Algebra Lineal Avanzada

Universidad Mayor de San SimonFacultad de Ciencias y Tecnologa Carrera de Matematicas

Algebra Lineal

Hans C. Muller Santa Cruz

Cochabamba, .

Contenido

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiI.- Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.- Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.- Espacios de Generacion Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.- Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.- Anillo de Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.- Matriz de una Aplicacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.- Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.- Operaciones Elementales sobre Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.- Signo de las Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.- Formas Multilineales Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.- Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.- Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II.- Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.- Espacios Vectoriales Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.- Dual de un Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.- Formas Bilineales Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.- Espacios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.- Formas Hermticas, Espacios Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

III.- Formas Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.- Vectores y Valores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.- Triangularizacion y Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.- Endomorfismos Normales de un Espacio Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.- Descomposicon Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.- Teorema de Hamilton Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.- Endomorfismos Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.- Descomposicion de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Prefacio

El Algebra Lineal es una de las ramas fundamentales de las Matematicas; por un lado, porque es herramientade trabajo imprescindible en otras areas de las matematicas como el Analisis, la Geometra, el AnalisisNumerico, las Estadsticas y otras; por otro lado, las aplicaciones del Algebra Lineal en la solucion deproblemas de otras disciplinas y ciencias es moneda corriente.

El texto de Algebra Lineal esta inscrito dentro el desarrollo que pretende dar la Carrera de Matematicasen su nueva formulacion. Este texto contiene lo mas importante dentro lo que es el Algebra Lineal, dandoel vocabulario y conceptos de base para una buena utilizacion, presentando los razonamientos de manerarigurosa y en lo posible elegante, mostrando ejemplos donde el Algebra Lineal es un instrumento de soluciona los problemas presentados.

Para un buen asimilacion de los conocimientos y razonamientos de este texto; las definiciones y conceptosmas significativos estan escritos en negrillas, estos deberan ser memorizados y manipulados fluidamente.Los resultados mas importantes estan expresados en los teoremas, corolarios y proposiciones, estos deberantambien ser memorizados para manejarlos de manera fluida. Las demostraciones de este texto deberan sertrabajadas, con la finalidad de adquirir las diferentes tecnicas de demostracion que se emplean en el AlgebraLineal. Con fines pedagogicos, en algunos paragrafos se presentan los resultados fundamentales que serantratados en el paragrafo en cuestion, estos estan escritos en caracteres italicos.

La practica del curso, es una fuente para practicar los conocimientos adquiridos y as mismo como unmedio de adquirir conocimientos adicionales. Por lo tanto, una resolucion en gran numero de estos ejercicios,podra medir el grado de asimilacion del estudiante.

Captulo I

Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

I.1 Preliminares

Cuerpos Conmutativos

Tanto en el colegio, como en los primeros cursos universitarios, se ha tenido un contacto directo con:

Q el conjunto de los numeros racionales = {n/m|n, m enteros, m != 0};R el conjunto de los numeros reales;C el conjunto de los numeros complejos.

Estos tres conjuntos estan dotados de:

una adicion: +

una multiplicacion:

que verifican las tres familias de axiomas:

I. Adicioni) la adicion es conmutativa, + = + .ii) la adicion es asociativa, (+ ) + = + ( + ).iii) existe un elemento cero 0 tal que 0 + = + 0 = , .iv) existe un opuesto , tal que + () = 0.

II. Multiplicacioni) la multiplicacion es conmutativa, = .ii) la multiplicacion es asociativa, ( ) = ( ).iii) existe el elemento uno 1, tal que 1 = , .iv) != 0, posee un inverso 1 = 1/, tal que 1 = 1.

III. Distributividadi) ( + ) = + .ii) (+ ) = + .Un conjunto K, provisto de una adicion y de una multiplicacion se llama cuerpo conmutativo, si

satisface los tres grupos de axiomas mencionados mas arriba.Remarca.- Un conjunto K provisto de una adicion y de una multiplicacion que satisface las tres familias deaxiomas, quizas excepto el axioma II.i se llama cuerpo.

Proposicion I.1.1.- En un cuerpo conmutativo K, se tiene1) El elemento 0 es unico.2) El opuesto de es unico.3) El elemento 1, as como el inverso de != 0 son unicos.4) Se tiene + = = 0.

2 I Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales

5) Se tiene 0 = 0, .Demostracion:1.- Supongase que 0 y 0 son ceros, entonces

0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 0 = 0.

2.- Sea K, y opuestos de . Se tiene

= + 0 = + (+ ()) = (+ ) + () = 0 + = .

3.- Ejercicio.4.- trivial,

+ = ,(+ ) + () = + (),+ (+ ()) = 0,

+ 0 = 0 = 0.

5.- Utilizando el punto 4) de la proposicion, se tiene

0 = (0 + 0), 0 = 0 + 0 0 = 0. !

En lo que sigue del captulo K denotara un cuerpo conmutativo. Se convendra = + () y = .

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial sobre K, K-espacio vectorial, es un conjunto V provisto de dos operaciones:

V V V

(x, y) ) x + yadicion

K V V

(, x) ) xmultiplicacion por escalar

que verifican los dos sistemas de axiomas:I Adicion

i) la adicion es conmutativa x + y = y + x, x, y V .ii) la adicion es asociativa (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V .iii) existe un cero, 0 V tal que 0 + x = x, x V .iv) Todo x V posee un opuesto x, tal que x + (x) = 0.

II Multiplicacion por escalari) (x) = ()x, , K, x V .ii) (+ )x = x + x, , K, x V .iii) (x + y) = x + y, K, x, y V .

Definicion I.1.2.- Un subconjunto U != de V espacio vectorial, es un subespacio vectorial de V , si

x, y U x + y U, , K.

Ejemplos

I.1 Preliminares 3

1.- K es un espacio vectorial sobre K, para la adicion y la multiplicacion de K.2.- Sea Kn = {(1,2, . . . ,n)|i K, i = 1, . . . , n}, con la adicion y la multiplicacion por escalar,

definidas:(1,2, . . . ,n) + (1,2, . . . ,n) = (1 + 1,2 + 2, . . . ,n + n),

(1,2, . . . ,n) = (1,2, . . . ,n),

es un espacio vectorial sobre K.3.- {0} V y V son subespacios vectoriales de V , si V es un espacio vectorial. Son conocidos como los

subespacios triviales de V.

Proposicion I.1.3.- En un espacio vectorial V , sobre un cuerpo K, se tiene:1.- El elemento 0 V es unico, as como el opuesto x.2.- y V , y + y = y y = 0.3.- 0 = 0, K.4.- 0x = 0, x V .5.- Sean K, x V , entonces

x = 0 = 0 o x = 0.

Demostracion.- Los incisos 1,2,3,4 ejercicios. El punto 5, si = 0 esta demostrado, sino != 0, porconsiguiente

1(x) =10,

1x = 0,

x = 0. !

Convencion.- Generalmente el elemento cero 0 de V espacio vectorial se lo denota tambien 0. En lo quesigue se utilizara esta notacion.

Ejemplos4.- Sea X un conjunto no nulo, se define

KX = {f : X K}

el conjunto de las aplicaciones de X en K. KX es un espacio vectorial para

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f)(x) = (f(x))(I.1.1)

El cero de KX es la aplicacion 0 : x ) 0.En particular RR = {f : R B} es un espacio vectorial con las operaciones (I.1.1).

5.- C0(R, R) = {f : R R, continua} es un espacio vectorial con las leyes (I.1.1).6.- Se dice que p : R R es polinomial si

p(t) =n

i=0

iti, i R, n != 0;

n es el grado de p. Se denota P el conjunto de las funciones polinomiales y Pn el conjunto de lasfunciones polinomiales de grado n.Ejercicio.- Mostrar que P es un subespacio vectorial de C0(R, R) y Pn es un subespacio vectorial de P.Remarca.- Un subespacio vectorial es en si mismo es un espacio vectorial.

7.- Consideremos el sistema lineal homogeneo de n ecuaciones y m incognitas, dado por

a111 + a122 + + a1mm = 0...

...an11 + an22 + + anmm = 0


donde los aik pertenecen a K.Ejercicio.- Mostrar que las soluciones de este sistema forman un subespacio vectorial de Km.

Proposicion I.1.4.- Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. El conjunto producto

V W = {(v, w)|v V, w W}

es un K-espacio vectorial, para

(v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2),

(v, w) = (v,w).

Demostracion.- Ejercicio.

Proposicion I.1.5.- Sea {Ui}iI una familia de subespacios de V . Entonces

iI

Ui es un subespacio vectorial

de V , donde

iI

Ui = {x V |x Ui, i I}.


Remarca.-

iI

Ui = {x V |i I, con x Ui} no es en general un subespacio vectorial de V .

Definicion I.1.6.- Sea A un subconjunto de V . El subespacio engendrado por A es el subespacio vectorialmas pequeno que contiene A, se lo denota por < A >.

Se tiene < >= {0}. Existen subespacios de V que contienen un subconjunto A de V , por ejemplo Vmismo. Por consiguiente se tendra

< A >=

AU subespacio

U.

En realidad < A > esta formado por el conjunto de las v V que se escriben bajo la forma

v =

suma finita

iai, i K, ai A.

Mostrar esta ultima afirmacion es un interesante ejercicio, hacerlo.Se dice que A V engendra V si y solamente si < A >= V . Por la anterior observacion, esta definicion

significa que todo v V se escribe como

v =

suma finita

iai, i K, ai A.

Ejemplos8.- K espacio vectorial sobre K. Sea != 0, entonces < {} >= K. En efecto, sea K, se tiene

= (1).9.- Kn. Introducimos los elementos

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1).

{e1, e2, . . . , en} engendra V . En efecto sea (1, . . . ,n) Kn, se tiene

1, . . . ,n) =n

i=1

iei.

I.1 Preliminares 5

10.- Ejercicio.- Mostrar que

< {t ti}i0 >= P y Pn =< {t ti}ni=0 >

11.- Sean U1, U2, . . . , Un subespacios vectoriales de V , se denota

U1 + U2 + + Un

el subespacio engendrado porn

i=1

Ui.

Ejercicio.- Mostrar que los elementos den

i=1

son aquellos de V que se escriben bajo la forma

v =n

i=1

ui, ui U.

Definicion I.1.7.- Se dice que la familia {v1, . . . , vm} de V es linealmente dependiente si y solamentesi existen 1,2, . . . ,n K no todos nulos, tales que

n

i=1

ivi = 0.

Si {v1, . . . , vm} no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente; es decir,{v1, . . . , vm} es linealmente independiente si y solamente si

n

i=1

ivi = 0 1 = 2 = = m = 0.

Se dice que != A V , no necesariamente finito, es linealmente dependiente, si existe {v1, . . . , vm} Alinealmente dependiente.Se dice que != A V , no necesariamente finito, es linealmente independiente si toda familia finita{v1, . . . , vm} A es linealmente independiente. Se conviene que es linealmente independiente.

Ejemplos12.- A = {0}, entonces A es linealmente dependiente.13.- Los vectores ei, i = 1, . . . , n de Kn definidos en el ejemplo 9, forman una familia linealmente indepen-

diente.14.- Sea V != {0} un espacio vectorial, 0 != x V , entonces {x} es linealmente independiente. En efecto,

utilizando la proposicion (I.1.3), punto 5, se tiene x = 0 = 0.15.- Sea P el espacio de las funciones polinomiales reales.

Ejercicio.-Mostrar que el conjuntoA = {t ) ti}i0

es una familia linealmente independiente de P.

Definicion I.1.8.- Se dice que B V es una base de V espacio vectorial si y solamente si B es linealmenteindependiente y B engendra V .

