ana3-13-tp

ANALISE MATEMATICA III

EXERCICIOS

Capıtulos 0, 1

Produto escalar. Normas. Elementos de topologia em Rn. Limite e continuidade.

1. Considere os pontos de R3, x = (2, 0,−3), y = (−1, 3, 2). Calcule

x + y, x− y, x · y, |x|, |x + y|, |x − y|.

2. Considere o ponto do plano A = (4, 2). Determine analıtica e geometricamenteos pontos P do plano tais que

a) |P | = |P − A|

b) |P | < |P − A|

c) |P | + |P −A| ≤ 2

3. Mostre a desigualdade triangular para um numero finito de pontos de Rn :

|x1 + · · · + xn| ≤ |x1| + · · · + |xn|.

4. Dados x, y ∈ Rn, apresente duas desigualdades que relacionem

|x − y|, |x| e |y|.

5. Represente geometricamente o conjunto dos pontos

λx + (1 − λ)y, λ ∈ R,

sendo x e y pontos de Rn. Justifique.

O que representa o conjunto [x,y] = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1] ?

6. Sejam x e y dois pontos de Rn. Mostre a igualdade do paralelogramo :

|x + y|2 + |x − y|2 = 2|x|2 + 2|y|2.

Traduza geometricamente a igualdade precedente.

1

7. Mostre agora que

|x + y| |x − y| ≤ |x|2 + |y|2

verificando-se a igualdade se e so se x ·y = 0. Qual o significado geometrico desteresultado ?

8. Sejam u e v dois vectores de Rn, nao paralelos, isto e, linearmente independentes.Mostre que o vector

w = u − u · v|v|2 v

e nao nulo e perpendicular a v.

9. Sejam x,y ∈ Rn, x = α e1, y = β e1 + γ e2, com α, β, γ ∈ R, e1 e e2 vectoresperpendiculares e unitarios.

a) Calcule |x|, |y| e x ·y em funcao de α, β e γ. A partir destes calculos mostreque |x · y| ≤ |x| |y| (desigualdade de Cauchy-Schwarz).

b) Sejam u,v ∈ Rn. Mostre que u e v se podem decompor como x e y (eportanto verificam a desigualdade de Cauchy-Schwarz).

Sug. Considere primeiro o caso em que u e v sao linearmente dependentes.Para o caso em que sao linearmente independentes, aplique o exercıcioprecedente fazendo v = x, u = y, e1 = v

|v| , e2 = w

|w| .

10. Determine o angulo entre o plano Ax+By + Cz +D = 0 e a recta

x = x0 + αt, y = y0 + βt, z = z0 + γt.

11. Seja x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ Rn um ponto de Rn. Dado r > 0, a bola aberta de raio

r, resp. o cubo aberto de lado 2r, sao representados por:

Br(x0) = x ∈ Rn : |x − x0| < r

=

x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn :√

(x1 − x01)

2 + · · · + (xn − x0n)2 < r

resp.

Qr(x0) =

x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : max1≤i≤n

|xi − x0i | < r

.

Mostre a dupla inclusao

Qr/√

n(x0) ⊂ Br(x0) ⊂ Qr(x0), ∀r > 0.

Qual o significado geometrico em R2 da relacao precedente?

2

12. Indique quais dos seguintes conjuntos do plano sao abertos, fechados, limitadosou ilimitados. Represente-os geometricamente, sempre que possıvel, e indique asua fronteira :

A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1;

B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1;

C = (x, y) ∈ R2 : x = y ∩ (x, y) ∈ R2 : xy > 0;

D = (x, y) ∈ R2 : x ∈ Q, y ∈ Q;

E = (x, y) ∈ R2 : y = |x− 1| + 2 − x.

13. Prove que o conjunto

A = (x, y) ∈ R2 : xy > 0

e aberto.

14. Mostre que os conjuntos

B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 e C = (x, y, z) ∈ R3 : (x− y)2 = z2

sao fechados. Identifique geometricamente os conjuntos.

15. Considere o conjunto de R2

A =

P =

(

1

n,

1

m

)

: n,m ∈ N

.

Quais sao os pontos aderentes a A ? Qual a fronteira de A ?

16. Determine o maior domınio possıvel das seguintes funcoes e represente-o geome-tricamente:

a) f(x, y) =√

1 − x2 − y2 ; b) f(x, y) =1

x2 − y2

c) f(x, y) = log(x2 + y2) ; d) f(x, y, z) = arcsinx+ arcsin y + arcsin z.

17. Determine a funcao f(x, y) tal que

f(x+ y, x− y) = xy + y2.

18. Considere a funcao de duas variaveis

g(x, y) =√y + f(

√x− 1), x ≥ 0, y ≥ 0,

3

sendo f uma funcao real de variavel real. Determine f e g sabendo que

g(x, 1) =√

1 + x2.

19. Considere as funcoes

g(x, y) = xy, f(x) = x2 + x, h(x) = x+ 1.

Determine

a) g(h(x), f(x))

b) f(g(x, h(y))

c) g(f(x), h(y)).

20. Esboce os conjuntos de nıvel das seguintes funcoes de duas variaveis :

a) f(x, y) = y2 − x

b) f(P ) = |P | − 1

c) f(x, y) = log(x2 + y)

d) f(x, y) = 1 − |x| − |y|

e) f(P ) =

1 se |P | < 1x− y se |P | ≥ 1

21. O que pode dizer do grafico da funcao de duas variaveis f : R2 → R que satisfaza seguinte propriedade :

∀P,Q ∈ R2, ∀α, β ∈ R, f(αP + βQ) = αf(P ) + βf(Q)?

