algsem5_rezolvari

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 1

an univ. 2012=2013SEMINAR NR. 5, REZOLVARIAlgebra liniara si Geometrie analitica

4. SPATII LINIARE EUCLIDIENE4.1. Denitii. Exemple

Denitie. Fie (X;+; ;R) un spatiu liniar real. Spunem ca functiah; i : X X! R este produs scalar real daca :(SP1) 8 (u;v;w) 2 X3 : hu+w;vi = hu;vi+ hw;vi ;(SP2) 8 (;u;v) 2 R X2 : hu;vi = hu;vi ;(SP3) 8 (u;v) 2 X2 : hu;vi = hv;ui ;(SP4) 8u 2 X : hu;ui 0;(SP5) 8u 2 X : [hu;ui = 0R , u = X] :Denitie. Fie (X;+; ;R) un spatiu liniar real si h; i : X X ! R un produsscalar real. Perechea ordonata (X; h; i) se numeste spatiu liniar euclidian.Exemple de spatii liniare eucidiene standard :1. (Rn; h; i) este un spatiu liniar euclidian, undeh; i : Rn Rn ! R, hx;yi = x1y1 + :::+ xnyn.Renotam (Mn1 (R) ;+; ;R) cu (Rn;+; ;R). (Rn; h; i) este un spatiu liniar

euclidian, undeh; i : Rn Rn ! R, hx;yi = x1y1 + :::+ xnyn.

2. (Mn (R) ; h; i) este un spatiu liniar euclidian, undeh; i :Mn (R)Mn (R)! R, hA;Bi = Tr

AT B :

3. (C ([a; b] ;R) ; h; i) este un spatiu liniar euclidian, undeh; i : C ([a; b] ;R) C ([a; b] ;R)! R, hf ;gi = R b

af (x)g (x) dx:

n particular,R[a;b]n [x]; h; i

este un spatiu liniar euclidian, unde

h; i : R[a;b]n [x] R[a;b]n [x]! R, hp;qi =R bap (x)q (x) dx:

A se vedea enunturile exercitiilor 2, 3, 4 din Seminar nr. 4; Enunturi.

Exercitiul 1. n spatiile liniare precizate se denesc aplicatiile de mai jos. Sase precizeze care din ele sunt produse scalare :a) n

R2;+; ;R ; h; i : R2 R2 ! R;

8x = (x1; x2) ;y = (y1; y2) 2 R2 : hx;yi = 3x1y1 x1y2 x2y1 + 2x2y2;Rezolvare . Vericam axiomele :(SP1) 8 (x;y; z) 2

R23: hx+ z;yi = hx;yi+ hz;yi :

Fie 8 (x;y; z) 2 R23 )hx+ z;yi = h(x1; x2) + (z1; z2) ; (y1; y2)i = h(x1 + z1; x2 + z2) ; (y1; y2)i =

= 3 (x1 + z1) y1 (x1 + z1) y2 (x2 + z2) y1 + 2 (x2 + z2) y2 =M1hx;yi+hz;yi = 3x1y1x1y2x2y1+2x2y2+3z1y1z1y2z2y1+2z2y2 =M2:

Se observa ca M1 =M2 ) (SP1) este vericata.(SP2) 8 (;x;y) 2 R

R22: hx;yi = hx;yi :

Fie 8 (;x;y) 2 R R22 )hx;yi = h (x1; x2) ; (y1; y2)i = h(x1; x2) ; (y1; y2)i =

= 3 (x1) y1 (x1) y2 (x2) y1 + 2 (x2) y2 =M1


hx;yi = (3x1y1 x1y2 x2y1 + 2x2y2) =M2:Se observa ca M1 =M2 ) (SP2) este vericata.(SP3) 8 (x;y) 2 X : hx;yi = hy;xi :Fie 8 (x;y) 2 R22 )hx;yi = 3x1y1 x1y2 x2y1 + 2x2y2 =M1hy;xi = 3y1x1 y1x2 y2x1 + 2y2x2 =M2:

Se observa ca M1 =M2 ) (SP3) este vericata.(SP4) 8x 2 R2 : hx;xi 0:Fie 8x 2 R2 )hx;xi = 3x1x1 x1x2 x2x1 + 2x2x2 = 3

x1 13x2

2+ 53 (x2)

2 0) (SP4) este vericata.(SP5) 8x 2 R2 : [hx;xi = 0R , x = R2 ] :Fie 8x 2 R2 )[hx;xi = 0R , 3

x1 13x2

2+ 53 (x2)

