Upload
llamprou
View
55
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Ειςαγωγι ςτο Φαινόμενο Efimov
Λάμπροσ Λάμπρου
1110 2007 00093
2010-2011
Εργαςία ςτα πλαίςια του μαθήματοσ «Μαθηματική Φυςική»
Ειςαγωγι
-Τι είναι το φαινόμενο Efimov?
Ζςτω ςφςτθμα 3 ταυτοτικϊν μποηονίων. Αν:
αλλθλεπιδροφν με δυναμικό μικρισ εμβζλειασ (ςυγκεκριμζνα, δυναμικό που πζφτει ταχφτερα από 1/𝑟2),
βρίςκονται ςε κατάςταςθ μθδενικισ ςχετικισ ςτροφορμισ,
θ αλλθλεπίδραςθ του ςυςτιματοσ 2 ςωμάτων βρίςκεται ςε ςυντονιςμό ( 𝛼 → ∞) (δθλαδι θ ενζργεια ςφνδεςισ τουσ είναι μθδενικι και θ δζςμια κατάςταςθ οριακά εξαφανίηεται),
τότε ζχουμε εμφάνιςθ άπειρων δζςμιων καταςτάςεων για το ςφςτθμα των 3 ςωμάτων, που εμφανίηουν γεωμετρικό scaling!
Γενικά: ΟΧΙ απαραίτθτα ταυτοτικά ςωμάτια 3 τυχαία ςωμάτια
(Διατφπωςθ Efimov)
Ειςαγωγι
-Τι κα παρουςιάςω: Απόδειξθ τθσ φπαρξθσ του φαινομζνου για το απλοποιθμζνο ςφςτθμα:
𝑚1 = 𝑚2 ≫ 𝑚3
«Διαχωρίςιμο» ελκτικό δυναμικό αλλθλεπίδραςθσ: 𝑉 = −λ g⟩⟨g , λ > 0
Το ςφςτθμα αυτό βοθκά διότι:
Μετριάηει τθν τεχνικι πολυπλοκότθτα του προβλιματοσ 3 ςωμάτων
Διατθρεί τθ φυςικι του προβλιματοσ
Ειςαγωγι
Η πορεία που κα ακολουκιςουμε:
Περίλθψθ τθσ κεωρίασ ςκζδαςθσ (ανάλυςθ μερικϊν κυμάτων, κεωρία ενεργοφ εμβζλειασ + μικουσ ςκζδαςθσ)
Πρόβλθμα 2 ςωμάτων με διαχωρίςιμο δυναμικό
Πρόβλθμα 2 ςωμάτων με δυναμικό 1/𝑟2
Περίλθψθ τθσ προςζγγιςθσ Born-Oppenheimer
Πρόβλθμα 3 ςωμάτων (χριςθ όλων των προθγοφμενων ςυμπεραςμάτων για τθν τελικι εξαγωγι του Efimov effect)
Θεωρία Σκζδαςθσ
• Προςπίπτουςα Δζςμθ: 𝜓1 𝑥 = 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 (1) Ιδιοκατάςταςθ τθσ ελεφκερθσ Χαμιλτονιανισ:
𝛨𝜊 𝜓 = 𝛦|𝜓⟩
• Σκεδαηόμενθ Δζςμθ: 𝜓2 𝑥 Ιδιοκατάςταςθ τθσ ολικισ Χαμιλτονιανισ:
𝛨𝜊 + V 𝜓 = 𝛦|𝜓⟩
Θεωρία Σκζδαςθσ
Πϊσ κα προςδιορίςουμε τθν κατάςταςθ 𝜓2?
