UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FES ACATLAN

Estadistica

Prof. Sergio Alejandro Matias Hernandez

Alui Alarid Escudero

Tudon Perez Martin Armando

Distribucion de Weibull y Rayleigh

27 de septiembre de 2010

Introducción:

Aquí presentamos una breve resena de lo que es la distribución Rayleighy Weibull, con sus características, un ejemplo (de cada una) elaborado en R.

Objetivo: conocer de manera breve y resumida la historia y características de cada variable aleatoria (Rayleigh, Weibull).

fdp (función de densidad de probabilidad):

Fda (Función de distribución acumulada )

Función generadora de momentos:

donde Γ(z) es la función Gamma.

Media:

Varianza

Función característica:

Ejemplo:

En R realizare un ejemplo de cómo se somporta la distribución partiendo de variables con distribución uniforme:

Genero un vector(u) de 1000 variables continuas con distribución uniforme en el intervalo de 0 a 1:

>u<-runif(1000)

etc.Para cada elemento del vector u le aplicamos la siguiente fórmula

para obtener un vector x con distribución Rayleigh con parámetro σ=.5.

>x<-(.5*(-2*(log(u, base = exp(1))))^(1/2))

Etc..

Generamos un histograma donde observamos como se comporta la variable x:

Donde podemos observar que se asemeja mucho a nuestra distribución de x es una grafica de una Rayleigh.

Si obtnemosla varianza de x con r:

var(x)

[1] 0.1070792

Y si obtenemos la varianza de la distribución Raleigh con parámetro σ=.5 con la formula:

Obtenemos:

> .429*(.5)^2

[1] 0.10725

Ósea es la misma varianza.

Para ver otro ejemplo en la pág.:

http://www.licimep.org/MateFisica/Probabilidad%20y%20estadistica/Problemas/Una%20senal%20de%20radar%20con%20distribucion%20de%20Rayleigh.pdf

Distribución Weibull

¿Quién la descubrió?

Wallodi Weibull fue quien descubrió esta distribución en el año de 1951, aunque anteriormente había sido descubierta por Fréchet y aplicada por primera vez por Rossin y Ramler, para descubrir el tamaño de distribución de determinadas partículas.

¿Para qué sirve?

Esta distribución permite estudiar, la distribución de fallos de un componente clave de un sistema de seguridad y que se pretende controlar. Normalmente se sabe de antemano que se han producido demasiados fallos y el tiempo correspondiente no se ajusta a una distribución más simple.

Función dedensidadn de probabilidad.

Función de distribución de probabilidad.

Para calcular su media y su varianza

Media

Mediana

Simulacion en R

x<-rweibull(10000,.5)

> hist(x)

> x1<-rweibull(10000,1)

> hist(x1)

> x2<-rweibull(10000,1.5)

> hist(x2)

x3<-rweibull(10000,5)

> hist(x3)

Bibliografia:

http://www.diclib.com/cgi-bin/d1.cgi?l=es&base=es_wiki_10&page=showid&id=64367

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Rayleigh

http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/19/htm/sec_11.htm

http://127.0.0.1:25675/library/stats/html/Uniform.html

http://127.0.0.1:25675/library/graphics/html/hist.html