1
...rn
= E(R) =
E(R1)...
E(Rn)
,
Σ = cov(R) = E((R− r)(R− r)′)
e
e =
1...1
.
A média do retorno P da carteira, denotada por µ, é dada por
µ = E(P ) = E(ω′R) = ω′E(R) = ω′r = ω1r1 + . . . + ωnrn (1.8)
e a variância de P , denotada por σ2, é dada por
σ2 = ω′Σω, (1.9)
lembrando-se também que
ω′e = ω1 + . . . + ωn = 1. (1.10)
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6 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros
Resumindo, tem-se a partir de (1.8), (1.9) e (1.10)
P = ω′Rµ = ω′rσ2 = ω′Σω
1 = ω′e
.
Exemplo 1.2 Considere 2 ativos com retornos R1e R2, retornos esperadosr1 = 0,12 e r2 = 0,15, e matriz de covariância
Σ = cov(R) =(
0,04 0,010,01 0,0324
).
Considere uma carteira formada pelos pesos
ω1 = 0,25, ω2 = 0,75.
Calculam-se o retorno esperado e a variância da carteira, que seriam
µ = 0,25× 0,12 + 0,75× 0,15 = 0,1425
σ2 =(0,25 0,75
) (0,04 0,010,01 0,0324
)(0,250,75
)= 0,0245,
portanto σ =√
0,0245 = 0,1564 <√
0,0324 = 0,1800, ou seja, a variância éinferior à menor das 2 variâncias dos ativos.
Em geral, a variância de uma carteira pode ser reduzida incluindo maisativos, processo conhecido como diversificação.
Considere o caso de um conjunto de n ativos cujos retornos R1, . . . , Rn
sejam variáveis aleatórias descorrelacionadas, todas com valor esperado iguala r1 e variância σ2
1 . Considere uma carteira com retorno P composta porproporções iguais, isto é, 1
n , de cada um dos ativos i. O retorno esperado dacarteira é:
µ = ω′r =n∑
i=1
1n
r1 = r1
e a variância,
σ2 =(
1n . . . 1
n
)(σ2
1I)
1n...1n
= n(
1n
)2σ21 =
1n
σ21 .
Portanto, a variância diminui à medida que aumenta o número de ativos (n)na carteira.
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Análise de Carteiras por Média-Variância 7
Exemplo 1.3 Considere agora o caso em que todos os ativos são correla-cionados e cov(Ri, Rj) = 0,3σ2
1 para i 6= j. Note que
|cov(Ri, Rj)| = 0,3σ21 <
√V ar(Ri)V ar(Rj) = σ2
1 .
Tem-se, nesse caso, que
σ2 =(
1n . . . 1
n
)σ2
1
1 0,3 . . . 0,30,3 1 . . . 0,3...
......
...0,3 . . . . . . 1
1n...1n
=
0,7n
σ21 + 0,3σ2
1 .
Portanto, é impossível reduzir a variância abaixo de 0,3σ21.
Percebe-se que, se os retornos são descorrelacionados, é possível, por meioda diversificação, levar a variância da carteira para zero. No entanto, o Exem-plo 1.3 mostra que, se os retornos são todos positivamente correlacionados, émais difícil reduzir a variância, existindo um limite inferior que não é ultra-passado, como será apresentado adiante.
1.3 Carteiras com 2 Ativos de RiscoSejam R1 e R2 os retornos de 2 ativos com retornos esperados r1 e r2, vari-âncias σ2
1 e σ22 e coeficiente de correlação ρ. Seja uma carteira com retorno
P composta pelos ativos com retornos R1 e R2 nas proporções ω1 e (1− ω1),respectivamente. Segue
P = ω1R1 + (1− ω1)R2, (1.11)µ = ω1r1 + (1− ω1)r2
= ω1(r1 − r2) + r2, (1.12)
σ2 =(ω1 1− ω1
)(σ2
1 ρσ1σ2
ρσ1σ2 σ22
)(ω1
1− ω1
)
= ω21σ2
1 + 2ω1(1− ω1)ρσ1σ2 + (1− ω1)2σ22 . (1.13)
Obtêm-se os seguintes casos:
a) ρ = 1 (correlação positiva perfeita).
Nesse caso, tem-se com base em (1.13) que
σ2 = (ω1σ1 + (1− ω1)σ2)2 ⇒ σ = | ω1σ1 + (1− ω1)σ2 | = |σ2 + ω1(σ1 − σ2) |.Considerando σ1 6= σ2, pode-se escrever
ω1 =σ − σ2
(σ1 − σ2)
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8 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros
TABELA 1.2: Retornos e riscos de Bradesco PN e Itaú PN
Ativo ri (%) σi (%)Bradesco PN (R1) 1,39 3,90Itaú PN (R2) 0,15 2,67
e, portanto, a partir de (1.12),
µ =(r1 − r2)(σ1 − σ2)
σ +(σ1r2 − σ2r1)
(σ1 − σ2).
Logo, apresenta-se uma relação linear entre o risco (σ) e o retorno (µ). Aconclusão que se tira a partir dessa relação é que, com uma carteira compostapor ativos com correlação positiva perfeita, não se consegue melhorar a relaçãorisco-retorno (ou seja, risco e retorno serão sempre linearmente proporcionais).