Exemplifique.

22. Considere a funcao vectorial F : R2 → R2, F = (u, v)

u(x, y) = x2 + y2

v(x, y) = x+ y

a) Determine a imagem da curva y = c e represente-a geometricamenteexemplificando com c = 0, c = −1, c = 2.

b) Verifique que a imagem da recta y = x e a parabola v2 = 2u, no plano UV .

c) Mostre que a imagem de qualquer ponto (x, y) cai dentro da regiao limitadapela parabola anterior.

d) Reciprocamente, mostre que todo o ponto (u, v) da regiao delimitada pelaparabola v2 = 2u e imagem de um ponto (x, y) ∈ R2 por F .

Sug: Use a alınea a).

4

23. Considere a funcao vectorial

F (x, y) = (x2 + y2, 2xy)

a) Representando a funcao F pelas suas componentes u = x2 + y2, v = 2xy,mostre que a imagem de R2 por F esta contida no sector determinado pelasbissectrizes do primeiro e quarto quadrantes do plano UV ,

v

u

b) Determine a imagem da circunferencia x2 + y2 = a2, (a > 0). Obtenhafinalmente a imagem F (R2).

24. Considere a funcao vectorial G : R2 → R3 dada por

u = x+ yv = x− yw = x2

Obtenha a imagem da recta y = x e da recta x = 0.

25. Considere as seguintes funcoes definidas em R2

a) f(x, y) =

x2 − y2

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

(xy)2

(xy)2 + (x− y)2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

c) f(x, y) =

sin(xy)

xse x 6= 0

0 se x = 0

Determine, caso existam

limx→0

[ limy→0

f(x, y)]; limy→0

[ limx→0

f(x, y)]; lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

5

26. Discuta a continuidade das seguintes funcoes :

a) f(x, y) =

xy2

x2 + y4se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

x2 − y2

x− yse x 6= y

x− y se x = y

27. Considere a funcao escalar

f : Ω → R, f(x, y) = (x2 + y2) sin1

xy, (x, y) ∈ Ω.

a) Determine Ω como o maior domınio de definicao de f .

b) Calcule, justificando, lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

28. Calcule, e justifique o calculo,

lim(x,y)→(0,2)

sinxy

x, (x 6= 0)

29. Verifique se a funcao

f(x, y) =

√

1 − x2 − y2 se x2 + y2 ≤ 1

0 se x2 + y2 > 1

e contınua. Justifique.

30. Tenha presente os importantes resultados seguintes :

F : Rn → Rm e contınua se e so se a imagem inversa de todo o aberto A ⊂ Rm,F−1(A), e um aberto de Rn

F : Rn → Rm e contınua se e so se a imagem inversa de todo o fechado B ⊂ Rm,F−1(B), e um fechado de Rn

a) Mostre que os conjuntos de R3

A1 = (x, y, z) ∈ R3 : x2 +y2 + z2 > 4, A2 = (x, y, z) ∈ R3 : xy > z

sao abertos.

b) Prove que o conjunto

B = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 4

e fechado em R3.

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31. Considere as aplicacoes, pi : Rn → R, definidas por

pi(X) = xi, X = (x1, . . . , xi, . . . , xn) ∈ Rn.

( as aplicacoes pi designam-se por projeccoes )

a) Mostre que as aplicacoes pi sao lineares e conclua que sao contınuas.

b) Seja [a, b] ⊂ R, a < b, a, b ∈ R ; mostre que os conjuntos

Ai = X ∈ Rn : xi ∈ [a, b]

sao fechados.

32. Sejam A e B dois pontos de Rn e considere a aplicacao f : Rn → R,

f(x) = |x −A| − |x −B|

a) Mostre que f e contınua.

b) Sera f uma funcao limitada ? Justifique. (Sugestao: Use convenientementea desigualdade triangular.)

33. Seja A ⊂ Rn, A 6= ∅, um subconjunto nao vazio de Rn. Para cada x ∈ Rn,defina-se a distancia de x a A como

d(x) = inf |x − y| : y ∈ A .

a) Mostre que d(x) = 0 se e so se x ∈ A.

b) Usando convenientemente a desigualdade triangular, mostre que

|d(x1) − d(x2)| ≤ |x1 − x2|, ∀x1,x2 ∈ Rn.

Conclua que d(x) e funcao contınua.

c) Se A e compacto, mostre que, para cada x ∈ Rn, existe um y0 ∈ A tal qued(x) = |x − y0|.

d) Mostre o resultado da alınea precedente para o caso em que A e apenasfechado.

Sug. Aplique a alınea c) a x e ao conjunto compacto que resulta dainterseccao de A com a bola fechada de centro em x e raio 2d(x).

e) Mostre que se A nao e fechado a propriedade da alınea c) nao e verdadeira.Isto e, existe x ∈ Rn para o qual nao existe y0 ∈ A tal que d(x) = |x− y0|.Sug. Considere x ∈ A− A.

34. Considere a norma em Rn,

‖x‖∞ = max |x1|, · · · , |xn|

7

com x = (x1, . . . , xn). Mostre que esta norma nao deriva de um produto escalar,isto e, nao existe nenhum produto escalar em Rn, x · y, tal que ‖x‖∞ =

√x · x.

Sug. Mostre que ‖ ‖∞ nao satisfaz a regra do paralelogramo (exercicio 7.).

