An Introduction to Option Pricing and Mathematical Theory of Risk.ps

7/29/2019 An Introduction to Option Pricing and Mathematical Theory of Risk.ps

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A N I N T R O D U C T I O N T O O P T I O N P R I C I N G

A N D T H E M A T H E M A T I C A L T H E O R Y O F R I S K

M a r c o A v e l l a n e d a

C o u r a n t I n s t i t u t e - N Y U M o r g a n S t a n l e y & C o .

2 5 1 M e r c e r S t . 1 5 8 5 B r o a d w a y

N e w Y o r k , N Y 1 0 0 1 2 N e w Y o r k , N Y 1 0 0 3 6

T h i s r e v i e w p a p e r d i s c u s s e s t h e t o p i c o f o p t i o n p r i c i n g w i t h e m p h a s i s o n m o d e l i n g n a n c i a l r i s k .

T h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a i s d e r i v e d u s i n g t h e c l a s s i c a l d y n a m i c h e d g i n g a r g u m e n t . D y n a m i c h e d g i n g

j u s t i e s t h e v a l u a t i o n o f c o n t i n g e n t c l a i m s b a s e d o n t h e u s e o f r i s k - n e u t r a l , a s o p p o s e d t o \ f r e q u e n t i a l " ,

p r o b a b i l i t i e s . T h i s s t i l l l e a v e s o p e n { e v e n i n t h e s i m p l e s t c a s e o f s t o c k o p t i o n c o n t r a c t s { t h e i s s u e o f

s p e c i f y i n g t h e v o l a t i l i t y p a r a m e t e r o r o t h e r c h a r a t e r i s t i c s o f t h e m o d e l d e s c r i b i n g t h e e v o l u t i o n o f m a r k e t

p r i c e s . T h i s \ s p e c i c a t i o n p r o b l e m " l e a d s u s t o t h e i s s u e o f e c o n o m i c u n c e r t a i n t y , o r r i s k , t h e r a i s o n

d ' e t r e o f d e r i v a t i e s m a r k e t s a n d n a n c i a l i n t e r m e d i a t i o n . T h u s , t h e v a l u a t i o n o f c o n t i n g e n t c l a i m s u n d e r

u n c e r t a i n t y g o e s f a r b e y o n d t h e e x e r c i s e o f c o m p u t i n g e x p e c t e d v a l u e s o f c a s h - o w s . A f t e r a d i s c u s s i o n o f

t h e c l a s s i c a l p r i n c i p l e s o f o p t i o n r i s k - m a n a g e m e n t u s i n g d i e r e n t i a l s e n s i t i v i t i e s ( \ G r e e k s " ) , I r e v i e w s o m e

m o r e r e c e n t p r o p o s a l s f o r m o d e l i n g u n c e r t a i n t y . T h e i d e a i s t o c o n s i d e r , a s a s t a r t i n g p o i n t , a s p e c t r u m

o f r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e s s p a n n i n g a s e t o f b e l i e f s a n d t o c o n s t r u c t o p t i o n s p r e a d s t o r e d u c e

u n c e r t a i n t y . T h i s l a s t p a r t o f t h e p a p e r d r a w s o n w o r k w i t h m y c o l l a b o r a t o r s ( A v e l l a n e d a , L e v y a n d P a r a s

( 1 9 9 5 ) , A v e l l a n e d a a n d P a r a s ( 1 9 9 6 ) a n d A v e l l a n e d a , F r i e d m a n , H o l m e s a n d S a m p e r i ( 1 9 9 7 ) ) .

1


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M a t h e m a t i c a l F i n a n c e h a s p r o d u c e d a t r u e c o n v e r g e n c e o f i d e a s b e t w e e n d i e r e n t i n -

t e l l e c t u a l a n d a p p l i e d e l d s . P r e s e n t l y , w e s e e a s t r o n g c o l l a b o r a t i o n b e t w e e n m a t h e -

m a t i c i a n s , e c o n o m i s t s a n d n a n c i a l p r o f e s s i o n a l s i n a c a d e m i a a n d t h e n a n c i a l i n d u s t r y .

U n i v e r s i t y m a t h e m a t i c i a n s c o n t r i b u t e a s W a l l S t r e e t c o n s u l t a n t s a n d p u b l i s h i n n a n c e

j o u r n a l s . F i n a n c e a c a d e m i c s u s e h i g h l y q u a n t i t a t i v e t o o l s a n d s o p h i s t i c a t e d e c o n o m e t r i c

a n a l y s i s . I t i s h a s b e c o m e a l m o s t c o m m o n p l a c e t o n d t r a d e r s w i t h a d v a n c e d d e g r e e s i n

M a t h e m a t i c s o r P h y s i c s . A s n a n c i a l m a r k e t s b e c o m e i n c r e a s i n g l y c o m p e t i t i v e , t h e d e -

m a n d f o r s o p h i s t i c a t e d i d e a s a n d c r e a t i v e s o l u t i o n s i n c r e a s e s . M a r k e t s h a v e t h u s b e n e t e d

f r o m t h e i n p u t o f m a t h e m a t i c s a n d t h i s t r e n d s h o w s n o s i g n s o f a b a t i n g .

I n t h i s p a p e r , I p r e s e n t a s c i e n t i c p e r s p e c t i v e o f o n e o f t h e c o r n e r s t o n e s o f M a t h e m a t i c a l

F i n a n c e , t h e t h e o r y o f o p t i o n s p r i c i n g . T h i s t h e o r y w a s i n i t i a t e d b y F i s h e r B l a c k a n d

M y r o n S c h o l e s i n t h e i r s e m i n a l 1 9 7 3 p a p e r ( B l a c k a n d S c h o l e s , 1 9 7 3 ) a n d h a s g r o w n

t r e m e n d o u s l y s i n c e . I t w o u l d b e i m p o s s i b l e f o r m e t o d o j u s t i c e t o t h i s s u b j e c t i n o n l y

o n e l e c t u r e . A f t e r g i v i n g a a g e n e r a l i n t r o d u c t i o n , I w i l l d i s c u s s s o m e a s p e c t s t h a t h a v e

i n t e r e s t e d m e t h e m o s t . T h e r e f o r e , p a p e r c o v e r s a l o t o f s t a n d a r d m a t e r i a l a s w e l l a s m o r e

a d v a n c e d r e s e a r c h i d e a s w h i c h u s e n o n - l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l a n d i d e a s f r o m o p t i m a l

c o n t r o l t h e o r y t o m o d e l r i s k . F o r a g e n e r a l i n t r o d u c t i o n t o n a n c i a l m a r k e t s a n d n a n c i a l

m a t h e m a t i c s , I r e c o m m e n d H u l l ( 1 9 9 4 ) .

1 . I n v e s t m e n t s a n d p r o b a b i l i t y . P e r h a p s a g o o d s t a r t i n g p o i n t w o u l d b e t o a n a l y z e

t h e s i t u a t i o n o f a n i n d i v i d u a l w h i c h f a c e s t h e d e c i s i o n o f i n v e s t i n g m o n e y . T h e m o s t

c o m m o n i n v e s t m e n t s a r e i n s t o c k s , b o n d s a n d c a s h , o r s h o r t - t e r m d e p o s i t s , o f t e n t h r o u g h

m u t u a l f u n d s a n d p e n s i o n f u n d s . E v e n a \ n o - i n v e s t m e n t " d e c i s i o n , s u c h a s k e e p i n g t h e

m o n e y i n t h e b a n k o r s p e n d i n g i t , i s a f o r m o f a s s e t a l l o c a t i o n . T h e t y p i c a l p a r a m e t e r s

u s e d t o e v a l u a t e i n v e s t m e n t d e c i s i o n s a r e y i e l d , o r e x p e c t e d r e t u r n o n i n v e s t m e n t , a n d

r i s k ( w h i c h i s l e s s w e l l d e n e d ) . I n a v e r y s c h e m a t i c f o r m , a n i n v e s t m e n t i n a p a r t i c u l a r

a s s e t o v e r a t i m e - p e r i o d t s t a r t i n g a t t i m e t g i v e s r i s e t o a r e t u r n

X ( t + t ) X ( t )

X ( t )

=

X ( t )

X ( t )

w h e r e X ( t ) i s t h e a m o u n t i n i t i a l l y i n v e s t e d a n d X ( t + t ) t h e v a l u e o f t h e i n v e s t m e n t a t

t i m e t + t . A v e r y r o u g h m e a s u r e o f t h e q u a l i t y o f a n i n v e s t m e n t i s o b t a i n e d i f w e s t u d y

a h i s t o r i c a l t i m e - s e r i e s o f r e t u r n s a n d c a l c u l a t e t h e e m p i r i c a l m e a n a n d v a r i a n c e f o r t h i s

i n v e s t m e n t :

=

1

N t

N

X

n = 1

X ( n t ) X ( ( n 1 ) t )

X ( ( n 1 ) t )

;

2


3/25

a n d

2

=

1

( N 1 ) t

N

X

n = 1

X ( n t ) X ( ( n 1 ) t )

X ( ( n 1 ) t )

2

:

H i s t o r i c a l ( l o n g - t e r m ) n u m b e r s f o r t h e s e q u a n t i t i e s a r e , m o r e o r l e s s , = 1 6 % , 1 5 %

f o r s t o c k s , = 1 0 % , a n d = 1 2 % f o r b o n d s , i n a n n u a l t e r m s . H o w e v e r , t h e s e n u m b e r s a r e

s t r o n g l y d e p e n d e n t o n t h e \ t i m e - w i n d o w " o r s a m p l e s i z e .

A l t h o u g h i n v e s t m e n t i s a n a r t a s m u c h a s a s c i e n c e , r a t i o n a l i n v e s t m e n t d e c i s i o n s a r e

o f t e n b a s e d o n e v a l u a t i n g t h e r i s k a n d r e t u r n o f d i e r e n t s t r a t e g i e s . R i s k - a v e r s e i n d i v i d u a l s

w i l l k e e p t h e i r w e a l t h m o s t l y i n b o n d s o r i n c a s h ( n o t u n d e r t h e m a t t r e s s , t h o u g h ! ) .

I n v e s t o r s w i l l i n g t o b e a r s o m e m a r k e t r i s k i n e x c h a n g e o f h i g h e r r e t u r n s m i g h t i n v e s t

i n s t o c k s o r l o n g - t e r m b o n d s . L o n g - t e r m b o n d s a r e , i n p r i n c i p l e , r i s k l e s s i n s t r u m e n t s ,

s i n c e t h e y h a v e a w e l l d e n e d r e t u r n i f h e l d t o m a t u r i t y . H o w e v e r , t h e v a l u e o f a b o n d

c h a n g e s b e c a u s e t h e r e i s a n \ o p p o r t u n i t y c o s t " i n h o l d i n g a b o n d t h a t y i e l d s l e s s t h a n

o t h e r i n s t r u m e n t s , e . g . c a s h o r s h o r t e r - t e r m n o t e s .

I t i s i m p o r t a n t t o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e f a c t t h a t i n v e s t m e n t s t r a t e g i e s c a n c h a n g e

a c r o s s t i m e . F o r e x a m p l e , i n v e s t m e n t a d v i s o r s r e c o m m e n d \ a g g r e s s i v e " s t o c k p o r t f o l i o s

t o t h e i r y o u n g e r c l i e n t s a n d m o r e \ s t a b l e " p o r t f o l i o s c o n s i s t i n g m o s t l y o f b o n d s , a s t h e s e

a p p r o a c h r e t i r e m e n t a g e . A n o t h e r f o r m o f t i m e - d e p e n d e n t i n v e s t i n g i s \ t i m i n g t h e m a r k e t "

{ a t t e m p t i n g t o b u y a t t h e l o w a n d s e l l a t t h e h i g h . T h i s i s t h e g o a l o f a l l i n v e s t o r s , b u t

i s c e r t a i n l y n o t e a s y t o d o ! T h e c o n c e p t o f d y n a m i c i n v e s t m e n t d e c i s i o n o r d y n a m i c

a s s e t a l l o c a t i o n i s e x t r e m e l y i m p o r t a n t i n F i n a n c e a n d F i n a n c i a l M a t h e m a t i c s . T h i s

p r i n c i p l e a p p l i e s e v e n m o r e s o t o r m s a n d c o r p o r a t i o n s i n t h e i r m a n a g e m e n t o f c a p i t a l

a n d b u s i n e s s d e c i s i o n s .