Exemplo 1.4 Tomando como exemplo dois ativos com coeficiente de corre-lação igual a 1 e seus respectivos riscos e retornos, em porcentagens, dadospela Tabela 1.2, e variando o valor de ω1 de 0 a 1, tem-se a seguinte relação,mostrada no gráfico da Figura 1.1:
µ = 1,0081σ − 2,5417%
s
0,15%
1,39%
m
2,67% 3,90%
1w = 0
1w =1
FIGURA 1.1: Correlação positiva perfeita
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Análise de Carteiras por Média-Variância 9
b) ρ = −1 (correlação negativa perfeita).
Nesse caso, de (1.13),
σ2 = (ω1σ1 − (1− ω1)σ2)2 ⇒σ = |ω1σ1 − (1− ω1)σ2|
= |−σ2 + ω1(σ1 + σ2) |.
Tem-se que
σ =
{−σ2 + ω1(σ1 + σ2) se ω1 ≥ σ2
σ1+σ2
σ2 − ω1(σ1 + σ2) se ω1 ≤ σ2σ1+σ2
.
O risco nulo corresponde à situação
σ = 0 = σ2 − ω1(σ1 + σ2) ⇒ ω1 =σ2
σ1 + σ2.
A partir de (1.12) tem-se então 2 possibilidades:
1. ω1 ≤ σ2σ1+σ2
⇒
ω1 =σ2 − σ
σ1 + σ2⇒ µ =
r2 − r1
σ1 + σ2σ +
σ2r1 + σ1r2
σ1 + σ2.
2. σ2σ1+σ2
≤ ω1 ⇒
ω1 =σ2 + σ
σ1 + σ2⇒ µ =
r1 − r2
σ1 + σ2σ +
σ2r1 + σ1r2
σ1 + σ2.
A conclusão a que se pode chegar é que, ao contrário do caso anterior, umacarteira composta por 2 ativos com correlação perfeitamente negativa diminuio risco relativo ao retorno, permitindo até mesmo a situação de risco nulo.Tem-se, nesse caso, sob o ponto de vista de redução do risco, uma vantagemem se montar a carteira.
Exemplo 1.5 Tomando o exemplo da Tabela 1.2 com ρ = −1, resultam asseguintes equações, representadas na Figura 1.2:
µ1 = 0,1887σ + 0,6539µ2 = −0,1887σ + 0,6539.
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10 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros
s
0,15%
1,39%
0,6539%
m
2,67% 3,90%
w
w
w
1
1
1
= 0
= 0,4064
= 1
FIGURA 1.2: Correlação negativa perfeita
Observação 1.1 Note que seria possível escrever
R = r + vZ, R =(
R1
R2
), r =
(r1
r2
), v =
(σ1
−σ2
),
em que Z é uma variável aleatória com média nula e variância igual a 1, jáque, a partir de (1.11) tem-se
E(R) = r + vE(Z) = r,
cov(R) = E((R− r)(R− r)′) = vE(Z2)v′
=(
σ1
−σ2
) (σ1 −σ2
)
=(
σ21 −σ1σ2
−σ1σ2 σ22
).
Com a composição( σ2
σ1+σ2
1− σ2σ1+σ2
)=
( σ2σ1+σ2
σ1σ1+σ2
), obtêm-se
P =1
σ1 + σ2
(σ2 σ1
)R
=1
σ1 + σ2
((σ2 σ1
)r +
(σ2 σ1
)(σ1
−σ2
)Z
)
=1
σ1 + σ2(σ2r1 + σ1r2),
portanto o termo com risco (Z) foi eliminado.
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Análise de Carteiras por Média-Variância 11
Na prática, nenhuma das situações descritas (| ρ | = 1) ocorre. A seguir,apresenta-se o caso em que | ρ | < 1.
c) | ρ | < 1.
Nesse caso, é conveniente reescrever a equação da variância (1.13) daseguinte forma:
σ2 = (σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2)ω21 − 2(σ2
2 − ρσ1σ2)ω1 + σ22
e como de (1.12)
µ = ω1(r1 − r2) + r2 ⇒ ω1 =µ− r2
(r1 − r2)
(assume-se r1 6= r2), segue que
σ2 − (σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2)(µ− r2
r1 − r2)2 + 2(σ2
2 − ρσ1σ2)(µ− r2
r1 − r2)− σ2
2 = 0.
Denotando
c = σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2, d = σ22 − ρσ1σ2, e = r1 − r2,
segue queσ2 − c(
µ− r2
e)2 + 2 d (
µ− r2
e)− σ2
2 = 0
e após algumas manipulações, tem-se
1σ2
2 − d2
c
σ2 − 1(σ2
2 − d2
c )( e2
c )(µ− (r2 +
de
c))2 = 1. (1.14)
Note que c > 0, pois
0 ≤ (σ1 − σ2)2 = σ21 + σ2
2 − 2σ1σ2 < σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2 = c
e σ22 − d2
c > 0, tendo em vista que
σ22c− d2 = σ2
2(σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2)− (σ22 − ρσ1σ2)2 = σ2
1σ22(1− ρ2) > 0.
