Anal Estr I - Tema 3 - Método de Las Fuerzas

7/24/2019 Anal Estr I - Tema 3 - Método de Las Fuerzas

http://slidepdf.com/reader/full/anal-estr-i-tema-3-metodo-de-las-fuerzas 1/13

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional Santa Fe

Carrera de Ingeniería Civi l

4to. año

Cátedra

AANNÁÁLLIISSIISS EESSTTRRUUCCTTUURRAALL ""II""

Unidad Temática Nº: 3METODO DE LA FUERZAS



Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Santa FeCarrera de Ingeniería Civil - 4º año.

Cátedra de ANÁLISIS ESTRUCTURAL " I"

Método de las Fuerzas 1

UNIDAD TEMÁTICA Nº: 3

MÉTODO DE LAS FUERZAS

Contenido:

1) Introducción.

2) Primera Etapa: Determinación del grado de hiperestaticidad de la estructura (Ge).

3) Segunda Etapa: Determinación del sistema fundamental.

4) Tercer Etapa: Determinación de solicitaciones en el sistema fundamental.

5) Cuarta Etapa: Planteo de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.

6) Quinta Etapa: Resolución del sistema de ecuaciones.

7) Sexta parte: Cálculo de solicitaciones.

8) Séptima Etapa: Verificación.9) Observaciones al Método de las Fuerzas

a) Determinación de los coeficientes.

b) Elección del sistema fundamental adecuado.

10) Enlaces no rígidos

a) Movimiento elástico

b) Movimiento inelástico.

11) Temas complementarios

Cuestionario Guía.

Bibliografía sobre el Tema:

♦ Análisis elemental de estructuras, de Norris-Wilbur

♦ Ciencia de la construcción, Tomo l, de O. Belluzzi.

♦ Estática de las estructuras, Tomo lV, de Hamm-Wagner.

♦ La construcción metálica, Tomo l, Stahlbau.

♦ Exercicios de hiperestática, de A. Polillo.

NOTA:

La cátedra debe agradecer muy especialmente la colaboración de la Ing. Marta Heinz deFerrando, responsable de la elaboración de la presente Guía de Apoyo Didáctico






UNIDAD TEMÁTICA Nº: 3

MÉTODO DE LAS FUERZAS

1. INTRODUCCIÓNSu aplicación es general; solamente se lo analizará en estructuras planas formadas por barras, o sea,por elementos resistentes donde dos de las dimensiones, altura y espesor, son despreciables frente a lalongitud.Se considera que para éstas es válida la ley del plano y que las tensiones a las que están sometidas semantienen dentro de un entorno para el cual es válida la ley de Hooke, esto es, existe proporcionalidadentre las tensiones y las deformaciones.

2. DETERMINACIÓN DEL GRADO DE HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA (Ge)(Primera Etapa):

Ejemplo:

E = 3I = 6Ge = I – E = 3

3. DETERMINACIÓN DEL SISTEMA FUNDAMENTAL (Segunda Etapa):

Desde un punto de vista general, la idea fundamental para el estudio de los problemas hiperestáticos esla siguiente: se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistemaisostático fundamental o principal, o sea, un sistema estable en su disposición y sustentación, donde elnúmero de ecuaciones es igual al número de incógnitas.El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático en lo referente asustentación, continuidad de la tangente de la elástica, etc. Por esta razón, para hacer que dichascondiciones se cumplan, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituyen las incógnitashiperestáticas y para cuya determinación no sirven las condiciones de equilibrio ya utilizadas, sino quehan de establecerse nuevas condiciones basadas en el comportamiento elástico de la estructura. Lascoacciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser coacciones internas del sistema.El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando Ge vínculos, y/o incógnitas hiperestáticas, por las acciones que los mismos introducen. Dichas accionespasan a ser cargas externas sobre el fundamental. Para la misma estructura existen varios sistemas

fundamentales posibles.

Ejemplo:

X1

3X

2X

X 3

1X X2

1X X2

X3

Estructura Original Sist. Fundamental 1 Sist. Fundamental 2 Sist. Fundamental 3

...

