SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MTODO DE GAUSSEjercicio n 1.Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas que sea: a) Compatible determinado b) Compatible indeterminado c) Incompatible Justifica en cada caso tus respuestas.

Ejercicio n 2.a) Razona si los siguientes sistemas son equivalentes o no:

x 3y + 4 z = 7 I: 2z = 0 3 x +

x = 2 II : y = 1 z = 3

b) Aade una ecuacin al sistema I, de modo que el nuevo sistema resultante sea incompatible. Justifica tu respuesta.

Ejercicio n 3.a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:

3 x 2y + 4 z = 6 2 x + 4 y z = 3 x + 2y + 3z = 1 b) Podramos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Raznalo.

Ejercicio n 4.Dado el sistema de ecuaciones:2 x y + z = 5 x + 2y = 3

Si es posible, aade una ecuacin de modo que el nuevo sistema resultante sea: a) Incompatible b) Compatible indeterminado Justifica tus respuestas.

1

Ejercicio n 5.a) Resuelve el sistema de ecuaciones: x + y = 1 3x y = 1

b) Aade una ecuacin al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea: I) Compatible determinado II) Compatible indeterminado III) Incompatible

Ejercicio n 6.Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x 2 y = 0 3 x y = 5 x y = 1

b) 3 x z = 4 y + 3x = 2

Resulvelos e interprtalos geomtricamente. Ejercicio n 7.Resuelve los siguientes sistemas y haz una interpretacin geomtrica de los mismos:

a) 3 x 2 y = 5 x + 4y = 4 x 2 y = 3

b) x + 2z = 3 x + y = 2

Ejercicio n 8.Resuelve e interpreta geomtricamente el siguiente sistema de ecuaciones:

2x y + z = 3 x + 2y z = 4 x 8y + 5z = 6

Ejercicio n 9.Resuelve el siguiente sistema e interprtalo geomtricamente:

x + y + z = 1 2 x 3z = 5 2y + 5z = 2

2

Ejercicio n 10.Resuelve e interpreta geomtricamente el sistema:

x + 3y z = 4 x + 4y = 5 2 x 6y + 2z = 3

Ejercicio n 11.Resuelve los siguientes sistemas, utilizando el mtodo de Gauss:

a) 3 x + y + z = 1 x 2y + z = 4 x + y 3z = 7

b)

3 x + y z = 3 x 3 y + 3z = 9 2 x + 4 y 4 z = 12

2x y + z = 3

Ejercicio n 12.Resuelve, por el mtodo de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

2x + y z = 6 x y + 2 z = 1 x + 3y =1

b) x y + z + t = 0 x + y + z t = 2 x y z + t = 2

Ejercicio n 13.Resuelve, por el mtodo de Gauss, los sistemas:

a) 3 x + y z = 4 5 x 2y + z = 6 x + y + 3z = 0

b)

x + 2y + z + t = 3 x +y + 2t = 1 x + 7 y + 2 z + 8t = 1

Ejercicio n 14.Resuelve estos sistemas, mediante el mtodo de Gauss:

a) 5 x y + 3z = 6 x + 3 y z = 10 2 x y + 4 z = 2

b)

3 x + 2y = 1 x + 4 y 2z = 9 6 x + 11y 3z = 11

2x y + z = 5

3

Ejercicio n 15.Utiliza el mtodo de Gauss para resolver los sistemas:

a) 4 x + y 2z = 3 3 x y + 4 z = 2 x +y +z =5

b) x + y z = 2 x y + 2z = 4 x +z +t = 3 x + 2z + t = 1

Ejercicio n 16.Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

x 5y z = 4 x y +z =6 3 x 5y + az = 31

Ejercicio n 17.Discute en funcin del parmetro, y resuelve cuando sea posible:

x + 5y 6z = 19 3 x 6y + az = 16 x z =1

Ejercicio n 18.Discute, y resuelve cuando sea posible, el sistema:

2 x + 3y + 5z = 8 2 x + 2y + mz = 6 x + y + 2z = 3

Ejercicio n 19.Dado el siguiente sistema de ecuaciones, disctelo y resulvelo para los valores de m que lo hacen compatible:

2 x y 17 z = 0 x + 2y + mz = 5 x 5z = 1

4

Ejercicio n 20.Discute el siguiente sistema en funcin del parmetro a, y resulvelo cuando sea posible:

2 x 5y + (a + 5 )z = 0 3 x + 3y z = 0 3 x + 4y + 6z = 0

Ejercicio n 21.Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. Cuntos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes? Ejercicio n 22.Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno ms el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

Ejercicio n 23.Una compaa fabric tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofs. Para la fabricacin de cada uno de estos tipos necesit la utilizacin de ciertas unidades de madera, plstico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compaa tena en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plstico y 1 500 unidades de aluminio. Si la compaa utiliz todas sus existencias, cuntas sillas, mecedoras y sofs fabric?MADERA SILLA MECEDORA SOF 1 unidad 1 unidad 1 unidad PLSTICO ALUMINIO 1 unidad 1 unidad 2 unidades 3 unidades

2 unidades 5 unidades

Ejercicio n 24.En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% ms que de vainilla. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuntos helados de cada sabor se compran a la semana. b) Resuelve, mediante el mtodo de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.

Ejercicio n 25.En una reunin hay 22 personas, entre hombres, mujeres y nios. El doble del nmero de mujeres ms el triple del nmero de nios, es igual al doble del nmero de hombres. a) Con estos datos, se puede saber el nmero de hombres que hay? b) Si, adems, se sabe que el nmero de hombres es el doble del de mujeres, cuntos hombres, mujeres y nios hay?

5

SOLUCIONES: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:Ejercicio n 1.Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas que sea: a) Compatible determinado b) Compatible indeterminado c) Incompatible Justifica en cada caso tus respuestas.

Solucin: a) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incgnitas, no puede ser compatible determinado; con solo dos datos (ecuaciones) no podemos averiguar tres incgnitas. b) Por ejemplo:x+y +z =3 tiene infinitas soluciones, que seran de la forma: x z =1

x =, y = 2, z =con R 1+ 2 ,c) Tendran que ser dos ecuaciones contradictorias. Por ejemplo:x + y + z = 3 es incompatible; no se pueden dar las dos ecuaciones a la vez. x + y + z = 1

Ejercicio n 2.a) Razona si los siguientes sistemas son equivalentes o no:

x 3y + 4 z = 7 I: 2z = 0 3 x +

x = 2 II : y = 1 z = 3

b) Aade una ecuacin al sistema I, de modo que el nuevo sistema resultante sea incompatible. Justifica tu respuesta.

Solucin: a) El segundo sistema es compatible determinado. Tiene como nica solucin (2, 1, 3), que tambin es solucin del sistema I. Sin embargo, el sistema I tiene, adems de (2, 1, 3), infinitas soluciones ms, es compatible indeterminado. Por tanto, los dos sistemas no son equivalentes. b) Para que sea incompatible, debemos aadir una ecuacin de la forma:

a(x 3 y + 4z ) + b(3 x + 2z ) = k, con k 7a

6

Por ejemplo, si tomamos a = 1, b = 1:

4 x 3 y + 6z = 3Aadiendo esta ecuacin, el nuevo sistema es incompatible.

Ejercicio n 3.a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:

3 x 2y + 4 z = 6 2 x + 4 y z = 3 x + 2y + 3z = 1 b) Podramos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Raznalo.

Solucin: a) Observamos que la tercera ecuacin es suma de las dos primeras, salvo en el trmino independiente que, en lugar de un 9, es un 1. Por tanto, la tercera ecuacin contradice las dos primeras. El sistema es incompatible. b) No. Si suprimimos una de las ecuaciones, obtendremos un sistema con tres incgnitas y solo dos ecuaciones. Este nuevo sistema podra ser compatible indeterminado (en este caso lo sera), pero no compatible determinado.

Ejercicio n 4.Dado el sistema de ecuaciones:2 x y + z = 5 x + 2y = 3

Si es posible, aade una ecuacin de modo que el nuevo sistema resultante sea: a) Incompatible b) Compatible indeterminado Justifica tus respuestas.

Solucin: a) Una ecuacin que haga el sistema incompatible ha de ser de la forma:

a(2 x y + z ) + b( x + 2y ) = k, con k 5a + 3bSi tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 1, tenemos:

x+y +z = 4Aadiendo esta ecuacin, el sistema es incompatible. b) Para que sea compatible indeterminado, la ecuacin que aadamos ser de la forma:

a(2 x y + z ) + b( x + 2y ) = 5a + 3b

(una combinaci n lineal de las dos que tenemos)

Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 1, quedar:

7

x+y +z =8Aadiendo esta ecuacin, el sistema es compatible indeterminado.

Ejercicio n 5.a) Resuelve el sistema de ecuaciones: x + y = 1 3x y = 1

b) Aade una ecuacin al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea: I) Compatible determinado II) Compatible indeterminado III) Incompatible

Solucin:a) x + y = 1 Sumando : 2 x = 2 x = 1 3 x y = 1 Sustituyendo x = 1 en la 1a ecuacin: 1 + y = 1 y = 2

La solucin del sistema es x = 1, y = 2. Tenemos dos rectas que se cortan en el punto (1, 2). b) I) Si aadimos una ecuacin que sea combinacin lineal de las dos que tenemos, el nuevo sistema seguir siendo compatible determinado. La nueva recta pasara tambin por (1, 2). La solucin del sistema seguir siendo la misma. Por ejemplo, si sumamos las dos ecuaciones que tenemos, obtenemos 2x = 2. Aadiendo esta ecuacin, seguir siendo compatible determinado (y con la misma solucin). II) Es imposible, pues las dos rectas que tenemos solo tienen en comn el punto (1, 2). Aadiendo otra ecuacin no podemos conseguir que estas dos rectas se corten en ms puntos. III) Para que fuera incompatible, tendramos que aadir una ecuacin que contradijera las dos que tenemos; es decir, de la forma:

a( x + y ) + b(3 x y ) = k, con k a + bPor ejemplo, con a = 1, b = 1: 2x = 3 Aadiendo esta ecuacin, obtendramos un sistema incompatible.

Ejercicio n 6.Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x 2 y = 0 3 x y = 5 x y = 1

b) 3 x z = 4 y + 3x = 2

Resulvelos e interprtalos geomtricamente.

8

Solucin: a) Resolvemos el sistema por el mtodo de Gauss:

1 3 1

2 0 1 5 1 1

1 a a 2 3 1 0 a a 3 1 01a

2 0 5 5 1 1

1a

a

2 53 3a

a

1 0 0

2 0 0 0 1 1

x 2y = 0 x = 2 y = 2 y = 1 y =1

El sistema es compatible determinado. La solucin es (2, 1). Geomtricamente, representa tres rectas que se cortan en el punto (2, 1):

b) Se trata de un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas. Pasando la z al 2 miembro en las dos ecuaicones, tenemos que:4 1 3x = 4 + z x = + z 3 3 y = 2 3z y = 2 3z

El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son:4 1 x = , y = , z = 23 + , con R 3 3

Geomtricamente, son dos planos que se cortan a lo largo de una recta:

9

Ejercicio n 7.Resuelve los siguientes sistemas y haz una interpretacin geomtrica de los mismos:

a) 3 x 2 y = 5 x + 4y = 4 x 2 y = 3

b) x + 2z = 3 x + y = 2

Solucin: a) Resolvemos el sistema por el mtodo de Gauss:

3 2 1 4 1 2 1a

5 4 3

4 1 a 3 2 1 a 3 1 22a

4 5 3

1a

a

3 1 2 1 +3a a

a

1 4 0 14 0 2

4 7 1

2

a

1 4 a 73 0 0 0 2 a 3

4 x + 4 y = 4 1 0 y = ; x+2= 4 x =2 2 2y = 1 1

1 El sistema es compatible determinado. Su solucin es 2, . 2 1 Geomtrica mente, son tres rectas que se cortan en el punto 2, : 2

b) Se trata de un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas. Pasando la x al 2 o miembro en las dos ecuaciones , tenemos que :3 1 2z = 3 x z= x 2 2 y = 2 x y = 2xPor tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado, cuyas soluciones son:

3 1 x = y = , z = , con R 2 , 2 2Geomtricamente, son dos planos que se cortan a lo largo de una recta:

10

Ejercicio n 8.Resuelve e interpreta geomtricamente el siguiente sistema de ecuaciones:

2x y + z = 3 x + 2y z = 4 x 8y + 5z = 6

Solucin: Resolvemos el sistema mediante el mtodo de Gauss:

2 1 1

1 2 81a

3 1 4 5 6 1 2 5 0

1 a 1 2 a 3 12a

2 1 8

1 1 5

4 3 6

1 a a 2 2 1 0 a a 3 1 01a

2 5 10

1 3 6

4 5 10

3a

1 a 0 2 a 2 2 0

1 3 0

4 x + 2y z = 4 o 5 Pasamos la z al 2 miembro: 5 y + 3z = 5 0

x + 2y = 4 + z

1 3 x = 4 + z 2y = 4 + z 21 + z = 2 z 5 5 5 y = 5 3z y = 1 + 3 z 5

El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son:1 3 2 1+ , con x = , y = , z = R 5 5

Geomtricamente, representa tres planos que tienen una recta en comn:

Ejercicio n 9.Resuelve el siguiente sistema e interprtalo geomtricamente:

x + y + z = 1 2 x 3z = 5 2y + 5z = 2

11

Solucin: Resolvemos el sistema mediante el mtodo de Gauss:

1 1 2 0 0 2

1 3 5

1 5 2

2

a

1 a 2 1 0 0 a 3 1a

1 2 2

1 5 5

1 3 2

1 0 2 a a 2 + 3 01a a

1 2 0

1 5 0

1 3 5

x + y + z = 1 2y 5z = 3 0 x + 0 y + 0z = 5 La ltima ecuacin es imposible. El sistema es incompatible. Geomtricamente, representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningn punto comn a los tres.

