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Cómo podemos jugar y aprender Matemática?
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Algo más sobre juego y enseñanza de la
matemática…
Prof. Lic. Adriana Yapur
¿Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta capciosa
que admite múltiples respuestas. Para muchos de los que ven la matemática desde fuera,
ésta mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más de
entre los matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego, aunque
además de ello pueda ser otras muchas cosas.
El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maña físicas, el juego que tiene bien
definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy
frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes
a las que presenta el desarrollo matemático. Las diferentes partes de la matemática
tienen sus piezas, los objetos de los que se ocupa, bien determinados en su
comportamiento mutuo a través de las definiciones de la teoría. Las reglas válidas de
manejo de estas piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de
razonamiento admitidos como válidos en el campo.
La matemática así concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de
estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las
reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa
a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar
sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de participar
más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen constantemente
debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos aún abiertos esperando que alguna
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idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil herramientas ya existentes o a crear
alguna herramienta nueva que conduzca a la solución del problema.
Por esto no es de extrañar en absoluto que muchos de los grandes matemáticos de todos
los tiempos hayan sido agudos observadores de los juegos, participando muy activamente
en ellos, y que muchas de sus elucubraciones, precisamente por ese entreveramiento
peculiar de juego y matemática, que a veces los hace indiscernibles, hayan dado lugar a
nuevos campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemática
profundamente seria."
Tengamos en cuenta que con un mismo juego podemos trabajar varios contenidos y que
un contenido puede trabajarse con diferentes juegos.
En el momento de elegir un juego es útil tener en cuenta una posible clasificación:
REGLADOS O LIBRES
ESTRATEGIA O AZAR
COLECTIVOS O INDIVIDUALES
Esta clasificación no es rigurosa, debemos tener en cuenta que, si a un alumno le
ofrecemos las fichas del Tangram y le pedimos que con ellas arme figuras, esta es una
actividad individual y libre, pero si le pedimos que arme una figura con siete fichas, dibuje
su contorno y luego entregue el dibujo a un compañero para que reconstruya la figura,
estamos frente a un juego colectivo y reglado.
Los juegos libres cobran mayor importancia en la primera etapa, es decir, en la etapa de
reconocimiento, visualización y exploración.
Los juegos de azar son estudiados especialmente por la Probabilidad.
Muchos matemáticos se ocuparon de los juegos de recorrido y es la Matemática Discreta
la rama que se ocupa de estas cuestiones desde la Teoría de Grafos. Euler pudo demostrar
cuáles son las figuras que admiten dibujarse sin levantar la punta del lápiz de la hoja
recorriendo sólo una vez cada segmento.
El famoso Triángulo de Pascal se convierte en una herramienta de conteo imprescindible a
la hora de encontrar estrategias de cálculo para determinar los posibles recorridos, pues
está presente en innumerables situaciones de espacio y plano.
Los mosaicos y teselados nos dan la posibilidad de crear nuevas formas y es la actividad
que más nos acerca a la rama de la geometría de los fractales.
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En “Las seis etapas del aprendizaje en matemáticas” Zoltan Dienes expresa: “Cualquiera
que esté familiarizado con una estructura matemática puede idear un juego cuyas reglas
sigan las reglas de tal estructura…”
Si nuestra intención es enseñar matemática desde el planteo de una situación
problemática, son los juegos de estrategia los que presentan una semejanza en su
estructura con los métodos que conducen a resolución de problemas aritméticos y
geométricos.
El fundamento matemático de los juegos
Las muestras de interés de los matemáticos de todos los tiempos por los juegos
matemáticos apuntan a que, por una parte, son muchos los juegos con un contenido
matemático profundo y sugerente, y por otra parte, una gran porción de la matemática de
todos los tiempos tiene un aspecto lúdico que la asimila extraordinariamente al juego.
El primer aspecto se pone de manifiesto al ojear un poco el repertorio de juegos más
conocidos…
La aritmética está inmersa en los cuadrados mágicos, cambios de moneda, juegos sobre
pesadas, adivinación de números…La teoría elemental de números es la base de muchos
juegos de adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad, aparece en juegos que
implican diferentes sistemas de numeración…La combinatoria es el núcleo básico de todos
los juegos en los que se pide enumerar las distintas formas de realizar una tarea… El
álgebra interviene en muchos acertijos sobre edades y medidas… etc.
