Algebra Lineal

Indice general

1. Matrices, sistemas lineales y determinantes 21.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Orden de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Multiplicacion de un escalar por una matriz . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5. Suma de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6. Producto de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.7. Tipos especiales de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.8. Matrices idempotentes e involutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.9. Matrices divididas por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.10. Matrices semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.11. Problemas. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.1. Sistemas equivalentes y metodo de eliminacion. . . . . . . . . . . . . 31

1.3. El metodo de eliminacion de Gauss- Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4. Rango de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.4.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.5. Sistemas homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.6. Matrices elementales y un metodo para hallar A−1 . . . . . . . . . . . . . . 631.7. Resultados adicionales acerca de los sistemas de ecuaciones y la inversibilidad 671.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.9. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.9.1. Propiedades de la funcion determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.9.2. Existencia de la determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.10.Determinante del producto de dos matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.11.Adjunta de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.11.1. Propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.12.Inversion de matrices no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.13.Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.13.1. Determinantes como area o volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.14.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1

Capıtulo 1

Matrices, sistemas lineales ydeterminantes

1.1. MatricesIntroduccion El termino matriz fue introducido por primera vez en el ano 1850 por

Sylvester, un ano despues Cayley iniciaba un estudio matematico de las mismas. Aunqueuna matriz no es mas que un conjunto de numeros reales dispuestos de forma ordenada(formando filas que son las lıneas horizontales y las columnas son las lıneas verticales)esta sencilla idea se ha mostrado muy util. Es muy frecuente que los datos sobre lasactividades variadas se presenten en forma de tabla, tabla que no es sino una matriz.

Desde el punto de vista que nos concierne podrıamos decir que las matrices han inun-dado el Algebra Lineal, hasta el punto de que muchas veces se llama Teorıa de Matrices.Solo cuando tratamos con dimension infinita hemos de abandonarlas.

¿Cual es el secreto? El secreto es que siendo tan poca cosa - un punado de nume-ros escritos ordenadamente - una matriz puede representar muchas cosas: un sistemade ecuaciones lineales como los veremos, transformaciones lineales, productos escalares,formas cuadraticas, conicas, etc. Es la forma de ver la matriz lo que le da sentido, y sufacilidad de manejo lo que les da versatilidad y potencia. ¿Que mas se puede pedir a unaherramienta?

Definicion 1.1. Se llama matriz de tamano u orden m× n, constituido por escalares deun campo K (en particular, K = IR o K = IC), a cualquier tabla rectangular o arreglorectangular A formado por m.n escalares, dispuestos en m filas (lıneas horizontales) y n

columnas (lıneas verticales).

Los elementos de la matriz se delimitan usualmente con corchetes o parentesis. En estecurso usaremos corchetes. Tambien es usual denotar a las matrices por letras mayusculasy las componentes por letras minusculas.

Se llama elemento de lugar (i, j) o ij de A al escalar que esta ubicado en la interseccionde la fila i-esima (para i = 1, 2, . . . ,m) y la columna j-esima (para j = 1, 2, . . . , n); si a este

2

Algebra lineal. Matrices, sistemas lineales y determinantes 3

elemento se le llama aij, la matriz A se denota escribiendo.

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

...... . . . ...

am1 am2 am3 . . . amn

Abreviadamente, tambien se suele escribir A = [aij]. Cuando se quiera senalar expre-samente que la matriz A tiene tamano m× n, se le denotara Am×n

Al conjunto de todas las matrices de tamano m× n se le denota por Mm×n(K), dondeK es el campo de los escalares, o simplemente por Mm×n

Ejemplo 1.1. En la matriz: A =

[1 3 5

2 4 6

]sus elementos son: a11 = 1, a12 = 2, a13 =

3, a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6. Esta es una matriz de orden 2× 3, es decir: A ∈ M2×3.

1.1.1. Orden de una matrizEl orden de una matriz es el producto indicado del numero de filas (lıneas horizontales)

por el numero de columnas (lıneas verticales) de la matriz

Ejemplo 1.2. La matriz dada: A =

[1 4 8

3 5 7

]se tiene dos filas y tres columnas, enton-

ces la matriz A es de orden 2× 3.

Notacion. A las matrices usualmente se denota por las letras mayusculas A, B, C, etc. ya sus elementos con letras minusculas: aij, bij, cij, etc.

Ejemplo 1.3. Las siguientes matrices se escriben ası:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∈ M3×3, B =

[b11 b12 b13

b21 b22 b23

]∈ M2×3, C =

c11 c12

c21 c22

c31 c32

∈ M3×2

1.1.2. Tipos de Matrices

Matriz FilaA las matrices de orden 1×n se les llama matriz fila, es decir es de la forma siguiente:

A = [ a11 a12 · · · a1n ] ∈ M1×n

tambien se le conoce con el nombre de vector fila.

J. R. Ticona Parisaca


Matriz ColumnaA las matrices de orden m × 1 se les llama matriz columna, es decir es de la forma

siguiente:

A =

a11

a21

a31

...am1

∈ Mm×1

tambien se le conoce con el nombre de vector columna.

Producto de una Matriz Fila con una Matriz ColumnaSean A ∈ M1×n y B ∈ Mn×1, el producto de estas matrices es una matriz de orden 1× 1

y esta dado, ası:

A =[a11 a12 . . . a1n

]b11

b21

...bn1

= [a11b11 + a12b21 + a13b31 + · · ·+ a1nbn1]

Observacion. Para que este producto de matrices existe debe cumplirse que el numero decolumnas de la primera matriz coincida con el numero de filas de la segunda matriz.

Ejemplo 1.4. Sean las siguientes matrices A =[4 3 6 7

]y B =

3

−2

5

6

. Halle AB

Solucion.

AB =[4 3 6 7

]3

−2

5

6

= [ 4(3) + 3(−2) + 6(5) + 7(6) ] = [ 12− 6+ 30+ 42 ] = [ 78 ]

Ejemplo 1.5. Sean las siguientes matrices A =[4 3 6 7 3

]y B =

3

−2

5

6

. Halle AB

Solucion. En este caso no existe el producto de estas matrices, pues el numero de columnasde A es 5, mientras que el numero de filas de la matriz B es 4, como estos numeros no soniguales, entonces no existe el producto entre dichas matrices.



1.1.3. Igualdad de MatricesSean las matrices A, B ∈ Mm×n del mismo orden son iguales, si sus correspondientes

componentes son iguales. Es decir:

A = B⇐⇒ aij = bij, ∀ i = 1, 2, . . . ,m, ∀ j = 1, 2, . . . , n

Ejemplo 1.6. Si A =

[a11 a12

a21 a22

], B =

[b11 b12

b21 b22

]∈ M2×2, entonces

A = B⇐⇒ a11 = b11 ∧ a12 = b12 ∧ a21 = b21 ∧ a22 = b22

Si A y B no son iguales, escribiremos ası

A = B⇐⇒ aij = bij, ∃ i = 1, 2, . . . ,m, ∃ j = 1, 2, . . . , n

1.1.4. Multiplicacion de un escalar por una matrizDada una matriz A ∈ Mm×n y un escalar λ ∈ K, el producto del escalar por la matriz se

define por:

λA = λ

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

...... . . . ...


=

λa11 λa12 λa13 . . . λa1n

λa21 λa22 λa23 . . . λa2n

λa31 λa32 λa33 . . . λa3n

...... . . . ...

λam1 λam2 λam3 . . . λamn

como cada elemento de la matriz A es multiplica por λ, el producto λA es por lo tantotambien una matriz de orden m× n, es decir λA ∈ Mm×n.

Ejemplo 1.7. Si λ = 2 y A =

[3 5 7

2 4 6

]. Halle: λA

Solucion.

λA = 2

[3 5 7

2 4 6

]=

[6 10 14

4 8 12

], entonces λA =

[6 10 14

4 8 12

]

Propiedades del producto de un escalar por una matrizSean α y β dos escalares arbitrarios de K y A,B ∈ Mm×n, entonces:

(1) (αβ)A = α(βA) (2) α(A+ B) = αA+ αB

(3) (α+ β)A = αA+ βA (4) 1.A = A

(5) 0.A = Θ Matriz nula



1.1.5. Suma de matrices.Definicion 1.2. Sean las siguientes matrices arbitrarias de orden m× n, es decir, A, B ∈Mm×n, donde A = [aij], B = [bij], la suma de las matrices A y B es otra matriz C = [cij] ∈Mm×n, en donde cada elemento de la matriz C es la suma de los elementos correspondientesde A y B, es decir:

[cij] = [aij] + [bij] = [aij + bij], ∀ i = 1, 2, . . . ,m, ∀ j = 1, 2, . . . , n

Ejemplo 1.8. Calcular A+ B sı:

A =

4 5 3

2 1 0

3 −1 6

, B =

2 6 1

4 0 7

5 3 8

Solucion.

A+ B =

4 5 3

2 1 0

3 −1 6

+

2 6 1

4 0 7

5 3 8

=

4+ 2 5+ 6 3+ 1

2+ 4 1+ 0 0+ 7

3+ 5 −1+ 3 6+ 8

=

6 11 4

6 1 7

8 2 14

Observacion. La suma de matrices se define solamente cuando las matrices tienen elmismo numero de filas y mismo numero de columnas, es decir ambas matrices tienen queser del mismo orden.

Propiedades de la suma de matrices.Sean A, B, C ∈ Mm×n y λ ∈ IR, entonces:

a) A+ B = B+A, conmutativa

b) A+ (B+ C) = (A+ B) + C, asociativa

c) λ(A+ B) = λA+ λB

d) Existe una matriz nula Θ ∈ Mm×n tal que: ∀ A : A+Θ = A

Resta de matrices.Sean A, B ∈ Mm×n, entonces la diferencia de las matrices A y B se define:

A− B = A+ (−1)B



Ejemplo 1.9. Calcular A− B si: A =

1 3 7

2 4 5

4 6 8

, B =

7 5 −1

4 −6 9

2 3 8

Solucion.

A− B = A+ (−1)B =

1 3 7

2 4 5

4 6 8

+ (−1)

7 5 −1

4 −6 9

2 3 8

=

1 3 7

2 4 5

4 6 8

+

−7 −5 1

−4 6 −9

−2 −3 −8

=

−6 −2 8

−2 10 −4

2 3 0

Ejemplo 1.10. Hallar la matriz X tal que:[

2 −1 3

0 1 2

]+ X =

[1 −1 0

1 −2 1

]

Solucion. Podemos proceder de dos formas diferentes:

Metodo 1 . Sea X = [xij] una matriz de orden 2× 3, por lo tanto[2 −1 3

0 1 2

]+

[x11 x12 x13

x21 x22 x23

]=

[1 −1 0

1 −2 1

]

de donde se deduce que:

2+ x11 = 1,

−1+ x12 = −2,

3+ x13 = 0,

0+ x21 = 1,

1+ x22 = −2,

2+ x23 = 1

y resolviendo estas ecuaciones se obtiene

X =

[−1 −1 −3

1 −3 −1

]

Metodo 2 . Utilizando las propiedades de la suma de matrices[2 −1 3

0 1 2

]+ X =

[1 −1 0

1 −2 1

]⇐⇒ X =

[1 −1 0

1 −2 1

]−

[2 −1 3

0 1 2

]



entonces

X =

[−1 −1 −3

1 −3 −1

]�

Ejemplo 1.11. Hallar X e Y sabiendo que:

X+ Y =

[3 1 −4

7 1 5

]

2X− 3Y =

[−4 −3 2

−6 2 −5

]

Solucion. Podemos multiplicar a la primera igualdad por −2 y sumar a la segunda igual-dad, entonces

−5Y =

[−10 −5 10

−20 0 −15

]de donde se deduce que:

Y = −1

5

[−10 −5 10

−20 0 −15

]=

[2 1 −2

4 0 3

]

Finalmente

X =

[3 1 −4

7 1 5

]− Y =

[3 1 −4

7 1 5

]−

[2 1 −2

4 0 3

]=

[1 0 −2

3 1 2

]. �

Otra propiedad importante en la que se recoge en el siguiente teorema

Teorema 1.1. (Productos nulos) Cualesquiera que sean las matrices A y el escalar t ∈ R,se satisface:

1. 0A = Θ y tΘ = Θ

2. Si tA = Θ entonces t = 0 ∨ A = Θ

1.1.6. Producto de matrices.Sean las matrices A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p, el producto de A por B es otra matriz de

C ∈ Mm×p, donde cij es el producto escalar de la i-esima fila de A por la j-esima columnade B, es decir:

cij =

n∑k=1

aikbkj, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p

Observacion. El producto de dos matrices AB esta definido solo cuando el numero decolumnas de la matriz A es igual al numero de filas de la matriz B.



Ejemplo 1.12. Calcular AB si: A =

1 2 3

4 5 6

0 1 0

, B =

2 0

1 2

0 1

Solucion.

AB =

1 2 3

4 5 6

0 1 0

2 0

1 2

0 1

=

(1 2 3

) 2

1

0

(1 2 3

) 0

2

1

(

4 5 6) 2

1

0

(4 5 6

) 0

2

1

(

0 1 0) 2

1

0

(0 1 0

) 0

2

1

=

2+ 2+ 0 0+ 4+ 3

8+ 5+ 0 0+ 10+ 6

0+ 1+ 0 0+ 2+ 0

=

4 7

13 16

1 2

Nota. Para este ejemplo, BA no esta definido de acuerdo a la observacion. Pues el numerode columnas de B no coincide con el numero de filas de A.

Propiedades del producto de matrices.

1. AB = BA

2. (AB)C = A(BC)

3. A(B+ C) = AB+AC

4. (B+ C)A = BA+ CA

5. k(AB) = A(kB), k ∈ IR

Ejemplo 1.13. Simplificar las expresiones:

1. A(2B− C) + (2A− B)C+ 2A(B− 2C).

2. A(B− C)D+ABD−A(2B+ C)D+ 2ACD.

donde A, B, C y D son matrices cuadradas del mismo tamanoSolucion.

1. Utilizando propiedades del producto se obtiene

A(2B− C) + (2A− B)C+ 2A(B− 2C) = 2AB−AC+ 2AC− BC+ 2AB− 4AC

= 4AB− 5AC− BC



2. Aplicando propiedades del producto se obtiene

A(B− C)D+ABD−A(2B+ C)D+ 2ACD = ABD−ACD+ABD− 2ABD−ACD+ 2ACD

= Θ

Ejemplo 1.14. Probar que dos matrices cuadradas A y B conmutan si, y solo si

(A+ B)(A− B) = A2 − B2.

Solucion. Si AB = BA, se tiene

(A+ B)(A− B) = A(A− B) + B(A− B)

= A2 −AB+ BA− B2

= A2 −AB+AB− B2

= A2 − B2.

Recıprocamente, como(A+ B)(A− B) = A2 −AB+ BA− B2

si (A+ B)(A− B) = A2 − B2, entonces

−AB+ BA = Θ,

de donde se deduce que AB = BA. �

1.1.7. Tipos especiales de matrices.1 Matriz cuadrada. Se dice que una matriz A es cuadrada cuando el numero de

filas es igual numero de columnas. El conjunto de estas matrices lo denotaremos porMn = Mn×n o IRn×n

Si A ∈ Mn, la diagonal principal es la lınea formada por los elementos:

a11, a22, . . . , ann

La suma de los elementos de la diagonal de una matriz cuadrada se le llamatraza de la matriz, y se le denota:

Tr(A) = a11 + a22 + . . .+ ann

Ejemplo 1.15. .

• Si A =

[a11 a12

a21 a22

]∈ M2, su traza es: Tr(A) = a11 + a22

• Si A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∈ M3, su traza es: Tr(A) = a11 + a22 + a33



• Si A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... . . . ...

an1 an2 · · · ann

∈ Mn , su traza es: Tr(A) = a11+a22+ · · ·+ann

2 Matriz nula. Una matriz cuadrada que tenga todos sus elementos ceros se llamamatriz nula y lo denotaremos por:

Θ =

0 0 · · · 0

0 0 · · · 0...

... . . . ...0 0 · · · 0

Ejemplo 1.16. .

Si A ∈ M2 ⇒ A es una matriz nula donde A =

[0 0

0 0

]

Si A ∈ M3 ⇒ A es una matriz nula donde A =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3 Matriz Identidad. Sea I ∈ Mn cuyos elementos aij = 0 para i = j y aij = 1 parai = j entonces se llama matriz identidad. Es decir:

Ejemplo 1.17. .

Si I ∈ M2 ⇒ I es una matriz identidad donde I =

[1 0

0 1

]

Si I ∈ M3 ⇒ I es una matriz identidad donde I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Si I ∈ Mn ⇒ I es una matriz identidad donde I =

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0...

...... . . . ...

0 0 0 . . . 1

4 Matriz triangular superior. Sea A ∈ IRn×n cuyos elementos aij = 0 para i > j,entonces se llama matriz triangular superior. Es decir:

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

0 a22 a23 · · · a2n

0 0 a33 · · · a3n

......

0 0 0 · · · ann

es una matriz triangular superior



Ejemplo 1.18. Efectuemos el producto de las matrices triangulares A, B ∈ M3×3,tales que:

aij = 0 si i > j, aij = i+ j si i ≤ j

bij = 0 si i > j, bij = i− 2j si i ≤ j

entonces

AB =

2 3 4

0 4 5

0 0 6

−1 −3 −5

0 −2 −4

0 0 −3

=

−2 −12 −34

0 −8 −31

0 0 −18

Observacion. El producto de matrices matrices triangulares superiores es una ma-triz triangular superior.

