ALGEBRA LINEAL - . UnADM. (2) - Sin autor (2011). Gua Docente. Algebra lineal. Grado en Ingenieria en tecnologas de telecomunicacin, ingeniera

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  • UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

    ALGEBRA LINEAL ACTIVIDAD 1

    Carlos Antonio Daniel Cabrera Rangel

    Divisin de Ciencias de la Salud, Biolgicas y Ambientales. Ingeniera en Biotecnologa. Primer Semestre.

  • ALGEBRA LINEAL. CONCEPTOS, y ANTECEDENTES HISTORICOS.

    lgebra lineal es una de las tantas ramas de las matemticas, la cual se basa en el estudio de los siguientes conceptos: vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales, as como de los espacios vectoriales y transformaciones (1). El lgebra lineal es una de las reas que integran la formacin bsica en matemticas de ingenieros y cientficos (2). Es un rea activa que tiene conexiones con muchas reas dentro y fuera de las matemticas, como el anlisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigacin de operaciones, las grficas por computadora, la ingeniera, etc. (3). En lgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los clculos, por lo que se convierte en un curso adecuado para introducir el pensamiento abstracto, debido a que una gran parte de su campo tiene una interpretacin geomtrica, que puede ayudar precisamente a visualizar esos conceptos (4). Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evolutivo, el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte de su vida cotidiana (5). Como resultado de este proceso, el ser humano ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solucin al problema especfico que lo afecta. Todo esto con el propsito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su medio local (1). Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Algebra lineal, se han encontrado en el documento matemtico ms antiguo que ha llegado hasta nuestros das: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido tambin como el Libro de Clculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahms hacia el ao 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855 (5). En l se encuentran los primeros conocimientos acerca del lgebra lineal. Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hiertica y fue concebido originalmente como un manual prctico para los no iniciados (1). Por su parte, los babilonios saban cmo resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, completando cuadrados o sustitucin, as como tambin ecuaciones cbicas, bicuadrticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Algunos ejemplos que se encontraron sobre dichos problemas datan del ltimo perodo sumerio, aproximadamente del ao 2100 a.C. (1). En tanto, los matemticos chinos durante los siglos III y IV a.C., continuaron la tradicin de los babilonios y proporcionaron los primeros mtodos del pensamiento lineal (1). A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal (5). En 1843, el matemtico irlands Sir William Rowan Hamilton descubre los Cuaterniones como el primer y nico anillo de divisin no conmutativo sobre los nmeros reales (5). En esa poca aparecen con Hamilton, Arthur Cayley, y Hermann Gnther Grassmann, las nociones de vector y de espacio vectorial, como una axiomatizacin de la idea de vector manejada por los estudiosos de la Mecnica desde fines del siglo XVII, un hecho que represent la gnesis del Clculo vectorial y de la Matemtica moderna (1) (5). Grassmann, introdujo el producto geomtrico y lineal, siendo el primero de stos, equivalente al producto vectorial. El primero que utiliz el trmino matriz fue el matemtico ingls James Joseph Sylvester en 1850, quien defini una matriz como un arreglo cuadrilongo de trminos. Tiempo despus estableci contacto con Cayley, quien rpidamente entendi la importancia del concepto de matriz (1). Uno de los principales mritos de Cayley fue la introduccin de las operaciones bsicas de suma y multiplicacin de matrices, aunque indicios de stas ya aparecan en trabajos anteriores de Euler, Lagrange y Gauss. Adems, Cayley prob que la multiplicacin de matrices es asociativa, e introdujo las potencias de una matriz, as como las matrices simtricas y antisimtricas (1). Desde entonces, el lgebra ha evolucionado y seguido varias lneas de desarrollo; por ejemplo, el lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica, al poner ms atencin en las estructuras matemticas (1). Los conceptos y mtodos del lgebra lineal han contribuido decisivamente al desarrollo de muchas reas del conocimiento tanto dentro como fuera de la Matemtica (5). La formulacin de un problema concreto en trminos del algebra lineal ha sido uno de los mtodos ms efectivos para hallar su solucin (5).

    EL VECTOR.

    El concepto de vector est motivado por la idea del desplazamiento en el espacio. Si una partcula se mueve de P a Q, ella determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q (P Q) (6).