El juego y la didáctica de la matemática
La matemática es, en gran parte, juego, y el juego puede en muchas ocasiones analizarse
mediante instrumentos matemáticos. Pero, por supuesto, existen diferencias sustanciales
entre la práctica del juego y la de la matemática. Generalmente las reglas de juego no
requieren introducciones largas, complicadas ni tediosas. En el juego se busca la diversión
y la posibilidad de entrar en acción rápidamente. Muchos problemas matemáticos
también permiten una introducción sencilla y la posibilidad de acción rápida, pero la
matemática no es sólo diversión, fundamentalmente es ciencia e instrumento de
exploración de la realidad propia mental y externa, y así ha de plantearse. Sin embargo, es
cierto que, especialmente en la tarea de iniciar a los más jóvenes en la actividad
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matemática, el juego impregna el trabajo de tal modo que lo hace más motivador,
creando condiciones más favorables para el aprendizaje. Sería deseable que nuestros
maestros y profesores pudieran aprovechar los estímulos del juego sin perder de vista el
carácter científico de la matemática.
El juego y la resolución de problemas
¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?
Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han
hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya mucho
receloso de su empleo en la enseñanza. "El alumno, se queda con el pasatiempo y se
olvida de todo lo demás. Por lo que se considera, una miserable pérdida de tiempo". Otros
pensamos, en cambio, en ese mismo elemento de pasatiempo y diversión como en un
recurso motivador que debería utilizarse con mayor frecuencia, pues, por algunas de las
razones señaladas antes, relativas a la semejanza de estructura del juego y de la
matemática, avaladas por la historia misma, el juego bien seleccionado y bien explotado
puede ser un elemento auxiliar muy eficaz para lograr los objetivos de enseñanza, ya que,
la meta primordial de la enseñanza no debe consistir en embutir en la mente de los
alumnos un amasijo de información que entendemos le será necesaria para
desempeñarse como ciudadano, sino que debe tratarse de ayudarle a desarrollar su
mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas y físicas de modo
armonioso, y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su
propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas
actividades que mejor puedan conducir a la adquisición de las actitudes básicas más
características que se pretenden transmitir en cada materia.
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Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que
existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales
comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o
mejor que escogiendo contenidos matemáticos de apariencia más seria, en
muchos casos con claras ventajas de tipo psicológico y motivacional para el
juego sobre los contenidos propiamente matemáticos.
Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida
para la matemática, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco
difiere de la matemática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublan su
mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone, mucho más sencilla
tal vez que el juego que practican, tiene que ver con el teorema de Pitágoras. Estos
bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez, donde a absurdas preguntas
iniciales totalmente inmotivadas seguían respuestas aparentemente inconexas que hacían
de la matemática una madeja inextricable cada vez más absurda y complicada.
Bien se puede pensar que muchas de estas personas, adecuadamente motivadas desde un
principio, tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están descargados del
peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la
ciencia en general y ante la matemática misma en particular, tan inteligentes como
corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes.
Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones
matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Pero, hay juegos que,
de forma natural, resultan asequibles a una manipulación muy semejante a la que se lleva
a cabo en la resolución sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones
profundamente valiosas.
Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las
matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la
resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer
un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a
entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la
resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las matemáticas, pues
ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los
matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de
donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de
herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas. Muchos de
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estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas
que constituyen los juegos matemáticos.
Para Itzcovich, recurrir a algún recurso lúdico-didáctico para introducir a los chicos en la
matemática es una buena estrategia pedagógica sobre la que los docentes podrían
apoyarse. Pero hace una salvedad: Si el juego se perpetúa, el alumno va a seguir
queriendo jugar y ganar. Y se desplaza del objetivo, que es pensar en términos
matemáticos. El docente debe lograr hacer salir del lugar del juego y ponerlo (al alumno)
en la situación de pensar sobre el juego. Recién ahí se va a poder generar primer
pensamiento racional sobre una fórmula matemática, explicó.
Mientras los chicos que juegan lo hacen para ganar, es necesario lograr que piensen sobre
lo que están haciendo, sobre la mecánica del juego y hacia adonde va éste, que es la
operación matemática en sí misma -agregó Itzcovich-. Si logramos que el alumno deje de
jugar para pensar en el juego en sí mismo, éste podrá hacer una reflexión sobre la
operación matemática, y empezar a pensarla desde otro nivel de representación.
Resolución de problemas Juegos de estrategia
PROCESO
1. LEER EL PROBLEMA O LAS REGLAS DEL JUEGO.
2. EXPLORAR.
3. BUSCAR ESTRATEGIAS O DISEÑAR UN PLAN.
4. DESARROLLAR LA ESTRATEGIA O EL PLAN.
5. VALIDAR LOS RESULTADOS
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Codificación/ decodificación
La enseñanza de la matemática implica una traducción, esto es, cómo se decodifica un
elemento que nos viene en un formato cualquiera (como juego, enunciado, consigna, etc.)
a un formato matemático. El concepto de representación mental aparece aquí como una
cuestión clave. Da lugar a los niveles de reflexión y ensayo-error sobre la matemática, un
primer paso importante para entender la disciplina desde la edad escolar, afirmó el
especialista.
