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Function secante
global fun
fprintf('Metodo de la secante:\n');
fun=input('Ingrese la funcion:\n','s');
x0=input('Ingrese el primer punto inicial:\n');
x1=input('Ingrese el segundo punto inicial:\n');
tol=input('Ingrese la tol:\n');
it=0;
fprintf('it x0 x1 x2 x1-x2');
while(it<50) it="it+1;" x="x0;" f0="eval(fun);" x="x1;" f1="eval(fun);" x2="(x0*f1-x1*f0)/(f1-f0);">
fprintf('el procedimiento se completo satisfactoriamente:\n');
break
end
x0=x1;
x1=x2;
end
fprintf('la raiz buscada es=%15.9f\n',x2);
ezplot(fun),
grid on
Ejemplo:
Metodo de la secante:
Ingrese la funcion:
x^2+10*cos(x)
Ingrese el primer punto inicial:
1.5
Ingrese el segundo punto inicial:
2
Ingrese la tol:
10^(-5)
el procedimiento se completo satisfactoriamente:
la raiz buscada es= 1.968872938
NEWTON
function newton
global fun dfun
fprintf('metodo de newton:\n');
fun=input('ingrese la funcion:\n','s');
x0=input('ingrese el punto inicial:\n');
tol=input('ingrese la tol:\n');
dfun=diff(fun);
it=0;
fprintf(' it x0 x1 x0-x1');
while(it<50) it="it+1;" x="x0;" x1="x0-(eval(fun)/eval(dfun));">fprintf('el procedimiento se completo
satisfactoriamente:\n');
break
end
x0=x1;
end
fprintf('la raiz buscada es=%15.9f\n',x1);
ezplot(fun),grid on
Ejemplo:
metodo de newton:
ingrese la funcion:
exp(-x)-log(x)
ingrese el punto inicial:
1
ingrese la tol:
0.01
el procedimiento se completo satisfactoriamente:
la raiz buscada es= 1.309799389
MINIMOS CUADRADOS
Function correl
xi=input('ingrese los valores de xi:\n');
yi=input('ingreso los valores de yi:\n');
xm=input('ingreso un valor de x para analisar la pendiente:\n');
n=length(xi);
p=xi.';
q=yi.';
r=p.*q;
s=p.*p;
a1=sum(xi);
a2=sum(yi);
a3=sum(r);
a4=sum(s);
m=a2/n;
j=sum((yi-m).^2);
A=[a4 a1;a1 n];
B=[a3 a2];
X=inv(A)*(B');
l=X(1);r=X(2);
fprintf('\nLos coeficientes de la ecuacion son:\n')
fprintf(' a b\n')
fprintf('%8.8f%10.8f\n',l,r)
fun=input('\nLa funcion lineal es y=','s');
y=l*xi+r;
t=sum((yi-y).^2);
r2=1-(t/j);
z=(r2)^0.5;
m=diff(fun);
x=xm;
n=eval(m);
fprintf('\n El coeficiente de determinacion r^2=');
fprintf('%5.5f\n',r2);
if(n>0)
fprintf('\n El coeficiente de correlacion r=');
fprintf('%5.5f\n',z);
elsefprintf('\n El coeficiente de correlacion r=');
fprintf('%5.5f\n',-z);
end
hold on
ezplot(fun),grid on,
plot(xi,yi,'m.'),
hold off
Ejemplo: Funcion Lineal
ingrese los valores de xi:
[4 5 2 5 6 7 1 8 3 7]
ingreso los valores de yi:
[5 6 4 5 7 10 3 11 4 9]
ingreso un valor de x para analizar la pendiente:
2
Los coeficientes de la ecuacion son:
a b
1.13025210 0.97478992
La funcion lineal es y=1.13025210*x+0.97478992
El coeficiente de determinacion r^2=0.88900
El coeficiente de correlacion r=0.94287
function correlog2
xi=input('ingrese los valores de xi:\n');
yi=input('ingreso los valores de yi:\n');
n=length(xi);
p=log(-xi);
q=yi;
