Algebra Liniowa 2 - Przykłady I Zadania, Jurlewicz, Skoczylas, Gis 2003

5/10/2018 Algebra Liniowa 2 - Przyk ady I Zadania, Jurlewicz, Skoczylas, Gis 2003

1/71

Spis tresci

Wst,pPrzestrzenie liniowePierwsay tydt:ien .

Pnykta.dyZadania .Ddpowieda i iw6k&~61 ' iK i

Drugi tyd;ienPu,ykladyZildania .Ddpowiedei i",skazOwki .

T..,....ei tydriCJiPraykledyZada.n ie . .Odpowiedzi i"Itkazciwki .

C~;wart)' tydzieii .Przyklady

99"717172223,.,.303132


2/71

74""le ss aa a"a. ."eHl~i ur enaUJ

Przehztah::enia linioweO"wylydzi",j

I'nykladyZ .. ,JaoinOdpO'.".,.h" .,1aa6wk,

O~i(jwi'lty tyd"i~n

~ ~ y ! : d YDdpo"';ediiiw~6,.klD,i,",i~l)' tydLie"P",ykiadyZ adAn ia .Oclpowiedtl. ,,"knOw~j

JedenastytydzidiP",yldndyZarl;l.n'~

Pr1e~trzenic euJclidesoweV.. un",'y lyd~ien

f'I1Jklady !1~


3/71

Przestrzenie liniowe

Pierwszy tydzieriI Podstawowe definicje (1.1)#. Podprzestrzcnie pncstrz


4/71

4, r;1~m~"tern pr, ,, ,, iwnYm do wiciom,a,," p J"~~ widomia"(-,,1(,,)= -,,(x)

S. ZuOimy, i~a. ,q E R, Wtcdy dla hidc~o r E n puwdz;"e~ .. w~ory(I ,,)(x) = I .p(~)= pI,,)

[n(,ev))(r) ='(Pp l( ,,) '" 4(PI> (" )) = (",P)p(>:J:o [ ["P) ,' 1 (>:)," . , . , ~ c neCllywkki~ J, p = p Or;>.z "(P,,):= ("/1)p!i...:r;~o,::,::cl!iW~ ~~~w;~tk, (" '+pjp = r:rp+/Jp oraz o(p+ q ) '" " p+ o -q, bOw;~m

In(p + q)]("'J = c> I(p + q)(,,}) = ",[pit) + '1(")) = p(,,) + nq(~) == (p+ "q)(~)Zauwa:. :my, z_~wlas"oki 1. - Ii, wynika.ly;""q>O.~lriD Zodpowiffi~i~b wh",no5ci dod .. -W"'""'lJInoze~, .. !iczb r.I'Ctywistych

Przykfad 1.2~ r : : ~ : ~ i : ; !~i:::;~e:biOry W ~ podprzeatrzeniami l i n i o w y m jdpowiednicl:ra) lV=={(x,Y )ER? 2"= -3,,,), V=:R~;b) w e {{ x Y.I)E nJ z+y::=y+zo:::O}, V: : ;RJ;c) W = = ( T o ' E R ~ r .: r J : p(:r;) = p(-x) dla kazdcgo Z E R} . l' = = R[x1;d} W = {IE CnO,2j): f'(!J 0 e}, V= C([O,2j)Roz ... i~Zitrlie; J : ~ ~ O : : I ' ~ C h V:~~I;~:p~~t~:n~~ ~ . : ~ ~ Z C ~ ~~~::;~y~ ~~:!Yai"I~:O Ew~OO:~k~\~~o",w, +o-~-. E W.a} Ni."" w J =(:J;,,~,), iii, = ( % > . : / : E Wora" ni.c) , '''I,''' E R. W o . . ~u"

0-, W , +o- 'w, = (O,,,, +0"2%., ... , . 1 1 , +n,y,) = (Z,II).M ..m)2" = 2(n,,,, + It'~I) = 0,21:, + "'.2~2 = n,Jy, + 0~3h = 3 (O-lll' +02Y,) = 3,1,~~I~;a;~:~: ' y : : +~ ~ ~ O ; t : ; z : :: ~ ~ ::d:r:~:~:ni~ linjow~prustrzeni V

w-, {(:r;,-~,L}'" E R),~~~~;):~O~~"-,,,>:,), ' 1 > , = (>:,,-~,,>:,), gdz'e %1,2"lE R "ra. [liech "",a> E n.

In.. po..I . . " lr,-%,:r;) dla ~ = " , % , - r : r , , , , , . ""0;


5/71

Ron ..i~.ani"Sko'q"lnmy " lego, '"'' ,,,bin, W < .. v jesL rodp",~BLr.cn'4 p,tegtr,eni iiniow~j V ,,'cedIi L)llw "",ed)" g u y dl . . dnwol ,,}'ch ""dolo, ,;w m " Wl E W oru dl" dowo!ncJ I,,:.by 0 E Rw~kto'1' L) 'W, i w , + w J ""-iei'!. do 1,biom IV DI" p""\"eoi li,,,owej 1 1 . ' inlcrpreLuw:tn.j(I) punk! A ~ 0 ~d:!je 0 oznac,. po!ilei I lI ie 00. 1", .) , do . bi a,u W. a wi~c tbinr W jesl pr".l~ I z. w~gl~duno. dowolnoiC wyborn punkin A rt]o'''lnY nwierd.,c, se woz)'Slkie prost .c " rze; :hod~~ceprzez po,%, n,~, +D,yo,OIZ, +a,l>}E W1

(",L, + n ,",) -(a IY ' +(OI,1h) = 0, (", - y,)+ "~ (E ' - y,1 == 0lnaczej mnin .. by!a napisat, ie W, = H%,:t',-2:t); L E R) ; ~ (ej postaci ZbLOIU uu-u.dnit I'o.. y:iuewarunli. Jl~ ...., => : " L l _ Yl,."y,). ib, = ( %, ,:


6/71

,1M, =M < 00; m'_m~ i."Ll1 + ",,-q)' (I J =l',p '(l)+",q'(I) = D , proy czym o,p+ ""'1J".


7/71

b] V=R', U={(Z,y, . .,I) :l lx l= 21 . .1), W=H:l"y,y,;z;,O)::r:,,,ER},x= \(;C,),I,~,!); Xl +.6 = O}, Y= .[(>:,r+ );,->:,-),1): :1:,),1 E RI;

C) Y= /1""', U= {(Xn ) , ~ J i. n; ,1 :r ~ 1= 00 J u b n ~ r ;; ,: I: " = O},W= {(In) is\niejeJla E Ntakie, "er" = = adla k"idegon;;:: r:o},X= {(Zn): ci,}g (z,,) jest zbic~ny lub ~hlyJ,Y= {(:r.,); >:"+2=:r" +x~+Jdla kaidc~o1i EN};

d} Y:= R[: r] , Ue=; jp: stopieu wielomianu pjesl rcwny c },W== { p 2p(:r:) = p ( 2 . 0 : ) dl~ keadegc :t E RI,X= {p: plO ) = [I lub p '(O) = D ),Y = {p : wielomian p jest funkcj", par~)"st'}J ;

e) l'= C(R), U = it: funkcja f jest lIiemal~j~a) ,We;: Ii: runk~ja I jest r6inic.zkowalna},X={j: fllnkcja fjr ..ststaia na zbiorzcN} ,Y= {J: I(x. + . .) = f(x.)f(y)dla dowolnychx.;l/ E R};

f) V=M ,X2,U=={A .4AT=[~ ~]}lW=={A;detA;;::O},

X= ([: : 1 y={[: : 1o Zadanie ].6

Ktorez podanych zbiorcw sq pcdprzesrraeninmi wskaaanyeh preestraeni Iiniowy~ha) W, = {(.t.,Y)"E R' :r'+ y' =0 lub '" = v},w2= {(r Y)ER:;: x2+ !? =0 i1: =v}, V= R2;

b) WI = {(.t,Y)ER': :l:y=Oix=O},W2={(;C,Y)ER2: ry=Olubx=O), 1'=R;

c) W1={(Z,y,z)ERJ: r+4y=OiJ: l :_z=O},W. = { (o :: ,r ;,2 ) E R J : :c .+4y= Olub 3.t -Z= OJ , 1'= R~:

d) WI = {(x,y,z,!) E R' x= 2ylub r7= 4y2/,W2 = ((x,),I,z,!) E R~; x = 2y i x2 = = 4y~j, Y= R4;e} W, = i(:r~) E R


8/71

Pr;;S5trz;cnic f u i L o w eL)I~DJ"(lnu ! ,, "edsl~"""~nie, I


9/71

0, + ""' = < > , -0< = n, +n, " ', + '" +&,+", =O.Ro:wi~n"le lego u1cla.du rna P05 I~C C > J '" - l> ', '" .::: - < > . , ~d'i" < > , E R. PnYJ"'"i4C"P, r > , ' " I rnoiemy ,,,_p,.~c ie

(i_ z) - (ii- .i) + (ii1-:z) -(-ii-Iii w- i) = 0.

P,~ylttad 2.5NiCL:h V b't'izie pnes,,,,enilt liniowq, .. ii, ii, iii, i ..ktcrarru z tej pnes~mmi.Uus:.dllit,ieJcidi:< I i wektory ii, ii, W, z, 8~ l il li owo n iez .. l e;i ne , t o wek lo ry it, iJ, W lelibj wscad w~kl.or6w ii, U, iD , :IOjcst wektorzerowy, to "'ekt.ory le~\ lintcwc eeleaneR'nwi~za"ieW.lu.o,) ii" ~?, _., ii~E V.~ Im.o ..o nieuleine "ledy, lylko wte


10/71

Z2oJo;;enia wynih.,niet.~leinc;~ w~k\r,;w

[" ,,] [., ] = [ 0 ];, 1', "2 0(0 llKlad Cramer .. , wi~ < l' , " " D= fl, To ow",, -' . .. l il liuwa

Zadaniao Zadanie 2.1

pr .. ed5lawic 1111w~zys tkie rnczhwe ~posoby jako korn-

(0,-5,2),(-I,-2,L).

a Zadani~ 2.2

0)

IV preuserzcni R[: rJ ;w prz,o....


11/71

g,hie a ~ II, ",ek,,,, (0, 1.1) ~I"_j""t Jwmbl"~"h lillie,..,.2,2 Wcklory ., linlOwc a ] ,a le li ft~ ; b ) n ieao1~ :ine ".~lc'IL"; ~2.5 ,,*) wehory.f, li"ioWQ nlctm:.

Trzeci tydzieriI B"Z3 iwymiae pr'tl !Sl rzeni liniowcj (1.4).Przyk+ady

P rzyl dad 1.1Opisae (g.ometrycmie lub slo....n ie ) d,lo,}' l il lAdlaa)!l oo !(1 :1.l),(O.5,2)} c nSi"oJA = {.r,J;'.Z5.",7} C I l;. rl ;,) '~{r:n [ : nr: ~ ] } C M ' "Ro.wi".aniea ) M"m~

!in A . '" Is(! ..l 1)+ 1(0,:;.2): S.I II) = H~,J.+ 51. 8 + 2lJ ' s .' E II}I'omc ... ..iwekt" ,. y (1 . J. I ), (O ,~ . 2 ), '! n ;. , ... p6l 1i ni owe, w i~c ~bi';, lill A jest p!u,c>yzn'l"II' 0 , , , , , , , a l i i , , pH;une',)'c'''),m" =~, ~::o 3~+5!, 2 =.ZI {Iub ~golnfm %_ 2y+S.~ '"0)b) TUI..j

lin A '" {3J:+b:o:'+=!+dr'


12/71

" P!;.zO!Strzenie~e(0 G, 1 ) Hi" d~ $i~ pr~edsl . .wit W p12 '1 -c) , :bior B j "5l1ini( )w~ . . kiny. ho np. (2.2 3) = (1,0, 1)-(1,1,2)_ Nie JesL on ,..i


13/71

2 B Przestrz~niC! lini.q_w~

b) P".str.~li V je" !;~Rero"'ana prze, "'.kt",,), ii, '" (l,t,3),;;, '" (-~,1,4), v J =(-1,-3, ,S 'I W)'",atznik macj~r .y ich wspolfz


14/71

,.,~CostaLn; ~ w~waian,.ch d,;or6w jc.l i"l: ",uhn~ bu'tUwagll. W pr~"'l=ni fl.(zl ukl~d n+! w,clamlan6w uwierajY pOjl!dnym ..,d~m;a.pie s(apnia l; dl~ k = = 0,1.1, .. ,n stilJ!~"i Jej ha.z~ D!a'CIIO '" pr~Jld ..d~le d) ~d n ...umoon.. bylo UUWU]C, ze ... b...,,, braiuJe wielamia,,,,w tilapnia 0,2 - : > . . ,2. ~ .