  • El vector es un segmento de recta dirigido. Cualquier segmento de recta, se conoce como una representacin del vector (7). Un vector tiene muchas representaciones, dependiendo del lugar donde se ubique su punto inicial (7). Las partes que componen un vector son: Punto inicial: es el punto del plano en donde inicia o parte el vector. Punto final: es el punto del plano en donde finaliza el vector. Magnitud: es la longitud o tamao del vector. Direccin: est formada por la lnea que se sigue para ir desde el punto inicial hasta el punto final. Sentido: es el lugar hacia donde apunta el vector, puede ser arriba, abajo, izquierda, derecha, etctera. (7). Existen distintos tipos o clases de vectores: Vectores Equipolentes: Cuando dos vectores tienen la misma magnitud, direccin y sentido, se dice que son equipolentes. Vectores Libres: El conjunto de los vectores equipolentes recibe el nombre de vectores libres. Es decir, un vector libre es el grupo de vectores que cuentan con la misma magnitud, direccin y sentido. Vectores Fijos: Un vector fijo es el representante de un vector libre. Estos vectores sern iguales slo si tienen igual magnitud, direccin y sentido; y si cuentan con el mismo punto inicial. Vectores Ligados: Son aquellos vectores equipolentes que se encuentran en la misma recta. Esta clase de vectores tendrn la igual direccin, magnitud, sentido y adems formarn parte de la misma recta. Vectores Opuestos: Cuando dos vectores tienen la misma direccin, la misma magnitud pero distinto sentido, reciben el nombre de vectores opuestos. Vectores Unitarios: Son vectores de magnitud uno. Si se quiere obtener un vector unitario con la misma direccin y sentido, a partir del vector dado, se debe dividir a este ltimo por su magnitud. Vectores Concurrentes: Si dos vectores tienen el mismo origen se los denomina vectores concurrentes. (8).

    a) b) c) d) e)

    f) g)

    Figura II. Tipos de Vectores: a) Vectores Equipolentes, b) Vectores Libres, c) Vectores Fijos, d) Vectores Ligados, e) Vectores Opuestos, f) Vectores Unitarios, g) Vectores Concurrentes.

    Figura I. Izquierda: representacin

    grfica del vector. Derecha: componentes

    del vector.

  • OPERACIONES CON VECTORES.

    Los vectores poseen ciertas propiedades que permiten sumarlos, restarlos y multiplicarlos; sin estas propiedades prcticamente serian inservibles, ya que se utilizaran nicamente como la representacin de un problema sin mayor uso que eso (9).

    Suma de Vectores. Sean u = (a1, a2) y v = (b1, b2) dos vectores en el plano, se define la suma de dos vectores como un nuevo vector, cuyas componentes estn formadas por la suma de las componentes de u y de v; el vector resultante de la suma se denota por u + v, y la suma se representa como: u + v = (a1 + b1, a2 + b2) (10).

    Resta de Vectores. Para poder obtener la resta de dos vectores, se restan las coordenadas que se encuentran en la misma posicin de cada uno de los vectores. Sean u = (a1, a2) y v = (b1, b2) dos vectores en el plano, encontrar la diferencia de los vectores v u = (b1 a1, b2 a2) (11).

    Multiplicacin de un Escalar por un Vector. Se utilizarn los vectores y se multiplicarn por un escalar, o bien, por un nmero. Sea el vector v = (a, b) y sea un nmero; se tiene que: v = (a, b).

    Con lo que |v| =

    =

    =|| =||*|v| Esto significa que cuando un vector es multiplicado por un escalar distinto de cero, hace que la longitud de dicho vector se multiplique por el valor absoluto del escalar (12).

    Figura III. Suma de vectores.

    Figura IV. Resta de vectores.

    Figura V. Multiplicacin de un escalar por un vector.

  • Propiedades del producto de un Vector por un Escalar. Cuando un vector es multiplicado por un escalar, o bien por un nmero, ello puede causarle un cambio de sentido o de magnitud. Sea v y w vectores y sean y escalares; entonces, se cumplen las siguientes propiedades del producto: u tambin es un vector.

    (u + v) = u + v ( + )u = u + u

    (u) = ()u (13).

    PRODUCTOS VECTORIALES. El producto vectorial ( producto cruz) es una multiplicacin entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal (perpendicular) a ambos. Dado que el resultado es otro vector, se define su magnitud, direccin y sentido (14). La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ngulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos (15):

    La direccin es sobre la recta ortogonal (perpendicular) a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos (14). El sentido se calcula con la regla del tirabuzn, imaginando que gira por la recta ortogonal del origen entre uno y otro