r=p.*q;
s=p.*p;
a1=sum(p);
a2=sum(q);
a3=sum(r);
a4=sum(s);
m=sum(yi)/n;
j=sum((yi-m).^2);
A=[a4 a1;a1 n];
B=[a3 a2];
X=inv(A)*(B');
l=X(1);r=X(2);
fprintf('\nLos coeficientes de la funcion son:\n')
fprintf(' a b\n')
fprintf('%8.12f%10.12f\n',l,r)
y=input('\nLa funcion logaritmica natural es y=','s');
h=l*log(-xi)+r;
z=sum((yi-h).^2);
r2=1-(z/j);
k=(r2)^0.5;
fprintf('\n El coeficiente de determinacion r^2=');
fprintf('%5.5f\n',r2);
fprintf('\n El coeficiente de correlacion r=');
fprintf('%5.5f\n',k);
hold on
ezplot(y),grid on,
plot(xi,yi,'m.'),
hold off
BISECCION
fprintf('\t\tmetodo de biseccion\n');
fun=input('ingrese la funcion:','s');
a=input('ingrese el punto inicial:');
b=input('ingrese el punto final:');
tol=input('ingrese la tolerancia:');
it=0;
x=a;
f_a=eval(fun);
x=b;
f_b=eval(fun);
if(f_a*f_b>0)
fprintf('\t\tEn este intervalo no hay raices\n');
fprintf('\t\tBuscar otro intervalo\n');
return
else
n=ceil(log((b-a)/tol)/log(2));
fprintf('\n=%10.6f\n',n);
fprintf(' it a b c f(a) f(b) f(c) abs(b-a)/2\n');
while 1
it=it+1;
c=(a+b)/2;
x=c;
f_c=eval(fun);
fprintf('%5.0f %10.9f %10.9f %10.9f %10.9f %10.9f %10.9f %10.9f\n',it,a,b,c,f_a,f_b,f_c,abs(b-a)/2);
if(abs(b-a)/2<=tol)
fprintf('n se satisface la tolerancia\n');
break end if(it>n)
fprintf('\numero de iteraciones excedido');
break
end
if(f_c*f_b<=0) a=c;
f_a=f_c;
else b=c;f_b=f_c;
end
end
fprintf('La raiz pedida es= %10.6f\n',c)
fprintf('La tolerancia es= %10.6f\n',abs(b-a)/2);
x=-100:0.1:100;
ezplot(fun),
grid on end
Ejemplo:
metodo de biseccion
ingrese la funcion:
3*x-2+exp(x)-x^2
ingrese el punto inicial:
0
ingrese el punto final:
1
ingrese la tolerancia:
10^(-5)
= 17.000000
n se satisface la tolerancia
La raiz pedida es= 0.257530
La tolerancia es= 0.000008
EULER
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la
derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta
tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.
Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto
como una aproximación al valor deseado
Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto
De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:
donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :
Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a y por lo tanto estará dado como
De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:
De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia
en n partes iguales(procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a
En una gráfica, tenemos lo siguiente:
Ahora bien, sabemos que:
Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el puntoy por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que:
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:
Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de
aplicándola sucesivamente desde
hasta
en pasos de longitud h.
