Algebra Linear - Aula 19 -Autovalores e Autovetores

Aula 19 Unidade IV - Autovalores e Autovetores

Matemtica para Economia III

Marcelo Farias

UFRRJ

23/06/2015

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Contedo da Aula

Autovalores e Autovetores de uma Transformao Linear;

Autovalores e Autovetores de uma Matriz;

O Polinmio Caracterstico.

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AUTOVALORES E AUTOVETORES

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Introduo

Estudaremos agora as transformaes lineares de um espao V sobre ele mesmo.

Taisfunes so chamadas de operadores lineares.

Seja V um espao vetorial de dimenso n e T : V V um operador linear.

Estaremos interessados em determinar uma matriz que represente T, em relao a al-guma base de V de forma que ela seja muito simples.

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Introduo

Estudaremos agora as transformaes lineares de um espao V sobre ele mesmo. Taisfunes so chamadas de operadores lineares.

Seja V um espao vetorial de dimenso n e T : V V um operador linear.

Estaremos interessados em determinar uma matriz que represente T, em relao a al-guma base de V de forma que ela seja muito simples.

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Introduo

Sejam V um espao vetorial e T um operador linear sobre V. Podemos fazer a colocaodo seguinte problema:

Quais so os elementos v V tais que T(v) = v?

Exemplo:Considere o espao R2 e o operador linear

T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)

Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.

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Introduo




T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)

Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).

Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.

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Introduo




T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)

Podemos verificar facilmente que T(x, y) = (x,y) = 1(x, y).Portanto, todo elemento v = (x, y) R2 satisfaz a condio acima.

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Introduo

Exemplo: Considere o espao R2 e o operador linear

T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)

Podemos verificar que

T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y ,

cujas solues so da forma (x,x), com x R.Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.

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Introduo


T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


T(x, y) = (x,y)

(x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y ,


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Introduo


T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y)

{

x + 2y = xy = y ,


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Introduo


T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y ,


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Introduo


T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y ,

cujas solues so da forma (x,x), com x R.

Portanto, todo v = (x,x) R2, com x R, satisfaz a condio acima.

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Introduo


T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


T(x, y) = (x,y) (x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y ,


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Introduo

Generalizando esta problemtica, temos a seguinte pergunta:

Quais so os elementos v V,nonulos, que so levados pelo operador T em um mlti-plo de si mesmo?

Isto , estamos procurando elementos v V, nonulos, e escalares R tais que

T(v) = v.

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Autovalores e Autovetores

DefinioSejam V um espao vetorial e T : V V um operador linear. Se existirem v Vnonulo e R tais que

T(v) = v,

ento

dito um autovalor de T; ev dito um autovetor de T associado a .

Observao: Note que para todo R, T(0V) = 0V = 0V.No classificamos o vetor nulo como sendo um autovetor pois seno todo nmero real seria um autovalor.

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T(v) = v,

ento

dito um autovalor de T; e

v dito um autovetor de T associado a .


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T(v) = v,

ento



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T(v) = v,

ento


Observao: Note que para todo R, T(0V) = 0V = 0V.

No classificamos o vetor nulo como sendo um autovetor pois seno todo nmero real seria um autovalor.

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T(v) = v,

ento



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(a) Considere o operador linear:

T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)

Como verificamos anteriormente T(x, y) = (x,y) = 1(x, y) se, e somente se,

(x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y y = x.

Portanto, todo elemento v = (x,x) R2, com x R, satisfaz:

T(v) = 1 v,

Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


(x + 2y,y) = (x,y)

{

x + 2y = xy = y y = x.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


(x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y

y = x.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


(x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y y = x.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x + 2y,y)


(x + 2y,y) = (x,y) {

x + 2y = xy = y y = x.


T(v) = 1 v,

Ou seja, todo elemento v = (x,x) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.9 / 48



(b) (Reflexo em torno do eixo x) Considere o operador:

T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)

Queremos verificar quais vetores satisfazem

T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {

x = xy = y y = 0 e x R.