Zadaniao Zad..nie 3,1Opisai [geometrycsnie lub 610wnie) ZblOfY !inA dlaa) A= {(5,-J,1),(-lO,Z,_8)) C R3;b:, A '" { r . + 3,z(z-+ 3l,.tl(z- +3 ) . x3(::: + :1)} C R[ xJ ;:_! l==1J_I=:_t} ;d) V= {p E Rarz]: p(i) + p(2) = p(3)+ p'(O)}.

o ladanie J.l

a) B= {(2,5),(3,1),(6,-7)J, Rl;b) B= ({2,J,-I),(l,-3,2)), R3;e} B = {(1,-I,4),P,O,I),(2, 1,-2)). n "d) 1 J = {2:r:+ 4,3", - xl, _2>:'-1.4z -4}, Rll4

o ladanie 3.4W~ktar)' ii, ii, iii twOrt'l:bv,\: prze stn cni IiniowoJ V.7,badAc 2definieji cev podanezblory wek tc rtiw le i SOl b azami p rzeslr~en i V; , a) li- 2~+ iii,3it + iii, ii+4ii - >D : b) il,2ii+i,3ii _ ii +4-iD .

o Zadanie 3.5~~~j~~~iC~a~~:~r=:~~~~;uElt. podane 2biory wektcrcw st anowia b~ya) B= {(P-2,-p),(3,2+p)}. R7;b) B= {(I,3,p),(P,0.-p),(1,2,1)}, H~;

c) B = {(I,l,I,I),(1.IJ,2,~), (1.-,,',4,11), (l,pJ,!I,:njf, 11(;d)1J=!(O,I,l, .. ,I),(p 0,1, 1),(p,pO, ,I), (p,P,P. ,0)) R"?

o ladanie 3.6Wsk ".ac I.>".y I okre~1ic w)'miary PlJJau)'ch I'rustr~"ni liniowYGh'a) V= ( ( x+ 11 + l,'" -1/,1: - r,y- z) ; > : ,Y ,: E K);b) V= le o + n+c,3a -6+ 2c 50+3h+ - t e l : a,b,tE HI;~) V= (i>: y,: ,I) E R~ : 2:r-y=z -I '"OJ;d) V = (p E R.,[z] p(2:r) = 4",p'(",) + p(O)) ;e) v= fA "'[a;;IEM3"~: a'i =0 dla i~j};f) Y= hn {l,e",e-'-,shr, ch e}, przy ClymVc C{R)

o ladanie 3.7Znaleic buy pod"nych pnu1-rz=i Iirucwych z"wi~raj4CewskulIIIe~blory wekto-a) {(-i,5,J)), R,3;hI {(l,O,l,-i),(2,3,-1,2) (3.3,2, I)}, R4.c) p",-3 . .t3+4:r-l), R3[::I;d) {.:r'+5,.e:_~1;,,,,4_2:ra}, R.[,,];e-) {l,i+%~,I+"2+:r:~,I+x2+,,i_:r6,. .}. R(z]Odpowiedzi i wskazowki3.1 Il.) prc.5l l" '" St, Y'" _t, z '" ~I, ~d.ie j E fl, b) tp E R.[,,] p(-3) = 0): e) ~bl6tm~cierz! antysymetryc%lIycn stapni~ J; d'") z b i 6 .. .. .. Jstkich ci,g6w .l.4I,.ch OIlpewnega

3.2 1''1~lr~e"ic.~ senero,..ue np. Pf'U wektory Il.) (1,4,0), (0,2,1); b) (2,0,1,0,0),(I,D J, 1,0), (- I.l ,{l , 0, 1), (0, ~l,I, I ,-IJ :


15/71

J2 .. Pt~rz~nieliniow,$(zwarty tydzien

t Wspoi""t;dnl" wcklora w IJl:tzic (1.5).

Przyk+ady.Plzyktad4.1Zna Jei c z def imcj i wsp61n ;~dne podaneg.o wektcre we wsbu: ane j bUll ' odpowiedni ejP11cstlzcnj linioweja.) v= ( 2.5.5) E Rl, 8 = ({1,I,O),(2,I,O),{3,3 1));b) u = = ;1,0,1,0) E R' D "" ((1,2,3,4),(0.1,2,.1),(0,0, ],2),(O,Q,(),Ij),c) P = ~:L~+3", E R~I:c]' [J "" j2+ ",3- r,;r~+4},d ) A = [ ~ ~ ] E M 2 x 7 , 8 = { [ ~ -n,[~- : l , [ - ~ : ] , [ ~ ~ ] } .Ro.wj~13ni"a) Wsp6t ,, ~dne ["~.O: lJ ,,char .. ii zlI."Jd' ;""r ~ wUH"lcu

(-~.5,5J = 0',(1 1,0)+ . = -1, (> = 6. Z..l.cm wsp6hv:dnym.w~ktou US4[o"o"o,j=I-6,-7,6).b) W.p"'!, .. ,~dne 1", ,2., , :< I. . o\".l'mmj~my 'OwnoSt

2:.;' +3% =0-)3" +("" - ..,,):c +20, + JO',T4a.

CZWi lC!y tydzi cn - I ?!zyk tady --"~ r< lw HoS D ... it.lomu,n


16/71

{O' + 0, = 0

t> , + - , = :J

Prl~kt.d 4.3~ ~ : ~ : : : ~ i r _i:~~!~:~~ne wskaaanych wektorow W wybranych blL7. ach pcdauych~j V= {(x+y,3:r+y,z_y); :t,yE: R}, ii=(2,B,4),Il) V= {(J:,y,


17/71

3 .6 ...:.-P.rzesttzeni.wini~'!.~" J ~ :: (3,-5) E Il2, [5.-2J;bj i =(1,0,1 OlE Ri,ll,_2,1,_!j;c) ii={l2.3,-6}E V, v= {(z,Y,Z,()E R4 J:+y+1, A = 3 a ,B - 00' 0 a ' I -I 2 IR OZ W; '1 n 1 ..Wyk"uyatUllY fakt rn';wi\Cl,.t w.pol!"l~dnt [a" ... ,crf] wckto,a ii w buie B OtlU"5pol~~dnc [a;, .. "~llego .. ...klan ....buie B' Iwi'4-ta.n~ 5~nleinoSci~

-_-_-_----_-_-_--


18/71

"I!da,~ P 1""\_m;u: j~ . .. ~ p!1l:"Jic ia ~ buy B do b.. ..y fJ' Wr~"ac,..."ie w:;pOlr~~d ..ycb spr-wadu s,:+3,2" ,1 _:r: - 2}:d) A = [: ; J EM"" B ~ ([ : :], [ : : 1 [ : i l ,[-:mo Zada"i.!4.2WYlnaCEYf. wspdl reedne wektora i w podanej bazie B' p~,, n ej prze slr teni li niowe jrnajllc dane jego wsp6tnne '" bane Ha) [4,-3], B = { h I , b1}, 8' = {261 -6 z , b1 +26!};b) p, 1,-2]' 8 = {l :,z+ I,:r .~+ t}. H' = {I, 1 + "2,,, + r2J :,,) 1',' . ,"I, B = { b" b " . .. ,q, E' = {b , - b"b ,-b " .. ,b ._ ,- b.. q.

o Zadanie 4.]Obliuyc wSjJolrtlldne wsituanym wektorow w wybranym baza.ch pcdanyeh prre-stnenilinio .. ych:a) V={(:z:-5~,,,+y,~t+y,J:+Y):Z,YER}, ii=(-2,4,7,4):b) V={(l:,~,z,I)R4:l:-2!1=~'_2z=O}, i.i=(B,4,2,9):c) V={pEU~[%I' p(l) = p (O J} , q =2 :z :j_z1_z+5;d) V: {A =lafi)E M 1> < 2,an+ al:l=O ) , D = [_ ~ _ ~] .

o Zadani~ 4.4Zbadae obliczajllt cdpowiedrue wl'''''aczniki, uy pcdane zbiory wektorow 511 ba-aamipodanych praestreeni liniowych:


19/71

a) ;;=(2,4,5), ii=(I.-I,I).w=(-i,7.2), V=R~;b l p=J:l-f"~+"'-l, q=x3+:c'_:r_l, r=x3_z2_:J:_l,

$=:c3+:t2+=+1, V=R3[,,):[ I - I ] [ I 0 ] [ I - I ] [ 0 ' ]J A= 0 I ,B= 21 ,C= 13 ,D= 3-2 ,V=~\f2x2o Zad an;" 4.5

Znald:i takte bny odpowiednich przestrseui liniowych, w kt6rych .. sruane wek-tory IfIi'HPodane wsp6Ir~~dncal ii={2,_U)ER.3, ;1,0,1]b)ii==(J 1.1. llEY, V={(:z:,y,z, t)ER~ ::=I,x-3y+2z=O},(2,2];e-j s e u.o. ,O)ER~, [1,1,.. ,I).

o Zadanie 4.1'1Napill...: U]a~lerzepnej:kill 1. buy B do baiy 1 J ' "dpowiedniej preestezeni linio....~ja) V= R'3, 8 = -1(1.1, 1).(1, 1,O),(I,O,O)}, 8' = = {(I,O,l),(O,I, I),{O,Q, Ill:b) V=R1Ix], B={:r2,:r,J}. 8'={3x~-:r: 2z2_z_1,x2+5x_6}.

o Zad a n;., 4_7Wykorzystuj maCle,ze p,"~jscia l baa slandardowych cdpowiednich pnet;tr' lemiinlo ....ycil do b,u danydl ~naleit w$p6lrz~dne podanyth wd.torow w lych bazach,a) V= H2, V= (1,L) B' = H o i , 1),(-2,3))b] V= R", ij=(2,-~,7). B'= ((L,-2,3),(2,},4) (-3,1,-6)),c) V=Ra!z~ p=2zJ_%2+1,

B' = { 2 : r l+3z1 +2z + 1.~,I;3+%+ 1,,1;2+2%+ 1,2:1:2+% -I}.

o Zadanie4.8\'w'eklm Ii rna w baaie {b l 6 2, 6 3} w5pOln~dnf [0,1,-21. Stosujac maciera ptzej-8tHl. z bazy do b"l'Y oblic~yc: "'sp6Ir~~dne tegc wektora w bailIea) {b l + b1, 61+ bJ, " 61+ ;;3};b){~j;1+b2-3~3. 35 ,+261-563, bl-6dbJ}Odpawiedzi iwskazowki1.l a) 12,-1); 0) [


20/71

Uktady rownari liniowychPiaty tydziei

I fu~d rnaeicray (2.1).Przyk+ady

Przyktad 5.17,nald" t dr-linicJ' r,,~d~' pcdanych macier zy \\,~~",,"j'lc niIIl..allool p ..nwJkon ..nie 0l"',,,q; k,-3J:1_b) WykOUYSl ;un:o pr . .widlOW5 t .. .. I cz e, uu cl~m""16 . . mKlcrzy t.._I"'O uuwaiy


21/71

44, __ .. . ~

fa , 2 -, ']a 1 0 21a) 3 2 :I 111 ,o 1 1 51-3 -1 -1 4 2 [

, a ' 14 5-1 2-2b) 2 2 7 .o a ,-1 -4 4

Rozwi~zan;eMa.ci~n Dil1y . ... my .chodkow~, gdy PJtrw .. ~ n;"zelO.." demeoty (b .... schodlci) .. k...~Jnych nlc,uowych .. ; trn~h :lujduit ~ H : w kolumnacl, " rusntLJ'r.h llumcJach_ R.~dmac,~ ...y sr;hodl 1 7 .. ,_, .. , n 0 _~ -1 "._.., rz 0 \Io t: 4 "'1+", 024 ... f ... (I 3-I -4 4 (I -2 S (I 9[' 7 ' j- ' " : 1 [ ' : :t, 000 =3, nrao '0

Przyktad 5.4St03ui a1gorytm Clae cbhceye r:il~y podanych maciersy:[ ' , ' ]a sa) .s 410 ;4 5 BI-I 2 [' , 3< 4 ]bJ 2 I -I 3 71 -I 1 0 2:5 I 3713

