316

Algebra lineal

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Algebra lineal

������� ����

���� ������ ��� �� ���

����

Page 2: Algebra lineal

������ �� ������

����������� �

� ������ �� ��������� ������� �

��� ��������� � ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� � �������� ������ �� �������� � � � � � � � � � � � � ��

��� ��������� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ���� � ����������� �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ���� � �� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ��� �� ������ ���� �� �� ��� � � � � � � � � � �!

��� "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� ������� ���������� ��

��� ��������� � ��������� ������ �� ����� #������� � � ��

��� ���$����� #�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

��� � �������� &������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

��� ���$����� '������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ����������� &����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� (�� �� �� ����� #������� � � � � � � � � � � � � � � � %�

����� )���� ���� �������� ��� ��� �� �� �����#������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !*

����� +��������� ��� ,��� � �� �������- � � � � � � � !�

��� �� ����� �� �� ����� #������� � � � � � � � � � � � � !�

��% �� � �� ��$����� #�������� � � � � � � � � � � � � �*�

��! "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!

Page 3: Algebra lineal

� ���������� ������� ���

��� .����������/ ��������� � ��� �� � � � � � � � � � � � ���

��� ����� ������� �� ��� ���������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��*

��� . �'�� � 0����� �� ��� ���������� ������ � � � � � � � � ���

��� )�� � �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� "�������� �� �� ������ �� �� � � � � � � � � ���

��� "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%

��� "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� ������� ���

��� )����- ������ � ��� ���������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� �� � �� �� � � � �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%�

��� ����� �� �� ������ �� �� �� � ������ ���� ������ �� ��� ����- � � � � � � � � � � � � � � � � �%�

��� � ������ �� �� � ������ �� ������ � � � �%�

��� 1� � �������� �� �2�3 4 � � � � � � � � � � � � � � � � �%!

��� 1� � �������� �� �� ��� � �� ��� ������� � � � � � �!�

��� . �� � ������ ��#������� � � � � � � � � � � � �!�

��% +�� �� � ����- �� �� �� �� ��� � � � � � � � �!�

��! 5� �� ����6����� � ������ �6��#������ � � � � �!%

���* "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �**

���� "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*!

� ������������ ���

��� ����� ������ �� ������ �� ��2�3 � � � � � � � � � � ���

��� ����� ������ �� ������ �� ��2�3 � � � � � � � � � � ��%

��� ����� ������ �� ������ �� ��2�3 � � � � � � � � � � ���

��� .������������� '� ������� ��� ����� ������ � � � � � � � ���

��� )����- ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� ����� ������ �� �� ��� �� � � � � � � � � � � � ��%

��� "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��*

��% "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��*

Page 4: Algebra lineal

� ������� ���� ������ .���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ 7���� ���� � #����� ���� � � � � � � � � � � � � ������ 7���� ���� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ 7���� ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!��� "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� ���������� !������� ������ +��������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%

����� "�� ��� �������� '������� � � � � � � � � � ��%��� 1� � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!

����� )����- ������ � ��� 8� � �������� � � � � � � �%*����� 9������������ �������� �� �2�� �3 � � � � � � � �%�

��� "���� "�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%������ ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � �%������ 0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%������ ���'������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!*����� +�'�� � �������� ����� #����� � � � � � � � � �!�

��� 1� � ��������� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � �!%��� "������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!!

��"���� �#$

!%�����&"� ���

Page 5: Algebra lineal
Page 6: Algebra lineal

���� ������

:���� 6�� ��� 6�� �� ������ � ������; �� ��� �������������� ��� ��� 6�� �� ��������'� �������� � 6�� �� �����/ �����'�� ���������

"� �� ������/ ��� �<�������� �� =� �� ������� �� +�'����&������ ,� ���/ �� ��� ������ =�� �� ������ �� ����� ���'��� 6�� �� � �� ��� ��#���� �� ��# ���� ����� ��� ���������/�������� ���� �� ��� ��� ��#���� �� ��# ���� ��� ��� � $��� � ��� ���� ��� ������

:���� ��#������ �� � � ������� 6�� � ���� ��/ ������� ���� �����/ �� ������� ���� �� �� ��� �� � �'��� ����;���� �� �����$� �� ������/ �� � ���'/ ������� ��� � � ��8����� �������� � �� � ���� �<����#� ���� � �� 8���� �� ����� �'���-���

"� +�'���� &�����/ � �� �� �� ������/ � � ����� ������� ���� ����� � � ��� ���� �� �� ������� :�� � ���'� 6�� �����>?"������� � ����� ��;� =��� �� ����'��� � ��� ��8�/ � �6��� ���?

+� �� �������� � �� � ������� 6�� ��� �� ��=� �������� �� ��$��������� �� ���� ����;��� � �� ���� ������� +=�; � �<����� � 6�� �6����� ���'��� �� �� ������/ � �<����� ����� � �� ����� � � ���$����� +�; ���� �� 8����� �������� �� ������� �� ����� �� ��� � �����������/ � ���� 6�� '������ ��� � ��������� �� ������������" � �� �����

&� �<��������� 6�� =�� � � ���' �� � ������ � ����� � ������� �� ������ 6�� � =�� =��= � ��� � �� 8� � 8��������

Page 7: Algebra lineal

� �� ����� � ����� 6�� � ���� �� � � ���� �� � �������

" �� �� ��# 6�� � �� �� ������ �� ��� ������ �<���������� ���� 6����� ��� � 6������ ��� ��/ �� �� � ��#��� 6�� ��=�� ������� � � =�� ����� �� �<���������� @�� ������A

"�� �'��� 6�� �� ��� ������ ����� �������� #������ �� � ��$8����/ �6����� ����� 6�� � ���� � ������� ,���� 6�� ���$�� �� �� 8���� � � �� ���� �� �� ��� 6�� ������� �� � ��;����<� �

"� ������ � ������; �� ��=� ���������� ���� �� � ��� � =�����6�� � ��� � 6�� �� ����������/ � � ������� �� ��=����������/ ��� ?6�� ��� �'��� � �� ���� 6�� ���� =���?�

�� �� � � ����� 6�� � 8���- =��������� ����/ �� �� � � ��$��� =� ����� ��� ��;��� �� ��=� ���'��;�/ ������� 6�� �� ����� ��� '��� ������

:���� 6�� ��� 6�� ��� �� �'�������� �� ��=� ����� 6��=�� ��� ���� �� �����-����� �� �� ������� )��= ��� � 6�� ���� ��� � ��������� )� ��/ �� ���� ����� (��'��B�/ 6���� �=� ��#��� � 6�� � =� =��= #���� �'�������� "� ���� ��������)����/ � �' � ���'� 6���� � �� ���� �� ��= �������� � ������ �� ����;��� � 6���� � =�- #���� �'�������� )� =�� 6������������� ���� =�� ������� �� =�� �������� � ��� ������

"�� �� ����� �� �'�������� �� ��/ 6���� � =� ��� �� ������'��$���/ ��������� � � � ���� ������� ��� ��� ���� ���

����/ "� �������� � =� �� =������ ��=� ���'���� � � #���� =� ������ ����� ���� �� �; �������> ?&� ����� ���� � �� �<���B��?�

"��� 6�� � ���/ � 6����� ��������/ ��� �� ������/ � ������'�� ���� � ����� �����? C�� ����� ���� 6�� ������� �� �� �����������? D����;� ���#���E

��� ��� =� #�� �� ��/ �� �� � �� � 6����� �������� � ���' ��=����� � �� ���'���� 6�� � �� ���� � �� � ��������

D:��� ��� �� � ���� �� �'�������E )���;� ,�����

Page 8: Algebra lineal

����� �� �

������� �� �� �������

��������

��� ��������� � ��� ��

)� =� ��� ������ 6�� ��= ��� � 6�� ���'�� �� ��� �� ���'���������� � ���� 6��� � ��� �������� ������/ ������ @� ���� ���� ��������A

� ���� �� #�� ��'�� ��� �� �� �������� �������>

�'�����( �F �� � � F 4 �

�'�����( ��� � ��� F ��� 4 �

����'�����( ��� F ��F � 4 � 0 � ������/ ��� =�� ����'���� ����������� ����� �;�

����'�����( ��� F �� � � 4 � 0 � ������/ ��� �� ����'���� ����� ���#��� � ��� ������� ������� � ��

��� 6�� �=�� #� � �������� ���� �� ��������� @�����A

��)���� �*�*� +�� ������� ����� �� � �������� �� ����������� �� ����

���� F ���� F � � �F ���� 4 � � ��� � � �

Page 9: Algebra lineal

% ���� ������ ����� ����

� �� ������� ��� �� ��� ������ ���������

� 4 :� .9��� �� �� �� � ����� ����

9������� 6�� � �� �����/ � �����-� � �� �� ������

9��#�� ��� �������� � �������� ����� � ��� ��� �� � 6���� ���� �� �'������� "� 6����� ����� 6�� � ���� �� ����������'��� �������

7�� �� �� ��� �� �� �������� ��� �� �������

�'�����

9��#� �� �������� ������ �� F �� � � 4 �

������

(��� =�� 6�� ������� ��� �� �� ����'����� "� ��� �����������'���� �>

� 4 ���� F F

�G �� � .9

"� 6����� ����� 6�� ���� #�- 6�� �� �� �� #��� � � � � / ���$��� ��� ������ 2�� �� 3�

� ��� ��> ��� � 4 4 */ ������ � 4 �����' �� ������ �

2��� *� *3

��� ��� ��> ��� � 4 �� 4 */ ������ � 4 ���F �

�/ ���' � 4 ��

&��' ��� ������ � 2�� �� *3

"� ������ �� ������ ���� ��� �� �2����F F �

�� �� 3G �� � .9�

" ���������� 6�� ���/ 6�� ����� �� ��� ������ �� ����� ������/ �� ���<� �� � �'��� � ������ ����� � �� � ���� ��'�����

"� ��� �� � =������ �� �'������ �� ��������/ ��/ �'������� ��������� =������ �� �������� �6��#������/ @ �� ������ A

Page 10: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� !

��)���� �*�*� ������ ��� ��� ��������� ��� �� ��� �,�-�.������ � � �� � � ����� �� ����� �� �������

7�� � ��� ��>

�'�����

������� �� ��������

�� > �F � F 4 ��� > �� F �� F � 4 �

"�� � �������� � �6��#������ ��� ������ �� � � ��$�����

�'�����

�3 > � F �� � � 4 ��3 > ��F �� � �* 4 �*

"�� � �������� � �6��#�������

/���

+ #��� =� ���#��/ 6�� =�� ��� � 6�� � ���� ���#�� ���������� ������>

� > *� 4 *

@������ � � ��� �� ����� 6�� �� ���� ��� ��������A ������/ �� � ��� �� �����E D���#���E

+�'�� ������� � 4 *�

+ � ���' ��� ��� � ��������� �� �������� �������������� ��� ��������/ ��; � 6��> D� � �#���E

+��� �� ������ �� ��������� �� �� ��� � �� ��������/ 6������ ������ ��'�� ��� �� >

Page 11: Algebra lineal

�* ���� ������ ����� ����

�'�����

��� � F 4��� F �� F � 4 �

"�� � �� ��� � �� �������� ������� �� � �������� � � ����'�����

9��#�� ��� ��� �/ �'����� 6�� ���� �������� ����� ��� �� � �/ ���� 6�� �� ���� �� � �������� �� � ��� ��

�'�����

��F �� 4 ����� � 4 ���F �� 4 !� F � 4 ��

���������

���� � 8� �� �� � �������� � � ����'����

�'�����

� F � F 4 ���F �� 4 �

��� � F 4��

�����

���� � 8� �� �� � �������� � � ����'�����

�'�����

�F � F 4 ��� F �� F � 4 �

"�� ��� � � ��� �������/ ��� � �<���� � ��� �� 6�� �� � ��$� � ����'� � � �

��� � ��� ��

Page 12: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

(���/ � =� ���� �������� � =�� �������� ����� �� ��� �� ���������� � �� ��� �� �� ����'���� ���� ����� �� ��� �� 7�� �� ����������

��)���� �*�*� �� ������ ����� �� � ��������� � � ����������� �� ������ �� ����

����� F �����F � � � F����� 4 ������� F �����F � � � F����� 4 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ F �����F � � � F����� 4 ��

���������

����� ��� � �� �� �� ��� ������ �� ���������

���� �� ���������/ �� ���<� �� � �'��� � ������ ������ ���� � � �6��#������� + �� #���/ � � �#� ������ � ��� �� ��

@& #� ��� �� �� �� ��� ��A

0%���-����

"����� �� ��� �

�� > ��� � 4 ��� > ��F � 4 �

�� �� F �� > �� 4 �� <4�

� 4 � �� �� > � 4 �� �� �4$�

+=�� ������ �� �'������ ��� �/ �� ���������� �� ������� ���������>

�� > ��� �� 4 ��� > �F �� 4 ��

�� �� F �� > �� 4 �� <4�

� 4 � �� �� > �� 4 ��� �� �4$�

Page 13: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

��� 6�� � � ��� � ������ �� � � ������ ���� 6��� ?�6��#������?�

,��� / ������/ �� ��������� �'������>

��)���� �*�*� ������ ��� ��� ������� ��� �,�-������� ������ ����������� �� ����� �� �������

��� � �������� ������ �� ��������

"� ��� ������ � ������ �� �� ������ � ������ �� ��'�����������/ ��� ��������/ ����� ��� � ��� ��

7�� � �� �� ��� ��� D " ��� 8����� � ������� � ������ ���� ��� ��E ��� � ���' '�������-����

0%���-����

������� �� ��� � �'������>

�� > �F �� 4 ���� > ��F � 4 �

�� ��� ��� � ��� ������ �� ��������

�� 4 �� F ��� > �� F �� 4 ��/ �� ��� � 6��/ � � � � �� ������ �������� �� � ��/ ������ �� ���� ���

���� 6�� �� � ��� ?� �������� ������? �� �� � ��

+=��/ ��� �'���/ ���������� �� ��������� �'������>

��)���� �*�*� ���� ��� ��� � � � � ��� � ���������� ������ ��� � �������

� 4 ���� F ���� F � � �F ����

�� ��� ���%����� ����� �� �� ��������� ��� ��� � � � � ��� �

Page 14: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

��� ��������� ��� ������

(���/ �� ����� � 6�� ��8������� �=�� � �������� �� ����$���� 6�� ��� �8������ � �� ��� � �� ����� �� ������ ���6��#�������

��)���� �*�*� ������ ��� ��� �������� �� ��������� � ��������� ����� �� �� ������ �� ��������� � ���� ����� �����

��/ #�� ������ � ��� ��������� " ���#��� 6�� � �� ��� �� ���� �� �� �������� �'�� ������� �� � ��� �/ � �����/�� �6��#������� "�����

1����� ��������( ����� �� ������� ���� �� ���� �� �� ����$�����

�'�����

" ���� � ������� 6�� � ����� � �������� �� ������� 6�� ����$ ���� ������� �� �������� D" 8�����E D" ���#���E

� F � 4 ��� � 4 �

����

���� � 4 �� F � 4 �

+ ���� �� �� ��� �������� ���#���/ �� ���� � � ���' �� ������ ��� �� �� �����# �� ������ ��'��� ���

,� ����� � ���#��� �� �������� �'������>

������ ��������( ����� �� ���������� ��� �������� �� ����� �� ������ �� ����

�'�����

20��#� ���� ���#� �� �������3

� F � 4 ��� � 4 �

���2�3��

��F �� 4 ��� � 4 �

Page 15: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

&� �������� 2�3 8�� ����������� �� ��

0%���-����( �� � ��������� ��� �������� �� ���/ ���� � ��� ���/�� � ���� �� ��� � ������ � � �6��#������ �� ��'����� " ������ ���� ��� ����� �� ������������� �� ����

�'�����

� 4 �� F �� 4 �

���2*3��

*� 4 *� F �� 4 �

"� �� ��� �� ��� �/ �<��� ��� ������ ������/ ���� � 2�� ��3� "� ��

�'��� ��� �/ �� ������ �� ������ �

�2�� �� �

�3G � � .9�

�'�����

2�� �3�F 2�� �3� 4 �2�� �3"�� �������� � �6��#������ � �F � 4 � ���-� �� �� ���� � 4 �

2������ ��������( ����� �� � ���� � ��� �������� �� ��������� ��� ���������

�'�����

� F � 4 ��� � 4 �

�������

���F � 4 ��� 4 �*

+ �� �'���� ��������/ �� =� � �� � #�- �� ��� ��� ���������

"�� � �� ������ ��� �������� ��� ������� 0 =�� ����

Page 16: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

/���

"�� �������� � ��#������� �� ������ �

�� &� ��� ��� ��������> �� �� ��� �� �������� �� �� ���������� ��/ �� �������� ��#��� � ���� � ��

�� &� �'���� ��������> �� �� �������� �� �� ��������� �� �/� �4 */ ������ �� �������� ��#��� � ���������� �� ��������

�� ���

��

�� &� ������� ��������> �� �� �������� �� �� �� ��� �� ��� 4

�� F ���/ #�#� � �� �������� ��/ �� �8������ �� ��������� �� � ��� 4 ��

"� =��= �� 6�� ���� �������� ��� ��#������ '������-� 6�� ����� � 6�� � ������ �� �� �� �������� ��� ������ ����#��� �6��#������ �� ��������

&��' � � ��� � � �6��#�������

"� ����� �� �����-�� �� �������� ��� ������ � ���'��� ����������� �� ��� � �� ��� �������� �� � ����

���� ������ �� �� =������ ���� ����8� ����� �� ������

��� ���� � ����������� �

�������������

�� �� �� ��� �/ ��� �������� ���� ������ � #���/ � ��' ���� ������������ D,��#���E

��/ � #���/ � � ��� ���#��� 6�� =�� �������� �'��'��� �������$ ����� ����;�/ �������� 6�� � ������ ������ �� �� ��������� "����'���� ���'����> �������� 6�� � � �������� ������ �� �� �� ���

Page 17: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

0%���-����

������� �� ��� �>

�� > ��F � 4 ��� > ��� � 4 ��� > � F �� 4 ��

�����

7� 6�� �� 4 �� � ��/ � �����/ �� � ��� � �������� ������ ���� � ���

���� 6�� �� ��� � � ?�����������?�

" �#�/ 6�� ���� ����� �� ������ ��� ��� � � 6���� ��$ ���� �� �� � ��� ��� ���������

��)���� �*�*� ������ ��� �� ������ �� ��������� �� �����.����� ���������� � � ����� ��� ������� �� ��������� ��� �� �� ������

0%���-����

������� �� ��� � �'������>

�� > � F � 4 ��� > � F �� 4 �

"�� ��� � � � ����������� ��� ��� �������� � � ������� ���� ���� ���� 6�� � ?�������������?�

��)���� �*�*� ������ ��� �� ������ �� ��������� �� �����.����� ����������� ������ �� �� ��� ����� ����������� �� ������ � ������ ������� �� ��������� ��� �� �� ������

"� �������#�/ �� �� ��� � ������ ���� ������������� � =�� ��8�$ ����� �� ���

5� ��� � �� �������� ������ ���� ������������� ����� ����� �������� �����>

Page 18: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

�� ����'���� 6�� ���������

�� �������� 6�� ����'�����

��� �� �� �������� 4 ��� �� �� ����'�����

��� ���� � �� ��� ��

����� ������ �� ��� � �� �������� �������/ � ��� �������� �� ��� �� �� �������� ��������������

�� ���� 6�� �� ��� �� �� ���� ���#�� �� ��� �/ � 6�������� �� ��� � ��������������

"�����/ � ���� �� ������� �� ��� � ��������������

��)���� �*�*� �� ������ �� � ��������� � � ��������� ��� ������ ������������ �� ����� ����� �� 3������

0%���-����

"� �� "�������� )����/ �� � ������� 6�� �� ��� � ������ �� ��������� � � ����'���� ����� ��� ������ ������� � ������ 6��� � ����� �� �� ��� � �� � �������� � � ����'����� ����� ��� ����� �� 6�� � ���'� � ��� ������ ������/ �� � �'��� 6�� ������� ���� �� ��� � ������ �� � �������� � � ����'����/ ���/���� �� �� ������ =����;� 6�� �'��'��> ?��� � �������������?@ ����� A

,��� / ������/ �� �������� �'������>

1�������� �*�*� �� ������ �� ������ ���� ��� ���� �� �����

Page 19: Algebra lineal

�% ���� ������ ����� ����

�����������

&� �� ������� �� =��� �� ��������� ��� � 4 ��� �� �� ����$���� 4 ��� �� �� ����'�����

�� � 4 �/ ���� �� ��� � ������ �� � �������� � � ����'���� ����$���������/ 6�� ���#��� ���� ����� ��� ������ �������

����'� 6�� �� ��� � ������ ������������� �� � ��������� � ����'���� ����� ��� ������ ������ 2"�� � ������ =������ �����������3�

+=��/ ������� �� ��� � �� ��� �� 8� �� �� �� ����������/ ��/ � � �/ ���� �'������>

�� > ����� F �����F � � � F��������� 4 ���� > ����� F �����F � � � F��������� 4 ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� > ����� F �����F � � � F��������� 4 ������ > ������� F �������F � � � F����������� 4 ����

���������������

"����� �� ��� � 8� �� �� �� � ��� ��� ��������� "����� � � ������ �� �� ����� �'������>

� �� > ����� F �����F � � � F����� 4 �� � ���������

� �� > ����� F �����F � � � F����� 4 �� � ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� > ����� F �����F � � � F����� 4 �� � ���������

���������

�� ����� �� 4 �� � ��������� � �������� "�����/ ��$�� �� ��� � �� ��� �� �� � �/ ���' ����� ������ ������/ ����� ��� � � � � ��/ �� � ��� ��� �� �� 8������ �� ���� �� � ����� "���� � � � � �� � ��� ���-� �� ���� � ���� >

���� > ������� F ������� F � � �F ������� F ����������� 4 ����

�� ��� �������� � ������ ���� 2�������� 6�� � ��� � � � � �� ����� ��8������ �� ����3

Page 20: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� �!

"����� ���� ��� ������ ������� &��' �� ��� � �� ��� ���� � �������� � � ����'���� ����� ��� ������ ������/ ���� �� �/��� �� ��������

��� ���� �� ������ ���� �� �� �

�� �

"� ���� 6�� � ���� �=�� � ������� � ��� � �� � 8� � �� � ��� �����/ ���/ ���� ���� ������ 6��� ���� ���� ���?�� 8� � �� � ��� �����?� + ��� 8� � �� ��� ��� &���������������

"�����/ � ���� �� #�� ��'�� ��� �� �� ��� � ����$����

�'�����

"� ��� � �'������ ���� �� � 8� � ��������>

� F �� F � 4 � F � 4 �

� 4 �

�����

����#� �� ���� ������ � ���������>

��� � � * � * �* * � � * �* * * * � �

��)���� �� ������ ����������

���� 6�� �� ��� � �� �������� ������� ���� ������� � ��$�8��� �� ��� �������� �'������>

Page 21: Algebra lineal

�* ���� ������ ����� ����

�� "� ��������� �� �� ��� ��� ����'���� ������� �� ��� �� ������������ � �� " ��� �� ��;����

�� ����� =�� �� ��;���/ � �� �� ��� ��� �� �� ��� �� �����

�� & ��;���� ����� �� �� �-6������ � �����=� � �� ������ =���������

7�� �� ��� ��>

�'�����

�F � F � 4 �� F � F � 4 �

& ��������� ����� ��������;� � �'��>

�� * � � �* � � � �

"� ���� � �� ��� � ��������

�'�����

�� ����� ����� �� ����� �� ��� �/ �#�� ���� ��� �������/ �'������>

� F � 4 *� F � 4 *

* 4 �

�����

�� ��������� ����� ��������;� � �'��>

��� � * � ** � � ** * * �

Page 22: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

"� ���� � �� ��� � ��������

��)���� �*�*� ���� �� ��� ��������� �������� �� �� ��������

��)���� �*�*� ���� ���� �� ������ �� ��������� ��� �� �� ����� � � �� ������ ���� ����� ����� ����� � ������ �� ����������� ������ ���

0%���-������

�� �� ������� 6����� ��� �� ��� ������ ����/ �'����� 6�� �� �$�� � ������� ��� �����������/ � ����� =���;� ��8� ����� �� ����

�� �� ������� 6���� ��� ��� ��� ���>

* * � � � * �

�'����� 6�� �� ��� � � ����� �������

�� �� �������/ �� ��� ������� �� ��� ��������� � �� ��� ��� � �������� � � ����'����/ � �� ��� � �� ��� ��/ ���' ����������� �������

H � �� �������/ �� ��� ������� �� ��� �������� � �� ��� �6�� ����� �� �������� 6�� ����'����/ �#�� ���� 6�� =����� ��$����� �������

�� �� 6�� ���� ������� ������ ����� �� ��� �/ � � ��������������� �� �������

+ ����������� #��� #��� �������� �� � ����� � ������������ ������ �� � ��� �/ �� �� 6�� ��� ������ �<�����

" � ������� #�� �� ������� � ��-�� �� ���/ ��� ���#��� ��� � ������� � 8� ���� �� ��� � ��������

Page 23: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

��! "������� ������

�'�����

"����� �� ��� � �� ��������>

�F � F 4 ���� � F � 4 ��� F �� F � 4 ��� � F � 4 ��

���������

������

� ���� �� ������� �� ��� �/ � �����/ ������� � �� �8� � �� � ����

+��� �� ���� � ���������/ ���� � ������� ����� �����/���/ �� ��� �������� �� �����

������ � � �� �� � ��� � � �� �� � ��

�������

���������

�������

������ � � �* �� * ��* � � �* �� � ��

������

��������

������ � � �* � * �* � � �* � �� �

�������

���������

�������

������ * � ** � * �* * � ��* * �� �

�������

��������

������ * * �* � * �* * � ��* * * *

� �

<4�

�4�

-4$�

" �����/ �� ������ � 2�� ����39��� ���� 8����� �� ������ �� ������ @ ����� A

Page 24: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

�'�����

"����� �� ��� � �� �������� '���>

�� � � F �� 4 *�F � F � F �� 4 *��F � F � F �� 4 *�� F � F � F �*� 4 *

���������

������

� ���� �� ������� �� ��� �>

������ �� �� � *� � � � *� � � � *� � � �* *

�������

���������

�������

������ �� �� � ** � � � ** � � � ** � % � *

�� ���

���� ���

�� ���

������ �� �� � ** � � � ** � � � ** � � � *

������

���������

�������

������ * � � ** � � � ** * * * ** * * * *

" ����� ���� �� ��� �

� F F �� 4 *� F � F � 4 *

�� ������ �� ����'���� 6�� ��������� � � ��;����/ ���� >

� 4 � � ��� 4 �� � �

�G � � � .9

&��'/ �� ������ �� ������ �>

�2� � ����� � �� � �3G � � � .9�

Page 25: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

�'�����

9��#� �� ��� � �� � ����'���� � � ��������>

�� F ��� F �� F �� F �� 4 ���� F ��� � �� F �� 4 �

������

"����� �� ��� �>

�� � � � � �� � �� * � �

�������

���� � � � � �* * �� �� �� �!

������

��

�� � � � � �* * � �

����

�������

���� � * �

����

* * � ��

���

&��' �� ��� � ������� �>

�� F ��� F���� F

���� 4 �

�� F���� F

���� 4 �

&� ����'���� 6�� ��������� � � ��;���� �������� �� ��� #�-/���'/ �� � �� ����'���� 6�� #� � ��������

�� 4 �� ��� � ���� � �

���

�� 4 �� ���� � �

���

�G ��� ��� �� � .9

&��' �� ������ ������ �>

�2�� ��� � �

��� � �

���� ��� �� �

��� � �

���� ��� ��3G ��� ��� �� � .9�

�'�����

9��#� �� ��� � �'������>

Page 26: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

�F � F � 4 ���F � � 4 %

��F �� F � 4 ��

�����

������

& � �� �� ���/ � ���� �� ������� �� ��� � �� � 8� � �� � ���>

��� � � � �� � �� %� � � ��

� �

������

���������

��� � � � �* �� �� �* �� �� �

������

���������

��� � * �� �* �� �� �* * * *

� �

�����

��

��� � * �� �* � � ��* * * *

" �����/ �� ��� � ������� � �6��#������ �� ��� � �'������>

�� � 4 �� F � 4 ��

�� � 4 � F �

� 4��� �

�G � .9

&��' �� ������ ������ �>

�2� F ����� �� 3G � .9�

� ���� �� ������>

�� > 2� F �3 F 2��� �3 F � 4 � �� ����� > �2� F �3 F 2��� �3� 4 % �� ����� > �2� F �3 F �2��� �3 F � 4 �� �� ���

��)���� �*�*� ��� &���� �� ������� �� �� ��� ���� !��������� ��� ������� �"��� �� ������� ��� #�� ��� �������$��� �� ������� ��� ����

Page 27: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

�'�����

9��#� �� 8� ���� �� ��� �/ �'��� �� #��� �� � � .9

��F � F 4 ��F �� F 4 ��F � F � 4 �

�����

������

� ���� � ������� �� ��� �>

��� � � � �� � � �� � � �

� ���

��

��� � � � �� � � �� � � �

�������

���������

���� � � �* �� � �� � ** �� F � �� �� �� �

� 2���3

"�� 8� ���� �� ��� � ���� �������� �� � �� �'��� ��� 4 *� �� � �4 *

3��� � �� � 4 * � ����� � 4 �

9�� ���-��� �� 2���3 ���� >

��� � � � �* * * ** * * *

� �����/ �F � F 4 �/ ���' � 4 �� � F �G �� � .9 ��� � 4 �/ �� ������ �� ������ �>

�2�� � � � �� 3G �� � .9�

3��� � �� � �4 * � �����/ � �4 �

Page 28: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

��'�� �������� � ������ �� 2���3>

�� ����

���� ����

��� � � � �* � �� ** � � F � �

� �

������

���������

��� � * � F � �* � �� ** * � F � �

� 2���3

"�� �� � ���� 6�� ����#���� �� � ��>

3��� � � F � 4 * � �����/ � 4 ��"� �� ������� �������� ���� * 4 �� ���' �� ��� �� � �<����������

3��� � � F � �4 * � �����/ � �4 ��"� ��� � 2���3 � ��� �'��� ��������

�� ����

��

���� * � F � �* � �� ** * � �

���

� �

��������

��������

���� * * �

���

* � * ����

* * � ����

&��'/ ���� ��� ������ ������/ � ����

� 4 � 4 4 ����

/ � ����� 2 ����

� ����

� ����

3

� ���� �� ������

3��� � 4 �

�� > �2�� � � 3 F � F 4 � �� ����� > 2�� � � 3 F �� F 4 � �� ����� > 2�� � � 3 F � F � 4 � �� ���

3��� � 4 ��

�� > ��� F � F 4 ��� > �� �� F 4 ��� > �F � � � 4 �

�����

�� F �� F �� > * F * F * 4 �� ����� * 4 ��0 �<��� ������

Page 29: Algebra lineal

�% ���� ������ ����� ����

3��� � �4 ����

�� >�

� F �F

� F �F

� F �4

� F �

� F �4 � �� ���

�� � �� � �� � �������

�'�����

"����� �� 8� ���� �� ��� � �'������ ���� � ��8������ #������ � � .9

�F � F � 4 ��F � F ! F � 4 �

�� F �* F 2� F �3 4 2� F �3

�����

������

��� � * � � �� � ! � �* � �* � F � �F �

� �

������

��

��� � * � � �* � � * �* � �* � F � � F �

�������

��

��� � * � � �* � � * �* * * �F � �� �

� 2���3

���� ������� ������� ���� �� ��� � �� �F� 4 * � �� 8� ������ �F � �4 *�

3��� � � F � 4 * � ����� � 4 ��,��� �� ��� �>

��� � * � � �* � � * �* * * * ��

� � * 4 ���

Page 30: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� �!

" �����/ ��� ��� � � ����� �������

3��� � �F � �4 * � ����� � �4 ����'�� �������� �� ��� � 2���3>

�� ����

��

���� * � � �* � � * �* * * � ���

���

� �

�����

��

���� * � * ����

���

* � � * �* * * � ���

���

&� 8� ���� �� ��� � �������� � �� �'������>

� F � 4 �������

� F � 4 � 4 ���

���

������ �4 ��

�������� �� ����'���� 6�� ��������� � � ��;���� ���� >

� 4 �������

� �� 4 �� � 4 ���

���

����� G � .9� � �4 ��

� ���� �� ������>

3��� � 4 ����� � * � � �� � ! � �* � �* * *

� ��� � ��� F �� > * 4 ���

&��' � �<��� �������

3��� � 4 �4 ��

�� > 2�������

� �3 F � F �����

4 ������

4 �

�� > 2�������

� �3 F 2�� �3 F ! F �����

4 ������

F � 4 �

�� > �2�� �3 F �* F 2� F �3������

4 � F �� � 4 2� F �3

&��' �� ���

Page 31: Algebra lineal

�* ���� ������ ����� ����

�'�����

9��#� �� �'������ 8� ���� �� ��� � �� �������� �'��� ���8������ #���� �� � � .9

� F � � 4 ��� F �� F � 4 �� F �� F � 4 �

�����

������

��� � � �� �� � � �� � � �

� �

������

���������

��� � � �� �* � � F � �* � � � � �

�������

����������

��� � * �� � � ** � � F � �* * ��� � � F � �� �

������

��

��� � * �� � � ** � � F � �* * 2� F �32� � �3 � � �

� 2���3

3��� � � � � 4 * � ����� � 4 �

9�� ���-� � 4 � �� 2���3 � ���� >

��� � * �� ** � � �* * * *

�� �� � 4 *

� F � 4 �

�� � 4 �

� 4 �� �

� � .9

&��' �� �� �� � 4 �/ �� ������ �� ������ �> �2�� ���� 3G �.9��3��� � � � � �4 * � ����� � �4 �

Page 32: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

��� 6�� ��� � ������ �� ���/ ��� ��#���� �� ��� ���������������� �� �� ��� � 2���3

�� ����

��

��� � * �� � � ** � � F � �* * � F � �

� 2���3

3��� � � F � 4 * � ����� � 4 ��9�� ���-��� � 4 �� �� �� ��� � 2���3/ ���� >

��� � * * ** � �� �* * * �

�� * 4 ��

&��' � �<��� �������

3��� � � �4 ���� 2� F � �4 *� � � � �4 *3

������� �������� �� ��� � 2���3

�� ����

��

���� * �� � � ** � � F � �* * � �

���

� �

�������

�����������

���� * * �* � * �

���

* * � ����

&��' � 4 �/ � 4 4 ����

2������ ������3

� ��������

3��� � � 4 �

�� > � F 2�� �3� 4 � �� ����� > �* F �2�� �3 F � 4 � �� ����� > � F �2�� �3 F � 4 � �� ���

3��� � � 4 ��

Page 33: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

�� > �F � � 4 ��� > �� F �� � � 4 ��� > �� �� F � 4 �

�����

�!�� F ��� F �� > * 4 ��3��� � � �4 ����

�� > � F�

���� �

���4 � �� ���

�� > � F�

���F �

���4 �������

���4 ���

���4 � �� ���

�� > � F�

���� �

���4 � �� ���

�'�����

9��#� �� �'������ 8� ���� �� ��� � �'��� � ��8������ #������ � � .9

�F �� F � 4��� F 2� F �3� F 2�F �3 4 �

� F �� F 2�F �3 4 �� � �� �

�����

������

��� � � � ��� � F � �F � �� � �F � �� � �� �

�������

���������

��� � � � ��* �� � �� � �* * � F � �� � �� �

� 2���3

3��� � � F � 4 * � ����� � 4 ��9�� ���-��� �� 2���3/ ���� >

Page 34: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

��� � � � ��* �� �� �* * * *

� �

�����

��

��� � � � ��* � � ��* * * *

���� � �3��

��� � * � �* � � ��* * * *

"� ��� � ������� � >

� F 4 �� F 4 ��

�� � 4 ��

� 4���

�G � .9

3��� � �F � �4 * � ����� � �4 ��� ��� 6�� �F � �4 * ��� �'��� �������� �� ��� � 2���3>

�� ����

��

��� � � � ��* �� � �� � �* * � �� �

� 2���3

3��� � �� � 4 */ � ����� � 4 �

"� �� ��� � 2���3/ �� �'���� �������� 6����

* 4 ��&��' � �<��� �������

3��� � � �4 ������'�� �������� �� ��� � 2���3� ,���

�� ����

��

���� � � ��* � � �

���* * � �� �

� �

������

����������

��� � * ��� F %* � * ������

���* * � �� �

� �

������

��

����� * * ��������

���* � * ������

���* * � �� �

Page 35: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

&��' ���� ��� ������ ������/ � ����

� 4��� F ��� %

�� � G � 4��� F ��

�� � G 4 �� �

��� =���� �� � �������� ��� �� � 4 �

,���

�� > � F �� F � 4 ���� > � F �� F � 4 �

�� ��� � �������� ���� #�� 6�� �� ��� � � ����������� &��� �� ������ ���8���� �� ��� �� +=�� � � ���� � ������� ��� ������� D �+�� E

�'�����

"����� �� �'������ 8� ���� �� ��� � �� �������� �'��� ���8������ #���� �� � � .9

�F 4 �� F 4��

2�� � �3� F 2�� �3 4 � F �

�����

������

� ���� � ������� �� ��� �� ,���

��� � * � �* � � ��* �� � � �� � � F �

����������

��

��� � * � �* � � ��* * ��� F � F � �� F �� �

� 4

Page 36: Algebra lineal

��������� �� ������� � ��������� ����� ��

4

��� � * � �* � � ��* * �2� � �32� F �3 2�F �32�� �3

� 2��%3

3��� � �� � 4 */ � ����� � 4 �

&� ������� �������� 6���� * 4 �� &��' � �<��� �������

3��� � �F � 4 */ � ����� � 4 ��&� ������� �������� 6���� * 4 ��� &��' � �<��� �������

3��� � � �4 ��� �"����� � ������ �� 2��%3

��2��

���������� 3��

����� * � �* � � ��* * � ����������

�����������

�������

���������

����� * * �������

����������* � * ��

����������* * � �����������

����������

&��' � ����� �� ������ ������>

� 4�2�� � �3

2�� �32�F �3G � 4

��

2�� �32� F �3G 4

�2� F �32�� �3

2�� �32�F �3

Page 37: Algebra lineal
Page 38: Algebra lineal

����� �� �

�������� ���������

��� ��������� � ��������� ������ ��

����� #�������

����/ � ������ 6�� ��� � �� ����;��� �� � ������� ��� ����"�� ������ �� ?����� #�������?/ ���� ���� =��� ����� �� ���#����� �� ������ ����� " ��' �� ��8������ � � ������� �� ����� ������� �� +�'�����

,� � ������ �� ��� ����;���/ � #��� '� ������� ���� ����/ =� ����� 6�� ���� #�����-�� ������ � ��' �<������$�����

������ �� =���� #�����-�� �� ������ �� ����� =���� =��$ � ���������� � ���'�� � ����� ���� ���� ���� � ?���8������ � �� #����?�

7��� ��=�;� ��� �� � ��������� 7� � ���� �<���� �����/��� � / 6��� � �� ����� #������� � 6��� � � 6�� ����� �� ��� 6��� =��� ��' ��� ��������

+�� �� ���� 6�� �� #��� � �'����� � ������ � ���������/�� ����� 6�� #��� =��������� ���'���� �� ������ 6�� #��� ��� =�� �� ���������

��

Page 39: Algebra lineal

�% ���� ������ ����� ����

" ������ �� #�#�� �� � �� =����� �� �� �������� �� ��� �� ��� �� ��� ������ 6�� � �� +�'���� &������

,� ��#�� � � ��'���� �� � ?"���� 7��������?� (���#����E�

0%���-����

������� .9�/ �� ���� �������� � �� ��� ������� � #�����6�� ������ �� �� ��'�� � �� ���� ����

+�'������� ����/ .9� � ������� � .9� 4 �2�� �3G �� � � .9�� "�.9�/ ��� ������ �� � � �� � ��� ���/ �� �� ����� �'������>

���� �� � � .9�/ ���' � 4 2�� �3/ � 4 2��� ��3/ ����� �� ��� �� �� � .9�"����� �F � 4 2�� �3 F 2��� ��3 4 2� F ��� � F ��3�

"�� ����� � �� ��� ��� ��;��� �� .9�/ � �����/ .9� � ������� ������ � ��

"�� � �/ '� ������� ���� �������� � ?�� ��� ��� ��������'�� ?�

7��� � '� ������� ����

Page 40: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �!

