Aljabar Linear 4.3 (Sifat-sifat transformasi Linier)

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI

KE

A. TRANSFORMASI-TRANSFORMASI LINEAR SATU-SATU

Transformasi linear yang memetakan vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda ke vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda merupakan transformasi linear yang sangat penting. Salah satu contoh transformasi seperti itu adalah operator linear yang merotasikan setiap

vektor pada sudut . Secara geometris jelas bahwa jika u dan v merupakan vektor-vektor yang berbeda pada (gambar 1).T(v)

, maka demikian juga vektor-vektor

dan

yang dirotasikan

T(u)

v

Gambar 1

u

Vektor-vektor u dan v dirotasikan ke vektor-vektor berbeda T(u) dan T(v)

Sebaliknya, jika

adalah proyeksi orthogonal

pada biodang xy. Maka titik-

titik berbeda pada garis vertical yang sama terpetakan ke titik-titik yang sama pada bidang xy. Suatu transformasi linear (titik-titik) yang berbeda padaz P Q y M

disebut satu-satu jika T memetakan vektor-vektor ke vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda pada

1

Gambar 2

x

Titik-titik berbeda P dan Q dipetakan ke titik M yang sama

Personal | [Type the company address]

Maka kita dapat bahwa untuk setiap vektor w dalam daerah hasil transformasi linear satu-satu T, tepat ada satu vektor x sedemikian sehingga T(x)=w.

Teorema 4.3.1 Jika A adalah suatu matriks n x n dan pernyataan berikut ini ekuivalen : (a) A dapat dibalik (b) Daerah hasil dari adalah (c) adalah satu-satu

adalah perkalian dengan A, maka

Kita telah mengamati bahwa operator rotasi

(gambar 1) adalah satu-satu. Dari dan bahwa

teorema 4.3.1 kita dapatkan bahwa daerah hasil T haruslah semua anggota

matriks standar untuk T pasti bisa dibalik. Untuk menunjukkan bahwa daerah hasil dari T adalah semua anggota pada sudut kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor w pada adalah

bayingan suatu vektor x dibawah T. karena vektor x yang diperoleh dengan merotasikan w dipetakan ke w jika dirotasikan pada sudut . Dari tabel 6 pada bagian 4.2

matriks standar untuk T adalah [ ] Dapat dibalik karena [ ] | | (gambar 2) tidak satu-satu. Dari teorema dan bahwa matriks | |

Kita amati bahwa operator proyeksi

4.3.1 kita dapatkan bahwa daerah hasil T bukanlah semua anggota

standar untuk T tidak bisa dibalik. Untuk menunjukkan bahwa daerah hasil T bukan semua anggota kita harus menemukan suatu vektor w pada yang bukan merupakan bayangan setiap vektor x dibawah T. Tetapi sembarang vektor w di luar bidang xy mempunyai sifat ini, karena semua bayangan di bawah T terletak pada bidang xy. Dari tabel 5 pada bagian 4.2 matriks standar untuk T adalah [ ] Tidak bisa dibalik karena det[T] = 0. [ ]

2


B. INVERS DARI SEBUAH OPERATOR LINEAR SATU-SATU

Jika dapat dibalik. Jadi, disebut invers dari

adalah suatu operator linear satu-satu, maka dari teorema 4.3.1 matriks A sendiri adalah sebuah operator linear. Operator ini . Operator-operator linear dan saling membatalkan dampak

dalam pengertian bahwa untuk semua x dalam ( ( Atau secara ekuivalen ) )

Dari suatu sudut pandang geometris yang lebih umum, jika w adalah bayangan x di bawah , maka memetakan w kwmbali ke x karena ( )

maps x to w

w xmaps to X

Gambar 3

Jika suatu operator linear satu-satu pada operator T dinyatakan dengan matriks standar untuk T, kita dapatkan [

dituliskan sebagai ] [ ]

, maka invers dari adalah invers dari 3

. Karena matriks standar untuk

Contoh Personal | [Type the company address]

Anggap

adalah operator yang merotasikan setiap vektor dalam

pada sudut ,

sehingga dari tabel 6 bagian 4.2. [ ] * +

Terbukti secara geometris bahwa untuk meniadakan dampak dari T kita harus merotasikan setiap vektor pada dengan sudut . Tetapi inilah tepatnya yang dilakukan oleh operator adalah + [ ]

, karena matriks standar untuk [ Contoh; Tunjukkan bahwa operator linear ] [ ] *

didefinisikan persamaan

Sehingga matriks standar untuk T adalah * + * +* +

Matriks ini dapat dibalik (sehingga T satu-satu) dan matriks standar untuk T adalah [ ] [ ] [ ]

Jadi

[

]*

+

[

]*

+

[

]

Dapat kita simpulkan menjadi ( )

