О. І. Матяш, Г. Д. Катеринюк

МЕТОДИЧНИЙ ІНСТРУМЕНТАРІЙ ФОРМУВАННЯ

ЗДАТНОСТІ УЧНІВ ДО МАТЕМАТИЧНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ

Посібник для вчителя

Вінниця

ТОВ «Твори»

2019

2

УДК 373.5.091.33:51(075.8)

ББК 74.262.21я73

М 35

Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького державного педагогічного університету

імені Михайла Коцюбинського

Протокол №2 від 18 вересня 2019 року

Рецензенти:

Петрук В.А. – доктор педагогічних наук, професор кафедри вищої математики

Вінницького національного технічного університету;

Ачкан В.В. – доктор педагогічних наук, доцент кафедри математики та методики

навчання математики Бердянського державного педагогічного університету;

Михайленко Л. Ф. – кандидат педагогічних наук, доцент кафедри алгебри і методики

навчання математики Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла

Коцюбинського.

Матеріали подані в авторській редакції

М 35 Матяш О. І., Катеринюк Г. Д. Методичний інструментарій формування

здатності учнів до математичного моделювання. Вінниця : ТОВ «Твори», 2019. 270 с.

У посібнику подано та обґрунтовано методичний інструментарій формування в учнів

умінь математичного моделювання у процесі навчання математики. Систематизовано

актуальний матеріал для практичного використання на уроках математики в школі,

запропоновані авторські задачі. Книга підготовлена для вчителів математики, майбутніх

учителів математики, викладачів педагогічних університетів та науковців, які досліджують

проблеми шкільної математичної освіти та проблеми формування математичних

компетентностей учнів.

ISBN

©Матяш О. І., Катеринюк Г.Д. 2019

© ВДПУ імені Михайла Коцюбинського, оригінал-макет, 2019

3

4

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА ......................................................................... 8

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ФОРМУВАННЯ

ЗДАТНОСТІ УЧНІВ ДО МАТЕМАТИЧНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ .............................................................. 10

1.1. Місце і роль умінь математичного моделювання в

системі математичних компетентностей учнів .............. 10

1.2. Психолого-педагогічні основи формування умінь

математичного моделювання в учнів .............................. 20

1.3. Методи, прийоми і засоби формування здатності

учнів до математичного моделювання ............................ 32

РОЗДІЛ 2. МЕТОДИЧНА СИСТЕМА ФОРМУВАННЯ

В УЧНІВ УМІНЬ МАТЕМАТИЧНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ .............................................................. 48

2.1. Планування основних етапів формування в учнів

умінь математичного моделювання ................................ 48

2.1.1. Етап пропедевтики .............................................. 48

2.1.2. Етап базової школи .............................................. 49

2.1.3. Етап профільної школи ....................................... 52

2.2. Система прикладних задач для формування умінь

математичного моделювання ........................................... 54

2.2.1. Задачі на знаходження найменших або

найбільших значень величини ...................................... 54

2.2.2. Задачі геометричного змісту .............................. 56

5

2.2.3. Задачі фізичного змісту ....................................... 60

2.2.4. Задачі стохастичного змісту ............................... 64

2.2.5. Задачі виробничого змісту .................................. 66

2.2.6. Задачі сучасного професійного змісту .............. 71

2.2.7. Задачі побутового змісту .................................... 74

2.3. Методичні аспекти розв'язування задач на основі

математичного моделювання ........................................... 82

2.4.1. Алгебра, 9 клас: «Системи двох рівнянь із двома

змінними як математична модель прикладної

задачі» ........................................................................... 101

2.4.2. Геометрія, 9 клас: «Довжина кола. Розв’язування

задач» ............................................................................ 109

2.4.3. Алгебра, 10 клас: «Застосування похідної

функції до розв’язування прикладних задач» ........... 120

2.4.4. Геометрія, 10 клас: «Перпендикулярність прямих

і площин у просторі». Підсумковий урок.................. 138

2.4.5. Алгебра, 11 клас: «Застосування показникової

функції до розв’язування прикладних задач» ........... 157

2.4.6. Геометрія, 11 клас: «Об’єми і площі

поверхонь» .................................................................... 167

2.5. Організація самостійної пізнавальної діяльності

учнів з метою формування в них умінь математичного

моделювання .................................................................... 179

6

2.5.1. Проектна діяльність учнів у навчанні

математики ................................................................... 179

2.5.2. Діагностичний інструментарій сформованості

умінь математичного моделювання ........................... 204

РОЗДІЛ 3. СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ДЛЯ ВЧИТЕЛІВ

МАТЕМАТИКИ ЩОДО ФОРМУВАННЯ УМІНЬ

МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ В УЧНІВ .. 227

3.1. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при розв’язуванні текстових задач

в 5-6 класах ...................................................................... 227

3.2. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Числа» ............................................................................. 229

3.3. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Рівняння і нерівності» ................................................... 230

3.4. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Функції» ......................................................................... 232

3.5. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Елементи комбінаторики, теорії ймовірності та

статистики» ...................................................................... 235

3.6. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені планіметрії ............. 235

7

3. 7. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені стереометрії ........... 237

3.8. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при розв’язуванні прикладних

задач .................................................................................. 238

3.9. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів з використанням сучасних

технологій ........................................................................ 244

3.10. Публікації з розкриттям теоретичних основ

навчання математичного моделювання в школі .......... 246

3.11. Публікації щодо розроблення і проведення уроків

та позакласної роботи з метою формування умінь

математичного моделювання в учнів ............................ 247

3.12. Авторські публікації щодо формування умінь

математичного моделювання в учнів ............................ 250

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ...................... 256

8

ПЕРЕДМОВА

Коли йдеться про формування в учнів умінь

математичного моделювання, то в уяві відразу виникає

процес розв’язування в школі текстових задач на рух,

спільну роботу, відсотки. Зазначений матеріал вивчається

в основній школі, тому можна стверджувати, що

формування вмінь математичного моделювання в учнів

відбувається, в першу чергу, в основній школі. В старшій

школі, відповідно до визначених в програмах з математики

результатів навчання, вчителі математики мають

забезпечити умови розвитку в учнів умінь математичного

моделювання.

Коли і як має діяти вчитель математики, щоб

забезпечити ефективність процесу формування та розвитку

вмінь математичного моделювання в учнів в основній чи

старшій школі? На нашу думку, вчитель, по-перше, має

глибоко усвідомити сутність завдання, по-друге, оволодіти

технологією формування та розвитку в учнів умінь

математичного моделювання. Допомогти вчителеві в

набутті відповідних компетентностей прагнемо ми цією

книгою.

Моделювання є невід’ємною складовою діяльності

майбутніх фахівців різного фаху і ми розглядаємо його як

результат математичних знань та умінь випускників

закладів освіти. Спеціально створені умови для

формування умінь математичного моделювання в учнів є

ефективним засобом реалізації професійної спрямованості

навчання математики в школі. Розвиток математичних

моделей та методів нині сприяє розширенню області

пізнання в найрізноманітніших сферах життєдіяльності

людини. Важливі результати за допомогою математичного

9

моделювання отримані в біофізиці, біохімії, генетиці,

імунології, епідеміології, фізіології, фармакології,

медичному приладобудуванні, при створенні біотехнічних

систем та інших сферах. Математичне моделювання

широко використовується в розв’язанні політичних,

екологічних, економічних та інших проблем. Все це

свідчить про необхідність формування глибоких і свідомих

знань і вмінь математичного моделювання в учнів. Тому

формування компетентності випускників школи в

математичному моделюванні ми розглядаємо як одне із

основних завдань учителя математики.

Маємо надію, що ця книга надихне вчителів

математики на самовдосконалення та саморозвиток в

улюбленій педагогічній діяльності в контексті сучасних

завдань розвитку методичної майстерності вчителя. Маємо

також надію, що ця книга надихне викладачів закладів

вищої освіти на вдосконалення умов формування та

розвитку компетентності майбутніх вчителів математики у

навчанні учнів математичному моделюванню.

Ми не перебільшуємо значення викладених у книзі

положень та рекомендацій, що стосуються проблеми

формування умінь математичного моделювання в учнів.

Усвідомлюємо, що проблема формування умінь

математичного моделювання в учнів у процесі навчання в

школі має комплексний характер і може бути ефективно

розв’язана спільними зусиллями науковців, учителів

різних навчальних предметів, а також оновленням

технологій підготовки майбутніх учителів у закладах

вищої освіти. З огляду на широкий діапазон проблеми, ми

не претендуємо на вичерпне її розкриття. Окремі тези

нашого бачення проблеми та її розв’язання, можуть бути

дискусійними, однак, якщо вони спонукали до роздумів, до

заглиблення в проблему, то наша праця не була даремною.

10

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ФОРМУВАННЯ

ЗДАТНОСТІ УЧНІВ ДО МАТЕМАТИЧНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ

1.1. Місце і роль умінь математичного моделювання

в системі математичних компетентностей учнів

Основною метою освітньої галузі «Математика» є

формування в учнів математичної компетентності на рівні,

достатньому для забезпечення життєдіяльності в

сучасному світі, успішного оволодіння знаннями з інших

освітніх галузей у процесі шкільного навчання,

забезпечення інтелектуального розвитку учнів, розвитку їх

уваги, пам’яті, логіки, культури мислення та інтуїції.

Математична компетентність найчастіше тлумачиться як

уміння бачити та застосовувати математику в реальному

житті, здатність розуміти зміст і метод математичного

моделювання, уміння будувати математичну модель,

досліджувати її методами математики, інтерпретувати

отримані результати, оцінювати похибку обчислень.

Щодо ролі вивчення та використання елементів

математичного моделювання на уроках математики

М. О. Філімонова [90] стверджує, що математичне

моделювання створює сприятливі умови для: свідомого

оволодіння учнями математичним моделюванням як

універсальним методом навчального пізнання

навколишнього середовища; підвищення рівня розвитку

11

творчих здібностей школярів; активізації пізнавального

інтересу до вивчення предмету та ефективності навчання.

В. О. Швець [99] називає математичне моделювання

радикальним методом реалізації прикладної спрямованості

шкільного курсу математики і стверджує, що математичне

моделювання має стати наскрізною змістовою лінією

цього курсу.

На думку Г. М. Черкасової [98], одним із провідних

методів пізнання є метод математичного моделювання,

тому навчання розумінню змісту поняття «моделювання» і

формування вміння застосувати його в оволодінні

знаннями, і взагалі в житті, доцільно розпочинати з

молодшого шкільного віку. Робота з моделями значною

мірою розвиває такі уміння молодших школярів, як

самостійність в отриманні нових знань для застосування їх

до розв’язування задач.

В. В. Волошена [16] стверджує, що маючи

властивості загального методу наукового пізнання,

математичне моделювання в шкільному навчанні відіграє

роль інтегруючого складника предметного змісту

природничих навчальних предметів. Моделювання в

навчанні природничих предметів у процесі розв’язування

задач, на думку дослідниці, виступає як матеріалізована

форма продуктивної розумової діяльності учнів, а самі

моделі — як продукти і засоби її здійснення. Використання

різних видів моделей створює підґрунтя для оволодіння

школярами вміннями самостійно здобувати знання,

стимулює їхній пізнавальний інтерес, предметну

12

зацікавленість, позитивно впливає на мотивування учнів

до навчання, активізує самостійний пошук ними способів

вирішення навчальних проблем. Навчання моделюванню

сприяє формуванню системи природничо-математичних

знань, навичок і умінь, необхідних у повсякденному житті

та майбутній професійній діяльності, розвитку

конструктивного мислення як невід’ємної складової

загальної культури людини. Розвиток в учнів уміння

математичного моделювання В. В. Волошена називає

важливим завданням сучасної шкільної освіти, насамперед

природничо-математичної. У висновках дисертаційного

дослідження В. В. Волошеної [16] зазначено: з’ясовано, що

математичне моделювання, як загальнонауковий метод

дослідження, виконує пояснювальну, системотвірну й

узагальнювальну функції, сприяє відкриттю нового і при

певних методичних умовах залишається доступним у

застосуванні учнями для розв’язування задач. Також

авторка стверджує, що використання елементів

математичного моделювання природних явищ є

ефективним засобом активізації навчально-пізнавальної

діяльності учнів на практичних та лабораторних заняттях.

С. У. Гончаренко, Л. В. Ісичко, Є. В. Коршак [37,81]

вважають, що метод моделювання, зокрема

математичного, є змістовним «ядром» методів

розв’язування задач. При цьому метод моделювання, як

загальнонауковий метод дослідження, є способом та

засобом розв’язування фізичних задач. Фізична задача є,

по суті, фізичною моделлю певного реального явища, при

13

цьому фізичне моделювання фактично відбувається на

етапі аналізу змісту задачі та усвідомлення тих фізичних

законів, про які йдеться в задачі. При складанні системи

рівнянь (або рівняння), що описують фізичну модель, вже

відбувається математичне моделювання.

Підсумовуючи, зазначимо, що українські вчені,

розробляючи методи математичного моделювання та

його застосування в різних галузях науки й техніки, ще

наприкінці минулого століття дійшли думки про

необхідність навчання математичному моделюванню

учнів загальноосвітніх шкіл.

Л. Ф. Вікуліна, В. О. Артемов, О. С. Малащук,

Е. В. Бахчеван [57] аналізуючи проблему встановлення

міждисциплінарних інтеграційних зв'язків у викладанні

математики і різних профілюючих дисциплін, зазначають,

що потенціал математики, зокрема математичного

моделювання, у формуванні вмінь і навичок, необхідних в

майбутній професійній діяльності, залишається повною

мірою невикористаним. Це пояснюється стрімким

розвитком методів моделювання, їх проникненням в нові

області господарювання і переходом у нові якості,

наприклад, економіко-математичне моделювання та

імітаційне.

У дисертації Л. Л. Панченко [67] стверджується, що

не набагато краще порівняно зi школою, метод

математичного моделювання знайшов своє місце в системі

підготовки вчителів математики. Саме це авторка називає

основною причиною зволікання систематичного

14

впровадження ідеї та методу математичного моделювання

в шкільний курс математики. Другою, не менш важливою

причиною зазначеного негативного явища, є недостатня

розробленість методичного забезпечення вивчення методу

математичного моделювання як в загальноосвiтнiй школі,

так i у вищих навчальних закладах, які здійснюють

підготовку вчителів математики.

Привертає увагу позиція М. П. Красницького:

доцільно включити в навчання у середній школі елементи

математичного моделювання в дещо більшому обсязі та з

більшим проникненням в сутність моделей, ніж це

здійснюється в багатьох випадках нині. Очевидно, що це

варто робити і в класах поглибленого вивчення

математики і в загальноосвітній школі. Однак, в класах без

поглибленого вивчення математики, фізики або

інформатики звернення до математичного моделювання

має бути в міру дозованим і збалансованим з інтересами і

можливостями учнів [48].

Розглянемо, яке місце і яка роль математичного

моделювання визначені в сучасних навчальних програмах

з математики.

У програмах з математики для початкової школи,

відповідно до Державного стандарту початкової загальної

освіти [29, 55], серед основних змістових ліній курсу

математики 1-4 класів наявні такі: величини; сюжетні

задачі; робота з даними. Вказані змістові лінії, очевидно, є

основою формування в учнів умінь математичного

моделювання.

15

Вивчення величин є пропедевтичною основою для

побудови моделей навколишнього світу, важливою

ланкою, що пов’язує математику з іншими науками.

Ставиться завдання формувати в учнів уміння

використовувати різні одиниці вимірювання величин у

процесі розв’язування практично - зорієнтованих задач.

Сюжетні задачі, особливо практично - зорієнтовані,

забезпечують зв’язок математики із реальним життям.

Уявлення про процес розв’язування задачі формується як

перехід від текстової моделі (текст задачі) до схематичної

(короткий запис, схема), а далі – до математичної (вираз).

Процес розв’язування задачі передбачає аналіз її умови,

подання результатів цього аналізу у вигляді допоміжної

моделі – короткого запису, схеми, малюнка тощо; пошук

шляхів і складання плану розв’язування задачі, запис її

розв’язання, відповідь на запитання задачі.

Також молодші школярі мають бути ознайомлені на

практичному рівні зі способами подання інформації та

роботи з нею при розв’язуванні практично-зорієнтованих

задач, моделювання описаних ситуацій у формі таблиць,

схем, діаграм.

В пояснювальній записці навчальної програми з

математики для 5-9 класів [52] зазначено, що істотне місце

у вивченні курсу займають текстові задачі, основними

функціями яких є розвиток логічного мислення учнів та

ілюстрація практичного застосування математичних знань.

Під час розв’язування текстових задач учні мають

навчитися будувати і використовувати математичні моделі.

16

Розв’язування текстових задач супроводжує вивчення всіх

тем, передбачених програмою.

У пояснювальній записці навчальної програми з

фізики для 5-9 класів [89] зазначено, що розв’язування

фізичних задач зазвичай передбачає три етапи діяльності

учнів: 1) аналіз фізичної проблеми або опис фізичної

ситуації (побудова фізичної моделі задачі, що подана в її

умові); 2) пошук фізичних законів і математичних методів

для аналізу та опису фізичної моделі задачі; 3) реалізація

розв’язку й аналіз одержаних результатів.

Відповідно до Державного стандарту базової і

повної загальної середньої освіти однією з змістовних

ліній, за якою будується курс «Інформатика» (5-9 кл) є

комп’ютерне моделювання. Вибірково-обов’язковий курс

«Інформатика», що вивчається в 10-11 класах,

вибудовується за такою предметною змістовною лінією, як

моделі і моделювання, аналіз та візуалізація даних. У

пояснювальній записці навчальної програми з інформатики

для 5-9 класів [37] зазначено, що предметна ІКТ-

компетентність учнів виявляється у такій ознаці, як вміння

аналізувати прості інформаційні процеси, що відбуваються

у живій природі, суспільстві та техніці, будувати

інформаційні моделі реальних об’єктів і процесів.

Вперше в змісті навчального матеріалу з

математики для 5-9 класів [52] поняття математичної

моделі знаходимо в алгебрі у 7 класі: Функціональна

залежність між величинами як математична модель

реальних процесів.

17

У 8 класі: Квадратне рівняння та рівняння, які

зводяться до квадратних, як математичні моделі

прикладних задач. У 9 класі: Система двох рівнянь з двома

змінними як математична модель прикладної задачі.

Порівняльний аналіз сучасних навчальних програм

з математики та інформатики для основної школи дозволяє

стверджувати, що поняття модель та моделювання є

важливими в цих систематичних курсах. Є певні умови для

закріплення умінь математичного моделювання і при

вивченні фізики в основній школі. Вчитель математики

має знати і використовувати відповідні міжпредметні

зв’язки в процесі формування умінь математичного

моделювання в учнів. Також наш порівняльний аналіз

сучасних навчальних програм та попередніх програм з

вказаних навчальних дисциплін дає підстави для висновку:

зростає увага в програмах до завдання формування вмінь

математичного моделювання в учнів.

В сучасних програмах з математики для основної

школи окрема тема «Елементи прикладної математики» є у

9 класі при поглибленому навчанні математики:

Математичне моделювання. Відсоткові розрахунки.

Формула складних відсотків. Комбінаторні правила

додавання і множення. Основні формули комбінаторики.

Розміщення, сполучення (комбінації), перестановки.

Випадкова подія. Ймовірність випадкової події.

Статистичне і класичне означення ймовірності.

Обчислення ймовірностей за допомогою формул

18

комбінаторики. Статистичні дані. Способи подання даних.

Частота. Вибірка. Середні значення.

В пояснювальній записці навчальних програм

виокремлено навчальні ресурси: розв'язування

математичних задач, і обов’язково таких, що моделюють

реальні життєві ситуації.

У навчальних програмах з математики зазначено,

що широке і системне застосування методу

математичного моделювання протягом вивчення всього

курсу математики має стати потужним засобом

формування в учнів навичок повсякденного

користування математикою при вивченні природничих

предметів.

Щодо цілей навчання математики в старшій школі, то

у шкільних програмах з математики зазначено:

формування навичок застосування математики є однією з

головних цілей викладання математики. Забезпечення

прикладної спрямованості викладання математики сприяє

формуванню стійких мотивів до навчання взагалі й до

навчання математики зокрема. Вивчаючи математику в

класах математичного, фізичного та фізико-математичного

профілів, старшокласники мають усвідомити, що процес її

застосування до розв’язування будь-яких прикладних

задач розподіляється на три етапи: 1) формалізація

(перехід від ситуації, описаної у задачі, до формальної

математичної моделі цієї ситуації, і від неї — до чітко

сформульованої математичної задачі); 2) розв’язування

задачі у межах побудованої моделі; 3) інтерпретація

19

одержаного розв’язку задачі та його застосування до

вихідної ситуації.

В навчальній програмі з інформатики для 10-11

класів [38], затвердженій Наказом МОН України № 1407

від 23 жовтня 2017 року, чинній з 1 вересня 2018 року

(рівень стандарту) тема «Моделі і моделювання» (10

годин) міститься в обов’язковому базовому модулі. що

вивчається в 10 класі. В пояснювальній записці програми

для профільного рівня зазначено, що до теоретичної бази

знань відноситься постановка задач і побудова

відповідних інформаційних (зокрема, математичних)

моделей. В діяльнісній складовій вказано, що учень

розуміє, використовує та створює математичні моделі

об’єктів та процесів для розв’язування задач із різних

предметних галузей.

У дослідженнях українських науковців встановлено,

що використання системи навчальних завдань з

елементами математичного моделювання сприяє розвитку

творчих здібностей та наукового типу мислення

старшокласників, підвищує рівень їхніх теоретичних знань

із математики та природничих предметів, стимулює

розвиток логічного мислення та інтелектуальних умінь.

Отже, математики треба так навчати, щоб учні

вміли її застосовувати. Реалізація прикладної

спрямованості в процесі навчання шкільної

математики означає:

20

навчання учнів побудові і дослідженню

найпростіших математичних моделей реальних

явищ і процесів;

створення запасу математичних моделей, які

описують реальні явища і процеси, мають

загальнокультурну значущість, а також

вивчаються у суміжних предметах;

формування в учнів знань та вмінь, які необхідні для

дослідження математичних моделей.

1.2. Психолого-педагогічні основи формування умінь

математичного моделювання в учнів

Розвиток умінь математичного моделювання в учнів

під час вивчення окремих навчальних предметів

розглядали Ю. К. Бабанський, В. І. Бондар, М. І. Бурда,

Л. В. Занков, Л. Н. Ланда, І. Я. Лернер, О. І. Ляшенко,

В. Ф. Паламарчук, О. І. Пометун, М. М. Скаткін,

З. І. Слєпкань, О. М. Топузов та інші; у контексті

вдосконалення процесу навчання математики засобами

методу математичного моделювання – М. І. Бурда,

О. І. Глобін, М. П. Лапчик, Ю. І. Мальований,

Р. Ю. Маханов, В. М. Монахов, В. М. Остапенко,

А. В. Скороход, А. А. Столяр, І. Ф. Тесленко,

Л. П. Червочкіна, М. Й. Ядренко та інші; під час

використання ІКТ для розв’язування навчальних і

практичних задач – В. Ю. Биков, Ю. О. Дорошенко,

А. П. Єршов, М. І. Жалдак, О. А. Кузнецов,

21

В. В. Лапінський, В. С. Лєдньов, Г. С. Луньова,

Л. Г. Лучко, Л. М. Калініна, Л. А. Карташова,

Ю. І. Машбиць, В. М. Монахов, Н. В. Морзе, Ю. А. Первін,

О. В. Співаковський, І. Ф. Тесленко, Т. В. Тихонова та ін.

Основні методичні положення навчання учнів

математичного моделювання розкрито в роботах

Б. В. Гнєденка, В. Забранського, В. М. Монахова,

З. І. Слєпкань, С. І. Шварцбурда, В. О. Швеця,

В. В. Фірсова. В Україні найбільш глибокі і змістовні

наукові дослідження в цьому напрямі проведено

Г. М. Возняком, В. В. Волошеною, О. О. Грибюк,

Л. Л. Панченко, Л. Р. Калапушею, М. О. Філімоновою.

Психолого-педагогічні закономірності процесу

формування умінь математичного моделювання в учнів у

навчанні математики розглядалася в багатьох наукових

дослідженнях, зокрема, Ю. О. Кусого, Л. Г. Петерсон,

В. С. Билкова, Є. В. Величка, Л. О. Соколенко, А. В. Прус,

І. А. Обойщикової та інших. Ними доведена доцільність і

можливість засвоєння учнями понять «модель»,

«моделювання», «математичне моделювання».

М. О. Філімонова [90] обґрунтувала, що для набуття

учнями основної школи відповідного рівня умінь

використовувати методи математичного моделювання,

навчання має бути наскрізним і організованим за такими

етапами:

1) Пропедевтичний етап (5 – 6 класи) передбачає

формування уявлень про математичну модель, її види,

деякі властивості; уміння будувати математичну

22

модель до задачі або складати задачу за даною

математичною моделлю.

2) Початковий етап (7 – 8 класи) передбачає

формування поняття про математичну модель, її види,

етапи математичного моделювання; уміння будувати

або добирати доцільні математичні моделі до задачі.

3) Основний етап (9 клас) передбачає узагальнення

знань про математичну модель, її види, етапи

математичного моделювання; формування уміння

використовувати інформаційно-комунікаційні

технології при створенні та дослідженні математичної

моделі.

4) Дослідницький етап передбачає більш глибоке

вивчення математичного моделювання на гуртках,

факультативах; написання дослідницьких робіт в

системі діяльності Малої академії наук; створення

проектів.

В. О. Швець [99] пропонує наступну концептуальну

модель формування в учнів основної та старшої школи

навичок та умінь математичного моделювання:

Навчальний предмет «Математика 5-6». Чисельне

моделювання: числові і буквені вирази, діаграми і графіки,

як математичні моделі.

Навчальний предмет «Алгебра 7-9». Аналітичне

моделювання: вирази, рівняння, нерівності і їх системи,

функції і їх графіки як математичні моделі.

23

Навчальний предмет «Геометрія 7-9». Геометричне

моделювання: планіметричні фігури як моделі реальних

об’єктів.

Навчальний предмет «Алгебра і початки аналізу 10-

12». Аналітичне моделювання: функції і їх графіки,

рівняння і нерівності та їх системи, похідна і інтеграл,

диференціальні рівняння як математичні моделі.

Стохастичне моделювання: гістограми, полігон,

ймовірність.

Навчальний предмет «Геометрія 10-12».

Геометричне моделювання: стереометричні фігури як

моделі реальних об’єктів.

Навчальна тема «Математичне моделювання». (12

клас): Математична модель, види математичного

моделювання, етапи побудови і дослідження моделі.

Математичні моделі шкільного курсу математики.

Психологічний аспект закономірностей

мислительної діяльності, моделювання як засобу пізнання

розглянуто в роботах Д. М. Богоявленського,

Л. С. Виготського, П. Я. Гальперіна, Є. М. Кабанової-

Меллер, Г. С. Костюка, В. А. Крутецького,

О. М. Леонтьєва, Є. І. Машбиця, С. Л. Рубінштейна та

інших науковців. В їх роботах переконливо обґрунтовано,

що методично виважене використання моделювання в

навчанні сприяє вирішенню низки педагогічних завдань,

таких як: активізація розумової діяльності учнів,

формування та розвиток прийомів мислення, підвищення

24

ефективності засвоєння математичних знань, дотримання

принципів свідомості навчання, єдності теорії і практики.

В. В. Волошена [14] акцентує увагу на результатах

досліджень, проведених психологами В. В. Давидовим,

Л. І. Айдаровою, А. К. Марковою, Л. М. Фрідманом та

іншими, які свідчать, що спеціальне цілеспрямоване

навчання учнів методу моделювання є ефективним

засобом, який суттєво впливає на характер їхньої

навчальної діяльності: навчання стає більш усвідомленим,

цілеспрямованим та продуктивним.

Психологи вважають, що для того, щоб досягнути

єдності у навчанні і вихованні, управління учінням не

повинно зводитися лише до засвоєння знань, умінь та

розумових дій. У цьому процесі є ще значні резерви

корисних впливів на учня. Управління не є повноцінним,

якщо воно не стосується процесів становлення

особистості. Учень не є об'єкт, активність якого повністю

визначається тим, хто навчає. Він має свій досвід, інтереси,

цілі, потреби, установки, рівень домагань. Особистісний

компонент цього підходу означає, що центром навчання є

учень зі своїми потребами, цілями, інтересами, тобто зі

своєю неповторністю.

Підсумовуючи зазначимо, що розв’язування задачі

розглядається психологами як процес її послідовного

переформулювання (перетворення), під час якого

відбувається безперервний аналіз умов і вимог задачі

через синтетичний акт їх співвіднесення один з одним.

При цьому всі переформульовані задачі будуть моделями

25

задачі вихідної. Тому переформулювання задачі

вважається психологами способом моделювання.

Дослідження Філімоновою М. О. [94] психолого-

педагогічних передумов навчання учнів умінням

математичного моделювання показало, що для старших

підлітків доцільною буде така організація навчально-

виховного процесу, при якій перевага віддавалася б

спеціальним методам, прийомам: проведення уроку-лекції,

уроку-семінару, уроку-конференції тощо, залучення до

написання науково-дослідницьких робіт, виконання

проектів.

М. О. Філімонова [92] запропонувала конкретні

методичні рекомендації з формування навичок і вмінь

математичного моделювання до вивчення таких змістових

ліній шкільного курсу математики, як «Вирази»,

«Геометричні фігури», «Геометричні величини»;

обґрунтувала використання у процесі формування навичок

і вмінь математичного моделювання в учнів основної

школи методу проектів та інформаційно-комунікаційних

технологій, зокрема мультимедійних презентацій та flash-

роликів. Дослідниця розробила цикл вимірювальних робіт

на місцевості з методичними рекомендаціями щодо їх

проведення у процесі навчання математики в 5 – 6 класах

та геометрії в 7 – 9 класах; запропонувала добірки

прикладних задач за основними змістовими лініями курсу

математики 5 – 6 класів та геометрії 7 – 9 класів.

Серед основних положень розробленої

М. О. Філімоновою [93] методики формування в учнів

26

основної школи знань, умінь та навичок математичного

моделювання візьмемо до уваги наступні:

- Визначаючи цільовий компонент методики

формування в учнів навичок і вмінь математичного

моделювання, слід враховувати психолого-

педагогічні особливості школярів кожної вікової

групи, зміст математичної освіти, а також

забезпечувати наступність у навчанні.

- Формування вмінь математичного моделювання має

забезпечуватися через вдале використання

організаційно методичного інструментарію.

Зокрема: раціональне поєднання традиційних та

інноваційних методів навчання. Особливу роль при

цьому необхідно відвести інтерактивним методам

та методу проектів.

- Контроль результатів навчання математичного

моделювання в учнів має здійснюватися на основі

комплексного підходу, який полягає у виконанні

школярами різних видів завдань: розв’язування

прикладних задач, виготовлення засобів навчання,

виконання вимірювальних робіт на місцевості,

написання дослідницьких та розрахунково-

графічних робіт, створення проектів тощо.

- Однією з ефективних форм навчальної діяльності з

формування в учнів основної школи навичок

математичного моделювання є гурткова робота.

В. В. Волошена стверджує [13], що педагогічно

доцільне й грамотне впровадження методичної системи

27

розвитку знань і вмінь математичного моделювання з

урахуванням психолого-педагогічних основ навчальної

діяльності та відповідно до принципу диференціації

навчання забезпечує належний рівень розвитку вмінь

математичного моделювання і підвищує ефективність

навчання математики у школі; сприяє більш якісному та

свідомому засвоєнню навчального матеріалу, надає

навчально-пізнавальній діяльності дослідницького,

творчого характеру, сприяє формуванню навичок і вмінь

самостійної роботи у старшокласників.

В. В. Волошеною [16] розглянуто особливості

планування роботи вчителя, структурування змісту

навчального матеріалу, вивчення теоретичного матеріалу,

пов’язаного з математичним моделюванням, розкрито роль

практичних занять у формуванні навичок і вмінь в учнів,

дібрано систему задач, сформульовано вимоги до неї та

описано методику її використання в процесі навчання

математичного моделювання, представлено програму

курсу за вибором «Математичне моделювання як метод

розв’язування прикладних проблем». Дослідниця

виокремила та обґрунтувала також дидактичні умови

розвитку вмінь математичного моделювання

старшокласників у процесі навчання природничо-

математичних предметів:

- наявність у старшокласників інтересу й потреби у

свідомому оволодінні методом математичного

моделювання;

28

- адекватна зумовленість змісту і форм організації

навчання методу математичного моделювання;

- забезпечення варіативності змісту навчання в

контексті розвитку вмінь математичного

моделювання;

- систематичність і послідовність пізнавальної

діяльності;

- наявність взаємоконтролю та самоконтролю

результатів навчально-пізнавальної діяльності;

- оцінювання сформованості у старшокласників

умінь математичного моделювання за результатами

діяльності;

- єдності навчальної, науково-дослідної діяльності у

процесі розвитку вмінь математичного

моделювання.

В. В. Волошена пропонує послідовність етапів у

системі навчання математичного моделювання:

- Вступні лекції з математичного моделювання, на

яких мотивується необхідність оволодіння методом

математичного моделювання, вводяться поняття

«модель», «математична модель», «моделювання»,

«математичне моделювання», пропонується

спрощена евристична схема діяльності

математичного моделювання, наводяться приклади

розв’язування задач за цією схемою.

- Лекції, практичні, семінарські та лабораторні

заняття (з кожного конкретного природничого

предмета) з елементами математичного

29

моделювання, тобто розглядається застосування

матеріалу, що вивчається, до розв’язання

конкретних практичних проблем через математичне

моделювання або демонструється вирішення

практичних проблем через математичне

моделювання на конкретних математичних

моделях.

- Виконання проектів та робіт для Малої академії

наук із суміжних предметів з елементами

математичного моделювання.

- Спецкурси з математичного моделювання для учнів

старших класів, вступні лекції для ознайомлення

восьми- та дев’ятикласників із методом

математичного моделювання, відкриті семінарські

заняття тощо.

У дисертації О. О. Гриб’юк [25] зазначено: метод

математичного моделювання нагадує метод від

супротивного в геометрії, що дає право при формуванні

знань і вмінь використання методу математичного

моделювання скористатись концептуальним підходом,

запропонованим О. В. Погорєловим. У розглядуваному

випадку необхідними умовами вивчення та використання

методу математичного моделювання є наявність: знання

про досліджувані явища, що лежать в основі тієї чи іншої

прикладної задачі, яку потрібно розв’язувати; набору

математичних моделей, серед яких може бути придатна

для розв’язування розглядуваного типу прикладної задачі

на екологічні теми; умінь і навичок оперування

30

математичними поняттями, що використовуються при

побудові математичних моделей. Забезпеченню зазначених

умов сприяє використання математичного моделювання як

засобу формування понять (функції, рівняння та системи

рівнянь, різні види многогранників, тіла обертання тощо),

при цьому доцільним є, з одного боку, використання

такого виду моделей (матеріальні, ідеальні) з метою

формування визначених математичних понять, а з іншого

боку – з метою ознайомлення з такими моделями, якими

учні будуть користуватись на наступних етапах, де

передбачається розв’язування прикладних задач, зокрема

задач на екологічні теми, з використанням методу

математичного моделювання.

О. О. Гриб’юк [24] координатний і векторний

методи також відносить до методу математичного

моделювання та зазначає, що забезпечується готовність

старшокласників до використання методу математичного

моделювання як на рівні розв’язування прикладних задач

взагалі, зокрема екологічного змісту, так і для проведення

моделювання як процесу дослідження певного явища

навколишнього природного середовища, яке може бути не

представлене у вигляді конкретної задачі. На етапі

свідомого використання методу математичного

моделювання авторкою пропонується старшокласникам

виконувати графічно-розрахункові роботи і досліджувати

явища природи, проаналізувавши попередньо теми з

підручників хімії, біології, основ екології, та вказати

математичні поняття, які використовувались для опису

31

екологічних, хімічних, біологічних явищ. О. О. Грибюк

створено системи задач на екологічні теми та

запропоновано методику їх використання на уроках

математики в класах хіміко-біологічного профілю.

Необхідність такої системи задач обґрунтовується

авторкою методичними вимогами щодо реалізації

прикладної спрямованості курсу математики.

У дослідженнях О. О. Грибюк розглянуто питання

систематичного застосування математичного моделювання

протягом усього курсу вивчення дисциплін математичного

циклу. Виконання розроблених в процесі дослідження

графічно-розрахункових робіт на застосування методу

математичного моделювання при розв’язуванні задач

екологічного змісту і дослідження учнями старшої школи

різноманітних явищ природи в процесі навчання

математики надали можливість авторці зробити висновок,

що поряд з навчальною доцільно і можливо проводити і

виховну роботу – за допомогою математичного апарату

досліджувати природні явища та процеси.

Отже, українськими психологами та педагогами-

науковцями досить різнобічно досліджувалася проблема

формування умінь математичного моделювання в учнів.

Зокрема, визначено зміст навчання школярів методам

математичного моделювання; виділено основні етапи

побудови математичної моделі, їх операційний склад;

описано функції моделювання у навчально-виховному

процесі; розроблено методичні рекомендації навчання

учнів математичному моделюванню; запропоновано

32

шляхи використання інформаційно-комунікаційних

технологій у процесі навчання школярів

математичному моделюванню.

1.3. Методи, прийоми і засоби формування

здатності учнів до математичного моделювання

Математичні вміння учнів ми відносимо до

діяльнісного компонента їхньої математичної

компетентності. Сформованість конкретного уміння учня в

процесі навчання математики (наприклад, уміння

математичного моделювання) ми тлумачимо як знання

учнем відповідного способу діяльності, закріплене його

систематичним використанням та успішним застосуванням

у типових та нетипових ситуаціях. На нашу думку,

необхідною умовою формування вміння у процесі

навчання математики є свідоме засвоєння учнями

необхідних математичних знань, належний досвід їх

застосування у процесі виконання спеціально підібраних

вправ. Українськими психологами (Долинська Л. В.,

Коханова О. П., Максименко С. Д., Скрипченко О. В.,

Огороднійчук З. В., Сергєєнкова О. П., Столярчук О. А.,

Пасєка О. В., Павелків Р. В.) обґрунтовується, що

навчальна діяльність ― це свідома активність, яка

виражається системою дій, спрямованих на досягнення

визначеної навчальної мети.

Отже, під поняттям «формування умінь

математичного моделювання» ми розуміємо

33

педагогічно обґрунтований процес формування

здатності учня свідомо та успішно виконувати

діяльність, засновану на доцільному використанні

набутих знань математичного моделювання та

позитивного досвіду їх застосування.