,��� 6�� .9� �� ��� � � �� ��� �� �'������ ���������

�� &� � � � ������#�

�� "<��� �����> �* 4 2*� *3

�� ,� ��� ��� ����� ��#��/ � ����

�2�� �3 4 2�����3 �2�� �3 � .9�

�� &� � � � �� �����#�

" �����/ 2.9��F3 � �� '��� ��������

(���/ �� �#���� � 6�� � �� #����� �� ��� �� ���� �

�'�����/ � �����/ ����������� �� �� ��� ��/ �� ��� ��> ������2�� �3/

� #��� �� #��������2�� �3/ ����� �� #����

�����2�� �*3 6�� �'�� �����

�� .9��

" �����/ �� ����� ������ �� �������� �<�����/ ��� ��� ����������/�'������>

"< > .9 .9� � .9�

2�� 2�� �33 �� 2��� ��3 �2�� �3 � .9�� �� � .9"�� �������� �� ��� �� �'������ ���������>

�� � � 2�� �3 4 2�� �3

�� �22�� �3 F 2��� ��33 4 �2�� �3 F �2��� ��3

�� 2� F �32�� �3 4 �2�� �3 F �2�� �3

%� 2� � �32�� �3 4 � � 2�2�� �33

"� ���� �� 2�� �3 � .9� � �� �� � � .9(���/ ��� 6�� �� �� ������ 8����� @�����A

D"��� � �6��#��� � �� � �����������E

Page 41: Algebra lineal

�* ���� ������ ����� ����

������ 6�� �� �� ���� .9� ��� % ���������/ ���� 6�� .9� ��� ?.9$����� #������� �� ?����� #������� ��� .9?�

9�� ����/ #��� .9� � �� ������ ��� ��� ��� � #��$��� 6�� ������ �� �� ��'�� � ���� 6�� � ������ � �� � ��������

"�� ��������� �� #� � '�����-��

@,� ��� � � ��� �� ��� �� ����������A

0%���-����

5� ��� �� 8�;�� �� ����� #�������/ � �� ��� 6�� ��������� ��8���-� �������� ��� �� ���� ��������

��)���� �*�*� ��� � �� ��� ����� ��� � �� ������ 2� 4 :% .9%�% �% �% �� � ����� ����&� ����� � ��"����� ��� �����������

� ��� �������� ����� ����� �������� ��� F�

F > � � � � G 2�� �3 � � F �

���� �������� �� ��� �� �� ��������� �������

� ��� �������� ����� �� � ������� �� � � �� � ������� �� ���������� ��� �� ��� ���� �

�� > � � � � G 2�� �3 � � � ��� ��� �������� �������� ���� ����� ��� � ������� ��� �����!���� �� � � ���� �������� �� ������� ��� � ������ �� ���.����� ��� ������� � �����������

Page 42: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

��� � ������� �� � ��� ������ -������� � �� � ������� �� ���� ������ ���������� ����� ���� ��� ���� � #������� ������� '��������� ������ �� ������ �� ������� ������� ��� ��� �� ����������

��(�)� 2��F��3F�� 4 ��F2��F��3� ������� �� � � *+���������&

��(�,� ����� ������ ������ �������� ��� �*�

��(�-� .��� ���� �� � � � ����� �� � � �� ��� ��F�� 4 �*�

/������ �� 4 ����

��(�0� ��F�� 4 ��F��� ���� �� � � � *������������&

��(�1� � � �� 4 ��

��(�2� 2� F �3�� 4 ���F��� ��� � � �� ��� � �

��(�3� �2��F��3 4 ���F���� �� � �� ���� �� � �

��(�'� 2��3 � �� 4 � � 2� � ��3 � ��� � � �� ��� � �

�� �� ���� ������ ��� � �� �� 4 . ������ -������� � �� ������-������� ��%�� 4�

/���

1�������� �� �� �<� �/ � �������� �� ����;� ��� �������%��������

/���

�� �=�� �� ��������/ I/ �������� :� .9 ��

�'�����

"����� � ��� �� ���� � 4 �2���� �3G � � �� ��

��� ��� �� � � / ���' � #����� �� � �� ������ �� 8� � �� 4 2���� �3 ��� 4 2���� �3� � � ������ ���� �� � � ���/

��F �� 4 2���� �3F2���� �3 4 2���F2���3� �F�3 4 2��2�F�3� �F�3

Page 43: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

�� ���� � �� ��� ��� ��;��� �� � � ,� ����� � ������ ���� �� ��$��������/ ���/

� � �� 4 � � 2���� �3 4 2�2���3� ��3 4 2��2��3� ��3

�� ���� � �� ��� ��� ��;��� �� � � +�� �� � �� ��� � % �<� ��� ����� #��������� "� �8���/ �� ���>

2"� � ����# �������� � ��� ���� � �� ��'�� �� ��3�

"�7��� ���� �� �� � � � / ���' � 4 2���� �3� � 4 2���� �3� � 42��� 3/ ����� �� �� � ��

2�F �3 F � 4 22���� �3 F 2���� �33 F 2��� 34 2��� F���� �F �3 F 2��� 34 22���F���3 F��� 2� F �3 F 34 2��� F 2��� F��3� � F 2� F 334 2���� �3 F 2��� F��� � F 34 2���� �3 F 22���� �3 F 2��� 334 �F 2� F �3

"�7��� �* 4 2*� *3 4 22��3*� *3/ �� ���� � �� ��� ��� ��;��� �� � �

"�7��� ��� � 4 2���� �3 � � / ������ �� 4 2��2��3� 2��33/ ������ � �� ��� ��� �� � �

"�7��� � F � 4 2���� �3 F 2���� �3 4 2���F���� �F �34 2��� F���� � F �3 4 2���� �3 F 2���� �34 � F �

"�7��� � � � 4 � � 2���� �3 4 2�2���3� ��3 4 2���� �3 4 ��

"�7��� 2� F �3� 4 2� F �3 � 2���� �34 22� F �32���3� 2�F �3�34 2�2���3 F �2���3� 2��F ��34 2�2���3� ��3 F 2�2���3� ��34 �2���� �3 F �2���� �3 4 �� F ��

Page 44: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

������ � � 2� F �3 4 � � 22���� �3 F 2���� �334 � � 2��� F���� �F �34 2�2��� F���3� �2�F �334 2�2���3 F �2���3� ��F ��34 2�2���3� ��3 F 2�2���3� ��34 � � 2���� �3 F � � 2���� �34 � � � F � � �

"�7�%� 2��3 � � 4 2��32���� �3 4 22��32���3� 2��3�34 2�2�2���33� �2��33 4 �2�2���3� �2��334 �2�2���� �33 4 �2��3

&��' =� �� ���� 6�� � � �� � ����� #��������

�'�����

� 4 �2��� �3G � � ��/ � �� �$����� #��������

�'�����

��� � 4 �� 4 �2��� ��� � � � � ��3G ��� ��� � � � � �� � ��� "����� �� ��� �$����� #�������/ ���� �� � � ���� ������� ��>

2��� � � � � ��3 F 2���� �

��� � � � � �

��3 4 2�� F ���� �� F ���� � � � � �� F ���3

� �� ������ �� ������ ���� ������ ��>

�2��� ��� � � � � ��3 4 2���� ���� � � � � ���3

�'�����

:2��3 4 ��F�

��G �� � � :� � �� :$����� #�������/ ���� �� � �

���� ������� ��>

2� F ���3 F 2�� F ��

��3 4 2� F ��3 F 2� F ��3

��

� �� ������ �� ������ ��>

�2�F ���3 4 ��F 2��3

��

Page 45: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

�� ���� :2��3 � ������ ���� �� � � � ������ �� ������� ��

����� 6�� :2��3/ �� �� � � � �� ���������� ��; �������/ �� ���

� �= �<� ��

�'�����

��� � 4 �J�K 4 ��� F ��� F ��� F � � �F ����G ��� � � � � �� � �� ��

������ �� � ���� � �� ��������� �� ��

"����� �J�K � �� ����� #������� ��� � �� �� � � � �� ��$�������� ������� �� �� ��� ��������

�'�����

��� � 4 ��J�K 4 ��� F ��� F ����G ��� ��� �� � �� �� ������ ��

� �������� ������� �� ����� �� "����� ��J�K � �� �����#������� ��� I�

�'�����

� 4 ��J�K 4 ���F���F � � �F����G ��� � � � � �� � �� ��������

������� �� ����� ��

0���� 6�� � ���� � ������ '��� ��� �'��� � �/ ��-�� ���� ���� � �����#���� �� �� � ��� ��� ������> ��J�K�

��� � ���'/ �� �J�K � ���� � ������ ����� ����6���� '���/��� �� ����� � � ����� �������� �� �� ������� �J�K�

(���/ ��J�K � �� �$����� #��������

�'�����

����2�3 4 ��� �� �

�G �� �� �� � � ��/ � �� ����� #������� 8� ��

�� ��� �� ������ �� � � �� ��������� �� I�

&� �'������ �� ������ ���� ���� ��>

Page 46: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

�� �� �

�4��� ��

�� ��

�� � �� � � 4 ��� � 4 ��� � 4 ��� � 4 ���

+�� �� �� � � ���� ������� ��>

�� �� �

�F��� ��

�� ��

�4�� F �� � F ��

�F �� �F ��

� ���� ������������� �� ������ ���� ������� ��>

��� �� �

�4��� ���� ��

�'�����

� 4 �� G � > .9 � .9� � �� ����� #������� 8� �� �� ��� ��8������ ����� ��� � ������

&� � � �� � 8������ � � � ��� 8������/ ������� �� � F /� �� ���� ��� �� ���� � � ���� �� �� �'������ �����>

2� F 32�3 4 �2�3 F 2�3

&� ���������� �� ��� 8������ � �� �� ������ �/ � ��� 8������/ �������� �� � � � / � �� ���� ��� �� ���� � � ���� �� �� ������'������>

2��32�3 4 � � �2�3"�� � �������� �� ���� � % �<� ��

��� �� ������ �� "�7�� � "�7��

"� ����� � �� 8������ * > .9� .9G *2�3 4 * �� � .9"� ��#�� �����# �� �� 8������ � � �� / ���� �� 2��32�3 4��2�3

��)���� �*�*� �� ������ -������� )��� �� �� ������ �������� ��� ���� ��� ������� "��� �� ���������

Page 47: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

�'����� �� �� ������ -������� )���

�2��3 4 ��F �

��3G �� � � ��

� �� ����� #������� ��� �/ �� �� � � ������� ��

2� F ���3 F 2�F �

��3 4 2�F �3 F 2� F �3

��

� �� ���������� ������� ��

� � 2�F ���3 4 2��3 F 2��3

��� �� � �

�'����� �� �� ������ -������� )���

�2�����3 4 ��F �

�� F �

�� F �

��*G �� �� �� � � ���

� �� ����� #������� ��� � / ��� �2��3 � ��� �2

��3

�'�����

�J�K 4 ��� F ��� F ���� F � � �F ���

�G ��� ��� ��� � � � � �� � �� ��� �$����� #�������/ �� �� � � ������� �� �J�K>

���� ������������� �� ������ ���� ������� ��>

�2�� F ��� F � � �F ����3 4 2�3�� F 2�3��� F � � �F 2�3���

��

����#� 6�� ��� ����� #������� ����� �� ��� �� ������ �� ��� ��$��

1�������� �*�*� ��� � �� 4������� ������� � ��������

)� � ������ �� �����

,� 5��� ������ ���� �� ���� ������ ������

Page 48: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

����������� �� �

���� * � *� � �����/ ������ * 4 * F *� 4 *�� "� �� ��� ����'������ �� 6�� �� *� � ����� � �� �� �'���� �'������ �� 6�� * � ������

����������� �� �

���� �� � ��� � ���� �����# �� �� "����� ���� 6��

�� 4 �� F * 4 �� F 2� F ���3 4 2�� F �3 F ��� 4 * F ��� 4 ���

���' �� 4 ���/ � �����/ �� ��#�� � ������

1�������� �*�*� ��� � �� �������� ������� � ���������

)� *� 4 �*� �� � � �

,� ��* 4 �*� �� � �

-� ��� 4 �*� � � �� � � � 4� � 4 * � � 4 �*

0� �2��3 4 �2��3 4 2��3�� �� � �� �� � �

1� 2��3� 4 ��� �� � �

����������� �

* � � 4 2* F *3� 4 * � � F * � � ���' * � � 4 �*

����������� �

� ��* 4 �2�* F�*3 4 � ��* F � ��* ���' � ��* 4 �*

Page 49: Algebra lineal

�% ���� ������ ����� ����

����������� �

�� � 4 * ���� �� ����� �� ���������

����'� � �4 */ ���' �<��� ��� � �� )����������� �� 4 �* �����/ � ����� ��� � 2��3 4 ��� ��*/ ���' 2��� ��3 � � 4 �* ���' � � � 4 �*���' � 4 �*�

����������� �

� 2�3 � ����� ��* 4 �*/ ���'/ �2� F��3 4 �*/ ���' �� F �2��3 4 �*/���' �2��3 4 �2��3/ � �����/ �� ���� �� �� � �2��3�

+�� �� *� 4 �* � �* 4 *� 4 2� F ��3� 4 �� F 2��3�/ ���' * 4�� F 2��3�� "� ���� 6�� �� ��#�� �����# �� �� � 2��3� � ������� �2��3 4 2��3�

����������� �

2��3� F � 4 2��3� F �� 4 2�� F �3� 4 *� 4 �*

���' �� ��#�� �����# �� # � 2��3�/ � ������ �� 4 2��3��

��� ��� ����� #��������

+=�� ��� ���� 6��� � �� ����� #������� @0 �� ������A� (���/� ������� ���'������ � ����� =���� �� ����� #������� ����� ���� ����� #��������

"� �� ��� �������/ ������ � '��� � ���' ����� � ��$'����

"�����/ ������� �� �� ������ �� ��$'���/ ����� �� ?��$����� #�������?�

��)���� �*�*� ��� ! � � ! �4 �� �������� ! �� �� ��%.������

Page 50: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �!

-������� �� � � ! �� �� �������� ������� � ��� �� ����� ����������� �� � � /������ ! � � �

�'�����

���� 6�� .9� � �� ����� #������� � ���� �� ��������������'� ������� �� � #������ "� .9�/ ������� �� ��������

! 4 �2��� �3G � � .9�

! � ��� ����� 6�� ��� �� �� ��'���

����#� 6�� ! � ������ ���� �� � � � �� ���������� � ! ��� ����� #�������� &��' ! � �� ��$����� #������� �� .9��

0%���-����

"� ��/ �������

" 4 �2��F �� �3G � � ��

��� � 4 2�� F �� �3 �� ��� ��� �� "� ����� ��� #���� �� �������� �/ ����

� � � 4 �2��F �� �3 4 2�*�F �� ��3

�� ���� � � �� ��� ��� �� "�

Page 51: Algebra lineal

�* ���� ������ ����� ����

&��' ��� �������� � � ��� ����������/ � �����/ �� �������� ��/� �� ���

�� > � "� "

&��' " � � �� ��$����� #������� �� ���

1��%����

�� �� � ��� � ������ ��� �� �������� �������� / � ������ 6��� ��� ������� �� ���� "�7��/ "�7��/ "�7��/ "�7��/ "�7��/ "�7�%�"����� � �� �� '�����;� ���� 6��� � � ��� � ������� 6�� =��6�� ����� ���� ����� 6�� ! � ��$����� #������� �� � �

&� ������� � ��� ��6������ �� ���� �� �� �'������ ���������

1�������� �*�*� 53������� ���� �� ��%.������ -�������6

��� � �� �������� ������� � ! � � ! �4 �� �������� ��� ������ �����

)� ! �� ���������� �� � �

,� � � F � � !� ��� � � !

� �� � !� �� � �� �� � !

-� �� F � � ! ��� � � !� �� � �

Page 52: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

�����������

2�3�2�3

��� 6�� ! � �� ��$����� #������� �� � / �� ���������� � ������� #�������/ ���' �� ��� 2�3�

2�3�2�3

��� �� ���� 2�3/ ���� 6�� �� ���� 6�� � �� ���� � % �$<� � � 6�� �� �������� ����� ���� ��������

:�� ! � ������� ���� �� � �/ � ��� �� 2�3� :�� �� �������������� ���� �������/ � ��� �� 2��3�

���� 6�� �� � / �� � � � ������#� � �� �����#� � ! � /���' �� � � � ������#� � �� �����#� �� !�

"� �� =������ '������/ ���� 6�� ! �4 �/ ���' �<��� �� #���� ��!/ ��� �� �� �� )�������6�� � �� �� ������ * 2��� �<���/ ���� � �� �����3 ���� * � � 4 �*� &��' �* ���� �� !� +�; ���� "�7���

��� � � !/ �� #���� ����6������ "�� #���� � ��� ������������ 2��3/ ���� 2��3� 4 ��/ ���' �� � !� +�; ���� "�7���

"� � � ��/ �� 2��3�

� �'������ �<� � � ������� ���#��� ���� �� �� =��= 6�� ! ��� �������� �� � �

&��' 2�3�2�3

/���

5�� ?���������-�����? �'����� 6�� ��� ��� �� ��������/ ��#�- �� �� ���������� "�� ��������� ?���������-��? �� ��$�����#��������

�'�����

! 4 �2�� *3#� � �� � ��

Page 53: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

"� �8���/ ! �4 �/ ���/ �� ��� �� 2�� *3 � !� ���� / $� � !/ ���'$ 4 2�� *3 � $� 4 2��� *3/ ����� �/ �� � �� ,��� $ F $� 4 2�� *3 F2�� F *3 4 2� F ��� *3 �� ���� � �� ��� ��� �� !�

��� � � �/ ���' � � $ 4 � � 2�� *3 4 2��� � � *3 4 2��� *3 �� ���� ��� ����� �� ��� ��� �� !� &��' ! � �� ��$����� #������� �� ���

�'�����

��J�K � �J�K

�'������

! 4 �2*� *3� � ��G % 4 �2*� *� *3� � ��G ! 4 ��*� � �G ��*� � � /���� �� � / ����� #��������

�'�����

! 4 �2�� �3G � F � 4 *� � ��

"� �8���/ ! �4 �/ ���/ �� ��� �� 2����3 � !� ���� / $� � !/������ $ 4 2����3/ $� 4 2����3/ ����� �� � � �� ,��� $ F $� 42����3 F 2�F��3 4 2�F ����� �3 �� ���� � �� ��� ��� �� !/ ����� � � �� �� � ������ ��� ��� ������ � �����

��� � � �/ ���� �2����3 4 2��� �2��33 4 2������3/ �� ���� ��� ��� ��� �� !� &��' ! � ���

�'�����

�� ��� 6�� ! 4 �2�� �3G ��� �� 4 *� � .9��

������

�3 �� ��� 6�� �� ! =�� �� �� �� ��� ���>

Page 54: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

2�� �3 � ! ��� � � �� � � � 4 *� &��' ! �4 ���3 �� ��� 6�� �� � � ! � �F � � !

���� �/ � � !� "� �'����� 6�� � � � ������ �� 8� � � 4 2�� �3/� 4 2��� ��3 ���� ��� �� 4 * � ��� � ��� 4 *� &� � � �� � �� �>

�F � 4 2�� �3 F 2��� ��3 4 2�F ��� � F ��3

� � �� ���>

�2�F ��3� �2� F ��3 4 ��F ��� � �� � ��� 44 2��� ��3 F 2��� � ���3 4 *

&��' �F � � !�

���3 �� ��� 6�� � � ! � �� � !� �� � .9���� � � !/ ���' � 4 2�� �3 �� ��� �� 4 */ �� ����>

�� 4 �2�� �3 4 2��� ��3

�� �����>

�2��3� �2��3 4 �2��� ��3 4 � � * 4 *

+�; =� �� ���� 6�� ! � �� ��$����� #������� �� .9��

+�� �� ���#� 6�� ! ��������� �� ����� 6�� ��� �� �� ��'���� ��������� �#��

�'�����

�� ��� 6�� ! 4��

� �* �

�G �� �� � � �

������2�3�

Page 55: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

������

�3�� �* �

�� !/ ���' ! �4 ��

��3 �/ � � !� "� �'����� 6�� � � � ������ �� 8� �>

� 4�� �* �

�� � 4

��� ��* ��

��

�� ��� ���� >

�F � 4�� �* �

�F��� ��* ��

�4��F �� �F ��* �F ��

�� !�

���3 � � � 4 � ��� �* �

�4��� ��* ��

�� !�

&��' ! � �� ��$����� #������� �� ����2�3�

�'�����

�� ��� 6�� ��J�K 4 ���F ��� F ����# ��� ��� �� � �� � ��

��$����� #������� �� �J�K�

������

2�3 � F �� F�� � ��J�K/ ���' ��J�K �4 ��

2��3 ���� �2�3� &2�3 � ��J�K� &��' �2�3 � &2�3 ������ �� 8� �>

�2�3 4 �� F ��� F ���� � &2�3 4 �� F ��� F ���

��

�2�3 F &2�3 4 2�� F ��� F ����3 F 2�� F ��� F ���

�3

4 2�� F ��3 F 2�� F ��3� F 2�� F ��3�� � ��J�K

2���3 ��� �2�3 � �J�K/ ���' �2�3 4 ��F���F����/ ���' ���� >

� � �2�3 4 � � 2�� F ��� F ����3 4 ��� F 2���3� F 2���3�

� ���J�K�

Page 56: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

�� 2�3/ 2��3 � 2���3/ ���� 6�� ��J�K � �� ��$����� #������� ���J�K�

���� 8� � �� ������� ��J�K �>

��J�K 4 ��2�3 � �J�K# ' �2�3 � ��

�'�����

@" �� ������ ! 4 ��2�3 � �J�K# '�2�3 4 �� �� ��$�����#������� �� �J�KA

������

�3 �2�3 4 � F� F�� � !/ ���' ! �4 ����3 ���� �2�3/ &2�3 � !/ ��� ��

�2�3 4 �F��F��� � &2�3 4 �F������ � !� ��� � ���'�2�3F&2�3 4 2�F��F���3F2�F������3 4 �F�*�/ �� ����� ��������� � ! ��� � '��� � � �� "� � �� �������� ���

������; ������ 6�� ! � � �� ��$����� �� �J�K�

�'�����

��� ( 4 �� > .9 � .9G �� ��������� ��� 6�� ( � �� ��$����� #������� �� ) 4 �� > .9� .9��

������

��� ��� �� ������� ������ 6��>

�3 &� 8������ *� > .9 � .9G *�2�3 4 �/ �� � .9 � ��� 8�������������/ ���' ( �4 ��

��3 &� � � �� � 8������ ������� � ��������

Page 57: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

���3 &� ���������� �� ��� 8������ ������� � ��������

&��' ( � �� ��$����� #������� �� ) �

�'�����

��� � 4 �� > .9 � .9�� ��� ! 4 �� � � G �2� � �3 4 �2�3�� ��$ ��� 6�� ! � �� ��$����� #������� �� �

������

�3 &� ���������� ���� ��������� � �/ ��� *2� � �3 4 *2�3� &��'! �4 �

��3 ���� �� � !/ ���'2� F 32�� �3 4 �2�� �3F 2�� �3 4 �2�3F 2�3 4 2� F 32�3�&��' 2� F 3 � !

���3 ���� �� � !/ ���' 2��32� � �3 4 �2�2� � �33 4 �2�2�33 42��32�3

� 2�3/ 2��3/ 2���3/ ���� 6�� ! � ��$����� #������� �� �

�'�����

"� ��/ ������� �� ��$�����

! 4 �2�F �F �� �F ��F�� ��F��F�� �F ��F �3G �� �� � ���(�6�� ��� ������������� ��������� �� !�

������

����F � F � 4 �

� F �� F � 4 ��� F �� F � 4 �� F �� F � 4 �

���������

Page 58: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

&��' �������� �� ��� � � �����>������ � � �� � � �� � � �� � � �

� �� � � � ��

������ * � ��� �* � * �� �* * � �� �� �* * * ��F ��� ��F �

"� ��� � ��������� �� ��$����� ��� � ��F ��� ��F � 4 *

&��' ! 4 �2�� �� �� �3G �� F �� � � F � 4 *� � �� ���������������������� �� !

�'�����

"� ��/ ������� �� ��$�����

! 4 �2�� �� �� �3G ��� �� �F � 4 *� �F � F � 4 *������� �� 8� � ����������

(�6�� ��� ������������� ���� ������� �� !��� �� �� � *� � * � *

�� � � � ��

�� * ��

���*

* � ��

��*

&��'�� �

��F �

�� 4 *

�F ���F �

�� 4 *

�" �����

� 4 ���� �

��

� 4 ����� �

��

��� � � �

! 4 �2���� �

�����

��� �

��� �� �3G �� � � ��

�'�����

��� � �� �$����� #������� � !/ + � � � �� ��� 6�� ! � + ��� ��$����� #������� �� � �

������

�3 * � !/ * � + ���' * � ! � + / � ����� ! � + �4 ���3 ���� �/ � � ! �+ / �� �'����� 6�� �/ � � ! � �� � ��� �

�/ � � + �

Page 59: Algebra lineal

�% ���� ������ ����� ����

�� � �/ � � ! � ����� 6�� �F� � !/ ��� ! � �� ��$�����#������� �� � � � F � � + / ��� + � �� ��$����� #��������� � � &��' �F � � ! � + �

���3 ��� � � ! � + / ���' � � ! � � � + � ��� 6�� ! � + � ��$����� #��������/ ���� 6�� � � � � ! � � � � � + �� � �/� �����/ � � � � ! � + / �� � �

� 2�3/ 2��3/ 2���3 ���� 6�� ! � + � �� ��$����� #������� �� � �

�'�����

��� � �� I$����� #�������� ��� ��� ��� � � � � �� � � � �� ����� 6��

! 4 ����� F ���� F � � � F ����G��� ��� � � � �� � �� � �� ��$������� � �

��� � �������� $������

����/ �� ����� � 6�� ���� �=�� � ���� � ��� �� #����/� ��� ������ � ������ �� �� � #����� ���� (���/ ������ � � ��� � �������� � #������

)� ������ ������� ��'�� =����� ��� ���'���� ��� �� �� �����#������� � ����� � �� � ������� @" ��'��/ �����A

0%���-����

��� � 4 .9�/ ����� #������� ��� .9/ �� � 4 2�� �3 � .9�� + �������� � ��� ������ �� #�����/ � �� ��� ��/ �� 4 �2�� �3/� �����/ �� 4 2�� �3/ ���� �� 4 2�*� �3/ �� 4 2�%���3/ ����"����� ���� 6�� �� � ?� �������� ������? �� �� & � ������ � ���

Page 60: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �!

0%���-����

��� � 4 .9�� � 4 2�� �3� � 4 2�� �3� + ������ �� � � � ��� �������� #������ 9����� 6�� �� ���� ���� ��� ���� � �� ��� ���� �� �'����� �� � #������ � ��� ��/ �� #���� �� 4 2�� �3� ����� ������ �� � � �>

�� 4 �F �G 2�� �3 4 2�� �3 F 2�� �3

,� �����/ �� #���� �� 4 2�� �3/ ���>

�� 4 ��F �G 2�� �3 4 �2�� �3 F 2�� �3

���� 6�� �� � ?� �������� ������? �� � � �� & � ���� ���

0%���-����

��� � 4 2�� �3� � 4 2�� �3� 7�� � =�� ��'��� ��� �� ������� � � �6�� ���8�'�� �� �'������>

2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� �3

&��'2�� �3 4 2��F ��� �F ��3

� �����/ 6�� �� ���� � �������� ����

� 4 �� F ��� 4 �F ��

���/ � ��������� �'���� � ��� ������� � �'���� ����� �/ ���'� ������ �� �������� ���� � 4 �

�/ � ���� � ��� ��$

����������� "� ���� ���# �� ����� 6�� � � ���;� ������� ������ �� � � �

"� ��� �� ���� 6�� � ?� � � �������� ������? �� � � ��

��)���� �*�*� �� ������ � � � �� ��� ��� �� ���%����� ��.��� �� �� �������� ��� ��� � � � � ��� � ������ ���� ���� ��� ��� � � � � �� �� �� �� ����

� 4 ���� F ���� F � � �F ����

Page 61: Algebra lineal

�* ���� ������ ����� ����

��)���� �*�*� ��� ! �� ������ ���� �� � � � � � � �� ��� ��� ��� ���%����� ����� �� ��� -������� �� ��

� 4 ���� F ���� F � � �F ����� ������ �� � �� ������ �� � !

�'�����

��� � 4 ��/ � ����� � #����� � �$����� ��� �� 4 2�� �� �3/�� 4 2�� ����3/ ������ � 4 2�!����� �3 � � �������� ������ �� ��� ��� "� �8���>

2�!����� �3 4 ��2�� �� �3 F��2�� ����3

�'�����

"� ��J�K/ ������� � #����� � 4 �F �� F�� � � 4 � ���

�3 �� ��� 6�� �� #���� �� 4 � F �� F ��� � � �������������� �� � � ��

��3 7�� � �� #���� �� 4 � F� � � �������� ������ �� � � ��

���3 :���� ���� ���� 6��� #��� �� �/ �� #���� �� 4 �F�����

� � �������� ������ �� � � ��

������

�3 ��� �� 4 �2� F �� F��3 F �2� ���3� &��'

� F �� F ��� 4 � F 2��F �3� F 2�� �3��

� ��������� �� �'������ �� ���� � ����

�� � 4 ���F � 4 �

� 4 �

�����

Page 62: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

"����� ��� ��� �� ,��� >

��� � �� �� � �� * �

� �

������

���������

��� � �� �* � ��* � ��

� �

�����

����������

�� � * �* * ** � ��

�&��' � 4 �

� 4 ��

&��' �� 4 ��F2��3�� "8����#� ���� �� � � �������� �������� � � ��

��3 ����'� 6�� �� 4 � F� � � �������� ������ �� � � �/ ������/ ���'� 6�� �<��� � � � ����� ��� 6��>

� F� 4 �2� F �� F��3 F �2� ���34 �F 2�� F �3� F 2�� �3��

� �� ��������� �� �'������ �� ���� � ���� >

�� � 4 *�� F � 4 �

� 4 �

�����

"������� ��� ��� � ���� >

��� � �� *� � �� * �

� �

������

���������

��� � �� ** � �* � �

� �

�����

���������

��� � * �* * �%* � �

"� �� �'���� �������� � 6���� * 4 �%/ � 6�� � ��� ��$����������� (���/ �� ���� ���# �� ����� 6�� �<���;� �� ���� � �/ � ����� �� ����� 6�� �� ��� � �������� ������ �� � ���

&��' �� � � � �������� ������ �� � � ��

Page 63: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

���3 ��� �� 4 ��F ��� &��'>

� F �� ��� 4 �� F 2�� F �3� F 2�� �3��

&��' � ����� 6�� � ����� �� ���� �� �������� �'������>

�� � 4 ���� F � 4 �

� 4 �

�����

"����� ��� ��� � �� 8� � �������� � ���' ������� $��

,���

��� � * �� �� ��� � �

� �

������

���������

��� � * �* �� ��* � � � �

������

��

��� � * �* �� ��* * � � �

7� 6�� ��� ��� � ����� ������ � � �� � � � � 4 */ ������ � 4 ��

&��' �� � � �������� ������ �� � � � � � �� � � 4 ��

�'�����

��� � 4 ����2�3 ��� �� " �����/ � #����� � ������ �� ���� � � ��� ���

����

�� 4�� � �* � �

�G �� 4

�� * ** � �

�G �� 4

�* � �* * �

�� ��� 6�� � 4�* �� ��* * �

�� � �������� ������ �� ��/ ��

� ���

" �����/ ���� 6�� �������� ��/ ��/ �� � � ���� 6�� � 4 ���� F���� F �����

Page 64: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

������

�* �� ��* * �

�4 ��

�� � �* � �

�F ��

�� * ** � �

�F ��

�* � �* * �

5��� �� ��������� �� �'������ �� ������/ ���� �� ��� �>

�� F �� 4 *��� F �� 4 ����� F �� 4 ��

* 4 *�� F �� 4 *

�� F ��� F ��� 4 �

�������������������

"� ���� ������� � � 8� � �� � ���/ ������� �� ������ ������� ��� �/ ����

�� 4 ��� �� 4 �� �� 4 �

&��' � 4 ���� F ��� F ���/ � �����/ � � � �������� ������ �� ��/��/ ���

� �������� �� �����/ �� ����' � �'������>

� ������ 6�� �� #���� � 4�� � �** � ��

�� � �������� ������ ��

� #����� ��/ ��/ ���

+�� ��/ ������ �� ���'���� �'������>

@ " 4�� � �� � �

�� �������� ������ �� ��/ ��/ ��A

��� ��� ����� %������

&� ���'���� 6�� �=�� �� � =��� � �� �� �� �<�'����� &� ����� 8�����> ��� �� #����/ 6���� �������� ����� � #����� 6��� ������ ������ � ������ �� ���� (���/ � ����� �� �� � ��� ��������� � #����� 6�� � #�� ���������

Page 65: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

� � � � � 6���� ?��?�

� ����/ ��� � #�����/ 6���� �������� ����� � #����� 6��� ������ ������ � ������ �� ���� .�� ���� �� �� �� � #������

0%���-����

������� � 4 ��/ �� �$����� #�������� "� ���/ ��� � ��#���� � 4 2��� �3� "����� 6���� �������� �� � #�����6�� � ������ ������ � ������ �� �� "� #����� � �� �6������ �� 8� � � 4 �2��� �3/ � �����/ � 4 2��� ��3�

"� ������ ������ �

! 4 �2�� �3G � 4 ����"������� ! 4, 2��� �3 -�"� ��� ��/ ! � �� ��$����� #������� �� ��� @ ��������� ��/�� ��� A

0%���-����

������� � 4 .9� � � 4 2��� �3 � � 4 2����3� @ ������ �� ��<� �� ����� 6�� ��� �����-�� � ������ �� � � � A� "�����/ =������ � �������� ������� �� �� #�����/ @:��� #�������� ������ A� " �����/ @+ 6��� ������ � �'��� �� ��������2��� �3 F �2����3G�� � � .9� A����#� 6�� =������ � �������� ������� �� �� #������ � ����� ?����? �� �� ������ ���� 6�� �� ����� '�����$� �� � � � � �� ����� � 4 �2�� �3G � 4 ���� � �������� � 4, 2��� �3� 2����3 -�"� ��� �� � �� ����� � �� ��$����� #������� �� .9�� "� ������ @0 �� ������A ,��� �� �'������ ���������

1�������� �*�*� ���� � �� �������� ������� � ��� ��� � � � � �� �� � ��������

! 4 ����� F ���� F � � �F ����G ��� ��� � � � � �� � ��

Page 66: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

�� � ��� �����6�� ���������� �� � ��� ������� � ��� ��� � � � � ���

�����������

�� �� �� ����� 6�� ! � �� ��$����� #������� �� � � "�� �#������ � ���#� 6�� �� � �� � ��� ��� �� ! ����� �� ���� ��� �� ! � 6�� �� ���������� �� ��� ��� �� ! �� �� �������� ����� ����� �� ��� ��� �� !

�� ��� �=�� 6�� � �� �� ��6��B� 6�� ������� � ��� ��� � � � � ���

��� . �� ��$����� #������� �� � 6�� ������� � ��� ��� � � � � ��� � �� �� ��$����� ���� ������� ����� ����� � � � � ���� ���� ����� ��� � � � � �� � �� ,� ����� ���� ������� ��� �� � � �� #��$��� �� ./ � �����/ . ���� ������� ���� F ���� F � � � F ���� ������ ��� ��� � � � � �� � �� &��' . ���� ������� � !� (���/ ��6����� ����� 6�� � �� �� ��6��B� 6�� ������� � ��� ��� � � � � ���

�'�����

��� � 4 ��� ������� � #����� �� 4 2�� �� �3 � �� 4 2��� �� �3�"����� ! 4 ��2�� �� �3 F �2��� �� �3G�� � � �� � �� ��$�����#������� �� ��/ �� ���� ���� ������ �� ! 4, 2�� �� �3� 2��� �� �3 -�

��)���� �*�*� ��� � �� �������� ������� � ���� ��� ��� � � � � �� �� � �������� � ��� ���� !������ ��� ����� �� ����������� ��� ���� ��� ��� � � � � �� �� � ���������� ����� � ��%.������ ����������� ��� ��� � � � � �� � �� ������ , ��� ��� � � � � �� -� �� �����

, ��� ��� � � � � �� -4 �����F����F� � �F����G ��� ��� � � � � �� � �� 4 !

������ ��� ���� ��� � � � � ��� �� �� ��� ���� �� ����������� �� !�

1�������

��� � 4 ��� ��� � 4 2�� �3 � � 4 2����3 @ ����� � �� ��$����� ��'����� 6�� � ����� ������ �������� � � ��� �� #�����A" �����/ @ ����� � �� ��$����� '������ �� � � � A

Page 67: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

7��������

, 2�� �3� 2���� -4 ��2�� �3 F �2����3G �� � � �� 44 �2��F �� �� ��3G �� � � ��

&��'

2�� �3 4��F �

�*2�� �3 F

�� ��

�*2����3

" ����� �� #���� 2�� �3 �� ��/ � � �������� ������ �� 2�� �3 �2����3� �� ���� ���� 6�� , 2�� �3� 2����3 -4 ���

�'�����

(�6�� �� ��$����� �� ��/ '������ �� � 4 2�� �� �3 � � 42�� �� �3 � �� ��� ���������� ��������� �� ��� ��$������

������

! 4 ��2�� �� �3 F �2�� �� �3�G �� � � ����� 2�� �� 3 4 �2�� �� �3 F �2�� �� �3� "� �6��#��� � ����� 6�� ����� � �� �������� �'������

� 4 �F ��� 4 �F �� 4 � F �

����� ����� ������

" �����/ ���� �������� �� �������� �������� � ��������/ ����6�� ��� ��� � ���'� �������

"����� �� ��� �� ,���

��� � � �� � �� �

� �

������

���������

��� � � �* � � � �* �� � �

� �

�����

��

��� � � �* � � � �* * � F � ��

&��' , 2�� �� �3� 2�� �� �3 -4 �2�� �� 3G ��� � � 4 *�

Page 68: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

�'�����

"������ �� ��� � �� '�������� ���� �� ��$����� �� ��/�'������>

% 4 �2�� �� 3G ��F � 4 *�

������

& ��� ��� �� % ������ ������ �� 8� � ��;���� 2������ 3� +=������ 2������ 3 4 �2����� *3F2*� *� �3� "� � ���� 6�� �� #������ % � ��� ������ � ������ �� 2����� *3 � 2*� *� �3/ � �����/� ��� ������ � � �������� ������ �� 2����� *3 � 2*� *� �3�"����� 2����� *3 � 2*� *� �3 '������ % / � �����

% 4, 2����� *3� 2*� *� �3 -

�'�����

(�6�� �� ������ �� '�������� ���� �� ��$����� � �� ��/

� 4 �2�F �� F � � F ������ �� F �3G �� �� � ��

������

����#� 6��>

2�F��F � �F��������F�3 4 �2�� ����3F�2�� ����3F 2�� *� �3

&��' � #����� 2�� ����3 /2�� ����3/ 2�� *� �3 '������ � / � �����

� 4, 2�� ����3� 2�� ����3� 2�� *� �3 -

�'�����

(�6�� �� ������ �� '�������� ���� �� ��$����� / �� ��/

/ 4 �2�� �� 3G �F �� � 4 *�

Page 69: Algebra lineal

�% ���� ������ ����� ����

������

& ��� ��� ��/ ������ �� 8� � ��;���� 2�� �� �F��3� ,��� 6��>

2�� �� �F ��3 4 �2�� *� �3 F �2*� �� �3

&��' �� ������ �� '�������� �� / � �2�� *� �3� 2*� �� �3� � ���'/ 4, 2�� *� �3� 2*� �� �3 -

�'�����

��� � 4 ���

��� % 4, 2����� *3� 2*� *� �3 - � � 4, 2�� *� �3� 2*� �� �3 -�

(�6�� �� ������ �� '�������� �� % � � �

������

��� � � % � � / ���'>

� 4 �2����� *3 F �2*� *� �3 4 �2�� *� �3 F �2*� �� �33

,��� >� 4 �

��� 4 �� 4 �F ��

�����

&��' � 4 ����"����� � 4 �2����*3� ��2*� *� �3 4 2���������3 4 �2�������3&��' %�� 4, 2�������3 -� "����� �2�������3� � �� �������� '�������� �� % � �

�'�����

��� � 4 �� � ! 4, 2�� �� �3� 2�� *� �3 -� (�6�� � #����� �� !�

Page 70: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �!