𝐻𝑜 − 𝐸 𝜓 = −𝑉 𝜓 𝜒ώ𝜌𝜊𝜎 𝜃 𝜍 𝜔𝜈
𝛻2 + 𝑘2 𝜓 𝑥
= 2𝑚 𝑑3𝑥′ ⟨𝑥 |𝑉|𝑥 ′⟩𝜓(𝑥 ′)
όπου: 𝑘2 = 2𝑚𝐸
• Ζςτω 𝐺 𝑥 , 𝑥 ′ : θ ςυνάρτθςθ Green τθσ εξίςωςθσ Helmholtz
Θεωρία Σκζδαςθσ
Τότε:
𝜓 𝑥 = 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 + 𝑑3𝑥′ 𝐺 𝑥 , 𝑥 ′ 𝑑3𝑥′′ 𝑥 ′ 𝑉 𝑥 ′′ 𝜓 𝑥 ′′
Για απλοποίθςθ τθσ μορφισ κεωροφμε τοπικό δυναμικό:
⟨𝑥 |𝑉|𝑥 ′⟩ = 𝑉(𝑥 ) 𝛿 3 (𝑥 − 𝑥 ′)
Οπότε: 𝜓 𝑥 = 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 + 𝑑3𝑥′ 𝐺 𝑥 , 𝑥 ′ 𝑉(𝑥 ′)𝜓 𝑥 ′
• Συνάρτθςθ Green για τθν εξίςωςθ Helmholtz:
𝐺 ± 𝑥 , 𝑥 ′ = −1
4휋
𝑒±𝑖𝑘 𝑥 −𝑥 ′
𝑥 − 𝑥 ′
Θεωρία Σκζδαςθσ
• Πρζπει να λφςουμε τθν ολοκλθρωτικι εξίςωςθ!
• Προςζγγιςθ: Μασ ενδιαφζρει θ κυματοςυνάρτθςθ ςε αποςτάςεισ πολφ μεγαλφτερεσ του εφρουσ του δυναμικοφ!
-Θζτω: 𝑥 = 𝑟, 𝑥 ′ = 𝑟′ -Προςζγγιςθ: 𝑟 ≫ 𝑟′
𝑥 − 𝑥 ′ = 𝑟 1 − 𝑟 ∙𝑥 ′
𝑟+ 𝑂
𝑟′
𝑟
2
→ 𝑟 − 𝑟 ∙ 𝑥 ′
Τότε: 𝜓 𝑥 → 𝑁 𝑒𝑖𝑘∙𝑥 +𝑒±𝑖𝑘𝑟
𝑟𝑓 𝑘′, 𝑘 (2)
Θεωρία Σκζδαςθσ
• Επομζνωσ: Τελικι κυματοςυν.= επίπ. κυμ.+ ςφαιρικό κφμα
Ειςερχόμενο αν 𝐺 = 𝐺−
Εξερχόμενο αν 𝐺 = 𝐺+
Επιλέγουμε το εξερχόμενο για φυςικούσ λόγουσ!
Στόχοσ
Θεωρία Σκζδαςθσ
Διαφορικι Ενεργόσ Διατομι: 𝑑휎
𝑑Ω𝑑Ω =
=# 휎𝜔휇. 휋휊𝜐 휎휅휀𝛿𝛼휁휊휈𝜏𝛼휄 휎휀 휎𝜏휀휌휀𝛼 𝛾𝜔휈휄𝛼 𝑑Ω ςτη μονάδα χρόνου
# προςπ. ςωμ. που διέρχονται μοναδιαίασ επιφάνεασ ςτη μονάδα χρόνου
=𝑟2 𝑗 𝑠𝑐𝑎𝑡𝑡 𝑑Ω
𝑗 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑= 𝑓 𝑘, 𝑘′ 𝑑Ω
• Όταν το δυναμικό είναι ςφαιρικά ςυμμετρικό
𝑓 𝑘, 𝑘′ = 𝑓(𝑘, 휃), όπου 휃 θ γωνία ωσ προσ τθν
διεφκυνςθ τθσ προςπίπτουςασ δζςμθσ
Θεωρία Σκζδαςθσ
• Η 𝜓2 είναι λφςθ τθσ ςφαιρικισ εξίςωςθσ Schrodinger
(𝛻2+(𝑘2 − 2𝑚𝑉))𝜓2 = 0 όπου: 𝑉(𝑟 > 𝑟𝑉) → 0, αν 𝑟𝑉: εμβζλεια του V Άρα: (𝛻2+𝑘2)𝜓2 = 0 για 𝑟 > 𝑟𝑉
𝜓2
𝑟>𝑟𝑉 𝐴𝑙𝑗𝑙 𝑘𝑟 + 𝐵𝑙𝑛𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙(휃)
∞
𝑙=0
• Αρχικι κυματοςυνάρτθςθ:
𝜓1 = 𝛮 𝑒𝑖𝑘𝑧 = 𝑖𝑙 2𝑙 + 1 𝑗𝑙 𝑘𝑟 𝑃𝑙 cos 휃
∞
𝑙=0
Διατιρθςθ ςτροφορμισ
Θεωρία Σκζδαςθσ
• Από τισ παραπάνω εκφράςεισ, τθ ςχζςθ (2) και τισ αςυμπτωτικζσ εκφράςεισ:
𝑗𝑙 𝑘𝑟𝑘𝑟≫1 1
𝑘𝑟sin 𝑘𝑟 −
𝑙휋
2
𝐴𝑙𝑗𝑙 𝑘𝑟 + 𝐵𝑙𝑛𝑙 𝑘𝑟𝑘𝑟≫1 𝐴𝑙
2 + 𝐵𝑙2
12
𝑘𝑟sin 𝑘𝑟 −
𝑙휋
2+ 𝛿𝑙
Προκφπτει:
𝑓 휃 = 2𝑙 + 1
𝑘 𝑒𝑖𝛿𝑙 sin 𝛿𝑙 𝑃𝑙 cos 휃
∞
𝑙=0
Κακορίηεται από το V !!
