Algebra lineare

Matrici

(Tabelle di elementi disposti su m righe e n colonne)

Di particolare interesse le matrici quadrate (m=n):

Es. (m=n=3):

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Matrici

Un vettore a n componenti (coordinate), cioè appartenente allo spazio Rn, si può rappresentare come una matrice a n righe e una colonna (detta anche vettore colonna)

Es.: il vettore u = (3; -2; 1) come:

1

2

3

u

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

Ad es.: una matrice quadrata 3x3 (di terz’ordine) applicata a un vettore u di R3, lo trasforma in un vettore v ancora di R3.

u OperatoreOperatore

matricialematriciale

A

v

A u = v

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

A u = v

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Mediante il prodotto matriciale righe x colonne:Mediante il prodotto matriciale righe x colonne:

Il Il primo elemento, xprimo elemento, x22, del vettore trasformato si , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la prima riga della ottiene moltiplicando la prima riga della matrice per il vettore colonna (xmatrice per il vettore colonna (x11, y, y11, z, z11), come ), come somma dei prodotti degli elementi omologhi:somma dei prodotti degli elementi omologhi:

xx22 = a = a1111 x x1 1 + a+ a1212 y y11 + + aa1313 z z11

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Il Il secondo elemento, ysecondo elemento, y22, del vettore , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la seconda trasformato si ottiene moltiplicando la seconda riga della matrice per il vettore colonna (xriga della matrice per il vettore colonna (x11, y, y11, , zz11):):

yy22 = a = a2121 x x1 1 + a+ a2222 y y11 + + aa2323 z z11

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Il Il terzo elemento, zterzo elemento, z22,, del vettore trasformato si del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la terza riga della matrice ottiene moltiplicando la terza riga della matrice per il vettore colonna (xper il vettore colonna (x11, y, y11, z, z11):):

zz22 = a = a3131 x x1 1 + a+ a3232 y y11 + + aa3333 z z11

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

Es.1:

21

1

2

3.

35

21

1x3 + (-2)x2 = -1; 5x3 + 3x2 = 211x3 + (-2)x2 = -1; 5x3 + 3x2 = 21

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

Es.2:

17

1

10

4

1

2

.

331

150

201

1x2 + 0x1 + (-2)x(-4) = 10;1x2 + 0x1 + (-2)x(-4) = 10;

0x2 + 5x1 + 1x(-4) = 10x2 + 5x1 + 1x(-4) = 1

1x2 + 3x1 + (-3)x(-4) = 171x2 + 3x1 + (-3)x(-4) = 17

Equazioni vettoriali e sistemi lineariA x = c

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

3

2

1

x

x

x

==

3

2

1

c

c

c

Quest’Quest’equazione vettorialeequazione vettoriale ( (l’incognita è il vettore l’incognita è il vettore xx, cioè le sue componenti x1, x2, x3) equivale a porre in forma matematica il problema: “ Data la matrice A e il vettore c, qual è il vettore x tale che applicando A ad x si ottenga c? ”

Equazioni vettoriali e sistemi lineariA x = c

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

3

2

1

x

x

x

==

3

2

1

c

c

c

Applicando il prodotto righe per colonne si Applicando il prodotto righe per colonne si ottiene:ottiene:

aa1111xx11 + a + a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11

aa2121xx11 + a + a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22

aa3131xx11 + a + a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

aa1111xx11 + a + a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11

aa2121xx11 + a + a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22

aa3131xx11 + a + a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33

L’equazione vettoriale Ax = c è quindi L’equazione vettoriale Ax = c è quindi equivalente a un equivalente a un sistema di equazioni linearisistema di equazioni lineari (di primo grado ), o semplicemente (di primo grado ), o semplicemente sistema sistema linearelineare nelle incognite x nelle incognite x11, x, x22, x, x33 (in questo (in questo caso il sistema è “quadrato” 3x3)caso il sistema è “quadrato” 3x3)

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

Un sistema lineare può avere:Un sistema lineare può avere:

a)a) Un’Un’unica soluzioneunica soluzione (terna ordinata di (terna ordinata di valori xvalori x11*, x*, x22*, x*, x33*, vale a dire un vettore *, vale a dire un vettore xx*= (x*= (x11*; x*; x22*; x*; x33*) *)

b) Infinite soluzioni

c) Nessuna soluzione

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

Matrici e determinanti

Per Per matrice del sistemamatrice del sistema (A) si intende la (A) si intende la matrice formata dai coefficienti delle matrice formata dai coefficienti delle incognite.incognite.