Ejemplos16.- V = K, sea K, con != 0, entonces {} es una base de K.17.- V = Kn. El conjunto {e1, e2, . . . , en} es una base de Kn.18.- {t ) ti}ni=0 es una base de Pn.


Proposicion I.1.9.- El subconjunto xiiI del espacio vectorial V es una base de V , si y solamente si todoelemento v V se escribe de manera unica bajo la forma

v =

sumafinita

ivi, i K.

Demostracion.- En los ejercicios propuestos de la practica.

Aplicacion a los Sistemas Lineales

a111 + a122 + + a1mm = 0...

...an11 + an22 + + anmm = 0

(I.1.2)

Planteandoa1 =(a11, a21, . . . , an1) Kn,

...

am =(a1m, a2m, . . . , anm) Kn,b =(b1, b2, . . . , bn) Kn.

El sistema (I.1.2) es equivalente a resolver 1a1 + 2a2 + + mam = b. Por consiguiente:i) El sistema (I.1.2) tiene una solucion, si y solamente si b < {a1, . . . , am} >.ii) Si {a1, . . . , am} es linealmente independiente y (I.1.2) tiene solucion, entonces esta es unica.

I.2 Espacios de Generacion Finita 7

I.2 Espacios de Generacion Finita

Se dice que el espacio vectorial V es de generacion finita si posee un sistema de generadores finito, esdecir si existe v1, v2, . . . , vn V , tales que todo v V , se escribe como

v =n

i=1

ivi, i K.

Ejemplos1.- Kn es de generacion finita, porque es engendrado por {e1, e2, . . . , en}.2.- El espacio P de las funciones polinomiales no es de generacion finita. Esto se vera mas adelante.3.- Ejercicio.- Si V y W son espacios vectoriales sobre K cuerpo, mostrar que V W es de generacion

finita.En este paragrafo se vera como resultado principal que los espacios vectoriales de generacion finita

tienen bases finitas, ademas que todas las bases de un espacio vectorial de generacion finita tienen el mismonumero de elementos.

Teorema I.2.1.- Intercambio de Grassmann.- Sea V != {0} un espacio de generacion finita. Sea Gr ={y1, y2, . . . , yr} un sistema de generadores de V . Sea L = {x1, . . . , xs} un subconjunto linealmente indepen-diente en V . Entonces:

i) r s;ii) Existen (r s) elementos yis+1 , yis+2 , . . . , yir de Gr tales que

{x1, . . . , xs, yis+1 , yis+2 , . . . , yir} engendra V.

Demostracion.- Por induccion sobre s, donde s es el numero de elementos de L. Para s = 0, el enunciadoes cierto de manera trivial.

Supongamos cierto el teorema para s 1, con s > 0. A demostrar que el teorema es cierto para s.Se utiliza la hipotesis de induccion para L = {x1, x2, . . . , xs1}, obteniendo:i) r (s 1),ii) existen yis , yis+1 , . . . , yir en Gr tales que

{x1, . . . , xs1, yis , yis+1 , . . . , yir} engendra V.

Si es necesario renumerar los yi, se puede suponer que yij = yj , es decir{x1, . . . , xs1, ys, . . . , yr} engendra V .

Por lo tanto, el elemento xs se puede escribir como combinacion lineal dex1, . . . , xs1, ys, . . . , yr

xs =s1

i=1

ixi +r

j=s

jyj ,

los j no son todos nulos, sino L sera linealmente dependiente.De ah, se deduce que r s, existe un j, con j != 0. Si es necesario renumerar los yj , se puede suponer

que s != 0. De donde

xs =s1

i=1

ixi + sys +r

j=s+1

jyj . (I.2.1)

El siguiente paso, es mostrar que {x1, . . . , xs, ys+1, . . . , yr} engendra V . Sea v V , por hipotesis de induccion,se puede escribir

v =s1

i=1

ixi + sys +r

i=s+1

jyj , (I.2.2)


por otro lado, se tiene a partir de (I.2.1)

ys =s1

i=1

is

xi +1

sxs +

r

j=s+1

js

yj ,

introduciendo esta ultima expresion en (I.2.2) y efectuando los calculos necesarios se llega a

v =s

i=1

ixi +r

i=s+1

jyj .

!

Corolario I.2.2.- Sea V un espacio vectorial de generacion finita y Gr un sistema de generadores de V .Entonces todo subconjunto linealmente independiente contiene a lo mas #(Gr).

Consecuencia.- Sea V un espacio vectorial, se supone que V contiene un subconjunto infinito linealmenteindependiente, entonces V no es de generacion finita. Por lo tanto P, no es de generacion finita.Corolario I.2.3.- Sea V espacio vectorial de generacion finita y L un subconjunto linealmente independientede V . Entonces se puede completar L en un sistema finito de generadores de V .

Teorema I.2.4.- Un espacio vectorial de generacion finita, posee bases finitas. Mas precisamente, de todosistema de generacion finita, se puede extraer una base; es decir si Gr V engendra V , existe una base Bde V con B Gr. Si el espacio es V = {0}, se conviente que es la base de V .Demostracion.- Supongamos que V != {0}, sino el teorema esta mostrado. Sea Gr = {y1, y2, . . . , yr} unsistema de generadores de V . Se elige B Gr tal que B es linealmente independiente y B es maximal paraesta propiedad; es decir, si B ! B Gr, entonces B es linealmente dependiente. La existencia del conjuntoB esta asegurada por que todo subconjunto linealmente en V cuenta con un numero finito de elementos yademas este numero esta acotado por r, el numero de generadores de Gr.

Afirmamos que B es una base, con lo que el teorema estara demostrado. En efecto, B es linealmenteindependiente por construccion. Solo queda mostrar que B engendra V . Si es necesario renumerar, se puedesuponer que

B = {y1, y2, . . . , ys}.

Si s = r, se tiene B = Gr y por consiguiente B es un sistema de generadores.Si s < r, por maximilidad de B, el subconjunto {y1, y2, . . . , ys, yi}, para i = s + 1, . . . , r es linealmentedependiente. Por lo tanto para cada i = s+1, . . . , r, existen 1,2, . . . ,n y K no todos nulos, tales que

s

k=1

kyk + yi = 0.

Se observa que != 0, por que sino B no sera linealmente independiente.Por consiguiente

yi =s

k=1

k

yk, s < i r. (I.2.3)

Por otro lado, sea v V , como Gr es un sistema de generadores, se tiene tambien

v =s

k=1

kyk +r

i=s+1

iyi, j K.

Introduciendo (I.2.3), en cada uno de los yi con s < i r, se tiene finalmente

v =s

k=1

kyk. !

I.2 Espacios de Generacion Finita 9

Proposicion I.2.5.- Sea V un espacio vectorial de generacion finita. Entonces, todas las bases de B sonfinitas y comportan el mismo numero de elementos. Este numero se llama dimension de V y se escribe

dimK V, dim(V ), dimV.

Se tiene que dimV es el numero maximo, respectivamente mnimo, de elementos de un subconjunto lineal-mente independiente en V , respectivamente que engendra V .

Demostracion.- a) Por el corolario I.2.2 del teorema de Grassman, todas las bases de V son finitas.b) Sean {v1, v2, . . . , vn} y {v1, v2, . . . , vm} dos bases de V . Utilizando el teorema de Grassmann con:

Gr = {v1, v2, . . . , vn}, L = {v1, v2, . . . , vm} m n,Gr = {v1, v2, . . . , vm}, L = {v1, v2, . . . , vn} m m.

c) Se denota d la dimension de V . Sea L un subconjunto linealmente independiente de V . Por el teoremade Grassmann, con Gr una base y L, se tiene

d = #(Gr) #(L).

d) Sea Gr un subconjunto finito de V que engendra V y B una base de V , por el teorema de Grassmann, setiene

#(GR) #(B) = d. !

Ejemplos4.- dim(Kn) = n.5.- dim(Pn) = n + 1.6.- Ejercicio.- Mostrar que si V y W son de generacion finita, entonces V W es de generacion finita y

ademasdim(V W ) = dim(V ) + dim(W ).

Remarca En general un espacio vectoria posee bases y todas sus bases tienen el mismo numero deelementos, o si V no es de generacion finita, se dice que V es de generacion infinita.

Proposicion I.2.6.- Sea V de dimension d y v1, v2, . . . , vn n elementos de V , entonces:i Si n > d, {v1, v2, . . . , vn} es linealmente dependiente.ii Si n < d, {v1, v2, . . . , vn} no engendra V .iii Si n = d, los enunciados siguientes son equivalentes:

a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente,b) {v1, v2, . . . , vn} engendra V ,c) {v1, v2, . . . , vn} es una base de V .

Demostracion.- Los incisos i,ii como Ejercicio. Mostremos el inciso iii).a)b) Sea B = {x1, . . . , xd} una base de B, utilizando Grassman con Gr = B y L = {v1, v2, . . . , vn}, setiene que {v1, v2, . . . , vn} engendra V .b)c) De todo sistema de generadores se puede extraer una base.c)a) trivial. !

Proposicion I.2.7.- Sea V un espacio vectorial de generacion finita. Entonces, todo conjunto linealmenteindependiente puede ser completado en una base de V .

Demostracion.- Sea L = {x1, . . . , xs} un subconjunto linealmente independiente. B = {y1, . . . , yd} unabase de V . Por el teorema de Grassmann, si es necesario renumerar los yi, el subconjunto

{x1, . . . , xs, ys+1, . . . , yd}

engendra V . De la proposicion I.2.6, se deduce que {x1, . . . , xs, ys+1, . . . , yd} es una base de V . !


Proposicion I.2.8.- Sea V de generacion finita y U un subespacio de V . Entonces, U es de generacionfinita y se tiene dim(U) dim(V ). Ademas

dim(U) = dim(V ) U = V.

Demostracion.- Se observa que un subconjunto linealmente independiente de U es tambien un subconjuntolinealmente independiente de V .

Los subconjuntos linealmente independientes de V , tienen a lo sumo dim(V ) elementos. Por lo tanto,los subconjuntos linealmente independientes de U son finitos con a lo mas dim(V ) elementos.

Se elige B = {u1, u2, . . . , un} un subconjunto linealmente independiente maximal; es decir, si B ! B U , entonces B es linealmente dependiente.

Afirmamos que B es una base de U , con lo que estara demostrado que U es de generacion finita ydim(U) dim(V ). En efecto, sea u U , a demostrar que existe 1, . . . ,n K, tales que

u =n

i=1

iui.

Si u {u1, u2, . . . , un} esta claro.Si u ! {u1, u2, . . . , un}, se considera B = {u1, u2, . . . , un, u}, por maximilidad B es linealmente dependiente.Por consiguiente, existen 1, . . . ,n, no todos nulos tales que

0 =n

i=1

iui + u.

beta != 0, sino B sera linealmente dependiente, entonces

u =n

i=1

i

ui.

Falta probar que dim(U) = dim(V ) U = V . Sea B = {u1, . . . , un} una base de U, es por lo tanto unsubconjunto linealmente independiente de U y por consiguiente de V , por la proposicion I.2.6 inciso iii), Bes una base de V . La implicacion del otro sentido es trivial !

Proposicion I.2.9.- (Formula de Dimension).- Sea V de generacion finita. P y Q subespacios de V .Entonces

dim(P + Q) = dim(P ) + dim(Q) dim(P Q).

Demostracion.- En los ejercicios de la Practica.

Ejemplo7.- La interseccion de dos planos vectoriales diferentes en R3 es una recta vectorial. En efecto, se tiene:

P + Q = R3, porque sino P = Q,aplicando la formula de dimension de subespacios, se deduce quedim(P Q) = 1.