2= 0,

x1 13x2 = 0x2 = 0

, (x1; x2) = (0; 0), x = R2) (SP5) este vericata.Deci aplicatia h; i denita anterior este un produs scalar real pe R2, altul dectcel standard.

b) nR2;+; ;R ; h; i : R2 R2 ! R;

8x = (x1; x2) ;y = (y1; y2) 2 R2 : hx;yi = x1y1 + 2x1y2 + 10x2y2;Rezolvare . Vericam axiomele :(SP1) 8 (x;y; z) 2



= (x1 + z1) y1 + 2 (x1 + z1) y2 + 10 (x2 + z2) y2 =M1hx;yi+ hz;yi = x1y1 + 2x1y2 + 10x2y2 + z1y1 + 2z1y2 + 10z2y2 =M2:




= (x1) y1 + 2 (x1) y2 + 10 (x2) y2 =M1 hx;yi = (x1y1 + 2x1y2 + 10x2y2) =M2:

Se observa ca M1 =M2 ) (SP2) este vericata.(SP3) 8 (x;y) 2 X : hx;yi = hy;xi :Fie 8 (x;y) 2 R22 )hx;yi = x1y1 + 2x1y2 + 10x2y2 =M1hy;xi = y1x1 + 2y1x2 + 10y2x2 =M2:

Se observa ca 9 (x;y) 2 R22 a.. M1 6=M2 ) (SP3) nu este vericata.Deci aplicatia h; i denita anterior nu este un produs scalar real pe R2.

c) nR2;+; ;R ; h; i : R2 R2 ! R;

8x = (x1; x2) ;y = (y1; y2) 2 R2 : hx;yi = 9x1y1 3x1y2 3x2y1 + x2y2;Rezolvare . Vericam axiomele :(SP1) 8 (x;y; z) 2




= 9 (x1 + z1) y1 3 (x1 + z1) y2 3 (x2 + z2) y1 + (x2 + z2) y2 =M1hx;yi+ hz;yi = 9x1y1 3x1y2 3x2y1 + x2y2 + 9z1y1 3z1y2 3z2y1 + z2y2 =M2:




= 9 (x1) y1 3 (x1) y2 3 (x2) y1 + (x2) y2 =M1 hx;yi = (9x1y1 3x1y2 3x2y1 + x2y2) =M2:

Se observa ca M1 =M2 ) (SP2) este vericata.(SP3) 8 (x;y) 2 X : hx;yi = hy;xi :Fie 8 (x;y) 2 R22 )hx;yi = 9x1y1 3x1y2 3x2y1 + x2y2 =M1hy;xi = 9y1x1 3y1x2 3y2x1 + y2x2 =M2:

Se observa ca M1 =M2 ) (SP3) este vericata.(SP4) 8x 2 R2 : hx;xi 0:Fie 8x 2 R2 )hx;xi = 9x1x1 3x1x2 3x2x1 + x2x2 = (3x1 x2)2 0

) (SP4) este vericata.(SP5) 8x 2 R2 : [hx;xi = 0R , x = R2 ] :Fie 8x 2 R2 )[hx;xi = 0R , (3x1 x2)2 = 0,

, f3x1 x2 = 0 ; (x1; x2) = (0; 0) ca si unica solutie:) (SP5) nu este vericata.Deci aplicatia h; i denita anterior nu este un produs scalar real pe R2.

d) nR2;+; ;R ; h; i : R2 R2 ! R;

8x = (x1; x2) ;y = (y1; y2) 2 R2 : hx;yi = (x1)2 (y1)2 + (x2)2 (y2)2 ;Rezolvare . Vericam axiomele :(SP1) 8 (x;y; z) 2



= (x1 + z1)2(y1)

2+ (x2 + z2)

2(y2)

2=M1

hx;yi+ hz;yi = (x1)2 (y1)2 + (x2)2 (y2)2 + (z1)2 (y1)2 + (z2)2 (y2)2 =M2:Se observa ca 9 (x;y; z) 2 R23 :M1 6=M2 ) (SP1) nu este vericata.Deci aplicatia h; i denita anterior nu este un produs scalar real pe R2.