Portanto, todo elemento v = (x, 0) R2, com x R, satisfaz:

T(v) = 1 v,

Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)


T(x, y) = 1 (x, y)

(x,y) = (x, y) {

x = xy = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y)

{

x = xy = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {

x = xy = y

y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {

x = xy = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x,y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x,y) = (x, y) {

x = xy = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,

Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.10 / 48



(c) (Reflexo em torno do eixo y) Considere o operador:

T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x

y = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)


T(x, y) = 1 (x, y)

(x, y) = (x,y) { x = x

y = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y)

{ x = x

y = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x

y = y

y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x

y = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,


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T : R2 R2(x, y) 7 (x, y)


T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x,y) { x = x

y = y y = 0 e x R.


T(v) = 1 v,

Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.11 / 48




T(x, y) = 1 (x, y)

(x, y) = (x, y) { x = x

y = y x = 0 e y R.

Portanto, todo elemento v = (0, y) R2, com y R, satisfaz:

T(v) = 1 v,

Ou seja, todo elemento v = (0, y) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.

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T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y)

{ x = x

y = y x = 0 e y R.


T(v) = 1 v,


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T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y) { x = x

y = y

x = 0 e y R.


T(v) = 1 v,


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T(x, y) = 1 (x, y) (x, y) = (x, y) { x = x

y = y x = 0 e y R.


T(v) = 1 v,


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(d) (Rotao em um ngulo de 90) Considere o operador:

T : R2 R2(x, y) 7 (cos(90)x sen(90)y, sen(90)x + cos(90)y) = (y, x)


T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x

x = y y = 0 e x = 0.

Portanto, v = (0, 0) o nico elemento de R2 que satisfaz:

T(v) = 1 v,

Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.

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T(x, y) = 1 (x, y)

(y, x) = (x,y) { y = x

x = y y = 0 e x = 0.


T(v) = 1 v,


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T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y)

{ y = x

x = y y = 0 e x = 0.


T(v) = 1 v,


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T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x

x = y

y = 0 e x = 0.


T(v) = 1 v,


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T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x

x = y y = 0 e x = 0.


T(v) = 1 v,


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T(x, y) = 1 (x, y) (y, x) = (x,y) { y = x

x = y y = 0 e x = 0.


T(v) = 1 v,

Ou seja, no existe autovetor associado ao autovalor = 1.13 / 48



(e) (Determinando os autovalores) Considere o operador:

T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)

Queremos verificar quais so os autovalores de T e seus respectivos autovetores.

Seja R. Para que um vetor (x, y) seja um autovetor associado a devemos ter:

T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {

(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .

Para resolver o sistema, devemos lembrar que:

(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)



T(x, y) = (x, y)

(2x + 2y, y) = (x, y) {

(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .


(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)



T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y)

{

(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .


(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)



T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {

2x + 2y = xy = y .


(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)



T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {

(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .


(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)



T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {

(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .


(1 )y = 0

y = 0 ou = 1.

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T : R2 R2(x, y) 7 (2x + 2y, y)



T(x, y) = (x, y) (2x + 2y, y) = (x, y) {

(2 )x + 2y = 0(1 )y = 0 .


(1 )y = 0 y = 0 ou = 1.

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Se = 1, da primeira equao do sistema temos:

(2 )x + 2y = 0

x + 2y = 0 y = x2.

Portanto, todo elemento v = (x, x2 ) R2, com x R, satisfaz:

T(v) = 1 v.

Ou seja, todo elemento v = (x, x2 ) R2, um autovetor associado ao autovalor = 1.

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(2 )x + 2y = 0 x + 2y = 0

y = x2.


T(v) = 1 v.


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(2 )x + 2y = 0 x + 2y = 0 y = x2.


T(v) = 1 v.


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Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)).

E da primeiraequao do sistema temos:

(2 )x = 0 (2 ) = 0 = 2.


T(v) = 2 v.

Ou seja, todo elemento v = (x, 0) R2 um autovetor associado ao autovalor = 2.

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Se y = 0, ento temos que considerar x 6= 0 (pois seno (x, y) = (0, 0)). E da primeiraequao do sistema temos:

(2 )x = 0

(2 ) = 0 = 2.


T(v) = 2 v.


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(2 )x = 0 (2 ) = 0

= 2.


T(v) = 2 v.


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(2 )x = 0 (2 ) = 0 = 2.


T(v) = 2 v.


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TeoremaSejam V um espao vetorial, T um operador linear sobre V.