������

� ��� ��>

�� 4 2�� �� �3 F 2�� *� �3/ � ����� �� 4 2�� �� �3G

�� 4 �2�� �� �3 4 2�� �� �3G

�� 4 �2�� �� �3� 2�� *� �3 4 2�� �� �3G

�� 4 �2�� *� �3 4 2�� *� �3G

�� 4 2�� �� �3 F �2�� *� �3 4 2�� �� �3

"� ��/ ��� � �������� ������ �� 2�� �� �3 � 2�� *� �3 � �� #���� ��!�

�'�����

��� � 4 ��J�K� (�6�� �� ������ �� '�������� ��

! 4 ��F �� F ��� F ���G ��F � 4 ��

������

& ��� ��� �� ! � ���������-�� �� ����� �� ��������� �� ��

�'��� � �� � � ��� ���� �� �� ������� �� �� ��������� �� �� 5���� ��� ��;��� �� !/ ����� �� 8� � $ 4 � F �� F 2��F �3�� F ���/���' $ 4 �2� F ���3 F �2� F��3 F ���� ,���

! 4, � F ���� � F��� �� -

���� 6�� �� ��� ��� �� ! � ����� ������� � ��� � �������������� �� �� ��� #������

1��������� ����������� �� �� ��%.������ ��������

�� , �� � -4, ��� � -G �� � � � �*��� , �� � -4, �F ��� � -/ �� � �

�� , �� � -4, �� � -

Page 71: Algebra lineal

�* ���� ������ ����� ����

����������� �

��� � �, �� � -/ ���' � ����� �� 8� � � 4 ��� F ���/ �������� �� � �� ��>

� 4��

���F ���� � �4 * ���' � �, ��� � -

� ��� �����/ �� � �, ��� � -/ ������>

� 4 ��2��3 F ��� 4 2���3�F ���� ���' � �, �� � -

����������� �

��� � �, �� � -/ ���'>

� 4 ���F ��� 4 ��2�F ��3 F 2�� � ���3�� ���' � �, �F ��� � -

� ��� �����/ �� � �, �F ��� � -/ ������>

� 4 ��2�F ��3 F ��� 4 ���F 2��� F ��3�� ���' � �, �� � -

����������� �

��� � �, �� � -/ ���'> � 4 ��F��� ����� �� � � � � � 4 ��F��� � �, �� � -

0%���-����

, �� � -4, �� �� * -

0%���-����

"� � '�������-� ���� �� ������ ���� �� #������ �� �����>

�� , ��� ��� � � � � �� -4, ���� ��� � � � � �� -G� � ��� �4 *�

Page 72: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

�� , ��� ��� � � � � �� -4, �� F ���� ��� � � � � �� -�� � ��

�� , ��� ��� � � � � �� -4, ��� ��� � � � � �� -

"�� �������� 6�� =�� �� �����-��� �� ��� ��/ ������ �����-���

� ��� ��G *� 0 4 �� � � � � ��

��)���� �*�*� ����� ���� ���� �� ���������� ��� �� �� ���������� ��� ���� �� ����������� ��� ������ ���������� ������������

�'�����

��� � 4 ��� % 4, 2�� !� ��3� 2�� �� �3� 2�� �� �3 -� (�6�� ��� ���$�������� �� � ��� �� % �

������

��� ��� � �����/ � #����� � ������ �� � � � �������� �� ��� ����-� C�'� �� �'������ �������� ���$ ������>

��� � ! ��� � �� � �

� ��2

��3

����� � � �� � �� � �

� ���2��3

�����2��3

��� � � �* * ** * �

" �����/ , 2�� !� ��3� 2�� �� �3� 2�� �� �3-4, 2�� �� �3� 2*� *� �3 -�

�� �� =� ���'��� ��� ����������� �� � ��� ��� ������

�'�����

"� .9�/ ����� ��� �� ��$����� '������ �� �� ������ �� #��$���>

" 4 �2�� �3� 2�� !3� 2�� �3�

Page 73: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

������

��� � �� !� �

� ��

�������� � �� �� �

� ��������

��� � �� �* *

� ��������

��� � �* ** *

&��' , 2�� �3� 2�� !3� 2�� �3 -4, 2�� �3 -4 �2�� ��3G � � .9�� "����$����� �� .9�/ ��������� �� ����� 6�� ��� �� �� ��'�� � �������������� ��

�'�����

& � 6�� �� �������� �������/ ����

" 4 �2�� �� �3� 2�� �� �3� 2�� �*� ��3�

������

��� � � �� � �� �* ��

� ��

�������� � � �� � �� �* ��

� ��������

��� � � �* * *� �* ��

����������� � � �* * ** * *

4� , 2�� �� �3� 2�� �� �3� 2�� �*� ��3 - 4 , 2�� �� �3 -4 �2�� ��� ��3G � � .9�

"� ���� ��������� ��� ����� �� .9� 6�� ��� �� �� ��'���

�'�����

"� ��/ ������� " 4 �2�� �3� 2�� �3�� ����� ��� �� �����'������ �� "�

Page 74: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

������

�� �� �

���������

�� �* ��

��������

�� �* �

���������

�� ** �

&��' , 2�� �3� 2�� �3 -4, 2�� *3� 2*� �3 -4 �2�� �3G �� � � �� 4 ��

"����� " '����� ���

�'�����

"� � 4 ��J�K ������� �� ��$�����

! 4, �F� F��� F��� �F �� F �*��F���� �F� F ���F�� -

(�6�� �� ������ �� '�������� 6�� ���'� ��� �������� �;��$ � �� ��� ����

������

� � ����� ������ �� ���� � ��������� �� ���� ���$� ���

�� � � � �� � �* �� � � �

� ��������

��� � � � �* * * *� � � �

� ��������

��� � * � ** * * *� � � �

������� � * � *� � � �* * * *

� ��������

��� � * � ** � �� �* * * *

&��'/ ���� '������ ! �� �� ������ �� #�����

�� F ���� � ��� F���

/���

C� ���#�� 6�� � �� ������ " �� '�������� �� �� ��$����� ! �� � / �� ������ �� �� #����� �����/ � #��� �'���'������� �� � ��$����� !�

Page 75: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

"� � ������ � �� �'������ ����������

��)���� �*�*� ��� � �� �������� ������� � ��� 1 �� ��� ����"��� �� ����������� �� �� ���������� ! �� � � ������ ��� 1 ���� ���'���� ����� �� ����������� �� � � ���� ��7 ��� �� ����� � ���� �� ��� � �������� ����� �� �������� �� ��� ����������� !�

�'�����

1 4 �2�� �3� 2�� �3� � �� ������ ��� �� �� '�������� �� ���

+ 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3� � �� ������ ��� �� �� '���������� ���

��� ����������� $�����

:���� ������� 6�� �������� �� ������ �� ����������� ������ ���� ��� � �� �������� �������� + #���/ ����;� �������� 6�����;�� �� ������� �� ���/ ������ ����;� 6�� �� ��� � ��������� ���� ������������

+=�� ���� �� �� ������ �� #����� �� �� ����� #���������� �� � � �����/ � #��� =�� #����� 6�� � ������ ������ ��� ��/ ��� � � �������� ������ �� ����

" ������ ������� ��� ��� � ������ ���� �� ������ ��#����� @0 � ��;A

)� ���������;� 6�� ��� ������ �� ��������� D,��#���E� " ����;� 6������ �� ����� ���� �� ����

,� ��� ���� � � ��-�� ��� ������ � � =� � ������� ����������/ ��� � �� ������ ��8����� � ������ 6��/ �� � ���'/� �� ��8�������

Page 76: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

0%���-����

��� � 4 .9�/ � 4 2�� �3/ � 4 2�*� ��3� ����#� 6�� � 4 ��/���� 6�� �� ������ ��� �� � ?������ ���� �����������?/ � �����6�� �� #���� � � ����� ������ � ������ �� �

0%���-����

��� � 4 ��/ � 4 2�� �� �3/ � 4 2�� �� �3/ � 4 2�� �� !3� ,��� 6�� � 4��F�� ���� 6�� �� ������ ��� �� �� � ?������ ���� �����������?�+=�� 6�� ����� �� ������ �� 8� � �������#�/ ����� �������� ����� ��������� �'�������

��)���� �*�*� ��� � �� �������� ������� � ���

" 4 ���� ��� � � � � ��������� ��� " �� ���������� ���������� � � ����� �� �������� � " �� ��������� ��� �� �� ����� �������� �� "�

������ ��� �� ��� ���� �� ���������� ����������� � ����������� ������� �� �� ������ �� ����� � ����� ������ �� ��������� ��� �� �� ������ +�������� ��� � � ���������������

�'�����

��� � 4 ��� ��� " 4 �2�� *� *� �3� 2*� �� *� �3� 2*� *� �� �3�� �� ��� 6�� " � ������ ���� ��������������

������

�� ���� 6�� �<���� �� � � � ��� 6��

2�� *� *� �3 4 �2*� �� *� �3 F �2*� *� �� �3

���'��� � ��� ������������� & � ����� � ���� 6���<���� �� �� �� � � � ���� 6��

Page 77: Algebra lineal

�� ���� ������ ����� ����

2*� �� *� �3 4 �2�� *� *� �3 F �2*� *� �� �3 �2*� *� �� �3 4 �2�� *� *� �3 F �2*� �� *� �3

&��' �� ������ " � ������ ���� �������������

0%���-����

��� � 4 ��� ��� " 4 �2�� �3� 2�� �3�� "����� �� ����������� �������� "�

����#� �� �=���- '����� �'������> �����'� �� #���� �* 4 2*� *3� ������ �� �� � #������

� ��� ��/ ����

�� �* 4 2*� *3 4 2��32�� �3 F �2�� �3/ ����

�� �* 4 2*� *3 4 2��32�� �3 F �2�� �3/ ����

�� �* 4 2*� *3 4 *2�� �3 F *2�� �3

�� 2�3> �2�� �3 4 �2�� �3/ � � �4 */ ��� ������� 2�� �3 4��2�� �3/ � �����

2�� �3 4�

�2�� �3

��������> �� ������ " � ����

����#� 6�� �� � ���� =����/ ��� ����;� �� �� ��� ����� �� ������ �� #���� �*/ � ������ �� � #����� �� ������

�'�����

��� � 4 �� "����� �� ����������� ������ ��� ������

" 4 �2�� �3� 2�� �3� 2�� �3�

Page 78: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��

������

7�� �� ����� ����� �� ������ �� #���� 2*� *3

��� 2*� *3 4 �2�� �3 F �2�� �3 F �2�� �3� ���'>

* 4 ��F �� F �* 4 ��F �� F ��

,��� � 4 */ � 4 ���� &��'2*� *3 4 ���2�� �3 F �2�� �3 F *2�� �3� � � �

, � � 4 �

2*� *3 4 ��2�� �3 F � � 2�� �3 F *2�� �3���'

2�� �3 4 �2�� �3 F *2�� �3

"����� �� ������ " � ����

/���

"�� 8� � �� ������� �� ����������� ������ ������ ����������� 0=�� 6�� ������� ����� �������� � �� ��� ������� ���� ������������

+��� �� ������� ��� ���������-����� �� ����������� ������/ #�� �� �'������ ����������>

��)���� �*�*� ��� ���� ��� � � � � ��� �� ��� ���� �� �������� �� �������� � � ������ ���

*�� F *�� F � � �F *���� ��� ���%����� ����� ��-���

��)���� �*�*� ��*� �� ���������� �����������

��� �� ���������� ����������� � � �� � � �� �4 �*

Page 79: Algebra lineal

�% ���� ������ ����� ����

1�������� �*�*� ��� � �� ������ ������� ����� �� ��� " 4���� ��� � � � � ���� �������� ��� ����� ������

)� " �� ��� ����� �����������

,� � �� �4 *� �� � � �� ��� ���� F � � �F ���� F � � �F ���� 4 �*�

�����������

�� 2�3� 2�3>

��� " ������ ���� �����������/ ���' �<��� �� �� �� #���� 6�� �� �������� ������ �� � �� ��� ��� �������� �� '����������/ ���'$� 6�� �� � � �������� ������ �� � �� ��� ,���

�� 4 ���� F � � �F ����/ ����� ��� � � � � �� � �/ ���'

* 4 2��3�� F ���� F � � �F ����

���' ���� 2�3

�� 2�3� 2�3 >

����'� 6�� �<��� �� �4 */ �� � � ��� 6��

���� F � � �F ���� F � � �F ���� 4 �*

��� �������� �� '����������/ ���'� �� �4 *� &��'

���� 4 ����� F � � �F�����/ ���� 6�� �� �4 */ ����

�� 4�����

�� F � � �F �����

��/ ���' ���� 2�3

7����� �� �����

&� ��������> 2�3� 2�3 / � ��'��� ���� �6��#������ � �� ��������>�22�3� �22�3�

&��' �� �������� ������� � ��'��� ���� �6��#������ �� �'������������>

3������� �*�*� ��� � �� 4������� ������� � ���

" 4 ���� ��� � � � � ���

Page 80: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �!

�������� ��� ����� ����� �� �������� ������������

)� " �� ��� ����� ������������

,� ����� ��� ���� ������ �� ������� � ������ �*� � ������ ������� ��������� ��� ���� �

������ �� !���� ���� �� ��

���� F � � �F ���� 4 �*� �� 4 � � � 4 �� 4 *

�'�����

"� � 4 ��/ ������� " 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3�� "$����� �� ����������� ������ �� "�

������

��� �2�� �� �3 F �2�� �� *3 F �2�� *� *3 4 2*� *� *3� &��'

�F � F � 4 *� F � 4 *

� 4 *

�����

���' � 4 � 4 � 4 *� "����� �� ������ ����� �� ������ �� #����2*� *� *3/ � �� 8� � ���#���� &��' " � ����

�'�����

"����� �� ��/ �� ����������� ������ ��� ������

" 4 �2�� �� �3� 2�� �� �3� 2�� �� �3�

������

��� �2�� �� �3 F �2�� �� �3 F �2�� �� �3 4 2*� *� *3�

Page 81: Algebra lineal

%* ���� ������ ����� ����

�� �6��; ����� 6�� � 4 ��� � � 4 *� &��' ��� �� ���������� �� ������ �� #���� �* �>

2*� *� *3 4 ���2�� �� �3 F �2�� �� �3 F *2�� �� �3G � � �

� �����/ =�� �� �� ��� ����� �� ������ �� #���� �*� &��' " �����

1�������� �*�*� ��� � �� �������� ������� � ���������

)� ��� " � � 3 " � " ��� ����� ������������ �������� 3�� ��� ����� ������������

,� � �� ��� ���� �� �������� ������� � �*� �������� � ��� ���� �� ��� ����� �����������

-� ��� ���� ��� � � � � ��� �� � ���� ��� � � � � ��� �� ���� �������� � ����������� ��� �� ��� ��� � � � � ���

0� ��� ���� ��� � � � � ��� �� � ���������� ��� � �� �� ��������� ��� �� ��� ��� � � � � ��� �������� ���� ��� � � � � ��� �� �� ��

����������� �( 82�-��9

����������� �

(��� �� ������� ��� � �������� ������ ���� � ���#��� � >

��* F *�� F *�� F � � �F *�� 4 �*

����������� �

����'� 6�� " 4 ���� ��� � � � � ��� �� � ����/ ������ � ����������� ��� � �������� ������ ���� � ���#��� �� � ��� ��� �� ">

���� F ���� F � � �F ���� F �� 4 �*

Page 82: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� %�

�� � 4 * ������>

���� F ���� F � � �F ���� 4 �*

� � ���� ��� � � � � ��� � ����/ ���� 6��>�� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 *

���' " � ���� ������������/ ���' � �4 */ � �����/ ��� �������� �� �� ��� ��� ��������>

� 4���

��� F

���

��� F � � �F ���

���

� �����/� � � �������� ������ �� ��� ��� � � � � ��

����������� �

��� ���� F ���� F � � �F���� F �� 4 �*/ ���� 6�� � 4 * ��� � �� � �������� ������ �� � �� #�����/ ���'>

���� F ���� F � � �F ���� 4 �*

���' �� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 *�

�'�����

��� � �� I$����� #������� � ��� �� �� �� ������ �� #����� ����"����� �� ����������� ������ �� � #�����

$ 4 �F ��� 4 �F � � �� ' 4 � F ��

������

��� �$F�F�' 4 �*� &��' �2�F��3F�2�F���3F�2�F��3 4 �*/���' 2� F �3�F 2�� F � F �3� F 2�� F ��3� 4 �*�

��� 6�� ��� �� �� � ����/ =�� ��� ������ ����� �� ������ �� �* ����� �>

Page 83: Algebra lineal

%� ���� ������ ����� ����

� F � 4 *��F � F � 4 *�� F �� 4 *

�����

��� � � * *� � � ** �� � *

� ��

��� � * * ** � * ** * � *

&��' � 4 */ � 4 */ � 4 */ � ����� �'� $� � � ����

�'�����

��� � �� I$����� #������� � ��� �� �� �� ������ ���� "����� �� ����������� ������ �� �� �'������ 8� ���� �� #������

��� $ 4 2�� �3� F 2�� �3�� 4 � F 2�� � �3�G� � ��

������

��� ��F �$F � 4 �*� &��'

��F �22�� �3� F 2�� �3�3 F �2� F 2�� � �3�3 4 �*

" ����� ��F 22�� �3�F �3� F 22�� �3� F 2�� � �3�3� 4 �*�

��� 6�� ��� �� �� � �� ������ ����/ ������

� 4 *2�� �3� F � 4 *

2�� �3�F 2�� � �3� 4 *

�����

"� 8� � ��������/ ����

��� � * * ** �� � � ** �� � �� � � *

� 2���3

�� �� � 4 * � � 4 �

Page 84: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� %�

,��� ��� � * * ** * � ** * * *

� &��'

� 4 *� 4 *

� ��� �� � � .9

9�� ���-��� �� 2���3/ ���� �� $ 4 �*� 4 �� &��' ���� ��� � .9/ ���� *� F �$ F * 4 �*/ ���' ����*� � � ����/ ���'��� $� �� ����

�� �� � �4 * � � �4 �

2���3

��2�

���3��

��2�

���3

���� � * ** � �

��� *

* � � F � *

� ��

���� * * ** � �

��� *

* * ������� *

�� �� � � 4 * � �� 4 �

,���

� 4 *�F �

���� 4 *

�4� � 4 *

� 4 �����

�� � .9

&��' *�F �����$ F � 4 �*/ �� � .9/ �� 4 �� &��' ��� $� � � ���� ��

��� ��

�� �� �4 �

�� ��� �� ���� � 4 � 4 � 4 */ ���' ��� $� � � ����

��)���� �*�*� ��� " 4 ���� ��� � � � � ��� �� ��� ���� �� ���������� �� ������ ������� � � ������ ��� " �� �� ���'���� ��:������������� ����������� � ���� ��� � � � � ��� �� �� ��� ����� ����������� ���� ���� � � �

�'�����

��� � 4 ��� " 4 �2�� �3� 2�� *3� � �� ������ �<� �� ������ ����������������� �� � � "� �8���/ �� 2�� �3 � � � ����� ������� � 2�� �3 4 2�� �32�� �3 F �2�� *3� &��'

�2�� �3� 2�� �3� 2�� *3� � ���� �2�� �3 � ��

Page 85: Algebra lineal

%� ���� ������ ����� ����

��� &�� �� �� ����� #�������

+=�� #� � ������� �� � ��� � �� � ������ ���������7� � �������-�� �� ������ �� '�������� �� �� �����/ �� �������� �� ����������� �������

��� �� #� � ������� ��� ������ �� ��'��� �������������� �� ����� ������ �� ��� #����� � ��� �� �� �����

��� � 4 .9� � ������� �/ �/ � � � � &� ����� ��������� ���/ �/ � �� �� ���� � �� ���� �� �� �'������ ��� ���#�����>

0%���-����

����#� �� �'������ �'���>

& #����� �/ �/ � � ��� � ��������/ � ����� � ������������� ��� ����� 6�� ����� �� ��

����#� 6��>

, �� �� � -4 � 4, �� � -4, ��� -4, ��� -4, � -4, � -44, � -

"� ��� ��>

��� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��

Page 86: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� %�

� ������ ���� �����������/ ������ 6��

���� ���� ���� ������ ���� ��������������

���� 6�� � ������ ���/ ���/ ���/ � ?��� �� �?�

0%���-����

������� #����� � ��� �� � ��������/ � ����� � ������$���� ��� ��� ����� 6�� ����� �� � � � �� #���� 6�� � ���������� ��� ��

���� ��� � �������� ������ ���� �� � #����� �/ �/ �>

�* 4 ��F �� F ��

�������� ���� � ���� ����� � 4 *G ������ 6�� � � � ������ ��� ����

"� ��$����� '������ �� �� ��� #����� �>

, �� �� � -4, ��� -4, ��� -4 .9�

"� ��� �� ��� �� ��/ ��� �� � ������ ���� ����������� � ��� ��/��� ��/ ���/ ���/��� � ������ ���� ������������������ 6�� ��� ��/ ��� �� 8� ��/ ���� �� �� ���/ ��� ?��� ��.9�?�

Page 87: Algebra lineal

%� ���� ������ ����� ����

0%���-����

���� �/ �/ � ��� #����� � ���/ �� � ����� � =�� � ��� �� � � �����>

�� ����� �����>

��F �� F �� 4 �* �� �� �� � �4 *

&��' � �����>

, �� �� � -4 .9� 4, �� � -4, ��� -

+�� �� � ����� 6�� ��� �� �� ����G ��� �� ����G ��� �� ����G ��� �� �������� 6�� ��� ��/ ��� ��/ ��� �� 8� �� ?��� �� .9�?�

��)���� �*�*� �� ������ ���� 3 �� � � �� ��� ��� !���� ���%��� �� � � � 3 �� �� � 3 �� �� ��� ���� �� ����������� �� � �

1��%����

"� ��� ���/ �� � ���'���� 6��� �������� =����� ����� ��� � ������� �� ������ ���� �<� �� � ������ �� '�������� ��� ���

&� ������� � ��� ��6������/ ���� ���� �� �� �������� �'������>

1�������� �*�*� 53�������� �,�-������� � %���6

��� 3 4 ���� ��� � � � � ���� �������� ��� ����� ������

Page 88: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� %�

)� 3 �� �� � , ��� ��� � � � � �� -4 �

,� �� � � � ������ ����� ��� ��� � � � � �� � �� �� �� ����

� 4 ���� F ���� F � � �F ����

-� 3 �� �� ��� ���� ���� �� ������������

0� 3 �� �� ��� ���� ����� ��

�����������

2�34�2�3

��� 3 4 ���� ��� � � � � ��� ��� � � 4, 3 -� � �� ���� 6�� 3 � �������� ��� �� �� '�������� �� � � � =������ ( '����� 7� ���8���� �� ���� 6�� ��� ������ � ��� ���

����'� 6�� � � ��� ��/ � �����/ ���'� �� �������� ��'���������� 6�� 3 4 ���� ��� � � � � ����� '����� � / ���' �� � � ��$������ ������ �� ��� � � � ����/ � �����/ �� 4 ����F����F � � �F��������/����� �� � �/ ���' ���� ��� � � � � ��� � ���� ������������� &��' 3 � ��� ���

2�3 4� 2�3

����'� 6�� ���� ��� � � � � ��� � �� ������ ��� �� �� '����$���� � ���'� ��� �� 6�� ���� ��� � � � � ��� � ���� ��� ( 4���� ��� � � � � ��� ��� � 2�3 � ����� 6�� � 4 ���� F ���� F � � �F �����&��' ���� ��� � � � � ��� �� � ����/ ���' ���� ��� � � � � ��� � ���� �<� ��2�34�2�3

( � ���� ��� � ���� �<� ��

��� � � � �� #���� ����6������ ,��� 6�� ���� ��� � � � � ��� �� �����/ ���' � 4 ���� F ���� F � � �F ����/ ���' , ��� ��� � � � � �� -4 �

2�34�2�3

��� � 4 ���� F ���� F � � �F ���� � � 4 ���� F ���� F � � �F ����� ���� ������ �� ��

Page 89: Algebra lineal

%% ���� ������ ����� ����

&��' ���� F ���� F � � �F ���� 4 ���� F ���� F � � �F �����

&��' 2�� � ��3�� F 2�� � ��3�� F � � �F 2�� � ��3�� 4 �*�

��� 6�� ���� ��� � � � � ��� � ���� ���� 6�� �� � �� 4 �� � �� 4� � � 4 �� � �� 4 */ ���' �� 4 ��� �� 4 ��� � � � � �� 4 ��� "������<��� ��� ������ ����� �� ������� � #����� �� � �'��� �� �������� #����� ���� ��� � � � � ���2�34�2�3

2�3 � �� ���� ���� ��� � � � � ��� � ���� ��� ����F����F� � �F���� 4 *�

�� * 4 *�� F *�� F � � �F *��� "����� ���� F ���� F � � �F ���� 4*�� F *�� F � � �F *���

��� 6�� �� �������� � ������/ �� 4 *� �� 4 *� � � � � �� 4 *� &��' �����

2��3 ��� � � � / ������ � 4 ����F����F � � �F���� �� ����� ������/�� ���������� � 4 ���� F ���� F � � �F ����� � 2�3 � 2��3/ ���� 2�3

C� �� ���� 6�� 2�34�2�3/ 2�34�2�3/ 2�34�2�3 � 2�34�2�3/2�34�2�3� &��' �� ���� � ���� �� �����

��)���� �*�*� �� ���� ���� ������ ��� ��� ��� � � � � �� ��� ������������� �� �� ����� � ���� 3 4 ���� ��� � � � � ����

�'�����

��� � 4 ��� �� ��� 6�� 3 4 �2�� �3� 2�� �3� � ��� ��� �� ���

������

2�3 �� ��� 6�� 3 '����� ���

��� 2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� �3/ ����� �/ � � � ���'>

2�� �3 4 2� F �� �F ��3

�� ���� � 4 � � � � � 4 ��� �/ � �����>

2�� �3 4 2��� �32�� �3 F 2� � �32�� �3

Page 90: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� %!

2��3 �� ��� 6�� 3 � ���� ��� �2�� �3 F �2�� �3 4 2*� *3/ ���'>

2� F �� �F ��3 4 2*� *3

�� �6��; � �������� 6�� � 4 � 4 *�

��� 6�� �� ������ ����� �� ������� �� �* � ������ �� � � #������� 3 � �� 8� � ���#���/ � ����� 6�� 3 � ����

� 2�3 � 2��3 � ����� 6�� 3 � ��� ��� �� ���

&� � ������ �� �� #���� ����6����� 2�� �3 �'��� �� ��� 3 �>��� �� � � �� � ��� ��> 2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� �3

&��' �� #���� 2�� �3/ ����6����� �� ��/ � ����� ������� � � $�������� ������ �� 2�� �3 � 2�� �3�

1�������� �*�*� ��� � �� �������� ������� � ��������

)� ��� ����������� �� � ���� �� ��� ��������� ��� � ���� �� ��������������

,� ��� ����������� �� �������� �� �� ������ ��� �� ���� ��� ���� �������� �� �� ����������� ��� � ���� ���

�����������

��� 3 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ��� �� � ��� �� ���

� 4 ���� F ���� F � � �F ���� � � 4 ���� F ���� F � � �F ����

"�����>

� F � 4 2���� F ���� F � � �F ����3 F 2���� F ���� F � � �F ����34 2�� F ��3�� F 2�� F ��3�� F � � �F 2�� F ��3��

&��' � ����� 2�3� +�� ��>

� � � 4 �2���� F ���� F � � �F ����34 2���3�� F 2���3�� F � � �F 2���3��

Page 91: Algebra lineal

!* ���� ������ ����� ����

������ �� ��

��� � �� ����� � �����#�

�� 4 � � � � � � 4 �2��� ��� � � � � ��3G �� � ��&� ��� �������� �� �� �>

�� 4 2�� *� � � � � *3� �� 4 2*� �� � � � � *3� � � � � �� 4 2*� *� � � � � �3

�� 2��� ��� � � � � ��3 � ��/ ������ ����

2��� ��� � � � � ��3 4 ��2�� *� � � � � *3 F ��2*� �� � � � � *3 F � � �FF��2*� *� � � � � �3 4

4 ���� F ���� F � � �F ����

����� ���� �� � ����� � ��� ���� � �� ���

���� ���� ���

9������� 6�� ���� ����� ����� �� ��� � �� �������� ������� ��� 8� � �� � ���/ =���;� �� ���� �� ������ ����/ ��� ���������� ��� ������ � ������� �� ��� ��

�� �� � � �����/ �� ���/ 6�� �� �������� ��� ������ �� �������� �� '�������� � ������� �� ����� �������

@,� ������/ ������/ �������/ ������� �� ������ �� '��������A

��#�� ���� 6�� �� ������� �� ������ �� #�����/ �� ������������/ 6��������� � #����� ���/ � �� ������ ��� �� ��'��������/ ���' � ��� ����

,� ����� � #����� ������� � ����/ ���' 8� �� ��� ��� �������� �� ��������

�'�����

��� � 4 ��/ % 4, 2�� ����3� 2����%���3� 2�� �� �3 -� (�6�� ��� ��� �� % ��� #����� ����� ��������

Page 92: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� !�

������

��� � � ���� �% ��� � �

� �

�����

���������

��� � � ��* * ���* * �*

� �

�� ����

���

����

���� � � ��* * �* * �

� �

�����

���������

��� � � ** * �* * *

���� 6�� �� ?��� ��������? �� % � 3 4 �2�� �� *3� 2*� *� �3��

��)���� �*�*� ��� � �� ������ ������� � ������ ��� �� ���� ���� �� �������� �� � �� ���������� � � ������ �� ���� " �� ����� ����7� �� ������ ��� ����7 ���� ������

1�������� �*�*� ��� � �� �������� ������� � ��� ! � � � ��������� � ��� ���� ���� ����� �� ����������� �� ! �� ���� � ���������� ��� ���� �� !�

��)���� �*�*� �� ���� �� �� ������ ������� !������ ��� � ���� ���� �� �������� ���� ������ �� ����� �� %��� ���������� �� ������� �����������

3������� �*�*� 53������� ���� �� ������� �� ��%.�������6

���� !� + � � � � �� �������� ������� � �������� ! 4 + � � �� � ������ � ���� ���� ���� ������

�'�����

"� ��/ ��6�� �� ��� �������� ��� ��$����� #������� ��$���� ��

! 4 �2�� �� 3G ��� �� � 4 *�

Page 93: Algebra lineal

!� ���� ������ ����� ����

������

,��� 6�� 4 �� � ��/ ���' � ��� ��� �� ! ������ �� 8� �� 4 2�� �� ��� ��3� +�� ��>

2�� �� ��� ��3 4 �2�� *� �3 F �2*� ����3&��' �� ������ 3 4 �2�� *� �3� 2*� ����3� � �� ������ �� '����$���� �� ! � ���� 6�� ����� �������/ 3 � �� ��� ���������� !�

�'�����

"� ��/ ��6�� �� ��� �������� ��� ��$����� ! '������ ���� ������ �� #����� �2�� �� �3� 2�� �� �3� 2�� �*� !3� 2�� ����3�

������

������ � �� � �� �* !� � ��

���������2��3��

������

������ � �* * ���* * ���* * ���

� ��

������ � ** * �* * ** * *

&��'/ �� ��� �������� �� ! � �2�� �� *3� 2*� *� �3��

�'�����

"� ��/ ��6�� �� ��� �������� ��� ��$�����

! 4 �2�� � � F ��� �F � F � F ��� ��F � F � F ��� ��F �FF� F �*�3G �� �� � � � ��

������

,� ��� ��� �� ! � ��� ������� �� �� 8� �>

� 4 �2�� �� �� �3 F �2��� �� �� �3 F 2��� �� �� �3 F �2�� �� �� �*3

Page 94: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� !�

���'

! 4, 2�� �� �� �3� 2��� �� �� �3� 2��� �� �� �3� 2�� �� �� �*3-

+� ������� ��� ������ �� #����� ���� �� ��� �������� 3/

3 4 �2�� *� ��� �3� 2*� ��

�� �3�

�'�����

��� � 4 ��� !� + � � / ������ ��>

! 4 �2� F ��� ��F ��� ��F �*�3G �� � � ��+ 4 �2��F ��� ��F ��� ��F ��3G �� � � ��

"����� �� ����� �'������ �� �� � ��$������

������

! 4, 2�� �� �3� 2�� �� �*3 -G + 4, 2�� �� �3� 2�� �� �3 -� + � ��$���� �� �� ������� ������ �� � � ��� �������� 3 4�2�� �� *3� 2*� *� �3�/ ���' ! 4 + �

2������ �*�*� 5�� ���� 6 ��� � �� �������� ������� � ������� ��� � � � � ��� �� ��� ���� �� � ���� ��� � � � � ��� �� ��� ���� ������������� �� � � �������� ����� ��� ���� �� � �� � !�����

���� ��� � � � � ��� ���� ���� � � � � ����� ������ ��� ��� � � � � �� � ��� �� � � � � ��

�����������

��� ! 4, ��� ��� � � � � �� -

�� ,��� � ����������>

Page 95: Algebra lineal

!� ���� ������ ����� ����

2�3 �� �, ��� ��� � � � � �� -4 !/ �0 4 �� �� � � � � �� "����� ��$�� 6�� ! 4 � � ���� ��� � � � � ��� 8� �� ��� ��� ��� �

2�3 "<��� ��� 6�� � ��������� � !� "� ��� �� ���� 6��

���� ��� � � � � ��� ���� � ������� !� 4, ��� ��� � � � � ��� ��� -

�� 0��#� ���� ���� � ����������>

2�3 !� 4 � / ������ ���� ��� � � � � ��� ���� � ��� ��� �� �

2�3 !� �4 � / ������ �<��� ��� 6�� � ��������� � !�� "� ����� ���� 6�� ���� ��� � � � � ��� ���� ���� � ����

"� 8� � �����'� � ������� !� 4, ��� ��� � � � � ��� ���� ��� -�

&��' �� �� ��� �� ���� �� �� � ��� � �/ � ������ �� ����������

����� ���������� �� �� ��� � ��������

��� � �� �$����� #�������� ��� ���� ��� � � � � ��� �� ������ ���� ��� ���� ��� � � � � ��� ��� ��� �� � / ������ �<��� ��� ��� �� � ���� 8� �>

���� ��� � � � � ��� ���� ���� � � � � ����� ����� ��� ��� � � � � �� � ��� �� � � � � ��

�'�����

�����'� ��� ��� �� �� 6�� �����'� �� ������ �� #�����" 4 �2�� �� �� �3� 2�� �� �� *3�

������

&� ��� �������� ��� ����� '������ �� " �

3 4 �2�� *� �� ��3� 2*� �� *����3�

Page 96: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� !�

&��' ��� ��� �� � 6�� ������� � #����� �� " �

( 4 �2�� �� �� �3� 2�� �� �� *3� 2*� *� �� *3� 2*� *� *� �3� ��� �� � ���'�� � #����� �� �� ��� �������� �� �� 6�� �������� � �� ��'��� ������ �� � ��� ��� ��;���� �� 3�

�'�����

(�6�� ��� ��� �� ��J�K 6�� �����'� �� ������ �� #�����

" 4 �� F �� � ����� �� �� F���

������

&� ��� �������� ��� ����� '������ �� " �

3 4 �� F �

��� � ���� � � �

%�� ����

�� �� � � ����� 6�� �� �� �� ������� � ���'� ��� ��� 6�������'� � #����� �� �� ��� �������� �� ��J�K 6�� ������ �� � ����'��� ��8������ �� � ��;���� �� �� ��� 3� "����� � =� ���'���� ���

( 4 �� F �� � ����� �� �� F��� ��� ���

�'�����

��� � 4 �� � ! 4 �2� F � F ��� �F ��� � F �� � F � F ��3G �� �� � � ���� ��$����� �� � � (�6�� ��� ��� 3 �� ! 6�� �����'� ��#���� � 4 2*� ����� *3 � ��� ��� ( �� ! 6�� �����'� �� #����� 4 2�� �� �� �3

������

"� ������ ������� �� '�������� �� ! �

" 4 �2�� *� �� �3� 2*� ����� *3�

Page 97: Algebra lineal

!� ���� ������ ����� ����

"����� � 8����� � ������ �� #����� �� �� ��� �������� �� !/���'���� #����� 6�� ���'�� �� ��� ��� ��;��� �� �� ��'�� ������ ����� #���� � 4 2*� ����� *3� �� ����� ��; �� ���

3 4 �2*� ����� *3� 2�� *� �� �3� ��� �� ��� (/ ����

, 2�� �� �� �3 -4, 2���

���

�� �3 -

&� ��� ������ ����� �� ( 4 �2�� �� �� �3� 2*� ����� *3�

�'�����

��� � 4����2�3� ! � � ������ ��

! 4 �� �

��F �

��� � ��� �F � �

� � �

�G �� �� �� � � .9�

(�6�� ��� ��� �� ! 6�� �����'� � #�����

� 4�� �� *� � �

�� � 4

�� * *� � �

������

5� ������ �� '�������� �� ! �� �* * �* * *

��� �

��� *

� * *

��� �

��� *

* � *

����� � ** * �

� �

&� ��� �������� �� ! �>� �� * ** � �

���* � ** � �

���* * �* * *

���* * *� �� *

� �

&� ��� �������� ��� ������� '������ �� � � �/ �� �* � *� � �

���� * *� � �

� �

&��' ��� ��������� ���� 3 �>� �� �� *� � �

���� * *� � �

���* * �* * *

���* * *� �� *

� �

Page 98: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� !�

��! �� ����� �� �� ����� #�������

����/ � ���� 6�� #��� � ��������� 6�� �� �� � ����� �6�� ������� �� ��� ������/ � �������� ���� 6�� ��� ���-�����#������� �� ������� ����� �� ��� �� � ��� �� �-��������

� �� ���/ =� #�� 6�� ��� �� ��� �� ��/ � �$����� #�������/ ������ � ��� ����

" ����� �� ��� �� �� ��� ��� �� ���� ��� � ?��#�������? �� ���

@����� ����� 6�� �� ��/ ��� �� ��� ������ � ��� ���A�

@� � �H �� �� �$����� #������� � / �������� 6�� ��� �� ��� ������� � � �������� �� ��� ���A�

" �����/ �� � ���'���� � �� ��� �� �� ��� ��� �� �� ��8��������� �� �� ����� #������� � �� ��#��������

.��������� ���'���� @�����A�

(���/ ��� ������ � �� �� ������� � �� ���'�����

� ���� �� �� �� � � ���' �� ���� � 6�� ����� �� �������� ��� ���'�����

����

��� 3 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ��� �� �� ����� #������� � ��� ��

��� � � � ��� 6�� � 4 ����F����F � � �F����F � � �F����/ �� ��'����� �4 *�

"����� �� ������ ( 4 ���� ��� � � � � ����� �� ����� � � � � ��� �� ����� ���� ��� �� 7�

�����������

��� �������� �� '����������/ ���'� �� �4 *� "� ��� ��

( 4 ��� ��� � � � � ���/ ���' �� 4 ���� �F����

� ���� F � � �F����� ����

2�3 �� ��� 6�� ( '����� 7�

Page 99: Algebra lineal

!% ���� ������ ����� ����

��� � � � � "�����>

� 4 ���� F ���� F � � �F ����/ ����� ��� ��� � � � � �� � ��

&��'

� 4 ��2���� �� ���

� ���� � � � � � ���� ����3 F ���� F � � �F ����

4 ������ �F 2������

��� F ��3�� F � � �F 2����

� ���� F ��3��

" �����/ � �, �� ��� � � � � �� -/ � ����� ��� ��� � � � � ��� '����� 7���3 �� ��� 6�� ( � ����

�����F ���� F � � �F ���� 4 *

&��'�2���� F � � �F ����3 F ���� F � � �F ���� 4 *

�� ����

2���3�� F 2��� F ��3�� F � � �F 2��� F ��3�� 4 *

�� ( � ����/ ������>

��� 4 *��� F �� 4 *� � � � � � � � � � � � ���� F �� 4 *

���������

�� �3 ���� � 4 */ ��� =� ����� �� �4 *� 9�� ���-����� �� �������� 2�3/� � � / 2�3/ � ����� �� 4 *� * 4 �� � � � � �� &��'��� ��� � � � � ��� � ����

�'�����

3 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3� � ��� ��� �� ���

,��� 6��>

2�� �� �3 4 �2�� �� �3 F �2�� �� *3 F *2�� *� *3

Page 100: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� !!

"����� ( 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3� � ��� ��� �� ��/ ����/

4 4 �2�� �� �3� 2�� �� �3� 2�� *� *3����� � ���'/ �� ������ " 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� �� �3� � � ������ �� ��

����

����'� 6�� �<��� ��� ��� �� � �� � #������ �� 3 4���� ��� � � � � ��� � � ���� � ��� � #�����/ ������ 3 � ������ �� � �

�����������

��� ( 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ��� ��� �� � � "�����>

�� 4 ���� F ���� F � � �F ����

����� ��� ��� � � � � �� � �� ���� 6�� �� � � ���/ ��� 3 �����/ ���' �<��� ��'��� �� � �� * � ��� � � � � �� � ���� ��� �������� ��'����������/ ���'� �� �4 *� "� �� � ������� � ��'��� 6������ ��� � � � � ��� � ��� ��� �� � � &��' �� � � �������� ������ ����� ��� � � � � ��/ ���' �<���� ��� ��� � � � � �� � �� ��� ���� 6��>

�� 4 ���� F ���� F � � �F ����

�� �� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 */ � ������;� �� �4 * / ���' ���� ��� � ����/���' ���� ��� � � � � ��� ����/ � ���� � ��� ������������� &��' �<����� �� �� �� � ���/ 0 � ��� � � � � �� ����'� 6�� �� �4 */ ���'���� ��� ��� � � � � ��� � ��� ��� �� � � 9�������� ����#� ���� �������/ ���� 6�� ���� � � � � ��� � ��� ��� �� � �

����

����'� 6�� �� � �<��� ��� ��� �� � #������ "����� ���������� �� � 6�� �� ���� ����� � � �� � #������

Page 101: Algebra lineal

�** ���� ������ ����� ����

�����������

����'� 6�� �<��� ! 4 ���� � � � � ��� ����� � � � � �� � 6�� ���'� #�����/ �� - � � 6�� �� ���� "����� 3 4 ���� � � � � ��� ����� �#����� � � �� ������ ����/ ���' 3 � ��� ���/ �� �� �� � ��������&��' �<���� ��� ��� � � � � �� � � ��� 6��>

���� 4 ���� F ���� F � � �F ����

���' ���� ��� � � � � ��� ����� � ����/ � 6�� � ��� ������������ �� =��=6�� ! � ���� &��' � ����� � � �� � #����� ����

2������ �*�*� 5�� �-������6 ��� � �� �������� ������� � �� ���� ��� ���� ��� �� ������ "��� �� � �������� �������� �������� ���� ���� � ���� ������ �� � ��������

�����������

���� 3 4 ���� ��� � � � � ��� � ( 4 ���� ��� � � � � ��� � ��� ���$��6����� �� 7�� 3 � ��� ��� �� � � ( � ���� ������ � � �� +����'� ����/� ( � ��� ��� �� � � 3 � ����/ ������ � � �� &��' �4 �

/���

"�� ���� � � ��� � �� �-������/ ��� � ���� 6�� �� ��� �� ����� ��� �� ��� ��� � #���;� �� �� ��8������ ��� �� �� �����#��������

��)���� �*�*� �� ������ ������� �� ��� �� ������� )���� ����� ��� ���� ��� �� ������ "��� �� � �������� �� ���� ���������� ��� ��� �� �� ������ �� ������� �)����

�'�����

�� � �� �$����� #������� �� �� ����� �����/ ���>

3 4 �2�� �3� 2�� �3�

Page 102: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �*�

� ��� ��� �� .9� ��� .9�

�'�����

�� � �� �$����� #������� �� �� ����� �����/ ���>

3 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3�

� ��� ��� �� .9� ��� ��

�'�����

.9J�K � �� ����� #������� �� �� ����� ������� ��� .9/ ��� � ������ ������� ��� ��� 6�� ���'� �� ��� �� ���� �� ��� ����"� �8���/ ���'� 6�� �<��� �� ������ ���� 3/ ��� 6��>

3 4 �5�2�3� � � � � 5�2�3�

� �� ������ �� '�������� �� .9J�K ��

� 4 ��< � '25�2�33� � � � � '25�2�33�/������/ �� ��� ��/ �� ���� � 5 2�3 4 � F� F���� � � ���� �������� ������ �� 5�2�3� � � � � 5�2�3� &��' � � ����� ��������� ������ ���� �� '���������

��)���� �*�*� ��� � �� �������� ������� �� ������� "������ ��� ������� �� � � ������ �� � ������� �� ��� * ���� ����� ����& ���� �� � �

/������( �*���

�'������

�*� �.9� 4 �� �*� �.9

� 4 �

Page 103: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

"������� �� ����� #�������� � ���

�'�����

��� � 4 � � � 4 .9� "�������� ��� ��� �� � ��� .9�

������

�)������( 3 4 ��� *� � ��� ��� �� � ��� .9

5� ��� ��� ����6����� �� � ����� �� 8� � � F �* � ���� 6���F �* 4 � � � F � � * ���' 3 '����� � ��� ��

+�� ��/ �� � � � F � � * 4 *� F ** ���' � 4 * � � 4 * ���' 3 � ����

� �����/ 3 � ��� ��� �� � ��� .9�

�'�����

��� � 4 �� 4 � � � � 4 �� (�6�� ��� ��� �� �� ��� ��

������

�)������( " 4 �2�� *3� 2*� �3� � ��� ��� �� �� ��� ��

&� 8� � ��;���� �� �� ��� ��� �� �� � 2� F �*� � F �*3 �� ���� �������>

2�F �*� �F �*3 4 2�F �*32�� *3 F 2�F �*32*� �3

&��' " '����� �� ��� ��

�� ��� 6�� " � ���� ��� �� ��� 2�F�*32�� *3F2�FÆ*32*� �3 42*� *3/ �� �� �� �� Æ � .9� 0���� 6�� ��� �'������ ���� �� ��� &��'� F �* 4 * F ** � � F Æ* 4 * F **/ 2� �� �'������� �� �3/ ���'� 4 � 4 � 4 Æ 4 *� &��' " � ��� ��� �� �� ��� � � �*���

� 4 ��

0���� 6�� � ������� ����� �� �/ ���' �*��� 4 �

Page 104: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �*�

�'�����

��� � 4 �� 4 � � � � 4 .9� (�6�� �� �� ����� �� �� ���.9

������

�)������( " 4 �2�� *3� 2*� *3� 2*� �3� 2*� *3� � ��� ��� �� �� ���.9�

&� 8� � ��;���� �� �� ��� ��� �� �� � 2�F�*� �F�*3/ �� �� �� �� � � .9�� ���� � ������>

2�F �*� �F �*3 4 �2�� *3 F �2*� *3 F �2*� �3 F �2*� *3

&��' " '����� �� ��� .9�

�� ��� 6�� " � ���� ��� .9�

��� �2�� *3F�2*� *3F �2*� �3F Æ2*� *3 4 2*F**� *F**3/ 2��� �'���������� �� ��3/ ���' 2� F �*� � F Æ*3 4 2* F **� * F **3/ ���' � 4 � 4� 4 Æ 4 *� �� ����� 6�� " � ��� ��� �� �� ��� .9 � �*� ��

