8/16/2019 Algebra Linear - Álgebra Vetorial e Geometria Em r2 e r3

1/6

MARINHA DO BRASILDIRETORIA DE PORTOS E COSTAS

CURSO DE FORMAÇÃO DE OFICIAL DE NÁUTICA DA MARINHA MERCANTE - FONTCURSO DE FORMAÇÃO DE OFICIAL DE MÁQUINAS DA MARINHA MERCANTE - FOMQ

DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

SIGLA: ALI 1

ESPAÇOS VETORIAIS

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA EM R2 E R3 

PROF. RICARDO FERREIRA NETO

 

NOVEMBRO / 2007

Prof. Ri!r"o F#rr#ir! N#$o %o'(ro "# )**+

8/16/2019 Algebra Linear - Álgebra Vetorial e Geometria Em r2 e r3

2/6

ÁLGEBRA LINEAR

ESPAÇOS VETORIAIS

1. VETORES NO Rn 

Em várias aplicações físicas aparecem certas quantiaes! tais c"m" temperatura e massa! qup"ssuem s"mente #ma$nitue%& Estas p"em ser representaas p"r n'mer"s reais e s(" c)amaaescalares& *"r "utr" la"! tam+,m )á quantiaes! c"m" f"rça e vel"ciae! que p"ssuem am+a#ma$nitue% e #ireç("%& Essas quantiaes p"em ser representaas p"r flec)as -ten" c"mpriment"ireç(" apr"pria"s e emana" e um a" p"nt" e refer.ncia O e s(" c)amaas vetores&

ma$ine uma f"rça atuan" s"+re um c"rp"! esta p"ssui intensiae e ireç("! e sempre serrepresentaa p"r um vet"r&

F

1.1. Vetores no Plno

1"nsieran" um plan" cartesian" que c"nsiste e um sistema e c""renaas aas p"r upar e retas "rt"$"nais! c"m "rientaç("& i3aa uma uniae c"m c"mpriment"! um p"nt" * " planp"e ser ientifica" c"m " par (a, b) e n'mer"s reais! que s(" suas c""renaas&

  a

4a"s "is p"nt"s P  e Q " plan"! p"em"s c"nsierar " se$ment" e reta "rienta" PQ! c"

p"nt" inicial P  e p"nt" final Q& Em+"ra " c"n5unt" "s p"nt"s "s se$ment"s PQ e QP  se5am i$uac"m" se$ment"s "rienta"s eles s(" istint"s! s(" c)ama"s e se$ment"s "p"st"s& E3&6 

PQ, KL e RS  tem a mesma ireç(" RT   e KL tem " mesm" c"mpriment" PQ, RS e ZW  tem

mesm" c"mpriment"! mas "s 'nic"s se$ment"s c"m "rientações equivalentes s(" PQ e RS&8e$ment"s "rienta"s c"m p"nt" inicial na "ri$em s(" en"mina"s vetores no plano! sen" qu

s(" etermina"s e3clusivamente pel" p"nt" final! p"is " p"nt" inicial , fi3" na "ri$em& 9ssim pacaa p"nt" " plan" P(a, b)! está ass"cia" um 'nic" vet"r v : OP   e! recipr"camente! a" umvet"r! ass"ciam"s um 'nic" p"nt" " plan"! que , seu p"nt" final& 9ssim representam"s um vet"r !OP    pelas c""renaas " seu p"nt" final P(a, b).

*ara n"taç(" e um vet"r usam"s ! : (a, b) "u ! :    

  

 b

a

Prof. Ri!r"o F#rr#ir! N#$o %o'(ro "# )**+

Q

  S ,  L

R T

  ( P

  P

8/16/2019 Algebra Linear - Álgebra Vetorial e Geometria Em r2 e r3

3/6

ÁLGEBRA LINEAR

• O vetor nulo -que , s; um p"nt" será representa" p"r -0! 0&

• O vetor oposto -mesm" c"mpriment" e ireç(" "p"sta e ! : (a, b)! será en"ta" p"r" :(-a, -b)! "ne " # $ !&

 1.2.  O%er&'es (o) Vetores no Plno

• A*+&,o6 9 resultante - ! e "is vet"res , "+tia pela c)amaa lei " paralel"$ram"& 8(a, b) e (c, d) s(" e3tremiaes "s vet"res - e !! ent(" -a + c, b + d) seráe3tremiae e - !! c"m" m"stra a fi$ura6

 

+

+=

+=

d b

c aw 

uv w 

 