Se v um autovetor associado ao autovalor , ento todo mltiplo nonulo de v umautovetor de T associado a , tambm.

DEMONSTRAO: Seja w V um mltiplo de v, isto ,w = a v, para algum a R.

Pela linearidade de T,

T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.

Logo w tambm um autovetor associado a .

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T(w) = T(a v)

= a T(v) = a (v) = (a v) = w.


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T(w) = T(a v) = a T(v)

= a (v) = (a v) = w.


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T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v)

= (a v) = w.


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T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v)

= w.


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T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.


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T(w) = T(a v) = a T(v) = a (v) = (a v) = w.

Logo w tambm um autovetor associado a . 17 / 48




Se v1 e v2 so autovetores associados ao autovalor , ento v1 + v2 tambm umautovetor de T associado a .

DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor . Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.


T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).

Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a .

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DEMONSTRAO: Sejam v1 e v2 autovetores associados ao autovalor .

Temos queT(v1) = v1 e T(v2) = v2.


T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).


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T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).


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T(v1 + v2)

= T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).


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T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)

= v1 + v2 = (v1 + v2).


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T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2

= (v1 + v2).


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T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).


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T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = v1 + v2 = (v1 + v2).

Logo v1 + v2 tambm um autovetor associado a . 18 / 48



Consequncia:

Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T,ento

V = {v V;T(v) = v} um subespao vetorial de V.

V dito o subespao associado ao autovalor .

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Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .

Ento

T(V) V.

DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:

Se v1, v2 V e R:

v1 V;

v1 + v2 V.

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Teorema (Invarincia de subespaos associados a autovalores)Se V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Considere o subespao V associado a .Ento

T(V) V.

DEMONSTRAO: Decorre dos fatos vistos nos dois ltimos teoremas:

Se v1, v2 V e R:

v1 V;

v1 + v2 V.

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ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e R um autovalor de T.Ento

V = ker(T I),onde I : V V a identidade.

DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que

T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.

Ou seja, v ker(T I).

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DEMONSTRAO: Seja v V.

Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v. Temos que



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DEMONSTRAO: Seja v V.Isto significa que v um autovetor associado a , isto , T(v) = v.

Temos que



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T(v) = v

T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.


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T(v) = v T(v) = I(v)

T(v) I(v) = 0V (T I)(v) = 0V.


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T(v) = v T(v) = I(v) T(v) I(v) = 0V

(T I)(v) = 0V.


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Ou seja, v ker(T I). 21 / 48



ProposioSe V um espao vetorial, T um operador linear sobre V e , R so autovaloresdistintos de T. Ento

V V = {0V}.

DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque

v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.

Logo V V = {0V}.

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V V = {0V}.

DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.

Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v. Temosque

v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.

Logo V V = {0V}.

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V V = {0V}.

DEMONSTRAO: Sejam 6= e v V V.Isto significa que v um autovetor associado a e , isto , T(v) = v e T(v) = v.

Temosque

v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.

Logo V V = {0V}.

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V V = {0V}.


v = v

v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.

Logo V V = {0V}.

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V V = {0V}.


v = v v v = 0V

( )v = 0V v = 0V.

Logo V V = {0V}.

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V V = {0V}.


v = v v v = 0V ( )v = 0V

v = 0V.

Logo V V = {0V}.

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V V = {0V}.


v = v v v = 0V ( )v = 0V v = 0V.

Logo V V = {0V}.

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AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ

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Autovalores e Autovetores de uma Matriz

Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

Considere o operador linear TA : Rn Rn definido por

TA(v) =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

x1x2...xn

, onde [v] =

x1x2...xn

so as coordenadas de v na base cannica.

DefinioUm nmero real dito autovalor de A se um autovalor do operador TA.Um vetor v Rn dito autovetor de A se um autovetor do operador TA.

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TA(v) =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

x1x2...xn

, onde [v] =

x1x2...xn


DefinioUm nmero real dito autovalor de A se um autovalor do operador TA.

Um vetor v Rn dito autovetor de A se um autovetor do operador TA.

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TA(v) =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

x1x2...xn

, onde [v] =

x1x2...xn


DefinioUm nmero real dito autovalor de A se um autovalor do operador TA.Um vetor v Rn dito autovetor de A se um autovetor do operador TA.

