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Allan DeviationAllan Deviation
J. Mauricio López R.
Time and Frequency Division
Centro Nacional de Metrología, CENAM
Real Clocks
There not exist the perfect clock, all the real clocks are unestable. The output frequency of a clock changes with time. A correct mathematical tool is needed to characterise the frequency instability of oscillators.
)2sin()( tAtV
A: amplitude: frequencyt: time
+A
-A
Mathematical model for ideal frequency signal
Quartz oscillators are a very common equipment to produce frequency signals but their frequency output could be more or less instable as function of many parameters
V(t) = V0 sen(20t)
V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]
tiempo
tiempo
Mathematical model for real (instable) frequency signals
The Time – Frequency relation
Tf
1
Frequency
Period
Frecuencia estable (oscilador ideal)
Frecuencia inestable (Oscilador real)
Tiempo
(t)
Tiempo
(t)
V1-1
T1 T2 T3
1-1
T1 T2 T3
V(t) = V0 sin(20t)
V(t) =[V0 + (t)] sin[20t + (t)]
(t) = 20t
(t) = 20t + (t)
V(t) = salida del oscilador, V0 = Amplitud nominal pico-a-pico(t) = amplitud de ruido, 0 = frecuencia nominal(t) = Fase , (t) = ruido de fase
t d)t(d
21=
t d)t(d
21 = )t( 0
π
Φπ
V
The time – frequency relation
Ruido de amplitud
Inestabilidad en frecuencia
Ruido de fase
-V
olt
age
+0
Tiempo
Voltage de salida de un oscilador
V(t) =[V0 + (t)] sen[20t + (t)]
Precisión sin exactitud
Ni exactitud ni precisión
Exactitud sin precisión
Exacto y preciso
Tiempo TiempoTiempoTiempo
Estable de baja exactitud
Inestable de baja exactitud
Alta exactitud a largo tiempo e
inestable a corto tiempo
Alta estabilidad y alta exactitud
0
f fff
Exactitud y Estabilidad
5 10 15 20 25 Time / Days
Short term instability
f/f
(p
pm
)
30
25
20
15
10
Aging and short term stability
An example of noise in measurements
4-23
0.1 s average time3 X 10-11
0
-3 X 10-11
f
f
100 s
1.0 s average time3 X 10-11
0
-3 X 10-11
f
f
100 s
Frequency noiseFrequency noise
Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud.
Sz(f) = hf
= 0
= -1
= -2
= -3
name
White
Flicker
Randomwalk
Time dependence
Frequency noiseFrequency noise
22y 2
1σ iy
222
2y 2
1σ ix
Fase
iii yyy 1
iiii xxxx 122 2
Concepto de la Varianza de Allan
ii
i
xxy
1
Allan varianceAllan variance
1N
1i
2i1i
2y yy
1N21
σ
donde:donde:
Allan varianceAllan variance
Number of measurementsNumber of measurements
Frequency measurementFrequency measurement
2y
N
iy
mN
iimimiy xxx
mN
2
1
222
2 222
1
donde:donde:
Allan varianceAllan variance
Númber of measurementsNúmber of measurements
Time window = mTime window = m00
Phase measurementPhase measurement
2y
Nix
Allan varianceAllan variance
Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre
Distribución Distribución 22
Para df < 100Para df < 100 2
2
2 )(y
ysdf
2ys
donde:donde:
Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan
df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad
Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2
y
Distribución X2
Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre
Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre
025,0975.0 2
22
2
2
dfsdfs y
yy
Tablas XTablas X22
Barra InferiorBarra InferiorBarra SuperiorBarra Superior
Tabla XTabla X22
Para df > 100Para df > 100
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre
22 96,12
1025,0 h
Para df > 100Para df > 100
22 96,121
975,0 h
12 dfhdonde:donde:
Barra InferiorBarra Inferior
Barra Barra SuperiorSuperior
Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad
White Phase ModulationWhite Phase Modulation
Flicker Phase Flicker Phase ModulationModulation
White Frquency White Frquency ModulationModulation
mN
mNNdf
2
21
4
112ln
2
1lnexp
Nm
n
Ndf
54
422
2
132
2
m
m
N
N
m
Ndf
NBS Technical note 679NBS Technical note 679
Flicker Flicker Frequency Frequency ModulationModulation
Random-Walk Random-Walk Frequency Frequency ModulationModulation
234
5
19,43,2
22
2
mparamNm
Ndf
mparaNN
df
2
22
3
41312
N
mNmNm
Ndf
NBS Technical note 679NBS Technical note 679
Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad
Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.
y()-1
-1
0
Tipo de ruido:
Whitephase
Flickerphase
Whitefreq.
Flickerfreq.
Randomwalk freq.
-12 12
Time window dependence of the Time window dependence of the yy(())
Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation
Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation
ff
y
)(
tt
ff
Example of Allan deviation calculationExample of Allan deviation calculation
Allan DeviationAllan Deviation
J. Mauricio López R.
Time and Frequency Division
Centro Nacional de Metrología, CENAM