• M-lt+%l+(&,o %or Es(lr 6 O pr"ut"

8/16/2019 Algebra Linear - Álgebra Vetorial e Geometria Em r2 e r3

4/6

ÁLGEBRA LINEAR

p"nt" final P $ (a, b, c)& O vet"r !  : OP  c"stuma ser en"ta" pelas c""renaas e *& 9ssim sc)amarm"s e V " c"n5unt" e vet"res n" espaç"! p"em"s ientificar

V : @-3A! 32! 3! 3i ∈ RC : R 3 R 3 R : R3

1./. O%er&'es (o) Vetores no Es%&o

 9 s"ma e "is vet"res e " pr"ut" e um vet"r p"r um n'mer" -escalar tam+,m s(" efini"a mesma f"rma que n" plan"&

8e - : -3A! 32! 3 e ! : -DA! D2! D!

-  ! : -3A  DA! 32  D2! 3  D

8/16/2019 Algebra Linear - Álgebra Vetorial e Geometria Em r2 e r3

5/6

ÁLGEBRA LINEARb) u . w $ % . + (-&) . (-) + ' . + (-) . $ + + % & $ / 

1.. Nor) e D+st4n(+ no Rn

8e5am u  e v   vet"res "   n R  6

u : -u%, u& , ...., un ) e v $ (v %, v & , ....,v n ) 9 istHncia entre "s p"nt"s u e v ! escrita d(u, v)! , efinia p"r6

  ( ) ( ) ( )) ) )1 1 ) )8 6 9 ... n nd u v u v u v u v= − + − + + −  

 9 n"rma -"u c"mpriment" " vet"r u! escrita II u II! , efinia c"m" sen" a rai> quaraa! n(ne$ativa e u . u

  ) ) )1 ). ... nu u u u u u= = + + +

O5ser!&,o 1"m" u . u ≥ 0! a rai> e3iste& E d(u, v) $ II u II

Exemplo 2 6 Sejam u = (1, -2, 4, 1) , v = (3, 1, -5, $). Determie!

a d(u, v)+ II u IIc II u F v  II

  Solu"#o!

a) d(u, v) $ ( ) ( ) ( )( )   ( ))) ) )

1 / ) 1 7 1 *− + − − + − − + −

b) II u II : ( ))) ) ) ) ) ) )

1 ) / 7. 1 ) 7 1 1 7 1; 1 ))u u u u u u= + + + = + − + + = + + + =  c) u v $ ( % ' , & %, ( ), % /) $ ( &, ', %, %)

II u F v  II : ( ) ( )) ) ) )) / 1 1 7 < 1 1 1= − + − + + = + + + =

Exer%&%io'!

A 1alcule6

a -! GJ! K - A! A! G2+ -A! 2! G - J! GK! 0

c F-J! GK! GL F -GL! 7! G

2 8e5am u : -2! G7! A! v : -G! 0! J! : -0! K! G& Enc"ntre6

a u F Jv+ 2u v F K

Enc"ntre 3 e D

a se -3! : -2! 3 D

Prof. Ri!r"o F#rr#ir! N#$o %o'(ro "# )**+

8/16/2019 Algebra Linear - Álgebra Vetorial e Geometria Em r2 e r3

6/6

ÁLGEBRA LINEAR+ se -J! D : 3 -2! c se 3 -2! D : D -A! G2

 J Enc"ntre 3! D e >! se6

a -2! G! J : 3 -A! A! A D -A! A! 0 > -A! 0! 0+ -GA! ! : 3 -A! A! 0 D - 0! 0! GA > -0! A! A

K 1alcule u . v ! "ne6

a u : - 2! G! L e v  : - ! 2! G+ u $ -A! G! 0! K e v  : -! L! Jc u : - & FK! 2! A e v  : -J! A! G2! K

L 4etermine < e m"" que "s vet"res u e v  se5am "rt"$"nais! "ne6

a u : - A!

7 Enc"ntre a istHncia d(u, v) entre "s vet"res u e v ! "ne6

a u : -A! 7 e v  : -L! GK+ u $ -! GK! J e v  : -L! 2! GAc u $ -K! ! G2! GJ! GA e v  : - 2! GA! 0! G7! 2

  Enc"ntre < tal que d(u, v) : L! "ne u : -2!

  Enc"ntre a n"rma II u II! " vet"r 6

a u $ -2! G7

+ u : -! GA2! GJ

A0 4etermine < tal que II u II : /<   ! "ne u : -A!

Prof. Ri!r"o F#rr#ir! N#$o %o'(ro "# )**+