Θεωρία Σκζδαςθσ
• Θεωρία Ενεργοφ Εμβζλειασ
-S κατάςταςθ, ενζργεια 𝐸 =𝑘1
2
2𝑚, δυναμικό V:
𝑑2𝑢1
𝑑𝑟2+ 𝑘1
2𝑢1 − 2𝑚𝑉𝑢1 = 0 (3)
-S κατάςταςθ, ενζργεια 𝐸 =𝑘2
2
2𝑚, δυναμικό V:
𝑑2𝑢2
𝑑𝑟2+ 𝑘2
2𝑢2 − 2𝑚𝑉𝑢2 = 0 (4)
Όπου: 𝑢𝑖 𝑟 = 𝑟𝑅𝑖 𝑟 , με ςυνοριακζσ ςυνκικεσ: 𝑢𝑖 𝑟 = 0 = 0
Θεωρία Σκζδαςθσ
• Πολλαπλαςιάηουμε τθν (3) με 𝑢2 και τθν (4) με 𝑢1, τισ αφαιροφμε και ολοκλθρϊνουμε, οπότε:
𝑢2
𝑑𝑢1
𝑑𝑟− 𝑢1
𝑑𝑢2
𝑑𝑟 0
𝑅= 𝑘2
2 − 𝑘12 𝑢1𝑢2𝑑𝑟
𝑅
0
(5)
Θεωρία Σκζδαςθσ
-S κατάςταςθ, ενζργεια 𝐸 =𝑘1
2
2𝑚, δυναμικό V=0:
𝑑2𝑣1
𝑑𝑟2+ 𝑘1
2𝑣1 = 0
-S κατάςταςθ, ενζργεια 𝐸 =𝑘2
2
2𝑚, δυναμικό V=0:
𝑑2𝑣2
𝑑𝑟2+ 𝑘2
2𝑣2 = 0
• Ιςχφει και πάλι:
𝑣2
𝑑𝑣1
𝑑𝑟− 𝑣1
𝑑𝑣2
𝑑𝑟 0
𝑅= 𝑘2
2 − 𝑘12 𝑣1𝑣2𝑑𝑟
𝑅
0
(6)
Θεωρία Σκζδαςθσ • Αφαιρϊντασ τισ (5) και (6) και με τθν παρατιρθςθ ότι
𝑢𝑖 𝑟 > 𝑟𝑉 = 𝑣𝑖 𝑟 > 𝑟𝑉 , προκφπτει:
𝑣1
𝑑𝑣2
𝑑𝑟− 𝑣2
𝑑𝑣1
𝑑𝑟 𝜊
= 𝑘22 − 𝑘1
2 𝑣1𝑣2 − 𝑢1𝑢2 𝑑𝑟
∞
0
(7)
• Χρθςιμοποιϊντασ τισ λφςεισ για τα 𝑣1,2 όταν 𝑘1 = 0, 𝑘2 = 𝑘 ≠ 0:
𝑘 cot 𝛿 = −1
𝑎+ 𝑘2 𝑣1𝑣2 − 𝑢1𝑢2 𝑑𝑟
∞
0
(8)
Μικοσ Σκζδαςθσ ≈ 𝑣1
2 − 𝑢12 𝑑𝑟
∞
0
+𝑂 𝑘2 =𝑟02
Ενεργόσ Εμβζλεια
Θεωρία Σκζδαςθσ -Φάςθ 𝛿𝜊 για τθν S κατάςταςθ (ςφμφωνα με τθ κεωρία ενεργοφ εμβζλειασ):
𝑘 cot 𝛿𝜊 = −1
𝛼+
1
2 𝑟𝑜𝑘2
-Πλάτοσ ςκζδαςθσ ςε κατάςταςθ ςτροφορμισ S:
𝑓 θ =1
𝑘 𝑒𝑖𝛿𝑜 sin 𝛿𝜊 =
1
𝑘 cot 𝛿𝜊 − 𝑖𝑘
𝑟𝑜→0 −1
1𝛼
+ 𝑖𝑘
• α<0 Δεν υπάρχουν δζςμιεσ καταςτάςεισ • α=∞ 1 θμιδζςμια μθδενικισ ενζργειασ
• α>0 Υπάρχει δζςμια με ενζργεια 𝛦 = −1
2𝑚𝛼2 (Πόλοσ του πλάτουσ ςκζδαςθσ)
Το δυναμικό υπειςζρχεται μζςω των 2 αυτϊν
παραμζτρων!
