AM Cherubini - unile.itpoincare.unile.it/franz/sisdin2007/MA4.pdflibro di Benettin et al. e nel Fasano-Marmi..... Studiamo nel piano delle fasi (q,q˙) un sistema ad 1 grado di liberta’

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Proprieta’ dei sistemi lagrangiani e applicazioni al caso 1-dim

AM Cherubini

23-24 Aprile 2007

Conservazione dell’energia

➢Conservazionedell’energia

➢Forma normaledelle equazioni diLagrange

Equilibrio estabilita’ per

sistemiconservativi

Studio di sistemi1-dimensionali

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Notazione: per avere formule compatte usero’ vettori, dovepossibile: quindi v · u =

∑ni=1 viui etc.

...

Dato un sistema ad n gradi di liberta’ con Lagrangiana L(q, q) ,la funzione

E(q, q) = q · ∂L

∂q− L(q, q) (1)

e’ una costante del moto (o integrale del moto)NB ∂L

∂q= (..., ∂L

∂qi, ...). La quantita’ ∂L

∂qisi chiama momento

coniugato a qi e viene in genere indicata con pi

DIMOSTRAZIONE: Si mostra che dE(q,q)dt

, calcolata sullesoluzioni delle equazioni di Lagrange, e’ nulla.

...




sistemiconservativi


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Nel caso di Lagrangiane che vengono da sistemi meccaniciconservativi, L(q, q) = K(q, q) − V (q), E e’ l’energia totale.

∂L

∂q= A(q)q E = 2K − (K − V ) = K + V

NB: Un integrale del moto definisce implicitamente un insiemeinvariante nello spazio delle fasi (che nel nostro caso e’ lo spaziodelle (q, q)): nel caso n = 1 la conservazione dell’energia fornisce

un’equazione implicita per le orbite del sistema.

Forma normale delle equazioni di Lagrange




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■ Per poter applicare il teorema di Cauchy e altri risultati gia’visti per le equazioni differenziali, le equazioni devono esserein forma normale, cioe’ esplicitate rispetto alla derivata diordine piu’ alto, per esempio

x = f(x, t)

■ E’ possibile scrivere le eq. di Lagrange

d

dt

∂L

∂qi

=∂L

∂qi

nella formaqi = fi (q, q) i = 1, n ?




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■ Nel caso di Lagrangiane naturali (cioe’ provenienti da sistemimeccanici) conservative (L = K − V ), questo e’ immediatose l’ energia cinetica e’ indipendente dalle q perche’ il sistemadi equazioni ha forma

Aq =∂V

∂q

e la matrice cinetica A e’ invertibile.

In generale vale la seguente...




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Proposizione

Le equazioni di Lagrange per sistemi meccanici conservativi(quindi L = K(q, q) − V (q) e K quadratica nelle q), si possonomettere in forma normale, cioe’ si possono scrivere nella forma

qi = fi(q, q) i = 1, n

...




sistemiconservativi


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DIMOSTRAZIONE La dimostrazione di questo teorema non e’richiesta.Il punto essenziale e’ che la matrice cinetica A(q) e’ invertibile.E’ necessario, per quanto si dira’ in seguito, vedere un po’ piu’ indettaglio la forma delle fi .Dalle equazioni di Lagrange si ha

d

dt(A(q)q) =

∂K

∂q+

∂V

∂q

mad

dt(A(q)q) = A(q)q +

(

d

dtA(q)

)

q

...




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Sviluppando le derivate si trova, per una opportunag = (..., gi, ...),

q = A−1(q)

(

∂V

∂q+g(q, q)

)

= f (q, q) (2)

■ E’ importante, per quanto si dira’ sull’equilibrio, sottolineareche la funzione g ha dipendenza quadratica da q, quindi

q = 0 ⇒ g(q, q) = 0

e cioe’

f (q,0) = A−1(q)∂V (q)

∂q

Equilibrio e stabilita’ per sistemi

conservativi




sistemiconservativi➢Configurazioni diequilibrio

➢Equilibrio stabile

➢Caratterizzazionedegli equilibri

➢Teorema diLagrange-Dirichlet

➢Note al teorema


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➢Note al teorema


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Si possono riutilizzare definizioni e risultati gia’ dimostrati per isistemi di EDO al primo ordine del tipo

x = F (x)

Bisogna pero’ prestare attenzione al fatto che ora il sistema e’ alsecondo ordine.Si e’ visto che nel caso di sistemi meccanici conservativi leequazioni di Lagrange si possono mettere in forma normale. Ilsistema

qi = fi (q, q) i = 1, n

e’ equivalente al un sistema di 2n equazioni al primo ordine

qi = vi

vi = fi(q, v) i = 1, n (3)








➢Note al teorema


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Quindix = (q,v) = (q, q)

Data la particolare forma del sistema, la sua linearizzazioneattorno ad un punto di equilibrio (q∗, 0) avra’ una matrice del tipo

(

0 I

M(q) 0

)

(traccia nulla!). In particolare, per n = 1 sara’

(

0 1−V ′′(q∗) 0

)

Configurazioni di equilibrio








➢Note al teorema


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Un punto di equilibrio x∗ per il sistema cosi’ ottenuto avra’ laforma

x∗ = (q∗, 0)

q∗ e’ una configurazione di equilibrio per il sistema Lagrangiano.