N o b e l p r i z e w i n n e r H a r r y M a r k o w i t z w a s o n e o f t h e t h e r s t t o p r o p o s e a c o h e r e n t

t h e o r y o f i n v e s t m e n t b a s e d o n t h e u s e o f p r o b a b i l i t i e s ( M a r k o w i t z , 1 9 9 1 ) . I n h i s a p p r o a c h ,

t h e i n v e s t o r c o n s i d e r s t h e m e a n a n d t h e c o v a r i a n c e m a t r i x o f t h e r e t u r n s o f d i e r e n t

i n v e s t m e n t l i n e s . F o r i n s t a n c e , i n t h e u n i v e r s e o f a s t o c k i n d e x , a b o n d i n d e x a n d c a s h ,

t h e i n v e s t o r w o u l d c o n s i d e r t h e 3 - v e c t o r (

1

;

2

;

3

) a n d t h e c o v a r i a n c e m a t r i x

3


4/25

2

1

1

2

1 2

1

3

1 3

1

2

1 2

2

2

2

3

2 3

1

3

1 3

2

3

2 3

2

3

B y a l l o c a t i n g h i s r e s o u r c e s a m o n g t h e t h r e e d i e r e n t a s s e t s i n d i e r e n t p r o p o r t i o n s , t h e

i n v e s t o r c a n c o n s t r u c t a \ p o r t f o l i o " w i t h y i e l d

3

X

i = 1

w

i

i

( 1 )

a n d v a r i a n c e

3

X

i = 1

w

2

i

2

i

+ 2

X

i < j

w

i

w

j

i

j

i j

: ( 2 )

T h e i n v e s t o r c a n c h o o s e t h e \ p o r t f o l i o w e i g h t s " w

1

; w

2

; w

3

s o a s t o m a x i m i z e r e t u r n s

( 1 ) h o l d i n g t h e v a r i a n c e ( 2 ) x e d a t a d e s i r e d l e v e l . H e r e , t h e v a r i a n c e o f t h e p o r t i o

i s i d e n t i e d w i t h t h e r i s k o f t h e i n v e s t m e n t . T h i s i s a c l a s s i c a l q u a d r a t i c o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m t h a t c a n b e s o l v e d w i t h e l e m e n t a r y l i n e a r a l g e b r a . T h e p r o c e d u r e , c a l l e d m e a n -

v a r i a n c e o p t i m i z a t i o n , g i v e s a r a t i o n a l e f o r t a r g e t i n g t h e m a x i m u m m e a n r e t u r n f o r

a g i v e n r i s k l e v e l . M e a n - v a r i a n c e o p t i m i z a t i o n a n d i t m a n y g e n e r a l i z a t i o n s a r e t h e m o s t

w i d e l y u s e d t o o l s i n m o d e r n a s s e t a l l o c a t i o n a n d m o n e y m a n a g e m e n t .

I m p l i c i t i n M a r k o w i t z ' s p o r t f o l i o t h e o r y i s t h e i d e a t h a t t h e r e t u r n s a r e g o v e r n e d b y

p r o b a b i l i t i e s . W e t h u s ( i ) r e g a r d t h e o u t c o m e o f i n v e s t i n g a s a r a n d o m v a r i a b l e , a n d ( i i )

a s s u m e t h a t t h e s e p r o b a b i l i t i e s c a n b e i n f e r r e d f r o m h i s t o r i c a l d a t a . T h i s r a i s e s t h e f u n -

d a m e n t a l q u e s t i o n o f t o w h a t e x t e n t c a n h i s t o r i c a l , o r f r e q u e n t i a l

1

, p r o b a b i l i t i e s p r e d i c t

f u t u r e r e t u r n s . C a n s t a t i s t i c a l a n a l y s i s a p p l i e d t o n a n c i a l m a r k e t s p r e d i c t t h e f u t u r e ? I t

i s c l e a r t h a t t h e a n s w e r i s u l t i m a t e l y n o . U n l i k e p h y s i c a l ( m e c h a n i c a l ) s y s t e m s , m a r k e t s

a r e n o t \ c l o s e d s y s t e m s " d e t e r m i n e d c o m p l e t e l y b y t h e i r i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h e f u t u r e

b e h a v i o r o f t h e m a r k e t m a y d e p e n d o n i n f o r m a t i o n n o t a v a i l a b l e a t p r e s e n t o r b y f u t u r e

e v e n t s t h a t w e c a n n o t c o n t r o l a n d e v e n l e s s m o d e l . F u r t h e r m o r e , t h e m a r k e t ' s d e p e n d e n c e

o n a s e t i n i t i a l c o n d i t i o n s i s o f t e n m u r k y . T h e p o i n t i s t h a t t h e r e i s a d i s t i n c t i o n t o b e m a d e

b e t w e e n p r o b a b i l i t y ( t h e c a l c u l a t i o n o f o u t o c m e s b a s e d o n k n o w n o d d s ) a n d r i s k - a n a l y s i s

( t h e e s t i m a t i o n o f o u t c o m e s i n t h e p r e s e n c e o f o d d s t h a t a r e n o t k n o w n w i t h c e r t a i n t y ) .

J o h n M a y n a r d K e y n e s ( K e y n e s , 1 9 3 6 ) p u t i t l i k e t h i s :

B y \ u n c e r t a i n " k n o w l e d g e . . . I d o n o t m e a n m e r e l y t o d i s t i n g u i s h w h a t i s k n o w n f o r c e r t a i n f r o m w h a t

i s o n l y p r o b a b l e . T h e g a m e o f r o u l e t t e i s n o t s u b j e c t , i n t h i s s e n s e , t o u n c e r t a i n t y . T h e s e n s e i n w h i c h

1

B a s e d o n t h e o b s e r v e d f r e q u e n c y o f p a s t e v e n t s .

4


5/25

I a m u s i n g t h e t e r m i s t h a t i n w h i c h t h e p r o s p e c t o f a E u r o p e a n w a r i s u n c e r t a i n , o r t h e p r i c e o f c o p p e r

a n d t h e r a t e o f i n t e r e s t t w e n t y y e a r s h e n c e , o r t h e o b s o l e s c e n c e o f a n e w i n v e n t i o n . . . A b o u t t h e s e

m a t t e r s , t h e r e i s n o s c i e n t i c b a s i s o n w h i c h t o f o r m a n y c a l c u l a b l e p r o b a b i l i t y w h a t e v e r . W e s i m p l y

d o n o t k n o w !

A t r s t g l a n c e , t h i s p r o f o u n d s t a t e m e n t a n d i t s i m p l i c a t i o n s m i g h t l e a d u s t o t h e e r r o n e o u s

c o n c l u s i o n t h a t q u a n t i t a t i v e t o o l s a r e o n l y o f m a r g i n a l u s e i n n a n c e a n d a n d e c o n o m i c s .

A d e e p e r a n a l y s i s { a n d r e a l i t y { s h o w t h a t t h i s i s n o t s o . T h e e x i s t e n c e o f n a n c i a l r i s k

l e a d s t o t h e n e e d f o r h e d g i n g o r d i v e r s i f y i n g i t , h e n c e t o m o r e s o p h i s t i c a t e d i n v e s t m e n t v e -

h i c l e s . I n p a r t i c u l a r , t h e a p p e a r a n c e a n d p h e n o m e n a l g r o w t h o f d e r i v a t i v e s h a s p r o m p t e d

c o m p l e t e l y n e w a p p l i c a t i o n s o f m a t h e m a t i c s a n d p r o b a b i l i t y t o n a n c e .

D e r i v a t i v e s a r e c o n t r a c t s t h a t d e r i v e t h e i r v a l u e f r o m o t h e r i n s t r u m e n t s ( s t o c k s , b o n d s ,

e t c ) . T h e y i n c l u d e o p t i o n s , w h i c h a r e t h e m a i n t o p i c o f t h i s p a p e r . D e r i v a t i v e s e x i s t

b e c a u s e t h e r e i s v o l a t i l i t y , o r r i s k . T h e e e c t o f d e r i v a t i v e s i s w h a t e c o n o m i s t s c a l l \ -

n a n c i a l i n t e r m e d i a t i o n " : t h e t r a n s f e r o f n a n c i a l r i s k f r o m s o m e i n d i v i d u a l s t o o t h e r s .

T h e r e a r e p e o p l e w h o , f o r a p r i c e , a r e w i l l i n g t o a s s u m e t h e i n v e s t m e n t r i s k s o n b e h a l f o f

o t h e r i n v e s t o r s w h o a r e r i s k - a v e r s e , m o r e o r l e s s l i k e a n i n s u r a n c e c o m p a n y i n s u r e s y o u r

h o m e a g a i n s t c a s u a l t y f o r a f e e . T h e t r a d i n g o f d e r i v a t i v e c o n t r a c t s i m p l i e s t h a t r i s k i t s e l f

c a n b e p r i c e d a n d t r a n s f e r r e d a m o n g i n v e s t o r s i n t h e m a r k e t p l a c e . I t i s p r e c i s e l y i n t h e

a r e a o f m o d e l i n g r i s k a n d r i s k - m a n a g e m e n t t h a t m a t h e m a t i c s h a s p r o v e n t o b e e x t r e m e l y

e e c t i v e .

2 . O p t i o n s . A n o p t i o n i s a c o n t r a c t t h a t a l l o w s t h e h o l d e r t o b u y o r s e l l a n a n c i a l a s s e t

a t a x e d p r i c e i n t h e f u t u r e . U n l i k e a f o r w a r d c o n t r a c t , w h i c h c o n s i s t s i n a c o m m i t m e n t

b y t w o c o u n t e r p a r t i e s t o e n t e r i n t o a t r a n s a c t i o n a t a f u t u r e d a t e , a n o p t i o n n e e d s n o t b e

e x e r c i s e d { t h e h o l d e r o f t h e o p t i o n w i l l u s e i t o n l y i f t h i s i s c o n v e n i e n t . A c a l l i s a n

o p t i o n t o b u y a n a s s e t a n d a p u t i s a n o p t i o n t o s e l l i t . A n o p t i o n c o n t r a c t s p e c i e s t h e

e x e r c i s e p r i c e a n d t h e e x p i r a t i o n d a t e o f t h e c o n t r a c t . F o r e x a m p l e , t h e 1 4 5 I B M C a l l

o f M a r c h 1 9 9 7 g i v e s t h e h o l d e r t o b u y 1 0 0 I B M s h a r e s a t $ 1 4 5 a n y t i m e b e t w e e n n o w a n d

t h e t h i r d F r i d a y i n M a r c h . T h i s o p t i o n i s c a l l e d A m e r i c a n b e c a u s e i t c a n b e e x e r c i s e d

a n y t i m e b e f o r e i t s e x p i r a t i o n d a t e . O p t i o n s t h a t c a n b e e x e r c i s e d o n l y a t t h e e x p i r a t i o n

d a t e a r e c a l l e d E u r o p e a n .

O p t i o n s i n c r e a s e t h e s p e c t r u m o f i n v e s t m e n t s . F o r i n s t a n c e , a n i n v e s t o r s h a r e s o f a

g i v e n s t o c k c a n u s e o p t i o n s i n s e v e r a l w a y s . S u p p o s e t h a t h e t h i n k s t h a t t h e m a r k e t i s

\ o v e r v a l u e d " a n d i s d u e f o r a c o r r e c t i o n . H e c o u l d c h o o s e , o n t h e o n e h a n d , t o \ t a k e

p r o t s " b y s e l l i n g a l l o r p a r t o f h i s s t o c k h o l d i n g s a n d p e r h a p s b u y i n g b o n d s o r k e e p i n g

t h e p r o c e e d s i n c a s h . I f h e d o e s t h i s , h o w e v e r , h e m i g h t l o o s e t h e o p p o r t u n i t y o f a f u r t h e r

r a l l y . W i t h t h i s i n m i n d , h e c o u l d c h o o s e i n s t e a d t o b u y a p u t o p t i o n , w h i c h g i v e s h i m

t h e r i g h t t o s e l l t h e s t o c k f o r a p e r i o d o f t i m e a t a p r e d e t e r m i n e d e x e r c i s e p r i c e , a n d

m a i n t a i n h i s s t o c k p o s i t i o n . I n t h i s w a y , h e p r e s e r v e s t h e i n v e s t m e n t o p p o r t u n i t y w h i l e

i n s u r i n g h i m s e l f a g a i n s t a d r o p i n p r i c e . T h i s s t r a t e g y i s u s u a l l y c a l l e d a p r o t e c t i v e

p u t . N o t e h o w e v e r t h a t t h e p u r c h a s e o f t h e p u t i m p l i e s p a y i n g u p - f r o n t f o r t h i s i n s u r a n c e

5


6/25

( p e r h a p s b y s e l l i n g s o m e s t o c k ) a n d t h a t t h i s p r o t e c t i o n i s v a l i d o n l y f o r a p e r i o d o f t i m e .

