AnaKnezevicDipl

7/26/2019 AnaKnezevicDipl

1/38

Sadrzaj

1 Uvod 2

2 Metoda konacnih elemenata 42.1 Slabo rjesenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Konstrukcija prostoraVh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Diskretan problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Metoda konacnih volumena 113.1 Formulacija metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Konstrukcija kontrolnih volumena . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Voronoijev dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Donaldov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Diskretizacija konacnim volumenima . . . . . . . . . . . . . . 193.3.1 Slucaj Voronoijevog dijagrama . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2 Slucaj Donaldovog dijagrama . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Usporedba difuzijskih clanova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Svojstva diskretizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

A Dodatak 35A.1 Lp prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A.2 Soboljevi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1


2/38

Poglavlje 1

Uvod

Metoda konacnih volumena (MKV) je metoda za numericko rjesavanjediferencijalnih jednadzbi. U usporedbi sa standardnim aparatom za diskre-tizaciju, tj. s metodom konacnih elemenata (MKE) i metodom konacnih di-ferencija (MKD), za MKV se cesto kaze da zauzima mjesto izmedu, jer jese ponekad smatra generalizacijom MKD, a ponekad specijalnim slucajemMKE.

MKV se javlja 1960-ih godina za potrebe racunanja kod zadaca povezanihs nuklearnim reaktorima i difuzijama neutrona. 1970-ih se razvija i za potrebemehanike fluida. Ali tek u posljednja tri desetljeca je postala vrlo popularnate se danas najvise koristi u aerodinamici, mehanici fluida, fizici cvrstogstanja, kod istrazivackog modeliranja poluvodica, itd.

MKV je siroko primjenjiva kod diferencijalnih jednadzbi divergentnogoblika. U ovom cemo radu pokazati njenu primjenu na jedno j upravo takvojklasi problema, tj. na klasi linearnih eliptickih diferencijalnih jednadzbi 2.reda koju opcenito mozemo zapisati ovako:

div(Ku qu) +ru = f, (1.1)

gdje je K : Rdd simetricna, pozitivno definitna matricna funkcija,q : R

d

, r,f : R, a Rd

domena (otvoren i povezan skup).Mi cemo se u ovom radu ograniciti na slucaj kada je d = 2, te kadaje poligonalna domena. Pretpostavljat cemo da je domena , kao kodMKE, triangulirana trokutima na kojima su definirani P1 elementi. Na tak-voj trianguliranoj domeni konstruirat cemo konacne volumene kojima cemodiskretizirati zadacu (1.1) uz pretpostavku homogenog Dirichletovog rubnoguvjeta. Zatim cemo pokazati dovoljne uvjete za egzistenciju i jedinstvenostrjesenja dobivene diskretne zadace, za diskretno rjesenje tipa P1 na trokuti-ma.

2


3/38

POGLAVLJE 1. UVOD 3

Napomenimo da je za MKV dosta tesko konstruirati matematicku teoriju

konvergencije, zato se potpomazemo konacnim elementima, jer je za MKEona dobro razvijena.

Jos spomenimo neke prednosti i nedostatke MKV.

Prednosti: fleksibilnost metode obzirom na geometriju domene (kao uMKE), dopustene su nestrukturirane mreze (kao u MKE, posebno jeto vazno za adaptivne metode), jednostavno formiranje matrice sus-tava, lokalno sacuvanje mase, laka linearizacija nelinearnih problema(jednostavnija nego u MKE), jednostavna diskretizacija rubnih uvjeta,nema ogranicenja prostorne dimenzije d domene .

Nedostatci: manje podrucje primjene u usporedbi s MKE, teskoce kodkonstrukcije metoda viseg reda (nije dopustena tzv. p -verzija kao stoje to dopusteno kod MKE), u visim prostornim dimenzijama (d3)konstrukcija nekih klasa ili tipova kontrolnih volumena moze biti za-mrsena zadaca, teska matematicka analiza (stabilnost, konvergencija,itd.).


4/38

Poglavlje 2

Metoda konacnih elemenata

U ovom poglavlju cemo iznijeti samo osnove metode konacnih elemenatana primjeru homogene Dirichletove rubne zadace. Vecinu tvrdnji necemodokazivati, nego cemo ih samo preuzeti iz [1] i [3] u kojima se mogu naci idokazi. Za definicije uvedenih prostora funkcija vidi Dodatak.

Neka je zadana sljedeca homogena Dirichletova rubna zadaca: div(Ku qu) +ru =f u ,u= 0 na ,

(2.1)

gdje je R2 ogranicena i poligonalna domena, a njena granica, tegdje je K : R22 simetricna, pozitivno definitna matricna funkcija, aq : R2 ir, f: Rzadane funkcije.

2.1 Slabo rjesenje

Klasicno rjesenje zadace (2.1) je funkcija u C2()C0() koja za-dovoljava rubnu zadacu (2.1), pri tome su ikij, qi, r , f C(), i , j = 1, 2.Varijacijska formulacija ce oslabiti uvjete na zadane funkcije, a dakako i nasamo rjesenje u.

MKE se temelje na varijacijskoj formulaciji rubne zadace koja se u slucajuzadace (2.1) dobiva mnozenjem jednadzbe (2.1)1 test funkcijom vC0 ()i integracijom po :

[ div(Ku)v+ div(qu)v+ruv]dx=

fvdx.

Parcijalnom integracijom prvog divergentnog clana dobijemo

div(Ku)v dx=

[ div(Kuv) + Ku v] dx,

4


5/38

POGLAVLJE 2. METODA KONACNIH ELEMENATA 5

a raspisivanjem drugog divergentnog clana

div(qu) v dx=

[div(quv) (q v)u] dx.

Sada cijeli izraz postaje

[ div(Kuv) + Ku v+ div(quv) (q v)u+ruv] dx=

fvdx,

te primjenom Gaussovog teorema o divergenciji

(Ku v quv) d + [Ku v (q v)u + ruv] dx= fvdx,gdje je vanjska jedinicna normala na . Kako je v = 0 na to integral

po propada pa dobijemo varijacijsku formulaciju rubne zadace (2.1)

[Ku v (q v)u+ruv] dx=

fvdx, vC0 (). (2.2)

Uocimo da se ne pojavljuju druge derivacije nepoznate funkcijeu.

Jasno je da klasicno rjesenje zadace (2.1) zadovoljava varijacijsku zadacu(2.2). Moze se pokazati da funkcija u

C2()

C0() koja zadovoljava

(2.2) zadovoljava i (2.1), sto nam pokazuje da je nasa varijacijska jednadzbakorektna generalizacija zadace (2.1). Rjesenje zadace (2.2) zovemopoopcenoilislabo rjesenje homogene Dirichletove rubne zadace (2.1).