R A

M

A YR

RD A X A

A

B C B

M

D YRD

D X D

C






Importante: Las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargasexteriores y de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, son iguales a las solicitaciones ydeformaciones en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de las cargas exteriores.

4. DETERMINACIÓN DE SOLICITACIONES EN EL SISTEMA FUNDAMENTAL (TercerEtapa)

Si se aplicaran al sistema fundamental las incógnitas hiperestáticas y el estado de cargas inicial,obtendríamos para una sección genérica C las solicitaciones correspondientes.

Ejemplo:

Estructura Original Estado 0

X 1

Estado 1

X 2

3X

Estado 2 Estado 3

P , q0 0

C C C C C

Los momentos flectores en C son:

M0C M1C M2C M3C

Luego, por el Principio de Superposición de Efectos, aplicable si las deformaciones que se producen enla estructura son infinitamente pequeñas con respecto a las dimensiones de la estructura, puedeescribirse que el momento flector total en la sección C de la estructura hiperestática original vale:

MC

= M0C

+ M1C

+ M2C

+ M3C

Pero ocurre que se desconocen los valores verdaderos de X1, X2 y X3; luego, no pueden obtenerse

M1C, M2C ni M3C. Sin embargo, nótese que la forma del diagrama de solicitaciones es única para

cualquier valor de la carga que lo produzca.

Ejemplo: Diagrama de Momentos Flectores

1 tm

l

h h

l

5 tm

Diagrama de

Momentos

1 tm

Diagrama de

Momentos

5 tm






Siguiendo el razonamiento, puede escribirse:

M1C = X1 . M’1C

en la cual:

X1 - valor (adimensional) de la incógnita hiperestática verdadera.

M’1C - valor del momento flector en C originado por una carga unitaria en el punto de actuación

de la incógnita X1.

La expresión del momento en C en la estructura hiperestática será:

MC = M0C + X1 . M’1C + X2 . M’2C + X3 . M’3C

y, en general:

M = M0 + X1 . M’1 + X2 . M’2 + … + Xn . M’n

Por lo tanto, deben calcularse las solicitaciones en el sistema fundamental para las cargas exteriores ypara cargas unitarias actuando en los puntos de aplicación de las incógnitas hiperestáticas.

En el ejemplo anterior:

Estado 3Estado 0

X' = 1 tm1 X' = 1 t2

Estado 1 Estado 2

X' = 1 tm3

M

Q

N

0

0

0

Q'

N'

1M' 2 3

1

1

2

2

3

3

Q'

N'

M'Q'

N'

M'

5. PLANTEO DE LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES(Cuarta Etapa):

Es preciso recordar que hay que plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformacionescomo incógnitas hiperestáticas existan, de tal modo que E + Ge = I.

Obtención de las ecuaciones

Si en las secciones de la estructura hiperestática donde se consideraron las incógnitas hiperestáticas

(X1, X2 y X3) los enlaces son rígidos, el desplazamiento relativo de dichas secciones es nulo.

En la estructura de la figura:

δ A = 0δ '1 = 0(rotación nula)






Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión,originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe sernula. En este caso:

1 10 1 11 2 12 3 13' X . X . X . 0δ δ δ δ δ = + + + =

donde:1'δ - desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la incógnita

hiperestática X1, en la estructura fundamental - SF.

10δ - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura

fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las cargas exteriores.

X1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1 (adimensional).

11δ - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X 1 en la estructura

fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X1

actuando en A.

X2 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 2 (adimensional).

12δ - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura

fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X2.

(etc.)

En general,

ijδ - desplazamiento o giro, del punto de aplicación de la incógnita hiperestática Xi en la estructura

fundamental - SF, en la dirección y sentido de dicha incógnita, por acción de X j = 1 [t o tm].

Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de volver a llevarlos puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes.

En consecuencia el cálculo de los desplazamientos 'iδ del SF. aplicando el P.T.V. es de la forma:

'1[ ] [ ]. ' i

i

M Mt o tm dl

E Iδ = ∫

donde:1 [t] o 1 [tm] es el estado virtual propuesto coincidente con la incognita hiperestática a calcular XiM - momentos finales en el SF isostático generados por las cargas exteriores más las incognitas

hiperestáticas (iguales a los momentos de la estructura hiperestática).