4.2. Norma euclidiana a unui vector. Unghiul dintre doi vectori

Teorema. Fie (X; h; i) un spatiu liniar euclidian. Atunci (X; kk) este unspatiu normat, unde norma indusa de produsul scalar (sau norma euclidiana)este data dekk : X! R, kvk =phv;vi:

Denitie. Fie (X; h; i) un spatiu liniar euclidian.a) Vectorul v 2 X cu proprietatea kvk = 1 se numeste versor.b) Fie 8v 2 X, v 6= X. Vectorul v = 1kvkv se numeste versorul lui v.Exemple de norme eucidiene standard :1. n (Rn; h; i) standard, norma euclidiana standard este


kk : Rn ! R, kxk =phx;xi =q(x1)2 + :::+ (xn)2.n (Rn; h; i) standard, norma euclidiana standard estekk : Rn ! R, kxk =

phx;xi =q(x1)2 + :::+ (xn)2.2. n (Mn (R) ; h; i) standard, norma euclidiana standard estekk :Mn (R)! R, kAk =

phA;Ai =pTr (AT A):3. n (C ([a; b] ;R) ; h; i) standard, norma euclidiana standard estekk : C ([a; b] ;R)! R, kfk =phf ; fi =qR b

af2 (x) dx:

n particular, nR[a;b]n [x]; h; i

standard, norma euclidiana standard este

kk : R[a;b]n [x]! R, kpk =php;pi =qR b

ap2 (x) dx:

Denitie. Fie (X; h; i) un spatiu liniar euclidian.a) Fie (u;v) 2 (Xn fXg)2 : Solutia unica n intervalul [0; ], notata \(u;v), aecuatiei

cos\(u;v) =hu;vikuk kvk

se numeste unghiul neorientat al perechii ordonate de vectori (u;v).b) Fie (u;v) 2 X2: Daca hu;vi = 0 spunem ca vectorul u este ortogonal cuvectorul v si notam u ? v.

Exercitiul 5. Fie spatiul liniar euclidianR3; h; i, cu produsul scalar standard

si norma euclidiana standard.a) Calculati unghiul dintre vectorii x = (1; 1;1) ;y = p6; 1; 1 ;b) Aratati ca vectorii x = (1; 1; 2) ;y = (1; 1;1) sunt ortogonali ;c) Aratati ca vectorul x =

0;

p22 ;

p22

este un versor.

Rezolvare. Reamintim produsul scalar standard dintre doi vectori din R3;hx;yi = x1y1 + x2y2 + x3y3

si norma euclidiana standard a unui vector din R3;kxk =phx;xi =q(x1)2 + (x2)2 + (x3)2:

a) cos\(x;y) =hx;yikxk kyk =

h(1; 1; 2) ; (1; 1;1)ik(1; 1; 2)k k(1; 1;1)k =

=1 p6 + 1 1 + (1) 1q

12 + 12 + (1)2 qp

62+ 12 + 12

=1

2)\(x;y) =

3:

b) hx;yi = h(1; 1; 2) ; (1; 1;1)i = 1 1 + 1 1 + 2 (1) = 0) x ? y:c) kxk =

0; p22 ; p22

=r02 +

p22

2+p

22

2= 1) x =

0;

p22 ;

p22

este

un versor.

4.3. Sisteme de vectori ortonormate. Procedeul de ortonormareGram-Schmidt

Denitie. Fie (X; h; i) un spatiu liniar euclidian si S = (w1; :::;wm), m dimR X. Spunem ca S este sistem de vectori ortonormat daca :(i) S este sistem de vectori ortogonal,8 (i; j) 2 f1; :::mg2 ; i 6= j;wi ? wj , adica hwi;wji = 0:

(ii) S contine doar versori,


8i 2 f1; :::mg ; kwik = 1:

Exercitiul 6. Fie spatiul liniar euclidianR3; h; i cu produsul scalar standard.

Sa se arate ca baza canonicaC = (e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) ; e3 = (0; 0; 1))

este un sistem de vectori ortonormat.Rezolvare. (i) C este un sistem ortogonal de vectori, deoarecehe1; e2i = h(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)i = 1 0 + 0 1 + 0 0 = 0;he2; e3i = h(0; 1; 0) ; (0; 0; 1)i = 0 0 + 1 0 + 0 1 = 0;he3; e1i = h(0; 0; 1) ; (1; 0; 0)i = 0 1 + 0 0 + 1 0 = 0:

(ii) C contine doar versori, deoareceke1k = k(1; 0; 0)k =

p12 + 02 + 02 = 1;

ke2k = k(0; 1; 0)k =p02 + 12 + 02 = 1;

ke3k = k(0; 0; 1)k =p02 + 02 + 12 = 1:

Deci C este o baza ortonormata n R3 (dar mai exista si alte baze ortonormaten R3).