I.3 Aplicaciones Lineales 11

I.3 Aplicaciones Lineales

Definicion I.3.1.- Sean V y W dos espacios vectoriales. Se dice que la aplicacion

f : V W

es lineal, o homomorfismo de espacios vectoriales, si

f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2), v1, v2 V ;f(v) = f(v), K, v V.

Remarca.- f(0) = 0, en efecto f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0).Se denota por Hom(V, W ) el conjunto de las aplicaciones lineales de V en W .

Proposicion I.3.2.- Hom(V, W ) es un espacio vectorial para las operaciones definidas por:

(f + g)(v) = f(v) + g(v),

(f)(v) = f(v).


Definicion I.3.3.- Una aplicacion lineal biyectiva se llama isomorfismo, una aplicacion lineal f : V Vse llama endomorfismo, End(V ) = Hom(V, V ). Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo,Gl(V ) = {automorfismos de V }.

Ejemplos y/o Ejercicios1.- Sea U un subespacio de V espacio vectorial, entonces la inclusion

U Vu ) u

es lineal.2.- La aplicacion definida por

Kn Kn

(1, . . . ,n) ) (1, . . . ,p, 0, . . . , 0) p n

es lineal.3.- V = R2. Las siguientes aplicaciones, estudiadas en el curso de Geometra, son lineales:

rotacion de centro O,simetra de eje que pasa por 0,homotecia de centro 0.

4.- Si V = P espacio de las funciones polinomiales. Las siguientes aplicaciones son lineales:

D : P Pp ) p

Dn : P Pp ) p(n)

5.- Consideremos V = C0([0, 1], R) = {f : [0, 1] R continua}. Las siguientes aplicaciones son lineales:

C0([0, 1], R) Rf ) f(a), a [0, 1]

f ) 1

0f(t)dt.


La aplicacion f maxx[0,1]

|f(x)| no es lineal.

6.- Consideremos el sistema

a111 + a122 + + a1mm = b1...

...an11 + an22 + + anmm = bn

(I.3.1)

Planteandoa1 =(a11, a21, . . . , an1) Kn,

...

am =(a1m, a2m, . . . , anm) Kn,b =(b1, b2, . . . , bn) Kn.

La escritura vectorial de (I.3.1) esta dada por 1a1 + 2a2 + + mam = b.Se asocia a (I.3.1) la aplicacion lineal

a : Km Km

(1, . . . , m) ) 1a1 + 2a2 + + mam

Resolver el sistema (I.3.1) es equivalente a encontrar = (1, . . . , m) Km tal que

a() = b.

7.- Sea f : V W un isomorfismo, entonces f1 : W V es lineal.En efecto

f1(w1 + w2) = f1(f(v1) + f(v2)) = f

1(f(v1 + v2)) = v1 + v2 = f1(w1) + f

1(w2),

f1(w) = f1(f(v)) = f1(f(v)) = v = f1(w).

El resultado principal de este paragrafo, esta dado por: Si V y W son espacios vectoriales, {v1, . . . , vn}una base de V , entonces para toda sucesion (w1, w2, . . . , wn) de elementos de W , existe exactamente unaaplicacion lineal f : V W tal que f(vi) = wi, para i = 1, 2, . . . , n.

Definicion I.3.4.- Sean P y Q dos subespacios de V . Si P Q = {0}, en lugar de P + Q, se escribe P Qsuma directa de P y Q.

Proposicion I.3.5.- Si P Q = {0}, la aplicacion

P Q P Q V(x, y) ) x + y

es un isomorfismo.


Definicion I.3.6.- Sean P y Q dos subespacios de V . Se dice que P y Q son suplementarios, o bien P essuplementario de Q, si V = P Q.

Ejemplo8.- Consideremos el espacio de las funciones f : R R. Sean

P = {f |f(t) = f(t)}Q = {f |f(t) = f(t)}


subespacios vectoriales del espacio de las funciones reales. Se tiene que

V = P Q,

donde V es el espacio de las funciones reales. En efecto

p(t) =f(t) + f(t)

2+ q(t) =

f(t) f(t)2

y f(t) = p(t) + q(t).

se tiene que V = P Q. !

Proposicion I.3.7.- Sea P V un subespacio vectorial de V espacio vectorial de dimension finita, entoncesexiste al menos un suplementario de P .

Demostracion.- Sea {v1, . . . , vn} una base de P , la cual se la prolonga en{v1, . . . , vn, vn+1, . . . , vd} base de V . Planteamos

Q =< {vn+1, . . . , vd} >,

Definicion I.3.8.- (Vocabulario) Sea f : V W una aplicacion lineal. Sea V1 un subespacio de V ,entonces

f(V1) = {w W |v V1 tal que f(v) = w}.

Si V1 = V , entonces f(V ) se llama la imagen de f y se denota Im(f).Sea W1 un subespacio de W , entonces

f1(W1) = {v V |f(v) W}.

Si W1 = {0}, f1({0}) se llama nucleo de f se denota ker(f).

Proposicion I.3.9.- f(V1) y f1(W1) de la definicion precedente son subespacios vectoriales de V y Wrespectivamente.


Proposicion I.3.10.- Sea f : V W lineal, entonces

f es sobreyectiva Im(f) = W,a)f es inyectiva ker(f) = {0},b)f es biyectiva ker(f) = {0} y Im(f) = W.c)

Demostracion.- El punto a) es evidente.b) Sea v ker(f), entonces

f(v) = 0 = f(0) v = 0.

Sean v1 y v2 tales que f(v1) = f(v2), por consiguiente

f(v1 v2) = 0,v1 v2 ker(f) v1 v2 = 0 v1 = v2.

c) Consecuencia directa de a) y b). !

Teorema I.3.11.- Formula de Dimension.- Sea V espacio vectorial de dimension finita y f : V W lineal.Entonces Im(f) es de generacion finita y se tiene

dimV = dim Im(f) + dim ker(f).


Demostracion.- a) Sea {v1 . . . , vm} una base de V , entonces {f(v1), . . . , f(vm)} engendra Im(f), por loque Im(f) es de generacion finita.

En efecto, sea w Im(f), por definicion existe v V tal que f(v) = w. Se tiene

v =m

i=1

ivi f(v) =m

i=1

if(vi).

b)Sea {v1, . . . , vn} una base de ker(f) que se completa a{v1, . . . , vn, vn+1, . . . , vm} base de V .

Afirmamos que B = {f(vn+), . . . , f(vm)} es una base de Im(f), con lo que quedara demostrada laformula de dimension.

En efecto, B engendra Im(f), por a) se tiene que {f(v1), . . . , f(vm)} engendra Im(f), ahora bien f(v1) = = f(vn) = 0.

B es linealmente independiente, sean n+1, . . . ,m K tales que

m

i=n+1

if(vi) = 0,

por consiguiente

0 = f

(m

i=n+1

ivi

)

m

i=n+1

ivi ker(f).

Por lo tanto v ker(f), tambien se escribe comon

i=1

ivi. De donde

n

i=1

ivi =m

i=n+1

ivi,

por independencia lineal, se tiene necesariamente que los i = 0. !

Corolario I.3.12.- Sea f : V W lineal con V y W de dimension finita, entonces:a) Si dimV > dim W , entonces f no es inyectiva.b) Si dimV < dimW , entonces f no es sobrectiva.c) Si dimV = dim W , las tres condiciones siguientes son equivalentes:

i) f es inyectiva,ii) f es sobreyectiva,iii) f es biyectiva.

Demostracion.- Se utiliza la formula de dimension.a) dim ker(f) = dim V dim Im(f) dim V dim W > 0, de donde ker(f) != {0}, por consiguiente f no esinyectiva.b)dim Im(f) = dim Vdimker(f) dimV < dimW , de donde Im(f) != W , por lo tanto f no es sobreyectiva.c) i) ii)

dim ker(f) = 0 dim W = dim Im(f) f es sobreyectiva.

Por lo tanto una funcion inyectiva es sobreyectiva y por consiguiente biyectiva, con lo que esta mostradai)iii). !

Remarca.- El corolario I.3.12 es falso si la dimension de los espacios no es finita. Consideremos P el espaciode las funciones polinomiales reales. La aplicacion

D : P Pp ) p


es sobreyectiva, pero no inyectiva.

Teorema I.3.13.- Fundamental.- Sea {v1, . . . , vn} una base de V espacio vectorial. Entonces, para todasucesion w1, . . . , wn de elementos de W , existe exactamente una aplicacion lineal f : V W , tal que

f(vi) = wi, i = 1, . . . , n.

Una aplicacion lineal es enteramente determinada por el comportamiento de la imagen de su base.

Demostracion.- a) Existencia.

Para todo v V , se tiene una escritura unica v =n

i=1

ivi, i K. Se plantea

f(v) =n

i=1

iwi,

funcion bien determinada por que los i son unicos. Por construccion se tiene f(vi) = wi para i = 1, . . . , n.Falta ver que f es lineal, sean v y v dos elementos de V , entonces

v =n

i=1

ivi, v =

n

i=1

ivi v + v =n

i=1

(i + i)vi.

Por consiguiente:

f(v) =n

i=1

iwi f(v) =

n

i=1

iwi f(v + v) =

n

i=1

(i + i)vi.

Se constata que f(v + v) = f(v) + f(v), lo mismo para f(v) = f(v).b) Unicidad.Sean f y g aplicaciones lineales de V en W , tales que f(vi) = g(vi) para i = 1, . . . , n. Se tiene

f(v) = f(n

i=1

ivi) =n

i=1

if(vi) =n

i=1

ig(vi) = g(n

i=1

ivi) = g(v). !

Proposicion I.3.14.- Si V y W dos espacios de dimension finita. Entonces, V y W son isomorfos, es decirexiste un isomorfismo V W , si y solamente si dimV = dim W .Demostracion.- Si V y W son isomorfos, entonces dim V = dimW , caracterstica de la formula de di-mension.

Si dimV = dim W , sean {v1, . . . , vn} y {w1, . . . , wn} bases de V y W respectivamente. Por el teoremafundamental existe f : V W lineal tal que f(vi) = wi. Utilizando la demostracion de la proposicionformula de dimension para aplicaciones lineales, se constata que Im f = W , por consiguiente la aplicacion esbiyectiva, consecuencia del corolario I.3.12.

Proposicion I.3.15.- Sea {v1, . . . , vn} una base de V , entonces la aplicacion

Hom(V, W )W W W = Wn

f ) (f(v1), f(v2), . . . , f(vn))

es un isomorfismo de espacios vectoriales.

Demostracion.- es lineal:

(f) = ((f)(v1), . . . , (f)(vn))

= (f(v1), . . . , f(vn)) = (f),

(f + g) = ((f + g)(v1), . . . , (f + g)(vn))

= (f(v1) + g(v1), . . . , f(vn) + g(vn))

= (f(v1), . . . , f(vn)) + (g(v1), . . . , g(vn)) = (f) + (g).


El teorema fundamental indicara que es biyectiva. !

Aplicacion a los Sistemas Lineales

Consideremos el sistema de n ecuaciones a n incognitas

a111 + a122 + + a1nn = b1...

...an11 + an22 + + annn = b2

(I.3.2)

Proposicion I.3.16.- Los enunciados siguientes son equivalentes para el sistema (I.3.2).i) (bi) K, existe a lo mas una solucion del sistema (I.3.2).ii) (bi) K, existe al menos una solucion del sistema (I.3.2).iii) (bi) K, existe exactamente una solucion del sistema (I.3.2).iv) El sistema homogeneo asociado a (I.3.2) admite (i = 0) como unica solucion.