Вибудовуючи спеціальну методичну систему

формування умінь математичного моделювання в учнів, з

максимальним урахуванням обґрунтованих психологами

вікових особливостей та інтересів учнів, вчитель

математики має використовувати спеціальні методи,

прийоми та засоби. Глибоке осмислення психолого-

педагогічних засад підвищення ефективності навчання

математики дозволяє виокремити наступні загальні

методичні рекомендації щодо формування умінь

математичного моделювання в учнів:

слід наочно та переконливо демонструвати власне

захоплення процесом пізнання;

іноді варто викликати в учнів реакцію незгоди з

інформацією, що викладається, та використати цей

прийом для того, щоб спонукати учнів до

обґрунтування висновків;

варто підвищити увагу не лише до результату, а й

до кожного етапу процесу розв’язування задачі.

Важливо помітити і звернути увагу на кожен

маленький, але успішний, крок старшокласника на

шляху до розв’язання задачі;

важливо активно використовувати різні

психологічні прийоми активізації діяльності учнів,

34

підтримуючи їх репліками типу: «Хороша ідея…»,

«Цікавий підхід, але…», «Яка неочікувана

оригінальна відповідь…»;

не заперечуючи необхідності корекції помилок,

варто частіше акцентувати увагу на тому, що

виконано учнями правильно, вдало. Успіх

народжує успіх, тому слід наголошувати на

досягненнях, щоб сприяти новим успіхам. Учні

мають усвідомити, що успіх в будь-якій справі

залежить від багатьох факторів серед яких

визначальними є віра у власні здібності та

наполегливість;

важливо, щоб учитель математики розумів місце і

роль, можливості математичного моделювання в

системі інтелектуального розвитку учня;

доцільно вибудувати і реалізувати цілісну

методичну систему формування і розвитку

компетентності математичного моделювання учнів

з урахуванням психолого-педагогічних аспектів.

Якщо акцентувати увагу на спеціальних умовах

формування та розвитку в учнів умінь математичного

моделювання, то в методичній літературі, в першу чергу,

йдеться про розв’язування прикладних задач.

Українськими науковцями проведено низку ґрунтовних

досліджень прикладної спрямованості навчання

математики в школі. Найбільша кількість публікацій

стосується прикладної спрямованості навчання математики

в основній школі. Щодо формування вмінь математичного

35

моделювання в учнів старшої школи, включаючи питання

прикладної спрямованості, то тут значно менший обсяг

публікацій. Серед ґрунтовних досліджень виокремимо

дисертаційне дослідження А. В. Прус. Зокрема, за

результатами її дисертації опубліковано посібник

«Прикладна спрямованість стереометрії. 10-11 класи» [77],

в якому є хороша добірка прикладних задач, які згруповані

за основними темами, що дає можливість реалізувати

прикладну спрямованість стереометрії в старшій школі з

довільним профілем навчання. За результатами

дисертаційних досліджень Л. О. Соколенко та Л. Г. Філон

опубліковано посібник «Прикладні задачі природничого

характеру в курсі алгебри і початків аналізу: практикум»

[85], в якому є добірка прикладних задач, що дає

можливість реалізувати прикладну спрямованість навчання

алгебри в старшій школі.

На нашу думку, методична майстерність учителя

математики в конструюванні систем задач, з урахуванням

різних аспектів організації навчально-пізнавальної

діяльності учнів, має визначальне значення для

ефективності процесу навчання учнів математичному

моделюванню. Загальновідомі нині проблеми навчання

математики в школі, на нашу думку, мають місце і тому,

що в процесі навчання вчителями математики

використовуються скоріше певні набори задач, а не

методично виважені системи задач.

Згідно вікісловника, систе́ма (від дав.-гр. Σύστημα —

«сполучення», «ціле», «з'єднання») — множина

36

взаємопов'язаних елементів, що утворюють єдине ціле,

взаємодіють із середовищем та між собою, і мають мету.

Відповідно система задач у навчанні математики – це

певна спеціальна вибірка задач, здійснена вчителем

математики, для забезпечення сприйняття, засвоєння та

закріплення певної навчальної теми. Відповідно будемо

розрізняти системи задач сконструйовані вчителем для

уроку математики, або системи задач сконструйовані

вчителем для групи уроків математики у процесі яких

вивчається певна тема – тематичні системи задач.

Чим відрізняється, наприклад, система задач на

урок від традиційної добірки задач на урок? Спочатку

проаналізуємо можливі відповіді на це питання в

педагогічній літературі.

В. В. Гузєєв [26] зміст поняття «система задач»

розкриває наступним чином: сукупність завдань до блоку

уроків з теми, що вивчається, яка задовольняє вимоги:

повнота (наявність завдань на всі поняття, що

засвоюються); наявність ключових задач, тобто завдань,

які є своєрідними «ключами» для розв’язування інших;

взаємозв’язність задач (від підготовчих завдань до

узагальнювальних); поступове нарощування складності

завдань; цільова достатність (виважена кількість задач для

досягнення навчальної мети); психологічна комфортність

(врахування рівня навченості, типів мислення учнів та

інших психологічних аспектів).

Г. Г. Зайцева [32] пропонує пам’ятку для аналізу

педагогічної цінності кожної задачі в системі задач: Яку

37

навчальну мету переслідує дана задача? Які елементи

математичної освіти маються на увазі? Чи необхідна саме

ця задача? Чому на цьому місці саме ця задача? Чому

вибрана така фабула завдання? Чому взяті такі, а не інші

числові дані? Чи відповідають числові дані реальній

ситуації, в якій могла б виникнути аналогічна задача? Чи

цікава задача для учнів, чи коректна постановка питання,

чи викликає вона в учнів інтерес до відповіді або способу

розв’язування, чому саме? Чи зможе учень самостійно

виконати завдання? Що він для цього повинен знати,

вміти, пам'ятати, уявляти собі? Якщо учень не зможе цього

зробити, про що буде свідчити цей факт? Чим і в якій мірі

учням може і повинен допомогти вчитель? Як це завдання

пов'язане з попередньою і наступною навчальною роботою

учня?

Нами виокремлено п’ять вимог до систем задач на

урок математики та тематичних систем задач, а саме

вимоги: цілісності, інтегративності, адитивності,

методичної доцільності та методичної відповідності.

Властивість цілісності пов'язана з навчальною

метою, для досягнення якої створюється система задач.

Властивість інтегративності системи задач означає

наявність системоутворюючих, системозберігаючих

факторів. Властивість адитивності (незалежності) системи

задач виявляється у відносній незалежності задач одна від

одної. Властивість методичної доцільності системи задач

пов'язана з розвивальними та виховними цілями, для

досягнення яких створюється система задач. Властивість

38

методичної відповідності означає врахування вікових

особливостей, рівнів математичних знань та умінь учнів,

умови диференціації навчання, наявність або відсутність

вмотивованості та зацікавленості учнів.

Можна стверджувати, що будь-яка система задач

знаходиться завжди між крайніми станами абсолютної

цілісності та абсолютної адитивності, а також між

крайніми станами абсолютної методичної доцільності та

абсолютної методичної відповідності. В будь-який момент

система задач, що конструюється, може характеризуватися

вищим ступенем прояву однієї з властивостей або

тенденцією до її посилення чи послаблення.

Отже, основним засобом розвитку вмінь

математичного моделювання в учнів профільної школи ми

вважаємо спеціальну систему задач сконструйовану

вчителем математики, з урахуванням вимог цілісності,

інтегративності, адитивності, методичної доцільності та

методичної відповідності. Наведемо конкретний приклад

системи задач для уроку систематизації та узагальнення

знань з теми «Площі поверхонь многогранників»:

1. Необхідно, щоб у приміщенні на кожну людину

приходилося не менше 6 м3 повітря. Кімната має

довжину 5 м, ширину 6 м та висоту 2,6 м. Бригада

будівельників здійснює ремонтні роботи. Яка

кількість людей може одночасно знаходитися в цій

кімнаті без шкоди для здоров’я?

2. Потрібно побілити стелю та стіни в іншій кімнаті,

яка має розміри 7 м х 3,5 м х 2,6 м. У кімнаті є двоє

39

вікон шириною 2,3 м і висотою 1,3 м та двері

висотою 2,1 м та шириною 1,1м. Скільки

коштуватиме робота, якщо побілка 1 м2 коштує 10

грн?

3. Стіни кімнати (див. задачу №1) потрібно обклеїти

шпалерами. В кімнаті є одне вікно шириною 2,3 м і

висотою 1,3 м та двоє дверей шириною 1,1 м і

висотою 2,1м. Скільки потрібно рулонів шпалер для

виконання ремонту, якщо довжина кожного рулону

10 м і ширина 53 см?

4. Для обклеювання шпалерами стін третьої кімнати

використано 93,5 м2 шпалер. Вікна та двері

займають 15,1 м2. Бордюр, яким обклеєно кімнату

вздовж усіх стін, має довжину 25,5 м. Скільки

коштуватиме фарбування підлоги цієї кімнати,

якщо за фарбування масляною фарбою кожного

квадратного метра беруть 20 грн і якщо висота

кімнати менша від її ширини на 1,42 м?

5. Потрібно з’єднати стінною проводкою вимикач і

лампочку в кімнаті 7 м х 3,5 м х 2,6 м. Вимикач

знаходиться посередині торцевої стіни на висоті 1 м

від підлоги, а лампочка - посередині протилежної

сторони на висоті 1 м від стелі. Якою найкоротшою

може бути довжина проводки?

6. Скільки треба заплатити за дерево для виготовлення

шафи без ніжок висотою 2 м, шириною 1,5 м та

глибиною 0,5 м, якщо 1 м2 матеріалу коштує: для

передньої частини - 50 грн, для бічних стінок - 38

40

грн, для задньої стінки - 30 грн, для дна, верха та

чотирьох поличок - 26 грн. Для виготовлення шафи

треба також придбати 4 зубчасті дерев’яні рейки

загальною вартістю 108 грн.

7. Визначити місткість трикутної шафки у ванній

кімнаті, якщо її основою є прямокутний трикутник,

катети якого дорівнюють 30 см і 40 см, а площа

найбільшої грані на 1700 см2 більша, ніж площа

найменшої грані.

Легко помітити, що вказана вибірка задач

відповідає певній конкретній життєвій ситуації, а саме –

ремонту квартири. Ця побутова ситуація, очевидно, добре

знайома учням старшої школи, що важливо з точки зору

методичної доцільності та методичної відповідності

вказаної системи задач. Мова йде про формування не

просто математичних знань та умінь, а математичної

компетентності учнів (здатності застосовувати

математичні знання та уміння та переконаності в

необхідності цих знань та умінь). Кожна задача в цій

системі не є випадковою, можна обґрунтувати місце і роль

кожної з них і з точки зору навчальних та розвивальних

цілей, і з точки зору розвитку в учнів умінь математичного

моделювання. Особливу увагу звернемо на наявність в цій

системі так званих «відкритих задач» - задач з

неоднозначною умовою, або з різними варіантами

правильних відповідей. До таких, зокрема, відносяться

задачі №1 та №7. Задачі №1 та №5, хоча не мають прямого

відношення до площі поверхні многогранника, виконують

41

важливі функції у цій системі відповідно до вимог

цілісності, інтегративності, адитивності. Потужні

можливості для розвитку критичного мислення учнів

приховані в задачі №4.

Важливо ґрунтовніше, аналізувати та відбирати

задачі, розуміти і розкривати їхні навчальні та

розвивальні функції, глибше продумувати методику

розв’язування кожної задачі на уроці. Формування та

розвиток готовності та здатності учнів до

математичного моделювання значно залежить від

майстерності вчителя математики створити та

оптимально використати в процесі навчання цілісну

систему задач, в якій чітко вбачаються вчителем

навчальні, розвивальні, виховні та прогностично-

діагностичні функції.

Особливістю організації навчально-виховного

процесу в школі в сучасних умовах є орієнтація на

досягнення всіма учнями обов'язкового рівня математичної

підготовки і створення умов для навчання на більш

високому рівні тим учням, хто має здібності та інтерес до

математики. Тому особливу увагу потрібно приділяти

диференційованому навчанню та індивідуальній роботі з

учнями не тільки на уроках, а й у позаурочний час.

Невід'ємною частиною процесу навчання математики, що є

складним процесом впливу на свідомість і поведінку учнів,

поглиблення та розширення їхніх знань і вмінь, є

позакласна робота з математики.

Позакласна робота з математики – це заняття, які

42

проводяться в позаурочний час, ґрунтуються на принципі

добровільної участі, мають на меті підвищення рівня

математичного розвитку учнів і цікавості до предмета за

рахунок поглиблення і розширення базового змісту

програми та урізноманітнення прийомів активізації

навчально-пізнавальної діяльності учнів. Найважливішою

метою проведення позакласної роботи з математики є

пробудження та розвиток стійкого інтересу учнів до

навчання математики. Основними завданнями позакласної

роботи з математики є: розвиток математичних здібностей

учнів (логічного мислення, просторових уявлень і уяви,

алгоритмічної культури, пам'яті тощо); формування

позитивних рис особистості (розумової активності,

пізнавальної самостійності, пізнавального інтересу,

потреби в самоосвіті, здатності адаптуватися до умов, що

змінюються, ініціативи, творчості та ін.) та навичок

самостійно і творчо працювати з учбовою та науково-

популярною літературою з математики; ознайомлення з

історією математики та досягненнями сучасної

математичної науки; прищеплення учням певних навичок

науково-дослідного характеру; вивчення застосування

математики в різних галузях науки і техніки та її роль у

пізнанні навколишнього світу; формування вмінь

математичного моделювання ситуацій під час дослідження

явищ природи і суспільства.

Існують різноманітні форми позакласної роботи з

математики: математичні гуртки, математичні

факультативи, математичні турніри, математичні естафети,

43

математичні конкурси, математичні олімпіади,

математичні екскурсії, тижні математики, математичні

КВК, позакласне читання науково-популярної літератури з

математики, математичні вечори, математична преса

(класна і шкільна математичні газети, бюлетені, стенди,

стінгазети, тощо), шкільні наукові математичні конферен-

ції, математичні інтелектуальні ігри, виготовлення

математичних моделей тощо. Зазначені форми роботи,

особливо їх елементи, часто переплітаються, між ними

складно провести чітку межу.

Проведення позакласної роботи з математики має

здійснюватися на основі педагогічних принципів навчання

та виховання. Дбаючи про дотримання принципу

науковості, вчитель має забезпечити дотримання

принципів індивідуального підходу до учнів та

емоційності навчання, що розкриває учням своєрідну красу

математики, дає їм змогу відчути радість пізнання, перших

наукових пошуків і перемог. Дотримання вказаних

принципів неможливе без дотримання принципу зв'язку з

життям, що має стимулювати учнів до активної

пізнавальної діяльності, оскільки вони розумітимуть, що

набуті знання і практичні навички будуть потрібні їм у

майбутньому житті.

Значні можливості для формування здатності учнів

до математичного моделювання вбачаємо ми в умовах

позакласної роботи з математики. Математичне

моделювання широко використовується для розв'язування

задач різних галузей науки, економіки, виробництва.

44

Практичні вміння і навички з математики необхідні,

зокрема, для майбутньої професійної діяльності

випускників школи. Формування здатності учнів до

математичного моделювання має бути одним з

першочергових завдань, які має ставити перед собою

вчитель математики. Однак досягти бажаного результату в

повній мірі неможливо використовуючи лише уроки

математики в школі. Однією із найбільш ефективних форм

позакласної роботи, у цьому контексті, ми вважаємо

гурткову роботу з учнями. Основою організації і

проведення математичного гуртка в школі має бути

принцип добровільності та доступності. У роботі гуртка

мають брати участь усі охочі, а не лише учні, які мають

високий рівень навчальних досягнень з математики. Як

свідчить наш досвід, досить часто трапляється, що у роботі

гуртка бажають взяти участь учні, які на уроках математи-

ки показують зовсім невисокі результати. Нерідко такі учні

досить успішно працюють на заняттях математичного

гуртка. Переконані, що необхідно більш уважно ставитися

до цих учнів, намагатися закріпити й розвинути їхній

інтерес до математики, дбати, щоб робота під час заняття

була для них посильною і цікавою. Звісно, наявність серед

членів гуртка учнів, які мають низький рівень навчальних

досягнень з математики, певним чином утруднює роботу

вчителя, але шляхом індивідуалізації завдань, що

пропонуються учням, можна деякою мірою послабити ці

труднощі. Під час організації роботи математичного гуртка

необхідно переконати учнів, що гурткова робота з

45

математики не має на меті дублювання змісту класних

занять. Учні мають усвідомити цілі і характер власної

діяльності в процесі засідань математичного гуртка. На

першому засіданні необхідно обговорити зміст і скласти

план роботи гуртка, обрати старосту, домовитися про

права й обов'язки членів гуртка, розподілити обов'язки. До

організації роботи гуртка корисно залучати учнів:

доручати їм підготовку повідомлень із теми, підбір задач і

вправ, підготовку довідок історичного характеру,

виготовлення моделей, рисунків тощо. На засіданнях

математичного гуртка вчителеві варто створити атмосферу

вільного обміну думками й активної дискусії. Метою

роботи математичного гуртка є збудження творчого

потенціалу школярів, розвиток здібностей до плідної

розумової діяльності. Основне завдання вчителя — за

допомогою раціонально й ретельно підібраних завдань

розкрити значення математики, силу її ідей і методів,

забезпечити умови розвитку прийомів мислення,

формувати інтерес і здатність учнів до математичного

моделювання. Для того щоб учні добре засвоювали нові

знання і не втрачали інтересу до гурткової роботи, кожній

ретельно підібраній темі доцільно присвячувати 2-3

заняття, використовувати завдання ігрового і практичного

характеру, різні прийоми активізації діяльності учнів.

Нарівні з традиційними слід використовувати й активні та

інтерактивні прийоми: мозковий штурм, математичний бій,

карусель, марафон та інші. На нашу думку, варто

практикувати домашні завдання за тематикою гурткової

46

роботи. Серед завдань мають бути як прості, аналогічні

тим, що розглядалися на занятті, так і більш складні, які

вимагають від учнів певних зусиль, наполегливості або

навіть дотепності. Такі завдання допоможуть не дуже

сильним, але старанним учням добитися певних успіхів і

порадіти здобутим результатам, а з іншого боку, зрозуміти,

що не все так просто. Кожне завдання, запропоноване для

виконання вдома, обов'язково треба розібрати на

наступному засіданні гуртка, обговорити всі способи

розв'язання, які знайдені учнями. При методично

грамотній роботі вчителя, викликаючи інтерес до

предмета, математичні гуртки сприяють розширенню

світогляду, розвитку творчих здібностей учнів, прище-

пленню навичок самостійної роботи і тим самим

підвищенню якості математичної підготовки учнів.

Деякі особливості нашого педагогічного досвіду в

організації і проведенні математичних гуртків з метою

покращення умов формування здатності учнів до

математичного моделювання розкриті нами в підрозділі

2.5.1 цього посібника. В умовах математичного гуртка

було організоване виконання учнями навчально-

дослідницького проекту на тему «Геометрія і футбол»

(див. стор. 177). За результатами проекту були

підготовлені матеріали, які оформленні у вигляді

методичної розробки [40], що містить задачі, які

використовувалися на дистанційному етапі проекту з

детальними роз’ясненнями щодо їх розв’язання.

Представлена у методичній розробці також добірка задач,

47

які складені учнями-ліцеїстами. Довідковий матеріал,

підібраний разом з учнями впродовж виконання проекту,

також розміщений у згаданому посібнику.

Зусилля вчителів математики, спрямовані на якісну

позакласну роботу, мають значний вплив на мотиви та

результати навчання математики учнів в школі. Важливо

забезпечити таку взаємодію між класними та

позакласними заняттями з математики, щоб весь

навчально-виховний процес був єдиним цілим, коли класні

та позакласні заняття, зберігаючи свої специфічні

особливості, цілеспрямовано впливають один на одного,

сприяючи підвищенню спільної ефективності навчання,

формуванню та розвитку математичної компетентності

учнів.

Широке і системне застосування методу

математичного моделювання не лише на уроках

математики, а й у позакласній роботі має стати

потужним засобом формування в учнів навичок

використання математичних знань та умінь.

48

РОЗДІЛ 2. МЕТОДИЧНА СИСТЕМА ФОРМУВАННЯ

В УЧНІВ УМІНЬ МАТЕМАТИЧНОГО

МОДЕЛЮВАННЯ

2.1. Планування основних етапів формування в

учнів умінь математичного моделювання

2.1.1. Етап пропедевтики

Мета: формування початкових уявлень учнів про

математичне моделювання.

Завдання:

сприяння виробленню вмінь в учнів виділяти форму

і розміри як основні властивості геометричних

фігур;

ознайомлення з текстовими задачами та ілюстрація

практичного застосування математичних знань;

формування в учнів первинних умінь

використовувати математичні моделі під час

розв’язування текстових задач;

Результати навчання:

Розв'язує сюжетні задачі з реальними

даними щодо: використання природних ресурсів рідного

краю; безпеки руху; знаходження периметрів та площ

49

земельних ділянок, підлоги класної кімнати, об'єму

об'єктів, що мають форму прямокутного паралелепіпеда;

розрахунку сімейного бюджету, можливості здійснення

масштабних покупок; розрахунків, пов'язаних із

календарем і годинником тощо.

Розв'язує сюжетні задачі на: розрахунок

відсоткового відношення різних величин (наприклад,

працездатного населення регіону, калорій тощо);

прийняття рішень у сфері фінансових операцій,

розрахунок власних та родинних фінансів, комунальних

платежів; вміння розпоряджатись власними коштами, в

простих ситуаціях оцінювати очікувані та реальні витрати

тощо

2.1.2. Етап базової школи

Мета: формування знань і вмінь учнів щодо математичного

моделювання та його застосувань.

Завдання:

ознайомлення з методами математики як ефективного

засобу моделювання і дослідження процесів і явищ

навколишнього світу;

забезпечення оволодіння учнями математичною мовою,

розуміння ними математичних моделей як таких, що

дають змогу описувати загальні властивості об’єктів,

процесів та явищ;

50

формування здатності застосовувати математичні

методи у процесі розв’язування практичних задач,

використовувати математичні знання і вміння під час

вивчення інших навчальних предметів;

формування системи понять, умінь для характеристики

залежностей між величинами, опису явищ і процесів;

забезпечення оволодіння учнями уміннями моделювати

за допомогою рівнянь реальні ситуації, пояснювати

здобуті результати;

формування в учнів знань про геометричні фігури на

площині, їх властивості, а також умінь застосовувати

здобуті знання у навчальних і життєвих ситуаціях;

формування в учнів уявлення про найпростіші

геометричні фігури в просторі та їх властивості, а

також первинних умінь застосовувати їх у навчальних і

життєвих ситуаціях;

формування в учнів знань про основні геометричні

величини (довжину, площу, об’єм, міру кута), а також

уміння застосовувати здобуті знання у навчальних і

життєвих ситуаціях.

Результати навчання:

Складає та розв'язує задачі на: пряму

пропорційність на основі життєвого досвіду; побудову

графіків при моделюванні реальних процесів з

використанням лінійної функції тощо.

51

Розв'язує сюжетні задачі: на рух з точки зору його

безпеки; на розпорядження власними та родинними

фінансами; фінансового змісту крізь призму історичних

подій тощо.

Розв’язує вправи, що передбачають: складання і

розв’язування квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться

до них, як математичних моделей прикладних задач.

Розв'язує сюжетні задачі на: використання

взаємозв'язків економічних явищ; види та розрахунки

податків, платежів; рух; продуктивність праці; вартість

товару; сумісну роботу; суміші та сплави тощо.

Розв’язує вправи, що передбачають: складання і

розв’язування систем рівнянь з двома змінними як

математичних моделей прикладних задач.

Розв’язує сюжетні задачі на: розрахунок та аналіз

фінансової спроможності родини; розрахунок обсягу

сплачених податків; прийняття рішень стосовно особистих

та колективних фінансових питань тощо.

Розв’язує задачі практичного змісту на:

знаходження відстані до недоступної точки; встановлення

рівновіддаленості об’єктів на поверхні Землі;

використання жорсткості трикутника в будівництві тощо.

Розв’язує задачі практичного змісту на:

визначення відстані до недоступної точки; висоти

предмета; знаходження кутів (кута підйому дороги,

відкосу, кута, під яким видно деякий предмет) тощо.

Розв’язує задачі на: знаходження невідомих

елементів реальних об’єктів; знаходження площ реальних

52

об’єктів, покриття площини правильними

многокутниками тощо.

2.1.3. Етап профільної школи

Мета: формування компетентностей учнів у

математичному моделюванні та оволодінні апаратом

математичного моделювання при розв’язуванні

прикладних задач.

Завдання:

створення запасу математичних моделей, які

описують реальні явища і процеси, мають

загальнокультурну значущість, а також вивчаються

у суміжних предметах;

формування в учнів знань та вмінь, які необхідні

для дослідження цих математичних моделей;

навчання учнів побудові і дослідженню

найпростіших математичних моделей реальних

явищ і процесів.

Результати навчання:

Моделює реальні процеси за допомогою степеневих

функцій.

Застосовує тригонометричні функції до опису

реальних процесів.

53

Розуміє значення поняття похідної для опису

реальних процесів, зокрема механічного руху.

Розв’язує нескладні прикладні задачі на

знаходження найбільших і найменших значень реальних

величин.

Застосовує показникову та логарифмічну функції

до опису реальних процесів.

Застосовує ймовірнісні характеристики

навколишніх явищ для прийняття рішень.

Застосовує відношення паралельності між прямими

і площинами у просторі до опису відношень між об’єктами

навколишнього світу.

Застосовує відношення між прямими і площинами

у просторі, відстані і кути у просторі до опису об’єктів

навколишнього світу.

Розв’язує задачі на знаходження відстаней та кутів в

просторі, зокрема практичного місту.

Застосовує вектори для моделювання і обчислення

геометричних і фізичних величин.

Розв’язує задачі на обчислення об’ємів і площ

поверхонь геометричних тіл, зокрема прикладного змісту.

54

2.2. Система прикладних задач для формування

умінь математичного моделювання

2.2.1. Задачі на знаходження найменших або

найбільших значень величини

1. Два лижних загони йшли з однаковою швидкістю;

один пройшов 112 км, другий – 96 км. Скільки часу

йшов кожний загін, якщо їх швидкість була

найбільша з усіх можливих швидкостей, що

виражаються числом цілих кілометрів за годину?

2. У продавчині 42 яблука, 60 абрикосів і 90 груш. Вона

вирішила розділити їх на однакові фруктові набори.

Яку найбільшу кількість таких наборів вона могла б

зробити з усіх цих фруктів?

3. Автобаза повинна виділити в розпорядження

хлібзаводу не менше 8 машин вантажопідйомністю

по 3 тони і не менше 6 машин по 5 тонн. Усього база

може виділити не більше 15 машин. Скільки машин

по 3 і 5 тонн треба виділити, щоб їх загальна

вантажопідйомність була найбільшою?

4. (ЗНО 2017) В торбинці лежать 3 цукерки з молочного

шоколаду та m цукерок з чорного шоколаду. Усі

цукерки однакової форми і розміру. Якого

найменшого значення може набувати m, якщо

ймовірність намагання витягнути з торбинки цукерки

з молочного шоколаду менша за 0,25?

55

5. Є квадратний лист жерсті зі стороною 60 см. Знайдіть

розміри квадратів, які треба вирізати в кутах даного

листа, щоб з одержаної заготовки зробити коробку

найбільшого об'єму.

Рис.2.1.

6. Треба відгородити два пасовища у формі рівних

прямокутників зі спільною стороною, щоб сума їх

площ дорівнює 6 га. Знайдіть найменшу можливу

довжину огорожі.

7. Якими повинні бути розміри басейну об'ємом 32 м3 з

квадратним дном і вертикальними стінками, щоб на

його облицювання пішло найменше плиток?

8. Приватний пляж планують огородити так, як

забражено на малюнку (від річки огорожа не

ставиться). Для цього завезено 1000 м огорожі. Яку

найбільшу площу (у гектарах) може мати

огороджений таким чином пляж?

9. Заготовлено матеріал на 240 м огорожі двох

суміжних ділянок прямокутної форми, периметр яких

рівні. Які ширини і довжини повинні мати ділянки,

щоб їх площа була найбільшою?

56

10. Відстань між двома пунктами А і В 80 км. На шахті А

за день добувають 300 т руди, на шахті В 150 т. Де

доцільно будувати завод для переробки руди, щоб за

умови її перевезення кількість тонн на кілометр була

найменшою?

2.2.2. Задачі геометричного змісту

11. Спостерігач знаходиться на відстані 50м від вежі,

висоту якої хоче знайти. Основу вежі він бачить під

кутом 10° до лінії горизонту, а вершину під кутом 45°

до лінії горизонту. Яка висота вежі?

12. Муха опинилася в банці з-під цукру. Банка має

форму куба. Чи зможе муха послідовно обійти всі 12

ребер куба, не проходячи двічі по одному ребру, за

умови, що підскакувати та перелітати з місця на

місце муха не буде?

13. Яка повинна бути площа кабінету висотою 3,5 м для

класної кімнати, що вміщує 28 чоловік, якщо на

кожного учня потрібно 7,5 м3 повітря?

14. Піраміда Хеопса має форму правильної чотирикутної

піраміди, сторона основи якої дорівнює 230 м, а

висота близько 138 м. Знайдіть її об'єм в кубічних

метрах.

15. Воду, що знаходиться в циліндричній посудині на

рівні 12 см, перелили в циліндричну посудину, в два

57

рази більшого діаметра. На якій висоті буде

перебувати рівень води в другій посудині?

16. Одна циліндрична кружка вдвічі вища другої, зате

друга в півтора рази ширше. Знайдіть відношення

обсягу другої кружки до обсягу першої.

17. Воду, що заповнює всю конічну колбу висотою 12

см, перелили в циліндричну посудину, радіус основи

якої дорівнює радіусу кола конічної колби. На якій

висоті від основи циліндричної посудини буде

знаходитися поверхня води?

18. Мідний прямокутний паралелепіпед, ребра якого

рівні 20 см, 20 см і 10 см, переплавлений в кулю.

Знайдіть радіус кулі. (Прийміть π ≈3.)

19. Скільки потрібно взяти мідних куль радіуса 2 см,

щоб з них можна було виплавити кулю радіуса 6 см?

20. Знайдіть радіус кулі, який можна виплавити з трьох

мідних куль радіусів 3 см, 4 см і 5с м.

21. М'якоть вишні оточує кісточку товщиною, рівній

діаметру кісточки. Вважаючи кулястою форму вишні

і кісточки, знайдіть відношення об’єму м'якоті до

об’єму кісточки.

22. Профіль русла річки має форму рівнобедреної

трапеції, основи якої рівні 10 м і 6 м, а висота - 2 м.

Швидкість течії дорівнює 1 м / сек. Який об'єм води

проходить через цей профіль за 1 хв? Відповідь дайте

у кубічних метрах.

23. Квадратний аркуш паперу зі стороною 6 см

перегнули по пунктирним лініям, показаним на

58

малюнку, і склали трикутну піраміду. Знайдіть її

об’єм.

Рис.2.2.

24. Знайдіть об'єм фігури, зображеної на малюнку (всі

двогранні кути – прямі).

Рис.2.3.

25. Знайдіть об'єм фігури, зображеної на малюнку (всі

двогранні кути-прямі).

59

26. Знайдіть об'єм фігури, зображеної на малюнку (всі

двогранні кути-прямі).

Рис. 2.5.

27. У кожній грані мідного куба з ребром 6 см виконали

наскрізний квадратний отвір зі стороною квадрата 2

см. Знайдіть вагу частини що залишилась, вважаючи,

що питома вага міді приблизно дорівнює 0,9 г / см3.

Рис.2.6.

28. Діаметр Сонця приблизно в 400 разів більше

діаметру Місяця. У скільки разів об'єм Сонця більше

об’єму Місяця?

60

29. Від квадратного листа жерсті відрізали смугу

завширшки 25 см. Знайдіть початкові розміри листа,

якщо площа його частин утвореної після відрізання

смуги, дорівнює 4400 см2.

2.2.3. Задачі фізичного змісту

30. Товарний потяг довжиною 630 м та експрес

довжиною 120 м йдуть по двом паралельним коліям у

одному напрямку зі швидкостями 48,6 км/год та

102,6 км/год відповідно. Протягом якого часу експрес

буде обганять товарний потяг?

31. Два потяги йдуть назустріч один одному зі

швидкостями 36 км/год та 54 км/год. Пасажир у

першому потязі помічає, що другий потяг проходить

повз нього протягом 6 с. Яка довжина другого

потяга?

32. Теплохід довжиною 300 м рухається по прямому

курсу у стоячій воді зі швидкістю 1 . Катер, що має

швидкість 902 км/год, проходить відстань від

корми рухомого теплохода до його носу та назад за

37,5 с. Знайти швидкість теплохода .1

33. Корабель пливе на захід зі швидкістю . Відомо, що

вітер дме з південного заходу. Швидкість вітру на

палубі корабля дорівнює u0. Знайти швидкість вітру u

відносно землі.

61

34. Один потяг йшов першу половину шляху зі

швидкістю 80 км/год, а другу половину шляху зі

швидкістю 40 км/год. Другий потяг йшов першу

половину часу зі швидкістю 80 км/год, а другу

половину часу зі швидкістю 40 км/год. Яка середня

швидкість кожного потяга?

35. З Києва до Львова вирушає товарний потяг зі

швидкістю 45 км/год, а через 1 год у тому ж

напрямку вирушає пасажирський потяг зі швидкістю

81 км/год. Черед який час після відправлення

товарного потягу і на якій відстані від Києва

пасажирський потяг наздожене товарний?

36. Потяг довжиною 225 м, рухаючись зі сталою

швидкістю, проходить повз телеграфний стовп за

15 с. Скільки часу мине від моменту входження

тепловоза в тунель довжиною 450 м до моменту

виходу з тунеля останнього вагону ?

37. Парашутист спускається з постійною швидкістю

5 м/с. На відстані 10 м від землі у нього випав

предмет. На скільки пізніше за цей предмет

приземлиться парашутист? Опором повітря для

падаючого предмета знехтувати.

38. Два потяги пройшли однаковий шлях за однаковий

час, але перший потяг, рухаючись зі стану спокою,

пройшов весь шлях з прискоренням 3 см/с2, а другий

потяг половину шляху йшов зі швидкістю 18 км/год,

а іншу половину шляху – зі швидкістю 54 км/год.

знайти шлях, що пройшов кожний потяг.

62

39. Снаряд зенітної гармати, випущений вертикально

вгору зі швидкістю 800 м/с, досяг цілі через 6 с. На

якій висоті знаходився ворожий літак і якою була

швидкість снаряда при досягненні цілі?

40. Два велосипедиста стартують одночасно на дистанції

2,2 км. Середня швидкість на всьому шляху у 1-го

велосипедиста 10 м/с, у 2-го - 11 м/с. На скільки

секунд другий велосипедист випереджає першого?

41. Машиніст пасажирського потягу, що рухається зі

швидкістю 30 м/с, побачив товарний потяг, що йшов

на відстані 180 м зі сталою швидкістю 9 м/с у тому ж

напрямі. Машиніст відразу ж загальмував, причому

гальма викликали прискорення 1,2 м/с2. Чи станеться

зіткнення потягів?

42. Від пристані відправився за течією річки пліт. Через

5 год 20 хв від цієї ж пристані у цьому ж напрямку

рушив моторний човен, який через 20 км наздогнав

пліт. Яка швидкість плоту, якщо власна швидкість

моторного човна більша від швидкості плоту на

9 км/год?

43. З міста А в місто В виїжджає велосипедист, а через

три години з міста В виїжджає назустріч йому

мотоцикліст, швидкість якого втричі більша від

швидкості велосипедиста. Вони зустрічаються

посередині між А і В. Якби мотоцикліст виїхав через

дві години після велосипедиста, то зустріч відбулася

б на 15 км ближче до А. Знайти віддаль від А до В.

63

44. З пунктів А і В одночасно назустріч один одному

вийшли два пішоходи і зустрілись через 3 год 20 хв.

Скільки часу потрібно кожному з них, щоб пройти

цю відстань, якщо перший пройшов з А в В на 5 год

пізніше ніж другий з В в А?

45. 8 % усього шляху становлять 56 км. Визначте

довжину всього шляху?

46. Два лижних загони йшли з однаковою швидкістю;

один пройшов 112 км, другий – 96 км. Скільки часу

йшов кожний загін, якщо їх швидкість була

найбільша з усіх можливих швидкостей, що

виражаються числом цілих кілометрів за годину?

47. Відстань між двома містами дорівнює 420 км. З

одного міста до іншого виїхало одночасно дві

машини. Швидкість однієї з них на 10 км/год більша

за швидкість другого. Через що вона приїхала в

пункт призначення на 1 год раніше. Знайти

швидкість однієї машини?

48. Із двох міст, відстань між якими дорівнює 42 км,

одночасно в одному напрямку виїхали два

автомобілі. Перший автомобіль, який їхав позаду

другого, рухався зі швидкістю 70 км/год, а другий

автомобіль — зі швидкістю 56 км/год. Визначте,

скільки часу знадобиться першому автомобілю після

початку руху, щоб наздогнати другий?

49. Із порту одночасно вийшли два теплоходи: перший

рухався на південь, другий — на захід. Через 2 год

відстань між ними становила 60 км. Знайдіть

64

швидкість руху теплоходів, якщо теплохід, який ішов

на південь, рухався на 6 км/год швидше за теплохід,

який ішов на захід.

50. Драбина завдовжки 5 м стояла вертикально. Потім її

нижній кінець став переміщатися по підлозі зі сталою

швидкістю 2 м/с. З якою швидкістю в момент t

опускався верхній кінець драбини?

Рис.2.7.

2.2.4. Задачі стохастичного змісту

51. На фірмі працюють 8 аудиторів, із яких 3 – високої

кваліфікації, і 5 фінансистів, із яких 2 – високої

кваліфікації. У відрядження необхідно відправити

групу із 3 аудиторів і 2 фінансистів. Яка ймовірність

того, що в цій групі буде хоча б 1 аудитор високої

кваліфікації і хоча б 1 фінансист високої кваліфікації,

65

якщо кожен спеціаліст має рівні можливості поїхати

у відрядження

52. Ймовірність своєчасної сплати податків для першого

підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,6, для

третього – 2

3. Визначити ймовірність своєчасної

сплати податків не більше ніж одним підприємством.

