Algorithmus für die Palettierung Ausarbeitung von Florian Pfeiffer Seminar: Containerumlade- und Stapelprobleme Universität Karlsruhe(TH) ANDOR * Institut

Algorithmus für die Palettierung

Ausarbeitung von Florian Pfeiffer

Seminar: Containerumlade- und Stapelprobleme

Universität Karlsruhe(TH)

ANDOR * Institut für Anwendung des Operations Research

Prof. Dr. Gerald Hammer

Sommersemester 2004

Betreuer: Dipl. Math. Peer Giemsch

Startaufstellung

1. Einführung1.1 Definitionen/Begriffe1.2 Abgrenzung

2. Vorüberlegungen

3. Algorithmus (Anhand eines Beispiels)

4. Lösungsgüte/Ausblick

Übersicht

1.1 Definitionen/Begriffe:

Palettierung: Packen von Einheiten definierter Größe auf eine Palette

Stauplan: Gefundene Anordnung auf der Grundfläche einer Palette

Totraum: Nicht nutzbarer Platz, echt „verschwendeter“ Platz

Freiraum: Vor Fertigstellung des Stauraums noch zur Verfügung stehender Platz

Einführung Überlegungen Algorithmus Ausblick

1.1 Definitionen:

L/B: Länge/Breite der Palette

l/b: Länge/Breite der zu packenden Einheit / Versandgebinde

Ll: Einfache Anordnung: Die Palette wird in ihrer Länge L mit der alleinigen Ausrichtung der Einheiten in deren Länge l gepackt

Lb : Einfache Anordnung: Die Palette wird in ihrer Länge L mit der alleinigen Ausrichtung der Einheiten in deren Breite b gepackt

Ll+b : Gemischte Anordnung: Die Palette wird in ihrer Länge L mit der gemischten Ausrichtung der Einheiten in deren Breite b und deren Länge l gepackt

Bl, Bb, Bl+b: entsprechend für die Breite B


1.2 AbgrenzungHomogenes Problem

Massengüterproduktion, kongruente EinheitenRechenaufwand

2-DimensionalBreite und LängeEin Einlade- und AusladezeitpunktEine Höhenorientierung (Lage, Ebene)

RechteckeHäufigste Form bei Palette und den Einheiten

OrthogonalitätsbedingungUnter Umständen keine optimale Lösung oder nur schlechte

LösungRelevanz für Algorithmus Geometrie zu verpackende

Einheiten:mittleres L/l-Verhältnis; Versandgebinde

Rechenbarkeit, Stapelbarkeit, Beschädigung der Einheiten


ZielfunktionMaximierung der gepackten EinheitenZurückführen anderer Zielfunktionen auf diese möglich Unnütz verbrauchte Fläche in einem Stauplan als Maß der

Güte des Stauplans

StapelbarkeitMehrere Lösungen gleicher Güte

möglichDrehen des Stauplans um 180°Spiegeln des Stauplans möglich

SonstigesKein DiebstahlKeine Klimaeinflüsse

Keine WertigkeitFreie Drehbarkeit

1.2 Abgrenzung


Motivation


Suboptimale LösungenUntersuchen aller möglichen Anordnungen in einer Richtung (hier: B)

B

L

Gemischte Anordnung

Einfache Anordnung


Suboptimale LösungenBeste suboptimale Lösung in der Richtung sei o.B.d.A. hier dargestellt:

Rand kann nicht ausgefüllt werden Homogenes Problem, nur orthogonale Anordnungen

Es passt c. p. keine weitere Einheit in den Totraum Normierung aller suboptimalen Lösungen um den (unnützen) Rand

Entscheidungshilfe für die Güte der Lösung wird gegeben Normierte obere Schranke (theoretisch nutzbare Fläche sinkt)


OptimalitätsbedingungPalette wird vollständig mit Einheiten bepackt (kein Totraum)Totraum ist kleiner als der Flächeninhalt einer (weiteren) Einheit

Obere SchrankeEine erste obere Schranke ergibt sich aus der Optimalitätsbedingung(L*B)/(l*b) abgerundet ergibt die obere Schranke. Stauplan erfüllt Bedingung Optimale Lösung