5 Matriz triangular inferior. Sea A ∈ IRn×n cuyos elementos aij = 0 para i < j,entonces se llama matriz triangular inferior. Es decir:

A =

a11 0 0 · · · 0

a21 a22 0 · · · 0

a31 a32 a33 · · · 0...

...an1 an2 an3 · · · ann

es una matriz triangular inferior

6 Matriz diagonal. Sea A ∈ Mn cuyos elementos son aij = 0 para i = j se llamamatriz diagonal, es decir que se expresa en la forma:

A =

a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 · · · 0

0 0 a33 · · · 0...

...0 0 0 · · · ann

= diag(a11, a22, . . . , ann)

7 Matriz escalar. Sea A ∈ Mn una matriz diagonal en la que ademas se verifica

a11 = a22 = · · · = ann = k,

es decir es de la forma:

A =

k 0 0 · · · 0

0 k 0 · · · 0

0 0 k · · · 0...

...0 0 0 · · · k

= k I

8 Matriz unitaria o Matriz Identidad. Sea I ∈ IRn×n una matriz diagonal o lamatriz identidad en la que se verifica

a11 = a22 = · · · = ann = 1,



es decir es de la forma:

I =

1 0 0 · · · 0

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

0 0 0 · · · 1

Tambien se le llama matriz unitaria.

Ejemplo 1.19. .

A =

1 2 6

0 4 3

0 0 5

∈ M3 es una matriz triangular superior.

B =

1 0 0

2 4 0

6 −7 5

∈ M3 es una matriz triangular inferior.

C =

10 0 0

0 4 0

0 0 5

∈ M3 es una matriz diagonal.

D =

5 0 0

0 5 0

0 0 5

∈ M3 es una matriz escalar.

E =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

∈ M3 es una matriz unitaria.

9 Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A ∈ IRm×n, es unamatriz que se obtiene de intercambiar las filas en columnas, y esta matriz B ∈ IRn×m,se denota B = At

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

...... . . . ...


∈ IRm×n ⇒ B = At =

a11 a21 a31 . . . am1

a12 a22 a32 . . . am2

a13 a23 a33 . . . am3

...... . . . ...

a1n a2n a3n . . . amn

∈ IRn×m

Ejemplo 1.20. .

Si A =

2 4 2

1 5 1

3 −2 0

∈ M3 entonces At =

2 1 3

4 5 −2

2 1 0

∈ M3



Si A =

[1 3 5

2 4 6

]∈ M2×3 entonces At =

1 2

3 4

5 6

∈ M3×2

Propiedades de la matriz transpuesta.

(1) It = I (2) (At)t = A

(3) (kA)t = kAt (4) (A+ B)t = At + Bt

(5) (AB)t = BtAt (6) Rang(A) = Rang(At)

(7) Si A ∈ IRn×n, entonces Traz(A) = Traz(At), y |A| = |At|

(8) Si A ∈ IRn×ny es inversible, entonces (A−1)t = (At)−1

10 Matriz simetrica. Sea A ∈ Mn, se dice que es una matriz simetrica si A = At

Ejemplo 1.21. .

Si A =

1 0 1

0 2 4

1 4 3

∈ M3 ⇒ At =

1 0 1

0 2 4

1 4 3

∈ M3

como At = A, entonces la matriz A es simetrica.

Si B =

2 1 3

4 3 2

1 4 3

∈ M3 ⇒ Bt =

2 4 1

1 3 4

3 2 3

∈ M3,

como Bt = B, entonces la matriz B no es simetrica.

Observacion. Para que una matriz cuadrada A sea simetrica debe cumplir aij = aji

para i = j

Ejemplo 1.22. Las siguientes matrices son simetricas.

(a) A =

3 4 5

4 7 6

5 6 9

(b) A =

−4 2 1

2 −3 −5

1 −5 8

(c) A =

1 7 9

7 2 11

9 11 10

11 Matriz antisimetrica. Sea A ∈ Mn, se dice que es una matriz antisimetrica si

−A = At

Ejemplo 1.23. .

Si A =

[0 −1

1 0

]⇒ At =

[0 1

−1 0

]= −

[0 −1

1 0

]= −A

Como A = −At entonces A es una matriz antisimetrica.



Si A =

0 1 2

−1 0 3

−2 −3 0

⇒ At =

0 −1 −2

1 0 −3

2 3 0

= −

0 1 2

−1 0 3

−2 −3 0

= −A

Como A = −At entonces A es una matriz antisimetrica.

Observacion. Para que una matriz cuadrada A sea antisimetrica debe cum-plirse que aij = −aji para i = j y los elementos de la diagonal principal debenser ceros, es decir aij = 0 para i = j.

Ejemplo 1.24. Las siguientes matrices son antisimetricas.

(a) A =

0 4 −1

−4 0 2

1 −2 0

(b) A =

0 3 7

−3 0 −6

−7 6 0

(c) A =

0 1 −1

−1 0 1

1 −1 0

Ejemplo 1.25. Demostremos las siguientes propiedades:

a) El producto de toda matriz por su transpuesta es una matriz simetrica.En efecto.

(AAt)t = (At)tAt = AAt

Luego, por ser igual a su transpuesta, ası la matriz AAt es simetrica. �b) La suma de toda matriz cuadrada y de su traspuesta es simetrica.

En efecto. Sea A ∈ Mn, entonces

(A+At)t = At + (At)t = At +A = A+At

es decir, A+At es una matriz simetrica. �c) La diferencia de toda matriz matriz cuadrada con su transpuesta es una matriz

antisimetrica.En efecto. Sea A ∈ Mn, entonces, aplicando propiedades anteriores, se verifica

(A−At)t = At − (At)t = At −A = −(A−At)

en consecuencia, A−At es una matriz antisimetrica. �d) Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simetrica y de una matriz

antisimetrica.En efecto. Sea A ∈ Mn matriz arbitraria, sabemos que A + At es una matrizsimetrica y A−At es una matriz antisimetrica, entonces

A =1

2(A+At) +

1

2(A−At)

es la suma de una matriz simetrica y de una antisimetrica. �



12 Potencia de una matriz. Sea A ∈ Mn, la potencia de una matriz definiremoscomo:

A0 = I IdentidadA1 = A

A2 = AA

A3 = AAA...

An = AA . . .A︸︷︷︸n−veces

Nota.

Las matrices A, B ∈ Mn son conmutativas si, y solo si AB = BA

Si las matrices son conmutativas, entonces cualquier potencia natural de losmismos son conmutables y (AB)n = AnBn, n ∈ IN

13 Matriz ortogonal. Sea A ∈ Mn, se llama matriz ortogonal, si se verifica:

A.At = At.A = I

Ejemplo 1.26. Comprobar que la matriz dada es ortogonal.

A =

Cosθ −Senθ 0

Senθ Cosθ 0

0 0 1

Observacion.

Toda matriz ortogonal es inversible

Como (At)t = A, entonces se deduce que la inversa de una matriz ortogonal esuna matriz ortogonal.

Teorema 1.2. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.En efecto. Sean A,B ∈ Mn dos matrices ortogonales, entonces:

At = A−1, Bt = B−1 de donde ademas (AB)t = BtAt

Luego (AB)t = BtAt = B−1A−1 = (AB)−1

Analogamente(BA)t = AtBt = A−1B−1 = (BA)−1

Por lo tanto AB es una matriz ortogonal.

14 Matriz inversa. Sea A ∈ Mn se dice que es inversible, si existe una matrizcuadrada B ∈ Mn tal que:

AB = BA = I

entonces a la matriz B se llama matriz inversa de A y se denota por B = A−1



Ejemplo 1.27. Sea A ∈ M2 una matriz inversible, hallar la matriz inversa.

Solucion. Sea A =

[a b

c d

]y la matriz inversa A−1 =

[x y

z w

], entonces se tiene:

AA−1 = I⇐⇒ [a b

c d

][x y

z w

]=

[1 0

0 1

]⇐⇒ [ax+ bz ay+ bw

cx+ dz cy+ dw

]=

[1 0

0 1

]

igualando las componentes, tenemos el sistema lineal:

ax+ bz = 1,

ay+ bw = 0,

cx+ dz = 0,

cy+ dw = 1

⇒

x =d

ad− bc,

y = −b

ad− bc,

z = −c

ad− bc,

w =a

ad− bc

Es decir, si la matriz A =

[a b

c d

]es inversible, entonces es de la forma:

A−1 =1

ad− bc

[d −b

−c a

]

Nota. El numero “∆ = ad−bc" es llamado la determinante de la matriz A =

[a b

c d

].

Ejemplo 1.28. Halle la matriz inversa de la matriz A =

[4 3

5 4

]Solucion. Vemos que, ∆ = 4(4) − 5(3) = 16− 15 = 1, entonces

A−1 =1

∆

[4 −3

−5 4

]=

[4 −3

−5 4

]

Observacion. Una matriz cuadrada A inversible, se llama matriz regular o ma-triz no singular, en caso contrario la matriz A recibe el nombre de matriz singu-lar.

Propiedades.

(1) I−1 = I (2)(A−1

)−1= A

(3) (AB)−1 = B−1A−1 (4)(At)−1

=(A−1

)t14 PropiedadesDadas las matrices A, B ∈ IRn×n matrices triangulares superiores (inferiores) y α ∈ IR,entonces:



a) Las matrices A+ B y αA son matrices triangulares superiores (inferiores).

b) La matriz AB es tambien una matriz triangular superior (inferior).

c) Si A tiene inversa, entonces A−1 es una matriz triangular superior (inferior).

d) El rango de A es siempre mayor o igual al numero de elementos de la diagonalprincipal de A no nulos.

e) |A| = Πni=1aii

1.1.8. Matrices idempotentes e involutivas

Definicion 1.3. Matriz idempotente Una matriz cuadrada es idempotente si, ysolo si es igual a su cuadrado, es decir:

A ∈ Mn×n es idempotente ⇐⇒ A2 = A

Ejemplo 1.29. Sea la matriz A ∈ M2×2, donde

A =

[12

12

12

12

]verifica A2 = A, es decir, es una matriz idempotente.

Definicion 1.4. Matriz involutiva Una matriz cuadrada es involutiva si, y solo sicuadrado es la matriz identidad, es decir:

A ∈ Mn×n es involutiva ⇐⇒ A2 = I

Ejemplo 1.30. Sea la matriz A ∈ M2×2, donde

A =

[1 0

0 −1

]

es involutiva, pues A2 =

[1 0

0 1

]= I

1.1.9. Matrices divididas por bloques

En muchas ocasiones se considera que una matriz esta formada por otras matricesmas pequenas. Esto ocurre, por ejemplo, en aplicaciones en las que aparecen gran-des matrices con un elevado numero de ceros − matrices vacıas − que ademas estanagrupados, o incluso con estructuras que se repiten. Por lo general estas aplicacio-nes quedan fuera del alcance de este trabajo. Tambien es conveniente considerar queuna matriz esta formada por submatrices para establecer algunos resultados de tipoteorico.

Ilustremos la situacion con el siguiente ejemplo.



Ejemplo 1.31. Dadas las matrices

A =

1 0 2 −1 3

0 1 5 1 0

0 0 1 2 −1

0 0 2 3 5

y B =

2 3

4 5

1 1

2 −1

1 1

calcular el producto AB

Solucion. Antes de hacer el producto observemos que la matriz A tiene como subma-trices a la matriz identidad de orden 2 × 2 y a la matriz nula del mismo orden, esdecir

A =

1 0 2 −1 3

0 1 5 1 0

0 0 1 2 −1

0 0 2 3 5

Llamando

P =

[2 −1 3

5 1 0

]y Q =

[1 2 −1

2 3 5

],

Podemos considerar que la matriz A esta formada por cuatro submatrices

A =

[I2 P

Θ2 Q

]el producto de I2 y Θ2 por otras matrices de tamano adecuado es muy sencillo. Pa-ra realizar el producto de AB solo que obtener en B las submatrices que debemosmultiplicar por I2, Θ2 y por P y Q. De hecho si consideramos

B =

2 3

4 5

1 1

2 −1

1 1

siendo

R =

[2 3

4 5

]y S =

1 1

2 −1

1 1

tendremos

AB =

[I2 P

Θ2 Q

][R

S

]=

[R+ PS

QS

]=

5 9

11 9

4 −2

13 4

Notese que se realizan productos de matrices de tamano inferior al de las originales.



En general diremos que una matriz A de orden m × n esta dividida en bloques si seconsidera la matriz A formada por submatrices.

A =

A11 A12 . . . A1s

A21 A22 . . . A2s

......

...Ar1 Ar2 . . . Ars

siendo A11 la submatriz de orden m1×n1 formada por los elementos de A que ocupanlas m1 primeras filas y las n1 columnas, A12 la submatriz de orden m1 × n2 formadapor los elementos de A que ocupan las m1 primeras filas y las columnas n1+1, · · · , n1+

n2 y ası sucesivamente. en general Aij es la submatriz de orden mi × nj formado porlos elementos de A que ocupan las filas

m1 + · · ·+mi−1 + 1,m1 + · · ·+mi−1 + 2, . . . ,m1 + · · ·+mi−1 +mi

y las columnas

n1 + · · ·+ nj−1 + 1, n1 + · · ·+ nj−1 + 2, . . . , n1 + · · ·+ nj−1 + nj.

Siendo mi numeros naturales tales que

m1 +m2 + · · ·mr = m

y los nj numeros naturales cuya suma es

n1 + n2 + · · ·ns = n.

Indicaremos la division diciendo que A es de tamano

(m1 +m2 + · · ·mr)× (n1 + n2 + · · ·ns)

Ejemplo 1.32. Sea la matriz

A =

1 5 7 0 1

−2 3 5 4 1

0 2 −3 7 5

4 −1 2 3 5

0 −2 3 5 2

Hallar las divisiones en bloques de A de tamanos

a) (2+ 3)× (2+ 2+ 1)

b) (1+ 2+ 2)× (2+ 3)



Solucion. En el primer caso

A =

[A11 A12 A13

A21 A22 A23

]=

1 5 7 0 1

−2 3 5 4 1

0 2 −3 7 5

4 −1 2 3 5

0 −2 3 5 2

siendo

A11 =

[1 5

−2 3

], A12 =

[7 0

5 4

], A13 =

[1

1

]

A21 =

0 2

4 −1

0 −2

, A22 =

−3 7

2 3

3 5

, A33 =

5

5

2

En el segundo caso,

A =

A ′11 A ′

12

A ′21 A ′

22

A ′31 A ′

32

=

1 5 7 0 1

−2 3 5 4 1

0 2 −3 7 5

4 −1 2 3 5

0 −2 3 5 2

siendo

A ′11 = [1 5], A ′

12 = [7 0 1]

A ′11 =

[−2 3

0 2

], A ′

22 =

[5 4 1

−3 7 5

]

A ′31 =

[4 −1

0 −2

], A ′

32 =

[2 3 5

3 5 2

],

Este ejemplo ilustra el hecho de que una matriz puede ser dividida en bloques deformas distintas.

Las distintas operaciones entre matrices pueden realizarse con matrices divididasen bloques, siempre y cuando las operaciones puedan realizarse entre los distintosbloques.

a) Para la suma de dos matrices del mismo orden, sean A, B ∈ Mm×n sera necesarioque las subdivisiones sean iguales, ası A y B son de tamano (m1 +m2 + · · ·mr)×



(n1 + n2 + · · ·ns),

A+ B =

A11 A12 . . . A1s

A21 A22 . . . A2s

......

...Ar1 Ar2 . . . Ars

+

B11 B12 . . . B1s

B21 B22 . . . B2s

......

...Br1 Br2 . . . Brs

=

A11 + B11 A12 + B12 . . . A1s + B1s

A21 + B21 A22 + B22 . . . A2s + B22

......

...Ar1 + Br1 Ar2 + Br2 . . . Ars + Brs

b) El producto por un escalar no tiene complicacion ya que solo aparece una matriz

tA = t

A11 A12 . . . A1s

A21 A22 . . . A2s

......

...Ar1 Ar2 . . . Ars

=

tA11 tA12 . . . tA1s

tA21 tA22 . . . tA2s

......