Ejercicio n 10.Resuelve e interpreta geomtricamente el sistema:

x + 3y z = 4 x + 4y = 5 2 x 6y + 2z = 3

Solucin: En primer lugar, lo resolvemos mediante el mtodo de Gauss:

1 3 1 4 2 6

1 4 0 5 2 3

1 3 a a 7 2 +1 0 a a 0 3 + 2 1 01a

4 x + 3y z = 4 7y z = 9 1 9 0 11 0 x + 0 y + 0z = 11 1

La ltima ecuacin es imposible. El sistema es incompatible. Geomtricamente, el sistema representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningn punto comn a los tres.

12

Ejercicio n 11.Resuelve los siguientes sistemas, utilizando el mtodo de Gauss:

a) 3 x + y + z = 1 x 2y + z = 4 x + y 3z = 7

b)

3 x + y z = 3 x 3 y + 3z = 9 2 x + 4 y 4 z = 12

2x y + z = 3

Solucin:

a) 3 1 1

1 2 11a

1 1 3

1 4 7 2 5 1 2 1 0 1 4 2 1 2 14

1 a 1 3 a 3 12a

2 1 1

1 1 3

4 1 7 2 1 5 4 2 3 4 13 1

1 a a 3 1 2 0 a a 3 + 1 0 1 a 0 2 a + 5 2 01a

a 4 1 1 3a 0 13 a 3 2 0

3a

4 x 2y + z = 4 3 y + 2z = 3 28 14z = 28

28 z = 14 = 2 y = 3 2z = 3 4 = 1 x = 2y z + 4 = 2 2 + 4 = 0 La solucin es (0, 1, 2).

b) 2 1 1 3 1 1 1 3 3 2 4 4 1 a 3 1 0 a 2 1 0 a 2 1 01a

3 3 9 12 3 10 5 10 3 1 0 0 3 10 5 10 3

3

1 3 1 2 3 a 1 2 1 a 4 4 2a a

3 1 1 41a

9 3 3 12 3 1 1 1 9 1 3 1 3 1 3 3

2 3 4

a

a

a

9 30 15 30

1 a 2 : 10 0 a 3 :5 0 a 4 : 10 0

1 a 0 2 a a 3 2 0 a a 4 2 01a

9 1 3 x 3 y + 3z = 9 0 0 y z = 3 0 0

13

Pasamos la z al 2 miembro:x 3 y = 9 3z x = 3 y + 9 3z = 3( 3 + z ) + 9 3z = 0 y = 3 + z y = 3 + z

Las soluciones del sistema son: x = 0, y = 3 + , z = , con

Ejercicio n 12.Resuelve, por el mtodo de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

2x + y z = 6 x y + 2 z = 1 x + 3y =1

b) x y + z + t = 0 x + y + z t = 2 x y z + t = 2

Solucin:a a 1 2 1 1 1 6 a) 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1a 2 1 1 6 2 a 2 1a 0 1 3 a a a 0 1 0 1 3 1 3 3 + 1 0

1 3 2

2 5 2

1 8 0

1 1 a 3 0 2 a 2 01a

1 1 3

2 1 5

1 0 8

3

a

1 a 0 2 a 3 2 01a

1 1 0

2 1 8

1 x y + 2z = 1 0 y +z=0 8z = 8 8

8 z = 8 = 1 y + z = 0 y 1 = 0 y = 1 x y + 2z = 1 x = 1 + y 2z = 1 + 1 + 2 = 2 La solucin del sistema es (2, 1, 1).

1 0 b) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

1 2 3a

a

1 1a 0 a 1 0 a

1 2 0

1 0 2

0 2 2 0 2 1

1 1 a 2 0 2 1 a 0 3 1a

1 1 1 0

0 x y + z = t x = t + y z = t + 1 + t + 1 = 2 0 1 1 y = 1+ t 1 0 1 z =1 1

2

Las soluciones del sistema son: x = 2, y = 1 + , z = 1, t = , con

14

Ejercicio n 13.Resuelve, por el mtodo de Gauss, los sistemas:

a) 3 x + y z = 4 5 x 2y + z = 6 x + y + 3z = 0

b)

x + 2y + z + t = 3 x +y + 2t = 1 x + 7 y + 2 z + 8t = 1

Solucin:

a) 3 5 1

1 2 11a

1 4 1 6 3 0

3

1 a 1 3 a 2 5a

1 1 2

0 1 4 1 6 3 1 1 3 a 1 5 2 : ( 2) 0 0 3 16 a 3 1a

2 3

a

a

1 1 a 2 3 1 0 a 5 1 0 31a

3 10 16

0 4 6

0 2 6

3a

x + y + 3z = 0 1 1 3 0 a 0 1 5 2 2 y + 5 z = 2 a 32 0 0 1 0 z = 0

x = y + 3 z = 2 y = 2 5z = 2 La solucin es (2, 2, 0 ). z=0 b) 1 2 1 1 1 1 0 2 1 7 2 8 1a

3 1 1

1 2 3a

a

1 2 1 1 3 a + 1 0 3 1 3 2 a + 1 0 9 3 9 4a

3a

1 2 1 1 a 0 3 1 3 2 a 3 2 0 0 0 0

3 x + 2y + z + t = 3 2 3 y + z + 3t = 2 2 0 x + 0 y + 0z + 0t = 2

La ltima ecuacin es imposible. Por tanto, el sistema es incompatible.

Ejercicio n 14.Resuelve estos sistemas, mediante el mtodo de Gauss:

a) 5 x y + 3z = 6 x + 3 y z = 10 2 x y + 4 z = 2

b)

3 x + 2y = 1 x + 4 y 2z = 9 6 x + 11y 3z = 11

2x y + z = 5

15

Solucin:

a) 5 1 2

1

6 3 1 10 1 4 231a

1 a 1 5 a 3 22a

1 10 1 3 6 1 4 2 31a

2 3

a

a

1 a 5 1 0 a 2 1 01a

3 16 7

1 8 6

10 56 22

1 2 a : ( 8 ) 0 0 a 3

3 2 7

1

10 1 7 6 22

1 3 a 0 2 2 a a 7 2 + 2 3 0 0

1 10 1 7 5 5

x + 3 y z = 10 x = 10 3 y + z = 10 12 + 1 = 1 2y z = 7 2y = 7 + z = 7 + 1 = 8 y = 4 La solucin es ( 1, 4, 1). z =1 5z = 5

b) 2 1 1 3 2 0 1 4 2 6 11 31a

5 1 9 11

3

1 4 2 a 3 2 0 2 a 1 2 1 1 a 11 3 4 6a

9 1 5 11 1 a 0 3 a 23 0 a 53 01a

2 3 4

a

a

a

1 4 a 0 14 + 3 1 a 7 + 2 1 0 a 35 + 6 1 0

2 6 3 15

9 26 13 65

4 7 0 0

2 3 0 0

2 4

a

a

9 13 0 0

x + 4 y 2z = 9 o Pasamos la z al 2 miembro : 7 y 3z = 13

x + 4 y = 9 + 2z 13 3 + z y= 7 7 7 y = 13 + 3z

52 12 11 2 13 3 x = 4 y + 9 2z = 4 + z + 9 2z = + z z + 9 2z = 7 7 7 7 7 7

Las soluciones del sistema son:

11 2 13 3 x = , y = + , z =con R , 7 7 7 7

Ejercicio n 15.Utiliza el mtodo de Gauss para resolver los sistemas:

a) 4 x + y 2z = 3 3 x y + 4 z = 2 x +y +z =5

b) x + y z = 2 x y + 2z = 4 x +z +t = 3 x + 2z + t = 1

16

Solucin:

a) 4 1 2 3 1 4 1 1 1 1a

3 2 5

3

1 1 1 a 1 2 1 4 a 1 4 2 3a

5 3 2

2 3

a

a

1 1 1 5 a + 4 1 0 5 2 17 a + 3 1 0 2 7 13

1 1 1 5 a 0 5 2 17 2 a a 0 31 31 53 22 0 1a

x = y + z 5 = 3 + 1 5 = 1 x+y +z =5 17 2z 17 2 5 y + 2z = 17 y = = =3 5 5 31 31z = 31 z= =1 31 La solucin es (1, 3, 1).

b) 1 1 1 1 1 2 1 0 1 0 2 1 1 a 0 2 0 a 3 a a 4 3 01a

0 0 1 1

2 4 3 1

1 2 3 4a

a

a

1 a 0 +1 0 a +1 a +1 0a

1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1 1

2 2 1 1

1 1 0 0 1 0 1 0 1

2 x + y z = 2 0 2 z=2 1 1 y +t =1 0 2 z = 2

La 2 y la 4 son ecuaciones contradictorias. Por tanto, el sistema es incompatible.