Kako bismo mogli koristiti neke vazne rezultate funkcionalne analize, kaosto je npr. Lax-Milgramova lema o egzistenciji i jedinstvenosti rjesenja, za-pisimo zadacu (2.2) u sljedecem obliku:

naciuVa(u, v) =F(v),vV, (2.3)

gdje je V = C0 () linearan prostor funkcija, a : V

V

R bilinearan

funkcional definiran s

a(u, v) :=

[Ku v (q v)u+ruv] dx, (2.4)

a F: V R linearan funkcional definiran s

F(v) :=

fvdx. (2.5)

A sada zapisimo Lax-Milgramovu lemu. [10].


6/38


Teorem 2.1 (Lax-Milgramova lema) Neka jeVHilbertov prostor sa ska-

larnim produktom , i induciranom normom,a :VV R bilinearanfunkcional te F: V R linearan funkcional i neka su zadovoljeni sljedeciuvjeti:a je neprekidna, tj.M >0 t.d.

|a(u, v)| Mu v, u, vV, (2.6)a jeV-elipticka, tj. >0 t.d.

|a(v, v)| v2, vV, (2.7)F je neprekidan, tj. C >0 t.d.

|F(v)| Cv, vV. (2.8)Tada varijacijska jednadzba(2.3) ima jedinstveno rjesenje.

Kako se zaV =C0 () i prirodnu normu u njemu Lax-Milgramoviuvjeti ne mogu zadovoljiti za nasu rubnu zadacu, to moramo naci neki drugiprostor V i normu, te uvjete na zadane funkcije K, q, r , f za koje ce se Lax-Milgramovi uvjeti zadovoljiti. U [1] je dokazano koji su to prostor i norma,te uvjeti na zadane funkcije, a mi tu vaznu tvrdnju ovdje samo iznosimo:

Teorem 2.2 Neka je R2 ogranicena poligonalna domena, neka jeV :=H

1

0()i neka vrijedi sljedece: kij, qi, div q, rL

(), fL2

(), i ,j = 1, 2,te neka je za (gotovo) svakix

r(x) +1

2div q(x)0.

Tada varijacijska zadaca (2.3) ima jedinstveno slabo rjesenjeuV, gdje sufunkcionalia iF zadani s (2.4), odnosno (2.5), respektivno.

Sada kada znamo uvjete za egzistenciju i jedinstvenost nase kontinuiranezadace, sljedeci korak je zamjena kontinuirane zadace diskretnom zadacom,tj. moramo naci konacnodimenzionalni potprostor Vh V u kojem cemotraziti rjesenjeuh koje ce biti diskretna aproksimacija kontinuiranog rjesenjau. Kako jeVh konacnodimenzionalan prostor, on je zatvoren, a kao zatvorenpotprostor Hilbertovog prostora on je i sam Hilbertov u naslijedenoj normi H1(). Zato diskretna varijacijska zadaca

naciuhVhvVh, a(uh, v) =F(v) (2.9)

ima jedinstveno rjesenje kada su zadovoljene pretpostavke Teorema 2.2.Greska aproksimacije rjesenja u diskretnim rjesenjem uh ovisi o tome

kolikoVh dobro aproksimira beskonacnodimenzionalni prostor V.


7/38


2.2 Konstrukcija prostoraVh

Prvi korak u konstrukciji prostora Vh je dekompozicija (triangulacija)domene na jednostavne podskupove, uglavnom poligone.

Definicija 2.3 Triangulacija domene je svaka konacna familijaTh pod-skupova od koja ima ova svojstva:

(T1) =KThK;(T2) svakiK Th je zatvoren poligonalan skup i Int(K)=;

(T3) za svaka dvaKi, Kj Th, i=j , jeInt(Ki) Int(Kj) =;a ako jos ima i sljedece svojstvo

(T4) svaka dva Ki, Kj Th, i= j, za koje je Ki Kj =, imaju ilizajednicki brid ili zajednicki vrh,

onda takvu triangulaciju zovemo konformna triangulacija domene.Skupove izTh nazivamo elementima.

Nas zanima slucaj kada su elementi trokuti. Uvedimo finocu triangulacijeformulom h := max

{diam(K) :K

Th

}. Spomenimo samo da su za dobra

aproksimacijska svojstva triangulacije osim svojstava (T1)-(T4) potrebna josi neka druga svojstva.

Definicija 2.4 Za familiju triangulacija (Th)h kazemo da je regularna akopostoji konstanta >0 takva da za svakih >0 i svakiK Th vrijedi

KhK,

gdje je

K:= sup

{diam(S) :S je krug uR2 iS

K

}, h

K= diam(K).

Svakom elementu K Th pridruzujemo jedan konacnodimenzionalni li-nearni prostor funkcija koji oznacavamo s PK. Zatim definiramo prostor

Xh:={v : R : K Th, v|KPK},

a iz tog prostora uzmemo neprekidne funkcije te ta j podskup oznacimo s Vh.Moze se pokazati da je Vh H1(), a V0h :={v Vh : v = 0 na } H10(), vidi [3]. Radi jednostavnijeg racunanja i dobrih aproksimacijskih


8/38


svojstava, zahtijeva se da prostorPKsadrzi polinome (ili funkcije bliske poli-

nomima). Mi cemo uzimati da jePKprostor polinoma prvog stupnja, dakle,funkcijavXh ce biti oblika

v|K(x) =aK+ bKx1+cKx2.Kako je Vh prostor neprekidnih funkcija to cemo imati ogranicenja na koefi-cijenteaK, bK, cKza svaki K Th (jer bi inace te funkcije imale prekide napresjecima susjednih trokuta).

Sada uzmimo proizvoljne trokute Ki, Kj Th, i= j, koji imaju zajed-nicku stranicu, npr. . S vi oznacimo restrikciju funkcije v|Ki(x) = aKi +bKix1+ cKix2 na , a svj restrikciju funkcije v|Kj(x) =aKj+ bKjx1+ cKjx2,takoder na . Obje su te funkcije afine na jer su afine na citavim Ki,odnosnoKj , respektivno, ali su one opcenito medusobno razlicite. Da bismoih ucinili jednakima na , dovoljno je zahtijevati da su jednake u vrhovimastranice (obje funkcije vi i vj su na afine funkcije jedne varijable pa suposve odredene vrijednostima u dvije tocke) pa je uz taj uvjet zadovoljen iuvjet neprekidnosti funkcije v na Ki Kj.

Dakle, vrijednosti funkcije u vrhovima trokuta se namecu kao adekvatnistupnjevi slobode. Naime, ako zadamo vrijednosti funkcijevVhu vrhovimasvih trokuta triangulacijeTh, onda je ona time potpuno odredena, tj. ona jeneprekidna na , a afina na svakom pojedinom trokutu K Th (na svakom

trokutu odredena je s tri vrijednosti, a afina funkcija uR2

je jedinstvenoodredena vrijednostima u tri tocke). Dimenzija prostora Vh je stoga jednakabroju vrhova triangulacije.