Nel caso esemplificato, A è: Nel caso esemplificato, A è:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A =A =

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

Il Il determinante determinante di una matrice quadrata - det(A) - è un - det(A) - è un numeronumero (vedi regole per il calcolo di un determinante). (vedi regole per il calcolo di un determinante).

Lavori sui determinanti apparvero già nella seconda metà del sec Lavori sui determinanti apparvero già nella seconda metà del sec XVIII ad opera di: E. Bézout (1730-1783), A.T. Vandermonde XVIII ad opera di: E. Bézout (1730-1783), A.T. Vandermonde (1735-1796), e proseguirono nel secolo successivo soprattutto (1735-1796), e proseguirono nel secolo successivo soprattutto ad opera di:ad opera di:

Pierre-Pierre-Simon Simon LaplaceLaplace(1749-1827)(1749-1827)

Joseph-Louis Joseph-Louis LagrangeLagrange(1749-1827)(1749-1827)

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

Johann CarlJohann CarlFriedrich Friedrich GaussGauss(1777-1855)(1777-1855)

Augustin Augustin LouisLouisCauchyCauchy(1789-1857)(1789-1857)

Carl GustavCarl GustavJacobiJacobi

(1804-1851)(1804-1851)

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

Per i Per i sistemi quadrati sistemi quadrati vale il vale il

TEOREMA DI TEOREMA DI CRAMERCRAMER::

Ip.:Ip.: det (A) det (A) 0 0

Th.:Th.: Il sistema ammette una ed una Il sistema ammette una ed una sola sola soluzione (un vettore, cioè una soluzione (un vettore, cioè una

successione ordinata di successione ordinata di numeri)numeri)

Gabriel Cramer (1704 – 1752)

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

Il teorema di Cramer recita:Il teorema di Cramer recita:

““Condizione necessaria e sufficiente Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema quadrato ammetta affinché un sistema quadrato ammetta un’unica soluzione è che il determinante un’unica soluzione è che il determinante del sistema sia diverso da zerodel sistema sia diverso da zero””

Se invece il Se invece il determinante è uguale a zerodeterminante è uguale a zero il il sistema ammette infinite soluzioni oppure sistema ammette infinite soluzioni oppure nessuna (sistema incompatibile)nessuna (sistema incompatibile)

In questo caso si ricorre al In questo caso si ricorre al Teorema di Teorema di Rouché-CappelliRouché-Cappelli (teorema generale, valido (teorema generale, valido per qualunque sistema lineare, qui non per qualunque sistema lineare, qui non trattato).trattato).

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

Se il sistema quadrato è Se il sistema quadrato è omogeneo (tutti i termini (tutti i termini noti cnoti c11, c, c22, c, c33 nulli): nulli):

[Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette [Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette sempre almeno la sempre almeno la soluzione banalesoluzione banale o o nulla nulla (0; (0; 0; 0)]0; 0)]

1.- Se il sistema omogeneo è di Cramer (det(A) 1.- Se il sistema omogeneo è di Cramer (det(A) 0) allora esso ammette 0) allora esso ammette solo solo la soluzione la soluzione banale.banale.

2.- Se il sistema omogeneo non è di Cramer 2.- Se il sistema omogeneo non è di Cramer (det(A)=0), allora il sistema ammette (det(A)=0), allora il sistema ammette infinite soluzioni (quella banale e altre infinite soluzioni (quella banale e altre infinite non banali)infinite non banali)

Equazione omotetica o agli autovalori

Jean Jean D’AlembertD’Alembert(1717-1783)(1717-1783) Augustin Augustin

LouisLouisCauchyCauchy(1789-1857)(1789-1857) Jacques Jacques

CharlesCharlesFrançois SturmFrançois Sturm(1803-1855)(1803-1855)

Carl GustavCarl GustavJacobiJacobi(1804-1851)(1804-1851)

Equazione omotetica o agli autovalori

Appilcando una matrice quadrata di ordine n a Appilcando una matrice quadrata di ordine n a tutti i vettori dello spezio tutti i vettori dello spezio RRn, n, ogni vettore verrà, in ogni vettore verrà, in generale, trasformato in un altro vettore dello generale, trasformato in un altro vettore dello stesso spazio.stesso spazio.Ad es., una matrice 3x3 trasforma ogni vettore Ad es., una matrice 3x3 trasforma ogni vettore dello spazio dello spazio RR33 (euclideo tridimensionale) in un (euclideo tridimensionale) in un altro, generalemnte di diverso modulo e/o altro, generalemnte di diverso modulo e/o direzione e/o verso.direzione e/o verso.