Ejercicio n 16.Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

x 5y z = 4 x y +z =6 3 x 5y + az = 31

Solucin:

1 1 3

5 1 5

1 4 1 6 a 31

1 a 1 1 a 3 32a

1 5 5

6 1 4 a 31 1

1 2 1 0 a a 3 3 1 01a a a

1 4 2

1 2a3

6 10 13

17

1 2 a : ( 2) 0 0 a 3 1a

6 2 1 5 2 a 3 13 1

1

1 a 0 2 a a 3 + 2 01a

1 2 0

6 5 1 a 2 18 1

Si a = 2, quedara 0z = 18. Por tanto, el sistema sera incompatible. Si a 2, el sistema sera incompatible determinado. Lo resolvemos:

5a 28 18 5a 28 36 + 12a 24 17a 88 = x = y z + 6 = 2a 4 a 2 + 6 = 2a 4 2a 4 xy +z =6 18 5a 10 18 5a 28 5a 28 2 y + z = 5 2y = 5 z = 5 = = y= 2a 4 a2 a2 a2 (a 2)z = 18 18 z = a2 Para cada valor de a 2, tenemos un sistema de ecuaciones diferente (hay infinitos sistemas). Cada uno de ellos es compatible determinado, con solucin:

x=

17a 88 5a 28 18 , y= , z= 2a 4 2a 4 a2

Ejercicio n 17.Discute en funcin del parmetro, y resuelve cuando sea posible:

x + 5y 6z = 19 3 x 6y + az = 16 x z =1

Solucin:

1 3 1

5 6 01

6a

1a

19 16 1

3

1 a 1 1 a 2 3a

0 5 6

1 6a

1 19 16

1 a a 2 1 0 a a 3 3 1 01a

0 5 6

1 5a+3

1 18 19

1 0 0 5 2 a a 5 3 + 6 2 0 0a

1 5 18 5a 15 13

1

Si 5 15 = 0, es decir, si a = 3, la 3 ecuacin quedar 0z = 13, que es imposible. Por tanto, sera incompatible. Si a 3, el sistema sera compatible determinado. Lo resolvemos:

18

13 5a 15 + 13 5a 2 x z = 1 x = 1+ z = 1+ = = 5a 15 5a 15 5a 15 18a 41 13 13 18a 54 + 13 18a 41 y= 5 y 5z = 18 5 y = 18 + 5z = 18 + 5 = 18 + = = 5a 15 a3 a3 a3 5(a 3 ) (5a 15 )z = 13 z = 13 5a 15Para cada valor de a 3, tenemos un sistema diferente (hay infinitos sistemas). Cada uno de ellos tiene como solucin nica:

x=

18a 41 13 5a 2 , y= , z= 5a 15 5a 15 5a 15

Ejercicio n 18.Discute, y resuelve cuando sea posible, el sistema:

2 x + 3y + 5z = 8 2 x + 2y + mz = 6 x + y + 2z = 3

Solucin:2 3 2 2 1 1 5 m 2 8 6 3 3

1 1 a 1 2 3 a 2 2 2a

2 5 m

3 8 6

2 3

a

a

1 1 a 2 1 0 1 a 2 1 0 01a

2 1 m4

3 2 0

Si m = 4, el sistema sera compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x + y + 2z = 3 y + z = 2

x + y = 2z 3 y = 2z

x = 2z y = 2z 2 + z = z 3 3 1 y = 2z

Las soluciones seran: x =, y = , z = con R 1 2 , Si m 4, el sistema sera compatible determinado. Quedara:

x + y + 2z = 3 x = 3 y = 3 2 = 1 y + z = 2 y = 2 (m 4)z = 0 z = 0 Para cada valor de m 4, tenemos un sistema diferente (hay infinitos sistemas). Cada uno de ellos tiene como solucin nica (1, 2, 0).

19

Ejercicio n 19.Dado el siguiente sistema de ecuaciones, disctelo y resulvelo para los valores de m que lo hacen compatible:

2 x y 17 z = 0 x + 2y + mz = 5 x 5z = 1

Solucin:

2 1 1

1 17 2 01a

m

5

0 5 1

3

1 a 1 2 a 2 1a

0

5

1 17 2m

1 0 5

1 a a 2 2 1 0 a a 3 1 01a

0 1 2

5 7m+5

1 2 4

5 1 0 a 0 1 2 7 a a 3 + 2 2 0 0 m 9

1 2 0

Si m = 9, el sistema quedara:x 5z = 1 x = 1 + 5z y + 7 z = 2 y = 2 7 z

Sera compatible indeterminado, con soluciones: x = 1 + 5, y = 2 7, z = , siendo Si m 9, el sistema sera compatible determinado. Lo resolvemos:

x 5z = 1 x = 1 y + 7 z = 2 y = 2 (m 9)z = 0 z = 0 Para cada valor de m 9, tendramos un sistema de ecuaciones diferente (hay infinitos sistemas). Cada uno de ellos tiene como solucin nica (1, 2, 0). Ejercicio n 20.Discute el siguiente sistema en funcin del parmetro a, y resulvelo cuando sea posible:

2 x 5y + (a + 5 )z = 0 3 x + 3y z = 0 3 x + 4y + 6z = 0

Solucin:

20

2 3 3

5 3 41

a+5 1 6a

0 0 0 3 1

3 a 3 3 a 1 22a

3 4 5

1 6 a+5

0 0 0 3 a 0 2 a + 21 2 01a

2 33

a

a

3 a 0 1 a 2 1 0

1 7

21 3a + 17

0 0 0

3 1 0

1 7 3a + 164

3

a

0 0 0

Si 3a + 164 = 0, es decir, si a =

164 , el sistema queda: 3

3 x + 3 y z = 0 o Pasamos la z al 2 miembro : y + 7z = 0

3 x + 3y = z

x = z 3 y = z + 21z = 22z 3 3 3 y = 7z y = 7z

Sera compatible indeterminado, con soluciones:22 , 7, , con x = y = z = R 3

Si a

164 , sera compatible determinad o. Su nica solucin sera (0, 0, 0 ). 3

Ejercicio n 21.Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. Cuntos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?

Solucin: Resumimos en una tabla los datos que nos dan:A 1 LINGOTE 2 LINGOTE 3 LINGOTEer er

B 20 g 40 g 40 g

C 60 g 50 g 40 g

PESO TOTAL 100 g 100 g 100 g

20 g 10 g 20 g

Llamamos x a los gramos que tenemos que coger del primer lingote, y a los del segundo lingote y z a los del tercero. Como queremos conseguir 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C, tendremos que:

21

0,2 x + 0,1y + 0,2z = 15 2 x + y + 2z = 150 0,2 x + 0,4 y + 0,4z = 35 2 x + 4 y + 4z = 350 0,6 x + 0,5 y + 0,4z = 50 6 x + 5 y + 4z = 500 Resolvemos el sistema mediante el mtodo de Gauss:

2 2 6

1 4 5

2 150 4 350 4 500

2 1 a a 2 1 0 3 a a 3 3 1 0 21a

150 2 200 2 50 2

2 1 a 0 3 2 a a 3 3 2 2 0 01a

2 2 10

150 200 250

150 y 2z 150 50 50 2 x + y + 2z = 150 x = = = 25 2 2 200 2z 200 50 = = 50 3 y + 2z = 200 y = 3 3 10z = 250 z = 25 Por tanto, habr que coger 25 g del primer lingote, 50 g del segundo y 25 g del tercero.

Ejercicio n 22.Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno ms el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

Solucin: Tenemos que:ROTULADOR PRECIO SIN DESCUENTO PRECIO CON DESCUENTO CUADERNO CARPETA

x 0,9 x

y 0,9 y

z 0,9 z

Planteamos el sistema con los datos que nos dan:0,9 x + 0,9 y + 0,9z = 3,56 x y= 2 x z = y + 0,2 x z = + 0,2 x = 0,5 x + 0,2 x = 0,7 x 2

0,9 x + 0,9

x + 0,9 0,7 x = 3,56 0,9 x + 0,45 x + 0,63 x = 3,56 1,98 x = 3,56 2

22

x = 1,80 y= x 1,80 = = 0,90 2 2

z = 0,7 x = 1,26Por tanto, el rotulador marcaba 1,80 euros, el cuaderno, 0,90 euros y, la carpeta, 1,26 euros.

Ejercicio n 23.Una compaa fabric tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofs. Para la fabricacin de cada uno de estos tipos necesit la utilizacin de ciertas unidades de madera, plstico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compaa tena en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plstico y 1 500 unidades de aluminio. Si la compaa utiliz todas sus existencias, cuntas sillas, mecedoras y sofs fabric?MADERA SILLA MECEDORA SOF 1 unidad 1 unidad 1 unidad PLSTICO ALUMINIO 1 unidad 1 unidad 2 unidades 3 unidades

2 unidades 5 unidades

Solucin: Llamamos x al nmero de sillas fabricadas, y al de mecedoras y z al de sofs. As, teniendo en cuenta los datos que nos dan, tenemos que:

Madera x + y + z = 400

Plstico x + y + 2z = 600 Aluminio 2 x + 3 y + 5z = 1 500 Resolvemos el sistema mediante el mtodo de Gauss:

1 1 1 400 1 1 2 600 2 3 5 1 500

1 1 1 400 0 0 1 200 2 1 a a 3 2 1 0 1 3 700 1a a a

x + y + z = 400 x = 400 y z = 400 100 200 = 100 z = 200 y = 700 3z = 700 600 = 100 y + 3z = 700 z = 200 Por tanto, se fabricaron 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofs.

Ejercicio n 24.En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% ms que de vainilla. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuntos helados de cada sabor se compran a la semana.

23

b) Resuelve, mediante el mtodo de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.

Solucin: a) Llamamos x al nmero de helados de vainilla que se compran semanalmente, y al de helados de chocolate, y z al de helados de nata.

x + y + z = 110 Precio total 540 euros 4 x + 5 y + 6z = 540 4 x + 5 y + 6z = 540 Chocolate y nata = 20% ms que vainilla y + z = 1,2 x 12 x 10 y 10 z = 0

Compran 110 helados en total x + y + z = 110

b) 1 4 12

1 5 101a

110 6 540 10 0 1

1 a a 2 4 1 0 a a 3 12 1 01a

1 1 22

1 2 22

110 100 1 320

3a

a 1 1 1 1 110 1 1 1 110 a 0 1 2 100 2 a 0 1 2 100 2 a a 40 60 : ( 22 ) 0 1 1 2 3 0 0 1

x + y + z = 110 x = 110 y z = 110 20 40 = 50 y + 2z = 100 y = 100 2z = 100 80 = 20 z = 40 z = 40 Por tanto, se compran 50 helados de vainilla, 20 de chocolate y 40 de nata.

Ejercicio n 25.En una reunin hay 22 personas, entre hombres, mujeres y nios. El doble del nmero de mujeres ms el triple del nmero de nios, es igual al doble del nmero de hombres. a) Con estos datos, se puede saber el nmero de hombres que hay? b) Si, adems, se sabe que el nmero de hombres es el doble del de mujeres, cuntos hombres, mujeres y nios hay?

Solucin: a) Llamemos x al nmero de hombres, y al de mujeres y z al de nios. Como hay 22 personas, tenemos que: x + y + z = 22 Con el otro dato, planteamos otra ecuacin: 2y + 3z = 2x Solo con estos datos no podemos saber el nmero de hombres (ni el de mujeres, ni el de nios) que hay. Es un sistema compatible indeterminado; como tenemos tres incgnitas, para que pueda ser compatible determinado, necesitamos otra ecuacin.

24

b) Aadiendo una tercera ecuacin con el dato que nos dan, planteamos el sistema:

3 y + z = 22 z = 22 3 y z = 22 18 = 4 2 x + 2 y + 3 z = 0 2 y + 3 z = 0 2 y + 66 9 y = 0 11y = 66 y = 6 x = 2y x = 12 x + y + z = 22Por tanto, hay 12 hombres, 6 mujeres y 4 nios.

25

MATRICESEjercicio n 1.-

a Halla los valores de a y b en la matriz A = 0 0 1 . siendo B = 0 0 Ejercicio n 2.Dadas las matrices:

b , de forma que A 2 2 A = B , a

1 1 2 0 1 A = 1 3 0 y B = 2 1 0 3 5 1 3 9 1 = 3 4 14 1 1 2 3 1 6

a) Comprueba que A 1

b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.

Ejercicio n 3.Resuelve el siguiente sistema matricial:

0 3 X 2Y = 5 15

5 9 4

4 0 ; 4

7 2X + Y = 6 10

1 6 5

2 7 2

Ejercicio n 4.Calcula los valores de x para que la matriz:

x A = 0 0

0 x 0

0 0 x 2

verifique la ecuacin A 6A + 9l = 0, donde l y O son, respectivamente, las matrices identidad y nula de orden tres.

Ejercicio n 5.-

2 3 , halla el valor que deben tener x e y Si I es la matriz identidad de orden 2 y A = 2 1 para que se cumpla la igualdad A 2 xA yI = 0.

1

Ejercicio n 6.Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales: 2 3 1 4 = 2X Y ; X + 2Y = 1 5 3 0

Halla X e Y , y calcula, si tiene sentido, X 1 e Y 1.

Ejercicio n 7.-

0 1 0 1 0 0 : Dada la matriz A = 0 0 1 a) Calcula A2 , A3 , A4 , A5 . b) Halla el valor de A25 + A1.

Ejercicio n 8.Resuelve la ecuacin matricial 2A = AX + B, siendo: 1 0 1 2 y B= A= 1 1 3 1

Ejercicio n 9.Se considera la matriz:

0 A = 0 0

a 0 0

b c , donde a, b y c son tres nmeros reales arbitrarios. 0 n

a) Encuentra A para todo natural n.b) Calcula A 35 A .