Ικανοποιθτικι περιγραφι για ενζργειεσ μζχρι ~10 ΜeV
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων
(i) Διαχωρίςιμο Δυναμικό Αλλθλεπίδραςθσ
• Ζςτω 2 ςωμάτια με μάηεσ 𝑚, 𝑀.
• Θζτω: 휌 =𝑀
𝑚 , 휈′ =
𝜌
𝜌+1
• Η εξίςωςθ Schrodinger ςτο χϊρο Hilbert κα είναι: (𝐻𝑜+𝑉) 𝜓 = 𝐸 𝜓
𝑝 2
2휇+ 𝑉 𝜓 =
𝑘2
2휇𝜓 =
𝑘2
2𝑚휈′𝜓
όπου: 𝑉 = −λ g⟩⟨g
• Στο χϊρο των ορμϊν:
𝑝2 − 𝑘2
2𝑚휈′𝜓𝑘 𝑝 = 휆𝑔 𝑝 𝑑3𝑝′𝑔 𝑝′ 𝜓𝑘 𝑝′
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων • Αναηθτοφμε δζςμιεσ καταςτάςεισ για τθν περίπτωςθ:
𝑀 ≫ 𝑚 • 𝑘 = 𝑖휅𝜊 , 휌 → ∞, 휈′ → 1 • Επιλζγω κατάλλθλεσ μονάδεσ ϊςτε 2𝑚 = 1 για
ευκολία.
𝜓𝜅𝜊𝑝 =
휆𝑔 𝑝
휅𝜊2 + 𝑝2
𝑑3𝑝′𝑔 𝑝′ 𝜓𝜅𝜊𝑝′ (9)
• Πολλαπλαςιάηουμε με 𝑔(𝑝) και ολοκλθρϊνουμε ωσ προσ 𝑝, οπότε το ενεργειακό φάςμα των δζςμιων καταςτάςεων προςδιορίηεται από τθ ςχζςθ:
휆 𝑔2 𝑝
휅𝜊2 + 𝑝2
𝑑3𝑝 = 1 (10)
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων
Σθμείωςθ:
• Στο Efimov ΔΕΝ παίηουν ρόλο οι λεπτομζρειεσ του δυναμικοφ (παρά μόνο ότι πρζπει να φκίνει ~𝑟−2− )
• Για να γίνει ξεκάκαρο το φυςικό περιεχόμενο, ςτθν ανάλυςθ παρακάτω κα επιλζξουμε ζνα δυναμικό που διευκολφνει τισ πράξεισ και επιτρζπει τον άμεςο και εφκολο ζλεγχο τθσ εμβζλειάσ του.
• Yamaguchi potential:
𝑔 𝑝 =1
𝑝2 + 𝛽2 (11)
𝑔 𝑟 = 휋
2
𝑒−𝛽𝑟
𝑟 (12)
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων
(ii) Δυναμικό Αλλθλεπίδραςθσ 1/𝑟2
• Ζςτω το δυναμικό:
𝑉 =휇
2𝑚𝑟2, ό휋휊𝜐 𝑟: 휎𝜒휀𝜏휄휅휂 휃휀휎휂
• Θα αναηθτιςουμε δζςμιεσ καταςτάςεισ για ςφςτθμα 2 ςωματιδίων ςτθν s-κατάςταςθ.