2.3 Diskretan problem

Da bismo efikasno konstruirali prostor Vh, moramo u njemu naci jednubazu. Pokaze se (vidi [3]) da je jedna baza za Vh dana s

iVh, i(aj) =ij i, j = 1, . . . ,Nh, (2.10)

gdje jeaj j-ti vrh triangulacije, aNh broj svih vrhova triangulacijeTh. Ovubazu zovemo nodalna baza jer je pridruzena vrhovima triangulacije.Vezano za bazu (2.10) imamo baricentricke koordinate koje su restrikcije

baznih funkcija na pojedini trokut.Neka je Kproizvoljan trokut triangulacijeTh, te neka su ai, i 1, 2, 3

vrhovi trokuta K. Baricentricke koordinate i =i(x), 1i3 bilo kojetocke x R2, u odnosu na tocke a1, a2, a3, je jedinstveno rjesenje linearnogsustava

a11+a22+a33 = x1+2+3= 1.

(2.11)


9/38


Zbog nekolinearnosti tocaka ai, i

1, 2, 3, sustav (2.11) ima jedinstveno

rjesenje. Iz definicije baricentrickih koordinata se lako vidi da koordinata ije zaista restrikcija bazne funkcijei na trokut K:

i P1, i(aj) =

1 za i= j,0 za i=j,

gdje je P1 prostor polinoma prvog stupnja.Bazna funkcijaije afina na svakom trokutu i odredena je svojim vrijed-

nostima u vrhovima trokuta. Razlicita je od nule samo na onim trokutimakoji imaju ai kao jedan svoj vrh, stoga ima mali nosac.

Pogledajmo sada diskretnu zadacu (2.9): rjesenje uh zapisimo pomocubaznih funkcija

uh =

Nhi=1

uii, ui R, (2.12)

a za test funkcije v Vh je dovoljno da uzmemo bazne funkcije j, j =1, . . . ,Nh. Uvrstavanjem u jednadzbu,

a(

Nh

i=1uii, j) =F(j), j = 1, . . . ,Nh,

dobijemo sljedeci linearni sustav jednadzbi:

AU= F, (2.13)

gdje jeA= (Aij) = (a(j, i)) RNhNh, tzv. matrica krutosti,U= (ui) RNh,F= (Fi) = (F(i)) RNh.

Sustav (2.13) zbog zadovoljenih Lax-Milgramovih uvjeta (matrica A jepozitivno definitna) ima jedinstveno rjesenje U. Napomenimo da je matrica

krutosti rijetka zbog malih nosaca baznih funkcija.Na kraju jos uvedimo operator Ih : C()Vh koji proizvoljnoj funkciji

iz C() pridruzuje funkciju iz prostora Vh takvu da je

(Ihv)(x) =

Nhi=1

v(ai)i(x). (2.14)

Takav operator zovemointerpolacijski operatoru prostoruVh, a on ima cen-tralnu ulogu u ocjeni greske MKE.


10/38


Teorem 2.5 Neka je dana regularna familija triangulacija trokutima(

Th)h.

Tada postoji konstantaC >0 neovisna o h, takva da zavH2() vrijediv Ih(v)1C h|v|2 .

Ako je rjesenje rubnog problema (2.1) iz prostoraH2(), tada za diskretnorjesenjeuh problema (2.9) imamo ocjenu

u uh1C h(|u|2+ f0).

Dokaz se moze naci u [1].


11/38

Poglavlje 3

Metoda konacnih volumena

3.1 Formulacija metode

Sada cemo opisati osnovne korake metode konacnih volumena primijenje-ne na jednadzbu (1.1) i pri tome cemo se ograniciti samo na slucaj kada jed= 2.

Prvi korak je subdivizija domene , tj. podjela domene na M poddo-mena i takvih da vrijedi sljedece:

1. svaki i je zatvoren, poligonalan ogranicen skup,

2. Inti Intj =, za i=j ,3.Mi=1i= .Te poddomene i se zovu konacni ilikontrolni volumeni.

Spomenimo da postoje i metode konacnih volumena s dobro definiranim kon-trolnim volumenima koji se preklapaju, dakle s narusenim drugim uvjetom.

Drugi korak metode je zajednicki svim metodama konacnih volumena:integrira se jednadzba (1.1) po svakom kontrolnom volumenu i

i

[ div(Ku qu) +ru] dx= i

f dx, (3.1)

zatim se primijeni Gaussov teorem o divergenciji

i

(Ku qu) d+i

rudx=

i

f dx,

gdje oznacava jedinicnu vanjsku normalu na i.

11


12/38

POGLAVLJE 3. METODA KONACNIH VOLUMENA 12

Prema prvom uvjetu particije, granica i je sastavljena od ravnih segme-

nata ij (j = 1, . . . , ni), duz kojih je normala |ij konstanta (vidi Sliku 1.).Zato se sada linijski integral moze dekomponirati na sumu linijskih integralasto nam daje sljedeci rezultat:

nij=1

ij

ij (Ku qu) d+i

rudx=

i

f dx. (3.2)

Slika 1. Kontrolni volumen

Treci je korak aproksimacija integrala iz (3.2) , a to se moze napraviti napuno razlicitih nacina. Tako se dobiju razlicite konacne diskretizacije.

Metode konacnih volumena dijelimo prema nacinu konstrukcije konacnogvolumena i tipu aproksimativnog rjesenja. [8]. Prva podjela uvodi dvije ve-like grupe metoda prema odnosu konacnog volumena i nodalnih tocaka, tj.tocaka u kojima aproksimiramo tocno rjesenje. Ukoliko prvo konstruiramorazdiobu domene na konacne volumene (celije), a zatim nodalne tocke uvo-

dimo u volumene, onda govorimo o metodi centriranoj u celiji (cell-centredmethod). Najjednostavniji predstavnik te klase je metoda u kojoj se no-dalna tocka smjesta u centar kontrolnog volumena i rjesenje se aproksimirafunkcijom koja je konstantna na svakom pojedinom volumenu. Prve metodekonacnih volumena bile su tog tipa. Unutar te klase moguce su razlicite vari-jante: nodalne tocke mogu biti smjestene u vrhove konacnog volumena (cellvertex method) ili na njegove stranice (cell edge method). Razliciti nacinirazmjesta ja nodalnih tocaka vode na razlicite tipove aproksimacije rjesenja,koja je obicno tipa konacnih elemenata (konformnih ili nekonformnih), no


13/38


osnovno svojstvo ove metode je da postoji samo jedna razdioba domene

ona na kontrolne volumene.Druga grupa metoda prvo uvodi nodalne tocke, a zatim konstruira kon-

trolne volumene centrirane u nodalnim tockama. Za takve metode kazemoda su centrirane u nodalnim tockama (vertex-centred methods). Njih karak-terizira prisustvo dviju razlicitih subdivizija domene. Jedna je ona koja namdaje nodalne tocke, obicno triangulacija domene tipa konacnih elemenata, ikoja odreduje tip aproksimacije rjesenja, a druga je dana kontrolnim volume-nima. Mi cemo se nadalje baviti samo tim tipom metode i to u specijalnomslucaju kada se triangulacija domene sastoji od P1 elemenata na trokutima.Analizirat cemo dva razlicita nacina konstrukcije konacnih volumena u toj

situaciji.Pogledajmo jedan primjer metode KV koji se moze smjestiti u klasu meto-

da centriranih u nodalnim tockama. Primarna mreza je pravokutna s aprok-simacijom rjesenja tipa Q1 (bilinearne funkcije), a kontrolni volumeni supravokutnici centrirani u nodalnim tockama. Pokazat cemo da se primjenomodgovarajucih formula numericke integracije metoda KV svodi na klasicnumetodu konacnih diferencija.