Ro.wi,!nnieN,c~h A = [~"J b~dzi e m&cie .. . , .. ym .. . r .. In X n, gd~;" m,n ~ 20 .... ";",,It ~11 F - 0,I'OII~PUJ~ .godn;" ~ ~OI.Ytlll


22/71

"[' a '] ~~~ [~ ,]"f< ~:::: = : = n~ _I =2

h) 1.~~w(Jsp,a",d."", ." wYln~""nik dall.j ma.cicuy jest rowny 0 Jl" k..ide~o p '1 '" a.n .._nil, i:c ,,~d teJ ,,,~ci""'l' n ie jt 'S , n ;l Id )' " loony 3 . Zbo. da jr ny , era . jede" "min .6w s topn iiL2.np 'nmo . I ~ ~ I =2(p- I)Z po$t ..ci I"- r;n wyzn"C'J: ,"ka. wynik>. . ie db. p j:. 1 It ~d daB"j m il .c ie r: y JUi rOwny 2. DbjJ = I tlajdujemy ,., ma.ci~rzy inny nielern ...y minor 5t.ndordg'""i pnestnai R' 'Damy

[" " ] [ " -, s" I 4 -j 2 "" _' ' ' ' > rz 1 ~-I3 J 1 1 "'-."'2 0 -9 4 :] ~',-swi~G r".wo.:iane "'ch~.y.~ 110;0."'0 ni"... le:ine

h) W I...ti~.l"JIdud""'ej P,kSl'Z":t, It' m~my

co. u


23/71

"a) Mn,y [ ' " - ' ] [ f " l ' - ' j" 2-J I J w'-'~l "'. ~ -3 .; =;2-1 IS I W"_ ' w , O-J -J S 'W,~C ",chory s~ lin;""".:>uleineb) Dla d rut ."_l lo u J.hulu wekL,) r';w m~'ny[ " , ' j [ ' , 0 ' j [ " 0 O J~ (I J -3 0 w , - . . , rz 0 I -} 0 .., -'''' 0 I -3 000 1 5 00 I 6 __ n; 00 t G "'~1 0 0 -4 0 -Z (I -~ 0 (I -6 _~I{o"wo. i:anr wehc>ry.~ wi~c l in iow. , n.i~a1cille

Pi ,! !Y tydz ief i - pr l.yk tady es

[' ,_, 0 ' j . " ~ [ '4 J (I U ''l I U2 ~=f. 3 J -J I U c', _2. . . , . r1 j

J I 200 -1" 0 ' 1J 0 D = t70 I (I

_7 \1 (I 0R~.w, .zar .~ pl'? , . . I em w)-mia r 4. Nie: c/ (,w) ' n l; JlOl SLapni a 1 w.k . . "uj~il~Lni~ ...,\;to,y kolnmaow"S4 hmo ...., n.ezoJein'~t b,,~,: hadan~J podp estrlenie) V I DaZle {:r'., tJ prz..,.tr?~:>i R , i : z : 1 m~mJ

" [: ; .: _~) '" _ N , u. [ : .: _,: _; j = ,1-3 -\ -6 ~"-"'I 0 _!> -5 _,

Ilo,wai;a.na. poclpn",,! .. ~nj~~ wymia," 3, jej bu~ ''''orz\ np. 'ny ,".fWS~ wehofY.d) W b4z1~ {[ ~ ~], [~ ~], (~ ~ 1 ' [ ~ ~ ] } pr~~rzeru M'K1 "U"Y

[ " s ' j ~ . " [ " ; ' j [ ' " ' j! 1 -1 J "1-2~, 0 4 4 3


24/71

se

['" 'l [ i ' i l ' 1lp p 1 ='1 ~ 1 =251 ' 1+" l+p .5 2 2SL;j.d wnios~k. it: pud . ., ,\ : " ,, ,k lo .! genetuj~ poopnestuen wymiaru 2 clio. h.Zd. j . . -u toScipatam ..uu p.b) T)tn .. .um pl:l'unaJ;~ujc:ny mac;"" "~pO!....~dhJ'ch danych wekllllUw .. ba.zi~ ;0, 1'.u ., ' " P""p,~s\run; jill I,ii, w . : t Ic V lu macieu

[ " ' 1p I t3, ,-p J I'~BI:t (>blico~r\ tal"" uuwe.i)', . . , . . . . t,,~,; t a m . . wymi~, 2

Zadaniao Zadan;" 5.]

Znalcic ~ dcfimcjl tscdy poda.ny


25/71

52

C o lild"n;" 5.7

, , ) iD - x+ z, 1 . 1 + 2 : ; ; : + jj+ 3z,4i+Jy+z;b) 7iii+3'i., 12ii+ 8;, atra. . 9iO+24y+21i, -7;;; +'27i - as

o Zada";" 5.8

[

,-, '-1, , 0b) wektory "'!ersww(: rn acterz y -2 5-~

4 -I :ic)x~+2z~+"', z~-;(+I, z'~+"', "'~-x,d l [ : : ] [ : : ] , [ : ; ] [ : : ] ' M ' " ,3 0 .1 a 0 ~ 3 :\

o Zad a n;" 5.9

parametrua) 2pic - 2i" + . v i i +3i",1il'- pz +2:;1 + (p+ l ):


26/71

54 Uk t .l Jb '_ f own a. i l in i owyc hZ O\.ZJ1!3DCj po~lo.ci ""!'\lh, _e .. A '" 2 =r~ (;11111= r < n =~ Olll~"" LD. c uk!...dn", nicsIcOlicu"i~ wiele TO?w~ ... l ,aJ~)'~h 0.1 n _, = 2 pUiLm~Lr6,..IJl Z:lll1icn,amydlaw,vgod) imlejt1""-,';"na." ukl ..


27/71

Uk tady fownar i l in iowych

[ -, '-,] -, r- ["I * ]AIBI= -2 2 1 - ~ ~ c ! ) I_ ~ .SIl w)nik i~ uklad jeH sprl.O\CIny, &clp '~A= J < 2 =,. rAin]. Db. p = munr

. [, - 'I'] ~ -" [, - 'I']AI8J= 3 -2 2 ~ (I 00 .wi~~ nA = = I = c> : 8. Uklad .6wna,\ m~ nlem ni""i:.;,,\u~ni~ "';ele ro~wU:,a,; uJ ::inyclJQd Jedn.,~o parll-mp!;uil) Di& ukJ>.d~ ,,,,,"ahlles"'" 1ym payk"l.SZenen .. ukb.du rna p~M""

[AIBI= [~ ~ -~ ~I:]2221'2


28/71

[ ' -, ' ] [ ' ] [ ' - " ]I 0 '" 3 - eZ Z P t 2 _ 2~moi!la,


29/71

6 Db) Czy po zapla.c"-(\IU ta u.kuptone produh~ poznamy H:h eeny jednostkowe ?c) J".k,ego zakupu powinnimy d()konac, "by u:y.kac. ka.idy t tych p.oduh6w ,

Jednoc~esni~ powacJ"gn c"-n,'"n"~~y,; ceny jednostl.yc ""UIOSC C Laq,:ie


30/71

62o Z..danic 6.2

Wska2a': w5~y5lkic moil,,,",, lbu"lfY ni~wiadomyth, ktofe mog", h)c pMametramiokt ei ll lHryml fO>.Wl" ,"l ln lll p -odanych uktadow ro" ,\ ",; II ' li ni owyc :h

{.t- y+ :=-J { 1:+2y+ 3z+ 41:=-1

11 ) 2.t _ 21/ - 2z:= 3; b) -:/: + By + liz + 12(:= 5;:il: _ Y - z = 2 21: - 11 - z = -4

{1:-3y+ J-2.>+I=-~

~J 21: - 6" - 4.> + I = -102. + J = 0a Zadan;" 6.3

Okies]i, liczb y rozI'lil;:an podanych ukladow r owna f i lmiowych w taleill05d odparamen-u raecsywisregc p

{CP+I):r- l/+pz= 1f (p...I):r:+ (2-p)y = p

a)l(I-3p):t+(P-l)y=-6' h) ( 3 - P ~ : : ~ : - P ' : = : ;{PX+ y+ 2~:=1

c) :t -t py + 2.r =! ;:r + y + 2pz = 1 {

2 ' 1 ' + P 1I + Pl . , . . pi = Id 2x+2y+p~..,..pt=2) 2 ; 1 ; + 2y + 2l + pi = 3

2:t + 2y + 2. + 21 =1{

:r:+(p-2)y- 2pz=4e) px + {J - p)y + 4.1 = 1 .

(l+p)I+ y+2(2-p)z=7a Z"danie'" 0.4

Rn"wi;pa': podanc lIklady ,,5""na" l in iowycl l w zale ino. sc i cd War t . o5c l r~ec~}'wi-stego parAmeorup

{ P X ' f 3 y + z + t = 1 { P ~ ! ~!: : :a) ~x - ~. + t = -2; b) (2 _ p):r: + (2 _ ply + 1 = 1,:r+py-~.+pI.=-p pz+ y+Pl=plo Z"d"nie"' 6.5

Rnzwi

+ pl:n = 1+ P J : " = 1 \p ~ :!::~-!;:~

b) ,J:l + ; 1 ; , + .. + prfl = P.. In = 1

a Zadan;t 6.6W w)'tworni mon~ujes i" wymhy A,B.C D, E z cetereeh typOw detali a,b,c,d.

LIC:by dNal; wchoJz~c) 'c ll w $klatl pcsaczegdlnych wyrobuw podane "'l W ~,,"beliA lJ C D E

~ 1 2 0 4 I~ 2 I 4 5 I.

i l J Czy mozua cblicayc, ile wai" wyrcby D i F . : , jeieh wyroby A, B, G wa:i'l, cdpo-wiednic 12, 20 i19 dag. Podac enalezaone wagi.b) Ue II~ dcrale n,b ,c.,Je:idi d ecal Ii wair 1 dat;?

Odpcwiedzi i wskaz6wki6.1 a), d) nieskooi(1.~l )i~ wide rQ2.. ..~;1r i, !piU"",,, r n~ n ,c skodcze~ ic wi el e;


31/71

64 Uktady~n' ''" liniowt~~Si6dmy tydzieriI Uklm.ly jcdnorodnc iniejcdnorodnc (2.3).Przyk+ady

P,zyktad 7.1%"alez.: w."",iar~ I w}znacl)'c buy rtl.CSln~ni ro~wi;p:"n podanych uktadow ,0""lH;!.n liniowyd.

\z+ 2v+ ,- & + 61=0b) 3r + 8~ + 5~ + 3..rlu. BilZ~pnesl.r.eniW. wyznilaam)' ~O 'O~wH.l ...n'" "kh_dua) Z""\~.,,jemy kilk.. pnekutalceo m~c,er.y 'OZ8.~":~JI~j ukla.du rown"-,, prowaU'\LJchclg okr ru ikni a Jcj " ,~du o ra" ro.wizwi""an da.nyc" ukledcw rown .. n li-n l0wy"h, odpowini ,o."~;p:'_'; odpo ....edniego IIkladu, Ion. r '" ,,- nil Ii~;owo nieu.ldinychwekloroJw, gd' ,ie n jest linblf niewi;u iomyci t, . . A m'_cler~t, uklulu r"wniUIa) W pie .wa-.ym ukla


32/71

R OLw ;" n~N",c)' AY =H b~d .ic n je jf fi .nDlodnym ukl~d"m ,-wia.d..j",,,, c l " " , , " ,U uklado ,. ., m . . post":

(~+Y+Z-21=O2r + y -. + ,= 0

Ro.wi'l,tuj.c lell ukla.d olnymamy, lie ~=2, -31" = -3.+;;1, gdzie " r E R. DO"'oInero~wi ..nie X ukl.du jedno[Odnego "HI. wi~ po.td

X=: (2. -jl,-h+SI,.,I),Id.i~ E,tE R. Zauwumy leru, ielicsby z=I,Y= 1, z =1, 10; 1.pdnia14 ukla.d!lie-jednarodny, ~Uem jednym z raz .. '''' .... t~ga u .l a.du je st we l: to r Y" = (1, 1.1, I). Dowalner".wiVan,. nkh.du niejednorcdnqo "'ru,i ... . " ""t" ..rorem

Y = X + Y o = (h -3t+ 1,-3. +5!+ I,z + I,!+ 1),,d'l~ " I E R, Zhi6. IO~W 't".ui. ukh.du ~iejed n~r~dnego m. u.tem pou..c

W"" {(2.-JI+I,-3z+51 +t,.+ 1,1+ I); z,1 E R},Zauwoimy j....cze, i.ra1wipll};!c nkhd nlejednOlodny bezpo elejQOP,""c%Xl, X" X~, Ponadlo, l>o.6wnuj4C P'.'_ Z4 ko.Iumn~ milCle,""y ukladu n iejcdnOlodn~&o zkoIurnnt" 'yra .z6 . . . ..o1nydi ta l . ..oU-u . . uyl,z.,jestonspetnionyprcetl;uby:r=I,,=0, = 0, s=, t '" o. 1'1,11 ut~Jn weklor Y. =1,0, 0,0,0) b~rie wybrnym ro ..;...,uiemukl~du ~ ;" jednorodne&o , Dowolne r o~w l4~l. lIi e t .e co uktwu k..sll:.orubiaacj, liu;o""'l buyX, X~. x. 1'"", ,1 11; w. oru Yo, tza.

y = 1,X,+I,X.+I,X"Y.= 1,(-l,5, 7,0,0) + 1,(1,-.,0, 7,0) + i.(-4. 9.0,0, 7) + (l,O,O,O,Oj,

&d.i~ I" h, f, E R. Z..temW= ((-31, + I~ - 41. T 1,51, -4t. + 91., 71" 71., 71.)' I I, I,,!, E R}.