...

Nello studio della stabilita’, invece di intorni di x∗ si prenderannointorni di q∗e di 0; si puo’ quindi riscrivere come segue ladefinizione di stabilita’ alla Lyapunov ( per ogni tempo )

Equilibrio stabile








➢Note al teorema


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DEFINIZIONE q∗ ∈ Rn e’ una configurazione di equilibrio stabilese ∀ǫ > 0, ∀δ > 0 e’ possibile scegliere ǫ1, δ1 > 0 tali che

‖q(t) − q∗‖ < ǫ ‖q(t)‖ < δ ∀t

per ogni moto con dato iniziale

(q0, q0) t.c. ‖q0 − q∗‖ < ǫ1 ‖q0‖ < δ1

■ Se la configurazione di equilibrio q∗ e’ stabile, le orbiterimangono confinate in un suo intorno arbitrario, con velocita’arbitrariamente piccole, purche’ il dato iniziale q0 sia vicino aq∗ e q0 sia piccola

■ In alcuni libri, si da’ la definizione per sistemi con L = K − V

valutando K(q, q) invece che ‖q(t)‖: e’ equivalente.

Caratterizzazione degli equilibri per sistemi conservativi








➢Note al teorema


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Sia dato un sistema Lagrangiano conservativo a n gradi diliberta’, con L = K(q, q) − V (q): q∗ ne e’ una configurazione diequilibrio se e solo se e’ un punto stazionario per V , cioe’ se

∂V

∂qi

= 0 i = 1, n

DIMOSTRAZIONE Dall’espressione (3) del sistema al primoordine, e da quanto detto in (2) sulla dipendenza dalle q delvettore f = (.., fi, ..), si ha

f (q∗, 0) = A−1 (q∗)∂V (q∗)

∂q

Poiche’ A e’ definita positiva

f (q∗, 0) = 0 ⇐⇒ ∂V (q∗)

∂q= 0

Teorema di Lagrange-Dirichlet








➢Note al teorema


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Sia dato un sistema Lagrangiano conservativo a n gradi diliberta’, con L = K(q, q)− V (q): condizione sufficiente affinche’q∗ sia una configurazione di equilibrio stabile e’ che sia un puntodi minimo stretto per il potenziale V .

Note al teorema








➢Note al teorema


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■ Il teorema da’ solo una condizione sufficiente per l’equilibriostabile, si possono portare esempi di equilibri stabili che nonsono punti di minimo di V

■ Nonostante questo, il teorema sara’ lo strumento principaleper lo studio della stabilita’ di sistemi lagrangiani. Infatti nelcaso in cui la presenza di un minimo si possa decidere solodalle derivate seconde di V (cioe’ dalla matrice hessiana V ′′)la condizione e’ anche sufficiente.

V ′′(q∗) def.positiva =⇒ q∗ e’ un minimo

V ′′(q∗) ha un autoval.<0 =⇒ q∗ non e’ un minimo

Resta indeterminato il caso con autovalori nulli e nessunautovalore negativo








➢Note al teorema


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Il teorema e’ un corollario del primo teorema di Lyapunov, chericordiamo

Teorema di Lyapunov

Per un punto fisso x∗ di un sistema dinamico x = F(x), sidefinisce funzione di Lyapunov per x∗ una funzione Λ(x) almenoC1 in un intorno U di x∗ t.c.

■ Λ(x) > Λ(x∗) per ogni x ∈ U , x 6= x∗, cioe’ il punto fisso e’un minimo stretto in U per Λ

■ ∇Λ(x) · F(x) ≤ 0 per ogni x ∈ U , cioe’

Λ(x(t)) ≤ 0 sui moti del sistema

Se per x∗ esiste una funzione di Lyapunov , allora esso e’Lyapunov-stabile.