35. Defina em Rn,‖x‖1 = |x1| + · · · + |xn|

para todo x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

a) Mostre que ‖ ‖1 e uma norma em Rn.

b) Represente geometricamente em R2 a bola de raio 1 e centro na origemassociada a norma ‖ ‖1.

36. Seja ‖ ‖ uma norma definida num espaco vectorial real E. Mostre que a funcaoescalar

x ∈ E −→ ‖x‖e contınua.

37. Seja ‖ ‖ uma norma num espaco vectorial real E, verificando a igualdade doparalelogramo

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2, ∀x,y ∈ E.

Sejaf(x,y) = ‖x + y‖2 − ‖x − y‖2.

a) Mostre que f(x,y) = f(y,x), que f(−x,y) = −f(x,y), que f(x,x) ≥ 0,que f(x,x) = 0 se e so se x = 0, e ainda que

f(x,y) = 2(

‖x + y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2)

,

f(x,y) = 2(

−‖x− y‖2 + ‖x‖2 + ‖y‖2)

.

b) Mostre que

‖x + y + z‖2 + ‖x− y − z‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y + z‖2,

‖x + y − z‖2 + ‖x− y − z‖2 = 2‖y‖2 + 2‖x− z‖2.

e conclua que

‖x + y + z‖2 − ‖x + y − z‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y + z‖2 − 2‖y‖2 − 2‖x− z‖2.

c) Usando a igualdade precedente, e a igualdade do paralelogramo, mostre que

f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z).

d) A partir da igualdade precedente, mostre que

f(nx,y) = nf(x,y), ∀x,y ∈ E, n = 0, 1, 2, . . . .

8

Mostre agora que

f

(

1

mx,y

)

=1

mf(x,y), ∀x,y ∈ E, m = 1, 2, . . . ,

e logo

f(qx,y) = qf(x,y), ∀x,y ∈ E, ∀q ∈ Q.

e) Como se sabe, dado λ ∈ R, existe uma sucessao qj ∈ Q tal que qj → λ.Sendo assim, e partindo da igualdade anterior, mostre que

f(λx,y) = λf(x,y), ∀x,y ∈ E, ∀λ ∈ R.

Sug. Utilize a continuidade da norma.

f) De a), c) e e) conclua que f(x,y) e um produto escalar. Mostre que

x · y =1

4f(x,y)

e o produto escalar que gera a norma ‖ ‖.

38. Seja I = [a, b] ⊂ R, a < b, e f : I → I uma funcao derivavel tal que

|f ′(x)| ≤ k < 1, para todox ∈ I.

a) Mostre que f e uma contracao estrita em I e logo admite um unico pontofixo c ∈ I.

b) Seja d um ponto qualquer de I e considere a sucessao xn construıda doseguinte modo: x1 = d, xn+1 = f(xn). Mostre que xn → c, sendo c o pontofixo da alınea precedente.

c) Faca I = [1, 2] e

f(x) =2

3+ x− x2

3.

Mostre que f(I) ⊂ I, |f ′(x)| ≤ k < 1 para todo o x ∈ I e calcule k. Digaqual e o ponto fixo e calcule x2 = f(x1) para x1 = 3/2.

39. Seja (E, ‖ ‖) um espaco normado e X ⊂ E um subconjunto nao vazio. SejaT : X → E uma contraccao estrita. Mostre que T tem, no maximo, um pontofixo.

40. Considere o espaco normado completo E = C([a, b];R), das funcoes contınuasu : [a, b] → R, a < b, a, b ∈ R, com a norma

‖u‖∞ = supx∈[a,b]

|u(x)|.

Defina a aplicacao T : E → E por

(Tu)(x) = k0 +

∫ x

a

u(s) ds, x ∈ [a, b], k0 ∈ R.

Mostre que, se (b − a) < 1, entao T e uma contraccao estrita em E e logoadmite um unico ponto fixo f ∈ E; verifique que f e derivavel e satisfazf ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

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Capıtulo 2

Funcoes escalares. Diferenciabilidade.

1. Calcular as derivadas parciais das funcoes f : Ω → R nos domınios Ω considera-dos:

a) f(x, y) = x3 + y3 − 3axy, a ∈ R, Ω = R2

b) f(x, y) =√

x2 − y2, Ω = (x, y) : |x| > |y|

c) f(x, y) = log(xy), Ω = (x, y) : xy > 0.

2. Calcule as derivadas parciais das seguintes funcoes indicando o seu domınio dediferenciabilidade :

a) f(x, y) = esinx

y

b) f(x, y) = log(

x+√

x2 + y2)

c) f(x, y) =

√

xy +x

y

d) f(x, y, z) = (xy)z

e) f(x) = x · x. x ∈ Rn.

3. Mostre que a funcao u(x, y) = xy + xey/x satisfaz a equacao

x∂u

∂x+ y

∂u

∂y= xy + u

no domınio Ω = (x, y) : x 6= 0.

4. Mostre que a funcao u(x, y, z) = x+x− y

y − zsatisfaz a equacao

∂u

∂x+∂u

∂y+∂u

∂z= 1

no domınio Ω = (x, y, z) : y 6= z.

5. Determine a funcao z(x, y) tal que

∂z

∂x=x2 + y2

xe z(1, y) = sin y.

10

6. Determine a derivada da funcao f(x, y, z) = xy2 + yz segundo o vector v =(2,−1, 2) no ponto P = (1, 1, 2).

7. Determine a derivada direcional da funcao f(x, y) = 2x2 − 3y2 no pontoP = (1, 0), segundo a direcao que faz com o eixo das coordenadas OX um angulode 120o.