A los procesos de representación mental de los alumnos se los debe apuntalar con
representaciones gráficas. Los ejemplos ayudan mucho también. La representación
mental de cada problema matemático es como la cocina de la matemática: ahí ésta se
empieza a entender, destacó.
Por último, Itzcovich opinó que los docentes deben ser conscientes y explícitos sobre esas
representaciones de los alumnos, estar predispuestos a entender cómo trabaja el alumno
sobre un problema matemático. Si pueden anticiparse a esos recorridos, a los trayectos
mentales y luego escritos a partir de los cuales los alumnos va a realizar ciertas
representaciones, podremos ayudarlos más y mejor en entender la matemática.
Los juegos de naipes
Los naipes son juegos de procedimientos conocidos, ya que los alumnos los conocen en su
vida extraescolar. Las barajas están muy internalizadas en el entorno cotidiano de los
educandos, más aún estos suelen llevarlas a la escuela y jugar en los ratos libres.
Las barajas o naipes españoles, son muy populares en los países latinos pues fueron
introducidas en América con la llegada de los españoles, aunque sus orígenes son incierto.
Los cuatro palos de las barajas son alegorías de los estamentos medievales, es decir, que
los oros representan la burguesía, las copas representan el clero, las espadas la nobleza y
los bastos los campesinos.
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En el juego de barajas se puede reconocer un interesante potencial para la enseñanza de
la matemática. Existen una serie de juegos de naipes diseñados por los profesores
Fernando Corbalán y José María Gairin que son muy interesantes.
Pescacartas:
El juego consta de 40 naipes distribuidos de la siguiente forma:
1 del número 0
6 del número 1
6 del número 2
5 del número 3
5 del número 4
4 del número 5
3 del número 6
2 del número 7
2 del número 8
1 del número 9
1 del número 10
4 comodines
Cada niño saca un naipe y lo describe según las cuatro formas indicadas más abajo. El
juego puede complejizarse con dos o más cartas para sumar (operaciones), formar distintos
números (carácter posicional), formar el mayor o menor (orden), etc.
Este juego permite:
. Reconocer la representación de los 10 primeros números en cuatro formas diferentes:
· En forma natural, (con los dedos).
· Digito.
· Escrito.
· Como cardinal.
. Potenciar la descomposición de los primeros números
. Fomentar el cálculo mental
. Iniciarse en la búsqueda de las estrategias ganadoras.
Escoba Fraccionada:
El juego consta de 48 naipes distribuidos de la siguiente forma:
9 con la fracción ½
9
6 con cada uno de las fracciones 1/6; ¼ y 1/3
3 con cada una de las fracciones 5/12; 1/2; 7/12; 2/3; 3/4; 5/6 y 11/12.
Cada alumno sacará un naipe y podrá representar la fracción, reconocerla en una
representación presentada, ordenarla según sea mayor o menor que otras, etc. Con dos o
más fracciones podemos considerar las operaciones.
Este juego permite:
. Potenciar la operatividad de las sumas con fracciones.
. Visualizar la representación gráfica del mecanismo (cada carta tiene la representación
gráfica de la fracción y la escritura de dicha fracción.)
. Potenciar el cálculo mental
. Buscar estrategia de cálculo mental.
Múltiplos y divisores:
El juego consta de 51 naipes distribuidos de la siguiente forma:
48 con los números desde el 1 al 48
3 comodines.
Se reparten los naipes entre los alumnos y luego se pide formar múltiplos o divisores de
números propuestos por uno de los grupos de diferente cantidad de cifras. Si se consideran
dos o más números se puede pedir divisores o múltiplos comunes.
Este juego permite:
. Practicar el concepto de múltiplos y divisores
. Manejar el concepto de divisor común a dos números
. Utilizar los conceptos de m.c.m y m.c.d
. Desarrollar el cálculo mental
. Introducir los restos potenciales.
Las pandillas:
El juego consta de 55 naipes distribuidos de la siguiente forma:
5 cartas para representar cada uno de los siguientes números:
0; 1; ½; 1/3; 2/3; ¼; ¾; 1/5; 2/5; 3/5 y 4/5.
Se presentan tablas con el nombre de las fracciones, las representaciones, su expresión
decimal, su expresión como número mixto, porcentaje, fracciones equivalentes… Cada
alumno deberá ubicar cada número en el casillero de las tablas que corresponda. (Pensar
en variantes)
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Este juego permite:
. Reconocer el significado y la representación de números fraccionarios y decimales.
. Identificar las representaciones decimales y fraccionarias.
. Relacionar representaciones graficas de decimales y fracciones por porcentajes.
. Visualizar fracciones equivalentes, destacando la representación más simple.
