47
RESEARCH REPORT February 2003 RR-03-04 An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family Calibration Research & Development Division Princeton, NJ 08541 Sandip Sinharay Matthew S. Johnson David M. Williamson

An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

RESEARCH REPORT February 2003 RR-03-04

An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family Calibration

Research & Development Division Princeton, NJ 08541

Sandip Sinharay Matthew S. Johnson David M. Williamson

Page 2: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family
Page 3: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family Calibration

Sandip Sinharay

Educational Testing Service, Princeton, NJ

Matthew S. Johnson

Baruch College, New York, NY

David M. Williamson

Educational Testing Service, Princeton, NJ

February 2003

Page 4: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Research Reports provide preliminary and limited dissemination of ETS research prior to publication. They are available without charge from:

Research Publications Office Mail Stop 10-R Educational Testing Service Princeton, NJ 08541

Page 5: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

�� �����

���� ��������� ����� ��� �� �� ' ���!� ������� � ���� ���� �� � !� ���� ��� ������������

��� �� � !���( ������ ��� ������!����� " � �(�!���� �� �� !���� ���! �������� �

)*+,- �����!�� � ���� !�� � ����� ' !������ ���!� ��������� '� ! � �!#�� ' ���!

! ����� +��! ����#���� � � �� ���� ' � ��� �� ������!��� ��.���� /����� ! ���� ���� ���

���� ��� ��� �� ��� ���������� ������� �������� �! �� ��� ���!� ���� #�� �� � ���

��!� ���! '�!���� ,��� ��� ��� ��� 0����� )$%%1- ������ � �������� ������������ ! ���

� �����2� ���� ��� ����� ���! '�!������ � /� ���� ������������ ! ��� ���� ��� ���� �

����� � ��� ���� )����- ��� ����!� " �!������ ��� ���� ��� ����! �� ����� ������

������ ��� ������ )� !����� � /����� � ��!��� ���! ���� ��� ��� �� ! ���- ���� ����

��� ������ ��� � !���(��� �� ��� ' �! ' ��������� �� ��� ! ���� � �� � ���� ��� ! ���

��� ���� ��� ��� �� ��� ���������� ������� �������� �! �� ��� ���!� ��� ����� �� ��

�!�� ��!��� ��� ��� ! ���� �������� ��� �� ��!���� ������ ��� � ���� ��� ��� � �� �

' ��� '�!��� �(������ ���� ��� '���� � )"3"- �� � ��� � �!!���2� ��� �� #�#����� '

� � ����� ���� ��� � �� ���! ���� !�� ��������� '� ! �� ���! '�!��� ��� ������ � ���

� ����!��� ��� "3"�� 4� � �� �� � ���� � ����� �������� � � � ���� ��� ���� �����/����

�! �� ' ��� ���� ' � ����� ���� ���! '�!������ #����� ����#������ ��� ��� ���! '�!�����

!���� #� �� �� ������ ���� ����#������ ���� ���! �� ��� '�!����� �����������

5�� � ���6 �������� !��� ��� ������������ ! ���� ���� � ����� � ��� ���� � ���! ! ����

�� !���� ���! �������� �� �(������ ���� ��� '���� �

Page 6: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

��������������

��� ������� ��� ����� ���� �� ���� ���� ��� ����� ������� ������� ����� ���

��� �� ��� ����� ��� ��� ���� ���� ������������ ��� ������� ��� ���� ������ �� ���

����� ��������� ���� �� ������ !��� "������ �� "������� #��������� ��� �����

������ ������� ����� ��� ����

� �������� ��� ������� ���������� ��������� ��� $������ %���� ��� &�������

#��������� ��� ������� ������ �� ��� ���� ��� ��� #����� '�

��

Page 7: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

�� ������������

��� ������ � ' ����� ����� ���� ������ ������� �� ���!� ��!���� � ����� �!#��

' ���� .����� ���!� � � ����� ���! � ��� 0���� � �� ��� ���������� �!� ����� ��

�������� ������� �� ���!� ����� � ������ ��� ���! �(� ��� ��� � ������� ����� ���

��� ��� ��������� ���� �9 ��� � � ����� ���! � �� ��� ��# �� � ' � � �� � ��������

�������� ' !������ �� ��� ���!�� ��� ��!� �9 ��� ' � � !���( � �������� ���� ��� �����

��� ���� ! �� ������������ +� ���� ��� � ��� �9 ��� �(������ ��� ����� ����� ��� ��������

���! .����� ��� ������ ���� ������� ��� ���! �� ���� �� �������� �� ���������� �� ����

���! ! ���� � ���� �� ���� � ' ���!� ���� ��!���� � ������� ��� ����������� �� �������

)��� +����� : 5��� ���� $%%$� ' � � ����� ' � !� ������ ����� ' ����������� � ' � ���!

! ������ ��� �������� �-� ������ ���!� ����� '� ! �� !���� ���! �������� � )*+,-

�����!� � '� ! ��� � � !���� �� ������� ���!� �� ���� '� ! � ������ ���! ! ��� ���

������� � �� �� ���� ��� �� ��� � !! � ���������� ! ��� ��� �����' �� � ������� ��

���� ������

+��!� '� ! ��� ��!� ����;��/��� ���! '�!��� �� �� #� ������� � �� �� �����

�����' ��� �� �� ��������� ��� #���/���� � �� ����#���� � ! ���� ���� ��� �� ' � ���

���������� ������� �! �� ��� ���!� '� ! ��� ��!� ���! '�!���� ��� � ��� #� ��������

��������(� �������� ��� �� � ��� )$%%%- ��� ����� )$%%$- ��� ������� ����!��� ��

#������ ��� ! ����� ,��� ��� ��� ��� 0����� )$%%1- ������ �� ��� ! ��� ���� ��

! �� �������� 4� � �� �� ��!�� �� �(�!����� ��� ������ ! ���� ��� ! ��� ���!�� ����

��� ���! ����!����� ' � �����;����!���� � ������ ! ��� )&�0- )0 ��� 1<=%- ��� � �!����

������#��� ���� � !��� ���� � ��� � �������� !����( ���� ������ � ��� ���! '�!��� '� !

����� ��� ���! �� ����������

��� ������������ ! ��� ������#�� ���� ��� � !� ��!������� � ��� ������� ! ���

)����� �� ������ : ���� 1<<<- �� ��� ����� ���� �� ������#�� �� �(��� ����� ' ����������

#������ ��� ���! ���� ���� ' ����������� 8 ������ ��� ������� ! ��� ������#�� ��� �(���

>� ���? ���������� #������ � ������ �(�!����@� ���! ���� ���� ������ � �������� �������

��� ! ��� �� ������#� ���� �(������ ��� ���������� #������ ��� �(�!�����@ ���� ���� �

��� ��!� ������ !�!#�� '� ! �� ���! '�!����

Page 8: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

� �� � ���� �� �� � ���#�� � /� ��� ! ��� ������ ���� ��� ��� � ����� ���

���� )����- ��� ����! ),��!��� ������� ������ : 3#��� 1<<AB ,����� 3������� �� :

�������������� 1<<C-� ��� ������������ ! ��� �!����� ' � ���� ���! '�!��� � ����� ��������

���� ��� ������ � )"3"- ���� ����� ��� �� #�#����� ' � � ����� ���� ��� � �� ���!

���� !�� ��������� '� ! ��� ���! '�!��� ' � � ����� �(�!���� �#������ � ������ � ���

� � !��� ����!���� ' ��� "3" ��� �� ���� (�!��� � �/����� # �� ' � �� ���� ���

� ��� ���� !��� � ��� ��� ��� ' ��� ���� ��� ����!� � ���� � � ��� ������

#������ ���� � ������������ ! ��� � !���� � �� �� #������ #� ���� �(������ !��� ��

' � �������� ��!���� �� #��!�� ��� � �� �� � � ������� � ' � ��� � ��� �������� )$%%$-

���� �(����� �� � ���� ���� �(�!���� ����� '� ! �����!� �� � ��� �� ��������� ��� ��7��

)$%%$�B $%%$#-�

��� ��(� ����� � ���� ���� ��� ������������ ! ���� ����� � & ����� �# � ����!��� �

' ��� ! ��� ����!����� ��� ��� '�!��� �(������ ���� ��� '���� �� ���� ��� ����

��� ����!� ����� � D �������� ������ '� ! � ��!���� � ����� +� ����� � A� �� �����

��� ������������ ! ��� � �� ������ ��� ���� ��� '� ! � ���� ������ ������!���� ����� �

C �������� ��� ��������� � ' ��� ! ��� � � ���� ��� '� ! ��� ���� ��� *�����!��� '

����� ��� �� ����� )�*�-� "������� �� ������ � � ����� �� ��� '��� ������� �� ��

����� � E�

�� ��� ������������ �����

��� �� ����� ��� � ���!� ��� ��� #� � F 1� $� � � � � �� � ����� " � ���� � ���

�� ���!� ���� ��� ���!� ��� ���� � ! ��� �� ���� � ������ ���� ��� ���� �� ����� �

�(�!����� � F 1� $� � � �� � *� ���! '�!��� �� ��/��� �� � �� � ' ���!� ���� ��� #������� �

#� ������� � �� �� ���� �� � !� ���� " � �(�!���� ��� ���!� !�� #� ��������� '� ! ���

��!� ���! ! ��� )������-� 0�� �)�- #� ��� ���! '�!��� '� ! ����� ��� ���! � �� ����������

+��!� � ��� � ��� �������� �' ���� � !� '� ! ��� ��!� ���! '�!���� ����� �' �)�- F �)�-�

����� ��� ����� ���� ����� ' � ! ������ ���� ��� ����� ���! '�!������ � ������

��� ! ���� �� ��� � ���(� ' ��� &�0 )0 ��� 1<=%- ! ����� #� �� ��� ����� ' ��� ! ����

�� ��� � ���(� ' ���� ����� ' ���! ���� ��� '���� �� )����� $�0 ! ���- �� �����

Page 9: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

��������� ������ ����

4�� ��!��� ��� � ! ��� ���! '�!����� �� � ���!� ��� ��!� ���! ���� ���

'���� � ' � ��� ���!� �� ��� ��!� '�!��� )8 !# : �������� $%%1-� ���� !���� ! ������

��� ���� ��� '���� � ' � ��� �;�� ���� � � ��� �;�� ���! ��

��)��- F ���� G1� ����

1 G �(������)����� � ��-��

� ���� ���� ���� ��� ��� >+�������� ��#����� � ���? )+��-� ���� ���� ! ��� ��� #� /�

#� �������� � '����� )���� �*3��*0 � �+04,-� �� ��� ��� ��!����� � ���� �� ��� ���

��� ������� � #������ ��#����� ��� ������ �� ��� '��� ' ��� ������� ��� �� ����� ��� �����

����!���� ' ��� ���! ����!������

��������� ������ ����

>H�������� ��#����� � ���? )H��- ���!�� � ��������� �������� )�����������-

���! ���� ��� '���� � ' � ��� ���!�� ���������� ' ����� '�!��� !�!#������� �����!���������

��� ! ��� �� ����������� ��

��)��- F � G1� �

1 G �(���)�� � ��-��

���� ��� H�� ��� #� /� #� �������� � '������ ���� ��� ��� ������������ ���� ���� ���!