(

)

2

Ejercicio n 10.Dada la matriz:0 1 0 A= 1 0 1

a) Calcula A A y AA , donde A denota la matriz traspuesta de A.

t

t

t

2

x b) Encuentra las matrices de la forma X = , tales que: AA t X = X y a c) Encuentra todas las matrices de la forma Y = b , tales que: A t AY = Y c

Ejercicio n 11.Obtn el rango de la siguiente matriz:

2 1 M = 4 7

3 0 9 9

1 2 1 7 1 1 4 1

Ejercicio n 12.Averigua cul es el rango de:

1 1 3 0 1 1 1 1 A= 1 2 3 1 2 1 2 0

Ejercicio n 13.Calcula el rango de la matriz:

2 1 A= 1 5

1 2 8 10

0 1 2 9 6 15 6 3

Ejercicio n 14.Estudia el rango de la matriz:

4 1 A= 2 1

7 0 7 7

0 1 2 1

2 0 2 2

3

Ejercicio n 15.Halla el rango de la siguiente matriz:

1 4 1 1 M = 1 8 3 1

2 0 6 2

5 1 19 1

Ejercicio n 16.Calcula el rango de la siguiente matriz y di cul es el nmero de columnas linealmente independientes:

3 A = 1 1

2 1 6

1 1 5

2 2 6

Ejercicio n 17.Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores {u1 = (2, 1, 0, 1); u2 = ( 1, 0, 2, 1); u3 = (5, 4, 6, 7 )}

y di cul es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u2 , u 3 .

Ejercicio n 18.a) Halla el rango de la matriz:

2 1 A= 3 4

0 1 1 2

1 3 4 1

b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores: u1 = (2, 1, 3, 4 ); u 2 = (0, 1, 1, 2 ) y u 3 = ( 1, 3, 4, 1)

Ejercicio n 19.Dados los vectores: u1 = (3, 1, 2, 0 ); u2 = (1, 2, 1, 1); u3 = (2, 1, 0, 1)

Estudia la dependencia o independencia lineal y di cul es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u 2 , u 3 .

4

Ejercicio n 20.Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores: u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, 2, 1); u3 = (1, 3, 1, 1)

Ejercicio n 21.En una compaa se utilizan tres tipos de materiales (madera, plstico y aluminio) para fabricar tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofs, segn la tabla:SILLA MADERA PLSTICO ALUMINIO 1 unidad 1 unidad 2 unidades MECEDORA 1 unidad 1 unidad 3 unidades SOF 1 unidades 2 unidades 5 unidades

Obtn, matricialmente, las unidades de madera, de plstico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofs.

Ejercicio n 22.Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolucin de los precios de los aos 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B. a) Hallar, si es posible, A B y B A e indicar que informacin proporciona el producto matricial.

b) Qu informacin nos da el elemento c34 de la matriz producto?PAN AGUA LECHE 1997 1998 1999 2000

F1 450 A = F2 500 F3 200

800 810 500

650 620 600

85 B = AGUA 28 LECHE 70PAN

90 30 72

90 30 75

95 35 80

Ejercicio n 23.En una acera se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de chatarra, carbn mineral y ciertas aleaciones metlicas, segn la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:PRODUCTO MATERIAL CHATARRA CARBN ALEACIONES

A 8 6 2

B 6 6 1

C 6 4 3

Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbn y aleaciones necesarias para la produccin de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C.

5

Ejercicio n 24.Una empresa produce tres bienes A, B, y C. Tiene tres factoras y, cada una de ellas, produce los tres bienes en las cantidades por hora siguientes:FACTORA 1 A B C 10 unidades/hora 25 unidades/hora 30 unidades/hora FACTORA 2 20 unidades/hora 25 unidades/hora 25 unidades/hora FACTORA 3 15 unidades/hora 20 unidades/hora 25 unidades/hora

En la Factora 1 se trabajan 8 horas diarias, la Factora 2 funciona las 24 horas del da y en la Factora 3 se trabajan 10 horas diarias. a) Calcula matricialmente el nmero de unidades diarias de los bienes A, B y C que fabrica la empresa. b) Si se trabaja durante 22 das cada mes, obtn matricialmente la proporcin mensual de la empresa en cada uno de los bienes A, B y C.

Ejercicio n 25.En una papelera van a vender carpetas, cuadernos y bolgrafos, agrupndolos en tres tipos de lotes: Lote A: 1 carpeta, 1 cuaderno y 1 bolgrafo. Lote B: 1 carpeta, 3 cuadernos y 3 bolgrafos. Lote C: 2 carpetas, 3 cuadernos y 4 bolgrafos. Cada carpeta cuesta 6 euros, cada cuaderno 1,5 euros y cada bolgrafo 0,24 euros. a) Escribe una matriz que describa el contenido (nmero de carpetas, cuadernos y bolgrafos) de cada lote. b) Obtn matricialmente el precio total de cada uno de los lotes A, B y C.

6

SOLUCIONES EJERCICIOS DE MATRICESEjercicio n 1.-

a Halla los valores de a y b en la matriz A = 0 0 1 . siendo B = 0 0

b , de forma que A 2 2 A = B , a

Solucin: Calculamos A 2A e igualamos el resultado a B:2

a A2 = 0

b a

a 0

b a2 = a 0 2ab 2 2 a a 0

2ab 2 a b a 2 2a = a 0 2ab 2b 0 = 2 a 2a 0 1 0

a2 A 2A = 02

Por tanto, ha de ser:

a 2 2a = 0 2ab 2b = 1

a = 0 a(a 2) = 0 a = 2 1 0 A= 2 0 1 2 2 1 2 0

Si a = 0, 2b = 1 b =

Si a = 2, 2b = 1 b =

1 2 A= 2 0

Ejercicio n 2.Dadas las matrices:

2 0 1 1 1 A = 1 3 0 y B = 2 1 5 1 3 0 3 9 1 = 3 4 14 1 1 2 3 1 6

a) Comprueba que A 1

b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.

7

Solucin: a) Se trata de probar que A A1 = l, donde l es la matriz identidad de orden 3. Efectuamos el producto:

9 2 0 1 1 3 0 1 3 4 14 5 1 3

1 1

2

3 2 0 1 9 1 1 = 1 3 0 3 4 5 1 3 14 6

1 1

2

3 4 1 1 = 0 4 0 6

0 4 0

0 0 = 4

1 0 0 0 1 0 , como queriamos demostrar. = 0 0 1 b) Despejamos X en la igualdad AX = B, multiplicando por la izquierda por A1:

A 1AX = A 1B IX = A 1B X = A 1BPor al apartado a), conocemos A1; luego:

9 1 X = 3 4 14

1 1 2

3 1 1 11 1 1 2 1 = 1 4 18 6 0 3

11 4 1 1 1 = 4 2 9 2

1 4 1 4 1 2

Ejercicio n 3.Resuelve el siguiente sistema matricial:

0 3 X 2Y = 5 15

5 9 4

4 0 ; 4

7 2X + Y = 6 10

1 6 5

2 7 2

Solucin: Llamamos:

0 A= 5 15

5 9 4

4 7 0 y B = 6 10 4

1 6 5

2 7 2

As, el sistema queda:3 X 2 X = A 2X + X = B X = B 2X

3 X 2 (B 2 X ) = A

3 X 2B + 4 X = A 7 X = A + 2B X =

1 (A + 2B ) 7

8

Y = B 2X = B Por tanto:

2 (A + 2B ) = B 2 A 4 B = 3 B 2 A = 1 (3B 2A) 7 7 7 7 7 7

0 1 1 X = (A + 2B ) = 5 7 7 15 1 2 = 1 3 5 2 0 2 0

5 9 4

4 7 0 + 2 6 0 4

1 6 5

2 14 1 7 = 7 7 35 2

0 21 14 = 14 0 7

7 1 1 Y = (3B 2 A ) = 3 6 7 7 10 3 = 4 0 1 2 0 3 1 2

1 6 5

2 0 7 2 5 15 2

5 9 4

4 21 1 0 = 28 7 0 4

7 0 7

14 21 = 14

Ejercicio n 4.Calcula los valores de x para que la matriz:

x A = 0 0

0 x 0

0 0 x 2

verifique la ecuacin A 6A + 9l = 0, donde l y O son, respectivamente, las matrices identidad y nula de orden tres.

Solucin: Calculamos A 6A + 9l e igualamos a 0:2

x A2 = 0 0

0 x 0

0 x 0 0 x 0

0 x 0 0 x2

0 x2 0 = 0 x 0 0 x 0 6 0 0 x2

0 x2 0 0 x 0

0 0 x2 0 1 0 0 0 + 9 0 1 0 = 0 0 1 x

x2 A 2 6 A + 9I = 0 0

0

9

x 2 6x + 9 = 0 0

0 x 2 6x + 9 0

0 0 = 0 x 2 6x + 9 0 0

0 0 0

0 0 0

Ha de ser:

x 2 6x + 9 = 0 x =

6 36 36 6 = =3 x =3 2 2

Por tanto, el nico valor de x que hace que se verifique la igualdad propuesta es x = 3.

Ejercicio n 5.-

2 3 , halla el valor que deben tener x e y Si I es la matriz identidad de orden 2 y A = 2 1 para que se cumpla la igualdad A 2 xA yI = 0.

Solucin: Calculamos A xA yl e igualamos a 0:2

2 A2 = 2

3 2 1 2

3 2 = 1 6

9 5 3 y 1 1 0 2 2x y = 0 1 6 + 2x 0 = 5 x y 0 9 3x 0 0

2 A 2 xA yI = 6

9 2 x 2 5

As, tenemos que ha de ser:

2 2 x y = 0 9 3 x = 0 6 + 2 x = 0 5 x y = 0

y = 2 2 x = 2 6 = 8 x =3 x =3 y = 5 x = 5 3 = 8

Por tanto: x = 3, y = 8

Ejercicio n 6.Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales: 2 3 1 4 = 2X Y ; X + 2Y = 1 5 3 0

Halla X e Y , y calcula, si tiene sentido, X 1 e Y 1.

10

Solucin: Llamamos:2 A= 1 3 1 y B= 3 5 4 0

As, el sistema queda:2 X Y = A X = B 2Y X + 2Y = B

2(B 2Y ) Y = A 2B 4Y Y = A 5Y = A 2B 5 y = 2B A Y= 1 (2B A) 5

X = B 2Y = B Por tanto:

2 (2B A) = B 4 B + 2 A = 1 B + 2 A = 1 (B + 2A) 5 5 5 5 5 5

X=

1 1 (B + 2A) = 1 5 5 3 1 1 (2B A) = 1 2 5 5 3

4 2 +2 1 0 4 2 0 1

3 1 5 = 5 5 5 3 1 0 = 5 5 5

10 1 2 = 10 1 2 5 0 = 5 1 1 1

Y=

La solucin al sistema es:1 2 0 ; Y = X = 1 2 1 1 1

Matrices inversas: X no tiene matriz inversa. Vemoslo:a Supongamos que X 1 = c 1 2 a X X 1 = 1 2 c b , entonces: d b 2d 1 0 = ; es decir : 0 1 b 2d

b a 2c = d a 2c

a 2c = 1 imposible a 2c = 0 b 2d = 0 imposible b 2d = 1

Luego, no existe X 1.

11

a Calculamos Y 1 = c 0 Y Y 1 = 1 1 a 1 c

b : d b c = d a + c d 1 0 = ; de donde : b + d 0 1

c = 1 c = 1 d = 0 d = 0 a + c = 0 a = c = 1 b + d = 1 b = 1 d = 1 0 = 1 (Se comprueba que Y Y1 = l).

1 1 Por tanto: Y 1 = 1 0

Ejercicio n 7.-

0 1 0 1 0 0 : Dada la matriz A = 0 0 1 a) Calcula A2 , A3 , A4 , A5 . b) Halla el valor de A25 + A1.