� 4 ��

�'�����

��� � 4 �� � � 4 �� (�6�� �� �� ����� �� �� ��� ��

������

�)������( " 4 �2�� *� *3� 2*� *� �3� 2*� *� �3� � ��� ��� �� �� �����

&� 8� � ��;���� �� �� ��� ��� �� �� � 2�F �*� �F �*� �F �*3/ �� ����� ������>

2�F�*� �F�*� �F�*3 4 2�F�*32�� *� *3F2�F�*32*� �� *3F2�F�*32*� *� �3

����� 6�� " � �� ������ ����

Page 105: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

�'�����

��� � 4 �� � � 4 .9� (�6�� �� �� ����� �� �� ��� .9

������

�)������( " 4 �2�� *� *3� 2*� *� *3� 2*� �� *3� 2*� *� *3� 2*� *� �3� 2*� *� *3�� ��� ��� �� �� ��� .9 � �*� ��

� 4 ��

(���/ �� �� ������� 6���� ���� �� � ���������

�'�����

��� � �� ����� #������� �� �� ����� � ��� �� �� ��� 6��� ����� �� ����� �� ��� .9�

������

��� " 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ��� �� � ��� �� &��' � � � ������� �� �� 8� �>

� 4 2�� F ��*3�� F 2�� F ��*3�� F � � �F 2�� F ��*3��4 ���� F ���� F � � �F ���� F 2��*3�� F 2��*3�� F � � �F 2��*3��4 ���� F ���� F � � �F ���� F ��2*��3 F ��2*��3 F � � �F ��2*��3

&��' 3 4 ���� ��� � � � � ��� *��� *��� � � � � *��� '����� � ��� .9�

��� ���� F ���� F � � �F ���� F ��*�� F ��*�� F � � �F ��*�� 4 * F **

&��'

2�� F *��3�� F 2�� F *��3�� F � � �F 2�� F *��3�� 4 * F **

�� ���� ��� � � � � ��� � ���� ��� �/ ���'

�� F *�� 4 * F **� �� F *�� 4 * F **� � � � � �� F *�� 4 * F **

�� ��������� �� �'������ �� ��� �� � ����/ ����

Page 106: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �*�

�� 4 �� 4 * 4 �� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 ��

&��' 3 4 ���� ��� � � � � ��� *��� *��� � � � � *��� � ���� ��� .9�&��' 3 8� � ��� ��� ��� .9� "����� � ����� �� ����� ����� .9�

��' �� � �� �� ����� #��������

0�� #� 6�� �� ����������� �� � ��$����� #�������� ��� ��$����� #��������

5� � ���'���� � ����� � � �� �� ����� �� � ��$������+ � ��� #���/ @D���������EA/ ������ 6�� ��

"����� � � � 8���� @����� ���;� �� �� ��6��B� ��$����� 6��������� � �� ����� �� � ��$�����A

(���/ �� �� � ����� ��� �������

� ���� �� ������� �� ��� �� ������ @,� ��� �A/ D7� E�

0%���-����

"� .9�/ ������� ! 4, 2�� �3 - � + 4, 2�� �3 -/ @ " ! � + ����$����� #������� A�

,��� 6�� 2�� �3 � ! � + � +�� �� 2�� �3 � ! � + � ��� � ���'/2�� �3 F 2�� �3 4 2�� �3 #� ! � + � &��' ! � + � � �� ��$�����#��������

@ ������ ! � + � �� ��$����� #������� A

@ ����� � �� ��$����� �� ��6��B� 6�� ������� � ! � + A

, 2�� �3� 2�� �3 -4 ��2�� �3 F �2�� �3G�� � � .9� 4 �$ F G $ � !� �+� 4 ! F +

"�� ��$����� ���� ������� ��� �� � �������� ������� ��2�� �3 � 2�� �3� @ ����� ������ ��2�� �3 F �2�� �3G �� � � ��A

Page 107: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

��)���� �*;*� ��� � �� �������� ������� � ���� !� + � � � ��������� �� ��"�� � ��� ����

! F + 4 �$F G $ � !� � +�

1�������� �*;*� ���� ! � + ��� ����������� �� � � �������� !F+�� �� ���������� �� � �

�����������

�3 ! F + �4 � ��� * F * � ! F +

��3 ���� �� � � ! F + / ���' � 4 $F � � 4 $�F �/ ����� $� $� � !/����� � � � + � ,��� 6��>

�F � 4 2$F 3 F 2$� F �3 4 2$F $�3 F 2F �3

6�� � �� ��� ��� ��;��� �� !F+ � &��' !F+ � ������ ������ � ��

���3 ��� � � !F+ / ���' � 4 $F ����� $ � !/ ����� � + � +=������

�� 4 �2$F 3 4 �$F �

�� ���� � �� ��� ��� �� ! F + �

� 2�3/ 2�3/ 2�3/ ! F + � �� ��$����� �� � �

��)���� �*;*� � ���������� ������� ! F + �� ����� �� ��%.������ ���� �� ! � + �

1�������� �*;*� ��� � �� �������� ������� � ���� !� + � � ��������� ! F + �� � ��� �����6�� ���������� �� � ��� ������� �! � +

Page 108: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �*�

�����������

2�3 �� ��� 6�� ! � + ! F + �

� � ! � + � � 4 $/ ����� $ � !/ ���� � 4 / ����� � + � &��'� 4 $F* � !F+ ���� � 4 *F � !F+ / �� � � �� � � !F+

2��3 �� ��� 6�� �� ��$����� #������� 6�� ������� � ! � +���� ������� � ! F + �

��� . � � ��� 6�� !� + � .� ��� $ � ! � � + / ���' $ � . � � ./ ���' $ F � ./ ��� . � �� ��$����� #�������/ ���'�� ��� ��� �� �� 8� � $F ��������� � .� "� 6����� ����� 6��! F + .�

3������� �*;*� ! + � ! F + 4 +

�����������

�3

! F + � �� �� ��6��B� ��$����� 6�� ������� � ! � + / ���! �+ 4 + � +�� �� + � �� ��$����� #������� � � �� �� ��6��B�6�� � ������� � � � / ���' ! F + 4 + �

3

! ! � + ! F + 4 +

/���

���� !� + � � �� ��� 3 � ( �������#� ����� "�����>

! F + 4, 3 � ( -

�'�����

��� � 4 ��/ ! 4, 2����� �3� 2�� �� �3 -/ + 4, 2����� �3� 2�� �� *3 -�(�6�� �� ��� �������� �� ! F + �

Page 109: Algebra lineal

�*% ���� ������ ����� ����

������

! F + 4, 2����� �3� 2�� �� *3� 2����� �3� 2�� �� �3-������ �� �� � �� �� �� � *

��

������ �� �* � �* * ** � ��

� ��������

������ �� �* � �* * ** * ��

������ * ** � ** * ** * �

&� ��� �������� �� ! F + � �2�� *� *3� 2*� �� *3� 2*� *� �3�

�'�����

��� % 4 ���

���� ! 4, 2�� ����� �3� 2�� �� �� *3 - / + 4, 2�� �� �� �3� 2*� ����� *3 -(�6�� �� ��� �������� �� ! F +

������

���� 6��>

! F + 4, 2�� ����� �3� 2�� �� �� *3� 2�� �� �� �3� 2*� ����� *3-������ � �� �� � � *� � � �* � �� *

� ��

������ � �� �* � � ��* � � ��* � �� *

� ��

������ * * �* � � ��* * * ** �� � *

�������

������ * * �* � � ��* * * ** * � ��

��

������ * * �* � * ��

* * * ** * � ��

&� ��� �������� �� ! F + �> �2�� *� *� �3� 2*� �� *����3� 2*� *� ����

�3�

Page 110: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� �*!

0%���-����

��� � 4 ��/ ! 4, 2����� *3� 2�� �� �3 -/ + 4, 2����� �3� 2�� �� *3 -/�*�! 4 �� �*�+ 4 ������� �� *� � �� �� �� � *

��

������ �� ** � �* * ** � *

��

������ * ** � ** * �* * *

&��' �*�2! F + 3 4 �

(�6�� ! � + � ��� � � ! � + / ���'

� 4 �2����� *3 F �2�� �� �3 4 �2����� �3 F �2�� �� *3

� F � 4 � F ���� F �� 4 �� F �

�� 4 �

�����

2�3 �� 2�3 >2�3 �� 2�3 >

� 4 �� F ���� 4 ��� F �

+ �� ��� ��� ��������/ ����� �� � #��� �� �'����� ,��� �� 4���/ � �����/ � 4 ���

&��' � 4 ��2����� *3 F �2�� �� �3/ � ����� � 4 �2����� �3/ �� ����! � + 4, 2����� �3 - � �*� ! � + 4 ��

9����� 6�� �*� !F �*� + 4 �*� !F+ � �*� ! �+ � @��������� ���� ���A

5� �����> �� �� � �/ ����� 6�� � ������� #�����/ ������ =��6�� ������� �� ������������ D ����� �#�E� (���/ ��� �=���- '��������� �������� �� �� �'������ ���� ��

2������ �*;*� ���� !� + � � � ���������

�*�2! F + 3 4 �*�! F �*�+ � �*�2! � + 3

Page 111: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

�����������

��� 3� 4 ���� ��� � � � � ��� ��� �� ! � +

� 3� � ������ ���� �������������/ ������ �� �� ������ ������� � �� �������->

2�3 � ��� ��� � � � � � � ! ��� 6�� 3� 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ��� � � � � � � ���� ��� �� !�

2�3 � ��� ��� � � � � �/ �� + ��� 6�� 3� 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ��� � � � � ��� ��� ��� �� + �

�� ��� 6��>

3 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ��� � � � � ��� ��� ��� � � � � �� � ��� ��� �� !F+ �

2�3 � �� ���� 6�� 3 '����� ! F + >

��� � � ! F + / ���' � 4 $ F / ����� $ � ! � � + �

&��'>

� 4 2���� F � � �F ���� F ���� F � � �F � � 3F2��

��� F � � �F ����� F ���� F � � �F ��3

4 2�� F ���3�� F � � �F 2�� F ��

�3��F���� F � � �F � � F ���� F � � �F �� �, 3 -

2��3 � �� ���� 6�� 3 � ����

���� F � � �F ���� F ���� F � � �F � � F ���� F � � �F �� 4 �*

� ����F� � �F����F����F� � �F� � 4 ������������ � ���� � !�+� ����� � ���� � � � � � �� � ! � +

� ����� � � � � � �� 4 ��� F � � �F ��� F � � �F ���

� ���� F � � �F �� F ��� F � � �F ��� 4 �*

� �� 4 � � � 4 � 4 � 4 � � � 4 � 4 *

9�� ���-��� �� 2���3 ���� 6��>

���� F � � �F ���� F ���� F � � �F � � 4 �*

"����� �� 4 � � � 4 �� 4 �� 4 � � � 4 � 4 *

Page 112: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ���

&��' 3 � ����/ �� 2�3 � 2��3 � ����� 6�� 3 � ��� ��� �� ! F + �

&��' �*�2!F+ 3 4 'F$FG �*�! 4 'F$/ �*�+ 4 'F/ �*�!�+ 4 '

' F $F 4 2' F $3 F 2' F 3� '

&��' �*� ! F + 4 �*� ! F �*� + � �*� ! � +

�'�����

������� � ��$����� �� ���

! 4, 2�� *� �� *3� 2*� �� *� *3 -G + 4 �2�� �� � 3G �F � 4 *�(�6�� ��� ��� �� ! � + � ! F + �

������

��� � 4 2�� �� � 3 � + ���'>

2�� �� � 3 4 2����� � 3 4 �2����� *� *3 F 2*� *� �� *3 F 2*� *� *� �3��������

� * � ** � * *� �� * ** * � ** * * �

��������

��������

� * � ** � * ** �� �� ** * � ** * * �

��

��������

� * * ** � * ** � * ** * � ** * * �

��

��������

� * * ** � * ** * � ** * * �* * * *

�� �*�2! F + 3 4 �

� 4 � F �� �*�2! � + 3� �*�2! � + 3 4 �

0������ �������� � � ! � + / � �4 �*

� 4 �2�� *� �� *3F�2*� �� *� *3 4 �2����� *� *3FÆ2*� *� �� *3F62*� *� *� �3

&��'/ 2�� �� �� *3 4 2����� Æ� 63/ �� ���� � 4 �� 4 � 4 Æ/ 6 4 *

Page 113: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

"����� ����

� 4 �2�� *� �� *3� �2*� �� *� *3 ����/

� 4 �2����� *� *3 F �2*� *� �� *3 F *2*� *� *� �3

&��' ! � + 4, 2����� �� *3 -

/���

+=�� #� � ���� �� �������� �� �6���� ��$����� ���� �����$������ ����� ��� � ��*��

��)���� �*;*� ���� !� + � / ����������� �� � � ������ ��� ������������ / �� � �� ���� ������ �� ��� ��%.������� ! � +��

)� / 4 ! F +

,� ! � + 4 ��*��

/������( / 4 !�

+

�'�����

��� � 4 ��� ! 4 �2�� *� *3G � � ��� + 4 �2*� �� 3G �� � ���"�����/ �� ��� 6�� !

�+ 4 ��

������

2�3 �� ��� 6�� �� 4 ! F +

��� � � �� ���' � 4 2�� �� 3 4 2�� *� *3 F 2*� �� 3 ���' 2�� �� 3 ������� � �� #���� �� ! �� �� #���� �� + � &��' �� � ! F + /���' �� 4 ! F +

���� ����� �� #��� ���;� �� �'������>

Page 114: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ���

! 4, 2�� *� *3 - � + 4, 2*� �� *3� 2*� *� �3 -�

&��' ! F + 4, 2�� *� *3 - F , 2*� �� *3� 2*� *� �3 - � ��� ����� ���

2��3 ��� � � ! � + / ���' � � ! � � � + � &��' � 4 2�� *� *3 �� 4 2*� �� 3� &��' 2�� *� *3 4 2*� �� 3 � � 4 */ � 4 */ 4 *� � 4 �* 4 2*� *� *3

"����� �� 4 !�

+

�'�����

������� � 4 ���/ 4 �2�� *� 3G �� � ��� ! 4, 2�� *� �3 -/+ 4, 2�� *� �3 -�

�� ��� 6�� / 4 !�

+ >

2�3 �� ��� 6�� / 4 ! F + >�� * �� * �

��������

�� * �* * ��

��

�������� * �* * �

���������� * ** * �

�� �� ����� �2�� *� *3� 2*� *� �3� � ��� ��� �� / ��� � #������ ���� � ��� �� 2�� *� 3 4 �2�� *� *3 F 2*� *� �3� &��' / 4 ! F +

���� ����� �� �� ���� 6�� / 4 ! F + � �� �'������

������� � � / � =��� �� �'������ ��� �����>

2�� *� 3 4 �2�� *� �3 F �2�� *� �3� ����� �� � � �

&��' 2�� *� 3 4 2� F ��� *� ��F �3

�� ���� � ������� 6�� � 4 � F ��� 4 �� F �

"�����

� 4� � �

�� � 4

���

&��' ���� >

Page 115: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

2�� *� 3 4 2� � �

�32�� *� �3 F 2

���

�32�� *� �3 � ! F +

" ����� � 4 $F / ����� $ � !� � + � &��' / 4 ! F +

+=�� ���� �� ���� 6�� ! � + 4 ��*�� � ! � + � � � ! � � � + � � 4 �2�� *� �3 � � 4 �2�� *� �33

� � 4 2�� *� ��3 � � 4 2��� *� �3� 22�� *� ��3 4 2��� *� �33

� � 4 ��� �� 4 �� � � 4 2*� *� *3/ � ����� / 4 !�

+ �

��)���� �*;*� ��� ����������� ! � + �� �� ���������� ������� � �� ���� ���������� ������������ ���

! � + 4 ��*�

/���( �� !�

+ � ������� ������ ! � + � ���� � �

��)���� �*;*� � !�

+ 4 / �������� ! � + ��� ������ ��%.������� ������������� ����� �$ �� / �

�'�����

�� 4, 2�� �3 -�

, 2�� �3 -�

, 2�� �3 - � ���� ������ �� , 2�� �3 - �� �� � , 2�� �3 - ����� ������ �� , 2�� �3 - �� ��

0%���-����

����>

! 4, 2�� �� * -� + 4, 2*� *� �3� 2*� �� *3 -�% 4, 2�� *� *3� 2*� *� �3 -

,��� ������ 6�� �� 4, 2�� �� *3 -�

, 2*� *� �3� 2*� �� *3 -

,� �����>

�� 4, 2�� �� *3 -�

, 2�� *� *3� 2*� *� �3 -

�� ����� �� 4 !�

+ � �� 4 !�

% � + �4 %

Page 116: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ���

�'�����

����2�3 4,�� ** *

�-��� * �

�G �� �� � ��

����2�3 4,�� ** *

�-�

,�* �* *

���* *� *

���* ** �

�-

0%���-����

��� �� > .9� .9G ��2�3 4 ��� � � .0� ����#� 6��>

��2��3 4 �� 4 ��2�3G ��2��3 4 ��� 4 ���2�3

���2��3 4 ��� 4 ���2�3G �����2��3���� 4 ������ 4 ������2�3

�� ����� ������� � �����

��)���� �*;*� ������ ��� ��� !����� �� ��� �� 2��3 4 2�3 � ������ �� ��� !����� �� ���� �� 2��3 4 � 2�3

�'�����

��� � 4 �� > .9� .9�� �� ��� 6��� 4 �8������ �������8������ � �����

������

2�3K �� ��� 6�� � 4 �8������ �����F �8������ � �����+�� �����> �2�3 4 ����������

�F ����������

��� 2�3 4 �����������

� �� ��� 6�� � ����

2��3 4 ���������������

4 �����������

4 2�3/ ���' � ����

�� ��� 6�� 7 � � ���

72��3 4 ���������������

4 �����������

4 �2�����������

3 4 �72�3

Page 117: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

&��' 7 � � ����

&��' � 4 �8������ �����F �8������ � �����2��3 �� ��� 6�� �8������ ����� � �8������ � ����� 4 ��*���� � ��� � � ��� � �� #�-> " �����/ �2��3 4 �2�3�� � � � �2��3 4��2�3 �� � .9&��' �2�3 4 �2��3 4 ��2�3

���' ��2�3 4 *�� � �/ ���' �2�3 4 *�� � � ���' � 4 �*/ ���'�8������ ����� � �8������ � ����� 4 ��*�

1�������� �*;*� ��� � �� �������� ������� % !� +�/ � � � ��������� ��� ����� ������

)� / 4 !�

+

,� / 4 ! F + � �* 4 $F � $ � !� � + 4� $ 4 4 �*

�� �"������ , ��� ��� ��� / 4 ! F + � � �* �� ������ �������� �����

�����������

2�34�2�3

���/ 4 !�

+ � $F 4 �*/ ����� $ � ! � � + � &��' $F � !�+ /��� ��*� 4 ! � + / ���' $ F 4 $� � $ F 4 �� &��' 4 $� � $ �$ 4 � � � &��' � $ � ! � + 4 ��*�� &��' $ 4 4 �*

2�34�2�3

,��� 6�� �� ���� 6�� ! � + 4 ��*���� � � ! � + / ���' � � ! � � � + � +�� �� �� � ! � �� � + �

"� �=���- '����� � ������� �� �* �� �� ����� �'������> �* 4 �F2��3� ����� 6�� � � ! � �� � + � "����� �� 2��3 ���� 6�� � 4 �* ��� 4 �*� &��' ! � + 4 �*

1�������� �*;*� ��� / 4 ! F + � �������� ��� ����� ������

Page 118: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ���

& �* 4 $F 4� $ 4 4 �* *� ������ �* �� ������ �� ������ ����&

& $F 4 $� F � 4� $ 4 $� � 4 � *5��� ������ �� � !���� $F �� ������ �� ������ ����&

�����������

2�3�2�3

��� $F 4 $� F �� &��' 2$� $�3 F 2� �3 4 �*

� 2�3/ ���� 6�� $� $� 4 �* � � � 4 �*�

&��' $ 4 $� � 4 �

2�3�2�3

��� $ F 4 �*� ��� �� �* � �* F �*/ �� ��� �� �* � ���� ��! � �� �'��� �� + �

&��' $F 4 �* F�*� �� 2��3 ���� $ 4 �* � 4 �*�

��)���� �*;*� ���� ��� ��� � � � � �� � � � �������� � ���� �� ��.��� ��%.������� ���� ��"��� ����

�� F �� F � � �F �� 4 ��� F �� F � � �F ��G �� � ��� * 4 �� �� � � � � ��

1�������� �*;*� ���� ��� ��� � � � � �� � � � ��������

�� F �� F � � �F �� � �

�����������

,� ��� �� ���'��;� �� =���� ��� �� ��������

��)���� �*;*; ������ ��� / �� ���� ������ �� ��� ��%��.����� ��� ��� � � � � �� ��

)� / 4 �� F �� F � � �F ��

Page 119: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

,� �* 4 �� F �� F � � �F ��� �� � ��� * 4 �� �� � � � � �

4� �� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 �*� * � ���� �� ������ �� ��� �� ������� &�

������ ���� ������� �����������

/ 4 ���

��� � � ����

1�������� �*;*; ���� ��� ��� � � � � �� � � � ��� / � � � / 4�� F �� F � � �F ��� �������� ��� ����� ������

)������

�� 4 �*� �� � ��� �* 4 �� � � � � � 4� �� 4 *

,������

�� 4�����

��� ��� �� � ���* 4 �� � � � � � 4� �� 4 ��

-� �� ���

�������

�� 4 ��*�� �* 4 �� � � � � �

"� ������� �� ���� ������ � ����� �<����� � >

���� ��$����� ���������� �� �� � � �� �� � �� ��$����� � �� ��*��

�'�����

��� � 4 ��� �� 4 �2�� ��� *3� � � ��� �� 4 �2��� �� *3� � � �� /�� 4 �2�� ��� ��3� � � .9�" 8����� #�� 6�� �� F �� F �� 4 ��� 7�� �=�� � ��� � � ���������

�� @ �� � 2�� F ��3 A� �� �� ��-�� ! 4 �� F ��

�� 4, 2�� �� *3 - � �� 4, 2�� �� �3 -� &��'>

�� F �� 4, 2�� �� *3� 2�� �� �3 -

Page 120: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ��!

�� � *� � �

����

�� � �� � *

��������

�� � �* �� ��

��� ������� � �* � �

��������

�� * ��* � �

&��'�� F �� 4, 2�� *���3� 2*� �� �3 -

���'! 4, 2�� *���3� 2*� �� �3 -

������� � 4 �2�� �� *3 4 �2�� *���3F�2*� �� �3 � ���2��F��3 "����� 2�� ��� *3 4 2�� ���� F ��3/ ���' � 4 �� �� 4�� * 4 �� F ��

� � 4 � 4 � 4 *

&��' �� � 2�� F ��3 4 ��*��� �� � � ����� ���� ����� 6�� �� � 2�� F ��3 4 ��*�� �� � 2�� F ��3 4 ��*�

�� � ����/ ����;� �� ���� 6�� �� �* � ������ �� ����� �������

�* 4 2*� *� *3 4 �� F �� F �� 4 �2�� �� *3 F �2�� �� *3 F �2�� �� �3�&��'

� F �� F � 4 */ �� F � F �� 4 */ �� 4 */ ���' � 4 � 4 � 4 *

� 2�3 �� 2�3 ���� 6�� �� 4 ���

���

��

��( "������� ������

�� "����� � � �'������ ������ � ��$����� �� � ���$�� #�������� �������#>

2�3 ! 4 ��F �� F ��� F ��� � ��J�KG ��� 4 �� �F � 4 *� ����J�K

2�3 + 4 ��� �� �

����2�3G �F� 4 *� ��F�� 4 ��� ����2�3

Page 121: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

2�3 ! 4 �2�� �� 3G ��F �� 4 *� �� ��

�� "����� � �� #���� � 4 2� F �*��� F �*3 ���� �� �� �$�����#������� '������ �� �� #���� � 4 2�� *� � F *3

�� "����� � � ����� �������� � ��$����� �� .9�/ �� ��$ ����� � ���� ��/ ���� ����������� �� �*

�� ��� � �� I$����� #������� � �� ��� �� �� � �� ������ ��#����� ������ ���� ��������������

2�3 �� ����� 6�� " 4 �� F �� � F ��� F �� � ������ ������������������

2�3 "����� �� ����������� ������ �� 3 4 �� F �� � F ��� F� F ���

2�3 "����� � �� ��$����� , " - � �'��� �� ��$�����, 3 -� L����6�� � ��������

�� "����� �� ����������� ������ ��� ������ �� #����� �'������>

�2�� �� �3� 2�� ��� �� �F�3� 2�� ��F�� �� ��F��� �3� �'��� ���8������ #���� �� �

�� "� ��/ ����6�� �� ���� �� �� � ��/ �� �������� 6������ �� ���� �/ ���� ����� �� �� � � ��/ ��� 6��

2�3 ��� ������2�3 ��� ��8�*� � � � ��������� � , �� � -

2�3 ��� �� �� � �� ������ ��� �� �� '�������� �� ��

�� ��� � �� .9$����� #������� ������ �� � 4 �� G � > .9 �� .9������ ��2�3 4 $��2�3� ��2�3 4 $��2��3/ ���� �� � � .9� "������� ����������� ������ �� ���� ����

%� ��� � � I$����� #�������� �� �*��2� 3 � � � ��� ��� � � � � �� ���� ��� �� � / ����� 6�� �<���� ��$����� .�� .�� � � � � .�

�� � ���� 6�� .� .� � � � .� � �*��2.�3 4 *

Page 122: Algebra lineal

��������� �� �������� ��������� ���

!� "� ��/ ������� � ��$�����>

! 4 �2�� ��F �� �F ��� ��3G �� � � ��

+ 4, 2�� �� �� �3� 2�� *���� �3� 2*� *� *� �3-"�������� �� ��� �������� �� !� +� !�+� !F+ � "�������� ������ �� �� 6�� �����'� � #����� 6�� '������ �� ��$�����+ �

Page 123: Algebra lineal
Page 124: Algebra lineal

����� �� �

������������ ��������

��� )����������* ��������� � ��� ��

0�� #� 6�� � �� � ������� �� �� ����� #������� � ���<������� �� ��� ��� �� ���� 5� ����;� 6�� �� ������ �� �� �����#������� � �� �<������� �� ��� ��� �� ����

"�����/ � 6���� ������ ��� ���������� ����� � ����� #��$������/ ���� ����� �� ������ ��� ������������ D��#�E �� � �=��� / ������ ����� � ���� � ��� ��� �6��; �� ���� @0�� ������A (���/ ��� @:�� 6����� ����� ����� �� ������ �� �<��������� ��� ���A� ��� 6�� ���� ��� 6�� � #�� �� �� ��� ���

������� .9� � .9� � .9$����� #�������� � � > .9� � .9��+�� �� ������� �� ��� 3 4 �2�� �3� 2�� �3� �� �� � ��� �� � �

����'� 6�� �� ��� � � � ���� � �� � ��� ����� ��� ����

����'� / �� ��� ��/ 6��

�2�� �3 4 2�� �� �3 � �2�� �3 4 2�� �� �3

&� ���'���� 6�� � =��� / � � � ����� ������ �� � �'�� ������6���� #���� �� .9�/ �� 6��� �������� � ����;� �������

���

Page 125: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

��� ��/ � ���� �� ��� �� ������ �� ���/ � �����/ 6�� ����� ��� �� .9� � ������ �� ��� ����� ������ � � �������������� �� �� ����

7�� / �� ��� ��/ � � ����� ����� �� � �'�� ��� #���� � 42�� *3

���� 6�� 2�� *3 4 �2�� �3 F 2��32�� �3/ ���' �2�� *3 4 � J�2�� �3 F2��32�� �3K�@:��� �<�'����� ������;� =���� � � ���� 6�� �� ��8� ����� ����� � #����� �� (/ ����� �� �<������� � �� .9 A

��� �� �=���- '����� � =��� �� �������� �'������>

� J�2�� �3 F 2��32�� �3K 4 �2�2�� �33 F �2��2�� �33 44 ��2�� �3 F 2��3�2�� �3 44 �2�� �� �3 F 2��32�� �� �3 44 2�� �� �3

" ����� =��� �� �<�'����� �'������>

�� �2�F �3 4 �2�3 F �2�3

�� �2��3 4 ��2�3

&� �<�'����� 2��3 � 2��3 =��=� � ��� ����������/ � �������-�� �� ������� �� ����� #������� � ��; �� ��8� ����� �� ������ � � ��$� ��� �� ��� ���/ � �<������ � �� � #����� ��� ������+�� ��/ �� ���� �� ���������� 6�� �� ���� ��� � �<�'��$��� ���� �����-�� �� =��= 6�� �� � ��� � �� �� ��� �������� #��������� "�� ����������� � ���#�� � �� �'���������������>

��)���� �*�*� ���� % � � ��� 4�������� ������� ��� ��������� � > % �� � �� ��� �������� ����� � �� ���� �� ���� �����������

)� �2�F �3 4 �2�3 F �2�3

,� �2��3 4 ��2�3

Page 126: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

" �� �'������� ����� ��� ���'� �������� �� ��� ��/ ���� ��� ��-�� � ������� � ����������

7��� ��= ��� ��/ ��� �� ����� �� ���������� 6�� � ��������� "��� 6�� � ������ ��� @�� ������ A���,��� 6���'��� ������� �� �� +�'���� &��������

�'�����

��� 7 �� I$����� #�������� ��� � > � �� � G�2�3 4 �� "������������ � ��� ��� ������� � � ����� � 4 *�� �

,���

�2�F �3 4 �F � 4 �2�3 F �2�3 � �2��3 4 �� 4 ��2�3

&��' *�� � ��� ���������� ������� D,��#���E @�����A

�'�����

��� 7 �� I$����� #�������� ��� � > � �� � G �2�3 4 */ ��� ��� ���������� ����� ������� �� � 4 *�

�2�F �3 4 * 4 * F * 4 �2�3 F �2�3�2��3 4 * 4 �* 4 ��2�3

&��' � � �������

�'�����

��� 7 �� I$����� #�������� ��� + > � �� � G + 2�3 4 9�� "������������ � ��� ��� <������� �� �� �� 9� ,���

+ 2�F �3 4 92�F �3 4 9�F 9� 4 + 2�3 F + 2�3+ 2��3 4 92��3 4 �29�3 4 �+ 2�3

&��' , � ��� ���������� �������

Page 127: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�'�����( 7�=�:�� �� ����� �� �'� >

��� + > .9� �� .9� G + 2�� �3 4 2����3

+ J2�� �3 F 2��� ��3K 4 + J2�F ��� � F ��3K4 2� F ����2� F ��334 2����3 F 2������34 + 22�� �33 F + 22��� ��33

+ J�2�� �3K 4 + 22��� ��334 2����2��334 �2����34 �+ 22�� �33

&��' + � �������

����'�����

��� � > .9 �� .9G �2�3 4 � �

� 2� F �3 4 � � � � � �� � �� �

�� 8��� ��� ���������� ������ ������;� 6�� ����� >

� 2�F �3 4 �2$�F �2$�

Page 128: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

&��' ��� � � ��� ���������� �������

�� �� � � �����

> .9 �� .9G 2�3 4 ���

� � ��� ���������� ������/ ���

�� 2� F �3 4 ��� � � F �� � � �

� ���� � ������ �� ��� F �� �

����'�����( 2��������� �� �� �����

��� + > .9� �� .9�G + 2�� �3 4 2� F �� � F �3� "�� ���������� ��� �������������/ � � ������ � � �4 * � �4 */ ���

+ J2�� �3 F 2��� ��3K 4 + J2� F ��� � F ��3K4 2� F �� F �� � F �� F �334 2� F �� � F �3 F 2��� ��34 + 2�� �3 F 2��� ��3�4 + 2�� �3 F + 2��� ��3

,� ����� ����;� =���� ���=>

&� ���������� � � ������� �������� ��>

���

+ > .9� �� .9�G + 2�� �3 4 2�F �� � F �3

����#� 6�� ����

+ 2�� *3 F + 2�� �3 4 2�� �3 F 2�� �3 4 2�� �3

� ��� �����

+ J2�� *3 F 2�� �3K 4 + 2�� �3 4 2�� �3 �4 2�� �3

Page 129: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

�'�����( 7������ �� �� ������ �

&� ������� �� �� ���'�� �/ :�/ ���� ������� ��

:� > .9� �� .9�G :�2�� �3 4 2� ��� � ���� � ��� F � ��3�

�� ��� 6�� :� � �������

2*3 :�22�� �3 F 2��� ��33 4 :�2� F ��� � F ��3

4 22�F ��3 ��� 2� F ��3 ����2�F ��3 ���F 2� F ��3 ��3

4 2� ��� � ���� � ��� F � ��3F2�� ��� �� ���� �� ��� F �� ��3

4 :�2�� �3 F:�2��� ��3

2**3 :�292�� �33 4 :�29�� 9�34 29� ��� 9� ���� 9� ��� F 9� ��34 92� ��� � ���� � ��� F � ��34 9:�2�� �3

� 2�3 � 2��3/ ���� 6�� :� � ��� ���������� �������

Page 130: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ��!

�'�����

&� ���������� � > �� �� ��G �2�� �3 4 2��F �� ��3 � �������

7�� �� �� �������>

2*3 �22�� �3 F 2��� ��33 4 �22�F ��� � F ��334 2�2�F ��3 F 2� F ��3� �2� F ��334 2�� F �� ��3 F 2��� F ��� ���34 �2�� �3 F �2��� ��3

2**3 �2�2�� �33 4 �22��� ��334 2�2��3 F 2��3� �2��334 �2��F �� ��34 ��2�� �3

� 2�3 � 2��3 � � ��� ���������� �������

�'�����

&� ���������� � > �� �� ��G �2�� �� 3 4 2� F �� � � �3 � ������������� �������

,� �� ��� �� ��������� @ (��� A

�'�����

��� � > ��J�K �� ��J�K G �2�F �� F ���3 4 2�F ��3 F 2�� �3� ���� ���������� �������

&� �� ������� � �'��� � �� ��������/ ��� #��� �� ��� � =���� ������ 6�� � ��= ��� � �� � ����� � ���� ���� ����6�� #�� 6�� � D D ���#���EE

�2�F��F���3F2��F���F����33 4 �22�F��3F2�F��3�F2�F��3��3

4 22�F��3F�2�F��33F22�F��3�2�F��33�

4 � F �� F ��F ��� F 2�F �� � �� ��3�

Page 131: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

4 2�F��F2���3�3F2��F���F2�����3�3

4 �2�F �� F ���3 F �2�� F ��� F ����3

�2�2�F �� F ���33 4 �2��F ��� F ����34 2��3 F �2��3 F 22��3� 2��33�4 ��F ���F 2��� ��3�4 �2�F ��F 2�� �3�3 4 ��2�F �� F ���3

&��' � � �������

�'�����

��� � >��2�3 ������2�3/ ������� �� �

�� �� �

4

��� � �

� �F �� ��

� ��� ���������� �������

/���

��� � > � ��/ ������� "����� �2�*3 4 �*�

"� �8��� �2�*3 4 �2* ��*3 4 * � �2�*3 4 �*�

/���

" ���������� ���#�� 6�� =� #�� ���������� ������� ���������� ��8������/ ��� �� �� �<�'����� 6�� ���'�� � ������� ���� � ������

��� ����� ������� �� ��� ����������

������

,��� ������ �� ����� � ����� ��� �� �<������� �� ������$���� �������� "<���� ���������� �������� +=�; ����� ��= ��� $

Page 132: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

�� �� �� ������ �������� �� ���� ���� �� ����� � ���������������

" �� �'������> ��� � �$����� #�������� ����6�������� )��� ��� �<���� �� �� ��� ��� @ (��� A " ��� � ������� ��� �� ���� ��� �� � ���' �� � =���� �� '�������-����� �����������

, � �� �� �� � ��� � �� �� �� �� ���� ��� � #��$��� 2�� �3 � 2�� *3 �� �� � ��� � � #����� 2�� �� �3 � 2�� *� �3 ���� �� ���/ 6������� ���� � �<��� ��� ���������� ������ 6���� ��� > �2�� �3 4 2�� �� �3 � �2�� *3 4 2�� *� �3 � ��� �� ���� � =����� ���������� ������� 6�� �� ���� ��� � � ���������

, � �� #���� 2�� �3 � �� ����6������

,��� 2�� �3 4 �2�� �3F2���32�� *3� ��� 6�� ��� �<�'����6�� � �� ������/ ����

�2�� �3 4 ��2�� �3 F 2�� �3�2�� *3 4 �2�� �� �3 F 2�� �32�� *� �3 44 2�� ��� ��� �3

&��' �2�� �3 4 2�� ��� �� � �3 �� ��� �� �� �������� ����$��� &��' �<��� ��� ��� ����������� +=�� � 6���� ��� ���'����>@C����� ���A

����'� > �� �� �� ������ ��� 6�� 2�� �3 4 2�� �� �3 � 2�� *3 42�� *� �3

C��� �� � ������ ���� � ���� 6�� 2�� �3 4 2�� ��� ����3/ �� ���� ����� �� � � �<������ �����;���� �� � � &��' �<��� ������������� ������ 6�� �� ��� �� �������� ���� � ���� � �������

(���/ ��� �<��������� � �� �� ��� ��� "��� 6�� �� ��#� ����� ������� �� ����� � �� 8� � '�������

" � ������� ���#�� �� ����� � ��� � ������� � �� � ���'�� �� ������� ��� 8������ "/ � ����;� �� ����� ��' �� '������������+6��; ����>

2������ �*�*� 52������ &���������� ��� ����%�� �����6��� 3 4 ���� ��� ���� ��� ��� ���� �� �� ������ ������� (� �� �������� � ����� 4 � ( 4 ���� ��� ���� ��� ��� !�� � �� � ���������� �� ������ ������� 8 ����� 4�

Page 133: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�������� ����� ��� �� ����� ��� � � �� ������ ���� � > � ��/ ��� ���

�2��3 4 ��� �2��3 4 ��� ���� �2��3 4 ��

�����������

� ���� �� #�� �� �<������� �� ��� ��� ����������� ��� ��/ �� ������ ��� ���������� ������ 6�� �� ��� �� ��������/ ���' �<������� @ �� ������A

��� � � � � &��' � 4 ����F����F � � �F����/ ����� �� � �� 0����6�� � �� � ������

+=��/ �� #���� � �� =��� ��������� �� #���� �/ ������ ��/

� 4 ���� F ���� F � � �F ����

,��� 6�� 42�2�3 4 � / ;�2�3 � /

�� ��� 6�� � � �������

� ��� � 4�����

����/ �� 4

�����

����� "�����

�2� F ��3 4 �2�����

���� F�����

����3 4 �2�����

2�� F ��3��3 4

4�����

2�� F ��3�� 4�����

���� F�����

���� 4 �2�3 F �2��3�

� ��� � � �� ,���

�2��3 4 �2������

����3 4 �2�����

2���3��3 4�����

����� 4 ������

���� 4

4 ��2�3�

� 2�3 � 2�3 � � �������

7�� �=�� �� ����� � �� �� �������� �� � �

Page 134: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

��� > � ��/ ������ ��� 6��

2��3 4 ��� 2��3 4 ��� � � � � 2��3 4 ��

��� � 4 ����F����F � � �F���� �� #���� ����6����� �� 7� "�����

2�3 4 2���� F ���� F � � �F ����34 �� 2��3 F �� 2��3 F � � �F �� 2��34 ���� F ���� F � � �F ����

4 ���2��3 F ���2��3 F � � �F ���2��34 �2���� F ���� F � � �F ����34 �2�3

&��' �2�3 4 2�3/ �� � � � �� ���� � ������� � 4 �

3��������

"�� ,��� � � ���� 6�� ��� ���������� ������ ���� ���� ���� ��$��� ����� ����� ���� � � ���� ���� �� � ��� ��� ����� ��� � ��� ��8� ����� � �<������ �� ���������� � �� � #��$��� ��� � ��� �� �� ���������� ������� " �����/ � �� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���������� ������ �� ��� ���/ ������ � ���� ������ �� ����������� 5� ���� > ?"��� ����/ �� �� 6��� ����������� �����?�

0%���-����

M� ������� ���� ��� ���#�� 6�� �� ������� �� �� ���'�� �/�� �� ����/ � ��� ���������� �������

" � � � �� � #����� � ���' �����/ 6�� ����� � ���'� ���� � ��� �����/ � � � / ������� �� #���� � ���'�����/ 6�� ����� � ���' ���������

(���/ �� ����� � �=�� � ������ ��� �<������ �����;���� �� ��������������

Page 135: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

��� '� > .9� �� .9� ��� ����������� � �� ��������� �� �� ����/ 8����� ���� #� 6�� '�2�� *3 4 2�2$�� $���3G '�2*� �3 42�$���� �2$�3�

��� 2�� �3 �� #���� ����6����� �� .9�� ,��� 2�� �3 4 �2�� *3F�2*� �3� �������� '�/ ����

'�2�� �3 4 �'�2�� *3 F '�2*� �3 4 �2�2$�� $���3 F �2�$���� �2$�3 4

4 2��2$�� �$���� �$��� F ��2$�3

" �����/ ���� ����� �� � ���� ���� �� '� �� ��� ��� �� .9�/

���� ���� � � ���� ���� �� �� �� �����

�'�����

:���� ���� � =����� ��� ���������� ������ � > �� �� �� ��� 6��

�2�� �3 4 2�� �� �3� �2�� �3 4 2�� *� �3� �2�� �3 4 2�� �*� �3

������

(���/ �2�� �3� 2�� �3� 8� �� ��� ��� �� ��� &��' �� #���� 2�� �3� ��� ������� � � �������� ������ �� ��� ��� � ����� �� ����� ������� + ����>

2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� �3

�� � 8��� ������/ ������;� >

�2�� �3 4 ��2�� �3 F ��2�� �3 4 �2�� �� �3 F �2�� *� �3 4 2�� �*� �3 6�� ������� � 2�� �*� �3

&��' � �<��� ��� ���������� ������ 6�� �� ��� ���� ���������

�'�����

@ "<������ ��� ���������� ������ � > �� �� ��/ ��� 6��>

�2�� �� �3 4 2�� *� *3� �2�� �� *3 4 2�� �� �3A

Page 136: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

@ C����� ���/ �� �� ��� A

������

���� 6�� �<��� ��� � �� ��� ���������� ������ � ���� ��������� ��� ���/ ��� �2�� �� �3� 2�� �� *3� � 8� � ��� ��� �� ���"����� ���� #�- 6�� ����� � �� ��� ���/ �� ��� �� ���2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3�/ ������ ��� ���������� �������&� ������� � > C�� ������� ���������� ������� 6�� �� ���� ���������� �����

"�� ��>

"� �> �2�� �� �3 4 2�� *� *3� �2�� �� *3 4 2�� �� �3� �2�� *� *3 4 2�� �� �3

"� �> �2�� �� �3 4 2�� *� *3� �2�� �� *3 4 2�� �� �3� �2�� *� *3 4 2�� �� �3

"� �> �2�� �� �3 4 2�� *� *3� �2�� �� *3 4 2�� �� �3� �2�� *� *3 4 2�� �� �3

��� ���� �� �� � � �/ � ����� �2�� �� �3 4 2�� *� *3� �2�� �� *3 4 2�� �� �3/

�2�� *� *3 4 2�� �� �3/ ��� ���������� 6�� �� ��� �� �<�'����� �������

&��' =�� ������� ���������� ������� 6�� �� ���� �� ����������<�'����

(���/ �=�� 6�� =� ������ �� ����� � ����� ��� �� �<�$������ �� ��� ���������� ������/ � ���� �� #�� � ����������

��� ) �%�� � +����� �� ��� ����������

������

���� ��� ���������� ������ 6���� ���� �� ��������� �� �� � �'���� �� ��$����� #��������

&� ������� �� ���� �� �� �'������ ���������

1�������� �*�*� ���� � � / ��� 4�������� ������� ��� ���� > � ��/ ��� �� ����� ��� � ��� ! �� ���������� �� � � ��������� �2!3 �� �� ���������� �� / �

Page 137: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�����������

�2!3 � �� ������ 8� �� �� ��� �� � ��'��� �� � #����� ��!/ ��� � / � �����/ �2!3 4 ��2$3G $ � !��

� �2!3 �4 � ��� � �* � ! ������ �2�*3 � �2!3�

� � �� ���� 6�� �2!3 � ������ ���� �� � ��

���� � � � �2!3/ ���' � � ������ �� 8� �> 4 �2$3� � 4 �2$�3/����� $� $� � !�

F � 4 �2$3 F �2$�3 4 �2$ F $�3 4 �2$��3� $�� 4 $ F $�/ �� ���� ��� #���� �� !� &��' F � � �2!3�

� �� ��� 6�� � � �2$3 � �2!3� �� � �� �$ � !�

� � �2$3 4 �2�$3 4 �2$�3 � �2!3� $� 4 �$ � !�

� 2�3/ 2�3 � 2�3 �2!3 � �� ��$����� �� / �

3������� �*�*� ���� � � / ��� 4�������� ������� ��� ��� � > � �� /��� �� ����� ��� � �������� ;�2�3 �� �� ���������� ������� ��/ �

�����������

(��� � �� ! 4 � �� �� �������� ������� �� 6�� �2� 3 4 ;�2�3

0%���-����

�������

� > �� �� ��G �2�� �3 4 2�F �� ��� ��3

,��� 6��

;�2�3 4 �2� F �� ��� ��3G �� � � �� � ��

Page 138: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

&��'

;�2�3 4, 2�� �� *3� 2�� *� �3 -

5�� ��� �� ;�2�3 � �2�� �� *3� 2�� *� �3�/ ���'

�*��;�2�3 4 � �4 � 4 �*��(2�2�2�3

�� ������� 6�� � � � ��������#�/ ��� ;�2�3 ���� �������$ ���� �������� �� ��� &��'/ ���� ������� � ��� ���������� ������� ��������#�/ ���� ���� ���� � �� �� ����� �� ;�2�3� ,��� ���������� �'������>

2������ �*�*� 51����� �������� ���� �� ��� ����������������� ��?���-��6

���� � � / ��� 4�������� ������� ��� ��� � > � �� / ��� ���������

� �� �������� � � �� � � �*��;�2�3 4 �*��/

�����������

� ��� �����/ � � � ��������#� ������ � ����� 6�� ;�2�3 4 / /���' �*��;�2�3 4 �*��/ �

9���;���� ����> ,��� 6�� ;�2�3 / � +=�� � �*��;�2�3 4�*��/ / ������ ;�2�3 4 / / ���' � � ��������#��

0%���-����

���� ��� ���������� ������/ 6���� ������� �� ������ 8� �� ���� � #����� 6�� ������ �� �* �� � �'���

���� 6�� �2�*3 4 �*� "� � =��� #�� 6�� =�� �� �� �� #����6�� ����� �� � �'�� �� ��*�� ,���� ������ �����/ ���'������ ���� ������ 8� �� �� �� � #����� 6�� ������ �� �* �� � �'�������#� �� �� ����������/ ���� #�� � �� � ������ � ���������� ��������� �� ��� �������

Page 139: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

0%���-����

���� > �� �� ��G �2�� �3 4 2�� ��� ��3

< 4 �2�� �3G �2�� �3 4 2*� *� *3�4 �2�� �3G 2�� ��� ��3 4 2*� *� *3�4 �2*� �3G � � ��

0�� ��� 6�� ��� ������ < � �� ��$����� #������� ���� @ ��������� �� �� ��� A

0%���-����

���� > �� �� ��G �2�� �� 3 4 2�F �� �� �3

< 4 �2�� �� 3G �2�� �� 3 4 2*� *� *3�4 �2�� �� 3G 2�F �� �� �3 4 2*� *� *3�4 �2*� *� *3�

�� ���� � �� ����� �� ��$����� #������� �� �� 4 42�2�3�

0����� ��������� ����� �� � ������ C� �6��; �� �������� 6�� �$������� >

1�������� �*�*� ���� � � / ��� ������� ������� �� ����� ����� � > � �� / ��� � �������� <2�3 4 �� � � G �2�3 4 �*� �� ������������ �� (�

�����������

� <2�3 �4 � ��� �* � <2�3�

� ���� �� � � <2�3/ ������ �2�3 4 �2�3 4 �*/ ���' �2� F �3 4�2�3 F �2�3 4 �*/ � ����� � F � � <2�3

� ��� � � <2�3� ,��� �2��3 4 ��2�3 4 ��* 4 �*� &��' �� �<2�3

� 2�3/ 2�3 � 2�3 <2�3 � �� ��$����� �� 7�

Page 140: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ��!