53. Учень витягнув екзаменаційний білет із 25, які

лежали на столі. Знайдіть імовірність того, що номер

узятого білета: а) закінчується цифрою 5; б) ділиться

на 3; в) ділиться на 4.

54. У ящику лежать котушки ниток трьох кольорів:

7 білих, 11 червоних, 4 сині. Визначте ймовірність

того, що вийнята навмання котушка буде

нечервоною.

55. Середній вік одинадцяти футболістів команди

становить 21 рік. Під час гри одного з футболістів

було вилучено з поля, після чого середній вік решти

гравців став 20 років. Скільки років футболістові,

який залишив поле?

56. (ЗНО 2018) В Оленки є 8 різних фотографій з її

зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки

всього в неї є способів вибрати з них три фотографії

зі своїм зображенням для персональної сторінки

соціальні мережі та дві фотографії свого класу для

сайту школи?

57. (ЗНО 2016) У чайному кіоску в наявності є лише

розфасовані у коробки по 100 г листовий чорний чай

8 видів, серед яких є вид «чорна перлина». Покупець

66

вирішив придбати цьому кіоску для подарункового

набору три коробки чорного чаю трьох різних видів,

серед яких обов'язково повинно бути вид «чорна

перлина». Скільки всього в покупця є варіантів

такого придбання трьох коробок чаю для набору з

наявних у кіоску?

2.2.5. Задачі виробничого змісту

58. Криницю циліндричної форми, що має діаметр

135 см, а глибину 180 см треба викласти цеглою.

Скільки штук цеглин для цього буде потрібно, якщо

розмір цеглини 25х12х6,5 см.

59. Скільки коробок у формі прямокутного

паралелепіпеда розмірами 30 × 40 × 50 (см) можна

помістити в кузов машини розмірами 2 × 3 × 1,5 (м)?

60. Скільки дощок довжиною 3,5 м, шириною 20 см і

товщиною 20 мм вийде з чотирикутної балки

довжиною 105 дм, що має в перерізі прямокутник

розміром 30 см × 40 см?

61. Розміри цеглини 25 × 12 × 6,5 (см). Знайдіть вагу

однієї цеглини в грамах, якщо об'ємна вага цегли

дорівнює 1700 кг / м3.

62. Прямолінійна ділянка дороги шириною 10 м і

довжиною 100 м потрібно покрити асфальтом

товщиною 5 см. Скільки буде потрібно машин

асфальту, якщо об'ємна вага асфальту дорівнює

67

2,4 т/м3, а вантажопідйомність однієї машини –

5 тонн?

63. У циліндричну посудину, в якій знаходиться 6 дм3

води, опущена деталь. При цьому рівень рідини в

посудині піднявся в 1,5 рази. Чому дорівнює об'єм

деталі в кубічних дециметрах?

64. Чавунна труба має довжину 2 м і зовнішній діаметр

20 см. Товщина стінок труби дорівнює 2 см. Знайдіть

вагу труби, якщо питома вага чавуну приблизно

дорівнює 7,5 г / см3. Відповідь дайте у кілограмах.

(Прийміть π ≈3.)

65. Який обсяг фарби потрібно, щоб пофарбувати

зовнішню поверхню циліндричної труби діаметру 1 м

і довжиною 10 м шаром фарби в 1 мм? Відповідь

дайте у кубічних дециметрах. (Прийміть π ≈3.)

66. Який обсяг фарби потрібно, щоб пофарбувати

поверхню кулі радіуса 1 м шаром фарби в 0,5 мм?

Відповідь дайте у кубічних дециметрах. (Прийміть π

≈3.)

67. Знайдіть об'єм деталі, зображеної на малюнку,

складеної з двох частин циліндрів. (Прийміть π≈3).

68

Рис.2.8.

68. Знайдіть об'єм деталі, зображеної на малюнку,

вирізаної з циліндра. (Прийміть π ≈3.)

Рис.2.9.

69. Одна бригада може зорати все поле за 12 днів. Іншій

бригаді для виконання цієї самої роботи треба 75%

від цього часу. Після того, як протягом 5 днів

працювала тільки перша бригада, до неї приєдналась

друга, і обидві разом закінчили роботу. Скільки днів

працювали бригади разом?

70. Протягом року завод двічі збільшував випуск

продукції на одне і те саме число відсотків. Знайти це

число, якщо відомо, що на початку року завод

69

випускав щомісячно 600 виробів, а в кінці – 726

виробів.

71. Кусок сплаву міді з оловом загальною масою 12 кг

містить 45% міді. Скільки чистого олова треба

додати до цього куска сплаву, щоб одержаний новий

сплав містив 40% міді?

72. Дві бригади, працюючи одночасно, обробили ділянку

землі за 12 год. За який час могла б обробити цю

ділянку кожна з бригад окремо, якщо швидкості

виконання робіт бригадами співвідносяться як 3:2?

73. Зал для проведення конференцій містив х рядів по у

місць у кожному. Під час реконструкції до кожного

ряду додали 2 місця, і загальна кількість місць у залі

збільшилася від 54 до 72. Знайдіть x і y.

74. Мідь становить 25% сплаву. Скільки сплаву буде

містити 300 г міді?

75. До 8 кг 70 % розчину кислоти долили 2 кг води.

Визначте відсоткову концентрацію нового розчину.

76. Скільки необхідно змішати 10%-го і 15%-го розчинів

солі, щоб одержати 1 кг 12%-го розчину?

77. У 500 кг руди міститься деяка кількість заліза. Після

відділення від руди 200 кг суміші, яка в середньому

містить 12,5 % заліза, у решті руди вміст заліза

підвищився на 20 %. Скільки кілограмів заліза

лишилося в руді?

78. Маємо два сплави міді і цинку. Перший сплав

містить 9%, другий – 30% цинку. Скільки треба

70

взяти кілограмів першого сплаву , щоб отримати

сплав масою 300 кг, що містить 23% цинку?

79. Два дизайнери, працюючи разом, виконують

завдання за 11

5 год. Одному дизайнеру на виконання

цього завдання потрібно на 1 год більше, ніж іншому.

За скільки годин може виконати завдання кожен

дизайнер, працюючи самостійно?

80. Два робітники працюючи разом можуть виконати

виробниче завдання за 20 днів. За скільки днів може

виконати це завдання кожен із них працюючи

самостійно, якщо одному для цього потрібно на 9

днів більше ніж другому.

81. Дві бригади, працюючи разом, можуть виконати

деяке завдання за 6 днів. Перша бригада, працюючи

самостійно, може виконати це завдання за 10 днів. За

скільки днів виконає завдання друга бригада,

працюючи самостійно?

82. Скільки потрібно змішати 25 %-го й 40 %-го розчинів

солі, щоб одержати 34%-й розчин солі масою 50 кг?

83. (ЗНО 2018) У майстерні мали виготовити 240

стільців за n днів причому щодня планували

виробляти однакову кількість стільців. Однак, на

прохання замовника, завдання виконали на два дні

раніше запланованого терміну. Для цього довелося

денну норму виготовлення збільшити на чотири

стільці визначте n.

84. Дві бригади, що здійснюють роботи з утеплення

фасадів, працюючи разом, виконують усе завдання за

71

6 год. За скільки годин може виконати це завдання

кожна бригада, працюючи самостійно, якщо одній

бригаді на це потрібно на 5 год більше, ніж іншій

бригаді?

2.2.6. Задачі сучасного професійного змісту

85. Спортсменка виконала кілька стрибків у довжину,

досягнувши середнього результату 3,80 м. В

наступній спробі вона стрибнула на 3,99 м, а середня

довжина стрибка зросла до 3,81 м. На яку відстань

вона повинна стрибнути ще раз, щоб збільшити

середню довжину стрибка до 3,82 м?

86. Протягом вихідних днів до інтернет магазину

надійшло 72 замовлення. Менеджери Андрій і

Максим упродовж понеділка мають їх опрацювати.

Відомо, що за той самий час Андрій опрацьовує 6

замовлень, а Максим — 5 замовлень. Скільки

замовлень опрацьовує за 1 год кожний менеджер,

якщо всі замовлення Андрій може опрацювати на 1,5

год швидше, ніж Максим?

87. Перший менеджер має оформити 80 замовлень, а

другий — 56 таких самих замовлень. Перший

менеджер оформлював щогодини на 2 замовлення

більше, ніж другий, а закінчив свою роботу на 1 год

пізніше, ніж другий. Скільки замовлень оформлював

кожний менеджер щогодини?

72

88. Кожна з двох бригад має оновити інформацію на 24

біг-бордах. Перша бригада щогодини оновлювала x

біг-бордів, друга бригада — y біг-бордів. Відомо, що

перша бригада щогодини встигала оновити на 1 біг-

борд більше, ніж друга, і закінчила роботу на 2 год

раніше від неї. Запишіть систему рівнянь для

визначення x і y. Знайдіть x і y.

89. Тренер хоче скласти графік тренувань на наступні

декілька місяців. Він планує проводити заняття тричі

на тиждень у одні й ті самі дні. Він не хоче

працювати два дні підряд. Скількома способами він

може спланувати собі графік тренувань?

90. Перший менеджер має надати 84 консультації по

телефону, а другий — 96 таких консультацій. Другий

менеджер надавав щогодини на 4 консультації

більше, ніж перший, і закінчив свою роботу на 1 год

раніше від першого. Скільки консультацій надавав

кожний менеджер щогодини?

91. А В зв’язку з подорожчанням бензину у таксиста

постало запитання чи варто продовжувати займатися

цією справою. Для розрахунку він взяв останній

місяць, за який він проїхав 4000 км. Вартість 1 літра

бензину – 32 грн. Середній розхід бензину на 100 км

складає 9 літрів. Крім розходів на пальне, він

витратив 400 грн на паливно-мастильні матеріали та

1800 грн. на амортизацію.

92. А

Постачальник привіз на ринок 13 ящиків мандарин

по 7 кілограм в кожному, які після транспортування

73

розділив на три сорти. Він запропонував реалізатору

продавати мандарини першого сорту по 40 грн,

другого – по 30 грн, третього – по 20 грн за кілограм.

Виручка від продажу всіх мандарин склала 3290 грн.

Відомо, що маса мандарин 2-го сорту менше маси

мандарин 1-го сорту на стільки ж відсотків, на

скільки відсотків маса мандарин 3-го сорту менше

маси мандарин 2-го сорту. Чи може постачальник

дізнатися скільки кілограмів мандарин 2-го сорту

продав реалізатор? *Скільки кілограмів мандарин

кожного сорту було продано?

93. А

Однією з інноваційних технологій сучасності є

панорамні ліфти. Будівельна компанія закупила

звичайні та панорамні ліфти. Кількість звичайних

ліфтів відноситься до кількості панорамних як 3:2.

Відомо, що загальна кількість закуплених ліфтів

може виражатися одним із чисел: 23, 35, 32, 44, 48,

51. Укажіть це число.

94. Зарплата водія становить 5400 грн. Авансом йому

виплатили 40% зарплати. Яку суму отримав водій?

95. Сторожеві із зарплати 5800 грн. виплатили авансом

2320 грн. Який відсоток зарплати він отримав?

96. У Вінницькому музеї моделей транспорту

представлений макет автомобіля, побудованого у

відношенні 1:87 до оригіналу, має висоту 2 см. Якою

є висота автомобіля-оригіналу?

97. Система навігації літака інформує пасажира про те,

що політ проходить на висоті 37 000 футів. Виразіть

74

висоту польоту в метрах. Рахуйте, що 1 фут дорівнює

30,5 см.

2.2.7. Задачі побутового змісту

98. За 15 листівок з конваліями і 4 листівки з півоніями

заплатили 37 грн. Якщо б купили 5 листівок з

півоніями, то заплатили б на 10 грн більше, ніж за 1

листівку з конваліями. Скільки коштують листівки

кожного виду?

99. У першому будинку 36 квартир, а в другому — 50. У

другому будинку поверхів на 2 менше, а квартир на

кожному поверсі на 2 більше, ніж у першому

будинку. Знайдіть кількість поверхів у кожному

будинку та кількість квартир на кожному поверсі.

100. Учень прочитав із 400 сторінок книги 40 %. Скільки

сторінок прочитав учень?

101. У класі 30 учнів, 20% з них навчаються у музичній

школі. Скільки учнів навчаються у музичній школі?

102. Учні школи могли обрати або гурток англійської, або

гурток французької мови, або взагалі не відвідувати

жоден. 35% учнів, що записалися у гуртки, обрали

гурток англійської. 13% учнів школи обрали гурток

французької мови. Який відсоток учнів школи

записалися у гуртки?

103. Після того, як Сергій витратив 40% усіх своїх грошей

на купівлю книжки, а 2/3 решти – на купівлю

75

зошитів, у нього залишилося 3 грн. скільки грошей

було у Сергія спочатку?

104. У першому бідоні було молоко, масова частка жиру

якого становила 3%, а в другому – вершки жирністю

18%. Скільки треба взяти молока і скільки вершків,

щоб отримати 10л молока з масовою часткою жиру

6%?

105. У свіжих грибах 90% води, у сушених – 20% води. На

скільки відсотків зменшується маса грибів при

висушуванні?

106. Ціна товару – 1200 грн. Якою стане ціна після

зниження на 15 %?

107. Стіл і стілець коштували разом 650 грн. після того як

стіл подешевшав на 20%, а стілець подорожчав на

20%, вони стали коштувати разом 568 грн. Знайдіть

початкову ціну стільця і стола.

108. У свіжих сливах 70% води, у сушеному

чорносливу 20% води. На скільки відсотків

зменшується маса слив при висушуванні?

109. Ізюм отримують з процесі сушки винограду. Скільки

кілограмів винограду потрібно для одержання 20 кг

ізюму, якщо виноград містить 90% води, а ізюм – 5%

води.

110. Ціна 1 кг моркви збільшилася на 60% і дорівнює

тепер ціні 1 кг капусти, яка зменшилася на 60%. На

скільки відсотків змінилася загальна вартість 1 кг

капусти і 1 кг моркви?

76

111. Ціна виробу спочатку збільшилася на 10 %, а потім

знизилася на 20 %. На скільки відсотків змінилася

ціна внаслідок двох переоцінок?

112. Ціна автомобіля спочатку піднялася на 20 %, а потім

знизилася на 20 %. На скільки відсотків змінилася

ціна автомобіля після двох переоцінок?

113. Чотири однакові светри дешевше куртки на 8%. На

скільки відсотків п’ять таких же светрів дорожче

куртки?

114. Якою є сума грошей, що за умови нарахування 20 %

річних дає прибуток, котрий становить 540 грн?

115. Скільки відсотків річних (прості відсотки) нараховує

банк, якщо через 2 роки сума в 2000 грн зросла до

3380 грн?

116. Грошовий внесок, покладений у банк на 2 роки,

збільшився на 69 %. Скільки відсотків нараховує

банк щорічно?

117. Вкладник поклав до банку 20000 грн під 14% річних.

Який прибуток отримає вкладник через рік?

118. Вкладник поклав до банку 30000 грн під 12% річних.

Яка сума буде на рахунку через рік?

119. Вкладник поклав до банку 1500 грн. на два різні

рахунки. По першому банк виплачує 7% річних, а по

другому – 10% річних. Через рік клієнт мав 120

грн. відсоткових грошей. Скільки гривень він поклав

на перший рахунок?

120. Хворому прописаний курс ліків, які потрібно

приймати по 0,5 г три рази в день протягом трьох

77

тижнів. В одній упаковці міститься 10 таблеток по 0,5

г. Якої найменшої кількості упаковок вистачить на

весь курс лікування?

121. Вартість учнівського проїзного квитка на місяць

складає 70 грн. А вартість квитка на одну поїздку

складає 3 грн. Оксана придбала проїзний і зробила 45

поїздок за місяць скільки грошей вона заощадила?

122. Сирок коштує 7 грн. 40 коп. Яке найбільше число

сирків можна придбати на 40 грн.?

123. Магазин відчиняється в 10 годин, а зачиняється в 22

години. Обід триває з 14 до 15 годин. Скільки годин в

день відкритий магазин?

124. Школа закуповує книги по ціні 50 грн. за штуку. При

купівлі більше 10 шт. магазин дає знижку 10%.

Скільки книг можна купити на 1000 грн.?

125. (ЗНО 2016) У готелі для проживання туристів є

одномісні, двомісні та тримісні номери. Їх всього 124.

Якщо всі номери в готелі заповненні, то одночасно в

ньому проживає 255 туристів. Скільки всього в цьому

готелі тримісний номерів, якщо кількість одномісних

номерів дорівнює кількості двомісних номерів?

126. (ЗНО 2017) Для поповнення рахунку телефону

Андрій вніс певну суму грошей до платіжного

термінала. З цієї суми утримано комісійний платіж у

розмірі 2 грн 40 к, що становить 3 % від суми,

унесеної до терміналу. У результаті рахунок

телефону поповнено на решту внесеної суми. Яку

78

суму грошей (у гривнях) Андрій уніс до платіжного

термінала?

127. (ЗНО 2017) Мобільний оператор, послугами якого

користується Андрій нараховує 8 бонусів за кожні 5

грн, на які поповнено рахунок телефону. На залишок

грошей менше за 5 грн, бонуси не нараховуються.

Скільки бонусів нараховано Андрію за здійснення

ним поповнення телефону?

128. На двох фуршетних столах рядами викладено по 260

канапе (маленьких бутербродів). На другому столі

кількість рядів на 3 менша, а кількість канапе у

кожному ряді на 6 більша, ніж на першому столі.

Визначте кількість рядів і кількість канапе в кожному

ряді на першому столі.

129. Дохід будь-якої родини складається із сукупності

доходів її членів. Сім’я складається з чоловіка, жінки

та їхньої доньки студентки. Якби зарплатня чоловіка

збільшилася вдвічі, загальний дохід сім’ї збільшився

на 67%. Якщо стипендія доньки зменшилася втричі,

загальний дохід сім’ї скоротився б на 4%. Скільки

відсотків від загального доходу сім’ї складає

заробітна плата жінки?

130. Учасник міжнародного математичного конкурсу

«Кенгуру 2018» відповів на 30 запитань. Відомо, що

він дав на 50% більше правильних відповідей, ніж

неправильних. На скільки запитань він відповів

правильно?

79

131. На упаковці вершкового сиру написано: «24%

загального жиру і 64% жиру в сухій речовині». Який

відсоток води у цьому сирі?

132. У 2017 році в міському кварталі мешкало 40 000

чоловік. У 2018 році, в результаті побудови нових

будинків, число мешканців виросло на 8%, а в 2019

році на 9% порівняно з 2018 роком. Скільки чоловік

стало мешкати в кварталі в 2019 році?

133. Оксана придбала по 4 шоколадки для кожного з

чотирьох членів своєї сім’ї. У магазині діяла акція

(одна шоколадка – 20 грн, кожна шоста

безкоштовно!). Скільки заплатила Оксана?

134. Шоколадка коштує 30 грн. В супермаркеті протягом

місяця діє спеціальна пропозиція: купуючи дві

шоколадки, отримуєш три (одна в подарунок).

Скільки шоколадок можна придбати на 190 грн в цей

місяць?

135. У першому будинку 128 квартир, а в другому — 120.

У другому будинку поверхів на 4 більше, а квартир

на кожному поверсі на 2 менше, ніж у першому

будинку. Знайдіть кількість поверхів у кожному

будинку та кількість квартир на кожному поверсі.

136. У класі навчається 33 дитини. Кожен учень відвідує

спортивний гурток, або гурток програмування. Троє

учнів відвідують обидва гуртки. Гурток

програмування відвідує вдвічі більше дітей, ніж

спортивний гурток. Скільки дітей відвідують гурток

програмування?

80

137. Кожний з двох принтерів має надрукувати текстовий

файл обсягом 120 сторінок. Перший принтер за одну

хвилину друкує на 2 сторінки менше, ніж другий, і

тому пропрацював на 3 хв довше. Скільки сторінок за

хвилину друкує кожний принтер?

138. А

Потяг Львів-Маріуполь відправляється в 01:18, а

прибуває в 06:30 на наступний день. Скільки годин

потяг знаходиться в дорозі?

139. Одним із найсуттєвіших джерел економії коштів є

ощадливе використання електроенергії. Скільки ви

зможете зекономити за рік, якщо відмовитесь від

використання телевізора в своїй родині?

Враховуючи, що 1 кВт/год електроенергії коштує 1

гривню, а один телевізор за рік споживає

електроенергії близько 300 кВт/год і послуги

кабельного телебачення складають 100 гривень за

місяць.

140. А Вартість учнівського проїзного квитка на місяць

складає 100 грн. А вартість квитка на одну поїздку

складає 4 грн. Оксана ходить до школи п’ять разів на

тиждень і два рази на тиждень у художню школу. Чи

вигідно їй придбати проїзний квиток і якщо так, то

скільки грошей за місяць вона може заощадити?

141. В квартирі встановлений прилад обліку витрат

холодної води (лічильник). 1 червня лічильник

показував витрати 178 куб. м. води, а 1 липня –

189 куб.м. Яку суму повинен сплатити власник

81

квартири за холодну воду за червень, якщо ціна за 1

куб. м. холодної води складає 8 грн 60 к?

142. А Існує думка, що купувати товари в інтернет

магазині дешевше. Термос Tramp в інтернет магазині

коштує 685 грн. Вартість доставки Новою поштою

складає приблизно 50 грн. Крім того, на пошті при

отриманні потрібно ще сплатити за наложений

платіж 2% від суми + 20 грн, а також, якщо

оголошена вартість складає більше 200 грн, то ще

0,5% від оголошеної вартості. В магазині

«Мандрівник» вартість такого ж термоса складає

720 грн. Для того щоб його придбати в магазині

достатньо під’їхати маршруткою, вартість поїздки в

якій складає 6 грн. Врахувати, що відділення Нової

пошти знаходиться біля будинку. То як вигідніше

здійснити покупку і на скільки? (випадок

передоплати не розглядатимемо через велику

кількість шахрайства пов’язану з інтернет

покупками)

143. А

За сезон сім’я може зібрати 200 кг горіхів. Горіхи

не чищені приймають по ціні 35 грн за кілограм.

Вартість не чищених горіхів складає 120 грн/кг. Але

на 100 кг нечищених горіхів 60 кг відходів. Які

горіхи варто здавати чищені чи ні, і який

максимальний прибуток може отримати сім’я за свій

урожай?

82

144. А Ізюм отримують в процесі сушки винограду.

Скільки кілограмів ізюму можна одержати з 16 кг

винограду, якщо виноград містить 90% води, а ізюм –

5% води. Розрахуйте, що вигідніше придбати готовий

ізюм на ринку, якщо його вартість складає 70 грн за

кілограм, чи виготовивши його в домашніх умовах

використовуючи сушарку. Скільки можна заощадити

коштів? Важливо: номінальна споживана потужність

сушарки 0,6 кВт, тариф за електроенергію складає

0,9 грн/кВт до 100 кВт, та 1,68 грн/кВт поверх

100 кВт. Для висушування вказаної кількості

винограду потрібно дві доби. Вартість винограду

складає 35 грн/кг.

145. Якою має бути початкова сума, покладена в банк під

20% річних, щоб через два роки прибуток становив

22000 грн.?

2.3. Методичні аспекти розв'язування задач на основі

математичного моделювання

Основна складність для учнів у процесі

математизації тексту прикладної задачі полягає у

правильній побудові математичної моделі, якою може бути

рівняння, нерівність або їх системи, функції тощо. Для

того, щоб переформулювати зміст задачі мовою

математики, учням необхідно ретельно вивчити і

правильно тлумачити задачу, формалізувати запитання в

ній, виразивши шукані величини за допомогою відомих та

83

введених змінних. На цьому етапі в учнів виникають

різноманітні за характером проблеми. Іноді вони пов’язані

з нерозумінням фізичних, хімічних, економічних термінів,

законів, залежностей. Так, далеко не всі чітко

усвідомлюють співвідношення між відстанню, швидкістю і

часом в умовах рівномірного та нерівномірного руху, між

концентрацією речовини і її часткою у сумішах, між

обсягом виконаної роботи і продуктивністю праці тощо.

Учні відчувають труднощі у визначенні швидкості

зближення об’єктів при русі назустріч або в одному

напрямку, погано орієнтуються в русі по колу, відчувають

труднощі у виборі одиниць вимірювання при розв’язуванні

задач на спільну роботу. Також у процесі складання

математичної моделі учні відволікаються на несуттєві для

конкретної задачі властивості об’єктів, на другорядні

умови, що не впливають на розв'язок задачі. Тут можуть

допомогти допоміжні моделі: рисунки, таблиці…

Формування навичок математичного моделювання

під час розв’язування прикладних задач потрібно

розпочинати ще в 5-6 класах. Наведемо приклад актуальної

задачі.

Задача. Одним із суттєвих джерел економії коштів

є ощадливе використання електроенергії. Скільки Ви

зможете зекономити за рік, якщо відмовитесь від

використання телевізора в своїй родині? Врахуйте, що 1

кВт/год електроенергії коштує 1 гривню, послуги

кабельного телебачення складають 100 гривень за місяць.

84

Розв’язання.

Математичною моделлю задачі є вираз 1·а + 100·12.

Значення цього виразу залежить від кількості спожитої

телевізором електроенергії. Відомо, що один телевізор за

рік споживає електроенергії близько 300 кВт/год. Тоді

витрати на електроенергію для роботи телевізора складуть

300 грн, а послуги кабельного телебачення

100 грн·12 міс=1200 грн. Чим більше працює телевізор,

тим більші витрати на електроенергію для роботи

телевізора.

Якщо не користуватися телевізором взагалі, то

можна зекономити за рік приблизно 300+1200 =1500 (грн).

Відповідь. 1500 грн.

Під час розв’язування задач прикладного змісту в

процесі створення математичної моделі доцільно

дотримуватися такої послідовності дій:

1. За допомогою допоміжних моделей виділити

взаємозв’язки та істотні властивості об’єктів, що

досліджуються в умові задачі.

2. За допомогою знаково-символічних моделей створити

неформальну модель (неформальна модель – це нестрогий

опис процесу, у якому пояснюються виділені залежності

між об’єктами, але, у той же час, не дано можливості з

точністю перевірити ступінь логічного взаємозв'язку його

властивостей).

3. Засобами математики створити математичну модель

прикладної задачі.

85

Наприклад:

Задача. На склад привезли 32 бочки олії і 24 ящики

масла. Яка маса однієї бочки олії і одного ящика масла,

якщо кожна бочка втричі важча від ящика, а загальна

маса привезеного товару становить 3360 кг?

1. Виділимо співвідношення між об’єктами, які

розглядаються в задачі.

Рис.2.10.

2. Опишемо співвідношення між об’єктами.

Кількість

Маса

однієї

одиниці

Загальна

маса Разом

Масло 24 ящики х х∙24 3360 кг

Олія 32 бочки 3х 3х∙32

3. Складемо рівняння (математична модель задачі):

24х+ 96х = 3360.

86

У 7-9 класах також доцільно використовувати

допоміжні моделі для створення математичної моделі

прикладної задачі.

Наприклад:

Задача. У посудину з 24% розчином солі додали 2

кілограми 15% розчину солі. У результаті отримали

розчин з концентрацією 20%. Скільки кілограмів 24%

розчину солі було в посудині?

1. Виділимо співвідношення між об’єктами, які

розглядаються в задачі.

Рис.2.11.

2. Опишемо співвідношення між об’єктами.

Рис.2.12.

3. Складемо математичну модель задачі.

87

Нехай у посудині було х кг розчину концентрацією 24%.

Тоді

0,24∙х + 0,12∙2 = 0,2 (х+2).

Отримане рівняння є математичною моделлю даної

задачі.

Результати наших досліджень, опитування вчителів

математики дають підстави стверджувати, що найбільш

складним для учнів є перший етап моделювання. Побудова

математичної моделі є досить серйозною проблемою для

учнів, оскільки вони недостатньою мірою вміють:

декодувати інформацію, закладену в умові прикладної

задачі; абстрагуватись від неістотних властивостей

об’єктів, що досліджуються в задачі; виявляти та

правильно інтерпретувати взаємозв’язки між об’єктами,

що розглядаються в умові задачі; формалізувати запитання

задачі, виразивши шукані величини через відомі та введені

змінні.

Підсумовуючи зазначимо, що В. О. Швець виділяє

такі етапи розв’язування прикладної задачі у школі

методом математичного моделювання [99]:

1. Створення математичної моделі – переклад задачі з

природної мови тієї галузі, де вона виникла, мовою

математики.

2. Дослідження математичної моделі – розв'язування

отриманої математичної задачі.

3. Інтерпретація розв’язків отриманих результатів, тобто

переклад розв'язку математичної задачі з мови математики

мовою тієї галузі, де вона виникла.

88

Розглянемо конкретні приклади методики

розв’язування прикладних задач з метою формування в

учнів умінь математичного моделювання.

Задача. Група студентів вирішили купити

товаришеві на день народження новий мобільний

телефон за акційною ціною від 170 до 195 доларів. В

останній момент двоє студентів відмовилися брати

участь у покупці, тому кожному з решти студентів

довелося внести на 1 долар більше. Скільки коштував

придбаний телефон?

Розв’язання.

Побудуємо математичну модель задачі (1 етап):

Нехай х - число студентів у групі, у доларів -

величина спочатку визначеного внеску коштів кожного

студента для покупки телефона. Тоді загальна вартість

покупки 𝑥 ∙ 𝑦. Після того, як двоє студентів відмовилися

брати участь у покупці, студентів стало 𝑥 − 2, а внесок уже

мав бути 𝑦 + 1 долар.

Отже, вартість телефону (𝑥 − 2) ∙ (𝑦 + 1). Умову

акційної покупки телефону за ціною від 170 до 195 доларів

можна подати у вигляді подвійної нерівності 170 ≤ 𝑥 ∙ 𝑦 ≤

195. Таким чином, математичною моделлю даної задачі є

система:

{𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑥 − 2) ∙ (𝑦 + 1);

170 ≤ 𝑥 ∙ 𝑦 ≤ 195.

89

Маємо справу із системою, яка складається з

рівняння і нерівності (2 етап). Розглянемо спочатку

рівняння системи, розкриємо дужки і зведемо подібні

доданки: 𝑥 − 2𝑦 = 2. Таким чином, отримаємо систему:

{𝑥 − 2𝑦 = 2;

170 ≤ 𝑥 ∙ 𝑦 ≤ 195.

З рівняння виражаємо y через х: у = х−2

2, підставляємо в

нерівність. Отже, 340 ≤ 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ≤ 390. Маємо систему

двох квадратних нерівностей, розв’язавши яку отримаємо:

19 < 1 + √341 ≤ 𝑥 ≤ 1 + √391 < 21.

Розглянемо отриманий математичний результат з

точки зору змісту даної задачі (3 етап): оскільки х - число

студентів у групі, то х - натуральне число, яке має

задовільняти умову 19 < 𝑥 < 21. Отже, х = 20, тоді у = х−2

2

= 9, тому 𝑥 ∙ 𝑦= 180. Таким чином, придбаний студентами

телефон коштував 180 доларів.

Задача. У зв’язку з подорожчанням бензину в

таксиста постало запитання: чи варто продовжувати

займатися цією справою? Для розрахунку таксист взяв

останній місяць, за який він проїхав 4000 км. Вартість 1

літру бензину – 32 гривні. Витрати бензину на 100 км в

середньому – 9 літрів. Крім витрат на пальне, таксист

витратив 400 гривень на паливно-мастильні матеріали та

1800 гривень на амортизацію. При якому тарифі на проїзд

90

чистий прибуток таксиста складе не менше 18000

гривень?

Розв’язання.

1) 4000:100 ×9=360 (л) – витрачено бензину за

місяць;

2) 360×32=11520 (грн) – витрачено коштів на

пальне.

3) Нехай 𝑥 грн/км – тариф за проїзд в таксі, тоді

4000 ∙ 𝑥 – можливий прибуток таксиста. Весь

прибуток складається зі всіх витрат та чистого

прибутку. Розглянемо математичну модель

задачі:

4000 ∙ 𝑥 ≥ 11520 + 400 + 1800 + 18000

𝑥 ≥ 31720: 4000

𝑥 ≥ 7,93.

Округливши результат матимемо, що для отримання

не менше як 18000 гривень чистого прибутку, тариф таксі

повинен складати 8 грн/км.

Відповідь. Бажаний тариф – 8 грн/км, при якому

чистий прибуток складе 18 280 гривень.

Методичний коментар. Вказана задача може бути

використана вчителем математики при вивченні учнями

нерівностей у 9 класі. Як свідчить аналіз добірок задач до

теми «Нерівності» в сучасних шкільних підручниках

алгебри для 9 класу, прикладних задач, у процесі

розв’язування яких є можливість розвивати уміння

математичного моделювання в учнів, недостатня кількість

91

у шкільних підручниках алгебри. Розв’язування вказаної

задачі може позитивно вплинути на мотивацію учнів до

вивчення математики, адже вони мають змогу зрозуміти,

що математично компетентний таксист може критично

оцінити нову ситуацію, самостійно прийняти обґрунтоване

рішення. В цій задачі відносно велика кількість даних

величин і це важливо з методичної точки зору, адже

мислення учнів може розвиватися в умовах необхідності

аналізувати, вибирати, пояснювати, обґрунтовувати. Якщо

є можливість підвищити рівень складності задачі

(наприклад, у роботі із здібними до математики учнями),

то можна ввести в умову цієї задачі надлишкові дані, які не

є потрібними для її розв’язання. У такому випадку задача

сприятиме формуванню в учнів нелінійного мислення.

Нині намітився поворот у людській діяльності та науці від

одномірного, лінійного мислення, характерного для

повсякденного життя і класичної науки, до мислення

багатомірного і ймовірнісного. Не лінійність мислення

передбачає визнання багатоваріантності розв’язань та

ймовірнісного розвитку подій. Формування нелінійного

стилю мислення має стати одним з найважливіших завдань

шкільної математичної освіти. Розв’язування вказаної

задачі дозволяє створити умови для вільного висловлення

учнями різних дискусійних думок, поставити учнів у

ситуацію, коли потрібно аргументувати власну точку зору.

Маємо змогу формувати вміння учнів грамотно ставити

запитання та відповідати на них. Наприклад:

92

При яких умовах вказаний тариф може бути

нижчим?

Чи може таксист бути зацікавленим у

зниженні тарифу на проїзд?

Чи є отримане значення тарифу проїзду в таксі

економічно обґрунтованим для інших

власників таксі?

Задача. Існує думка, що купувати товари в

інтернет магазині дешевше. В магазині «Мандрівник»

термос Tramp коштує 720 грн. Для того щоб придбати

термос у магазині покупцеві потрібно скористатися

маршруткою, вартість поїздки в якій складає 6 грн.

Відділення Нової пошти знаходиться біля будинку покупця.

Цей же Термос в інтернет магазині коштує 685 грн.

Вартість доставки Новою поштою складає від 20 до 50

грн. Крім того, при отриманні товару на пошті потрібно

сплатити 2% від суми + 20 грн. Якщо ж оголошена

вартість товару складає більше 200 грн, то ще слід

сплатити 0,5% від оголошеної вартості. Де вигідніше

покупцеві здійснити покупку: в магазині чи інтернет

магазині?

Розв’язання.

1) 685 × 0,02=13,7 (грн) – 2% від вартості термосу;

2) 685+20+13,7+20+3,425 =742,125 (грн) – вартість термосу

в інтернет магазині;

93

3) 720+12=732 (грн) – вартість термосу в магазині

«Мандрівник»;

Відповідь. Покупка вказаного термосу в магазині

вигідніша, як мінімум на 10 гривень.

Методичний коментар. Дана задача є задачею

побутового змісту. На перший погляд, в шкільних

підручниках зустрічаються подібні задачі. Однак, ця

задача, за задумом авторів, значно наближена до сучасної

реальної життєвої ситуації. Відносно значну кількість

даних в умові задачі розглядаємо як позитивний аспект.

Формулювання задачі розпочинається з констатації

поширеної точки зору. Важливо, що математичне

розвязання задачі дозволяє обгрунтувати хибність цієї

точки зору. При грамотно вибудуваній методиці

розвязування вказаної задачі маємо змогу формувати не

лише математичну компетентність учнів, а й, певним

чином, формувати економічну грамотність учнів на

побутовому рівні. Це дає можливість забезпечити умови

таких важливих складників математичної компетентності

як позитивне особистісне ставлення до навчання

математики, а також актуальний досвід застосування

набутих математичних знань та умінь. Під методично

грамотною методикою розвязування задачі маємо на увазі,

зокрема,

Задача. Ізюм отримують у процесі сушки винограду.

Скільки кілограмів ізюму можна одержати з 16 кг

винограду, якщо виноград містить 90% води, а ізюм – 5%

94

води. Розрахуйте, що вигідніше: придбати готовий ізюм

на ринку, якщо його вартість складає 70 грн за кілограм,

чи виготовити його в домашніх умовах, використовуючи

сушарку. Скільки можна заощадити коштів?

Важливо: номінальна споживана потужність сушарки

0,6 кВт, тариф за електроенергію складає 0,9 грн/кВт до

100 кВт, та 1,68 грн/кВт поверх 100 кВт. Для висушування

вказаної кількості винограду потрібно дві доби. Вартість

винограду складає 35 грн/кг.

Розв’язання.

Вода Суха речовина

Виноград 90% 10%

Ізюм 5% 95%

1) 16:100×10 = 1,6 (кг) – сухої речовини у 16 кг

винограду;

2) 1,6: 95×100 =1,684 (кг) – кількість ізюму з 16 кг

винограду;

3) 0,6×24×2=28,8 (кВт) – кількість електроенергії

витраченої на сушку;

4) 28.8 × 0,9 = 25,9 (грн) – вартість витраченої

електроенергії;

5) 1,684×70 =117,88 (грн) – ринкова ціна ізюму,

отриманого з винограду;

6) 35×16 = 560 (грн) – вартість 16 кг винограду;

95

7) 560 + 25,9 = 585,9 (грн) – ціна 1,684 кг домашнього

ізюму.

Відповідь. Вартість домашнього ізюму майже в 5 разів

вища за вартість ізюму придбаного на ринку, тому

заощадити не вдасться.

Вчителю математики важливо домогтися від учнів

чіткого розуміння значення і змісту кожного з вище

описаних етапів процесу розв’язування задачі за

допомогою математичного моделювання. Це потрібно для

того, щоб учні добре зрозуміли, що вони розв’язують не

просто математичну задачу, а конкретну життєву ситуацію

математичними методами. Важливого значення у процесі

формування умінь математичного моделювання ми

надаємо різним способам розв’язування задач.