• Εξίςωςθ Schrodinger για τθ ςχετικι κζςθ:
−𝑑2𝑢
𝑑𝑟2+
휇
𝑟2𝑢 = 2𝑚𝐸𝑢 = −𝑘2𝑢 (13)
όπου: 𝑢 𝑟 = 𝑟𝜓 𝑟 , με Σ.Σ.: 𝑢 𝑟 = 0 = 0
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων
• Αλλαγι μεταβλθτισ: 𝑧 = 𝑘𝑟 • 𝑢 = 𝑧𝑓 𝑧 • Παραμετροποίθςθ τθσ ςτακεράσ ςφηευξθσ ωσ:
휇 = − 𝑠 +1
4
• Η εξίςωςθ γίνεται: 𝑑2𝑓
𝑑𝑧2+
1
𝑧
𝑑𝑓
𝑑𝑧+
𝑠
𝑧2− 1 𝑓 = 0 (14)
• Αν 𝑠 < −1/4, δθλαδι 휇 > 0 ΔΕΝ υπάρχουν δζςμιεσ, αφοφ το δυναμικό είναι απωςτικό!
• Αν 𝑠 < 0, δθλαδι 휇 > −1/4 Η εξίςωςθ είναι ίδιασ μορφισ, ΔΕΝ υπάρχουν δζςμιεσ
• Αν 𝑠 > 0, δθλαδι 휇 < −1/4 ?
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων • Όταν 𝑠 > 0 οι λφςεισ είναι:
𝐾𝑖 |𝑠| 𝑘𝑟 휅𝛼휄 𝐼𝑖 |𝑠|(𝑘𝑟)
(Modified Bessel functions)
• H 𝐼𝑖 |𝑠|(𝑘𝑟) απειρίηεται εκκετικά ςτο όριο 𝑟 → ∞,
οπότε δεν μπορεί να περιγράφει δζςμια κατάςταςθ. • Εφαρμογι τθσ Σ.Σ ςτο r=0 οδθγεί ςτθν εξίςωςθ:
sin 𝑠 log𝑘𝑟
2− arg Γ 1 + i 𝑠
𝑟=0= 0
• Το παραπάνω θμίτονο περνάει άπειρεσ φορζσ από το 0 κακϊσ 𝑟 → 0 και θ ενζργεια δεν είναι φραγμζνθ από κάτω!
• Λφςθ του προβλιματοσ: Επιλζγω cut off ςε κάποια κοντινι ςτο 0 απόςταςθ 𝑟𝑐
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων
• Το ενεργειακό φάςμα τϊρα δίνεται από τθ ςχζςθ:
𝑘𝑛𝑟𝑐𝑘𝑛𝑟𝑐≪1
2𝑒−
𝑛𝜋
𝑠 𝑒−
arg Γ 1+i 𝑠
𝑠
• Οπότε: 𝛦𝑛+1
𝐸𝑛= 𝑒
−2𝜋
𝑠 (15)
• Το πρόβλθμα των 2 ςωμάτων που αλλθλεπιδροφν με δυναμικό αντιςτρόφου τετραγϊνου εμφανίηει geometric scaling ςτο ενεργειακό φάςμα των δζςμιων καταςτάςεων!