Demostracion.- Al sistema (I.3.2), se asocia la aplicacion linel a, ver ejemplo 6 de este paragrafo. Porconsiguiente

Resolver (I.3.2) Encontrar todos los Kn tal que a() = b.

Es decir encontrar, a1({b}). Los enunciados de la proposicion se traduceni) b Kn, a1({b}) comporta a lo mas un elemento a es inyectiva.ii) b Kn, a1({b}) comporta al menos un elemento a es sobreyectiva.iii) b Kn, a1({b}) comporta exactamente un elemento a es biyectiva.iv) a1({0}) = {0} ker a = {0}.Ahora bien, los cuatro puntos han sido ya mostrados en el corolario (I.3.12) !

I.4 Anillo de Homomorfismos 17

I.4 Anillo de Homomorfismos

Proposicion I.4.1.- Sean f Hom(U, V ) y g Hom(V, W ), entonces g f Hom(U, W ), donde U, V, Wson espacios vectoriales.

Demostracion.- Se tiene:

g f(u1 + u2) = g(f(u1 + u2))= g(f(u1) + f(u2))

= g(f(u1)) + g((u2)) = f g(u1) + f g(u2),g f(u) = g(f(u))

= g((f(u))

= g(f(u)) = g f(u). !

Sobre End(V ), se tiene una adicion

(f + g)(v) = f(v) + g(v),

y una multiplicacion que es la composicion de aplicaciones

(g f)(v) = g(f(v)).

Estas dos leyes de composicion interna o operaciones verifican los axiomas siguientes:I.- Adicion

i la adicion es asociativa;ii la adicion es conmutativa;iii existe un elemento cero 0 tal que 0 + f = f , para todo f ;iv Para todo f End(V ), existe un opuesto (f), tal que f + (f) = 0.

II.- Multiplicacioni la multiplicacion es asociativa;ii existe un uno 1, tal que 1 f = f 1 = f , para todo f .

1 = id : V Vv ) v

I.- Distributividadi f (g + h) = f g + f h;ii (f + g) h = f h + g h.

Un conjunto A con una adicion y una multiplicacion que satisface los tres sistemas de axiomas descritos,se llama anillo.

Se dice que A es una anillo conmutativo, si A es una anillo cuya multiplicacion es conmutativa.Por lo tanto, End(V ) con la adicion y la composicion de aplicaciones es un anillo.

Ejemplos1.- Z con la adicion y la multiplicacion usual es un anillo conmutativo.2.- Un cuerpo (conmutativo) es un anillo (conmutativo).3.- End(V ) no es un anillo conmutativo si dim V 2. En efecto, sea {v1, . . . , vn} una base de V y

consideremos los endomorfismos definidos por:

f : V Wv1 ) v1v2 ) v2vi ) vi, i 3;

g : V Wv1 ) v1 + v2v2 ) v2vi ) vi, i 3;


entoncesg f : V W

v1 ) v1 + v2v2 ) v2vi ) vi, i 3;

f g :Wv1 ) (v1 + v2)v2 ) v2vi ) vi, i 3;

Si != , se tiene f g(v1) != g f(v1) y por consiguiente f g != g f .

Definicion I.4.2.- Sea A y B dos anillos. Una aplicacion f : A B es un homomorfismo de anillos sii f(a1 + a2) = f(a1) + f(a2),ii f(a1a2) = f(a1)f(a2),iii f(1) = 1.

Definicion I.4.3.- Sea A un anillo, se dice que I A diferente del conjunto vacio es un ideal por izquierda(por derecha), si

i x, y I x + y I,ii x I, a A ax I (xa I).

Grupos

Un grupo G es un conjunto dotado de una ley de composicion interna o operacion

GG G(g1, g2) ) g1 g2

tal quei (g1 g2) g3 = g1 (g2 g3), g1, g2, g3 G (Asociatividad);ii Existe un elemento neutro e tal que e g = g e = g, g G;iii Todo elemento g G posee un inverso g tal que

g g = g g = e.

Se dice que G un grupo es conmutativo o abeliano si ademas

g1 g2 = g2 g1, g1, g2 G.

Notacion Multiplicativa

Si G es un grupo y la operacion se la denota por , es decir

GG G(g1, g2) ) g1 g2

el elemento neutro (uno) se denota por 1 y el inverso se denota por g1.

Notacion Aditiva (Reservada a los grupos abelianos)

Si G es un grupo y la operacion se la denota por +, es decir

GG G(g1, g2) ) g1 + g2

el elemento neutro (cero) se denota por 0 y el elemento inverso (opuesto) se denota por g.

Ejemplos4.- (Z, adicion) es un grupo abeliano.5.- (Z, multiplicacion) no es grupo.6.- (V, +) donde V es un espacio vectorial es un grupo abeliano.

I.4 Anillo de Homomorfismos 19

7.- Sea E un conjunto.SE = {f : E E biyectiva}

con la composicion de aplicaciones es un grupo no conmutativo si #(E) 3.8.- Sea V un espacio vectorial, el grupo lineal

Gl(V ) = {f : V V automorfismo}

con la composicion de aplicaciones es un grupo no conmutativo.

Definicion I.4.4.- Sean (G, ) y (H, *) dos grupos. Un homomorfismo de grupos es una aplicacion talque

f(g1 g2) = f(g1) * f(g2).

Ejemplo9.- La aplicacion

(R, +) (R {0}, )x ) ex

es un homorfismo de grupos.


I.5 Matriz de una Aplicacion Lineal

Sea V un espacio vectorial y {v1, . . . , vn} una base de V , entonces existe un isomorfismo natural dado por

: V Kn

vi ) ei, i = 1, . . . , n

donde {e1, . . . , en} es la base canonica de Kn. Por consiguiente, si v =n

i=1

ivi, se tiene

(v) = (1,2, . . . ,n) Kn.

El elemento de K, i, se llama la i-sima componente de v respecto a la base {v1, . . . , vn} y v V puedeescribirse en forma de componentes respecto a la base {v1, . . . , vn} como

v = (1 2 n ) o bien v =

12...n

;

la segunda escritura en vector columna sera muy util para lo que sigue en el curso.Una matriz A de nm a coeficientes en K es un tablero de n filas y m columnas de elementos de K

A =

a11 a12 a1ma21 a2m...

...an1 an2 anm

.

El conjunto de las matrices nm a coeficientes en K, se lo denota por Mn,m(K).Sean V y W dos espacios de dimension m y n respectivamente,

{v1, . . . , vm} una base de V,{w1, . . . , wn} una base de W ;

sea f : V W lineal, se tiene para cada uno de los elementos de la base de V

f(vj) =n

i=1

aijwi =

a1j...

anj

j = 1, . . . , m;

donde los aij K. Por consiguiente, se puede asociar a f y a las bases {v1, . . . , vm} y {w1, . . . , wn}, la matriz

Mf =

a11 a12 a1ma21 a2m...

...an1 an2 anm

Mn,m(K)

que se llama la matriz de f respecto a las bases {v1, . . . , vm} y {w1, . . . , wn}. Se observa inmediatamenteque el numero de filas es igual a la dimension del espacio destino W para f y el numero de columnas es iguala la dimension del espacio fuente V para f .

I.5 Matriz de una Aplicacion Lineal 21

Receta.- Para construir la matriz de f respecto a las bases {vi} y {wj} disponer en vectores columnas lascomponentes de f(vj) respecto a la base {wj}.Remarca.- Mn,m(K) esta en biyeccion con Knm, pero con las nociones de fila y columna.

Proposicion I.5.1.- Resultado principal.- Sea {vi}mi=1 una base de V y {wj}ni=1 una base de W . La aplicacion

Hom(V, W )Mn,m(K)f )Mf respecto a las bases en cuestion,

es biyectiva.

Demostracion.- Recordamos que

Hom(V, W )Wn

f ) (f(v1), . . . , f(vn))

es un isomorfismo de espacios vectoriales y que

W Kn

w =n

i=1

wi )

1...n

es otro isomorfismo. De esta manera

Hom(V, W ) Wn Knm = Mn,m(K)

f ) (f(v1), . . . , f(vn)) )

a11 a12 a1ma21 a2m...

...an1 an2 anm

es biyectiva. !

Ejemplos1.- Consideremos la proyeccion del plano R2 sobre el eje x. La matriz de la proyeccion respecto a la base

canonica esta dada pore1 e1e2 e2

Mf =(

1 00 0

)

2.- Ejercicio.- Determinar las matrices respecto a la base canonica de las aplicaciones lineales del curso deGeometra, es decir: rotaciones, homotecias, simetras, similitudes, etc.

Transcripcion de las Operaciones Lineales en Terminos de Matriz

Una vez determinada la relacion existente entre el conjunto de las matrices y el espacio de los homomorfismoses transcribir las operaciones de las aplicaciones lineales en terminos de operaciones de matrices.

Sean V espacio vectorial de base {v1, . . . , vm} y W espacio vectorial de base {w1, . . . , wn}. Consideremoslas aplicaciones lineales

f, g : V W,

cuyas matrices respecto a las bases en cuestion son

A = (aij), B = (bij)

matrices pertenecientes a Mnm(K).


Proposicion I.5.2.- Sea C = (cij) la matriz de f + g respecto a las mismas bases en cuestion, entonces

C = A + B

cij = aij + bij .

Sea D la matriz de f respecto a las bases {vi} y {wj}, entonces

D = A

dij = dij


Corolario I.5.3.- Se tiene

Hom(V, W )Mn,m(K)f )Mf respecto a las bases {vi} y {wj},

es un isomorfismo de espacios vectoriales, con la adicion y la multiplicacion por escalares.

El siguiente paso es determinar la matriz de la composicion de aplicaciones lineales. Sean:U espacio vectorial con {u1, . . . , ul} base;V espacio vectorial con {v1, . . . , vm} base;W espacio vectorial con {w1, . . . , wn} base;

los homomorfismos:f : U V g : V W.

Cual es la matriz de g f : U W respecto a las bases {ui} y {wj}.?Sean:

A = (aik) la matriz de f respecto a las bases {ui} y {vk};B = (bkj) la matriz de g respecto a las bases {vk} y {wj};C = (cij) la matriz de g f respecto a las bases {ui} y {wj}.

Por lo tanto

g f(ui) =n

i=1

cjiwj

||

g(f(ui)) = g

(m

k=1

akivk

)

=m

k=1

akig(vk)

=m

k=1

aki

n

j=1

bjkwj

=n

j=1

(m

k=1

bjkaki

)

wj ,

= cji =m

k=1

bjkaki.

Por consiguiente C es la matriz obtenida de multiplicar BA, es decir

C = BA.

Por el uso frecuente de algunas matrices, vale la pena citarlas:

I = Ir =

1 0 00 1 0

. . .0 1

Mr,r(K) = Mr(K)

I.5 Matriz de una Aplicacion Lineal 23

Se tiene IrA = A, A Mr,d(K); y BIr = B, B Ms,r(K). Ir se llama la matriz identidad.0 Mp,q(K) es la matriz cuyos coeficientes son nulos.

Corolario I.5.4.- Mn,n(K) con la adicion y la multiplicacion es un anillo (no conmutativo si n 2). Ademasla aplicacion (dimV = n):

End(V )Mn,n(K)f )Mf

es un isomorfismo de anillos.Para el espacio V = Kn con la base canonica, se dispone de un isomorfismo canonico

Gl(Kn) Gl(n, K) = {A Mn,n(K)|A es inversible}

End(Kn)Mn,n(K)f )Mf matriz de f respecto a la base canonica de V.