��� � #� ����������� ����#������ *�� � ���� ���� ��� ��� ��� ��� ������ ����� #������

��#����� �� �� ���! '�!��� ��� ����� ���� �� ���� �������� ��� �� ' ���! ����!����� ����

��� ������ ���� ��� �����

������� ������ ����

4�� ��� � ���� !� ��� ��!����� �� ' ��� �# �� !���� ��� �� !��� �� �� �

����� ��� >3������ ��#����� � ���? )3��-� � ������������ ! ��� ���� ���!�� � ��������

���! ���� ��� '���� � ' � ���� ���! #� ������� ��#����� ������ � '�!��� ���� � ������������

Page 10: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

� !� ���� ),��� : ��� ��� 0������ $%%1-� �����!��������� ���� ! ��� ���!��

��)����� ��� �- � ��� �� F 1 � ��� �� ��� �� F � G����

����������������

�� � � )�� ��-

�� � � ����

�� � � ��

������

�)��� ��� ��-

� � ������� ���� � ��)������� ����-

���������������������

)1-

+� �� �� #� � ��� ���� �(������� �� ��� � � ��������� ���� �����' �!��� ��� �����

�I�J F �I��� J� 8 ������ #����� ��� �����' �!��� � �� ! � � �� ����������� ��� .�������

)�������� ��� !�����- ��� ��������� ���� ��� �����' �!��� �� � /( ��� ����� ��� �����

' ��� �#����� ����!����� )���-� �� ��� ��� ����!����� ' ����� ��� � ������#�� � �� � F %�

�� F 1 �� �� � �� ���� �������� +3� ! ����� � � !����� ��� ! ��� �����/���� �� ��

���!� ����������� !���������� � �!�� ��� � ������#�� �� ' � �������

����� � ��

������� �

�����%

%

���

� � �� �

� �1%%� % %

% 1%%� %

% % ����

�����

� � )$-

��� ����������� ������� ������ ��� � ������#�� �� � ��� � ������

� ������ � ������)�����-� )&-

������ � � ������)�����-� � ������ ��!���� � � �� �!����� ���� ��� ������� ' � ��

�� � ��� ��� �

�� ������������

��1

$������

� ���

� �� ���� #� ����������� ��� ��������� ���! ����!����� )��� ��� ��-� � ' ���

������� �� ��� �������� ! ��� � ������� ��� ��� ' � ��� '��� ���� ���� ���� #� ��

���������� � ��� ��!� ���! ��� � �������� ���� ���� � ����� ���� � ��� '�!��� ����!����

����� ��� � �����

� ���� ��� �� )$- ���� �� ���!� � ���' �!����� ��� � ������#�� �� � ��� /���

�� � !� ����� )�� �� � ����� ����� � ��� ������!����� � ����!���� �� ��� ������

����!���� ��- ' ������ � ��� � ��� ���� � �� ���� ��� ��� ��' �!��� � �# � ��� � ����� �

Page 11: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

1 (1 + exp(−λg))

Den

sity

0.15 0.20 0.250

510

1520

25

������ �� ��������� �� �� �� �� ����� ��������� � �� ���� ����� � �� ������

������#�� �� 8 ������ ��� ��� � ������#�� � � ��� ����� � !� ���� )���� � ����� �����

� ��� ������� ����!���� ��- �� ����� ����� � #� � !����� ��' �!������ !����� #�����

� � ���' �!����� ��� � � ��� ������� ����!���� ������ �� � ���� �� � � ��������� ' ���

���� ��� ����! ��� � /� ��� ! ���� *�� � �� �� � ���#�� � �(����� � !� ��' �!��� �

�# � ��� ������� ����!���� '� ! ��� ���� ���� ��� ' �!��� " � �(�!���� �' �� ��� �������

���� !������ �� ��� ���!� ���� /�� �� ���� ��� � � �������� �� ' � ��� ���� ' � �� �����

�� ��� ���!� ����� � �������� �� �(�!���� ���� ���� � �� #�#����� ' �� �� %�$ � ���

��� ���! � ����� #� ���� ! �������B ���� ������ �� ������

��� F � �

�%�$

1� %�$

�F �1�&<

��� � ���� ' �������� �� � � � ������ ��� ��� �!#�� ' �� ���� �� ��9������ � � !�

��� � �� ������ �# � ��� .����� ' ��� �������� �� �� �� ��� ��� ��� � ������#�� � ��

������� ��� ��������

"���� 1 �� �� � �� � ' ��� �� #�#����� ������� '���� � ' ��� ��� � ������#�� �

���� ��� F �1�&< ��� ����F %�%1� � �� ���� ��� �����#�� �� �� ������� �� �� ���� �� �

�����' �!��� � ' ��� ����� � !� ���� ' ����� � !��� �� �� ��� ��!� ����� �� ��� �������

����!����� ���

��� ���!��� � )&- �!����� � ��� � !��� ' ���� ' � ������� ��� ���� � ��� �� ��

���� ��' �!��� � ���� �� �.������� � �� #������� �� � )��� ��� ��-� � ��� ��� �����

����!����� ��������� � � �� ������ ' ��� �� #��!�

Page 12: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

4�� �!� ����� ����� � � ���� ���� �� ���� ��� +�� ��� H�� ��� ��!����� ����� '

��� 3��� +' ��� �������� ����!����� �� � ���� #�� !� ���� �!��� �� ��� 3��� ����� �� �

������� � �! �� ��� ���!� �� ��� ��!� '�!��� ��� �� ��� ��� +��� 4� ��� ���� ����� �' ���

��������� #�� !� ���� ����� )!�� ������ ���� ��� �������� #������ ��� ������-� ��� '�!���

!���� ������ � ���� ����� �� � ��� � ���������� #������ '�!����� ��� �� ��� ��� H���

������ �������� �������� �������� ������

" � ��� 3��� �� !�� #� ����������� � � � �� � ���� ��� '���� � ������� � ��

���! '�!��� � ��� �� #�#����� ' � � ����� ���� ��� ' � �� ���! '�!��� �� � '���� � ' ���

�(�!���� �#����� �� � �� ���� ��� ������������ ������� ' ��� 3�� ������� ���� � #����

��� ���� ��� '���� �� �� ��� � ���� ��� ������� '

��)���� ��� �- F � G1� �

1 G �(���)�� � �-�)D-

��� ��� � ���#�� ����� ' ��� ���! ����!����� ���� �� !�� #����� ' � ���� ���������

���! '�!���� � ������ ��������� � ��� ���! ����!����� �� �� �� #�� �

� )���)�-- �

�������� ����

���

��)����-��)���������� ����-����)������� ������-�������� ���� )A-

� #���� ��� "3" ' � ���! '�!��� �)�- ���� ����� ��� �� #�#����� ' � � ����� ���� ��� �

�� ���! ���� !�� ���������K�������� '� ! ���� ��������� ���! '�!��� ' � � ����� �(�!����

�#������ ����� �� F )��� ��� ��-�� ��)���������� ����- �� ��� ������� '���� � ' ��� !����������

� �!�� ��� � ������#�� � � �� ��� �)������� ���� � �- �� ��� 7 ��� � ����� � ������#�� � '

����� ��� � ���� ����� ��� ���� ��� !����( ��

���� ��� ��������� ' ��� 3�� �� ���� �� �� ����� ��� ��� ' � ��� �����#�����

�! �� ��� ���!� ' � ��� ��!� ���! ! ���� �� ��� ��� ������������ ���� ����� �� � ��������

� '����� ' � /����� ���� ! ���� � �� � �� �GG �� ���! � /� ��� ! ��� �� � � ���

� ��� ��� ! �������� �� ��� "#�

� �� �������� ����!��� � �� � � ��� ��� ���� ��� ����!� �����/����� ���

����� ������� ),�!�� : ,�!��� 1<=D-� ����� � � �������� � ��!��� '� ! ��� 7 ���

� ����� � ������#�� � ' ��� ����!����� ' ��� ! ��� #� ������� ����������� '� ! ���

Page 13: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

� ����� ��� � ����� � ������#�� � ' ���� ! ��� ����!����� +��! ����!����� �� �� ���

� ��� ��� �#����� ������ �����#��� � ���� ��� ��!� ' �! ' � ����� � ������#�� � �� ����

� �� ���� #��� #������ ���� � ��!��� &�0 ! ��� )0 ��� 1<=%-� ����� ����!����� ���

����� '� ! ����� ���������� � ����� ��� ������#�� �� ���� ���� � ��� ����� �� ������#�� ��

���2 ��� ����� )1<<<-� ��� �� ��� ���! '�!��� !��� ���� � ��� � �������� !����( ' ���

�;�� ���! '�!��� �� �� ��� �� ������������� � ����� ��� � ��� ���! ����!����� �� �� ���

�� �� ��� �� ��� ����������� ' � ��� ��� #������ ���� �� ��� � ����� ��� ������#�� ��

' ��� ���� ����� ��� ���������� � �!�� ��� ����������� ��� ��� '�!����� )����� ��� �-� ���

����� #�

�� � �������� � ��

������

���������

� ��� �� G ���

��

�����

���������

��

� � )C-

�����

� F����

�� G � ���

����

�� ��� �� ��� ��� ��� � !��� ��� ��������� ' ��� �������������

� F1

�� ����

��� � F1

�� ����

��� � F1

�� ����

���

��� � �� ��� �!#�� ' !�!#��� �� ���! '�!��� ��

��� � ����� ��� ������#�� �� ' ��� ���� ����� ��� ����������� ��� ��� '�!�����

)����� ��� �-� ��� ����� #�

�� � ���� � +��; ������

��� G���

���

�� ����

)�� � ��-)�� � ��-� G���

���

��� � )E-

�����

�� F )��� ��� ��-��

8����� ��� ������ � ' ��� ������������ � !� ���� �� ��� ! ��� �! ��� � ������ ���

��!����� '� ! � �!�� ��� ������� ������ ������#�� ��� ����� ��� # �� ���� � �������� �

��� ��������� ' ��� ! ��� � �� � � � �� �����/���� �������� ' � ��� �������� ����!��� �

�� ������ � �� ���� ��� ���� ��� ����! ������#�� ���� )��� ��'����� � �� ��� >,�##�

Page 14: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

��!����? ����- �� ��� �� �� �� ��� >���� � ���;8������� ������ ,�##�? ��� ����! )���2

: ������ 1<<<- #����� ��� ��� ����! �� #�������� � ,�##� ��!���� ���� � ������ �

���� � ��� ����� ' � ���������� �� �� �� ��� ��

���������� ��� ������ �������� �������� ��������

� �� � ��� ���� ��������� � � ����!��� ��� "3" ��/��� �� )A-� � ���

������ � � � ������ � <AL �������� � �������� ���� ��� ����!���� ��� ����� ��.���� ��

��� ����!��� � �� ���� ' � ��� �;�� '�!��� ��� �� �� #�� �6

�- ,������� � ��!��� ' ��2�� '� ! �)����� ��-� ����� ��� #� #������ �� � #�;�� ���

' ��� ���� ��� ����! ��� � /� ��� ������������ ! ����

��- " � ���� ' ��� �# �� � ������ ���� � ����� ' ��� ���! ����!���� ���� � �� '� !

M�)��������-�

���- ��� ��� �#����� �� ��

��- " � ���� ' ��� �� ����� ' �� #������ �� ���� ���-� � !��� ��)���- ���� )D-�

�- ���� ��� !��� ' ��� �# �� �� #�#������� �� �� ����!��� ' � )���-� ��� �� #�#����� '

� ����� ���� ��� � �� ���! ���� !�� ����� '� ! ���! '�!��� ��

��- ��� $�A�� ��� <E�A�� ����������� ' ��� �� �� #�#������� �# �� ' �! �� ���� (�!���

<AL �������� � �������� � ������ ���� ��� ����!��� #������ �� ��� ����� � �����

����!���� �)���-�

����� ���- � ��- ��� �������� ' � � �!#�� ' ����� ' � � #���� ��� ����!���� "3"

' � '�!��� �� � �� 1%% �.�������� ����� ' � �� ��� �������� );D�D- � ����!��� ���

'���� �� � �� � F 1%%% ��� � F 1%� � �� ���� �� ������� ���� � � ����� � ��!���

���� �� #������ ���� ��� ���� ��� ����! �� ������#�� ������� �� ���� ����� �� � #����

� ��!��� ' ��2� � '� ! �)����� � �- �� ���� �- �# ��� �� ���� � �#��!��� ' ��2� �

'� ! ��� � ����� � ��!���� ���� ��- �� ��!��� #����� ���� �� ��� ���� � ��!��� '� ! �

!���������� � �!�� ������#�� � ���� ��� ����� ' �� ��� �� '� ! ��� ����� � ����� �

Page 15: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

��� ����!��� � ' ��� "3" �� .��� ��������' ����� ����� ��� ��� '� ! ��� ���� ���

����� ������ ������ ��� ��!��

$� "� ��� � � #��������� #����

+� ���� ����� �� �� /��� ����������� � � ��� 3�� ���' �!� ���� /���� � � ����

��� ��������� � ���� �� ��� � ������������ �������� ���� ���� �� �� ���� � � !� ����

�# � ��� ���' �!���� ' ��� 3��� � ��� �(�!��� ��� ���' �!���� ' ��� H�� ���

+�� )��� �(������ ! ���� ' � ����#������ ���! '�!�����- ���� ��� ���� ��� ��� � ������������

�������� � '����� �������� ���� ���� ���� ��� H�� ��� +�� ���!��� � )�!������ �

������������ ������� �� ��� ���� ����- ��� �����2� ���! ���� ��� 3���

���������� ��� ���� ���

� /��� ������#� ���������� ��� ���� ��� ���� 3�� ���!��� �� � ���!� ����

����� ��� 1% ���! ! ����� 1% ���!� '� ! ���� ���! ! ���� ��� � � ��� ' A�%%% �(�!������

��� �(�!���� �������� �(����� �� ���! '� ! ���� ���! ! ���� ��� ��!����� ������ ��

#������� � ���� ��� ���! �� �������� � �(����� A%% �(�!������ ��� ����� ��� � ��������

���� ���� '� ! ��� 3�� ���6

�- ,������� �� � �)%� 1-� � F 1� � � � A%%%�

��- ,�������

�� � �)%�A� 1�A-� � F 1� � � � 1%�

�� � �)�$� $-� � F 1� � � � 1%�

�� � �)%�$� %�D-� � F 1� � � � 1%�

��� ���� ��/�� �� F )��� ��� ��-�� � F 1� � � � 1%� ��� ��� ��N��� ��� ����� '

����� #������ ���� &�0 ! ���� ��� /���� � ���� ���� ����� " � �(�!���� '� ! �

�(��������� ��� ������!����� � ����!����� �� &�0 ! ���� ����� '��� #������ %�A ���

1�A ��� ����� ��� ��� ��������� '� ! ���� ������ ��� ��� ��� ��������� '� ! ���

��� ���� ��� �� ��� �����' �!��� �� )��!�!#����� ��� �����' �!��� �� ����� �� ���

Page 16: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

3�� ����� �-� ��� #������ '�!��� �������� �!����� #� ��� ��� �� �������� ��� '�!���

!���� �� ����� #�

� � )��- �

�����%�1% % %

% 1�&& %

% % %�%=

� �

���- " � � F 1� $� � � � 1%%� �������������

��

��

��

� � ��

������ ����� ���� �

� �%�%$ % %

% %�1& %

% % %�%1

�����

� �

��� �������� ����!���� ���� �� ����� �� � '����� � ' ��� � ����� ����� #������ '�!���

��������� ���� ��� � �� #����� �' ��� ���! ����!����� �� ���� ���� ��� ��������� ����

� �������� �� #�� �� ��� �������� #������ ��� ���� ���� )��!�!#����� ���� ��� H��

�� � ��!����� ���� ' ��� 3�� ���� ��� �������� ' ��� ���! ����!����� #�� !� ����

�����- �� � �� #� ���������� ���� '� ! ��� H�� ��� � � ��� 3���

��- � !��� � F �(�)��-� � F�(�����

���(����� � � F 1� $� � � � 1%%�

�- ,������� �� � ���� )��)��-- � ��)��- F � G����

���(�������������

���� ���� '� ! ��� H�� ��� +�� ��� ��������� ��!������ ��� ��� � � ������#�� ����� �

��� ��� ������� � ' ��� ���! ����!����� ��� ��� �(�!���� �#����� ����!����� �� ��� ����

���� ��������� '� ! ��� H�� ��� +�� �# � ��� ��!� �� ���� �� ��� 3���

��������

���� �����2��� ���� ���� )��������� '� ! ��� ' ��� ����� ! ����- ���� ��� 3��

���!��� �� ��� ! ��� ��/��� #� )1- �� ���� � �� ��� � ������#�� �� ' � ��� ���! '�!���

����!����� ���� ��� ����� #� )$- ��� )&-� � ���� ����F 1%���� F A ��� ���� �� � #�

� ���� ��� !����( ���� $ �� ��� ���!����� ���� �!����� ���� � ��� �� �� ���� ��' �!��� �

�.������� � ���� ' /�� ���!� �� ���� ���! '�!���� ��� ��� � !��� ' ��� ������� � !����(

������� �!����� #� ���� ���!��� � �� 1% ���

Page 17: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

���� �����2��� ���� ��� H�� ��� +��� ��� ��� � ������#�� �� ���!�� � ���

����!������ ���� ��� ��!� ���� ' ����!�����2��� � �� �� )1-� ���6

�� � �)%� 1-� �� � �)%� 1%�-� �� � �)%� 1%�- ��� �� � �)�1�&<� %�A-�

����� ��� � ������#�� �� ��� ��� ' � ��� ��� H�� ��� +�� �������� �� ���� � �� ��� �����

��� � � �������� '������

��� ���� ��� ����!� �����/����� ��� ,�##� ��!����� �� ��� � /� ��� ��� ! ����

� ��� ���� ���� � �� /�� ������ ' 1%�%%% ������� �� ����� � ! ��� � � ��������� ' ���

��� ����!� �� �(�!��� ��� ,��!��;3#�� � ��������� !����� ),��!�� : 3#��� 1<<$-

��� ��� ��!�;������ �� � ' � ����'��� �� ��� ��� ' ����!����� )�������� ��� ' ��� ��������

����!������ � !� !��� ����!������ ��� '�� ���! ����!����� ��� �#����� ����!�����-�

����� !������ �������� ���� ��� ��!���� � ������� �'��� $�%%% ������� �� ' � ��� 3��

��� �# � 1�%%% ������� �� ���� ��� H�� ��� +��� � ������ ��� /��� =�%%% ������� ��

'� ! ���� ' ��� /�� ������ �� ��� � ����� � ��!���� ������ � � /��� ��!��� ' ��2� D%�%%%�

� � !��� <AL � ����� � ��������� ' � ��� ! ��� ����!����� ��� � !���� ��� ���������

������� ��� � ����� ����� ��� ������ � ��� �(�!��� ���� ���!� ' ��� ��!���� �����

' ��� ����!������ "������� ' � ��� �������� ���� ��� 3��� �� � � �� ��� ����!���� "3"

' � ���� ���! '�!��� �� �� ���� ��� ��������� ���! �������������� ����� ' � ��� ���������

���!��

��� ' �� ���� ��� ��� ������ #������ ���� ��� ��9����� ������ �� ������� � '

��� >���� ! ���?;>�������� ! ���? � !#����� ���

���� ���� �� � � ����� �� ����� �� �

��� �� �� F )��� � ��� � ���- � ���� ���� ��� '�!��� !���� � ����� ����� � ���

�� �� ����!������ ���� '�!��� !���� ' ��� ������ ����!������ ��� ���� '�!��� !����

� ����� ����� � ��� ������� ����!������ "����� $� &� ��� D �� � �� �� ' ��� ���� ���!�

' ��� ��!���� ����� ' ����� ����� ��� ���� ' � ��� ��� ���! ! ����� +� ��� ����� �� ��� ���

���! ! ���� �� �� #� � ���� ��� �� � ��� 4� ���� ���� ���!� � �������� ���� �� �����

�� ��� ��� ���� ' ��� � ����� ����� ����!����� ��� /���� �� � ���� ��� <AL � ����� �

��������� ��! �� ������ � ��� ��� ��� ����� ' ��� �� ���� ��� ��� �(����� � ' +��!