...tAr1 tAr2 . . . tArs

c) En el producto de matrices divididas por bloques, queremos que los bloques ha-

gan el papel de elementos, es decir, que si A = [Aij y B = [Bjk, entonces

AB =

[s∑

j=1

AijBjk

]

para ello los bloques Aij y Bjk deben multiplicarse, es decir Aij ha de tener elmismo numero de columnas que Bjk de filas. Por lo tanto, si (m1 +m2 + · · ·mr)×(n1 + n2 + · · ·ns) es la division de A, y la de B = (n1 + n2 + · · ·ns) × (p1 + p2 +

· · ·pt), es decir si la division de las columnas de A coincide con las filas de B,puede realizarse el producto. En este caso se dice que las divisiones de A y B soncompatibles para el producto por bloques. Se tiene

1.1.10. Matrices semejantes

Definicion 1.5. Sean A, B ∈ Mn, se dice que las matrices A y B son semejantes siexiste una matriz inversible P ∈ Mn, tal que: B = P−1AP

15 Halle la matriz semejante de la matriz A =

[5 −2

4 −1

]Solucion. Resolver la ecuacion: D(A − λI) = 0, entonces λ1 = 3, λ2 = 1, luego paradeterminar la matriz P, determinamos los vectores columnas resolviendo los sistemaslineales homogeneos y buscar soluciones no triviales:

(A− λI)X = Θ



Si λ1 = 3⇒ v1 = (1, 1)

Si λ2 = 2⇒ v2 = (1, 2)

entonces la matriz P =

[1 1

1 2

]y la inversa de P, es P−1 =

[2 −1

−1 1

]. Luego multi-

plicar las matrices P−1AP = B =

[3 0

0 1

]

Ejemplo 1.33. Hallar la matriz semejante de A, donde A =

7 −1 6

−10 4 −12

−2 1 −1

Solucion. Resolviendo la ecuacion p(λ) = D(A− λI) = 0, tenemos que:

p(λ) = λ3 − 10λ2 + 31λ− 30 = 0,

entonces(λ− 2)(λ− 3)(λ− 5) = 0⇒ λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 5

Luego hallemos los vectores columnas de la matriz P, entonces:

Si λ1 = 2⇒ v1 = (1,−1,−1)

Si λ2 = 3⇒ v2 = (1,−2,−1)

Si λ3 = 5⇒ v3 = (3,−6,−2)

Luego escribimos la matriz P =

1 1 3

−1 −2 −6

−1 −1 −2

y la inversa de P es:

P−1 =

2 1 0

−4 −1 −3

1 0 1

Finalmente tenemos la matriz semejante de A es:

B = P−1AP =

2 0 0

0 3 0

0 0 5

1.1.11. Problemas. Matrices

1. Calcular la matriz2

3A− 2B, sabiendo que:

A =

[−6 0 3

12

−3 −1

]y B =

[−2 −1 0

− 14

0 32

]



2. Escribir explıcitamente las siguientes matrices:

(a) A = [aij]4×3, donde aij = i+ 3j (b) A = [aij]4×4, donde aij = 2i + 3j

(c) A = [aij]3×4, donde aij = max{i, j} (d) A = [aij]4×4, donde aij = 2i − (−1)j

3. Sean las siguientes matrices iguales, determine las incognitas.

(a)

[x2 3y

2u (w+ 1)2

]=

[4 16

1 9

](b)

[x− 2 0

1 y+ 1

]=

[4 w+ 2

1− z 0

]

4. Si A =

1 2 2

2 1 2

2 2 1

. Demuestre que: A2 − 4A+ I = Θ

5. Dadas las matrices:

A =

1 1 −1

2 0 3

3 −1 2

, B =

1 3

0 2

−1 4

y C =

[1 2 3 −4

2 0 −2 1

]

Demostrar que: (AB)C = A(BC)

6. Hallar x, y, z sı:

1 2 0

0 1 5

1 0 1

x

y

z

=

1

5

2

7. Demostrar que:

[1 1

0 1

]n=

[1 n

0 1

]

8. Sabiendo que A =

1 1 1

0 1 1

0 0 1

, demostrar que: An =

1 nn(n+ 1)

20 1 n

0 0 1

9. Si B =

[Cosx −Senx

Senx Cosx

]. Demuestre que: Bn =

[Cos(nx) −Sen(nx)

Sen(nx) Cos(nx)

]

10. Demostrar que:

[a 1

0 a

]n=

[an nan−1

0 an

]

11. Determinar la matriz X, sabiendo que: X+

[0 −1

2 −2

]= I

12. Sean las matrices

A =

1 −1 1

0 1 0

3 1 2

B =

1 −1

0 0

−2 2

C =

[−3

−2

]

Obtener: A2, ABC y BtAt



13. Desarrollar

a) (A+ I)(A− I)

b) (A+ B)(A− B)

Sabiendo A, B, I ∈ Mn×n

14. Sabiendo que

A =

[pq q2

−p2 −pq

]Calcular: A2

15. Obtener A2 sabiendo que:

A =

−1 −1 −1

0 1 0

0 0 1

16. Dada la matriz A =

[1 1

1 0

], calcular: A2, A3, A3, . . ., etc. y vincular los elementos

resultantes con los terminos de la sucesion de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . donde,a partir del tercero, cada uno es igual a la suma de los dos anteriores.

17. Demostrar por induccion matematica que:[1 1

0 1

]n=

[1 n

0 1

]

18. Demostrar por induccion matematica que: 1 1 1

0 1 1

0 0 1

=

1 nn(n+1)

2

0 1 n

0 0 1

19. Determinar las matrices X ∈ M2×2 tales que X2 = Θ

20. Sean A, B ∈ Mn×n matrices simetricas. Hallar una condicion necesaria y suficientepara que su producto AB sea simetrica.

21. Hallar An, para n ∈ IN, donde:

A =

1 1 0

0 1 1

0 0 1



22. Hallar una matriz A tal que:

A3 =

1 −7 1

0 8 38

0 0 27

23. Hallar A3, siendo A la matriz

A =

0 Cosθ Senθ

Cosθ 0 −1

−Senθ 1 0

24. Hallar los numeros x, y, z, u y v para los que se verifica: x 2

0 y

z 1

[ −1 v

u 0

]=

5 1

−3 0

1 2

25. Sean A, S ∈ Mn×n: S es simetrica. Analice si se verifica que:

a) AtA es simetrica.

b) AtSA es simetrica.

c) A es antisimetrica, entonces A2 es simetrica

d) A es regular, entonces A−n = (A−1)n n ∈ IN

26. Encuentre la matriz C cuya inversa es C−1 =

[4 5

6 7

]

27. Sea A =

0 0 0

1 0 0

1 1 0

. Demuestrese que A3 = Θ. Utilice algebra de matrices para

calcular el producto (I−A)(I+A+A2)

28. Sea A ∈ Mn×n que satisface la ecuacion A2 − 2A+ I = Θ. Demuestrese que:

A3 = 3A− 2I

A4 = 4A− 3I

1.2. Sistemas de ecuaciones linealesDefinicion 1.6. Se llama ecuacion lineal en las variables o incognitas x1, x2, . . . , xn auna ecuacion de la forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b (1.1)

en donde a1, a2, . . . , an, b ∈ IR son numeros reales dados.

Observacion.



a) A los numeros ai que multiplica a la incognita xi, (i = 1, 2, . . . , n) se le llama coefi-ciente de la incognita correspondiente

b) Al numero b se le llama termino independiente de la ecuacion.

c) Si b = 0, se dice que la ecuacion (1.1) es homogenea. En caso contrario, se dice quees no homogenea.

Ejemplo 1.34. Las siguientes ecuaciones son ecuaciones lineales:

a) x+ 3y = 7

b) y =1

2+ 3x+ 1

c) x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 7

d) x1 + x2 + · · ·+ xn = 1

Los item a), b) son ecuaciones lineales en las variables x e y, mientras que el item c)

es una ecuacion lineal en las variables x1, x2, x3 y x4 y el item d) es una ecuacion lineal enlas variables x1, x2, . . . , xn

Observacion. Una ecuacion lineal no comprende productos o raıces de variables. Todaslas variables se presentan unicamente a la primera potencia y no aparecen como argumen-tos para funciones trigonometricas, logarıtmicas o exponenciales. Las que siguen no sonecuaciones lineales:

a) x+ 3y2 = 7

b) y− Senx = 0

c) 3x+ 2y− z+ xy = 4

d)√x1 + 2x2 + x3 = 1

Definicion 1.7. Una solucion de una ecuacion lineal a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b es unasucesion de n numeros s1, s2, . . . , sn, tales que la ecuacion se satisface cuando se hace lasustitucion x1 = s1, x2 = s2, . . . xn = sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuaciones su “conjunto solucion”.

Ejemplo 1.35. Encuentrese el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones:

(I) 4x− 2y = 1 (II) x1 − 4x2 + 7x3 = 5

a) A fin de encontrar las soluciones de (I) se puede asignar un valor arbitrario a x ydespejar y, o bien, elegir un valor arbitrario para y y despejar x. Si se sigue el primerprocedimiento y se asigna a x un valor arbitrario t, se obtiene

x = t, y = 2t−1

2

Estas ecuaciones describen el conjunto solucion en terminos del parametro arbitrariot.

Es posible obtener soluciones numericas particulares al sustituir t por valores es-pecıficos.



Por ejemplo t = 3 proporciona la solucion x = 3 e y =11

2.

y si t = −1

2proporciona la solucion x = −

1

2, y = −

3

2

b) Si se sigue el segundo procedimiento y se asigna a y el valor arbitrario t, se obtiene

x =1

2t+

1

4, y = t

Aun cuando estas formulas son diferentes a las obtenidas con anterioridad, propor-cionan el mismo conjunto solucion cuando se hace variar t sobre todos los numeros

reales posibles. Por ejemplo dieron la solucion x = 3 e y =11

2cuando t = 3, mientras

que estas formulas conducen a esta solucion cuando t1 =11

2.

c) Para encontrar el conjunto solucion de (II) se puede asignar valores arbitrarios a dosvariables cualesquiera y despejar la tercera variable. En particular, si se asignan losvalores arbitrarios s y t a x2 y x3 respectivamente, y luego se despeja x1 se obtiene laformula

x1 = 5+ 4s− 7t, x2 = s, x3 = t

En esta seccion y en la siguiente, sera de especial interes considerar sistemas de ecuacioneslineales.

Definicion 1.8. Al conjunto de m ecuaciones linealesa11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1.2)

en donde aij, bi, donde i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n son numeros reales dados, se lesllama sistema de m ecuaciones lineales en las n incognitas x1, x2, . . . , xn.

Observacion.

a) Si todos los terminos independientes b1 = b2 = · · · = bm = 0, se dice que el sistemalineal (1.2) es homogeneo. En caso contrario se dice que no es homogeneo.

b) Una solucion del sistema es una lista de n numeros (s1, s2, . . . , sn) que da validez acada ecuacion si se reemplazan los valores x1 = s1, x2 = s2, · · · , xn = sn

Por ejemplo, un sistema general de tres ecuaciones lineales en cuatro incognitas se escribe:a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3



El subındice doble en los coeficientes de las incognitas es una util idea que se empleapara establecer la ubicacion del coeficiente del sistema. El primer subındice del coeficienteaij indica la ecuacion en la que se encuentra, y el segundo indica la incognita que mul-tiplica. Por lo tanto, a12 se encuentra en la primera ecuacion y multiplica a la incognitax2.

Si mentalmente se mantiene presente la ubicacion de los signos +, las x y los signos=, es posible abreviar un sistema de m ecuaciones lineales en n incognitas escribiendounicamente el arreglo rectangular o una matriz de numeros:

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

......

......

am1 am2 . . . amn bm

Esto se conoce como matriz aumentada para el sistema lineal.

Ejemplo 1.36. Por ejemplo, el sistema lineal{3x+ 2y = 7

x+ y = 3

tiene por solucion a x = 1, y = 2 (la solucion es “unica”).

No todos los sistemas ecuaciones lineales tienen soluciones. Por ejemplo, si se multiplicala segunda ecuacion del sistema {

x+ y = 4

2x+ 2y = 6

por1

2, es evidente que no hay solucion alguna, ya que las dos ecuaciones del sistema resul-

tante {x+ y = 4

x+ y = 3

se contradicen entre sı.

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene solucion se dice que el sistema esinconsistente o incompatible. Si existe al menos una solucion, se le denomina consis-tente o compatible.

A fin de ilustrar las posibilidades que pueden presentarse al resolver sistemas de ecuacio-nes lineales, consideremos un sistema general de dos ecuaciones lineales en las incognitasx y y {

a1x+ b1y = c1, a1 = 0∨ b1 = 0

a2x+ b2y = c2, a2 = 0∨ b2 = 0



Las graficas de estas ecuaciones en el plano cartesiano son rectas; se hara referencia a ellascomo L1 y L2. Puesto que un punto (x, y) esta sobre la recta si y solo si los numeros x y y sa-tisfacen las ecuaciones de la misma, las soluciones del sistema de ecuaciones correspondena puntos de interseccion de L1 y L2. Se tienen tres posibilidades. (Ver Figura)

a) Las rectas L1 y L2 pueden ser parale-las, en cuyo caso no existe interseccionalguna y, como consecuencia, no haysolucion para el sistema.

Figura 1.1: Ninguna solucion

b) Las rectas L1 y L2 pueden interceptarseen solo un punto, en cuyo caso el siste-ma tiene exactamente una solucion

Figura 1.2: Una solucion

c) Las rectas L1 y L2 pueden coincidir, encuyo caso existe una infinidad de pun-tos de interseccion y, por consiguienteuna infinidad de soluciones para el sis-tema.

Figura 1.3: Una infinidad de soluciones

Aun cuando solo se han considerado dos ecuaciones con dos incognitas, posteriormentese demuestra que se cumple este mismo resultado para sistemas arbitrarios. Podemos daruna conclusion.

Definicion 1.9. todo sistema de ecuaciones lineales tiene

tiene exactamente una solucion

o, no tiene solucion alguna,

o bien, una infinidad de soluciones.



Definicion 1.10. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismoconjunto solucion. Es decir, cada solucion del primer sistema y tambien es una solucion delsegundo sistema, y cada solucion del segundo sistema tambien es una solucion del primersistema.

Ejemplo 1.37. Si se observa el sistemax1 = 1

x2 = −1

x3 = 4

(1.3)

y nos preguntamos la solucion del sistema lineal (1.3), se ve que no se tiene que hacer nada,pues esta escrito la solucion en el sistema.

Sin embargo, si se observa que el sistema2x1 + 3x2 − 5x3 = −21

x1 + x2 + 3x3 = 12

5x1 + 2x2 + 5x3 = 23

(1.4)

No se puede, a simple vista, decir cuales son las soluciones, pero reemplazando

x1 = 1, x2 = −1 y x3 = 4

tambien es solucion del sistema (1.4). Entonces los sistemas de ecuaciones lineales (1.3) y(1.4) son equivalentes.

1.2.1. Sistemas equivalentes y metodo de eliminacion.Dado entonces un sistema de ecuaciones lineales para resolver, se deben realizar opera-

ciones algebraicas en las ecuaciones persiguiendo 2 fines:

1. Obtener un sistema mas simple que el dado, por ejemplo en el (1.3) es el mas simpleque (1.4)

2. Que el sistema ası obtenido sea equivalente al original.

Esta es la filosofıa propiamente dicha del metodo de eliminacion para resolver sistemasde ecuaciones.

De esta estrategia general surge una pregunta natural: ¿Que tipo de operaciones se pue-de realizar en las ecuaciones para producir sistemas equivalentes?

Vease que son 3 operaciones, llamadas operaciones elementales en una matriz, quepermiten obtener sistemas equivalentes. Estas son:

1. Intercambiar de posicion dos de las ecuaciones.



2. Multiplicar una de las ecuaciones por una constante diferente de cero.

3. Sumar a una ecuacion un multiplo de otra.

Ejemplo 1.38. Observemos como funcionan estas ideas en nuestro ejemplo del sistema(1.4). Se tratara entonces de realizar operaciones elementales en las ecuaciones, cuyo obje-tivo es crear un sistema equivalente que conduzcan a una simplificacion y determinar lasolucion es:Por ejemplo dado el sistema lineal

2x1 + 3x2 − 5x3 = −21

x1 + x2 + 3x3 = 12

5x1 + 2x2 + 5x3 = 23

Primero intercambiamos la primera con la segunda ecuacion quedando ası

x1 + x2 + 3x3 = 12

2x1 + 3x2 − 5x3 = −21

5x1 + 2x2 + 5x3 = 23

Sustituya ahora la segunda ecuacion por ella misma menos 2 veces la primera y la tercerapor ella menos 5 veces la primera, logrando eliminar la incognita x1 de estas ecuaciones,queda entonces

x1 + x2 + 3x3 = 12

x2 − 11x3 = −45

−3x2 − 10x3 = −37

Sustituya ahora la tercera ecuacion por ella misma mas 3, veces la segunda, quedandoahora

x1 + x2 + 3x3 = 12

x2 − 11x3 = −45

−43x3 = −172

Multiplique la tercera ecuacion por −1

43

x1 + x2 + 3x3 = 12

x2 − 11x3 = −45

x3 = 4

Sustituya la primera ecuacion por ella menos 3 veces la tercera, y la segunda por ellamisma mas 11 veces la tercera, obtenemos

x1 + x2 = 0

x2 = −1

x3 = 4



Finalmente sustituya la primera ecuacion por ella misma menos la segunda y obtenemos

x1 = 1

x2 = −1

x3 = 4

y ası se ha logrado el sistema (1.3), el cual se sabe que tiene las mismas soluciones que eloriginal (1.4). Por lo tanto, las soluciones de (1.4) son x1 = 1, x2 = −1 y x3 = 4 �

Ejemplo 1.39. Resolver el sistema lineal

3x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 1 (E1)

x1 − x2 + x3 − 3x4 = 0 (E2)

2x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = 5 (E3)

4x1 − 4x2 + x3 + 2x4 = 4 (E4)

Para abreviar las operaciones elementales en ecuaciones se escribira del modo compacto,es decir:

1. (Ei) ↔ (Ej) para indicar que se estan intercambiando la posicion de las ecuaciones(Ei) y (Ej).