QuestioneQuestione: : quali vettori (quali vettori (xx), in seguito ), in seguito all’applicazione della matrice A conservano la all’applicazione della matrice A conservano la direzione? (e quindi mutano eventualmente solo direzione? (e quindi mutano eventualmente solo di modulo e/o verso?)di modulo e/o verso?)

Equazione omotetica o agli autovalori

Se un vettore Se un vettore xx dopo la trasformazione dopo la trasformazione xx AAx x ha ha la stessa direzione che aveva prima della la stessa direzione che aveva prima della trasformazione, cioè Atrasformazione, cioè Axxx, x, significa chesignifica che Ax e x Ax e x hanno coordinate proporzionali, cioè che possiamo hanno coordinate proporzionali, cioè che possiamo scrivere:scrivere:

AAxx == λλx x (1)(1) Dove Dove λ λ è il coefficiente di proporzionalità.è il coefficiente di proporzionalità.

La questione posta è quindi rappresentata La questione posta è quindi rappresentata dall’dall’equazione vettoriale equazione vettoriale (1). Il vettore (1). Il vettore x x è è l’incognital’incognita

Equazione omotetica o agli autovalori

Tale equazione si dice Tale equazione si dice equazione omoteticaequazione omotetica

oo

Equazione agli autovaloriEquazione agli autovalori

Le sue soluzioni non nulle, cioè i vettori non nulli che in seguito all’applicazione della matrice quadrata A conservano la direzione, si chiamano autovettori di A

Sotto quali condizioni esistono gli autovettori di Sotto quali condizioni esistono gli autovettori di una matrice quadrata e come si calcolano?una matrice quadrata e come si calcolano?

Equazione omotetica o agli autovalori

L’equazione (1), con semplici trasformazioni, si può L’equazione (1), con semplici trasformazioni, si può scrivere nella forma equivalente:scrivere nella forma equivalente:

(A –(A – λI) ) x = 0 x = 0 (2)(2)

Al secondo membro compare il vettore nullo.

Al primo membro compare la matrice (A – (A – λI) ) applicata al vettore incognito applicata al vettore incognito xx (dove I è la (dove I è la matrice identità: elementi diagonali uguali a 1 e matrice identità: elementi diagonali uguali a 1 e tutti gli altri uguali a zero).tutti gli altri uguali a zero).

Essa si chiama Essa si chiama matrice secolare

Equazione omotetica o agli autovalori

L’equazione (2) è equivalente a un L’equazione (2) è equivalente a un sistema omogeneo di equazioni lineari. di equazioni lineari.

Nell’esempio di matrice 3x3 che opera sui vettori Nell’esempio di matrice 3x3 che opera sui vettori dello spazio euclideo tridimensionale):dello spazio euclideo tridimensionale):

(a(a1111- - λ)xx11 + a + a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = o = o

aa2121xx11 + (a + (a22 – 22 – λ)xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = o = o

aa3131xx11 + a + a3232xx2 + (2 + (aa33 – 33 – λ)xx3 3 = o = o

Equazione omotetica o agli autovalori

Ogni Ogni sistema omogeneo ammette sempre la ammette sempre la soluzione nullasoluzione nulla (o (o banalebanale), cioè il vettore (0; 0; 0).), cioè il vettore (0; 0; 0).

Se il sistema (quadrato) è di Cramer,Se il sistema (quadrato) è di Cramer,

cioè Det cioè Det (A –(A – λI)) 0, ammetterà 0, ammetterà solosolo la soluzione la soluzione nulla (che , per definizione non è un autovettore).nulla (che , per definizione non è un autovettore).

Affinchè il sistema, vale a dire l’equazione (2), Affinchè il sistema, vale a dire l’equazione (2), ammetta soluzioni non nulle, cioè ammetta soluzioni non nulle, cioè autovettoriautovettori, è , è necessario e sufficiente che:necessario e sufficiente che:

Det Det (A –(A – λI)) = 0 = 0

Ciò dipende dai valori del parametro Ciò dipende dai valori del parametro λ

Equazione omotetica o agli autovalori

Det Det (A –(A – λI)) = 0 = 0

Questa equazione (detta Questa equazione (detta equazione caratteristicaequazione caratteristica) ) è un’equazione algebrica intera di grado n (uguale è un’equazione algebrica intera di grado n (uguale all’ordine della matrice).all’ordine della matrice).