La escalada:
El juego consta de 64 naipes distribuidos de la siguiente forma:
2 de cada uno de los números 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
8 con los signos de suma y resta
6 con los signos de multiplicación y división
4 con la palabra potencia exponente
12 con los signos de paréntesis
Se forman dos grupos (si se desea formar más grupos deben tenerse en cuenta la cantidad
de naipes) y se reparten los naipes por igual, por ejemplo: dos con la palabra potencia
exponente para cada grupo. Cada grupo formará un ejercicio combinado y el otro grupo
deberá resolver en un determinado tiempo. Puede considerarse la simultaneidad.
Este juego permite:.
. Utilizar correctamente las operaciones
. Agilizar el cálculo mental
. Utilizar el principio de valor relativo de las cifras
. Potenciar el significa de las operaciones.
Medir con Sistema:
El juego consta de 64 naipes distribuidos de la siguiente forma:
7 con la unidad, múltiplos y submúltiplos de longitud
7 con la unidad, múltiplos y submúltiplos de superficie
7 con la unidad, múltiplos y submúltiplos de volumen
7 con la unidad, múltiplos y submúltiplos de capacidad
9 con la unidad, múltiplos y submúltiplos de peso
2 de cada uno de los siguientes números:
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10; 100; 1000; 10000; 1000000; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 y 0,000001 (con sus notaciones
científicas respectivamente)
Formar las tablas de unidades, múltiplos y submúltiplos con las equivalencias
correspondientes. Reconocer entre varias láminas con expresiones en distintas unidades
aquellas que representan las mismas cantidades. Presentar una cantidad de volumen para
ubicar en la tabla de capacidad. Otras variantes…
Este juego permite:
. Conocer las diferentes unidades del sistema métrico decimal y sus abreviaciones.
. Ordenar las diferentes medidas de correspondencia a cada magnitud.
. Practicar con las relaciones existentes entre las diferentes unidades.
. Utilizar la equivalencia entre volumen; capacidad y peso.
Cuando se incorpora estos juegos se pretende que la utilización en clase de matemática
sea efectiva y que los objetivos puedan lograrse. Para ello la estrategia tiene que cumplir
con una serie de condiciones. A este respecto son interesantes las propuestas hechas por
Corbalán:
1. No se deben esperar resultados mágicos. En la enseñanza de la matemática no hay
varitas mágicas que produzcan efectos maravillosos. Sí que es previsible, en cambio, que
se mejoren los resultados, siempre que los recursos sean apropiados y haya interés y
dedicación en aplicarlos adecuadamente por parte del profesorado.
2. Hay que utilizarlos de manera sistemática y planificada. Aunque no esté de más su
utilización episódica, si se quiere obtener una influencia duradera, hay que utilizarlos
dentro de la programación habitual y con regularidad.
3. La utilización de los juegos tiene que considerarse como un derecho del alumnado, no
como una concesión del profesorado. Si se considera que los juegos son un instrumento
pertinente para la enseñanza de las matemáticas, es un derecho del alumno que se lo
proporcione con normalidad, no como un premio a su buen comportamiento o por otras
causas ajenas a la programación del curso.
4. Lo más enriquecedor de utilizar juegos en clase de matemáticas no está en los juegos en
sí, sino más bien en el proceso posterior, que siempre debe llevarse a cabo, de análisis de
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los procesos de resolución, de discusión de soluciones, y de generalización, si es posible,
de los resultados. No se trata sólo de jugar, sino de aprovechar el juego como recurso
didáctico.
Pautas básicas para la aplicación de los juegos de matemática
1. No presentar el juego como un trabajo.
2. Elegir el juego y preparar las tácticas adecuadas para llevar a los alumnos a
adquirir aquellos conceptos que se desean impartir.
3. Compensar equilibradamente el nivel del juego con el de los alumnos.
4. Ir graduando la dificultad del juego al conocimiento matemático a asimilar.
5. Conocido el juego, ensayar tácticas ganadoras.
Como principio básico, los juegos han de tener un contenido educativo, que ayuden a
desarrollar hábitos y actitudes positivas frente al trabajo escolar, que ayuden a pensar, a
razonar, que estimulen la creatividad, que desarrollen estrategias de pensamiento, que
promuevan el intercambio de relaciones personales, y que favorezcan la ayuda, la
cooperación y la comunicación.
Asimismo, las características que debe reunir un buen juego para ser empleado en clase
de matemáticas se resumen en cuatro.
1. Tener reglas sencillas y desarrollo corto.
2. Ser atractivos en su presentación y desarrollo.
3. No ser puramente de azar.
4. Juegos que el alumno conozca y que puedan ser "matematizados".
Documentos importantes:
El juego como recurso didáctico en el aula de Matemáticas
El juego como recurso para aprender 1º ciclo
El juego como recurso para aprender 2º ciclo
Prof. Lic. Adriana N. Yapur
Matemática y Física