T h e i n v e s t o r w h o i m p l e m e n t s a p r o t e c t i v e p u t s t r a t e g y r e d u c e s a f r a c t i o n o f h i s p o t e n t i a l

g a i n s b y p u r c h a s i n g t h e o p t i o n . A n o t h e r c o m m o n s t r a t e g y i s t h e s o c a l l e d b u y - w r i t e

s t r a t e g y . T h i s i s d o n e b y i n v e s t o r s t h a t h o l d s t o c k a n d a n d b e l i e v e t h a t t h e m a r k e t w i l l

n o t e x p e r i e n c e m u c h v o l a t i l i t y a n d w i s h t o d e r i v e s o m e \ i n c o m e " f r o m t h e p o s i t i o n t h e y

h o l d . I n t h i s c a s e , t h e i n v e s t o r s e l l s ( \ w r i t e s " ) c a l l s o n t h e s t o c k a n d r e c e i v e s t h e o p t i o n

p r e m i u m . H e t h e n b e c o m e s o b l i g e d t o d e l i v e r t h e s t o c k i f t h e c a l l s a r e e x e r c i s e d . S i n c e h e

o w n s s t o c k , h e c a n m e e t t h e p o t e n t i a l o b l i g a t i o n i m p l i e d b y t h e o p t i o n c o n t r a c t . T h e r e

a r e i n n i t e l y m a n y s t r a t e g i e s f o r i n v e s t m e n t u s i n g o p t i o n s ; t h e t w o m e n t i o n e d a b o v e b e i n g

t h e s i m p l e s t . P u t s a n d c a l l s a r e t r a d e d e s s e a n t i a l l y l i k e a n y o t h e r n a n c i a l a s s e t .

A l o n g s t a n d i n g p r o b l e m i n F i n a n c e w a s t h e v a l u a t i o n o f o p t i o n c o n t r a c t s . I s t h e r e a

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t , o n t h e o n e h a n d , a n d a n o p t i o n

c o n t r a c t w r i t t e n o n t h i s a s s e t ? T h i s p r o b l e m w a s s o l v e d b y F i s h e r B l a c k a n d M y r o n

S c h o l e s i n 1 9 7 3 . L e t u s a s s u m e a s t o c h a s t i c m o d e l f o r t h e e v o l u t i o n o f t h e p r i c e o f t h e

u n d e r l y i n g a s s e t :

d S

t

S

t

= d Z

t

+ d t ; ( 3 )

w h e r e Z

t

i s a B r o w n i a n m o t i o n a n d ; r e p r e s e n t r e s p e c t i v e l y t h e v o l a t i l i t y a n d m e a n

o f t h e r e t u r n s f o r i n v e s t i n g i n t h e s t o c k . T h i s m o d e l i s j u s t t h e \ c o n t i n u o u s - t i m e " v e r s i o n

o f t h e \ s t o c h a s t i c r e t u r n s " m o d e l o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n . W e s h a l l b e p u r p o s e l y v a g u e

a b o u t h o w a n d a r e d e t e r m i n e d f o r n o w . T h e p r e v a i l i n g s h o r t - t e r m i n t e r e s t r a t e w i l l

b e d e n o t e d b y r .

W e s h a l l m a k e t h e i n i t i a l g u e s s t h a t t h e v a l u e V

t

o f a c a l l o n t h e s t o c k i s g i v e n b y

V

t

= C ( S

t

; t ) ; ( 4 )

w h e r e C ( S ; t ) i s a s m o o t h f u n c t i o n o f S a n d t .

S u p p o s e t h a t a n i n v e s t o r s e l l s o n e c a l l o p t i o n a n d b u y s s h a r e s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t

a t t i m e t . T h e c h a n g e i n t h e v a l u e o f h i s h o l d i n g s o v e r t h e i n t e r v a l ( t ; t + d t ) i s

( V

t + d t

+ S

t + d t

) ( V

t

+ S

t

) = d V

t

+ d S

t

: ( 5 )

U s i n g e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) a n d a p p l y i n g I t o ' s f o r m u l a , w e c a n e x p r e s s t h e v a r i a t i o n o f

t h e p o r t f o l i o i n t e r m s o f t h e v a r i a t i o n o f c a l l p r i c e i n t e r m s o f t h e v a r i a t i o n o f t h e p r i c e o f

t h e u n d e r l y i n g a s s e t , v i z . ,

d V

t

= C

S

( S

t

; t ) d S

t

+ C

t

( S

t

; t ) d t +

1

2

2

S

2

C

S S

( S

t

; t ) d t ; ( 6 )

t o l e a d i n g o r d e r i n d t . S u b s t i t u t i n g t h i s e x p r e s s i o n i n t o ( 5 ) , w e a r r i v e a t t h e f o l l o w i n g

e x p r e s s i o n f o r t h e c h a n g e i n t h e p o r t f o l i o v a l u e

6


7/25

( C

S

( S

t

; t ) + ) d S

t

C

t

( S

t

; t ) +

1

2

2

S

2

t

C

S S

( S

t

; t )

d t : ( 7 )

I f t h e n u m b e r o f s h a r e s h e l d i n t h e p o r t f o l i o w a s

= C

S

( S

t

; t )

t h e n t h e d S

t

t e r m w o u l d v a n i s h i n e q u a t i o n ( 7 ) , r e n d e r i n g t h e t h e r e t u r n o f t h e p o r t f o l i o

n o n - v o l a t i l e o v e r t h e p e r i o d o f t i m e ( t ; t + d t ) ( t o l e a d i n g o r d e r i n d t ) . I c l a i m t h a t t h e r a t e

o f r e t u r n o f t h i s p o r t f o l i o s h o u l d b e e x a c t l y e q u a l t o t h e s h o r t - t e r m i n t e r e s t r a t e . I n d e e d , i f

t h i s w e r e n o t s o , t h e r e w o u l d b e a n o p p o r t u n i t y f o r m a k i n g m o n e y a t n o r i s k - a n a r b i t r a g e

o p p o r t u n i t y . I n f a c t , b y i n v e s t i n g i n t h i s p o r t f o l i o ( o r i t s \ m i r r o r i m a g e " ) , a n i n v e s t o r

w o u l d e e c t i v e l y b e a b l e t o b o r r o w m o n e y a t t h e c h e a p e s t r a t e a n d l e n d i t o u t a t t h e

m o r e e x p e n s i v e r a t e . P r o f e s s i o n a l s w o u l d t a k e a d v a n t a g e o f t h i s a n d , t h r o u g h t h e f o r c e s

o f s u p p l y a n d d e m a n d , w o u l d e v e n t u a l l y d r i v e t h e o p t i o n p r i c e t o a l e v e l w h e r e t h e r e t u r n

o n t h e o p t i o n - s t o c k p o r t f o l i o w o u l d b e e q u a l t o t h e i n t e r e s t r a t e f o r c a s h .

2

S i n c e t h e v a l u e

o f t h e o p t i o n - s t o c k p o r t f o l i o a t t i m e t i s C ( S

t

; t ) + S

t

= C ( S

t

; t ) + S

t

C

S

( S

t

; t ) ,

t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e i m p l i e s t h a t

C

t

+

2

2

S

2

C

S S

= r ( C S C

S

)

o r

C

t

+

2

2

S

2

C

S S

+ r S C

S

r C = 0 : ( 8 )

T h i s i s t h e B l a c k - S c h o l e s p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n . T o d e t e r m i n e t h e f u n c t i o n

C ( S ; T ) w e m u s t s p e c i f y b o u n d a r y c o n d i t i o n s . I n t h e c a s e o f a c a l l w i t h e x p i r a t i o n d a t e

T w e h a v e

C ( S ; T ) = ( S K )

+

= m a x ( S K 0 ) ; ( 9 )

w h e r e K i s t h e s t r i k e p r i c e ( X

+

r e p r e s e n t s t h e p o s i t i v e p a r t o f X ) . I n d e e d , i f S

T

K ,

t h e o p t i o n i s w o r t h l e s s , a n d i f S

T

> K , t h e h o l d e r o f t h e c a l l c a n b u y t h e u n d e r l y i n g a s s e t

f o r K d o l l a r s a n d s e l l i t a t m a r k e t p r i c e , m a k i n g a p r o t o f S

T

K .

F o r a E u r o p e a n - s t y l e c a l l ( w h i c h c a n b e e x e r c i s e d o n l y a t t h e d a t e T ) , C ( S ; t ) i s d e t e r -

m i n e d b y s o l v i n g t h e C a u c h y p r o b l e m f o r t h e B a c k - S c h o l e s P D E w i t h n a l c o n d i t i o n ( 8 ) .

T h e e x p l i c i t s o l u t i o n i s k n o w n a s t h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a :

2

A n a r b i t r a g e i s d e n e d a s a t r a n s a c t i o n i n w h i c h o n e b u y s a n a s s e t a n d i m m e d i a t e l y s e l l s i t r e a l i z i n g

a r i s k l e s s p r o t . O n e o f t h e c o n s e q u e n c e s o f a n ( i d e a l ) e q u i l i b r i u m e c o n o m y i s t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e

o p p o r t u n i t i e s , o r , a t l e a s t , o f \ o b v i o u s " a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s .

7


8/25

C ( S ; t ; K ; T ; r ; ) = S N ( d

1

) K e

r ( T t )

N ( d

2

) ; ( 1 0 )

w h e r e

d

1

=

1

p

T t

l n

S

K e

r ( T t )

+

1

2

p

T t ; d

2

= d

1

p

T t ;

a n d

N ( z ) =

1

p

2

z

Z

1

e

y

2

2

d y :

A s i m i l a r f o r m u l a e x i s t s f o r E u r o p e a n p u t s , r e p l a c i n g t h e n a l c o n d i t i o n b y ( K

S )

+

.

A m e r i c a n - s t y l e o p t i o n s , w h i c h a l l o w f o r e x e r c i s e a n y t i m e b e f o r e t h e m a t u r i t y d a t e , c a n

b e e v a l u a t e d i n a s i m i l a r w a y . H o w e v e r , t h e p o s s i b i l i t y o f e a r l y e x e r c i s e m a k e s t h e c o n -

t r a c t m o r e v a l u a b l e , i n p r i n c i p l e . T h e \ e a r l y e x e r c i s e p r e m i u m " , o r s u r v a l u e o f A m e r i c a n

o p t i o n s w i t h r e s p e c t t o E u r o p e a n s , d e p e n d s o n t h e i n c o m e s t r e a m t h a t c a n b e d e r i v e d

b y h o l d i n g t h e u n d e r l y i n g a s s e t ( e . g . s t o c k d i v i d e n d s ) a n d c a s h ( i n t e r e s t r a t e ) i n s t e a d o f

w a i t i n g t o e x e r c i s e t h e o p t i o n . T h e r u l e o f t h u m b h e r e i s t h a t t h e r e i s a n e a r l y e x e r c i s e

p r e m i u m w h e n e v e r t h e a s s e t t h a t i s \ b o u g h t " h a s n o n - z e r o i n c o m e s t r e a m . S o f a r , w e h a v e

n o t a s s u m e d t h a t t h e s t o c k p a y s d i v i d e n d s . T h e r e f o r e , c a l l o p t i o n s o s u c h a s s e t s w o u l d

h a v e n o e x e r c i s e p r e m i u m . P u t s d o h a v e e a r l y e x e r c i s e p r e m i u m s i n c e s e l l i n g t h e s t o c k

i s l i k e \ b u y i n g c a s h " a n d t h e i n t e r e s t r a t e ( i n c o m e f o r h o l d i n g c a s h ) i s n o n - z e r o . T h e

i n c o m e e a r n e d b y e x e r c i s i n g t h e p u t o p t i o n a n d i n v e s t i n g t h e p r o c e e d s i n c a s h m a y e x c e e d

t h e \ s p e c u l a t i v e " v a l u e o f h o l d i n g a p u t e x p e c t i n g t h e u n d e r l y i n g p r i c e t o d r o p f u r t h e r .

T h e r e i n l i e s t h e v a l u e o f e a r l y e x e r c i s e f o r p u t s .