0%���-����

���� 6�� <2�3 �4 � ��� �* � <2�3/ � ����� <2�3 ����� � #���;�+�� �� =� #�� 6�� <2�3 ����� ��� ��������� ����������/ � �������� � �������� @ :��� =��� ������ �� ��� �����A ��#�/ ����� � ��� � ��� ������� ,��� ������>

��)���� �*�*� ��� � > � �� / ��� � � ��� ���� !������ �������� �� �������� �� � ��� ����� ��� ����� � ������ �* �� / � �� ����� � ������ �� &� �������� <2�3 � ��'2�3�

<2�3 4 �� � � G �2�3 4 �*�

3��������

&� ����#������ ��'2�3 #���� ��� ��� ���/ I�����/ 6�� �'����� ���� =�� �� ��� 8����� "� ��6�� �� 0����� �� ��� ���������� ���������� � �� ����� ��� � ��� �� � �

�'�����

��� � > �� �� ��G �2�� �� � �3 4 2� F � F � �� � �3� :���� �������� <2�3�

������

9����� 6�� �������� �� ����� #������� � ������ � �<=���� ������ �� ���� <2�3 4 �2�� �� � �3 � ��G 2�F � F � �� � �3 4 2*� *3�"����� ��� ��� � �� � 8� � �� � ���>

�F � F 4 *�� � � 4 *

�$$*

F � F � 4 *� � �� 4 *

Page 141: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

�� � � *� �� * *

���2��3��

�� � � ** �� �� *

��2���3

���� � � ** � �

�*

���2��3��

�� * �

�*

* � ��*

" �����/ �� ��� � ������� � �6��#������ �� ��� � �'������>

F ��� 4 *

� F ��� 4 *

�&��'

4 ����

� 4 ����

2�����

�����

�� �3 4 �2�����

����

� *3 F �2*� *� *� �3

&� ��� �������� �� <2�3 � �2�� ���� ��

�� *3� 2*� *� *� �3�� �� ����� ��$

���� 6�� �*��<2�3 4 �

5����-��� ��� ������� ���#� > � �*��<2�3 �4 */ =�� ���� �� #���� 6�� ����� �� � �'�� �� �*/ ���' � � � �������#��

@ :��� ����� � <2�3 4 ��*� A @ " � �������#� A&� ������� � ��� ���'���� �� ���� �� �� �'������ ���� ��

2������ �*�*� 51����� �������� ���� �� ��� ����������������� �?���-��6

��� � > � �� / ��� � ��������

� �� ������� � � �� � � <2�3 4 ��*�

�����������

��� � � �������#�/ ������ �� ��� 6�� <2�3 4 ��*���� � � <2�3/ ���' �2�3 4 �*� +�� �� �2�*3 4 �*� ��� 6�� � ��������#� � 4 �*� &��' <2�3 4 ��*��+=�� ���'� <2�3 4 ��*� � �� ��� 6�� � � �������#��

Page 142: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

��� �2�3 4 �2�3/ ���' �2�3� �2�3 4 �*/ � �����/ �2�� �3 4 �*� ���6�� <2�3 4 ��*�/ ���� 6�� � � � 4 �*/ ���' � 4 � �� � 6��� ����; 6�� � � �������#��

�'�����

"����� � � �������#� �� ���������� ������

� > �� �� ��G �2�� �3 4 2� F �� ��� �� ��3

������

���� ����� �� ������ �� � �

<2�3 4 �2�� �3 � ��G �2�� �3 4 2*� *� *3�

,��� > 2� F �� �� � �� ��3 4 2*� *� *3� &��' � 4 � 4 */ �� ����<2�3 4 �2*� *3�� +�; � � �������#��

/���

"� ,��� � ������� � ���� 6�� ���� ������� � ��� ���������� ������� �������#�/ � � ������� ��� � ���������/ �� ������� � ������� ������ ��� � ��*� � � �� � � � �������#��2" �����/ �� �* � �$�/ � � �� � �� #���� � �$�3

/���

+=�� 6�� ���� �� 0����� � �� . �'�� �� ��� ���������� ������ ���'��� ��������� �� ���/ 6���� ���� � =����� ��'��� ������������� � �� ����� � ��� #�- �� ��'��� �� �����/ �� ��� �� �� ��� � �� ����

����� � ������� �� ��'�� ��� ���

Page 143: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

0%���-����

��� � > � �� �� �2�3 4 2��� ��� �� ��� ��3� ,��� 6�� <2�3 4��*�/ ���' �*��<2�3 4 *� " ����� � ����� ����

7�� � . �'��

2��� ��� �� ��� ��3 4 �2�� �� �� �� �3

&��' ��� ��� �� . 283 � �2�� �� �� �� �3�� &��' �*��;�2�3 4 ��

����#� 6�� �*��42�2�3 4 �*��� 4 � � � 4 * F �� "� � �� ���-6������ �������� � �� �*��42�2�3/ � ����� � 6�� ���� � ����������

�*��42�2�3 4 �*��<2�3 F �*��;�2�3

0%���-����

��� � > �� �� �G �2�� �� � � �3 4 �F � F �

��-�� �� 0����� �� � > ,��� �F � F 4 * 4� � 4 ��� �

"�����

2�� �� � � �3 4 2���� � � � � �34 �2����� *� *� *3 F 2*���� �� *� *3F

2*� *� *� �� *3 F �2*� *� *� *� �3

&��' ��� ��� �� <2�3 �

�2����� *� *� *3� 2*���� �� *� *3� 2*� *� *� �� *3� 2*� *� *� *� �3�

���� 6�� �� #����� � ���� &��' �*��<2�3 4 �

� ��� ����� ;�2�3 4 �� &��' �*��;�2�3 4 �� �� 6�����/ ��6��$ ��� ��� �� ;�2�3�

,��� > � F � F 4 � � � F � � � F � ��

Page 144: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

&��' ;�2�3 4, �� �� � -4, � -� &��' ��� ��� �� ;�2�3 4 ����+�� �� ���#� 6�� �*��42�2�3 4 �� ,��� � 4 � F �� "�����>

�*��42�2�3 4 �*��<2�3 F �*��;�2�3

������ 6�� ��� =������ � #��������� ,��� ������ �� �'������,��� �>

2������ �*�*� ��� � > � ��/ ��� � ��������

�*��42�2�3 4 �*��<2�3 F �*��;�2�3

�����������

��� 3 4 ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� <2�3 � � �

��� ( 4 ��� �� ���� �� ��� ��� �� ;�2�3 � / �

,��� 6�� �*��<2�3 4 � � �*��;�2�3 4 &�

9����� 6�� ;�2�3 4 ��2�3G � � � �

� � ;�2�3 4� � 4 �2����3� ����� ���� � �� � ;�2�3 4� � 4 �2����3� ����� ���� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � ;�2�3 4� � 4 �2����3� ����� ���� � �

��� 3� 4 ������ ����� ���� ������+�� � 6�� 3�3� 4 ���� ��� ���� ��� ����� ����� ���� ����� � ��� ����� � �

&��' ���� �� ���� 6�� 3 �3� '����� � � � �� ������ ����

� �� ��� 6�� 3 �3� '����� � �

��� � � � / ���' �2�3 � ;�2�3 ������

Page 145: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�2�3 4 ����� F ����� F � � �F �����4 �����2����3 F �����2����3 F � � �F �����2����34 �2�������� F �������� F � � �F ��������34 �2��3

�� �� 4 �������� F �������� F � � �F ��������

&��' �2�3 4 �2��3/ � �����/ �2� � ��3 4 �*/ ���' � � �� � <2�3� � ����� ������� � ��� � �������� ������ �� �� ��� ��<2�3� "����� � � �� 4 ���� F ���� F � � �F ����/ ���'

� 4 ����F����F� � �F����F��������F��������F� � �F��������

+�; =� �� ���� 6�� 3 �3� '����� � �

� �� ��� 6�� 3 � 3� � ����

��� ���� F � � �F ���� F �������� F � � �F �������� 4 �* 2�3&��'

�2���� F � � �F ���� F �������� F � � �F ��������3 4 �*

"�����

���2��3 F � � �F ���2��3 F �����2����3 F � � �F �����2����3 4 �*

� �2��3 4 �2��3 4 � � � 4 �2��3 4 */ ����

�����2����3 F � � �F �����2����3 4 �*�

��� 6�� ( � ��� ��� �� ;�2�3/ ( � ����/ ���'

���� 4 ���� 4 � � � 4 ���� 4 * 2���3

9�� ���-��� ��� ������� �� 2�3/ ���� ���� F ���� F � � �F ���� 4 �*

��� 6�� 3 � ��� ��� �� <2�3/ 3 � ����/ ���'

�� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 * 2���3

� 2���3 � 2���3/ ���� 6�� 3 � 3� � ����

Page 146: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

� 2�3 � 2�3/ 3 �3� � ��� ��� �� 7�

&��' �*��� 4 �F & 4 �*��<2�3 F �*��;�2�3

" ��� �� ������� �� �������/ 6�� ���� =��� ���� �'���� ��� � ��;/ ��������� ���#� ����� D7���� 6�� ����� ���������� E

��� ,�� � �� �����

/���

"� �� ��� ������� �� � ������� 6�� � ����� =���� ��� 8�������������#� ����� �� � ��� �� �� 8������ ����� �� ��� ��� 6�� ���� ���� +�� ��/ �� � ������� 6�� � ����� =���� ��� 8��������������#� ����� �� � ��� �� �� 8������ ����� �� ��� ��� 6���� �� ����

"����� �� � ������ �� ��� �������� � � ���'���� @ :��� ���������� �� ���������� ������� �������#� ��������#�A

D& ����� #�������� ������ ����� ��� �������� ������� �� #��$���E

&� ���'���� ���������� � �� �'������>

@ ���� =���� ��� ���������� ������ �������#� ����� � ����� ������� �� ����� ��� � ��� � ��� 6�� �� �� ����� ��� �� ���A@� �� ����;���A

@ ���� =���� ��� ���������� ������ ��������#� ����� � ����� #��$������ ����� �� �� ����� ��� � ��� � ��� 6�� �� �� �������� �� ���A @H �� ����;���A

@:��� �������� ����� �� ���� � ����� #�������� �� �� ����������/ ���� 6�� ����� =���� ��� ���������� �������#� ����� ���A

"� �� ��� ��� ���'���� �����-��� � ������������ @� ��$-� A

+��� �� =����� �� �� ����� � ���� �� �� �������� �'�$�����>

Page 147: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

1�������� �*�*� ��� � > � �� / ���

)� ��� ! � � � " 4 ���� ��� ���� ��� �� ��� ���� �� ����������� ��!� ��������

�2"3 4 ��2��3� �2��3� ���� �2��3� �� �� ��� ���� �� ������������� �2!3�

,� � 3 4 ���� ��� ���� �� �� �� � � ������� ��������

�233 4 ��2��3� �2��3� ���� �2�3� �� ��

����������� 5�6

��� ! 4, ��� ���� �� -� ��� � � �2!3 ���' � 4 �2$3/ ����� $ � !� �� $ � !/ �'����� 6�� $ 4 ����F � � �F����/ ����� ��� � � � � �� � ��&��' � 4 �2$3 4 �2���� F � � � F ����3 4 ���2��3 F � � � F ���2��3�"� � ���� 6�� � � ����� ������� � ��� � �������� ������ ���2��3� � � � � �2��3/ ���' �2!3 4, �2��3� � � � � �2��3 -�

�����������5�6

��� ���2��3 F � � � F ��2�3 4 �*/ ���' �2���� F � � � F ��3 4 �*� ��� 6�� � � �������#� � 6�� ���� F � � � F �� � <2�3� "��������� F � � �F �� 4 �*� &��' �� 4 � � � 4 � 4 * ��� ���� ��� ���� �� �����

&� �'���� ����� �� �� �������� ������� � ����/ �� �������/ 6����� ���������� ������ �������#�/ ���#� �� ������ ����/ �� �� ����������

2������ �*�*� 5 ������ �������� ���� �� ��� ����������������� �?���-�� ? ��?���-��6

��� � > � �� / ��� � ��� ���� ��� ���� ��� ��� ���� �� � � ��������

)� � ������� $$* ��2��3� �2��3� ���� �2��3� �� ��

,� � �������� $$* ��2��3� �2��3� ���� �2��3� ������ /

Page 148: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

-� � ������� $$* ��2��3� �2��3� ���� �2��3� �� ��� ���� �� /

����������� 5)�6

��� ��2��3� ���� �2��3� ���� �� ��� 6�� � � �������#�/ � �����/ 6��<2�3 4 ��*�� ��� � � <2�3/ ���' �2�3 4 �*� �� � � <2�3/ �� ����������� � � / ���' � 4 ���� F � � �F ����/ ����� ��� ���� �� � � � �2�3 4 �*�&��' �* 4 �2�3 4 �2���� F � � � F ����3 4 ���2��3 F � � � F ���2��3�&��' �� 4 � � � 4 �� 4 */ ���' � 4 �*�

����������� 5,�6

��� � ��������#�/ �� ��� 6�� ��2��3� ���� �2��3� '����� / � ,�$�� 6�� ���� �� � � / / �<��� � � � ��� 6�� � 4 �2�3� ��� 4 ���� F � � � F ����/ ����� ��� ����� � �� &��' � 4 �2�3 4�2���� F � � � F ����3 4 ���2��3 F � � � F ���2��3� &��' � � � ��$������ ������ �� � #����� ��2��3� ���� �2��3�/ ���' ��2��3� ���� �2��3�'����� / �

+=��/ ����;���� ����/ �� / 4, �2��3� ���� �2��3 -� ��� � � / /���' � 4 ���2��3F � � �F���2��3 4 �2����F � � �F����3 4 �2�3/ ��� 4 ���� F � � �F ����� &��' � � ��������#��

/���

"�� �������� � ���� 6�� � 6���� �#���'��� � ��� ���������������� � �������#�/ ���� ������� � ���#� ��� ��� �� �� ������ ����

0���� 6�� ��� ���������� ������ ����� ���#�� �� ������ ���� �� �� ����� � �� �������#�� � ��� �� ������� � > �� �� �� ������ ���6�� �2�� *� *� *3 4 2�� �� �� �3/ �2*� �� *� *3 4 2�� �� �� �3/ �2*� *� �� *3 42�� �� �� �3/ �2*� *� *� �3 4 2�� �� �� �3�

"�� ���������� ���#� �� ������ ���� �2�� *� *� *3� 2*� �� *� *3� �� �� ��$���� ���� �2�� �� �� �3� 2�� �� �� �3� � � � �������#��

Page 149: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

/���

"�� �������� �� ����� � ���� 6�� ��� ���������� ������ ��������#�� ������ �� ���#�� ��� ��� ��� � ��� �� �� ���������� �� �������� �� '�������� ��� �� ��� �� �����

/���

:���� 6�� #�� ��'��� ��������� ���� �� �'���� +�� �� 6����6�� ��� �� 6��� �� ������ ���� � ����

9������� ��' ���#���/ ��� ��� 6�� ��� �#�� � #��� �#��� � � 6���� � 6�� �� ���B�� �� �� 5��#������ =� �� ����� �� ���$��/ �� �'��� 6�� ��/ �� 6�� #������ ���� �� ��� � ��� ������������ �� ����� �� ?��'?� @"�� �� ������A (��� �6��;�� �����>

��)������

��� ����� 6�� � � ��� ���������� ������/ ��� ����� � ���$ ���� 6�� � � �� ���)���� "�� ������� #���� �� �� ������� '���'�? �8? 2=>?@3 6�� �'����� 8� ��

5� �������)��� � �� �� 6�� #� �� �� ����� #������������ ��� � �����/ � ����� � > � �� � � �� ��� �� �?"��? 2N6AÆ2A3 � ��� ������� '���'� 6�� �'����� ?�����?�

5� �������)��� � �� �� �������#� )� � �� �����'���' 2=�2A2B3 6�� �'����� ����� �� �� 2� ����� 6�� � #����������� ��� � ��� �� ��������� � ��'��� �������3�

5� �����)��� � �� �� ��������#� "�� � ��� ���������'���'� 2�6C�D3 6�� �'����� ����

5� �����)��� � �� �� �������#� . � ��� ������� '���'�2NDE2B3 6�� �'����� �'����

7��� 6�� � � > � �� / � �� � �� / ������ � � /������ ?�'��� 8� �? 26���� ��������� ��� �<��������� �� � �����/

Page 150: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ��!

#�� �� �������� �� ��� � � ������ 3�

5� ��� �� �������# � ��� �� �� �������)���/ � �����/� > � �� � � �� � +�� ������� '���'� 2��FG �2B3 6�� �'����� � / ����� " ����� 6�� � �� � �� ����� ��� � �$���� ���� �� ������

1�������� �*�*� ��� � > � ��/ �� �������"���� ��������

�*��� � �*��/

�����������

��� " 4 ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� � ��� ��� �� � � &��' �2"3 4��2��3� �2��3� ���� �2��3� � �� ������ ���� 2�'���� ���������-����� ����� ���������� ������ �������#�3�

,��� � #����� ���� �� / � "� � ���� 6�� �*��/ � ��

1�������� �*�*� ��� � > � ��/ �� �����"���� ��������

�*��� � �*��/

�����������

��� 3 4 ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� � � &��'

�233 4 ��2��3� �2��3� ���� �2��3�

'����� / � &��' �*��/ � � � � 4 �*��� �

1�������� �*�*� 52��� � ����6 ��� � > � �� / ��� �� ����*��� 4 �*��/ � �������� ��� ����� ������

)� � �� �������

,� � �� ��������

Page 151: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

�����������

��� ��� �� ���� �� ��� ��� �� ;�2�3�

,��� � 4 �2��3� � 4 �2��3� ���� � 4 �2��3/ ����� �� � � �

��� 3 4 ���� ��� ���� ������ ��� 6�� 2�3 4� 2�3

��� <2�3 4 ��*�� 7�� 6�� 3 � ��� ��� �� � �

� +�� � > 3 '����� � � "� �8���

��� � � � / ������ �2�3 � ;�2�3/ ���'

�2�3 4 ��� F ��� F � � �F ���� ����� ��� ��� ����� � �

,���

�2�3 4 ���2��3 F ���2��3 F � � �F ���2��34 �2���� F ���� F � � �F ����34 �2��3

�� �� 4 ���� F ���� F � � �F �����

� �2�3 4 �2��3/ � ����� �2� � ��3 4 �*/ � ����� � � �� �<2�3 4 ��*�/ ���' � � �� 4 �*/ � �����

� 4 �� 4 ���� F ���� F � � �F ����

� +�� � > 3 � ���� "� �8���/ ��

���� F ���� F � � �F ���� 4 �*�

���'

�2���� F � � �F ����3 4 ���2��3 F � � �F ���2��3 4 �*

���' �� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 */ ��� ��2��3� �2��3� ���� �2��3� ����� &��' 3 � ����

Page 152: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

� 2�3 � 2�3 ���� 6�� 3 � ��� ��� �� � �

&��' �*��� 4 & 4 �*��;�2�3

+�� �� �*��� 4 �*��/

�� ������ 6�� �*��/ 4 �*��;�2�3/ � ����� 6�� � � ��������#��

�� ��� 6�� 2�3 4� 2�3

��� � ��������#�/ ���' �*��;�2�3 4 �*��/ 4 �*���

�� �� #�� 6�� 3 � ����

��� ���� F ���� F � � �F ���� 4 �*� &��'

�2����F����F � � �F����3 4 ���2��3 F���2��3 F � � �F���2��3 4 �*�&��' �� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 *

��� 6�� �� �� ����� �� � � &/ ������ & #����� ���� 8� �� ������ �� � � &��' 3 � ��� ��� �� � �

��� � � <2�3/ ������ � 4 ���� F ���� F � � � F ���� � �2�3 4 �*/������

�* 4 �2�3 4 �2���� F � � �F ����3 4 ���2��3 F � � �F ���2��3

&��' �� 4 �� 4 � � � 4 �� 4 */ � ����� � 4 �*� "����� <2�3 4 ��*�� � � �������#��

/���

"�� �������� � ���� 6�� � �� �� ����� ��� � ��� �� ������������� ������/ � �'��� � �� �� ����� ��� �� ���/ ������/ � �������#� � ��������#� � �� #�-/ � � ���'��� �� �� �/ � ���� 6�� �� ������� �� ��� ����� ?,� ����?/ �<���������

1�������� �*�*� ��� � > � �� / � > / �� % ���"���� �� ��� ;�2�3 42�2 3� ���������

)� Æ � �� ���

,� � � � ��� �������"����� �������� � �� �� �������"���

-� � � � ��� �����"����� �������� Æ � �� �� �����"���

Page 153: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

����������� �

2 Æ �32�F�3 4 2�2�F�33 4 2�2�3F �2�33 4 2�2�33F 2�2�33 42 Æ �32�3 F 2 Æ �32�32 Æ �32��3 4 2�2��33 4 2��2�33 4 � 2�2�33 4 �2 Æ �32�3&��' 2 Æ �3 � �������

����������� �

��� 2 Æ �32�3 4 �*/ ���' 2�2�33 4 �*� "����� �2�3 4 �* ��� <2 3 4��*�� +�� �� � 4 �* �� 6�� � � <2�3� &��' <2 Æ �3 4 ��*�/ � ����� Æ� � �������#�/ ���= �� ���'���� ���� Æ� � �� � �� �

����������� �

��� � � % / ���' �<��� � � / ��� 6�� 2�3 4 �� �� � �� ������ ��������#�/ ���' �<��� � � � ��� 6�� �2�3 4 �� ,��� 6��>� 4 2�3 4 2�2�33 4 2 Æ �32�3� "����� Æ � � �� ��� �� ��� ��� �������� � ������ ���#��� ���� �� ������� �'������>

3������� �*�*� ���� � > � �� / � > / �� % �����"������������� Æ � > � �� % �� �� �����"����

�� ������ � � � �� ���� �� �'������ ����������

��)���� �*�*� ������ ��� � � / � ��� 4��������� ��� �����.&�� � �������� ������� ����� ���� �� �����"��� ����� � ��� ������� � ������� �������� �� �����"��� � > � �� / � �� ������������ � �4 / �

Page 154: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

�'������ �� �����)����

�'�����

.9� �4 �

���� 6�� �� �� � �������# � � �� � ���#� ��� ��� ����� ����

������� �� ����������

� > .9� �� � ������/ ��� 6�� �2�� *3 4 �/ �2*� �3 4 *� "�� ���������� ��� � �� �� .9� �� �� �� �<������ �����;���� � �2�� �3 4 �F �*�

�'�����

��J�K �4 ��

������� �� ���������� ������ � > ��J�K �� ��/ ��� 6�� �2�3 42�� *� *3/ �2�3 4 2*� �� *3/ �2��3 4 2*� *� �3� "�� �� ���#��� ��� ��� ����� �� ��J�K �� �� ��� �������� �� ��/ � �����/�2�� *� *3� 2*� �� *3� 2*� *� �3���� ����� ������ 6�� � � �� � �� � �� �� � ������� 6��� ����� #�������� � � �8�

�'�����

��2�3 �4 ��

(��� �� ������� �� ���������� ������ � > ��2�3 �� �� ��������� 2�� �� � ��� �����3>

�2

�� ** *

3 4 2�� *� *� *3G �2

�* �* *

3 4 2*� �� *� *3

Page 155: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�2

�* *� *

3 4 2*� *� �� *3G �2

�* ** �

3 4 2*� *� *� �3

� �#������ 6�� � �� � �� �

����'�����

0 ��� ������� �� � �� �� �� �� ��/ ��� ��� ����� �� ����� � ��� ��� � ��� ��� �� �� ����� ��� ��� ���� 0��� ���#�� � ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ����� �����;#���

2������ �*�*; 5������)��� @����������6 ��� � �� ��������������� � �������� �*��� 4 � � � �� � � � �4 ���

�����������

� ���� �� �� ���� 6�� � �*��� 4 � ������ � �4 ���

��� �*��� 4 �/ ������ ������� ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� � ���� � > � �� �� ������ ��� 6�� �2��3 4 ��� �2��3 4 ��� ���� �2��3 4 ��6�� � �� � �� �

&��' � �4 ���

�� ��� 6�� � � �4 ��/ ������ �*��� 4 ��

��� � �4 ��/ ���' �<��� � > �� �� � � �� ��� 6��

�2��3 4 ��� �2��3 4 ��� ���� �2��3 4 ���

�� ���� ��� ���� ���/ ��� ��� �� � � &��' �*��� 4 ��

�'�����

"�����-�� �� � �� �����

� 4 �2�� �� � �3G �F � F 4 *� � F �� 4 *� � ��'��� ��

Page 156: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

������

�� �� ���#� 6�� 4 ��� � � � 4 ����� &��'

2�� �� � �3 4 2�� ����� ������3 4 �2�� *������

�3 F �2*� ����� *3

"����� ���� 6�� ��� ��� �� � �

3 4 �2�� *�������3� 2*� ����� *3�

�� ���� �*��� 4 � � � �4 ���

"�����-�� �� � �� �'������>

� > � �� ��G �2�� *�������3 4 2�� *3� �2*� ����� *3 4 2*� �3

&� 8� � ��;���� �� � ��� ��� �� � / �/ 2�� ���� � ������3 � ��

�������� �� � � �2�� ����� ������3 4 2�� �3�

/���

"�� ���� � � ���� 6�� �� � ����� #�������� �� �� ���������� ����� ���������

,� � ����� #�������� �� ��� � � �� ����� ������ �� �$ � ���������/ �� 6�� ������ ��� �������� ��8�������

��� "�������� �� �� ������ �� ��

���� % � � � �$����� #��������� "� ������ �� ��� �� ����$������ ������� �� % �� � / ���� ������ �� ��2%� � 3 ����� �=��� ��8����/ ������� � ��� ���� �2%� � 3� ����.2�2%� � 3�

� ���� �� ������� �� � � �� � �� �

Page 157: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

����

���� �� � ��2%� � 3� "����� �� ���������� 7 > % �� � ���������>

72�3 4 �2�3 F 2�3� �� � %

� �������

�����������

� 72� F �3 4 �2� F �3 F 2� F �3 4 �2�3 F �2�3 F 2�3 F 2�3 42�2�3 F 2�33 F 2�2�3 F 2�33 4 72�3 F 72�3�

� 72��3 4 �2��3 F 2��3 4 ��2�3 F � 2�3 4 �2�2�3 F 2�33 4�72�3�

� 2�3 � 2�3 ���� 6�� 7 � �������

" ���������� 6�� ��� ���������� 7/ ������� �� � ���������� ��$����� � ������� "�� �� � � ������ ������ � �� �'������ ���������

��)���� �*�*� ����� �� � ��2%� � 3� �� ��"�� ��� ����� �� ������ �� ��2%� � 3� �������� ��� � F � ��"��� ���

2� F 32�3 4 �2�3 F 2�3� �� � %

����� �� ���� �� � ? �

"����� �� �'������ ����� � � ������� 6��� ��������� ��'������������ ��2%� � 3 �� �� � ��

D" �� ��;��� ���� ���� ��'������E

2������ �*�*� 2��2%� � 3�F3 �� �� ����� ��� ����

Page 158: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

�����������

�� &� � � � ������#��

22� F 3 F 732�3 4 2� F 32�3 F 72�3 4 �2�3 F 2�33 F 72�3 4

4 �2�3 F 2 2�3 F 72�33 4 �2�3 F 2 F 732�3 4 2� F 2 F 7332�3�

�� ��2%� � 3 ��� ��� ��� �����/ � ����/ �� ���������� ���� � >% �� � G �2�3 4 *� �� � % �

�� ,� �� ����� ��#�� �����# �� / �����# ��

2��32�3 4 ��2�3� �� � % �

�� &� � � � �� �����#��

2� F 32�3 4 �2�3 F 2�3 4 2�3 F �2�3 4 2� F 32�3�

1�������

@:��� ����� �� �� ���������� �� �� �� A

&� ������� �� ���� �� �� �'������ �� ��

����

��� � �� �� �� ��2%� � 3 � � � � �� ������� "����� ������������ �� % �� � / ������� ��

72�3 4 � � �2�3� �������

�����������

� 72�� F ��3 4 � � �2�� F ��3 4 � � 2�2��3 F �2��33 4 � � �2��3 F� � �2��3 4 722��3 F 72��3�

� 72��3 4 � � �2��3 4 � � 2��2�33 4 2� ��3 � �2�3 4 � � 2� � �2�33 4�72�3�

Page 159: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

� 2�3 � 2�3 ���� 6�� 7 � �������

"�� �������� � ������ �� �'������ ����������

��)���� �*�*� + ���� ���� �� � � � � � ���� ���"��� � ����2%� � 3� � �������� �� ���"��� �� ��2%� � 3 ����� ��������������� �� � ��� � � �������� � � � � ��"��� ���

2� � �32�3 4 � � �2�3� �� � %

1�������� �*�*� ����� �� � ��2%� � 3 � �� � � �� �� ���� ����� ���� �� �� ������ �� ������ ������� ��������� ��(�1� ��� 4 �

��(�2� � � 2� F 3 4 � � � F � � ��(�3� 2�F �3� 4 �� F ��

��(�'� 2� � �3� 4 � � 2� � �3

&� �� ������� � ���� �� ������ @(���A

2������ �*�*� ��2%� � 3 �� �� ������ ������� ����� 4�

�����������

" ������� �� �� �������� ���������

��� "������� ������

�'�����

��� � > �� �� ��G �2�� �3 4 2��F�� ��3 ��� ����������� �� ��� 6�� � � �������

Page 160: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ��!

������

���� �� � � ��/ ���' ������ �� 8� � � 4 2�� �3� � 4 2��� ��3/ ������� �� ��� �� � ��

� �2�F �3 4 �22�� �3 F 2��� ��33 4 �2� F ��� � F ��3 4

4 2�2�F��3F2�F��3� �2�F��33 4 2��F�F���F��� ��F���3 4

4 2��F�� ��3F2���F��� ���3 4 �2�� �3F�2��� ��3 4 �2�3F�2�3�

� �2��3 4 �2�2�� �33 4 �2��� ��3 4 2���F ��� ���3 4

4 �2��F �� ��3 4 ��2�� �3 4 ��2�3� � � ��

�'�����

��� � > �� �� ��G �2�� �� 3 4 2�� F �� � F �� ��3 ��� ������������� ��� 6�� � � �������

������

���� �� � � ��/ ���' ������ �� 8� � � 4 2�� �� 3� � 4 2��� ��� �3/����� �� �� ��� ��� � � � ��

� �2�F �3 4 �22�� �� 3 F 2��� ��� �33 4 �2� F ��� � F ��� F �3 4

4 2�2�F ��3 F 2� F ��3� 2� F ��3 F 2� F ��3� �2�F ��33 4

4 22��F �3 F 2��� F ��3� 2�F �3 F 2�� F ��3� ��F ���3 4

4 2��F �� �F �� ��3 F 2��� F ��� �� F ��� ���3 4

4 �2�� �� 3 F �2��� ��� �3 4 �2�3 F �2�3�

&� �������� � �'������ � �� ��� �� � � �/ �� ���������� ���� � � �� � � ��

� �2��3 4 �2�2�� �� 33 4 �2��� ��� �3 4

4 2�2��3 F ��� ��F ��� ���3 4 �2��F �� �F �� ��3 4

4 ��2�� �� 3 4 ��2�3�

Page 161: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

�'�����

��� � > �� �� �� ������� ��>

�2�� �� � �� �3 4 2� F � F F �� ��F �� F F �� �F � F F ����� � F F �� � � � ��F �3

�� (�6�� ��� ��� � �� �� ����� �� <2�3�

�� (�6�� ��� ��� � �� �� ����� �� ;�2�3�

�� "����� �� �������#���� � ��������#���� �� � �

������

2�� �� � �� �3 � <2�3 �

� F � F F � 4 *��F �� F F � 4 *� F � F F � 4 *��� � F F � 4 *� � � ��F � 4 *

���������������

"�� ��� � � �������� �� � 8� � �� � ���/ � �����/ ��������� �

��������

� � � � * *� � � * � *� � � � * *� �� � * � ** � �� �� � *

�������

�������

��

�������

�������

� � � � � �

� � �� �� � �

� � � � � �� �� �� �� � �

� � �� �� � �

Page 162: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

�������

��

�������

� � � � � �

� � �� �� � �

� � � � � �

� �� � � � �

� � �� �� � �

������ �

��

�������

��

�������

��������

� * � � * ** * �� �� � ** * * * * ** � * * * ** * �� �� � *

������

��

�������

������

�������

� � � �� � �

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �� � � � �� �

&��'

�� �F � 4 *� 4 *

F ��� � 4 *

�����

" �����

� 4 �� �� 4 * 4 ���F �

����� G �� � � �

&��' � ��� ��� ��� ������ ������ �� 8� � 2���� *����F�� �� �3/���'

<2�3 4 �2�� �� *����F �� �� �3G �� � � ��

5�� ��� �� <2�3 �

�2�� *���� �� *3� 2�� *���� *���3�

��� 6�� <2�3 �4 ��*�/ �� ���������� � � �������#��

Page 163: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�3 � � ;�2�3 � � 4 �2�� �� �� �� *3F�2�� �� ����� �3F2�� �� �� ����3F�2�� *� �� *���3F�2*� �� *� �� �3� &��' ���� �� ������ �� '�����$��� �� ;�2�3� ���� 6�� �<���� #����� 6�� �������� ������ ������ � ��� ��� ����� �� �������� �;�� � �� '��������/ ��� �������

��������

� � � � *� � � �� �� � � � ��� * � * ��* � * � �

���2��3��

���2��3���2��3

��������

� � � � ** * * �� �* �� * �� ��* �� * �� ��* � * � �

���2��3��

���2�3���2�3

��������

� * � * ��* * * � ��

* � * � �* * * * ** * * * *

���2��3��

��������

� * � * ��* * * � ��

* � * * ��

* * * * ** * * * *

&� ��� �������� �� ;�2�3 �

�2�� *� �� *���3� 2*� �� *� *� ��3� 2*� *� *� ��

���3�

�� �� � ����;� ��� ���/ ���' ����;� =���� ��� �� ���

�2�� *� �� *���3� 2*� *� *� ����3� 2*� �� *� �� �3� � =����;� �#���� ��� �� ������ �����

��� 6�� �*��;�2�3 4 �/ � � � ��������#�/ ��� �*��(2�2�2�3 4��

�'�����

��� �� > �� �� �� ��� 6��

��2�� �� 3 4 2�� �F � ��� �F�� 2�� �3�F 2��� �3�F 2�� ��33�� � � �G ��� 8� ���� �� ���������� ��������

Page 164: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

� "����� �� 0����� � �� . �'�� �� ��/ �'��� � ��8������#���� �� �� "����� � �� ����� �������#��

� "����� �� �������#���� � ��������#���� �� ��/ �'��� � ��8��$���� #���� �� ��

������

(�6�� �� ������ �� '�������� �� ;�2�3�

��� � � ;�2�3/ ���'

� 4 �2�� �� 2�� �33 F �2������ ��� �3 F 2�� �� �� ��3

&��' �� ������ �� '�������� �� ;�2�3 �

�2�� �� 2�� �33� 2������ ��� �3� 2�� �� �� ��3�

��� ���� � �� �����/ ������� �������� ��� ������� � � �� ��� �� ��� �� � �� ��

� ���2�3

�����2��3

��� � � �� �* � ��� �* � �� ��

� ���2��3

�����2��3�

�� � * ��� F �* � ��� �* * �� ��

� ��2

�3

��

��� � * ��� F �* � ��� �* * �� �

� ���2��3

�����2�3�

�� � * ** � ** * �� �

3��� 5�6 �� � 4 * � � 4 �

&� ��� �������� �� ;�2��3 � �2�� *� *3� 2*� �� *3��

�*��;�2��3 4 � �4 � 4 �*��(2�2�2�3

���' �� � � ��������#��

Page 165: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

���� 6��

�*��42�2��3 4 �*��<2��3 F �*��;�2��3

&��' �*��<2��3 4 �� ��������> �� � � �������#��

� ����/ ��� =���� �� ��-�� ���� �'������> ��� 6��

�*��42�2��3 4 �*��(2�2�2��3

�� �� �������� ?,� ����?/ � � � ��������#�/ ������ �� �������#��

(�6�� �=�� ��� ��� ���� <2��3�

,��� 2�� �� 3 � <2��3 � 2�� � F � ��� � F �� *�F *� F *3 42*� *� *3 �

�� � F 4 *��� � F � 4 *

(�6�� �� ������������� �� � ��� �� ��� ��� �

�� �� � *� �� � *

���2��3��

�� �� � ** � � *

���2�3��

�� * � ** � � *

&��' ��� ��� � 6����

�F � 4 *� F 4 *

�� �����

� 4 ��� 4 �

&��' <2��3 4 �2�� �� 3G � 4 ��� � 4 �� 4 �2����� 3G � ��<2��3 4, 2������ �3 -� &��' ��� ��� �� <2��3 � �2�� ����3��&��' �� � � �������#�/ �� 6�� �� ������ �� �� � � ��*� � �� �������� ?,� ����?/ �� �� � ��������#��

Page 166: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

3��� 5�6 �� � �4 * � � �4 �

��'�� ��������>

��2�

���3��

��� � * ** � ** * �

&� ��� �������� �� ;�2��3 4 ��� *� *3� 2*� �� *3� 2*� *� �3��&��' �*��;�2��3 4 �/ �� � �4 ��

,��� / ������ 6�� �*��2<2��3 4 */ ���' <2��3 4 ��*��&��' �� ���������� ������ ��/ � ��������#� � �������#��

�'�����

��� � > �� �� �� ��� 6��

�2�� �� 3 4 2�� F ��� �F �� ��F ��3

(�6�� �� ������ � �� � �'�� �� � �

"����� � � � �������#� ��������#��

������

,��� 6��

;�2�3 4 �2��F ��� �F �� ��F ��3G �� � � ��

(�6�� �� ������ �� '�������� �� ;�2�3�

2��F ��� �F �� ��F ��3 4 �2�� �� �3 F �2�� �� �3

&��' �2�� �� �3� 2�� �� �3� � �� ������ �� '�������� �� ;�2�3�

��� 6��

Page 167: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�*��42�2�3 4 �*��<2�3 F �*��;�2�3

� �*��;�2�3 4 �/ ������ �*��<2�3 4 � � � � � ��������#��

� �*��<2�3 4 �/ <2�3 �4 ��*� � � � � �������#�� ���� 6����� ��� �� <2�3 ����� �� �� ��� ���� (�6�� ��� ��� ����������

��F �� 4 *� F � 4 *

��F �� 4 *

����� �

� 4 2� 4 *

����#� 6�� � =�� �������� ��� / ���'

<2�3 4 �2�� �� 3G � 4 � 4 *� 4, 2*� *� �3 -� &��' ��� ��� �� <2�3� �2*� *� �3��

�'�����

��� � > �� �� �� ������ ��� 6�� ��� ��� ��

<2�3 4 �2�� �� �3� 2�� *� �3�

� �2*� �� �3 4 2�� �� �3� (�6�� �� �������� �� � / � �����/ � �<$������ �����;�����

������

����#� 6�� �2�� �� �3� 2�� *� �3� 2*� �� �3� � ��� ��� �� 42�2�3 4��� &��'

2�� �� 3 4 �2�� �� �3 F �2�� *� �3 F �2*� �� �3

� F � 4 ���F � 4 �

�� F �� F � 4

�����

Page 168: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

"�������/ ���� ��� � � * �� * � �� � �

� ���2��3

�����2�3

��� � � * �* �� � � � ��* �� � � ��

� ���2�3

����2��3��

��� � * � � ��* �� � � � ��* � �� ���

� ���2�3

��

��� � * � � ��* * �� ��F � � �* � �� ���

���2�3��

���2��3

��� � * * ��F � � * * � ���� � F �* � * �� � � F

&��'� 4 ��F � � � 4 ���� � F �� 4 ��� � F

�����

�2�� �� 3 4 ��2�� �� �3 F ��2�� *� �3 F 2���� � F �3�2*� �� �34 2���� � F �32�� �� �3

29������� 6�� � � ��� �� #����� ����� �� �� ������ �� �3

&��'

�2�� �� 3 4 2�%�� �� F ������ � F ������ � F �3

�'�����

���� �� � 7 > �� �� ��

�� �2�� �� 3 4 2�F �� �F �3

�� 2�� �� 3 4 22�� �3�� � �3

�� 72�� *� *3 4 2�� �3� 72*� �� *3 4 2�����3� 72*� *� �3 4 2�� *3/ ����� � �� ���� ���

� ����� ��� �6����� ���������� 6�� � � �������� +�'�$ ���� �� ��������

Page 169: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

� �� �� ���������� �������/ ����6�� ������ � �������#�/��������#�/ �������#�� +�'� ���� �� ��������

������ 5�6

+�� �����> &� ���������� � � �������

��

�22�� �� 3 F 2��� ��� �33 4 �2�F ��� � F ��� F �34 2� F �� F � F ��� �F �� F � F ��34 2� F �� �F �3 F 2�� F ��� �� F ��34 �2�� �� 3 F �2��� ��� �3

"� �� ����� � �'������ ���;� � �� ����6���� / ����6�����/ ��� �� ���������� ���;� � �� � � 6�� ����;� ��� ���- 2������ �����-�� � � �� ����6�����3�

���2�2�� �� 33 4 �2��� ��� �3

4 2��F ��� ��F ��34 �2�F �� �F �3 4 ��2�� �� 3

� 2��3 � 2��3 ���� 6�� � � �������

������ �=�� �� ����� 2�3�

2�� �� 3 � <2�3 � �2�� �� 3 4 2*� *3 � 2�F�� �F�3 4 2*� *3 � �F� 4* � � 4 ��� &��' � =�� �<�'����� ��� � ,��� ������ 6��<2�3 4 �2����� 3G �� � �� �4 ��*�� &��' � � � �������#�� 5����� �� <2�3 � �2����� *3� 2*� *� �3� 2���' �� �� ����� �3� � ��� ����� ��� 6��>

�*��42�2�3 4 �*��<2�3 F �*��;�2�3

���' �*��;�2�3 4 ��

��������> � � � ��������#��

Page 170: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ��!

