HI1029HÅKAN STRÖMBERG

NICKLAS BRANDEFELT

Algoritmer och datastrukturer

Föreläsning 1

Inledande om algoritmerRekursionStacken vid rekursionRekursion – iterationMöjliga vägarGCDInlämningsuppgifter

Algoritm

En algoritm är ett begränsat antal instruktioner/steg för att lösa en uppgift, som från givna indata med säkerhet leder till korrekta utdata.

Precision - varje steg är noggrant bestämtDeterminism -resultatet av varje steg är

entydigtÄndlig - når målet efter ett ändligt antal steg

Ett exempel

Problem: Hitta det största av tre talGivet: Tre tal a, b och c.Sökt: Det största av de tre talenAlgoritm (pseudokod):

TRETALMAX(a,b,c)local xx ← aif b > x then x ← bif c > x then x ← creturn (x)

Frågor

Terminerar algoritmenFungerar den för alla giltiga indata

(gränsvärden)Producerar den korrekt resultatÄr den tillräckligt effektiv, går den att

effektivisera?

Rekursion

Rekursion är en mycket mäktig problemlösnings-strategi

Det är ofta det enklaste sättet att lösa ett problem och kräver ofta mycket mindre kod än alternativen (iteration)

Däremot är det inte säkert att lösningen blir effektiv och specifikt brukar den kunna kräva mycket minne

För den ovane känns rekursion ofta krångligt men när man fått grepp om tekniken är den oumbärlig

Rekursivt definierad talföljd

Innan vi tittar på rekursion för problemlösning värmer vi upp med en rekursivt definierad talföljd

Fibonacci-följden:fn = fn-1 + fn-2 , n=2,3,4,…

f0 = f1 = 1En funktion i C som beräknar godtyckligt

Fibonaccital: 1 int f(int n){2 if(n==0| |n==1)3 return 1;4 else5 return f(n−1)+f(n−2);6 }

Rekursionsträd

f(3)=f(2)+f(1)

f(2)=f(1)+f(0) f(1)=1

f(1)=1 f(0)=1 1 int f(int n){2 if(n==0| |n==1)3 return 1;4 else5 return f(n−1)+f(n−2);6 }

Observera att vi får ”räkna” ut f(1) två gånger

Stacken vid funktionsanropNär en funktion anropas i C, så skapas utrymme på stackenför de lokala variablerna, parametrarna och återhoppsadressen

Rekursivt-iterativt

Det är bevisat matematiskt att alla problem som kan lösas rekursivt också kan lösas iterativt

Att hitta den iterativa lösningen kan däremot vara svårt.

Fibbonaci:Rekursivt:int fib(int n){ if(n==0||n==1) return 1; else return fib(n-1)+fib(n-2);}

Iterativt:int fib(int n){ int i,fi,fim1=1,fim2=1; for(i=2;i<=n;i++) { fi=fim1+fim2; fim2=fim1; fim1=fi; } return fi;}

Ännu bättre:

5

251

251

11

nn

nf

Varje värde beräknas en gång!

Fakultet

Nu ska vi titta på ett av de mest klassiska av problem att lösa rekursivt nämligen fakultet:

Definition: n! = 12…(n-1)nExempel 5! = 12345Den rekursiva lösningen får vi genom att

observera att 5! = 54! eller n!=n(n-1)! Rekursivt:int fak(int n){ if(n==0) return 1; else return n*fak(n-1);}

Iterativt:int faki(int n){ int i,p=1; for(i=2;i<=n;i++) p*=i; return p;}

Ökar vi n med 1 ökar antalet anrop av den rekursiva funktionen med ett och antalet varv i den iterativa rutinen med ett. Mängden arbete växer linjärt med n.

Gissa ett tal

Vi ska konstruera en algoritm som ska hitta ”rätt” tal mellan tex 1 och 100. Vid varje gissning man gör får man veta om man gissat rätt, för högt eller för lågt. Algoritmen ska då hitta rätt tal på så få gissningar som möjligt.

Hur skulle du göra?Kan du formulera en algoritm?

Lösning

int gissa(int min, int max, int antal){ int x = (min+max)/2;//gissning if(x==hemlig) return antal; else { if(x<hemlig) { return gissa(x+1,max,antal+1); } else { return gissa(min, x-1, antal+1); } }}

Antal möjliga vägar

Hur många unika vägar finns det från övre högra hörnet till nedre vänstra hörnet om vi bara får gå väst och syd?

Lösning

Vi löser problemet genom att gå alla vägar och räkna hur många det blir.

Låt m vara antal rader och n vara antal kolumner

Vid varje vägval kan vi då välja att gå väst och därmed minska n med ett eller gå syd och minska m med ett

När m och n är noll är vi framme

m = 5

n = 6

Algoritm

Rekursionsträd

Största gemensamma delaren

Greatest common divisor: GCD(78,21)=3Fås enklast med Euklides algoritm:

GCD(78,21)78 = 3 21 + 15 ger GCD(21,15)21 = 1 15 + 6 ger GCD(15,6)15 = 2 6 + 3 ger GCD(6,3) 6 = 2 3 + 0 ger GCD(3,0)och då är svaret 3!

Implementering

Rekursiv:

Implementering

Iterativ:

ba / -hakarna betyder avrunda nedåt till närmsta heltal

Inlämningsuppgifter

Följande uppgifter redovisas senast måndag den 21 januari och kan inte redovisas senare:1.5, 1.7, 1.9, 1.14, 1.15, 1.16

Dessa uppgifter bör göras nu för att ni ska kunna följa kursen på ett bra sätt. Övriga kan ni göra vid tillfälle för högre betyg. I början kommer jag prioritera att ta emot redovisningar av dessa tidsbegränsade uppgifter!