Modifizierte obere SchrankeWerden die suboptimalen Lösungen normiert, so kann sich eine neue, modifizierte obere Schranke ergeben, die kleiner als die bisherige ist, in dem die Palette ebenfalls normiert wird.(homogenes Problem, Orthogonalitätsbedingung)


Packung am Rand ist nicht schlechter als in der Mitte

Packe die erste Einheit in eine Ecke der Palette Für gemischte Anordnungen/Startlösung:

Lege möglichst die gleichen Ausrichtungen zusammenFür „Zähnemuster“ lässt sich ein äquivalenter Stauplan

finden, der „normale“ Startlösung hat.„Zähnemuster“ lässt sich während dem Algorithmus kaum vermeiden

Beim Packen: Totraum in der Mitte zulässig


Untere Schranke „Intuitive Anordnung“ in Längsrichtung, in die Breite Maximale

Packung mit Bl, Bb oder Ll, Lb wird getestet

Im Beispiel: Max B {Bl; Bb} = Max B {16; 15} = 16


Abbruchbedingungen

1. Stauplan erreicht den Wert der oberen Schranke

2. Untere Schranke erreicht den Wert der modifizierten oberen Schranke

3. (Summe eingeplante Einheiten + Freifläche/Grundfläche einer Einheit)< (als untere Schranke)

Bedingungen der Suboptimalität

Plane nur solche suboptimalen Lösungen ein, welche die Voraussetzung entsprechend ihrer jeweils gefundenen Anordnung auch einhalten können.Plane immer nur in einer Richtung ein (sonst neues Objekt)


Idee des Algorithmus

Die optimale Lösung beinhaltet mindestens eine suboptimale Lösung.

Eine Belegung der jeweiligen suboptimalen Lösung mit den durch sie verursachten Strafkosten (Opportunitätskosten) gewährleistet dabei ein dynamisches Verhalten des Algorithmus.

Die suboptimalen Lösungen werden in eine Schlange gestellt und sukzessive abgearbeitet

Abarbeiten der einzelnen Lösungen erfolgt in Form von Objekten

Alle suboptimalen Lösungen in einer Richtung bilden den möglichen Lösungsraum; sie werden so dicht wie möglich gepackt

Verursacht eine Lösung einen Totraum, so wird ein modifiziertes Objekt erzeugt, welches a) auf dem bereits Eingeplanten aufbautb) die suboptimale Lösung mit Strafkosten belegt und c) weitere Lösungen aus der anderen Richtung mit einbezieht.


Beispiel : L = 17; l = 6;B = 16; b = 5

Bestimmen der oberen Schranke:

(L*B) / (l*b) = 272 / 30 = 9, 10 obere Schranke ist 9


Bestimmen der einfachen suboptimalen Lösungen:

Lb: L – k*b, k € N Wert (der Fläche): l* Lb

Ll : L – k*l, k € N Wert (der Fläche): b* Ll

Entsprechend für B*

(Intuitive) untere Schranke: 6


Ll: 17 – 2*l = 5 Wert: 5*5 = 25

Lb: 17 – 3*b = 2 Wert: 6*2 = 12

Bl: 16 – 2*l = 4 Wert: 5*4 = 20

Bb: 16 – 3*b = 1 Wert: 6*1 = 6

Ur- Schlange:

Bb(6), Lb(12), Bl(20), Ll(25)


Aus der Ur- Schlange werden nun entsprechend der Wertigkeit die zusammengesetzten einfachen Lösungen generiert. Da hier Bb ganz oben steht, wird die Schlange für Objekt 1auf alle B* reduziert. Die hier ermittelte untere Schranke wird bereits vom Algorithmus generiert.

Das erste Objekt wird also aus 0-Bb erzeugt. D. h.: 0 bislang gepackte Einheiten („leere Palette“), Bb ist Startlösung, es wird nur mit den B* geplant

Untere Schranke / einfache Anordnung

Schlange 1:

Bb(6), Bl(20)

Objekte - Stapel:

0-Bb, 0-Lb, 0-Bl, 0-Ll


Objekt 1:

Plane aus der reduzierten Schlange so lange bis keine weitere Einheit mehr gepackt werden kann.