Solucin:

0 a) A 2 = 1 0

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 0 0 0 0 = 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 = 0 1 0 = I 0 1 0 0 1

1 0 0 0 A3 = A2 A = 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 4 = A3 A = 1 0 0 1 0 0 1 0

A 5 = A 4 A = IA = Ab) A 25 = A 46+1 = A 4 A = I 6 A = IA = A

( )

6

Para hallar A1, tenemos en cuenta que:

A 4 = A 3 A = I A 1 = A 3Utilizando los resultados del apartado a), tenemos que:

12

A 25 + A 1

0 = A + A3 = 1 0

1 0 0 1 0 0 + 1 0 0 = 0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0

0 0 2

Ejercicio n 8.Resuelve la ecuacin matricial 2A = AX + B, siendo: 1 0 1 2 y B= A= 1 1 3 1

Solucin: Despejamos X en la ecuacin propuesta:

2 A = AX + B 2 A B = AX A 1 (2 A B ) = A 1 AX 2 A 1 A A 1B = IX 2I A 1B = XCalculamos la inversa de A:a Llamamos A 1 = c b , entonces: d b a = d a + c 1 0 = ; de donde: b + d 1 0 b

1 0 a AA 1 = 1 1 c

a = 1 b = 0 a + c = 0 b + d = 1

a =1

b=0 c = a =1 d = 1 + b = 1 + 0 = 1

1 0 Por tanto: A 1 = 1 1

Operamos para obtener X = 2l A1B:1 0 1 2 1 2 = A 1B = 1 1 3 1 4 3 2 X = 2I A 1B = 0 0 1 2 3 = 2 4 3 4 2 1

13

Ejercicio n 9.Se considera la matriz:

0 A = 0 0

a 0 0

b c , donde a, b y c son tres nmeros reales arbitrarios. 0 n

a) Encuentra A para todo natural n.b) Calcula A 35 A .

(

)

2

Solucin:a) A1 = A

0 A2 = 0 0

a 0 0

b 0 c 0 0 0 0 0 03

a 0 0

b 0 c = 0 0 0 a 0 0

0 0 0

ac 0 0 0 0 0n

0 A3 = A2 A = 0 0

ac 0 0 0 0 0

b 0 c = 0 0 0

0 0 0

Por tanto, como A = 0, tenemos que A = 0 para n 3. b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a): 0 0 2 2 2 A 35 A = (0 A ) = ( A ) = A 2 = 0 0 0 0

(

)

ac 0 0

Ejercicio n 10.Dada la matriz:0 1 0 A= 1 0 1

a) Calcula A A y AA , donde A denota la matriz traspuesta de A.x b) Encuentra las matrices de la forma X = , tales que: AA t X = X y a c) Encuentra todas las matrices de la forma Y = b , tales que: A t AY = Y c

t

t

t

14

Solucin: a) La matriz transpuesta de A es:

0 1 A t = 1 0 . Por tanto: 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 A A= 0 1 1 0 1 1 0 1 t

0 1 1 0 0 1 0 t 1 0 = AA = 0 2 1 0 1 0 1b) Imponemos la condicin dada: 1 0 x x x x x = x = = AA t X = X 0 2 y y 2y y 2y = y y = 0 x = , donde x R. Por tanto : X 0

c) A t AY = Y

1 0 1 a a + c a a + c = a c = 0 0 1 0 b = b = b b = b 1 0 1 c a + c c a + c = c a = 0

0 = b , donde b R. Por tanto : Y 0

Ejercicio n 11.Obtn el rango de la siguiente matriz:

2 1 M = 4 7

3 0 9 9

1 2 1 7 1 1 4 1

15

Solucin:

2 1 4 7

3 0 9 91a

1 2 1 7 1 1 4 1 0 3 0 0

1 a 2 1 a 3 4 a 4 72a

0 3 9 9

1 1 1 7 1 1 4 2

2 3 4

a

a

a

1 a 0 + 2 1 a + 4 1 0 a + 7 1 01a

0 3

2 5

9 15 9 15

1 1 3 3

3 4a a

1 a 0 2 a 32 0 a 32 0

2 5 0 0

1 1 . Por tanto, ran (M ) = 2. 0 0

Ejercicio n 12.Averigua cul es el rango de:

1 1 3 0 1 1 1 1 A= 1 2 3 1 2 1 2 0

Solucin:

3 1 1 2

1 1 1 1 2 3 1 1 2 0 0 11a

1 a 1 3 a 3 1 a 4 22a

1 0 2 1

1 1 3 2

1 1 1 0

1 1 a a 0 3 2 3 1 a a 3 3 +1 0 a a 3 4 2 1 01a

1 4 4 4

1 2 2 2

1 1 a 0 3 2 a a 0 3 +2 0 a a 0 4 2 0

1 4 0 0

1 2 . Por tanto, ran (A ) = 2. 0 0

Ejercicio n 13.Calcula el rango de la matriz:

2 1 A= 1 5

1 2 8 10

0 1 2 9 6 15 6 3

16

Solucin:

0 2 1 3 1 1 2 2 1 8 9 6 5 10 15 6 1 a 0 2 a 22 0 a 4 2 01a

1 2 2 1 a 2 1 3 0 1 a 8 9 6 3 1 a 4 5 10 15 6 2a

1 2 2 1 a a 4 0 5 5 2 2 1 a a 3 1 0 10 10 8 a a 4 5 1 0 20 20 16 1a

2 5 0 0

1 5 0 0

3 4a a

2 4 . Por tanto, ran (A ) = 2. 0 0

Ejercicio n 14.Estudia el rango de la matriz:

4 1 A= 2 1

7 0 7 7

0 1 2 1

2 0 2 2

Solucin:

4 1 2 1

7 0 7 71a

0 1 2 1

2 0 2 2 0 7 0 0 1 4 0 4

1 a 1 4 a 3 2 a 4 12a

0 7 7 7

1 0 2 1

0 2 2 2

1 a a 2 4 1 0 a a 3 2 1 0 a a 4 1 01a

0 7 7 7

1 4 4 0

0 2 2 2

1 a 0 2 a a 3 2 0 a a 4 + 2 0

0 2 . Por tanto, ran (A ) = 3. 0 0

Ejercicio n 15.Halla el rango de la siguiente matriz:

1 4 1 1 M = 1 8 3 1

2 0 6 2

5 1 19 1

17

Solucin:

1 4 1 1 1 8 3 11

2 0 6 2a

5 1 19 1 1 3 0 0

1 1 a 1 1 4 a 8 3 1 a 1 4 32a

0 2 6 2

1 5 19 1

1 1 0 a a 0 3 2 2 1 a a 3 1 0 9 6 a a 4 2 4 3 1 01a

1 6 18 2

1 a 0 2 a a 3 +32 0 a a 3 4 + 4 2 0

0 2 0 14

1 6 . Por tanto, ran (M ) = 3. 0 30

Ejercicio n 16.Calcula el rango de la siguiente matriz y di cul es el nmero de columnas linealmente independientes:

3 A = 1 1

2 1 6

1 1 5

2 2 6

Solucin: Calculamos el rango de la matriz dada:

3 1 1

2

1 1 5

1 61a

2 2 6 1 5 0 1 4 0

1 a 1 3 1 a 3 2a

1 2 6

1 1 5

2 2 6

1 a a 2 + 3 1 0 a a 3 +1 01a

1 5 5

1 4 4

2 4 4

1 a 0 2 a a 3 +2 0

2 4 . Por tanto, ran (A ) = 2. 0

Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A; las otras dos dependen linealmente de ellas.

Ejercicio n 17.Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores {u1 = (2, 1, 0, 1); u2 = ( 1, 0, 2, 1); u3 = (5, 4, 6, 7 )}

y di cul es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u2 , u 3 .

18

Solucin: Estudiamos el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u 2 , u 3 :

2 1 5

1 0 41a

0 2 6

1 1 7 2 4 0

1 a 1 2 a 3 52a

0 1 4

2 0 6

1 1 7

2 3

a

a

1 a + 2 1 0 a + 5 1 01a

0 1 4

2 4 16

1 3 12

3a

1 0 0 1 2 a 0 42 0a

1 3 . Por tanto, el rango de la matriz es 2. 0

Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de ellos.

Ejercicio n 18.a) Halla el rango de la matriz:

2 1 A= 3 4

0 1 1 2

1 3 4 1

b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores: u1 = (2, 1, 3, 4 ); u 2 = (0, 1, 1, 2 ) y u 3 = ( 1, 3, 4, 1)

Solucin:

a) 2 1 3 4

0 1 1 21a

1 3 4 1

1 a 2 1 a 3 3 a 4 42a

1 0 1 2

3 1 4 11a

2 3 4

a

a

a

1 a 0 + 2 1 a + 3 1 0 a + 4 1 01a

1 2 4 6

3 5 13 13

3 4a a

1 a 0 2 a 22 0 a 32 0

1 2 0 0

3 5 3 2

1 a 0 2 0 a 3 a a 34 + 23 0

1 2 0 0

3 5 . Por tanto, ran (A ) = 3. 3 0

b) Observamos que las columnas de la matriz A coinciden con los vectores u1, u 2 , u 3 . El nmero de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.

19

Ejercicio n 19.Dados los vectores: u1 = (3, 1, 2, 0 ); u2 = (1, 2, 1, 1); u3 = (2, 1, 0, 1)

Estudia la dependencia o independencia lineal y di cul es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u 2 , u 3 . Solucin: Calcula el rango de la matriz cuyas filas son los vectores u1 , u 2 , u 3 :

3 1 2

1 2 11a

0 1 1 0 1 2

1 a 3 1 a 3 22a

2 1 1

1 2 0

1 0 1

2 3

a

a

1 3 1 0 a 2 1 01a a

2 7 3

1 5 2

1 3 3

1 a 0 2 a a 73 32 0

2 7 0

1 5 1

1 3 . Por tanto, el rango de la matriz es 3. 12

Esto significa que u1, u 2 , u 3 son linealment e independientes.

Ejercicio n 20.Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores: u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, 2, 1); u3 = (1, 3, 1, 1)

Solucin: Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el nmero de vectores linealmente independientes.

1 2 1

1 3 3

1 2 1

1 1 1

1 a a 2 2 1 0 a a 3 1 01a

1 1 2

1 0 0

1 1 2

3

a

1 a 0 2 a 22 01a

1 1 0

1 0 0

1 1 0

Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir como combinacin lineal de los otros dos. Los tres vectores u1, u 2 , u 3 son linealment e dependient es.

Ejercicio n 21.En una compaa se utilizan tres tipos de materiales (madera, plstico y aluminio) para fabricar tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofs, segn la tabla:SILLA MADERA PLSTICO ALUMINIO 1 unidad 1 unidad 2 unidades MECEDORA 1 unidad 1 unidad 3 unidades SOF 1 unidades 2 unidades 5 unidades

20

Obtn, matricialmente, las unidades de madera, de plstico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofs.

Solucin: Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:SILLA MECED. SOF

1 PLSTICO 1 ALUMINIO 2MADERA

1 1 3

1 2 5

100 MADERA 400 100 = PLSTICO 600 MECEDORAS 200 ALUMINIO 1 500 SOFS SILLAS

Es decir se han utilizado 400 unidades de madera, 600 de plstico y 1 500 de aluminio.

Ejercicio n 22.Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolucin de los precios de los aos 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B. a) Hallar, si es posible, A B y B A e indicar que informacin proporciona el producto matricial.

b) Qu informacin nos da el elemento c34 de la matriz producto?PAN AGUA LECHE 1997 1998 1999 2000

F1 450 A = F2 500 F3 200

800 810 500

650 620 600

85 B = AGUA 28 LECHE 70PAN

90 30 72

90 30 75

95 35 80

Solucin: a) La matriz A es 3 3 y la B es 3 4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el nmero de columnas de la primera debe coincidir con el nmero de filas de la segunda. Por tanto, el producto B A no se puede hacer, pero el A B s.PAN AGUA LECHE 1997 1998 1999 2000

F1 450 A B = F2 500 F3 200 1997

800 810 500

650 PAN 85 620 AGUA 28 600 LECHE 70 1998 1999

90 30 722000

90 30 75

95 35 = 80

F1 106 150 111300 113 250 122 750 = F2 108 580 113 140 115 800 125 450 73 000 76 200 78 000 84 500 F3 La matriz A B nos da el gasto anual de cada familia en el total de los tres productos durante los aos 1997 a 2000.

b) El elemento c 34 = 84 500, corresponde a la familia tercera en el ao 2000; es decir, nos indica el gasto total de esta familia en los tres productos durante ese ao.