2. (Ei)→ k(Ei) para indicar que se ha multiplicado por k = 0 la ecuacion (Ei)

3. y, (Ei)→ (Ei)+k(Ek) para indicar que se ha sustituido la ecuacion (Ei) por ella mismamas k veces la ecuacion (Ej)

Solucion.

x1 − x2 + x3 − 3x4 = 0 (E1)↔ (E2)

3x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 1

2x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = 5

4x1 − 4x2 + x3 + 2x4 = 4

x1 − x2 + x3 − 3x4 = 0

x2 − x3 + 10x4 = 1 (E2)→ (E2) − 3(E1)

3x2 + 10x4 = 5 (E3)→ (E3) − 2(E1)

−3x3 + 14x4 = 4 (E4)→ (E4) − 4(E1)

x1 + +7x4 = 1 (E1)→ (E2) + (E1)

x2 − x3 + 10x4 = 1

3x3 − 20x4 = 2 (E3)→ (E3) − 3(E2)

−3x3 + 14x4 = 4



x1 + +7x4 = 1

x2 − x3 + 10x4 = 1

3x3 − 20x4 = 2

−6x4 = 6 (E4)→ (E3) + (E4)

x1 + +7x4 = 1

x2 − x3 + 10x4 = 1

3x3 − 20x4 = 2

x4 = −1 (E4)→ −1

6(E4)

x1 = 8 (E1)→ −7(E4) + (E1)

x2 − x3 = 11 (E2)→ −10(E4) + (E2)

3x3 = −18 (E3)→ 20(E4) + (E3)

x4 = −1

x1 = 8

x2 − x3 = 11

x3 = −6 (E3)→ 1

3(E3)

x4 = −1

x1 = 8

x2 = 5 (E2)→ (E3) + (E2)

x3 = −6

x4 = −1

La solucion del sistema lineal es: x1 = 8, x2 = 5, x3 = −6 y x3 = −1. �

1.3. El metodo de eliminacion de Gauss- JordanEl objetivo de esta seccion es exponer el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan para

resolver sistemas de ecuaciones lineales.

El metodo no es mas que una “optimizacion y sistematizacion”de las ideas expuestas enel ultimo ejemplo.



Notacion matricialLa informacion esencial de un sistema lineal puede registrarse de modo compacto en

un arreglo rectangular llamado matriz.

Por ejemplo dado el sistema linealx1 − 2x2 + x3 = 0

2x2 − 8x3 = 8

−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9

(1.5)

con los coeficientes de cada variable alineados en columnas, la matriz

A =

1 −2 1

0 2 −8

−4 5 9

se llama matriz de coeficientes del sistema (1.5), y

A =

1 −2 1 0

0 2 −8 8

−4 5 9 −9

(1.6)

se llama matriz aumentada o matriz ampliada del sistema. La matriz ampliada deun sistema consiste en la matriz de coeficientes con una columna adicional que contienelos terminos independientes de las ecuaciones.

El tamano u orden de una matriz indica su numero de filas y columnas. Ası por ejemplola matriz ampliada A tiene 3 filas y 4 columnas, por lo que es una matriz de orden 3 × 4.Si m y n son enteros positivos, entonces es una matriz de orden m × n es un arreglorectangular de numeros con m filas y n columnas.

Dado el sistema de m ecuaciones con n incognitas

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1.7)

Se asocia a este la matriz A (de orden m× n) de sus coeficientesa11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... . . . ...

am1 am1 · · · amn

(1.8)



llamada matriz de coeficientes (o matriz del sistema lineal), ası como la matriz de ordenm× (n+ 1)

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2

...... . . . ...

am1 am1 · · · amn bm

(1.9)

(La misma matriz A con una ultima columna anadida, la de los terminos independientes),llamada matriz aumentada de coeficientes o matriz ampliada.

Ejemplo 1.40. Ası pues, para el sistema de 2 ecuaciones con 4 incognitas

2x1 − x2 + 5x3 − 3x4 = 1

x1 − 5x2 + 10x2 − 2x4 = −7

Se le asocia una matriz del sistema de orden 2× 4

A =

[2 −1 5 −3

1 −5 10 −2

]

y la matriz ampliada

A =

[2 −1 5 −3 1

1 −5 10 −2 −7

]Antes de comenzar a describir la metodologıa de la eliminacion Gaussiana, se introdu-

cira el concepto de matriz en forma escalonada.

Se dice que la matriz A esta en forma escalonada reducida si en ella se cumple lassiguientes 4 condiciones:

1. Si la matriz posee alguna o algunas filas que conste exclusivamente de ceros, estas seencuentran concentradas en la parte inferior de la matriz.

2. Para cada fila de la matriz que no consta de ceros, el primer elemento distinto de cero(leyendo estos en el orden natural de izquierda a derecha) de tal fila es 1.

3. Para cada dos filas consecutivas que no constan exclusivamente de ceros, el primerelemento distinto de cero de la fila superior se encuentra a la izquierda del primerelemento distinto de cero de la lınea a la que precede.

4. Cada columna que contiene un primer elemento distinto de cero de alguna fila, tieneen las posiciones restantes de esta columna de ceros.



Ejemplo 1.41. Por ejemplo, las siguientes matrices se encuentran en la forma escalona-da reducida:

(a) A =

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 4

(b) B =

0 0 1 0 2

0 0 0 1 4

0 0 0 0 0

(c) C =

1 6 0

0 0 1

0 0 0

0 0 0

(d) D =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(e) E =

[0 0 0

0 0 0

]

mientras que las matrices

(a)

1 0 3 2

0 1 0 1

0 0 1 4

(b)

0 0 1 6 2

0 0 0 1 4

0 0 0 0 0

(c)

1 0 0

0 0 1

0 0 10

son matrices escalonadas.

Las propiedades mas importantes que posee una matriz en la forma escalonada redu-cida es que esta representa la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, lassoluciones de este pueden leerse muy facilmente.

Ejemplo 1.42. Por ejemplo, suponga que la matriz

A =

1 0 0 0 4

0 1 0 0 −2

0 0 1 0 1

0 0 0 1 4

representa la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, de modo que atendien-do a la correspondencia entre matrices y sistemas de ecuaciones establecida anteriormente,se ve que el sistema correspondiente es:

1.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = 4

0.x1 + 1.x2 + 0.x3 + 0.x4 = −2

0.x1 + 0.x2 + 1.x3 + 0.x4 = 1

0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 1.x4 = 4

o sea, x1 = 4, x2 = −2, x3 = 1, x4 = 4. Las soluciones del sistema estan dadas, pues, en lamatriz.



Por otra parte, si la matriz

A =

1 0 0 3

0 1 1 2

0 0 0 0

es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones, este serıa entonces

x1 = 3

x2 + x3 = 2

Dando cualquier valor a x3, sea este x3 = t, se obtiene el valor de x2 = 2 − t y entonces elconjunto infinito de soluciones del sistema esta dado por

x1 = 3, x2 = 2− t, x3 = t, t ∈ IR

o equivalentemente x1

x2

x3

=

3

2− t

t

, t ∈ IR

Ejemplo 1.43. Si la matriz A en la forma escalonada reducida representa a un sistemalineal, donde

A =

[1 0 0

0 0 1

]se ve que el sistema correspondiente

1.x1 + 0.x2 = 0

0.x1 + 0.x2 = 1

no tiene solucion.

En conclusion, la forma escalonada reducida de una matriz, cuando esta representala matriz ampliada de un sistema de ecuaciones, es muy conveniente para ella leer lassoluciones del sistema.

Ejemplo 1.44. Halle la matriz escalonada reducida de la siguiente matriz

Solucion. La matriz equivalente dado en la forma escalonada reducida es:

A =

1 2 1 4

5 1 6 0

2 3 3 4

≈

1 0 0 2

0 1 0 2

0 0 1 −2

entonces la solucion del sistema lineal asociado serıa: x = 2, y = 2 y z = −2



Ejemplo 1.45. Considere el sistema lineal de ecuaciones

x+ y+ 2z = a

x+ z = b

2x+ y+ 3z = c

Demuestre que para que el sistema sea consistente, a, b, c deben satisfacer c = a+ b.

Solucion. La representacion matricial tenemos: 1 1 2 a

1 0 1 b

2 1 3 c

≈

1 1 2 a

0 −1 −1 −a+ b

0 −1 −1 −2a+ c

≈

1 0 1 b

0 1 1 a− b

0 0 0 −a− b+ c

≈

1 −1 0 −a+ 2b

0 1 1 a− b

0 0 0 −a− b+ c

De la ultima fila vemos que el sistema lineal tiene solucion si −a−b+c = 0⇐⇒ a+b = c,mientras que dicho sistema lineal no tiene solucion si −a− b+ c = 0

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonceslos dos sistemas tienen el mismo conjunto solucion.

La siguiente seccion mostrara por que un conjunto solucion de un sistema lineal puedecontener ninguna solucion, o bien, tener una solucion o un numero infinito de soluciones

Dos preguntas fundamentales acerca de un sistema lineal

1. ¿El sistema es consistente, es decir, al menos existe una solucion?

2. Si existe una solucion, ¿solo hay una, es decir, la solucion es unica?

Estas dos preguntas se presentaran a lo largo del desarrollo.

Ejemplo 1.46. Determine si el siguiente sistema es consistente

x1 − 2x2 + x3 = 0

2x2 − 8x3 = 8

−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9

La representacion matricial es la siguiente matriz 1 −2 1 0

0 2 −8 8

−4 5 9 −9

≈

1 0 0 29

0 1 0 16

0 0 1 3

Ası que x1 = 29, x2 = 16 y x3 = 3, es decir el sistema lineal es consistente con solucionunica.



Ejemplo 1.47. Determine si el siguiente sistema es consistente.

x2 − 4x3 = 8

2x1 − 3x2 + 2x3 = 1

5x1 − 8x2 + 7x3 = 1

Solucion. La matriz ampliada es: 0 1 −4 8

2 −3 2 1

5 −8 7 1

≈

1 0 −5 0

0 1 −4 0

0 0 0 1

Vemos de la tercera ecuacion que 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1, no existen numeros reales que satis-facen esta ecuacion, por lo tanto el sistema es inconsistente.

Ejemplo 1.48. Resolver el sistema linealx + y + z = 1

3x + 6y + 5z = 2

x + 4y + 3z = 0

Solucion. Utilizando matrices y matrices equivalentes, tenemos: 1 1 1 1

3 6 5 2

1 4 3 0

∼

1 0 1/3 4/3

0 1 2/3 −1/3

0 0 0 0

de la matriz escalonada reducida vemos que, el sistema lineal tiene infinitas soluciones:

x =4

3−

t

3,

y = −1

3−

2t

3,

z = t,

t ∈ IR

Observemos que los sistemas lineales mas faciles de resolver son los sistemas diagona-les que tiene la forma

x1 = b1,

x2 = b2,. . . ...xn = bn

(1.10)

cuya matriz ampliada es escalonada reducida.

En orden de dificultad creciente se encuentran los sistemasx1 + a12x2 + · · ·a1nxn = b1,

x2 + · · ·a2nxn = b2,. . . ...

xn = bn

(1.11)



que se conocen con el nombre de sistemas triangulares superiores, cuya matriz ampliadaes escalonada. Estos sistemas se resuelven por sustitucion regresiva.

El siguiente ejemplo ilustra el metodo de sustitucion regresiva, cuyo algoritmo daremosa continuacion.

Ejemplo 1.49. Resolver el sistema de ecuaciones lineales:x1 + 2x2 − x3 = 5,

x2 + 3x3 = −2,

x3 = 1.

Solucion. De la ultima ecuacion obtenemos que x3 = 1. Despejando de la segunda ecuacionx2 y sustituyendo el valor de x3, obtenemos:

x2 = −2− 3x3 ⇒ x2 = −2− 3(1) = −5

Por ultimo, despejando de la primera ecuacion x1 y sustituyendo los valores de x2 y x3,tenemos:

x1 = 5− 2x2 + x3 ⇒ x1 = 5− 2(−5) − (1) = 14

Por lo tanto, la solucion del sistema es la terna (x1, x2, x3) = (14, −5, 1)

Algoritmo 1 (Sustitucion regresiva)

1. Calcular xn de la ultima ecuacion.

2. Para i = n− 1, n− 2, . . . , 1 calcular xi como:

xi = bi −

n∑j=i+1

aijxj.

Se puede comprobar que las operaciones que se efectuan en el algoritmo de sustitucion re-gresiva son equivalentes a las que se realizan para obtener la matriz escalonada reducidadel sistema triangular a partir de la matriz escalonada. En consecuencia dado un sis-tema lineal es conveniente reducirla a un sistema equivalente del tipo (1.11) y resolverlopor sustitucion regresiva. Esto es, obtener la matriz escalonada y a partir de ella obtenerla matriz escalonada reducida.

Los siguientes algoritmos, mediante operaciones elementales, obtienen la matriz esca-lonada, la matriz escalonada reducida y la solucion de un sistema. En estos algoritmos seentiende que una fila esta pivotada cuando se ha hecho un uno principal y se han anu-lado los elementos de la columna del uno principal, que estan por debajo de el. El numeropor el que hay que dividir la fila que se quiere pivotar, para obtener un uno principal, sellama pivote.

Algoritmo 2. Este algoritmo calcula la forma escalonada de una matriz.



1. REPETIR los pasos a − b hasta que todas las filas hayan sido pivotadas o todos loselementos de las filas no pivotadas sean ceros.

a) ELECCION DE LA FILA PIVOTE. De entre todas las filas no pivotadas elegirla primera que tenga un elemento no nulo mas a la izquierda. La fila elegida esla fila pivote, su primer elemento no nulo es el pivote.

b) REORDENACION DE LA MATRIZ. Si la fila pivote no es la primera de lastodavıa no pivotadas, intercambiarlas (operacion elemental de tipo I)

c) HACER UN UNO PRINCIPAL. Dividir la fila pivote por el pivote. (operacionelemental del tipo II)

d) ANULAR LOS ELEMENTOS SITUADOS DEBAJO DEL PIVOTE. A cada unade las filas siguientes a la fila pivote restarla esta multiplicada por el elementode la correspondiente fila situado debajo del uno principal (operacion elementaldel tipo III). Considerar la fila pivote como ya pivotada.

Definicion 1.11. Se llama forma escalonada de una matriz a la matriz resultante deaplicar el algoritmo 2.

Ejemplo 1.50. Calcular la forma escalonada de la matriz

A =

0 1 3 2

2 −1 4 1

1 1 −1 2

0 3 −6 3

Solucion. Vamos a calcular la forma escalonada de la matriz A detallando los pasos delalgoritmo 2.

1. La primera fila que tiene un elemento no nulo mas a la izquierda es la segunda fila.Por lo tanto la fila pivote es: [

2 −1 4 1]

y el pivote es su primer elemento no nulo, es decir 2.

2. Como la fila pivote no es la primera de las no pivotadas (no hay todavıa ninguna filapivotada), la intercambiamos, realizando la operacion elemental de tipo I siguiente

0 1 3 2

2 −1 4 1

1 1 −1 2

0 3 −6 3

F2↔F1−→

2 −1 4 1

0 1 3 2

1 1 −1 2

0 3 −6 3

3. Para conseguir un uno principal, tendremos que dividir la fila pivote (que ahora

esta en la primera posicion) por el pivote, lo cual es equivalente a realizar la operacion



elemental del tipo II siguiente:2 −1 4 1

0 1 3 2

1 1 −1 2

0 3 −6 3

F1→ 12F1

−→

1 −12

2 12

0 1 3 2

1 1 −1 2

0 3 −6 3

4. Para anular los elementos que estan debajo del uno principal debemos realizar la

siguiente operacion elemental1 − 1

22 1

2

0 1 3 2

1 1 −1 2

0 3 −6 3

F3−F1→F3−→

1 − 12

2 12

0 1 3 2

0 32

−3 32

0 3 −6 3

Llegados a este punto, la fila pivote la consideramos como fila pivotada. Como todavıaquedan filas por pivotar, volvemos al paso primero.

1. En este caso la nueva fila pivote es la segunda[0 1 3 2

], ya que es de las no

pivotadas la primera que tiene un elemento no nulo mas a la izquierda. El pivote es1.

2. Como la fila pivote es la primera de las no pivotadas, no necesitamos hacer ningunintercambio.

3. Como el pivote es 1, ya tenemos el uno principal.

4. Vamos a anular los elementos situados por debajo del uno principal. Para ello reali-zamos las siguientes operaciones

1 − 12

2 12

0 1 3 2

0 32

−3 32

0 3 −6 3

F3− 32F2→F3

−→

1 −12

2 12

0 1 3 2

0 0 − 152

− 32

0 3 −6 3

F4−3 F2→F4−→

1 −1

22 1

2

0 1 3 2

0 0 − 152

− 32

0 0 −15 −3

La fila pivote ya esta pivotada. Como quedan filas por pivotar volvemos de nuevo al pasoprimero.

1. La fila pivote es ahora la tercera fila[0 0 −

15

2−3

2

], que es la primera de las no

pivotadas. EL pivote es −15

2.



2. De nuevo, como la fila pivote es la primera de las no pivotadas no necesitamos inter-cambiar filas.

3. Para conseguir un uno principal tenemos que dividir a la fila pivote por −15

2. Es

decir 1 −1

22

1

20 1 3 2

0 0 −15

2−3

20 0 −15 −3

− 2

15F3→F3

−→

1 − 12

21

20 1 3 2

0 0 11

50 0 −15 −3

4. Para anular los elementos que estan por debajo del uno principal realizamos la si-

guiente operacion elemental.1 −1

22

1

20 1 3 2

0 0 11

50 0 −15 −3

F4+15F3→F4−→

1 −12

21

20 1 3 2

0 0 11

50 0 0 0

La fila pivote, ya esta pivotada. Como todos los elementos de las filas no pivotadas sonnulos, se ha terminado, el proceso de reduccion.

La matriz obtenida es la forma escalonada reducida de una matriz A. �

Algoritmo 3. Este algoritmo calcula la forma escalonada reducida de una matriz.

1. Aplicar el Algoritmo 2.

2. ANULAR LOS ELEMENTOS SITUADOS POR ENCIMA DE LOS UNOS PRINCI-PALES. Del ultimo uno principal hasta el primero. A cada fila situada por encimade la fila elegida con un uno principal, restarle esta, multiplicada por el elemento dela fila correspondiente y la columna del uno principal.

Es interesante comprobar que la segunda parte del algoritmo 3 coincide con el algoritmo 1

de sustitucion regresiva.