Programa en matlab del método de Euler
function ffprintf('\n \tRESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO METODO DE EULER\n')f=input('\nIngrese la ecuacion diferencial de la forma: dy/dx=f(x,y)\n','s');x0=input('\nIngrese el primer punto x0:\n');x1=input('\nIngrese el segundo punto x1:\n');y0=input('\nIngrese la condicion inicial y(x0):\n');n=input('\nIngrese el numero de pasos n:\n');h=(x1-x0)/n;xs=x0:h:x1;y1=y0;fprintf('\n''it x0 x1 y1');for i=1:nit=i-1;x0=xs(i);x=x0;x1=xs(i+1);y=y0;y1=y0+h*eval(f);fprintf('\n%2.0f%10.6f%10.6f%10.6f\n',it,x0,x1,y1);y0=y1;endfprintf('\n El punto aproximado y(x1) es = %10.6f\n',y1);
Solución
Respuesta
>> euler
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO METODO DE EULER
Ingrese la ecuacion diferencial de la forma: dy/dx=f(x,y)
sqrt(x^2+y^2)
Ingrese el primer punto x0:
2
Ingrese el segundo punto x1:
2.3
Ingrese la condicion inicial y(x0):
0.5
Ingrese el numero de pasos n:
3
'it x0 x1 y1
0 2.000000 2.100000 0.706155
1 2.100000 2.200000 0.927710
2 2.200000 2.300000 1.166470
El punto aproximado y(x1) es = 1.166470
>>en 10:440 comentarios Publicado por Morena Salazar
Método de Runge-Kutta
Programa en MatLab de Runge-Kutta de orden dos.
function ffprintf('\n \tRESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO RUNGE-KUTTA DE ORDEN 4\n')f=input('\n Ingrese la ecuacion diferencial dy/dx=\n','s');x0=input('\n Ingrese el primer punto x0:\n');x1=input('\n Ingrese el segundo punto x1:\n');y0=input('\n Ingrese la condicion inicial y(x0):\n');n=input('\n Ingrese el numero de pasos n:\n');h=(x1-x0)/n;xs=x0:h:x1;fprintf('\n''it x0 y(x1)');for i=1:nit=i-1;x0=xs(i);x=x0;y=y0;k1=h*eval(f);x=xs(i+1);y=y0+k1;k2=h*eval(f);y0=y0+(k1+k2)/2;fprintf('\n%2.0f%10.6f%10.6f\n',it,x0,y0);endfprintf('\n El punto aproximado y(x1) es = %8.6f\n',y0);
Programa de Runge-Kutta de orden cuatro.
function ffprintf('\n \tRESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO RUNGE-KUTTA DE ORDEN 4\n')f=input('\n Ingrese la ecuacion diferencial\n','s');x0=input('\n Ingrese el primer punto x0:\n');x1=input('\n Ingrese el segundo punto x1:\n');y0=input('\n Ingrese la condicion inicial y(x0):\n');n=input('\n Ingrese el numero de pasos n:\n');
h=(x1-x0)/n;xs=x0:h:x1;fprintf('\n''it x0 y(x1)');for i=1:nit=i-1;x0=xs(i);x=x0;y=y0;k1=h*eval(f);x=x0+h/2;y=y0+k1/2;k2=h*eval(f);x=x0+h/2;y=y0+k2/2;k3=h*eval(f);x=x0+h;y=y0+k3;k4=h*eval(f);y0=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;fprintf('\n%2.0f%10.6f%10.6f\n',it,x0,y0);endfprintf('\n El punto aproximado y(x1) es = %8.6f\n',y0);
Solucion2. Respuesta
>> runge2
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO RUNGE-KUTTA DE ORDEN 4
Ingrese la ecuacion diferencial dy/dx=4*exp(0.8*x)-0.5*y
Ingrese el primer punto x0:0
Ingrese el segundo punto x1:4
Ingrese la condicion inicial y(x0):2
Ingrese el numero de pasos n:4
'it x0 y(x1)0 0.000000 6.701082
1 1.000000 16.319782
2 2.000000 37.199249
3 3.000000 83.337767
El punto aproximado y(x1) es = 83.337767
respuesta>> runge4
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO RUNGE-KUTTA DE ORDEN 4
Ingrese la ecuacion diferencial-2*x^3+12*x^2-20*x+8.5
Ingrese el primer punto x0:0
Ingrese el segundo punto x1:0.5
Ingrese la condicion inicial y(x0):1
Ingrese el número de pasos n:5
'it x0 y(x1)0 0.000000 1.753950
1 0.100000 2.331200
2 0.200000 2.753950
3 0.300000 3.043200
4 0.400000 3.218750
El punto aproximado y(x1) es = 3.218750