Primjer 3.1 Zadan je homogeni Dirichletov problem za Poissonovu jednadzbuna jedinicnom kvadratu:

u = f u = (0, 1)2,u = 0 na.

Slika 2. Varijable problema i kontrolni volumeni kod vertex-centred MKV

Varijable problema su vrijednostiu(ai), gdje suai cvorovi kvadratne mreze(tj. nodalne tocke) s korakomh >0.


14/38


Kontrolni volumeni su definirani si :=

{x

:

|x

ai

|

h2

}.

Zaunutarnje kontrolne volumene i (to su oni za koje jeai) jednadzba(3.2) postaje

4

k=1

ijk

ijk u d=i

f dx, (3.3)

gdje jeijk :=i jk . Ako bolje pogledamo derivacije u smjeru, vidimoda zapravo imamo

ij1u= 1u, ij2 u= 2u, ij3u=1u, ij4u=2u,

tj. to su samo parcijalne derivacije u odnosu na prvu i drugu varijablu poodgovarajucim dijelovima ruba. Aproksimacijom integrala poijk pravokut-nom formulom i zamjenom parcijalnih derivacija diferencijskim kvocijentom,imamo

4

k=1

ijk

ijk u d 4

k=1

ijk uai+ajk

2

h

u(aj1) u(ai)h

+u(aj2) u(ai)

h u(ai) u(aj3)

h u(ai) u(aj4)

h

h

= 4u(ai) 4

k=1

u(ajk).

Sada jos mozemo aproksimirati desnu stranu jednadzbe (3.3) s f(ai)h2 pa

dobijemo sustav jednadzbi zau(ai)

4u(ai) 4

k=1

u(ajk) =f(ai)h2,

gdje suai unutarnje nodalne tocke.Kako zbog Dirichletovog rubnog uvjeta vec znamo vrijednost funkcijeu na

tako znamo i vrijednostiu(ai), zaaipa je to razlog sto nismo trebalirazmatrati rubne kontrolne volumene.

Time se MKV svela na metodu konacnih diferencija.

3.2 Konstrukcija kontrolnih volumena

U ovoj sekciji dajemo dva tipa konstrukcije subdivizije domene na konacnevolumene.


15/38


3.2.1 Voronoijev dijagram

Neka je R2 ogranicen poligonalan skup, a{ai}i skup tocakau koji sadrzi sve vrhove poligona, gdje je odgovarajuci skup indeksa.Tockeaisu smjestene na one pozicije u kojima ceu(ai), vrijednosti egzaktnogrjesenja biti aproksimirane. Skup

i :={xR2 :|x ai| |x aj | , j=i}se zove Voronoijev poligon (ili Dirichletova domena, Wigner-Seitz celija (ufizici cvrstog stanja), Thiessenov poligon (u meteorologiji), itd.). Familija

{i}i se zove Voronoijev dijagram skupa tocaka{ai}i.

Slika 3. Voronoijev dijagram

Voronoijevi poligoni su konveksni skupovi, ali nisu nuzno ograniceni (vidi naSlici 3. situaciju blizu ruba od ). Vrhove Voronoijevih poligona zovemoVoronoijevi vrhovi.

Moze se pokazati (vidi [2]) da se u svakom Voronoijevom vrhu diraju naj-manje tri Voronoijeva poligona. Uzimajuci to svojstvo u obzir, Voronoijevivrhovi se klasificiraju na regularne idegenerativneVoronoijeve vrhove: u re-gularnim Voronoijevim vrhovima se spaja ju tocno tri Voronoijeva poligona,dok u degenerativnim najmanje cetiri. U potonjem slucaju su svi odgovara-juci cvoroviai smjesteni na nekoj kruznici, tj. kociklicki su (vidi [2]).


16/38


Kontrolne volumene i definiramo s

i:=i , i.Ako nije konveksan skup, ovako definirani i nisu nuzno konveksni (vidi

Sliku 3.).Nadalje ce se koristiti sljedeca notacija :

i := {j \ {i}: i j=}, i,za skup indeksa susjednih cvorova;

ij := i j , ji,za zajednicke dijelove granica susjednih kontrolnih volumena;

mij := duljina granice ij.

Dualni graf Voronoijevog dijagrama je definiran skupom tocaka{ai}ii skupom bridova definiranih na sljedeci nacin: proizvoljan par tocakaai, aj,

takvih da jei j=, cini brid grafa, tj. povezan je ravnom duzinom.Sljedeci teorem kaze da je dualni graf jedna dobra triangulacija.

Teorem 3.1 Ako su svi Voronoijevi vrhovi regularni, tada se dualni grafpodudara s triangulacijom konveksne ljuske skupa{ai}i.Dokaz se moze naci u [5].

Iz definicije Voronoijevog poligona se lako vidi da je svaki Voronoijev vrhjednako udaljen od barem 3 nodalne tocke iz{ai}i. Zato te iste nodalnetocke jedinstveno odreduju tzv. opisani krugsa sredistem u datom Vorono-ijevom vrhu. Unutrasnjost opisanog kruga ne sadrzi nodalne tocke ai, i(za dokaz vidi [9]).

Definicija 3.2 Za triangulacijuT od kazemo da ima Voronoijevo svojstvoakko unutrasnjost trokutuK T opisanog kruga ne sadrzi vrhove triangula-cije. Takva triangulacija se zoveDelaunayeva triangulacija.

Dakle, ako su svi Voronoijevi vrhovi regularni, onda je dualni graf Dela-unayeva triangulacija. ??? jel tako kazemo, ili kazemo da se dualnigraf podudara s triangulacijom, buduci je dualni graf skup vrhova

i bridova, a ne skup trokuta kao sto je to triangulacija??? DA.

Ne treba suvise formalizirati!

Napomenimo da ako je domena konveksna, onda je Delaunayeva trian-gulacija i triangulacija od , a ako domena nije konveksna, njena triangu-lacija se dobije izbacivanjem iz Delaunayeve triangulacije onih trokuta kojinisu u .


17/38


Slika 4. Delaunayeva triangulacija pridruzena Voronoijevom dijagramu sa Slike 3.

??? jel se moze na slici reci da se makne brid iz triangulacije,

ili se mora reci da se makne taj cijeli trokut???? Razumljivo je

i kad se kaze da se mice brid!

Vec smo spomenuli da je za dobra aproksimacijska svojstva MKE i MKVbitno da triangulacija zadovoljava neka dodatna svojstva. Jedno od tih svoj-stava je tzv. max-min uvjet na kut. Sljedeca lema upravo o tome govori.

Ali prije same leme definirajmo za proizvoljnu triangulacijuT i proizvoljnitrokut K T(T) := min

KTmin(K),

gdje je min(K) najmanji kut trokuta K.