Definicion 1.12. Se llama forma escalonada reducida de una matriz resultante deaplicarla el algoritmo 3.

En el siguiente ejemplo vamos a obtener la forma escalonada reducida de una matrizsiguiendo los pasos dados en el algoritmo 3.

Ejemplo 1.51. Calcular la forma escalonada reducida de la matriz

A =

0 1 3 2

2 −1 4 1

1 4 −1 2

0 3 −6 3



Solucion.

1. Aplicar el algoritmo 2 a la matriz A para obtener su forma escalonada. En el ejemploanterior, hemos obtenido que la forma escalonada de la matriz A es:

A =

0 1 3 2

2 −1 4 1

1 4 −1 2

0 3 −6 3

≈

1 −1

22 1

2

0 1 3 2

0 0 1 15

0 0 0 0

= S

2. Anular los elementos por encima de los unos principales. El ultimo uno principalesta en la tercera fila y tercera columna, por tanto, para anular los elementos queestan por encima de el debemos realizar las siguientes operaciones elementales deltipo III:

1 −1

22

1

20 1 3 2

0 0 11

50 0 0 0

F2−3F3→F2−→

1 − 12

2 12

0 1 0 75

0 0 1 15

0 0 0 0

F1−2F3→F1−→

1 − 12

0 110

0 1 0 75

0 0 1 15

0 0 0 0

Observacion. Es conveniente observar que al anular los elementos que estan por en-cima del uno principal, solo varıan en la matriz los elementos situados en las filas queestan por encima del uno principal y en las columnas situadas a la derecha de dichouno principal. Por lo tanto los unos principales de la forma escalonada se mantienen.

Para anular, ahora, los elementos situados por encima del siguiente uno principal dela segunda fila debemos realizar la siguiente operacion elemental del tipo III,

1 − 12

0 110

0 1 0 75

0 0 1 15

0 0 0 0

F1+ 12F2→F1

−→

1 0 0 45

0 1 0 75

0 0 1 15

0 0 0 0

Como el siguiente uno principal ya es el primero, la matriz anterior es la forma escalonadareducida de la matriz inicial A. �

Ejemplo 1.52. Obtener la forma escalonada y escalonada reducida de la matriz

B =

1 −1 1 2

−1 2 3 5

2 1 0 3



Solucion. De acuerdo con el algoritmo 2 las siguientes operaciones elementales producenla matriz escalonada: 1 −1 1 2

−1 2 3 5

2 1 0 3

F2+F1→F2−→ 1 −1 1 2

0 1 4 7

2 1 0 3

F3−2F1→F3−→ 1 −1 1 2

0 1 4 7

0 3 −2 −1

F3−3F2→F2−→

1 −1 1 2

0 1 4 7

0 0 −14 −22

− 114

F3→F3−→

1 −1 1 2

0 1 4 7

0 0 1 117

que es la forma escalonada de la matriz inicial.

Aplicando el algoritmo 3 a la matriz escalonada obtenida mediante operaciones ele-mentales. 1 −1 1 2

0 1 4 7

0 0 1 117

F2−4F3→F2−→ 1 −1 1 2

0 1 0 57

0 0 1 117

F1−F3→F1−→ 1 −1 0 3

7

0 1 0 57

0 0 1 117

F1+F2→F1−→

1 0 0 87

0 1 0 57

0 0 1 117

se obtiene la forma escalonada reducida de la matriz original. �

Para resolver un sistema lineal de ecuaciones lineales, segun las reglas expuestas an-teriormente, debemos hallar la forma escalonada reducida de la matriz de coeficientes delsistema, y hacer las mismas operaciones elementales con la m−tupla de terminos indepen-dientes. Teniendo en cuenta que en cada paso obtendremos sistemas equivalentes, entoncesllegamos a obtener un sistema equivalente al original. El siguiente algoritmo explica elproceso a seguir, es una variante del conocido algoritmo de Gauss.

Algoritmo 4 (Algoritmo de Gauss) Este algoritmo resuelve el sistema lineal de m ecua-ciones y n incognitas, cuya matriz ampliada es [A b].

1. Aplicar el algoritmo 3 a la matriz [A b].

2. Si la matriz escalonada reducida resultante tiene un uno principal en la ultimacolumna, ENTONCES el sistema es INCOMPATIBLE.

3. Si la matriz escalonada reducida resultante no tiene un uno principal en la ultimacolumna, ENTONCES el sistema es COMPATIBLE, y su solucion es en:

a) Si todas las columnas excepto la ultima columna tienen un uno principal, la



matriz resultante sera de la forma:

1 0 . . . 0 s1

0 1 . . . 0 s2...

......

...0 0 . . . 1 sn

0 0 . . . 0 0...

......

...0 0 . . . 0 0

(1.12)

entonces el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y la solucion es:

(s1, s2, . . . , sn)

b) Si alguna columna que no es la ultima no tiene uno principal, el sistema esCOMPATIBLE INDETERMINADO. La solucion parametrica se obtiene de lasiguiente forma:

1) Formar la n−upla siguiente. Si en la columna i hay un uno principal ponercomo elemento i de la n−upla el elemento de la matriz situada en la fila deluno principal y en la ultima columna . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 0 1 . . . s

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

...s...

← fil i

↑col i

Si en la columna i no hay un uno principal poner un cero en la n−upla . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 0 ∗ . . . s

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

...0...

← fil i

↑col i

Esta n−upla es una solucion particular del sistema de ecuaciones linea-les.

2) A cada columna j que no sea la ultima y no tenga un uno principal asig-narle un parametro (un parametro diferente por cada columna). Para cadaparametro sumar a la solucion particular el producto del parametro por lasiguiente n−upla; si en la columna i hay un uno principal, poner en el ele-mento i de la n−upla el elemento situado en la columna del parametro y enla fila del uno principal, cambiado de signo. En el lugar de la columna delparametro poner un uno. Completar los demas elementos de la n−upla conceros.



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 0 1 . . . d . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...−d

...1...

← fil i

← fil j

↑ ↑col i col j

Es importante observar que si las columnas j1, j2, . . . , jn−r son las que no tienen un unoprincipal, el elemento js−esima de la n−upla correspondiente a la columna jt sera un unosi t = s o un cero si t = s, ademas los elementos que hay por debajo del elemento jt sontodos nulos, debido a la forma escalonada reducida de la matriz.

Ejemplo 1.53. Escribir la solucion del sistema lineal cuya matriz ampliada es1 2 0 3 0 1

0 0 1 −1 0 2

0 0 0 0 1 4

0 0 0 0 0 0

Solucion. Como el sistema es compatible indeterminado, ya que las columnas segunda ycuarta no tienen un uno principal, y la ultima tampoco, vamos a obtener la solucion apli-cando los pasos correspondiente del algoritmo 4.

En primer lugar vamos a construir una 5−upla, siguiendo el paso 3.b.1 de dicho algo-ritmo. Como las columnas primero, tercero y quinta tienen un uno principal, los elementosprimero, tercero y quinto de dicha 5−pla seran situados en la ultima columna y en las filasprimera, segunda y tercera, (son las filas de los unos principales), respectivamente. Comolas columnas segunda y cuarta no tienen un uno principal los elementos segundo y cuartode la 5−upla que estamos construyendo seran nulos. Por lo tanto obtenemos

1

0

2

0

4

Se puede comprobar facilmente que dicha 5−upla es una solucion particular del sistemainicial planteado.

Como la segunda columna no tiene un principal, siguiendo los pasos 3.b.2 del algoritmo4, le asignamos un parametro y formamos la 5−upla. En las columnas primera, tercero yquinto seran los situados en la segunda columna y en las filas primera, segunda y tercera



(filas de los unos principales) cambiados de signo. El segundo elemento sera un uno, yaque esta columna es la del parametro. El cuarto sera nulo ya que en dicha columna no hayun uno principal. Por lo tanto obtenemos la 5−upla siguiente

−2

1

0

0

0

Observar que los elementos situados por debajo del uno principal correspondiente a la co-lumna del parametro son nulos. Esto es debido a que corresponden a columnas que notienen un uno principal, o a columnas que sı tienen un uno principal pero estan a la dere-cha de la columna del parametro, y por la forma escalonada reducida de la matriz estosson nulos.

La cuarta columna tampoco tiene un uno principal. Por lo tanto le asignamos unparametro y siguiendo los pasos anteriores construimos la siguiente 5−upla

−3

0

1

1

0

sumando a la solucion, particular las 5−uplas obtenidas a, multiplicadas por el parametrocorrespondiente, obtenemos la solucion del sistema

x1

x2

x3

x4

x5

=

1

0

2

0

4

s

−2

1

0

0

0

+ s

−3

0

1

1

0

Observese que el numero de parametros, es 2, es igual al numero de incognitas, 5, menos elnumero de unos principales, 3. �.

Ejemplo 1.54. Escribir la solucion del sistema cuya matriz ampliada es0 1 0 −3 0 2 0 0 3

0 0 1 2 0 −1 0 0 5

0 0 0 0 1 1 0 0 4

0 0 0 0 0 0 1 0 7

0 0 0 0 0 0 0 1 2

Igual que en el ejemplo.1.4.1, los parametros corresponden a las columnas primera, cuar-ta y sexta, ya que estas no tienen unos principales. Ası, de acuerdo con el paso 3.b del



algoritmo 4 la solucion es:

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

=

0

3

5

0

4

0

7

2

+ s1

1

0

0

0

0

0

0

0

+ s2

0

3

−2

1

0

0

0

0

+ s3

0

−2

1

0

−1

1

0

0

El siguiente teorema establece la validez del algoritmo de Gauss

Teorema 1.3. Supongamos que se aplica el algoritmo de Gauss a la matriz ampliada deun sistema de m ecuaciones lineales y n incognitas.

1. Si el algoritmo de Gauss acaba en el paso 2 el sistema original es incompatible.

2. Si el algoritmo de Gauss acaba en el paso 3 el sistema original es compatible, y lan−upla que se construye en el es el conjunto de todas las soluciones del sistema.

Teorema 1.4. (Teorema de Rouche - Frobenius) Un sistema de ecuaciones lineales es:

1. Incompatible si, y solo si, la forma escalonada de la matriz ampliada del sistematiene un uno principal mas que la forma escalonada de la forma escalonada de lamatriz de coeficientes.

2. Compatible si, y solo si, las formas escalonadas de la matriz ampliada del sistema yla de coeficientes tienen el mismo numero de unos principales. En este caso el sistemaes determinado si, y solo si, el numero de unos principales coincide con el numero deincognitas, y es indeterminado si es menor.

Demostracion. Es consecuencia del algoritmo 4.

Ejemplo 1.55. Resolver el sistema

x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1

2x1 + 3x2 + +x3 = 2

x2 + x3 + 3x4 = −4

−x1 − 2x2 − x3 − 2x4 = −1



Solucion. Realizamos las siguientes operaciones elementales en la matriz ampliada1 1 −1 2 1

2 3 0 4 2

0 1 1 3 −4

−1 −2 −1 −2 −2

F2−2F1→F2−→

1 1 −1 2 1

0 1 2 0 0

0 1 1 3 −4

−1 −2 −1 −2 −2

F4+F1→F4−→

1 1 −1 2 1

0 1 2 0 0

0 1 1 3 −4

0 −1 −2 0 0

F3−F2→F3−→

1 1 −1 2 1

0 1 2 0 0

0 0 −1 3 −4

0 −1 −2 0 0

F4+F2→F4−→

1 1 −1 2 1

0 1 2 0 0

0 0 −1 3 −4

0 0 0 0 0

−F3→F3−→

1 1 −1 2 1

0 1 2 0 0

0 0 1 −3 4

0 0 0 0 0

La ultima matriz es la forma escalonada de la matriz ampliada del sistema. Como lacuarta columna no tiene uno principal, y la ultima tampoco, el sistema es compatibleindeterminado, y tiene infinitas soluciones. A continuacion se obtiene la forma escalonadareducida.

1 1 −1 2 1

0 1 2 0 0

0 0 1 −3 4

0 0 0 0 0

F2−2F3→F2−→

1 1 −1 2 1

0 1 0 6 −8

0 0 1 −3 4

0 0 0 0 0

F1+F3→F1−→

1 1 0 −1 5

0 1 0 6 −8

0 0 1 −3 4

0 0 0 0 0

F1−F2→F1−→

1 0 0 −7 13

0 1 0 6 −8

0 0 1 −3 4

0 0 0 0 0

Luego las soluciones, en forma parametrica, del sistema lineal dado son, de acuerdo con elalgoritmo 4,

x1

x2

x3

x4

=

13

−8

4

0

+ t

7

−6

3

1

que, realizando las operaciones, puede escribirse como

x1

x2

x3

x4

=

7t+ 13

−6t− 8

3t+ 4

t

, t ∈ IR



Ejemplo 1.56. Encontrar los valores de b que hacen que el sistema

x1 + bx2 − 2x3 = 2

−x1 + (b− 2)x2 + 2x3 = −2

2x1 + 2x2 + (b− 4)x3 = 3

tenga una solucion, infinitas soluciones, y ninguna solucion.

Solucion. Utilicemos el algoritmo de Gauss. Para ello realizamos operaciones elementalesen la matriz ampliada 1 b −2 2

−1 b− 2 2 −2

2 2 b− 4 3

F2+F1→F2−→ 1 b −2 2

0 2b− 2 0 0

2 2 b− 4 3

F3−2F1→F3−→

1 b −2 2

0 2b− 2 0 0

0 2− 2b b −1

Segun sea b podremos elegir el elemento (2, 2), es decir 2b − 2, como pivote o no. Conside-remos dos casos.

1. Supongamos que b = 1. Entonces, la matriz escalonada sera 1 1 −2 2

0 0 0 0

0 0 1 −1

F2↔F3−→ 1 1 −2 2

0 0 1 −1

0 0 0 0

Para obtener la matriz escalonada reducida hacemos la siguiente operacion elemen-tal 1 1 −2 2

0 0 1 −1

0 0 0 0

F1+2F2→F1−→ 1 1 0 0

0 0 1 −1

0 0 0 0

que tiene como solucion en forma parametrica la terna x1

x2

x3

=

−t

t

1

=

0

0

1

+ t

−1

1

0

, t ∈ IR

donde se ha tomado la variable x2 como parametro. Notese que el sistema es equiva-lente a {

x1 + x2 = 0

x3 = −1

Luego, si b = 1 el sistema lineal tiene infinitas soluciones.



2. Supongamos que b = 1, es decir 2b− 2 = 0. En este caso la matriz escalonada es 1 b −2 2

0 2b− 2 0 0

0 2− 2b b −1

12b−2

F2→F2

−→ 1 b −2 2

0 1 0 0

0 2− 2b b −1

F3−(2−2b) F2→F3−→

1 b −2 2

0 1 0 0

0 0 b −1

Consideremos ahora dos casos segun b sea distinto o igual a cero.

a) Si b = 0, en cuyo caso obtenemos 1 b −2 2

0 1 0 0

0 0 b −1

1bF3→F3−→

1 b −2 2

0 1 0 0

0 0 1 − 1b

la forma escalonada reducida es 1 b −2 2

0 1 0 0

0 0 1 − 1b

F1+2F3→F1−→ 1 b 0 2− 2

b

0 1 0 0

0 0 1 − 1b

F1−bF2→F1−→

1 0 0 2− 2b

0 1 0 0

0 0 1 − 1b

cuya solucion es 2− 2

b

0

− 1b

Observese que el sistema equivalente, al original, es el sistema diagonal

x1 = 2− 2b

x2 = 0

x3 = − 1b

Luego si b = 1 y b = 0, entonces el sistema se compatible determinado.

b) Si b = 0. Ahora la matriz se reduce a 1 0 −2 2

0 1 0 0

0 0 1 −1

en la que podemos hacer un uno principal en la ultima columna, por lo tantoel sistema es incompatible. Notese que en este caso el sistema es equivalente al



sistema triangular x1 −2x3 = 2

x2 = 0

0 = −1

cuya ultima ecuacion es un absurdo. Ası pues si b = 0 no hay soluciones.

�

Ejemplo 1.57. Resolver el sistemax1 − x2 + x3 − 2x4 = 3

2x1 + x2 + x3 + x4 = −2

x1 +2x2 + 3x4 = −5

de tres ecuaciones con cuatro incognitas.Solucion Apliquemos operaciones elementales a la matriz ampliada del sistema segun elalgoritmo de Gauus 1 −1 1 −2 3

2 1 1 1 −2

1 2 0 3 −5

F2−2F1→F2−→ 1 −1 1 −2 3

0 3 −1 5 −8

1 2 0 3 −5

F3−F1→F3−→ 1 −1 1 −2 3

0 3 −1 5 −8

0 3 −1 5 −8

13F2→F2−→

1 −1 1 −2 3

0 1 − 13

53

−83

0 3 −1 5 −8

F3−3F2→F3−→ 1 −1 1 −2 3

0 1 − 13

53

−83

0 0 0 0 0

Esta es la matriz escalonada. Para obtener la matriz escalonada reducida hay que realizarla operacion elemental 1 −1 1 −2 3

0 1 − 13

53

− 83

0 0 0 0 0

F1+F2→F1−→ 1 0 2

3− 1

313

0 1 −13

53

− 83

0 0 0 0 0

El sistema equivalente asociado es{

x1 + 23x3 − 1

3x4 = 1

3

x2 − 13x3 + 5

3x4 = − 8

3

Considerando las variables x3 y x4 como parametros obtenemos el conjunto de soluciones13− 2

3s+ 1

3t

− 83+ 1

3s− 5

3t

s

t

=

13

− 83

0

0

+ s

− 2

313

1

0

+ t

13

−53

0

1

, s, t ∈ IR

Observese que en este caso las soluciones dependen de dos parametros. �



1.4. Rango de un sistema de ecuaciones linealesConsideremos el sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1.13)

donde:

A = [ aij ] es la matriz de los coeficientes del sistema.1.13

X = [ xj ] es la matriz de las incognitas

B = [ bi ] es la matriz de los terminos independientes

A =[A B

]es la matriz ampliada.