Задача. Постачальник привіз на ринок 13 ящиків

мандарин по 7 кілограмів мандарин у кожному ящику.

Після транспортування мандарини розділили на три

сорти. Постачальник запропонував реалізатору

продавати мандарини першого сорту по 40 грн, другого –

по 30 грн, третього – по 20 грн за кілограм. Виручка від

продажу всіх мандарин склала 3290 грн. Відомо, що маса

мандарин 2-го сорту менше маси мандарин 1-го сорту на

стільки ж відсотків, на скільки відсотків маса мандарин

3-го сорту менше маси мандарин 2-го сорту. Чи може

постачальник дізнатися скільки кілограм мандарин 2-го

сорту продав реалізатор? Скільки кілограмів мандарин

кожного сорту було продано?

96

Розв’язання.

1 спосіб. Для побудови математичної моделі

ситуації, яку розглядаємо, потрібно ввести змінні х та у.

Нехай х кг – маса мандарин 3-го сорту, у кг – маса

мандарин 2-го сорту. Загальна маса всіх мандарин

7×13=91. Тому 91 − (𝑥 + 𝑦) кг – маса мандарин 1-го сорту.

Тоді: 20х грн – виручка за продані мандарини третього

сорту; 30у - виручка за продані мандарини другого

сорту; 40(91 − х − у) - виручка за продані мандарини

першого сорту.

Для розрахунку загальної виручки маємо:

20х + 30у + 40(91 − х − у) = 3290

Маємо рівняння з двома невідомими. Для складання

другого рівняння: маса мандарин 3-го сорту менше маси

мандарин 2-го сорту на стільки ж відсотків, на скільки

відсотків маса мандарин 2-го сорту менше маси мандарин

1-го сорту, маємо: х

у=

у

91−(х+у)

Математичною моделлю даної задачі є система рівнянь:

{20х + 30у + 40(91 − х − у) = 3290

х

у=

у

91 − (х + у)

Розв’яжемо систему рівнянь.

З першого рівняння системи виразимо у:

20х + 30у + 3640 − 40х − 40у − 3290 = 0

−20х − 10у + 350 = 0

20х + 10у − 350 = 0

2х + у − 35 = 0

97

у = 35 − 2х (*)

Підставимо у друге рівняння системи: х

35−2х=

35−2х

91−х−35+2х;

х

35 − 2х=

35 − 2х

х + 56

За властивістю пропорції маємо: х(х + 56) = (35 −

2х)(35 − 2х), при умові, що 35 − 2х ≠ 0, х + 56 ≠ 0.

х(х + 56) = (35 − 2х)2

𝑥2 + 56х = 1225 − 140х + 4𝑥2

3𝑥2 − 196х + 1225 = 0

Розв’язавши квадратне рівняння одержимо х = 7 та х =175

3 , що не не задовольняє умову х < 17,5. Отже, х = 7.

Знайдемо у, підставивши знайдене значення х в рівняння

(*):

у = 35 − 7 ∙ 2 = 35 − 14 = 21

Запишемо результат мовою початкової задачі: реалізатор

продав 21 кг мандарин 2-го сорту.

Відповідь. 21 кг.

* Для знаходження кількості проданих мандарин 1-го

сорту використаємо, що

91 − (𝑥 + 𝑦) = 91 − (7 + 21) = 63 (кг)

Відповідь. 63 кг, 21 кг, 7 кг.

2 спосіб. Нехай 𝑥 кг – маса мандарин 3-го сорту,

тоді маса мандарин 2-го сорту складає,

згідно умови задачі, 𝑘𝑥 кг, де 𝑘 додатнє число, яке

більше одиниці. Маса проданих мандарин 1-го сорту

відповідно складе 𝑘(𝑘𝑥) = 𝑘2𝑥 кг. Всі умови даної задачі

98

задовольняє система рівнянь, яка є математичною моделлю

задачі:

{𝑘2𝑥 + 𝑘𝑥 + 𝑥 = 91,

40𝑘2𝑥 + 30𝑘𝑥 + 20𝑥 = 3290

{(𝑘2 + 𝑘 + 1)𝑥 = 91

(4𝑘2 + 3𝑘 + 2)𝑥 = 329

Зокрема, це означає, що:

4𝑘2 + 3𝑘 + 2

𝑘2 + 𝑘 + 1=

329

91

Скоротивши дріб на 7, отримаємо:

4𝑘2 + 3𝑘 + 2

𝑘2 + 𝑘 + 1=

47

13

13(4𝑘2 + 3𝑘 + 2) = 47(𝑘2 + 𝑘 + 1)

13(4𝑘2 + 3𝑘 + 2) − 47(𝑘2 + 𝑘 + 1) = 0

52𝑘2 + 39𝑘 + 26 − 47𝑘2 − 47𝑘 − 47 = 0

−5𝑘2 + 8𝑘 + 21 = 0

5𝑘2 − 8𝑘 − 21 = 0

𝐷 = 64 − 4 ∙ 5 ∙ (−21) = 64 + 420 = 484, √𝐷 = 22

𝑘1 =8 − 22

2 ∙ 5= −

14

10= −

7

5

не задовольняє умову задачі, бо не є додатнім числом, яке

більше одиниці.

𝑘2 =8 + 22

2 ∙ 5= −

30

10= 3

Знайдемо значення х з рівняння: (𝑘2 + 𝑘 + 1)𝑥 = 91

𝑥 =91

9+3+1= 7 (кг) – продано мандарин 3-го сорту

99

Тоді 𝑘𝑥 = 21 (кг) – продано мандарин 2-го сорту

Відповідь. 21 кг.

* Для знаходження кількості проданих мандарин 1-го

сорту використаємо, що

𝑘2𝑥 = 32 ∙ 7 = 63 (кг)

Відповідь. 63 кг, 21 кг, 7 кг.

Задача. Дохід будь-якої родини складається із

сукупності доходів її членів. Сім’я складається з чоловіка,

жінки та їхньої доньки студентки. Якби зарплатня

чоловіка збільшилася вдвічі, загальний дохід сім’ї

збільшився на 67%. Якщо стипендія доньки зменшиться

втричі, загальний дохід сім’ї скоротиться на 4%. Скільки

відсотків від загального доходу сім’ї складає заробітна

плата жінки? (Відповідь: 27%)

Розв’язання.

1 спосіб. Умова «якби зарплатня чоловіка

збільшилася вдвічі, загальний дохід сім’ї збільшився на

67%» означає, що зарплата батька складає 67% доходу

сім’ї. Умова «якщо стипендія доньки зменшиться втричі,

загальний дохід сім’ї скоротиться на 4%», означає що 2/3

стипендії складають 4% доходу сім’ї, тобто вся стипендія

дочки складає 6% доходу сім’ї. Таким чином, заробітна

плата матері складає 100%–67%–6%=27% доходу сім’ї.

Відповідь. 27%.

100

2 спосіб. Нехай 𝑎 – відсоток заробітної плати

чоловіка від доходу даної сім’ї, 𝑏 – відсоток стипендії

доньки, 𝑐 – відсоток заробітної плати жінки, тоді 𝑎 + 𝑏 +

𝑐 = 100%. Зміна доходу сім’ї після збільшення заробітної

плати чоловіка означає: 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 167%. Зміна доходу

сім’ї після зменшення стипендії доньки: 𝑎 +𝑏

3+ 𝑐 = 96%.

Математичною моделлю задачі є система трьох

рівнянь з трьома невідомими:

{

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1002𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 167

𝑎 +𝑏

3+ 𝑐 = 96

Розв’яжемо систему, домноживши третє рівняння

системи на 3:

{𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 100

2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1673𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 288

Якщо від третього рівняння системи відняти перше, то

отримаємо: { 𝑎 = 67

−2𝑎 − 2𝑐 = −188

Підставимо значення 𝑎 в друге рівняння: −2 ∙ 67 − 2𝑐 =

−188. Звідки отримаємо, що 𝑐 = 27.

Отже, заробітна плата жінки складає 27% доходу сім’ї.

При вказаному способі розв’язання задачі легко

також відповісти на запитання: Скільки відсотків від

загального доходу сім’ї складає стипендія доньки?

67 + 𝑏 + 27 = 100, звідки 𝑏 = 6 (%).

101

Тобто, стипендія доньки складає 6% від загального

доходу сім’ї.

Методика розв’язування кожної задачі має

сприйматись вчителем як необхідна складова цілісного

процесу розвитку мислення учнів, формування їх

практичної компетентності, розвитку їх особистості.

2.4. Орієнтовні конспекти уроків

2.4.1. Алгебра, 9 клас: «Системи двох рівнянь із

двома змінними як математична модель прикладної

задачі»

Тема уроку: Системи двох рівнянь із двома

змінними як математична модель прикладної задачі

Мета уроку: формувати в учнів уміння

математичного моделювання; розвивати уявлення учнів

про математику як прикладну науку, нерозривно пов’язану

з життям людини; розвивати прийоми розумової діяльності

учнів.

Очікувані результати навчання: учень - знає і

розуміє етапи математичного моделювання; усвідомлює

алгоритм розв’язування прикладних задач; уміє складати

математичну модель прикладної задачі; уміє розв’язувати

системи двох рівнянь з двома змінними.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань і вмінь.

102

План уроку.

I. Актуалізація опорних знань.

II. Мотивація навчальної діяльності.

III. Пояснення нового матеріалу.

IV. Закріплення нових знань.

V. Організація самостійної пізнавальної діяльності

учнів.

VI. Підсумки уроку.

VII. Домашнє завдання.

Хід уроку.

I. Актуалізація опорних знань: фронтальне

опитування за технологією «Мікрофон».

1. Що називають системою двох рівнянь з двома

змінними?

2. Що таке розв’язок системи рівнянь?

3. Які способи розв’язування систем рівнянь ви

знаєте?

4. Вкажіть алгоритм розв’язування системи рівнянь:

а) графічним способом;

б) способом підстановки;

в) способом алгебраїчного додавання;

г) способом заміни змінних.

II. Мотивація навчальної діяльності

Практично будь-який вид діяльності людини,

починаючи з приготування їжі й закінчуючи запуском

космічних кораблів, так чи інакше пов’язаний з

математикою. При розв’язуванні задач, які часто

103

виникають у житті (в побуті, в професійній діяльності

тощо) можна працювати з математичними об’єктами

(рівняннями або їх системами) і отримувати розв’язання

актуальних ситуацій. Отже, навчившись розв’язувати

прикладні задачі за допомогою систем двох рівнянь з

двома змінними, ви зможете самостійно будувати і

досліджувати математичні моделі реальних життєвих

ситуацій.

III. Пояснення нового матеріалу.

Важливо!

Прикладні (текстові, сюжетні, життєві) задачі —

це задачі, у яких хоча б один об’єкт розгляду є

реальним предметом або реальним явищем, тобто

задачі, умови яких містять нематематичні

поняття.

Математична модель прикладної задачі —

спеціально створений за допомогою

математичних понять і співвідношень

(геометричних фігур, чисел, виразів тощо)

математичний об’єкт (функція, рівняння,

нерівність, система рівнянь або нерівностей),

який відображує властивості досліджуваного

об’єкта.

Орієнтовна схема розв’язування прикладних

задач:

1. Аналіз об’єкта моделювання.

2. Створення математичної моделі.

104

3. Дослідження математичної моделі

(розв’язування рівняння, системи

рівнянь, дослідження функції тощо).

4. Аналіз одержаного результату

математичної задачі та його

інтерпретація для прикладної задачі.

Алгоритм розв’язування задачі за допомогою

системи рівнянь:

1) Аналіз умови прикладної задачі - виокремлення

двох невідомих.

2) Побудова математичної моделі задачі: системи двох

рівнянь з двома невідомими.

3) Розв’язування системи рівнянь.

4) Аналіз отриманих розв’язків системи рівнянь на

предмет відповідності змісту прикладної задачі.

IV. Закріплення нових знань

Задача 1. Дівчатка купили 14 резинок для волосся

по 80 к. і по 1 грн 20 к. Разом покупка коштувала

15 грн 20 к. Скільки резинок кожного виду купили?

Чи зможуть вони порівну поділитися резинками?

Рис.2.13.

105

Задача 2. Кожен із двох принтерів друкує

текстовий файл, обсяг якого дорівнює 36 сторінок.

Перший принтер надрукував 6 сторінок за той

самий час, за який другий надрукував 5 сторінок.

Скільки сторінок друкує кожний принтер за

хвилину, якщо перший закінчив роботу на півтори

хвилини швидше від другого?

V. Організація самостійної пізнавальної

діяльності учнів

Колективне виконання завдань під

керівництвом учителя:

1. Дві бригади, працюючи одночасно, можуть

відремонтувати дорогу за 6 днів. Якщо ж

спочатку перша бригада, працюючи окремо,

відремонтує дороги, а потім друга, також

працюючи окремо, — решту, то весь ремонт

буде виконано за 12 днів. За скільки годин може

відремонтувати дорогу кожна бригада,

працюючи окремо?

2. Для роботи гуртка «Орігамі» придбали клей

ПВА у кількості 5 штук та ножиці у кількості 8

штук. За покупку заплатили 227 грн. Скільки

коштує один клей і одні ножиці якщо 4 клеї

дешевше від 6 ножиць на 54 грн.

3. З бази відпочинку одночасно у протилежних

напрямках вирушили дві групи туристів. Через

3 год відстань між ними дорівнює 21 км.

3

5

106

Знайдіть швидкість кожної групи, якщо відомо,

що шлях завдовжки 6 км одна з них проходить

на 30 хв швидше від іншої.

Самостійне виконання завдань

Картка 1

1. У першому будинку 36 квартир, а в другому –

50. У другому будинку поверхів на 2 менше, а

квартир на кожному поверсі на 2 більше, ніж у

першому будинку. Знайдіть кількість поверхів у

кожному будинку та кількість квартир на

кожному поверсі.

2. Дві бригади монтажників металопластикових

вікон, працюючи разом, виконують усе завдання

за 8 год. За скільки годин може виконати це

завдання кожна бригада, працюючи самостійно,

якщо одній бригаді на це потрібно на 12 год

більше, ніж іншій?

3. З Черкас до Вінниці одночасно виїхали автобус і

автомобіль. Швидкість автомобіля була на 30

км/год більша за швидкість автобуса, тому він

прибув до Вінниці на 1 год 30 хв раніше.

Знайдіть швидкість автобуса і автомобіля, якщо

відстань між містами становить 270 км.

Картка 2

107

1. У першому будинку 128 квартир, а в другому –

120. У другому будинку поверхів на 4 більше, а

квартир на кожному поверсі на 2 менше, ніж у

першому будинку. Знайдіть кількість поверхів у

кожному будинку та кількість квартир на

кожному поверсі.

2. Дві бригади, що здійснюють роботи з утеплення

фасадів, працюючи разом, виконують усе

завдання за 6 год. За скільки годин може

виконати це завдання кожна бригада, працюючи

самостійно, якщо одній бригаді на це потрібно на

5 год більше, ніж іншій бригаді?

3. З Києва до Житомира одночасно виїхали два

автомобілі. Швидкість одного з автомобілів була

на 10 км/год більшою за швидкість другого, тому

він прибув до Житомира на 40 хв раніше.

Знайдіть швидкість кожного автомобіля якщо

відстань між містами становить 140 км.

VI. Підсумки уроку

Бліц-опитування:

Які задачі можна вважати прикладними?

Що таке математична модель прикладної

задачі?

Які основні етапи математичного

моделювання?

З якими математичними моделями ми

працювали сьогодні на уроці?

108

Опишіть алгоритм розв’язування прикладної

задачі за допомогою систем рівнянь.

Математичний диктант. Скласти математичні

моделі до наступних задач:

1. Навколо прямокутної ділянки землі площею

2400 м2 поставили огорожу завдовжки 220 м.

Знайдіть довжину та ширину ділянки.

2. Змішали 30 %-й і 50 %-й розчини кислоти й

одержали 400 г розчину, що містить 40 %

кислоти. Скільки грамів кожного розчину

взяли?

3. За 2 кг печива і 3 кг зефіру заплатили 370 грн,

а за 5 кг печива і 2 кг зефіру — 485 грн.

Скільки коштує 1 кг кожного продукту?

VII. Домашнє завдання.

Участь у проекті на тему «Математика

навколо нас».

Розв’язати задачі:

1. Присадибна ділянка має форму прямокутника. Її

площа дорівнює 4200 м2. Якщо її ширину зменшити

на 25 м, а довжину збільшити на 50 м, то площина не

зміниться. Знайдіть розміри присадибної ділянки.

2. Вал меншим діаметром робить за хвилину на 400

обертів більше і здійснює один оберт на 0,2 с швидше,

ніж вал з більшим діаметром. Скільки обертів робить

кожний вас за хвилину?

109

Методичний коментар

Головне завдання вчителя математики на уроці -

забезпечити умови для досягнення очікуваних результатів

навчання. Формуванню в учнів умінь математичного

моделювання, розвитку уявлень про математику, як

прикладну науку, має слугувати спеціальна добірка

прикладних задач, яка розкриває можливості математики у

процесі пошуку відповідей на значну кількість практичних

ситуацій їз різних сфер життєдіяльності людини.

Методична майстерність учителя в процесі організації

розв’язування кожної із запропонованих задач, має

сприяти створенню умов для розвитку прийомів розумової

діяльності учнів. Запропонована добірка задач є

надлишковою, щоб мати змогу для диференціації

навчання.

Одним із завдань цієї добірки є розкриття

різноманітності застосувань систем двох рівнянь з двома

невідомими.

2.4.2. Геометрія, 9 клас: «Довжина кола.

Розв’язування задач»

Тема уроку: Довжина кола. Розв’язування задач.

Мета уроку: розуміння учнями виведення формули

для знаходження довжини кола; формування вміння учнів

застосовувати формулу довжини кола до розв’язування

110

прикладних задач; розвиток в учнів умінь математичного

моделювання.

Очікувані результати навчання: учень – пояснює

що таке довжина кола; обчислює довжину кола; застосовує

вивчену формулу до розв’язування прикладних задач.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань і вмінь.

План уроку.

I. Актуалізація опорних знань.

II. Мотивація навчальної діяльності.

III. Пояснення нового матеріалу.

IV. Закріплення нових знань.

V. Організація самостійної пізнавальної діяльності

учнів.

VI. Підсумки уроку.

VII. Домашнє завдання.

Хід уроку.

I. Актуалізація опорних знань - фронтальне

опитування:

Що таке коло?

Що таке радіус та діаметр кола?

Як пов’язані між собою радіус і діаметр

кола?

II. Мотивація навчальної діяльності

Ще в далекому минулому людям доводилося

розв’язувати задачі на обчислення довжини кола. Довжину

111

кола та його частин (з певним рівнем точності) уміли

визначати ще 2000 років до н. е. у Стародавніх Єгипті та

Вавилоні. У різні часи значення відношення довжини кола

C до його діаметра d, які використовували під час

обчислень, різнилися. Наприклад, у Стародавньому Єгипті

(3500 років тому) це значення дорівнювало 3,16, а

стародавні римляни вважали, що 3,12.

Досить точно значення цього відношення визначив

давньогрецький учений Архімед (бл. 287–212 р. до н. e.).

Прийнявши діаметр кола за одиницю, вписував у коло і

описував навколо кола правильні многокутники.

Знайшовши периметри вписаного і описаного 96-кутника,

він встановив, що довжина кола діаметром 1 знаходиться у

таких межах: 310

72<

С

𝑑< 3

1

7, тобто він довів, що 3,1408... <

С

𝑑

< 3,1428...

Першим використовувати грецьку літеру 𝜋 для

значення відношення довжини кола до його діаметра

запропонував англійський математик Вільям Джонс у 1706

p., але загальновживаним це позначення стало завдяки

працям видатного німецького математика Леонарда Ейлера

(1707–1783), який обчислив число з точністю до 153

десяткових знаків.

У наш час за допомогою сучасних комп’ютерів

обчислено понад 200 мільярдів десяткових знаків числа 𝜋.

Оскільки 𝜋=3,142857…, то як наближене значення числа 𝜋

для розв’язування багатьох практичних задач беремо число

3,14.

112

III. Пояснення нового матеріалу:

1. Введення поняття довжини кола.

2. Доведення теореми про відношення довжини кола

до його діаметра.

3. Формула для обчислення довжини кола C = 2πR.

4. Застосування формули довжини кола.

IV. Закріплення нових знань.

Задача-цікавинка. Уявіть собі, що Земну кулю

стягнули обручем по екватору. Потім довжину обруча

збільшили на 10 м. При цьому між поверхнею Земної кулі і

обручем утворилася невелика щілина. Чи зможе людина

пролізти в цю щілину? Поміркуйте і зробіть відповідний

висновок (Довжина земного екватора приблизно дорівнює

40 000 км).

V. Організація самостійної пізнавальної

діяльності учнів

Виконання усних вправ

1. Знайдіть довжину кола радіуса 5 см.

2. Знайдіть довжину кола діаметра 5 см.

3. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює 16π см.

4. Знайдіть діаметр кола, довжина якого дорівнює 5π см.

Колективне виконання завдань під

керівництвом учителя:

1. Розміри прямокутного листа бляхи – 510 мм ×

710 мм. Якого найбільшого діаметру виготовити

трубу можна з цього листа, якщо на шов

113

потрібно затратити 2% довжини відповідної

сторони.

2. Шків* діаметра 1,4 м здійснює 80 обертів за

хвилину. Знайдіть швидкість точки на ободі

шківа. (Шків (від нід. schijf ) —

фрикційне колесо з обідком або з канавкою по

ободу, яке передає рух і зусилля приводному

пасу чи линві (ведучий шків) або навпаки

(ведений шків).

Рис.2.14.

3. Знайдіть довжину приводного паса, який

сполучає два шківи, якщо їх радіуси

дорівнюють 10 см і 30 см, а відстань між

центрами OO1=1 м.

Рис.2.15.

114

Рис.2.16.

4. Діаметр колеса тепловоза 0,8 м. Скільки обертів за

хвилину робить це колесо, коли тепловоз їде зі

швидкістю 60 км/год?

5. Знайдіть довжину орбіти штучного супутника

Землі, якщо він рухається по колу на відстані 320

км від поверхні Землі. Радіус Землі дорівнює

приблизно 6370 км.

6. На котушці є 80 витків дроту. Знайдіть довжину

дроту, якщо діаметр котушки дорівнює 0,5 м.

7. Вантаж піднімають за допомогою блока. На яку

висоту підніметься вантаж за 9 обертів блока, якщо

його діаметр дорівнює 20 см?

Рис.2.17.

115

8. Знайдіть довжину земного екватора, якщо радіус

Земної кулі дорівнює 6381 км.

9. Діаметр вала колодязя 30 см, а глибина колодязя 7,6

м. Скільки повних обертів корби треба зробити,

щоб витягти відро води?

VI. Підсумки уроку

Бліц-опитування:

Запишіть і поясніть формулу для знаходження

довжини кола, радіуса та діаметра кола через його

довжину.

Чому дорівнює відношення довжини кола до

діаметра?

Поясніть, чому відношення довжини кола до його

діаметра одне й те саме для кожного кола.

VII. Домашнє завдання.

1. Як знайти відстань до води в колодязі, якщо можна

виміряти діаметр вала, на який намотується ланцюг

для відра?

2. На котушку радіуса 2 см намотано 10 витків нитки.

Знайдіть довжину нитки.

3. Вантаж піднімають за допомогою блока. (див мал.

до зад.7) На скільки підніметься вантаж за 10

обертів блока, якщо діаметр блока 15 см?

Щоб знайти товщину дерева (діаметр), можна

виміряти його обхват (довжину кола). Обчисліть

товщину дерева, обхват якого дорівнює:

116

1) 2 м; 2) 2,5

Методичний коментар

Вводячи поняття довжини кола, важливо використати

якісну наочність, забезпечити правильне зорове

сприйняття. Щоб наочно уявити, що таке довжина кола,

можна розглянути певну модель кола зроблену з тонкого

дроту. Якщо таке коло розрізати в деякій точці А і

розпрямити дугу, то одержимо відрізок AA1, довжина якого

і є довжиною кола (див. рис.2.18.).

Рис.2.18.

Периметр будь-якого правильного многокутника,

вписаного в коло, є наближеним значенням довжини кола.

Чим більше число сторін такого многокутника, тим

точніше це наближення, оскільки многокутник при

збільшенні числа сторін все ближче і ближче «прилягає»

до лінії кола.

Традиційний підхід до виведення формули довжини

кола виглядає так:

1) Покажемо, що відношення довжини кола до його

діаметра не залежить від кола, тобто є одним і тим

же числом.

117

Доведення

Нехай маємо два довільних кола (рис.????), радіуси

яких дорівнюють R1 і R2, а довжини кіл — С1 і С2. У кожне

з цих кіл впишемо правильні n-кутники з однаковим

числом сторін, довжини яких дорівнюють ап і а'п, тоді їх

периметри Рп і Р'п відповідно дорівнюватимуть:

Pn = nan = n ∙ 2R1sinn

180, Р'п = na'n = n ∙ 2R2sin

n

180 .

Тоді 2

1

2

2

R

R

P

P

n

n

.

Рис.2.19.

Якщо значення п необмежено збільшувати, то

периметри Рп і Р'п значно наближатимуться до довжин кіл

С1 і С2, а відношення периметрів – до відношення 2

1

C

C.

Отже, 2

1

2

1

2

2

R

R

C

C , або

2

2

1

1

22 R

C

R

C , що і потрібно було

довести.

Стале відношення довжини кола С до його діаметра

2R прийнято позначати грецькою буквою π. Число π —

118

ірраціональне число, його наближене значення π

3,1415926.

Отже, R

C

2, звідки C = 2πR.

C = 2πR — формула довжини кола.

Звертаємо увагу на доцільність розгляду задачі-

цікавинки з неочікуваною відповіддю.

Задача. Уявіть собі, що Земну кулю стягнули

обручем по екватору. Потім довжину обруча збільшили на

10 м. При цьому між поверхнею Земної кулі і обручем

утворилася невелика щілина. Чи зможе людина пролізти в

цю щілину? Поміркуйте і зробіть відповідний висновок

(Довжина земного екватора приблизно дорівнює 40 000

км).

Після короткотривалої дискусії учнів варто

детально розібрати її розв’язання.

На перший погляд може здатися, що щілина буде

настільки маленькою (адже 10 м – це майже ніщо в

порівнянні з 40 000 км), що в нього не зможе пролізти не

тільки людина, але навіть кішка. Насправді ж величина

зазору буде приблизно дорівнювати 1,6 м, тобто людина не

тільки зможе пролізти в нього, але навіть пройти (злегка

нахиливши голову, якщо високого зросту).

Формула для обчислення довжини кола C = 2πR

буде математичною моделлю даної задачі. Радіус кола

дорівнює: R = C/2π. Таким чином, довжина кола і її радіус

перебувають у відношенні прямої пропорційності, але при

цьому радіус менше довжини. Збільшення довжини

119

екваторіального обруча – це збільшення довжини кола.

Користуючись вищенаведеною формулою, легко

встановити збільшення її радіусу, яке буде величиною

зазору, що утворився між обручем і поверхнею земної кулі.

С1 - С = 2πR1 - 2πR = 2π (R1 - R);

2π (R1 - R) = 1(м);

R1 - R = 1

2𝜋≈ 0,16(м) ≈16 (см)

Провівши прості підрахунки, ми побачили, що при

збільшенні довжини екваторіального обруча всього на 1 м,

його радіус збільшується приблизно на 16 см. У такій зазор

може пролізти кішка. Збільшення довжини обруча на 10 м

(як в умові завдання) збільшує зазор приблизно на 1,6 м, і в

нього може пройти людина. Якщо ж довжина

екваторіального обруча збільшиться на 100 м, то величина

зазору буде приблизно дорівнює 16 м. У такій зазор цілком

зможе «пролізти» п'ятиповерховий будинок.

Ця задача буде ще більш дивною і парадоксальною,

якщо її сформулювати так: Земна куля стягнута обручем

по екватору, і точно так само «по екватору» стягнуто

обручем апельсин. Уявімо, що довжина кожного обруча

збільшилася на 1 м. При цьому між поверхнями цих тіл і їх

обручами утворюється зазор. В якому випадку цей зазор

буде більшим – у земної кулі чи в апельсина?

Здається безсумнівним, що більшим він буде у

апельсина. Однак насправді в обох випадках він буде

однаковим, рівним приблизно 16 см. Довести це неважко.

Нехай довжина кола земної кулі дорівнює L м, а апельсина

l м. Тоді радіус Землі R = L / 2π, а радіус апельсина r = l /

120

2π. Після збільшення довжини обруча на 1 м довжина

обруча у Землі буде L + 1, а у апельсина l + 1, радіуси їх,

відповідно, будуть (L + 1) / 2π і (l + 1) / 2π. Якщо від нових

радіусів відняти попередні радіуси, то отримаємо довжину

зазору 1

2𝜋 м.

Вражаючий результат однаковості зазору для земної

кулі й апельсину є наслідком сталості відношення довжини

кола до його радіуса. Емоція здивування є вкрай важливою

для збудження і підтримання інтересу учнів у процесі

формування умінь математичного моделювання.

2.4.3. Алгебра, 10 клас: «Застосування похідної

функції до розв’язування прикладних задач»

Тема уроку: Застосування похідної функції до

розв’язування прикладних задач.

Мета уроку: узагальнення й систематизація знань з

теми «Похідна та її застосування»; розвиток умінь

математичного моделювання, прийомів аналізу та

узагальнення, навичок комунікації в групі.

Очікувані результати навчання: учні повинні

зрозуміти значення похідної функції для опису реальних

процесів; знаходити кутовий коефіцієнт і кут нахилу

дотичної до графіка функції в даній точці, швидкість зміни

величини в точці; застосовувати похідні для дослідження

121

функцій на монотонність і екстремуми; знаходити

найбільше і найменше значення функції.

Тип уроку: узагальнення й систематизація знань.

План уроку.

I. Актуалізація опорних знань з теми.

II. Мотивація навчальної діяльності.

III. Застосування знань і вмінь з теми для

дослідження реальних життєвих та виробничих

ситуацій.

IV. Організація самостійної пізнавальної діяльності

учнів.

V. Підсумки уроку.

VI. Домашнє завдання.

Хід уроку.

I. Актуалізація опорних знань:

1. Сформулюйте визначення похідної функції.

2. Що таке похідна функції з геометричної точки

зору?

3. Що таке похідна функції з механічної точки зору?

4. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції y =

f(x) у точці з абсцисою x0.

5. Повторимо таблицю похідних, використовуючи

інтерактивну вправу:

https://learningapps.org/display?v=p172qwoma19

6. Сформулюйте означення критичних точок функції.

122

7. Сформулюйте достатню умову зростання

(спадання) функції; сталості функції.

8. Дайте визначення точок екстремуму функції та її

екстремумів.

9. Сформулюйте необхідну умову екстремуму

функції.

10. Сформулюйте достатню умову існування

екстремуму в точці.

11. За яким алгоритмом розв’язується задача на

знаходження найбільшого або найменшого значень

функції на заданому проміжку?

II. Мотивація навчальної діяльності

У нашому житті дуже часто трапляються ситуації,

коли потрібно вирішити деяке питання у найкоротший

термін або з найменшими витратами, кажуть, знайти

оптимальне рішення проблеми. Питання про знаходження

оптимального розв’язання завдання цікавило людей

завжди. Наприклад:

Яких розмірів має бути ящик (залежно від

матеріалу), щоб об’єм був найбільшим?

Як зробити так, щоб деталі космічного корабля

мали меншу масу?

В якому місці слід побудувати міст через річку, щоб

дорога була найкоротшою?

123

III. Застосування знань і вмінь з теми

1. Торт має форму прямокутного паралелепіпеда з

площею основи 400 см2 і висотою 10 см. Він пакується

у коробку, яка має форму прямокутного паралелепіпеда

тих самих розмірів (стінки коробки дуже щільно

прилягають до торта). Якими мають бути сторони

прямокутника основи паралелепіпеда, у формі якого

виготовлено торт, щоб витрати паперу на виготовлення

коробки були найменшими?

Рис.2.20.

2. Мандрівник перебуває на відстані 5 км від

прямолінійного шляху і на відстані 13 км від

будинку, що стоїть біля шляху. По шляху він може

йти зі швидкістю 5 км/год, а швидкість по

бездоріжжю – 3 км/год. Який шлях повинен обрати

мандрівник, щоб якнайшвидше досягти будинку?

3. Є квадратний лист жерсті зі стороною 60 см. Знайдіть

розміри квадратів, які треба вирізати в кутах даного

листа, щоб з одержаної заготовки зробити коробку

найбільшого об’єму.

124

Рис.2.21.

4. Як з квадратного листа жерсті зі стороною а

виготовити бак з квадратною стороною без кришки

найбільшого об’єму?

Рис.2.22.

5. Нехай Маші у спадок дісталась ділянка землі 9 соток,

тобто 900 м2 для ведення господарства і у неї є вибір,

якими мають бути розміри цієї ділянки. Як їй вчинити,

щоб витрати на огорожу були найменшими?

6. Завдання «Малюнок один, задачі різні»:

125

Рис.2.23.

1) Якими слід робити літрові консервні банки

циліндричної форми, щоб на їх виготовлення

йшло найменше жерсті? Допусками на шви

можна знехтувати.

2) Визначити розміри циліндричної закритої банки,

об’єм якої V см, щоб її повна поверхня була

найменшою, тобто щоб витрати жесті на її

виготовлення були найменшими.

3) З прямокутного шматка жерсті згорнули циліндр

найбільшого об’єму, припаяли до нього два

однакових жерстяних круги згори та знизу і

пофарбували. Площа пофарбованої поверхні

дорівнювала 1884 см2. Знайдіть наближене

значення радіуса основи циліндра з точністю до

см, вважаючи 𝜋 ≈ 3,14.

126

IV. Організація самостійної пізнавальної

діяльності учнів

1. Прямокутна квіткова клумба повинна займати

площу 216 м2. Вздовж довжини клумби повинні

бути доріжки шириною 2 м, а вздовж ширини

клумби – по 3 м. Якими повинні бути розміри

клумби, щоб площа доріжок була найменшою?

Рис.2.24.

2. Приватний пляж планують огородити так, як

зображено на малюнку (від річки огорожа не

ставиться). Для цього завезено 1000 м огорожі. Яку

найбільшу площу (у гектарах) може мати

огороджений таким чином пляж?

Рис.2.25.

127

3. Якими повинні бути розміри басейну об’ємом 32 м3

з квадратним дном і вертикальними стінками, щоб

на його облицювання пішло найменше плиток?

Рис.2.26.

4. Із наявного матеріалу можна зробити паркан

завдовжки 320 м. 1) Як цим парканом обгородити

прямокутну ділянку найбільшої площі,

використавши з одного боку стінку будівлі? 2) Як

цим парканом обгородити стадіон, що являє собою

прямокутне поле з півкруговою областю, яка

приєднана до однієї з його сторін, щоб площа

стадіону була найбільшою?

(Відповідь. 1) 80х160; 2) радіус R півкруга повинен

дорівнювати 320

𝜋+4 ≈ 44,8м, сторона прямокутника

дорівнює 2R.)

Рис.2.27.

128

V. Домашнє завдання.

Будівельна компанія отримала замовлення на

будівництво басейну з квадратним дном.

Визначити розміри басейну, щоб на облицювання

стін і дна пішла мінімальна кількість плитки.

Об’єм басейну – 128 куб.од.

Треба загородити два пасовища у формі рівних

прямокутників зі спільною стороною так, щоб

сума їх площ дорівнювала 6 га. Знайдіть

найменшу можливу довжину огорожі.

Металевий лист прямокутної форми має сторони

5 дм. та 8 дм. У чотирьох його кутах вирізають

квадрати, та згинаючи під прямим кутом краї,

роблять відкриту коробку. Які квадрати потрібно

вирізати, щоб об’єм коробки був найбільшим?

(див. малюнок до задачі 3).

Методичний коментар

Уроки узагальнення та систематизації знань та умінь

учнів традиційно є методично найважчими для вчителів

математики, особливо вчителів-початківців.

Найпоширеніша методична помилка вчителів полягає в

тому, що ці уроки зводяться до звичного повторення

навчального матеріалу з теми, розвязування типових

завдань, або корекції знань та умінь учнів. Основна ж мета

уроків узагальнення та систематизації знань та умінь учнів

полягає в створенні вчителем умов для приведення

129

отриманих знань учнів з певної теми в цілісну систему,

умов для усвідомлення учнями значимості отриманих

знань та умінь. Такими умовами для уроків узагальнення

та систематизації знань та умінь учнів, на нашу думку,

можуть бути спеціально вибудувані вчителем системи

прикладних задач. Розглянемо, як в процесі розвязування

підібраних нами задач можуть бути забезпечені вказані

вище умови.

Задача. Торт має форму прямокутного

паралелепіпеда з площею основи 400 см2 і висотою

10 см. Він пакується у коробку, яка має форму

прямокутного паралелепіпеда тих самих розмірів

(стінки коробки дуже щільно прилягають до торта).

Якими мають бути сторони прямокутника основи

паралелепіпеда, у формі якого виготовлено торт, щоб

витрати паперу на виготовлення коробки були

найменшими?

Розв’язання.

Оскільки площі дна і кришки коробки залишаються

незмінними і дорівнюють по 400 см2, то все залежить від

сумарної площі стінок, яка обчислюється за формулою

Sб = Pосн . h. Оскільки h = 10 см, тобто є сталою

величиною, то для того щоб площа була найменшою,

потрібно мінімізувати периметр основи.

Нехай сторони прямокутника основи дорівнюють х

см і у см.

Тоді Pосн = 2(х+у), площа основи Sосн = ху = 400.

130

Отже, у = 400

х і Pосн = 2(х+

400

х) = f(x).

Дослідимо отриману функцію на найбільше і найменше

значення на проміжку (0; ∞).

Знайдемо f `(x)= 2+ 2·(−400

х2) =

2х2−800

х2 .

Знайдемо критичні точки f(x), які належать проміжку

(0; ∞). Отримаємо: 2х2−800

х2= 0, звідки 2х2 = 800,

х2 = 400,

х=± 20.

Бачимо, що лише критична точка х=20 належить

проміжку (0; ∞). Перевіримо знаки похідної на проміжках

(0; 20) і (20; ∞). Отже точка х=20 є точкою мінімуму f(x).

Тому периметр основи буде найменшим за умови х=20 см,

у= 400:20 = 20 см, тобто у випадку, коли прямокутник

основи є квадратом.

Відповідь. Витрати паперу на виготовлення коробки

для торту будуть найменшими якщо її основа буде

квадратом зі стороною 20 см.