������ 5�6

,��� 6��

2�� �� 3 4 22�� �3�� � �3

+�� �����> � � �������

�������� ��> 2�� �� *3 4 22�� �3�� *� �3 4 2*���3G

2*� �� �3 4 22*� �3�� �� �3 4 2��� *3G 2�� �� �3 4 22�� �3�� �� �3 4 2*���3

������� / �=�� 2�� �� �3/ ������� 6�� � ������� "� ������� ��� �'������> 2�� �� �3 4 22�� �� *3 F 2*� �� �33 4 2�� �� *3F 2*� �� �3 42*���3 F 2��� *3 4 2�����3/ 6�� � ��8������ �� ������ �������$ �����

������ 5�6

"� ,��� � �� �<������� � �������� �� ��� ���������� ������/ ���� 6������ ��� ��� �� �� � ��� � ��� � #����� �����6����� �� ���� ���/ �<��� ��� ���������� ������ 6�� ���#� � #����� �� ����� �� � ��� #����� � ���� ���������� � ������� &��' 7 �<��� �� ������ ��� �2�� *� *3� 2*� �� *3� 2*� *� �3� � ��� ��� �� 42�273

��� �� ���'���� 2�3/ ���� � �'������>

5�� ���������� ������ � �������#� � ���#� ��� ��� �� �� ������ ����

7� 6�� �� ������ �2�� �3� 2�����3� 2�� *3� � ����/ ��� � �����=���� �� �� � #����� ���� �� ��� &��' 7 � � �������#�/����6����� 6�� �� � � ��

� ��� �����/ �� �4 ��� �� � �/ ���' �� #���� 2�����3 ����� � �� ������� ��� #���� 2�� �3�

"����� �� 4, 2�� �3� 2�����3 -4, 2�� �3� 2�����3� 2�� *3 -� �� ���

&��' ;�273 4 �� � 7 � ��������#��

Page 171: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

�'�����

��� �� > �� �� �� ��� ���������� ������ ��� 6��

��2�� �� 3 4 2�F � � F �� 2�� �33

"������ �� ������ � �� � �'�� �� �� ���� � ������ #���� ��� � � � ���' ������ �� �������#���� � ��������#���� �� ���

������

(�6�� �� ������ �� ��

� F 4 *� F � 4 *

2�� �3 4 *

�����

� ����� ���� �� ����-

��� � * � ** � � ** * �� � *

3��� 5�6 �� � 4 * � � 4 �

� F 4 *� F � 4 *

�&��'/ � 4 �� � 4 ��

�� ���� 2����� 3 4 2������ �3/ ���' <2��3 4, 2�� ����3 -G� �� � ���� �� � � �������#� �� �� �� � 4 � � �� ��� �� ���� ����� ��� ������ � ��/ ���' �� �� ���� � �� �� �� ������ ����� 6�� �*�;�2��3 4 �� (�6�� ;�2��3

,��� 2� F � � F �� *3 4 �2�� *� *3 F �2*� �� *3 F 2�� �� *3 � � 2�� �� *3 � � �������� ������ �� 2�� *� *3 � 2*� �� *3/ ������

;�2��3 4, 2�� *� *3� 2*� �� *3 -/ ���' �� � � ��������#��

3��� 5�6 �� � �4 * � � �4 �

Page 172: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

��'�� ��������

��2�

���3��

��� � * � ** � � ** * � *

� ���2��3

�����2��3

��� � * * ** � * ** * � *

&��' � 4 � 4 4 */ � ����� <2��3 4 �2*� *� *3� � ���� ���#�$ ���� �� ���� � �� �� �� ����� ���� 6�� �*��� 4 �/ � �����;�2��3 4 ��� &��' �� ��� �� 2� �4 �3/ � ����� 6�� �� � �������#�� ��������#�� +�� �� ������ 6�� �� � �� ��� �� / ���' ��������# � � ��������#�

�'�����

����#��� �� � �'��� �� � ��� ��� �� �� ���/ ������ � ������������ ������ � > �� �� ��/ ���� ��>

�2�� *� *3 4 2�� �� *3G �2*� �� *3 4 2*� *� �3G �2*� *� �3 4 2�� ����3 � ��

� � �� G

� ��� �� G

� ��� �� �

������

� 5�� ���������� ������ � �� � �� � ���#� ��� ��� ���� ������ ����

,��� 6�� �2�� *� *3� 2*� �� *3� 2*� *� �3� � ��� ���� +=��������� ������� �� ����������� ������ ��

3 4 �2�� �� *3� 2*� *� �3� 2�� ����3�

��� �2�� �� *3 F �2*� *� �3 F �2�� ����3 4 2*� *� *3� " �6��#�������

Page 173: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

� F �� 4 *� F �� 4 *� � � 4 *

����� �6��#������ �

� 4 ���� 4 �

:����� ����� 6�� �� �* � ����� ������ �� ������� �����>

���2�� �� *3 F �2*� *� �3 F �2�� ����3 4 2*� *� *3/ �� � �/ ���'�� ������ � ���� "����� �� ���������� ������ � � �������#��J � �� 4������ �������#�K�

� 5�� ���������� ������ � �� ��� �� � ���#� ��� ��� �� �������� �� '���������

"� #���� 2�� ����3 4 �2�� �� *3 F��2*� *� �3&��' , 2�� �� *3� 2*� *� �3� 2�� ����3 -4, 2�� �� *3� 2*� *� �3 -/

&��' �*��;�2�3 4 �� � �����/ ( � � �� ������ �� '����$���� ��� �� 283�

&��' � � � �� ��� �� �

� � 2�3 � 2�3 � � � �� ��� �� 2������ �������#�3�

�'�����

��� � > ��J�K ����2�3 � 3 4 ��F��� ���� �F� F��� ��� ����� ��J�K/ ����� � �� ���� ��� �� �� �'������ �����>

�2� F��3 4�� �� �

�G �2���3 4

�� �* *

�G

�2� F� F��3 4�� ��� ��

"<����� � �� ���������� � �� �� ������

������

��� �F �� F ��� 4 �2�F��3F�2���3F�2�F� F��3� & ��� ��6�� ���#� � 6�� � ���� #���� �/ � 4 �/ ��� �� ����� ���� ��6�� ����� � � ��

Page 174: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

� ���� �� �'��� �� �� �/ ���� 6�� �� ���� �� ������� �� ��

.'������ � ��������� �� ��/ ���� > � 4 � F �� F �/ ���'

�� 4 �� 2�� �3� �/ ���' � 4 �����

+=�� ��� �� �������� �� �<������ � �� �����������

�2�F �� F ���3 4

4 � J2�� �32� F��3 F ������2���3 F �2� F� F��3K

4 2�� �3�2� F��3 F ������

�2���3 F ��2� F� F��3

4 2�� �3�� �� �

�F �����

�� �* *

�F �

�� ��� ��

4��� F ��F �� �

�� �� �� ���

���'

�2�F �� F ���3 4��� F ��F �� �

�� �� �� ��

�'�����

��� + > �� �� �� ��� 6�� + 2�� �� �3 4 2�� �� �3� + 2�� *� �3 4 2*� �� �3�"����� �� ���� �� �� � �� �� �<������� � �������� �� + ��'��'� �� ��������

� + 2�� �� �3 4 2�� �� %3

� + 2�� �� �3 4 2*� �� %3

� + 2�� *� *3 4 2�� �� �3

������ 5�6

�� ����� 2�� �� �3 4 �2�� �� �3 F �2�� *� �3� �� + 8��� ������ + 2�� �� �3 4�+ 2�� �� �3F �+ 2�� *� �3 4 �2�� �� �3F �2*� �� �3 4 2�� �� %3� &��' �<���+ 6�� �� ��� 2�3/ ��� + � � ������/ 8������;� �������� �� �� ������#���� ��� 6�� � ��� #����� 8� �� ��� ��� �� ��

Page 175: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

������ 5�6

0 �<��� + 6�� �� ��� 2�3/ ��� #� 6�� � + � ������ + 2�� �� �3 42�� �� %3

������ 5�6

������ 6�� �2�� �� �3� 2�� *� �3� 2�� *� *3� � ��� ��� �� ��/ ���' �<������ ���������� ������ ������� �� ��� ��� � � �������

(�6�� � ���������

2�� �� 3 4 �2�� �� �3 F 2 � �32�� *� �3 F 2�� 32�� *� *3

+ 2�� �� 3 4 �+ 2�� �� �3 F 2 � �3+ 2�� *� �3 F 2�� 3+ 2�� *� *3 4

4 �2�� �� �3 F 2 � �32*� �� �3 F 2�� 32�� �� �3

&��' + 2�� �� 3 4 2�F � � � �� F �� � �� ��F �� � �3

��! "������� ������

�� ����� ��� ������ �� �� �'������ ���������� � �������>

2�3 + > �� �� ��G + 2�� �3 4 2��� �� �F ����F ��3

2�3 >����2�3 ������2�3G 2���

�3 4

�� F � �� �� �

2�3 4 > ��J�K �� ��J�KG 42�� F ���F � � �F ��3 4 �� F����F����

� F � � �F �������

�� ����� ��� � �<��� ��� ���������� ������ � > .9� �� .9� ��� 6��

2�3 �2�� �3 4 2�� *3� �2*� �3 4 2*� �3 � �2�� �3 4 2�� �3

2�3 �2�� �3 4 2�� *3� �2*� �3 4 2*� �3 � �2�� �3 4 2��� ��3

�� ��� � �� ���������� ������ ������� �� � >����2�3�����2�3G

�2�3 4 3� ���� 3 4�� �� ��

��

Page 176: Algebra lineal

��������� �� ����������� ����� ���

2�3 "�������� �� ��� �������� � �� �� ����� �� <2�3 � ��;�2�3

2�3 "����� �� �������#���� � �� ��������#���� �� �

Page 177: Algebra lineal

����� �� �

������

��� ,����- ������ � ��� ����������

������

D+� �� � #� � ������� � �� ������E� ��'��� ����/ �� ���;�6�� �� �� ��� �� +�'���� &����� � ������� �� ������� ���� ��� ���- ��� ��� =� �����-�� �� ������/ ��� � =� ������ �������� �� �����

"�� ����;��� ����� � �'������> ��� 6�� ��� ���������� ������ ��������� ����� � ���� � � ���� ���� �� ��� ���� &��' ������������� ������ ���� ����� ����� �� �� ������ �� #�����

� � ��=�� ��� �� �<�'����� � �

:���� ����� ���� ��� ���������� ������ �� �� ������ �� ���$ ��/ � ����� ����� ������ �� ��� ����-� &��' #��� �$������� ����� ���������� ������� � ��������� � � �������#��������� � ��������� ����� �������

���

Page 178: Algebra lineal

��������� �� ������� ���

0%���-����

������� � � �� ��� ��/ �� � �� ��� �� ���

3 4 �2�� �� �3� 2�� �� �3� 2�� ����3�� ��� ���������� ������ � > �� �� ��/ ������� ��

�2�� �� �3 4 2�� ��3G �2�� �� �3 4 2%� �3G �2�� ����3 4 2����3"����� �� �� #����� ����� ���� � �

"� ��/ ������� �� ��� ( 4 �2�� �3� 2�� *3������#� 6��>

2�� ��3 4 ��2�� �3 F 2��32�� *32%� �3 4 �2�� �3 F �2�� *32����3 4 2��32�� �3 F �2�� *3

&��'/ � ��� �� ��� 3 � ( � ������ �� ���� �� � ��� ��$� �� �� ���/ ������ � ���� ������� �� � ��� ��> ��/$�/�/�/$�/��

��� 6�� �� ��� �� ��� �� 8������ �� ���� � �� ��� �������$���� 6�� =��� �� ��������/ ��������

2� G3�(3 4��� � ���� � �

� ���� 6�� � �� ����- �� � �� ������ � �� ��� 3 � (�

3���������� �� �� ���� ������� � ��� �������� �����

���� � � / � I$����� #�������� �� �� ����� � � �������$#� ����� , � ��� ��� 3 �� � / 3 4 ���� ��� ���� ��� � ��� ���( �� / / ( 4 ���� ��� ���� ����,� #���� � �� � � �� #���� � �� / / � �<������ �� ��������� �������#� �� 3 � (�

7� � ������� �� ���� �� 6�� � =�� �� ��� � ��� ��� ���� ����

Page 179: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

��� �2�3 4 �� ��� � 4 ���� F ���� F � � �F ���� 4��

���

����

� 4 ���� F ���� F � � �F ���� 4�����

����

, � ��� ���������� ������ � > � �� / � � �� ,��� � 1����$ ����� ��� �+�'���� &�����/ ���� 6�� � ���� ����� ����� � �� ��� ����� ������ ����� � ���� �� � ��'��� �� � ��� ��� �� �� ����� � >

�2��3� �2��3� ���� �2��3

"� #����� � ��� ��� �� �� ��� ( �� / �� �� ������'������>

�2��3 4 ����� F ����� F � � �F ����� 4�����

�����

,� #���� � �� � / � 4��

���

����/ � ��#���/ �� �� ���������� ������

� / �� �� #���� �� / �'������>

� 4 �2�3 4 ���2��3 F ���2��3 F � � �F ���2��3 4��

���

���2��3

9�� ���-��� � �2��3/ ����

� 4 �2�3 4��

���

��2�����

�����3 4�����

2��

���

�����3��

������ ������/ �� � ������ ��� ��� ���� �� �� �/ � �����/ ��

�2�3 �� �� ��� ( �� / / �� 4��

���

�����/ � � � � �/ � �����/

�� 4 ����� F ����� F � � �F ������� 4 ����� F ����� F � � �F ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� 4 ����� F ����� F � � �F �����

���������

Page 180: Algebra lineal

��������� �� ������� ��!

� �����-� �� �������� �� �� � ������ �� ��� ����� �� �������

"�� � �������� � ���������-��� �� �� ����'� ������'���� 2������/ �� �� ����-3 �'������>

�����

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

��� ��� �� ���� ������� � � ��� �������� � �� %��� 3 �� �? � �� %��� ( �� / � � ����� 2� G3�(3�

�� ���� 6�� ��� ����- ����� � ��� � � ��� �� � ���� ������ ���� ��� �� ������ �� �� ����-�

9���;���� ����/ � � �� ��� ����- �� � ��� � � ��� ��/ ��8�� ���

�� 4��

���

�����

������ ��� ���������� ������ �� � �� / �

"� �8���/ ���� �� � � � / �� �������� ��� ��� ���� �� �� �� ���

3/ � �� 4��

���

����� =���� ��������� �� #���� ����� �� / ��

�������� ��� ��� ���� �� �� �� ��� (�

"�� #���� � ���� ��� �� �� ��������

� 4�����

2��

���

�����3�� 4��

���

��2�����

�����3 4��

���

���2��3 4 �2��

���

����3 4 �2�3

,��� 6�� � � ������ 2,� � ��� '����� ���� �� �������� @����A3

��� � 4 ��/ � ����� �2��3 4�����

�����/ � ��� 6�� �<��� ��� ����������

������ 6�� �� ��� ��� �������� � � ��� 6�� � �������

Page 181: Algebra lineal

�%* ���� ������ ����� ����

�'�����

��� � > �� �� ��G ������� ��> �2�� �� 3 4 2��� �F �3�

������� 3 4 �2�� �� �3� 2����� *3� 2�� *� *3� ��� ��� �������2� ��� �� ���� �� ���� ���3 �� �� � ( 4 �2�� *3� 2����3���� ��� ������� �� ��� (�6�� 2� G3�(3 @ �� ������A

������

������� 6�� �2�� �� 3 4 2��� � F �3/ ����

�2�� �� �3 4 2�� �3 4 �2�� *3 F��2����3�2����� *3 4 2�� *3 4 �2�� *3 F *2����3�2�� *� *3 4 2�� �3 4 �2�� *3 F��2����3

&��' 2� G3�(3 4�� � ��� * ��

�'�����

��� � > �� �� ��G �2�� �� 3 4 2� F � F � �3�

������� 3 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3� ��� ��� �� �� �

( 4 �2*� �3� 2�� �� 3� ��� ��� �� ���

(�6�� 2� G3�(3�

+ ������ �� �2�� �� 3 4 2� F � F � �3/ �����

�2�� �� �3 4 2�� �3 4 *2*� �3 F �2�� �3�2�� �� *3 4 2�� *3 4 ��2*� �3 F �2�� �3�2�� *� *3 4 2�� *3 4 ��2*� �3 F �2�� �3

"����� 2� G3�(3 4�* �� ��� � �

�'�����

��� � > ��JK �� ��JKG �2 233 4 2��3 �23� ����� ��� 2� G3�(3/

Page 182: Algebra lineal

��������� �� ������� �%�

���� 3 4 �� F F �� � F � �� � ( 4 �F �� � F F �� ���

������

,�� #�- ��� �<�������� ��� �� � ���� ���� �� � � (��� � ��;>

�2� F � F ��3 4 2�� 32� F ��3/ ��� �23 � �� ����#��� 8� �� �� 23 2� ����� 6�� ����� �� � � 8� � �� �� ����#���� @�� ������A3

�2� F F �3 4 2�� 32� F �3 4 � F � ��

�2� F 3 4 2�� 3 � � 4 �� �2�3 4 2�� 3 � * 4 *

(�6�� �� �������� �� �� #����� �� �� ��� (�

� F � �� 4 *2F �3 F �2� F F �3 F����� 4 ��2 F �3 F �2� F F �3 F ��

* 4 * � 2F �3 F * � 2� F F �3 F * � �&��'

2� G3�(3 4

��� * �� *� � *�� � *

�'�����

��� � > �� �� ��J�K ������ ���� ����- �'��� �� ���

3 4 �2�� �3� 2�� *3� � ( 4 �� F� F��� � F�� �� �

2� G3�(3 4

��� � �� �� �

(�6�� �� �<������ �����;���� �� � �

������

���� 6��>

�2�� �3 4 �2� F� F��3 F �2� F�3 F �2�3�2�� *3 4 �2� F� F��3 F �2� F�3 F �2�3

Page 183: Algebra lineal

�%� ���� ������ ����� ����

&��'�2�� �3 4 ! F �� F��

�2�� *3 4 �� F !� F ���

+=�� ������ 2� 3 � ��/ �'��� �� ��� 3

2� 3 4 2�� �3 F 2 � 32�� *3

&��'

�2� 3 4 �2�� �3F2�3�2�� *3 4 2!F��F��3F2�32��F!�F���3

� �����/

�2� 3 4 2�� � �3 F 2! � �3� F 2� � 3��

��� �� � �� �� � � � ��

������

0%���-����

���� �� > �� �� �� ������� ��>

�2�� �3 4 2��F �� �� � ��� �� � ��3 � 2�� �3 4 2��� ��� ��� �� �3

"��� �� ��� �������

3 4 �2�� �3� 2�� �3� �� �� � ( 4 �2�� �� �3� 2�� �� *3� 2�� *� *3� �� ��

2� F 32�� �3 4 �2�� �3 F 2�� �3 4 2��� �� �� � �� �� � ��3���'/

�2�� �3 4 2�� �� �3 4 �2�� �� �3 F �2�� �� *3 F �2�� *� *3�2�� �3 4 2�� *���3 4 ��2�� �� �3 F �2�� �� *3 F �2�� *� *3 2�� �3 4 2*� *� �3 4 �2�� �� �3� �2�� �� *3 F *2�� *� *3 2�� �3 4 2�� �� �3 4 �2�� �� �3 F *2�� �� *3 F �2�� *� *32� F 32�� �3 4 2�� �� �3 4 �2�� �� �3 F �2�� �� *3 F �2�� *� *32� F 32�� �3 4 2�� �� *3 4 *2�� �� �3 F �2�� �� *3 F �2�� *� *3

Page 184: Algebra lineal

��������� �� ������� �%�

�� ����

2� G3�(3 4

��� � ��� �� �

� G 2 G3�(3 4

��� � ��� ** �

2� F G3�(3 4

��� � *� �� �

" �#� � �� � ���;� �� � ��� ��� ������ �� ����� �������� �� ������� � ������� �� ��� � �� D,� �� �� ��� ����� �� ����� ��E @�����A

���-����

���� � � / � �$����� #��������� ��� 3 4 ���� ��� ���� ��� ������ ������� �� 3 � ( 4 ���� ��� ���� ��� ��� ��� ������� �� / ����� �� > � �� / � ��

�2��3 4�����

�����/ 2��3 4�����

������ &��'

2� F 32��3 4 �2��3 F 2��3 4�����

����� F�����

����� 4�����

2��� F ���3��

&��'

2� G3�(3 4

��������

��� � � � ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � � ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � � ��� � � � ���

2 G3�(3 4

��������

��� � � � ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � � ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� � � � ��� � � � ���

Page 185: Algebra lineal

�%� ���� ������ ����� ����

2� F G3�(3 4

��������

��� F ��� � � � ��� F ��� � � � ��� F ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� F ��� � � � ��� F ��� � � � ��� F ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� F ��� � � � ��� F ��� � � � ��� F ���

"� ��#� �� �'������ ���������

��)���� �*�*� + ���� ��� �� ������� 2���3 � 2���3 �������������� ����2�3� � �������� ��� ����7 �� ����2�3� ����� ������ 2���3 � 2���3� �������� 2���3 F 2���3 � ��"��� ���

2���3 F 2���3 4> 2��� F ���3

�� �����2� G3�(3 F 2 G3�(3 4 2� F G3�(3

"� �������/ �� � � �� �� ������ �� � �� � �� ����- ���� � � �� � � �� �

��� ������ �� �� ������ �� �� �

� � ������ �� �� ������ ��

��� ����-

9����� 6�� �� �� ����;��� ������� ����� �� ������ �� �$����� � � � ���� � � �� �� �

0%���-����

��������� �� �� � > �� �� �� � �� ��� �� �� ���#������������/ ����

2��32�� �3 4 � � �2�� �3 4 2���F ��� ���� ���� ��� � ���3

Page 186: Algebra lineal

��������� �� ������� �%�

&��'

2��32�� �3 4 2��� ��� �3 4 �2�� �� �3 F ��2�� �� *3 F �2�� *� *3

2��32�� �3 4 2��� *���3 4 ��2�� �� �3 F �2�� �� *3 F ��2�� *� *3

2� G3�(3 4

��� � ��� �� �

� � 2�� G3�(3 4

��� � ���� �� ��

0��#� ���� �� ����� �� �� ����� �� �=���- ���� ���������� ��� ����- �� �� ������

���-����

������� �� � � ���������� ������ � � �� � � ��� �� �� ��#����� �������� ��� � � �� � �� ��������� �� �� ���������������� � � � / ����

2��32��3 4 � � �2��3 4 ������

����� 4�����

2����3��

&��'

2�� G3�(3 4

��������

���� � � � ���� � � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � � � ���� � � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � � � ���� � � � ����

� �����/ 2�� G3�(3 4 2����3� "� � ��#� � �� �'������ ���������

��)���� �*�*� + ���� ����7 2���3 ������������ � ����2�3 � ����� ���� �� � � �� � ���������� ��� ����7 �� ����2�3� ������������� �� � ��� 2���3� �������� � � 2���3 � ��"��� ���

� � 2���3 4 2� � ���3

Page 187: Algebra lineal

�%� ���� ������ ����� ����

�� �����

� � 2� G3�(3 4 2� � � G3�(3

"� �������/ �� ������ ������ �� ��� ����- �� �� �� � �� ����- ��� ������ ������ �� �� �� �

��� � ������ �� �� � �����

� �� ������

���-����

���� % / � � / ��� �$����� #�������� �� �� ����� �/ � � &�������#� ����� ���� � > % �� � � > � �� / � "��� ����� 3/ ( � 4 �������#� ���� �� % / � � / �

3 4 ���� ��� � � � � ���/ ( 4 ���� ��� � � � � ���/ 4 4 ���� ��� � � � � ��������

2� G3�(3 4 2���3�� � � � �� � � � � �� 2 G(�43 4 2���3/ � � � � �� � � � � �

(�6�� �� ����- �� Æ � �

�2��3 4��

���

������ 2��3 4��

���

�����

&��'

2 Æ �32��3 4 2�2��33 4 2��

���

�����3 4��

���

��� 2��3 4��

���

���2��

���

�����3

�� ����

2 Æ �32��3 4��

���

2��

���

������3��/ � � � � �

Page 188: Algebra lineal

��������� �� ������� �%�

���

��� 4��

���

������ 4 ������ F ������ F � � �F ������

������ ������

2 Æ �32��3 4��

���

�����

&� ����- ������ � Æ � � ������ 2���3�,��� ������ �� �'������ ���������

��)���� �*�*� + ��� ����7 2���3 �� ����2�3 � ��� ����7 2���3�� ����2�3� � �������� ��� ����7 �� ����2�3� ����� ���.����� �� ��� ������� 2���3 ? 2���3� �������� 2���3 � 2���3 � ��"������

2���3 � 2���3 4 2��

���

������3

� ����� ������ 2���3 � 2���3 �� ������ �� ���� �������

"6�� � �� �� ���������>

��� ��� ��� � � � ���

� �

������

���������

���

� 4

����

���� � � ��� � � �

���

9�������� �� ������������� �� �� ��� � �� �� ��� �� 0 � � �������� ��'�� 2�� 03 �� �� ����- �������

2 G(�43 � 2� G3�(3 4 2 Æ � G3�43

" �����/ �� ������ �� �� ������ �� � �� � �� ����- ���� � ������ �� � �� �

Page 189: Algebra lineal

�%% ���� ������ ����� ����

�'�����

������� ���#� ���� �� ���������� ������

� > �� �� ��G �2�� �3 4 2��F �� �� � ��� �� � ��3

� �� � � ��� ������� �� �� ���#����� ���������

+�� �� ������� �� ���������� ������

> �� �� ��G 2�� �� 3 4 2�� � F ���� F ��3

������� 4 4 �2�� �3� 2�� *3� ��� ��� ������� ��� �� ����� � ��6�� �� ������> 2 G(�43 � 2 Æ � G3�43

,��� >

2�� �� �3 4 2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� *3 2�� �� *3 4 2*� �3 4 �2�� �3 F��2�� *3 2�� *� *3 4 2����3 4 ��2�� �3 F �2�� *32 Æ �32�� �3 4 2�2�� �33 4 2�� F ����%�F ��32 Æ �32�� �3 4 2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� *32 Æ �32�� �3 4 2����3 4 ��2�� �3 F �2�� *3

&��' ����

2 G(�43 4�� � ��� �� �

�G 2� G3�(3 4

��� � ��� �� �

2 Æ � G3�43 4�� ��� �

"� ��� �� � �� �� ������� ����- � ������ �� � � �F� � �F2��3 � �/ ������ �� ��� ��� ��� �� 2 G(�43/ �� �� ��� ��� ��� �� �� 2� G3�(3�

+�� ��

�� 4 � � 2��3 F � � � F 2��3 � �� 4 � � � F 2��3 � � F � � �� 4 � � 2��3 F 2��3 � � F � � �

Page 190: Algebra lineal

��������� �� ������� �%!

��� .� � �������� �� ���� � �

���� � � / � I$����� #���������

��� 3 4 ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� � � ( 4 ���� ��� ���� ��� ��� ����� / / � �� ��� ��������

�� � � � / ������

� 4 ���� F ���� F � � �F ����

��2�3 4 ���� F ���� F � � �F ����

��� 2� G3�(3 4 2���3/ � �����

�2��3 4 ����� F ����� F � � �F �����

�2��3 4 ����� F ����� F � � �F �����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��2��3 4 ����� F ����� F � � �F �����

���������

&��'

�2�3 4 �2���� F � � �F ����34 ���2��3 F � � �F ���2��34 ��2����� F � � �F �����3 F � � �F ��2����� F � � �F �����34 2����� F � � �F �����3�� F � � �F 2����� F � � �F �����3��

&��' �� �� �������� �� �� � ������ �� �� ���>

�� 4 ����� F ����� F � � �F ������� 4 ����� F ����� F � � �F ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� 4 ����� F ����� F � � �F �����

���������

�� ����

�����

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

� �

��������������

� 4

������

���������

Page 191: Algebra lineal

�!* ���� ������ ����� ����

" �����/

2� G3�(3 ���� ��'���3

� 4

��� �2�3�'���(

�'�����

��� � > ��J�K �� ��G �2�F��F���3 4 2�F��� ��F�3� ������� �� ��� 3 4 ��� � F�� � F� F��� � ( 4 �2�� �3� 2�� *3� �� ��J�K� ��/ �������#� �����

7�� ���� � �� � �'�� ��� #���� � 4 !F �� F ���� � ���� �� ����� 2� G3�(3

�2�3 4 2�� *3 4 *2�� �3 F �2�� *3�2� F�3 4 2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� *3�2� F� F��3 4 2�� �3 4 �2�� �3 F �2�� *3

"����� � �'��� �� ��� 3

! F �� F ��� 4 � � � F��2� F�3 F �2� F� F��3

)����������� �� � ������ ������ ����

�* � �� � �

����� ����

� 4

����

� �����/

�2! F �� F ���3 4 ��2�� �3 F �2�� *3 4 2�!� ��3

9������ 6�� � ����� � ����� �������� ������� ���� �� ����������� � �

Page 192: Algebra lineal

��������� �� ������� �!�

��� .� � �������� �� �� ��� � �� ���

�������

"� ��� � �� �������� ������� �� � �������� � � ����'���� �$'������>

����� F ����� F � � �F ����� 4 ������� F ����� F � � �F ����� 4 ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ F ����� F � � �F ����� 4 ��

���������

���� �� ���������� �������� ����/ �� �� ����� �'������>

�����

��� ��� � � � ���

��� ��� � � � ���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

� �

��������������

� 4

������

�������

��

" �����/ �� �� 8� �> " �� 4 3

���� " � �� ����- �� � ���������/ � 4

��������������

� � 3 4

������

�������

��

��! ) �� � ������ ��#�������

���� 6�� �� � �� � ��#�������� " ������� ���'������ �� ���������� ��#��� � ������� @ �����A C� �6��; �� ��������

����

��� � > � �� / �� � �� / ������ ��� >/ �� � � �������

�����������

��� ��� �� � / / �<���� ��� �� ����� ���� 6�� �2��3 4 �� �

Page 193: Algebra lineal

�!� ���� ������ ����� ����

�2��3 4 ��

,��� 6��

���2��3 F ���2��3 4 �� F �� 2�3

�� �2�� F ��3 4 �2��3 F �2��3 4 �� F ��/ ���'

���2�� F ��3 4 �� F �� 2�3

�� 2�3 � 2�3/ ����� 6�� ���2�� F ��3 4 ���2��3 F ���2��3

+�� �� �2���3 4 ��2��3 4 ���/ ���'

���2���3 4 ��� 4 � � ���2��3

��)���� �*�*� ��� � ���2�3� ������ ��� � �� �-���%�� ��������� � ����� ��� ����7 < ���2�3 �� ���

� �< 4 < �� 4 ;�

���� ����7 < � � ����������� ��� < 4���

1�������� �*�*� ��� � > � �� / �� �����"���� ���� 3 � (����� ��������� �� � � / ��������������� ��������

2� G3�(3�� 4 2���G(�33

"� �������> �� ��#��� �� �� ����- �� ��� ���������� ������ ��#�������/� �� ����- �� �� ���������� ������ ��#����

�����������

,��� 6�� ��� Æ � 4 ;�� �

&��' ; 4 2;�� G3�33 4 2��� Æ � G3�33 4 2���G(�332� G3�(3

&��' 2� G3�(3�� 4 2���G(�33

Page 194: Algebra lineal

��������� �� ������� �!�

1������ ���� ��������� �� ���� �-����

C�� �� ���� '����� ���� �������� �� ����- ��#��� �� ��� ����-�" ��� ����������/ ��� �� �����-� �� �������� ��� �������

� ��-��� �� ���#�� 6�� � ���� �������� ��� ����� �8��������� �� ��;��� �� ��� ����-/ �� �������� ��� ������������� �� ��� ����- ��������

7�� ���� �� �� �� ��� �� �������� �� �� ��� ���

0%���-����

)�������6�� �� � �� ��� ��� ��� �� �� ����- " �'������>

��� � � �� � �� � �

� ��2�3

��

��� � � �� � �� � �

"�� ����� � ����- �� ����� ��� ������>

��� � * ** � ** * �

� �

��� � � �� � �� � �

� 4

��� � � �� � �� � �

����

)���������� �� � �� ��� * �� ��� ����- "/ �������� � ����������� �� �-6������ �� "/ �� �� ����- ������� �� �� ����- ���������/�� ����� �� � �� �� �$��� � ��� �� ��

0%���-����

�� ��� �� ��� ��� � �� ������� ��� �� �� ����- " �'������>

Page 195: Algebra lineal

�!� ���� ������ ����� ����

��� � � �� � �� � �

� ���

��

��� � � �� � �� � �

"�� ����� � ����- �� ����� ��� ������>

��� * * �* � *� * *

� �

��� � � �� � �� � �

� 4

��� � � �� � �� � �

����

�� ���� �� �$��� � ��� �� ��� ����- "/ �� �� �$��� � ��� �� �� � � ����-/ �������� � ���������� � �� �-6������ �� " �� �� ����- ������� �� �� ����- ��������� ��� ����� �� �$��� � ��� ���� �$��� � ����

0%���-����

+ �� ������� ��� �� �� ����- "/ �� #� � � �� 2��3 #��� �� ��� �������

��� � � �� � �� � �

� ���2��3

��

��� � � �� � �* �� ��

"�� ����� � ����- �� ����� ��� ������>

��� � * ** � *�� * �

� �

��� � � �� � �� � �

� 4

��� � � �� � �* �� ��

Page 196: Algebra lineal

��������� �� ������� �!�

����

+ �� �$��� � ��� �� �� ����- "/ � ���� � #��� �� �$��� � ��� ���� � � ����-/ �������� ���������� � �� �-6������ �� "/ �� �� ����- ������� �� �� ����- ���������/ �� ����� �� ��� ��� �����'�� 2*� 03 �� �

��)���� �*�*� ������ ��� ��� ����7 �� ��� ���� ������.���� � �� ������� �� � ����7 �������� � ������ �� ��� � �� � ����������� � ������ �

2������ �*�*� � ��� ����7 " ����� ��� ������� � � ����7 ��������� ��� ��� ������� "��� �� ���������� � ������ �� �� �� $������������� " �� ������ � � � ����7 ������ �� "� �� ������� � ������� � ����7 �������� � � ��� �� � �� �� � ���� ������� ������������ �� �� $�����

�����������

" ��� ������ �� ���������� �� � �� � ���������

3��������

"� �� ��������� ���� � �������� ���� �� �� ����- ���� � �� ����- ���������/ � ���#�� �� �������� ��� ������/ =��� ���'�� ��� ��������� �� �� ��'�� 6�� ����� "� &� ����- ������� �� �� ��'�������������� � �� ����- ���������/ � �� ����- ��#��� �� "�

"6�� ������ ���� ���� >

2"�;3 �� � � � �� � � � �� 2;�"��3

Page 197: Algebra lineal

�!� ���� ������ ����� ����

�'�����

(�6�� �� ����- ��#��� ��

" 4�� �� �

������

�� � � *� � * �

���2��3��

�� � � ** � �� �

���2��3��

�� * � �* � �� �

��2

��3

���� * � �* � ��

���

&��'

"�� 4

�� ����

��

��' /�� �� � ����- �� �� �� ��

���

�����������

������� �� ����� #������� �� ��� � � � ��� �������

3 4 �2�� �3� 2�� *3� � ( 4 �2����3� 2*� �3�� ����'� 6�� ���� ��� '��� �������� �� #����� ��� ���� �'��� �� ��� 3 � ����$��� � � ������ �'��� �� ��� (�

� ��� ��/ �� #���� � 4 2�� �3 � ��� ��� �'��� �� ��� 3�� 2�� �3 4 �2�� �3 F 2��32�� *3 � � ��� ������ �� �� ��� ( �2�� �3 4 �2����3 F �2*� �3���� ��� �� ���;� � 4 2�� �3 6�� ����� � ������ � � � �'��� ����� 3 � � � ! �'��� �� ��� (�

Page 198: Algebra lineal

��������� �� ������� �!�

(��� �� ���� �������� ���� ������ �� � ������ �� �#����� �� ������ � �� ��� (/ ������� �� � ������ �'����� ��� 3�

"� �������� �� ��� ����� � �� 8� � '������ � �� �'������

1��%����

��� � �� �$����� #�������� ������� � ��� �� � / 3 4���� ��� ���� ��� � ( 4 ���� ��� ���� ���� ������� �� � ���������� ��� ���� ��� ��� #���� � � � �� ��� ��� (/ ����� ���� �� � �$����� ���� ��� ���� ��� �� ��� � #���� � �� ��� ��� 3�

������

"<��� �� ����� ��� �� � �� � 6�� ��#�;� �� ��� 3 �� �� ���(/ � �����/ ��� 6�� �2��3 4 ��� �2��3 4 ��� ���� �2��3 4 ��� ��� 6�����#� ��� ��� �� ���/ � � �������#�/ � �����/ � � �� ��� �� �

"� ���'���� �� ������> ��� ������������� �������� �� � � ��#��$�����/ �� ���� �� �� ��� ���'��� �� �� � ��� �� �� �� ����

���

�� 4 �2��3 4�����

�����

�� 4 �2��3 4�����

�����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 4 �2��3 4�����

�����

�������������������������

&� ����- 5 4 2���3 � �� ����- �� � �� ������ � �� ��� 3 �� ��� ��� � �� �� �$� ���/ � �����/ 5 4 2���3 4 2� G3�33/ ��� ��� ����- � � #�- �<=��� �� ��� ������ �� ���� ��� ��� �� �� ���( �� ������ � �� ��� 3�

��'� ���#���� ��� ����� ��

��� � � � / � 4 ���� F ���� F ���F �����

Page 199: Algebra lineal

�!% ���� ������ ����� ����

� ��� �����>

� 4 ���� F ���� F � � �F ����

4 �������

����� F �������

����� F � � �F �������

�����

4 2����� F � � �F �����3�� F � � �F 2����� F � � �F �����3��

&��'�� 4 ����� F ����� F ���F ������� 4 ����� F ����� F ���F ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� 4 ����� F ����� F ���F �����

���������

���

� 4

�����

����� � ���

� G H 4

�����

����� � ���

� G � 4 5H G H 4 5���

�����

����� � ���

� 4

�����

��� ��� � � � ���

��� ��� � � � ���

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

� �

�����

����� � ���

2� �'��� 33 4 2( �'��� 33 Æ 2� �'��� (3

��)���� �*;*� �� ����7 5 4 2���3 �� ����� ���� �� ���.%� �� %���A �� � ���� ( � � ���� 3�

��( 0� �� ����1����� � ������

�1��#������

1��%����

,��� �� �� � > � �� / �<����� �� ��� ����-� / �������� � �� ��� 3 � (� :���� �<������ �� ������ � ������ 3� � ( ��

Page 200: Algebra lineal

��������� �� ������� �!!