Exercitiul 7. Fie spatiul liniar euclidian (M2 (R) ; h; i) unde produsul scalareste denit de h; i :M2 (R)M2 (R)! R prin8A =

a11 a12a21 a22

2M2 (R) ;8B =

b11 b12b21 b22

2M2 (R) :

hA;Bi = a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22 = TrAT B :

a) Sa se arate ca

S =

A1 =

p33

1 11 0

;A2 =

p66

1 10 2

;A3 =

13

0 22 1

este un sistem de vectori ortonormat.Rezolvare. Observam cakAk =phA;Ai =q(a11)2 + (a12)2 + (a21)2 + (a22)2 =pTr (AT A):

modul 1.(i) S este un sistem ortogonal de vectori, deoarece

hA1;A2i =* p

33

p33p

33 0

!;

p66

p66

0p63

!+=

p33 p66

+p33

p66

+

p33 0 + 0

p63 = 0;

hA2;A3i =*

p66

p66

0p63

!;

0 2323

13

+=p66

0 +

p66

23 +

0 23 +p63 13 = 0;

hA3;A1i =*

0 2323

13

;

p33

p33p

33 0

!+= 0

p33

+ 23

p33

+ 23

p33 +

13 0 = 0:

(ii) S contine doar versori, deoarece

kA1k =

p

33

p33p

33 0

!

=rp

33

2+p33

2+p

33

2+ (0)

2= 1;

kA2k =

p66

p66

0p63

!

=r

p66

2+p66

2+ 02 +

p63

2= 1;


kA3k =

0 232

313

=q02 + 232 + 232 + 132 = 1:modul 2.(i) S este un sistem ortogonal de vectori, deoarece

hA1;A2i = TrAT1 A2

= Tr

p33

1 11 0

p66

1 10 2

= Tr

p1818

1 11 1

=

p1818 +

p1818 = 0;

hA2;A3i = TrAT2 A3

= Tr

p66

1 01 2

130 22 1

= Tr

p6

18

0 24 0

=

0 + 0 = 0;

hA3;A1i = TrAT3 A1

= Tr

13

0 22 1

p33

1 11 0

= Tr

p39

2 03 2

=

2p3

9 2p3

9 = 0:(ii) S contine doar versori, deoarece

kA1k =

1 11 0

=qTr AT1 A1 =sTr

p33

1 11 0

p33

1 11 0

=s

Tr

p99

2 11 1

=

q2p9

9 +p99 = 1;

kA2k =

p66 1 10 2

=qTr AT2 A2 =sTr

p66

1 01 2

p66

1 10 2

=s

Tr

p3636

1 11 5

=q

16 +

56 = 1;

kA3k =

13 0 22 1

=qTr AT2 A2 =sTr

13

0 22 1

130 22 1

=s

Tr

19

4 22 5

=q

49 +

59 = 1:

Deci S = (A1;A2;A3) este un sistem ortonormat de matrice dinM2 (R) :

Teorema (procedeul de ortonormare Gram-Schmidt). Fie (X; h; i) un spatiuliniar euclidian si S = (v1; :::;vm), m dimR X un sistem de vectori liniar inde-pendent, Atunci exista So = (w1; :::;wm) sistem de vectori liniar independentortonormat astfel nct [So] = [S] :Demonstratie (schita).Etapa 1. Cautam S = (u1; :::;um) un sistem de vectori liniar independent or-togonal a..

S= [S]. Gasim8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

u1 = v1

u2 = v2 hv2;u1iku1k2u1

u3 = v3 hv3;u1iku1k2u1 hv3;u2iku2k2

u2


u2 hv4;u3iku3k2u3

:::Etapa 2. Cautam So = (w1; :::;wm) un sistem de vectori liniar independentortogonal care sa contina doar versori, a.. [So] =

S. Gasim


8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

w1 =1

ku1ku1w2 =

1

ku2ku2w3 =

1

ku3ku3w4 =

1

ku4ku4:::

Exercitiul 8. Fie spatiul liniar euclidianR[1;1]3 [x]; h; i

, unde produsul

scalar standard este denit prinh; i : R[1;1]3 [x] R[1;1]3 [x]! R , hp;qi =

R 11 p (x)q (x) dx:

Sa se ortonormeze baza canonica din R[1;1]3 [x].Rezolvare. Fie baza canonica din R[1;1]3 [x]C = (v1;v2;v3;v4)

undev1 : [1; 1]! R, v1 (x) = 1;v2 : [1; 1]! R, v2 (x) = x;v3 : [1; 1]! R, v3 (x) = x2;v4 : [1; 1]! R, v4 (x) = x3:

Etapa 0. Se observa ca C este un sistem liniar independent de vectori.Etapa 1. Cautam S = (u1;u2;u3;u4) un sistem de vectori liniar independentortogonal a..