3

I n t h e c a s e o f s t o c k i n d e x o p t i o n s s u c h a s O E X o p t i o n s t r a d e d a t t h e C h i c a g o M e r c a n -

t i l e E x c h a n g e , w e m u s t t a k e i n t o a c c o u n t t h e f a c t t h a t t h e s t o c k s c o m p o s i n g t h e S t a n d a r d

& P o o r 5 0 0 I n d e x p a y d i v i d e n d s ( c u r r e n t l y s l i g h t l y b e l o w 2 % o n a n a n n u a l i z e d b a s i s ) ;

t h e r e f o r e b o t h p u t s a n d c a l l h a v e e a r y e x e r c i s e p r e m i u m . I t i s w e l l - k n o w n t h e v a l u e o f a n

A m e r i c a n S & P 5 0 0 c a l l ( O E X c o n t r a c t o f t h e C B O E ) e x c e e d s t h e v a l u e o f t h e c o r r e s p o n d i n g

E u r o p e a n c o n t r a c t ( S P X ) .

T o v a l u e A m e r i c a n o p t i o n s , t h e i d e a i s t h a t w e s h o u l d l o o k f o r a f u n c t i o n C ( S ; t ) t h a t

s a t i s e s t h e B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n i n r e g i o n s o f t h e ( S ; t ) - p l a n e w h e r e t h e o p t i o n s h o u l d

n o t b e e x e r c i s e d a n d p r o v i d e a d d i t i o n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l o n g t h e r e g i o n c o r r e s p o n d -

i n g t o p r i c e l e v e l s w h e r e t h e o p t i o n s h o u l d b e e x e r c i s e d . O n e w a y t o a r r i v e a t t h i s r e g i o n

i s t o i m p o s e t h e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s o n o p t i o n p r i c e s t h a t s h o u l d h o l d i n t h e c a s e o f

A m e r i c a n - s t y l e o p t i o n s :

3

T h e B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n f o r a s s e t s t h a t p a y \ c o n t i n u o u s " d i v i d e n d s a t a r a t e d , i s a n a l o g o u s t o

( 8 ) . T h e o n l y d i e r e n c e i s t h a t t h e d r i f t t e r m r S C

S

i s r e p l a c e d b y ( r d ) S C

S

.

8


9/25

C ( S ; t ) ( S K )

+

( c a l l s ) ; P ( S ; t ) ( K S )

+

( p u t s ) ; ( 1 1 )

s i n c e t h e o p t i o n i s w o r t h a s l e a s t a s m u c h a s w h a t y o u w o u l d g e t b y e x e r c i s i n g i t i m m e d i -

a t e l y . T h e s e c o n s t r a i n t s g i v e r i s e t o a n o b s t a c l e p r o b l e m , o r d i e r e n t i a l i n e q u a l i t y , f o r

t h e B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n w h i c h c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l l y . T h e f r e e b o u n d a r y a r i s i n g i n

t h i s p r o b l e m c o r r e s p o n d s t o t h e b o u n d a r y o f t h e \ o p t i m a l e x e r c i s e " r e g i o n f o r t h e h o l d e r

{ t h e o p t i o n s h o u l d b e e x e r c i s e d w h e n e v e r e q u a l i t y h o l d s i n ( 1 1 ) .

T h e f r e e - b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r A m e r i c a n o p t i o n s a t t h e b o u n d a r y o f t h e e x e r c i s e

r e g i o n a r e

C ( S

t

; t ) = S

t

K ;

@ C ( S

t

; t )

@ t

= + 1 : ( c a l l s )

P ( S

t

; t ) = K S

t

;

@ P ( S

t

; t )

@ t

= 1 ; ( p u t s ) : ( 1 2 )

T h e s e a r e c l a s s i c a l r s t - o r d e r c o n t a c t f r e e - b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r o b s t a c l e p r o b l e m s e n -

c o u n t e r e d i n P D E t e x t s .

4

T h e s t o r y o n l y b e g i n s h e r e . T h e B l a c k - S c h o l e s P D E a n d i t s v a r i a n t s a r e u s e d t o v a l u e

m o r e g e n e r a l c o n t r a c t s w h i c h h a v e p a y o s d e p e n d i n g o n t h e v a l u e o f a n o t h e r t r a d e d a s s e t .

S u c h c o n t r a c t s a r e g e n e r i c a l l y c a l l e d c o n t i n g e n t c l a i m s i n t h e M a t h e m a t i c a l F i n a n c e

l i t e r a t u r e . T h e y i n c l u d e t h e c l a s s o f e x o t i c o p t i o n s , t r a d e d i n t h e i n t e r - b a n k m a r k e t ,

w h i c h c a n h a v e p r a c t i c a l l y a n y c o n c e i v a b l e p a y o s t r u c t u r e . T h e e n d - u s e r s o f e x o t i c o p t i o n s

a r e b a n k s , c o r p o r a t i o n s a n d s o p h i s t i c a t e d i n v e s t o r s t h a t w i t h t o i n v e s t i n \ t a i l o r - m a d e "

d e r i v a t i v e s w i t h s p e c i a l c a s h - o w s t r u c t u r e s e s p e c i a l l y s u i t e d t o t h e i r i n v e s t m e n t n e e d s .

\ P l a i n v a n i l l a " s t o c k o p t i o n s , o n t h e o t h e r h a n d , a r e m o s t l y t r a d e d i n e x c h a n g e s s u c h a s

C B O E , C M E , A M E X , e t c . , a n d o v e r - t h e - c o u n t e r a s w e l l .

3 . R i s k - N e u t r a l P r o b a b i l i t i e s S u p p o s e t h a t a c o n t r a c t g i v e s r i s e t o a s e r i e s o f c a s h -

o w s a t d i e r e n t d a t e s T

1

< T

2

< : : : < T

N

a n d t h a t t h e s e c a s h - o w s a r e r e p r e s e n t e d b y

f u n c t i o n s F

i

( S

T

i

) ; i = 1 ; 2 : : : ; N : A n a r g u m e n t s i m i l a r t o t h e o n e o f t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h

s h o w s t h a t t h e v a l u e o f t h e c o r r e s p o n d i n g c o n t i n g e n t c l a i m i s V

t

= V ( S

t

; t ) , w h e r e V ( S ; t )

s a t i s e s t h e P D E

@ V

@ t

+

1

2

2

S

2

@

2

V

@ S

2

+ r S

@ V

@ S

r V =

X

i : t < T

i

F

i

( S ) ( t T

i

) ; ( 1 3 )

4

T h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s c a n b e d e r i v e d a l s o f r o m p u r e l y n a n c i a l c o n s i d e r a t i o n s ( A v e l l a n e d a , N Y U

c o u r s e n o t e s ) .

9


10/25

w i t h V ( S ; T

N

+ 0 ) = 0 . T h i s f o r m u l a a l s o a p p l i e s t o o p t i o n p o r t f o l i o s , i . e . t o b u n d l e s o f

o p t i o n s h e l d ( l o n g o r s h o r t ) b y a n i n v e s t o r .

T h e B l a c k - S c h o l e s P D E h a s a f u n d a m e n t a l p r o b a b i l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n . T h e c o r r e s p o n -

d e n c e b e t w e e n P D E s a n d p r o b a b i l i t i e s v i a t h e F o k k e r - P l a n k f o r m a l i s m y i e l d s

V ( S

t

; t ) = E

(

X

i : t < T

i

e

t ( T

i

t )

F ( S

T

i

)

I

t

)

; ( 1 4 )

w h e r e S

t

i s t h e d i u s i o n p r o c e s s g o v e r n e d b y t h e s t o c h a s t i c d i e r e n t i a l e q u a t i o n

d S

t

S

t

= d Z

t

+ r d t ( 1 5 )

a n d E

I

t

r e p r e s e n t s t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e - a l g e b r a g e n -

e r a t e d b y f Z

s

; s t g .

I f y o u c o m p a r e e q u a t i o n ( 1 5 ) w i t h t h e p r o p o s e d s t a t i s t i c s f o r t h e r e t u r n s o f t h e i n d e x ( 3 ) ,

y o u w i l l n o t i c e t h a t t h e m e a n r e t u r n s ( d r i f t s ) a r e d i e r e n t . I n d e e d , i n t h e l a t t e r e q u a t i o n ,

t h e m e a n r e t u r n o v e r t h e p e r i o d ( t ; t + t ) i s r t i n s t e a d o f t ( t h e \ s u b j e c t i v e " a n n u a l

r e t u r n o n i n v e s t m e n t f o r t h e s t o c k ) . T h u s , t h e B l a c k - S c h o l e s t h e o r y t e l l s u s t h a t t h e v a l u e

o f a n o p t i o n ( o r a m o r e g e n e r a l c o n t i n g e n t c l a i m ) i s e q u a l t o t h e e x p e c t e d f u t u r e c a s h -

o w s , c a l c u l a t e d u n d e r a c e r t a i n p r o b a b i l i t y m e a s u r e a s s i g n e d t o t h e f u t u r e p a t h s f o r t h e

p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t . T h i s m e a s u r e , h o w e v e r , i s n o t t h e \ s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y "

t h a t w e s t a r t e d w i t h !

L e t u s g i v e a c o n c r e t e e x a m p l e . S u p p o s e t h a t t h e i n t e r e s t r a t e i s 5 % , t h a t t h e v o l a t i l i t y

o f a s t o c k X Y Z i s 1 6 % a n d t h a t i t i s e x p e c t e d t o a p p r e c i a t e i n p r i c e b y 4 0 % a n n u a l l y . T h e

B l a c k - S c h o l e s v a l u e o f a E u r o p e a n - s t y l e o p t i o n t o b u y t h i s s t o c k a t t o d a y ' s p r i c e i n 1 8 0 d a y s

i s 5 . 7 5 % o f t h e p r i c e o f t h e s t o c k . T h i s r e s u l t i s t o t a l l y i n d e p e n d e n t o f t h e r a t e o f r e t u r n

o n t h e p r i c e o f t h e s t o c k ( w e a s s u m e t h a t n o d i v i d e n d s a r e p a i d o u t ) . O n t h e o t h e r h a n d ,

t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e c a s h - o w s , m a x ( S

T

K )

+

, u s i n g 4 0 % r e t u r n s ( e q u a t i o n ( 3 ) )

i s a w h o p p i n g 2 1 . 4 6 % . F r o m a n i n v e s t o r ' s p o i n t o f v i e w , t h i s r e s u l t m a y s e e m p a r a d o x i c a l ,

s i n c e t h e h i g h e r t h e e x p e c t e d r e t u r n s , t h e h i g h e r t h e p r o b a b i l i t y o f p r o t i n g f r o m h o l d i n g

t h e c a l l . T h e r e f o r e , h e s h o u l d b e w i l l i n g t o p a y m o r e t h a n 5 . 7 5 % f o r t h e o p t i o n . T h i s

a r g u m e n t , b a s e d o n \ f r e q u e n t i a l p r o b a b i l i t i e s " , i s n e v e r t h e l e s s w r o n g .

T h e e x p l a n a t i o n l i e s i n t h e c o n c e p t o f d y n a m i c h e d g i n g . U n d e r t h e B l a c k - S c h o l e s a s -

s u m p t i o n s , t h e h o l d e r o f

t

= C

S

( S

t

; t ) s h a r e s o f s t o c k a n d C ( S

t

; t ) C

S

( S

t

; t ) S

t

d o l l a r s i n a m o n e y - m a r k e t a c c o u n t h a s a p o r t f o l i o w o r t h C ( S

t

; t ) d o l l a r s a t t i m e t . I n t h e

p e r i o d ( t ; t + d t ) , t h e c h a n g e i n t h e v a l u e o f t h e s h a r e s p l u s t h e i n t e r e s t a c c r u e d i n t h e

c a s h a c c o u n t a d d u p t o t h e c h a n g e i n t h e f u n c t i o n C ( S

t

; t ) , b e c a u s e

d C ( S

t

; t ) = C

S

( S

t

; t ) d S

t

+

C

t

( S

t

; t ) +

2

S

2

2

C

S S

( S

t

; t )

d t

1 0


11/25

=

t

d S

t

+ r ( C ( S

t

; t )

C

S

( S

t

; t )

S

t

) d t ;

b y v i r t u e o f t h e B l a c k - S c h o l e s P D E . T h e r e f o r e , b y s u c c e s s i v e l y a d j u s t i n g t h e n u m b e r o f

s h a r e s , D e l t a a f t e r e a c h t r a d i n g p e r i o d , i t i s p o s s i b l e t o m a i n t a i n a n e t p o r t f o l i o v a l u e

e q u a l t o C ( S

t

; t ) . A t t h e e x p i r a t i o n d a t e , t h e v a l u e o f t h e p o r t f o l i o i s e x a c t l y e q u a l t o

C ( S

T

; T ) = ( S

T

K )

+

w h i c h i s t h e m a r k e t v a l u e o f t h e o p t i o n .