• Επίςθσ, ο αρικμόσ των δζςμιων καταςτάςεων είναι
άπειροσ 𝑁 ≅ 𝑠 ln𝑎
𝑟𝑐
Πρόβλθμα 2 Σωμάτων • Εξαγωγι του πλικουσ των δζςμιων ςτακμϊν:
• 𝑁 𝐸1, 𝐸2 = 𝑑𝐸 𝑔(𝐸)𝐸2
𝐸1
• 𝑍 𝛽 = 𝑑𝐸 𝑔 𝐸 𝑒−𝛽𝐸∞
0
• Για το πρόβλθμά μασ: 𝑉𝑙 = −𝑠+
1
4
2𝑚𝑟2 +𝑙 𝑙+1
2𝑚𝑟2 ≈ −𝑠+
1
4
2𝑚𝑟2 +𝑙+
1
2
2
2𝑚𝑟2
𝑍𝑙 𝛽 = 2휋 𝑑𝑝𝑟 𝑒−
𝛽𝑝𝑟2
2𝑚
+∞
−∞
𝑑𝑟∞
0
𝑒−𝛽𝑉𝑙 𝑟
𝑍𝑙 𝛽 =𝑚
2휋
12 𝛽−
12 𝑑𝑟
∞
0
𝑒−𝛽𝑉𝑙 𝑟
• 𝑔𝑙 𝐸 =𝑚
2
1
2 1
𝜋
𝑑𝑟
𝐸−𝑉𝑙 𝑟 Θ 𝐸 − 𝑉𝑙 𝑟
∞
0
• 𝑁 = 𝑑𝐸 𝑔𝑜 𝐸0
−∞ 𝑁 =
𝑚
2
1
2 2
𝜋 𝐸 − 𝑉𝑜 𝑟
𝑎
𝑟𝑐 𝐸 → 0
𝑁 ≅𝑠
휋ln
𝑎
𝑟𝑐
Διόρθωςη Langer
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Θα μελετιςουμε το ςφςτθμα 3 ςωμάτων για το οποίο
ιςχφουν: • 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑀 ≫ 𝑚3 = 𝑚 • Τα δυναμικά αλλθλεπίδραςθσ 𝑉1 (μεταξφ των
ςωμάτων 2 και 3), 𝑉2 και 𝑉3 πζφτουν ταχφτερα από 1/𝑟2 και είναι τθσ διαχωρίςιμθσ μορφισ Yamaguchi.
• Τότε: 𝐻𝛹 = 𝛦𝛹
όπου:
𝐻 = −1
2𝑀𝛻1
2 −1
2𝑀𝛻2
2 −1
2𝑚𝛻3
2 + 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 (17)
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Αλλαγι ςυντεταγμζνων:
𝑅 = 𝑟 1 − 𝑟 2
𝑟 = 𝑟 3 −𝑟 1 + 𝑟 2
2
𝑅𝑐𝑚 =𝑀𝑟 1 + 𝑀𝑟 2 + 𝑚𝑟 3
2𝑀 + 𝑚
• Ο τελεςτισ τθσ Χαμιλτονιανισ γίνεται:
𝐻 = −1
μ 𝛻
R2 −
1
휈 𝛻𝑟
2 −1
2𝑚𝑡𝑜𝑡 𝛻
𝑅𝑐𝑚
2 + 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 (18)
όπου:
휇 =휌
2=
𝛭
2𝑚= 𝑀, 휈 =
2휌
2휌 + 1
𝜌→∞1
Προςζγγιςθ Born-Oppenheimer • Αποτελεί αδιαβατικι προςζγγιςθ όπου θ ποςότθτα που
εξελίςςεται αδιαβατικά είναι δυναμικι μεταβλθτι (πχ κζςθ)
• Ζςτω ςφςτθμα που αποτελείται από βαριά και ελαφρά ςωμάτια με κινθτικοφσ όρουσ: 𝐻𝑀 και 𝐻𝑚 αντίςτοιχα.
• Χαμιλτονιανι:
𝐻 = 𝐻𝑀 𝑅𝑖 + 𝐻𝑚 𝑟𝑖 + 𝑉 𝑅𝑖 , 𝑟𝑗
• Κίνθςθ των βαρφτερων ςωματιδίων Βραδφτερθ • Τα ελαφρά ςωμάτια «αιςκάνονται» τα βαρφτερα ωσ
ακίνθτα κάκε ςτιγμι
Η κζςθ των βαρφτερων είναι απλά παράμετροσ για το πρόβλθμα των ελαφρϊν που εξελίςςεται αδιαβατικά!