4


C. SIFAT-SIFAT KELINEARAN

Suatu transformasi

linear jika persamaan yangmenghubungkan x dan w = T(x)

adalah persamaan-persamaan linear. Teorema 4.3.2 Suatu transformasi adalah linear jika dan hanya jika hubungan berikut ini berlaku untuk semua vektor u dan v pada dan setiap scalar c. (a) T(u+v)=T(u)+T(v) (b) T(cu)=cT(u) Pembuktian : Pertama-tama anggap bahwa T adalah suatu transformasi linear, dan anggap A adalah matriks standar untuk T. dari sifat-sifat aritmatika dasar dari mastriks kita dapatkan bahwa

dan

Sebaliknya anggap bahwa sifat (a) dan (b) berlaku untuk transformasi T. Kita bisa membuktikan bahwa T linear dengan menemukan suatu matriks A dengan sifat bahwa T(x) = Ax Untuk semua vektor x dalam . Ini akan menunjukkan bahwa T adalah perkalian dengan A

dan karna itu linear. Sifat (a) bisa diperluas sampai tiga atu lebih suku, misalnya jika u,v,dan w adalah sembarang vektor pada , maka dengan pertama-tama mengelompokkan u dan w

dan menerapkan sifat (a) kita peroleh

Secara lebih umum untuk sebarang vektor

pada

kita dapatkan

Sekarang untuk mencari matriks A anggap

adalah vektor-vektor

[ ]

[ ]

[ ]

Dan anggap A adalah matriks yang vektor kolomnya berturut-turut adalah yaitu [ ] 5


Jika [ Adalah sebarang vektor ]

, maka hasil Ax adalah kombinasi linear dari vektor-vektor kolom

dari A dengan koefisien dari x, sedemikian sehinggaSifat (b) Sifat (a) untuk n suku

Teorema 4.3.3 Jika adalah suatu transformasi linear, dan basis standar untuk , maka matriks standar untuk T adalah [ ] [ ]

adalah vektor-vektor

y (0,1) (0,0,1)

z

x (1,0)

(0,1,0 )

y

Gambar 4

(1,0,0) x

Basisi standar untuk

Basisi standar untuk

Anggap

adalah proyeksi orthogonal bidang xy. Dengan mengacu pada gambar

4, terbukti secara geometris bahwa [ ], [ ], [ ] 6


Sehingga berdasarkan teorema 4.3.3 [ ] [ ] adalah

Dengan menggunakan teorema 4.3.3 dengan cara yang lain, anggap perkalian dengan * +

Bayangan vektor-vektor basis standar bisa dibaca secara langsung dari kolom-kolom matriks A: ([ ]) * +, ([ ]) * +, ([ ]) * +

Contoh. Anggap adalah garis pada bidang -xy yang melalui titik asal dan membentuk sudut . Sebagaimana yang diilustrasikan pada gambar

dengnan sumbu-x positif, dimana 5a, anggap ortogonalnya pada . a) Cari matriks standar untuk T

adalah operator linear yang memetakan setiap vektor ke proyeksi

b) Cari proyeksi orthogonal vektor x=(1,5) pada garis melalui titik asal yang membentuk sudutx T(x) 1

dengan sumbu-x positif

1

Penyelesaian a) [ ] Dimana dan [ ] . Tinjau kasus dimana + , sehingga 7

adalah vektor-vektor basis standar untuk

adalah serupa. Dengan melihat gambar 5b, kita dapatkan [ ] *


Dan dengan melihat ke gambar 5c, kita dapatkan [ ] Penyelesaian b) Karena dan

+

, sehingga

*

, maka dari bagian a) kita dpatkan bahwa matriks standar

untuk operator proyeksi ini adalah [ ] Jadi, (* +) * +* + [ ] * +

Atau dalam notasi horizontal, ( )

D. INTERPRETASI GEOMETRIS VEKTOR-EIGEN

Jika A adalah suatu matrikx nxn, maka tak-nol x sedemikian sehingga

disebut suatu nilai eigen dari A jika tidak ada vektor

atau secara ekuivalen Vektor-vektor taknol x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan . Nilai eigen dan vektor eigen bias juga didefinisikan untuk operator-operator linear pada Definisi: jika adalah suatu operator linear, maka suatu scalar nilai eigen dari T jika ada suatu x tak nol pada sedemikian sehingga disebut suatu

Vektor-vektor tak-nol x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor-eigen dari T yang berpadanan dengan Amati bahwa jika A adalah matriks standar untuk T, maka definisi di ata dapat ditulis sebagai 8


Yang kita dapatkan bahwa Nilai-eigen dari T tepat merupakan nilai-eigen dari matriks standarnya, A X adalah suatu vektor eigen dari T yang berpadanan dengan adalah suatu vektor igen dari A yang berpadanan jika dan hanya jika x