T h e c o n c l u s i o n i s t h a t i f y o u h a v e a n i n i t i a l r e s e r v e a t t i m e t o f C ( S

t

; t ) d o l l a r s , y o u c a n

i m p l e m e n t a d y n a m i c t r a d i n g s t r a t e g y t h a t g e n e r a t e s a r e t u r n i d e n t i c a l t o t h e o n e o f t h e

o p t i o n a t t h e e x p i r a t i o n d a t e . T h i s s t r a t e g y i s c a l l e d o p t i o n r e p l i c a t i o n , o r d y n a m i c

h e d g i n g .

R e f e r r i n g b a c k t o t h e e x a m p l e , t h e p o i n t i s t h a t a n i n d i v i d u a l t h a t c a n e n g a g e i n d y n a m i c

h e d g i n g , d o e s n o t c a r e i f i n v e s t i n g 2 1 . 4 6 % o f p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g s t o c k i n t h e c a l l w i l l

m a k e h i m b r e a k e v e n \ i n t h e l o n g r u n " . T h e o p t i o n c a n b e \ m a n u f a c t u r e d " w i t h o n l y

5 . 7 5 % , s o w h y p a y m o r e ? C o n v e r s e l y , i f t h e e x p e c t e d r e t u r n o n t h e s t o c k w a s l e s s t h a n

5 % a n d t h e o p t i o n w a s p r i c e d a s a \ s t a t i s t i c a l b e t " i n s t e a d o f u s i n g B l a c k - S c h o l e s , t h e

i n v e s t o r w o u l d p r o b a b l y b u y b u t d e n i t e l y n o t s e l l a t t h a t p r i c e ! T h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e

o n p r i c e m o v e m e n t s i m p l i e d b y ( 1 5 ) i s c a l l e d a r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y b e c a u s e i t

h a s t h e p r o p e r t y t h a t t h e o p t i o n p r e m i u m c o r r e s p o n d s t o t h e v a l u e o f a \ s t a t i s t i c a l b e t "

( e x p e c t a t i o n ) u n d e r t h i s m o d i e d p r o b a b i l i t y . i s

T h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a r e p r e s e n t s t h e c o s t o f o f r e p l i c a t i n g t h e o p t i o n , r a t h e r t h a n

t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e p a y o u n d e r a s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y ( a s i n a g a m e o f c h a n c e ) .

I t i s a c o n s e q u e n c e o f t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s : i f t h e a s s u m p t i o n s o f t h e

m o d e l a r e c o r r e c t ( v o l a t i l i t y , i n t e r e s t r a t e ) t h e n i f t h e m a r k e t t r a d e d a t a n o t h e r p r i c e , t h i s

w o u l d g i v e r i s e t o a p r o t a t n o r i s k . O n e w o u l d s i m p l y b u y o r s e l l t h e o p t i o n a n d o s e t

t h e r i s k b y d y n a m i c h e d g i n g .

A n i m p o r t a n t c a v e a t a t t h i s p o i n t i s t h e a b i l i t y o f i n v e s t o r s t o e n g a g e i n d y n a m i c h e d g i n g

i n p r a c t i c e , w h i c h i n v o l v e s a c t i v e l y t r a d i n g i n t h e u n d e r l y i n g s e c u r i t y o v e r t h e l i f e t i m e o f t h e

o p t i o n . A s s o m e r e a d e r s m i g h t k n o w , t h e p o s s i b i l i t y o f d y n a m i c h e d g i n g i s o n l y a v a i l a b l e

t o p r o f e s s i o n a l o p t i o n d e a l e r s , d u e t o t h e l a r g e c o s t s o f e x e c u t i o n , t r a n s a c t i o n c o s t s , e t c .

H o w e v e r , o p t i o n d e a l e r s , w h o c o m p e t e f o r c u s t o m e r s i n t h e m a r k e t p l a c e , e s t i m a t e t h e c o s t

o f m a n a g i n g a n o p t i o n i n v e n t o r y u s i n g B l a c k - S c h o l e s a n d m a k e p r i c e s a c c o r d i n g l y . S i n c e

p r i c e s m u s t b e c o m p e t i t i v e w i t h o t h e r d e a l e r s , t h e y r e e c t t h e b u s i n e s s c o s t s o f d y n a m i c

h e d g e r s ( r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n ) r a t h e r t h a n t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e o p t i o n p a y o u n d e r

s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s .

L e t m e a l s o m e n t i o n h e r e t h a t t h e u s e o f r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s f o r p r i c i n g c o n t i n g e n t

c l a i m s g o e s f a r b e y o n d B l a c k - S c h o l e s t h e o r y . H a r r i s o n a n d K r e p s ( 1 9 7 9 ) f o r m u l a t e d a

g e n e r a l t h e o r y o f n o - a r b i t r a g e p r i c i n g , o f t e n c a l l e d A r b i t r a g e P r i c i n g T h e o r y ( A P T )

w h i c h c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :

S u p p o s e t h a t a m a r k e t h a s n o a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s . T h e n , t h e r e e x i s t s a ( r i s k - n e u t r a l )

p r o b a b i l i t y m e a s u r e P d e n e d o n t h e p a t h s o f p r i c e s o f t r a d e d a s s e t s s u c h t h a t

1 1


12/25

P

t

= E

P

8


13/25

=

@ V ( S ; t )

@ S

:

H e r e , V r e p r e s e n t s t h e t o t a l v a l u e o f t h e p o r t f o l i o , i . e . t h e s u m o f t h e v a l u e s o f a l l t h e o p -

t i o n s i n t h e p o r t f o l i o ) . T h e p o r t f o l i o D e l t a i s t h e a l g e b r a i c s u m o f t h e D e l t a s c o r r e s p o n d i n g

t o e a c h o p t i o n c o m p u t e d w i t h i t s o w n i m p l i e d v o l a t i l i t y . T h e f u n d a m e n t a l r e s u l t o f B S i s

t h a t a p o s i t i o n i n

s h a r e s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t r e n d e r s t h e p o s i t i o n \ m a r k e t - n e u t r a l "

| t h e v a l u e o f t h e p o r t f o l i o w i l l v a r y l e s s t h a n t h e s t o c k p r i c e b y a n o r d e r o f m a g n i t u d e ( d t

r a t h e r t h a n d t

1 = 2

) . M o r e o v e r , t h e B l a c k - S c h o l e s t h e o r y i m p l i e s t h a t t h e d t t e r m i s e q u a l

t o t h e c o s t o f f u n d i n g t h e p o s i t i o n a t t h e r i s k l e s s r a t e . ( I f f u n d i n g i s t a k e n i n t o a c c o u n t

t h e v a r i a t i o n o f t h e t o t a l p o r t f o l i o v a l u e i s t h e r e f o r e O ( t

3 = 2

) - n e g l i g i b l e e v e n a f t e r a d d i n g

a l l t h e v a r i a t i o n s o v e r t h e l i f e o f t h e o p t i o n ) .

F o r e x a m p l e , a 1 8 0 - d a y E u r o p e a n a t - t h e - m o n e y c a l l ( K = S ) w i t h r = 5 % a n d =

1 6 % h a s a d e l t a o f 0 . 6 0 8 6 . T h i s m e a n s t h a t t o h e d g e a s h o r t p o s i t i o n i n 1 0 0 c a l l s ( o r ,

e q u i v a l e n t l y , o n e o p t i o n t o b u y 1 0 0 s h a r e s ) , o n e s h o u l d b u y 6 0 . 8 6 s h a r e s o f t h e u n d e r l y i n g

s t o c k ( s a y , 6 0 s h a r e s ) . S i m i l a r l y , t h e h o l d e r o f a n o p t i o n t o b u y 1 0 0 s h a r e s w i l l b e h e d g e d

b y s h o r t - s e l l i n g 6 0 s h a r e s . T h e s a m e p h i l o s o p h y a p p l i e s t o o p t i o n p o r t f o l i o s . A t l e a s t i n

t h e o r y , D e l t a - h e d g i n g i s a w a y o f p r o t e c t i n g a n o p t i o n p o r t f o l i o a g a i n s t m o v e s i n t h e p r i c e

o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t .

A n i m p o r t a n t o b s e r v a t i o n c o n c e r n i n g d e l t a - h e d g e d o p t i o n p o s i t i o n s i s t h a t t h e d i s t i n c -

t i o n b e t w e e n o w n i n g a c a l l a n d o w n i n g a p u t d i s a p p e a r s c o m p l e t e l y ! I n d e e d , t h e i d e n t i t y

( S K )

+

( K S )

+

= S K

i m p l i e s t h a t

C ( S ; t ; K ; T ) P ( S ; t ; K ; T ) = S K e

r ( T t )

;

w h e r e t h e f u n c t i o n s i n t h e l e f t - h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n r e p r e s e n t t h e v a l u e o f a c a l l a n d

a p u t w i t h s a m e s t r i k e a n d e x p i r a t i o n d a t e . T h e r i g h t - h a n d s i d e c a n b e i n t e r p r e t e d a s

t h e f a i r v a l u e o f a c o n t r a c t t o b u y t h e s t o c k a t K d o l l a r s a t d a t e T . T h i s r e s u l t i s c a l l e d

p u t - c a l l p a r i t y . I t s t a t e s t h a t a p u t c a n b e \ s y n t h e s i z e d " w i t h a p o r t f o l i o c o n s i s t i n g o f

a c a l l , o n e s h a r e h e l d s h o r t , a n d a n o t e w i t h f a c e v a l u e K . D i e r e n t i a t i n g t h i s e q u a t i o n ,

w e o b t a i n o b t a i n a r e l a t i o n b e t w e e n t h e D e l t a s o f p u t s a n d c a l l s :

c a l l

p u t

= 1 :

T h e p o i n t i s t h a t , w h i l e u n h e d g e d o p t i o n p o s i t i o n s r e p r e s e n t l e v e r a g e d b e t s o n t h e d i r e c t i o n

o f t h e m a r k e t , h e d g e d p o s i t i o n s a r e \ n o n - d i r e c t i o n a l " . D e l t a - h e d g e d o p t i o n p o s i t i o n s s t a n d

t o p r o t o r l o s e a c c o r d i n g t o t h e b e h a v i o r o f v o l a t i l i t y o r i n t e r e s t r a t e s .

T h e s e c o n d - d e r i v a t i v e o f t h e B S p r i c e w i t h r e s p e c t t o t h e s p o t p r i c e

1 3


14/25

=

@

2

V ( S ; t )

@ S

2

;

i s a n i m p o r t a n t s e n s i t i v i t y f o r p r a c t i c a l D e l t a - h e d g i n g . G a m m a m e a s u r e s t h e c h a n g e i n

D e l t a p e r c h a n g e i n t h e v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t . T h i s s e n s i t i v i t y d o e s n o t e n t e r t h e

d e r i v a t i o n o f t h e B l a c k - S c h o l e s t h e o r y , w h i c h a s s u m e s c o n t i n u o u s a d j u s t m e n t s i n D e l t a .