Προςζγγιςθ Born-Oppenheimer
• Ολικι κυματοςυνάρτθςθ:
Ψ 𝑅𝑖 , 𝑟𝑗 = 𝜑 𝑅𝑖 𝜓 𝑟𝑗; 𝑅𝑖 (19)
• Τότε για τθν 𝜓 𝑟𝑗; 𝑅𝑖 κα ιςχφει:
𝐻𝑚 𝑟𝑖 + 𝑉 𝑅𝑖 , 𝑟𝑗 𝜓 = 휀 𝑅𝑖 𝜓
• Ειςάγοντασ τθν ολικι κυματοςυνάρτθςθ ςτθν εξίςωςθ
Schrodinger (με δεδομζνθ τθν παραπάνω ςυνκικθ): 𝐻𝑀 𝑅𝑖 + 휀 𝑅𝑖 𝜑 𝑅𝑖 = 𝐸 𝜑 𝑅𝑖
Ενζργεια του ςυςτιματοσ
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων
• Εφαρμογι τθσ Β-Ο ςτθν περίπτωςι μασ δίνει:
−1
휈𝛻𝑟
2 + 𝑉1 + 𝑉2 𝜓 𝑟 ; 𝑅 = 휀 𝑅 𝜓 𝑟 ; 𝑅 (20)
−1
휇𝛻
𝑅2 + 𝑉3 + 휀 𝑅 𝜑 𝑅 = 𝐸𝜑 𝑅 (21)
• Η (20) για 휈 → 1 και διαχωρίςιμο δυναμικό γίνεται (ςτο
χϊρο Hilbert):
𝛻𝑟 2 + 휆𝐷 𝑔 𝑔 𝐷† + 휆𝐷† 𝑔 𝑔 𝐷 𝜓 = 휀 𝑅 |𝜓⟩
όπου: 𝐷 = exp 𝑖𝑝 𝑟 ∙𝑅
2 Τελεςτισ χωρικισ μετάκεςθσ κατά 𝑅/2
Διότι:
𝑉1 𝑟 −𝑅
2 휅𝛼휄 𝑉2 𝑟 +
𝑅
2
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων
• Θζτω: 휀 𝑅 = −휅2 𝑅 (εφ’ όςων αναηθτϊ δζςμιεσ)
𝜓 = 휆 −𝛻𝑟2 + 𝑘2 −1 𝐷 𝑔 𝑔 𝐷† + 𝐷† 𝑔 𝑔 𝐷 𝜓
𝑔 𝐷 𝜓
= 휆 −𝛻𝑟2 + 𝑘2 −1 𝑔 𝐷2 𝑔 𝑔 𝐷† 𝜓 + 𝑔 𝑔 𝑔 𝐷 𝜓
(Δεδομζνου του ότι: [D, −𝛻𝑟
2 + 𝑘2 −1] = 0)
• Επειδι: 𝐻, 𝑃𝑅 = 0 𝜓𝑔𝑠 𝑟 ; 𝑅 = 𝜓𝑔𝑠 𝑟 ; −𝑅
𝑔 𝐷† 𝜓 = 𝑔 𝐷 𝜓 = 𝑁(𝑅)
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Στο χϊρο των ορμϊν θ προθγοφμενθ εξίςωςθ γίνεται:
휆 𝑑3𝑝𝑔2 𝑝 1 + 𝑒𝑖𝑝 ∙𝑅
𝑝2 + 휅2= 1 (22)
• Αν κυμθκοφμε από το πρόβλθμα των 2 ςωμάτων ςε διαχωρίςιμο δυναμικό ζχουμε (ςχζςθ (10)):
휆 𝑔2 𝑝
휅𝜊2 + 𝑝2
𝑑3𝑝 = 1
• Οπότε μποροφμε εξαλείψουμε τθ ςτακερά λ ςτθν (22) με χριςθ τθσ (10)
• Χρθςιμοποιϊντασ και το δυναμικό Yamaguchi που αναφζραμε για απλοποίθςθ των πράξεων (ςχζςθ 11):
𝑔 𝑝 =1
𝑝2 + 𝛽2
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Προκφπτει τελικά:
1 −𝛽 + 휅𝜊
𝛽 + 휅
2
=𝛽 + 휅𝜊
𝛽 + 휅
22𝛽
𝛽 − 휅 2
𝑒𝜅𝑅 − 𝑒−𝛽𝑅
𝑅−
𝛽 + 휅
𝛽 − 휅𝑒−𝛽𝑅
• Μασ ενδιαφζρει να μελετιςουμε το ςφςτθμα όταν τα διμερι
βρίςκονται ςτο όριο τθσ αποδζςμεςθσ
(δθλαδι 𝛼 → ∞ και ςυνεπϊσ 𝐸 → 0 휅𝜊 → 0) • Επίςθσ, κζλουμε θ εμβζλεια τθσ αλλθλεπίδραςθσ να είναι
πολφ μικρι όπωσ αναφζραμε ςτθν αρχι.