'P,zyK ...d1.4POdOl': mf.


33/71

"Plost~ (;nc~ ",,~n..c rowu",e t~J pro;;teJ. nale;y ,,,,... it uklad d" koJIc.. It" d"hlnc".."t~l'uJych pr2~k.u.alceli

z.; [~~ ~ ~ l i J~ [ : ~ - l l - j ]Z~lem"=-i-i' ' J = J ~ ~"ild'''''ER.b) N.. m;u;ierty ::;::"~~:nP:'~4C;~:: ; : _ = z 2 . : : w l . .~ : n d : ; c ~ :n i :~~:~~~~,'::t~u~~:d;.6"'0,\0\ t.WD,"~ pnnh, ptOlL4 luI" p!as' l:2-y~J\~ odpowiednio , gUy l a l " I b , l a l= I h l 0rub U =0=0_0) J,;c.b .. ,: - vl - 2(~ - J - 2y ) = 3 - ,.


34/71

$I'ld ~ + JI +. = S. S.uk~J ukl"d n' .. n",i moi:na .. \~ upi""", Lyn\ J~d~yR\ ,wo,,_,,,,;Ill .Ie,! L~C ') 'IY)kle " \wna ,, ," o~d ln~ J~n~j p l" ". r. zy .n )' . Mo." . . j. b~l a OL rz l'ma t 1"11R\PtO~4 "e


35/71

{ {ctb)xt-(c+b+l)Y= 2,,+1bJ (u _ b + \)2: + (a _ b ) 1 / = 1o~ _ 1 Ipunh, prosta, p IM~czyzn";c] {: = : ~ ~ : ~ : 2 : : ,punltt pros,,,, pl""zt~y:niL, p r~estrzen;

% - "1 1 + b: = Ja b

{

I1X + by _ .. cz = (1 6d) -az + by + ~ = (lb , punkt, PIOI5ii\, plaszcz)'zna, przestn;eri 1

-'12: + h 1 J - cz = 6 , , -o Zadanie 7.6

uto;;yc uktady rov.'nan liniowycl\ 0 podanych zb:orach roewiaaari:a) pecsve w ao () rO .. 'naniu paremetcycenyrn z = 4 + t, Y = J - 21, Z = 5.gdziclt:=R.

{",=-II+I+U

b) plas::zczyana .. R3 0 rcwnaniu y = 2-:+21 +3u, gd~ie l I, t,ue H;~ = 3+$+31+1uc) HI +2t,3-4t,5+61, t -8t): t E R};d) HI + 8-1,2+ $+1,3 - 5+ 2t,st '.It,2s- t): 8,1 E R}ie) {(4+2s-I.~ + 31,2+s- ..,4- .TZU): s,t,uE R};f) its + 21 - II + u,! + s+ u- J~); $,t,lI, tI E R}.Odpowiedzi i wskaz6wki7.1 a) w)'min J, bua {(I,2,O,Oj,(O,5, 1,0).(0, 3,0, I)}; b) ...ym;u 1,ban ((O,D,I,-I)};c) wymiar 2, bua. ({l,O,l,Oj, (0, 1, 0, Ill; d) wymiat I, ban {(I, -i,I,-I, I)J; e) wy_miar 0; f) wymia.r 2 , ha= {(-2, 1,0, 1),(-1,0, I,J)}.1.2 ...), c) nic; b) h.k .1.3 a) {(m+ l,~ ..+ 1,5.. + I)' a E R}; b) H-~a +3~,S3 - 9~+ 1,2m,2~)' .,6 E R\;c) 1(a +b+5~+ l,-h- 2~-fi(+ l,a +l.~+ l,c+ 1)' m,II,CE RI;d) {(


36/71

Przeksztafcenia liniowe6smy tydzieriI Podstaw()"WE! nkr ..elcnia (3.1). J 'ldro iobrllz prsekset a l cenia liniowcgo I(3.2).

Przyktady Pn:yktad 8.1

Ilaasedrndliuiowosf podil-nych prseksatatcen przesueeni 11IIiowych'a) L: R'~R3, L(.t:,y)=(:t+2y,r-y,z);h) L R_2_Rl, [.jes~symetri~wtgl~derno~\Oy;c) L R~_lt~, I. jest rzutem prostokatnyrn nil. p!a.'laczyzn" :1:0.;d) L : R jx ]_ RIL], (Lp)(:r) := cp'(:r)+ p(l) dla p E R[.z :]ora>; r E Hiel L C([O,li)-C([O,I]), (Lf)(:r)='1.f(i ) dlafEC([(I,I])orazxE[O,I].Rozwi.unie~iech U, Vh~d4 nec.}'wig~)'mi p ,"e.(rxen i~i liniowymi. Zgdnie I deJjn;cj~, prze~fZl.l-c"ni~ I, V_ V_iLZ, + ", . ..",y, + O'.v:.)'" (-",:I:I -Ct,:I:"o'!y,-a.y?)="I (-:t.ken,e L Jest .akm i""owec) W Lym p.. ykt . .d~le L(",~ ) = (x,o.~) /ii""h '" = (:"'.~"~,,. ii, = (%?,~.z,) E/t'oratnieo.-b ",.o,E R. WI~dyL(o, ", + e" v . . . ) = 1.(01:1:, of Ct,x"CtIJl' + H~."L~' + ", )

= (I~' _ 1',,:;;,.0.1') + ."Q) = '" (rJ'O,~,) + 0, (:1:,.0,2,)= ..,L(iid+"2L(ii,).

TaJcic to pr."hztakeni~ J,,"Liini"w=.d) Pn~k .. 'AlceD" L jest linio .. e, bo",enl db. "" )1, E R[:::] i


37/71

ROlo'"i~la,,;"_~ I " , , ~ ~ VVI>~~~l~:~::~~':%'~rt;~~~:~~:;;i KI~~i:W:I~i~,:~~~::' : : , ~ : ~ : k a m k ~ m ~Ij L(ii:, + ill =L(iid+L(1i.,) rlla ii" ii, E U;~) I,(ail = aL(:ii) db. ii :E l io r . .. 0 E JL

~E;~~~~~:~:i:;~~j~!:~7U~yUCn~~::~~,;,7i~~~~:~e:~'n;:'~~::~:l;;e:~:e:{~~a} Pr2~Jrnijrny ii, =",l = -L_ W6.. cus

L(i, + il) = 1.(0) = 0 'f. /,(ii,) ,...L(ii,) '" *1 c il. . ~ # 0P,ut..tuccnit L Illojes~ linie";~b) ""ech ,,=(I,I,O)or&2 0=2. Wted~

r,[~ii) =1.(2,2,0) =(~ 2,0) t- 2!,(iiJ = 2{1, 1,0) = (U,O),wi~ pr.eh~L -:e - 2, a w(;ktor Pj = ,I;: - 5 na wektcr ~l = 2.:' + ;t:. Znalezeobra~ wektora p = e + 7 w \ym pr~"kStlakellill.

L(p) = L G p , - j p . ) " " ~L(P') - ~L(p,)= ~ (t:r' _% -2) _ ~(2Z' +>::) =_,,7 +6~1_2T_3

, P,zyHad8.5Wy];nacl',Yc jadra iobra.zy podeuych pneksz!&l ce ll l in iowych po, lugu j' lc ~i" lehI.~!erp,dacj"_ geometry",n,! POrO''''U3G uzy !ikane od po...-ie dti 1 wynikami o blicrenalgebraicmych:a) L nl _ R~, L je sl r eu te rn p r( !S IQ k4 Ln )" 1lI na as 0",b) L Rl ~ Il2, LJeit obro!em wok61 pOUl1\KU uktadu 0 k~t ~;c) L : R3 _ RJ /, jest symel.ri~ wzglQdem OS) Oy; .d) L : .R,l ------> Rl, 1 .. je sl r zu te rn flt'JsLok'l:lnym nil. pl3S,cty"n~ L , G . .Rozwi~u,,;"a) Na ph.SllCfyin;" R', P'"! nutowaniu prosloq,tnym M. o~ 0", w."ystkio,; pu.nkJ)' osiOy " ' " l a j ~ p r z e l t 5 . t .a l c o ~ e w punkt ( O , 0 ) I l y l k o o n e , " , t e r n Ker L = 080". J c d n o c z e ! n i ew'z~. 'kie pU!lJ :ty l l O l i 0" o ;c ,mi en ia jl pc! c; "'n i" -, o ,, ,omi, ,,, \ ob, aJY p"" ,oot . . tycn t n . .j du j45~Jakie H '~os, Ouactt Le,:le Im' '" 1lS0::. Licz\C lonn.oJnie. mamJ

J.(~,~) = (~.O),l{~rL = ((:r,~) i': e. \:


38/71

Ke[ L -'" {(:e,'l) E R': ( ~ : r z ' l , " ' ; / ) 0= (O,O)} =0O={(l :.~)ER' S-~"" l:+y;OJ: ((D.O).

{("-O " + , ) . } . { ( ' ' ) ( - ' 1 ' J ) ,",/.= v1.'Ji ,L,~ER=bn 7 2 'J 2 '7 'J _ 'J 2 . . R,c) Sym~\,i~ "oiQwa w p,"e~trzeni R' p.. . k~"t ...k.. pUe>lt .. eri n.. cal~ pr'''''\[l,~ri, 00 o.n~-q.._ ic !mL = R', Pnnkt (O,a.o) jest obn.::em jedynie ...me,o 3icbie, ,;dyi ""'~)'$tllaicen polell" n.. op;"ie pne.t .. eni liniow)'ch da.n ych pru. g~ne .. ,tory.Podobru"jen w naszycb pnyldad&eh.a) "'amyKefL = {(r,y) E Ii', 2:r- y= 3y-h =o} = {[t,2t): rE R) '" lin ((1,2,

1m L = 2. - ~,JlI - St): ':,yE RJ '" lin H2.-E),(-1,3)) = lin ((-1,3)),

I, ,, donn le , obu .2 \c JI ." p", ,,h>ld:= -1. _ I, f=-z +31, gd.ie .,1 E R D'U

K~, j, = i(-~-I, _z + 31,.,1)' z, I E R) = lin H-~,-1,1 0),{-i,3,O, IllSt'!,d dim (Ker L) =Z, ~ ~nAI~ljone. gCfier,,~oTY jtd,. S\ ld j.g~ but Nal.OmU..sl

1mL = Ii~ {(I. -2,1),{a, I, _1),(2, -3, l).(I,-S,4)l

[1 c , ' ] " [ f ' O l ' 1 1 " , - ~im{lmL)=rt -2 1-3 -5 :_ ..~' t ~ 1 -3 =~.I -1 1 4 Q -1 -1 3

----------------


39/71

B OI1" ,,~ ob . .. ~u s ta. nOWl, 01. . . h ", ,,1 "" nl e .. l .i ne gcnCtatolY ob, . .. ." . ~p. wek lo ry (!, -~, I)(0, 1 - I) . ObI>.? p, .eknldccni~ j. m .. s ...oj~ inlcrpretao.i