Dimostrazione








➢Note al teorema


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V e’ stazionario in q∗, che quindi e’ configurazione di equilibrio.Dopo di che si applica il teorema di Lyapunov al sistema2n-dimensionale in (3) per il punto di equilibrio x∗ = (q∗, 0):l’energia E = K + V e’ una funzione di Lyapunov infatti

E (x (t)) = 0 sui moti x (t) = (q(t), q(t))

e, poiche’ K e’ forma quadratica definita positiva delle q

K(q, q) > 0 se q 6= 0 K(q,0) = 0

quindi (q∗, 0) e’ un punto di minimo stretto per E

Studio di sistemi 1-dimensionali




sistemiconservativi

Studio di sistemi1-dimensionali➢Analisiqualitativa


➢Oscillatorearmonico➢Repulsorearmonico

➢Punti di arresto➢Tempo dipercorrenza

➢L’integraleconverge nei puntidi arresto?➢Altro esempio:potenziale cubico

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Analisi qualitativa




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L’argomento e’ trattato in modo dettagliato nel primo capitololibro di Benettin et al. e nel Fasano-Marmi.

....

Studiamo nel piano delle fasi (q, q) un sistema ad 1 grado diliberta’ conservativo con

L(q, q) =1

2mq2 − V (q)

■ Tutti i sistemi conservativi ad un grado di liberta’ si possonoriportare a questa forma, cioe’ K = 1

2mq2 con m costantepositiva (infatti lo spazio delle configurazioni e’ una curva e cisi mette in parametrizzazione d’arco)

Conservazione dell’energia




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La conservazione dell’energia da’ un’equazione implicita per leorbite

E =1

2mq2 + V (q)

■ Ad uno stesso livello E possono corrispondere piu’ traiettorie■ L’insieme delle traiettorie possibili per un sistema nel piano

delle fasi si dice ritratto in fase

Esempio: oscillatore armonico E =12mq2 +

k2q2




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��

q

V (q)

q

q.




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■ In questo caso ogni insieme di livello dell’energia e’ un’orbita.Le orbite sono ellissi (o punti, all’equilibrio): il moto e’periodico.

■ A E = 0 corrisponde il punto di eq. stabile■ Questo caso esemplifica bene il comportamento locale vicino

a punti di minimo del potenziale, cioe’ ad equilibri stabili: siformano orbite chiuse attorno punto di equilibrio (0, 0): e’ uncentro ( come si vede scrivendo il sistema al primo ordine elinearizzando)

■ Per ogni livello di E , poiche’ 12mq2 = E − V (q) la regione

accessibile al moto e’

{q ∈ R : V (q) ≤ E}

(gli estremi sono indicati dalle rette tratteggiate)

Esempio: repulsore armonico E =12mq2 − k

2q2




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��

V

q




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■ Questo caso esemplifica bene il comportamento localeattorno ad un massimo

■ Gli insiemi di livello dell’energia corrispondono a piu’ orbite:coppie di iperboli per E 6= 0; 5 curve distinte (4 semirette eun punto, che non appartiene alle semirette) per E = 0.

■ 0 e’ configurazione di equilibrio instabile (perche’ e’ punto dimassimo per V ). Il punto (0, 0) e’ una sella

■ Un modo per stabire il senso di percorrenza di una curva e’scrivere l’equazione del moto q = ... e vedere se le q sonocrescenti o decrescenti

Punti di arresto




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Si ha

q =+−√

2

m(E − V )

Data E, i punti q in cui V (q) = E (cioe’ q = 0) si dicono diarresto.

■ Se i punti di arresto sono ’zeri semplici’ di V (q) = E, sonopunti di inversione del moto: in essi la velocita’ cambia segno(gli esempi precedenti): se all’interno di una stessa orbita cene sono due il moto oscilla, periodicamente, tra i due.

■ Se invece, oltre che essere una soluzione di V (q) = E, q

annulla anche V ′ ( es: E corrisponde a un massimo di V ),allora il moto tende asintoticamente a q (un’orbita non puo’transitare da punti di equilibrio).

Tempo di percorrenza




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Da

q =+−√

2

m(E − V )

si ricava , per separazione di variabili (prendo il segno +)

dt =dq

√

2m

(E − V )

Quindi il tempo necessario a percorrere un’orbita da q0 a q e’

t(q) =

∫ q

q0

dq′√

2m

(E − V (q′))

L’integrale converge nei punti di arresto?




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Per q tale che E − V (q) = 0 l’integrale va inteso in sensogeneralizzato e si deve controllarne la convergenza. Sviluppandoin serie di Taylor

E − V (q) = −V ′(q) (q − q) − V ′′(q)

2(q − q)2 + O

(

(q − q)3)

■ Se q e’ uno zero semplice,il√

E − V e’ un infinitesimo diordine 1

2 e l’integrale converge■ Se V ′(q) = 0,

√E − V e’ un infinitesimo di ordine ≥ 1 e

l’integrale non converge: si vede in questo modo che il mototende asintoticamente a punti di massimo del potenziale

Altro esempio: potenziale cubico




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��

V

q

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