8 Einheiten ist neue untere Schranke aber kleiner als obere Schranke

Erzeuge aus dem Stapel neues Objekt bis alle Startlösungen durchprobiert sind oder obere Schranke erreicht

Objekt 1*



Objekt 2:

Es wird entsprechend der Schlange eine schlechtere Lösung gefunden

Untere Schranke bleibt bei 8, die obere Schranke bei 9

Objekt 1* Objekt 2*



Keine Verbesserung für Objekt 3* und Objekt 4*

Bestimmen der gemischten suboptimalen Lösungen :

Bl+b: B – kl * l – kb*b; kl , kb € N Wert: Min {l, b} * Bl+b

Bl+b: 16 – l –2*b = 0 Wert: 5 * 0 = 0

Ll+b1: 17 – 2 *l – b = 0 Wert: 5 * 0 = 0

Ll+b2: 17 – l – 2*b = 1 Wert: 5 * 1 = 5

Gemischte Anordnung

Beispiel Bl+b

Neue Schlange:

Bl+b(0), Ll+b1(0), Ll+b2(5), Bb(6), Lb(12), Bl(20), Ll(25)

Stapel:

0-Bl+b(0), 0-Ll+b1(0), 0-Ll+b2(5),


Bestimmen der gemischten suboptimalen Lösungen :

Erzeugen des fünften Objekts aus dem Stapel (0-Bl+b) und einplanen der zweiten Reihe aus Schlange 5 (hier auch mit den B*):

Objekt 5‘ Objekt 5‘‘

Es entsteht ein Totraum (Hier: 1 Flächeneinheit). Plane neue Objekte im Stapel ein und bestrafe die suboptimale Lösung mit Opportunitätskosten. Anschließend weiter im Algorithmus.

Gemischte Anordnung


Einplanen der neuen Objekte :

Prüfe ob es für Objekt 5‘ weitere suboptimale Lösungen unter den B*und L* gibt, die Anordnung 5‘ als Startlösung zulassen. Plane für die

gefundene/n Möglichkeit/en je ein neues Objekt im Stapel ein.

Objekt 5‘.L Objekt 5‘.B

Gemischte Anordnung

Schlange 5‘.L:

Ll+b1(0), Ll+b2(5), Lb(12), Ll(25)

Stapel noch abzuarbeiten:

0-Ll+b1(0), 5‘-Ll+b1(0), 0-Ll+b2(5), 5‘-Bb(6),

Schlange 5‘.B:

Bl+b(0+1), Bb(6), Lb(12), Ll(25)

Hier: Anordnung entsprechend 5‘ nochfür alle B*, L* gültig;Startlösung 5‘.B: Bb(6)


Bestimmen der suboptimalen Lösung, weiter mit Objekt 5‘‘:

Objekt 5*

Gepackte Einheiten: 9 = obere Schranke, Abbruchkriterium

Gemischte Anordnung


Eigenschaften des Algorithmus/Problems

Vereinfachtes Problem, dennoch praxistauglich

Im Beispiel entspricht die Lösung einem 7-Block-Verfahren,der Algorithmus ist aber nicht auf diese Blöcke beschränktModifiziertes Branch & Bound

Bei den untersuchten Beispielen war die Lösungsgüte durchweg zufriedenstellend (war nicht schlechter). Beispiel: Dowsland: 38; Algorithmus: 39; Obere Schranke: 40

Lösungsgüte / Ausblick


Heinrich Exeler: Das homogene Packproblem in der betriebswirtschaftlichen Logistik, Physica-Verlag, Heidelberg, 1988 Dowsland, Dowsland: A Comparative Analysis of Heuristics for the

Two-Dimensional Packing Problem, Paper for Euro VI Conference, July 1983

Literatur


Vielen Dank für die Aufmerksamkeit – Fragen?

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Algorithmus für die Palettierung Ausarbeitung von Florian Pfeiffer Seminar: Containerumlade- und Stapelprobleme Universität Karlsruhe(TH) ANDOR * Institut