Vi saranno quindi almeno un valore (in generale Vi saranno quindi almeno un valore (in generale complesso) di complesso) di λ e al massimo nal massimo n, che rendono nullo il determinante secolare.

Per tali valori di λ (soluzioni dell’equazione Per tali valori di λ (soluzioni dell’equazione caratteristica), detti caratteristica), detti autovalori della matrice A, e della matrice A, e solo per essisolo per essi, il sistema ammetterà soluzioni non , il sistema ammetterà soluzioni non banali, cioè banali, cioè autovettoriautovettori..

Equazione omotetica o agli autovalori

Come calcolare gli Autovettori?Come calcolare gli Autovettori?

1.- Si risolve l’equazione caratteristica (3)1.- Si risolve l’equazione caratteristica (3)

2.- Si sostituisce a 2.- Si sostituisce a λ di volta in volta un autovalore: per ogni autovalore di λ otteremo un sistema quadrato omogeneo non di Cramer.

3.- Si trovano le soluzioni non nulle di tale sistema: la (o le) n-pla di valori trovata (-e) rappresenta le coordinate dell’autovettore corrispondente all’autovalore sostituito.

Se x1 è un autovettore (ad es. corrispondente all’autovalore λ1) , è tale anche ogni altro vettore ad esso proporzionale,

cx1 , poiché il sistema è omogeneo.

Equazione omotetica o agli autovalori

Esempio:Esempio:

Sia data la matrice quadrata 2x2 2 0

A = 1 -1

(2- λ) 0

La matrice secolare è: (A- λI) = 1 (-1- λ)

L’equazione omotetica è: (A- λI) x = 0

Equazione omotetica o agli autovalori

Tale equazione omotetica è equivalente al sistema:

(2- (2- λλ)xx11 + 0x + 0x2 2 = = 0 xx11 + (-1- + (-1- λ )λ )xx22= = 0

Si ha l’equazione secolare: Si ha l’equazione secolare:

Det Det (A –(A – λI) = (2-) = (2-λ)(-1-λ)=0

Le cui soluzioni sono:

λ1 = 2 (primo autovalore); λ2 = -1 (secondo autovalore);

Equazione omotetica o agli autovalori

Sostituendo il primo autovalore (2) a λ nel sistema si ha:

0 x0 x11 + 0 x + 0 x2 2 = = 0 xx11 - 3x - 3x2 2 = = 0

Le cui soluzioni sono:Le cui soluzioni sono:

xx11 = 3x = 3x2 2 (3)(3)

Ciò significa che se assegniamo a una incognita (ad es. Ciò significa che se assegniamo a una incognita (ad es. xx22) un valore arbitrario, l’altra assume il valore dato dalla ) un valore arbitrario, l’altra assume il valore dato dalla (3); per x(3); per x22=1, x=1, x11=3.=3.

Quindi, ad es. il vettore Quindi, ad es. il vettore uu = (3;1) è un = (3;1) è un autovettoreautovettorecorrispondente all’autovalore 2.corrispondente all’autovalore 2.Sono quindi autovettori anche tutti i vettoriSono quindi autovettori anche tutti i vettoriC(3;1), con c numero arbitrario diverso da zero (cioè tutti C(3;1), con c numero arbitrario diverso da zero (cioè tutti ii vettori sulla stessa retta del vettorevettori sulla stessa retta del vettore u u = (3;1) = (3;1)

uu11

33

Equazione omotetica o agli autovalori

Sostituendo il secondo autovalore (-1) a λ nel sistema si ha:

3 x3 x11 + 0 x + 0 x2 2 = = 0 xx11 + 0 + 0 xx2 2 = = 0

Le cui soluzioni sono:Le cui soluzioni sono:

xx11 = 0; x = 0; x22 = = xx22 (3)(3)

Ciò significa che xCiò significa che x22 può assumere qualsiasi valore può assumere qualsiasi valore

arbitrario, arbitrario, Quindi, ad es. il vettore Quindi, ad es. il vettore vv = (0;1) è un = (0;1) è un autovettoreautovettorecorrispondente all’autovalore -1.corrispondente all’autovalore -1.Sono quindi autovettori anche tutti i vettoriSono quindi autovettori anche tutti i vettoriC(0;1), con c numero arbitrario diverso da zero.C(0;1), con c numero arbitrario diverso da zero.

11

33

vv

Buon lavoro!