M’i - momentos en el SF originados por el estado virtual propuestos Xi = 1 [t] ó [tm]

En el ejemplo:

1

1

''

M Mdl

E Iδ =

∫ 2

2

''

M Mdl

E Iδ =

∫ 3

3

''

M Mdl

E Iδ =

∫

Sustituyendo el valor de M obtenido en la tercer etapa, e igualando a cero:

( )0 1 1 2 2 nX . ' X . ' ... X . '' ' 0

ni i

M M M MM dl

E Iδ

+ + + += =∫

En el ejemplo planteado:

( )0 1 1 1 1 2 2 1 3 3 11

20 1 3 11 2 1

1 2 3

10 11 12 13

' X . ' ' X . ' ' X . ' ''

' ' '' ' 'X X X 0

M M M M M M M Mdl

E I

M M M MM M Mdl dl dl dl

E I E I E I E I

δ

δ δ δ δ

+ + += =

= + + + =

∫

∫ ∫ ∫ ∫14243 14243 1442443 1442443






20 2 3 21 2 2

2 1 2 3

20 21 22 23

' ' '' ' '' X X X 0

M M M MM M Mdl dl dl dl

E I E I E I E Iδ

δ δ δ δ

= + + + =∫ ∫ ∫ ∫1442443 1442443 14243 1442443

30 3 1 3 2 3 3

3 1 2 3

30 31 32 33

' ' ' ' ' '' X X X 0

M M M M M M Mdl dl dl dl

E I E I E I E Iδ

δ δ δ δ

= + + + =∫ ∫ ∫ ∫1442443 1442443 1442443 14243

Empleando la notación así definida, puede escribirse:

10 1 11 2 12 3 13

20 1 21 2 22 3 23

30 1 31 2 32 3 33

' . ' . ' . ' 0

' . ' . ' . ' 0

' . ' . ' . ' 0

X X X

X X X

X X X

δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

+ + + =

+ + + =

+ + + =

Es decir, se obtuvo un sistema de n ecuaciones, no homogéneo, con n incógnitas, que puederepresentarse de la siguiente forma:

[ ] { } { }· 0F X T+ =

donde:- F representa la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad, ya que sus términos

miden deformaciones de la estructura bajo la acción de cargas unitarias.- X representa la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas X- T representa la matriz columna de los términos independientes.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

' ' '

' ' '

' ' '

F

δ δ δ

δ δ δ

δ δ δ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

3

X

X X

X

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

10

20

30

'

'

'

T

δ

δ

δ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Por el teorema de Maxwell se tiene ij jiδ δ = , por lo que la matriz de coeficientes es simétrica respecto a

la diagonal principal.

6. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES (Quinta Etapa):

En general, la solución del sistema puede obtenerse mediante la aplicación de la regla de Cramer, elmétodo de Gauss (por eliminación), el método de Banachiewicz, por iteración o por incrementossucesivos de las incógnitas.

La resolución del sistema, es decir la determinación del valor de las incognitas X1, X2, X3, etc., puedehacerse en forma manual o mediante computadora o calculadora.

7. CÁLCULO DE SOLICITACIONES (Sexta Etapa):

Se puede realizar mediante dos caminos:

a) Mediante superposición de efectos, a partir de los valores de solicitaciones calculados en la

Tercer etapa.

Si S representa una solicitación cualquiera, la solicitación final será:






S = S0 + X1 . S1 + X2 . S2 + … + Xn . Sn

donde S1 es la solicitación originada por un valor unitario de la incógnita X1.

Finalmente, resulta: 0

1

.

n

i i

i

S S X S

=

= +

∑

b) Calculando solicitaciones en el sistema fundamental, sobre el cual actúan conjuntamente lascargas exteriores y las verdaderas incógnitas hiperestáticas.