� ��� C� 0 ���� �� "���� D� �� ��� ���� ��� ��� ���� ' ��� ' � ��� +��! � ��� C ��

��

Page 18: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

02

4

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

������ �� ��������� �� �� ������� ������ �� ���� ��� ��� �� ��� ������ ��������

������ ����� ��� �� ��� ��� �����

�����/������ ������ ���� ��� ���� ���� ��� ����� ��� ! ��� ���� � �(����� ���� ����� �

�����

"���� & ����� � ���� ��� 3�� ��� ���� ���� ��9��������� #������ ��� ���! ! ����

� '�� �� ��� ������ ����!����� ��� � �������� ��� � �/����� ��������� ' � ��� ���� ���

������� �������� ��� ! ���� � � �����������

" � ��� ���! ����!������ ��� � ������ ' ��� <AL � ����� � ��������� ��� 1%%L ' �

��� ��� <AL ' � ��� ��� ��� <AL ' � ��� ��� +������������� ��� ��� ���! ! ��� ' � �����

��� ��������� � �@� � ��� ��� ��� ���! ����!����� �� +��! � ��� C� ����� ��� ' �� � #�

��

Page 19: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

01

23

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.8

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

2.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

01

23

������ !� ��������� �� �� ������� ������ �� ���� ��� ��� �� ��� ������ ��������

������ ����� ��� �� ��� ��� �����

�� #��!���� ������� �� �����

"���� A �� �� � ���� ���! ' ���� ��� ��!���� ����� ' ��� ������ '�!��� ��������

' ��� ������ ����!������ *� ������ ���� '� ! )1-� �� �� ��� ��� �� ���� ��� ���!��� '

��� ��� ��� �������� ����!����� ��� ������ � ����� �� ��� <AL � ����� � ���������� *�� �

��!�!#����� ���� ��� ��� ��������� ���� ����� � #� ��� ��!�� ��� ! ��� ������� � �� �

� � 7 #�

����� �� ���� ��� ��!���� ����� ' ��� �(�!���� �#����� ����!����� ��� ' � ���

��� ������� �� ' ��� ����� �� � � �� ���! � �(�!��� � � ��� 3�� ���' �!� � '��

��

Page 20: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0

0.0

1.0

������ "� ��������� �� �� ������� ������ �� ���� ��� ��� �� ��� ������ ��������

������ ����� ��� �� ��� ��� �����

�� ���� � /� �� � �������� "���� C �� �� ���� ���!� ' ��� ��!���� ����� ' ��� ' � /��

������� ����������O�� �� ' � ����� ��� ��� ��� ��� ��� !���!!� $A�� ����������� !������

EAL ����������� ��� ��� !�(�!! �! �� ��� ��� ����������� "���� C �� �� � ���� ���!

' ��� ��!���� ����� ' �� �� ���� ��� ��� ����� ' ��� ��� ��� �� �� � ��� ���� ���!�

���� � �������� ����� � /�� �� ����������� ������� ����� ������ ���� �(�!���� �� ���

���� ����� � 1% ���!�� ����� �� �#�������� ��������� � ��� ��� � !���� ��� �(������ �

� ����� �� )*�- ����!���� ��� ����� � ����� 2�� � ��� ��� <AL � ����� � ��������� � � �

� ��� ��� ��� ��� ' � ��� �(���!� ���� ����� �� �� � ����� ����� � ��� ��� !���!! ���

��

Page 21: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

46

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

46

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

46

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

814

������ #� ��������� �� �� ������� ������ �� �� ���� ����� ����� �� ��� �� ��

����� ��������� ��� ��� �� ��� ������ �������� ������ ����� ��� �� ��� ���

�����

!�(�!!� " � ��� �����!������ ���� ��� ��������� � ��� ��� ��� ������ #� ����� �� �����

�������� ' ��������� ���� ��� *�� ��� �(�!�����

� ��� �� � ��� ����!���� ���! �������������� ����� )+���- ' � ��� ���!� ' � ' �

���! '�!����� )1�$� C� ��� <- �� "���� E� ����� �� �� ��� ������� ���� ��� ���! ���� ���

'���� � ������#�� �� ��� 3�� ����� � ��� ��� � ����� � !����� ' ��� ���! ����!������

���� ���� ��� ���� " � ���� ���! '�!���� �� ��� ���� ��� ����!���� "3" )����!����

���� ��� ������.� �������� �� ����� � &- ��� � <AL �������� � �������� �� � # �� ����

� � � ' ��� 1% +�� ����!���� ' � ���� ���! '�!���� ��� ����!���� +��� N �� � ������

��

Page 22: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

������ $� ��������� �� �� ������� ������ �� %�� ����� ��� ��� �� ��� ��� �����

�� �� ��� � ����� ����� ����!���� "3" ' � ���� '�!��� ������� ��! ��������� �����

���������������� *�� � ��� ��� ����!���� +��� ��� ������ ��� <AL �������� � ���������

���� ���� �� � � ����� �� ����� �� �

� /� ��� H�� � ��� ��!����� ���� ��� #����� ��� H�� �� ��� � �� ��������

' ����#���� � �' �� ��� �� �� ����� ��� � ������ ' ��� <AL � ����� � ��������� �� ����

�������� ��� <EL� <CL� ��� <EL ������������ ' � ��� ��� ��� ��� 8 ������ ��� � �/�����

��������� ���� ��� !�� ����� ���� ��� 3��;3�� ����B � �������� ��� ����� ' ���

� �/����� ��������� ��� 1�A ��!�� �� !�� �� ���� ' � ��� 3��;3�� ����� ���� �� �(������

#����� �� ��� 3��;3�� ��������� ��' �!��� � �# � �� ���! �� ������#�� '� ! ���� ���!�

��������� '� ! ��� ��!� ���! ! ���� ��� !����� ��� ����!��� � �� ���� ! �� ��������

��� ���� ���!� ' ��� ��!���� ����� ' � ��� /�� ������� ��� � � ���� ��!���� �

��� 3��;3�� ���� ��� ����� ��� � � �� ����� ����� ���� ������� ���� � '�� �� �� ����

��

Page 23: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ &� '������ ())� � � *'�*� ��� ���� ��� �������� ��� �� ��� ��� �����

�� � �������� �' � ������������ ������� �(���� �� ��� ����� ����� �� ������ ��9������ #������

�������� ���� ��� H�� ��� �������� ���� ��� 3��� 8 ������ �' ��� ' �!�� �� �������� ��

��� � ����#���� ���� ���! ����������� ����� �� ��� ������ ����� �� �� �� �� � ����#���� ���

���! '�!����� �� ��� �����#� ������ � �������#�� ��� �����

� �� � ��� ����!���� +��� �� �� ���� ��� ����!���� "3"� ��� ��� � ����� �����

<AL �������� � # ��� '� ! ��� 3�� �������� �� # �� ����� ' � ' � ���! ! ���� )1�$� C�

��� <- �� "���� =� ��� ����!���� "3" ���� �� ��� !����� ' ��� +��� ' � ��� ��!�

'�!���� #� ��� +��� ��� !�� ! �� ������ ������ ���� �� "���� E� *�� � � '�� ' ���

����!���� +��� ��� ����� ��� �������� � # ��� �� � ����� ' � ���!��� � ���� ���

���!� ��� ������������

���� ���� �� � � ����� �� ����� �� �

��� � ������ ' ��� <AL � ����� � ��������� ' � ��� ���! ����!����� ��� <1L� =%L�

��� <CL ������������� ��� � �/����� ��������� ��� �������� ������� ���� ��� 3��;3��

���� O � �� �������� ��� ����� ' ��� � �/����� ��������� ��� %�=A ��!�� �� !�� �� ����

��

Page 24: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ +� '������ ())� � � *'�*� ��� ���� ��� �������� ��� �� ��� ,�� �����

' � ��� 3��;3�� ����� ���� �� ��� �(������ #����� ��� �!#�� ' #������� �� ��� ���!

�� ������ ���� ���� �� ��� 3��;3�� ��������� !����� ��� � �/����� ��������� ! �� ��������

��� ���� ���!� ' ��� ��!���� ����� ' � ��� /�� ������� ��� � � ���� ��!���� �

��� 3��;3�� ���� ��� ����� ��� � � �� ����� ����� ���� ��!������� �!����� ���� � '��

�� �� ���� �� � �������� �' � ������������ ������� �(���� �� ��� ����� ����� �� � � !��

' � ��9������ #������ �����2��� ���� ��� +�� ��� �����2��� ���� ��� ���������� ! ��

� !�������� 3��� 8 ������ �� #������ ���� �� #����� �� ���� ��� ������ '�!��� ��������

.��� � �� ��� ��� +�� ���!��� � !�� � � ���� ��� � � ������ ���� ��� ������ '�!���

�������� �� ������� +� �� ��� � ���#�� ���� �� ���� ��� 1% ���!� ����� � ���� ����������

!����� �� ����� � ��� � ��� ������ �# � ��� �#����� ����!��� �� � ���� � �(�� ��

���� ���� '����� �� '����

� �� � ��� ����!���� +��� �� �� ���� ��� ����!���� "3"� ' � ��� 3��;3��

���� ' � ' � ���! ! ���� )1�$� C� ��� <- �� "���� <� ��� ������ ���� ���������� ��� +����

��� ��� � ���� ���� �� ��� ����!���� "3" ' � ��� 3��;3�� ����� � �� ���� ��� ����!����

����� ��� ���� �� �� ' � "�!����� 1� C� ��� <�

��

Page 25: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ -� '������ ())� � � *'�*� ��� ���� ��� �������� ��� �� ��� (�� �����

���� ���� �� � � ����� �� ����� �� �

8��� �� �� ���� ��� ������ #������ ���� � ���� ��� ��������� '� ! ��� H��

�� �����2�� ���� ��� 3�� P ����� ������ �� �� ���� � ��������� � � 3�� ���' �!�

���� �� �� � � ��� ��� ! ���� ��� � ������ ' ��� <AL � ����� � ��������� ' � ��� ���!