Remarca.- Sea f : V W lineal, A = (aij) la matriz de f respecto a las bases {vi} y {wj}. Sea v V ,Como calcular f(v)?

Se escribe v =n

i=1

, entonces

f(v) =m

i=1

jf(vj) =m

j=1

j

(n

i=1

aijwi

)

=n

i=1

m

j=1

aijj

wi,

lo que en notacion de componentes se traduce a

1...n

= 1

a11...

an1

+ + m

a1m

...anm

=

a11 a1m...

...an1 anm

1...m

.


I.6 Cambio de Base

Sean:V espacio vectorial, {v1, . . . , vm}, {v1, . . . , vm} dos bases de V ;W espacio vectorial, {w1, . . . , wn}, {w1, . . . , wn} dos bases de W ;Se tiene

Hom(V, W )Mn,m(K)

f ) A(f): matriz de f respecto a {vi} y {wj},

Hom(V, W )Mn,m(K)

f ) A(f): matriz de f respecto a {vi} y {wj},

Programa.- Explicitar la aplicacionMn,m(K)Mn,m(K)

A(f) ) A(f).

Nocion de Matriz de Pasaje

Sean {v1, . . . , vm} y {v1, . . . , vm} dos bases de V . Se escribe

vj =m

i=1

mijvi, M = (mij) Mm,m(K),

se llama la matriz de pasaje de {vi} a {vi}.M es tambien la matriz de la aplicacion identidad de V respecto a {vi} en la fuente y {vi} en el destino.De la misma manera se define N = (nij) Mn,n por

wj =n

i=1

nijwi,

la matriz de pasaje de {wj} a {wj}.

Proposicion I.6.1.- Sean {vi}, {vi} y {vi }, tres bases de V espacio vectorial. Se denotaM = (mij) la matriz de pasaje de {vi} a {vi},M = (mij) la matriz de pasaje de {vi} a {vi }.

Entonces M M es la matriz de pasaje de {vi} a {vi }.Demostracion.- Se tiene:

vj =m

k=1

mkjvk, v

k =

m

i=1

mikvi ,

obteniendo as

vj =m

k=1

mkj

(m

i=1

mikvi

)

,

de donde

vj =m

i=1

(m

k=1

mikmkj

)

mij

vi,

I.6 Cambio de Base 25

por lo tanto M = M M . !

Proposicion I.6.2.- Sea A Mm,m(K), si existe B Mm,m(K) tal que AB = I o BA = I, entonces A esuna matriz inversible de inversa B.


Proposicion I.6.3.- Para las matrices de pasaje se tiene:a) Las matrices de pasaje son inversibles.b) N y M como antes, se tiene

A(f) = N1A(f)M.

Demostracion.-a) Se utiliza la proposicion I.6.1 con M la matriz de pasaje de {vi} a {vi}. obteniendo deesta manera M M = I, por la proposicion I.6.2 se tiene que M es inversible.b) recordemos:

vj =m

k=1

mkjvk,

wj =n

i=1

nijwi con (nij) = N1,

f(vj) =n

i=1

aijwi con A(f) = (aij),

f(vj) =n

i=1

aijwi con A(f) = (aij).

Para mostrar el punto b), es suficiente mostrar que

aij = (N1AM)ij

Se tiene:

f(vj) = f

(

k

mkjvk

)

=

k

mkjf(vk)

=

k

mkj

(

l

alkwl

)

=

l

(

k

alkmkj

)

(AM)lj = clj

wl

=

l

clj

(

i

nilwi

)

=

i

(

i

nilclj

)

(N1AM)ij

wi.

Por lo tanto aij = (N1AM)ij . !

Corolario I.6.4.- Sea V espacio vectorial con las bases {v1, . . . , vm} y {v1, . . . , vm}. Para f End(V ),se denota A(f), respectivamente A(f), la matriz de f en la base {v1, . . . , vm}, respectivamente en la base{v1, . . . , vm}. Se denota M la matriz de pasaje de {vi} a {vi}. Entonces

A(f) = M1A(f)M.

Aplicacion al Rango de una Matriz

Definicion I.6.5.- Sea f W lineal. Se llama rango de f la dimension de Im(f).


Proposicion I.6.6.- Sea f : V W lineal de rango r. Entonces existe una base {v1, . . . , vm} de V y unabase {w1, . . . , wn} de W tales que

f(vi) = wi para i = 1, . . . , r;

f(vi) = 0 para i = r + 1, . . . , m.

Dicho de otra forma, la matriz de f respecto a {vi} y {wj} es de la forma(

Ir 00 0

).

Demostracion.- La formula de dimension para aplicaciones lineales da

dim V m

= dim Im(f)

r

+ dim ker(f)

mr

.

Se elije una base {vr+1, . . . , vm} base de ker(f), se completa en{v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vm} base de V . Se toma como base de Im(f) {f(v1), . . . , f(vr)} y luego se completaesta base en una base de W . !

Corolario I.6.7.- Sea B Mn,m(K), entonces existe dos matrices N Gl(n, K) y M Gl(m, K), tales que

N1BM =

(Ir 00 0

).

Demostracion.- Se aplica la proposicion I.6.6 a b : Km Kn cuya matriz respecto a las bases canonicases B.

Por la proposicio precedente, existen {v1, . . . , vm} y {w1, . . . , wn} bases de Km y Kn respecto a las cualesla matriz asociada a b es

B =

(Ir 00 0

).

Sea M la matriz de pasaje de {vi} a la base canonica en Km,N la matriz de pasaje de {wi} a la base canonica en Kn, entonces por la proposicion I.6.3, se tiene B =N1BM !

Definicion I.6.8.- Sea B Mn,m(K)

B =

b11 . . . b1m...

...bn1 bnm

Se considera las filas de B como elementos de Km y las columnas de B como elementos de KnEl rango fila (columna) de B es la dimension del subespacio de Km (Kn) engendrado por las filas (colum-nas) de B.

El rango columna de B es igual al rango de la aplicacion b : Km Kn cuya matriz respecto a lasbases canonicas es B. En efecto, se tiene que b(ei) es la i-sima columna de la matriz B, la imagen de b estaengendrada por b(e1), . . . , b(em).

Transpuesta de una Matriz

Sea B Mn,m(K). Se llama transpuesta deB y se la denota Bt la matriz de Mm,n(K) definida por

(Bt)ij = Bji.

I.6 Cambio de Base 27

De esta forma el rango fila de B es igual al rango columna de Bt. En efecto, el rango fila de B es igual alrango de la aplicacion bt : Kn Km, cuya matriz respecto a las bases canonicas es Bt.

Proposicion I.6.9.- La transpuesta verifica las siguientes propiedades:i) (Bt)t = B.ii (AB)t = BtAt.iii A Gl(n, K) At Gl(n, K) y (At)1 = (A1)t.

Demostracion.- i) y ii) ejercicio. Para el punto iii), se tiene

At(A1)t = (A1A)t = It = I (At)1 = (A1)t. !

Proposicion I.6.10.- El rango fila de B es igual al rango columna de B.

Demostracion.- Sea r = rango columna de B. Por el corolario 1.6.7, existen N Gl(n, K) y M Gl(m, K)tales que

B = N1(

Ir 00 0

)M.

Se tiene aplicando las propiedades de la matriz transpuesta

Bt = M t(

Ir 00 0

)(M1)t.

Se interpreta las matrices como aplicaciones lineales (respecto a las bases canonicas);

Bt " bt : Kn Km

M t " mt : Km Km

(N t)1 " (nt)1 : Kn Km(

Ir 00 0

)" ir : Kn Km

(x1, . . . , xn) ) (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0).

Se tiene bt = mtir(nt)1, ver el diagrama

Kn bt

Km(nt)1 mt

Kn ir Km

por lo tanto se tiene que rango(bt) = rango(ir) = r. !

Definicion I.6.11.- Sea B Mn,m(K), el rango de de B es

rang B = rango columna de B = rango fila deB.


I.7 Operaciones Elementales sobre las Matrices

Justificacion.- Sea

a111 + a122 + + a1mm = b1...

...an11 + an22 + + anmm = bn

Se introduce

A = (aij) Mn,m,

1...m

Km = Mm,1(K), b =(

b1...bn

)

Kn.

Introduciendo la notacion matricial, el sistema de ecuaciones, se convierte en

A = b.

Se observa que si A =

(Ir 00 0

), se encuentra la solucion a la vista.

En el paragrafo precedente, se mostro que existen M y N inversibles tales que

A = N1(

Ir 00 0

)M ;

por consiguiente se tiene

A = N1(

Ir 00 0

)M = b.

Planteando b = Nb y = M, se obtiene el sistema

(Ir 00 0

) = b.

Por lo tanto, conociendo N se deduce y conociendo M1 se deduce .Programa.- Explicitar un procedimiento o algoritmo que permita calcular .

Se denota Sn el conjunto de las biyecciones o permutaciones de {1, 2, . . . , n}. Es un grupo para lacomposicion de aplicaciones llamado grupo simetrico. Hay n! elementos en Sn.

Una permutacion de {1, 2, . . . , n} se representa mediante(

1 2 3 n(1) (2) (3) (n)

)

I.7 Operaciones Elementales sobre las Matrices 29

Ejemplo1.- Las 6 permutaciones de S3 tienen las representaciones siguientes:

id =

(1 2 31 2 3

) (1 2 31 3 2

) (1 2 32 1 3

)

(1 2 33 2 1

) (1 2 33 1 2

) (1 2 32 3 1

)

Para evitar una escritura pesada, en lugar denotar 1 2 la composicion de permutaciones, se utilizarala notacion 12.

A Sm, se asocia una aplicacion lineal mediante

() : Km Km

ei ) e(i)

donde {e1, . . . , en} es la base canonica de Km. La matriz M() de () respecto a la base canonica es dela forma, M() tiene los coeficientes nulos, excepto que en cada fila y columna el coeficiente nonulo es 1. Esta matriz se llama matriz de permutacion.

Proposicion I.7.1.- La aplicacionSm

Gl(Km) ) ()

es un homomorfismo de grupo, representacion lineal de Sm.La aplicacion

Sm Gl(m, K) )M()

es un homorfismo de grupos, representacion matricial de Sm.

Demostracion.- Ejercicio.Una vez conocidas las matrices de permutacion, se debe determinar como actua las matrices de per-

mutacion sobre una matriz. Esto esta dado en la:

Proposicion I.7.2.- a) Multiplicar a la derecha B por M() es equivalente a efectuar las correspondientespermutaciones de las columnas de B.b) Multiplicar por la izquierda B por M() es equivalenTe a efectuar las correspondientes permutaciones delas filas de B.

Demostracion.- Ejercicio

Matrices DiagonalesUna matriz A diagonal es de la forma

A =

a11 00 a22

. . .0 amm

= diag(a11, a22, . . . , amm)

Proposicion I.7.3.- a) Multiplicar B por la derecha con diag(d1, d2, . . . , dm) es lo mismo que multiplicarla i-sima columna de B por di, para i = 1, . . . , m.b) Multiplicar B por la izquierda con diag(d1, d2, . . . , dm) es lo mismo que multiplicar la i-sima fila de B pordi, para i = 1, . . . , m.


Resultado Principal


Sea B Mn,m(K) de rango r. Se va encontrar un procedimiento para explicitar las matrices N1 Gl(n, K) y M Gl(m, K) tales que

N1BM =

(Ir 00 0

).

Si B = 0, no hay nada que hacer.Si B != 0, entonces existe un coeficiente que no es nulo. Por consiguiente:

i) Multiplicando a la izquierda y derecha por matrices de permutacion, se lleva este coeficiente al lugar(1, 1).

ii) Multiplicando por diag(b111 , 1, . . . , 1) se va al caso b11 = 1.iii) Luego

1 0 0b21

...bn1

1 0. . .