Задача. Мандрівник перебуває на відстані 5 км від

прямолінійного шляху і на відстані 13 км від

будинку, що стоїть біля шляху. По шляху він може

йти зі швидкістю 5 км/год, а швидкість по

бездоріжжю – 3 км/год. Який шлях повинен обрати

мандрівник, щоб якнайшвидше досягти будинку?

Розв’язання.

131

Нехай будинок міститься у точці А, а мандрівник –

у точці С. За умовою задачі АС = 13 км, ВС = 5 км. Тоді

АВ = √132− 52 = 12 км. Маршрут мандрівника зображено

ламаною лінією СМА. Треба знайти таке положення точки

М, при якому мандрівник найшвидше дійде до будинку.

Рис.2.28.

Нехай АМ = х, тоді МВ = 12-х,

МС = √25 + (12 − х)2 = √х2 − 24х + 169, і затрачений

мандрівником час t = 𝑥

5+

𝑥−12

3√𝑥2−24𝑥+169

Знайдемо найменше значення цієї функції t = f(x) при

0≤х≤12: f `(x) = 1

5+

𝑥−12

3√𝑥2−24𝑥+169

Прирівнявши похідну до нуля, розв’яжемо рівняння:

3√х2 − 24х + 169 +5(х-12) = 0, або

3√х2 − 24х + 169 = 5(х-12).

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо

9(х2 -24 + 169) = 25(144 – 24х + х2), 16х2 – 384х + 2079 = 0.

Звідси х1= 192− √3600

16=

192−60

16= 8,25; х2 =

192+60

16= 15,75.

132

Другий корінь рівняння х2 не задовольняє умову задачі

0≤х≤12.

Точка х = 8,25 – єдина критична точка функції t = f(x)

на проміжку [0;12].

Оскільки f``(0) =−7

65 < 0, f``(12) = 0,2 > 0, то похідна

змінює свій знак у точці х = 8,25 з мінуса на плюс. Тому

при х =8,25 функція t = f(x) набуває найменшого значення

на вказаному проміжку.

Відповідь. Отже, щоб затратити найменше часу на

весь маршрут, мандрівник повинен вийти на шлях у точці

М, віддаленій від будинку на 8,25 км.

Задача. Є квадратний лист жерсті зі стороною 60 см.

Знайдіть розміри квадратів, які треба вирізати в кутах

даного листа, щоб з одержаної заготовки зробити

коробку найбільшого об’єму.

Розв’язання.

Щоб одержати коробку (у формі прямокутного

паралелепіпеда), квадрати в кутах листа треба вирізати

рівні. Нехай х – довжина сторони такого квадрата. Тоді

висота коробки дорівнює х, а сторона основи 60 – 2х.

Об’єм коробки V(x) = (60 – 2х)2х є функцією від х.

Маємо дослідити математичну модель задачі

(функцію від х): при якому значенні х функція V(x) = (60 –

2х)2х на проміжку [0;30] набуває найбільшого значення.

V(x) = (60 – 2х)2х = 3600х – 240х2 + 4х3,

Vʹ(x) = 3600 – 480х + 12х2 ,

133

3600 – 480х + 12х2 = 0,

х2 – 40х + 300 = 0,

х1 = 10, х2 = 30.

Знаходячи знак похідної даної функції ліворуч і

праворуч від х = 10. Знаходимо, що х = 10 – точка

максимуму.

Відповідь. Щоб з даної заготовки зробити коробку

найбільшого об’єму, слід у кожному кутку вирізати

однакові квадрати, сторона яких дорівнює 10 см.

Задача. Як з квадратного листа жерсті зі стороною а

виготовити бак з квадратною стороною без кришки

(див. малюнок) найбільшого об’єму?

Розв’язання.

Нехай сторона основи бака буде х, згідно з умовою задачі

х є [0; а], тоді висота бака буде а−х

2.

Об’єм бака V(x) = х2 . а−х

2, оскільки це прямокутний

паралелепіпед.

V’(x) = (1

2 (ах2 − х3))′ =

1

2 (2ах − 3х2)).

V’(x) =0, якщо 2ах − 3х2 = 0;

х(2а – 3х2) = 0, звідси х= 2а

3, або х=0. Якщо х=0, то V(х) = 0.

х= 2а

3, є точкою максимуму на вказаному проміжку,

що можна обґрунтувати досліджуючи знак похідної.

Тоді найбільший об’єм V(2а

3) =

2 a3

27.

134

Відповідь. Шуканий найбільший об’єм бака: V(2а

3) =

2 a3

27.

Задача. Нехай Маші у спадок дісталась ділянка землі 9

соток, тобто 900 м2 для ведення господарства і у неї є

вибір, якими мають бути розміри цієї ділянки. Як їй

вчинити, щоб витрати на огорожу були найменшими?

Розв’язання.

Позначимо довжину однієї сторони прямокутної

ділянки за х, тоді друга сторона буде 900

х, периметр

прямокутника дорівнює 2(х + 900

х ). Знайдемо найменше

значення функції f(x)= 2(х+900

х ) на інтервалі (0;+∞).

1. D(y)=(0;+ ∞)

2. f'(x) = (2х + 1800

х)' = 2 -

1800

х2 = 2х2−1800

х2 .

3. f'(x)=0 , похідна не існує при х=0

2х2-1800=0

х2=900

х1=30

х2=-30 не належить інтервалу (0;+∞).

4. 30∈(0; + ∞)

5. Знак похідної зліва і справа від критичної точки:

f'(20)<0; f'(40)>0

Отже, х=30 – точка мінімуму досліджуваної функції.

Таким чином, функція на інтервалі (0;+∞) приймає своє

найменше значення при х=30. Отримуємо, що шукані

розміри ділянки 30х30 метрів.

135

Відповідь. Витрати на огорожу будуть найменшими,

якщо ділянка матиме форму квадрата зі стороною 30 м.

Задача. Якими слід робити літрові консервні банки

циліндричної форми, щоб на їх виготовлення йшло

найменше жерсті? Допусками на шви можна

знехтувати.

Розв’язання.

1 л = 1 дм3. Якщо діаметр основи циліндра х, а висота

у, то об’єм циліндра 𝜋 (х

2)

2

у = 1 , звідки у = 4

𝜋 х2 . Площа

поверхні S = 2𝜋 (х

2)

2

+ 2𝜋 (𝑥

2) у = 2𝜋

𝑥2

4+

4

𝑥 . Площа

поверхні набуватиме найменшого значення, коли х3 = 4

𝜋. У

цьому випадку у3 = 4

𝜋. Отже, х = у.

Відповідь. Щоб на виготовлення консервних банок

йшло найменше жерсті діаметр основи банки має

дорівнювати її висоті.

Задача. Визначити розміри циліндричної закритої

банки, об’єм якої V см3, щоб її повна поверхня була

найменшою, тобто щоб витрати жесті на її

виготовлення були найменшими.

Розв’язання.

Складемо математичну модель вказаної ситуації.

136

Позначимо радіус основи банки через х, а висоту

через h. Тоді повну поверхню банки виражаємо формулою

S = 2·πх2+2πхh.

з формули об’єму циліндра V= πx2h виражаємо h через х:

h = V : πx2 .

Функцію S подаємо через одну змiнну х:

S=2πх2+2πх· (V : πx2 )= 2πх2 + 2𝑉

𝑥 , де х≥0.

Дослідимо цю функцію на екстремyми:

Sʹ=6х3 𝜋−2𝜋х3− 2𝑉

х2

Sʹ=0; 4х3 𝜋− 2𝑉

х2 =0;

4πх³-2v=0;

х= √V

2π

3 ;

При х < √V

2π

3, Sʹ<0, при х > √

V

2π

3, Sʹ>0.

Тому, в точці х = √V

2π

3 функція S набуває мінімуму.

Отже, коли х = √V

2π

3, то повна поверхня банки буде

найменшою, при цьому h = V: 𝜋 √V

2π

3 = √

4V

π

3, тобто

висота банки дорівнює дiаметру основи.

Це означає, що √4V

π

3 - діаметр основи, а також висота

циліндра.

137

Вiдповiдь. Якщо осьовий переріз банки буде квадратом, то

при заданому об’ємі витрата жесті на виготовлення

банки буде найменшою.

Задача. З прямокутного шматка жерсті згорнули

циліндр найбільшого об’єму, припаяли до нього два

однакових жерстяних круги згори та знизу і

пофарбували (див. малюнок). Площа пофарбованої

поверхні дорівнювала 1884 см2. Знайдіть наближене

значення радіуса основи циліндра з точністю до

сантиметрів, вважаючи 𝜋 ≈ 3,14.

Розв’язання.

Побудуємо математичну модель.

Sп.п. = 2𝜋R2 + 2𝜋RH = 1884 (см2)

2𝜋R (R + H) = 1884,

R + H = 1884: 2𝜋R,

H = 942: 𝜋R – R.

Об’єм циліндра V = 𝜋R2H.

Підставимо замість H знайдений вираз у формулу об’єму і

будемо мати функцію з однією змінною: V (R)= 942 R –

𝜋R3

Знайдемо похідну функції і критичні точки:

Vʹ(R)= 942 - 3 𝜋R2; Vʹ(R)= 0; 942 - 3 𝜋R2=0

3𝜋R2= 942,

R = √314

𝜋.

Якщо 𝜋 = 3,14, то R = √100 = 10 (см).

138

Відповідь. Наближене значення радіуса основи

циліндра з точністю до сантиметрів дорівнює 10

сантиметрів.

2.4.4. Геометрія, 10 клас: «Перпендикулярність

прямих і площин у просторі». Підсумковий урок.

Тема уроку: Перпендикулярність прямих і площин

у просторі.

Мета уроку: систематизація й узагальнення знань

та умінь учнів з теми «Перпендикулярність прямих і

площин у просторі»; розвиток умінь математичного

моделювання; розвиток просторової уяви і логічного

мислення; закріплення уявлень про прикладне

застосування геометрії.

Очікувані результати навчання: учень –

встановлює та обґрунтовує перпендикулярність прямих,

прямої та площини, двох площин; формулює означення

кута між прямими, прямою та площиною, площинами;

теорему про три перпендикуляри; застосовує відношення

між прямими і площинами, відстані та кути у просторі до

опису об’єктів навколишнього світу; розв’язує задачі на

знаходження відстаней та кутів в просторі, зокрема

практичного місту.

Тип уроку: урок систематизації та узагальнення

знань і умінь.

139

План уроку.

I. Актуалізація опорних знань.

II. Мотивація навчальної діяльності.

III. Застосування знань і вмінь.

IV. Організація самостійної пізнавальної діяльності

учнів.

V. Підсумки уроку.

VI. Домашнє завдання.

Хід уроку.

I. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування за технологією

«Мікрофон»

Чи можна стверджувати, що спільне ребро двох стін

перпендикулярне до підлоги?

Перпендикулярність стіни перевіряють за допомогою

виска (шнур з тягарцем). Якщо він щільно прилягає

до її поверхні, вважають, що вертикальність

витримано. Чи правильно це? На чому ґрунтується

такий спосіб перевірки?

Щоб перевірити вертикальність стовпа,

спостереження ведуть з двох пунктів, які не

лежать на одній прямій з основою стовпа.

Обґрунтуйте такий спосіб перевірки.

Як перевірити перпендикулярність стіни і підлоги у

новозбудованій кімнаті?

140

Рис.2.29.

Треба перевірити, чи перпендикулярні одна до одної

сусідні стіни в кімнаті. Як використати для цього

теорему Піфагора?

Рис.2.30.

Новорічну ялинку дуже часто встановлюють на

хрестовині. А як розміщують стовбур до кожної планки

хрестовини? Чому?

С

А

В

141

Рис.2.31.

Як перевірити за допомогою вимірювань, чи є

перпендикулярною до підлоги лінія, по якій

з’єднуються дві суміжні стіни кімнати?

Яким чином можна перевірити перпендикулярність

осі свердла до площини кріплення деталі?

Рис.2.32.

Встановлюючи грибочки на дитячому майданчику,

майстер перевіряє перпендикулярність ніжок до

площини пісочниці. Як він це робить?

142

Рис.2.33.

Як перевірити за допомогою рулетки

вертикальність встановлення стовпа?

Рис.2.34.

Як перевірити, чи перпендикулярна площина

колеса до осі, на яку воно насаджено?

Рис.2.35.

143

Чому поверхня дверей, незалежно від того зачинені

вони чи відчинені, розміщена вертикально до

підлоги?

Рис.2.36.

Чому борульки, які звисають з даху навесні, можна

вважати паралельними між собою, нехтуючи

їхньою товщиною?

Рис.2.37.

На недоступному узвишші встановлено високий

стовп. Як за допомогою виска перевірити його

вертикальність?

144

Наведіть свої приклади перпендикулярності прямої

і площини у просторі.

Виконати інтерактивну вправу:

https://learningapps.org/4495584

II. Мотивація навчальної діяльності

Необхідність перевіряти перпендикулярність прямої

і площини на практиці виникає досить часто: під час

будівництва об’єктів, установлення антен, вертикальних

стовпів, заводських димових труб; підйомні крани,

бурильні установки, телевізійні вежі, колодязі, нафтові

свердловини і шахтні стволи, роблять перпендикулярними

до площини горизонту. Голка швейної машини, свердло в

свердлильному верстаті переміщують по прямій,

перпендикулярній до площини станини. Всі кріпильні

болти, цвяхи, як правило, перпендикулярні до площини

кріплення. Перпендикулярно до площини горизонту

запускають космічні кораблі (згодом ракета-носій лягає на

курс). Зважаючи на важливість знань з теми

«Перпендикулярність прямих і площин у просторі» для

розв’язування багатьох життєво важливих завдань,

потренуємося у їх розв’язуванні за допомогою

математичного моделювання.

III. Застосування знань і вмінь.

Колективне розв’язування прикладних задач

під керівництвом учителя.

145

Задача 1. Над квадратною будівлею розміром 8 м

на 8 м потрібно виготовити дах, найвища точка якого

знаходиться на висоті 2 м над основою даху. Які найдовші

крокви для цього потрібні?

Рис.2.38.

Задача 2. Верхні кінці двох вертикальних стовпів,

розташованих на відстані 1 м один від одного, з’єднані

поперечиною. Висота одного стовпа дорівнює 3,4 м, а

другого — 1 м. Знайдіть довжину поперечини.

Задача 3. Електричний провід, завдовжки 15 м

протягують від стовпа, де він закріплений на висоті 8 м від

поверхні землі, до будинку, де його підключають на висоті

20 м. Знайдіть відстань від стовпа до будинку, вважаючи

що провід не провисає.

146

Рис.2.39.

V. Організація самостійної пізнавальної

діяльності учнів

Задачі про комбайн Енисей 1200.

Рис.2.40.

1. Корпус кріплення жатки комбайна ЄНІСЕЙ-1200 є

прямокутником. Із точки перетину діагоналей цього

прямокутника перпендикулярно до його площини

проходить вал приводу похилої камери. Доведіть,

що будь-яка точка цього валу рівновіддалена від

вершин корпусу кріплення жатки.

147

2. Боковина копнувача комбайна ЄНІСЕЙ-1200 являє

собою площину, до якої прикріплено

перпендикулярну планку довжиною 28 см. Із

верхньої точки планки відходить похилий

кронштейн довжиною 35 см. Знайти проекцію

кронштейна на площину боковини копнувача.

3. До боковини копнувача комбайна ЄНІСЕЙ-1200

кріпиться перпендикулярна планка, довжина якої

28 см і кутник, проекція якого 190 см. Знайти

довжину кутника.

4. Корпус підшипника комбайна ЄНІСЕЙ-1200 являє

собою рівносторонній трикутник із стороною 12 см.

Із центра підшипника виходить вал шнека

домолочуючого пристрою, перпендикулярно до

його площини, довжиною 2 см. Знайти відстань від

кінця валу до сторін підшипника.

V. Підсумки уроку.

У якій площині обертається шліфувальний диск,

якщо його вісь розташована: а) горизонтально;

б) вертикально?

Драбина завдовжки 5 м притулена до стіни, при

цьому її нижній кінець віддалений від стіни на

3 м. На якій висоті перебуває другий кінець

драбини?

VI. Домашнє завдання.

148

Повторити теоретичний матеріал теми

«Перпендикулярність прямих і площин у

просторі».

Підготуватися до контрольної роботи.

Підібрати три задачі прикладного характеру на

тему «Перпендикулярність прямих і площин у

просторі» та розв’язати їх.

Методичний коментар

Особливого значення в технології формування

умінь математичного моделювання в учнів ми надаємо

місцю й ролі кожної геометричної задачі, яку використовує

вчитель на уроці. Процес методичної діяльності із

відібраною задачею має розкривати комплекс її функцій,

серед яких навчальні, розвивальні, діагностичні,

прогнозуючі, тощо. Вдало відібрана прикладна задача, по-

перше, створює оптимальні умови для формування умінь

математичного моделювання в учнів, по-друге, дозволяє

використати, а тим самим активізувати, закріпити,

систематизувати, розвинути знання учнів з геометрії. По-

третє, методично грамотне розв’язування з учнями вдало

відібраної задачі, має слугувати розвитку прийомів їхньої

розумової діяльності. По-четверте, має виступати

мотиваційним чинником особистісного розвитку і т.д.

Прокоментуємо, для прикладу, розвязування

запропонованої вище добірки задач на уроці геометрії.

149

Задача. Перпендикулярність стіни перевіряють за

допомогою виска (шнур з тягарцем). Якщо він

щільно прилягає до її поверхні, вважають, що

вертикальність витримано. Чи правильно це? На

чому ґрунтується такий спосіб перевірки?

Вказівка. Якщо площина проходить через пряму,

яка перпендикулярна до іншої площини, то ці площини

перпендикулярні (ознака перпендикулярності двох

площин).

Задача. Як перевірити перпендикулярність стіни і

підлоги у збудованій кімнаті?

Вказівка. Для цього можна скористатися

«єгипетським трикутником». Знаючи, що він прямокутний

та має катети 3, 4 і гіпотенузу 5, потрібно на підлозі

відкласти 3 одиниці вимірювання, а на стіні 4 одиниці

вимірювання з однієї точки. Достатньо виміряти довжину

відрізка, що сполучає відкладені точки, вона має скласти 5

одиниць вимірювання. Нехай, для прикладу одна одиниця

дорівнює 10 см, тоді на підлозі відкладаємо 30 см, а на

стіні 40 см. Якщо довжина одержаного відрізка дорівнює

50 см, то стіна є перпендикулярною до підлоги.

150

Рис.2.41.

Задача. Треба перевірити, чи перпендикулярні одна до

одної сусідні стіни в кімнаті. Як може допомогти

використання теореми Піфагора?

Рис.2.42.

Вказівка. Стіни у кімнаті вертикальні, а підлога

горизонтальна. По нижньому краю стін від точки, яка

лежить на лінії їхнього перетину, відкладемо відрізки АВ

та АС завдовжки 3 та 4 довільні одиниці (наприклад,

дециметрів). Відрізки будуть перпендикулярними до лінії

В

151

перетину площин стін. Тоді кут, який утворили побудовані

відрізки, – це лінійний кут двогранного кута між стінами, і

він буде прямим тоді і тільки тоді, коли довжина відрізка

ВС дорівнюватиме 5 одиницям.

Задача. Новорічну ялинку дуже часто встановлюють на

хрестовині. А як має бути розміщений стовбур до

кожної планки хрестовини? Чому?

Вказівка. Щоб ялинка була стійкою, слід уникнути її

нахилу, тому слід закріпити перпендикулярно до

хрестовини. Якщо стовбур ялинки буде перпендикулярним

до кожної планки хрестовини, то він перпендикулярним і

до площини цієї хрестовини (ознака перпендикулярності

прямої і площини).

Задача. Як перевірити за допомогою вимірювань,

чи є перпендикулярною до підлоги пряма, по якій

з’єднуються дві суміжні стіни кімнати?

Вказівка. Від точки перетину трьох площин

відкласти однакової довжини відрізки на двох прямих

підлоги – це будуть рівні проекції похилих, то і похилі

мають бути рівні. Отже, якщо від будь-якої точки даної

прямої довжини відрізків до зроблених засічок рівні, то і

пряма по якій з’єднуються дві суміжні стіни кімнати

перпендикулярна до підлоги.

152

Задача. Як перевірити за допомогою рулетки

вертикальність стовпа?

Вказівка. Відкласти від основи стовпа на поверхні

землі два однакові відрізки і зробити засічки. Якщо від

будь-якої точки стовпа до даних засічок відстані

виявляться рівними, то стовп вертикальний до поверхні.

Задача. Як перевірити, чи перпендикулярна

площина колеса до осі, на яку воно насаджено?

Вказівка. Всі відстані від кінців шпиць до одного

кінця осі мають бути однакові. Якщо рівні проекції

похилих, то рівні і їхні похилі. Достатньо перевірити лише

дві такі відстані.

Задача. Чому поверхня дверей, незалежно від того

зачинені вони чи відчинені, розміщена вертикально

до підлоги?

Вказівка. Будемо розглядати дві паралельні сторони

дверей, що паралельні лутці. Якщо одна з двох

паралельних прямих перпендикулярна площині, то і друга

пряма також буде перпендикулярна цій площині. Якщо

сторони дверей вважати прями, які є паралельними і лутці,

яка завжди перпендикулярна до підлоги, то двері також

завжди будуть перпендикулярні до підлоги.

153

Задача. Чому бурульки, які звисають з даху навесні,

можна вважати паралельними між собою, нехтуючи

їхньою товщиною?

Вказівка. Всі краплинки води, що стікають з даху,

падають під впливом земного тяжіння перпендикулярно до

поверхні землі. Намерзаючи вони утворюють бурульки, які

перпендикулярні до поверхні землі. Якщо бурульки

вважати прямими, то вони паралельні між собою за

властивістю: всі прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж

площини, паралельні між собою.

Задача. На недоступному узвишші встановлено

високий стовп. Як за допомогою виска перевірити

його вертикальність?

Розв’язання.

Достатньо перевірити, що стовп знаходиться в одній

площині з деякою вертикальною прямою, а також в одній

площині (іншій) з деякою іншою вертикальною прямою.

Якщо розмістити висок перед собою так, щоб верхні кінці

виска та стовпа опинилися на одній прямій з оком, то лінії

виска та стовпа повинні збігатися. Обґрунтуванням цьому

способу перевірки є, по-перше, те, що вертикальний стовп

повинен лежати в одній площині з довільною

вертикальною прямою. По-друге, якщо дві паралельні

прямі лежать у двох площинах, які перетинаються, то ці

прямі паралельні прямій перетину площин.

154

Задача. Над квадратною будівлею розміром 8 м на 8 м

потрібно виготовити дах, найвища точка якого

знаходиться на висоті 2 м над основою даху. Які

найдовші крокви для цього потрібні? (На практиці

додають 30 см, щоб не затікало.)

Розв’язання.

Створимо математичну модель до цієї задачі і

сформулюємо її наступним чином:

З точки простору, що рівновіддалена від вершин квадрата

зі стороною 8 м, проведено 4 похилі рівної довжини.

Знайти довжини цих похилих, якщо точка знаходиться на

відстані 2 м від площини квадрата. Тобто, потрібно знайти

довжину бічного ребра правильної чотирикутної піраміди.

Рис.2.43.

Відрізок SO перпендикулярний площині квадрата, SD –

похила, OD –її проекція.

Діагональ квадрата BD=8√2 м, ВО= 8√2

2 =4√2 (м)

З ∆SOD (∠SOD =90°) за теоремою Піфагора:

SD2=22+(4√2)2=36

155

SD=±√36=±6 (-6 не відповідає змісту задачі).

Відповідь. Довжина кожної основної балки 6 м.

Задача. Верхні кінці двох вертикальних стовпів,

розташованих на відстані 1 м один від одного,

з’єднані поперечиною. Висота одного стовпа

дорівнює 3,4 м, а другого — 1 м. Знайдіть довжину

поперечини.

Вказівка. √(2,4)2 + 12 = √6,76 = 2,6

Відповідь. Довжина поперечини 2,6 метрів.

Задача. Електричний провід, завдовжки 15 м

протягують від стовпа, де він закріплений на висоті

8 м від поверхні землі, до будинку, де його

підключають на висоті 20 м. Знайдіть відстань від

стовпа до будинку, вважаючи що провід не

провисає.

Розв’язання.

Математична модель поверхні Землі – площина α, а

відстані 8 м і 20 м від поверхні Землі – прямі, що

перпендикулярні площині α. Знайти потрібно ВD.

156

Рис.2.44.

За властивістю прямих і площин, перпендикулярних між

собою (Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої

площини, паралельні) АВ||СD.

Проведемо ЕС||ВD, тоді ЕС=ВD.

∆BCF – прямокутний (∠АЕC=90°)

AE=20-8=12 (см).

За теоремою Піфагора: CE2 =AC2-AE2

CE=±√152 − 122 = ±9 (-9 не відповідає змісту задачі).

Відповідь. Відстань між будинком і стовпом 9

метрів.

157

2.4.5. Алгебра, 11 клас: «Застосування

показникової функції до розв’язування прикладних

задач»

Тема уроку: Застосування показникової функції до

розв’язування прикладних задач

Мета уроку: формування в учнів вміння

моделювати реальні процеси за допомогою показникових

функцій; сформувати вміння застосовувати властивості

показникової функції під час розв’язування завдань;

розвиток логічного мислення, пам’яті, уваги, вміння

лаконічно висловлювати свою думку; виховання

самостійності, наполегливості, працьовитості, активності,

цілеспрямованості.

Очікувані результати: учні – формулюють

властивості показникової функції; уміють усвідомлено

застосовувати їх під час розв’язування прикладних задач;

застосовують показникові функції до опису найпростіших

реальних процесів.

Тип уроку: урок застосування знань, умінь і

навичок.

План уроку.

I. Актуалізація опорних знань.

II. Мотивація навчальної діяльності.

III. Застосування знань і вмінь.

IV. Організація самостійної пізнавальної діяльності

учнів.

158

V. Підсумки уроку.

VI. Домашнє завдання.

Хід уроку.

I. Актуалізація опорних знань

1. Дайте означення показникової функції 𝑦 = 𝑎𝑥.

Чому в ньому уточнюється, що a > 0, a ≠ 1?

2. Якою є область визначення показникової

функції 𝑦 = 𝑎𝑥?

3. За якої умови показникова функція зростає,

спадає?

4. Які властивості має функція 𝑦 = 𝑎𝑥, якщо a > 1?

5. Які властивості має функція 𝑦 = 𝑎𝑥, якщо 0 ˂ a

˂ 1?

6. З наведених функцій виберіть показникові:

II. Мотивація навчальної діяльності

Зазначимо, що показникова функція є

математичною моделлю багатьох процесів, які

відбуваються в природі, або пов'язані з діяльністю людини.

Наприклад, біологам відомо що маса колонії бактерій у

певних умовах за рівні проміжки часу збільшується в одну

і ту саму кількість разів.

159

Це означає, що коли, наприклад, у момент часу t = 0

маса дорівнювала 1, а в момент часу t = 1 маса

дорівнювала а, то в моменти часу t = 2, t = 3, … t = n, …

маса дорівнюватиме відповідно а2, а3, …, аn, … .

Рис. 2.45.

Тому природно вважати, що в будь-який момент

часу t маса дорівнюватиме аt. Значення функції

збільшується в одну і ту саму кількість разів за рівні

проміжки часу. Математичною моделлю даної задачі є

закон, за яким відбувається зростання кількості бактерій

(за відсутності негативних для їх росту факторів і

наявності великої кількості поживних речовин): N = N0 akt,

де N – число бактерій в колонії, N0 – початкова кількість

бактерій при t = 0, t – час дослідження, a і k — деякі сталі.

Таким чином, розглянутий процес описують за допомогою

показникової функції.

Із курсу фізики відомо, що під час радіоактивного

розпаду маса радіоактивної речовини за рівні проміжки

часу зменшується в одну й ту саму кількість разів.

Математичною моделлю даної задачі є закон, за яким

відбувається зменшення маси речовини під час

радіоактивного розпаду: 𝑚 = 𝑚0 ∙ (1

2)

𝑡

𝑇, де m – маса

160

речовини в момент часу t, m0 – початкова маса речовини, Т

– період напіврозпаду речовини (тобто час, за який

розпадається половина атомів заданої речовини). Отже, як

бачимо, цей процес також описують за допомогою

показникової функції. Оскільки періоди напіврозпаду

певних речовин добре відомі, цю залежність застосовують

для визначення віку археологічних знахідок.

Рис.2.46.

За допомогою показникової функції також

виражається зміна атмосферного тиску повітря залежно від

підйому.

На Рис.2.47. Харківський альпініст Геннадій Копійка

підкорив вершину Маттерхорн в Альпах (15.08.2016 р).

Математичною моделлю даної задачі є закон, за яким

відбувається зменшення тиску повітря залежно від висоти:

Р = Р0 a-kh, де Р0 – тиск на рівні моря, Р – тиск на висоті h,

a і k – деякі сталі.

161

Рис.2.47.

Математика пов’язана і з екологією. Вона дозволяє

обчислити, наприклад, приріст деревини для будь-якого

дерева.

Рис.2.48.

Для цього потрібно знати, що кількість деревини

збільшується за законом, що є математичною моделлю цієї

задачі: А = А0 akt, де А – кількість деревини в даний

момент (у м3), А0 – початкова кількість деревини (у м3 ), t –

час (у роках) з того моменту, коли об’єм деревини

дорівнював А0, k і a – деякі сталі. Функція, яка в цьому

випадку описує приріст деревини, також є показниковою.

162

III. Застосування знань і вмінь.

Колективне виконання завдань під

керівництвом учителя:

1. Група альпіністів та альпіністок розбили

базовий табір на висоті h1 = 700 м і визначили,

що тиск повітря на цій висоті становить

Р1 = 730 мм рт. ст. Яким буде тиск повітря на

висоті h2 = 1600 м, на яку піднялася група для

встановлення прапора України, якщо

температура за час підйому не змінилася?

Рис.2.50.

2. Період напіврозпаду ізотопу торія дорівнює 24

доби. Визначте масу торія, який залишиться через 4

роки, якщо його початкова маса дорівнює 20 г.

3. Прикладом швидкого розморожування бактерії є

виготовлення дріжджів, під час якого по мірі росту

бактерій проводиться відповідно додавання

цукрової маси. Знайти масу дріжджів, якщо

163

початкова маса складає 10 кг, а тривалість процесу

9 год.

Рис.2.51.

4. Чому дорівнює маса йоду в кінці 4 діб з початку

спостереження, якщо в початковий момент його

маса складала 1 г?

Рис.2.52.

5. Перший міжнародний еталон радію був

виготовлений Марією Кюрі в серпні 1911 року, і

складав 16,74 мг чистого радію. Яка кількість рядію

міститься в еталоні в 2019 році?

164

Рис.2.53.

IV. Організація самостійної пізнавальної

діяльності учнів

Діагностична самостійна робота:

Варіант 1

1. Альпіністка, яка піднялась на висоту h1 = 800 м,

визначила, що тиск повітря Р1 = 700 мм рт. ст.

Яким буде тиск повітря на висоті h1 = 1200 м за

тієї самої температури?

2. Період напіврозпаду деякого ізотопу плутонія

дорівнює 140 діб. Визначте масу плутонія, який

залишиться через 8 років, якщо його початкова

маса дорівнює 6 г.

3. Під час вирощування бактерій маса культури

змінюється за формулою 𝑚(𝑡) = 2 ∙ 𝑒1

2 (г), де t –

час у годинах, пройдений після початку

розмноження. Знайдіть масу культури через:

30 хв; 1 год; 4 год;? Побудуйте відповідний

графік.

165

Варіант 2

1. Альпініст, який піднявся на висоту h1 = 1000 м,

визначив, що тиск повітря Р1 = 680 мм рт. ст.

Яким буде тиск повітря на висоті h1 = 2100 м за

тієї самої температури?

2. Період напіврозпаду деякого ізотопу плутонія

дорівнює 140 діб. Скільки плутонія залишиться

через 4 роки, якщо його початкова маса

дорівнює 10 г?

3. Під час вирощування бактерій маса культури

змінюється за формулою 𝑚(𝑡) = 2 ∙ 𝑒1

2 (г), де t –

час у годинах, пройдений після початку

розмноження. Знайдіть масу культури через:

40 хв; 3 год; 6 год? Побудуйте відповідний

графік.

V. Підсумки уроку

Бліц-опитування:

1. Чи потрібно вивчати показникову функцію?

Чому?

2. На сьогоднішньому уроці ми розглянули такі

прикладні задачі:

Задача про розмноження бактерій

Задача про радіоактивний розпад

Задача про зміну атмосферного тиску

Задача про приріст деревини

Які математичні моделі цих задач?

166

VI. Домашнє завдання.

Скласти та розв’язати задачі, аналогічні до

запропонованих на уроці.

Знайти в інтернеті задачу на вакуумування.

Записати математичну модель цієї задачі.

Задача. Унаслідок радіоактивного розпаду за х діб маса

𝑚0 речовини зменшується до маси 𝑚. Цей процес

можна писати формулою 𝑚 = 𝑚0 (1

2)

𝑥. Звідси

𝑚

𝑚0=

(1

2)

𝑥. Покажіть графічно, як зі зміною х змінюється

відношення 𝑚

𝑚0. Використовуючи за необхідності

графік, дайте відповіді (точні або наближені) на

запитання:

1) У скільки разів зменшиться маса радіоактивної

речовини через 1,5 доби; 2,5 доби; 3 доби; 4 доби?

2) Скільки часу має минути, щоб початкова маса

радіоактивної речовини зменшилась у 2,5 рази; у 3

рази; у 4 рази?

Методичний коментар

Для кожної сучасної людини необхідними і

важливими є вміння: читання графіків функцій (тобто

встановлення за графіком їхніх властивостей і

характеристик); побудова різними методами графіків

функцій, заданих формулами; моделювання процесів і

явищ за допомогою функцій і задач, пов’язаних з ними.

167

Вивчення школярами видів та властивостей функцій

може бути ефективним, якщо супроводжувати прикладами

застосування отриманих знань у природничих науках, в

різних галузях людської діяльності, у тому числі в

повсякденних ситуаціях. Поєднання теоретичних знань з

можливістю їх безпосереднього застосування підвищує

значущість навчання математики.

Функція – це первинна математична модель, саме

тому система знань учнів про функції, їх властивості та

графіки, як в явній так і в неявній формі є стрижневою в

шкільному курсі.

2.4.6. Геометрія, 11 клас: «Об’єми і площі

поверхонь»

Тема уроку: Застосування формул об’ємів та площ

поверхонь геометричних тіл.

Мета уроку: систематизувати й узагальнити знання

учнів із теми «Об’єми геометричних тіл», уміння й

навички учнів розв’язувати задачі на знаходження об’ємів

многогранників і тіл обертання; розвивати уміння

математичного моделювання, креативність, логічне

мислення, просторову уяву; виховувати культуру

спілкування, позитивне ставлення до навчання, інтерес до

математики; продемонструвати прикладне значення

математики.

Очікувані результати навчання: учень – записує

формули для обчислення об’ємів паралелепіпеда, призми,

168

піраміди, циліндра, конуса, кулі, площ бічної та повної

поверхонь циліндра, конуса, площі сфери; має уявлення

про об’єм тіла та його основні властивості; розв’язує задачі

на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл,

зокрема прикладного змісту.

Тип уроку: урок узагальнення і систематизації

знань та умінь.

План уроку.

I. Актуалізація опорних знань.

II. Мотивація навчальної діяльності.

III. Застосування знань і вмінь.

IV. Організація самостійної пізнавальної

діяльності.

V. Підсумки уроку.

VI. Домашнє завдання.

Хід уроку.

I. Актуалізація опорних знань.

1. Що називають математичною моделлю?

2. Укажіть основні кроки розв’язування задач за

допомогою математичного моделювання.

3. Які задачі називають прикладними?

4. Сформулюйте основні властивості об’єму.

5. Учитель показує рисунок, а при можливості

модель, із зображенням многогранника або тіла

обертання, а учні називають та/чи записують

169

формулу для обчислення його об’єму та площі

поверхні.

6. Назвіть/запишіть формули для обчислення:

o об’єму призми

o об’єму піраміди

o об’єму циліндра

o об’єму конуса

o об’єму кулі

o площі бічної поверхні циліндра

o площі повної поверхні циліндра

o площі бічної поверхні конуса

o площі повної поверхні конуса

o площі сфери.

7. Виконання інтерактивних вправ:

https://learningapps.org/1845823

https://learningapps.org/6131582

https://learningapps.org/6150958

II. Мотивація навчальної діяльності

Тісні зв’язки математики з усіма сферами нашого

побуту, із природою дозволяють нам за допомогою

математичних знань та умінь раціонально розв’язувати не

тільки математичні, а й життєві проблеми.

Тема «Об’єми та площі поверхонь геометричних

тіл» є завершальною в курсі геометрії, а це означає, що

уже зовсім скоро учням можливо доведеться зустрітися з

потребою відповідних знань у майбутньому професійному

170

житті. Однією з таких професій може бути професія

кухара-кондитера.

III. Застосування знань і вмінь.

Колективне розв’язування задачі під

керівництвом учителя:

Задача.А Підприємство виготовляє морозиво двох

видів «Лакомка» та «Золотий ріжок». Морозиво

«Лакомка» має форму циліндра, радіус якого 2см, а

висота 10см. Морозиво «Золотий ріжок» має форму

конуса з твірною 15см та радіусом 3см. На обгортку

якого морозива підприємство витрачає менше

коштів, якщо для того щоб обгорнути одне морозиво

«Лакомка» на шов іде 5% матеріалу, а щоб обгорнути

одне морозиво «Золотий ріжок» на шви і відходи йде

7% матеріалу? (вважати що матеріал для обгорток

однаковий). А якщо морозиво «Золотий ріжок»

обгорнути цупким папером, як зображено на

малюнку, коли витрати матеріалу будуть меншими?

Рис.2.54.

171

IV. Організація самостійної пізнавальної

діяльності учнів

Клас поділити на робочі групи.

Завдання для групи «Пекарі»

1. Жарова шафа має форму прямокутного

паралелепіпеда площею 1,58 м2. Скільки булочок

діаметром 12 см можна помістити в неї для

одночасного випікання?

Рис.2.55.

2. Тістомішалка має форму зрізаного конуса, у якого

радіуси основ 4см і 22см, а борошно сіялка -

циліндричної форми. Вони мають одну і ту саму

висоту та об’єм. Чому дорівнює радіус основи

борошно сіялки ?

172

Рис.2.56.