H o w e v e r , i n r e a l l i f e , a d j u s t m e n t s t o t h e h e d g e p o r t f o l i o a r e d o n e a t d i s c r e t e d a t e s u s u a l l y

i n r e s p o n s e t o c h a n g e s i n t h e p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t ) . D i s c r e t e h e d g i n g g i v e s r i s e t o

\ h e d g e s l i p p a g e " : t h e o p t i o n i s n o l o n g e r p e r f e c t l y r e p l i c a t e d a n t h e r e a r e g a i n s a n d l o s s e s

a t e a c h t i m e ( r e l a t i v e t o t h e B l a c k - S c h o l e s ) f a i r v a l u e . T h e G a m m a o f a n o p t i o n ( p u t o r

c a l l ) i s g i v e n e x p l i c i t l y b y

=

1

S

p

2

2

e

d

2

1

2

:

I t i s a p o s i t i v e q u a n t i t y : t h e D e l t a o f a n o p t i o n i n c r e a s e s a s t h e s t o c k p r i c e i n c r e a s e s . T h e

g r a p h o f a h e d g e d ( l o n g ) o p t i o n a s a f u n c t i o n o f S i s c o n v e x a n d h a s a m i n i m u m a t t h e

c u r r e n t s p o t p r i c e . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e g r a p h a t t i m e t + d t i s a l s o c o n v e x b u t i t i s

u n i f o r m l y l o w e r i n v a l u e f o r a l l S . T h i s m e a n s t h a t t h e h o l d e r o f a h e d g e d l o n g o p t i o n

p o s i t i o n w i l l m a k e m o n e y i f j S

t + d t

S

t

j i s l a r g e a n d w i l l l o s e i f t h e c h a n g e i n v a l u e o f

t h e s t o c k i s n e a r l y u n c h a n g e d . I f w e c o n s i d e r t h e r e v e r s e p o s i t i o n , i . e . , a s h o r t o p t i o n

h e d g e d w i t h t h e B l a c k - S c h o l e s d e l t a , w e s e e t h a t t h e g r a p h i s n o w c o n c a v e . S m a l l s t o c k

m o v e s g i v e r i s e t o a p r o t a n d l a r g e s t o c k m o v e s g i v e r i s e t o a l o s s , d u e t o t h e n e g a t i v e

c o n v e x i t y . M a r k e t p r o f e s s i o n a l s r e f e r t o t h e f o r m e r s i t u a t i o n a s b e i n g \ l o n g G a m m a " a n d

t h e l a t t e r a s b e i n g \ s h o r t G a m m a " . T h i s c o n c e p t , l i k e D e l t a , a p p l i e s a t t h e p o r t f o l i o l e v e l .

T h e G a m m a o f t h e p o r t f o l i o i s j u s t t h e n e t G a m m a o b t a i n e d b y a d d i n g a l l t h e o p t i o n

G a m m a s w e i g h t e d b y t h e i r s i g n ( l o n g / s h o r t ) a n d b y t h e n u m b e r o f c o n t r a c t s . N e e d l e s s

t o s a y , p o s i t i o n s w i t h l a r g e G a m m a s a r e r i s k y b e c a u s e t h e y a r e d i c u l t t o h e d g e w i t h o u t

i n t r o d u c i n g t o o m u c h e r r o r w i t h r e s p e c t t o t h e o r y . T h e s i z e o f G a m m a , m e a s u r e s , i n a

s e n s e , t h e r i s k e x p o s u r e t o m i s s i n g t h e h e d g e b y t r a d i n g d i s c r e t e l y . M a n a g i n g G a m m a

i s a c h i e v e d b y b u y i n g o r s e l l i n g o p t i o n s s o a s t o t o k e e p t h i s s e n s i t i v i t y u n d e r p r e s c r i b e d

l i m i t s , t h e r e f o r e l i m i t i n g t h e r i s k o f \ h e d g e - s l i p p a g e " .

G a m m a a l s o b e c o m e s i m p o r t a n t w h e n w e t a k e i n t o a c c o u n t t r a n s a c t i o n c o s t s i n c u r r e d

b y h e d g i n g d y n a m i c a l l y . F o r i n s t a n c e , t r a d e r s t h a t a r e s h o r t G a m m a h a v e t o b u y s t o c k

w h e n i t s p r i c e g o e s u p a n d s e l l w h e n t h e p r i c e d r o p s ( a l w a y s a p a i n f u l p r o p o s i t i o n ) . O n

t h e o t h e r h a n d , h e d g i n g a l o n g - G a m m a p o s i t i o n i n v o l v e s s e l l i n g s t o c k a s t h e m a r k e t r a l l i e s

a n d b u y i n g w h e n i t d r o p s . T h i s c r e a t e s a n o t i c e a b l e a s y m m e t r y i n t h e e x p e c t e d c o s t o f

r e p l i c a t i n g l o n g a n d s h o r t G a m m a p o s i t i o n s . I n g e n e r a l , d y n a m i c h e d g i n g i n t h e p r e s e n c e o f

t r a n s a c t i o n c o s t s i s e x p e n s i v e a n d e r o d e s t r a d e r s ' p r o t s . A \ c o m p r o m i s e " m u s t t h e r e f o r e

b e m a d e b e t w e e n a v o i d i n g t r a n s a c t i o n c o s t s a n d l i m i t i n g t h e c o n t r a c t ' s r i s k - e x p o s u r e .

T h i s s u b j e c t l e a d s t o v e r y i n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c s a n d i s t h e o b j e c t o f n u m e r o u s s t u d i e s

( L e l a n d ( 1 9 8 5 ) , D a v i s , P a n a s a n d Z a r i p h o p o l o u ( 1 9 9 3 ) , A v e l l a n e d a a n d P a r a s ( 1 9 9 4 ) ,

T a l e b ( 1 9 9 7 ) ) .

1 4


15/25

A n o t h e r i m p o r t a n t s e n s i t i v i t y o f t h e B S e q u a t i o n i s

=

@ V ( S ; t )

@ t

;

k n o w n a s t h e t i m e - d e c a y . I t i s o f c r u c i a l i m p o r t a n c e i n t h e r i s k - m a n a g e m e n t o f a n o p t i o n s

p o r t f o l i o , b e c a u s e i t t e l l s t h e t r a d e r b y h o w m u c h t h e v a l u e o f t h e p o s i t i o n w i l l c h a n g e i f

t h e s p o t p r i c e s t a y s t h e s a m e . T h e t a a n d G a m m a h a v e o p p o s i t e s i g n s , a s w e a r g u e d a b o v e .

W e c a n s e e t h i s m o r e p r e c i s e l y b y m a k i n g t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s

~

V = e

r t

V ;

~

S = e

r t

S ;

w h i c h e x p r e s s e s v a l u e s i n c o n s t a n t d o l l a r s , r e m o v i n g t h e e e c t o f i n t e r e s t r a t e s . I n t e r m s

o f t h e s e v a r i a b l e s , t h e B l a c k - S c h o l e s P D E b e c o m e s

@

~

V

@ t

+

1

2

2

~

S

2

@

2

~

V

@

~

S

2

= 0 ;

o r

~

=

1

2

2

~

S

2

~

;

w h e r e w e u s e t i l d e s t o e m p h a s i z e t h a t v a l u e s a r e c o m p u t e d i n c o n s t a n t d o l l a r s . T h i s

r e l a t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s

~

V ( t + d t )

~

V ( t ) /

1

2

~

E

~

S ( t + d t )

~

S ( t )

2

;

w h e r e w e i d e n t i e d t h e v a r i a n c e w i t h t h e s q u a r e o f t h e s p o t p r i c e i n c r e m e n t . T h u s , t h e B S

e q u a t i o n e x p r e s s e s a p r o p o r t i o n a l i t y r e l a t i o n b e t w e e n t i m e - d e c a y , c o n v e x i t y a n d v o l a t i l i t y .

L e t u s i l l u s t r a t e t h i s w i t h a n u m e r i c a l e x a m p l e . T h e c h a n g e i n v a l u e a 1 8 0 - d a y a t - t h e -

m o n e y c a l l w i t h = 1 6 % o v e r o n e d a y e x p r e s s e d i n c o n s t a n t d o l l a r s i s a p p r o x i m a t e l y

V = 0 : 0 1 % o f t h e v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t . T h i s i s w h a t t h e h o l d e r o f t h e

o p t i o n w i l l l o s e o v e r o n e d a y i f t h e p r i c e o f t h e u n d e r l y i n g r e m a i n s u n c h a n g e d . O n t h e

o t h e r h a n d , t h e c h a n g e i n D e l t a f o r a 1 % m o v e i n s p o t i s 0 . 0 3 5 7 . A v o l a t i l i t y o f 1 6 %

r e p r e s e n t s a p p r o x i m a t e l y a (

~

S )

2

o f a p p r o x i m a t e l y 1 6 1 6 = 3 6 5 = 0 : 7 1 i n p e r c e n t a g e

t e r m s . M u l t i p l y i n g t h i s b y 0 : 5 0 : 0 3 5 7 y i e l d s a p p r o x i m a t e l y 0 . 0 1 2 % , a s c l a i m e d . T h i s i s

w h a t t h e h o l d e r o f t h e o p t i o n e x p e c t s t o m a k e i f t h e s p o t p r i c e c h a n g e s b y o n e s t a n d a r d

d e v i a t i o n .

1 5


16/25

A s o n e m i g h t e x p e c t , t h e s e n s i t i v i t y o f t h e B S v a l u e w i t h r e s p e c t t o t h e v o l a t i l i t y

p a r a m e t e r p l a y s a c r u c i a l r o l e . T h i s s e n s i t i v i t y i s k n o w n a s V e g a :

5

V e g a =

@ V

@

:

T r a d e r s o f t e n u s e o t h e r h i g h e r - o r d e r s e n s i t i v i t i e s o f t h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a t o a n a l y z e

t h e r i s k o f a n o p t i o n p o r t f o l i o , s u c h a s

@

2

V

@ S @

=

@

@

=

@ ( V e g a )

@ S

;

a n d

@

2

V

@

2

=

@ ( V e g a )

@

:

T h e i n t u i t i o n b e h i n d t h e s e h i g h e r - o r d e r s e n s i t i v i t i e s i s p r o b a b l y m a s t e r e d o n l y b y t h e m o s t

s e a s o n e d o p t i o n p r o f e s s i o n a l s . F o r e x a m p l e ,

@

@

r e p r e s e n t s t h e c h a n g e i n t h e D e l t a , t h e

a m o u n t o f s h a r e s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t t o b e h e l d i n t h e h e d g e , u n d e r a c h a n g e i n t h e

o p t i o n s i m p l i e d v o l a t i l i t y w i t h a l l t h e o t h e r p a r a m e t e r s h e l d c o n s t a n t . A n o t h e r p a r a m e t e r

o f t e n u s e d t o m a n a g e o p t i o n p o s i t i o n s i s t h e s e n s i t i v i t y w i t h r e s p e c t t o t h e s h o r t - t e r m

i n t e r e s t r a t e ,

=

@ V

@ r

:

A l t h o u g h , t h e e e c t o f i s l e s s i m p o r t a n t i n g e n e r a l , c o n s i d e r a t i o n s a b o u t c h a n g e s i n

f u n d i n g r a t e s c a n b e i m p o r t a n t i n c o u n t r i e s w h e r e i n t e r e s t r a t e s a r e v e r y h i g h a n d / o r

u c t u a t e c o n s i d e r a b l y o v e r s h o r t p e r i o d s o f t i m e .

B y a n d l a r g e , o p t i o n p o r t f o l i o r i s k - m a n a g e m e n t c o n s i s t s i n n e u t r a l i z i n g , o r a t l e a s t

k e e p i n g w i t h r e a s o n a b l e l i m i t s , t h e a b o v e - m e n t i o n e d s e n s i t i v i t i e s i n a p o r t f o l i o . T h u s ,

a n o p t i o n s d e a l e r w i l l m a n a g e h i s D e l t a ( u s u a l l y s e t t o z e r o ) , a s w e l l a s G a m m a , T h e t a ,

V e g a a n d R h o . E x c e p t f o r D e l t a , w h i c h i s m a n a g e d b y t r a d i n g i n t h e u n d e r l y i n g a s s e t ,

r i s k - m a n a g e m e n t o f o t h e r \ G r e e k s " i n v o l v e s b u y i n g a n d s e l l i n g o p t i o n s s o a s t o k e e p t h e

n e t s e n s i t i v i t i e s n e a r t a r g e t l e v e l s . T h i s i n c l u d e s t a k i n g p o s i t i o n s i n t h e s e h i g h e r - o r d e r

s e n s i t i v i t i e s a s w e l l . F o r e x a m p l e , a t r a d e r c a n g a i n e x p o s u r e t o a r i s e i n i m p l i e d v o l a t i l i t y ,

f o r e x a m p l e , b y h a v i n g a p o s i t i v e - V e g a p o r t f o l i o f o r i n s t a n c e , b u t a t t h e s a m e t i m e b e

n e u t r a l i n D e l t a , G a m m a a n d R h o . A n o b v i o u s b u t i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n i s t h e o p p o s i t e

5

T h e d e r i v a t i v e o f t h e s t o c k p r i c e w i t h r e s p e c t t o i s n o w s o m e t i m e s r e f e r r e d t o a s ( K a p p a ) ,

w i t h t h e a d v a n t a g e t h a t t h e l a t t e r i s a G r e e k l e t t e r . V e g a a p p e a r s t o b e t h e t e r m i n o l o g y u s e d t o b y

o p t i o n r i s k - m a n a g e r s i n t h e \ e a r l y d a y s " a n d i s c u r r e n l t y w i d e l y u s e d . T h e n a m e V e g a , o n t h e o t h e r

h a n d , c o r r e s p o n d s t o t h e n a m e o f a C h e v r o l e t m o d e l s o l d i n t h i s c o u n t r y i n t h e 1 9 7 0 ' s , a s o m e w h a t

a m u s i n g / n o s t a l g i c c o i n c i d e n c e .