0 1

1 b12 b1mb21...

bn1 bnm

=

1 b12 b1m0...0

B

1 b12 b1m0...0

B

1 b12 b1m0...0

1 0. . .

0 1

=

1 0 00...0

B

.

Ejemplo1.- Consideremos la matriz

B =

(0 1 41 1 3

).

Se tiene (0 11 0

)B =

(1 1 30 1 4

)= B(1),

(1 1 30 1 4

)

1 1 30 1 00 0 1

=(

1 0 00 1 4

)= B(2),

(1 0 00 1 4

)

1 0 00 1 40 0 1

=(

1 0 00 1 0

).

De donde

M =

1 1 30 1 00 0 1

1 0 00 1 40 0 1

y N1 =(

0 11 0

).

Corolario I.7.4.- Una matriz A Gl(m, K) se escribe como producto de:i) matrices de permutacion;ii) matrices diagonales inversibles;iii) matrices del tipo I + Li o I + Rj , donde Li es la matriz cuyos coeficientes son nulos, excepto quizas loslki con k > i; Hj es la matriz cuyos coeficientes son nulos, excepto quizas los hjk con k > j.

Demostracion.- Se aplica el procedimiento de antes a A inversible. Finalmente se obtiene que

I = PAQ,

donde P es producto de matrices del tipo i), ii), iii); lo mismo Q. Entonces

A = P1Q1.

Solo hay que mostrar que las inversas de i) ii) y iii) son del mismo tipo. Para i) y ii) no hay problema. Paraiii) ejercicio 32 de la practica. !

I.7 Operaciones Elementales sobre las Matrices 31

Mejora del Resultado

Definimos los siguientes subconjuntos de Gl(m, K):

U =

1 0

. . .

1

Gl(m, K)

matrices triangulares con 1 sobre la diagonal.

B+

b11

0. . .

0 bmm

Gl(m, K)

matrices triangulares superiores.Para Sm se plantea

UM()B+ = {XM()Y |X U, Y B+} .

Proposicion I.7.5.- Descomposicion de Bruhat. Gl(m, K) es la reunion disjunta de subconjuntos UM()B+, Sm.

Demostracion.- i) Sea A Gl(m, K), se debe mostrar que existe X U, Y B+ y Sm tales que

A = XM()Y.

La demostracion se la hara por induccion sobre m. El caso m = 1 es evidente. Supongamos cierto param 1, con m > 1.

Sea A Gl(m, K), y sea ai,1 != 0 el primer coeficiente no nulo de la primera columna de A. Se tiene:

0

0A12

ai1

am1

A22

A

diag(a1i1 , 1, . . . , 1) =

0

0A12

1ai+1,1

am1

A22

;

1 0. . .

1

ai+1,1. . .

am,1 1

0

0A12

1 ai2 aimai+1,1

am1

A22

1 ai2 aim1

. . .1

=

0 C11 C121 0 00 C21 C22

.

Por hipotesis de induccion existen U Gl(m1, K) triangular inferior con 1 en la diagonal y B Gl(m1, K)triangular superior, Sm1, tales que

(C11 C22C21 C22

)= UM()B


o todava

U1(

C11 C22C21 C22

)B1 = M( )

(U11 0U21 U22

)(C11 C22C21 C22

)(B11 B210 B22

)=

(T11 T12T21 T22

).

Por consiguiente

A = U

0 C11 C121 0 00 C21 C22

B

U11 0 00 1 0

U21 0 U22

0 C11 C121 0 00 C21 C22

1 0 00 B11 B120 0 B22

=

0 T11 T221 0 00 T21 T22

M()

.

ii) A mostrar que si (UM()B+) (UM( )B+) = , en clases. !


I.8 Signo de las Permutaciones

Recordemos queSm =

{ : {1, . . . , m} biy. {1, . . . , m}}

Sean a, b {1, . . . , m}, a != 0, la permutacion definida por

a ) b;b ) a;i ) i, i != a y i != b

se llama transposicion y se denota (a, b). Por consiguiente,

(a, b) =

(1 2 a b m1 2 b a m

).

Proposicion I.8.1.- El grupo Sm es engendrado por las transposiciones, es decir para Sm, existen1, 2, . . . , p transposiciones, tales que

= 12 p.

Demostracion.- Por induccion sobre m.Para m = 2 el enunciado es cierto.Se supone cierto el enunciado para m 1. Demostremos que se cumple para m.Sea Sm. Si (m) = m, se tiene que la restriccion de sobre {1, . . . , m 1} es una permutacion quepertenece a Sm1 y por hipotesis de induccion es el producto de transposiciones.Si (m) != m, se considera = ((m), m). Por construccion (m) = ((m), m)(m)= m, de donde por el argumento del primer caso pertenece a Sm1 y es producto de transposiciones,digamos = 12 p. Por lo tanto

= (m,(m))12 p. !

Ejemplos

1.- (1 2 m 1 m2 3 m 1

)= (1, m)(1, m 1) (1, 3)(1, 2).

2.- La escritura de como producto de transposiciones no es unica.

id = (a, b)(a, b) = (a, b)(a, b)(a, b)(a, b), (2, 3) = (1, 2)(1, 3)(1, 2).

Definicion de signo de una permutacion

Introducimos P ={Rm : f R| f polinomial

}.

f : Rm R es polinomial si

f(x1, . . . , xm) =

finita

ai1,i2,...,imxi11 x

i22 ximm .

P es un espacio vectorial sobre R y tambien es un anillo conmutativo para la adicion y multiplicacion depolinomios.

I.8 Signo de las Permutaciones 39

A Sm se asocia la aplicacion

() : P P

finita

ai1,i2,...,imxi11 x

i22 ximm )

finita

ai1,i2,...,imxi1(1)x

i2(2) x

im(m)

Ejemplo

3.- Consideremos

=

(1 2 3 42 3 4 1

), f(x1, x2, x3, x4) = x

21 +

3

2x1x3 + x

124 .

Entonces

()(f(x1, x2, x3, x4)) = x2(1) +

3

2x(1)x(3) + x

12(4) = x

22 +

3

2x2x4 + x

121 .

Proposicion I.8.2.- () es un automorfismo de (espacios vectoriales y de anillo), es decir:i) ()(f + g) = ()(f) + ()(g),ii) ()(f) = ()(f),iii) ()(f g) = ()(f) ()(g).Ademas (12) = (1) (2).Demostracion.- Ejercicio.

Ejemplo

4.- Los polinomios simetricos elementales a m variables son:

f1(x1, . . . , xm) = x1 + x2 + + xm;

f2(x1, . . . , xm) =

i


Proposicion I.8.3.- Se tiene queSm

sg {1}

es un homomorfismo de grupos.

Demostracion.-En efecto:

(12)(d) = ((1) (2))(d) = (1)((2))(d)) =(1)(sg(2)d) = sg(2)(1)(d) = sg(2) sg(1),

Por consiguientesg(12) = sg(1)sg(2). !

Proposicion I.8.4.- Sea una transposicion, entonces sg( ) = 1.Demostracion.- Sea = (a, b) con a < b, se tiene

d =

ib

(xb xj)

= (xa xb)

i

I.8 Signo de las Permutaciones 41

Proposicion I.8.6.- j() esj() = #{(i, j)| i < j y (i) > (j)}

numero de inversiones.

Demostracion Mostraremos que g(i) > g(j) hay interseccion de los segmentos de extremidades (i)y (j). En efecto

(i) i (j) j

(i) (j)

.

Hay interseccion, el diagrama indicara que (i) > (j),

(j) i (i) j

(i) (j)

. !

Proposicion I.8.7.- Se tienesg(d) = (1)j().

Demostracion Se tiene que ()(d) = sg(d). Estudiemos la accion de () sobre los factores de d, porconsiguiente

(xi xj) ) (x(i) x(j)) ={

un factor de d si (i) < (j),(1) un factor de d si (i) > (j).

!


I.9 Formas Multilineales Alternadas

Definicion I.9.1.- Sean V y W dos espacios vectoriales y m un entero positivo. Una aplicacion

F : V V V m veces

W

es mulitilineal, si

F (v1, v2, . . . ,vi +

vi , . . . , vm) = F (v1, . . . , v

i, . . . , vm) +

F (v1, . . . , vi , . . . , vm),

i = 1, . . . , m. Dicho de otra manera, se pide que F sea lineal en cada una de las variables separadamente.

Ejemplos

1.- La siguiente aplicacion es m-linealK K

m

K

(1, . . . ,m) )m

i=1

i.

2.- Sea A Mn,n(K) una matriz, la aplicacion definida por

KK K

(x, y) ) xtAy = (x1 xn )

a11 a1n...

...an1 ann

y1...

yn

es bilineal. En particularR3 R3 R

(x, y) ) xtIy = x1y1 + x2y2 + x3y3

producto escalar euclidiano en R3.3.- El producto vectorial o cruz en R3, definido por

R3 R3 R

x1x2x3

,

y1y2y3

)

x2y3 x3y3x3y1 x1y3x1y2 x2y1

es bilineal.4.- La aplicacion

Mn,n(K)Mn,n(K)Mn,n(K)Mn,n(K)(A, B, C) ) ABC

es trilineal.5.- La aplicacion

End(V ) End(V ) End(V )(f, g) ) f g g f

es bilineal.

I.9 Formas Multilineales Alternadas 43

Definicion I.9.2.- Sea F : V V V W multilineal. Se dice que F es multilineal alternada, si

F (v1, . . . , vi, . . . , vi, . . . , vn) = 0;

es decir, del momento en que existan vi = vj con i != j. F es multilineal simetrica, si

F (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) = F (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn), i != j.

F es multilineal antisimetrica, si

F (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) = F (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn), i != j.

Ejemplo

6.- La aplicacion multilineal del ejemplo 1) es simetrica si K es un cuerpo conmutativo.

Definicion I.9.3.- Se dice que un cuerpo K es de caracterstica != 2 si 1 != 1 en K.

Ejemplos

7.- Los cuerpos Q, R y C son de caracterstica != 2.8.- El cuerpo F2 es de caracterstica = 2.

Proposicion I.9.4.- Sea F : V V W multilineal.i) F es alternada, entonces F es antisimetrica.ii) Si la caracterstica de K != 2, entonces F antisimetrica es alternada.

Demostracion.- i) Supongamos F alternada. Se tiene

0 = F (v1, . . . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . . vn) =

F (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) + F (v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn),

por consiguiente F es antisimetrica.ii) Supongamos F antisimetrica. Se tiene

F (v1, . . . , vi, . . . , vi, . . . , vn) = F (v1, . . . , vi, . . . , vi, . . . , vn)

Por lo tanto(1 + 1)F (v1, . . . , vi, . . . , vi, . . . , vn) = 0,

F es alternada. !

Proposicion I.9.5.- Sea F : V V W multilineal alternada. Entoncesi) F (v(1), . . . , v(n)) = sg()F (v1, . . . , vn), donde vi V y Sn.ii) F (v1, . . . , vi + vj , . . . , vn) = F (v1, . . . , vi, . . . , vn).iii) Si v1, . . . , vn son linealmente dependientes, entonces F (v1, . . . , vn) = 0.

Demostracion.- i) = 1 p con i transposicion. Como F es alternada, F es antisimetrica. De donde

F (v(1), . . . , v(n)) = F (v1, . . . , vn).