21

Ejercicio n 23.En una acera se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de chatarra, carbn mineral y ciertas aleaciones metlicas, segn la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:PRODUCTO MATERIAL CHATARRA CARBN ALEACIONES

A 8 6 2

B 6 6 1

C 6 4 3

Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbn y aleaciones necesarias para la produccin de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C. Solucin: Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:A B C CHATARRA 8

CARBN 6 ALEACIONES 2

6 6 1

6 A6 CHATARRA 90 4 B 4 = CARBN 72 3 C 3 ALEACIONES 25

Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbn mineral y 25 de aleaciones.

Ejercicio n 24.Una empresa produce tres bienes A, B, y C. Tiene tres factoras y, cada una de ellas, produce los tres bienes en las cantidades por hora siguientes:FACTORA 1 A B C 10 unidades/hora 25 unidades/hora 30 unidades/hora FACTORA 2 20 unidades/hora 25 unidades/hora 25 unidades/hora FACTORA 3 15 unidades/hora 20 unidades/hora 25 unidades/hora

En la Factora 1 se trabajan 8 horas diarias, la Factora 2 funciona las 24 horas del da y en la Factora 3 se trabajan 10 horas diarias. a) Calcula matricialmente el nmero de unidades diarias de los bienes A, B y C que fabrica la empresa. b) Si se trabaja durante 22 das cada mes, obtn matricialmente la proporcin mensual de la empresa en cada uno de los bienes A, B y C. Solucin: a) Organizamos en dos matrices los datos que tenemos; su producto nos da la matriz que buscamos:FACT. 1 FACT. 2 FACT. 3

A 10 B 25 C 30

20 25 25

15 FACT. 1 8 A 710 20 FACT. 2 24 = B 1 000 25 FACT. 3 10 C 1 090

22

Es decir, cada da se fabrican en total (entre las tres factoras de la empresa) 710 unidades de A, 1 000 unidades de B y 1 090 de C. b) La matriz obtenida en a) nos daba la proporcin diaria: si la multiplicamos por 22 (los das que se trabajan cada mes), obtendremos la produccin mensual:

A 710 A 15 620 22 B 1000 = B 22 000 C 1090 C 23 980 Por tanto, cada mes se fabrican en la empresa (entre las tres factoras) 15 620 unidades de A, 22 000 unidades de B y 23 980 de C.

Ejercicio n 25.En una papelera van a vender carpetas, cuadernos y bolgrafos, agrupndolos en tres tipos de lotes: Lote A: 1 carpeta, 1 cuaderno y 1 bolgrafo. Lote B: 1 carpeta, 3 cuadernos y 3 bolgrafos. Lote C: 2 carpetas, 3 cuadernos y 4 bolgrafos. Cada carpeta cuesta 6 euros, cada cuaderno 1,5 euros y cada bolgrafo 0,24 euros. a) Escribe una matriz que describa el contenido (nmero de carpetas, cuadernos y bolgrafos) de cada lote. b) Obtn matricialmente el precio total de cada uno de los lotes A, B y C.

Solucin: a) La matriz ser:CARPETAS CUADERNOS BOLGRAFOS

A1 B1 C 2

1 3 3

1 3 4

b) Los precios de cada carpeta, cada cuaderno y cada bolgrafo se resumen en la matriz:

6 , CUADERNO 15 BOLGRAFO 0,24 CARPETA

Si multiplicamos la matriz obtenida en a) con esta ltima, obtendremos la matriz que buscamos:CARPETA CUADERNO BOLGRAFO

A1 B1 C 2

1 3 3

1 CARPETA 6 A 7,74 CUADERNO 1,5 = B 11,22 3 BOLGRAFO 0,24 C 17,46 4

Es decir, el lote A cuesta 7,74 euros, el lote B, 11,22 euros y el lote C, 17,46 euros.

23

DETERMINANTESEjercicio n 1.Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

1 x 1 0

1 1 x 1

0 1 1 x

b)

4 2 3 1

2 0 3 5

3

0

1 1 2 0 2 1

Ejercicio n 2.Resuelve la ecuacin propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):

a)

a 1 0

a 1

1 a =0

b)

2 1 1 3

1 0 1

0 2 1

3 1 4

1 1

1 1 2

Ejercicio n 3.a) Resuelve la ecuacin:

x 1 1

1 x x

3 2 =0 3

b) Calcula el valor del determinante:

1 2 2 3 3 1

1 1 1 0

0 1 2 3

1 2

Ejercicio n4.Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cunto vale el segundo determinante:

a)

t 2 2 2 t 0 1 t t 2 0 1 2 2 1 3 1 0 1 2 0

b)

1 3 4 2

1

Ejercicio n 5.Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, adems, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

a) 1 1 2

1 1 t t 4 0 t

b)

2 1 1 1

1 3 1 4 3 2 0 3

4 5 3 1

Ejercicio n 6.Demuestra que:

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d = a (b a ) (c b ) (d c )

Ejercicio n 7.Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

a

1

0 1

1 0 1 a

1 a 0 1

1 a 0 1

Ejercicio n 8.Calcula el valor de este determinante:

x a a a

a x a a

a a x a

a a a x

Ejercicio n 9.Demuestra que:

a bc 2b 2c

2a bc a 2c

2a 2b cab = (a + b + c )3

2

Ejercicio n 10.Halla en funcin de a, el valor de este determinante:

a 1 1 0

a a 1 1

1 1 1 a 1 1 0 a

Ejercicio n 11.a) Justifica cules de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:a c b d = a c b ; d c a b d = 2 a c b ; d a c b d = 2 a c b d

b) Si

a b c d

= 3, calcula el valor de los siguientes determinantes:

a b

c ; d

2a + 2b 2c + 2d

b d

Ejercicio n 12.Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

a)

x a p

y b q

2x a +p c = 2 r p

z

2y b +q 2 q

2z c +r 2 r

b)

3x 3y 3z

3a 3b 3c

3p

x

y b q

z c r

3q = 3 a 3r p

Ejercicio n 13.-

a) Si A y B son dos matrices 2 2, tales que A = 2 y B = 4, calcula, justificando la respuesta:A2 ; A; 2A ; AB t ; Bt A ; A 1

(Bb) Si

t

representa la traspuesta de la matriz Ba c b d = 2, calcula 2a + b 2c + d b d .

)

3

Ejercicio n 14.-

a Sabiendo que x p a) x a 2p x y b 2q y

b y q z c 2r z

c z = 4, halla el valor de los siguientes determinantes : r b) a b c x y z 3p + x 3q + y 3r + z

Ejercicio n 15.Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:a) 2 x a 2 y b 2 z = c 1 2x a+2 1 2y b+2 1 2z c +2 b) 1 a a2 a3 = 0 a4

1 a2 1 a3

Ejercicio n 16.Halla el rango de la matriz siguiente:

1 1 2 0 1 2 3 2 M = 0 1 0 3 3 4 1 1

Ejercicio n 17.Averigua cul es el rango de la siguiente matriz:

2 1 M = 0 5

3 1 3 5

1 1 4 3

2 2 1 2

Ejercicio n 18.Calcula el rango de la matriz:

2 A= 1 3

1 0 2

3 1 1

4 3 1

2 1 2

3 1 4

4

Ejercicio n 19.Estudia el rango de la matriz:

2 3 1 2 A= 1 12 0 7

5 3 1 11 7 7 3

1

Ejercicio n 20.Obtn el rango de esta matriz:

2 3 2 1 3 1 2 1 1 1 M = 0 1 3 0 3 4 1 1 1 1

Ejercicio n 21.Determina cul es el rango de la matriz A, segn los valores de :

1 A= 0

1 0

+1 0 2

1 2 0

Ejercicio n 22.Estudia el rango de la matriz M segn los valores de t:

M =

1 1 1

2 t 8 3t

3 3 3

2 2 1

Ejercicio n 23.Estudia el rango de esta matriz, segn los valores de t:

1 M = 0 1

0 t 3

4 4 t

2 0 2

5

Ejercicio n 24.Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

a M = 1 2

1 a 2a

3 2 5

0 1 a

Ejercicio n 25.Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

1 A= 0 4

0 a 1

1 3 a

0 0 0

6

SOLUCIN EJERCICIOS DETERMINANTESEjercicio n 1.Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a)

1 x 1 0

1 1 x 1

0 1 1 x

b)

4 2 3 1

2 0 3 5

3

0

1 1 2 0 2 1

Solucin:

a)

1 x 1 0

1 1 x 1

0 1 1 x3 3

= (1 x ) (1 x ) (1 x ) = (1 x ) 2(1 x ) = (1 x )(1 x ) 2 =2

[

]

= (1 x ) 1 2 x + x 2 2 = (1 x ) x 2 2 x 1 = x 3 + 3 x 2 x 1FILAS

[

]

(

)

b)

4 2 3 1

2 3 0 3 5 1 2 0

0 1 2 1a

1

a

4a

2 3 5 13 5

0

=

2 +4a

3a

1 0 2 0 0 1

(1)=

4 3 5

2 3 5 13 1 = 2

3 24 4a

5 1

FILAS 1 32a a

5 3

13 5

0

=a

2

a

1 = 0

(2)

5

13

3 22

a

11 23

11 23

= ( 115 + 143 ) = 28

(1) (2)

Desarrollamos por la 4 columna. Desarrollamos por la 3 columna.

Ejercicio n 2.Resuelve la ecuacin propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):

a)

a 1 0

a 1

1 a =0

b)

2 1 1 3

1 0 1

0 2 1

3 1 4

1 1

1 1 2

7

Solucin: a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:COLUMNASa

a 1 0(1)

a 1

1

1

a

0 0

1

a = 2 a 1a 13a

a =

(1)

a

1

= a 2 1 = 0 a = 1

1 1

0

1 1

1 a

Desarrollamos por la 2 columna.

Hay dos soluciones: a1 = 1; a2 = 1FILAS

b)

2 1 1 3a

1 0 1 1a

0 2 1

3 1 4 =a a

1 2

a

2 1a

1 0 0 0

0 2 1

3 1 1 5

a

(1)

1

2 1

1 1 =

= 1

3 1

1 5

1 2 0 1 5 1 1

4 1

a

1 5

1 5

1 2

0 1

=

2 3

a

(2)=

1 5

1 5

= 5 5 = 10

a

1 5

(1) (2)

Desarrollamos por la 2 columna. Desarrollamos por la 1 fila.

Ejercicio n 3.a) Resuelve la ecuacin:

x 1 1

1 x x

3 2 =0 3

b) Calcula el valor del determinante:

1 2 2 3 3 1

1 1 1 0

0 1 2 3

1 2

Solucin: a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:FILASa

x 1 1

1 x x

3 2 = 3a

1 2

x 1a

1 x 0

3 2 = 1 x 1 1 x = x 2 1 = 0 x 2 = 1 x = 1

a

3 2

0

8

Hay dos soluciones x1 = 1, x 2 = 1 :FILAS

b)

1 2 2 3 3 1

1 1 1 0

0 1 2 3 =

1 +3a

a

a

4

3

0

2 3 2 1 2 3 1 2 3 3

2 3 3 4a

a

1 2 0 3 1 1 1

(1)

4

3

2

= 1 2

3 = 0

(2)

4

3 4

2

0 =

(3 )

1 2

a

2 0

(3 )

= 4

4

2

= 4(12 2) = 4 10 = 40

1 3

(1) (2) (3)

Desarrollamos por la 3 columna. Sumamos la 3 fila a la 2. Desarrollamos por la 2 fila.

Ejercicio n4.Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cunto vale el segundo determinante:

a)

t 2 2 2 t 0 1 t t 2 0 1 4 1 2 3 2 2 1 3 1 0 2 1 0

b)

Solucin: a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:

t 2 1

2 t t

2 0 = t 3 + 4t 2t 4t = t 3 2t = t t 2 2 = 0 t

(

)

t = 0 t 2 2 = 0 t 2 = 2 t = 2

Hay tres soluciones: t 1 = 0; t 2 = 2 ; t 3 = 2FILAS

b)

2 0 1 4

1 2 3 2

2 3 0 1

1 1 2 0a

1

a

2a

1 1 1 2

2 5 4 1

1 0 0 4 0

=

2 1a

2a

(1)

2

1 1 2

5 4 = 1

= 3

3 2 1 4a

3 4

9

FILAS 1a

=

2 1a a

a

3 + 2 1

a

2 1 5 2 1 1 1 0 1 (= ) = 11 + 8 = 19 8 11 8 0 11

(1) (2)

Desarrollamos por la 4 columna. Desarrollamos por la 2 columna.