1 6


17/25

s i g n o f T h e t a a n d G a m m a { t h e \ b u y e r o f c o n v e x i t y " g e t s e x p o s e d n a t u r a l l y t o t i m e - d e c a y ,

w h i l e t i m e i s \ o n t h e s i d e " o f t h e s e l l e r o f c o n v e x i t y i f t h e m a r k e t r e m a i n s q u i e t .

T h e m a n a g e m e n t o f v o l a t i l i t y r i s k ( a n d , i n s o m e c a s e s , i n t e r e s t r a t e r i s k ) o f a n o p t i o n s

b o o k i s a h i g h l y n o n - t r i v i a l m a t t e r . A m o n g o t h e r t h i n g s , t h e i m p l i e d v o l a t i l i t i e s o f o p t i o n s

w i t h d i e r e n t m a t u r i t i e s a n d s t r i k e s a r e g e n e r a l l y n o t e q u a l . M a n a g i n g v o l a t i l i t y r i s k

r e q u i r e s t h e r e f o r e m o n i t o r i n g t h e j o i n t m o v e m e n t o f a \ m a t r i x " o f i m p l i e d v o l a t i l i t i e s

( K

i

; T

j

) ; i j = 1 ; 2 : : :

w h e r e K

i

a n d T

i

r e p r e s e n t d i e r e n t s t r i k e s a n d e x p i r a t i o n d a t e s . T h i s i m p l i e s f r e q u e n t

a d j u s t m e n t s o f t h e o p t i o n p o r t f o l i o t o k e e p t h e G r e e k s e n s i t i v i t i e s i n l i n e a n d t o d e s i g n

p r o t a b l e o p t i o n p o s i t i o n s a c c o r d i n g t o t r a d e r s ' e x p e c t a t i o n s o n t h e f u t u r e b e h a v i o r o f

v o l a t i l i t i e s a n d r a t e s . I n o t h e r w o r d s , p r o f e s s i o n a l o p t i o n t r a d e r s m u s t e v a l u a t e t h e r i s k -

r e t u r n c h a r a c t e r i s t i c s o f o p t i o n s p r e a d s , o r d i e r e n t o p t i o n c o m b i n a t i o n s , i n t e r m s o f

v o l a t i l i t y a n d i n t e r e s t - r a t e f o r e c a s t s , p r i c e r a n g e s , d i v i d e n d p a y - o u t s , l i q u i d i t y o f d i e r -

e n t c o n t r a c t s , e t c . N a t a n b e r g ( 1 9 8 8 ) a n d T a l e b ( 1 9 7 7 ) c o n t a i n l u c i d a n a l y s e s o f o p t i o n

s t r a t e g i e s f r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w .

4 . U n c e r t a i n v o l a t i l i t y m o d e l s . F r o m a f u n d a m e n t a l p o i n t o f v i e w , t h e a s s u m p t i o n

t h a t v o l a t i l i t y i s c o n s t a n t a n d V e g a - h e d g i n g a s a r i s k - m a n a g e m e n t p r a c t i c e , h a v e s e v e r a l

s h o r t c o m i n g s w h i c h a r e m o r e a n d m o r e r e c o g n i z e d . S p e c i c a l l y :

T h e B l a c k - S c h o l e s m o d e l , ( 1 5 ) , a s s u m e s i m p l i c i t l y t h a t v a r i a t i o n s o r t h e s p o t p r i c e a r e

h o m o g e n e o u s , i . e . t h a t p r i c e r e t u r n s h a v e t h e s a m e s t a t i s t i c s a t d i e r e n t d a t e s ;

V e g a g i v e s t h e s e n s i t i v i t y o f a n o p t i o n o n l y f o r s m a l l c h a n g e s i n t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y ;

V e g a - h e d g i n g i s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e f a c t t h a t o p t i o n s w i t h t h e s a m e m a t u r i t y a n d

d i e r e n t s t r i k e s u s u a l l y t r a d e a t d i e r e n t i m p l i e d v o l a t i l i t i e s .

I n m a t h e m a t i c a l p a r l a n c e , o n e w o u l d s a y t h a t G r e e k h e d g i n g c o r r e s p o n d s t o a \ l i n -

e a r i z e d " a p p r o a c h t o m a n a g i n g r i s k . I n p a r t i c u l a r , i t i s n o t e x p e c t e d t o w o r k i n t h e e v e n t

o f a l a r g e m o v e , o r c r a s h , o r t o a r e g i m e s h i f t , i n w h i c h m a r k e t c o n d i t i o n s c h a n g e d r a m a t -

i c a l l y a f t e r s o m e e v e n t .

T h e c o n s t a n t v o l a t i l i t y a s s u m p t i o n i s a c t u a l l y i n c o n s i s t e n t w i t h A P T . I n f a c t , i f t w o

o p t i o n s w i t h t h e s a m e e x p i r a t i o n d a t e t r a d e a t d i e r e n t i m p l i e d v o l a t i l i t i e s , w h i c h i s o f t e n

t h e c a s e , t h e n t h e \ s p o t v o l a t i l i t y " o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t

d S

t

S

t

=

t

d Z

t

+ r d t

c a n n o t b e c o n s t a n t , o r e v e n a d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n o f t i m e . I f

t

w a s c o n s t a n t o r

t

=

0

( t ) w h e r e

0

( ) i s d e t e r m i n i s t i c , a t l e a s t o n e o f t h e t w o o p t i o n s w o u l d b e m i s p r i c e d b y

1 7


18/25

t h e m a r k e t i f w e u s e d t h e o r i g i n a l B l a c k - S c h o l e s m o d e l . H o w e v e r , t h e r e i s a m p l e e v i d e n c e

t h a t d e m o n s t r a t e s t h a t a d i e r e n c e i n i m p l i e d v o l a t i l i t i e s d o e s n o t n e c e s s a r i l y i m p l y a n

a r b i t r a g e o p p o r t u n i t y . I n s t e a d , i t i s c u r r e n t l y b e l i e v e d t h a t t h e i m p l i e d v o l a t i l i t y s m i l e a n d

s k e w o b s e r v e d i n m a n y m a r k e t s , r e e c t t r a d e r s ' \ i n h o m o g e n e o u s " v o l a t i l i t y e x p e c t a t i o n s .

T r a d e r s e s t i m a t e t h e c o s t o f o p t i o n r e p l i c a t i o n c o n d i t i o n a l l y o n f u t u r e e v e n t s s u c h a s

c h a n g e s i n m a r k e t c o n d i t i o n s , c h a n g e s i n t h e l i q u i d i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t , e t c . T h e r e

i s n o r e a s o n w h y t h e c o n s t a n t - v o l a t i l i t y / l o g n o r m a l a s s u m p t i o n s o f B l a c k - S c h o l e s s h o u l d

h o l d : o n l y t h e c o n s e q u e n c e o f t h e t h e o r y { t h e c o n s e q u e n c e s o f n o - a r b i t r a g e { s h o u l d h o l d ,

o n c e a p r o b a b i l i s t i c m o d e l i s s p e c i e d .

H e r e , m a t h e m a t i c s c o m e s t o t h e r e s c u e i n a b i g w a y . A c c o r d i n g t o t h e N o - A r b i t r a g e

T h e o r e m o f x 2 , n o - a r b i t r a g e i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n p a t h s f S

t

g

s u c h t h a t t h e p r i c e s o f t r a d e d a s s e t s a r e s i m u l t a n e o u s l y r e p r o d u c e d b y t a k i n g e x p e c t a t i o n s

w i t h r e s p e c t t o t h e s a m e p r o b a b i l i t y . T h e o n l y r e s t r i c t i o n , d i c t a t e d b y A P T , i s t h a t t h i s

p r o b a b i l i t y s h o u l d b e s u c h t h a t t h a t p r i c e s c o m p u t e d i n c o n s t a n t d o l l a r s a r e m a r t i n g a l e s .

B y m a k i n g v o l a t i l i t y

t

a r a n d o m p r o c e s s , o r a f u n c t i o n o f S

t

a n d t , f o r e x a m p l e , w e c a n

e x p e c t t o s a t i s f y t h e A P T e q u a t i o n w i t h a s i n g l e p r o b a b i l i t y m e a s u r e f o r S

a n d t h u s

o b t a i n t h e r e f o r e a m o r e a c c u r a t e v a l u a t i o n o f o p t i o n p o s i t i o n s .

T h i s p r o m p t e d r e s e a r c h e r s t o l o o k f o r s p e c i c a t i o n s o f t h e v o l a t i l i t y p r o c e s s t h a t w o u l d

r e c o n c i l e B l a c k - S c h o l e s t h e o r y w i t h o b s e r v e d b e h a v i o r o f i m p l i e d v o l a t i l i t y o f o p t i o n m a r -

k e t s . O n e p r o p o s a l h a s b e e n t o m a k e t h e s p o t v o l a t i l i t y a s t o c h a s t i c p r o c e s s , w h i c h m a y

b e s t a t i s t i c a l l y c o r r e l a t e d w i t h p r i c e s h o c k s . H u l l a n d W h i t e ( 1 9 8 7 ) s h o w e d , a m o n g o t h e r

t h i n g s , t h a t a n e g a t i v e c o r r e l a t i o n b e t w e e n v o l a t i l i t y s h o c k s a n d p r i c e s h o c k s ( a s t h e m a r -

k e t d r o p s v o l a t i l i t y r i s e s ) r e p r o d u c e s q u a l i t a t i v e l y ( b u t , i n m y o w n e x p e r i e n c e , n o t q u a n -

t i t a t i v e l y ) t h e \ v o l a t i l i t y s k e w " o b s e r v e d i n e q u i t y o p t i o n s m a r k e t s . T y p i c a l l y , i n t h e s e

m a r k e t s , o u t - o f - t h e - m o n e y p u t s h a v e a h i g h e r i m p l i e d v o l a t i l i t y t h a n o u t - o f - t h e - m o n e y

c a l l s . O t h e r p r o p o s a l s f o r v o l a t i l i t y m o d e l i n g ( E n g l e ( 1 9 8 4 ) , N o h e t a l ( 1 9 9 4 ) ) u s e c o n d i -

t i o n a l l y h e t e r o s k e d a s t i c m o d e l s ( t h e A R C H - G A R C H f a m i l y ) t o m o d e l t h e b e h a v i o r

o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t . H o w e v e r , t h e u s e o f s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y m o d e l s o r A R C H m o d e l s

r a i s e s t h e i m p o r t a n t p r o b l e m o f m o d e l s p e c i c a t i o n ( b y e c o n o m e t r i c a n a l y s i s o r o t h e r w i s e )

a n d t h e r e l e v a n c e o f h i s t o r i c a l d a t a f o r m a n a g i n g f u t u r e r i s k . A n o t h e r c r i t i q u e o f s t o c h a s t i c

v o l a t i l i t y m o d e l s , w i t h w h i c h K e y n e s w o u l d p r o b a b l y n o t d i s a g r e e , i s t h a t t h e d i e r e n t i a l

s e n s i t i v i t i e s w i t h r e s p e c t t o t h e p a r a m e t e r s o f t h e s e m o r e c o m p l i c a t e d m o d e l s m a y n o t

p r o v i d e p r o t e c t i o n a g a i n s t l a r g e m o v e s i n t h e m a r k e t . M a k i n g t h e m o d e l m o r e e l a b o r a t e

m a y r e e c t b e t t e r c u r r e n t o p t i o n s p r i c e s q u o t e d i n t h e m a r k e t b u t s t i l l m i s s e d t h e n o t i o n

o f r i s k , o r u n c e r t a i n t y a b o u t t h e m o d e l i t s e l f .

I n a n a t t e m p t t o r e m e d y t h e s e s h o r t c o m i n g s o f p a r a m e t r i c m o d e l s , I p r e s e n t h e r e a

n e w a p p r o a c h f o r m a n a g i n g v o l a t i l i t y r i s k . T h i s a p p r o a c h i s b a s e d o n t h e p r e m i s e t h a t w e

h a v e l i t t l e k n o w l e d g e o f t h e s p o t v o l a t i l i t y p r o c e s s a n d t h a t i t m a y b e p r e f e r a b l e t o u s e

t h e c o n c e p t o f \ u n c e r t a i n t y " o r l a c k o f i n f o r m a t i o n , r a t h e r t h a n a n e l a b o r a t e s p e c i c a t i o n

t h e s t a t i s t i c s o f t h e v o l a t i l i t y .