Jika

adalah suatu nilai eigen dari A dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadanan, maka , sehingga perkalian dengan A memetakan x ke suatu penggandaan skalarnya

sendiri. Pada

dan

, hal ini berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor-

eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan x (gambar 6) Jika maka operator linear jika memampatkan x dengan factor . Jika , maka | | jika

atau meregang x dengan factor

membalik arah x, atau meregang

dan memampatkan vektor yang terbalik ini dengan factor | | jika vektor yang terbalik ini dengan factor | | jika | | (gambar 7)

x

GAMBAR 6x

x

x

x x

x

x x

x

Contoh: Anggap adalah operator linear yang merotasikan setiap vektor dengan sudut . bukanlah penggandaan dari , maka T tidak Personal | [Type the company address]

9

Terbukti secara geometris bahwa jika

memetakan sebarang vektor tak nol x pada garis yang sama dengan x;akibatnya, T tidak mempunyai nilai eigen real. Tetapi jika merupakan penggandan dari , maka setiap vektor

tak nol x dipetakan ke garis yang sama dengan x, sehingga setiap vektor tak nol adalah vektor eigen dari T. mari kita memeriksa pengamatan geometris ini secara aljabar. Matrik standar untuk T adalah * +

Nilai eigen matriks ini adalah penyelesaian dari persamaan karakteristik | yaitu |

Tetapi jika

bukanlah penggandaan dari , maka

, sehingga persamaan ini tidak

mempunyai penyelesaian real untuk Jika

dan akibatnya A tidak mempunyai vektor eigen real. dan , sehingga atau ,

adalah penggandaan dari , maka

persamaan karakteristik menjadi eigen. Dalm kasus ini matriks A adalah * Jadi untuk semua x dalam

merupakan satu-satunya nilai

+

Sehingga T memetakan setiap vektor pada dirinya sendiri , dan dengan demikian pada garis yang sama. Dalam kasus dimana , sehingga matriks A adalah * Jadi, untuk semua x dalam + dan , persamaan karakteristik menjadi

adalah satu-satunya nilai eigen dari A. dalam kasus ini

Sehingga T memetakan setiap vektor ke negatifnya, dan dengan demikian pada garis yang sama dengan x. 10


Contoh Anggap adalah proyeksi orthogonal pada bidang xy. Vektor-vektor pada bidang

xy dipetakan ke dirinya sendiri di bawah T, sehingga setiap vektor tak nol dalam bidang xy adalah suatu vektor eigen . Setiap vektor x pada sumbu z dipetakan ke 0 di bawah T,

yang berada pada garis yang sama dengan x, sehingga setiap vektor tak nol pada sumbu z adalah suatu vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen . Vektor-vektor yang

tidak berada pada bidang xy atau pada sumbu z tidak dipetakan ke penggandaan scalar dari diri mereka sendiri, sehingga vektor eigen atau nilai eigennya tidak ada. Untuk membuktikannya, ingat bahwa matriks standar untuk T adalah [ Persamaan karakteristik dari A adalah [ Yang mempunyai penyelesaian ] , Atau dan yang diatas telah diantisipasi. adalah penyelesaian dari ]

Vektor eigen dari matriks A yang berpadanan dengan nilai eigen [ Jika sistem ini adalah [ Yang mempunyai penyelesaian [ ] ini adalah vektor-vektor pada sumbu z. Jika, maka akan menjadi [ Yang mempunyai penyelesaian [ ] Ini adalah vektor-vektor pada bidang x * + ][ ] [ ] [ ] ][ ] [ ] ][ ] [ ]

atau dalam bentuk matriks

atau dalam bentuk matriks 11


KESIMPULAN

Dengan menggabungkan Teorema 2.3.6 dan Teorema 4.3.1 menghasilkan teorema berikut Teorema 4.3.4 Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen a) A bisa dibalik b) Ax=0 hanya mempunyai penyelsaian trivial c) Bentuk baris-eselon tereduksi dari A adalah d) Adapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali matriks-matriks dasar e) Ax=b konsisten untuk setiap matriks bn x I f) Ax=b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks bn x I g) h) Daerah hasil i) adalah satu-satu adalah perkalian dengan A, maka

12


Soal Latihan:

1. Cari matriks standar untuk operator linear yang didefinisikan oleh persamaanpersamaan di bawah ini dan gunakan Teorema 4.3.1 untuk menentukan apakahoperator ini satu-satu. a. b.

2. Tentukan apakah operator linier

yang didefinisikan oleh persamaan-

persamaan berikut ini adalah satu-satu; jika demikian, cari matriks standar untuk operator inversnya, dan cari a. b.

3. Gunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakah linear. a. b.

adalah suatu operator

4. Gunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakah otransformasi linear. a. b.

adalah suatu

5. Tentukan apakah perkalian dengan A adalah suatu transformasi linier satu-satu. a. A = [ ] b. A = * +

13


Documents

Aljabar Linear 4.3 (Sifat-sifat transformasi Linier)