40/71

Przeks;zt~Ql!!linio~

c Zad"n' e 8.2U~;u;adnli, *e pod"nc pt"llek~?Lalr.r.nia prscstrzem liniowych nie 5'1 linlcwea){. Rft, f.(:r)=(r+I)(:r-t);b)L Rl~Rl, l.(r,y)==(:Jr+2y-l,2x-3Y)jC ) L R~ - R~ L j es t s ymeL ri 'l w~g ll ,8.: + y+z);c) L Hl[l"J- R?[~l, (Lp ) ( r) = = (%1+:r) p(2)- '- (3~1_ z) p(I).

o Zadanie 8.7Podac "ymiar.l' jader icbreaow nastc;puHcych praeksavalcen liniowy~h:a)!. R~ _ R3, L (:I :,y, r,t) == (z+y+z-t,2:r;+y-z+i,y-'-3.:_31j;b) [, RS_Ul, L(r,y,z,$,t)=(:r+y+z,y+z+$,:+!+t);o)}. n4_R1,L(z, 1', z, t) ==(I: - 2y+3r-4t, 3:r+5z+2t, x+y+z+31, 51: -y+9:+t)

o ~~::sn,i~:!~! pnykl~,jy przckS"ltalccn liniowych maj,!:cy,h podane j",dr" iobra~y:alL. R:'_n.l,KerL=={{x,!J,J]).~,!JER},lmL={(%,y) :t+~==D};b) L lll_, R~, Kerf. == {(I:,Jp) :r+y+.==O). lm L == {( . t .y): Z+3. IF=O}:r) L n3_ R', KeJ L == lin ({l, 1,2),(I,-I,O)}, IfilL=: ((x,y): 2% = 3y);o i) L H~-. lI,.', Kcr l, == 1m L == l(x,y,z,l) E R~: 21:-> = 311-1 = O}"-1 r. R~I=I-R.2lz], Kerl.= lin {l-z}, ImL= lin{t+r,l+zl}.

o Zadanie " 8.9"jern X, Y ~Ul p r::iestrz~n lami limcwymi. U~llSadnie, ie dla dowQlnych I 'r ,dpr~~tr~~lli U, Y OUpowle


41/71

waZ1l.nyc!: I'[le.'(nenl lilliowych~_)L Rl_R, L(r,y)= (':+11,3z-6l/,4;r;-v);b) L: n " - R\ l.(':,l/,z,!) = (r - y+ 'h,'I,,- y+3. _ I),oj L nJ - RJ, /. jest teutem prcstokatnym na ptO!iI~ I : Z:=:l1I = 4r;d) L Ralr]- RII:r], ( L p ) ( r ) : = (3 - : t : ) p " ( x )+ 1p ' ( > ; )RcU"'a.ani"Zllodni~ l dciinicj .. ltolumn:r m",,;"r~y,.t~ plleh",a!c~nla l iniowellc [ , U~ V w u,tll_(ooyd ba~,,-~h I'rzc'tr~"nl liu; ; ( r : : \ ) ' ~ Z 3 - : : ( ' 1 ~~2 ! ! : VI=(I,I),;;j =(1,0);c) I .: R1~ft2, Ljes~sYllletri


42/71

[_' 0 -< 1L'" 0 2-2I -1 J

e) Dl.. p""eks'lL~lcelll~ 'OZwaZUlq;O w ~ym przykl..Jzie ",amyL(p,)=3:t'-6(' =3Q, ~q. -6q,,~q, '" ~q, +~'7,-3q~-Jq.,L(p,) =-9(' -3%= g i l ; , ; 'l,-31, ~ '1, = - iq, + iq , - ill, - ill"L(p,) = -31:' - ISo::=_JIl' ~ q, - 15 Il'; q, '" - t I , + T Q, - ~q, - ill,

Moiemy ten" n~pju': macier~ p"eks.~.lcenlL L

Pnykfad9.3Maciert, p rz eks~hJc~niil. liniow~go L ; U___,V mil w baeie {UJ. iil, i L J } prze-st rzeni lmiowej UI w baaie {ii!, Vl} przestneni V pOlitac

[' -2 ']At = 2 4. 5 .Znale ic obr a. :y pcdanych wekt .o row . .. . t ym prrek5ttakeniull)ii=6;;1-U~; h)u=ut+2i.-1ih.Rozwi~unieal Ob .... w.,_ktora I< "yno.c~ymy ~ defillicji pr.u.tdcerul.. L ileg" macieny. Z m3.CIelbYAodaytlljetny,:ie .

Slid w)'nika, i~q..'"6L CU,1_ L{uJ) '" 6{-2t1, + ;,l'll - '" - 5v, '" -13", + 19'0',.

W "as~ym p.. ykla.l.i. [ " 1 [ , - , ' l [ ' 1 [ _ ' 1~: = 2 1!> _ ! = -re '.. Wl~ L(II) = --'til -lD~,

Plzyld;ad Q.4Dl" pcdaeych prlcii ory D"rat L(D) 1 porOwna.c i t . h pola. (obj~t +~'~of = {{:r; ,0, ,,), ,-1. ... ' ... _ 1


43/71

Zb,6, ~!D) J~.t lem kolem o sf.,dku (0,0, ~) j p"ml!"'n;1l & lei\C)JU n& pl.. .. . ""y."ie~C


44/71

[ ' O " j [ _ ' n " j [ _ ' " " j2 I 2 2 -I 2 "" :+2y-'-4z=O;d)l, R~~R:t, Ljestobro""mok~l;r wokcilosiOt;e) I. Rl_Rl[:rJ, (L(,,-,b))(I')=(II+b).r;2_(3u-&)>:+6a

CZadanie9,2ZnalrU z defilllcji rn:a.dcrle podanyclr pnekm:t.alccri liruowych "'e wskuanych ba~hadpo",!edlliehpncst[zenitilliowycha)L Rl_Rl, C(z,!I,z)=(o:-y,y-z,:-:r),

iii = iii = (1,0,0), ii,= a , = (I, 1,0), 173 = US = (1, l,l);b) I. R4_Hl, [,(z,y,r,l) = (r+lI,z+I),e, = (1,0, Q,O), ;; l = (1,2,0,0), uJ = (1,2,3, 0), s, = (1,2,3,4),

ii, = (l.O),ih =(1,2)c l L R4_Rl, L(;J;,!I,~ t) =(.:+2r+i,-2o:+y-3z-5I,o:-y+z+41),

iii = (I,O,Q,O),U! = (1, I 0,0), ih = (1,I,l,O), u~= (1, 1, I, 1)s, = (O,a,l),o~ = (0, 1,1),ii3 = (1,1, I);d) L R_111, Ljesl 17.utemptOlltok,nym na0501:,

UI = (1,2), Ul = (2,:J),ii'j = ( 2, I) , 1 '" 2= P,2);,,) L 113 _ Ie, L jest pro;cks2talceuiem identycanosctcwym,tj. L(r,y .J = (r.y, =), Uj = (0 , I , 1 ),; :; , = {1,O,l),Ul = (I 1,0),

iiI =(1,0,0),V2=(l,l,O),ca=(1,1,1);f) L' Ht[:t:J- Rl[o:j, (Lp)(x) = r.lp'(.r;),

PI =2%+3,7'2 =3.t -4, q, =r1-.t,9, =%+ 1,lh= 1;g~) L: R,,[xi- R , . . - d x 1 , (p)(z) = p'(;J;+ J),Po = q~ = 1, Pk = qk = f t dIll. 1 S; ; Ie S;; Yl - 1, p" = = f , - .

o Zadanie 9.3Marierz prseksstxtcenre hniowegc l. : U _ Y rna VI h""acl! {Ut, U2}, {it, ;;2,OJ] przeSLIZEn; l inicwych U, VpOStllC

-------------~---------------A, = [ - : : ] .1, -4


45/71

Wy?,nar.zyc obraz), podan)ch wehorc,, w tym przcksztakeniu:aJ if = -ZU I + 3"1 ; b ) IE ==6u I _ u ,

o Zad"n;e 9.4OJa podenyeh pr%ek~~takeii linlow_veh przestraeni Rl (R3) naeek icowad zbi or y Dor;J.~ L( D) i porQwnai ich pula (obj~~osci), jc:i,e1i.> : I ) J . R' - R~, L(~,y) '" {-2 .. ,3y), D = = {(z'lI) E n l. 1 . 1+ IY I ~ l};b) L: n'_R' L(:r.y)==(:r+2y,2:: :+ y). D=[-2,ljx!O,t);ell. IlJ_.R , L(:I:,y,lj=(3I,3y,_z),

D={(z,y,:)ERJ: : r2+y2:%;1,~, , ;;~ ~2}o lad a";e 9.5

Itotwi'Fat ponownie Zad"n;e 9.2 ijtosuj tym reeern w~.or na. zmian~ macierzypnekszta/cema. liniowe80 pray zmiame bee wychodaqc ad baz stand;udowych rca-waaau yeh przestrzeni lin;owych .

o Zadan;e 9. 6Napisa" mac;ef"le podll.nych przeksztaiceii liniowyeb L : U _ U .'.. podauychbaaaeh pezestrzeni U WykonY$ta;'. wz6 r DOl "tmian ..:: macierey pruk~!l.uccnia przyam ian i e baay:a) [,(1:,Y)= (:r+3y,y-3o;), U=Rl, u,=(2,l),ii1=(-1,3);b) Llest f"lulem proslokil1nym DOl plaszoyzn~ zOz,

U"'" R3, u , = (\, 1,0j, U2 = = (2,3,2), i l"J = (0,1,3);c) (l.p)(r) = = o;2p(O)+rp'(I). U= R21 " ' j , PI = = ",2+:::_ I,P?:: I, PJ = I-,-I

o ZadaQie 9,7Przeksz ta lc en ie l in iowe L U_ Vma W ba;zie {UI , u~}, I'rzea~neni Iiniowej Uiw baaie {ii" V 2, V 3} praes rra en l l in iowe j V meciers

A 0 [; : 1I -2;'iaplsacmacler;:.4' pr~ks~tatcenia.Lw baza.::h {aiIl + 2U1,-U, + U1} i{iiI _ Va ,3"2, 2"l - ii~} adpow iedn io p rzes te eeni Ui V.

o Z .. danieot 9.8SkonsituQw",; (0 ile to r no iliwe ) ! .aki e b-uy odpowiednich przestrzeni li!liowych, wkt.a,ych podane pnd;SZlakeDJa liniowe majil wskazane ma.cierze:aJ i.R~ - R!, L(:I:,y) = = (%,y), A = = U _ : ] ;b)L R2_R3, L(J:,Y)=(r+y,2z_lI,r_Jy), A= [!~];

o ;:~~":~~6!l'dncgo ~ praeksarelceri linicwych b"dych obrotem w pnestneniK3 0 kilt Cr WOk6~ : : ! t , e Jy = b t, = a, ! E H., a2 + b2 + (2 > O.


46/71

[ ' " ' j [ ' " j) -3 -8 -3 ;c) -3 0 I2 6 3 j -I 09.8* R) X, = (1,0), u, =(0,1), ~,= ( g . ~ ) , ii, '" ( g o - D ; b) e, '" (10), ii.; =[ 0 , 1 ) ~ , = = ( ~ , O . O ) . s,=( 0 . i t l ) : v, = ( O . - i , - I } C ; ) . , =11,0,0). i. '"0,1.0),z :~~~!~~~;I~l;:'O!.. ii, = (-3,2, -I), ii, =1, -1. I); d) jes. Ie>n iemo iliwe, e)9.9~ ttl'"~, < oj =qa>(! -cosa) +cool>j .:+[",(1 -C;OSD)- cs, ]y+(ac(l-co,; .. )+h ..... j_\..6(1 -co.t~OdC~JIUJemJ ..~6.IL, 0 I.j{z;.l',z,t)= (",_y+' - (,:I+y+z+3!,lo;+3r+3z+SI.",-.-y+z+ gtl

r.) M:a.cu,.. p,"cksHalania L. , L, ~L, n ' - R' j es t t6wo.a[' ' _ ' ], ,A.3A.~A,=A, ( . .. .. A,)==(A. 110) A,= 12 H 10 '412 18( I.l 0 L ,o L ,) IJ :,y ,. ) = (4:r+ 2y-'.!.,4:r + Gy +6z, J2r +Hy+ 10.,~",+ 12y+ IS:)

Przykb.d 10.2Niech K, I. b~a, przekszh.lceni~mi plastcayeny, pny caym !: j es~ r zu tem prO$t op -kqruym na prosi't . I : : l:+ ~= 0, a L jest cbrotcrn 0 k~t " 6 ,,ok61punktu (0,0).: -I ap is a. c. mecie rs e VI baz ie s candardowej p rees rra en i R.2 prrek.szt.akena) KleLt; b) KoLoKcl_.