Lema 3.3 Neka je dan skup nodalnih tocaka{ai}i i Voronoijev dijagramna njemu te pretpostavimo da su svi Voronoijevi vrhovi regularni. Tada,od svih triangulacija odredenih skupom{ai}i, Delaunayeva triangulacijamaksimizira(T).Za dokaz vidi [6].

Sljedeci teorem neposredno karakterizira Delaunayevu triangulaciju.

Teorem 3.4 Ako konformna triangulacija ne sadrzi niti jedan trokut s tu-pim kutom, tada je to Delaunayeva triangulacija, a pripadajuci Voronoijevdijagram se moze konstruirati na osnovu okomica kroz polovista rubova.

Za dokaz vidi [7].Spomenimo da je centar opisane kruznice trokuta koji nema tupi kut

smjesten unutar tog trokuta.U analizi MKV je vazna sljedeca relacija:


18/38


Lema 3.5 Dan je trokutKkoji ne sadrzi tupi kut i ciji su vrhoviaik, k

{1, 2, 3}. Tada za odgovarajuce dijelove kontrolnog volumenaik , ik, K :=ik K imamo

1

4|K| |ik,K|

1

2|K|, k {1, 2, 3}.

Za dokaz vidi [2].

3.2.2 Donaldov dijagram

U suprotnosti s Voronoijevim dijagramom, gdje konstrukcija pocinje od

zadanog skupa nodalnih tocaka, ovdje polazimo od triangulacije od , a onasmije sadrzavati i trokute s tupim kutom.Neka je Ktrokut s vrhovima aik ,k {1, 2, 3}. Definiramo

ik,K :={xK :j(x)< k(x), j=k},

gdje k oznacava baricentricke koordinate u odnosu na aik . Ocito baricentarzadovoljavaaS=

13

(ai1+ ai2+ ai3) i

3|ik,K|=|K|, k {1, 2, 3}.

Ova relacija je jednostavna posljedica geometrijske interpretacije baricen-trickih koordinata kao koordinata povrsine (vidi [2]).

Slika 5. Poddomena ik,K


19/38


Trazeni kontrolni volumeni su definirani na sljedeci nacin (vidi Sliku 5.):

i:=

K:Kai

i,K, i.

Familija{i}i se zove Donaldov dijagram. Velicine i, ij imij su defini-rane analogno onima u slucaju Voronoijevog dijagrama.Napomenimo da rubni dijelovi ij nisu nuzno ravni, ali su opcenito poligo-nalni (vidi Sliku 6.).

Slika 6. Donaldov konacni volumen

3.3 Diskretizacija konacnim volumenima

Model donjeg razmatranja je specijalan slucaj jednadzbe (1.1). Umjestomatricnog difuzijskog koeficijenta K radi jednostavnosti cemo uzeti skalarni

koeficijentk : R, t.d. K =kI. Jos cemo pretpostaviti i da su zadovoljenihomogeni Dirichletovi rubni uvjeti. Zapisimo model:

div(ku qu) +ru = f u ,u= 0 na ,

(3.4)

gdje su k,r, f: R,q : R2.


20/38


3.3.1 Slucaj Voronoijevog dijagrama

Neka je domena particionirana Voronoijevim dijagramom i pripada-jucom Delaunayevom triangulacijom. Zbog homogenog Dirichletovog rub-nog uvjeta dovoljno je razmatrati samo one kontrolne volumene i koji supridruzeni unutarnjim cvorovima ai . Sukladno tome, oznacimo skupindeksa svih unutarnjih cvorova s

:={i :ai}.

U sekciji 3.1 smo za proizvoljan i dobili

ji

ij

ij (ku qu) d+ i

rudx= i

f dx. (3.5)

Slika 7. Rub ij

Najprije, koeficijente k i ij q aproksimiramo na ij konstantama ij >0,odnosnoij, respektivno:

k|ijij =const >0, ij q|ijij =const.

U najjednostavnijem slucaju, aproksimacija se moze realizirati odgovara-jucom vrijednosti u srednjoj tockiaij na segmentu ij.

Bolji izbor je

ij :=

1mij

ij

ij q d, mij >0,ij q(aij), mij = 0.

(3.6)


21/38


Na taj nacin dobijemoi

div(ku qu) dxji

ij

[ij(ij u) iju] d.

Normalna derivacija se aproksimira diferencijskim kvocijentom; tako je

ij u u(aj) u(ai)dij

, gdje jedij :=|ai aj|.

Ova formula je egzaktna za one funkcije koje su linearne duz segmenta [ai, aj].Jos ostaje aproksimirati integral od u po ij . Za to uzmemo konveksnu kom-binaciju vrijednosti od uu tockama ai iaj :

u|ijtiju(ai) + (1 tij)u(aj),gdje je tij [0, 1] naknadno definiran parametar. Opcenito, tij ovisi o ij,ij i dij.Skupivsi sve gornje aproksimacije dosli smo do sljedece relacije:

i

div(ku qu) dx

ji

iju(aj) u(ai)

dij ij

tiju(ai) + (1 tij)u(aj)mij .

Za aproksimaciju ostatka integrala iz (3.1) koriste se sljedece formule:i

rudx r(ai)u(ai)mi=:riu(ai)mi, mi:=|i|,i

f dx f(ai)mi=:fi mi.

Umjesto ri= r(ai) ifi=f(ai), takoder se mogu koristiti aproksimacije

ri := 1

mi i r dx i fi:= 1

mi i f dx, (3.7)respektivno.Oznacivsi nepoznate aproksimirane vrijednosti od u(ai) s ui, dobijemo slje-deci linearni sustav jednadzbi

ji

ij

ui ujdij

+ij

tijui+ (1 tij)uj

mij+ riuimi

=fimi, i. (3.8)


22/38


Ovaj prikaz jasno pokazuje slicnost MKV s MKD. Za kasnije analize je

pogodnije zapisati ovaj sustav jednadzbi u terminima diskretne varijacijskejednakosti.

Mnozeci i-tu jednadzbu u (3.8) proizvoljnim brojevima vi R i sumira-juci ih po i, dobivamo

i

vi

ji

ij

ui ujdij

+ij

tijui+ (1 tij)uj

mij+ riuimi

=i

fivimi.

Zatim, s Vh oznacimo prostor neprekidnih po dijelovima afinih funkcija na(Delaunayevoj) triangulaciji od koje na rubu iscezavaju. Tada se vri-jednosti ui i vi mogu interpolirati u Vh, tj.