8. Determine a derivada da funcao

f(x, y, z) = xy + yz + zx

no ponto P = (1, 2, 3), segundo a direcao que vai deste ao ponto Q = (5, 5, 15).

9. Calcule o vector gradiente ∇f(x, y) em todos os pontos (x, y) ∈ R2 nos quaisexiste :

a) f(x, y) =

x2y2 log(x2 + y2) se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

b) f(x, y) =

xy sin1

(x2 + y2)se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

10. Seja

f(x, y) = (x− 1)2 − y2.

Determine a derivada de f em P = (0, 1) segundo qualquer direcao v, usando adefinicao de derivada direcional.

11. Considere a funcao f : R2 → R,

f(x, y) = (xy)1/3.

a) Use a definicao para mostrar que

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0.

b) Mostre que ±e1 e ±e2 sao as unicas direcoes segundo as quais existe derivadade f em (0, 0).

12. Seja f(x, y, z) = |x+ y + z|. Determine as direcoes segundo as quais a derivadade f em P = (1,−1, 0) existe.

11

13. Determine o gradf(x), x ∈ Rn, para as seguintes funcoes :

a) f(x) = |x|, x 6= 0, b) f(x) = |x0 − x|2 .

14. Sejam dadas n funcoes reais, f1, . . . , fn, definidas e com derivadas finitas nointervalo (a, b) ⊂ R. Seja

Q = x = (x1, . . . , xn) : a < xk < b, k = 1, . . . , n

o cubo n-dimensional, Q = (a, b) × · · · × (a, b), e defina-se a funcao

f : Q→ R, f(x) = f1(x1) + · · · + fn(xn).

Mostre que f e diferenciavel em cada ponto de Q.


f(x, y) =

2xy2

x2 + y4se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

a) Mostre que f admite derivada direcional na origem O = (0, 0), em qualquerdirecao.

b) Sera f diferenciavel na origem ? Justifique.

16. Retomemos a funcao do exercıcio precedente.

a) Mostre que −1 ≤ f(x, y) ≤ 1, ∀(x, y) ∈ R2

b) Determine os conjuntos de nıvel

C1 = (x, y) : f(x, y) = 1, C−1 = (x, y) : f(x, y) = −1

c) Determine o conjunto K = (x, y) : gradf(x, y) = (0, 0)

d) Determine os conjuntos de nıvel

Ck = (x, y) : f(x, y) = k, ∀k ∈ R

e ilustre geometricamente o resultado.

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17. Considere a funcao

f(x, y) = log(x2 + 2y + 1) + 100

∫ x

0

cos(t2)dt, y > −1/2

a) Determine (df)(x,y).

b) Calcule o valor aproximado de f(0.03, 0.03).


f(x, y) =

x5

(x2 − y)2 + x8se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

a) Mostre que f e derivavel na origem O = (0, 0) segundo qualquer vector.

b) Sera f contınua na origem? Justifique.

c) Sera f diferenciavel na origem? Justifique.

19. Seja f uma funcao diferenciavel em x ∈ Rn e admita-se que |gradf(x)| 6= 0.

a) Mostre que

|(df)x · v| = |f ′v(x)| ≤ |gradf(x)|, ∀v ∈ Rn, |v| = 1.

b) Mostre que existe uma unica direcao v ∈ Rn, |v| = 1, tal que

|f ′v(x)| = |gradf(x)|

e que e nessa direcao que |f ′v(x)| toma o seu valor maximo.

20. Sejam f, g : Ω → R, funcoes diferenciaveis em x0 ∈ Ω ⊂ Rn.

a) Prove que f + g e diferenciavel em x0 e

d(f + g)x0= d(f)x0

+ d(g)x0

b) Mostre que fg e diferenciavel em x0 e

d(fg)x0= f(x0) d(g)x0

+ g(x0) d(f)x0.

21. Dada a funcao f(x, y) = 3x2y + 2xy2, determine a equacao do plano tangente eda normal a superfıcie, grafico de f , no ponto P = (1,−2, 2).

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22. Considere a funcao f : D → R tal que

f(x, y) =x4 + 2x2y2 + y4

1 − x2 − y2,

sendo D o maior domınio de R2 em que a expressao faz sentido.

a) Calcule D e mostre, justificando, que e um aberto.

b) Seja g(t) = f(at, bt), com a e b constantes, a2 + b2 = 1, e t ∈ R tal que(at, bt) ∈ D.

Esboce o grafico de g e diga qual e a sua relacao com o grafico de f .

c) Calcule o plano tangente ao grafico de f no ponto (1,−1,−4).

23. Seja f : Ω → R uma funcao definida num aberto Ω ⊂ R2 e admita-se que asderivadas parciais, f ′

x e f ′y, estao definidas e sao limitadas em Ω. Mostre que f

e contınua em Ω.

24. Seja f uma funcao escalar contınua num aberto Ω ⊂ Rn e de classe C(1) emΩ − x0, x0 ∈ Ω. Admita-se ainda que existem os limites:

li = limx→x0

∂f

∂xi(x), i = 1, . . . , n.

Mostre que li =∂f

∂xi(x0), e logo f ∈ C(1)(Ω).

Sug. Tenha presente o teorema do valor medio.


u = arctanx

y

definida emD = (x, y) : y 6= 0.Determine as derivadas parciais de u de segundaordem.


u(x, y, z) = xαyβzγ , α, β, γ ∈ R.

a) Determine o domınio de existencia de u.

b) Calcule∂3u

∂x∂y ∂z, nos pontos em que existe.


u(x, y) = log1

r, r =

√

(x− a)2 + (y − b)2, a, b ∈ R.