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Exemplo: Determine os autovalores da matriz A =[1 12 1

].

O operador linear TA : R2 R2 definido por

TA(x, y) =[1 12 1

][xy

]=

[x + y2x + y

]

Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).

Sejam (x, y) R2 e R tais que

TA(x, y) = (x, y).

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].


TA(x, y) =[1 12 1

][xy

]

=

[x + y2x + y

]

Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).


TA(x, y) = (x, y).

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].


TA(x, y) =[1 12 1

][xy

]=

[x + y2x + y

]

Ou seja, TA(x, y) = (x + y, 2x + y).


TA(x, y) = (x, y).

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Ento

TA(x, y) = (x, y)

Se = 1, a nica soluo do sistema x = 0 e y = 0, pois{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0

{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.

Logo = 1 no autovalor de T.

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Ento

(x + y, 2x + y) = (x, y)

{

x + y = x2x + y = y

{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .


{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.


26 / 48



Ento

(x + y, 2x + y) = (x, y) {

x + y = x2x + y = y

{

(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .


{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.


26 / 48



Ento

(x + y, 2x + y) = (x, y) {

x + y = x2x + y = y

{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .


{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.


26 / 48



Ento

(x + y, 2x + y) = (x, y) {

x + y = x2x + y = y

{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .


{

y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.


26 / 48



Ento

(x + y, 2x + y) = (x, y) {

x + y = x2x + y = y

{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .


{y = 02x = 0

x = 0 e y = 0.


26 / 48



Ento

(x + y, 2x + y) = (x, y) {

x + y = x2x + y = y

{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .


{y = 02x = 0 x = 0 e y = 0.


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Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.

{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .

Passando matriz associada ao sistema:[1 12 1

]

[1 12

1 1]

[1 120

2+2+12

].

J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado, poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).

Isso ocorrer se, e somente se,2 + 2+ 1

2= 0.

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Vamos resolver o sistema, assumindo que 6= 1.{(1 )x + y = 02x + (1 )y = 0 .


]

[1 12

1 1]

[1 120

2+2+12

].



2= 0.

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]

[

1 121 1

]

[1 120

2+2+12

].



2= 0.

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]

[1 12

1 1]

[1 120

2+2+12

].



2= 0.

27 / 48





]

[1 12

1 1]

[1 120

2+2+12

].

J que um autovalor de T, o sistema acima deve ser possvel e indeterminado,

poisV um subespao vetorial (e deve conter infinitos vetores).


2= 0.

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]

[1 12

1 1]

[1 120

2+2+12

].



2= 0.

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Resolvendo a equao

2 + 2+ 12

= 0

2 + 2+ 1 = 0.

= 22 4(1)(1) = 8 = 28

2 = 12 ou = 1 +

2.

Logo os autovalores de T so = 12 e = 1 +2.

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Resolvendo a equao

2 + 2+ 12

= 0 2 + 2+ 1 = 0.

= 22 4(1)(1) = 8 = 28

2 = 12 ou = 1 +

2.


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Resolvendo a equao

2 + 2+ 12

= 0 2 + 2+ 1 = 0.

= 22 4(1)(1) = 8

= 28

2 = 12 ou = 1 +

2.


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Resolvendo a equao

2 + 2+ 12

= 0 2 + 2+ 1 = 0.

= 22 4(1)(1) = 8 = 28

2 = 12 ou = 1 +

2.


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O Polinmio Caracterstico

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Vimos no exemplo anterior que a determinao dos autovalores de um operador linearrecaiu na resoluo de uma equao polinomial.

Este polinmio desempenha um papel central na teoria.

Antes de defin-lo vejamos um resultado sobre resoluo de sistema lineares.

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Resoluo de Sistemas Utilizando Determinantes

Considere o sistema linear de n incgnitas e n equaes:a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

Podemos escrev-lo como uma equao matricial:a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

x1x2...xn

=

b1b2...bn

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Resoluo de Sistemas Utilizando Determinantes

Se a matriz A possui inversa, esta equao matricial tem soluo nica:x1x2...xn

=

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

1

b1b2...bn

.

Um resultado sobre matrizes diz que: A possui inversa se, e somente se, o determinantede A no nulo.