! uh, vhVh t.d. uh(ai) =ui, vh(ai) =vi, i.Stoga se sada na VhVh mogu definirati sljedece diskretne bilinearne

forme:

a0h(uh, vh) :=i

viji

ij(ui uj)mijdij

, (3.9)

bh(uh, vh) := i

viji

[tijui+ (1 tij)uj]ijmij , (3.10)dh(uh, vh) :=

i

riuivimi, (3.11)

ah(uh, vh) := a0h(uh, vh) +bh(uh, vh) +dh(uh, vh). (3.12)

Konacno, za dvije neprekidne funkcije v, wC(), stavimo

w, v0,h:=i

wivimi,

gdje je vi := v(ai), wi:=w(ai).Napomena 3.6, 0,h je skalarni produkt naVh.Specijalno, moze se uvesti sljedeca norma:

vh0,h :=

vh, vh0,h , vhVh. (3.13)Sada imamo diskretnu varijacijsku formulaciju MKV:

naci uhVh t.d.ah(uh, vh) =f, vh0,h, vhVh. (3.14)


23/38


Dosada je izbor tezinskih parametara tij ostao otvoren. Za to se opcenito

mogu izabrati dva slucaja:

1. Postoji par indeksa (i, j) t.d.ij


24/38


Sve tri funkcije imaju mnoga zajednicka svojstva. Npr., za svaki z

R

zadovoljavaju sljedeca svojstva:

(P1) [1 R(z) R(z)] z= 0,(P2) [R(z) 1

2] z0,

(P3) 1 [1 R(z)] z0.(3.16)

Primijetimo da konstantna funkcija R = 12

zadovoljava uvjete (P1) i (P2),ali ne i (P3).

3.3.2 Slucaj Donaldovog dijagrama

Neka je domena triangulirana kao kod MKE. Tada, slijedeci objasnjenjadana u tocki 3.2.2 mozemo kreirati odgovarajuci Donaldov dijagram.

Ako jednadzbu (3.4) integriramo po kontrolnom volumenu i

i

div(ku) dx+i

div(qu) dx+

i

rudx=

i

f dx, i,

te ako sve clanove gornje jednadzbe, osim prvog clana na lijevoj strani, apok-simiramo na isti nacin kao sto smo to napravili kod Voronoijevog slucaja izapisemo ga u varijacijskom obliku, takoder kao kod Voronoijevog slucaja,

dobit cemo

i

vi

i

div(kuh) dx+i

viji

ij

tijui+ (1 tij)uj

mij+ riuimi

=i

fivimi.

Prvi clan na desnoj strani ne mozemo aproksimirati kao sto smo u Vorono-ijevom slucaju zato sto ij nije ravna, nego je poligonalna pa nam vise nijejednostavno aproksimirati derivaciju u smjeru vektora jedinicne normale naij . Zato cemo ga sada diskretizirati kao u MKE, odnosno zamijenit cemoclan

i

vi

i

div(kuh) dx

clanom

kuh vhdx,

gdje su, naravno, uh, vhVh funkcije koje odgovaraju nodalnim vrijednosti-ma ui, vi.


25/38


Sada napokon imamo diskretnu bilinearnu formu definiranu s

ah(uh, vh) :=kuh, vh0+bh(uh, vh) +dh(uh, vh),gdje je skalarni produkt, 0 definiran s

g, h0:=

g hdx,

za funkcije g, h : R2. bh, dh i prostor Vh definirani su kao u prethodnojtocki 3.3.1.

3.4 Usporedba difuzijskih clanova

Kako bismo usporedili dva razlicita nacina diskretizacije difuzijskog clana,Voronoijev i Donaldov slucaj, potreban nam je sljedeci tehnicki rezultat.

S{i}i smo oznacili bazne funkcije prostora Vh neprekidnih, po dijelo-vima linearnih funkcija na odgovarajucoj triangulaciji domene .

Lema 3.7 Neka jeTh konformna triangulacija od . Tada za proizvoljnitrokutK Th s vrhovima ai, aj, i=j vrijedi sljedece:

Kj idx=1

2cot Kij ,

gdje jeKij unutarnji kut odK nasuprot stranici odredenoj tockamaai, aj.

Dokaz: Pretpostavimo da su ai,aj i ak vrhovi trokuta K(vidi Sliku 9.).


26/38


Slika 9. Notacija za dokaz Leme 3.7

Na stranici nasuprot tocki aj imamo

j0.Stoga, j ima smjer vektora normale na tu stranicu i uzevsi u obzir u kojemsmjeruj raste orijentacija suprotna od vektora vanjske normale ki, to je

j =|j |ki, gdje je|ki|= 1. (3.17)Kako bismo izracunali|j| koristimo sljedece: Iz (3.17) dobivamo

|j|=j ki,tj. moramo izracunati derivaciju u smjeru. Iz jednakostij(aj) = 1 imamo

jki =0 1hj

=1hj

,

gdje hj oznacava visinu od K spustenu iz aj na nasuprotnu stranicu. Takosmo dobili relaciju

j =1hj

ki

pa imamo

j

i=

ki jkhjhi

=

cos Kij

hjhi.

Sada zbog

2|K|= hj|ak ai|= hi|aj ak|=|ak ai||aj ak| sin Kijdobijemo

ji =cos Kij4|K|2|ak ai||aj ak|

=12

cot Kij1

|K| ,

te tvrdnja leme slijedi integriranjem po K.

Lema 3.8 Neka jeTh konformna triangulacija od takva da niti jedan tro-kut triangulacije nema tupi kut. Razmatramo odgovarajuci Voronoijev dija-gram u skladu s Teoremom3.4. Tada za proizvoljan trokutK Ths vrhovimaai, aj, i=j , vrijedi sljedeca relacija:

K

jidx=mKijdij

,

gdje jemKij duljina segmentaij koji presijecaK.


27/38


Dokaz: Neka su vrhovi trokuta K ai, aj i ak, kao na Slici 10. i neka je

kut Kij kut u vrhu ak.

Slika 10. Notacija za dokaz Leme 3.8

Kako je sjeciste simetrala stranica trokuta ujedno srediste trokutu opisanekruznice, to vidimo da je tocka Ssa Slike 10. jedan Voronoijev vrh, tj. daje duzina S S zapravo mKij . Primijetimo da je kut u vrhu ak obodni kut, a uvrhu Ssredisnji kut nad lukom aiaj. Sada iz trokuta S S

aj imamo

cot Kij =2 mKij

dij,

te primjenom Leme 3.7 slijedi tvrdnja ove leme.

Korolar 3.9 Pod pretpostavkama Leme 3.8, zak=const imamo

kuh, vh0=a0h(uh, vh), uh, vhVh.

Dokaz: Dovoljno je dokazati relaciju za vh = i i proizvoljan i . Prvo,vidimo da je

uh, i0=

Ksuppi

K

uh idx.


28/38


Nadalje,K

uh i dx =

j:Kaj

uj

K

jidx

= ui

K

i idx+

j=i:Kaj

uj

K

j i dx.

Zbog

1 =

j:Kaj

j po K,

slijedi i=

j:Kaj

j. (3.18)

To je, prema znacenju Leme 3.8K

uh i dx =

j=i:Kaj

(uj ui)K

j i dx

=

j=i:Kaj

(ui uj)mKijdij

. (3.19)

Zbrajajuci po cijelom Ksupp i, dobivamo

uh, i0=ji

(ui uj) mijdij

=a0h(uh, i).