3. Пекарна камера (ПХС-25) має форму прямокутного

паралелепіпеда. Чому дорівнює її повна поверхня,

якщо три її грані мають площі 1м2, 2м2, 3м2.

Визначити її об’єм, якщо її розміри 1,9×0,2×10(м).

Рис.2.57

4. Скільки жерсті необхідно для виготовлення форми

для випікання тортів, висота якої 7 см, а в основі

лежить:

А) правильний трикутник зі стороною 30 см;

Б) квадрат зі стороною 23 см (див мал.);

В) ромб зі стороною 25 см і кутом 60° ?

5. Для просіювання борошна використовують

машину для просіювання борошна, що має сито,

173

яке має форму правильної шестикутної призми.

Площа його основи дорівнює 20 м2, площа повної

поверхні 730 м2. Під час роботи сито пошкодилось.

Потрібно обчислити площу пошкодженої частини

сита за умови, що пошкодилось дві грані.

Рис.2.58.

6. Один газовий конвектор розрахований на

опалення приміщення об’ємом 75 м3. Скільки таких

конвекторів потрібно встановити в пекарні, схему

якої зображено на малюнку (всі розміри подано в

метрах), а висота стін дорівнює 3м.

Рис.2.59

Завдання для групи «Кондитери»

10

5

5

15

174

1. Кондитери виготовили дитячий святковий торт у

якого радіус нижнього ярусу 20 см, а верхнього 12 см.

Скільки потрібно мастики для покриття поверхні

торта, якщо висота нижнього ярусу 10 см, а

верхнього 8 см.

Рис.2.60.

2. Торт діаметр якого 30 см, а висота 10 см, розрізали на

10 однакових частин. Який об'єм однієї частини?

Рис.2.61.

3. Торт покривають глазур'ю з розрахунку 1 г - на 1 см2.

Скільки глазурі необхідно приготувати для того,

щоб покрити зверху та з боків торт у вигляді книжки,

розміром 15х22х6 см?

175

Рис.2.62

4. Кондитери виготовили дитячий торт «Замок

принцеси» у формі куба з розмірами

30см×30см×30см, який потрібно розрізати на

шматочки розміром 10см×10см×10см. Скільки

шматочків торту ви отримаєте? Скільки шматочків

торту буде з кремом:

Рис.2.63.

А) з одного боку?

Б) з двох боків?

В) з трьох боків?

Г) зовсім без крему?

5. Торт має форму книжки. Якою буде висота цього

торта, якщо відомо, що його довжина й ширина

відповідно дорівнюють 35 см і 25 см, маса – 3 кг 800

г, а густина виробу 0,5 г/см3 ?

176

Рис.2.64.

6. Торт покривають глазур'ю з розрахунку 1 г - на 1 см2.

Скільки глазурі необхідно приготувати для того, щоб

покрити зверху та з боків торт:

А) круглий, висотою 7 см і діаметром 20 см;

Б) круглий триярусний, якщо висота кожного шару – 6

см, а діаметри – відповідно 30 см, 20 см, 10 см.

В) у вигляді конуса, діаметр основи якого дорівнює 26

см, а твірна – 18 см ?

Рис.2.65.А

177

Рис.2.65.Б. Рис.2.65.В.

V. Підсумки уроку

Бліц-опитування:

1. Що спільного у розв’язуванні всіх задач на

сьогоднішньому уроці?

2. Як ви вважаєте, в яких ще професіях можуть

знадобитися знання та уміння знаходити

обєми або площі поверхонь геометричних

тіл?

3. Скласти узагальнену схему дій під час

розв’язування прикладних задач.

VI. Домашнє завдання.

Розв’яжіть задачу:

Що ви вибрали б: з’їсти кавун радіусом 12

см утрьох чи з’їсти кавун радіусом 22 см у вісьмох?

Відповідь обґрунтуйте.

Підібрати три задачі прикладного характеру,

математичною моделлю яких є формула об’єму

178

та/чи площ поверхонь геометричних тіл та

розв’язати їх.

Методичний коментар

Сучасні інформаційні технології дозволяють

вчителеві математики ознайомитися із досвідом колег за

допомогою інтернет ресурсів. Для прикладу, за адресою

https://naurok.com.ua/ob-emi-i-ploschi-poverhon

mnogogrannikiv-i-til-obertannya-64960.html є розробка

уроку «Об'єми і площі поверхонь многогранників і тіл

обертання», згідно якої вчитель М. В. Крячик пропонує

разом з учнями на уроці геометрії дослідити комфортність

національного житла різних народів світу (українська хата,

вігвам, юрта, чум, іглу, яранга). Дослідження здійснюється

за допомогою обчислення відповідних об’ємів, площ

поверхонь та ізопериметричного коефіцієнта житла. На

нашу думку, ідея автора є досить цікавою для поліпшення

умов формування умінь математичного моделювання на

уроках геометрії в старшій школі.

179

2.5. Організація самостійної пізнавальної діяльності

учнів з метою формування в них умінь

математичного моделювання

2.5.1. Проектна діяльність учнів у навчанні

математики

Організація проектної діяльності учнів у школі є

одним із пріоритетів сучасної освіти. Навчальні проекти

дозволяють краще враховувати індивідуальні особливості

учнів, що сприяє формуванню їх активної та самостійної

позиції в навчанні, готовності до саморозвитку,

соціалізації. Проектний метод пов'язаний з практичною

діяльністю. Значна роль в організації проектної діяльності

учнів відводиться інформаційно-комунікаційним

технологіям. Метод проектів, як компонент системи

освіти, створює особистісну мотивацію в розв'язанні

цікавої проблеми. Знайдений спосіб вирішення проблеми

часто має практичний характер, а тому може бути

соціально значущим як для учня, так і для дорослої

людини. Суть методу проектів зводиться до того, що учнів

навчають етапам досягнення певної мети, пропонуючи

виконати конкретне завдання, тобто учень набуває знання і

вміння в процесі спільного з викладачем планування і

виконання, практичних завдань–проектів, які поступово

ускладнюються.

Одним із відносно складних етапів проектної

діяльності з дітьми є етап первинного включення учнів у

180

власну проектну діяльність. На цьому етапі учні

навчаються виявляти проблеми, розробляти гіпотези,

спостерігати, проводити експерименти, давати визначення

поняттям і т.д. Коли учням пропонується завдання, вони

починають міркувати, сперечатися, пропонувати ідеї для

вирішення проблеми. Учнів необхідно розділити на групи,

пояснивши, що робота в групах організовується таким

чином, що в групі немає лідерів, але є координатор. Всі

повинні проявляти активність і вносити свій внесок у

загальну справу. В результаті, учні мають глибоко

зануритися в досліджувану тему, знайти шлях розв'язання

проблеми, тобто мають поповнити свої знання і при цьому

сприймати навколишній світ у всьому його різноманітті.

Роль вчителя – це роль організатора пізнавальної,

дослідницької діяльності учнів.

При виконанні проекту цінні не тільки його

результати, а й сам процес, який дозволяє учням відчути

себе творчими особистостями, краще зрозуміти один

одного. Вибір форми продукту проектної діяльності –

важлива організаційне завдання для учасників проекту. Від

його рішення в значній мірі залежить, наскільки виконання

проекту буде захоплюючим, захист проекту –

презентабельним і переконливим, а запропоновані рішення

– корисними для розв'язання обраної соціально значущої

проблеми. На завершальному етапі виконання проекту

підводяться підсумки роботи учнів, дається якісна оцінка

виконаної роботи по здійсненню проекту. Оцінюючи

роботу над проектом, враховується будь-який рівень

181

досягнутих результатів, обирається рейтинговий критерій

оцінювання, включаючи проміжний контроль на всіх

етапах проекту. Критерій самооцінки роботи в групі

сприяє утвердженню і відстоюванню своєї життєвої

позиції. Критерії оцінки проекту повинні бути зрозумілі

учням і оцінюватися має саме робота вцілому, а не тільки

презентація результатів.

До організації проектів висуваються такі вимоги:

проект повинен бути органічно включений у процес

навчання і виховання учнів;

важливо обговорювати реальні проблеми і ставити

актуальні завдання, діяльність учнів повинна мати

доцільний характер;

робота учнів повинна бути осмисленою і активної;

учні повинні вміти чітко формулювати свої думки

усно та в письмовому вигляді, аналізувати нову

інформацію, брати участь у створенні нових ідей;

кінцевий вигляд проекту може бути представлений

в будь-якій обраній формі.

Особливістю системи виконання проектів є спільна

творча робота вчителя і учня.

Проектна діяльність учнів дає найкращі результати

в старших класах, але підготовка до серйозної проектної

діяльності починається ще в 5 класі.

Метод проектів є відмінним доповненням до

традиційних методів навчання математики. У традиційній

системі акцент робиться на засвоєнні готових знань, а

182

самонавчання відбувається за рахунок експлуатації пам'яті.

Метод проектів:

o розвиває інтелект учня, його вміння планувати і

відслідковувати послідовність виконуваних дій,

засвоювати знання і застосовувати їх в практичній

діяльності;

o розвиває творчі здібності і самостійність;

o орієнтований на самостійну діяльність учнів, яка

передбачає володіння певними вміннями: аналізу,

синтезу, уявного експериментування,

прогнозування;

o творчий за самою своєю суттю, так як передбачає

сукупність дослідницьких, пошукових,

проблемних методів;

o дозволяє навчити учнів умінню отримувати нові

знання через свою пізнавальну діяльність.

За допомогою методу проектів можливо навчити:

виявляти і формулювати проблеми;

проводити їх аналіз;

знаходити шляхи їх вирішення;

працювати з інформацією;

знаходити необхідне джерело, наприклад,

дані в довідковій літературі або в засобах

масової інформації;

застосовувати отриману інформацію для

вирішення поставлених завдань.

Введення в навчальний процес методів і технологій

проектної діяльності повинні допомогти учням набути

183

вище перераховані навички. Передбачається, що

виконуючи проектну роботу, школярі стануть більш

ініціативними і відповідальними, підвищать ефективність

навчальної діяльності, придбають додаткову мотивацію.

Проектний метод навчання чітко орієнтований на реальний

практичний результат. Під час роботи будуються нові

відносини між учнями, а також між учителем і учнями.

Розширюється їх освітній кругозір, зростає стійкий

пізнавальний інтерес. Робота над проектом допомагає

учням проявити себе з іншого боку. У них є можливість

показати свої організаторські здібності, приховані таланти,

а також уміння самостійно здобувати знання, що є дуже

суттєвим для організації процесу навчання в сучасній

школі.

В 2018 році нами було організоване виконання

учнями навчально-дослідницького проекту на тему

«Геометрія і футбол». В проекті взяла участь група учнів 9

класу Вінницького обласного спортивно-гуманітарного

ліцею-інтернату. Підготовлений проект одержав перемогу

(третє місце) на Всеукраїнській Конференції-Олімпіаді

геометричної творчості імені В. А. Ясінського, яка

відбулася 17 лютого 2018 року у ВДПУ імені Михайла

Коцюбинського. Учасники проекту – учні ліцею

спортивно-гуманітарного профілю, тому для виконання

проекту було обрано спортивний напрям. Зі ста учнів

ліцею – 70 учнів на той час займалися різними видами

спорту. Але найбільше ліцеїстів займалися футболом – 22

учні, що складало 31% всіх учнів ліцею. Тому основний

184

акцент при виконанні проекту було зроблено на футболі.

Учні із неабияким захопленням зрозуміли, що за

допомогою математичних моделей можуть бути вирішені

певні практичні завдання в футболі, допомагаючи команді

та тренерам досягти найвищих результатів. Як засвідчив

наш досвід, розв’язування задач про футбол дозволило

підвищити інтерес, мотивацію, і як наслідок ефективність

вивчення математики, зокрема геометрії. Співпраця з

учнями налагоджувалася за допомогою персонального

сайту вчителя та соціальних мереж. Всім учням класу були

запропоновані для розв’язання геометричні задачі про

футбол. Розв’язки кожен надсилав персонально, приховано

від інших учасників проекту. Якщо учень розв’язав задачу

правильно, він отримував наступну, якщо ні – отримував

вказівки на помилки і підказки, як їх виправити. Учнів

мотивувало і спонукало до роботи те, що вони не знали на

якому етапі (яку саме задачу на даний момент розв’язують)

решта однокласників.

Наведемо приклади 10 запропонованих задач.

Задачі №1-5 є задачами на знаходження площ плоских

фігур і можуть бути використані при вивченні теми

«Площа прямокутника» у 8 класі. Футбольне поле, що має

форму прямокутника є основним засобом використання

геометрії у футболі, тому наступні 6 задач стосуватимуться

футбольного поля.

Задача. Розміри футбольних воріт подані на

рисунку. Знайдіть площу футбольних воріт.

185

Рис.2.66.

Розв’язання.

Оскільки футбольні ворота мають форму

прямокутника, то їх площа знаходиться за формулою: 𝑆 =

𝑎 ∙ 𝑏. 𝑆 = 7,32 ∙ 2,44 = 17,86 (м2)

Відповідь. 17,86 м2

Задача. Футбольне поле має форму прямокутника,

довжина якого в 2 рази більша ширини. Площа

футбольного поля дорівнює 7200 м2. Знайдіть його

ширину.

186

Рис.2.67.

Розв’язання.

Нехай ширина футбольного поля дорівнює х. Тоді

його площа дорівнює: 𝑆 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 = 2 ∙ 𝑥2 = 7200.

Отже, отримали математичну модель задачі, що є

квадратним рівнянням: 2𝑥2 = 7200

𝑥2 = 3600, 𝑥 = +√3600, або 𝑥 = −√3600

𝑥 = 60 м, отже ширина футбольного поля дорівнює 60 м.

Відповідь. 60 м.

Задача. Ширина футбольних воріт дорівнює

8 ярдів, висота – 8 футів. Знайдіть площу

футбольних воріт в квадратних футах (один ярд

складає три фута).

Рис.2.68.

Розв’язання.

Ширина футбольних воріт дорівнює 8 ярдів, що

складає 24 фути, а висота – 8 футів (за умовою). Оскільки

187

футбольні ворота мають форму прямокутника, то їх

площа знаходиться за формулою: 𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏.

𝑆 = 24 ∙ 8 = 192 (фут2)

Відповідь. 192 фут2

Задача. Для розмітки воротарського майданчика на

футбольному полі на відстані 5,5 м від кожної

стійки воріт під прямим кутом до лінїї воріт углиб

поля проводяться два відрізка довжиною 5,5 м.

Кінці цих відрізків з'єднуються відрізком,

паралельним лінії воріт. Знайдіть площу

воротарського майданчика в квадратних метрах,

враховуючи, що ширина воріт дорівнює 7,3 м.

Рис.2.69.

Розв’язання.

188

Рис.2.70.

Оскільки воротарський майданчик має форму

прямокутника, то його площа знаходиться за формулою:

𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏

𝑆 = (5,5 + 7,3 + 5,5) ∙ 5,5 = 18,3 ∙ 5,5 = 100,65 (м2)

Відповідь: 100,65 м2

Ця ж задача може бути сформульована в інших одиницях

вимірювання (в ярдах та футах):

Задача. Для розмітки воротарського майданчика на

футбольному полі на відстані 6 ярдів від кожної

стійки воріт під прямим кутом до лінїї воріт углиб

поля проводяться два відрізка довжиною 6 ярдів.

Кінці цих відрізків з'єднуються відрізком,

паралельним лінії воріт. Знайдіть площу

воротарського майданчика в квадратних футах,

враховуючи, що ширина воріт рівна 8 ярдам (один

ярд складає три фута).

Розв’язання

189

Рис.2.71.

𝑆 = (6 + 8 + 6) ∙ 6 = 20 ∙ 6 = 120 (ярд2)

120 ярд2 = 120 ∙ 9 = 1080 фут2

Відповідь. 1080 фут2

Задача. Для розмітки штрафного майданчика на

футбольному полі на відстані 16,5 м від кожної

стійки воріт під прямим кутом до лінїї воріт у глиб

поля проводяться два відрізка довжиною 16,5 м.

Кінці цих відрізків з'єднуються відрізком,

паралельним лінії воріт. Знайдіть приблизну площу

штрафного майданчика в квадратних метрах,

враховуючи, що ширина воріт дорівнює 7,3 м. У

відповіді вкажіть ціле число квадратних метрів.

Рис.2.72.

190

Розв’язання.

Рис.2.73.

Оскільки штрафний майданчик має форму прямокутника,

то його площа знаходиться за формулою: 𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏

𝑆 = (16,5 + 7,3 + 16,5) ∙ 16,5 = 40,3 ∙ 16,5 =

664,65 ≈ 665 (м2)

Відповідь. 665 м2

Ця ж задача може бути сформульована в інших одиницях

вимірювання (в ярдах):

Задача. Для розмітки штрафного майданчика на

футбольному полі на відстані 18 ярдів від кожної

стійки воріт під прямим кутом до лінїї воріт у глиб

поля проводяться два відрізка довжиною 18 ярдів.

Кінці цих відрізків з'єднуються відрізком,

паралельним лінії воріт. Знайдіть приблизну площу

штрафного майданчика в квадратних метрах,

враховуючи, що ширина воріт дорівнює 8 ярдів

191

(один ярд приблизно дорівнює 0,9 м). У відповіді

вкажіть ціле число квадратних метрів.

Розв’язання.

Математичною моделлю задачі є наступна схема:

Рис.2.74.

Площа штрафного майданчика дорівнює 792 квадратних

ярди. В квадратних метрах вона приблизно дорівнює:

792 ∙ 0,81 = 641,52 ≈ 642 (м2)

Відповідь. 642 м2

Як бачимо, при розв’язуванні даної задачі маємо

похибку, для більш точних розрахунків потрібно брати

1 ярд=0,9144 м. Наступна задача є задачею на знаходження

периметра прямокутника і може бути використана при

вивченні теми «Прямокутник» у 8 класі.

Задача. Довжина футбольного поля 105 м, а ширина

68 м. Скільки потрібно часу футболісту щоб оббігти

по кромці все поле, якщо два його кроки

приходиться на 1 секунду, а ширина кроку 60 см.

192

Рис.2.75.

Розв’язання.

Футболіст біжить по кромці поля, тому довжина

його шляху дорівнює периметру футбольного поля, що має

форму прямокутника. Формула 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏) є

математичною моделлю даної задачі.

𝑃 = 2 ∙ (105 + 68) = 346 (м)

Так як, ширина кроку футболіста 60 см, що складає 0,6 м,

то за 1 с він пробігає 0,6 ∙ 2 = 1,2 (м)

Отже, 346: 1,2 ≈ 288,3 (с) потрібно футболісту,

щоб подолати весь периметр поля. Тобто 288,3: 60 = 4,8

(хв)

Рис.2.76.

193

Відповідь. 4,8 хвилини.

Для збільшення кількості однопланових задач

такого типу числові дані у ній можуть бути змінені

наступним чином:

Задача. Довжина футбольного поля 110 м, а ширина

70 м. Скільки часу буде потрібно футболістові, щоб

оббігти по кромці все поле, якщо два його кроки

припадають на 1 секунду, а ширина кроку 90 см.

Розв’язання.

𝑃 = 2 ∙ (110 + 70) = 360 (м)

Так як, ширина кроку футболіста 90 см, що складає 0,9 м,

то за 1 с він пробігає 0,9 ∙ 2 = 1,8 (м)

Отже, 360: 1,8 = 200 (с) йому потрібно, щоб

подолати весь периметр поля. Тобто 200: 60 = 3, (3) (хв),

або 3 хв 20 с.

Відповідь:. 3 хвилини 20 секунд.

Велике значення у грі в футбол мають кути. Вони

відіграють важливу роль у формі нападу та захисту. Кути

вводяться в гру з образу, у частині гри, яка називається

маршрутами. Маршрути є заздалегідь визначеним шляхом,

по якому повинен працювати нападаючий для того, щоб

захисник не зміг перехопити м'яч. Коли захисник

намагається перехопити м'яч, він повинен визначити, який

кут буде найкращим для перехоплення м'яча. Також, якщо

194

хтось із нападників переносить м'яч, то захист повинен

визначити найкращий кут шляху, щоб перехопити його.

Наступні задачі є задачами на знаходження кутів, тобто

на використання тригонометричних функцій і можуть бути

використані при вивченні теми «Розв’язування

трикутників» у 9 класі.

Задача. Ширина футбольних воріт дорівнює 7,3 м. Для

розмітки воротарського майданчика на відстані 5,5 м

від кожної стійки воріт під прямим кутом до лінії воріт

вглиб поля проводяться два відрізка довжиною 5,5 м

кожен. Кінці цих відрізків з'єднуються відрізком,

паралельним лінії воріт. Знайдіть кут, під яким видно

ворота з кута воротарського майданчика. У відповіді

вкажіть ціле число градусів.

Розв’язання.

Рис.2.77.

∆ADB рівнобедрений, так як АD = DB = 5,5.

Тому ∠𝐷𝐴𝐵 = 45°

195

З прямокутного ∆ADC: tg∠DAC =DC

AD=

5,5+7,3

5,5≈ 2,33.

За таблицею тригонометричних функцій знаходимо,

що ∠𝐷𝐴𝐶 = 67°.

Оскільки, ∠ВАС = ∠ВАС - ∠DAB = 67°- 45°=22°.

Отже, шуканий кут дорівнює 22°.

Відповідь. 22°.

Ця ж задача може бути сформульована в інших

одиницях вимірювання (в ярдах):

Задача. Ширина футбольних воріт дорівнює 8

ярдам. Для розмітки воротарського майданчика на

відстані 6 ярдів від кожної стійки воріт під прямим

кутом до лінії воріт вглиб поля проводяться два

відрізка довжиною 6 ярдів кожен. Кінці цих

відрізків з'єднуються відрізком, паралельним лінії

воріт. Знайдіть кут, під яким видно ворота з кута

воротарського майданчика. У відповіді вкажіть ціле

число градусів.

Весь хід розв’язування буде аналогічним до попередньої

задачі, з однією відмінністю: tg∠DAC =DC

AD=

6+8

6≈ 2,3(3)

Відповідь: 22°

Задача. Ширина футбольних воріт дорівнює 7,32 м.

Відстань від 11-метрової відмітки до лінії воріт

дорівнює 10,97 м. Знайдіть кут, під яким видні

196

ворота з 11-метрової відмітки. У відповіді вкажіть

ціле число градусів.

Рис.2.78.

Розв’язання.

В рівнобедреному трикутнику АВС АС = ВС.

Рис.2.79.

За теоремою Піфагора знаходимо, що

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐶𝐷2, де А𝐷 =1

2∙ 𝐴𝐵 =

1

2∙ 7,32 = 3,66

𝐴𝐶2 = (3,66)2 + (10,97)2 = 13,4 + 120,34 = 133,74

За теоремою косинусів, маємо:

197

𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 − 2𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐶 ∙ cos ∠𝐴𝐶𝐵,

58 = 133,74 + 133,74 − 2 ∙ 133,74 ∙ cos ∠𝐴𝐶𝐵,

звідси 2 ∙ 133,74 ∙ cos ∠𝐴𝐶𝐵 = 267,48 − 53,58 = 213,9,

тоді cos ∠𝐴𝐶𝐵 = 213,9: 267,48 = 0,7997 ≈ 0,8

Використовуючи таблицю тригонометричних функцій

знаходимо, що ∠𝐴𝐶𝐵 = 37°

Відповідь: 37.°

Задача. Футбольний м'яч знаходиться в точці А

футбольного поля на відстанях 23 м і 24 м від основ

В і С стійок воріт. Футболіст направляє м'яч у

ворота. Знайдіть кут α влучення м'яча у ворота,

якщо ширина воріт дорівнює 7,3 м.

Розв’язання.

Рис.2.80.

Розглянемо трикутник АВС, вершинами якого є

точка А розташування м'яча і точки В і С основи стійок

198

воріт. За умовою c = АВ = 23 м, b = АС = 24 м і a = ВС =

7,3 м. Ці дані дозволяють розв’язати трикутник АВС і

знайти кут α, рівний куту А. За допомогою теореми

косинусів визначаємо cos ∠А:

cos 𝛼 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐=

242 + 232 − 7,32

2 ∙ 24 ∙ 23

=576 + 529 − 53,29

1104=

1051,71

1104≈ 0,953

Кут α знаходимо по таблиці: α ≈ 18°.

Відповідь: α ≈ 18°.

Задача. Ширина футбольних воріт дорівнює 7,3 м.

Для розмітки штрафного майданчика на

футбольному полі на відстані 16,5 м від кожної

стійки воріт під прямим кутом до лінії воріт вглиб

поля проводяться два відрізки, довжиною 16,5 м

кожен. Кінці цих відрізків з'єднуються відрізком,

паралельним лінії воріт. Знайдіть кут, під яким

видно ворота з кута штрафного майданчика. У

відповіді вкажіть ціле число градусів.

Розв’язання.

199

Рис.2.81.

∆ADB рівнобедрений, так як АD = DB = 16,5.

Тому ∠𝐷𝐴𝐵 = 45°

З прямокутного ∆ADC: tg∠DAC =DC

AD=

16,5+7,3

16,5≈ 1,44.

За таблицею тригонометричних функцій знаходимо, що

∠𝐷𝐴𝐶 = 55°.

Оскільки, ∠ВАС = ∠ВАС - ∠DAB = 55°- 45°=10°.

Отже, шуканий кут дорівнює 10°.

Ця ж задача може бути сформульована в інших одиницях

вимірювання (в ярдах):

Задача. Ширина футбольних воріт дорівнює 8

ярдам. Для розмітки штрафного майданчика на

футбольному полі на відстані 18 ярдів від кожної

стійки воріт під прямим кутом до лінії воріт вглиб

поля проводяться два відрізки, довжиною 18 ярдів

кожен. Кінці цих відрізків з'єднуються відрізком,

паралельним лінії воріт. Знайдіть кут, під яким

200

видно ворота з кута штрафного майданчика. У

відповіді вкажіть ціле число градусів.

Хід розв’язування цієї задачі буде аналогічним до

попередньої задачі, з однією відмінністю: tg∠DAC =DC

AD=

18+8

18≈ 1, (4)

Відповідь. 10°.

Метою даного проекту було не лише підвищити

мотивацію учнів спортивного профілю до навчання

геометрії за допомогою нових технологій, а й показати

значущість і практичність геометричних знань у

повсякденному житті й у подальшій діяльності. Важливо

було домогтися того, щоб учні навчились пропонувати

власні ідеї, не боялися висловлювати свої думки, вміли

логічно міркувати і критично мислити.

Для цього в межах проекту школярам було

запропоноване дослідницьке завдання: створити задачі з

геометрії, які б безпосередньо стосувалися футболу і

всього, що з ним пов’язано (футбольне поле, футбольні

ворота, футбольний м’яч, та ін.). Приємно вразило те, що

не лише найсильніші учні класу працювали наполегливо.

Зразком для учнів були ті задачі, які вони розв’язували

дистанційно на першому етапі проекту.

Добірка задач, самостійно створених учнями в

умовах нашого проекту:

Радіус центрального кола футбольного поля

становить 9 м. Знайдіть площу центрального кола.

201

Радіус центрального кола футбольного поля

становить 9 м. Знайдіть, скільки відсотків становить

центральне коло футбольного поля його площі,

якщо розміри поля: 65 х 100 м.

Футболіст оббігає по кромці 2 сторони футбольного

поля, потім звертає і біжить по діагоналі. Перша

сторона трикутника дорівнює 100 м, друга – 75 м.

Скільки кілометрів пробіг футболіст?

На футбольному полі розташовані дві команди.

Кожна команда займає свою половину поля.

Знайдіть яку площу займає одна команда. Якщо

довжина поля 120 м, а його ширина 7000 см.

За міжнародними стандартами розміри поля

повинні складати в довжину мінімум 100 метрів,

завширшки 65 метрів. Знайдіть площу футбольного

поля за міжнародними стандартами.

Гравцем пошкоджена сітка футбольних воріт.

Скільки коштуватиме команді відновити ворота,

якщо квадратний метр сітки коштує 150 грн.

Ширина рулону – 3 м. Ворота мають стандартні

розміри: ширина воріт –7,32 м, а висота – 2,44 м.

Для посіву 1 кв. м необхідно 40-80 г насіння. Яка

мінімальна вартість загальної кількості насіння

необхідної для засіву футбольного поля розмірами

80 х 110 м. Є різні розфасовки насіння для

спортивного газону: 1 кг – 187,5 грн, 20 кг –

3125 грн.

202

Скільки кв. м сітки потрібно придбати, щоб

обгородити футбольне поле розмірами 69 х 104 м.

Якщо висота огорожі – 4 м.

Щоб воротар не зміг відбити м’яч, футболіст має

влучити у верхній кут футбольних воріт. Знайдіть

відстань, яку має подолати м’яч, якщо футболіст

стоїть в лівому куті штрафного майданчика, а м’яч

летить у правий верхній кут воріт.

Який об’єм повітря міститься у футбольному м’ячі

діаметром 22 см.

Скільки кв. м матеріалу потрібно для виготовлення

футбольного м’яча, якщо довжина кола становить

69 см.

Щоб виготовити футбольний м’яч необхідно 32

клаптики шкіри: 20 шестикутників білого кольору

та 12 п’ятикутників чорного кольору. Скільки кв. м.

шкіри кожного кольору потрібно придбати. Якщо

діаметр м’яча 22 см.

Власник футбольного поля вирішив застелити його

штучним покриттям, але забув записати довжину

свого поля. В його блокноті є лише дані про

ширину – 45 м. та площу 4500 м2. Як він може

дізнатися довжину свого поля?

Під час тренування тренер наказав футболістам

пробігти поле по кромці 3 рази. Яку відстань

пробіжать футболісти, якщо довжина поля 95 м., а

площа 4275 м2.

203

Довжина футбольного штрафного майданчика у

2,44 рази більше ширини. Знайдіть периметр цього

майданчика, якщо його площа складає 664,95 м2.

Скільки штучного газону потрібно придбати, щоб

застелити поле розміром 73 х 112 м.

Під яким кутом потрібно забити м’яч? Розв’яжи

задачу за малюнком.

Рис.2.82.

Під час тренування воротареві стало цікаво який

діаметр має центральне коло футбольного поля. Він

знає, що радіус півкола штрафного майданчика

дорівнює 9,15 м., і він рівний радіусу центрального

кола. Як воротареві дізнатися діаметр центрального

кола?

Під час продумування стратегії футбольної гри,

тренер наказав рухатися Сашкові, Валері та Дмитру

за схемою, яку він намалював вказавши напрям

кожного гравця. Сказавши, що Валері потрібно

пробігти 8 м. і передати м’яч Дмитрові, який має

пробігти 15 м. і передати м’яч Сашкові. Тренер не

сказав яку відстань має подолати Сашко. А ти

знаєш?

204

Рис.2.83.

Нам вдалося домогтися того, що учні навчились

пропонувати власні ідеї, не боялись висловлювати свої

думки, намагалися логічно, зокрема, критично мислити.

У процесі виконання вищеописаного проекту стало

зрозумілим, що нам вдалося створити умови з хорошими

можливостями для переконання учнів у тому, що через

математику лежить шлях до вдосконалення багатьох

обставин оточуючої дійсності.

2.5.2. Діагностичний інструментарій

сформованості умінь математичного моделювання

Діагностика засвоєння знань учнів – необхідний

складник процесу навчання математики. Вона тісно

пов'язана з іншими його ланками – подачею нового

матеріалу, його закріпленням, усвідомленням і

застосуванням отриманих знань у практичній діяльності.

Діагностика знань та умінь дозволяє виявити якість

205

оволодіння учнями матеріалом, встановити прогалини в

знаннях та вміннях і вчасно їх усунути.

Підсумки діагностики можуть слугувати основою

для оцінки успішності школярів, яка характеризує ступінь

оволодіння ними знаннями та уміннями у відповідності до

вимог програми з математики. Якщо діагностика показала

відсутність або недостатність засвоєння матеріалу з тієї

або іншої теми, вчитель має проаналізувати власну

методичну діяльність: правильність вибору методів,

організації процесу подачі матеріалу, врахування

можливостей учнів всього класу і кожного, зокрема.

Систематична діагностика має також і виховне значення:

вона дисциплінує школярів, привчає їх до акуратності,

наполегливості, формує почуття гордості за свою працю

тощо.

Для уроків математики традиційними є такі види

діагностики знань та умінь учнів: попередня, поточна і

підсумкова. Залежно від того, на якому етапі навчального

процесу її використовують, діагностика має своє

специфічне завдання.

Попередня діагностика знань учнів з математичного

моделювання має бути проведена на початку навчального

року або перед вивченням нової теми. Її мета – виявити

готовність школярів до сприймання нового матеріалу,

наявність знань, умінь та навичок, на які можна опиратись

у процесі організації вивчення нового матеріалу.

Поточна діагностика знань учнів з математичного

моделювання здійснюється на уроках і дозволяє виявити

206

правильність засвоєння матеріалу, привести у систему

необхідні знання учнів. При цьому вчитель не лише

перевіряє рівень знань, умінь та навичок школярів, а й

одночасно контролює власну діяльність, визначаючи

ефективність використовуваних ним методів та прийомів.

Якщо більшість класу не засвоїла необхідний матеріал – це

є свідченням скоріше неефективності запропонованих

педагогом форм роботи, аніж невміння учнів його засвоїти

і правильно використати. Результати поточної перевірки

знань та умінь дозволяють визначити чи потрібно

переходити до наступного етапу формування вмінь учнів з

математичного моделювання, чи необхідні додаткові

пояснення з метою запобігання виникнення прогалин в

актуальних знаннях учнів.

Підсумкова діагностика має на меті визначення

якості засвоєних знань, умінь і навичок учнів. Вона

проводиться в кінці вивчення певного розділу, в кінці

півріччя, навчального року.

Основними способами діагностики засвоєння знань

та сформованості вмінь учнів з математичного

моделювання є усне опитування, письмові і практичні

роботи.

Для визначення якості засвоєння учнями

навчального матеріалу досить поширеним є усне

опитування, яке дає можливість вчителеві виявити ступінь

усвідомлення математичних понять та відношень, уміння

ними оперувати під час практичної діяльності. Усне

опитування може носити фронтальний або індивідуальний

207

характер, проводитись як на початку уроку (під час

перевірки виконання домашнього завдання), так і в

середині уроку (в процесі закріплення нових знань,

визначення ефективності їхнього засвоєння) або в кінці

уроку (при закріпленні, узагальненні та систематизації

знань).

Письмова перевірка знань та умінь математичного

моделювання передбачає самостійне виконання

школярами відібраних учителем завдань. Основні види

письмової перевірки, які використовуються у школі на

уроках математики – це тестування, самостійні та

контрольні роботи.

Тести мають певні переваги перед традиційними

методами діагностики успішності та розвитку учнів, тому

що, крім того що вони забезпечують успішну реалізацію

мети і всіх функцій контролю, ще і дають можливість у

досить короткий час отримати уявлення вчителем про

актуальні знання учнів. Тести не є найкращим засобом

діагностики умінь математичного моделювання, але

методично грамотно використаний тестовий інструмент

може дати якісну та надійну інформацію про ключові

прогалини у знаннях учнів.

Невеликі самостійні письмові роботи доречно

проводити на багатьох уроках математики, якщо прагнемо

забезпечити умови формування вмінь математичного

моделювання в учнів. Такі роботи дозволяють за

незначний проміжок часу перевірити якість засвоєння

невеликого об'єму матеріалу, визначити труднощі, які

208

виникають як в окремих учнів, так і у більшості школярів

класу, намітити шляхи їх подолання. В таку роботу можуть

включатися типові вправи, практичні задачі та завдання

прикладного характеру. Залежно від вікових особливостей,

тривалість самостійних робіт в основній школі не повинна

перевищувати 15 хвилин, а у старших класах – 25-30

хвилин. Кожна самостійна робота має бути перевірена і

проаналізована вчителем.

Контрольні роботи з математики мають на меті

встановити, як учні засвоїли передбачені програмою

знання та вміння, яким є результат навчально-пізнавальної

діяльності. При підготовці контрольної роботи потрібно

забезпечити варіативність завдань. Бажано, щоб завдання,

які виносяться на контрольну роботу, ставили своєю

метою перевірку не механічного запам'ятовування, а

вміння мислити, використовувати отримані знання у інших

змінених ситуаціях. Вчитель має уникати як дуже простих

завдань, так і надто складних. Завдання на контрольну

роботу повинні підбиратись з урахуванням індивідуальних

здібностей і можливостей учнів. Контрольні роботи

підлягають обов'язковій перевірці з боку педагога. Кожна

контрольна робота аналізується. Це дає можливість

виявити якість засвоєння знань школярами, визначити

помилки, притаманні окремим учням і більшості класу.

Проведений аналіз може дозволити вчителю математики

оптимально спланувати роботу над помилками. Педагог

може повернутись до повторного пояснення матеріалу,

209

обмежитись виконанням аналогічних завдань з окремими

учнями та практичних вправ.

З метою діагностики та контролю сформованості

умінь математичного моделювання в учнів найбільш

доцільними вважаємо проведення самостійних та

контрольних робіт. Наведемо конкретні приклади.

Контрольна робота на тему «Нерівності»

Рівень А (оцінювання по 1 б)

У завданнях 1-4 виберіть правильну, на вашу думку,

відповідь.

1А. Наталка має подарунковий сертифікат вартістю 300 грн

для придбання канцелярії. Чи можна за цей сертифікат

придбати 15 зошитів, якщо ціна одного зошита на 20 %

менша, ніж ціна одного блокноту, що коштує 32 грн?

А. Так Б. Ні

2. Клумба має форму п’ятикутника, усі сторони якого

однакові. Довжина a його сторони набуває значень 4,8 <

a <5,1 (у м). Оцініть периметр (у м) іншої клумби у

формі такого самого п’ятикутника, сторона якого удвічі

більша.

А. 24 < Р < 25,5

Б. 48 < Р < 51

В. 9,6 < Р < 10,2

Г. 48 < Р < 50

3А. В школу планується закупити принтери. Для цього

планується витратити від 30000 до 40000 грн. Вартість

одного принтера складає 2800 грн. Скільки принтерів

можна закупити за виділену суму?

210

А. 11

Б. 10

В. 14

Г. 12

4. Відомо, що сторона a земельної ділянки квадратної

форми набуває значень 5 < a <7 (у м). Оцініть периметр

(у м) ділянки квадратної форми зі стороною, втричі

більшою за a.

А. 20 < 4a < 28

Б. 60 < 4a < 84

В. 15 < 3a < 21

Г. 60 < 12a < 84

5А. Встановіть відповідність між задачею та її

математичною моделлю.

