UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZADEPARTAMENTO DE INGENIERIA E INVESTIGACIONES TECNOLOGICASALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA I (1027) - 2009COMISION 67 - SEGUNDO PARCIAL FECHA: 22 de Julio del 2008ALUMNO:________________________________________________________DIRECCION DE e-mail:________________________________________________________________________________________________Ejercicio N 1Ej 1-a)Hallar el o los vectores perpendiculares a u 0;3;2 con primeracomponente igual a 3 y de mdulo 4.Desarrollo Ejercicio N 1-a

u 0,3,2, v 3 ,vy,vz u v 0 3 2 vy2 vz2 4u v 0

3 2 vy2 vz2 4;

0,3,2 3 ,vy,vz 03 2 vy2 vz2 4

;

3vy 2vz 0vy2 vz2 3 4

;vy 23 vz

vy2 vz2 3 4;

vy 23 vz23 vz

2 vz2 3 4;

vy 23 vz49 vz

2 vz2 3 4 139 vz

2 3 4; 139 vz2 3

2 42;

139 vz

2 3 16; 139 vz2 13; vz2 9 vz 3

vy 23 vz vy 2 v 1 3 ,2,3

v 2 3 ,2,3_______________Ej 1-b) Indicar, justificando si el vector u con uno de los vectores hallados yw 1;3;2 son coplanares.Desarrollo Ejercicio N 1-b

0 3 23 2 31 3 2

13

Los vectores w, v 1, u , no son coplanares el producto mixto es distinto de cero.___________________________________________________Ejercicio N 2Sean la recta r : x,y, z , 0, 1 y el plano : y k. z 4.Ej 2-a) Halle todos los valores de k, si existen para que el ngulo entre r y seaigual a: 6 .

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:1

Desarrollo Ejercicio N 2-ar : x,y, z , 0, 1 ; r : x,y, z 1,0,1 0,0,1; t 1,0,1 : y k. z 4; n 0,1,kn t n t cos 12 ; 0,1,k 1,0,1 |0,1,k||1,0,1| cos

3 ;

k 1 k2 1 1 cos 3 ; k 2 k2 1 12 ; k

22 k

2 1

k2 22 k2 1

2

;

k2 k22 12

k22

12

k2 1k1 1k2 1

;

1 : y k3. z 42 : y k4. z 4

k1 1k2 1

;1 : y z 42 : y z 4

1 : y z 42 : y z 4

_______________Ej 2-b) Para k 2 encuentre la interseccin de la recta r con el plano.Desarrollo Ejercicio N 2-b

: y 2z 4r : x,y, z , 0, 1

: y 2z 4x y 0

z 1

;

: 0 21 4 2 2 4 2 2 1r : x,y, z , 0, 1 x,y, z 1,0,1 1; x,y, z 1,0,2Comprobacin

: y 2z 4r : x,y, z , 0, 1

0 2 2 4x,y, z 1,0,1 1

4 4x,y, z 1,0,2

___________________________________________________Ejercicio N 3Explique porque los siguientes conjuntos de vectores no pueden ser una base de

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:2

3.Ej 3-i. 1,2,1; 2,5,4Desarrollo Ejercicio N 3-iEn 3 las bases estan formadas por 3 vectores, 2 vectores de 3 no forman base._______________Ej 3-ii. 1,1,3; 0,0,0; 2,3,6Desarrollo Ejercicio N 3-iiTodo conjunto de vectores que contiene al vector nulo es LD, por lo tanto esteconjunto no es una de las base de 3._______________Ej 3-iii. 2,5,4; 1,3,2; 2,6,4Desarrollo Ejercicio N 3-iiiEl vector 2,6,4 es el doble del vector 1,3,2 por lo tanto el conjunto es LD, por lotanto este conjunto no es una de las base de 3._______________Ej 3-iv. 1,1,3; 1,3,2; 2,3,6; 1,1,1Desarrollo Ejercicio N 3-ivEn 3 las bases estan formadas por 3 vectores, 4 vectores de 3 no forman base_______________Para el caso iv) , modifique el conjunto de tal forma que pueda ser una base yexprese a cualquier vector genrico de 3 como combinacin lineal de la misma.

det1 1 31 3 22 3 6

5 el determinante det1,1,31,3,22,3,6

es 0, por lo tanto

conforma el conjunto LI de 3 vectores de 3 es por lo tanto una base.

, row echelon form:

1 0 00 1 00 0 10 0 0

1,1,3; 1,3,2; 2,3,6 es una base de 3

___________________________________________________Ejercicio N 4Siendo S un subconjunto del espacio vectorial 3;;; :S x;y; z 3/2x y 3z 0Ej 4-i) Demuestre que es un subespacio.Desarrollo Ejercicio N 4-i1) x,y, z 0,0,0 S porque 2x y 3z 0 2 0 0 3 0 02) x1,y1, z1 S,x2,y2, z2 S x1,y1, z1 x2,y2, z2 Sx1,y1, z1 x2,y2, z2 x1 x2,y1 y2, z1 z2 2x1 x2 y1 y2 3z1 z2 0 2x1 y1 3z1 2x2 y2 3z2 0Lo cual resulta verdadero debido a que los vectores pertenecen al subespacio S3)x1,y1, z1 S,k kx1,y1, z1 S kx1,y1, z1 k x1,k y1,k z1

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:3

2k x1 k y1 3k z1 0; k2x1 y1 3z1 0Lo cual resulta verdadero debido a que el vector pertenece al subespacio S_______________Ej 4-ii) Halle una base y dimensin del mismo. Interprtelo geomtricamente.Desarrollo Ejercicio N 4-ii2x y 3z 0 y 2x 3z x,y, z x, 2x 3z, zx,y, z x, 2x, 0 0,3z, z; x,y, z 1,2,0 0,3,1Base 1,2,0; 0,3,1 Dim 2___________________________________________________Ejercicio N 5Encontrar la ecuacin cannica de la siguiente cnica , sus elementos y graficarla.36x 200y 9x2 25y2 464 0Desarrollo Ejercicio N 59x2 36x 25y2 200y 464 09x2 36x 25y2 200y 464 09x2 4x 25y2 8y 464 09x2 4x 4 4 25y2 8y 16 16 464 09 x 22 4 25 y 42 16 464 09x 22 94 25y 42 2516 464 09x 22 36 25y 42 400 464 0900 25y 42 9x 22 025y 42 9x 22 90025y 42 9x 22 900y42

90025

x229009

1x 22

100 y 42

36 1Semiejes mayor a y menor b

a2 100b2 36

a 10b 6

La distancia focal:c2 a2 b2;c2 100 36;c2 64 c 8La excentricidadc a e e ca ; e 810 ; e 45Rectas directricesxd ae xd 104

5; xd 252

Latus rectum

lrectum 2b 1 e2 lrectum 2 6 1 452

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:4

lrectum 12 925 ; lrectum 365

Distancia entre el foco y la directrizp xd c p 252 8; p 92Posicin del nuevo origen de coordenadas O

x x p1 e2y y

x x

92

1 452

y y

x x 252y y

Respecto al sistema x,y , se tiene:x x 2y y 4

Centro:x 2y 4 C2,4

Verticesa 10b 6

V1 10 2,4V2 10 2,4

V1 12,4V2 8,4

Focos

c 8 c1 8 2

c2 8 2;

c1 10c2 6

Directrices

xd 252 d1 252 2d2 252 2

;d1 292d2 212

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:5

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

x

y

___________________________________________________

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:6