Por consiguiente, por antisimetra se obtiene i).ii) Verificacion inmediata.iii) Si es necesario efectuar una transposicion, se puede suponer que

v1 =n

i=2

ivi,


de donde

F (v1, . . . , vn) = F (n

i=2

ivi, v2, . . . , vn) =n

i=2

iF (vi, v2, . . . , vn) = 0. !

Se denota An = { Sm|sg = 1}, llamado grupo alternado de orden n.

Proposicion I.9.6.- Se tiene

Sm = Am

Am, (union disjunta)

donde es una transposicion.

Demostracion.- Sea Sm, si sg() = 1, entonces Am.Sino, sg() = 1, se tiene ( ) = y Am.Veamos que la union es disjunta. En efecto, supongamos que existe un elemento Am Am , se tendraque sg() = 1 y sg() = 1, lo que es absurdo. #

Teorema I.9.7.- Sea F : V V V m veces

W multilineal alternada, con dim V = m. Sea {e1, e2, . . . , em}

una base de V . Sean v1, . . . , vm elementos de V , que pueden escribirse como

vj =m

i=1

aijei.

Entonces

F (v1, . . . , vm) =

(

Sm

sg()a(1),1a(2),2 a(m),m

)

F (e1, e2, . . . , em). (I.9.1)

Reciprocamente la formula (I.9.1) define F como aplicacion multilineal alternada.

Demostracion.- Para facilitar la demostracion, utilizemos la notacion

vj =m

ij=1

aij ,jeij .

Por consiguiente, se tiene

F (v1, v2, . . . , vm) = F (

ai1,1ei1 ,

ai2,2ei2 , . . . ,

aim,meim

=m

i1,...,im=1

ai1,1ai2,2 aim,m F (ei1 , ei2 , . . . , eim) =0 si ik=ij con k (=j

.

Por lo tanto, en esta suma es suficiente considerar las familias {i1, . . . , im} con ik ! il. De esta manera(

1 2 mi1 i2 im

)

es una permutacion de {1, 2, . . . , m}. De la proposicion I.9.5 punto i), se tiene el resultado deseado.Sea F : V V V

m veces

W definida por (I.9.1)

a) F es multilineal; en efecto, sean

vj

m

i=1

ai,jei, vj

m

i=1

ai,jei,

I.9 Formas Multilineales Alternadas 45

se tiene

vj + vj =

m

i=1

(ai,j + ai,j)ej .

Por lo tanto

F (v1, . . . ,vj +

vj , . . . , vm)

=

(

Sm

sg()a(1),1 (a(j),j + a(j),j) a(m),m

)

F (e1, . . . , em)

= (

Sm

sg()a(1),1 a(j),j a(m),m

)

F (e1, . . . , em)

+(

Sm

sg()a(1),1 a(j),j a(m),m

)

F (e1, . . . , em)

= F (v1, . . . , vj , . . . , vm) +

F (v1, . . . , vj , . . . , vm).

Mostremos que F es alternada. Sean vi = vj =m

k=1

ak,iek =m

k=1

ak,jek. Aplicando la formula (I.9.1), se tiene

F (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vm) =

(

Sm

sg()a(1),1 a(m),m

)

F (e1, . . . , em).

Utilizando la proposicion I.9.6 con = (i, j), podemos escribir

F (v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vm) =

(

Am

)

F (e1, . . . , em) +

(

(

Am

)

F (e1, . . . , em)

=

(

Am

a(1),1 a(i),i a(j),j a(m),m

)

F (e1, . . . , em)

(

Am

a(1),1 a(i),i a(j),j a(m)m

)

F (e1, . . . , em),

= 0.

#

Proposicion I.9.8.- Se escribe Altm(V, W ) el conjunto de las aplicaciones multilineales V V V m veces

W . Entonces Altm(V, W ) es un K-espacio vectorial para

(F + G)(v1, . . . , vm) = F (v1, . . . , vm) + G(v1, . . . , vm)

(F )(v1, . . . , vm) = (F (v1, . . . , vm))

con F, G Altm(V, W ) y K.Demostracion.- Ejercicio.

Corolario I.9.9.- Si dimV = m, entonces dim(Altm(V, W )) = dimW .

Demostracion.- Por el teorema precedente se tiene

Altm(V, W )WF ) F (e1, e2, . . . , em)


es un isomorfismo de espacios vectoriales. #

Proposicion I.9.10.- Sea {x1, . . . , xm} una familia de elementos V , (dimV = m).Entonces {x1, . . . , xm} es una base de V F (x1, . . . , xn) != 0, F != 0 Altm(V, W ).

Demostracion.- {x1, . . . , xm} es una base de V y F != 0. Entonces existen v1, . . . , vm V , tales queF (v1, . . . , vm) != 0. Utilizando la formula (I.9.1) es necesario que F (x1, . . . , xn) != 0. Se procede por contraposicion, sea {x1, . . . , xm} una familia de V que no es base, entonces {x1, . . . , xm}es linealmente dependiente y por la proposicion I.9.5 punto iii), se tiene

F (x1, . . . , xn) = 0, F Altm(V, W ). #

I.10 Determinantes 47

I.10 Determinantes

Sea f : V1 V2 lineal. Entonces f induce una aplicacion lineal definida por

f : Altm(V2, W ) Altm(V1, W )F ) ((v1, . . . , vm) ) F (f(v1), . . . , f(vm)).

Analisemos el caso particular en el que V1 = V2 = V , con dim V = m y W = K. Por consiguiente f End(V )induce

f : Altm(V, K) Altm(V, K).

Por el teorema del paragrafo precedente, se tiene que dim Altm(V, K) = 1. De esta forma f es una homoteciade Altm(V, K). La razon de la homotecia se llama determinante de f End(V ). Es decir

f(D) = (det f)D para D Altm(V, K)D(f(v1), . . . , f(vm)) = (det f)D(v1, . . . , vm).

Ejemplo

1.- Sea V = Km, recordamos() : Km Km

ei ) e(i)Se tiene que det(()) = sg(). En efecto

D(()(e1), . . . , ()(em)) = D(e(1), . . . , e(m)) = sgD(e1, . . . , em).

Proposicion I.10.1.- Se tiene:i) det(idV ) = 1.ii) det(f g) = det(f) det(g).iii) f End(V ), entonces

f Gl(V ) det(f) != 0.

Demostracion.- i) Trivialii) Se tiene

(f g)D(v1, . . . , vm) = D(f g(v1), . . . , f g(vm))= D(f(g(v1)), . . . , f(g(vm)))

(det f)D(g(v1), . . . , g(vm))

(det f)(det g)D(v1, . . . , vm).

iii) Si f es inversible, existe f1 End(V ), tal que f f1 = idV ; por los puntos ii) y i) se tiene

(det f)(det f1) = 1.

Se supone que det f != 0. Se elige una base {e1, . . . , em} de V . Sea D Altm(V, K), con D != 0; se tieneD(e1, . . . , em) != 0. Por otro lado

D(f(e1), . . . , f(em)) = (fD)(e1, . . . , em)

= (det f)D(e1, . . . , em) != 0,

de donde {f(e1), . . . , f(em)} es una base de V . Por consiguiente f es un isomorfismo.


#

Determinante de una Matriz

Se dispone de un isomorfismo canonico

End(Km) *Mmm(K)f ) A(f) matriz de f respecto a las bases canonicas,

(Ax x) A.

Se plantea

detA = det((A)) =

a11 a1m...

...am1 amm

.

Proposicion I.10.2.- Para A = (aij) Mm,m, se tiene

detA =

Sm

sg()a(1),1 a(m),m.

Demostracion.- En efecto; Sean {e1, . . . , em} la base canonica de Km, D Altm(Km, K) no nula. Se tiene

det((A)

det A

D(e1, . . . , em) = (A)D(e1, . . . , em)

= D((A)(e1), . . . ,(A)em)

= D(

ai,1ei, . . . ,

ai,mei)

=

(

Sm

sg()a(1),1 a(m),m

)

D(e1, . . . , em)

#


Ejemplos

2.- Para m = 1, se tiene det A = a11.3.- Para m = 2, utilizando la proposicion precedente obtenemos

a11 a12a21 a22

= a11a22 a21a12.

Proposicion I.10.3.- Tenemos:i) det I = 1ii) detAB = detA detB, donde A, B Mm,m(K).iii) A es inversible det A != 0.iv) det(A) = m det A, si A Mm,m(K).v) detA = det At.

Demostracion.- Los puntos i), ii) y iii) son consecuencia de la proposicion analoga para las aplicacioneslineales.iv) Consecuencia de la formula de la proposicion I.10.2.Mostremos el punto v). Se tiene

a(1),1 a(m),m = a(1),1(1) a(m),1(m)= a1,1(1) am,1(m)

porque el cuerpo K es conmutativo.De esta manera

detA =

Sm

sg()a(1),1 a(m),m

=

Sm

sg()a1,1(1) am,1(m)

=

Sm

sg( )a1,(1) am,(m)

det At,

por que (At)(i),i) = ai,(i). #

Para facilitar la formulacion de proposiciones y resultados concernientes los determinantes de matrices,utilizemos la notacion

A = (A1 Am ) ,

donde Ai denota la i-sima columna de la matriz A.


i) det (A1 Ai + Ai Am ) = det (A1 Ai Am ) + det (A1 Ai Am ) ;

ii) det (A1 Ai + Aj Aj Am ) =det ( A1 Ai Aj Am ) ;

iii) det (A(1) A(m) ) = sg det (A1 Am ) .

Demostracion.- Se consideram veces

Km Km K(A1, . . . , Am) ) detA.


Esta aplicacion es multilineal, de donde i); la aplicacion es alternada, de donde ii) y iii).#

Remarca.- Se tiene un enunciado analogo para filas.

Ejemplos

4.- Se considera una matriz de 4 4, se calculara su determinante utilizando la formula de la proposicionI.10.2 y las propiedades de determinante de la proposicion precedente

1 0 0 12 3 4 73 4 5 94 5 6 1

=

1 0 0 02 3 4 93 4 5 64 5 6 3

.

Se ha sumado una vez la primera columna a la cuarta columna. Aplicando la formula deducimos que

1 0 0 12 3 4 73 4 5 94 5 6 1

=

3 4 94 5 65 6 3

= 3

3 4 34 5 25 6 1

.

Se ha factorizado 3 de la ultima columna. Luego

3

3 4 34 5 25 6 1

= 3

3 4 04 5 25 6 4

= 6

3 4 04 5 15 6 2

= 6

3 4 04 5 13 16 0

= 6

3 4 03 16 04 5 1

= 6

3 43 16

= 6 3 41 11 4

= 216.

5.- Determinante de Vandermonde.

1 a1 a21 am111 a2 a22 am13...1 am a2m am1m

=

i>j

(ai aj)

Ejercicio Mostrar este resultado.

Proposicion I.10.5.- Sean vj =m

i=1

aijei j = 1, . . . , r; r m elementos de Km. Entonces, {v1, . . . , vr} son

linealmente independientes existen 1 i1 < i2 < < ir m tales que

ai1,1 ai1,r...

...air,1 air,r

!= 0.

Demostracion.- Caso r = m. La proposicion afirma que {v1, . . . , vm} es una base de Km si unaaplicacion lineal enva una base sobre otra, es un isomorfismo la matriz (aij) es inversible det(aij) != 0.Caso general. Se escribe

A =

a11 a1r...

am1 amn

.


{v1, . . . , vr} linealmente independiente rango columna de A es igual a r rango fila de A es iguala r; es decir, el subespacio de Kr engendrado por las filas de A es Kr de las filas de A se puede extraeruna base de Kr existe una sucesion 1 i1 < i2 < < ir m tal que las filas de ndice i1, . . . , irconstituyen una base de Kr

ai1,1 ai1,r...