Napomena 3.10 Kod sofisticiranijeg dokazivanja moze se pokazati da gor-nji korolar vrijedi i kada je difuzni koeficijent k konstanta po trokutimaK Th (ali nije konstanta na citavom ), a kada su aproksimacije ijizabrane u skladu s

ij :=

1

mij

ij

k d=k|KmKij +k|KmKij

mij, mij >0

0 , mij = 0,

(3.20)

gdje suK, K trokuti sa zajednickim vrhovimaai, aj.


29/38


3.5 Svojstva diskretizacije

Ovdje cemo dati kratak pregled osnovnih svojstava MKV: egzistenciju ijedinstvenost rjesenja te ocjenu greske.

Radi jednostavnosti ogranicit cemo se na slucaj konstantnog skalarnogdifuzijskog koeficijenta k >0. Tada, posebno, je korisno staviti ij :=k , zasvaki i , j i. U ovom slucaju, prema Korolaru 3.9 prethodne dvijemetode se poklapaju ako u triangulaciji nema trokuta s tupim kutom. Sto-ga uzimamo tu pretpostavku pa je dovoljno analizirati samo jedan slucaj.Za egzistenciju i jedinstvenost rjesenja moramo pokazati da su zadovoljeniLax-Milgramovi uvjeti. Neprekidnost bilinearne formeah i linearnog funk-

cionalaf, vh0,h je lako dokazati, pa cemo ovdje samo dokazati netrivijalnukoercitivnost od ah.Lema 3.11 Pretpostavimo da aproksimacijeij od ij q|ij zadovoljavajuji =ij i da su tij definirani s (3.15), gdje funkcijaR zadovoljava (P1).Tada imamo za sveuh, vhVh

bh(uh, vh) =1

2

i

ji

uiviijmij+

+1

2 i ji tij1

2(ui uj)(vi vj) +1

2(ujvi uivj)

ijmij.

Dokaz: Prvo napomenimo da se bh moze zapisati kao

bh(uh, vh) =i

ji

vi

(1 tij)uj

1

2 tij

ui

ijmij+

+1

2

i

ji

uiviijmij . (3.21)

U prvom clanu mijenjamo redoslijed sumacije i preimenujemo indekse:

bh(uh, vh) = i

ji

vj (1 tji)ui 12 tji uj jimji ++

1

2

i

ji

uiviijmij.

Zatim iskoristimo sljedece relacije, koje su jednostavan rezultat iz dji =diji pretpostavke na ij itij:

(1 tji)ji =tijij,

1

2 tji

ji =

1

2 tij

ij.


30/38


Tako dobijemo, zbog mji = mij .

bh(uh, vh) =i

ji

vj

tijui

1

2 tij

uj

ijmij+

+1

2

i

ji

uiviijmij .

Uzimajuci aritmeticku sredinu oba prikaza bh, dolazimo do

bh(uh, vh) =1

2 i jiuiviijmij+

+1

2

i

ji

(1 tij)ujvi tijuivj

12 tij

(uivi+ujvj)

ijmij

=1

2

i

ji

1

2 tij

(ujvi+uivj uivi ujvj) +

+ 1

2(ujvi uivj)

ijmij+

1

2

i

ji

uiviijmij .

Sada lako slijedi tvrdnja leme.

Korolar 3.12 Neka su q1, q2, div q C(). Pod pretpostavkama Leme3.11 i takoder pretpostavke svojstva (P2) za funkcijuR, bilinearna formabhzadovoljava za svakivhVh ocjenu

bh(vh, vh) 12

i

v2i

i

div q dx+ji

ij

(ijij q) d

(3.22)

Dokaz: Buduci da zbog svojstva (P2) u (3.16) vrijedi (tij 12)ij 0, izLeme 3.11 direktno slijedi

bh(vh, vh) 12i

ji

v2i ijmij =12i

v2i ji

ijmij.

Za unutarnju sumu mozemo pisatiji

ijmij =ji

ij

ijd

=ji

ij

ij q d+ji

ij

(ijij q) d.


31/38


Prvi clan moze biti zapisan kao integral po rubu od i, tj.ji

ij

ij q d=i

q d.

Iz Gaussovog teorema o divergenciji slijedii

q dx=i

div q dx

Napomena 3.13 Ako su aproksimacijeij izabrane u skladu s (3.6), tada

vrijediji =ij i (3.22) se pojednostavljuje ubh(vh, vh) 1

2

i

v2i

i

div q dx.

Koristeci slican dokaz kao u postupku s clanom

jiijmij u dokazu Ko-

rolara 3.12, velicina dh(vh, vh) moze se prikazati kao

dh(vh, vh) =i

riv2i mi =

i

v2i

i

ridx

= i

v2i i r dx+i v2i i(ri r) dx. (3.23)

Drugi clan nestaje ako su aproksimacije ri definirane kao u (3.7).

Teorem 3.14 Neka sutij definirani s (3.15)s tim daR zadovoljava svojstva(P1)i(P2). Pretpostavimo da jek >0,q1,q2,div q,rC(),r + 12div qr0 = const 0 na i da su aproksimacijeij i ri respektivno, izabrane uskladu s(3.6)i (3.7). Pod pretpostavkama Leme3.8 imamo za svakivhVh

ah(vh, vh)kvh, vh0+r0

iv2i mi = k|vh|21+r0vh20,h ,

to jest, bilinearna formaah je uniformno Vh-elipticka.

Dokaz: Pocinjemo razmatranjem a0h(vh, vh). Uslijed Korolara 3.9 vrijedi

a0h(vh, vh) =kvh, vh0 = k|vh|21.Nadalje, iz Napomene 3.13 i jednadzbe (3.23) imamo

bh(vh, vh) +dh(vh, vh)i

v2i

i

1

2div q +r

dxr0

i

v2i mi.


32/38


Buduci da je po definiciji

ah(vh, vh) =a0h(vh, vh) +bh(vh, vh) +dh(vh, vh),

obje relacije daju tvrdnju teorema. Sljedeci rezultat je standardan u metodi konacnih elemenata i necemo ga

dokazivati (vidi [1]).

Napomena 3.15 Neka je familija triangulacija (Th)h regularna. Tada sunorme 0,h i 0 uniformno ekvivalentne na Vh, tj. postoje konstanteC1, C2> 0, neovisne o h, takve da je

C1v0 v0,hC2v0, vVh.Korolar 3.16 Pod pretpostavkama Teorema3.14i za regularnu familiju tri-angulacija(Th)h postoji konstanta >0 neovisna o h takva da vrijedi

ah(vh, vh)vh21, vhVh.Dokaz: Iz Napomene 3.15 i Teorema 3.14

ah(vh, vh)k|vh|21+r0C21vh20vh21 ,gdje za mozemo uzeti min{k, r0C21}.

S druge strane, ako iskoristimo Poincareovu nejednakost1 i homogeni rub-ni uvjet, onda nam ne treba uvjet na triangulaciju buduci da ne moramo

iskoristiti prethodnu napomenu. Ovdje predstavljen dokaz je primijenjiv ina druge rubne uvjete. Primjenom Lax-Milgramovog teorema dobivamo:

Korolar 3.17 U uvjetima Teorema 3.14 metoda konacnih volumena (3.14)ima jedinstveno rjesenje.