,� ����� � ������� ������� �� �������� 6�� =�� ����� ��� � �$����� � �� '������/ ����� ��� �� ������ ������ � ��� �� �

3��%� �� %��� �� �� ���)���

��� � > � �� / �� �� � ���� 3 � 3� � ��� �� � � ( � ( �

� ��� �� / �

�� ����� � 4 2� G3�(3 � � ������� � � 4 2� G3�� ( �3

���� 5 > 3� �'��� 3G I> ( � �'��� (G I��> ( �'��� ( �

� 4

�����

����� � ���

� � �'��� 3G H 4

�����

����� � ���

� �2�3 �'��� (G

� � 4

�����

������� � ����

� � �'��� 3�G H � 4

�����

������� � ����

� �2�3 �'��� ( �

�� ����� 2�3> H 4��G 2�3> H � 4� �� � 2�3>� 4 5� � 2�3> H 4 IH �

9�� ���-��� 2�3 � 2�3 �� 2�3 � �����> IH � 4 �5� � �� ����/ ����������� �� I�� � ������ 2�3> H � 4 I���5� �� � ������2�3 � 2�3 ���� >

� � 4 I���5

" �����/

2� G3� � ( �3 4 2( �'��� ( �32� G3 �� (323� �'��� 33

"�����/ �� ��� ����- � ����� ���'�� � �� ��� � ���#�� �� �� ��$����������� �� �� ������ �� �� �� �� ��� �������#�� 0���� 6����� ������ � ��#��������

"�� ������� � ���#� � ��� ��� ���#� ��������� �� �� ����� �� �� ������� ���� 6�� ��� ������ � �6��#������/ ���/ ���� ��� ��������� �� '������ 6�� ����

��)���� �*$*� �� ��� ��� ��� ���� � � ����2�3 �� �,�.-������ � ��� ���� � � �����2�3� � ����� ��� ����7 ������ �

Page 201: Algebra lineal

�** ���� ������ ����� ����

5 ���2�3 � ��� ����7 ������ � I ���2�3� �� �� ����

� � 4 I���5

"� �� �� ���������� � � ��2�3/ ���� 6�� � �� ����'���� ���� ���� � � ���2�3/ � �<��� ��� ����- ��#������� 5 ���2�3��� 6��>

� � 4 5���5

"� �����/ � � � � 4/ / 3 4 ( � 3� 4 ( ��

0%���-����

?��� �6��#������ �? � ?�� � ������ �? � �������� �� �6��#��������

0%���-����

��� � �� ��� �� �� � / � ����� � > � �� � ������� "�������� �� ������ ������ � � � � ������ ����� ����/ � �����/���� #�- 6�� �� ��� �� ���/ ����� ��� ����- � ������� �� ��������

���2 "������� ������

�'�����

���� � �/ � I$����� #��������� ��� �� > � �� / �� �*�� 4�*�/ 4 �� "����� � #���� �� � ���� � ����� �� � ��� �� / ����

2��G33 4

��� � � ��� %� � *� � ��� %

�G �� 3 ��� ��� ����

Page 202: Algebra lineal

��������� �� ������� �*�

������

�� � �� � �� � � �� � 2��G33 � ��� ����- ��#������� � ��� � � ����- �������� � �� ���������� ,��� >

��� � � ��� %� � *� � ��� %

�������� * ** � ** * �

� ���2��3

����� � � ��� %� � ** � *

�������� * ** � *�� * �

� ��2

��3

����� � � ��� %� � ** � *

�������� * ** � *��

�* �

� �� � � � ��

��� � * ** � ** * �� F �

���������

� �����

�* �

���

� ����

� 2�3

�� �� � 4 * � � 4 �

��� � * ** � ** * *

���������

� �����

�* �

���

� ����

&��' �� ����- "� � � ��#������� � �� � �� �� � � ��� �� �

�� �� � �4 * � � �4 �

9�� ���-��� �� 2O3

��� � * ** � ** * �

���������

� �����

�* �

��

��������

���� � ���������

Page 203: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

"� ��� ��>

"� 4

���

��

� �����

�* �

��

��������

���� � ���������

"�� ����- "� � ��#�������/ ���' �� � �� � �� / ���� � �4 �

�'�����

��� � > �� �� ��� ���� �� ����- 2� G3�(3 4�� �� ��

�G ��$

��� ��� �2�� �3 � ���2�� �3/ ���� 3 4 �2�� �3� 2�� *3� � ( 4�2�� �3� 2*� �3�

������

� ���� �� ������� 2�� �3 �� 8������ �� 3� ,��� >

2�� �3 4 �

�2�� �3 F ����

�2�� *3

�2�� �3 4 �2�� �3 F �2*� �3 4 2�� �3�2�� *3 4 �2�� �3 F��2*� �3 4 2����3

�� ����

�2�� �3 4 �

��2�� �3 F 2����

�3�2�� *3 4 �

�2�� �3 F 2����

�32����3

&��'

�2�� �3 4 2�

�F

���� F ��3

(�6�� 2���G(�33 4 2� G3�(3��

�� �� ��

����� � ** �

�� ��

�� ** �

�������

��

����

Page 204: Algebra lineal

��������� �� ������� �*�

���2�� �3 4 ��2�� �3 F �

�2�� *3 4 2�

�� ��3

���2*� �3 4 ��2�� �3� �

�2�� *3 4 2��

�� ��3

���2�� �3 4 ����2�� �3 F 2�����3���2*� �3 4 �2�

�� ��3 F 2����

�32��

�� ��3

&��'

���2�� �3 4 2��� �

�� �

� F �

�3

�'�����

����� ��� / � �<����/ �� ������ �� ��2�3 6�� � � �������� ����� ������� � �� #�-�

������

��� " 4 2���3 ���2�3� �� �����>

2�3 " � � ������� � ��� 4 ���

2�3 " � ����� ������� � ��� 4 ����

"� 2�3 ���#� 6�� ��� 4 ����/ ���' �� ���'��� ���� �� ����

�� 2�3 � 2�3 ��� 4 ����/ ���' ��� 4 *� �*� 0 � ��� �� ���� ��� &��' �� ����- ���� � �� ������ ����- 6�� � � ������� � ����� ������� � ��#�-�

�'�����

"���2�3/ ����� ��� �� ������"�� "�� "�� ���� "�� � � .0/ ����

" 4�� ** ��

������

2�3 �� � ���

Page 205: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

��� � 4 �G "� 4�� ** ��

���� ** ��

�4�� ** �

�4 ;

C������ �� ���������> "�� 4 ;� � �� ���� "���� 4 ;

"� �8���/ "���� 4 "��"� 4 ; � ; 4 ;� &��' "�� 4 ;� �� � .02�3 �� � � ��� � 4 � > "� 4 "�

C������ �� ��������� "���� 4 "� � �� ���� "���� 4 "

"���� 4 "���� � "� 4 " � ; 4 "� &��' "���� 4 "� �� � .0

�'�����

����� ��� "�� "�� "�� ���� "�/ � � .0/ ���� " 4�� �� �

������

"� 4�� �� �

���� �� �

�4�� �� �

"� 4 "�" 4�� �� �

���� �� �

�4�� �� �

�4��� ��

�� ��

&��' ?����?

C������ �� ���������

"� 4����� ����

���� ����

� �� ���� "��� 4��� ��

�� ��

"� �8���>

"��� 4 "� �" 4����� ����

���� ����

���� �� �

�4

����� F ���� ���� F ����

���� F ���� ���� F ����

�4�� � ���� � � ����� � ���� � � ����

�4��� ��

�� ��

Page 206: Algebra lineal

��������� �� ������� �*�

&��'

"� 4����� ����

���� ����

��� � .0

�'�����

��� 7 �� I$����� #�������� ��� 3 4 ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� � ���� � �� ��� �� �� 7 ������ ��

�2��3 4

�* $* � 4 ��� F �� F � � �F ���� $* � - �

"������ " 4 2� G33/ "�� "�� "� � =�'� ��� =������ ��� �� ��� ��� �� ��� 6�� "� 4 *

������

,��� 6��

�2��3 4 * 4 *�� F *�� F *�� F � � �F *���2��3 4 �� 4 ��� F *�� F *�� F � � �F *���2��3 4 �� F �� 4 ��� F ��� F *�� F � � �F *��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��2��3 4 �� F �� F � � �F ���� 4 ��� F ��� F � � �F ����� F *��

���������������

&��' 2� G3�33 4

����������

* � � � � � � � �* * � � � � � � �* * * � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* * * * � � � * �* * * * � � � * *

��� �4�/ ���� " 4

�* �* *

� "� 4 *

Page 207: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

��� �4�/ ���� " 4

��� * � �* * �* * *

� � "� 4 *

C������> �� ��� ��� �� ����� ��� 6�� "� 4 * � � 4 �/ ��" ���2�3

�� �����/ �� ���������/ ��� ��� �����

�'�����

���� "�3 � ��2�3� 9������� 6�� 3 � ��� ������ � 3� 4 3��� �����

�� 3 � ��� ������ � ; � 3 � ��� �������

�� �� 3� � 3 F ; 4 * ������ 3 � ��#��������

�� �� 3" 4 "3/ ������ 2" F33� 4 "� F �"3 F3�

�����������

�� ����'� 6�� 3 � ��� ������� "�����

2;�33� 4 2;�332;�33 4 ;��;3�3;F3� 4 ;���3F3� 4;� � �3 F3 4 ; � 3/ ���' ; � 3 � ��� �������

����'� 6�� ; � 3 � ��� ������� "�����>

2; �33� 4 ; � 3 4� ;� � ;3 � 3; F3� 4 ; �34� ; � �3 F3� 4 ; � 34� 3� �3 4 *4� 3� 4 3

" ����� 3 � ��� �������

�� 3� � 3 F ; 4 * 4� 3 �3� 4 ; 4� 32; �33 4 ;� &��' 3��

�<��� � 3�� 4 ; �3

�� ����'� 6�� 3" 4 "3� &��'

2"F33� 4 2"F332"F33 4 "�F"3F3"F3� 4 "�F�"3F3�

Page 208: Algebra lineal

��������� �� ������� �*�

�'�����

"� ��2�3/ ������� " 4�� �� �

�� (�6�� "�� � ������

��� ����� � � �� ������ �� ������ ��� �������

�������� �� �

����� � ** �

���2��3��

�� �* ��

����� � *�� �

��2

���3

���� �* �

����� � *��

���

���2��3��

�� ** �

����� �� ���

���

&��'

"�� 4

� �� ���

���

"������ �� � ������ �� ������ ��� ��������� ��* �

��� �* �

4

�� ** �

�� ��* �

��� ** ��

��� �* ��

4

�� ** �

�� ��* �

��� ** ��

��

� *�� �

��� �� �

4

�� ** �

&��'

"�� 4

�� ��* �

��� ** ��

��

� *�� �

"�� 6���� ������ � ������ �� � ������ ��� �������

�'�����

��� " 4

��� � � �* � �* * �

� ��� ��'� " �� ��� � � ��#�������

�� ������ � ������� �� ��� � �� 0�P�� ���� �������� "��

Page 209: Algebra lineal

�*% ���� ������ ����� ����

������

����#� 6�� " ����� �������� � >

" 4

��� � * ** � ** * �

�F

��� * � �* * �* * *

� 4 ; F3/ ���� 3 4

��� * � �* * �* * *

3� 4

��� * � �* * �* * *

���� * � �* * �* * *

� 4

��� * * �* * ** * *

3� 4

��� * * �* * ** * *

� �

��� * � �* * �* * *

� 4

��� * * ** * ** * *

"� '������ � ����� " ��������� �� '��� � � � � �� ��� �������� 6�� "� 4 *

&��' 3� 4 * +�� �� ��� �� ������� �� 3 �� ���� �� ��������� �� ;/ � �����/ �� ;/ ���' � ��������� � ��� �������� ��,��� � ��� (�� � �� 0�P��

"�� 4 2; F33��

4��**

�;����3� F

��*�

�;����3� F � � �F

��*�*

�;�����3��

&��'

"�� 4��**

�3� F

��*�

�3� F

��*�

�3�

4 ; F �*

��� * � �* * �* * *

�F �����

��� * * �* * ** * *

&��'

"�� 4

��� � �** ��**** � �*** * �

Page 210: Algebra lineal

��������� �� ������� �*!

�'�����

��� '� > �� �� �� �� ������� �� �� ���'�� �/ ��� 6�� ���� ����-

������ �

" 4 2'�G(�(3 4

�����

���

����

����

���� ( � �� ��� �������� �� ���

(�6�� "� � "��

������

"� 4��� � ������ ��

��

4�� ��

�� �� ��

�� ���

� ���

��

4�� ����

�� �� ����

�� �����

� �����

�4

�����

�����

��

����

5����-� 6�� � �����

4 � �����4 � ��������

�4 � ��

�4 �

���

.�� ���� �� �����

���� "������� ������

�� ��� � > �� �� ��� "�������� �� ����- ������ � � �'��� ����� 3 4 �2�� *� *3� 2�� �� *3� 2�� �� �3� �� �� � ( 4 �2�� *32�� �3��� ��/ �� � �'������ ��>

2�3 �2�� �� 3 4 2� F ��� �3

2�3 �2�� �� 3 4 2�� �� �3

�� ���� �� > �� �� ��� ������� 6�� �2�� �3 4 2��� � F �� �3 �6�� �� ����- �� �F �� ������ � �� ��� �������� �� �� �

�� �

��� � �* �� �

�� ����� ��� 2�� �3 � �� ����- �� �� ������

� �� ����

Page 211: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

�� ��� � > �� �� �� � > �� �� �� � ���������� ������� ���

6�� 2�� �3 4 2� F ��� ��3 � ��� 6�� 2� G3�(3 4�� �� �

�����

( 4 �2�� �3� 2*���3� � 4 4 �2�����3� 2�� *3�

2�3 "�������� 2 G(�43 � 2 Æ � G3�43

2�3 ������� 6�� �� � ������ �� � � .9�/ �'��� �� ��� 3/� $� � �/ ��������� �� � ������ �� �2�3 �'��� �� ���(

�� �� "3 4

��� � � �� � �� � �

� � "3�� 4

��� � � �� � �� * �

�� ����� ��� 3�

�� ����� ��� ��� �� ������ �������� �� ���� � 6�� �� �$��� �� �� ����-��� � � ** � �* * �

�� ��� ���� ��� �� ���� �/ ������� �� ����-

�� 4��2$� �$���$��� �2$�

2�3 �� ����� 6�� ���� 4����

2�3 ������� ���

�� "����� ���� 6��� #���� �� � �� �'������ 8� ���� �� ������/��/

�� 4

��� � � *� � F � ��� �� � ��� �

� ��#�������� "� �� 6�� �� ��#������� ��6�� � ��#����

%� ��� " ���2�3 ��� 6�� "� � �"� �; 4 *� (�6�� "��

!� (�6�� ��� �� ������ " ���2�3 ��� 6�� "� 4 ;

Page 212: Algebra lineal

��������� �� ������� ���

�*� 5�� ����- " � ���� ��'��� � " � ��#������� � "�� 4 "����� " � �� ����- ��������� �� "/ � ����� �6����� 6�� ������� � ������ �� " ������� ����� ��� �� ��� ���

2�3 ����� ��� � � ����� �� � � .9/ �� ����� 6�� �� ����-��� ��

��

��� ��'����

2�3 �� ����� 6�� �� ������ �� � ������ ��'���� ���'����

��� ��� � �� ��� �� �� ��/ ���� ����- �� ������ � ��

��� 3 4 �2�� �3� 2����3� � 2� G3�33 4�� ** �

�� ����� ��� ��

����- �� � �� ������ � �� ��� �������� �� ���

Page 213: Algebra lineal

����� �� �

����������

��� ����� ������ �� ������ �� �����

)� ���������;� 6�� � ����� �� ����/ 6�� �� ������� ����� ������ ������� � �� ��� �� 6�� ����� ��� ������ �� ��� � �� ��������������� ����� �������

� ���� �� �� ��� � �� �������� ������� �� � �������������� ���� ������������� � � ����'�����

���-����

������� �� ��� � �� �������� ������� ���� �'������>

2�3 > �� F �� 4 �2�3 > �� F �� 4 �

C�'� �� �������� �'������> � �2�3�� �2�3> ������� 4 �����

&��'> 2��� ��3� 4 ��� ��

�� �� � �� 4 * � �� � �� �4 */ ������ � �<��� ������ ���� ����� ��

�� 2��� ��3 �4 */ ������ � 4 ���������� �

���

Page 214: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

C�'� �=�� �� �������� �'������ � � 2�3� � � 2�3> 2��� ��3� 4��� �� � ���� 2��� ��3� 4 ��� ��

�� ��� �� �4 */ ���� � 4 ����������

,��� ������ 6�� �� ��� � ����� ������ � � �� � ����� �4 *�&��' �� �������� ��� �� ����� ��� � �� ��� � ����� �������

"� ��� � ����� �� ����� �� �� 8� � �������� �'������>

�� �� �

�����

�4���

�� ������ � �� ����- �� � ��������� ���� �� ������� �$'������>

0������

����� � �� �

����� 4> ��� ��

"����� � 4

����� � �� �

���������� � �� �

�����G � 4

����� � �� �

���������� � �� �

�����

��)���� �*�*� ��� " 4�� �� �

���� ����7 ��� ��� � ������� ��

�� ������ �� � ����������� �� "� �������� �"�� �� � ������ ���� ����� � �

� �

����� 4> ��� ��

�'������

����� � �� �

����� 4 �� ��

����� � �� �

����� 4 �� �

Page 215: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

/���

��� " 4�� �� �

�/ "� 4 2 � � 3/ "� 4 2 � � 3� �� �������

42"3/ ���2+3 ���� 4�"�

"�

�� " �����/ ��� �������� �� �����$

������ � 8������ �� �� ����- " � ��� 8������ �� �� ����� �� ����- "�

1���������5�6 ? 5�6

��

����� �F �� �F ��

� �

����� 4����� � �� �

�����F����� �

� ��

� �

�������

����� � �� �

����� 4 ������ � �� �

�����&� � � ��������� ���� �� �'���� ����

&� �� ������� � ���#���� ��'�� �� �� ����������

�'�����

����� � �� �*

����� 4 � � � ������ � �� �

����� 4 � � 2�� �3 4 ��

�'�����

������� �� #��� ��

����� � �� !

�����

������

����� � �� !

����� 4 � � � ������ � �� �

����� 4 � � � � 2�� �3 4 *

Page 216: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

0%���-����

����� �F �� � F ��

�F �� �F ��

����� 4����� � ��F �� �F ��

�����F����� �� ��

�F �� �F ��

����� 4

4

����� � �� �

�����F����� � ��� ��

�����F����� �

� ��

� �

�����F����� �

� ��

�� ��

�����

1������� 5�6

�� � ��� � �'����/ ������ �� ����� ������ �� �� ����- � ����

���������������� � �� �

����� 4 ��� �� 4 *

1������� 5�6

"� ����� ������ �� �� ����- ��������� � �/ � �����/

����� � ** �

����� 4 �

1������� 5�6

�� � � � �� ������� �� ��� ��� � �� ��� ���/ �� #��� ��� ����� �$����� � �� ���/ � �����/

����� �F � � F �� �

����� 4����� � �� �

�����& � ����� ���� �� �'���� ����

Page 217: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�'�����

����� �� ���� ��

����� ���2��34

����� �� ��� �

����� 44 � �

����� �� ��� �

����� 4 �2��� ��3 4 ��

1�������5�6

�� � ������� ���� �� � ���/ ������ �� ����� ������ �� ��� ���'�/ � �����/

����� � �� �

����� 4 ������ � �� �

�����

��)���� �*�*� ��� " 4�� �� �

�� �������� �� ���� �����.

������ �� "� �������� "� � � ����7 " 4�� �� �

1�������5�6

4��� �� �

�4 4�

�� �� �

�����������

4��� �� �

�4

����� � �� �

����� 4 ��� �� 4

����� � �� �

�����

Page 218: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

1�������5;6

& #����� 2 � � 3 � 2 � � 3 � ������ ���� ����������� � � ��

� �� 4��� �� �

�� ����

�����������

��� 2 � � 3 4 2�� �� 3� &��'

����� � �� �

����� 4����� �� ��

� �

����� 4 �

����� � �� �

����� 4 � � * 4 *

9���;���� ���� ����

��

����� � �� �

����� 4 */ ������ ��� �� 4 */ � �����/ �� 4 ���

����'� � �4 * � � �4 */ ���' ��4 �

�/ ������ � 4 �

�� �� &��'

2 � � 3 4 2 ��� � � � �

�3 4 2 �

�� � �

�� � 3 4 �

�2 � � 3

&��' � ������ ���� ������������

����'� � 4 *� &��' � 4 * � 4 *�

�3 �� � 4 * � � �4 */ ������ 2 � � 3 4 2 � * 3 4 ��2 � * 3 4

��2 � � 3� &��' �� #���� 2 � � 3 � ������ ���� ����������� ��

�� #���� 2 � � 3

��3 �� � �4 * � � 4 */ ������

�2 � � 3 � 2 � � 3� 4 �2 � � 3 � 2 * * 3�

�� ���� � �� ������ ���� �� ����� �� �*�

Page 219: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

�'�����

����� � �� ��

����� 4 *

1�������5$6

,�� �� ��������� �������� � #������ ���� �� ��� ���

1�������5�#6

4�2" �33 4 24�"3 � 24�33

�����������

&� �� ������� �� ��� �������� � �� � ��� ��������

��� ����� ������ �� ������ �� �����

���-����

������� �� ��� � �� �������� ������� �'������>

2�3 > ��F �� F � 4 �2�3 > ��F �� F � 4 �2�3 > �F 7� F * 4 �

�����

C�'� �� �������� �'������>

2��$=832�3F2�=$��32�3F2�8$��32�3>

Page 220: Algebra lineal

��������� � !��������� ��!

2��*� �7�3�F 2��*� �7�3� F 2��*� �7�3 4 ��*� �7�2��7� �*�3� F 2��7� �*�3� F 2��7� �*�3 4 ��7� �*�2 �� � ��3�F 27�� � 7��3� F 2*�� � *��3 4 ��� � ���

�����

�� ��� �� ��� ��������/ ���� >

J�2�*�7�3F�2�7�*�3F 2�����3K� 4 �2�*�7�3F�2�7�*�3F�2�����3

����#� 6�� �� ��� �� 6�� ��������� � � � ����� ������� � �'��>

����� � �7 *

������ �

����� � �7 *

�����F

����� � �� �

�����"�� ����� ������ � �� ��������� 6�� �� ��B�� � � � ������ ��*� &��' ����� ��� � �� ��� � ����� � ������/ �� �=�; � � ����

"� 8� � �������� �� ��� � � ������ � �'��>

��� � � �� � � 7 *

� �

��� ��

� 4

������

���� 6�� �� ����� ������ �� �� ����- �� � ���������/ ������>

�������� � �� � � 7 *

���������������� �� ������� ������ �� �� ��� ��� ��� �� �>

����� � �7 *

������ �

����� � �7 *

�����F

����� � �� �

�����& ����� ������ 6�� �� ��B��� � �� ����� �/ � � ' � ��� ��������� ������ �� �/ � � '� "� ����� ������ � ������� �� �� ����- ������� 6������ �� ��� � �� ��� �� ��� ��� ��� �������#�

Page 221: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

��)���� �*�*� ���

" 4

��� ��� ��� ������ ��� ������ ��� ���

�� ��"�� �� ����������� �� ������� ��� � !���� � ������� �������������� ��� �� ������ )���

4�2"3 4 ���

����� ��� ������ ���

������ ���

����� ��� ������ ���

�����F ���

����� ��� ������ ���

�������)���� �*�*� � ������ ��%����������� �� ���� �������� !2���3� ����������� ������� �� " � � ���� � " � * � � �� ���� 0�

5����-��� ��� �������/ ���� >

4�2"3 4 ���!2���3� ���!2���3 F ���!2���3

�'�����

��� " 4

��� � � �� �� ���� � �

�� ������� �� ����� ������ �� "�

�������� � �� �� ���� � �

������� 4 �

����� �� ��� �

������ �

����� � ���� �

�����F ������ � ���� �

����� 4 �%

/���

"� ����� ������ �� ��� ����- �� � � � ����� ������� �

42"3 4 4�2"3 4 4�

���"�

"�

"�

� �

Page 222: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

6�� ���� ��� � ����� � ������� 42"�� "�� "�3/ � �����/ ������� ������ �� 8������ �� �� ����

"�� � ��� �� ����� �� ������ � ������ �� �� �'���� ���/��� �� ������� ��� ����� ������ �� �� �'���� ��� � ���� �>

4�2"3 4 ����!2���3 F ���!2���3� ���!2���3

,� ����� � ����� ������ ��� � ��� ��/ =������ �� ��������� �� ������� ��� �� �� ����� �'������>

4�2"3 4 ���!2���3� ���!2���3 F ���!2���3

,� ����� �� �� ��� ��� ��� ��>

4�2"3 4 ���!2���3� ���!2���3 F ���!2���3

.�� ���� �� �'���� � ������� ��� ���

&� �'���� ��� �� � ���-� �� �'� ��'���# � �� ������� ��� ���� �'� ����#�

& ����� ������ �� �� ������ �� � � ������ �� � � �*��������� �� � ����� ������ �� � �

�� ������ � �� �������� �/ 6���� 6�� 6���� ���� 6�� ���� #�-6�� � ������� ���� � ��� �� ��� ����-/ �� ����� ������ �� ����� �'��

��� ����� ������ �� ������ �� �����

��)���� �*�*� ���

" 4

�����

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

� ����������� �� + � ��"������ �� !���� ���������

Page 223: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

5������ ��"��� �� ������������ ���� �� ������� �� ��2�3�

��� *� 0 �� ��� �� ������� ������� ����� � � �� �� ����� � � * � ��� � 0 � ��

�� ��"�� !2"��3 ���� � ����������� ������� �� � ����7 " � � ���� � " � * � � �� ���� 0�

� ����������� �� ��� ����7 " �� ��2�3� �� ��"�� �� ������� �������������� �� ������� �� ����2�3�

�� ��"���

4�2"3 4 2��3������!2���3F2��3������!2���3F � � �F2��3������!2���3

"�� ��������� � ������ � �� ���������� ��� �������������� �� )�� */ * � / � � * � ��

"�� ����� ������ � ����� ������� �

��2"3 4 ��2"�� "�� ���� "�3�

���� "� � �� �$��� � ����

1������� 5�6

�� �� ��� "� � �'��� � �� � � �� � #����� ���/ "� 4 ( F ( �/������

��2"�� ���� (F( �� ���� "�3 4 ��2"�� ���� (� ���� "�3F��2"�� ���� (�� ���� "�3

1������� 5�6

��2"�� ���� "�� ���� "�3 4 � ��2"�� ���� "�� ���� "�3� � � �

1������� 5�6

�� =�� � ��� �'����/ ������ �� ����� ������ � ����

Page 224: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

1������� 5�6

"� ����� ������ �� �� ����- ��������� � ��

1������� 5�6

�� � � � �� ������� �� ��� ��� � ��� ���/ �� #��� ��� ����� ������� �� ����

1������� 5�6

�� � ������� ���� � ���/ �� ����� ������ �� ��� �� �'��

��)���� �*�*� ���

" 4

�����

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

�������� �������� ���� ����������� �� "� �������� "� � �����7

" 4

�����

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

1������� 5�6

4�2"3 4 4�2"3

1������� 5;6

� ��� � ������ ���� ����������� � � �� � �� ����� ������ ���� ����- � ����

Page 225: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

1������� 5$6

,�� �� ��������� �������� � #������ ���� �� ��� ���

1������� 5�#6

���� "�3 ���2�3� "�����

4�2" �33 4 4�2"3 �4�233

2������ �*�*� ��� " ���2�3� � ����7

" 4

�����

��� ��� � � � ������ ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � � � ���

��������

4�2"3 4 2��3������!2���3 F � � �F 2��3������!2���3* ����� ������� � �� ����������� ��� � ����� �� ����&�

2������ �*�*� ��� " ���2�3 ��� ����7 ������ �� ��������

4�2"��3 4 24�"3��

�����������

� 4 4�2;�3 4 4�2" � "��3 4 4�" �4�2"��3

&��' 24�"3�� 4 4�2"��3

��� )������������� %� ������� ��� �����

������

�� �� �� ���� �������� ������� � #����� � � �/ ������ ������� ��� ��������'�� 6�� ����� �� ��� �� #����� ��������

Page 226: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

� �4�2�� �3�/ � �����/ �� #��� ����� �� 4�2�� �3/���� � � � ��������� � #����� ����

�'�����

" 4 ������ � *� �

����� � 4 �

" 4 ������ � �� *

����� � 4 �*� �� 4 � � �� 4 �

�� �� �� ��� � �������� �� � ��������/ ������� � #��$��� �� � � �/ �� #�� �� ��� ����������;��� ������'���� �� ��� �� �� � �

� 282�� �� �3 4 �4�2�� �� �3�

���� �� � � � � �������� � #����� ����

��� ,����- �������

"� �� ����;��� ������� ���#��� 6�� � ��� ����- ����� ����-��#����

& ���������� �/ 6�� ��� ����- "/ ����� ��� ����- ������ � ����/6�� �� ��� �<���/ � �����/ 6�� �� ��� ?#� ���� � "?/ � �� ����� ��� �� ���� ��'���� �� "�

� ���� �� �� &� � �'������>

����

��� " ���2�3

�� " � ��#�������/ ������ 4�2"3 �4 *

Page 227: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�����������

� 4 4�2;�3 4 4�2" � "��3 4 4�" �4�"���

&��' 4�" �4 *�

/���

+=�� 6������� ���� � �� ����;��� � #�������/ � �����/ �4�" �4 */ ������ " � ��#�������� ��� �� ���� ������� ����#���/ �� �� 6�� �<����

7�� 6��� ����� �� ��2�3�

����

��� " � ��2�3� "����� �� ��� �<��� 3 ���2�3 ��� 6��

" �3 4���" ** ��"

�����������

"� �8���/ �� " 4�� �� �

�/ ������� 3 4

�� ���� �

�� � �����/

�� �� �

���

� ���� �

�4���" ** ��"

����

��� " � ��2�3� "�����/ �� ��� �<��� 3 ���2�3 ��� 6��

" �3 4 24�"3 � ;�

Page 228: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

�����������

"� �8���/ �� " 4

��� ��� ��� ������ ��� ������ ��� ���

�/

���� � �� 3 4

��� !2���3 �!2���3 !2���3�!2���3 !2���3 �!2���3!2���3 �!2���3 !2���3

,��� ��� ��� ��� ������ ��� ������ ��� ���

� �

��� !2���3 �!2���3 !2���3�!2���3 !2���3 �!2���3!2���3 �!2���3 !2���3

� 4

4

��� ��" * *

* ��" ** * ��"

2������ �*�*� � " � ��2�3� �������� ������ ����� 3 ���2�3�� ��� " �3 4 �"� � ;�

�����������

&� �� ������� ����� �� ����� 6�� � " 4 2����3 ������

3 4 22��3���!2���33

�� ��� �� �������� ��� ���� �� "�� �� ������� � �� =��� ���/ ����� � � �����# ��� ����

��)���� �*�*� ���� ����7 3 �� ������ �� ���� ��'���� ��"� �������� 6+�

3������� �*�*� � " � ���3 �� ��� 4�" �4 *� �������� " �������� � �

"�� 4�

4�"� 6+

Page 229: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

/���

+=�� ���� � ����� �� �������� �� ����- ��#���/ ��������� �<���� ��#�� ���� 6�� �� ���� �� �'�� � �� �����$� ����/ ��� �� ��� ���# ���� =�� ��= ����� ������ �����' � =�� 6�� ���� ������ �� " � �� " �� � ��� ��

��� ����� ������ �� �� ��� ��

5�� �������� '����� 6�� �� ���� � ����� ������/ �� ����� �� ���'������ �� �>

����

��� � �� I$����� #�������/ �� � � ���2� 3� ��� � 4 2� G3�33 �� � 4 2� > (�(3 �� 3 � ( ������ ��� �� � � "�����

4�� 4 4�� �

�����������

��� 5 �� ����- �� �� �� �� ��� 6�� �<=��� �� ��� ( �'��� �� ���3� "�����

2� G(�(3 4 5�� � 2� G3�33 � 5&��'

� � 4 5�� �� � 5,���

4�� � 4 4�25��3�4�� �4�5 4 24�5 3�� �4�� �4�5 4 4��

0%���-����

@,� �� ������/ 6�� ���#� ���� =� �������� �� ��#�������A

Page 230: Algebra lineal

��������� � !��������� ��!

��/ ���/ � �� ��� ��� ��� �� �� ������������� �������� �� ����� �� / ������/ �'�� ������� �� � ����� �������

" �#�� �� �'������ ���������>

��)���� �*�*� ��� � �� 4������� ������� �� ������� "����.��� ���� �������"��� � � ���2� 3� �� ��� ����������� ��� � �������� 4�2�3� � ����������� �� � ����7 �� � �� ��� ������� ����� �� � �

0%���-����

"� #��� ��� ����� ������ �� �� ��� �� � ������ � ���� � � �� ��� �� �

"�� ���������-����� �� ���� �� �� �'������ �� �>

����

��� � �� I$����� #������� �� �� ����� ������ "�����

� � �� ��� �� � 4�2�3 �4 *

�����������

� � �� ��� �� � � � ��#������� � 2� G3�33 � ��#������� �3/��� �� � � 4�2� G3�33 �4 */ �3/ ��� �� � � 4�2�3 �4 *

/���

"6��#������ ����>

� � � �� ��� �� � 4�2�3 4 *

Page 231: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

��! "������� ������

�'�����

9��#� �� ����� ������ �'������>

���������

�� �� �� ��

�� �� %� !�

�*� ��� ��� ���

��� ��� ��� ���

���������

������

���������

�� �� �� ��

�� �� %� !�

�*� ��� ��� ���

��� ��� ��� ���

���������4

���������

�� �� �� ��

�� � �� �� � �� %� � �� !� � ��

�*��� ��� � �� ��� � �� ��� � ����� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � ��

���������4

4

���������

�� �� �� ��

� � % � � �* � � �� � � ��% � �� % � �� % � �� % � �%�� � �� �� � �% �� � �* �� � ��

���������4 ��%������

���������

�� �� �� ��

� � � �� � % !% ! �* ��

���������4

4 ��� � �

���������

�� �� �� ��

� � � �� � � �� � � �

���������4 *

�'�����

������� �� ����� ������ �� 7����� ��� �� � � �'������>

�������� � ��

� � ��

� � ��

�������

Page 232: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

������

�������� � ��

� � ��

� � ��

����������2��3

4���2��3

�������� � ��

* �� � �� � ��

* �� � �� � ��

������� 4

4 2�� �32�� �3

�������� � ��

* � � F �* � �F �

������� 4 2�� �32�� �3

����� � � F �� �F �

����� ���2��34

4 2�� �32�� �3

����� � �F �* �� �

����� 4 2�� �32�� �32�� �3

����� � �F �* �

����� 44 2�� �32�� �32�� �3

�'�����

�� ��� 6��

�������� � �� � ��� �� ��

������� 4 2� F �F �32�� �32�� �32�� �3

������

�������� � �� � ��� �� ��

�������(��2��3

4(��2��3

�������* � *

�� � � �� ��� � �� �� �� � ��

������� 4

4 2�� �32�� �3

�������* � *� � �

�� F �� F �� �� �� F �� F ��

������� 4

4 2�� �32�� �3

�������* � ** � �

�� � �� F �2�� �3 �� �� F �� F ��

������� 4

Page 233: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

4 2�� �32�� �32�� �3

�������* � �* � �

�F � F � �� �� F �� F ��

������� 4

4 2�� �32�� �32�� �32�F � F �3

����� � *� �

����� 44 2�� �32�� �32�� �32�F � F �3

�'�����

�� 3 � ��2�3 � ��3 4 � ������ ��2�33 4 �� � ��3 4 �� � �

�'�����

������� �� ����� ������ �� �� ����- �� ������� �� �� ���'�� �

����������� �� � ������ ��

����� 4 �� � F ��� � 4 �

�'�����

(�6�� � #���� �� � � �/ �� ����� 6��

�������� F � � ��� �� ��� � ��

������� 4 ��

������

�������� F � � ��� �� ��� � ��

�������(��2�34

�������� F � �� ��� �� ��� * ��

����������2��3

4

Page 234: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

�������� F � �� ���� * ��� * ��

������� 4����� �� ��� ��

����� ���2�34

����� �� � � *�� ��

����� 4��2�� � �3

&��' ��2����3 4 ��/ ���' ����� � 4 */ ���' 2�� �32�F�3 4 *"����� � 4 � � 4 ��

�'�����

9��#� �� ����� ������ �'������>

�������� �� �� �� �� ��

�������

������

�������� �� �� �� �� ��

�������(��2�34

�������� * �� * �� *

������� 4 *

�'�����

�� ��� 6��>

�������� � �� �� �

� � ��

������� 4 2� � 32 � �32�� �32� F � F ��3

Page 235: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

������

�������� � �� �� �

� � ��

�������(��2��3

4(��2��3

��������� � � �� � � �� � � �

� � �� � � �� ��

������� 4

4 2�� 32� � 3

�������� �

�F � F �

�� �� ��

������� 4(��2��3

4(��2�3

2�� 32� � 3

�������� * *

� F � � � ���� � � � �� F �

������� 4

4 2�� 32� � 32� � �3

����� � ��� �� F �

����� 44 2�� 32� � 32� � �3

����� � ��* �� F � F �

����� 44 2� � 32 � �32�� �32� F � F ��3

�'�����

������� �� ��� �� �� ����� ������ �'������>

���������

� � � F � � � F � � F �� � � F

���������

������

���������

� � � F � � �F � �F �� � � F

���������

���2��34

���2��3���2��3

���������

� � � F * � � � � � �� * � � � � �F � � � * � � �� � � �

���������4

Page 236: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

4

�������� � � � � �� � � � � �F � � � � � �� � � �

�������(��2�34

(��2�3

�������� � � � � * � � � � *� � �� � *

������� 4 *

EE,��#���EE

�'�����

�� ��� 6��>

�������� � � � ��

� � � �� � ��� �� � �� � ��

������� 4 *

������

9����� �� �'������ ����������>

�2� F �3 4 �� � � � ��� �� ��2�� �3 4 �� � � F ��� �� ��2� F �3 F �2�� �3 4 � �� � �

9�� ���-��� �� �� ����� � ��������� � F � 4 �� � � � � 4 �/ ������/ � 4 �� � � 4 �/ ���� >

�� � �� F � � 4 � � �� � �

+����'� ���� � �������>

�� � �� F � �� 4 � � �� � �

�� 2� ��3 F � 4 � �� �

"�����

Page 237: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�������� � � � ��

� � � �� � ��� �� � �� � ��

����������2�34

2�32�32�3

4

�������� � � � ��

� � � �� � ��� �� � � � � � �� � � � � ��

������� 4

4 � ��

�������� � � � ��

� � � �� � ��� � � �� � ��

������� 4 � � � � * 4 *

�'�����

�� ��� 6��

��������� � ��

�� � ��

�� � ��

������� 4�������� �� ��

� �� ��

� �� ��

������� �� ��� �4 *

������

��������� � ��

�� � ��

�� � ��

���������2�34

��2�3��2�3

����

���������� �� ��

��� �� ��

��� �� ��

������� 4�������� �� ��

� �� ��

� �� ��

�������

�'�����

������� �� �'������ ����� ������>

���������

� � �� ��

�� � � ��

�� �� � �� �� �� �

���������

Page 238: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

������

���������

� � �� ��

�� � � ��

�� �� � �� �� �� �

���������

���2���34

���2���3���2��3

���������

� � �� ��

* �� �� �� �� �� � �

* * �� �� �� ��

* * * �� ��

���������4

4 2�� ��3�

�'�����

:�� �� �������� ������� � ��#� �� ���������� ���� ���#�� �� ��$��� ������ �� 2� F �3 2�F �3 �'������>

������������

� � �� �� � � � ��

�� � � �� � � � ����

���� �� � � � � � ����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� �� � � � �

������������

������

�� �� �������� ���2���3� ���2�����3� � � � � �����2��3 ����

������������

� � �� �� � � � ��

* �� ���� �� ���� �� � ���� � � � ���� � ���

* * �� ���� �� ���� � � � ���� � �����

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* * * * � � � �� ����

������������4 2�� ����3�

�'�����

9��#� �� ����� ������ �� � � �'������>

Page 239: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

������������

� F � � � � � � � �� �F � � � � � � �� � � F � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � F �

������������

������

���2��3���2��3

4���

���2��3

������������

� F � � � � � � � ��� � * � � � * *�� * � � � � * *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� * * � � � * �

������������4

�4

��������������

� F ���

���

�� � � � � � �

* � * � � � * ** * � � � � * *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* * * � � � * �

��������������4 2� F �

�����

�3�E3

���� � 4 (����(��

��� � �(��

��

�'�����

9��#� �� ����� ������ �� � � �'������>

��������������

� * � � � � � � �� � * � � � � � �� � � * � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � ** � � � � � � � �

��������������

Page 240: Algebra lineal

��������� � !��������� ��!

������

���2��3���2��3

4���

�����2��3

��������������

� * � � � � � � �* � �� * � � � * ** � * �� � � � * *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* � * * � � � * ��* � � � � � � � �

��������������4

2�34

������������

� �� * � � � * *� * �� � � � * *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� * * � � � * ��� � � � � � � �

������������2�34

������������

* �� * � � � * ** * �� � � � * *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* * * � � � * ���� � � � � � � � �

������������

4 2�� �32�������3

���������

�� * � � � * ** �� � � � * *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* * � � � * ��

���������4 2�� �32��3�2��3��� 4 2�� �32��3���� 4 �� �

2�3> ������� �� ����� ������ �� �� ��� ��� ��� ���

2�3 + �� ��� �� � � �� � �� �� �� �� ��� ��

�'�����

9��#� �� ����� ������ �� � � �'������>

������������

� �� � �� � � � � � ��� � �� � �� � � � � � *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � * � � � * *� * * � � � * *

������������

������

����#��� � �� � 4 �� �� � ����� ��������� 6��>

Page 241: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

������������

� �� � �� � � � � � � ��� � �� � �� � � � � � � *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � * � � � * * *� * * � � � * * *

������������4 2��3 ���������

�� 4 2��3������

� ���� � �� ����� 8����� ���� �� ����������

��' "������� ������

�� "�������� �� #��� ��� ����� ������ �'������>

��������� �� ���� �� ���� �% �!