L e t u s a s s u m e t h a t w e h a v e d e t e r m i n e d a c o n d e n c e i n t e r v a l f o r t h e s p o t v o l a t i l i t y

p r o c e s s f

t

; 0 t T g , w i t h o u t g o i n g i n t o d e t a i l s o f h o w t h i s i n t e r v a l , o r \ c o n e " w a s

1 8


19/25

o b t a i n e d . W e p o s t u l a t e t h e r e f o r e t h a t t h e p r o c e s s o f c o n d i t i o n a l v o l a t i l i t y f o r t h e p r i c e o f

t h e u n d e r l y i n g a s s e t s a t i s e s t h e i n e q u a l i t i e s

m i n

( t )

t

m a x

( t ) ; ( 1 6 )

w h e r e 0 <

m i n

<

m a x

a r e d e t e r m i n i s t i c f u n c t i o n s . W e s h a l l c o n s i d e r t h e c o l l e c t i o n

o f a l l p r o b a b i l i t y s p e c i c a t i o n s o n t h e u n d e r l y i n g p r i c e p r o c e s s t h a t s a t i s f y t h e v o l a t i l i t y

b o u n d s . G i v e n t h i s r a n g e o f u n c e r t a i n t y , w e c a n n o t p r o v i d e a s i n g l e p r i c e f o r a n y g i v e n

c o n t r a c t w h o s e v a l u e i s s e n s i t i v e t o v o l a t i l i t y . I n s t e a d t h e r e i s c o n t i n u u m o f p o s s i b l e p r i c e s .

W e s h a l l f o c u s o n t h e e x t r e m e m o d e l v a l u e s , o r u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n p r i c e s , w h i c h

c o r r e s p o n d t o t h e w o r s t - c a s e s c e n a r i o r e p l i c a t i o n c o s t s f o r s h o r t a n d l o n g p o s i t i o n s ,

r e s p e c t i v e l y .

I n t h i s s e t t i n g , t h e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g e x t r e m e p r i c e s i s i s o m o r p h i c t o a s t o c h a s t i c

c o n t r o l p r o b l e m i n w h i c h t h e v o l a t i l i t y i s t h e t h e c o n t r o l v a r i a b l e . E x t r e m a l p r i c e s c a n

b e c o m p u t e d u s i n g t h e B e l l m a n d y n a m i c p r o g r a m m i n g p r i n c i p l e . M o r e s p e c i c a l l y , t h e

p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e u p p e r b o u n d h a s t h e f o r m

@ V

@ t

+

0

S

2

2

@

2

V

@ S

2

+ r S

@ V

@ S

r V =

X

i : t < T

i

F

i

( S ) ( t T

i

) ; ( 1 7 )

w h e r e

0

X ] =

8

>

:

2

m i n

X ; X < 0 ;

2

m a x

X ; X 0 :

( 1 8 )

T h i s e q u a t i o n c o n s t i t u t e s a s i m p l e b u t i m p o r t a n t m o d i c a t i o n o f t h e B l a c k - S c h o l e s P D E ;

i t r e d u c e s t o t h e l a t t e r w h e n t h e r e i s n o u n c e r t a i n t y (

m i n

=

m a x

) . T h e P D E ( 1 7 )

i s k n o w n a s t h e U n c e r t a i n V o l a t i l i t y M o d e l ( U V M ) ( A v e l l a n e d a , L e v y a n d P a r a s , 1 9 9 5 ) .

T h e D e l t a o f t h e U V M e q u a t i o n c a n b e u s e d t o i m m u n i z e t h e p o r t f o l i o a g a i n s t m a r k e t r i s k ,

i n t h e f o l l o w i n g s e n s e : i f t h e a g e n t u s e s t h i s D e l t a a n d s t a r t s w i t h t h e r e s e r v e s c a l c u l a t e d

w i t h t h e U V M e q u a t i o n h e o r s h e w i l l b r e a k e v e n i f t h e w o r s t - c a s e v o l a t i l i t y s c e n a r i o i s

r e a l i z e d a n d w i l l o t h e r w i s e m a k e a p r o t ( u s e l e s s r e s e r v e s t h a n b u d g e t e d ) . T h i s i d e a i s

k n o w n a s a d o m i n a t i n g s t r a t e g y i n M a t h e m a t i c a l F i n a n c e . I f t h e a g e n t b u d g e t s i n i t i a l l y

l e s s r e s e r v e s t h a t t h e U V M v a l u e , t h e s t r a t e g y m a y l o s e m o n e y b u t l o s s e s a r e l i m i t e d t o

t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e B S a n d U V M p r e m i a . I t i s i n t u i t i v e l y c l e a r t h a t t h i s m e t h o d o f

v a l u a t i o n i s r o b u s t w i t h r e s p e c t t o v o l a t i l i t y s e p c i c a t i o n . H o w e v e r , t h i s p r o t e c t i o n d o e s

n o t c o m e f o r f r e e , s i n c e U V M r e q u i r e s m o r e r e s e r v e s t h a n B l a c k - S c h o l e s u s i n g , s a y , t h e

c e n t e r o f t h e b a n d a s v o l a t i l i t y p a r a m e t e r . I n p a r t i c u l a r , U V M c a n g e n e r a t e o p t i o n p r i c e s

t h a t a r e n o t c o m p e t i t i v e w i t h t h o s e o f a d e a l e r s u s i n g a c o n s t a n t v o l a t i l i t y i n s i d e t h e b a n d .

T h e d i e r e n c e b e t w e e n u p p e r a n d l o w e r e x t r e m a l p r i c e s , o r b e t w e e n t h e e x t r e m e s a n d

B l a c k S c h o l e s u s i n g t h e c e n t e r o f t h e b a n d ( 1 6 ) , i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e n e w v a l u a t i o n

1 9


20/25

p r o v i d e s p r o t e c t i o n a g a i n s t a l l v o l a t i l i t y p a t h s i n t h e b a n d . T h i s g a p i n p r i c e s r e e c t s o u r

u n c e r t a i n t y a b o u t f u t u r e v o l a t i l i t y p a t h s . O n e w a y t o n a r r o w t h i s \ u n c e r t a i n t y g a p " i s

i s t o c o n s i d e r o p t i o n s a s a p a r t i a l a l t e r n a t i v e t o d y n a m i c h e d g i n g . A n e x t e n s i o n o f U V M ,

w h i c h I d e s c r i b e n o w , p r o v i d e s a r a t i o n a l a p p r o a c h f o r d o i n g t h i s ( A v e l l a n e d a a n d P a r a s ,

1 9 9 6 ) . T h e m e t h o d c o n s i s t s i n u s i n g t h e U V M e q u a t i o n t o p r i c e \ p a c k a g e s " f o r m e d b y t h e

c o n t i n g e n t c l a i m o f i n t e r e s t c o m b i n e d w i t h t r a d e d o p t i o n s . T h u s , t h e i d e a i s t o p e r f o r m

t h e U V M a n a l y s i s o n t h e n e w p a c k a g e p a c k a g e r a t h e r t h a n o n t h e o r i g i n a l c l a i m . S i n c e

t h e o p t i o n s c a n b e b o u g h t / s o l d i n t h e m a r k e t w e c a n c o n c e n t r a t e o n d e l t a - h e d g i n g o n l y

t h e n e t e x p o s u r e . U s u a l l y , t h i s p r o p o s a l g i v e s r i s e t o n a r r o w e r p r i c e b a n d s w h i l e , a t t h e

s a m e t i m e , h e d g e s t h a t p e r f o r m w e l l u n d e r a b r o a d r a n g e o f v o l a t i l i t y s c e n a r i o s .

L e t m e s h o w h o w t h i s w o r k s . A s s u m e t h a t t h e r e a r e M t r a d e d o p t i o n s i n t h e m a r k e t ,

w i t h p a y o s G

j

; j = 1 ; 2 ; : : : M a n d e x p i r a t i o n d a t e s

1

;

2

; : : :

M

. A s s u m e a l s o t h a t e a c h

o p t i o n t r a d e s a t a p r i c e C

j

r e s p e c t i v e l y . I f a n a g e n t s e l l s t h e d e r i v a t i v e s e c u r i t y r e p r e s e n t e d

b y t h e c a s h - o w s f F

j

g a n d b u y s a p o r t f o l i o o f

1

c o n t r a c t s o f t h e r s t o p t i o n ,

2

c o n t r a c t s

o f t h e s e c o n d , a n d s o f o r t h , t h e a m o u n t o f c a s h n e e d e d t o h e d g e t h i s p o s i t i o n u n d e r t h e

w o r s t - c a s e s c e n a r i o i s

s u p

P

E

8


21/25

@ V (

1

; : : :

M

)

j

= C

j

E

P

e

r

j

G ( S

j

)

; j = 1 ; 2 ; : : : M ; ( 2 1 )

w h e r e P

i s t h e m e a s u r e t h a t r e a l i z e s t h e s u p r e m u m . I n p a r t i c u l a r , t h e n e w w o r s t - c a s e

s c e n a r i o p r o b a b i l i t y p r o d u c e s a c a l i b r a t e d m o d e l , m a t c h i n g t h e p r i c e s o f a l l t h e t r a d e d

o p t i o n s .

L e t u s i l l u s t r a t e t h e t h e o r y w i t h a n e x a m p l e . S u p p o s e t h a t t h e s t o c k p r i c e i s S

0

= $ 1 0 0 ;

a n d t h a t r = 5 % . S u p p o s e t h a t a 1 8 0 - d a y o p t i o n o n t h i s s t o c k w i t h s t r i k e K

1

= 1 0 0

i s t r a d i n g w i t h a n i m p l i e d v o l a t i l i t y o f 1 6 % . M o r e o v e r , y o u e x p e c t t h e \ s p o t " v o l a t i l i t y

t

t o v a r y b e t w e e n t h e l i m i t s

m i n

= 8 % a n d

m a x

= 2 4 % H o w c o u l d y o u u s e t h i s

i n f o r m a t i o n t o p r i c e a n d h e d g e a n o p t i o n w i t h a s t r i k e K

2

= 1 1 5 e x p i r i n g i n 1 6 0 d a y s ?

I n t h i s p r o b l e m , w e h a v e M = N = 1 . T h e m a r k e t p r i c e o f t h e a t - t h e - m o n e y o p t i o n

w i t h = 0 : 1 6 i s $ 5 . 7 5 . O p t i m i z i n g t h e f u n c t i o n V (

1

) w i t h F

1

( S ) = ( S 1 1 5 )

+

,

G

1

( S ) = ( S 1 0 0 )

+

a n d C

1

= 5 : 7 5 y i e l d s , f o r t h e s h o r t p o s i t i o n ,

1

= 0 : 3 0 2 ; V (

1

) = 1 : 9 7 ; = 0 : 0 6 :

T h i s m e a n s t h a t o p t i m a l h e d g e c o n s i s t s i n b u y i n g 0 . 3 0 2 a t - t h e - m o n e y o p t i o n s f o r e a c h

1 1 5 - o p t i o n s o l d . T h e U V M D e l t a h e d g e f o r t h e r e s i d u a l p o r t f o l i o i s 0 . 0 6 , i . e . , 6 % o f t h e

n o t i o n a l a m o u n t o f s h a r e s i n t h e c o n t r a c t . T h e q u a n t i t y V (

1

) = 1 : 9 7 r e p r e s e n t s t h e

c o s t o f t h i s h e d g e , w h i c h i s b r o k e n d o w n a s f o l l o w s : 5 : 7 5 0 : 3 0 2 = $ 1 : 7 3 i n v e s t e d i n t h e

o p t i o n h e d g e a n d 1 : 9 7 1 : 7 3 = $ 0 : 2 4 i n v e s t e d i n r e s e r v e s f o r d y n a m i c h e d g i n g . W e c a n

c o m p a r e t h i s w i t h t h e B l a c k - S c h o l e s p r e m i u m w i t h d i e r e n t v a l u e s o f . F o r = 0 : 1 6

w e h a v e a B S v a l u e o f $ 0 . 7 5 , w h i c h i s m u c h l e s s t h a n V (

1

) = 1 : 9 7 . O n t h e o t h e r h a n d

, i f y o u r w o r s t - c a s e f e a r s m a t e r i a l i z e a n d t h e t e r m v o l a t i l i t y t u r n e d o u t t o b e 2 4 % i n s t e a d

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