����!����� ��� <$L ' � ��� ��� <$L ' � ��� ��� ��� <CL ' � ��� ���

"���� 1% �� �� � ���� ���! ' ��� ��!���� ����� ' ��� ' � ���� ��������� +� ��

����� ���� ��� ���� ���!� ��� ! ���� ����� ���� ��� ������� ������ � )���� '� ! �� 3��

��� �����2�� ���� �� 3��� ��'����� � �� ��� 3��;3�� ���� �����-� ���� �� �(����� ����

�� � #� �(������ #����� �� ��� �������� ������� ���� ��� H�� �� � ��!����� ���� ' ���

3�� ���� ��� � #�� !� ���� ������ � �� � ��� ����!���� +��� �� �� ���� ��� ����!����

"3"� ��� ��� �������� � # ��� ' � ' � ���! ! ���� )1�$� C� ��� <- �� "���� 11� ���

"3" ���� �� ��� !����� ' ��� +��� ' � ��� ��!� '�!���� #� ��� +��� ��� !�� ! ��

������ ������ ���� �� "���� E�

8��� ���!� ' ��� ��!���� ����� ' � ��� ��!� /�� ��� ������ ���� ��!���� � ���

Page 26: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

46

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

2.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

01

23

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

02

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

1.5

������ �.� ��������� �� �� ������� ������ �� ���� ��� ��� �� ��� ������ ��������

������ ����� ��� �� ,�� ��� �����

������� ���������

���� ���� �� � � ����� �� ����� �� �

� �����2� � ���� ��� ��������� '� ! ��� +�� ���� ��� 3�� ���� � ���� ���

���' �!���� ' ��� ������ ���� �� �� � � ��� ��� ! ���� ��� � ������ ' ��� <AL � ����� �

��������� ' � ��� ���! ����!����� ���� <EL ' � ��� ��� <%L ' � ��� ��� ��� <1L ' � ��� ���

+������������� ' ��� $$ � ����� � ��������� ���� � �@� � ����� ��� ��� ������ $% #�� �� �

+��! � ��� C� �� ���� ����� ���� ��� 3�� � �� � � /� ��� #������� �� ' � +��! � ��� C�

"���� 1$ �� �� � ���� ���! ' ��� ��!���� ����� ' ��� ' � ���� ��������� +� ��

Page 27: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ ��� '������ ())� � � *'�*� ��� ���� ��� �������� ��� �� ,�� ��� �����

#�� � ���� ��� ���� ���!� ��� ! ���� ������� ���� ��� 3��;3�� ����� ���� �� �(�����

���� �� � #� �(������ #����� �� ��� �������� ������� ���� ��� +�� �� � ������� ���� ' ���

3�� ���� ��� � #�� !� ���� �!����

� �� � ��� ����!���� +��� �� �� ���� ��� ����!���� "3"� ��� ��� �������� �

# ��� ' � ' � ���! ! ���� )1�$� C� ��� <- �� "���� 1&� � ��� ���� ��� ����!���� +���

��� ���� �� �� � ������ ' � ��� '�!������ ����� �� �(������ #����� �� ��� ������� ���� ���

�(��� ��!� ���!� �������� #� ��9����� ���������� �� ���� '�!���� ��� ����!���� "3"�

��� �� ��� !����� ' ��� ����!���� +��� ��� ��� �������� � #���� ��� ����� 8��� ���!� '

��� ��!���� ����� ' � ��� ��!� /�� ��� ���� �� � ��� �� ������� ������ ���� ��!���� � ���

������� ���������

��� ������ '� ! ��� H��;3�� ���� ��� +��;3�� ���� �� � ���� ��� 3�� � ��

.��� ���� ���� ���� ��� ���� � �� � � ���� ��� ������������ ��������

��

Page 28: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

05

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

05

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

05

10

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

05

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

04

8

������ ��� ��������� �� �� ������� ������ �� ���� ��� ��� �� ��� ������ ��������

������ ����� ��� �� (�� ��� �����

%� !&����� �' ����� � � � ���� #���� � � ���� (��� #��

!�� ���� ��

���� ���� �����2�� ������ ��� ���� '� ! � ���� ������ ������!��� ) �����!� ��

� ��� �� ��������� : ��7��� $%%$�- � �������� ' � �!#�� ' � !���( � �������� ���� ���

������ ���� ' ����� ��� �� ��� � � &;� ��� � ��� ! � ������ ��� ��!��������� � ' ���

������!��� � ������ ' ��( �����B �� '� ! ���� ' ��( �������� ���� � !����� ����� ����

� !��� �� � '�!��� ' ����� � �������� � #� �� ! ����� �.������� ����� )����� ��!���

���' �!���� ' ��� ��!� � !��� ������ �� ��������� '������ �� �� ����� ���� ������ ��!����

��

Page 29: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ �!� '������ ())� � � *'�*� ��� ���� ��� �������� ��� �� (�� ��� �����

����������� ���' �!����� ��� !����� ��� ��!� �� ������ ��� ������� #� #� ����� '

�#�������� ������� � ��'��� '������� ������ � #� �#���������� ��9����� ���!�-� " � ���

��������� ��!��������� �� ��� ���� �� ����� �� ���� ! '� ! ��� ���� '�!��� ' � ��� � !���

�� .���� �� ���� ��� ����� ��� ��( � �� ' �� ! ����� ������ ��� ' � ��� ����� �(�!�����

�� ���� �� ����� �� ���� ! '� ! ���� ' ��� ��( � �� � � ������ ��� �(�!����@�

������!���� * #����� �� ' ��� ��!��� ��2� #� �� ! ����� ���� � � �� �� ����� �� ��#�� 1�

� ��������

��� ������ ����� � ' ��� � '����� �� �������� ' � ���� � ! � ����� ���� ���� ���

�(����� � � � ��� ! � ����� ���� ������ ����� �!���� �����' ��� ��� � ��� ! � ����

��� �����' �!�� ��� ���� � ! � ���� #� � �������� ��� �� � ���� �� �� ����� ���� ���

� ������ ���� ��� ����� ��� ������ ��� ���� � ������ ' � �������� ���� ��� ����� )�����

��� ������ ' ������� �� ���! � ����� #� ������� �� ��! �� 2�� -� �� ���!� � $�0 ! ���

��

Page 30: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

/���� �� ���� ����� �� ��������� ���� �� ��� ���� ������ ���������� �����

�� � �� ������ ���

�� ���

�� ���

�� ���

�� ���

�� ���

�� ���

�� ��� #���� ���! ���� ��� ! ���� ����� �� ���!��

��)����� ��- F1

1 G �(���)�� � ��-��

*'��� ��� �����' �!��� �� � �� ��� � �� �� )1-� ��� ��� � ������#�� � � ��� ���!

����!����� ��� ����� ��

)��� ��-� � ������� ���� � ��)������� ����-�

��� ��� � ������#�� �� ���!�� ' � ������ ��� � ����� ��� ����� #� ��� �������� � !� �����

' )$- ��� )&-� � ���!� �� F &� �!������ ���� � ��� ��� �� ���� ��' �!��� � �.�������

� ���� ' ����� ���!� �� ���� ���! '�!���� ��� �!#�� !�� ���! ����� ������� �� !���

���� �� ���� ��� ' � � ��( ���!� ��� '�!��� �� ��� ���� ���� 8 ������ ����� �� ��� �����

���� � !��� ��� ���� ��� ��� � ������� �� /���� ����������� � ���� �� � #� � ���� ���

!����( ���� ���!���� ���� ��� ��� � !��� ' ��� ������� � !����( � ���� �!����� #� �����

���!��� �� �� 1% ���

��� ���� ����!��� � �� ����� �� � ������ ��� �� /�� ������ ' $%�%%%

������� �� ����� 0 ���� �� ��� ��!�;������ �� �� ��� �� � ������� � '���� � �� �� ' �

����'��� �� ��� ��� ' ����!����� )�������� ��� ' ��� �������� ����!������ � !� !���

����!������ ��� '�� ���! ����!����� ��� �#����� ����!�����-� �� /�� � ���� ��� ����

��� ����! � ������� ������ D�%%% ������� ��� 8����� ��� /��� D�%%% ������� �� �� ���� �����

��� ������� �� #��;�� ��� �����' �� � � ������� �� ��� �����!����� � ' ��� � ����� �

��

Page 31: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

2.0

3.0

Item family B 1

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Item family B 2

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

01

23

Item family B 3

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

2.0

3.0

Item family B 4

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

2.0

3.0

Item family B 5

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Item family B 6

������ �"� ��������� �� �� ������� ������ �� ���� ��� �� ���� ��0�� ��������

����

������#�� �� ' ��� ����!������ ��� ��!������ 1C�%%% ������� �� �� ���� ����� ��� �������

#� ��������� ����� 1%�� ������� � ' � ������ � �� ��� /��� ���� ���� �����!����� ��� � ����� �

������#�� � ' ��� ����!������ "������� ��� /�� ������ ��� � ��� � ������� �������� ��

� /��� ��!��� ' =�%%% ����� '� ! ��� � ����� � ������#�� � ' ���� ����!����� ���

����!���� +��� ��� �� ���� ���� ��� !����� ���� ' ��� ������#�� � ' � ���� ����!�����

"���� 1D �� �� � �� � ' ��� ���� ���!� ' ��� ��!���� ����� ' ��� !���

������� ����� ���� ' � ��� ��� ���! '�!������ ��� �� � �� �� �����/���� #������ '�!���

������� � �� ������� ������ ' ���!��

"���� 1A �� �� � �� � ' ��� ���� ���!� ' ��� ��!���� ����� ' ��� ��������

' ��� ������ ����!����� ����� ��� ' � ��� ��� ���! '�!������ ��� �� � �� �� ���� ���

��

Page 32: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

01

23

45

Item family B 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

01

23

45

6

Item family B 2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

02

46

8

Item family B 3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

01

23

45

6

Item family B 4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

02

46

Item family B 5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

02

46

8

Item family B 6

������ �#� ��������� �� �� ������� ������ �� ���� ��� �� ���� ��0�� ��������

����

����!���� �������� � �� ���� ��!���� ��� �� '�!����� ��� ���� �� �� � � ���� ����� ���� ���

!����� �� �� %�$ ' � ! �� ' ��� '�!������

��� ����!���� +��� ��� "3"� )�� �� ���� �� ���� (�!��� <AL �������� �

��������- ' � ��� ��( �� ! ����� '�!����� ��� �� ����� �� "���� 1C�

��� �������� ������ ' ������� � �� ��� ����!���� ���� +��� '� ! ��� ����!����

"3" �� �� "�!��� �1 ����� ��� ����� ������� � �� #������ �� "�!��� �C� ��� +��� ' �

"�!��� �D ��� ��!���� ���� �� � ��#�� �(����� �� +� �������� ��� '�!����� ' �� ! �����

����� �� ��� � �������#�� ��!������� �� ��� ���! ���� ��� '���� �� ' � ����� ����������

!�!#��� �� ���� �� ' � ��� '�!��� ���� ��� '���� � ' � ��� �� ! ����� ����

����� ������ ������ ���� �9 ��� � � ������ � !���( � �������� ���� ��� �����

��

Page 33: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family B 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 3

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

������ �$� /�� ������� ())� � � *'�*� ���� ��� � ����� ��� ��� �� ��� ��������

��� �� ���� ��0�� �������� �1������

���� ��� �� ! ����� �.������� ����� ��� ����� � !����� �� ����� ������ ' ������� ����

� !� #���� � ���������� �.������� )���� "�!��� �C-� � !� #���� ! �� �����#�� )���� "�!���

�1-� ��� ����� #���� ������� � �������� #� ���� � ��#�� ������� �� )���� "�!��� �D-�

��� ������� � � !���� '� ! ����� �� ! ����� ���!� �� ��!���� � �� �� #������

'� ! � ���� )3�2���� ��� ������ : 8��#���� $%%$- �� ����� ��� ��!� �#��� ' ���!� '� !

���#�� ��� .���������� ����� �� ' � ���� ������ ��!���� �� ���� ���� ������#����� ��� ��

����� ��!��������� �� ��� ��� ������� � �� ���! ����!����� ��������� +' ������� �� �� +���

' � �� ! ����� � �������� ���� ��� ����� ��� � ���������� ��!���� � ������� �� #������

��

Page 34: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

'� ! ������#���� � ' �� ��������� !������ �� ��� ���!� ���� ��� � �� ' �������� �� ! �����

� �������� ���� ��� ����� ���� ������ ��!���� ����������� ���' �!���� ��� #��� ������� !���

� ��������

+� ���� #� ' � �������#�� �������� � ��� ���� � �� ������ �' �� ��� �� ���

������ ����� #������ ��� ���!� )�����- ������ � '�!���� +' �� ���� �� �� ����� ���� �� ���

� �� �������� ' � ���! ����#���� �� 8����� �� /� ��� ��� $;����!���� � ������ ! ��� )���

H�� ��� ����� � � ������� ��/���� �- � ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ����!� ���

����� ' ��� <AL � �/����� ��������� ' � ��� ���! ����!����� ���� � �� �������� 1�A ��!��

�� !�� �� ���� ' � ��� 3�� ��������� "���� 1E �� �� ��� ����!���� +��� )�� ������ �����-

��� ��� ����!���� "3"� ���� ��� �� �������� � # ��� )�� � ��� # �� �����- #������

������� ���� ��� 3�� ��������� ��� ����!���� +��� �� ���� �� � ��9�� � �������#�� '� !

�� �� �� "���� 1C� +� ! �� '�!������ �� � �� ���!� � � ��9����� '� ! ��� ����� ��

��� ��!� '�!���� 8 ������ ��� ' ��� ����!���� +��� '��� ������ ��� <AL �������� � #���

#������ '� ! ��� 3�� ���������

� ��������

"������� �� /���� �� +�� � ��� ���� ���� ��� ����� ' ��� <AL � �/����� ���������

' � ��� ���! ����!����� ���� � �� �������� %�C% ��!�� �� !�� �� ���� ' � ��� 3��

��������� ��� ����!���� +��� )�� ������ �����- ��� ��� ����!���� "3"� )�� � ��� # ��

�����- #������ ������� ���� ��� 3�� �������� ��� �� ����� �� "���� 1=� ����� ��� ���

������ ��9������� #������ ��� ����!���� +��� ��� ��� "3"� ' � ���� '�!����

���������� �" ��� ������ #���������

��#�� $ �� �� ��� � ����� � !���� ��� �������� ������� �� ' ��� �#����� ����!�����

#������ #� ��� ����� ��9����� ! ���� ' � ����� ���������� �� �� �!#��;� ����� �� ���

����� '� ! % � C�

��

Page 35: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family B 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 3

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Item family B 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

������ �&� '������ ())� � � *'�*� ���� �� ,�� � ����� ��� ��� �� ��� ��������

��� �� ���� ��0�� �������� ����

0 ���� �� ��� ��#��� �� ������ /�� ��� ��9������� �� ��� ������ #������ #�

��� ����� ! ����� 0��� � ��!����� ���� �(�!���� ���� �!����� ���� ��� 3�� � �� ��

�.���� � � 7 # ' �� ���� �� ��� H��� ��� � �� ��������� 8 ������ ���� ' ��� ���� �

!�� #� ���� ��� �!#�� ' ���!� ' � ���� �(�!���� �� � '�� ���� ��� ��� � ������#�� � �

��� �#������� ��� � #�� �9��� � ��� � ����� � ������#�� �� ��� ����� ����� �� � ��9������

�! �� ��� ������ #������ #� ��� ��9����� !��� ���

Page 36: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Item family B 1

th

item

s[, i

]

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

•• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Item family B 2

th

item

s[, i

]

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Item family B 3

th

item

s[, i

]

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

•• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Item family B 4

thite

ms[

, i]

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

• ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Item family B 5

th

item

s[, i

]

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

•• ••••••••••••••••••••••••••••••••

•••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Item family B 6

th

item

s[, i

]

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

������ �+� '������ ())� � � *'�*� ���� �� (�� � ����� ��� ��� �� ��� ��������

��� �� ���� ��0�� �������� ����

)� !&����� �' ����� � � ���� *����� (���

!�� ���� ��

���� ���� �����2�� ���� '� ! ��� ���� ��� *�����!��� ' ����� ��� �� �����

)�*�- ���� 4�0��� )�40- ������� ���� )�������� �������� ��������� : 4���7�� $%%&-�

��� ��!��� � ������ ' &�E<& �(�!����� �� ,���� =� ������#��� �! �� ' � ���� ' �!��

��� ' ��� ' � ' �!� ��� � #� �� ' � !! � ���!� )��� ��� ��- ��� �� ������ ��� $C

!����!����� ���!� )��� ��� �$;�A ' � ��� ' � ' �!�-� � �������� ' 1C !������ �� ���

��� 1% ���;����� ���!�� ��� �!#�� ' ���!� ' ���� ���� ��������� �� ��� ' � ' �!�

Page 37: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

/���� �� ��������� �������� ��� �������� ������ �� ����� ���������� �������� ��

��� ��� !�� ��� ��� �� ��� ���� ������ ���������� "���

�������������� ��� �� !��

���� ���" �# ���" �# ���" �#

��$�� $�� ��$�� $�� ��$�� $��

� ��$�� $�� ��$�� $� ��$�� $��

� �$�� $�� �$�� $�� �$�� $�

� �$�� $�� �$� $�� �$�� $�

� $�� $�� $�� $�� $�� $��

� $�� $�� $�� $�� $�� $��

� $� $�� $� $�� �$�� $��

�$;�A ��� ��������� �� ��#�� &� �� ��� ��� ��!��� ��2�� '� ! ��!��������� ��

/���� !� ���� #�� ��� $��������� �� ���� �� ��� ��% "���

%��� &��'�' �� ��" � �������� �(���� ������

)���" *!& )���" *!& ���

�� � �� ���

�� � �� ��

�� � � � �� ��

�� � � � �� �

��� $C !����!����� ���!� � !������� " �! �$ ���� ������� #� �!�� ���!

������� ��� ���� ����!#��� � #� �������������� ' ��� ���! � �� � ��� �(���� � ���#���

���� " �! ��� ��!��������� �� � ����� ��� ������ ������!���� ���� �� �#��� ' ���!� ��

� ������� �;������ #� ��� ���� ������� �� �� ����� ' � ��� ��������

" �! �& �� ��������� � " �! �$ ��� ��� ��� ��!� $C ���!�� 8 ������ ���� ' �!

��� ��!��������� �� � ������ � !�����2�� ������!��� ���� �� ����� ������� � �� �����

' � ��� ������� �;������ #� �� ' ���!��

��

Page 38: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

" �! �D ��� � �������� � #� �������� � " �! �$� 4' ��� $C ���!�� 11 ����

��������� � ��� ���!� ��������� � " �! �$ ����� 1A ���!� ���� �� !�������� ���������

���!� )������� : �������� $%%$- ��9����� '� !� #� �������� � #� �������� � � ���

� ����� ����� ���!� � " �! �$� 0��� " �! �$� " �! �D ��� ��!��������� ��� �����

��� ������ ���� � ������� � �� ����� ' � ��� ������� �;������ #� ���

" �! �A ��� � �������� � #� �������� � " �! �$� 4' ��� $C ���!�� 11 ����

��������� � ��� ���!� ��������� � " �! �$� ����� 1A ���!� ���� �� !�������� ���������

���!� )������� : �������� $%%$- ��9����� '� !� #� �������� � #� �������� � � ���

� ����� ����� ���!� � " �! �$� ��� ��������� ���!� ' � " �! �A� � ������ ��� ��9�����

���!� ���� ��� ��������� ���!� ��������� � " �! �D� " � ���� �� !�������� ���������

���! � " �! �D� � � ����� ����� ���! �� ��������� '� ! ��� ��!� ���! ! ��� � " �!