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Άρα:
• 𝛽𝑅 ≫ 1
• 𝑎 ≫ 𝑅 휅𝜊𝑅 ≪ 1 • 휅𝜊 ≪ 𝛽
• Αν κζςουμε: 휉 = 휅 − 휅𝜊 τότε: 휉 ≪ 𝛽 διότι για R μεγαλφτερα τθσ εμβζλειασ του δυναμικοφ το ελαφρφ ςωμάτιο κα τείνει να δεςμευτεί ςε ζνα από τα 2 βαριά οπότε 휅 → 휅𝜊
• Με τισ παραπάνω προςεγγίςεισ καταλιγουμε ςτθ ςχζςθ:
𝑒−𝜉𝑅 ≅ 휉𝑅 (24)
Πρόβλθμα 3 Σωμάτων • Με αρικμθτικι επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ καταλιγουμε
τελικά ςτθ ςχζςθ:
휅 𝑅 = 휅𝜊 +0,5671
𝑅
𝑎→∞ 0,5671
𝑅
• Άρα:
휀 𝑅 = −𝐴2
𝑅2
• Χρθςιμοποιϊντασ το αποτζλεςμα αυτό ςτθ δ.ε. για τθ 𝜑 𝑅 (ςχζςθ (21) και δεδομζνου του ότι το 𝑉3 ζχει μικρι εμβζλεια (ζςτω 𝑅𝑜) προκφπτει:
−1
휇𝛻
𝑅2 −
Α2
𝑅2𝜑 𝑅 = 𝐸𝜑 𝑅 𝑅 > 𝑅𝑜
A
Έχει λυθεί ήδη για την s κατάςταςη που μασ ενδιαφέρει!!!
Θα χρθςιμοποιθκεί ωσ cut off
Συμπεράςματα • Συνεπϊσ: ςτο όριο που 𝛼 → ∞, παρότι τα διμερι οριακά
αποδεςμεφονται το ςφςτθμα των 3 ςωμάτων εμφανίηει μια απειρία «ρθχϊν» δζςμιων καταςτάςεων με γεωμετρικι κλιμάκωςθ (και ςυνεπϊσ ςχθματίηεται τριμερζσ –με μεγάλθ ζκταςθ λόγω τθσ αςκενοφσ ηεφξθσ).
Σχόλια
-Φυςικά το Efimov μπορεί να αποδοκεί ςτο ότι όταν τα διμερι τείνουν να αποδεςμευτοφν το μζγεκοσ του ςυςτιματοσ των 2 ςωματιδίων είναι πολφ μεγάλο και θ φπαρξθ ενόσ ακόμθ ςωματιδίου μπορεί να γίνει αντιλθπτι από αυτό. Η εμφάνιςθ του 3ου ςωματιδίου οδθγεί ςτθν δθμιουργία ενόσ effective δυναμικοφ τθσ μορφισ 1/𝑟2 που κακορίηει τισ ενεργειακζσ ςτάκμεσ. -Στθν ειδικι περίπτωςθ που μελετιςαμε εμείσ, ουςιαςτικά το ελαφρφ ςωμάτιο με τθν (ταχφτερθ) κίνθςι του λειτουργεί ωσ φορζασ τθσ αλλθλεπίδραςθσ, διότι ανταλλαςςόμενο οδθγεί ςτθν εμφάνιςθ του effective δυναμικοφ.
Σχόλια -Ζνα ςυγγενζσ φαινόμενο: Thomas effect Για ςτακερι ενζργεια δζςμευςθσ για το διμερζσ (ςτακερό κετικό 𝛼), όταν θ εμβζλεια τείνει ςτο 0 εμφανίηεται απειρία δζςμιων καταςτάςεων με 𝐸 → −∞. -Το φαινόμενο Thomas δεν επιδζχεται πειραματικισ επιβεβαίωςθσ ςε αντίκεςθ με το Efimov που επαλθκεφτθκε το 2006.
Βιβλιογραφία • R.K. Bhaduri, A. Chatterjee, B.P. van Zyl, “An elementary exposition to the
Effimov Effect”, Am. J. Phys. 79 (3) 2011 • S.A. Coon, B.R. Holstein, “Anomalies in quantum mechanics: The 1/𝑟2
potential”, Am. J. Phys. 70 (5) 2002 • H.A. Bethe, “Theory of Effective Range in Nuclear Scattering”, Phys. Rev. 76
(1) 38-45 (1949) • J.J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics” • S.M. Wong, “Introductory Nuclear Physics”