8. VERIFICACIÓN (Séptima Etapa):

Se puede realizar planteando las ecuaciones de equilibrio o ecuaciones de compatibilidad.

a) Ecuaciones de equilibrioSe puede realizar la verificación en la estructura completa, en barras aisladas o en nudos

aislados. En el caso de estructuras planas: 0XF =∑ ; 0YF =∑ ; 0M =∑

b) Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciones:Las ecuaciones de compatibilidad se establecen alplantear los valores conocidos de corrimientos, porejemplo, aquellos que se sepa a priori que son nulos, paraluego verificar con los resultados obtenidos dichos valoresde corrimientos. Por ejemplo, en la figura, sabiendo que

ϕ AB = 0 (rotación en el punto A), aplicando PTV. resulta:

1 [ ] o [ ] 0D

AB A

Mt tm M dl

E Iϕ = =∫

9. OBSERVACIONES AL MÉTODO DE LAS FUERZAS

a. DETERMINACIÓN DE LOS COEFICIENTES ijδ

Si para la determinación de los coeficientes las integraciones presentan dificultades o son imposibles de

resolver, se divide el tramo de pieza correspondiente en pequeños elementos de longitud finita lΔ y sesustituye la integración por una suma algebraica.

Existen tablas que permiten calcular los desplazamientos ijδ en piezas rectas de inercia constante

(Tabla Nº1) o de inercia variable (Tabla Nº2).

Si la estructura es de alma llena pueden calcularse los coeficientes ijδ aplicando por ejemplo los

teoremas de Mohr.

Si la estructura es reticulada, los desplazamientos pueden determinarse mediante el trazado gráfico dede “Williot-Mohr” (ver bibliografía), o empleando el Principio de los Trabajos Virtuales:

1

. .

n

ij i j

i

S Sδ ρ

=

= ∑ siendo ρ = L / (EA)

debiéndose extender las sumatorias a todas las piezas.Cuando simultáneamente una misma pieza trabaja a flexión y forma parte de un reticulado, se suman lasexpresiones correspondientes.En una estructura pueden existir piezas a flexión y otras formando parte de celosías; en este casotambién se sumarán algebraicamente las expresiones correspondientes.

Los coeficientes de la diagonal principal, 11δ , 22δ , etc, son siempre positivos. Los demás coeficientes,

que siempre están simétricamente dispuestos con respecto a la diagonal, pueden ser positivos,negativos o nulos.

Los valores de los momentos de inercia o las dimensiones de las secciones de las piezas, debenadoptarse de acuerdo a la experiencia, o según construcciones análogas ya realizadas, debido a que la

A D

B C






estructura es hiperestática (Ver capítulo “I”) . Si se comprueba, al terminar el cálculo, que lassuposiciones hechas para estos valores característicos de las piezas no son admisibles, se debenmejorar los mismos y repetir el cálculo.Los coeficientes dependen de la manera de transformar el sistema dado en el sistema isostáticoprincipal, es decir, de la elección de las incógnitas hiperestáticas, que pueden definirse de diferentesmaneras. Es conveniente elegir las incógnitas hiperestáticas de manera que su influencia se extienda auna zona del sistema lo más reducida posible. Entonces, los coeficientes de la diagonal principal sonmayores que los restantes y los otros desaparecen o se hacen pequeños frente a los primeros,circunstancia que facilita la resolución del sistema de ecuaciones y mejora su exactitud.

b. ELECCIÓN DEL SISTEMA FUNDAMENTAL ADECUADO

El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las incógnitas y

a las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad posible de coeficientes ijδ

suplementarios, distintos de cero.Por ejemplo, pueden compararse los resultados para dos sistemas fundamentales posibles en una

misma estructura (Ge = 3):

a) Eliminando los apoyos interiores:

δ31δ21δ11

Y similares para el resto de los estados...

Línea Elástica

Estado 1

Diag. de Momentos

Estado 1

1X X 2 X 3

b) Proponiendo rótulas sobre los apoyos interiores

δ21δ11 δ31 = 0

XX 1

Diag. de Momentos

Estado 1

Línea Elástica

Estado 1

2 X 3

Y similares para el resto de los estados...






Concluyendo, en el sistema fundamental b) una incógnita transmite su influencia solamente a dos tramoscontiguos, por lo tanto resulta un sistema fundamental más apropiado que el planteado en a), ya que enéste la influencia de una incógnita se ejerce sobre toda la estructura.