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Relembrando a Definio de Determinantes

Matriz de ordem 2:

A =[a bc d

]

det(A) = a bc d

= ad bc.Por exemplo:

det(A) = 1 23 4

= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.

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Matriz de ordem 2:

A =[a bc d

] det(A) =

a bc d

= ad bc.

Por exemplo:

det(A) = 1 23 4

= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.

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Matriz de ordem 2:

A =[a bc d

] det(A) =

a bc d = ad bc.

Por exemplo:

det(A) = 1 23 4

= 1 4 2 3 = 4 6 = 2.

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Matriz de ordem 3: Seja A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.

det(A) =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.

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Matriz de ordem 3: Seja A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

.det(A) =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.

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DefinioSeja A uma matriz de ordem n. O polinmio caracterstico de A

pA() = det(A I) =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

DefinioSejam V um espao vetorial de dimenso finita n e T um operador linear de V. Opolinmio caracterstico de T o polinmio caracterstico da matriz A associada a T (emrelao a qualquer base de V).

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TeoremaSejam V um espao vetorial de dimenso finita n e T um operador linear de V. Osautovalores de T so as razes do polinmio caracterstico de T.

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Exemplos: Nos exemplos abaixo consideremos a base cannica do espao em ques-to.

(a) (Reflexo em torno do eixo x) Considere a funo:

Rx : R2 R2(x, y) 7 (x,y)

Sabemos que a matriz do operador :

[Rx] = A =[1 00 1

].

Queremos calcular seus autovalores.

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Os autovalores de Rx so as razes do polinmio caracterstico de Rx.

p() = det(A I) =[1 00 1

]= (1 )(1 ) = 1 + 2.

Determinando as solues do polinmio caracterstico:

2 1 = 0 = 1 ou = 1.

Logo os autovalores de Rx so = 1 e = 1.

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p() = det(A I) =[1 00 1

]

= (1 )(1 ) = 1 + 2.


2 1 = 0 = 1 ou = 1.


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p() = det(A I) =[1 00 1

]= (1 )(1 ) = 1 + 2.


2 1 = 0 = 1 ou = 1.


38 / 48




p() = det(A I) =[1 00 1

]= (1 )(1 ) = 1 + 2.


2 1 = 0

= 1 ou = 1.


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p() = det(A I) =[1 00 1

]= (1 )(1 ) = 1 + 2.


2 1 = 0 = 1 ou = 1.


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(b) (Reflexo em torno do eixo y) Considere a funo:

Ry : R2 R2(x, y) 7 (x, y)


[Ry] = B =[ 1 0

0 1

].


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Os autovalores de Ry so as razes do polinmio caracterstico de Ry.

p() = det(B I) =[ 1 0

0 1 ]

= (1 )(1 ) = 1 + 2.


2 1 = 0 = 1 ou = 1.

Logo os autovalores de Ry so = 1 e = 1.

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p() = det(B I) =[ 1 0

0 1 ]

= (1 )(1 ) = 1 + 2.


2 1 = 0

= 1 ou = 1.


40 / 48




p() = det(B I) =[ 1 0

0 1 ]

= (1 )(1 ) = 1 + 2.


2 1 = 0 = 1 ou = 1.


40 / 48



(c) (Reflexo em torno da origem) Considere a funo:

RO : R2 R2(x, y) 7 (x,y)


[RO] = C =[ 1 0

0 1].


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Os autovalores de RO so as razes do polinmio caracterstico de RO.

p() = det(C I) =[ 1 0

0 1 ]

= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.


2 + 2+ 1 = 0 = 1.

Logo o nico autovalor de RO = 1.

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p() = det(C I) =[ 1 0

0 1 ]

= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.


2 + 2+ 1 = 0

= 1.


42 / 48




p() = det(C I) =[ 1 0

0 1 ]

= (1 )(1 ) = 1 + 2+ 2.


2 + 2+ 1 = 0 = 1.


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[R90 ] = D =[0 11 0

].


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Os autovalores de R90 so as razes do polinmio caracterstico de R90 .

p() = det(D I) =[ 1

1 ]

= ()2 (1 1) = 2 + 1.

O polinmio caracterstico no possui soluo. Logo R90 no possui autovalores.

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Documents

Algebra Linear - Aula 19 -Autovalores e Autovetores