Для закупівлі планшетів для навчання МОН планується

виділити від 16 млн грн до 23 млн грн. Вартість одного

планшета становить 6000 грн.

1) Скільки планшетів можна

купити на заплановану суму?

А) 1600000 6000n

2300000

2) Яку найбільшу кількість

планшетів можна купити на

заплановану суму, якщо вартість

одного планшета зменшиться на

10 %?

Б) 16000000 6000n

23000000

В) 16000000 5400n

3) Яку найменшу кількість

планшетів можна купити на

заплановану суму, якщо вартість

одного планшета збільшиться на

20 %?

Г) 16000000 7200n

Д) 5400n 23000000

Рівень Б (оцінювання по 1,5 б)

211

6. Довжина паркану, яким планують огородити ділянку

прямокутної форми, не має перевищувати 140 м.

Визначте, якою може бути ширина h цієї ділянки, якщо

її довжина дорівнює 48 м. Відповідь запишіть у вигляді

проміжку.

7. Для переможців інтелектуального конкурсу планується

виділити призовий фонд від 42 до 55 тис. грн для

придбання електронних книг за ціною 3200 грн. Скільки

цих гаджетів можна придбати на заплановану суму,

якщо в разі закупівлі більше ніж 11 гаджетів діє знижка

15 % на кожну одиницю?

Рівень поглиблений (оцінювання по 2 б)

Скласти математичну модель задачі і розв’язати її.

8. Купуючи декілька однакових альбомів для малювання і

однакових зошитів, за альбоми заплатили 105 грн.

60 коп., а за зошити – 5 грн 60 коп. Альбомів купили на

6 штук більше, ніж зошитів. Скільки купили альбомів,

якщо ціна одного альбому перевищує ціну зошита

більше, ніж на 10 грн?

9. Відстань між містами А і В дорівнює 500 км. З цих міст

одночасно назустріч один одному вийшли два поїзди.

Швидкість одного з них на 10 км/год більша за

швидкість іншого. Через 6 годин поїздам до зустрічі

залишилось більше 12 км. Знайти можливу швидкість

руху кожного поїзда, знаючи, що вона є цілим числом.

212

Вказівки до задач контрольної роботи.

Задача 1. Б)

Задача 2. Б)

Задача 3. В)

Задача 4. Г)

Задача 5.

1) Б) 2) Д) 3) Г)

Задача 6. Вказівка. Складемо математичну модель

задачі, тобто запишемо нерівність, враховуючи, що

периметр паркану не перевищує 140 м. «Не перевищує»

означає «менше або дорівнює»

2 ∙ 48 + 2ℎ ≤ 140

Розв’яжемо отриману нерівність:

2ℎ ≤ 140 − 96

2ℎ ≤ 44

ℎ ≤ 22

Отже, ширина цієї ділянки може бути не більшою за 22 м.

Відповідь. ℎ є (0; 22].

213

Задача 7. Вказівка. Складемо математичну модель

задачі, тобто запишемо нерівність, позначивши через n

кількість електронних книг.

4200 ≤ 3200𝑛 ≤ 55000

13 ≤ 𝑛 ≤ 17

Оскільки можна придбати мінімум 13 гаджетів, то

діятиме знижка 15%. Знайдемо, що 15% від 3200 грн це

480 грн. Стільки складає знижка.

Тоді вартість одного гаджета складе 3200-480=2700

грн. Складемо нерівність, що дозволить знайти кількість

гаджетів зі знижкою: 4200 ≤ 2720𝑛 ≤ 55000

Розв’яжемо отриману нерівність, поділивши на

2720, одержимо:

15,44 ≤ 𝑛 ≤ 20,22

Визначимо натуральні розв’язки нерівності,

оскільки йдеться про можливу кількість придбаних

гаджетів:

16 ≤ 𝑛 ≤ 20

Відповідь. Можна придбати від 16 до 20 електронних книг.

Задача 8. Вказівка. Нехай х шт – кількість куплених

зошитів, тоді (х + 6) шт – кількість куплених альбомів.

Ціна одного альбому – 105,6

𝑥+6. Ціна одного зошита –

5,6

𝑥. За умовою задачі, ціна одного альбому перевищує ціну

зошита більше, ніж на 10 грн.

Отже нерівність 105,6

𝑥+6−

5,6

𝑥> 10 є математичною

моделлю даної задачі.

214

Розв’яжемо одержану нерівність: 105,6

𝑥+6−

5,6

𝑥− 10 > 0

105,6𝑥 − 5,6𝑥 − 33,6 − 10𝑥2 − 60𝑥

𝑥(𝑥 + 6)> 0

40𝑥 − 33,6 − 10𝑥2

𝑥(𝑥 + 6)> 0

−10𝑥2 + 40𝑥 − 33,6

𝑥(𝑥 + 6)> 0

За умовою 𝑥 > 0, отже і 𝑥 + 6 > 0 .

Тоді 10𝑥2 − 40𝑥 + 33,6 < 0.

Отримаємо: 𝑥2 − 4𝑥 + 3,36 < 0

𝐷 = 16 − 4 ∙ 3,36 = 16 − 13,44 = 2,56

√𝐷 = √2,56 = 1,6

𝑥1 =4−1,6

2= 1,2 ; 𝑥2 =

4+1,6

2= 2,8

1,2 < 𝑥 < 2,8

𝑥 = 2 (шт) - кількість куплених зошитів.

Тоді кількість куплених альбомів складатиме 8 штук.

Відповідь. Купили 8 альбомів.

Задача 9. Вказівка. Нехай х км/год – швидкість 1-го

поїзда, (х + 10) км/год – швидкість 2-го поїзда. Сума

швидкостей поїздів – (2х + 10) км/год – швидкість

зближення поїздів. Тоді за 6 годин вони разом пройшли

відстань (2х + 10) ∙ 6 (км). Поїздам залишилось пройти до

зустрічі:

500 − (2х + 10) ∙ 6 (км)

215

Складемо математичну модель задачі, що є

нерівністю: 500 − (2х + 10) ∙ 6 > 12, розв’язавши яку

одержимо, що х < 35,7, тоді швидкість іншого поїзда

35+10 = 45 (км/год).

Відповідь. швидкість поїздів 35 км/год і 45 км/год.

Контрольна робота на тему «Рівняння»

Рівень А (оцінювання по 1 б)

У завданнях 1-3 виберіть правильну, на вашу думку,

відповідь.

1. Мотоцикліст проїхав з пункту A в пункт B, відстань між

якими дорівнює 40 км, і повернувся назад. На зворотному

шляху він зменшив швидкість на 10 км/год порівняно з

початковою і витратив на подорож на 20 хв більше, ніж на

шлях з пункту A в пункт B. Знайдіть початкову швидкість

мотоцикліста. Яке рівняння є математичною моделлю

задачі, якщо через x позначено початкову швидкість

мотоцикліста?

А. 2,040

10

40

xx В.

3

140

10

40

xx

Б. 2,040

10

40

xx Г.

3

1

10

4040

xx

2. Дві бригади робітників, працюючи разом, можуть

виконати деяке завдання за 12 днів. Перша бригада,

216

працюючи окремо, може виконати це завдання на 10

днів раніше, ніж друга. За скільки днів може виконати

це завдання друга бригада? Яке рівняння є

математичною моделлю задачі, якщо через x позначено

кількість днів, за які може виконати завдання друга

бригада?

А. 12

1

10

11

xx В.

12

1

10

11

xx

Б. 10

1

12

11

xx Г.

10

1

12

11

xx

3. Із селища в місто виїхав велосипедист. Через 2 год

слідом за ним із селища виїхав мотоцикліст, швидкість

якого на 15 км/год більша за швидкість велосипедиста.

У місто вони прибули одночасно. Знайдіть швидкість

велосипедиста, якщо відстань від селища до міста

дорівнює 60 км. Яке рівняння є математичною моделлю

задачі, якщо через x позначено швидкість

велосипедиста.

А. 60(x + 15) − 60x = 2x В. 260

15

60

xx

Б. 215

6060

xx Г. 2

15

6060

xx

Рівень Б (оцінювання по 1,5 б)

Скласти математичну модель задачі:

217

4. Замовлення по випуску холодильників завод повинен

був виконати за 20 днів. Випускаючи щодня по 3

холодильники понад план, завод вже за два дні до

терміну виготовив на 6 холодильників більше, ніж було

передбачено в замовленні. Скільки холодильників

відповідно до замовлення повинен був випустити завод?

5. Оператор комп’ютерного набору мав за деякий час

набрати 180 сторінок тексту. Проте він виконав роботу

на 5 год раніше строку, оскільки набирав щогодини на 3

сторінки більше, ніж планував. Скільки сторінок він

набирав щогодини?

Рівень поглиблений (оцінювання по 2 б)

Скласти математичну модель задачі і розв’язати її.

6. Відстань між станціями, що становить 60 км, поїзд мав

подолати зі сталою швидкістю за певний час,

визначений розкладом, проте перед виїздом поїзд

затримали з технічних причин на 5 хв. Щоб наздогнати

ці 5 хв і приїхати на станцію за розкладом, машиніст

був вимушений збільшити швидкість на 10 км/год. З

якою швидкістю мав їхати поїзд за розкладом?

7. Два перекладачі перекладають книгу за 18 днів. Скільки

часу знадобилося б другому перекладачу на переклад,

якщо він може перекласти книгу на 15 днів швидше, ніж

перший?

8. До басейну підведено дві труби. Через одну трубу воду

наливають у басейн, а через іншу зливають, причому

218

для зливу потрібно на 1 год більше, ніж для наповнення.

Якщо ж відкрити обидві труби одночасно, то басейн

наповниться водою за 30 годин. За скільки годин можна

наповнити порожній басейн водою?

Розв’язування задач контрольної роботи

Задача. Замовлення по випуску холодильників

завод повинен був виконати за 20 днів. Випускаючи

щодня по 3 холодильники понад план, завод вже за

два дні до терміну виготовив на 6 холодильників

більше, ніж було передбачено в замовленні. Скільки

холодильників відповідно до замовлення повинен

був випустити завод?

Розв’язання.

Нехай завод повинен був випускати в день x

холодильників. Насправді завод випускав в день (x+3)

холодильники. Всього за планом завод повинен був

випустити 20 x холодильників. За два дні до терміну завод

випустив 18 (x+3) холодильників.

Згідно з умовою задачі складаємо рівняння:

18 (x+3) – 20 х = 6, яке є математичною моделлю

вказаної в задачі ситуації. Розв’язавши рівняння,

отримаємо x = 24. Отже, завод повинен був випустити

24×20 = 480 холодильників.

Відповідь. відповідно до замовлення завод повинен

був випустити 480 холодильників.

219

Задача. Оператор комп’ютерного набору мав за

деякий час набрати 180 сторінок тексту. Проте він

виконав роботу на 5 год раніше строку, оскільки

набирав щогодини на 3 сторінки більше, ніж

планував. Скільки сторінок він набирав щогодини?

Розв’язання.

Нехай оператор щогодини планував набирати x

сторінок тексту, а набирав фактично (x+3) сторінок. За

умовою задачі складемо її математичну модель:

180

𝑥−

180

𝑥 + 3= 5

Розв’язавши рівняння, отримаємо що х=9. Отже,

оператор набирав щогодини 9+3=12 (сторінок ).

Відповідь. 12 сторінок.

Задача. Відстань між станціями, що становить 60 км,

поїзд мав подолати зі сталою швидкістю за певний

час, визначений розкладом, проте перед виїздом

поїзд затримали з технічних причин на 5 хв. Щоб

наздогнати ці 5 хв і приїхати на станцію за

розкладом, машиніст був вимушений збільшити

швидкість на 10 км/год. З якою швидкістю мав їхати

поїзд за розкладом?

Розв’язання.

І етап. Складання математичної моделі.

Нехай x км/год — швидкість поїзда за розкладом.

Оскільки відстань між станціями дорівнює 60 км, то час,

відведений на її подолання, за розкладом, дорівнює x

60 год.

220

Фактично поїзд проїхав 60 км зі швидкістю (x + 10) км/год,

отже, час, витрачений на подолання відстані, дорівнює

10

60

xгод. Із двох величин

x

60 год і 10

60

xгод перша більша

за другу на 5 хв, тобто на 12

1 год. Складаємо рівняння:

12

1

10

6060

xx— математична модель задачі.

Зауваження 1. Зверніть увагу, що порівнювати можна

тільки величини одного найменування (у цьому випадку —

години).

Зауваження 2. Дані задачі можна було подати у

вигляді:

ІІ етап. Робота з математичною моделлю.

Маємо: 12

1

10

6060

xx. У процесі розв’язування цього

дробового рівняння отримаємо квадратне рівняння

07200102 xx , або 07200102 xx , звідки

901 x , або 80x . Обидва числа задовольняють умову

01012 xx , отже є коренями дробового рівняння.

ІІІ етап. Узгодження отриманих коренів рівняння із

змістом даної задачі.

221

У задачі запитують, з якою швидкістю мав їхати поїзд.

Саме цю величину ми позначили через x. Дістали, що x =

−90 або x = 80. Перше значення не відповідає змісту задачі,

оскільки швидкість руху поїзда на може бути від’ємним

числом. Тому отримуємо, що змісту задачі відповідає лише

один корінь рівняння x = 80. Це і є розв’язок даної задачі.

Відповідь. За розкладом поїзд мав їхати зі швидкістю

80 км/год.

Задача. Два перекладачі перекладають книгу за 18

днів. Скільки часу знадобилося б другому

перекладачу на переклад, якщо він може перекласти

книгу на 15 днів швидше, ніж перший?

Розв’язання.

Нехай другому перекладачу на переклад книги

знадобиться x год, тоді першому — (x + 15) год. За 1 год

другий перекладач перекладе x

1 книги, а перший — 15

1

x

книги. За умовою задачі разом перекладачі за 1 год

перекладуть 18

1книги. Маємо:

18

1

15

11

xx —

математична модель задачі. У процесі розв’язування цього

дробового рівняння отримаємо квадратне рівняння

x2 − 21x − 270 = 0;

x1 = −9; x2 = 30.

Оскільки час не може виражатися від’ємним

числом, корінь рівняння x = −9 не відповідає змісту задачі.

222

Відповідь. другому перекладачу для перекладу

книги потрібно 30 год.

Задача. До басейну підведено дві труби. Через

одну трубу воду наливають у басейн, а через іншу

зливають, причому для зливу потрібно на 1 год

більше, ніж для наповнення. Якщо ж відкрити

обидві труби одночасно, то басейн наповниться

водою за 30 годин. За скільки годин можна

наповнити порожній басейн водою?

Розв’язання.

Нехай басейн можна наповнити водою за x год, тоді

для зливу води потрібно (x +1) год. Отже, за 1 год

заповниться 1

𝑥 частина басейну, а відповідно зілл’ється

води 1

𝑥+1 частина.

За умовою задачі складемо рівняння, що є

математичною моделлю задачі: 1

𝑥−

1

𝑥+1=

1

30

30𝑥+30−30𝑥−𝑥2−𝑥

30𝑥(𝑥+1)= 0; 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ −1

−𝑥2 − 𝑥 + 30 = 0;

𝑥2 + 𝑥 − 30 = 0,

x1 = –6, x2 = 5.

Оскільки час не може виражатися від’ємним

числом, корінь рівняння x = −6 не відповідає змісту задачі.

Отже, басейн можна наповнити за 5 год.

223

Відповідь. Порожній басейн можна наповнити

водою за 5 год.

Самостійна робота на тему «Комбінаторика»

Скласти математичні моделі до задач, розв’язати задачі:

1. На дні народженні було 12 дітей. Аніматори мають

намір вибрати трьох дітей для участі в конкурсі і

вручити кожному одну кульку. Скількома способами

аніматор може здійснити цей вибір, якщо в руках у

нього жовта, свиня і зелена кулька?

2А. Після квесту в пришкільному таборі вчитель має

призначити трьох чергових для прибирання задіяної

території. Скільки існує варіантів вибору у вчителя,

якщо лише четверо учнів вільні?

3. Троє викладачів домовилися написати посібник, який

складатиметься з трьох розділів. Скільки існує

варіантів розподілу роботи між співавторами за умови,

що кожний викладач писатиме один розділ?

4. В кафе 18 різних видів морозива. Скільки всього існує

способів замовлення десерту з трьох різних видів

морозива?

224

Рис.2.84.

5А. На дверях у під’їзді встановлений кодовий замок. Двері

відчиняються при одночасному натисканні одразу

трьох різних кнопок. Скільки існує варіантів

перекодування цього замка?

Рис.2.85.

6. Двосерійний фільм планується знімати в двох містах.

Події першої серії розгортатимуться в одному місті, а

події другої серії – в іншому. Мерії 7 міст дали згоду

на зйомки нового фільму. Скільки існує різних

варіантів для зйомки?

Відповіді до самостійної роботи:

1. А123 =

12!

(12−3)!=

12!

9!= 10 ∙ 11 ∙ 12 = 1320

225

2. С43 =

4!

3!(4−3)!=

4!

3!1!=

3!4

3!= 4

3. Р3 = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6

4. С183 =

18!

3!(18−3)!=

15!∙16∙17∙18

1∙2∙3∙15!=

8∙17∙6

1= 816

5. С103 =

10!

3!(10−3)!=

7!∙8∙9∙10

1∙2∙3∙7!=

4∙3∙10

1= 120

6. А72 =

7!

(7−2)!=

5!∙6∙7

5!=

6∙7

1= 42

Самостійна робота на тему «Розв’язування

трикутників»

Скласти математичні моделі задач, розв’язати задачі:

1. Знайдіть висоту дерева, якщо спостерігач знаходиться

на відстані 10 м від дерева і бачить його вершину під

кутом 400.

2. На горі побудована вежа. Біля підніжжя гори лежить

камінь, який видно з із входу у вежу – під кутом 350 до

горизонту. Знайдіть висоту гори, якщо відстань від

каменю до входу у вежу 50,8 м.

3. М’яч знаходиться в точці А футбольного поля на

відстані 23 м і 24 м від точок В і С відповідно.

Футболіст направив м’яч у ворота. Знайдіть кут

влучання м’яча у ворота, якщо ширина воріт 7 м.

4. Під яким кутом видно прямолінійний край лісу

АВ=1240 м із пункту С, який віддалений від А на

1600 м і від В – на 1170 м?

226

5. Щоб знайти кут на місцевості, на його сторонах від

вершини відклали по 10 м і виміряли відстань між

одержаними точками –16 м. Знайдіть цей кут.

6. Знайдіть відстань від спостерігача, до дерева, яке росте

на протилежному березі річки, якщо з місця його

спостереження дерево видно під кутом 400 до лінії

берега річки, на якому знаходяться спостерігачі, а

іншому спостерігачу – під кутом 500, відстань між

спостерігачами дорівнює 20 м.

Відповіді до самостійної роботи:

1. ℎ = 10 ∙ 𝑡𝑔400

2. ℎ = 50,8 ∙ 𝑠𝑖𝑛350

3. 𝑐𝑜𝑠∠𝐴 =232+242−72

2∙23∙24

4. 𝑐𝑜𝑠∠𝐴 =11702+16002−12402

2∙1170∙1600

5. 𝑐𝑜𝑠𝛼 =102+102−162

2∙10∙10

6. 𝑑

𝑠𝑖𝑛500=

20

sin(1800−(400+500)) , або

𝑑 =20∙𝑠𝑖𝑛500

sin (1800−(400+500)) .

227

РОЗДІЛ 3. СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ДЛЯ ВЧИТЕЛІВ

МАТЕМАТИКИ ЩОДО ФОРМУВАННЯ УМІНЬ

МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ В УЧНІВ

2004-2019 р. р.

3.1. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при розв’язуванні текстових

задач в 5-6 класах

1. Баранова С. Відсоткові розрахунки в задачах про

здоровий спосіб життя (Уроки математики у 6 класі)

// Математика в рідній школі. 2017. №3(185). С. 30-

32.

2. Бондар М. Розв'язування задач на відсотки. 5 клас //

Газета Математика. 2007. №14(414). С.15-18.

3. Верета О. Задачі економічного змісту // Газета

Математика. 2015. №20(776). С. 27-30.

4. Волинець Р. С. Задачі практичного змісту. 6 клас //

Математика в школах України. 2019. №13-15(601-

603). С. 21-27.

5. Галайко М. Розв’язування задач на відсотки. Урок

математики в 6 класі // Математика в школах

України. 2009. №34(262). С. 21-25.

6. Глібова А. Текстові задачі з математики. 5–6 клас //

Математика в школах України. 2006. №27(147).

С. 31-36.

228

7. Глюза О. Задачі на переливання і зважування //

Математика в школах України. 2010. №15(279).

С. 13-23.

8. Журбенко Н. Задачі на відсотковий вміст речовини.

«Купецький» метод // Математика в школі. 2009.

№3(90). С. 28-34.

9. Заболотня Л. Розв’язування текстових задач (5-6

класи) // Математика в школі. 2004. № 6. С.23-26.

10. Засядько Л., Кононенко Т. Рідний край у задачах (5-9

класи) // Математика в рідній школі. 2017. №3(185).

С. 24-29.

11. Засядько Л., Кононенко Т. Рідний край у задачах

(Продовження. 6 клас) // Математика в рідній школі.

2017. №4(186). С. 17-22.

12. Ігнашкіна Л. Розв'язування текстових задач. 5 клас//

Газета Математика. 2006. № 21(369). С.7-9.

13. Кузнецова О. Задачі економіко-фінансового

характеру на уроках математики в 6 класі //

Математика в школі. 2004. №2. С. 35-37.

14. Науменко А., Панькова Н. Розв'язання текстових

задач у 5 класі // Математика в рідній школі. 2016.

№1(172). С. 22-25.

15. Ращупкіна Т. Застосування відсотків у банківській

справі. 6 клас // Газета Математика. 2007. № 45 (445).

С.9-10.

16. Руденко І., Задорожня Т. Задачі про податки //

Математика в рідній школі. 2016. №9(179). С. 22-25.

229

17. Скворцова С. Наступність у розв'язуванні текстових

задач в основній і початкові школах // Математика в

рідній школі. 2015. №5(164). С. 8-13.

18. Шиміна Г. Відсотки. Розв'язування задач:

математика, 5 клас // Газета Математика. 2011.

№15(603). С. 9-11.

19. Шматенко Г., Романова В. Готуймо дітей до життя.

5 клас // Газета Математика. 2007. №33(433). С.14-18.

3.2. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Числа»

20. Василякіна Н. Складні відсотки. Від простого до

складного один крок // Математика в школах

України. 2008. №11(203). С. 14-17.

21. Глущенко Л. Задачі на відсотки // Газета Математика.

2008. №23(467). С. 5-15.

22. Гречана В. Задачі на відсотки. Застосування

старовинного способу для швидкого розв’язування //

Математика в школах України. 2010. №9(273). С. 16-

17.

23. Нюкіна Т. Геометрична прогресія. Урок алгебри в

9-му класі // Газета Математика. 2018. №22(850).

С. 19-24.

24. Саломатнікова О. Відсотки. Основні задачі на

відсотки (вкладка) // Математика в школах України.

2007. №10(166). С.1-16.

230

25. Сварчевська І. Властивості чисел в історичних

задачах // Математика в рідній школі. 2014. №3(150).

С. 45-48.

26. Серватинська Н. Арифметична і геометричні

прогресії. Розв’язування задач // Математика в

школах України. 2008. №4(196). С. 30-32.

27. Сисоєнко В. Розв’язування задач на відсотки //

Математика в школах України. 2006. №10(130) С. 22-

296.

28. Сисоєнко В. Розв’язування задач на відсотки //

Математика в школах України. 2006. №11(131) С. 30-

34. Закінчення. Початок у №10(130).

29. Ятел І. Відсотки в задачах фінансового змісту.

Алгебра, 9-й клас // Газета Математика. 2018.

№10(838). С. 15-19.

3.3. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Рівняння і нерівності»

30. Антоненко В. Розв’язування квадратних рівнянь та

задач на складання квадратних рівнянь // Математика

в школах України. 2008. №8-9(200-201). С.60-61.

31. Ачкан В. Використання прикладних задач у процесі

вивчення показникових рівнянь у класах різних

профілів // Математика в школі. 2011. №4(115). С. 31-

35.

231

32. Ачкан В. Прикладні задачі як засіб формування

математичних компетентностей учнів у процесі

вивчення рівнянь і нерівностей в курсі алгебри і

початків аналізу // Математика в школі. 2009. №1-

2(88-89). С. 31-34.

33. Баранова С. Іван Франко на уроці математики, або

розв'язання задач за допомогою рівнянь. (Алгебра, 7

клас) // Математика в рідній школі. 2017. №9(190). С.

18-21.

34. Борисова М. Рівняння, що зводять до квадратних.

Розв’язування задач за допомогою рівнянь //

Математика в школах України. 2008. №5(197). С.17-

19.

35. Гармаш І. Домашня контрольна робота. Задачі на

складання систем лінійних рівнянь (7-й клас) та

систем раціональних рівнянь (8-й клас) // Газета

Математика. 2019. №6 (858). ВКЛАДКА

«ДИДАКТИКА» №3(51). С. 1-16.

36. Гергель О. Розв'язування задач за допомогою

квадратних рівнянь: алгебра, 8 клас // Газета

Математика. 2011. №19(607) С. 16-17.

37. Глущенко Л. Розв’язування текстових задач // Газета

Математика. 2008. №31-32. С. 22-48.

38. Дворянинов С. От условия текстовой задачи - к

уравнению // Научно-теоретический и методический

журнал: Математика в школе. 2019. №2. С. 35-37.

39. Карпік В. Алгебраїчні рівняння і нерівності, їх

системи. Задачі на складання рівнянь: тренувальна

232

тестова робота № 2 // Математика в школах України.

2010. №7(271). С. 28-32.

40. Кирдей І., Біська К. Прикладне застосування рівнянь

з параметром. Фрагмент навчального дослідження //

Газета Математика. 2019. №6 (858). С. 25-33.

41. Сварчевська І. Методи розв'язання нелінійних систем

рівнянь в історичних задачах // Математика в рідній

школі. 2017. №6(188). С. 39-43.

42. Сварчевська І. Методи розв'язання рівняння в

історичних задачах // Математика в рідній школі.

2015. №11(170). С. 43-48.

43. Сметанська Ю. Розв'язування текстових

задач. Нестандартні способи // Газета Математика.

2019. №2 (854). С. 8-10.

44. Сторчак В. Диференціальні рівняння як математичні

моделі реальних явищ // Газета Математика. 2006.

№1(349). С. 3-4.

3.4. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Функції»

45. Бурляй М. Таблиця як графічна модель розв'язання

задачі // Математика в школах України. 2010.

№3(267). С. 8-10.

46. Василюк Н. Лінійна функція та її графік (урок

розв’язування задач про підприємницьку діяльність)

233

// Математика в рідній школі. 2017. №10(191). С. 20-

23.

47. Войцех Р. Розв'язування задач прикладного

характеру. 11 клас // Газета Математика. 2006.

№41(389). С.6-7.

48. Гунько Л Застосування елементарних функцій для

розв'язання економічних задач // Математика в рідній

школі. 2017. №11(192). С. 22-25.

49. Калашніков І, Коваленко Т, Костриця К. Вивчення

похідної у закладах економічного профілю //

Математика в школі. 2005. №6. С.49-53.

50. Колесник Т., Тарасенко О. Показникова функція та її

застосування до розв’язування прикладних задач у

шкільному курсі математики // Математика в рідній

школі. 2017. №5(187). С.25-30.

51. Мельник Г, Баюн Н. Застосування математичних

методів до задач економічного змісту // Математика в

рідній школі. 2017. №3(185). С. 20-23.

52. Мельничук Т. Використання показникової та

логарифмічної функцій до розв’язування задач.

Алгебра і початки аналізу, 10 клас // Газета

Математика. 2009. №15(507). С. 14-16.

53. Овчинникова Т. Функція як математичні моделі

реальних економічних явищ і процесів // Математика

в школі. 2008. №7-8(83). С. 39-44.

54. Саломатнікова О. Застосування похідної до

розв'язування прикладних задач. Алгебра і початки

234

аналізу, 11 клас // Газета Математика. 2007.

№39(439). С.7-11.

55. Соколенко Л., Швець В. Особливості системи

прикладних задач, призначених для вивчення

функцій у курсі алгебри і початків аналізу //

Математика в сучасній школі. 2013. №12(147). С. 32-

41.

56. Соколенко Л., Швець В. Прикладні задачі на

знаходження найбільшого та найменшого значення

функції у курсі алгебри і початків аналізу //

Математика в рідній школі. 2014. №12(159). С. 25-31.

57. Соколенко Л., Швець В. Прикладні задачі,

призначені для вивчення логарифмічної функції в

курсі алгебри і початків аналізу // Математика в

рідній школі. 2014. №4(151). С. 34-40.

58. Стасюк В., Григулич С. Використання похідної

функції на прикладах розв’язання економічних задач

// Математика в школі. 2008. №5(81). С. 39-41.

59. Стрельченко О, Вайнтрауб М, Стрельченко І.

Елементарні функції та прикладні задачі

економічного напряму на уроках математики у школі

// Математика в школі. 2005. №6. С.44-49.

60. Стрельченко О, Вайнтрауб М, Стрельченко І. П’ять

уроків з теми: «Застосування похідної в задачах з

економічним змістом» // Математика в школі. 2004.

№1. С.38-43.

235

3.5. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені змістової лінії

«Елементи комбінаторики, теорії ймовірності та

статистики»

61. Війчук Т. Прикладні задачі фізичного змісту як засіб

формування стохастичних уявлень учнів у класах

природничого профілю // Математика в школі. 2009.

№9(96). С. 41-47.

62. Задорожня Т. Використання прикладних задач при

вивченні теорії ймовірностей // Математика в школі.

2005. №10. С. 35-39.

63. Коломієць Н. Елементи комбінаторики. Добірка

задач // Газета Математика. 2007. №33(433). С. 19-24.

64. Стасюк В., Григулич С. Застосування теорії

ймовірності до розв’язання економічних прикладної

спрямованості за розділом “Випадкові події” //

Математика в школі. 2008. №9. С. 36-40.

3.6. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені планіметрії

65. Ердик І. Розв'язування трикутників. Урок

застосування знань на практиці // Математика в

школах України. 2007. № 28(184). С.19-22.

236

66. Жураківська В, Литвин Н. Розв'язування трикутників.

Дидактична гра з геометрії у 9 класі // Газета

Математика. 2007. №38(438). С. 11-14.

67. Засядько Л., Кононенко Т. Рідний край у задачах (8-9

клас, закінчення.) // Математика в рідній школі. 2017.

№6(188). С. 8-15.

68. Засядько Л., Кононенко Т. Рідний край у

задачах (Продовження. 7 клас) // Математика в рідній

школі. 2017. №5(187). С. 34-37.

69. Кононова О. Застосування методу математичного

моделювання під час розв'язування задач на побудову

// Математика в школі. 2008. № 2(78). С.26–29.

70. Кравець К., Грабовська С. Розв'язування трикутників.

Бінарний урок з геометрії та фізики, 9 клас // Газета

Математика. 2006. №39(387). С.17-21.

71. Мельник Г., Баюн Н. Прикладні задачі як засіб

формування математичних компетентностей учнів 7-

8 класів у процесі вивчення властивостей трикутника

// Математика в рідній школі. 2018. № 2(195). С.25-

28.

72. Рижов М. Практичні задачі ситуації під час вивчення

геометрії у 9 класі // Математика в рідній школі.

2015. №6. С. 22-30.

73. Суховерхова Л. Тригонометрія навколо нас.

Розв'язування практичних задач за темою

«Розв'язування трикутників». Заняття математичного

гуртка. 9-11 клас // Математика в школах України.

2007. №30(186). С.34-36.

237

74. Чуманська С. Площі многокутників, 8 клас //

Математика в школах України. 2019. №10-12(598-

600). С.81-85.

3. 7. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів при вивчені стереометрії

75. Артеменко Н. Задачі прикладного змісту.

Стереометрія, 11 клас // Математика в школах

України. 2008. №5(197). С. 6-12.

76. Боровська В. Об'єм, площа поверхні многогранників

та тіл обертання. Задачі практичного змісту. 11 клас //

Математика в школах України. 2007. № 9 (165) С.8-

12.

77. Григораш Н. Математика у житті (довготривалий

проект під час вивчення стереометрії) // Математика

в рідній школі. 2016. № 4(175). С.43-48. 78. Дмитришина С. Об’єми і поверхні тіл обертання.

Розв’язування прикладних задач // Газета

Математика. 2009. №6(498). С. 1-8.

79. Кононова О. Застосування методу математичного

моделювання під час розв’язування задач на

побудову // Математика в школі. 2008. №2(78). С. 26-

33.

80. Мельник Г., Баюн Н. Розв’язування прикладних задач

у 10-11 класі як мотивація навчання математики в

школі // Математика в рідній школі. 2018. № 11(203).

С.15-19.

238

81. Прус А. Піраміда в контексті прикладної

спрямованості шкільного курсу стереометрії //

Математика в школі. 2005. №2. С.11-15.

82. Прус А. Про циліндр у контексті прикладної

спрямованості // Математика в школі. 2005. №5. С.15-

20.

83. Швець В., Прус А. Прикладна спрямованість

шкільного курсу стереометрії // Математика в школі.

2009. №4(91). С. 17-24.

3.8. Публікації щодо формування умінь

математичного моделювання в учнів при

розв’язуванні прикладних задач

84. Бевз В. Застосовуємо набуті компетентності до

розв'язання практичних задач // Математика в рідній

школі. 2016. №11. С. 31-34.

85. Борисов Є., Кугай Н. Задачі прикладного змісту на

уроках геометрії //Математика в рідній школі. 2014.

№7-8(154-155). С. 17-20.

86. Васильева Д. Задачі валеологічного змісту на уроках

математики // Математика в рідній школі. 2016.

№5(176). С. 7-11.

87. Васильєва Д. Василюк Н. Розвиток фінансової

грамотності учнів на уроках математики //

Математика в рідній школі. 2017. №6(188). С. 2-7.

239

88. Васильева Д. Формування громадської

відповідальності учнів на уроках математики //

Математика в рідній школі. 2017. №9(190). С. 7-13.

89. Війчук Т. Прикладні задачі фізичного змісту як засіб

формування стохастичних уявлень учнів у класах

природничого профілю // Математика в школі. 2009.

№9(96). С. 41-47.

90. Вінніченко Н., Забранський В. Прикладні задачі

економічного змісту і функції // Математика в школі.

2011. № 1-2(112-113). С. 22-26.

91. Воєвода А. Чи допоможе математика в житті? //

Математика в рідній школі. 2017. №9(190). С. 13-17.

92. Возносименко Д. Валеологічне виховання на уроках

математики // Математика в рідній школі. 2014.

№12(159). С. 21-24.

93. Возносименко Д. Валеологічний супровід уроків

математики // Математика в рідній школі. 2017. №7-

8(189). С. 35-37.

94. Волошина В. Математичне моделювання в процесі

розв'язання фізичних задач // Математика в рідній

школі. 2015. №6(165). С. 30-32.

95. Грицик Т., Забранський В. Прикладні задачі під час

вивчення лінійних та квадратних рівнянь //

Математика в школі. 2010. №12(111). С. 14-19.

96. Гусак М. Складання задач патріотичного характеру //

Математика в рідній школі. 2015. №10(169). С. 28-31.

97. Задачі про податки (6-8 класи). / Задорожня Т.,

Харченко С., Кучменко С., Чорнобай О., Бащук О.,

240

Скасків Л., Мамонова Г., Салієнко В. // Математика в

рідній школі. 2016. №10(180). С. 16-21.

98. Карпиловский О. Розв'язуємо задачі // Математика в

рідній школі. 2014. №4(151). С. 28-29.

99. Козар Т. Використання математичних моделей під

час розв'язування прикладних задач // Математика в

школах України. 2007. №7(163). С.8-12.

100. Корінь Г. Економіко-фінансові задачі на сторінках і

за сторінками підручників з математики //

Математика сучасній школі. 2013. №4. С. 28-35.

101. Корінь Г. Прикладні задачі як засіб реалізації

міжпредметних зв’язків // Математика в школі. 2004.

№9-10. С.30-34.

102. Корінь Г. Прикладні задачі як засіб реалізації

міжпредметних зв'язків // Математика в школі. 2010.

№10(109). С. 22-26.

103. Кравченко З. Застосування похідної та інтеграла в

процесі розв’язування прикладних задач. //

Математика в рідній школі. 2015. №1-2(160-161).

С. 29-33.

104. Крикун Н. Задачі графічного змісту. Алгебра, 9 клас.

// Газета Математика. 2008. №33(477). С. 17-23.

105. Кугай Н., Борисов Є. Математичне моделювання як

засіб формування методологічної компетентності

вчителя математики // Математика в рідній школі.

2015. №5(164). С. 30-34.

106. Курченко О., Рабець К. Задачі на рух // Математика в

школі. 2010. №11(110). С. 38-43.

241

107. Кушнір В., Ріжняк Р. Формування в учнів складних

умінь використовувати моделювання у процесі

розв’язування математичних задач інтегративного

змісту. // Математика в школі. 2009. №5(92). С. 13-17.

108. Левковець Д. Задачі практичного змісту в шкільному

курсі математики // Математика в школах України.

2018. №31-32(583-584). С. 15-33.

109. Лисиця М. Математичне моделювання. Наближені

обчислення. Відсоткові розрахунки. Алгебра, 9 клас.

// Математика в школах України. 2009. №9(237).

С. 12-15.

110. Литвиненко К. Прикладні задачі на дослідження //

Математика в школах України. 2007. №29(185). С.6-

10.

111. Мазур О. Деякі нестандартні задачі елементарної

математики // Математика в рідній школі. 2015. №10.

С. 10-15.

112. Малишко О. Прикладні задачі в курсі алгебри і

початків аналізу. // Математика в школі. 2009. №11.

С. 36-39.

113. Матвієнко Н. Прикладні задачі, 9 клас. // Газета

Математика. 2009. №9(501). С. 17-22.

114. Мельник Г. Використання математичного

моделювання під час розв'язання економічних задач

// Математика в рідній школі. 2017. №6. С. 21-25.

115. Мельник Г., Баюн Н. Застосування математичних

методів до задачі економічного змісту // Математика

в рідній школі. 2017. №3. С. 20-24.

242

116. Мельник Г., Баюн Н. Застосування розв'язування

трикутників у прикладних задачах 9 класу. //

Математика в рідній школі. 2018. №6. С. 26-29.

117. Мельник Г., Баюн Н. Прикладні задачі як засіб

формування математичних компетентностей учнів 7-

8 класів у процесі вивчання властивостей трикутника

// Математика в рідній школі. 2018. №2. С. 25-28.