A e [ H ] B e [ 4 - ~ ]l' l.;l-" 2 2 " "2 T

a) M~ieu pruw\a1cenia 1{ 7 C L' jest .6waa


47/71

A B._~.IJ=(A D ) ~ = ( C [ - I + v ' 3 - I - . j 3 ] ) " = . ! . [ 3-~13-3-.fi]4 1-.,/3 1+J3 8 -l-I-\f:l 3+VJ ..PfT.yktadl0.3Sl'o~rOd pOGlulyth pItehzLlI.tcen Ilnio ....y ch wybraC pr~eks~lakell!a odwl&Caln~ iIHI.PU;;U: maCH"I~e pneh~(.alcen odwrolnych do nieh ,,' ball"ch standardowych roz-j:::~Ych prt~lrzEoi l inlowy ; 1 " ( % + 1)- 1'(2:+ 1)dla p E R~[ :z: lRDlwi~u~;ej ~ : m ~ : ~ ~ 2 ~ ~ ~ ; ~ a r t : : ~ ~ ~ E ~ ~ : ' ~ : : I : ~ ~ j i ~ r r ~ ~ : : ~ ! ! ~ t ~ : : ~ ~ ~B) Pneks,talcenie ro~w legopn:ykJadu niej""Lod ....acdnc,@dyi;I ' - , ' I~\A '" 2 0 J =0" -2 5L(J)::I, L(:;)::3~+3, L(l:')=5l:;+6~,

codaje

A = U ~ ! 1 ' detA:< 18 ~ C, A-I = [~ - I - f 100 5

Is:nitJe "i~c pnelooztaicehlt odwmln~ L -I, ktdle mo'a.... pim WCltlnL-I (uJ -,-6r + c) = ~:r'~ h ; G :r+a _ 6+c dla. 4,b,tE R

lubinaClej(1 . - ' p) (.:) = ~p(-,,) + i:rv'(-') - ~p(O) + p(-l) db. p E R,!~l

d)T"I.&J L{l) = -J, L(.:} = -J, L (,.,) ::% -1, L(.)) =1.:' +JI' - I, wi~

A o [- : - : - : - : ]00 I 30002

Przyktad 10.4Praeksz tu le ec ie l in icwc J..macicrl!

v---'I' me w b aaie {ttl, ii,Ir ~e st rz en i i in iowe j V[3 -']A", 2 -2 .

Znalcic

ROz.....~JftnieII) M"cien PHdS21Ucenia L' jest lowna A' Zwod.\ "iwn";cl

A 'O (A 'I 'o [ ' - ' ] 'o [ " - ' ] " ~ [ ' lo r , ] .~ 18 2 ,- 5 211St~d w:Onlu,:i.e L'(ii, +Sii.)=2ii, +26i,.b) l'r,,~k~~ld(enit L jest tx!w, . .


48/71

Przeksarelcenla !,i.niowe

Rozwl'tlanieZ war"nk~ L(1il = .. : wYTlih, " e & ' - ' ki~ru"ku, pay o%yn, weklo')' leit"c n~ osi Or.:1;'" "lcr;~j millnie, d te.os' O~ pncchOc. """y. P",,,b;lla.kcnie m. "a~em clwlt wu\c.');d L R:1~R.3, 1.(>',lJ,z)=(l:-y+2z,3y-.,1z).d)r. R.3__"lt~, L(l:,y,z)=(:r-!,"(:II

~IY$tafcellialini ~


49/71

t ; ~ ; r w : r J F ~ : i I , ~: 7 i : : ~ ~ ~ ~ ~ : ~ ~ : n O ~ m : ' I ~ ; : e ; ~ : : e ~ ~ ~ % : ~ ,~~ch .. ;:n~( A - I > , ) [ : 1 ~ [ - : = i - l ] [ : 1 ~ r : 1

~ . ~ : ~ I ~ ~ n ; ( / e ~ 7 .~ ; ~ u n apost"; :: = z = -~, "';~C ;, '" [ : t , - : : ;, : : ), gd.le :t. #0 00'''''d) TU\aj

(A -1 [ : 1 ~ [ - ; : ~i[ : 1 ~ [ l J~ : 1 ~ i Cl~g)nt,:: = E '" {) ~ ~ R iDIi\Ue.!llle ~., ~~ ...y~n..uymy po 'o~wi'l'1Iliu aU.dow 10" .. . 6IA-l")[; l~[- ' ;--,:] [ ; l~[:] =F"

(A - l ' , ) [ : H ' ; - ~ : ] [ ;H : 1 =,~,'M~",y w ,~ ~ , = (::"z), ~ ,= (2",y), gdzie %.~ E C \ {OJ O,U w,_ , = li~!: {(I,i)}.W,+' = line 1{2i,J)l.c) W Pnykladzie 10.0 d) obliczyliOmJ. i.e " 'P J '" ("2-) (>.1 -2),+2). Dla ..uloici,,'l ...nej)., = 2 wy~"$czy)j-'my t~k;i;~ . l.i 6. wektor6w wla5nl 'ch W. = 1i.1I{(O,I,O)}'III p~tJpadku :oespolonyrn odpo\O',edi Jest identyona ~ ~Jm, 'e ol>~".c.k geneIo'''''nial I. Je i: )' . .ykony"K u'Y"raj'l.


50/71

' ; ~ : ~ Y ~ ' ~ t ~ : . ' j { i ~ ~ ~ , ' ~ ) r~~c~ ~iz~,S(',~a~~~'l~'(,z, 0 , . ), II dz ie z,z E C \ JOJ G , , ,, ,d) Ola prz~~"l ...jaonia f"z ....aia"~gu ,. cy", p,"ykLuj",e mil"}'

[" 0 ']. .1= 1 I~' () ,3 , _, okl(.~ -).1) = (2, _))(1 - +- , _ . \) (_ ,_ ). )

Zadaniao Zadiln'" UI.I; ~ . : ~ ~ ~ : I : ; ~ l c ~ e O ; 2~ : C : : ~ ( l t ) ~ d : ; ~ ~ ~ e ; e ~ r . 0 w i " d n i c hneslrz~ni l i " 'O \ \ y c h) LI: R;-R;, l,,(.r.,y,z)=ir-lI+z,2y+:),

~2 ~l-R4' L1~r.'1I)=(2z+y,z_y),,3 -1-R, I-:Jl.r.,y)=(z-Y'!I_x,2z,~y),b) 1'1 R -.R~lzl. L,(a,6j==azl-'-h+a_hdla(a6)ER1

Lz Rllx] - R~l:r:J, (L~)Ji(:r:) =t")J '( -z) dle p s R ~ [ x ] ,Ls. 8.1[:r]_ R , (L3p) (zJ = (p(1)dl'(2)) dla p E Rl[~J .

o Zadanie 10.2Ni"ch J K. L b~d4 pneksnakeniami pn:eslrzen; RJ w siebie .symeLrilj w~gJ~~cm ~; O.f' J( j~st symetli~ wagledem plaQ(~~:: ~3;~:~o~rotem 0 k~l 2. w o k o ls, O y Nap;.-;a.C m"cicr~ w bazi"slan dardow"j prscstrzeni~ o S i : ;: ~ ' ~ ~ I I : ~ : o ~ ~ ~ : Y C h ' l c )" c h~to;,eniami J, J\ j t. we wssyst klch SZeS< ;I I,1

o Z~d"nie IQ,3Dr a (yd, ~poSr6d podanych prteh~ta1ceriliniowych. kl6r~ 6~ odwracalne napiuc

Ozic.si'lt)'tydzi~n-zadania~

mllcicne i wwry p'tek5~tal


51/71

Odpowiedzi iwskazowkl

-d5Jedenasty tydzienI WartoSci iwck.tory wl"soe pCT",k~:ttalcen lininwych (3 . .'1). Wartosci i Iwelr!ory wtasnc maci~tzy (3.6).

Przyktady PrzyktadIJ.JJa.k:~ s"I rn02i1w~ wart.osd wta.sn~ I'u eksztalce ri liniowych speinia.J'lC}ch podanewarunki:~)L' = L; h) r} =O?R;rwi~zan;"1 'I te ch Vb~d. ie . . ~ c~ywi s\ ~ ('~p"lon~) p.. ""t ,"eni~ l inio"'4, L v_Vpneh.t.aI"...,,,em tifliowym 0.... ni",,10 L(ii) =).0; dla pewnej liczby). R(G) \ "ie'No\O~o Wd[IOrae E V.. ) Z .nrunku L' =L W)nlk&, ie I.'(~) = L(i;) = ).f. Z d,ug;"j .tlony L'(~) =qL(ii)) = L(.l.i) =).';;.Z.chodii ~ ,6wlloK Ai; = ,\'ii, ktor't ",01: upisoLt ..p""l~ci (~' _ ~) ,; = ii. Ale;:; '" G , Iem ~' - ). = > .( ). - 1) =O. Mozli -e e~ lyl1md",;" w"TLo..;~, ,.,Iasn .. prze~:;lKI(cllia L. , m;anowici. )., = 0, ~, = 1, P I7 .e k talc~nt~mman, ."m obie Ie w i U t r o S . . . - 1 wl...,ne ic~yni~Cy", ",dosc wMunk,,,,, ... diLn;.. jest np. p",e-J


52/71

...~_&fSYtakenl~li~~ ~ ~ : f : ; ~ ~ : i : : : : ~ : : :, . : ~ : : ~ : ~ n ~ u ~' .~'" '~:": iR~_d~Dl~~~O = D \ : ' ~ ~ ~ ~ ~ : : : St'i ~ = II = -2. i~""-~z,_~".~, gd.ie z'; 0 11, ,""18 1 4 ' , = 11" ((-2,-2,1))\ \,~klo, wl . ...ny ~ "" (x ,II.') i- n ocipo ..i"d"JiCY )., "":! u~Jdujemy ~ ....,uI,hfA ~ 1>" [ : ] ~ [~~ = : ~ : ] [ : ] ~ [ : ]

R01Wi42"'''' uklo.du ,6""0 ..8 ma POSiK =y->:. n.tem i, = (:r".r-c), prty


53/71

[ - ' 0 0 ] [ ' , ' ] [ _ " ' ]= 000 ,p", III ,P-'=! 0-4-2o II I 2 J 2 ~ 1 2-1..) Mamy

A~ [~~ ~j[-~~~j~[-~: -!j ~[! _~~j.2 3 1 00 I 1 2 -I 2 -2 II~=~{;< : ; e : ( / / ; ; ~ . : , t : t ~ e : ~ ; r L ~ a 2 1 ~ ~ ) ' l I , b. . . . o r l e g " przeknt;.kenia, tni...,,,_b) M ..clen IOIJ-krotnego Jlozenia p,.euUalccni~ L wyrua, ,;~ W,"O.CItl

Ao o = (PDP-')'OO = PD'OCip-',

[ ' , '] [ ' 0 O J [ - ' _ ' j [ " _ ' j'oO = I I 1 0 I) 0 ~ 0 -4 2 = II a -12" 3 2 0 0 J 1 2 -1 0 6 -2Z .J~"o"ci A " ' [ i H : J"'ynika,:i~ L'CO(I,2,J) = (2,3,6) .

Przykfad 11,5Z~aJeic wanosel iwektory wlesne podanyc.h marie :v r~eczyw"'tych~ ) [ - ~ ; ] ; b ) [~ = n ; C ) [ _ ~ _ ~ J ;

[ ' 3 0 ] [ 2 0 ' ] [ ' 2J ']) 0:2 -J ; e) 04 0 ; C ) I 23 4o 0 -~ -5 0 -2 I 2 3 41234

~d(A- UJ =1 4 ~ / , l~)' 1 = ) " -S),H =(.\- Z)(.I.-J).Widomiw Len rna r lwa r .. .,. ,~ )" "~ . p i. ,r l, ,;a :o ;11r i )" =2, )., = 3, HOI" ~ , wu l.Okiarniwl.. u)mi ma.cieny A Weklm ..hsny ii, = (:r ;,y) odpowi.daj~ "",Ioki ",1 .. 1I0j)


54/71

5tt [:].[::::][:].[:] ={'"-"-"-",r l z 1 2 3 ~ z 0 l/,z,IE n ,I 1134 t 0

- [:].[-;-~: :][:].[:] {,='"'='A H,J. I 2 -7 ~ z 0 ~ I e RI I 2 ]-6 t nSl~d ii, = {-211-l~-~I,,1.,, t), pr>:! o:ymJ o F 0 l ub z f. 0 lub 1'1 Ooru l'l =(~,l:.~.';)rllb % # o. P'LUlrzen Wa "dpowiadaj" ""~rLuk; wlas nej )" = = 0 jest u6jwymiMo""r>.laci w, = = ~n {(-z. 1,0.D).(-1,0, I,O),i-~,O.O, 1)) ,us w,~= = lin ({I, 1,I,n}.