Definicion 1.13. Sea A la matriz ampliada del sistema lineal.1.13 y sea E la matrizescalonada reducida de A, el numero de filas no nulas la matriz E es el rango del sistemalineal, es decir:

Rango(A) = numero de filas no nulas de E

1.4.1. PropiedadesAhora consideraremos las siguientes propiedades:

1. Una condicion necesaria y suficiente para que el sistema lineal.1.13 sea consisten-te, es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matrizampliada, es decir:

El sistema es consistente⇐⇒ Rang(A) = Rango(A)

2. Si el sistema lineal.1.13 es consistente, se presentan los siguientes casos:

a) Que el sistema 1.13 tenga una solucion (solucion unica) esto ocurre cuando elnumero de incognitas del sistema es igual al rango de la matriz ampliada, esdecir 1.13 tiene solucion unica

Rang(A) = Rango(A) = n, n numero de incognitas

b) Que el sistema 1.13 tenga mas de una solucion (existen infinitas soluciones) estoocurre cuando el numero de incognitas del sistema 1.13 es mayor que el rangode la matriz ampliada, es decir: El sistema 1.13 tendra infinitas soluciones si

Rang(A) = Rango(A) = k < n



Observacion. Si k < n, entonces (n − k) variables o incognitas del sistema 1.13toman valores arbitrarios, estas variables o incognitas que toman valores arbitrariosse conocen con el nombre de variables libres, variables independientes o parametros.

3. Si el rango de la matriz de los coeficientes es distinto del rango de la matriz amplia-da, en este caso se dice que el sistema 1.13 es inconsistente, es decir:

Rang(A) = Rango(A)

entonces el sistema 1.13 es inconsistente (no existe solucion)

Ahora veamos una representacion grafica.

Ejemplo 1.58. Halle el rango de la siguiente matriz

A =

5 −1 −1 0

1 2 3 14

4 3 2 16

Solucion Determinemos la matriz escalonada

A =

5 −1 −1 0

1 2 3 14

4 3 2 16

∼

1 2 3 14

5 −1 −1 0

4 3 2 16

∼

1 2 3 14

0 −11 −16 −70

0 −5 −10 −40

∼

1 2 3 14

0 −11 −16 −70

0 1 2 8

∼

1 2 3 14

0 1 2 8

0 −11 −16 −70

∼

1 0 −1 −2

0 1 2 8

0 0 6 8

∼

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

= E



Vemos que la matriz E tiene 3 filas no nulas entonces el rango(A) = 3 que coincide conel numero de incognitas, entonces el sistema lineal asociada a esta matriz tiene solucionunica.

Ejemplo 1.59. Resolver el sistema lineal de ecuaciones:

x + y + z + w = 0

x + y + z − w = 4

x + y − z + w = −4

x − y + z + w = 2

Aplicando el metodo de Gauss, se tiene:

A =

1 1 1 1 0

1 1 1 −1 4

1 1 −1 1 −4

1 −1 1 1 2

∼

1 0 0 0 1

0 1 0 0 −1

0 0 1 0 2

0 0 0 1 −2

= E

entonces la solucion del sistema es (x, y, z,w) = (1, −1, 2, −2) Veamos el desarrollo de lasoperaciones elementales

Ejemplo 1.60. Resolver el sistema de ecuaciones lineales

2x − y + w = 2

−3x + z − 2w = −4

x + y − z + w = 2

2x − y + 5z = 6

Aplicando el metodo de Gauss, se tiene:

A =

2 −1 0 1 2

−3 0 1 −2 −4

1 1 −1 1 2

2 −1 5 0 6

∼

1 0 0 3/5 8/5

0 1 0 1/5 6/5

0 0 1 −1/5 4/5

0 0 0 0 0

= E

Como en la matriz E tiene fila nula, entonces el sistema lineal tiene infinitas soluciones yestas son:

(x, y, z,w) =

(8

5−

3t

5,6

5−

t

5,4

5+

t

5

), t ∈ IR

Ejemplo 1.61. Resolver el sistema

x + 5y + 4z = 1

2x + 10y + 8z = 3

3x + 15y + 12z = 5

Solucion. Aplicando el metodo de Gauss, se tiene:

A =

1 5 4 1

2 10 8 3

3 15 12 5

∼

1 5 4 0

0 0 0 1

0 0 0 0

= E



En este caso vemos que el rango(A) = 1 y mientras que el rango de la matriz ampliadaes 2, como estos numeros son diferentes, el sistema lineal es incompatible, es decir no tienesolucion.

Ejemplo 1.62. Sea el sistema de ecuaciones lineales

x + y − 3z + w = 1

2x − 4y + 2w = 2

x − 2z + 3w = 3

3x − 4y − 2z 0 = k

Hallar k para que el sistema lineal tenga solucion unica o distinta del sistema. Solucion.Aplicando el metodo de Gauss, se tiene:

1 1 −3 1 1

2 −4 0 2 2

1 0 −2 3 3

3 −4 −2 0 k

∼

1 1 −3 1 1

0 −6 6 0 0

0 −1 1 2 2

0 −7 7 −3 k− 3

∼

1 1 −3 1 1

0 1 −1 0 0

0 −1 1 2 2

0 −7 7 −3 k− 3

∼

1 1 −3 1 1

0 1 −1 0 0

0 0 0 2 2

0 0 0 −3 k− 3

∼

1 1 −3 1 1

0 1 −1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 −3 k− 3

∼

1 1 −3 0 0

0 1 −1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 k

∼

1 0 −2 0 0

0 1 −1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 k

En conclusion, tenemos:

El sistema lineal es incompatible si k = 0



El sistema lineal es compatible si k = 0.Entonces si k = 0, el sistema lineal tiene infinitas soluciones, estas soluciones son:

Si z = t⇒

x = 2t

y = t

z = t

w = 1

, t ∈ IR

1.5. Sistemas homogeneasUn sistema de ecuaciones lineales se llama homogenea si los terminos independientes

de todas las ecuaciones son nulos. El sistema tiene la formaa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

......

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

Notese que un sistema homogeneo siempre tiene solucion. En efecto

x1 = x2 = · · · = xn = 0

es solucion del sistema homogeneo, y se llama solucion trivial. Como esta solucion carecede interes practico, siempre es interesante conocer si un sistema homogeneo tiene solucionesno triviales.

Ejemplo 1.63. Resolver el sistema homogeneox1 + 4x2 + 2x3 = 0

2x1 + 3x2 + 3x3 = 0

x1 − x2 + x3 = 0

Solucion. Realizamos las siguientes operaciones elementales sobre la matriz ampliadadel sistema de acuerdo con el algoritmo de Gauss 1 4 2 0

2 3 3 0

1 −1 1 0

F2−2F1→F2−→ 1 4 2 0

0 −5 −1 0

1 −1 1 0

F3−F1→F3−→ 1 4 2 0

0 −5 −1 0

0 −5 −1 0

− 1

5F2→F2−→

1 4 2 0

0 1 15

0

0 −5 −1 0

F3+5F2→F3−→ 1 4 2 0

0 1 15

0

0 0 0 0

F1−4F2→F1−→

1 0 65

0

0 1 15

0

0 0 0 0



Por lo tanto, el sistema asociado es{x1 + 6

5x3 = 0

x2 + 15x3 = 0

que tiene como conjunto de soluciones, en forma parametrica, a las ternas −65s

−15s

s

= s

− 65

− 15

1

, s ∈ IR

Observese que en la matriz escalonada de un sistema homogeneo nunca puede apareceruna fila de ceros con el ultimo elemento no nulo, ya que este es el termino independiente.En consecuencia un sistema homogeneo nunca es incompatible. Ası pues, se puede asegu-rar que un sistema homogeneo tiene una solucion (la trivial), o infinitas soluciones que seescriben en forma parametrica.

Se habra observado tambien que las soluciones se van escribiendo de dos formas: comouna serie de operaciones de n−uplas introducidas previamente en la definicion3, y comouna n−upla que es resultado de las mismas. Estas operaciones se definen a continuacion.

Definicion 1.14. Se llama combinacion lineal de las np−uplas u1, u2, . . . , up, a lan−upla

k1u1 +2 u2 + · · ·+ kpup

donde los numeros k1, k2, . . . , kp son los coeficientes de la combinacion lineal.

Si dos o mas np−uplas son solucion de un sistema lineal homogeneo, cualquier com-binacion lineal de ellas es tambien solucion del mismo, como se prueba en el siguienteteorema.

Teorema 1.5. Cualquier combinacion lineal de n−uplas que son solucion de su sistemalineal homogeneo de ecuaciones lineales tambien es solucion del mismo.Demostracion. Si las n−uplas

u =

u1

u2

...un

y v =

v1

v2...vn

son solucion de un sistema homogeneo de n incognitas, vamos a demostrar que una combi-nacion lineal de u y v es tambien solucion de dicho sistema. Probaremos el resultado parauna ecuacion cualquiera del sistema homogeneo, por ejemplo, para la primera ecuacion

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0.



Construimos la combinacion lineal hu + kv. Entonces

a11(hu1 + kv1) + a12(hu2 + kv2) + · · ·+ a1n(hun + kvn) =

h(a11u1 + a12u2 + · · ·+ a1nun)

+ k(a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1nvn)

= h(0) + k(0)

= 0

ya que u y v son solucion del sistema. Luego hu + kv satisface la ecuacion.El razonamiento es analogo para las restantes ecuaciones.

Es obvio que el razonamiento puede hacerse igual para una combinacion lineal de masde dos ecuaciones. �

Ejemplo 1.64. Resolver el sistema{x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 0

−x1 − x2 − x3 − x4 = 0

Solucion. Utilizando el algoritmo de Gauss obtenemos[1 2 3 −1 0

−1 −1 −1 −1 0

]F2+F1→F2−→ [

1 2 3 −1 0

0 1 2 −2 0

]F1−2F2→F1−→ [

1 0 −1 3 0

0 1 2 −2 0

]

Como las columnas tercera y cuarta no tienen unos principales el sistema tiene infinitassoluciones. El sistema equivalente es{

x1 − x3 + 3x4 = 0

x2 + 2x3 − 2x4 = 0

cuyas soluciones son h− 3k

−2h+ 2k

h

k

, h, k ∈ IR

La solucion puede escribirse tambien comoh− 3k

−2h+ 2k

h

k

=

h

−2h

h

0

+

−3k

2k

0

k

= h

1

−2

1

0

+ k

−3

2

0

1

es decir es combinacion lineal de dos 4−uplas. �



Definicion 1.15. Dadas las n−uplas v1, v2, . . . , vn se dice que son linealmente indepen-dientes si la ecuacion

a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0

solo se satisface con los coeficientes a1 = a2 = a3 = · · · = an = 0

Teorema 1.6. Supongamos que la matriz escalonada (reducida) de un sistema lineal ho-mogeneo de n variables tiene r unos principales. Entonces

(i) La solucion general tiene n− r parametros.

(ii) Cualquier n−uplas solucion del sistema es combinacion lineal de n − r n−uplaslinealmente independientes.

En efecto.

(i) Si hay r unos principales se pueden despejar r variables en funcion de las restantesn− r que son, de acuerdo al algoritmo de Gauss, los parametros de las soluciones.

(ii) Es obvio que al aplicar el algoritmo de Gauss obtenemos las soluciones como com-binacion lineal de (n − r) n−uplas, cada una de ellas solucion del sistema inicial.Para demostrar que estas n−uplas son linealmente independientes, nos fijamos ex-clusivamente en las posiciones de las variables que se han tomado como parametros.La solucion obtenida al aplicar el algoritmo de Gauss es

...u1

...u2

...un−r

...

= u1

...1...0...0...

+ u2

...0...1...0...

+ · · ·+ un−r

...0...0...1...

Para probar que son linealmente independientes, igualamos la siguiente combinacionde n−uplas a la n−upla nula, es decir

k1

...1...0...0...

+ k2

...0...1...0...

+ · · ·+ kn−r

...0...0...1...

=

...0...0...0...



Sumando los elementos correspondientes al uno de la primera n−upla se deduce quek1 = 0. De la suma de los elementos de la posicion del uno de la segunda n−upla seobtiene que k2 = 0. Razonando de este modo se deduce que

k1 = k2 = · · · = kn−r = 0

Luego las n−uplas son linealmente independientes. �

Corolario 1.65. Si un sistema homogeneo de ecuaciones lineales tiene mas incogni-tas que ecuaciones, entonces tiene soluciones distintas de la trivial.

1.6. Matrices elementales y un metodo para hallar A−1

En esta seccion se desarrolla o algoritmo sencillo para hallar la inversa de una matrizinversible.

Definicion 1.16. Se dice que una matriz de orden n × n es una matriz elemental sise puede obtener a partir de la matriz identidad n × n realizando una sola operacionelemental sobre las filas.

Ejemplo 1.66. A continuacion se listan cuatro matrices elementales y las operacioneselementales que las producen

I)

[1 0

0 1

]−3F2→F2−→ [

1 0

0 −3

]

II)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

F2↔F4−→

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

III)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3F3+F1→F1−→ 1 0 3

0 1 0

0 0 1

IV)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 F1→F1−→ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

Cuando se multiplica por la izquierda una matriz A por una matriz elemental E, el efectoes de realizar una operacion elemental sobre las filas de A. Este es el contenido de esteteorema que sigue, se enuncia sin demostracion.

Teorema 1.7. Si la matriz elemental E resulta de efectuar cierta operacion elemental so-bre las filas en Im y si A es una matriz de Mm×n, entonces el producto EA es la matriz queresulta al efectuar la misma operacion sobre las filas en A

En el siguiente ejemplo se ilustra esta idea.



Ejemplo 1.67. Considerese la siguiente matriz

A =

1 0 2 3

2 −1 3 6

1 4 4 0

y considerese la matriz elemental

E =

1 0 0

0 1 0

3 0 1

que resulta al sumar 3 veces la primera fila, a la tercera fila. El producto EA es

EA =

1 0 2 3

2 −1 3 6

4 4 10 9

que es precisamente la matriz que resulta al sumar 3 veces el primer fila de A a la tercerafila.Observacion. El teorema.1.7 es principalmente de interes teorico y se aplicara para desa-rrollar algunos resultados acerca de las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales.Desde el punto de vista del calculo, es preferible efectuar las operaciones sobre filas direc-tamente, en lugar de multiplicar por la izquierda por una matriz elemental.

Si se aplica una operacion elemental sobre las filas a una matriz identidad I paraproducir una matriz elemental E, entonces existe una segunda operacion sobre las filasque, al aplicarse a E, reproduce la matriz I. Por ejemplo, si se obtiene E al multiplicarla i−esimo fila de I por una constante diferente de cero c, entonces es posible recobrar I

si se multiplica la i−esima fila de E por1

c. En la siguiente tabla se listan las diversas

posibilidades

Operacion en las filas sobre I que produce E Operacion en las filas sobre E que produce I

Multipliquese la fila i por c = 0 Multipliquese la fila i por i/c

Intercambiese las filas i y j Intercambiese las filas i y j

Sumese c veces la fila i a la fila j Sumese −c veces la fila i a la fila j

Las operaciones que estan a la derecha en esta tabla se denominan operaciones in-versas de las operaciones correspondientes que estan a la izquierda.

Teorema 1.8. Toda matriz elemental es inversible y la inversa tambien es una matrizelemental.En efecto. Si E es una matriz elemental, entonces se llega a E llevando a cabo algunaoperacion elemental sobre las filas de la matriz I. Sea E0 la matriz que se obtiene al realizarla inversa de esta operacion en I. Al aplicar el teorema.1.7 y teniendo en cuenta el hecho



de que las operaciones inversas sobre las filas cancelan el efecto de cada una de las otras,se deduce que

E0E = I y EE0 = I

Por lo tanto, la matriz elemental E0 es la inversa de E. �

Si es posible obtener una matriz B a partir de una matriz A, efectuando una sucesionfinita de operaciones elementales sobre las filas, entonces, obviamente, se puede regresarde B hacia A, llevando a cabo las operaciones elementales inversas, en orden inverso. Lasmatrices que se pueden obtener una de la otra por medio de una sucesion finita de opera-ciones elementales sobre las filas, se dice que son equivalentes respecto a las filas.

El teorema que sigue establece algunas relaciones fundamentales, entre las matrices deorden n × n y los sistemas de n ecuaciones lineales en n incognitas. Estos resultados sonsumamente importantes y se aplican muchas veces en las secciones posteriores.

Teorema 1.9. Si A ∈ Mn, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes

a) A es inversible.

b) AX = Θ tiene unicamente la solucion trivial.

c) A es equivalente respecto a las filas a la matriz In

Observacion. Como la matriz identidad In esta en la forma escalonada reducida y yaque esta para una matriz A es unica, el inciso c) del teorema.1.9 es equivalente a afirmarque In es la forma escalonada en las filas reducida de A.

Como primera aplicacion de este teorema, se establecera un metodo para determinar lainversa de una matriz inversible.