...air,1 air,r

!= 0.

#

Corolario I.10.6.- Sea A Mn,m(K). Entonces

rang(A) = max

{s

existe una submatriz B de A con s filasy s columnas tal que det B != 0.

}.

Demostracion.-Se plantea

r =rang(A),

p =max

{

s

existe una submatriz B de A con s filas y s columnas

tal que detB != 0.

}

.

A de rango r Existe r columnas de A que son linealmente independientes, si es necesario permutar lascolumnas, se puede suponer que son las primeras r columnas. La proposicion indica que r p.Supongamos que existe una submatriz Bpp de A con detB != 0. Si es necesario renumerar (permutar), sesupone

A =

(B

)

lo que implica por la proposicion precedente que las primeras p columnas son linealmente independientes,entonces p r.

#


I.11 Matriz Adjunta

En este paragrafo se formulara un metodo para calcular la inversa de una matriz inversible.Sea

A = (aij) =

a11 amm...

...am1 amm

Mm,m(K).

Se plantea

Aij =

a11 a1,j1, a1,j+1 a1m...

......

...ai1,1 ai1,j1 ai1,j+1 ai1,mai+1,1 ai+1,j1 ai+1,j+1 ai+1,m

......

......

am1 am,j1, am,j+1 amm

Mm1,m1(K).

Aij se obtiene de A suprimiendo la fila i-sima y la columna j-va.Se define

Sij(A) =

a11 a1,j1, 0 a1,j+1 a1m...

......

ai1,1 ai1,j1 0 ai1,j+1 ai1,m0 0 1 0 0

ai+1,1 ai+1,j1 0 ai+1,j+1 ai+1,m...

......

am1 am,j1, 0 am,j+1 amm

Mm,m(K).

Definicion I.11.1.- La matriz adjunta de A, denotada por Adj(A), es la matriz definida por

(Adj (A))ij = (1)i+j det(Aji).

Ejemplo

1.- Veamos el caso de m = 2.

Adj

(a11 a12a21 a22

)=

(a22 a12a21 a11

).

Proposicion I.11.2.- det Sij(A) = (1)i+jAij .Demostracion.- Para demostrar esta proposicion, desarrollaremos el determinante de Sij utilizando propiedadesde determinante, vistas en el paragrafo precedente.

detSij(A) =

0 0 1 0 0

= sg()

(1)i1

0 1 0 0 0

= (1)i1+j1

1 0 00 0

.

#

Proposicion I.11.3.-m

j=1

aji det(Sjk) = ik detA donde ik =

{0 si i != k,1 si i = k.

I.11 Matriz Adjunta 53

Demostracion.- Denotando por Aj la j-va columna de A. Substiyendo la i-sima columna a la k-simacolumna, es decir planteando Ak = Ai, se tiene

ik detA = det (A1 Ak Ai Am ) (I.11.1)

Por otro lado la i-sima columna, es decir Ak se puede desarrollar como

a1i...

ami

= a1i

10...0

+ a21

01...0

+ + am1

00...1

.

De esta manera el determinante del lado derecho de (I.11.1), se escribe como

ik detAa1i

10

det S1k(A)

+a2i

010

det S2k(A)

+ + ami

01

detSmk(A)

.

#

Teorema I.11.4.- Laplace. Se tiene:i) Desarrollo del determinante respecto a la i-sima columna.

detA =m

j=1

aji(1)i+j det Aji.

ii) Desarrollo del determinante respecta a la j-sima fila.

det A =m

k=1

ajk(1)j+k det Ajk.

Demostracion.- i) Utilizamos la proposicion I.11.3 con i = k y la proposicion I.11.2. De esta manera

det A =m

j=1

aji det(Sji(A)) =

j = 1m(1)i+j detAji.

ii) Se demuestra a partir de i) para At. #


A Adj(A) = Adj(A)A = diag(detA, . . . , detA).

Demostracion.- Por la proposicion I.11.3, se tiene

ik detA =m

j=1

aji detSjk(A) =m

j=1

(Adj(A))kj (1)i+k detAjk aji,

de dondeAdj(A)A = diag(detA, . . . , detA).


Se tiene tambienAdj(At)At = diag(detAt, . . . , detAt),

transponiendo, se obtiene

AAdj(A) = diag(detA, . . . , detA).

#

Corolario I.11.6.- Si A es inversible, entonces

A1 =1

detAAdj(A).

Remarca.- Sea R un subanillo de K, por ejemplo Z Q, entonces Mn,m(R) Mn,m(K).

Corolario I.11.7.- A Mm,m(R). Entonces; A es inversible en Mm,m(R), es decir si existe B Mm,m(R)con AB = BA = Im, si y solamente si detA es un elemento inversible de R.

En particular A Mm,m(Z) es inversible detA = 1.

Demostracion.- , Se tiene AB = I, por consiguiente detA detB = 1, lo que implica que detA esinversible en R.

det A inversible en R, entonces tiene sentido la expresion 1detA

en R.

#

Formula de Cramer

Sea A Mm,m(K). El sistemaAx = b,

tiene una unica solucion, si y solamente si detA != 0. Si este es el caso, se tiene

x = A1b =1

detAAdj(A)b.

Por consiguiente, se obtiene

xi =1

det A

m

j=1

(Adj(A))ijbj ,

por lo tanto

xi =1

detA

m

j=1

(1)i+j det Ajibj

Denotando Ak la k-sima columna de A y utilizando la formula de Laplace del calculo de determinante en laversion columna, se obtiene

xi =1

detAdet (A1 Ai1 b Ai+1 Am ) .

Captulo II

Complemento

II.1 Espacios Vectoriales Cocientes

Sea E un conjunto, una relacion x y entre elementos de E es una relacion de equivalencia, sia) x x, para todo x E (reflexividad);b) x y y x, (simetra);c) x y, y z x z, (transitividad).

Un conjunto C E es una clase de equivalencia si existe x E tal que

C = {y E|y x},

C es la clase de x y se denota x.

El conjunto de las clases se llama cociente de E respecto a la relacion y se denota

E/ .

Por consiguiente, se dispone de una aplicacion canonica

E E/

x ) x

que es sobreyectiva.

Sea V un espacio vectorial, U un subespacio vectorial de V . Se introduce una relacion mod(U),definida por

x y mod(U) x y U.

Proposicion II.1.1.- mod(U) es una relacion de equivalencia sobre E.

Demostracion.- i) Sea x V , x x = 0 U , entoces x x.ii) x y x y U , por consiguiente (1)(x y) U , de donde y x U , por lo tanto y x.iii) La transitividad la dejamos como ejercicio. #

Ejemplo

1.- Consideremos V = R2 y U un subespacio de dimension 1. En la figura puede verse las clases de

56 II Complemento

equivalencia.

U

x+U =x

Proposicion II.1.2.- Se tiene

x1 y1 mod(U)x2 y2 mod(U)

x1 + x2 y1 + y2 mod(U)

x1 x1 mod(U).

La adicion y la multiplicacion por los escalares son compatibles con la relacion mod(U)Demostracion.- Se tiene xi y1 mod(U) xi yi U i = 1, 2. Por lo tanto

(x1 y1) + (x2 y2) U (x1 + x2) (y1 + y2) U, x1 + x2 y1 + y2 mod(U).

La otra implicacion ejercicio. #Introducimos una adicion en V/U = V/ , de la manera siguiente

x1 + x2 = x1 + x2.

Esta definicion tiene sentido, si x1 = y1 y x2 = y2, por la proposicion II.1.2, se obtiene

x1 + x2 = y1 + y2.

Se introduce una multiplicacion por los elementos de K.

x = x.

La proposicion indica que esta definicion tiene un sentido.

Proposicion II.1.3.- El conjunto V/U con estas dos operaciones es un espacio vectorial. Ademas

: V V/U

es lineal.

Demostracion.- I. Adicion. Se tiene

x1 + (x2 + x3) = x1 + x2 + x3i)

= x1 + (x2 + x3)

= (x1 + x2) + x3

= x1 + x2 + x3

= (x1 + x2) + x3;

x + y = x + y = y + x + y + x;ii)

II.1 Espacios Vectoriales Cocientes 57

iii) el cero de V/U es 0;iv) el opuesto de x es x.Se tiene

(x + y) = x + y = x + y = (x) + (x).

II. Multiplicacion. Lo mismo que para la adicion, ejercicio.#

Proposicion II.1.4.- Sea f : V W una aplicacion lineal. Sea U un subespacio vectorial de V conU ker(f). Entonces existe una y una sola aplicacion lineal f : V/U W tal que el diagrama conmuta

Vf W

f

V/U

es decir f = f .Demostracion.- a) Existencia de f . Se plantea

f(x) = f(x).

Hay que verificar que si x = y, entonces f(x) = f(y). En efecto, x = y, se tiene x y U ker(f), porconsiguiente f(x y) = 0 y por lo tanto f(x) = f(y).

Por construccion f = f .f es lineal, en efecto

f(x + y) = f(x + y) = f(x + y) = f(x) + f(y) = f(x) + f(y).

De la misma manera se tiene f(x) = f(x).b) Unicidad. Supongamos que existen f1 y f2 tales que

f1 = f2 = f,

por lo tanto

f1(x) = f(x) = f2(x), x V/U.#

Proposicion II.1.5.- Si V es de generacion finita, entonces V/U lo es tambien. Ademas

dimV/U = dim V dimU.

Demostracion.- : V V/U es sobreyectiva. Si V es de generacion finita, entonces (V ) es de generacionfinita. La formula de dimension para aplicaciones lineales da

dimV = dim V/U + dim U.

#

II.2 Dual de un Espacio Vectorial 61

II.2 Dual de un Espacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial. Una forma lineal sobre V es una aplicacion lineal : V K. El conjunto delas formas lineales sobre V, Hom(V, K), se llama dual de V y se denota V .

Si V es de dimension finita, V lo es tambien y

dimV = dim V .

Sea {x1, . . . , xn} una base de V , esto induce un isomorfismo

: V Kn

) ((x1), . . . , (xn)).

Introduciendo las formas i V por

i : V K

xj ) ij ={

0 si i != j

1 si i = j.

Esto da (i) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = ei.Se sigue que es un isomorfismo, que {1, . . . , n} es una base de V . La base {1, . . . , n} se llama la

base de V dual de {x1, . . . , xn}.

Proposicion II.2.1.- Sea V espacio vectorial de dimension finita,i) Sea V , != 0, entonces ker() es de dimension dim(V ) 1.ii) Sea U V un subespacio de dimension dim(V ) 1, entonces existe V tal que ker() = U . Este

no es unico, pero si es otro con la misma propiedad, se tiene

= , != 0.

iii)

V

ker() = {0}.

Demostracion.- i) Si != 0, : V K es sobreyectiva y aplicamos la formula de dimension.ii) Sea {u1, . . . , un1} una base de U , que se completa en {u1, . . . , un1, un} base de V . Se considera laforma

: V Kui ) 0 si i = 1, . . . , n 1un ) 1,

que es una forma lineal de nucleo U . La segunda parte de este enunciado, ejercicio.

iii) Se tiene de manera trivial {0}

V

ker(). Sea v V , v != 0; vamos a mostrar que existe V tal

que (v) != 0, es decir que v ! ker .Elegimos una base de la forma {v, v2, . . . , vn} y se considera

: V Kv ) 1vi ) 0 para i = 2, . . . , m

#

Transpuesta de una Aplicacion Lineal

62 II Complemento

Consideremos el diagramaV

f Wf

K

Se obtiene entoncesf t : W V

) f

que es lineal y se llama la transpuesta

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Algebra Lineal Avanzada