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a) Determine o domınio de existencia de u.

b) Mostre que u satisfaz a equacao de Laplace :

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0.

28. Mostre que a funcao

u(x, t) = A sin(aλt+ θ) sinλx, a, λ, θ ∈ R

satisfaz a equacao da corda vibrante :

∂2u

∂t2= a2 ∂

2u

∂x2.


u(x, y, t) =1

2πte− (x− x0)

2 + (y − y0)2

4t , x0, y0 ∈ R.

a) Determine o domınio de u.

b) Mostre que u satisfaz, no seu domınio, a equacao do calor :

∂u

∂t=∂2u

∂x2+∂2u

∂y2.


f(x, y) =

xy (x2 − y2)

x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

a) Se (x, y) 6= (0, 0) calcule∂2f

∂x ∂ye

∂2f

∂y ∂xe verifique que sao iguais.

b) Use o problema 24. para mostrar que

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0

e f e de classe C(1).

c) Usando a definicao de derivada parcial, mostre que f ′′yx(0, 0) e f ′′

xy(0, 0)existem mas nao sao iguais. Porque razao este resultado nao contradiz oTeorema de Schwarz ?

15


f(x, y) = ax2 + 2b x y + c y2, a, b, c ∈ R.

Desenvolva f(x+ h, y + k) em potencias de h e k.

32. Utilize a formula de Taylor para desenvolver as seguintes funcoes em potenciasde (x− 1) e (y − 2) :

a) f(x, y) = x3 + y3 + xy2

b) f(x, y) = x2 + xy + y2

33. Estude os pontos crıticos, extremos locais e pontos sela e esboce as curvas denıvel na vizinhanca dos pontos crıticos das seguintes funcoes :

a) f(x, y) = x− x2 − y2

b) f(x, y) = x2 − y2

c) f(x, y) = xy (x− 1)

d) f(x, y) = 2y2 − x(x− 1)2

e) f(x, y) = 4x2 − 12xy + 9y2

f) f(x, y) = (x− y)2 − x4 − y4

16

Capıtulo 3

Funcoes vectoriais. Derivacao da funcao composta.

Os teoremas da funcao implıcita e da funcao inversa.

1. Considere o caminho em R2,

G(t) = (cos t, 2 sin t), t ∈ [0, 2π].

a) O que representa geometricamente G(t), t ∈ [0, 2π] ?

b) Determine a recta tangente ao caminho G(t) no ponto P =

(√2

2,−

√2

)

.

Ilustre geometricamente com um desenho.

2. Determine a recta tangente ao caminho

G(t) =(

t,√t,

3√t)

, 1/2 ≤ t ≤ 2

no ponto P = (1, 1, 1).

3. Uma partıcula move-se ao longo da parabola y2 = 4x com velocidade escalarconstante igual a 2 (designa-se por velocidade escalar o valor |G′(t)|, sendoG(t) = (g1(t), g2(t)) a funcao vectorial que determina o movimento). Admitindoque

dy

dt= g′2(t) > 0,

determine o vector velocidade G′(t) em (1,−2).

4. Sejam F,G : [a, b] → Rm dois caminhos diferenciaveis.

a) Mostre que F ·G e diferenciavel e

(F ·G)′(t) = F (t) ·G′(t) + F ′(t) ·G(t)

b) Seja F (t) 6= 0. Prove que |F | e diferenciavel em t e

|F |′(t) =F (t) · F ′(t)

|F (t)| .

17

5. Seja f : Ω → R, f ∈ C(1)(Ω), Ω ⊂ Rn e seja x0 ∈ Ω tal que (∇f)(x0) 6= 0. SejaS o conjunto de nıvel de f que contem x0 :

S = x ∈ Ω : f(x) = f(x0).

Mostre que o vector (∇f)(x0) e ortogonal aos vectores tangentes em x0 a todosos caminhos em S, t ∈ I → G(t) ∈ S, que passam por x0, isto e, G(t0) = x0 paraalgum t0 ∈ I.

6. Considere as funcoes dadas pelas expressoes seguintes e admita a sua diferencia-bilidade.

a) w = f(x, y, z), x = φ(t), y = ψ(t), z = θ(t).

Determinedw

dt.

b) w = g(x, u, t), u = f(x, t), x = φ(t).

Determinedw

dt.

c) w = g(x, u, v), u = f(x, y), v = h(x, z).

Determine∂w

∂x,∂w

∂y,∂w

∂z.

7. Seja z = f(xy), f : R → R, f ∈ C(1)(R). Mostre que se tem a seguinte relacaodiferencial :

x∂z

∂x− y

∂z

∂y= 0.

8. Seja w = f(xz, yz), f : R2 → R, f ∈ C(1)(R2). Mostre que

x∂w

∂x+ y

∂w

∂y= z

∂w

∂z.

9. Sejam f, g : R → R, f, g ∈ C(2)(R). Defina-se

h(x, y) = f(x+ g(y)), ∀(x, y) ∈ R2.

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de h em funcao dasderivadas de f e g. Verifique que

∂h

∂x

∂2h

∂x∂y=∂h

∂y

∂2h

∂x2.

10. Considere as funcoes vectoriais

F : R2 → R2, F (x, y) = (xy, x2y)

G : R2 → R2, G(s, t) = (s+ t, s2 − t2)

18

a) Explicite a funcao composta R = F Gb) Usando o teorema da derivacao da funcao composta, determine

∂(R1, R2)

∂(s, t)no ponto (s0, t0) = (2, 1).