Ejemplo 1.68. Hallese la inversa de la siguiente matriz

A =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

Se desea reducir A hacia la matriz identidad por operaciones elementales sobre las filasy, simultaneamente, aplicar operaciones elementales a I para producir la matriz A−1. Sepuede realizar esto, adjuntado la matriz identidad a la derecha de A y aplicando las ope-raciones elementales sobre las filas a ambos lados, hasta que el lado izquierdo se reducea I. Entonces la matriz final tendra la forma

[I A−1

]. Los calculos se pueden realizar



como sigue: 1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 0

1 0 8 0 0 1

−2 F1+F2→F2−→ 1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 0

1 0 8 0 0 1

−1 F1+F3→F3−→

1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 0

0 −2 5 −1 0 1

2 F2+F3→F3−→

1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 0

0 0 −1 −5 2 1

(−1) F3→F3−→

1 2 3 1 0 0

0 1 −3 −2 1 0

0 0 1 5 −2 −1

(3) F3+F2→F2−→

1 2 3 1 0 0

0 1 0 13 −5 −3

0 0 1 5 −2 −1

(−3) F3+F1→F1−→

1 2 0 −14 6 3

0 1 0 13 −5 −3

0 0 1 5 −2 −1

(−2) F2+F1→F1−→

1 0 0 −40 16 9

0 1 0 13 −5 −3

0 0 1 5 −2 −1

Por lo tanto, obtenemos

A−1 =

−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1

�

A menudo no se sabra con anterioridad si una matriz dada es inversible. Si se intentael procedimiento aplicado en este ejemplo sobre una matriz que no inversible, entonces, porel inciso c) del teorema.1.9, sera imposible reducir el lado izquierdo hacia la matriz I poroperaciones elementales sobre las filas. en algun paso del calculo, se presentara una fila deceros en el lado izquierdo; entonces se puede concluir que la matriz dada no es inversible yobtener los calculos.

Ejemplo 1.69. Considerese la matriz

A =

1 6 4

2 4 −1

−1 2 5



Solucion. Al aplicar el mismo procedimiento del ejemplo.1.68 da 1 6 4 1 0 0

2 4 −1 0 1 0

−1 2 5 0 0 1

∼

1 6 4 1 0 0

0 −8 −9 −2 1 0

0 8 9 1 0 1

∼

1 6 4 1 0 0

0 −8 −9 −2 1 0

0 0 0 −1 1 1

Puesto que se ha obtenido una fila de ceros en el lado izquierdo, A no es inversible.

Ejemplo 1.70. En el ejemplo.1.68 se demostro que la matriz

A =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

es una matriz inversible. Con base al teorema.1.9 se puede concluir que el sistema de ecua-ciones lineales homogeneo

x + 2y + 3z = 0

2x + 5y + 3z = 0

x + 8z = 0

tiene unicamente la solucion trivial, es decir x = y = z = 0.

1.7. Resultados adicionales acerca de los sistemas deecuaciones y la inversibilidad

En esta seccion se establecen mas resultados acerca de los sistemas de ecuaciones li-neales y la inversibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales y la inversibilidad de lasmatrices. Lo que se vea conducira a un metodo para resolver n ecuaciones con n incognitas,que es mas eficaz que el metodo de eliminacion gaussiana, para ciertos tipos de problemas.

Teorema 1.10. Si A ∈ Mn es una matriz inversible, entonces para cada B ∈ Mn×1, elsistema de ecuaciones AX = B tiene exactamente una solucion, y esta es, X = A−1 B

Ejemplo 1.71. Considere el sistema de ecuaciones lineales

x + 2y + 3z = 8

2x + 5y + 3z = 3

x + 8z = 17

En la forma matricial, este sistema se puede escribir como AX = B, en donde

A =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

, X =

x

y

z

, B =

5

3

17



En el ejemplo.1.68 se demostro que A es inversible y que

A−1 =

−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1

Por el teorema.1.10, la solucion del sistema es

X=A−1B =

−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1

5

3

17

=

1

−1

2

es decir, x = 1, y = −1 y z = 2 �

1.8. Problemas1. La matriz ampliada de un sistema lineal se transformo, mediante operaciones ele-

mentales de fila, en la forma que se indica a continuacion. Determine si el sistemalineal es consistente. 1 5 2 −6

0 4 −7 2

0 0 5 0

2. ¿(3, 4, −2) es una solucion para el siguiente sistema lineal?

5x1 − x2 + 2x3 = 7

−2x1 + 6x2 + 9x3 = 0

−7x1 + 5x2 − 3x3 = −7

3. ¿Para que valores de h y k es consistente el siguiente sistema?

2x1 − x2 = h

−6x1 + 3x2 = k

4. Resolver los sistemas de ecuaciones

a)

x − 2y + z = 5

2x − y − 2z = −1

x + 3y + z = 0

b)

x + 2y + 2z = 0

3x + y + 3z = 3

2x + y − 2z = −1

2x + y + z = 2

5. Resolver, en el caso de ser compatibles, los sistemas de ecuaciones

a)

3x − 4y + 6z = 7

5x + 2y − 4z = 5

x + 3y − 5z = 3

b)

x + y − z = 3

2x − y + 4z = 3

3x + 2y − z = 8



6. Hallar los valores del parametro α que hacen compatibles a los siguientes sistemas.Para dichos valores de α, resolver estos:

a)

x + 3y + z = 0

2x + y − 3z = 5

−x + 7y + 9z = α

b)

x + y + z = 1

2x − y + 3z = 5

3x + 4y − 2z = 2

x + 3y − 2z = α

7. Discutir, en funcion del parametro α, el sistema de ecuaciones y resolverlo cuando seacompatible:

x + y − z = 1

3x + αy + αz = 5

4x + αy = 5

8. Si el sistema tiene infinitas soluciones, hallar m y n{mx + (3− n)y = 4

(m− 2)x − (8− n)y = 6

9. Hallar los valores de k, para que el sistema tenga soluciones no trivialesk2x + 3y + 2z = 0

kx − y + z = 0

8x + y + 4z = 0

10. Determinar los valores de k para que los sistemas de ecuaciones lineales

a)

x + y − z = 1

2x + 3y + kz = 3

x + ky + 3z = 2

b)

kx − y + 2z = k

x + ky − z = −1

3x + y + z = k

tenga:

a) Solucion unica.

b) Infinitas soluciones.

c) Ninguna solucion.

11. Determine si el sistema lineal tiene solucion, en caso de tener solucion, determine lasolucion

x1 + 2x2 + 6x3 − 4x4 = 4

2x1 + 7x2 − 4x3 + 9x4 = 9

x1 + 3x2 + x3 − 6x4 = −3

6x1 − 4x2 + 4x3 − 10x4 = 6



12. Un zoologico tiene aves (bıpedos) y bestias (cuadrupedos). Si el zoologico tiene 60

cabezas y 200 patas.¿Cuantas aves y cuantas bestias viven allı?

13. ¿Cuales de las que siguen son matrices elementales?

a)

[2 0

0 1

]b)

[1 0

3 1

]c)

[2 0

0 2

]

d)

0 1 0

1 0 0

0 0 1

e)

0 1 0

0 0 1

0 0 1

f)

1 0 0

0 1 −3

0 0 1

g)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

14. Determine la operacion elemental sobre las filas que llevara la matriz elemental dada

hacia una matriz identidad.

a)

[1 0

5 1

]b)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

c)

1 0 0 0

0 8 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

15. Aplique el metodo de operaciones elementales a fin de encontrar la inversa de la

matriz dada, si la matriz es inversible

a)

[1 2

3 5

]b)

[−2 3

3 −5

]c)

[8 −6

−4 3

]

16. Aplique el metodo de operaciones elementales a fin de encontrar la inversa de lamatriz dada, si la matriz es inversible

a)

3 4 −1

1 0 3

2 5 −4

b)

3 1 5

2 4 1

−4 2 −9

c)

1 0 1

0 1 1

1 1 0

17. Demuestre que la matriz

A =

Cosθ Senθ 0

−Senθ Cosθ 0

0 0 1

es inversible para todos los valores de θ y encuentre A−1



1.9. DeterminantesEn esta seccion se define axiomaticamente la funcion determinante de orden n× n y se

demuestran las propiedades que se derivan de tales axiomas. Se encara despues el proble-ma de la existencia del determinante y se llega al desarrollo por los elementos de una fila.

En lo que sigue, supondremos que IR es el campo de los numeros reales y A ∈ Mn×n,escribiremos la matriz A = (A1, A2, . . . , An) donde Ai, i = 1, 2, . . . , n denota la columna i

de la matriz cuadrada.

Ejemplo 1.72. Sea la matriz A ∈ M3×3, donde:

A =

1 2 3

4 7 5

9 8 6

entonces las columnas de la matriz A son:

A1 =

1

4

9

, A2 =

2

7

8

, A3 =

3

5

6

Definicion 1.17. Determinante de orden n es toda funcion:

D : Mn×n 7−→ IR

que verifica los siguientes cuatro axiomas:

1 D(A1, . . . , A′j +A ′′

j , . . . , An) = D(A1, . . . , A′j , . . . , An) +D(A1, . . . , A

′′j , . . . , An)

cualquiera que sea j = 1, 2, . . . , n.

2 D(A1, . . . , αAj, . . . , An) = αD(A1, . . . , Aj, . . . , An)

para todo j = 1, 2, . . . , n.

3 Si Aj = Aj+1 ⇒ D(A1, . . . , Aj, Aj+1, . . . , An) = 0

4 Si I = matriz identidad, entonces D(I) = 1.

Haremos algunas aclaraciones acerca de la notacion usada y de los axiomas propuestosen la definicion.

La funcion D asigna a cada matriz cuadrada un numero real

Los axiomas (1) y (2), caracterizan a D como una funcion lineal respecto de cadacolumna de la matriz.

El axioma (3), establece que si dos columnas consecutivas de una matriz son identicasentonces su determinante es cero.



El axioma (4), expresa que el determinante de la matriz identidad vale 1.

Si

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

......

... . . . ...an1 an2 an3 . . . ann

denotaremos la determinante de esta matriz entre barras.

D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n

......

... . . . ...an1 an2 an3 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ejemplo 1.73. La funcion D : M2×2 7−→ IR es definida por:

D(A) =

∣∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣∣ = ad− bc

es un determinante.

En efecto.

1.

∣∣∣∣∣ a (b+ b ′)

c (d+ d ′)

∣∣∣∣∣ = a(d+ d ′) − (b+ b ′)c = (ad− bc) + ad ′ − b ′c =

∣∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ a b ′

c d ′

∣∣∣∣∣2.

∣∣∣∣∣ (ka) b

(k c) d

∣∣∣∣∣ = (ka)d− b(kc) = k(ad− bc) = k

∣∣∣∣∣ a b

c d

∣∣∣∣∣3.

∣∣∣∣∣ a a

c c

∣∣∣∣∣ = ac− ac = 0

4. D(I) =

∣∣∣∣∣ 1 0

0 1

∣∣∣∣∣ = 1(1) − 0(0) = 1

Analogamente lo es la funcion D : M1×1 7−→ IR definida por

D(A) = |a| = a

1.9.1. Propiedades de la funcion determinanteTeorema 1.11. Si se permutan dos columnas de una matriz, entonces las correspondientesdeterminantes son opuestas.En efecto.



i) Sean las columnas que se permutan, estas sean consecutivas.Sea A = (A1, . . . , Aj, Aj+1, . . . , An), luego por 3),

D(A1, . . . , Aj +Aj+1, Aj +Aj+1, . . . , An) = 0

Aplicando 2), se tiene:

D(A1, . . . , Aj, Aj+1, . . . , An) +D(A1, . . . , Aj, Aj, . . . , An) +

+D(A1, . . . , Aj+1, Aj+1, . . . , An) +D(A1, . . . , Aj+1, Aj, . . . , An) = 0

los dos terminos centrales son nulos, luego por 3)

D(A1, . . . , Aj, Aj+1, . . . , An) = −D(A1, . . . , Aj+1, Aj, . . . , An)

ii) Supongamos que ahora las columnas no sean consecutivas, ahora razonaremos in-ductivamente. Supongamos que es valido para h − j = k y la demostraremos parah− j = k+ 1

D(A1, . . . , Aj, Aj+1, . . . , Ah, . . . , An) = −D(A1, . . . , Aj+1, Aj, . . . , Ah, . . . , An) Por i)= D(A1, . . . , Aj+1, Ah, . . . , Aj, . . . , An) Por hipotesis= −D(A1, . . . , Ah, Aj+1, . . . , Aj, . . . , An)

Teorema 1.12. El determinante de toda matriz cuadrada que tenga dos columnas identi-cas es cero, es decir:

Si i = j ∧ Ai = Aj ⇒ D(A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) = 0

En efecto. Permutando tales columnas identicas y por el teorema.1.11 es:

D(A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) = −D(A1, . . . , Aj, . . . , Ai, . . . , An)

Pero como Ai = Aj, entonces

D(A1, . . . , Ai, . . . , Ai, . . . , An) = −D(A1, . . . , Ai, . . . , Ai, . . . , An)

D(A) = −D(A)

2D(A) = 0⇒ D(A) = 0

Teorema 1.13. Si una columna de una matriz cuadrada es el vector cero, entonces su de-terminante es nulo.

En efecto. Sea A ∈ Mn×n y Aj = Θ (Columna nula), entonces

D(A) = D(A1, . . . , Θ, . . . , An)

= D(A1, . . . , 0Aj, . . . , An)

= 0 D(A1, . . . , Aj, . . . , An) = 0 �



Teorema 1.14. La determinante de una matriz no varıa, si a una columna se le suma unacombinacion de otras, es decir:

i = j⇒ D(A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) = D(A1, . . . , Ai, . . . , [Aj + kAi], . . . , An)

En efecto. Aplicando los axiomas 1 y 2, y el teorema.1.12

D(A1, . . . , Ai, . . . , [Ak + λAi], . . . , An) =

= D(A1, . . . , Ai, . . . , Ak, . . . , An) +D(A1, . . . , Ai, . . . , λAi, . . . , An)

= D(A1, . . . , Ai, . . . , Ak, . . . , An) + λD(A1, . . . , Ai, . . . , Ai, . . . , An)

= D(A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) + λ 0

= D(A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) �

Ejemplo 1.74. Sea A =

1 0 1

−1 1 0

2 1 −1

∈ M3×3. Calcular su determinante.

Solucion.

D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 1

−1 1 0

2 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

−1 1 1

2 1 −3

∣∣∣∣∣∣∣ → C3+ (−1)C1

=

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 1

3 1 −3

∣∣∣∣∣∣∣ → C1+ C2

=

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 0

3 1 −4

∣∣∣∣∣∣∣ → C3+ (−1)C2

= (−4)

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 0

3 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ Factorizando (−4) de C3

= (−4)

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 0

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ → C1+ (−3)C3

= (−4)

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ → C2+ (−1)C3

= (−4). 1 = −4 �

Ejemplo 1.75. Si k ∈ IR y A ∈ Mn×n, entonces

D(kA) = knD(A)



En efecto.

D(kA) = D[k(A1, . . . , Ai, . . . , An)]

= D(kA1, . . . , kAi, . . . , kAn)]

= knD(A) �

Ejemplo 1.76. Si (A1, A2, . . . , An) son los vectores columnas de la matriz A ∈ Mn×n talesque D(A) = D(A1, A2, . . . , An) = 0 y B ∈ Mn×1 y es combinacion lineal de los vectorescolumnas de A, es decir:

B =

n∑i=1

xiAi = x1A1 + x2A2 + · · ·+ xnAn, xi ∈ IR

entoncesxj =

D(A1, . . . , Bj, . . . , An)

D(A1, A2, . . . , An)

En efecto.

D(A1, . . . , Bj, . . . , An) = D(A1, . . . ,

n∑j=1

xjAj, . . . , An)

= x1D(A1, . . . , A1, . . . , An) + x2D(A1, . . . , A2, . . . , An) + . . .

xjD(A1, . . . , Aj, . . . , An) + . . .+ xnD(A1, . . . , An, . . . , An)

= xjD(A1, . . . , Aj, . . . , An) = xjD(A)

⇒ xj =D(A1, . . . , Bj, . . . , An)

D(A)�

Teorema 1.15. Si los vectores columnas de A son linealmente dependientes, entonces

D(A1, A2, . . . , An) = 0

En efecto. Siendo por hipotesis {A1, A2, . . . , An} un conjunto linealmente dependiente, osea alguna columna se expresa como combinacion lineal de las demas, y sea esta columna

Aj =

j−1∑j=1

xj−1Aj−1 +

n∑j=j+1

xj+1Aj+1

en consecuencia resulta

D(A) = D(A1, A2, . . . , Aj . . . , An) = D(A1, A2, . . . ,

j−1∑j=1

xj−1Aj−1 +

n∑j=j+1

xj+1Aj+1 . . . , An) = 0

Observacion. El teorema contrarecıproco expresa:

D(A) = 0⇒ {A1, A2, . . . , An} son linealmente independientes

Por consiguiente

D(A) = 0⇒ {A1, A2, . . . , An} es una base del espacio IRn



1.9.2. Existencia de la determinante.Definiremos los determinantes por induccion sobre n. Sea A ∈ IRn×n.

1. Para cada (i, j) ∈ In × In consideremos la matriz A(i | j) del tipo (n− 1)× (n− 1) quese deduce de la matriz A al suprimir la fila i y la columna j

a11 a12 . . . . . . a1n

a21 a22 . . . . . . a2n

......

... . . . ...an1 an2 . . . . . . ann

2. Denotaremos con Aij al producto de (−1)i+j por la determinante de A(i | j) de la

matriz A, o seaAij = (−1)i+jDA(i | j)

El determinante Aij recibe el nombre de cofactor del elemento de (i, j) de la matrizA.