R"... i~zanieWar(.Os~ wlasn, .I E C.e"pd"nej ,"""ien), A "t"rn;a ~ wy.na~ .",y Z wlru~ku

de\{A _AJ) =0,,, \.. ; ndpwiadaj' lCY Jej _ktn. wlasny ~y niererowym .o.wi~~Jnlem cdvcwicdniegnuk!adu Jednnrodnego je slt n " j~rn~nt em p ,"es", en, C". t.n ii = = (r" .. , h) E C Oa) Mamy

d"L(A_.\I}=ll~A J~lAI=..I. ' -2A+JOWielnmi~ chuut~ry.L)CZD~ r.n dwi~ . .WoOL' .. L ..s ll ~ . I, = 1 - 3,. ).~ = 1 + 3;. Znj-d,;"my ~e.u wektory .. l""ne ~dp" .. i .n . .j", ....uosciom .. l . . n)", )." ).2. Mam~(A-l>.)[ ;H';- ,~)[ ;H:I ==''', e e c;

( A - / ', I[ ; I = [-' ; ~:][;H:l=,=-,j, "CWekt"J ",I.. ,, ., i i., v .. odpowiadaj~ kolejnym wUlokIom ,..I.,."ym m..j\ post& e ;;, =11:,3n:), ii. = (", .-3,>:), . !ldrie c E C\ 10J. Przest ....en;., wci to r6, , . . IMnych '-\ tu , . . i " ",6...n~ W , _ . , = line {(I,3ill, W , . .. , = line ({I,-Jill, przynyms\ tnle5polone pt~....Slrz~nlc limo_ ipr~y g.".'WiLIliu bierzem)" .espol"n" komb;lI.a.;je ~nio ..e g.nc, d. or6 . ..b) IN Lyrnp ...ykluhie

Prl!~takcn;. linio~


55/71

iA-"d [; H ' ; ' , ~ , ] [ ;H : J = '=-('+;)','E C(H"j[:j=[';' - : - , ] [ : H : J =F('-,j.,'EC._ ~)~' I;, ~"l~~,r! t ( : ~ 7 ) : _ ~ i l~ ( : :; ,I - ')til, &d~i e :: ; E C\ {OJ OtaL W, =

c) p",ekou


56/71

f J W, = hn [(1,2,0),(0,0, I)), g) IV. = lin HI, 1,-1))' W, = tin j(-I,I,I)),W. = Ii" (1,-1.1)), h) !Yo = lin HI,D,O, -lj,(O,I,Q,-I),(O,U,I,_I)).IV. = hn [(2,0,3 2))11.6 a) WI_I, = lioc((2.,I)), WI~" = liDc {(-2., I)); b) W. = linc{{i,;)}W, = hncj(l,-.)); c) IV, = lin


57/71

=~~c{(i,1,2)J;f) W, = tincj(D,!,O,Przestrzenie euklidesoweDwunasty tydzieriI TIoczyn skalarny (4.1). Norma wcktora (4.2). Ortogonalnos.:wekto-Irow (4.3).

Przykfady Prz~k~d 12.1Spra",clzii',:iepDdiLIlEfunkcje( ,.)S+ u.!I,

'" 3y,,,,,-2~11\,-2~,r,+b.J?= (j.i),

2. (i+ ii, i) =3(~, + lid., - 2(., + "') ~I - 2(~.+ v,)~, + ~(r. + ~ ,) "= (3:l:iZ' -2:!:,E,-h,E> + 41:7") + \3y\z, -2r,~.- 2~H +4Y>4)= (i,.i)+(y,i),

116 Dwuna51111dzicnflr~k~dy air


58/71

3 (.. i,V) = 3{"",.)~', -2(~~I)v '-~{.u,)y, +4(LfZl)J",'" " ,(3:1 :'51 1 - 2~ 1Y '> - ~",y,+"'~H')'" ,,(f,y)

Spu_Wd.a.IJI}' .. uund 4. Muny ii,i) '" h~-h,r.+h~_ J " " , 10 cr6jm'aJ' kw_d,~!.owy.m'enMJ' dl~ kL.~ie si~ t .. j r""hj i wpUlLklach % = I i r= 2 D"n~cu, i.e p(x)::20

Przykhld 12_2ee pDdane Iunkcje (".J nie s1l, I locayuarm sblarnynli W~ wskaaeaych

lilliowycli:: : ~ : , : : : : , ' : , ~ : : r ~ f n J' l dl,'~(.".,j ,~(,',,) Eft';dlai~(rJ,xl,x3) !i=(y! 1.11,Ys)ER3;c) (. q) =0 p(O)q(O) + p(J)q(l) dla p, qE R2(.o:].

Ro.wiazaniea) runkcja (".) nle .pflnla. warunku 4. (pun ro~wi~za ft i~ P ,. .: )-kladu 12.1) dd in'C}i]oaynu $l


59/71

a) ( p, q) ;o p( -I) q( _I) + p(2)q(2);b) (p, 9);0 p(O)q (O)+ p '(D}q '(O) ;c) ( p, q) ;o j p("')q(:r)dx, prt)' ozym p, II E Rdx] .dO)~:~~~ h~a;~~I~;~::~:~;'t:g:~:~~.!eni RII~J, dJa kLrire~o podane dwaR'lLwi.,unie8.) M~m)'1".1' = 6' + (-6)' = 12, IQof = (-3)' +O~= 9,nte!n

cos1(P.,~.)=~=6(-JJ+(-6J 0_ ,J'iIPollq.1 m. 1

(at + ~,';n:


60/71

coS.j:("t:+b,Slnl)= -2"; .~I09O"..c t~Di~l,;wnoK do funktji /,(z) = = J'(:c)g(:cJ, I,{r) = = LZadania

a) (i, ii) = = 2I,y, - "'~', -l:,y)+ "~Jh dla i "": 1 : 1 , : 1 : 2 ) , !i = (Yl,!n) E It;b) (i,y)= 1 , , ! x 1 1 [ _ ~ - : J [ ~ ] dla z= (:r"",), 1i = (Yloln) E n2;e)(z,~)=[:rI:rJ"31[ ~ ~ - ~ l [ ~ l d l a . ~=(l::"Il,IJj, 3

-1 Q 1 l/3 !l = (11 ) !ll,lt.!)E R;""'d) (1', q) "" ~ pC,,;) q (:ti) dl" p, q E R~tI], gIDae I1 < :r2 -c

e) if,g)::: j(:r- l)f(2:r)9(2")dZdla t,s E C([-2,2]).

o Zadanie 12.2l .Iza.: ;adni' : dlaczcgoPQdanE f u . nkc j e ( . ,. ) nics~ iloC?;)'namiskalarnymi .... rozwaia-nyrh prae ar rz eni aeh I ;n;o" ,"y~h:a} (:e ',~) = 2XIYI + 3IIl/:> - :r,y; + 5 :r~Yl dl a i = (:r\,%~) , !i = (YI ,!ll) E R2;b) (:t, il l = [X ] x~J::ll [; ~ = ~1 [ ~ 1 dla s = (:1:), ;1: , , :>:3),

3 5 1 113 ii= (!lI.~'l'lt.l) E R .3;~) (p, q) = p(l)q(l) - p(2)q(2) dla P. q E R . d z J ;d) (p, q) = ~P(:r;) q(L, ) d la p, qE R,,[ :r ]. gd2;e:> : , : ) dI ala /,9 E C{[-l, 1]).o Zadanie 12.]

\ 0 \ 0 prl leStneni eukhdesowcj E~a) oblicz)cnormo;",cktorn(-1,1,2,-3):b) zbadae otLogooalnoscwektcrow(I,~, -I, 2),(3,-1, 2,-I);e) oMici )'C ki jt mlo


61/71

sowej R~["J ~ podanymi iloclyn.;'.ml skalarnym!al t T l , 'I) = T'(l)q(l) + p(2)q(2) + p{3)q(3)b) (p , 'I) = p(O)q (O) + p '(O)q '(O) + p" (O)q" (O) ;

o Zadenie 12.5W pc.nej wlasno",; moie "li"~ posta" (p. q} =.,a, +~(b-c) (0, - c,)+ g(2b+cl (.h, + 01)dl~ p= 6" +0, +c, Q = ..,,;' + b,,,+t,12.:;,,) -.~. A . -27-/7; b) W",2-52,z+9; 0) - H - .Trzynasty tydzieriOrtogonllinosc weldoruw (4.3). Da:ty ortogonalnc (4.4). Innc mctodyortogonaiieucji'" (4.5).

Przyktady PlZyk.l-ild Ll.l

uklady wckimow s'l b""ami orlogona]nymi lub ot tonct-pr~"s~rz~ni i in iowy(h i ~naldc w~po lr7,o ;dne wskazanychbilzath

a) "I = (:.!,-1), ;;1=(6,3), U=(1.2)EE";b] s ,~ ( J I o - A ) ," , ~ ( A , j j , ! ' , ) ," , ~ ( I r , - , I U I ) ,

u= (0,1 ,0) EOE3;PI = = 2! p~ = = >:+>:1, )'3 = 1: +2x', P4 =:; 3x3, q = ",l_:c + I w przesorzeniRa[", ] ~ ilouy~em ~kalllJ"nymzdefiniowanyrn wzorem(Il:tJ+h2 +cz+ d,Ol1:J + 61",lI+ Cl"'+ dJ) =

aOI + (b - c] (b1 - cd +(2c- b)(2Cj - bd +ddRO>I'I/i~>"nieWehory ";, .. "n'~ baz,. DnogonaJn~ przes".clli euklidesowej E _'ymiau 11, j~i:eli(ii" v,l I- Oor,,-, (u,,;;,) = 0 dla c.i = = J,2, ,n,' I- j. J~di dodatkowo lijd ==.1< .l la , . = 1 ,2 , . . ,n, 10 jest , 0 ban ort-ononnalna. l Jowolny "",ktor ii. E E rna w bazi~or'ogonaJn.j p,,;edslawicni~

~aSw baz;e QJ\DnDrmaJn~j

T!l;yna5t~ tydziW - przylclat!l. _ ~ _;..... ~


62/71

: / ' 7 ,~~ ' ' ' f : , , ~'~~ll~~~'"!~'~"l~~k~!;!~.~::;~~~:~j::;:~ ~ ~ ; : : , ~ n ar>e,,, = r~~,~~)- i o = =-k ~,= (Iii;;,~~)= * == ~~~:~;;::: i : :~~: ~ : : , : ! : : , ; , ~ ~ a = = ~ 6 : ~ 6 ~ : ! ; a : ~ : ~ ~ , t ; 3 ~ ~ : . ! k : o ~ : ': ': . ~ : '~ ~ , ~

1' , = iii, ii,J = =0 P, = (ii, i,j'"If , JJ, = =ii, ib) = - 2 v I( J ,g l = J 11'1,('1"- ,Rozwi~.a";"Ohtie>:my njp;erw ftOlmy wuy~\kich po,h,nyd. funhj; Dl." E N m~y

OTlo~o"al"u'c wS~y$lk,d, pa, lu"kcJ!" podanego d"or" wy";h. Ie.!:", ; ," dl.