11. Considere as funcoes vectoriais

F (x, y) = (φ(x+ y), φ(x− y)), G(s, t) = (et, e−s)

sendo φ : R → R uma funcao diferenciavel. Calcule

∂(R1, R2)

∂(s, t)no ponto (s0, t0) = (log 2, 0)

em que R = (R1, R2) = F G.

12. Seja f ∈ C(1)(R2) tal que f(1, 1) = 1,∂f

∂x(1, 1) = a,

∂f

∂y(1, 1) = b, a, b ∈ R, e

sejaφ(x) = f(x, f(x, f(x, x))).

Determine φ(1) e φ′(1).

13. Seja f ∈ C(2)(R2) e defina-se

g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ).

a) Mostre que

∂g

∂r(r, θ) = cos θ

∂f

∂x(x, y) + sin θ

∂f

∂y(x, y)

∂2g

∂r2(r, θ) = cos2 θ

∂2f

∂x2(x, y) + 2 sin θ cos θ

∂2f

∂x∂y(x, y) + sin2 θ

∂2f

∂y2(x, y)

em que x = r cos θ, y = r sin θ.

b) Obtenha uma formula semelhante para∂g

∂θ.

c) Mostre que

|∇f(r cos θ, r sin θ)|2 =

[

∂g

∂r(r, θ)

]2

+1

r2

[

∂g

∂θ(r, θ)

]2

.

14. Seja f : R → R uma funcao diferenciavel e g : R3 → R, g(x, y, z) = x2 +y2 +z2.Se h = f g, mostre que

|∇h(x, y, z)|2 = 4 g(x, y, z) [f ′(g(x, y, z))]2.

19

15. Seja f = f(u, v) : R2 → R diferenciavel e sejam g1 e g2 as funcoes dadas por

g1(x, y, z) = x2 + y2 + z2, g2(x, y, z) = x+ y + z.

Consideremos a funcao vectorial G : R3 → R2, definida por G(x, y, z) =(g1(x, y, z), g2(x, y, z)). Sendo h = f G, mostre que

|∇h|2 = 4

(

∂f

∂u

)2

g1 + 4

(

∂f

∂u

) (

∂f

∂v

)

g2 + 3

(

∂f

∂v

)2

.

16. Mostre que a substituicao u = x2 − y2, v = 2xy converte a equacao

∂2w

∂x2+∂2w

∂y2= 0 na equacao

∂2w

∂u2+∂2w

∂v2= 0.

17. Seja r =√

x2 + y2 + z2, (x, y, z) ∈ R3 e consideremos a funcao f(x, y, z, t)definida nos pontos (x, y, z, t) ∈ R4 tais que r > 0 e dada por

f(x, y, z, t) =[φ(r − ct) + ψ(r + ct)]

r, c ∈ R,

em que φ,ψ ∈ C(2)(R) . Mostre que f e solucao da equacao das ondastridimensional :

∂2f

∂t2= c2

(

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

)

.

18. Uma funcao f : Ω → R definida num aberto Ω diz-se homogenea de grau p se

f(λx) = λpf(x)

para todo x ∈ Ω e para todo o real λ ∈ V (1). Mostre que se f e diferenciavelentao

x · ∇f(x) = pf(x).

Sug. Para cada x fixo defina g(λ) = f(λx) .

19. Considere a equacao

x2 ∂z

∂x+ y2 ∂z

∂y= z2.

Tomando como novas variaveis independentes, u = x, v =1

y− 1

xe como nova

funcao w = w(u, v) =1

z− 1

x, obtenha a correspondente equacao diferencial para

w.

20. Transforme a equacao

x2 ∂2z

∂x2− y2 ∂

2z

∂y2= 0

fazendo u = xy e v = x/y.

20


x cos(xy) = 0

a) Mostre que a equacao precedente define implicitamente um funcao y(x) declasse C(∞) nalguma vizinhanca de (1, π/2).

b) Determine as duas primeiras derivadas de y(x) em x = 1.


f(x, y) = 0 (1)

com f ∈ C(2). Seja (x0, y0) ∈ R2 tal que f(x0, y0) = 0 e f ′y(x0, y0) 6= 0. Mostre

que a equacao (1) define y como funcao de x nalguma vizinhanca de (x0, y0) comderivada

d2y

dx2= −

[

∂2f

∂x2

(

∂f

∂y

)2

− 2∂2f

∂x∂y

∂f

∂x

∂f

∂y+∂2f

∂y2

(

∂f

∂x

)2]

/ (

∂f

∂y

)3

.

23. A equacao

x2 + y + sin(xy) = 0

descreve implicitamente uma curva em R2. Pode a curva ser determinada poruma funcao contınua y = φ(x) nalguma vizinhanca de (0, 0)? E pode serdeterminada por uma funcao contınua x = ψ(y) em V (0, 0)?

24. O ponto (1,−1, 2) pertence a ambas as superfıcies dadas pelas equacoes

x2(y2 + z2) = 5

(x− z)2 + y2 = 2

Mostre que numa vizinhanca deste ponto, a curva interseccao das superfıcies podeser descrita por funcoes z = f(x), y = g(x).

25. Estude a correspondente questao (do exercıcio precedente) agora referente assuperfıcies

x2 + y2 = 4

2x2 + y2 − 8z2 = 8

e ao ponto (2, 0, 0) pertencente a ambas.