Por ejemplo. Si A =

−1 2 3

1 0 −2

2 1 −3

entonces los cofactores de los nueve elementos

de A, son:

A11 = (−1)2

∣∣∣∣∣ 0 −2

1 −3

∣∣∣∣∣ = 2, A12 = (−1)3

∣∣∣∣∣ 1 −2

2 −3

∣∣∣∣∣ = 1, A13 = (−1)4

∣∣∣∣∣ 1 0

2 1

∣∣∣∣∣ = 1, etc.

Probaremos la existencia de la determinante D procediendo por induccion.

i) Sea n = 1 y A = [a] ∈ IR1×1, definiendo:

D : IR1×1 7−→ IR, D(A) = a

esta funcion satisface los axiomas de la definicion.1.17

ii) Supongamos que hemos definido la funcion determinante para matrices de orden(n− 1)× (n− 1), es decir:

D : IR(n−1)×(n−1) 7−→ IR

Esto significa que satisface los axiomas de la definicion.1.17.

iii) Daremos ahora una expresion para la funcion determinante de orden n a expensasde la determinante de orden n− 1. Para ellos definimos para cada fila i = 1, 2, . . . , n

D : IRn×n 7−→ IR



mediante la asignacion

D(A) =

n∑j=1

aijAij (1.14)

donde Aij = (−1)i+jDA(i | j)

O seaD(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin, ∀ i ∈ In

Teorema 1.16. Sea A ∈ IRn×n, B = At, entonces D(B) = D(A)

Observacion. Este ultimo teorema dice que las propiedades aplicados a las columnasde A, tambien se puede aplicar las mismas propiedades a las filas de la matriz A.

Ejemplo 1.77. Sea la matriz A =

3 −2 5

−3 2 −5

−4 0 −2

. Calcular la determinante de la ma-

triz.


1 3 5

3 5 1

5 1 3

. Calcular la determinante de la matriz.

Solucion. A la primera fila le sumamos la segunda y tercera fila y luego extraemos elfactor 9

D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣1 3 5

3 5 1

5 1 3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣9 9 9

3 5 1

5 1 3

∣∣∣∣∣∣∣ = 9

∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

3 5 1

5 1 3

∣∣∣∣∣∣∣A la segunda y tercera columna les restamos la primera

A = 9

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

3 2 −2

5 −4 −2

∣∣∣∣∣∣∣Finalmente, desarrollamos por la primera fila, entonces

D(A) = 9(1)

∣∣∣∣∣ 2 −2

−4 −2

∣∣∣∣∣ = 9(−4− 8) = −108


1 1 1 1

a b c d

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

. Calcular la determinante de la ma-

triz.



Solucion. Desarrollaremos por los elementos de la primera columna.

D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1

a b c d

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Antes de efectuar el desarrollo pedido a 0 los tres elementos de la primera columna, paralo cual restaremos a cada fila anterior multiplicada por a

D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1

0 b− a c− a d− a

0 b2 − ab c2 − ac d2 − ad

0 b3 − ab2 c3 − ac2 d3 − ad2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Desarrollando por la primera columna y factorizando

D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣b− a c− a d− a

b(b− a) c(c− a) d(d− a)

b2(b− a) c2(c− a) d2(d− a)

∣∣∣∣∣∣∣Extrayendo factores en cada columna

D(A) = (b− a)(c− a)(d− a)

∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

b c d

b2 c2 d2

∣∣∣∣∣∣∣El determinante de orden 3 que resulta es del mismo tipo que el primero. Ahora restamosa cada fila anterior por b

D(A) = (b− a)(c− a)(d− a)

∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

0 c− b d− b

0 c2 − bc d2 − bd

∣∣∣∣∣∣∣Desarrollando por la primera columna y extrayendo factores se obtiene

D(A) = (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)

∣∣∣∣∣ 1 1

c d

∣∣∣∣∣O sea

D(A) = (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)(d− c)

El determinante propuesto recibe el nombre de Vandermonde, y considerando la fila deelementos a, b, c y d, su desarrollo es igual al producto de los binomios que se obtienenrestando cada elemento de la misma de todos los que le siguen.

1.10. Determinante del producto de dos matricesTeorema 1.17. Sean A, B ∈ Mn×n entonces D(AB) = D(A)D(B)



1.11. Adjunta de una matriz cuadradaDefinicion 1.18. Adjunta de una matriz A ∈ Mn×n es la transpuesta de la matriz queresulta de sustituir cada elemento por su cofactor, es decir:Si

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... . . . ...


entonces la matriz adjunta de A se denota mediante el sımbolo Adj(A), y es Si

Adj(A) =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

...... . . . ...

A1n An2 · · · Ann

Por ejemplo, la matriz adjunta de

A =

−1 0 2

2 1 3

1 −2 −3

es

Adj(A) =

3 9 −5

−4 1 −2

−2 7 −1

t

=

3 −4 −2

9 1 7

−5 −2 −1

1.11.1. Propiedad

La suma de los productos de los elementos de una fila de una matriz cuadrada por loscofactores de los elementos correspondientes de otra fila es cero.

Sea

A =

a11 a12 · · · a1n

......

...ai1 ai2 · · · ain

...... . . . ...

ah1 ah2 · · · ahn

......

...an1 an2 · · · ann

donde h = i

Sumando a la fila h la fila i, el determinante de esta matriz no varıa, es decir



D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

......

...ai1 ai2 · · · ain

...... . . . ...

ah1 + ai1 ah2 + ai2 · · · ahn + ain

......

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Desarrollando el segundo miembro por los elementos de la fila h, se tiene

D(A) =

n∑j=1

(ahj + aij)Ahj

entonces

D(A) =

n∑j=1

ahjAhj +

n∑j=1

aijAhj

La primera sumatoria es D(A), entonces

D(A) = D(A) +

n∑j=1

aijAhj ⇒ n∑j=1

aijAhj = 0

Esta propiedad tambien es valido para columnas. A continuacion demostraremos que elproducto de toda matriz cuadrada a izquierda y a derecha por su adjunta es igual aldeterminante de dicha matriz por la matriz identidad.

Teorema 1.18. Sea A ∈ IRn×n entonces

A.Adj(A) = Adj(A).A = D(A).I

En efecto.

A.Adj(A) =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... . . . ...


.

A11 A21 · · · An1

A11 A22 · · · An2

...... . . . ...




A.Adj(A) =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... . . . ...


.

A11 A21 · · · An1

A11 A22 · · · An2

...... . . . ...


=

∑n

j=1 a1jA1j

∑n

j=1 a1jA2j · · ·∑n

j=1 a1jAnj∑n

j=1 a2jA1j

∑n

j=1 a2jA2j · · ·∑n

j=1 a2jAnj

...... . . . ...∑n

j=1 anjA1j

∑n

j=1 anjA2j · · ·∑n

j=1 anjAnj

=

D(A) 0 · · · 0

0 D(A) · · · 0...

... . . . ...0 0 · · · D(A)

= D(A)

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0...

... . . . ...0 0 · · · 1

= D(A).I

1.12. Inversion de matrices no singularesDemostremos que una matriz cuadrada es inversible si y solo si su determinante es

distinto de cero.Sea A ∈ IRn×n

1 Supongamos que A ∈ GL(IRn), entonces existe B ∈ IRn×n tal que

AB = BA = I

LuegoD(A.B) = D(B.A) = D(I)

Por el determinante del producto y de la identidad es

D(A)D(B) = D(B)D(A) = D(I) = 1⇒ D(A) = 0

2 Por el teorema.1.18, sabemos que el producto de toda matriz cuadrada por su adjuntaes igual al determinante de dicha matriz por la identidad, o sea

A.Adj(A) = Adj(A).A = D(A).I

Despejando D(A), tenemos:

A.Adj(A)

D(A)=

Adj(A)

D(A).A = D(A).I

entonces, por definicion, existe A−1 y es

A−1 =Adj(A)

D(A)



Se obtuvo de este modo otro metodo para el calculo de la inversa de una matriz no singular.

Ejemplo 1.80. Hallar la inversa de la matriz A =

1 3 5

3 5 1

5 1 3

Solucion. Como D(A) = −108, entonces existe A−1.Primero calculamos la adjunta de A

Adj(A) =

14 −4 −22

−4 −22 14

−22 14 −4

t

=

14 −4 −22

−4 −22 14

−22 14 −4

Luego

A−1 = −1

108

14 −4 −22

−4 −22 14

−22 14 −4

=

− 754

254

1154

254

1154

− 754

1154

− 754

254

Ejemplo 1.81. Demostrar que los determinantes de dos matrices inversas son escalaresrecıprocos.En efecto. Sea A ∈ IRn×n, tal que A ∈ GL(IRn×n), entonces se tiene

A.A−1 = I

yD[A.A−1] = D(I)

Por determinante del producto y de la matriz indentidad es

D(A)D(A−1) = 1

o seaD(A−1) = [D(A)]−1

Ejemplo 1.82. Sean A, B ∈ IRn×n matrices semejantes entonces D(A) = D(B)

En efecto. Si A es semejante a B, entonces existe una matriz P ∈ GL(IRn×n), tal que

B = P−1AP

Entonces

D(B) = D(P−1AP)

= D(P−1)D(A)D(P)

= D(A)D(P−1)D(P)

= D(A)D(P−1P) = D(A)D(I) = D(A)

Corolario 1.83. Si A es una matriz no inversible, entonces D(A) = 0



Corolario 1.84. La matriz A de orden n es inversible si y solo si D(A) = 0

Corolario 1.85. Si A es una matriz inversible

D[A−1] = [D(A)]−1 =1

D(A)

En efecto

A.A−1 = I⇒ D(A.A−1) = D(I)

D(A)D(A−1) = 1 ⇒ D(A−1) =1

D(A)

Ejemplo 1.86. Calcular la determinante de la siguiente matriz

A =

1 −1 2 1

−1 3 2 −2

−3 −3 1 1

4 2 1 0

Solucion.

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 1

−1 3 2 −2

−3 −3 1 1

4 2 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L4 → L4 − 4L1, L2 → L1, L3 → 3L1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 1

0 2 4 −1

0 −6 7 4

0 6 −7 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L4 → L4 + L3

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 1

0 2 4 −1

0 −6 7 4

0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Ejemplo 1.87. Calcular la determinante de la siguiente matriz

B =

1 2 4 5

3 1 2 5

4 5 −2 2

−1 4 1 4



Solucion.

|B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 5

3 1 2 5

4 5 −2 2

−1 4 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 5

0 −5 −10 −10

0 −3 −18 −18

0 6 5 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−5)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 5

0 1 2 2

0 −3 −18 −18

0 6 5 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−5)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 5

0 1 2 2

0 0 −12 −12

0 0 −7 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−5)(−12)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 5

0 1 2 2

0 0 1 1

0 0 −7 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−5)(−12)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 5

0 1 2 2

0 0 1 1

0 0 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣|B| = (−5)(−12)(1)(1)(1)(4) = 240

1.13. Regla de CramerLa regla de Cramer es necesaria en una variedad de calculos teoricos. Por ejemplo, se

puede utilizar para estudiar como resulta afectada la solucion del sistema lineal AX = B.

Para cualquier matriz A ∈ IRn×n y para B ∈ IRn×1, sea Ai(B) la matriz obtenida a partirde A al reemplazar la columna i por el vector B.

Teorema 1.19. (Regla de Cramer) Sea A ∈ IRn×n una matriz inversible. Para cualquierB ∈ IRn×1, la unica solucion X de AX = B tiene entradas dadas por

xi =D[Ai(B)]

D(A), i = 1, 2, . . . , n

En efecto. Como A es una matriz inversible, entonces

AX = B⇒ A−1AX = A−1B⇒ IX = A−1B⇒ X = A−1B

Como D(A) = 0, las n columnas de la matriz A son linealmente independientes y constitu-yen una base de IRn×1. Por lo tanto, cualquiera que sea B ∈ IRn×1, entonces existen escalaresx1, x2, . . . , xn unicos, tales que:

B =

n∑i=1

xiAi

Ver ejemplo.1.76, resulta que:

xi =D(A1, . . . , Ai−1, B,Ai+1, . . . , An

D(A), ∀ i = 1, 2, . . . , n



Ejemplo 1.88. Resolver el siguiente sistema lineal mediante la regla de Cramer.x1 − x3 = 1

x1 + 2x2 − 2x3 = −1

2x1 − x2 + x3 = 3

Solucion. La matriz de coeficientes es:

A =

1 0 −1

1 2 −2

2 −1 1

y su matriz inversa es:

A−1 =

01

5

2

5

−13

5

1

5

−11

5

2

5

Como la solucion del sistema es X = A−1B, entonces se tiene:

X =

01

5

2

5

−13

5

1

5

−11

5

2

5

1

−1

3

=

1

−1

0

1.13.1. Determinantes como area o volumen

En la siguiente aplicacion se comprueba la interpretacion geometrica de determinantes.Solo necesitamos los conceptos euclidianos usuales de longitud, area y volumen para losespacios IR2 y IR3.

Teorema 1.20. .

1. Si A ∈ IR2×2, el area del paralelogramo definido por las columnas de A es D(A)

2. Si A ∈ IR3×3, el volumen del paralelepıpedo definido por las columnas de A es D(A)

Ejemplo 1.89. Calcule el area del paralelogramo definido por los puntosA(−2, −2), B(0, 3), C(4, −1) y D(6, 4)

Solucion Definimos el vector −→a =−→AB = B−A = (2, 5) y el vector

−→b =

−→AC = C−A = (6, 1),

luego formamos la matriz con las coordenadas de estos vectores escrito en columnas

A = (−→a |−→b ) =

(2 6

5 1

)Como D(A) = −28, entonces el area del paralelogramo es 28u2 �



1.14. Problemas1. Calcular los siguientes determinantes por definicion

(a) D(A) =

∣∣∣∣∣∣∣2 1 2

0 3 −1

4 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ (b) D(B) =

∣∣∣∣∣∣∣2 4 3

−1 3 1

4 1 2

∣∣∣∣∣∣∣(c) D(C) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 −2 4

0 1 1 3

2 −1 1 0

3 4 2 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (d) D(E) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 2 1

0 3 2 −1

1 4 2 1

3 1 3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2. Demostrar que el determinante de toda matriz triangular es igual al producto de los

elementos de su diagonal.

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

(a)

∣∣∣∣∣∣∣1− λ 0 −2

0 −λ 0

−2 0 4− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (b)

∣∣∣∣∣∣∣2− x −3 6

4 1+ x −2

2 −1 2+ x

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

4. Si A es una matriz ortogonal, entonces demostrar que D(A) = ±1

5. Demostrar que: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 · · · 1

x1 x2 · · · xn

x21 x22 · · · x2n...

......

xn−11 xn−1

2 · · · xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= Πi<j(xj − xi)

6. Verificar las siguientes identidades en los numeros reales:

i)

∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

x y z

yz xz xy

∣∣∣∣∣∣∣ = (x− y)(y− z)(z− x)

ii)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x y z+ t

1 y z x+ t

1 z t x+ y

1 t x y+ z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

iii)

∣∣∣∣∣∣∣x− y− z 2x 2x

2y y− x− z 2y

2z 2z z− x− y

∣∣∣∣∣∣∣ = (x+ y+ z)2



7. Determinar para que valores de x son inversibles las matrices:

(a) A =

x 1 2

2 x 2

1 x 1

(b) B =

x 0 1 1

1 2 0 2

0 −3 2 0

1 x 3 x

8. Calcular, si existe, la matriz inversa de las siguientes matrices:

(a) A1 =

[3 2

1 2

](b) A2 =

1 2 0

1 2 4

0 1 1

(c) A3 =

1 2 3

1 1 2

0 1 2

9. Demuestre la validez de las siguientes expresiones (Las matrices involucradas son

matrices de orden n)

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 0 0 . . . 0 0

1 2 1 0 . . . 0 0

0 1 2 1 . . . 0 0...

......

... . . . ......

0 0 0 0 . . . 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= n+ 1 (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1 . . . 1 1

−1 1 1 1 . . . 1 1

0 −1 1 1 . . . 1 1...

......

... . . . ......

0 0 0 0 . . . −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 2n−1

10. Encuentre el area del paralelogramo cuyos puntos son:

(a) (0, 0), (5, 2), (6, 4), (11, 6) (b) (0, 0), (−1, 3), (4, −5), (3, −2)

(c) (−1, 0), (0, 5), (1, −4), (2, 1) (d) (0, −2), (6, −1), (−3, 1), (3, 2)

11. Encuentre el volumen del paralelepıpedo con un vertice en el origen y vertices adya-centes en los puntos (1, 0, −2), (1, 2, 4) y (7, 1, 0)

12. Sea R el triangulo con vertices en los puntos (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). Demuestreque:

A(R) =1

2

∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣13. Demuestre que la ecuacion de la recta en IR2 que pasa por los puntos distintos (x1, y1)

y (x2, y2) se puede escribir como:

L :

∣∣∣∣∣∣∣1 x y

1 x1 y1

1 x2 y2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0

14. Encuentre una ecuacion de determinantes 3 × 3, similar al ejercicio anterior, quedescriba la ecuacion la ecuacion de la recta con pendiente m y que pasa por el punto(x1, y1).



15. Determine la matriz semejante a las siguientes matrices:

(a) A =

[5 −2

4 −1

](b) B =

[5 −1

3 1

]

(c) C =

[6 −1

3 2

](d) D =

[3 1

4 3

]

16. Aplique la regla de Cramer para despejar x ′ y y ′ en terminos de x y y

x = x ′Cosθ− y ′Senθ

y = x ′Senθ− y ′Cosθ


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Algebra Lineal