A equação reduzida de uma hipérbole com centro (x0, y0) é dada pelaequação
1a2
(x− x0)2 − 1b2
(y − y0)2 = 1 (1.15)
e as retas assíntotas, por
y =b
a(x− x0) + y0 (inclinação positiva)
y = − b
a(x− x0) + y0 (inclinação negativa).
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12 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros
Chamando de
a =
√σ2
2 −d2
c, b =
√(σ2
2 −d2
c)(
e2
c),
verifica-se que (1.14) pode ser colocada na forma
1a2
σ2 − 1b2
(µ− (r2 +de
c))2 = 1. (1.16)
Comparando (1.15) com (1.16), conclui-se que (1.16) representa uma hipérbolecom centro em
(σ0, µ0) = (0, r2 +(σ2
2 − ρσ1σ2)(r1 − r2)σ2
1 + σ22 − 2ρσ1σ2
)
e assíntotas
µ = ± |r1 − r2|√σ2
1 + σ22 − 2ρσ1σ2
σ + (r2 +(σ2
2 − ρσ1σ2)(r1 − r2)σ2
1 + σ22 − 2ρσ1σ2
).
Essa curva possui um ponto de mínimo risco, σmin, com retorno
r2 +(σ2
2 − ρσ1σ2)(r1 − r2)σ2
1 + σ22 − 2ρσ1σ2
.
Obtém-se
σmin = σ1σ2
√1− ρ2
σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2. (1.17)
A conclusão a que se chega nesse caso é que é possível reduzir o risco (comeventual perda de rentabilidade) ao montar uma carteira com dois ativos.
Exemplo 1.6 Tomando o exemplo da Tabela 1.2 com ρ = 0,5 tem-se a seguinteequação, representada na Figura 1.3,
σ2 − 7,7562µ2 + 5,4275µ− 7,7685 = 0.
A composição da carteira que fornece o menor risco, bem como o seu retornoe risco associados, são dados por
ω1 = 0,1612, σ = 2,6113%, µ = 0,3499%.
Deve-se notar que, à medida que ρ varia de 1 a −1, a curva risco-retorno,inicialmente uma reta (ρ = 1), aproxima-se dos dois segmentos de reta querepresentam o caso ρ = −1. Existe um valor de ρ a partir do qual não se con-segue reduzir o risco da carteira, quando comparado com os valores individuais
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Análise de Carteiras por Média-Variância 13
s
m
0,3499%
1,39%
0,15%
2,6113% 2,67% 3,9%
1= 1
w
w
w
1= 0
1= 0,1612
FIGURA 1.3: Gráfico risco-retorno para ρ = 0,5
σ1 e σ2. Para calcular esse valor, basta fazer, em (1.17), σmin = min{σ1, σ2}.Tem-se
min{σ1, σ2} = σ1σ2
√1− ρ2
σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2⇒ ρ =
min{σ1, σ2}max{σ1, σ2} .
Logo, para valores de ρ ≥ min{σ1,σ2}max{σ1,σ2} , não é possível reduzir o risco para valores
menores que min{σ1, σ2}. Essas situações são ilustradas na Figura 1.4, em quemin{σ1, σ2} = σ2.
s
m
1
2
r
rr
R
R
= -1
= 1= 0,5
FIGURA 1.4: Gráfico risco-retorno para diferentes ρ
“carteiras” — 2006/6/5 — 10:42 — page 14 — #34i
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14 Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros
1.4 Carteiras com 1 Ativo de Risco e 1 sem RiscoConsidere agora uma carteira composta por 2 ativos, mas, neste caso, um delessem risco. Utilizando a notação anterior e sendo o ativo sem risco com retornoR1 = rf (logo, σ1 = 0), o retorno da carteira é como em (1.11), isto é,
P = ω1rf + (1− ω1)R2,
portanto, o retorno esperado é dado por
µ = ω1rf + (1− ω1)r2 = r2 + (rf − r2)ω1.
Já a equação da variância fica na forma
σ2 = (1− ω1)2σ22 ,
assim,ω1 = 1− σ
σ2;
o que leva a
µ = r2 + (rf − r2)(1− σ
σ2)
= rf + (r2 − rf )σ
σ2. (1.18)
Portanto, a curva risco-retorno é uma reta com coeficiente angular
(r2 − rf )σ2
.
Exemplo 1.7 Tomando o exemplo da Tabela 1.2 com o ativo R1 substituídopor uma aplicação livre de risco cujo retorno diário é 0,05%, tem-se a seguinteequação, representada na Figura 1.5:
µ = 0,05% + 0,0374σ.
1.5 ExercíciosOs Exercícios 1, 2 e 3 seguintes são solucionados e utilizam a planilha Exer-cícios.xls, disponível no site www.manole.com.br/analisederisco. Um maiordetalhamento é apresentado no Apêndice D. As respostas desses exercíciosencontram-se no final do livro. O universo de ativos é definido pelas açõescujas séries históricas de preços e retornos encontram-se na pasta Dados.