10. ENLACES NO RÍGIDOS

a. MOVIMIENTO ELÁSTICO

Si algún enlace suprimido, por ejemplo el número m, no es rígido, sino que admite un movimientoelástico, puede indicarse que el movimiento de dicho enlace por efecto de una fuerza Xm = 1 que actúa

sobre él es de magnitud *mδ . En este caso, el desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de

aplicación de la incógnita hiperestática Xm, en la estructura fundamental, 'mδ , no debe ser nulo sino igual

a * ·m mXδ por lo que en la ecuación de compatibilidad correspondiente el coeficiente de la incógnita Xm

se transforma en*

mm mδ δ + , mientras que los otros coeficientes y el resto de los términos se mantieneninvariables,

c)*' · 0;m m mXδ δ = − ≠

( )

*0 1 1

*0 1 1

' . ... . ... . ·

. ... . ... . 0

m m m m mm n mm m m

m m m mm m n mm

X X X X

X X X

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

= + + + + + = −

⇒ + + + + + + =

b. MOVIMIENTO ANELÁSTICO

Si algún enlace suprimido admite un movimiento anelástico y de magnitud fija, o sea, independiente de

las cargas, (por ejemplo un descenso de apoyo), denominado en este caso mδ . Entonces, el

desplazamiento 'mδ no es nulo, sino igual a mδ ; luego:

' 0;m mδ δ = ≠uur

( )0 1 1

*0 1 1

' . ... . ... .

. ... . ... . 0

m m m m mm n mm m

m m m m mm m n mm

X X X

X X X

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

= + + + + + =

⇒ − + + + + + + =

11. TEMAS COMPLEMENTARIOS

Los siguientes temas son tratados en ejercicios resueltos o propuestos por la Cátedra:

- Resolución de Sistemas de Ecuaciones lineales algebraicas.- Temperatura y descensos de apoyo.- Inercia variable.- Aplicación a sistemas reticulados, por condición externa o interna.






CC UU EE SS TT II OO NN A A RR II OO GG UU ÍÍ A A

1. ¿Se puede aplicar el método de las fuerzas a estructuras isostáticas?

2. Se puede aplicar el método de las fuerzas a estructuras reticuladas hiperestáticas por condición

externa o por condición interna?

3. Determinar el grado de hiperestaticidad de la siguiente estructura, y verificar la validez o no de los

sistemas fundamentales propuestos.

P1

P2

X1 X2

X1

X2

X1 X2

X1

X2

4. Plantear las ecuaciones de compatibilidad para la siguiente estructura:X2

Tensor

X1

5. Para el caso del arco biempotrado que se indica, estudiar algunos de los posibles sistemas

fundamentales propuestos (Analizar el diagrama de los momentos flectores). Conclusiones.

P P

6. Para el arco biempotrado del caso anterior se ha supuesto el siguiente sistema fundamental. ¿Qué

crítica u observación se puede efectuar?

X3

X1

X2






7. Si existe simetría de carga y de estructura ¿Qué sistema fundamental le conviene adoptar en este

caso? Plantear el sistema de compatibilidad de las deformaciones teniendo en cuenta la simetría.

q

8. En las deformaciones relativas ¿En virtud de qué teorema se verifica que δij = δ ji? ¿Existe algún

caso particular para el cual este razonamiento no es válido?

9. El empleo de cartelas ¿Modifica el diagrama de momentos en una estructura hiperestática? ¿Cuál

sería la forma de la estructura más conveniente en este caso?

3 I1

3 I

I0 (cte)

I1

L=8 [m]L/2

q = 3 [t/m]

I

10. Para las siguientes estructuras, determinar el sistema fundamental adecuado, y plantear la

correspondiente ecuación de deformación, explicando cada término. (δ10 = ......., etc) y escribir la

expresión general que permite calcular los esfuerzos internos en cada barra.

a)

P

b)

P

c) q

d) P

A B C

Nota: El apoyo C sufre un desplazamiento vertical (δVc↓)

e) Δt






11. Comparar los dos sistemas fundamentales propuestos para la estructura hiperestática de la figura,

adoptar el mas conveniente, y fundamentar la elección (teniendo en cuenta DM y LE).

q

X1 X3X2

Sistemas Fundamentales

M 1 M 2 M 3

Documents

Anal Estr I - Tema 3 - Método de Las Fuerzas