Ejercicio n 5.Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, adems, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

a) 1 1 2

1 1 t t 4 0 t

b)

2 1 1 1

1 3 1 4 3 2 0 3

4 5 3 1

Solucin: a) Calculamos el valor del determinante:

1 1 2

1 1 t t 4 0 t = t 2 + 4(1 t ) 2t (1 t ) t = t 2 + 4 4t 2t + 2t 2 t = 3t 2 7t + 4

Veamos para que valores de t se anula el determinante:

3t 2 7t + 4 = 0 t =

7 49 48 7 1 = 6 6

8 4 t = 6 = 3 6 t = = 1 6

El determinan te vale cero cuando t =FILAS

4 y cuando t = 1. 3 3 1 3 3

b)

2 1 1 1

1 3 1 4 3 2 0 3

4 5 3 1 =

1 24 2 4 3 +4 4a a a a

a

a

0 0 0 1

7 2 7 3

2 4 4

(1)

7

3 1 3

2

= 2 7

4 = 2 4 7

(2)

0

0

6

1 4 = 3 4

(3 )

a

1

(3 )

= 6

2 7

1 3

= 6( 6 + 7 ) = 6

(1) (2) (3)

Desarrollamos por la 1 columna. Sumamos a la 1 fila la 3. Desarrollamos por la 1 fila.

10

Ejercicio n 6.Demuestra que:

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d = a (b a ) (c b ) (d c )

Solucin:

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

a

a ba ba ba

a ba c a c a1 ba

a ba c a d aba

(1)=

0 0 0

(2)

ba

ba c a c a

ba

= a ba ba

c a = d a

(3 )

(3 )

= a (b a ) 1 c a 1 c a

c a = a (b a ) 0 d a 0

(4 )

1 ba c b 0

ba

c b = a (b - a )(c b )(d c ) d c

(5 )

Restamos la 1 fila a las otras tres. Desarrollamos por la 1 columna. (3) Sacamos (b a) factor comn. (4) Restamos a la 3 fila la 2 y a la 2 la 1. (5) Es el determinante de una matriz triangular.(1) (2)

Ejercicio n 7.Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

a

1

0 1

1 0 1 a

1 a 0 1

1 a 0 1

Solucin:

a

1 0

1

a+2

1 0

1

1 1 0

1

1

0

0

0 1 0

1 a 0

1 0 1

(1)=

a+2 a a+2 a+21 0

1 0 1

(2)

= (a + 2)

1 a

1 0 1

(3 )

= (a + 2)

1 a 1 1 1 1 0 1 a

(4 )=

1 a

1 a 0

1 1 a 1 0

1 0

1 a

1 a

1 a

1 a 1

(4 )

a 1 1 0 1 a

= (a + 2)

(5 )

= (a + 2) a

a 1 1

1 a 1

= (a + 2) a (a 1) 1 = (a + 2) a a 2 2a =2

[

]

(

)

1 a 1

11

= (a + 2) a 2 (a 2) = a 2 (a + 2)(a 2)(1) (2) (3) (4) (5)

Sumamos a la 1 columna las dems. Sacamos (a + 2) factor comn. Restamos la 1 columna a la 2 y a la 4. Desarrollamos por la 1 fila. Desarrollamos por la 2 fila.

Ejercicio n 8.Calcula el valor de este determinante:

x a a a

a x a a

a a x a

a a a x

Solucin:

x a a a

a x a a

a a x a

a a a x

x + 3a

a x a a

a a x a

a a a x

1 a

a a x a

a a a x =

(1)=

x + 3a x + 3a x + 3aFILAS 1a

(2)

= (x + 3a )

1 x 1 a 1 a

1

a x a 0 0

a 0 x a 0

a 0 0 x a = (x + 3a ) (x a )3

=

2 3 4

a

1a 1a

a

(x + 3a )

0 0 0

a

1a

(1) (2) (3)

Sumamos a la 1 columna las otras tres. Sacamos (x + 3a) factor comn. Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio n 9.Demuestra que:

a bc 2b 2c

2a bc a 2c

2a 2b cab = (a + b + c )3

Solucin:

abc 2b 2c

(1 bc a= ) 2b2c c ab

2a

2a

a+b+c a+b+c a+b+c 2b 2c bc a = 2b 2c c ab

12

COLUMNAS

(2)

1

1 bc a 2c

1 2b c ab

1

a

1

0 abc 0

0 0 abc

= (a + b + c ) 2b 2c

= 2 a 1a (a + b + c ) 2b3 1a a

(3 )=

2c

(3 )

= (a + b + c )( a b c )( a b c ) = (a + b + c )

3

(1) (2) (3)

Sumamos a la 1 fila las otras dos. Sacamos (a + b + c) factor comn. Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio n 10.Halla en funcin de a, el valor de este determinante:

a 1 1 0

a a 1 1

1 1 1 a 1 1 0 a

Solucin:FILAS

a 1 1 0

a a 1 1

1 1 1 a 1 1 0 a =2a

1

a

a

a 0 1 1 1 a 1

1 1 0 a 1 0 0 a

+ 1a a + 13 4a

(1)

a

1 1 a 1 0 = a

= (a + 1) 1 1

1 0 a

a

(2)

= (a + 1) 1

0 = (a + 1) a 3 1 + a a = (a + 1) a 3 1

(

)

(

)

1 1 aDesarrollamos por la 2 fila. (2) Sacamos 1 factor comn.(1)

Ejercicio n 11.a) Justifica cules de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:a c b d = a c b ; d c a b d = 2 a c b ; d a c b d = 2 a c b d

b) Si

a b = 3, calcula el valor de los siguientes determinantes: c d

a b

c ; d

2a + 2b 2c + 2d

b d

13

Solucin:a) a c a c a c b) a b c d b d b d b d a c b d a c a c b d b d = ad bc = (ad bc ) = a c b d VERDADERA

= 2 ad bc 2

= 2 (ad bc ) FALSA

= 2 ad 2 bc = 2 (ad bc ) = 2

VERDADERA

=

=3

2a + 2b 2c + 2d

b d

=

2a 2c

b d

+

2b 2d

b d

(1)

=2

a c

b d

+ 0 = 23 = 6

(1)

El segundo determinante es 0 por tener las dos columnas proporcionales.

Ejercicio n 12.Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

a)

x a p

y b q

2x a +p c = 2 r p

z

2y b +q 2 q

2z c +r 2 r

b)

3x 3y 3z

3a 3b 3c

3p

x

y b q

z c r

3q = 3 a 3r p

Solucin:FILASa 2z 1 c + r = 2a 3a 2 a r 3

a)

2x a +p 2 p

2y b +q 2 q

2x a 2 p

2y b 2 q

2z x 1 c = 2 a 2 2 r p

y b q

z

x

y b q

z c r

c = a r p

Por tanto, es verdadera la igualdad. b) Falsa, ya que:

3x 3y 3z

3a 3b 3c

3p

x

a b c

p

x

y b q

z

x

y b q

z c r

3q = 3 3 y 3r z

q = 33 a r p

c 3 a r p

14

Ejercicio n 13.-

a) Si A y B son dos matrices 2 2, tales que A = 2 y B = 4, calcula, justificando la respuesta:A2 ; A; 2A ; AB t ; Bt A ; A 1

(Bb) Si

t

representa la traspuesta de la matriz Ba c b d = 2, calcula 2a + b 2c + d b d .

)

Solucin: a) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades, que demostraremos al final: Consideramos A y B dos matrices 22.

1) A B = A B ; 2) k A = k 2 A ; 3) A t = APor tanto:

A2 = A A = A A = A = 22 = 4 A = ( 1) A = ( 1) A = 1 A = A = 22

2

2A = 2 2 A = 4 A = 4 2 = 8 A B t = A B t = A B = 2 ( 4 ) = 8 B t A = B t A = B A = ( 4 ) 2 = 8 Para hallar A 1 , vamos a tener en cuenta que A A 1 = I; y que existe A 1,

puesto que A = 2 0. As:A A 1 = I A A 1 = 1 A 1 = 1 1 = A 2

b) Sumamos a la 1 columna la 2 y sacamos 2 y (1) factor comn:2a + b 2c + d b d = 2c 2a b d = ( 2) a c b d = ( 2) ( 2) = 4

OBSERVACIN: Vamos a demostrar las tres igualdades utilizadas. a11 Si A = a 21 a12 y a22 b11 B= b 21 b12 : b22

15

a11b11 + a12 b21 1) A B = a b + a b 22 21 21 11

a11b12 + a12 b22 a21b12 + a22 b22

A B = (a11b11 + a12 b21 )(a21b12 + a22 b22 ) (a11b12 + a12 b22 )(a21b11 + a22 b21 ) == a11a21b11b12 + a11a22 b11b22 + a12 a21b12 b21 + a12 a22 b21b22 a11a21b12 b11 a11a22 b12 b21 a12 a21b22 b11 a12 a22 b21b22 = = a11a22 b11b22 a11a22 b12 b21 a12 a21b22 b11 + a12 a21b12 b21 = = a11a22 (b11b22 b12 b21 ) a12 a21 (b22 b11 b12 b21 ) =

= a11a22 B a12 a21 B = (a11a22 a12 a21 ) B = A B ka11 2) k A = ka 21 ka22 ka22

k A = k 2 a11a22 k 2 a21a22 = k 2 (a11a22 a21a22 ) = k 2 A a11 3) A t = a 12 a21 a22 A t = a11a22 a12 a21 = A

Ejercicio n 14.-

a Sabiendo que x p a) x a 2p x y b 2q y

b y q z c 2r z

c z = 4, halla el valor de los siguientes determinantes : r b) a b c x y z 3p + x 3q + y 3r + z

Solucin: a) Restando a la 1 fila la 3 y sacamos (2) factor comn:

x a 2p x

y b 2q y

z c 2r z

a = 2p x

b 2q y

c

a

b q y

c

2r = 2 p z a b y q c x

r = z

(* )

(* )

= ( 2) ( 1) x p

z = 24 = 8 r

(*) Al permutar la 2 y 3 filas de orden, el determinante cambia de signo. b) Restamos a la 3 columna la 2, y sacamos 3 factor comn:

16

a b c

x y z

3p + x

a

x y z

3p

a

x y z

p

3q + y = b 3r + z c

3q = 3 b 3r c

q =3 x r p

(* )

a

b y q

c z = 3 4 = 12 r

(*) Tenemos en cuenta que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Ejercicio n 15.Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:a) 2 x a 2 y b 2 z = c 1 2x a+2 1 2y b+2 1 2z c +2 b) 1 a a2 a3 = 0 a4

1 a2 1 a3

Solucin:

a) La 1a fila la hemos multiplica do por 2 y la 2 a porPor tanto:

1 . A la 3 a le hemos sumado la 1a. 2

2 x a

2 y b

2 z = c

1 1 2 2x 2 a+2

1 2y

1 2z . La igualdad es cierta.

b+2 c+2

b) Observamos que la 2a y la 3a columna son proporcionales, puesto que la 3a la obtenemos multiplicando la 2a por a. Por tanto, el determinante es cero. La igualdad es cierta. Ejercicio n 16.Halla el rango de la matriz siguiente:

1 1 2 0 1 2 3 2 M = 0 1 0 3 3 4 1 1

Solucin:

1 1 1 2 M = 0 1 3 4

0 3 2 0 3 1 1 2

Tomamos un menor no nulo de orden 2:

17

2 3

0 2

= 4 0 ran (M ) 2

Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3 fila depende linealmente de las dos primeras:

1 1 0

2 0 3 2 =3 0 3

1

2

1 3

= 15 0

Las tres primeras filas son ran (M ) 3 linealment e independie ntes

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

1 M = 1 0 3(1) (2)

1 2 0 2 1 4 3 0 1 2 3 1

1

1 2 2 1 4 3 0 1

3 4 0 3 13 1 13

(1)=

1 0 3

(2)

1

2

3 4 = 15 0

= 1 1 3

Restamos a la 4 columna, la 2 multiplicada por 3. Desarrollamos por la 3 fila.