26. Seja f = f(u, v) : Ω → R uma funcao de classe C(1)(Ω), Ω ⊂ R2 um abertocontendo a origem (0, 0), e tal que f(0, 0) = 0 e f ′

u(0, 0) = f ′v(0, 0) = 1.

a) Mostre que a equacao

f(x− az, y − bz) = 0, a, b ∈ R, a+ b 6= 0

define z como funcao de x e y numa vizinhanca de (0, 0, 0).

21

b) Mostre que

a∂z

∂x+ b

∂z

∂y= 1.

27. Mostre que o sistema de equacoes

ex sinu− ey cos v + w = 0

x coshw − u sinh y − v2 = cosh 1

define x e y como funcoes de u, v e w numa vizinhanca do ponto (x0, y0, u0, v0, w0)= (1, 0, 0, 0, 1).

Calcule∂x

∂ue∂y

∂wno ponto (u0, v0, w0) = (0, 0, 1).

28. Mostre que o sistema de equacoes

xyz = a

x+ y + z = a+ 2a 6= 1

determina y e z como funcoes de x numa vizinhanca do ponto (x0, y0, z0) =(1, a, 1).

Calculedy

dxed2z

dx2no ponto x = 1.

29.

a) Estabeleca as condicoes precisas a que devem satisfazer f e g para que asequacoes x = f(u, v) e y = g(u, v) determinem u e v como funcoes de x e ynuma vizinhanca de (x0, y0).

Se as solucoes sao u = F (x, y), v = G(x, y) e se J =∂(f, g)

∂(u, v), mostre que

∂F

∂x=

1

J

∂g

∂v,

∂F

∂y= − 1

J

∂f

∂v,

∂G

∂x= − 1

J

∂g

∂u,

∂G

∂y=

1

J

∂f

∂u

b) Calcule J e as derivadas parciais de F e G em (x0, y0) = (1, 1) quandof(u, v) = u2 − v2, g(u, v) = 2uv.

c) Aplique o resultado as coordenadas polares

x = r cos θ, y = r sin θ

e calcule as derivadas parciais de r e θ em ordem a x e y.

30. Seja f : Ω → R uma funcao de classe C(1)(Ω), Ω ⊂ R2 aberto. Tomando ascoordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ, r > 0, −π < θ < π, considere afuncao

f(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ) = f(x, y)

(isto e, a funcao f em coordenadas polares).

22

a) Escreva as derivadas parciais,∂f

∂r,∂f

∂θem funcao das derivadas parciais

∂f

∂x,∂f

∂y, em cada ponto (r, θ) .

b) Inversamente, mostre que as derivadas parciais∂f

∂x,∂f

∂yem funcao de

∂f

∂r,∂f

∂θtem a forma

∂f

∂x= cos θ

∂f

∂r− sin θ

r

∂f

∂θ

∂f

∂y= sin θ

∂f

∂r+

cos θ

r

∂f

∂θ

Sug. Observe que f(x, y) = f(r, θ) = f(r(x, y), θ(x, y)).

c) Admita-se agora que f e uma funcao de classe C(2). O operador

∆f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2

designa-se por laplaciano de f . Obtenha a expressao do laplaciano de fem coordenadas polares.

Sug. Note que

∂2f

∂x2=

∂

∂x

(

∂f

∂x

)

=

(

cos θ∂

∂r− sin θ

r

∂

∂θ

)

(

cos θ∂f

∂r− sin θ

r

∂f

∂θ

)

e analogamente para∂2f

∂y2

31.

a) Determine o maximo valor de x − 2y + 2z por entre os pontos (x, y, z) quesatisfazem x2 + y2 + z2 = 9.

b) Determine o mınimo de xy + yz para os pontos (x, y, z) que satisfazem asrelacoes x2 + y2 = 2, yz = 2.

32. Quais as dimensoes de um paralelipıpedo de volume V dado, de modo a que asua superfıcie total tenha area mınima ?

33. Determine a distancia mınima entre a origem (0, 0, 0) de R3 e o plano

ax+ by + cz + d = 0.

23

34. Determine o maximo valor de

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

k=1

akxk

∣

∣

∣

∣

∣

, sen∑

k=1

x2k = 1,

utilizando,

a) A desigualdade de Cauchy-Schwarz.

b) O metodo dos multiplicadores de Lagrange.

35. Determine o maximo valor de (x1x2 · · · xn)2 sob a condicao

x21 + · · · + x2

n = 1.

Utilize o resultado para deduzir a seguinte desigualdade:

(a1 · · · an)1/n ≤ a1 + · · · + an

n, a1, · · · , an ≥ 0.

24

Capıtulo 4

Calculo Integral em Rn

1. Seja I um intervalo de Rn. Se f, g : I → R sao funcoes limitadas tais que f ≤ gem I, mostre que

∫

I−f ≤

∫

I−g ,

∫

I

−f ≤

∫

I

−g

e portanto∫

I

f ≤∫

I

g (se f e g sao integraveis).

2. Considere o conjunto M ⊂ Int I ⊂ R2, I um intervalo de R2, definido por

M = (x1, x2) ∈ IntI : x1, x2 ∈ Q = IntI ∩ Q2.

Representando por χM a funcao caracterıstica de M em relacao a I,

a) Calcule∫

I−χM e

∫

I

−χM

e conclua que M nao e J - mensuravel.

b) Qual e a J -medida (neste caso a area) da fronteira de M ?