S= [S]. Gasim u1;u2;u3;u4 : [1; 1] ! R functii polinomiale

cu urmatoarele legi de asociereu1 (x) = v1 (x) = 1:

ku1k2 =R 11 1

2dx = x j11= 2;hv2;u1i =

R 11 x 1dx = x

2

2 j11= 0;hv3;u1i =

R 11 x

2 1dx = x33 j11= 23 ;hv4;u1i =

R 11 x

3 1dx = x44 j11= 0:u2 (x) = v2 (x) hv2;u1iku1k2

u1 (x) = x 021 = x:

ku2k2 =R 11 x

2dx = x3

3 j11= 23 ;hv3;u2i =

R 11 x

2 xdx = x44 j11= 0;hv4;u2i =

R 11 x

3 xdx = x55 j11= 25 :u3 (x) = v3 (x) hv3;u1iku1k2

u1 (x) hv3;u2iku2k2u2 (x) = x

2 23

21 02

3

x = x2 13 :

ku3k2 =R 11x2 13

2dx =

R 11x4 23x2 + 19

dx =

=x5

5 23 x3

3 +19xj11= 845 ;

hv4;u3i =R 11 x

3 x2 13 dx = R 11 x5 13x3 dx = x66 13 x44 j11= 0:u4 (x) = v4 (x) hv4;u1iku1k2

u1 (x) hv4;u2iku2k2u2 (x) hv4;u3iku3k2

u3 (x) =

= x3 021

2523

x 0845

x2 13

= x3 35x:

ku4k2 =R 11x3 35x

2dx =

R 11x6 65x4 + 925x2

dx =


=x7

7 65 x5

5 +925x3

3

j11= 8175 :

Etapa 2. Cautam So = (w1;w2;w3;w4) un sistem de vectori liniar independentortogonal care sa contina doar versori a.. [So] =

S. Gasim w1;w2;w3;w4 :

[1; 1]! R functii polinomiale cu urmatoarele legi de asocierew1 (x) =

1

ku1ku1 (x) =1p21;

w2 (x) =1

ku2ku2 (x) =1p23

x;

w3 (x) =1

ku3ku3 (x) =1p845

x2 13

;

w4 (x) =1

ku4ku4 (x) =1p8175

x3 35x

:

Am gasit So = (w1;w2;w3;w4) o baza ortonormata n R[1;1]3 [x]. Polinoamele

corespunzatoare functiilor polinomiale din aceasta baza se numesc polinoameLegendre.

Exercitiul 9. n spatiul liniar euclidianR[0;1]2 [x]; h; i

cu produsul scalar

standard, sa se ortonormeze sistemul de functii S = (f1; f2; f3) undef1 : [0; 1]! R, f1 (x) = 2,f2 : [0; 1]! R, f2 (x) = 2 + x,f3 : [0; 1]! R, f3 (x) = (2 + x)2.

Rezolvare. Fie produsul scalar standard dinR[0;1]2 [x]; h; i

,

h; i : R[0;1]2 [x] R[0;1]2 [x]! R, hp;qi =R 10p (x)q (x) dx:

Reamintim norma euclidianakk : R[0;1]2 [x]! R, kpk =

qR 10p2 (x) dx

Etapa 0. Studiem daca S = (f1; f2; f3) este un sistem liniar independent devectori. Cautam (1; 2; 3) 2 R3 astfel nct1f1 + 2f2 + 3f3 = R[0;1]2 [x]

,1f1 (x) + 2f2 (x) + 3f3 (x) = (x) ;8x 2 [0; 1]12 + 2 (2 + x) + 3 (2 + x)

2= 0;8x 2 [0; 1],8


u2 (x) = f2 (x) hf2;u1iku1k2u1 (x) = (2 + x) 5

42 = x 12 :

ku2k2 =R 10

x 12

2dx = 112 ;

hf3;u2i =R 10(2 + x)