�A� 0��� " �! �$� " �! �A ��� ��!��������� ��� ����� ��� ������ ���� � ������� �

�� ����� ' � ��� ������� �;������ #� �� ' ���!��

" � ���� ��������� ��� �� #� �� ��� � � � �������� ��� ��� ��� 1C ���� � ! ���

�� ��� )!������ �� ���- ���!� ' ��� ���� $C ���!� �� ���� ' �! ���� �����2��� +� ������ ��

� ���������� ������� �(��� �� ���� ������B ���� ��� � �� � � ! �� ���� �� ' ���

' �!��

� ��������

��� 3��� ��/��� #� )1-� �� /� � ��� ����� � �� ��� � ������#�� �� ' � ���

���! '�!��� ����!����� ���� ��� ����� #� )$- ��� )&-� ������ ����� ��� � ������#�� ��

� ���' �!����� ������ �� �� #��!� ���� ��� � ��������� ' ��� ���� )�� #������ ����

� #� �� �� !� ' ��� ' � ���!� #���� �� ���� ���! '�!���-� ��� ����� �� !��� )$-

��� )&- ��' �!����� #� ������ ����F 1��� F A� ��� �� F * ���� ��� !����( ���� $ �� ���

���� ����� ���� �!����� ���� � ��� ��� �� ���� ��' �!��� � �.������� � ���� ' /�� ���!� ��

���� ���! '�!���� ��� ��� � !��� ' ��� ������� � !����( ������� �!����� #� ���� ���!��� �

�� 1% ���

��� ���� ����!��� � �� ����� �� � ������ ��� �� /�� ������ ' $%�%%%

������� �� ����� 0 ���� �� ��� ��!�;������ �� �� ��� �� � ������� � '���� � �� �� ' �

��

Page 39: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

����'��� �� ��� ��� ' ����!����� )�������� ��� ' ��� �������� ����!������ � !� !���

����!������ ��� '�� ���! ����!����� ��� �#����� ����!�����-� �� /�� � ���� ��� ����

��� ����! � ������� ������ $�%%% ������� ��� 8����� ��� /��� $�%%% ������� �� �� ���� �����

��� ������� �� #��;�� ��� �����' �� � � ������� �� ��� �����!����� � ' ��� � ����� �

������#�� �� ' ��� ����!������ ��� ��!������ 1=�%%% ������� �� �� ���� ����� ��� �������

#� ��������� ����� <�� ������� � ' � ������ � �� ��� /��� ���� ��� �����!����� ��� � ����� �

������#�� � ' ��� ����!������ "������� ��� /�� ������ ��� � ��� � ������� �������� �� �

/��� ��!��� ' 1%�%%% ����� '� ! ��� � ����� � ������#�� � ' ���� ����!�����

��� ����!���� +��� ��� "3"� )�� �� ���� �� ���� (�!��� <AL �������� �

��������- ��� �� ����� #� '�!��� �� "���� 1<� � �� ���� ��� "�!����� 1� $� A� 1%� ��� 1&

���� � *+, ���!�� ��� +��� ' � ���!� ��������� �� ��9����� ' �!� )�$;�A- ��� �� ����

�� ��9����� ���� ' ����� )�� !���� ��� �� ��� ����� � ' ��� /���-� �� �� ���! '�!�����

���� � *+, ���!� ��������� ���� ! �� �� ���� � ����� ����� +��� ���� '�!����� ���� *+,

���!�B ��� ! �� ��!���� ��� ' +��� ��� ����������� �� "�!��� 1� ���� ��� ' � ���� � �

��������� � ��������� ��� '��� ���� '�!����� ���� � *+, ���!� ��� ���������� � ������ '

+��� ��� � ��� ��!� ���! ��������� �� ��9����� ' �!�� ������� ��� ��������� �� �� +���

' � ���! '�!����� ���� � *+, ���!�� � !� ������� � �� ������� �� � !� ' ��� +��� ' � �����

'�!����� '� ! ��� �� �� !���� ' "�!��� 1 � ������� �����#����� ������� �� "�!��� A� �� ����

�� � !� ������� � �� ��� ������� ����!���� ' � �� ���! �� "�!��� 1%�

(�!����� � ' ��� '�!����� ���� � ����� *+, ���!� ������� � � ��� ' �!!��������

#�� � ������� ��� � �� #�� � �� ��� '��� ���� ��� ������ '�!��� ' ���!� ' � "�!��� C ��

N�� �� ���� (�!����� ���� ! ������ ' � ��� ������ ' �#������ 8 ������ ���� �� ��� ' � # ��

��� �!�� ��������� ���! )��������� �� " �!� �$ ��� �&- ��� ��� *+, ���!� )���������

�� " �!� �D ��� �A- ��� ��� +��� ��� � �������� ���� ��� ��������� ���������� ���������

� ��� ���!�� 8����� ���� ���� !�� � �� ��� ����� ' � �������������� ' ��� ���! ���� �

� ����� ������ ���� ��� ����� ' �������� �������� �� *+,�

*� ���� #�� � ������� � �� +��� ���� �� "�!��� &� +� ���� ��������� ���

!������ ��������� ���! ��� ��� *+, ���! ��������� �� �A ���� ���� ��!���� +���� �����

��� *+, ���! ��������� �� �D �������� ���!�������� '� ! ��� ���� ���!� �� ��� '�!����

��� �(���� ' ��� ������� � ��� ������� � �!���� ��� ���� ��� '���� � ' � ��� '�!��� ��

��

Page 40: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Family 1 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 2 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 3

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 5 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 7

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 8

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 10 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 11

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 12

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 13 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 14

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 15

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 16

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ �-� '������ ())� � � *'�*� ���� ��� � ����� ��� ��� �� ��� ��������

��� �� �23 ���� /�� ���� ����� �� �� ������� ������� *'�*� � � -#4 ��������

� ������ � ���� /�� �� ����� �� �� ������� ������� ())� ��� ���� � *���

��5 ���� �� �� ��� ���� � *��� �!5 �� �� ��� ����� ������ ��� ���� � *��� �"5

� � �� �� ��� �� ��� ������ ��� ���� � *��� �#� (��� � *���� �" � � �# ���

6(7 ����8 �� � ����

� �� ���

��� ' � +��� �� "�!��� = ��� �� ���� �������� � ����� ����� �� �� #�� � ��9������

�� ��� ������� ����!���� #������ ��� +��� ��� ��� "3"� ��� ��9������ ������� � #�

�� ����'��� ' ��� ��� � �������� ' � ��� '�!��� ����!����� ����� ��� !��� ' ��� �������

����!������ "�!����� D� <� 11� ��� 1A ��� ���� !�� � ������� �� #������ ��� +��� ' � ���!�

��

Page 41: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

������ �� �� '�!������

* �� ��� � � �� "���� 1< ������� ���� � �!#�� ' ��� '�!����� ���� *+, ���!�

������ � ���� +��� ���� ��� .��� ��!���� ' � # �� ��� �!�� ��������� ���! ��� ���

*+, ���!�� ����� ������ "�!����� A� E� 1$� 1D� ��� 1C� ����� ������ �������� "�!�����

1$ ��� 1C� ���� +��� ' � ��� *+, ���!� ���� ��� �� �� �� � �� ��� � ��� +�� ' � ��

��!��������� � ' ��� �!�� ��������� ���! ���� ��� +�� ' � ��� ���� ��!��������� � '

��� ��!� �!�� ��������� ���!�

� ��������

� ���� /� ��� H�� � ��� ��!� ���� ���� ��� ����!���� +��� )�� ������ �����-

��� ��� ����!���� "3"� )�� � ��� # �� �����- #������ ������� )���� ��� 3�� ��������- ���

�� ����� �� "���� $%� ��� +��� ��� �� ���� ���� ���� ����� ��!���� � �� �� �� "���� 1<�

��� +��� �� ���� �� � ��� ������ ��9����� '� ! �� �� �� "���� 1< �(���� ' � +��! "�!��� C�

���� �� �� ���� ��� 3�� � �� � ������ � � 7 # ' ���! ����#���� � ' � ���� ������ � ���

!�� ���� ��� ���� ��!�������� �� � � � ' ��� ���� #����� �� � �� � � ���� !�� �� ���

#� ����#������ ���� ���! �����������

� ��������

"������� �� /� ��� +�� � ��� ��!� ���� ���� ��� ����!���� +�� ' � ��� ���! '�!���

)��!�!#�� ���� ' � ���� ��������� �� ���!�� ���� ��� ���!� ��������� '� ! ���� ���!

'�!��� ��� ���������� ��� ����� �� ���� ��� �� +�� ' � ���� '�!���- ��� ��� ����!����

"3" #������ ������� )���� ��� 3�� ��������- ��� �� ����� �� "���� $1 �� ������ �����

��� � ��� # �� ����� �������������

+������������� "����� 1<� $%� ��� $1 ������ ���� ' � ���� '�!��� �(���� ' � "�!���

C� ��� +�� #������ ���� ��� +�� �������� ' �� �� ��� ��������� +��� ) #������ #� ���

3��� �� ���� ��� H��- ! �� �� ���� ���� � �� ��� ����!���� "3" '� ! 3��� ���� ��

�� #�#�� �� �� !� ' ��� '��� ���� �� ���� � '�� ���!� ' � ���� ���! '�!���� !�����

�� ����� ' � ��� 3�� � /� ����� *�� � ���� ' � '�!����� ���� *+, ���!�� �� ' ��� ' �

���!� ��� ������� ��� ��!� ���! ��������� !����� ��� +�� � � � ��������� � /� ���

��

Page 42: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Family 1 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 2 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 3

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 5 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 7

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 8

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 10 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 11

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 12

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 13 (No AIG item)

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 14

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 15

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Family 16

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ �.� '������ ())� � � *'�*� ���� �� ,�� � ����� ��� ��� �� ��� ��������

��� �� �23 ���� /�� ���� ����� �� �� ������� ������� *'�*� � � -#4 ��������

� ������ � ���� /�� �� ����� �� �� ������� ������� ())� ��� ���� � *���

��5 ���� �� �� ��� ���� � *��� �!5 �� �� ��� ����� ������ ��� ���� � *��� �"5

� � �� �� ��� �� ��� ������ ��� ���� � *��� �#� (��� � *���� �" � � �# ���

6(7 ����8 �� � ����

����� * ������� ��� � ������#�� � ' � ��� �������� ����!����� ) � ��� ���!��� � ���� ���

�������� !������� ' � ��� ���! ����!����� ��� ��!� ��� ��� '�!�����- !���� ����� �� �

#����� /� ' ��� 3���

��

Page 43: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

Item family 1

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 2

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 3

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 4

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 5

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 6

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 7

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 8

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 9

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 10

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 11

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 12

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 13

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 14

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 15

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

Item family 16

-4 -2 0 2 4

0.0

0.4

0.8

������ ��� '������ ())� ���� �� (�� � ����� ��� ��� �� ��� �������� ��� �� �23

���� /�� ������ �� �� ������� �� ������� ())� ��� ���� ������ /�� �������

*'�*� ���� �� ��� � ����� ��� ���� �������� ��� ��������� � ����� ���� �� ���

���������� �" ��� ������ #���������

��� ���� �� ��� ����� � �(�!���� �� /�� ������ ��� ��9������� �� ��� ����!���� '

�#������� #������ #� ��� ����� ! ���� ��� � �@� ������ ��� ������ ����� *����� ���� �� ��

���� ��� 3�� � �� �� �.���� � � 7 # ' �� ���� �� � �� ��� H��� ��� � �� ��������� �

���� � �(�� �� ���� ���� '����� � /�� � ���� ��� � � ��� �#����� ����!���� #������

���� ��� ����� ! ��� ���!��� �� ��9���

��

Page 44: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

+� ������ ��� ��� ������ ,���

4� � �� �� �� ���� ���� � ���� � ������ ' ���! '�!������ ��� 3�� ��� ���� ���

��� �� ��� ���������� �! �� ��� ���!� #�� ����� � ��� ��!� ���! '�!���� ��� ����

��� ����! ' � �������� ! ��� /����� ��� �� � � ������ ��� ������ ��� ����!����� �� ���

������������ ! ��� ���� � !�� ������ ��� ������� 8����� ���� � �� �� �� �!� ����� ����

�� �� ���� ���� �� !�� #� �� �� � ����#���� ��� ���! '�!��� ���B ��� ���!� #�� ����� �

��� ��!� '�!��� !�� #� ��� �� '��� ����� ���� � � ��� ��� ��� �� #�� ' ����#������

�� �� ���!�� ���� ���� #� ���� ��'� �� �� !���� ���! �������� � �����!� ����� ���!� ���

�� !�������� ��������� '� ! ���! ! ����� 8 ������ � � � ' ������ ��� �������� �� ��.����

��� � � ��� ������ ��� ��������� ���

4� /��� ��� ���� �� � ����� � ����� ���� � �� � ���� ����������� ������ ����� '

��� ����� ! ���� �������� ���� )3��� H��� ��� +��- � �� #� ���'���#�� � �����2� �

����� ���� ���� " � �(�!���� �� 3�� !�� � � #� � � � /� � ���� ���� ���� � '�� �!#��

' ���!� ��� '�!���� * ���� ' � �������� ���� #� � /��� � � � ��� �#����� ����!����

��9�� ���� ��� ��9����� ! ��� ���!��� ��� 4� ��(� ��� ���� �� ��� �(����� � ' ���

������������ ! ��� � � ��� ! � ���� � !��� �� ! �� ������ �������#��� � ! ��� ���

���� ���� ' ��� �(�!����� � � ��� ! � ���!�� �� ���� �� ��� ��������2�� ������� ������

! ��� ),���- )������ 1<<$-� ����� ���!�� ���� ��� ���� ��� ' ������ � � ���! � ���

� !���� !��� ������#�� � ���� �� #�#�������

���)����� ��� ��� ��� � � � ��- F � ) �� F ����� �� ��� ��� ��� � � � ��-

F������)�� � ��-� �

��� �����

� ������)�� � ��-� ��

�� ���)=-

' � � F 1� $� � � �!� ����� � �� ��� �� �� ����!���� ' � ��� ���! )� ������ ��� ��� ��9�����

����� ����-� �� �� ��� ������ ������ ' � ��� ���!� ��� � �� ��� ������ ����!���� ' � ���

�;�� ����� ��� � F 1� $� � � �!� +� ��� ��(� ����� ' ��� ! ���� �� ���!� ���� �� � "#$���

��� ����

�� � )��� ��� ��� ��� � � � ��-� � ������� ���� � ����)������� ����-� )<-

��� ��� � ������#�� �� ���!�� � ��� ��� ��� ��� ��!���� � )$- ��� )&-� ��� � ����� �

������#�� �� ' ��� ����!����� ��� ��� ��!���� � �� �� �������� �� ��� ��!� ����� ��

��

Page 45: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

�����/������ ��� � ����� � ������#�� �� ' ��� ��� ��� ���� #� ���� ��!���� � )C- ��� )E-�

� � �� ��� ���� � /�� � �' ��� ������ ' ��� �������� ��� ��������� � ���

��� � ������#�� �� � ��� ! ��� ����!������ 4� �������� � '�� �������� ���� ���� ����

���������� � ��� ��� � ������#�� �� � ��� �����;����!����� � ���� ��� � '�� ���!�

#�� �� � ���� ���! '�!���� " � �(�!���� ������ ��� ��������� � ��� ��� � ������#�� �� ' �

��� �40 ���� ��� ����� ���� ���! '�!��� � ������ ' ��� ' � ���!��

"������� �� � �� ���� � �(���� ��� ������������ ! ��� � ���� �� ��� ���� ���

��� �� � ��������� ������ ���� '����� �����#��� � ��! ������� �����#����

Page 46: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

"�������

����� �� � ��� ������ 8�� : ���� Q� )1<<<-� * �������� ���� ! �9���� ! ��� ' �

��������� ���� �������� ��� 1A&;1C=�

,��!��� *�� ������� �� ��� ������ 8� ��� : 3#��� �� �� )1<<A-� ������� ���� ��������

��� � ��6 ����!�� : 8����

,��!��� *�� : 3#��� �� �� )1<<$-� +�'������ '� ! ��������� ��!���� � ���� !������

��.������ ���������� ������� !� DAE;A11�

,�!��� ��� : ,�!��� �� )1<=D-� �� ������� ����(��� �� ,�##� ������#�� �� ��� ���

�������� ���� ���� � ' �!����� �""" #�������� �� � ������� $������ ��� ������

������������� �� E$1;ED1�

,����� � 3�� 3������� �� ��� : �������������� �� �� )1<<C-� ��� � ����� ��� ���� ��

��������� 0 �� �6 ����!�� ��� 8����

,���� �� *� �� : ��� ��� 0������ � �� )$%%1-� ������ ���������� �� ���� ����������

�� �$#� ����� ��������� �� ��� � ��� *!������ ����� !����� � ����� �������� 5���

' ������� �*�

8 !# � ��� : �������� *� )$%%1-� $ �������� � ���� � ��� ������ � ��� ����� ����

�������� � ����� %$"�&���� ���� � ����� ��� ����� ��������� �� ��� *���� �������

' ��� ���� ��� � ���� � ������!��� �� ����� �� �������� *�

+������ �� 8�� : 5��� ���� �� �� )���-� )$%%$-� ���� �������� � � � ���� ����� ������

������� ��6 0������� ���#�! *�� �������

�������� 3�� ��������(� "�� ��������� ��� : �� � ���� �� )$%%%-� * ������������ +3�

! ��� ' � ������� �;��'������� !�����!���� ' ����� � "������ ��� ��� ������ ���

���������� ())&-� $=A;&%C�

� ��� �� �� ��� : ��������� �� )$%%$-� $ ������������ � ��� � � ���� � ��� ��������� ��

����� ��������� �� ��� ����� !������ ' ��� ���� ��� � ���� � ������!��� ��

����� �� ��� 4������� 0*�

Page 47: An Application of a Bayesian Hierarchical Model for Item Family

0 ��� "� �� )1<=%-� $�������� �� � ���� ���� ��� ��� � � ��������� ������� �� ������

8��������� ��6 0������� ��#�! *�� �������

������ � )1<<$-� * ��������2�� ������� ������ ! ���6 *�������� � ' �� ;� ��� ����!�

$������ ���� � ����� ����������� *�� 1A<;1EC�

���2� 3�� : ������ �� )1<<<-� *�������� �� ��� �(����� �� ' ���� �� +3�6 �������

���! ������ !������ ����� ��� ����� ���� ����� ' ����� � "������ ��� ��� ������ ���

���������� (�� &D$;&CC�

3�2���� ��� ��� � ��� ������ ��� : 8��#���� � )$%%$-� # ������� ������� � �� ����

��������� �������� �� ����� ��������� �� ��� ����� !������ ' ��� ���� ��� � ����

� ������!��� �� ����� �� ��� 4������� 0*�

�������� ��� �������� 3� �� ��������� ��� : 4���7�� *� )$%%&-� #�� ��� +����� ����,

-���� ��� ��� ������� �� ��6 ���� ��� ������ ' � ����� ��� ����������� 4�� '

����� ��� 3������� ��� +!�� ��!���� H� ������!��� ' ����� ��

�������� �� 5�� : �������� 3� � )$%%$-� +��! �������� � ��� #�� ��6 *�������� �� '

����!� ��� �� � !����!����� ������!���� +� �� 8� +����� : �� �� 5��� ��� )���-�

���� �������� � � � ���� ����� ����� )��� &C1;&=D-� 8��������� ��6 ��#�!�

�����!� �� �� ��� � ��� �� �� ��� ��������� ��� : ��7��� +� )$%%$�-� .����������� �/#

��������� � � �� � ����� �0��������� � � ����� � ��������� ���� ��� ������ �����

��������� �� ��� ����� !������ ' ��� *!������ ����� ��� 3������� *�� ����� ��

��� 4������� 0*�

�����!� �� �� ��� � ��� �� �� ��� ��������� ��� : ��7��� +� )$%%$#-� $������

������������ � ��� ��������� � � ��� �������� ��������� ������ ����� ��������� �� ���

����� !������ ' ��� *!������ ����� ��� 3������� *�� ����� �� ��� 4������� 0*�

������ �� )$%%$-� �� ���� ����� ���� ���!� ���� #��� ���������� +� �� 8� +����� : �� ��

5��� ��� )���-� ���� �������� � � � ���� ����� ����� )��� $EE;$=C-� 8��������� ��6

��#�!�

��