Por tanto, ran (M) = 4

Ejercicio n 17.Averigua cul es el rango de la siguiente matriz:

2 1 M = 0 5

3 1 3 5

1 1 4 3

2 2 1 2

Solucin:2 Tomamos un menor de orden 2 no nulo: 3 =50

1 1

Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

2

3

1 1 = 17 0 4 Las tres primeras filas son ran (M ) 3 linealment e independie ntes

1 1 0 3

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

18

COLUMNAS

2 M =

3

1 1 4 3

2 2 1 2a

1

a

2a

5 0 3 10

1 0 4

6 5 0 1 = 3 10 1 4 6 1 = 0

1 1 0 5 3 5

=

2 +1 3 +1a a

1 0a

a

2 12

4 + 2 1

5

2 12

Por tanto, ran (M) = 3.

Ejercicio n 18.Calcula el rango de la matriz:

2 A= 1 3

1 0 2

3 1 1

4 3 1

2 1 2

3 1 4

Solucin:2 Tomamos un menor de orden 2 no nulo: 1 0 1 = 1 0

Por tanto, ran (A) 2. Las dos primeras lneas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

2 1 1 3 0 2

3 1 = 14 0 Las tres filas son linealmeme nte independie ntes. 1

Luego, ran (A) = 3.

Ejercicio n 19.Estudia el rango de la matriz:

2 3 1 2 A= 1 12 0 7

5 3 1 11 7 7 3

1

Solucin:2 Tomamos un menor de orden 2 no nulo : 1 3 2 = 7 0

Luego, ran (A) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

19

2

3

1 3 115 1 = 0. As, la 3 a fila es combinaci n lineal de las dos primeras. 7

1 2 1 122 1 1 3 2 12

= 0 (pues, si restamos la 1a columna menos la 2 a , obtenemos la 3 a )

Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:

2 1 0

3 2 7

1 3 7 = 0;

2 1 0

3 2 7

5 1 = 0 . Tambin la cuarta fila depende de las dos primeras. 3

Por tanto, ran (A) = 2.

Ejercicio n 20.Obtn el rango de esta matriz:

2 3 2 1 3 1 2 1 1 1 M = 0 1 3 0 3 4 1 1 1 1

Solucin:

Observamos que la 4 columna coincide con la 1 y que la 5 es igual que la 3. Por tanto, podemos prescindir de las dos ltimas columnas para calcular el rango de M. As, ran (M) 3.2 Tomamos un menor de orden 2 no nulo: 1 1 2 =30

Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3 fila depende linealmente de las dos primeras:

20

2 1 0

1 3 2 1 = 14 0 ran (M ) = 3

1 3

Ejercicio n 21.Determina cul es el rango de la matriz A, segn los valores de :

1 A= 0

1 0

+1 0 2

1 2 0

Solucin:

1 A= 0

1 0

+1 0 2

1 2 0 1 1 2 =20

Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero : 0

Luego, ran (A) 2. Buscamos los valores de que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:

1 0

+1 1 0 2 2 = 2 0 1

+1 2

= 2[2 ( + 1)] = 2 2 2 =

[

]

= 2 2 + 2 = 0 =

[

]

1 1+ 8 1 3 = 2 2

= 1 = 2

Si 1 y 2

ran (A ) = 3

Si = 1 La 3 columna depende linealmente de la 2 y 4. Veamos qu ocurre con la 1 columna:

1

1

1 2 = 1 0 ran (A ) = 3

1 0 0

1 0

Si = 2 La 3 columna depende linealmente de la 2 y 4. Veamos qu ocurre con la 1 columna:

1 2 0

1 0

1 2 = 8 0 ran (A ) = 3

2 0

21

Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de .

Ejercicio n 22.Estudia el rango de la matriz M segn los valores de t:

M =

1 1 1

2 t 8 3t

3 3 3

2 2 1

Solucin:

Observamos que la 3 columna es proporcional a la 1 (es su triple), por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.1 1 Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 1 2 = 1 0

Luego, ran (M) 2. Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:

1 1

2 t

1 2 2 = 2t + 8 3t + 4 t 2(8 3t ) + 4 = 0 para cualquier valor de t .

1 8 3t

Por tanto, la 3 fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t. As, ran (M) = 2.

Ejercicio n 23.Estudia el rango de esta matriz, segn los valores de t:

1 M = 0 1

0 t 3

4 4 t

2 0 2

Solucin:

22

Observamos que la 4 columna es el doble de la 1. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.1 Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero : 0 4 4 =40

As, ran (M) 2. Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

1 0

0 t

4 4 = t 2 + 4t 12 = 0 t = t 4 16 + 48 4 8 = 2 2

1 3

t = 2 t = 6

Si t 2 y t 6 ran (M ) = 3 Si t = 2 o t = 6 La 2 columna depende linealmente de la 1 y 3. Por tanto, ran (M) = 2. Ejercicio n 24.Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

a M = 1 2

1 a 2a

3 2 5

0 1 a

Solucin:3 Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero : 2 1 0 =30

Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a. Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:

a 3 0 1

2 2 2 2 2 1 = 2a + 6 5a 3a = 2a 8a + 6 = 2 a 4a + 3 = 0 a 4a + 3 = 0

(

)

2 5 a4 16 12 4 2 = 2 2 a = 3 a = 1

a=

Si a = 1 Sabemos que la 1 columna depende linealmente de las dos ltimas. Veamos que ocurre con la 2 columna:

1 1 2

3 0a 2 1 = 0 La 2 columna depende linealment e de las dos ltimas.

5 1

23

Por tanto, ran (M) = 2. Si a = 3 Sabemos que la 1 columna depende linealmente de las dos ltimas. Veamos que ocurre con la 2 columna:

1 3 6

3 0 2 1 = 8 0. Por tanto, ran (M ) = 3 5 3

Ejercicio n 25.Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

1 A= 0 4

0 a 1

1 3 a

0 0 0

Solucin: Podemos prescindir de la 3 columna, pues no influye en el rango.1 0 Tomemos un menor de orden 2 distinto de cero: 4 1 = 1 0

Luego, ran (A) 2. Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

1 0 0 4 a 1

1 3 = a 2 + 4a + 3 = 0 a = a 4 16 12 4 2 = 2 2

a = 1 a = 3

Si a 1 y a 3 ran (A ) = 3 Si a = 1 o a = 3 La 2 a fila depende linealment e de las otras dos

ran (A) = 2

24

APLICACIONES DE LAS MATRICESEjercicio n 1.a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:

a A = 1 a 2

1 1 a 1 2 2

no es inversible.b) Calcula A1 para a = 2.

Ejercicio n 2.Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:

1 1 1 + a A= 1 1 1 1 1+ a a Para los casos en los que a = 2 y a = 0.

Ejercicio n 3.Halla una matriz, X, tal que AX + B = 0, siendo:

1 1 0 A= 2 0 1 1 1 1

y

2 1 B = 4 4 4 1

Ejercicio n 4.Halla X tal que AX = B, siendo:

2 1 1 A = 0 2 3 1 1 1

y

6 2 1 B = 5 0 1 3 1 2

Ejercicio n 5.a) Calcula para qu valores de existe la inversa de la matriz:

1 2 2 A= 1 1 2

b) Calcula A 1 para = 0.

1

Ejercicio n 6.Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resulvelo utilizando la matriz inversa:

3 x + y z = 5 x + 2y + z = 0 +z =3 2x

Ejercicio n 7.Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:

4 x + 2 y z = 6 + z = 1 x 2 x + y + z = 3

Ejercicio n 8.Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:

2 x + 3y + z = 7 x + y 2z = 5 y + 2z = 0

Ejercicio n 9.Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones:

x y + z = 6 2 x y + z = 8 x 2 y + z = 7

Ejercicio n 10.Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:

x + 2y z = 1 3 x y + 2z = 4 x y + z = 1

Ejercicio n 11.Estudia la compatibilidad del siguiente sistema:

x y + 2z t = 3 2 x + y z + t = 2 x + y + z t = 1

2

Ejercicio n 12.Estudia la compatibilidad del sistema:

x + y z = 3 x + 2y z = 1 2 x y + z = 2 x + 5 y 5z = 5

Ejercicio n 13.Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones:

2 x y + 3z = 1 x + y z = 2 x + y + 3z = 3

Ejercicio n 14.Utiliza el teorema de Rouch para estudiar la compatibilidad del siguiente sistema:3 x 4y + z = 1 x + 2 y z = 3 x z = 7 x y = 2

Ejercicio n 15.Estudia la compatibilidad de este sistema de ecuaciones:

x 2y = 3 x + 3 y = 1 x + 6y = 2 x y =5

Ejercicio n 16.Resuelve, aplicando la regla de Cramer, los siguientes sistemas:a) x + 3 y = 5 x +y =1 b) x + 2 y z = 0 x 3 y + z = 3 2x + y z = 1

3

Ejercicio n 17.Resuelve, aplicando la regla de Cramer:

a) 3 x + 2 y = 3 2 x y = 1

b)

2x y z = 0 x + 2y + z = 1 x 3 y 2z = 3

Ejercicio n 18.Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla de Cramer:

a) 2 x y = 0 3 x + y = 5

b)

x + y z = 2 x + 2y + z = 4 3x + y + z = 6

Ejercicio n 19.Aplica la regla de Cramer para resolver estos sistemas:a) 3 x + 2 y = 5 5x + y = 1 b) x + 2 y z = 1 3 x + y + z = 5 x y + 3z = 5

Ejercicio n 20.Resuelve estos sistemas, aplicando la regla de Cramer:a) x + 4 y = 6 2 x 3y = 7 b)x 2 y + z = 3 2 x + 3y z = 3 x y + 3z = 6

Ejercicio n 21.Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones y resulvelo si es posible:x + y + 2z 3x y + z x + 2y z x + 3y z = 6 = 5 = 1 = 7

Ejercicio n 22.Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 4y z x + 2y + z x + y + 3z x y + 2z = 3 =5 =6 = 1

4

Ejercicio n 23.Estudia la compatibilidad del siguiente sistema, y resulvelo si es posible:

x + y 2z = 5 x + 3 y + z = 4 7 x + 5 y + 11z = 8 Ejercicio n 24.Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:

2 x + 2 y + z t = 8 x + y z + t = 1 x + 2 y + z + 2t = 2 Ejercicio n 25.Estudia la compatibilidad de este sistema y resulvelo si tiene solucin:

x + 2 y + z t = 2 2 x + y 2z + 2t = 3 x y +z +t = 5 Ejercicio n 26.Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

ax + y = a (a + 1)x + 2y + z = a + 3 2y + z = 2 Ejercicio n 27.Estudia el siguiente sistema homogneo segn los valores de y resulvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado: x y + 2 z = 0 x + y + 2 z = 0 2 x + y z = 0 Ejercicio n 28.Discute y resuelve el siguiente sistema, segn los valores del parmetro m: mx + y + z = 2 = 1 x + my x + my + mz = 1 Ejercicio n 29.Discute el siguiente sistema homogneo segn los diferentes valores del parmetro . Resulvelo en los casos en los que resulte ser compatible indeterminado:

+ 2z = 0 ( 2)y + z = 0 ( 1)x + y z = 0 x

5

Ejercicio n 30.Discute el siguiente sistema, y resulvelo cuando sea posible, en funcin del parmetro a:

y + az = 1 2 x + a z = 2a + 1 x y + a (a 1)z = 2a Ejercicio n 31.Estudia el siguiente sistema, en funcin de a y b. Resulvelo en los casos en los que sea compatible indeterminado:

x y + az = 1 2 x + y + az = 3 x + 2 y az = b Ejercicio n 32.Discute, en funcin de y , el siguiente sistema de ecuaciones. Resulvelo en los casos en los que sea compatible determinado:

x + y + z = 2 x + 2 y z = 2 x + 4y + z = Ejercicio n 33.Estudia, en funcin de a y b, el siguiente sistema de ecuaciones. Resulvelo en los casos en los que sea compatible indeterm