Teorem 3.14 (ili Korolar 3.16) dokazuje stabilnost metode konacnih volu-mena. To je osnovni rezultat za dokaz ocjene greske.

Teorem 3.18 Neka je(Th)h0,h] regularna familija konformnih triangulaci-ja, gdje se u slucaju Voronoijevog dijagrama uz to trazi i da niti jedan trokut

nema tupi kut. Nadalje, pretpostavimo u (3.4)k >0,q1,q2,div q,rC(),r+ 12div q r0 = const 0 na, f C1(), i da su aproksimacijeij,

odnosnori izabrane u skladu s (3.6), odnosno (3.7) respektivno. Neka je tijdefiniran s (3.15), s tim daR zadovoljava(P1)i(P2). Ako egzaktno rjesenjeu od (3.4) pripada prostoru H2() i suh Vh oznacimo rjesenje od (3.14),onda vrijedi

u uh1C h [u2+ |f|1,] , (3.24)gdje je konstantaC >0 neovisna o h.

1Vidi Dodatak


33/38


Dokaz: Oznacimo li s Ih : C()

Vh interpolacijski operator definiran u

(2.14), te stavimo li vh:=uh Ih(u), imamoah(vh, vh) = ah(uh, vh) ah(Ih(u), vh)

=f, vh0,h ah(Ih(u), vh)=f, vh0,h

i

vi

i

f dx+i

vi

i

f dx ah(Ih(u), vh).

Iz definicije diskretne formef, vh0,h te iz diferencijalne jednadzbe (3.4),razmatrajuci kao jednadzbe u L2() dobivamo

ah(vh, vh) = i

vi i

(fi f) dx+i

vi i

Ludx ah(Ih(u), vh),

gdje je Lu= div(ku qu) +ru.Za fC1() i izbor fi := f(ai), lako je vidjeti da je

|fi f(x)| |f|1, maxK: aiK

hkC h|f|1, , xi.

Stoga slijedi

i

vi i

(fi f) dxCh|f|1,i

|vi|mi

Ch|f|1,

i

v2i mi

1/2i

mi

1/2

||

Ch|f|1,vh0,h.Za drugi izbor vrijednostifi(vidi (3.7)) trivijalno je zadovoljena ista ocjena.

Teski dio dokaza je dobiti ocjenu greske konzistencije.i

vi

i

Ludx ah(Ih(u), vh) .

Dokaz je vrlo opsezan pa cemo izostaviti detalje. Kompletan dokaz sljedecegrezultata je dan u [4]:

i

vi

i

Ludx ah(Ih(u), vh)C hu2

|vh|21+ vh20,h1/2


34/38


Uzimajuci u obzir obje dobivene ocjene, te Napomenu 3.15, dolazimo do

ah(vh, vh)Ch [u2+ |f|1,]|vh|21+ vh20,h1/2

Ch [u2+ |f|1,] vh1.

Iz toga i Korolara 3.16 imamo

vh1C h [u2+ |f|1,] .

Jos ostaje primijeniti nejednakost trokuta i standardnu ocjenu greske za in-terpolacijski operator (vidi Teorem 2.5)

u uh1 u Ih(u)1+ vh1C h [u2+ |f|1,] .

Istaknimo da je greska u H1-polunormi istog reda kao kod MKE s linearnimkonacnim elementima.

Napomena 3.19 Moze se pokazati da je ocjena(3.24)optimalna. Za razlikuod metode konacnih elemenata gdje u optimalnu ocjenu ulazi samoL2-normafunkcijef, kod MKV nuzno ulazi norma koja sadrzi prvu derivaciju funkcijef.


35/38

Dodatak A

Dodatak

Neka je R2 ogranicena domena.

A.1 Lp prostori

Prostor

L2() ={u : R :

|u(x)|2 dx 0,|u(x)| C,x}

je Banachov u normi

uL()= inf{C : |u(x)| C svugdje,osim eventualno na skupu mjere nula}

Za uneprekidne funkcije je ta norma

uL()= supx

|u(x)|

35


36/38

DODATAK A. DODATAK 36

A.2 Soboljevi prostori

Prostor

H1() ={uL2() : uxi

L2(), i= 1, 2}je Hilbertov uz skalarni produkt

u, v1=u, vH1()=

u(x)v(x) dx +2

i=1

u

xi(x)

v

xi(x) dx,

a pripadna norma jeu1=uH1()=

u, u1.Polunorma je definirana s

|u|1=|u|H1()=

2i=1

uxi

2L2()1/2

Ako definiramo prostor

H10 () ={uH1() :u(x) = 0, x},onda je H10 () kao potprostor od H

1(), uz naslijedeni skalarni produkttakoder Hilbertov prostor.

Prostor

H2() ={uH1() : 2uxixj

L2(), i , j= 1, 2},

je uz skalarni produkt

u, v2=u, vH2() =

u(x)v(x) dx +2

i=1

u

xi(x)

v

xi(x) dx+

+2

i,j=1

2u

xixj(x)

2v

xixj(x) dx

takoder Hilbertov.

Pripadna norma jeu2=uH2()= u, u2 .Polunorma je definirana s

|u|2=|u|H2()=

2i,j=1

2uxixj (x)2 dx

1/2.

Jos definirajmo za u : R polunormu|u|1,= max

1i2 u

xi


37/38

DODATAK A. DODATAK 37

Teorem A.1 (Poincareova nejednakost) Ako je domena ogranicena,

onda postoji konstantac= c() takva da za svako uH10 () vrijediuL2c|u|H1().

Za dokaz vidi [3].


38/38

Bibliografija

[1] P. Knabner, L. Angermann: Numerical methods for elliptic and parabolicpartial differential equations, Texsts in Applied Mathematics 44, Springer,

2003.

[2] L.Angermann:An introduction to finite volume methods for linear ellipticequations of second order, Universitat Erlangen-Nurnberg.

[3] P.G. Ciarlet: The finite element method for elliptic problems, North-Holland, Amsterdam, 1978.

[4] L. Angermann: Error estimates for the finite-element solution of an el-liptic singularly perturbed problem. IMA J. Numer. Anal. , 15:161196,1995.

[5] S. Fortune: Voronoi diagrams and Delaunay triangulations. In D.-Z. Duand F.K. Hwang, editors, Computing in Euclidean geometry, 193233,World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1992.

[6] C. L. Lawson: Software forC1 surface interpolation. In J. R. Rice, editor,Mathematical Software III, 161194, Academic Press, New York, 1977.

[7] M. Bern and D. Eppstein: Mesh generation and optimal triangulation. InD.-Z. Du and F.K. Hwang, editors, Computing in Euclidean geometry,2390, World Scientific, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 1992.

[8] K,W. Morton: Numerical solution of Convection-Diffusion Problems,Chapman & Hall, London, 1996.

[9] F.P. Preparata ana M.I. Shamos, Computational geometry, Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo, 1985.

[10] Svetozar Kurepa:Funkcionalna analiza,Skolska knjiga, Zagreb, 1981.

38

Documents

AnaKnezevicDipl