63/71

r;. . . . . . ntuj~cego rowno." pn. " ii, st"nowi'ljui b&1~"l\ogouJII~ pr~eslHenllin {ii,. i" ii,).Z....,,,,umy, Z" nchunb w lym przykl:o.dzie moin .. bylo jes.ae skrDc;e wykorzystuilV= Ot,oganaJnoSt weklor';w i, i ;


64/71

DaleJ mamy Iq I' '" 1, !q,I' =~, I~JI> = i r ; , wi"" ba.a ortonormai,," ,",,,wai.anej

w odpcwiednich precstras.,

m r . ; e r ' ~ ~ L : _ ; : ~ 5 2 - : ~ : : ! : r ~ : ~ : ~ ; ~ ~ 7 ~ ~ 2 , ~ j , " ~ : e ~ k , : : ~ _ / t ; :[GIA], gd"e G J""l r.:);lC!.,"~ lrcjk"t.n'l, g6llJ~wtedy posoukiwanym; ""hanm' o,!ogo" .l.nymiiA,I7'IA] '" [ ~ j n i l 4 2 ] " ' : I - , - " " [ n 2 3 1 " ' ]23 nil 5 J -_ Q ~ _ ~ ~ _ ~ =[GIA']

~l Z1 21 21Pc o,\ogollaliz;u;ji Hyskilisrny OnIJgo.niliza.cje. Gra-

wyniku,

b) T"l~J ot'-'Ylnujemy[ ' , ' I 0' 0 '] ~_'" [' " e c ,. '][ A A T I ' I ] = 4 j~ G -~ J II] ~ 0 5 -61-2 J 0 -I" : . : , " [ ' ~ , 0 ' 1 ' . : 0 " l 0 _, " ,-, 0 z-_ 06 -u -2 l 0 -1 = [OI.4'J

o rJ 4-I -11 I

podanychprzE-

,,) I i] = (2,3,4) . .. pr~estrleJlih) "'I = (I, 1, 1,2), '02 = (2, J, -1, -I) w przcstrlcni E~ ;c) q] =t1_~ .... prze"LtZen; H a l : ' : ] ~baz~orlConormaln'l{I,:;;,:;;l, x5)Ro,wi~a"ieW~'!ro,"y.lamy wy~nil.".nik"wy W~6t M. "",,,to; ~lloSonolny do dany.cb 11- 1wdlo~6w ,p"es1.""ni euktide;ow"J E wy",iaru 71.W..ktor ,- ;,ollogona.lny do weklorow ;; , i i . " _ .it~_l EOE rna po;;tac

[ " "w-- " K _ " "n_l' a, 1"K_ln'gdzie (0-",,,,, .. '''on) OZ]HC1.a.j'l wspc\!n""ue wekto:. i" 1 ,;; i,;; -1, w b~.OrlOnaIma.lnej {e" ;;~, . _ , ii,,} prze,t,,~nj E_ Ob!iczaj ..r. kojejn~ wyzn..aniki ~,,~jd.i_1Y:ml"jlle b,.knjtet wekto,}, b.." mlogonoJnym. Poe''!tkowe lie.bowe w i c ' 5 2 e]erw~;:eg"..y.n"".nika b~~ nwicraly w,;pOl,"~d"e danycn l'I"eklorow ba,y o


65/71

: : ' ~ ; r ~ : t ~ r ' S ~ I " : ~ ~ ~ ~ ; : ~ : : ~ : ' ~ : ~ ~ ~ 1 ~ 1 ~ V ' 1 : " ~ Y I ~ ~ : : : : ' ~ ~ : :I) 0 0 I -2 J -1 0

~ ; ~ ~ : ; I S : t ~ ; ; ~ ~ ~: ~ : : ; ~ i o ~ : . ~01~1~~ ~O'{IIJ:Z K ~ ; j : : } I ' ~ ~ : : ~ ~ ~ ;: ~ ~ : :q ' = I ~ ' ~ ~ . ( I : : ( - l ) 1+0'",+0 -,,'+1) ~l=_I,II 0 0 1

q '= I ~ _ j - ~ : ' . . . 0 , ~ ~ I : : O ' I + ( _ l ) ' ' ' + ( _ I ) _ ' ' + 0 ,,'=-[-Z',u " 0 ' 'ij" ~ I - i - 1 ' f/"O+O"""+H)"'"-""

Zadaniao Zad~"ie13.]Sp,awdzie, Z~ po~alle. zbiory wekt.or6w s1J bal!amJ ortog


66/71

Ii :;::; I " pr .c~lr1.tl1l lin {1,8m:z,s,"l :tJ, gdtj~ 0 ~ ~ ~ 1r, Z lloctynem .hl .......nymokrcilonym weorern

(f,g):=iff:t)g(:tlh

o Zadan ie 13.5Wyzna.:::zy':' b~y orcononnalne wsk""a.nych praestrzem eliklides[)w)cb J zllaldiw~pOlro~ne podenych wektorow w lych b.uad1:a) E = lin {(I,O, -J, 0),(0.1, 1,-I), Ii = (3, J, 2,I) E E~;b) E= 1m {(J,J,J,I),(I,-I.l,I),(-I,I,I,-I)},ii=(_J,Q,IO,_I)E .1,c) E= {(:t.y,z,I)E 1 r+y+z :=Q,y=I}, u= (-1,3,-2,J)E 1;d) = r(2r-y+5r'~'+t,2y-z,.I:+2.l): z,]J,z Ell}, ii=(6,4,?,IJE ".c) lJ . =; R~[r; t i lccaynem akalarnyrn ~defi ll lawanym WlOrem

(1', q ): :. p (O ) q( D ) + p{l)q(I)+ p(i' jq(2),PO = 1:2 +:z+ I:t= R~ z r lc c a y ne r u skal a. rl Jym wek t. orOw ; ; = ( : r loZ1) , Y = = (YI, ! J ~ ) okreslonymwscremu:::Q,2),

g~) E := M'.l , ilDczyncrn SkaJl1rnym ma.derq A, D edefinio- ... .anvm wzorem(A ,D ) = 1 ' 1 " (ADT ) , gdzic symbol 1)- oznaca a sumo;; ....SZystklch- clemeulowz gfownej pr~ek~lnej mecleray, C = [~ _~]_

a Zadanie= 13.6ZOr(,ogon.llizowac. metodll macierzow'l podane we&tory W odpowiednicb praestrae-ni",heuJdideso"ycha) (I. 1,3), (I.I,~), (1,2,0) w praestraem EJ;b) n.z.o, 1),(4,1,1,2) w pt~slrzeDi E~;c) (-I,J,Q,D),(O,2,t,I).(1,-3,1,-I)wprzcstrzeDi 1.

a Zadani e 13.7ScosuJ~c wyznaczniko",,, metod~ ortcgonaliaacji IIlupelnji "' ..kaaane wehory doh"'. onogoualnycb odpewrednleh przes~r~enl cuklidesowy"b:11) (1,1,'1) '" praestrzeru EJ;b) (1,0,0), (0,0,1) w rlrZeslrzeni R" z ba211; o1t .onarmaln, ! {(l ,o ,OJ, (1,1 0),(l,I,lll,

' -I (1, 1, 1, J ) w pr~estrzel" E';:I) I - r +.1:' + 21:' w f "t~s{, r~eni R3i " ' J z baz~ ortonormetna {I , . 1 : , xl, x3J ;.. ,) ' .I u- :J ii+;; ; w prze .' lr~el l1 eukl ideoow. j z bat '! ; o !Lonormn lr \; ! (it ;;, ii'. i,o) .

a Zadanie'" 13.6Ulas",dm':, '" ".hOlf) Xl X2 , i:" :WOr-.l~ bu~ ortonOlm"ln


67/71

Odpowiedzi iwskazowkt13.1 a) h/~23~; b) [ -~.! l ,~J: cJ [~,~,~, -~l;[.s.: l' " J) 2\o~, \ 1,7V 3,6\1"3 ; e) [5,2,-IJ

( ! T . ' ! T . ! T . - , ! T . ) [ i f ' ! T . ]b) (~ ,~ ,~ ,4 ) ,-~,~,~,-~J,o ' - V ~ , l f . D ) ' [4,U,SV'2];


68/71

a) ii = (3,-2,I)E E, Eoj"" t. pr


69/71

iio = (ii, e,ji.;, + (ii., e,)~, +(i., il,) e. = (I,O,3,U,5)~~li~z~~n ::~:y , .; :~ ,~ I , !h =in 2" Oc,ywj,;cie g; .L ri o "'i~ ~"uh_nJ rz~ t fa funk"j; f

to 2.. ' --rz,;:--1+----;:-,;n2r.=T-silLh

Pr~ykt. .d 14.4

,,-)l= (10,2 1), s, = = (1 , I,2). n, "" (1 , I, -2):b) u = (1,4,(l, -2). ti l = (I, 1,0,2), ti2 = (1,0, 1,0), iJ3 = (0,1,2,1)R"2wj'p_anie~:::'::7~;~;~J~~{,;:~~~~:~:;~~:~~,~~:~~:~~l:I~~a) A = [~ - n , B = [ I n , zalem

Xoo ([:: - : J [ L i l ) [ : : - : J [ ' : ]of . - ' I fH]_' f' ' J [ , , ) ' [ " ]-2 5 t ; w -16l1 l 20 =;j II '

Boo [ i - i l ; [ : ; ) [ 1 ] 1t2ulcm otlogona..lnym i".t wi~~ wekLcor 1 lo =(6, 5, i)

h) Ao [: : l ] . l l O [ : ] . ,mm20 j -2

Xoo ([:: ~:] [: H ] ) - ' [ : : : ; ] [ 1 ]c I :. j 20 1 0 J 2 1 -2[ ' ] ' [ ' " - . ] [ ' ] ' [ " J , [ " ]=- 027 -9 J =- 9 =- 1 ,2 35 _~ -9 11 :. 36 9 ~ I

[ ' ' " ] [ ' ]01 lOlL,~&= ~~~ d ~ ] = 4 ~[' ,= 12a

ll.,ul.m ar\ngonalnym j",,' w;~ wektar n, = (~,~,~, i) . Przykt..d'" 14.5Mel.Od,! najmniej""ycn kwadrar.6w ~naleU preybfizone rozwi;paniapod1UlYcb ukla-dow rOwna,;

{"_F5

a) :< + 3),' = 4 ;3:< + 2[1 = 1 { ' : ; : _ : { ' + 2 ' 0 2b) !J - 0; c) 2;r+ y = 8:J;-!J+~~ 1 3z+ )1=1

Rozwi", ,"nr . .Nied AX = II bp;nie (~.,yo) lege ukladu wy!n~uny j&kow .. p6 lr~~D' r lutu Qr toGonalnegc i""ehQ,a 1i . = (5 , ~.I) na p


70/71

w~n~ pt:.. wcHySl.uj ...n. Xc = ( . 1 1 7 ' . 1 1 ) - ' A.TB 'na".~. ([' , , ] [' 'j) . ' [, , , ] ['j [" , ]. .[, , ], = 2 1 1 ~: 2 1 1 ~ '" 7 6 13, [ ' - ' J [ " J , [ m-o> J , [ , , ] [ , ]E _114 13 =>-~ -14'1+1112 =E 35 '" 1Zadaniao Zadanie14.1Sllrawd7.ic, z(' pml lwe wekklr y ~'l orLogonaJne do "5kazanydl podprtcstrzcni prze-s\r.~n' r-ukhticsowych:a) L.,:: !in {(2,O.3,1).(-I,I,2,O),{1 1,0, I)}, ji::: (1, I,O,_2)EE4;b) Eo::: Rd.r], Po = fozl - 6:1:+ 1 w przes1.rllclLl R11 ; t ] ~ lIoc~ynem ~kal"'llym

ckre sl onyru wsor em

\P,q)= i p(r)q(::)dzo b.danic 14.2Znaldc r~lJLy ortogonalnc podanych weHor6w Ila wskazan~ podpr


71/71

8 .) i1 =(2,1,3)E E3, Eo'" l in {(-1,4,1)};b) u ={I,-1,2,0)E E, E tJ = lin {(2,0, 1,-1),(1, 1,-2,0),(1, I, 1,3)},c) ii::o (1,2, ... , 1 1 ) E E", Eo= lin {(l,0, .. ,0),(0, .. ,O,ll},d) p = : r ; ' - z , Eo =; l in {1,2z- t} v; praesteeeni R[zj z ilcc synem akalamym

okrr:S\onym1lo'zorem

(p,'ll= I p(z)q(z).u;0) 1 = 1 - ,,,2,. E. = lin {.".'i" (;:+ ,l) w przestraeni CI[O."]I' iI~

czynem ~kaJatnym okreilonym waoeem

(1.,)= 111'1,1')";f) I=:t, Eo = lin {1,COIIZ,t0l52z, .. ,COSl1z), w praesrraeni C([O,2rj) z iloczy-

nemsb.Jarnymjakw)'iej;g) f= z, E o = lin (sinz,sin2>:, .. ,sinl1>:}, .....p'z""~rzeDi Cl{O, 21' ]) :< ilo

Documents

Algebra Liniowa 2 - Przykłady I Zadania, Jurlewicz, Skoczylas, Gis 2003