2 x 12 dx = 512 :u3 (x) = f3 (x) hf3;u1iku1k2

u1 (x) hf3;u2iku2k2u2 (x) =

= (2 + x)2

383

42

512112

x 12

= x2 x+ 16 :

ku3k2 =R 10

x2 x+ 16

2dx = 1180 :

Etapa 2. Cautam So = (w1;w2;w3) un sistem de vectori liniar independentcare sa contina doar versori a.. [So] =

S. Gasim w1;w2;w3 : [0; 1] ! R

functii polinomiale cu urmatoarele legi de asociere

w1 (x) =1

ku1ku1 (x) =122;

w2 (x) =1

ku2ku2 (x) =1p112

x 12

;

w3 (x) =1

ku3ku3 (x) =1p1180

x2 x+ 16

:

Exercitiul 10. FieR4; h; i cu produsul scalar standard. Sa se determine o

baza ortonormata n spatiul generat deS = (v1 = (1; 2; 2 1) ;v2 = (1; 1;5; 3) ;v3 = (3; 2; 8;7)) :

Rezolvare. Fie produsul scalar standard dinR4; h; i, h; i : R4 R4 ! R

denit prinhx;yi = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4:

Reamintim norma euclidianakxk =

px21 + x

22 + x

23 + x

24:

Etapa 0. Studiem daca S = (v1;v2;v3) este un sistem liniar independent devectori. Cautam (1; 2; 3) 2 R3 astfel nct1v1 + 2v2 + 3v3 = R4 ,

1 (1; 2; 2 1) + 2 (1; 1;5; 3) + 3 (3; 2; 8;7) = (0; 0; 0; 0),8>>>:11 + 12 + 33 = 021 + 12 + 23 = 021 52 + 83 = 011 + 32 73 = 0

Ultimul sistem este un sistem liniar omogen n necunoscutele 1; 2; 3, careadmite macar solutia nula (1; 2; 3) = (0; 0; 0). Studiem daca admite si altesolutii.0BB@

j1j 1 32 1 22 5 81 3 7

0000

1CCA pas1l1

l2 2l1l3 2l1l4 + l1

0BB@1 1 3

0 j1j 40 7 20 4 4

0000

1CCA pas2l1l2

l3 7l2l4 + 4l2

0BB@1 1 30 1 40 0 j30j0 0 20

0000

1CCA

) rangA = 3 ) sistemul este compatibil unic determinat cu solutia unica(1; 2; 3) = (0; 0; 0) ) v1;v2;v3 sunt vectori liniar independenti.Etapa 1. Cautam S = (u1;u2;u3) un sistem de vectori liniar independent or-togonal a..

S= [S]. Gasim


u1 = v1 = (1; 2; 2 1) :ku1k2 = k(1; 2; 2 1)k2 = 12 + 22 + 22 + (1)2 = 10;hv2;u1i = h(1; 1;5; 3) ; (1; 2; 2 1)i = 1 1+1 2+(5) 2+3 (1) = 10;hv3;u1i = h(3; 2; 8;7) ; (1; 2; 2 1)i = 3 1+ 2 2+ 8 2+ (7) (1) = 30:

u2 = v2 hv2;u1iku1k2u1 = (1; 1;5; 3) 1010 (1; 2; 2 1) = (2; 3;3; 2) :

ku2k2 = k(2; 3;3; 2)k2 = 22 + 32 + (3)2 + 22 = 26;hv3;u2i = h(3; 2; 8;7) ; (2; 3;3; 2)i = 3 2+2 3+8 (3)+(7) 2 = 26:


u2 =

= (3; 2; 8;7) 3010 (1; 2; 2 1) 2626 (2; 3;3; 2) = (2;1;1;2) :ku3k2 = k(2;1;1;2)k2 = 22 + (1)2 + (1)2 + (2)2 = 10:

Etapa 2. Cautam So = (w1;w2;w3) un sistem de vectori liniar independentortogonal care sa contina doar versori a.. [So] =

S. Gasim

w1 =1

ku1ku1 =1p10(1; 2; 2 1) ;

w2 =1

ku2ku2 =1p26(2; 3;3; 2) ;

w3 =1

ku3ku3 =1p10(2;1;1;2) :

Am gasit So = (w1;w2;w3) o baza ortonormata n [S].

Documents

algsem5_rezolvari