3. Sejam M1 e M2 subconjuntos de um dado intervalo I ⊂ Rn definidos por

M1 = X = (x1, . . . , xn) ∈ I : xi ∈ Q = I ∩Qn

M2 = X = (x1, . . . , xn) ∈ I : algum xi e irracional = I −M1

a) Verifique que χM1∪M2= χM1

+ χM2.

b) Calcule os integrais de Darboux de χM1, χM2

e χM1∪M2e verifique que

∫

I−χM1

+

∫

I−χM2

<

∫

I−χM1

+ χM2=

∫

I

−χM1

+ χM2<

∫

I

−χM1

+

∫

I

−χM2

.

4. Tenha presente o seguinte resultado teorico ja demonstrado :

Uma funcao f : I → R e integravel a Riemann no intervalo I ⊂ Rn sse, ∀δ > 0,existe uma particao P0 = I1, . . . , Ik tal que

∑

i

|f(ξi) − f(ηi)|V (Ii) < δ, ∀ξi, ηi ∈ Ii.

25

Mostre agora os seguintes resultados :

a) Se f e integravel em I entao λf (λ ∈ R) e integravel em I e tem-se

∫

I

λf = λ

∫

I

f.

b) Se f e integravel em I entao |f | e integravel em I. Dado que −|f | ≤ f ≤ |f |conclua que

∣

∣

∣

∣

∫

I

f

∣

∣

∣

∣

≤∫

I

|f |.

c) Se f e g sao integraveis em I, entao fg e integravel em I.

5. Inverta a ordem de integracao dos seguintes integrais iterados :

a)

∫ 1

0

dx

∫ 3x

2x

f(x, y) dy b)

∫ a

0

dx

∫

√a2−x2

a2−x2

2a

f(x, y) dy

c)

∫ 1

0

dy

∫ 1−y

−√

1−y2

f(x, y) dx d)

∫ π

0

dx

∫ sin x

0

f(x, y) dy

6. Calcule o integral duplo∫∫

D

√

x2 − y2 dxdy

sendo D o triangulo de vertices nos pontos O = (0, 0), A = (1,−1) e B = (1, 1).


D

xy dxdy

sendo D a regiao do plano limitada pelo eixo OX e pela semi-circunferenciasuperior (x− 2)2 + y2 = 1.

8. Determine a area da regiao D limitada pelo eixo das abcissas e pelo arco decicloide

x = R(t− sin t)

y = R(1 − cos t)0 ≤ t ≤ 2π.

9. Exprima por um integral duplo o volume de uma piramide cujos vertices saoO = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (1, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Calcule o volume emquestao.

10. Determine a area da regiao do plano definida por

D = (x, y) : |y| − 1 ≤ x ≤√

1 − y2

26

11. Exprima o integral iterado

∫ 1

0

dy

∫ f(y)

0

xy dx com f(y) = min 1, log(1/y)

como um integral duplo sobre um conjunto D ⊂ R2, designando o domınio deintegracao D.Inverta entao a ordem de integracao no integral iterado e calcule-o.

12. Calcule o integral triplo

∫∫∫

M

dxdydz

(x+ y + z + 1)3

sendo M a regiao de R3 limitada pelos planos coordenados e pelo plano deter-minado pela equacao x+ y + z = 1.

13. Calcule o volume do conjunto de R3 :

M = (x, y, z) : |x| + |y| + |z| ≤ 2, |x| ≤ 1, |y| ≤ 1

14. Determine o volume do solido limitado pelas superfıcies :

z = x+ y, xy = 1, xy = 2, y = x, y = 2x, z = 0 (x > 0, y > 0).

Nos exercıcios seguintes podera usar, se assim o entender, convenientes mudancasde variaveis.


D

x2 + y2 dxdy

sendo D o domınio de integracao, x2 + y2 = 2ax (a > 0).

16. Calcule o integral∫∫

D

√

a2 − x2 − y2 dxdy

sendo D a regiao do plano limitada pela folha de lemniscata

D = (x, y) : (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2), x ≥ 0.

17. Determine o volume do domınio D definido por

0 ≤ z ≤ 1

2

(

x2

a+y2

b

)

x2

a2+y2

b2− 1 ≤ 0

sendo a e b numeros reais estritamente positivos.

27

18. Transforme o integral∫ c

0

dx

∫ βx

αx

f(x, y) dy

com 0 < α < β e c > 0, introduzindo as novas variaveis

u = x+ y, u v = y.

19. Calcule o integral triplo∫∫∫

D

z dxdydz

em que D e a regiao limitada pelo cone z2 =h2

R2(x2 + y2) e pelo plano

z = h (h > 0, R > 0).

20. Recorrendo as coordenadas cilındricas, calcule o integral∫∫∫

D

dxdydz

em que D e a regiao limitada pelas superfıcies x2 + y2 + z2 = 2Rz, x2 + y2 = z2

e que contem o ponto (0, 0, R), R > 0.

21. Calcule o volume da regiao de R3 dada por

x2 + y2 ≤ a2, z2 ≤ x2 + y2 + a2, a > 0.

22. Calcule o integral iterado

∫ 2R

0

dx

∫

√2Rx−x2

−√

2Rx−x2

dy

∫

√4R2−x2−y2

0

dz,

usando coordenadas cilındricas no integral triplo correspondente, indicando quala funcao integranda e o domınio de integracao envolvidos.

23. Use as coordenadas esfericas para calcular o integral∫∫∫

D

√

x2 + y2 + z2 dxdydz

sendo D = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ x.

24. Calcule o volume da regiao limitada pelas superfıcies

x2 + y2 = 2ax, x2 + y2 = 2az (a > 0)

e pelo plano OXY .

25. Calcule o volume do elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1, a, b, c > 0.

28

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