118. Мельник Г., Баюн Н. Використання математичного

моделювання під час розв’язування економічних

задач // Математика в рідній школі. 2017. №6(188).

С. 21-25.

119. Мінтій. І., Петров В. Математичне моделювання

та прикладні задачі в шкільному курсі математики //

Математика в школі. 2007. №1(67). С. 3-8.

120. Панченко Л. Система прикладних задач як засіб

формування вмінь математичного моделювання у

майбутніх учителів математики // Математика в

школі. 2004. №9-10. С.21-28.

121. Піскаровська Н. Задачі з компетентнісним підходом

// Математика в школах України. 2019. №7-9(595-

597). С.56-61.

122. Плис Т. Значення прикладних задач під час вивчення

шкільного курсу алгебри на прикладі тем

«Нерівності» та «Прогресії» // Математика в рідній

школі. 2016. №7-8(178). С. 26-29.

123. Рижков М. Практичні задачі й ситуації під час

вивчення алгебри у 9 класі // Математика в рідній

школі. 2014. №4(151). С.15-23.

243

124. Рижков М. Практичні задачі і ситуації у навчання

математики в середній школі // Математика в рідній

школі. 2015. №9(168). С. 20-25.

125. Рижков М. Практичні задачі у навчанні математики //

Математика в рідній школі. 2014. №1(148). С.27-32.

126. Соколенко Л. Про необхідність створення системи

прикладних задач природничого характеру.

Профільне навчання математики // Газета

Математика. 2006. № 26(374). С.10-14.

127. Соколенко Л. Різні типи прикладних задач, що

призначені для вивчення похідної та її застосування.

// Математика в рідній школі. 2014. №9(156). С. 2-10.

128. Соколенко Л., Швець В. Різні типи прикладних задач,

що призначені для вивчення інтеграла та його

застосувань у курсі алгебри і початків аналізу //

Математика в рідній школі. 2015. №1-2(160-161).

С. 20-28.

129. Сосницька В. Добірка задач практичного змісту.

9 клас // Газета Математика. 2006. № 27-28(375-376).

С.31-35.

130. Танник Н. Задачі на розчини та сплави. 9 клас //

Математика в школах України. 2008. №6(198). С. 26-

29.

131. Ткаченко І., Туріщенко Л. Формування культури

розв’язання задач на уроках математики //

Математика в школах України. 2008. №8-9(200-201).

С. 10-11.

244

132. Ткачук О. Ефективність використання задач на

місцевому матеріалі під час навчання математики //

Математика в рідній школі. 2016. №4(175). С. 22-25.

133. Томащук О., Швець В., Школьний О. Цей

прекрасний світ задач // Математика в школі. 2009.

№1-2(88-89). С. 40-48; №5(92). С. 39-44.

134. Чінчой А., Швець В. Математичне моделювання як

один із методів реалізації прикладної спрямованості

шкільного курсу алгебри // Математика в рідній

школі. 2016. №9(179). С. 27-31.

135. Шишкіна І. Прикладна спрямованість викладання

математики як засіб формування стійкої мотивації до

навчання // Математика в рідній школі. 2019.

№3(206). С.21-23.

136. Ямкова Л. Задачі на розчини і сплави // Математика в

школах України. 2011. №4(304). С. 6-9.

3.9. Публікації щодо формування умінь математичного

моделювання в учнів з використанням сучасних

технологій

137. Грамбовська Л. Методика використання

комп'ютерного моделювання у процесі розв'язування

прикладних стереометричних задач на побудову //

Математика в школі. 2011. №5(116). С. 40-45.

138. Зеленяк О. Динаміка, моделювання і дослідження в

геометрії // Математика в рідній школі. 2016.

№1(172). С. 26-32.

245

139. Корнійчук О. Математичні моделі в економічних

розрахунках на базі Mathcad // Математика в школі.

2006. №6. С.35-41.

140. Кушнір В. Математичне моделювання при

конструюванні рівнянь що містить невідомий під

знаком модуля з використанням Maple-технології //

Математика в рідній школі. 2017. №4(186). С. 34-40.

141. Кушнір В. Метод математичного моделювання в

задачах автоматизованого конструювання

математичних об'єктів із заздалегідь визначеними

властивостями // Математика в рідній школі. 2014.

№2(149). С. 38-43.

142. Кушнір В. Математичне моделювання при

конструюванні рівнянь, що містять невідому під

знаком модуля з використанням Марlе-технології //

Математика в рідній школі. 2017. № 4(186). С. 34-40.

143. Кушнір В., Ріжняк Р. Розв’язування математичних

задач інтегративного змісту засобами комп’ютерного

моделювання // Математика в школі. 2009. №10(97).

С. 34-39.

144. Ракута В., Ракута В. Використання комп’ютерних

моделей у процесі вивчення шкільного курсу

планіметрії // Математика в сучасній школі. 2013.

№3(138). С. 42- 46.

145. Фоміна Л., Пилюгіна Т. Розв'язання прикладних

задач. Алгебра + інформатика. 11 клас // Математика

в школах України. 2007. №7(163). С.13-15.

246

3.10. Публікації з розкриттям теоретичних основ

навчання математичного моделювання в школі

146. Апостолова Г. Учимося розв'язувати текстові задачі.

Перші кроки з учнями 7-х класів // Газета

Математика. 2018. №7(835). С. 20-27.

147. Великодний С. Математичне моделювання в

основній школі // Математика в школі. 2005. №8.

С. 21-26.

148. Великодний С. Математичне моделювання при

розв’язуванні задач // Математика в школі. 2005. №9.

С.15-20.

149. Глобін О., Лапінський В. Моделювання як

ефективний засіб реалізації міжпредметних зв'язків у

профільному навчанні математики та інформатики //

Математика в школі. 2010. №7-8(106-107). С. 17-20.

150. Гриб’юк О. Математичне моделювання екологічних

процесів у профільних класах // Математика в школі.

2004. №8. С.45-48.

151. Лук'янова С. Розв'язування текстових задач в

основній школі: традиції та інновації // Математика в

сучасній школі. 2013. №12(147). С. 23-26.

152. Лук'янова С. Розв'язування текстових задач в

основній школі: традиції та інновації // Математика в

сучасній школі. 2014. №1(148). С. 37-39.

153. Мельник Г., Баюн Н. Розв'язування економічних

задач на уроках математики – теоретична база

вивчення економічних дисциплін // Математика в

рідній школі. 2016. №10(180). С. 37-42.

247

154. Панченко Л. Математичне моделювання як метод

наукового дослідження і навчального пізнання //

Математика в школі. 2008. №11-12(86). С. 12-18.

155. Ткач Ю. Дидактичні особливості навчання побудові

математичних моделей економічних явиш і процесів

// Математика в школі. 2005. №1. С.39-42.

156. Філімонова М., Швець В. Психолого-педагогічні

особливості навчання підлітків методу

математичного моделювання // Математика в школі.

2010. №11(110). С.21-25.

157. Швець В., Філімонова М. Еволюція математичного

моделювання як методу пізнання та навчання //

Математика в школі. 2010. № 4(103). С. 22-25.

158. Бойко Р. Текстовій задачі — математичну модель //

Газета Математика. 2014. №6(738). С.19-21.

3.11. Публікації щодо розроблення і проведення уроків

та позакласної роботи з метою формування умінь

математичного моделювання в учнів

159. Буковська О., Васильєва Д. Гурток з математики у 7

класі. Математичне моделювання // Математика в

сучасній школі. 2014. №6. С. 29-38.

160. Вельбдрехт Д., Токар Н. Урок-презентація методу

математичного моделювання (Урок алгебри в 9 класі)

// Математика в школах України. 2008. №8-9(200-

201). С. 69-71.

248

161. Гарбар Н. Сапрун Н., Бучківська А. Елементи

прикладної математики: підсумковий урок. Алгебра,

9 клас // Математика. 2011. №19. С. 14-15.

162. Давидюк М. Задачі із казковим змістом //

Математика в рідній школі. 2017. №5(187). С.37-39.

163. Досенко Г. Математичне моделювання.

Розв’язування екстремальних задач. Урок-бенефіс.

Алгебра, 9 клас // Математика в школах України.

2006. №8(128). С.32-35.

164. Єсипенко Л. Відсоткові розрахунки. Ділова гра на

уроці алгебри у 9-му класі // Газета Математика.

2019. №3(855). С.11-15.

165. Желтуха Т. Елементи прикладної математики//

Математика в школах України. 2007. № 7(163). С.22-

27.

166. Красавіна В. Розв’язування задач за допомогою

складання рівнянь, що зводяться до квадратних.

Урок-семінар, 8 клас // Газета Математика. 2009.

№10(502). С. 3-5.

167. Міцик О., Янатьєва О. Математична подорож.

Інтегрований урок із географії та математики, 8-й

клас // Газета Математика. 2019. №4(856). С.28-33.

168. Норенко О. Геометрія на пасіці. Площа

прямокутника. Урок-кейс у 8-му класі // Газета

Математика. 2018. №15(843). С.10-19.

169. Палієва С. Лікарня для тварин. Бінарний урок

алгебри та економіки в 11-му класі // Газета

Математика. 2018. №21(849). С.30-39.

249

170. Решетник М. Затишна оселя (навчальний проект із

математики у 5 - 6 класах) // Математика в рідній

школі. 2016. №5(176). С.14-19.

171. Стерневська Т. Математичне моделювання. Урок

алгебри у 9 класі // Газета Математика. 2006.

№11(359). С.7-11.

172. Стратій В., Величко О. Інтегрований урок із

математики та економіки в 11 класі // Математика в

рідній школі. 2015. №4(163). С.11-15.

173. Троненко А. Елементи прикладної математики.

Узагальнення та систематизація знань. 9 клас //

Математика в школах України. 2007. №10(166). С.28-

29.

174. Чудійнович С. У світі площ (урок-казка для 9 класу)

// Математика в школі. 2004. №2. С.37-39.

175. Юхименко О. Задачі з виробничим змістом. Урок

алгебри з використанням ПК // Газета Математика.

2007. №3(399). С.1-12.

176. Яценко С., Грамбовська Л. Розв’язування прикладних

задач практичного змісту із застосуванням теорем

синусів і косинусів (розробка уроку для 9 класу) //

Математика в школі. 2009. №5(92). С. 17-20.

250

3.12. Авторські публікації щодо формування умінь

математичного моделювання в учнів

177. Катеринюк Г. Актуальні проблеми формування

математичних компетентностей учнів // Матеріали IV

Всеукраїнської конференції молодих учених і

студентів «Актуальні проблеми сучасної науки і

наукових досліджень». Вінниця, 21-22 листопада

2016. С. 229-231.

178. Катеринюк Г. Використання персонального web-

сайту вчителя для формування умінь математичного

моделювання // Збірник тез за матеріалами

Всеукраїнської науково-практичної Інтернет-

конференції з міжнародною участю «Сучасні

інформаційні технології та інновації методики

навчання: досвід, тенденції, перспективи», 9-10

листопада, 2017 р.: – Тернопіль Осадца Ю. В. 2017. -

№1. С.91-94.

179. Катеринюк Г. Здатність до математичного

моделювання як ознака математичної компетентності

учнів // Моделювання у навчальному процесі:

матеріали Всеукр. наук-практ. Інтернет-конф. (03-04

березня 2017 р.) / укладач Н.А. Головіна – Луцьк:

Вежа-Друк, 2017. С. 70-73.

180. Катеринюк Г. Місце і роль математичного

моделювання в системі математичних

компетентностей учнів // Матеріали Всеукраїнської

251

науково-практичної конференції «Реалізація

наступності в математичній освіті: реалії та

перспективи». Одеса, 15-16 вересня 2016. С. 82-84.

181. Катеринюк Г. Необхідність вдосконалення умінь

математичного моделювання // Збірник наукових

праць за матеріалами дистанційної всеукраїнської

наукової конференції «Математика у технічному

університеті XXI сторіччя», 15-16 травня, 2017 р.,

Донбаська державна машинобудівна академія, м.

Краматорськ. Краматорськ: ДДМА, 2017. С. 232-234.

182. Катеринюк Г. Педагогічні умови формування та

розвитку здатності до математичного моделювання //

«Вища освіта України у контексті інтеграції до

європейського освітнього простору». К.: Гнозис,

2016. С. 239-246.

183. Катеринюк Г. Реалізація прикладної спрямованості

навчання математики в спортивно-гуманітарному

ліцеї // Матеріали Міжнародної науково-практичної

конференції «Актуальні проблеми теорії і методики

навчання математики», 11–13 травня 2017 р., Київ,

Україна К.: М. П. Драгоманова, 2017. С. 51-52.

184. Катеринюк Г. Розвиток математичних

компетентностей учнів у процесі формування

здатності до математичного моделювання // Сучасні

інформаційні технології та інноваційні методики

навчання у підготовці фахівців: методологія, теорія,

досвід, проблеми // Зб. наук. пр. – Випуск 47/ редкол.

Київ-Вінниця: ТОВ фірма «Планер», 2016. С. 63-67.

252

185. Катеринюк Г. Система задач з математики

прикладної спрямованості для учнів спортивно-

гуманітарного профілю. // Методичний пошук.

Конструювання задач та їх систем у методичній

діяльності вчителя математики. // Науково-

методичний збірник праць студентів. Випуск 7.

Вінниця, 2017. С.226-228.

186. Катеринюк Г. Аналіз програм з математики щодо

місця і ролі математичного моделювання в системі

математичних компетентностей учнів // Сучасні

інформаційні технології та інноваційні методики

навчання у підготовці фахівців: методологія, теорія,

досвід, проблеми // Зб. наук. пр. – Випуск 49 / редкол.

Київ-Вінниця: ТОВ фірма «Планер», 2017. 186с.

С.25-28.

187. Катеринюк Г. Критерії та показники сформованості

здатності до математичного моделювання в учнів

профільної школи. // Проблеми та перспективи

фахової підготовки вчителя математики: зб. Наук.

Праць з матеріалами Міжнар. наук-практ. конф., 30

травня – 1 червня 2018 р. / М-во освіти і науки

України, Вінницький державний педагогічний

університет імені Михайла Коцюбинського [та ін.].

Вінниця: ТОВ «Нілан-ЛТД», 2018. 334 с. С. 263-264.

188. Катеринюк Г. Методичні аспекти формування умінь

математичного моделювання в учнів гуманітаріїв //

Методичний пошук вчителя математики: зб. наук.

праць за матеріалами ІІ Всеукр. дистанц. наук-практ.

253

конф., 18 жовтня 2018 р. / Міністерство освіти і науки

України, Вінницький державний педагогічний

університет імені Михайла Коцюбинського. Вінниця,

2018. 221с. С. 89-92.

189. Катеринюк Г. Порівняльний аналіз шкільних

навчальних програм щодо завдання формування в

учнів умінь математичного моделювання // Сучасна

освіта в контексті нової української школи: зб. тез за

матеріалами Всеукраїнської науково-практичної

конференції з міжнародною участю, 11-12 жовтня

2018 р. / М-во освіти і науки України, Інститут

післядипломної педагогічної освіти Чернівецької

області [та ін.]. – Чернівці, 2018. 276 с. С. 48-52.

190. Катеринюк Г. Психолого-педагогічні аспекти

формування умінь математичного моделювання в

учнів старої школи. Фізико-математична освіта.

Суми, 2018. Випуск 1(15). С. 52-56.

191. Катеринюк Г. Теоретичні аспекти формування умінь

учнів у процесі навчання математики // Актуальні

проблеми сучасної науки і наукових досліджень: зб.

наук. пр. – Вип. 7 (10) / редкол.: Р.С. Гуревич (голова)

[та ін.] – Вінниця: ТОВ фірма «Планер», 2017. С.243-

245.

192. Катеринюк Г. Формування ключових

компетентностей учнів в освітньому процесі (на

прикладі навчання математики) // Професійно-

педагогічна компетентність: навчальний посібник / за

254

ред. І. Л. Холковської. Вінниця: ТОВ «Нілан ЛТД»,

2018. 308с. С.114-131.

193. Михайленко Л., Катеринюк Г. Развитие рефлексии

учащихся в процессе формирования умений

математического моделирования / Еvaluapea in

sistemul educational: deziderate actuale. materialele

Conferinta Stiintifica Internationala 9-10 noiembrie

2017, Chisinau. P.215-218.

194. Матяш О. Задачі методичної діяльності вчителя у

навчанні учнів геометрії / О. І. Матяш // Наукові

записки Малої академії наук України: Зб. наук. пр.

Вип. 3. Серія: педагогічні науки. Київ: Тов

«Сітіпрінт». 2013. С. 224-232.

195. Матяш О. Конструювання систем задач у навчанні

учнів геометрії в старшій школі // Особистісно

орієнтоване навчання математики: сьогодення і

перспективи : матеріали Всеукр. наук.-практ. конф.

(29-31 жовтня 2013 р.) Полтава: ТОВ «АСМІ», 2013.

С. 7-9.

196. Матяш О., Волощук-Тихоненко Н. Методичні

вказівки щодо впровадження прикладної

спрямованості в процесі навчання планіметрії в

основній школі. Вінниця: ВДПУ, 2010. 54 с.

197. Матяш О. Система задач на урок як засіб підвищення

ефективності навчання геометрії в школі // Сучасні

інформаційні технології та інноваційні методики

навчання у підготовці фахівців: методологія, теорія,

255

досвід, проблеми: Зб. наук. праць. Вип. 26. Київ-

Вінниця, 2010. С. 39-44.

198. Матяш О.. Ясінський В., Прус А. Формування знань

старшокласників про різні методи розв’язування

задач стереометрії // Математика в школі. 2010. № 10.

С. 8-17.

199. Матяш О., Катеринюк Г. Формування здатності учнів

до математичного моделювання в умовах позакласної

роботи // Сучасні інформаційні технології та

інноваційні методики навчання у підготовці фахівців:

методологія, теорія, досвід, проблеми // Зб. наук. пр.

Випуск 52 / редкол. Київ-Вінниця: ТОВ фірма

«Планер», 2018. 465 с. С.93-97.

200. Матяш О., Катеринюк Г. Методические особенности

системы задач для развития умений математического

моделирования в учащихся профильной школы.

curriculumul școlar: provocări și oportunități de

dezvoltare materialele conferinţei ştiinţifice

internaţionale 7-8 decembrie 2018, chişinău р. 84-89.

256

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл.

загальноосвіт, навч. закладів : академ. рівень /

А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський,

М. С. Якір. X.: Гімназія, 2010. 352 с.

2. Алгебра. 11 клас : підруч. для загальноосвіт.

навчальн. закладів : академ. рівень, проф. рівень /

А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський,

М. С. Якір. X.: Гімназія, 2011. 431 с..

3. Афанасьєва О. М., Бродський Я. С., Павлов О. Л.,

Сліпенко А. К. Математика. 11 клас: Підручник для

загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень

стандарту. Тернопіль: Навчальна книга Богдан, 2011.

480 с.

4. Бевз Г. П. Не звужуймо поняття математичної моделі

// Математика в школі. 2009. № 12. С. 3-7

5. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Алгебра

(Алгебра і початки аналізу): підруч. для 11 кл.

загальноосвіт. навч. закл.: академ. рівень, профіл.

рівень. К.: Освіта, 2011. 400 с.

6. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Алгебра: підручник для 9 класів

загальноосвітніх навчальних закладів К.: Зодіак-ЕКО,

2009. 288 с.

7. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Математика: 11 кл.: підруч. для

загальноосвіт. навч. закл. : рівень стандарту. К.:

Генеза, 2011. 320 с.

257

8. Біляніна О. Я., Білянін Г. І., Швець В. О. Геометрія:

10 кл. : академ. рівень : підруч. для загальноосвіт.

навч. закл. К.: Генеза, 2010. 256 с.

9. Бурда М. І., Тарасенкова Н. А. Геометрія. 9 клас:

Підручник для загальноосвітіх навчальних закладів

К.: «Зодіак-Еко», 2009. 240 с.

10. Великодний С. І. Математичне моделювання при

розв'язуванні задач. Донецьк: ДонНУ, 2003. 137 с.

11. Видра О. Г. Вікова та педагогічна психологія:

Навчальний посібник. К.: Центр учбової літератури,

2011. 112 с.

12. Вікова та педагогічна психологія/ О. В. Скрипченко,

Л. В. Долинська, З. В. Огороднійчук [та ін]. К.:

Просвіта, 2001. 416 с.

13. Волошена В. В. Математичне моделювання в процесі

формування практичних компетентностей учнів //

Science and education a new dimension. Pedagogy and

Psychology. Vol. 5, 2013 C. 64–67.

14. Волошена В. В. Формування в учнів основної школи

вмінь математичного моделювання як складової

математичної компетентності // Сучасні інформаційні

технології та інноваційні методики навчання в

підготовці фахівців: методологія, теорія, досвід,

проблеми // Зб. наук. пр. Вип. 40 / Редкол.: І.А. Зязюн

(голова) та ін.. Київ–Вінниця: ТОВ фірма «Планер»,

2014. С. 37-40

258

15. Волошена В. В. Математичне моделювання в процесі

розв’язування фізичних задач // Математика в рідній

школі. 2015. № 6. С. 30-32

16. Волошена В. В. Розвиток умінь математичного

моделювання у старшокласників в процесі навчання

природничо-математичних предметів: дис. на

здобуття наук. ступеня канд. пед. наук: [спец.]

13.00.09 ˮТеорія навчанняˮ / НАПН України. Київ,

2017. 236 с.

17. Выготский Л. С. Развитие психических функций. М.,

1960. 130 с.

18. Гальперіна А. Р., Чистякова Н. Б. Математика.

Елементи комбінаторики, початки теорії

ймовірностей, елементи статистики. X: Видавництво

«Ранок», 2009. 112 с.

19. Геометрія: 11 кл.: підруч. для загальноосвіт. навч.

закл. : академ. рівень, профіл. рівень /

Г.В.Апостолова; упорядкує, завдань: Ліпчевського

Л.В. [та ін.]. - К.: Генеза, 2011. - 304 с.: іл.

20. Геометрія: 11 кл.: підруч. для загальноосвіт. навч.

закл.: академ. рівень, профіл. рівень / Г.П.Бевз,

В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова, В. М. Владіміров. К.:

Генеза, 2011. 336 с.

21. Гончаренко С. У. Український педагогічний словник

/ С. У. Гончаренко. – К.: Либідь, 1997. – 376 с.

22. Горстко А. Б. «Познакомьтесь с математическим

моделированием» М.: Знание, 1991. 160 с.

259

23. Гриб’юк О. О. Математичне моделювання як засіб

екологічного виховання учнів у процесі навчання

математики в класах хіміко-біологічного профілю //

Дидактика математики: проблеми і дослідження:

Міжнародний збірник наукових робіт. Вип. 27.

Донецьк: Фірма ТЕАН, 2007. С. 132 – 139

24. Гриб’юк О. О. Математичне моделювання

екологічних процесів у профільних класах //

Математика в школі. 2004. № 8. С. 45-48.

25. Гриб’юк О. О. Математичне моделювання як засіб

екологічного виховання учнів у процесі навчання

математики в класах хіміко-біологічного профілю:

автореф. дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Нац. пед.

ун-т ім. М. П. Драгоманова. К., 2011. 24 с.

26. Гузеев В. В. О системе задач и задачном подходе к

обучению / В.В. Гузеев // Химия в школе. 2001. № 8.

С. 12–18

27. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения.

М., 1972. 613 с.

28. Давыдов В. В., Варданян А. Ч. Учебная деятельность

и моделирование. Ереван: Луйс, 1981. 220 с.

29. Державний стандарт початкової освіти URL:

https://www.kmu.gov.ua/ua/npas/pro-zatverdzhennya-

derzhavnogo-standartu-pochatkovoyi-osviti (дата

звернення: 21.08.2019).

30. Загальна психологія / Скрипченко О. В.,

Долинська Л. В., Огороднійчук З. В. [та ін.]. К. :

А.П.Н., 1999. 461 c.

260

31. Загальна психологія: навч. посіб. / Сергєєнкова О. П.,

Столярчук О. А., Коханова О. П., Пасєка О. В. К.:

Центр учб. літ-ри, 2012. 296 с.

32. Зайцева Л. І. Формування елементарної математичної

компетентності в дітей старшого дошкільного віку:

Дис. … канд. пед. наук. К., 2005. 215 с.

33. Закон України «Про освіту». URL:

https://zakon.rada.gov.ua/laws/show/2145-19 (дата

звернення: 21.08.2019).

34. Залівіна І. С., Методика використання нерівностей

під час розв’язання текстових задач. "Наука і освіта",

№8. 2015. С.51-57

35. Зарубин В. С. Математическое моделирование в

технике: Учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина,

А. П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,

2001. 496 с.

36. Зимняя И. А. Педагогическая психология. Ростов-на-

Дону: Феникс, 1997.

37. Інформатика для учнів 5-9 класів. Навчальна

програма для загальноосвітніх навчальних закладів,

2017. [Електронний ресурс] // МОН. – URL:

https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-

osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-5-9-klas

38. Інформатика. Навчальні програми для учнів 10-11

класів загальноосвітніх навчальних закладів (рівень

стандарту, академічний рівень, профільний рівень,

поглиблене вивчення). Наказ МОН від 14.07.2016 №

826. // МОН. URL:

261

https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-

osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-dlya-10-

11-klasiv

39. Ісичко Л. В. Математичне моделювання як один з

етапів процесу розв’язування фізичних задач //

Вісник Чернігівського національного педагогічного

університету. Педагогічні науки. 2013. Вип. 109.

С.176-180.

40. Катеринюк Г. Д. Геометрія і футбол: метод. розробка.

Вінниця, 2018. 29 с.

41. Колінець Г. Г. Психологічні передумови формування

математичних дослідницьких здібностей у

старшокласників: автореф. дис...канд. психол. наук :

19.00.07 / Ін-т психології ім. Г. С. Костюка АПН

України. К., 2000. 17 c.

42. Колмогоров А. Н. Современная математика и

математика в современной школе // Математика в

школе. 1971. № 6. С.2-3.

43. Комп’ютерне моделювання систем та процесів.

Методи обчислень. Частина 1 : навчальний посібник /

Квєтний Р. Н., Богач І. В., Бойко О. Р., Софина О. Ю.,

Шушура О. М.; за заг. ред. Р. Н. Квєтного. Вінниця:

ВНТУ, 2012. 193 с.

44. Концепція нової української школи. Нова українська

школа. Концептуальні засади реформування

середньої школи. Документ ухвалений рішенням

колегії МОН 27/10/2016 [Електронний ресурс] //

МОН. URL:

262

http://zakinppo.org.ua/images/2017/docs/10/konczepcziy

a.pdf

45. Концепція профільного навчання в старшій школі,

затверджена рішенням колегії МОН України №10/2-2

від 25.09.2003 року (нова редакція, затверджена

наказом міністра освіти і науки України, наказ №

854т від 11.09.2009 р.).

46. Концепція профільного навчання в старшій школі,

затверджена рішенням колегії МОН України №1456

від 21.10.2013 року.

47. Кравчук В. Р., Підручна М. В., Янченко Г. М.

Алгебра: Підручник для 9 класу. Тернопіль:

Підручники і посібники, 2009. 256 с.

48. Красницький М. П. Передумови здійснення

диференціації при поглибленому вивченні

математики / М. П. Красницький, В. О. Швець /

Сучасні інформаційні технології в навчальному

процесі: Зб. наук. праць. К.: НПУ, 1997. С. 156-164.

49. Крилова Т. В. Початки математичного моделювання:

Наукові основи навчання математики студентів

технічних спеціальностей. К.: Вища школа, 1997.

278 с.

50. Кутішенко В. П. Вікова та педагогічна психологія.

(курс лекцій). 2-ге вид.: Навч. посіб. К.: Центр

учбової літератури, 2010. 128 с.

51. Максименко С. Д. Соловієнко В. О. Загальна

психологія: навч. посіб.; відп. ред. І. В. Хронюк. К.:

Вид-во МАУП, 2000. 256 с.

263

52. Математика. 5-9 класи. Навчальна програма для

загальноосвітніх навчальних закладів / М. І. Бурда,

Б. В. Кудренко, О. Я. Біляніна, А. І. Азаренкова,

О. І. Буковська, Т. С. Кіндюх, О. Є. Лисенко,

А. В. Миляник, Н. В. Панова, А. В. Паньков. Наказ

МОН від 07.06.2017 № 804. [Електронний ресурс] //

МОН. URL: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-

serednya-osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-

5-9-klas

53. Математика. Навчальна програма для учнів 5-9 класів

загальноосвітніх навчальних закладів (укладачі:

М. І. Бурда, Ю. І. Мальований, Є. П. Нелін,

Д. А. Номировський, А. В. Паньков,

Н. А. Тарасенкова, М. В. Чемерис, М. С. Якір), 2012.

56 с.

54. Математика. Навчальна програма для учнів 5-9 класів

загальноосвітніх навчальних закладів (автори:

М. І. Бурда, А. В. Паньков, М. С. Якір,

Д. А. Номіровський ), 2015. 56 с.

55. Математика. Навчальна програма з математики для

загальноосвітніх навчальних закладів 1-4 кл., 2017

[Електронний ресурс] // МОН. URL:

http://mon.gov.ua/activity/education/zagalna-

serednya/navchalni-programy.html

56. Математика. Навчальні програми для учнів 10-11

класів загальноосвітніх навчальних закладів (рівень

стандарту, академічний рівень, профільний рівень,

поглиблене вивчення). Наказ МОН від 14.07.2016 №

264

826. // МОН. URL:

https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-

osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-dlya-10-

11-klasiv

57. Математичне моделювання як засіб інтеграції

навчальних курсів / Л. Ф. Вікуліна, В. О. Артемов, О.

С. Малащук, Е. В. Бахчеван //Аграрний вісник

Причорномор'я. Технічні науки. 2013. Вип. 67. С.187-

192

58. Математичне моделювання. [Електронний ресурс]

URL: http://manualsem.com/book/577-modelyuvannya-

i-prognozuvannya-stanu-dovkillya/8-22-matematichne-

modelyuvannya.html

59. Математичне моделювання: [Електронний ресурс] //

Вікіпедія – вільна енциклопедія. – URL:

https://uk.wikipedia.org/wiki/Математичне_моделюван

ня

60. Матюшкин A. M. Проблемные ситуации в мышлении

и обучении. М., 1972. 392 с.

61. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.

Геометрія: Підручн. для 9 кл. загальноосвіт. навч.

закладів. X.: Гімназія, 2009. 272 с: іл.

62. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.

Геометрія: Підручник для 9 класів загальноосвітніх

навчальних закладів. Х.: Гімназія, 2009. 272 с.

63. Новікова А. О. Навчальний проект як засіб

формування в учнів основної школи умінь

265

математичного моделювання // Математика в рідній

школі. 2018. № 11(203). С.44-47.

64. Особенности обучения психического развития

школьников 13-17 лет. М., 1988. С. 69-71.

65. Охитина Л. Т. Психологические основы урока. М.:

Просвещение, 1977. 96 с.

66. Павелків Р. В. Загальна психологія: підруч. [для студ.

вищ. навч. закл.]. К., 2002. 506 c.

67. Панченко Л. Л. Формування вмінь математичного

моделювання в процесі навчання майбутніх учителів

математики: дис... канд. пед. наук: 13.00.02 /

Національний педагогічний ун-т ім.

М. П. Драгоманова. К., 2006. 260арк.

68. Панченко Л. Л. Математичне моделювання як метод

наукового дослідження і навчального пізнання //

Математика в школі. 2008. № 11/12. С. 12-18.

69. Панченко Л. Л., Шаповалова Н. В. Цільові аспекти

навчання студентів педагогічного університету

математичного моделювання // Науковий часопис

НПУ імені М. П. Драгоманова. Серія № 3. Фізика і

математика у вищій і середній школі: Зб. наукових

праць К.: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2010. № 6.

C. 101-108.

70. Педагогічна психологія. За ред. Л. М. Проколіснко і

Д. Ф. Ніколенка. К.: "Виша школа", 1991.

71. Петров В. А. Математичне моделювання та

прикладні задачі в шкільному курсі математики //

Математика в школі. 2007. № 1. С.28–31.

266

72. Практикум по возрастной и педагогической

психологии. Под ред. А. И. Щербакова. М.:

Просвещение, 1987.

73. Програма для загальноосвiтнiх навчальних закладів.

Математика 5-12 класи. К.: Iрпiнь: Перун, 2005. 64 с.

74. Програма для класів з поглибленим вивченням

математики (8-9 класи). К.: Вікторія, 2010. 54 с.

75. Проект типового навчального плану для 10-11 класів

[Електронний ресурс] // МОН. – URL:

http://mon.gov.ua/content/Про%20Міністерство/Колегі

я/2017/07/pro-tipovi-navch.-plani-dlya-10-11-kl.-

(xobzej-p.k.)-22.06.2017.pdf

76. Прус А. В. Прикладна спрямованість шкільного

курсу стереометрії: автореф. дис. на здобуття наук.

ступеня канд. пед. наук : 13.00.02 / Нац. пед. ун-т ім.

М. П. Драгоманова. К., 2007. 23 с.

77. Прус А., Швець В. Прикладна спрямованість

стереометрії: 10- 11 кл. К.: Шк. світ, 2007. 128 с

78. Раков С. А. Математична освіта: компетентнісний

підхід з використанням ІКТ: Монографія. Х.: Факт,

2005. 360 с.

79. Раков С. А. Формування математичних

компетентностей випускника школи як місія

математичної освіти // Математика в школі. 2005.

№5. С. 2-7.

80. Раков С. А. Формування математичних

компетентностей вчителя математики на основі

дослідницького підходу з використанням

267

інформаційних технологій: Автореф. дис. … д-ра пед.

наук: 13.00.02. К., 2005. 47 с.

81. Розв’язування навчальних задач з фізики: питання

теорії і методики / С. У. Гончаренко, Є. В. Коршак,

А. І. Павленко [та ін.]; за заг. ред. Є. В. Кораша. Київ:

НПУ імені М. П. Драгоманова, 2004. 185с.

82. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое

моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: физ.-

мат. лит., 2001. 320 с.

83. Семенова І. Ю. Математичні моделі МСС,

Навчальний посібник. Київ, 2014. 82 с.

84. Скрипченко О. В., Лисянська Т. М., Скрипченко Л. О.

Психолого-педагогічний аналіз уроку.— К., 1999.

85. Соколенко Л. О., Філон Л. Г., Швець В. О. Прикладні

задачі природничого характеру в курсі алгебри і

початків аналізу: Практикум: навч. посіб. Київ, 2010.

128 с.

86. Станжицький О. М., Таран Є. Ю., Гординський Л. Д.

Основи математичного моделювання: Навчальний

посібник. К.: Видавничо-поліграфічний центр

“Київський університет”, 2006. 96 с.

87. Суховерхова Л. П. Тригонометрія навколо нас.

Розв'язування практичних задач за темою

«Розв'язування трикутників». Заняття математичного

гуртка. 9-11 клас // Математика в школах України.

2007. №30(186). С.34-36

88. Уемов А. И. «Логические основы метода

моделирования» – М.: Просвещение, 1996.

268

89. Фізика. 5-9 класи. Навчальна програма для

загальноосвітніх навчальних закладів, 2017.

[Електронний ресурс] // МОН. – URL:

https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-

osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-5-9-klas

90. Філімонова М. О. Формування умінь математичного

моделювання в учнів основної школи в процесі

навчання геометрії [Текст]: автореф. дис. . канд. пед.

наук : [спец.] 13.00.02 "Теорія та методика навчання"

/ Філімонова Марія Олександрівна ; Нац. пед. ун-т ім.

М. П. Драгоманова. Київ, 2015. 20 с.

91. Філімонова М. О. Використання flash-анімації на

уроках геометрії під час розв'язування прикладних

задач // Науковий часопис Національного

педагогічного університету імені М. П. Драгоманова.

Серія 3: Фізика і математика у вищій і середній

школі. 2014. Вип. 13. С. 111-116.

92. Філімонова М. О., Швець В. О. Елементи

математичного моделювання у процесі вивчення

геометричного матеріалу в 5 – 6 класах // Science and

Education a New Dimension: Pedagogy and Psychology.

2013, Vol. 5. С.149-152

93. Філімонова М. О., Швець В. О. Математичне

моделювання в курсі основної школи: зміст і вимоги

до підготовки учнів. // Didactics of mathematics:

Problems and Investigations. – Issue # 34. – 2010. С.72-

76

269

94. Філімонова М. О., Швець В. О. Психолого-

педагогічні особливості навчання підлітків методу

математичного моделювання // Математика в школі.

2010. №11. С. 21-25.

95. Формуємо комбінаторне мислення /

Ю. О. Захарійченко, Л. І. Захарійченко, В. К. Репета,

Л. А. Репета. Х.: Вид. група «Основа», 2017. 63, [1] с.

(Б-ка журн. «Математика в школах України»; Вип. 1

96. Фридман Л. М. Наглядность и моделирование в

обучении. М.: Знание, 1984. 80 с.

97. Фридман Л. М., Кулагина И. Ю. Психологический

справочник учителя. М.: Просвещение, 1991. 288 с.

98. Черкасова А. М. Моделирование как метод развития

познавательной самостоятельности учащихся

начальной школы на уроках математики // Начальное

образование: реалии и перспективы в условиях

внедрения стандартов второго поколения: Материалы

III Международной научно-практической

конференции, Дагестанский государственный

педагогический университет, 19-21 апреля 2012 г. –

С.409-410.

99. Швець В. О. Математичне моделювання як змістова

лінія шкільного курсу математики // Дидактика

математики: проблеми і дослідження: Міжнародний

збірник наукових робіт. Вип. 32. Донецьк: Вид-во

ДонНУ, 2009. С. 16-23.

270

100. Швець В. О. Прикладна спрямованість шкільного

курсу стереометрії // Математика в школі. 2009. № 4.

С. 17-24.

101. Швець В. О., Прус А. В. Теорія та практика

прикладної спрямованості шкільного курсу

стереометрії: Навчальний посібник. Житомир:

Видавництво ЖДУ імені І.Франка, 2007. 156 с.

102. Швець В. О., Філімонова М. О. Еволюція

математичного моделювання як методу пізнання і

навчання // Математика в школі. 2010. № 4. С. 22-25.

103. Штофф В. А. «Моделирование и философия» М.:

Наука, 1966. 302 с.

104. Штофф В. А. Роль модели в познании Л.: Наука,

1973. 128 с.

105. Якиманская И. С. Разработка технологии личностно-

ориентированного обучения. // Педагогика. 1995, №2.

С.31-42