��������� "�������� �� #��� ��� ����� ������ �'������>

������������

�* �� �* �� �*�� �� �� �! ���� �! �� �� �*�� �� �! �� ���� �� �� �� �*

������������

�� �� ����� 6��

�������2�� �3� 2�� �3� 2�� 3�

2�� �3� 2�� �3� 2�� 3�

2�� �3� 2�� �3� 2�� 3�

�������4 �2�� �32�� �32�� �32� � 32 � �32�� �3

�� �� ����� �� ��������� 6�� �� ����� ������ �� �� �'������������������

� � � � � � �� � � � � � *� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � * *� * � � � * *

������������4 2��3 ���������

Page 242: Algebra lineal

��������� � !��������� ���

�� ������� �� ����� ������ �� � � �'������>

������������

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

������������

Page 243: Algebra lineal
Page 244: Algebra lineal

����� �� �

��� �����!������

��� )����������

,�� ��� 6�� ��� ���������� ������ ���� ����� ����� �� � � ��$�� ���� �� ��� ���� :������� ���� � �<������ ��� ��� ��� 6���� � �'�� �� ���� #���� �� ����/ �� ������� �� ��� � � " �����/ �� � �� I$����� #������� � � > � �� � �� ��� �� @"<������3 4 ���� ��� ���� ��� ��� �� � / ��� 6��

�2��3 4 9���� * 4 �� ���� � A

"�� ���;� ��� ����� �� 8�����/ �� �� �� �� �������� �� ����� �� � � ��� ��/ ���;� D���#���E ����� �� #��� ��

��2��3� �� � .0� * 4 �� ���� �

����' 6�� ��� �������� 6�� ��� ���������� ������ ����� ��� 8� ������ ������ ������� (��� / ������/ �� ������������� �������� �� � ��� ������ ��� 6�� ������ �� ����� 6�� ���� ���;� ��� ����- ���'����

"� ��� ����;��� #��� �� �������� ���� 6�� ��� ���������� ��$����/ ���'� ������ ��� ����- ���'���� ,� ����� ��������� ��������� ��� ����-/ �� �� 6�� ���� �<����

���

Page 245: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

&� ������ ���'���� ������ ��������� �� �'�������� � ��� $��/ ���� �� ���� ����� �;� �������� �� ����� ������ �� ��� ����-���'��� � D,��#���E/ ��� � �� ������ �� � ��� ��� �� �� ���$'���� ,� �����/ � 8����� ����� �� ������� �� ��� ����- ���'����7��� � �� �� �'������ ���#������

0%���-����

�� ** �

��

4�� ** �

���� ** �

�4��� ** ��

��� ** �

��

4�� ** �

��

��� ** �

�4��� ** ��

��� ** �

�4��� ** ��

C������ �� ���������

�� ** �

��4��� ** ��

�� ��� 6���� ** �

����4����� ** ����

��� ** �

����4�� ** �

����� ** �

�4��� ** ��

���� ** �

�4

4����� ** ����

&��' ���� �� ��� �� ������� �/ ����

�� ** �

��4��� ** ��

����

��� �� �/ ��� �� �������/ ����

Page 246: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

�����

��� * * � � � * ** ��� * � � � * *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* * * � � � * ���

��

4

�����

���� * * � � � ** ���� * � � � *� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �* * * � � � ����

&� �� ������� � =��� �� ��������� ��� ��

1�������

���� ��� ���������� ������ � @C����� ��'��� ����- ���'��� ������� � A

7�� ��'�� ��� ��

0%���-����

��� � > �� �� ��G �2�� �3 4 2��� ��3

(��� ��� ��� 3 4 ���� ��� ��� 6��

2� G3�33 4� � ** �

"� ��� ���2��3 4 9��� 4 9��� F * � ���2��3 4 9��� 4 * � �� F 9���

(��� � #����� � � �� ��� 6��

�2�3 4 9�

����'� 6�� ���� #����� �<����� ,���

�2�� �3 4 2��� ��3 4 92�� �3� &��' 2��� ��3 4 29�� 9�3

�� ����

�� 4 9��� 4 9�

Page 247: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�� 2�3 � ������ � 4 ��9�/ ��� ���-��� �� 2�3 ���� > �� 4 9 � �

�9�

&��' !� 4 9��� �� � � � �4 */ ������ 9� 4 !� &��' 9� 4 �/9� 4 ��3��� 9� 4 �

�2�� �3 4 2��� ��3 4 �2�� �3� &��' �� 4 ��� &��' � 4 �� & #���������� � 9 4 �/ ������ �� 8� � � 4 2�� �3�

��� �� 4 2�� �3�

3��� 9� 4 ���2�� �3 4 2��� ��3 4 ��2�� �3� &��' 2��� ��3 4 2�������3� &��'� 4 ��� & #����� ����� � 9� 4 ��/ ������ �� 8� � � 42����3� ��� �� 4 2����3, � 3 4 �2�� �3� 2����3��"� ��� ��

�2�� �3 4 �2�� �3 4 �2�� �3 F *2����3

�2����3 4 ��2����3 4 *2�� �3 F��2����3&��'

2� G3�33 4�� ** ��

"� ��� �� � ����� �������� ��� ����- ���'��� �������

7�� �� ��� ��

0%���-����

���� > �� �� ��G �2�� �3 4 2�����3

@"<������ (/ ��� �� ��/ ��� 6�� 2� G3�33 � ��� ����- ���'���A

����'� 6�� �<��� � 4 2�� �3 � �� ��� 6�� �2�� �3 4 92�� �3

,���

�2�� �3 4 92�� �3 � �2�� �3 4 2�����3

Page 248: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

&��'2�����3 4 92�� �3

�� ������ 4 9��� 4 9�

�� 2�3 ���� > � 4 ��9�/ ��� ���-��� �� 2�3/ ���� > �� 4 9�

�9�

&��' ��� 4 9��� ����� � �4 */ ��� � 4 * 4� � 4 *� ������6�� � 4 2*� *3 � ����� ���� �� ��� ���� &��' 9� 4 ��/ � ���� ���� �������������

"� ��� ��/ ������/ � �<��� ��� ��� 3 ��� 6�� 2� G3�33 �����'����

/���

"�� 8� � �� ���#�� �� ����� � � �� ���� � �������� "����������� �� ���� 6�� � ��'� ������ �<��� ��� ��� ����-���'��� � �� �����������

��� 3���� ���� � #����� ����

��� � �� I$����� #�������� ��� � > � �� � / � �����/ � / �� ���$ �� �� � � ������� ��������� ������ � &�

���/ �� ��8�;�/ � ������ �� ��������� ���������� �� �� ������ ���������-� �� �� ���

0%���-����

"� �� ��� ��� ��#����� ����;� > � > �� �� ��G �2�� �3 4 2��� ��3�+#���'�� 6�� �2�� �3 4 �2�� �3 � �2����3 4 ��2����3� ���� 6�� �� 4 2�� �3 / �� 4 2����3 � ?#����� ����? �� � � ���� 6�� 9� 4 � � 9� 4 �� � � ?#���� ����? ����� � ��� ���������#� �����

Page 249: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

����

��� � > � �� � ������/ � �2�3 4 9� � �2�3 4 9��/ ����� � � � �"����� 9 4 9�

�����������

9� 4 9�� 4� 9��9�� 4 �* 4� 29�9�3� 4 �* 4� 9�9� 4 * 4� 9 4 9�

����� � �� ��������/ �� �� �'������ ���������>

��)���� �*�*� �� ��� -���� ����� �� �� �������)��� � ����2� 3� � ���� ���� �� 9 � � ��� ���� � �������� ��������

� ����� � �4 �* �� ��� �2�3 4 9�� �������� ���� ������ � �4 �* �� ����� -����� ����� �������������� � �� �� ����� 9�

0%���-����

��� � > � �� � ��� 6�� �2�3 4 9� / ����� � � � / ����� 9 � �/������ �2��3 4 ��2�3 4 � � 9� 4 92��3�

&��' �� � �� ����� �� #���� ���� ����� �� #��� ���� 9/ ������ � � � / ��� ����;� =���� �� #����� ������ ���� �������$������ � � @�� 6��� � � #� � =����A�

" �������/ ������ ������ �� ������ �� #����� ���� ������ �� #��� ���� 9� 7�� �� ���������-���>

�2�3 4 9� � �2�3� 9� 4 �*

� �2�3� 9*�� 2�3 4 �*

� 2� � 9*�� 32�3 4 �*� � � <2� � 9*�� 3

,��� ������>

��� �� #��� ���� 9 �� � � �����

2� � 9*�� 32�3 4 �*� � � <2� � 9*�� 3

,��� �� ��������� �'������>

Page 250: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ��!

��)���� �*�*� .��� ���� �� �� ����� 9� � ��� ���<2� � 9*�� 3�� ����� � ��%.������ ����� �������������� � 9� � ��� ������������ ��� !�� �� �����

!� >4 <2� � 9*�� 3

/���

"� ������ �� �� �� ����� ����� �� ����� ��� �'��� � �/���' ����� =���� #����� ���� ����� � �� � 9�

0%���-����

"� �'������ ���� � � ����� ��� ���������-����� ��� �� �<��������� �� #��� �����

2������ �*�*� ��� ( �� 4������� ������� �� ������� "��� �� � ���2� 3� �������� ��� ������� �������� � ��"����� ���� ����� ���� �� 9 ��� �� �� �� ����� �� � � �� ��2� � 9*�� 3 4 *�

�����������

9 � �� #��� ���� �� � � �<��� � �4 �* ��� 6�� �2�3 4 9�

� 2� � 9*�� 32�3 4 �*� � �4 �*

� � � <2� � 9*�� 3� � �4 �*

� <2� � 9*�� 3 �4 ��*�� � � 9*�� � � �� ��� �� � ��2� � 9*�� 3 4 *

0%���-����

�� � � ���2� 3/ ������ �� ����� � ����� � � 9*�� � ���2� 3� &��������� ������� � ��� ���#����� � ��������� � �� ����������'�������

Page 251: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

��)���� �*�*� � ��2��9*�� 3 �� ����� � 1������ 3����.���"���� �� &� /����� ��� �� �� �� ���� �� 9�

/���

�� ������ � � #�� ������� ���� ���� 6�� 9 � �� #��� ������ � � 9 � ��� ���;- ��� ���� � ���������;��� �� � �

��)���� �*�*� � � � ��2�3� � ��2� � 9;�3 �� ����� � 1������ 3�������"���� �� �� ���� � �

7�� �=�� �� �������� 6�� �<��� ����� � #����� ���� ����$� � #���� ���� ������ �� � �� ��

1�������� �*�*� ��� � �� �������� ������� �� ������� "���� ���������� ��� �� �������"��� � � ���2� 3 ���� � �� ���� ������� 9�� 9�� ���� 9� ������� �� ��� �� ���� ��� �������� ������ ��������� ��� ��� ���� ��� �������� 3 4 ���� ��� ���� ��� �� ��

�����������

C�'� ��������� ��� ��

�� ����'� 6�� ���� � #���� ���� ������ 9 � =/�� #����� ���� ������ ����� � � � �������#� �����

����'� 6�� � 4 ���

,��� �2�3 4 �2��3 4 ��2�3 4 �9� 4 92��3 4 9�/ ���'9 4 = ������������ ���' ��� �� � ����

�� ����'� 6�� ���� � #���� ���� ������ �� � ��� 9�� 9�� ���� 9� � ���� ��� ���� ��� �� ������ ���� �� #����� �$���� � � #���� ����/ �������#� �����

�� ���� �� ���� 6�� � ���� 2�F�3 #���� ���� �����$� �� � �� �/ 9�� 9�� ���� 9�� 9���/ ������ ���� ��� ���� ��� �����

Page 252: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

�� ������ �� #����� ���� ����� � � #���� ����/� �����

����'� 6��

���� 4 ���� F ���� F ���F �����

���'

�2����3 4 ���2��3 F ��� F ���2��3 4 ��9��� F ��� F ��9���

��

�2����3 4 9������� 4 9������� F 9������� F ��� F 9�������

&��'>

��9� 4 9�����

��9� 4 9�����

� � � � � � � � � � � � � � ���9� 4 9�����

���������

�� � ���� � � ���/ ��� 6�� �� �� �� �� � ����/ ���' 9� 4 9���/ ������������� " ����� ���� ��� ��� ��� ������ �����

� 2�3/ 2�3 � 2�3 ���� 6�� �� �������� � #������ ���� ��� � < / � � �*�� �

��)���� �*�*� ��� � �� 4 � ������ ������� � � � � ���2� 3 �� ����� 3 4 ���� ��� ��� ��� ���� �� � �� ����

2� G3G33 4

�����

9� * � � � ** 9� � � � *� � � � � � � � � � � � � � �* * � � � 9�

�������� ������ ��� � �� ������� �%�� � 3 ���� ����� ��� %���������� ���� �� � �

Page 253: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

��)���� �*�*� � � � ��2�3 � ����� 5 � ��2�3 ������ � �� ��� � � 4 5���5 ���

� � 4

�����

9� * � � � ** 9� � � � *� � � � � � � � � � � � � � �* * � � � 9�

�������� ������ ��� � �� ������� �%���

��� 3���� ���� � ���

"� ��� ������/ �������� �� �� ���������� �� �� ����� #�������� / �� �*�� 4 �/ � � ���2� 3 � � #���� ���� ������ �� ��� �� � ���� �� �� �'������ ����������

��)���� �*�*� � 9 �� ��� ��$7 ��� � �� �� ���� ��������$������������ ������ ��� 9 �� �� -���� ����� ������

/���

��#�� ���� 6�� 9 � �� #��� ���� �� � � 9 � ��� ���;- ��� ���$� � ���������;��� �� � �

1�������� �*�*� ��� � �� �������� ������� ��� �*�� 4 ������������ ��� � � ���2� 3 ���� � �� ���� ������ ��� �� 9�� 9��� � �� 9� ��� �������� ������ �������� ��� ��� ���� �� ��������

2� G3�33 4

�����

9� * � � � ** 9� � � � *� � � � � � � � � � � � � � �* * � � � 9�

��� 3 4 ���� ��� ���� ���

Page 254: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

�����������

3 4 ���� ��� ���� ��� � ���� � ���� 6�� � � #�����/ 8� �� ��� ����� � � +�� ��/ �2��3 4 9���� �2��3 4 9���� ���� �2��3 4 9���� &��' ������� �� ����- ���'��� �������

1���������� ���� ������� �� ��� ����

����'� 6�� � � ��2�3 � ��� ����- ���'����-���� � ���$'� 6�� �� ���;�� ��� ���� � ���������;��� �� � / ��2� �9;�3/� ���;�� ������� �� � �� ��

� �� ,��� � 1���� ����� ��� +�'���� &�����/ �<��� � � ���2��3��� 6�� � 4 2� G(�(3 �� ( �� ��� �������� �� ���

���� 9�� 9�� ���� 9� � #���� ���� �� � � &� �������� >

2� � 9�;� 3 �

�����

����� � ���

� 4

�����**� � �*

� 2�3

� �����'� � #����� ���� ����� � 9�� "� ��� �� �� !�� 4�� �� ��'� �� �� 4 2��� ��� ���� ��3� ��#�� ���� 6�� �� ��������2�3 � ������/ ���� ������ �� �� � ��������� ,��� 6�� 4 4���� ��� ���� ��� � ��� ��� ���'����-���� �� � �

,��� >

5���5 4

�����

9� * � � � ** 9� � � � *� � � � � � � � � � � � � � �* * � � � 9�

���� 5 � �� ����- 6�� �<=��� �� � ������ �� � #����� �� ����� 4 �'��� �� ��� �������� (� 0���� 6�� � ���� 4/ � ���#����������� �� ����- 5 �

2� G4�43 4 2( �'��� 432� G(�(324 �'��� (3

Page 255: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

"�� ����- 5 � � ������/ ��� ������� �� �� ��� 4 ��'����+�� ��/ �� ���� �� � #����� ���� 8�� ��'�� �� �-��/ ���'�� ����- ���'��� �� �� � ������/ � ���� �� �� �������� �� �#���� �����

�'�����

���'������

� 4

��� � � *�� �� *�� �� ��

� ���2�3

������

� 4 2� G(G(3 ����� � � ���2��3/ ( �� ��� �������� �� ���� ���� �� ����� � #���� ���� �� � �

��� ��2� � 9;�3 4 *��������� 9 � *�� ��� 9 *�� �� ��� 9

������� 4 2��� 93

����� �� 9 ��� ��� 9

����� 4

4 2��� 932�� 93

����� � ��� ��� 9

����� 4 29F �329� �3����� � *�� ��� 9

����� 44 29F �329� �329F �32��3&��' � #���� ���� � ��� �����(�6�� � #����� �����

��� � 4

�����

� �� #���� ����� �� 9 � �� #��� ���� ������������

� �/ ������ 2� � 9;�32�3 4

��� ***

"������ ��� ��� � �� � 8� � �� �������/ �6��#��� � ������� �� ����- � � 9;�

Page 256: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

3��� 9� 4 ��+� �-�� 8�� ��'�� �� � ��� �� #��� �����

��� ! � *�� * *�� �� *

� ��

��� � � *� * *� � *

� ��

��� � * *� � *� � *

���2��3��

���2��3

��� � * ** � ** � *

� ��

��� � * ** � ** * *

" ����� ����� �� �'������ ��� � �6��#������

��� � * ** � ** * *

���� �

� 4

��� ***

&��' � 4 � 4 *� � � �

0���� 6�� ���� * � 4 *� &��' � #����� ���� �� � ��"��� �� 4 2*� *� �3� ���;� =���� ��'�� �� 4 2*� *� �3 �� 4 2*� *� �3 ����

!�� 4 �2*� *� 3G � �� 4, 2*� *� �3 -

3��� 9� 4 ��

��� � � *�� �� *�� �� ��

� ��

��� � � *� � *� � �

� ���2��3

�����2��3

��� � � ** * ** � �

���2��3��

��� � * ��* * ** � �

" ����� ����� �� �'������ ��� � �6��#������

Page 257: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

��� � * ��* * ** � �

���� �

� 4

��� ***

&��' � 4 / � 4 ��

&��' !�� 4 �2��� 3G � �� 4, 2����� �3 -��� �� 4 2����� �33��� 9� 4 �

��� � � *�� �� *�� �� ��

� ���2�3

�����2�3

��� � � ** * ** * ��

� ��2

��3

����2��

3

��� � � ** * ** * �

" ����� ����� �� �'������ ��� � �6��#������

��� � � ** * ** * �

���� �

� 4

��� ***

&��' � F �� 4 */ 4 *� &��' !� 4 �2���� �� *3G � � ��/ ����!� 4, 2����

�� *3 -

��� �� 4 2������ *3

��� 4 4 �2*� *� �3� 2����� �3� 2������ *3�

"�����

2� G4�43 4

����� * ** �� ** * �

��� 5 �� ����- 6�� �<=��� �� ��� 4 �'��� �� ��� �������� (/ ���'

5 4

��� * � �* �� ��

� � *

Page 258: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

&��' 2� G4G43 4 5���5

2� G4�43 4 2( �'��� 432� G(�(324 �'��� (3

�'�����

��� � 4

��� � � �� � �� �� �

� �� ����- �� �� ��� �� � �� �� ��

������ � �� ��� ��������� (�6�� >

�� "� ���� � ���������;��� �� 8�

�� & #���� ���� �� � � � ������� ������

�� 5�� ��� ���'����-���� 4

�� &� ����- ���'��� 2� G43 � ��� ����- ��#������� 5 ��� 6��2� G43 4 5���5

������

� ���� �� �������� �� ���� � ���������;��� �� � /

�293 4 ��2� � 9;�3

"� �8������������ 9 � �� �� 9 �� �� �� 9

����������2�34

��������� 9 * �� 9� �� 9 �� �� �� 9

������� 4

2�� 93

�������� * �� �� 9 �� �� �� 9

�������(��2��3

42�� 93

�������� * *� �� 9 *� �� ��� 9

������� 4

2�� 93

����� �� 9 *�� ��� 9

����� 4 2�� 932�� 932��� 93

Page 259: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

&��'

�293 4 2�� 932�� 932� F 932��3� �� ���� � ���������;��� �� � � &��' � #���� ���� �>��� �� �3��� 9 4 ����� � � �� � �� �� �

� ��2

��3

�����

��

��� � �� �� � �� � �

� ���2��3

�����2��3�

�� � �� �* � ** � *

� ��

��� � * �* � ** * *

&��' ���� �� ��� � �'������>

��� � * �* � ** * *

���� �

� 4

��� ***

�F 4 */ � 4 * ���' � 4 �/ � 4 *

!�� 4 �2�� *� 3G � �� 4, 2�� *���3 - � �� ������� ��������� � 9 4 ��3��� 9 4 ���� * � �� * �� �� ��

� ���2��3

��

��� * � �� * �* �� ��

� ��

��� � * �* � �

* * *

&��' ���� �� �'������ ��� � �� ��������>

��� � * �* � �

* * *

���� �

� 4

��� ***

�� ����> �F 4 *� � F �� 4 */ &��' � 4 �/ � 4 ��

�/ � �

!� 4 �2������ 3G � �� 4, 2�� ����3 -/ � �� ������� �����

� 9 4 �

Page 260: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ��!

3��� 9 4 ���� �� � �

� �� �� �� ��

� ���2�3

����2��3��

��� � �� ��� �� �* * *

� ��

��� � �� �* � ��* * *

� ��

��� � * ��* � ��

* * *

&��' ���� �� �'������ ��� �>

��� � * ��* � ��

* * *

���� �

� 4

��� ***

�� ���� � ������>

�� � 4 *� � �

� 4 *

�4� � 4 �

� 4 ��

� � �

!� 4 �2�� ��� 3G � �� 4, 2�� �

�� �3 -/ � �� ������� ����� �

9 4 �

5�� ��� ���'����-���� � 4 4 �2�� *���3� 2�� ����3� 2%� �� �3� &��'��� �� * *

* � ** * �

� 4 5��

��� � � �� � �� �� �

���� � � %

* � ��� �� �

���� 5 4 24 �'��� (3

2� G4�43 4 2( �'��� 432� G(�(324 �'��� (3

��� 3���� ���� ��������

+=�� �������� �� �� '������/ � �����/ ����� �� ���� � ���$������;��� � �� �� 8� �

Page 261: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

5 293 4 29� 9�3�� � 29� 9�3

�� � � � 29� 9�3��

� �� F �� � � �F �� �������� � �� �� ����� ��� ����� #��������

�� 9 � �� #��� ���� �� ������������ �/ � � �/ 6������� ��������� � �� �� ����� ��� ��$����� ���� ����� � 9� 5�� ��� ���� �� �����/ �� ���� �� �� �'������ ��������

1�������� �*�*� ��� � �� �������� ������� �� ������� ������������ ��� � �� ���� ��������$���� �� � � ���2� 3 ���� �����$7 9 �� �� �� ���� �� ��������

�*��<2� � 9*�� 3 � �

�����������

��� ' �� �� ����� ��� ��$����� ���� ����� � 9/ � �����/ ' 4�*��<2� � 9*�� 3�

��� ���� ��� ���� ������ ��� �� ��$����� 8� �� �� #����� ��$�� ����� � 9/ � �����

�2��3 4 9��� * 4 �� ���� '

"<����� ��� ��� � ��� ��� 3 4 ���� ��� ���� ��� ����� ���� ��� �� � �"�����

� 4 2� G3�33 4

������������

9 � � � *���� � �

���* � � � 9

5

* � � � *���� � �

���* � � � *

I

���� 5 �����2�3 � I �����2�3�

Page 262: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

"� ���� � ���������;��� �� � �

5 2�3 4 ��2� ��;�3 4

����������������

9�� � � � *���

� � ����

* � � � 9��

5

* � � � *���� � �

���* � � � *

I��;�

����������������&��'/ 5 2�3 4 29��3� � ��2I��;�3� " �����/ 29��3� ��#��� �5 2�3/ ���' ' � ��

&� ���������-����� �� � ���'����-����/ �� ���� �� �� ���� � �$'������

2������ �*�*� ��� � �� �������� ������� �� ������� � �� � ���2� 3� �������� ��� ����� �����

� � �� ������ 7�� �

� 5 293 4 29� 9�3�� � 29� 9�3

�� � � � 29� 9�3��

� �*��!�� 4 ��� * 4 �� � � � � '

�����������

2�3 � 2��3

����'� 6�� � � ���'����-����� "����� �<��� ��� ��� 3 4���� ��� ���� ��� 8� ��� �� #����� ���� �� � � +�� �� 2� G33 ����'��� � �� ���� � ���������;��� �� � � �� �� 8� �

5 293 4 29� 9�3�� � 29� 9�3

�� � � � 29� 9�3��

�� �� F �� F � � �F �� 4 � 4 �*��

"� �� ���'��� ��������� �� 2� G33/ =�� ���� �� * � ��� �� ���� �� �<��$�� ���� �� ���� �� �'���� � 9��

Page 263: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

��� 6�� ���� �� �� � #����� ���� ������������ � 9� ��3 ���������� � !�� 4 <2��9�*�� 3/ � ����� 6�� �*�!�� � ��� �� ���� �������� ������� �� � �*�!�� / ���' � ����� 6�� �� 4 �*�!��

2��3� 2�3

� =������/ �� ���� � ���������;��� ����� �� 8� �

5 293 4 29�9�3�� � 29�9�3

�� � � � 29�9�3��/ � �*�!�� 4 ��� * 4 �� ���� '

,��� 6�� !�� � !�� � � � � � !�� � ������� �

�*�2!�� � !�� � � � � � !��3 4 �*�!�� F �*�!�� F � � �F �*�!��

4 �� F �� F � � �F ��

4 �

��� ���� �;����� */ ������� 3� ��� ��� �� !�� 2�������;�� ��� #����� ���� ��/ ������������ �� #��� ���� 9�3

"����� 3 4 3��3��� � ��3� � ��� ��� �� � 8� ��� �� #���������� &��' 2� G33 � ���'���/ � �����/ � � ���'����-�����

��� "������� ������

�'�����

��� � > �� �� �� ������� ������� 6�� �� ����- �� � �� ������ ��� ��� �������� �

� 4

��� � � �� � �� � �

"������

�� "� ���� � ���������;��� �� 8�

�� & #���� ���� �� � � � ������� ���� ������

�� 5�� ��� ���'����-���� 4

�� &� ����- ���'��� 2� G43 � ��� ����- ��#������� 5 ��� 6��2� G43 4 5���5

Page 264: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

������

��������� 9 � �� �� 9 �� � �� 9

����������2��3

4

��������� 9 * ��� 9� �� 9 �� � �� 9

������� 4

4 2�� 93

�������� * ��� �� 9 �� � �� 9

�������(��2�34

2�� 93

�������� * *� �� 9 �� � �� 9

������� 4

4 2��93

����� �� 9 �� �� 9

����� 4 2��9322��93���3 4 2��932��932��93

&��' � #���� ���� �> � �� ������������ � � � �� ��������������

3��� 9 4 �

��� �� � � �

� �� � �� � �� �

� 4

��� �� � �

� �� �� � ��

� ��2

��3

����� �� �� ��

� �� �� � ��

� � � � ��

��� � * ��* � ��* * *

&��'

��� � * ��* � ��* * *

���� �

� 4

��� ***

&��'

�� 4 *� � � 4 *

&��' � 4 � � 4 �

9�� ���-���/ ����

2�� �� 3 4 2� �� 3 4 2�� �� �3 ���' � 4 2�� �� �3 � ! 4, 2�� �� �3 -

Page 265: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

3��� 9 4 ���� �� � � �

� �� � �� � �� �

� 4

��� � � �� � �� � �

� ��

��� � � �* * ** * *

&��'

��� � � �* * ** * *

���� �

� 4

��� ***

,��� 6�� �F � F 4 * �� ���� � 4 �� � �

9�� ���-��� ����

2�� �� 3 4 2�� � � �� 3 4 �2��� �� *3 F 2��� *� �3

"����� !� 4, 2����� *3� 2�� *���3 -� 7� 6�� �� �� ����� ��!� ������� �� �� ������������ ��� #��� ���� ��

&� ��� ���'����-���� �� � � 4 4 �2�� �� �3� 2����� *32�� *���3�&� ����- � ���'����-����� ,���

��� � * ** � ** * �

� 4

���

��

��

��

����

���

��

��

���

���� � � �� � �� � �

���� � � �� �� *� * ��

�'�����

��� � > �� �� �� ������� ������� 6�� �� ����- �� � �� ������ ��� ��� �������� �

� 4

��� � � �� � ��� �� *

(�6�� / � �<���/ �� ����- ���'��� 4/ �6��#������ � � �

Page 266: Algebra lineal

��������� "� !�������#������ ���

������

� ���� �� �������� �� ���� � ���������;��� �� � /

�293 4 ��2� � 9;�3

��������� 9 � �� �� 9 ��� �� �9

�������(��2��3

4

��������� 9 � �* �� 9 �

�� F 9 �� �9

������� 4

2�� 93

�������� � �* �� 9 ��� �� �9

����������2�34

2�� 93

�������� � �* �� 9 �* * �� 9

������� 4

2�� 93

����� �� 9 �* �� 9

����� 4 2�� 932�� 932�� 93

&��' �293 4 2��93�2��93 � �� ���� � ��������;��� �� � � &��'� #���� ���� �> � �� ������������ � � � ��� ���;- � ���

3��� 9 4 � ������������ ���� � � �

� * ��� �� ��

� ���2��3

����2

��3

��

��� � � �� * �� � �

���2��3��

��� � � �� * �* � *

� ��

��� � * �* � ** * *

��� � * �* � ** * *

���� �

� 4

��� ***

&��' ���� �� �'������ ��� � �� ��������> � F 4 *� � 4 */&��' � 4 �/ � 4 */ � �

!� 4 �2�� *� 3G � � �� 4, 2�� *���3 -/ � �� ������� ��������� � 9 4 �

"�� ������� ����� �� ����� �/ ���' ��� ����- � � ���'����-�$��� ��� �� �� ����� ��� ������� � ������� �� �� �������������� �� ���;-�

Page 267: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

��� "������� ������

�� "�������� �� ���� � ���������;��� ��� ���� �� � 8��$��� ����������� �� .9/ �� �� ����- �'������>

" 4

��� � �� �� � ��� �� �

�� ��� � > �� �� �� ������� ������� 6�� �� ����- �� � ��

������ � �� ��� �������� � " 4

��� � � �* � *�� �� �

�/ ���������

2�3 "� ���� � ���������;��� �� 8�

2�3 & #���� ���� �� � � � ������� ���� ����$��

2�3 5�� ��� ���'����-���� 4

2�3 5�� ����- ��#������� 5 ��� 6�� 2� G43 4 5���5

�� .�� �������� ������� ���� �� ����-

" 4

��� � �� ��� � ���� � �

+�� �� ��������� "��

Page 268: Algebra lineal

����� �� "

������������ #���������

�����������

0�� =� #�� � ����� ������ �� ������ �� � �G #� 6�� � ������ �� ����� � �

� �

����� 4 ��� ��

������� �� ����� ������ � ��� ���������� �� �� ��� ���� �� ����-/ � �����

��� >����2�3����2�3� .9

��� 6��

�����

��

�����

��4 ��� ��

,��� �� ��������� �'������

�� ����� � F �� �� F �� �

����� 4����� � �� �

�����F����� �

� ��� �

������� ��� ���#� �<������ � ������

�����

�F ��

�F ��

�����

��4 ���

����

�����

��F ���

����

��

�����

��

���

Page 269: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

�� +����'� ���� �� �� �'���� ��� ��/ � �����

�����

��

����F ��

�F ��

��4 ���

����

�����

��F ���

����

�����

��

��

�� ����� �� ��� �

����� 4 �

����� � �� �

�����"� ��� ���#� �<������ � ������

�����

����

�����

��4 ����

����

�����

��

�� +����'� ����

�����

��

�������

��4 ����

����

�����

��

���� �� ��� �� �� � ����2�3� � � �� "�� ����� ��������� � ��$������ �� �� ����� �'������

�� ���2�F ��� �3 4 ���2�� �3 F ���2��� �3

�� ���2�� � F ��3 4 ���2�� �3 F ���2�� ��3

�� ���2��� �3 4 ����2�� �3

�� ���2�� ��3 4 ����2�� �3

!�� /��������� ���������

����� �������� � ������ ��� ����

0%���-����

"� .9� ������� �� ������ ����

2��Q; F ��QR3 � 2��Q; F ��QR3 4 ���� F ����

Page 270: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� ��!

�� ����� � �������� ���������/ � �����

2��� ��3 � 2��� ��3 4 ���� F ����

+������ �� ����� ���#����� �'������

��

22��� ��3 F 2��� ��33 � 2��� ��3 4 2�� F ��� �� F ��3 � 2��� ��34 2�� F ��3 � �� F 2�� F ��3 � ��4 ���� F ���� F ���� F ����4 2���� F ����3 F 2���� F ����34 22��� ��3 � 2��� ��33F

F22��� ��3 � 2��� ��33

�� +����'� ���� � �� ���#����� �������/ ����

2��� ��3 � 22��� ��3F 2��� ��33 4 2��� ��3 � 2��� ��3F 2��� ��3 � 2��� ��3

��2�2��� ��33 � 2��� ��3 4 2���� ���3 � 2��� ��3

4 2���3�� F 2���3��4 �2���� F ����34 �22��� ��3 � 2��� ��33

�� +����'� ���� � 2��3 ����

2��� ��3 � 2�2��� ��33 4 �22��� ��3 � 2��� ��33

����� � > .9� .9� � .9G �22��� ��3� 2��� ��33 4 2��� ��3 � 2��� ��3����������� ���#� ���� �� ����� ���#����� ��������/ ������������� � ���8���>

�� �2�F ��� �3 4 �2�� �3 F �2��� �3� ��� ��� � � .9�

�� �2�� � F ��3 4 �2�� �3 F �2�� ��3� ��� �� �� � .9�

�� �2��� �3 4 ��2�� �3� ��� � � .9�

Page 271: Algebra lineal

��* ���� ������ ����� ����

�� �2�� ��3 4 ��2�� �3� ��� � � .9�

"� �� ���'���� ��8� �� ����;� 6�� � � � #��� ������G �� ���������;� ����� 6�� � ������ � �� �����=� � � �� �-6������� "� ������� �� �'������ �������

��)���� �*�*� ���� % � � � / ���� ������� ������� �� ����� ������ ������ �� �� ��� ��� � �� ��� �������� %����� �� % ��� / � ���"�� �� �������� �������.��� ���� �� �� � % � ��� �� � � � �� � �

� �2�F ��� �3 4 �2�� �3 F �2��� �3

� �2�� � F ��3 4 �2�� �3 F �2�� ��3

� �2��� �3 4 ��2�� �3

�� �2�� ��3 4 ��2�� �3

"� ��� �������/ � � �������� � � �� � �� ���������� ��������

� > % �/ G 2�3 4 �2�� �3�� � �

� 7 > � �/ G 72�3 4 �2�� �3�� � %

� �������

�'�����

��� % 4 � 4 .9�/ / 4 .9� ���

� > .9� .9� � .9G �22�� �3� 2��� ��33 4 ���� � ����

"����� � � � ��������

Page 272: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� ���

������

�22�� �3 F 2��� ��3� 2���� ���33 4 �22�F ��� � F ��3� 2���� ���334 �2�F ��3��� � �2� F ��3���

4 ����� F ������ � ����� � ������

4 2����� � �����3 F 2������ � ������34 �22�� �3� 2���� ���33F

F�22��� ��3� 2���� ���33

�22�� �3� 2��� ��3 F 2���� ���33 4 �22�� �3� 2�� F ���� �� F ���334 ��2�� F ���3� ��2�� F ���34 ���� F ����� � ���� � �����

4 �22�� �3� 2��� ��33FF�22�� �3� 2���� ���33

��2�2�� �3� 2��� ��33 4 �22��� ��3� 2��� ��33

4 �2��3�� � �2��3��

4 �2���� � ����34 ��22�� �3� 2��� ��33

���22�� �3� �2��� ��33 4 �22�� �3� 2���� ���33

4 ��2���3� ��2���34 �2���� � ����34 ��22�� �3� 2��� ��33

�'�����

��� % 4 � 4 .9�/ / 4 .9� ��� � > .9� .9� � .9 ��� 6��

�22�� �3� 2��� ��33 4 ���� � ���� � ���� F ���� 2���3

�� ����� 6�� � � ���������

Page 273: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

2������ �*�*� 52������ &���������� �� ��� ���������� %.�������6���� % � � � / ���� ��������� ������� ��� ���� 3 4 ���� ��� � � � � ����( 4 ���� ��� � � � � ��� ����� ��������� �� % � � �������������� �����G * 4 �� � � � � �G 0 4 �� � � � � �� �� ��� ���� �� �������� �� / ��������� ����� ��� ���� �� ����� � ��� � > % � � / �� ���

�2��� ��3 4 ���

�����������

�� "<�������� ���� � 4�����

����/ � 4�����

����� ��� � ��� 6��

�2�� �3 4����

�������

�2�F ��� �3 4 �

�� ��

���

2�� F ���3���

�����

����

4����

2�� F ���3�����

4����

������� F����

��������

4 �2�� �3 F �2��� �3

� +����'� ���� � ������ 6��

�2�� � F ��3 4 �2�� �3 F �2�� ��3

�2�2�� �33 4 �

����

����� �

4 �

���

2���3�����

����

4���

2���3�����

4 ����

�������

4 ��2�� �3

Page 274: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� ���

�� +����'� ���� � ������

�2�� ��3 4 ��2�� �3

�� 5���������� > %� �/ �������� ��� 6�� 2��� ��3 4 ���� � �� ����6�� � 4

�2�� �3 4 �

�� �����

����������

����

� 4

���

������� 4

4����

���� 2����3 4

�� ��

���

����������

����

� 4 2�� �3

���' � 4 �

�'�����

��� � > .9� .9� � .9� ��� 3 4 �2�� �3� 2�� *3� ��� ��� ������� ��.9�� �� ����� 6�� � ���� ����� ����� ��>

�22�� �3� 2�� �33 4 ��22�� �3� 2�� *33 4 ��22�� *3� 2�� �33 4 ��22�� *3� 2�� *33 4 �

"� �8���

�22�� �3� 2��� ��33 44 �2�2�� �3 F 2�� �32�� *3� ��2�� �3 F 2�� � ��32�� *33 44 ����22�� �3� 2�� �33 F �2�� � ��3�22�� �3� 2�� *33FF2�� �3���22�� *3� 2�� �33 F 2�� �32�� � ��3�22�� *3� 2�� *33

���'

�22�� �3� 2��� ��33 44 ��� � � F �2�� � ��3 � � F 2�� �3�� � � F 2�� �32�� � ��3 � � 44 ��� F ���� � ���� F ���� � ���� F ���� � ���� � ���� F ���� 44 ���� � ���� � ���

Page 275: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

" �����

�22�� �3� 2��� ��33 4 ���� � ���� � ���

0%���-����

:�� � ���� ����� ����� �� �� ����� #���� 6����� ����� 6�� ������ =���� ��� ���������� �������� ������� �� � 6�� ������� �� ������� #�����

���= �� ��� �����> � ����� #���� � ��� �����8� �������� � ���� ���� �� � � �� � ����� #���� � ��� �<���� ������ � ���� ���� �� � �� �� .9� .9��

/���( "� .9� ������� �� ��� �������� 3 4 �*� 0� �� � �� ����$������ �������� � > .9� .9� � .9� ������� ��

�2*� 03 4 �G �20� �3 4 *G �2�� *3 4 0�20� *3 4 ��G �2�� 03 4 �*G �2*� �3 4 �0�2*� *3 4 �20� 03 4 �2�� �3 4 *

��� 6�� ���� � � ���� ���� �� ��� ���/ �� �� ��$�� � 8���� ����� �� �� ���������� ���������/ ��� ������ ��<������ �����;���� �� �� ����� �'������>

�2��*F ��0 F ���� ��*F ��0 F ���3 4 ���� � * F ����� F ����2�03FF����2��3 F ���� � * F ����*F ����0 F ����2�*3 F ���� � * 4

4 2���� � ����3* F 2���� � ����30 F 2���� � ����3�

"�� ���������� �������� � �� ���� �� 8�;��� � � ��� ��� ������#������� ������ ���-�

"� ���'���� ��'������ ��� ���������� �������� 6���� ������� �� �� ����� �'������>

��� 3 4 ��� 4 2�� *� *3� �� 4 2*� �� *3� �� 4 2*� *� �3��22��� ��� ��3� 2��� ��� ��33 4

4 �2���� F ���� F ����� ���� F ���� F ����3 44 2���� � ����3�� F 2���� � ����3�� F 2���� � ����3�� 44 2���� � ����� ���� � ����� ���� � ����3

Page 276: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� ���

�'�����

��� � > .9�.9� � .9 �������� �������/ �� ������ � �� ��� ��������3 4 ���� ���/ �� �� �'������ �����

�2��� ��3 4 �2��� ��3 4 *G �2��� ��3 4 �� �2��� ��3 4 ��(�6�� �� �<������ �����;���� �� � �

��� � 4 ���� F ����/ � 4 ���� F ����/ ������

�2�� �3 4 �2���� F ����� ���� F ����34 ���� � * F ���� � � F ����2��3 F ���� � *4 ���� � ����

4

����� �� ���� ��

�����6�� � �� ����� ������ �� � #����� � � � �'��� �� ��� ���������

��)���� �*�*� ���� �� > % � �/ ��� �� ������� � ��� ����� ��"�� � ���� �� � � � �������� � F � ����

� F > % � �/ G 2� F 32�� �3 4 �2�� �3 F 2�� �3

� �� ��"�� � ���������� �� ��� �� ����� � ��� � � �������� � �� �����

2� � �3 > % � � / G 2� � �32�� �3 4 � � �2�� �3

1�������� �*�*� ���� % � � � / ���� ��������� ������� ��� ������ > % � � / ��� �� ������� � ��� ��� �������� � F � � � ���� � ��� ���

�����������

� �� ���� 6�� � F � ��������/ � �6��#������ � �� ���� 6����� ��� �� � % � ��� ��� �� � � � �����>

�� 2� F 32�� F ��� �3 4 2� F 32��� �3 F 2� F 32��� �3

Page 277: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

�� 2� F 32�� �� F ��3 4 2� F 32�� ��3 F 2� F 32�� ��3

�� 2� F 32��� �3 4 �22� F 32�� �33

�� 2� F 32�� ��3 4 �22� F 32�� �33

�� ������� �� 2����3

2� F 32�� F ��� �3 4��� �2�� F ��� �3 F 2�� F ��� �3 4

4��� 2�2��� �3 F �2��� �33 F 2 2��� �3 F 2��� �33 44��� 2�2��� �3 F 2��� �33 F 2�2��� �3 F 2��� �33 44��� 2� F 32��� �3 F 2� F 32��� �3

2�3 � 2�3 ��������� �� � � �� ����������/ 2�3 ������������ �� � � /2�3 ������#���� � �� �����#���� �� �� � � �� / �

+����'� ���� � �� ����� 2����3�

�� ������� �� 2����3

2� F 32��� �3 4��� �2��� �3 F 2��� �3 44��� ��2�� �3 F � 2�� �3 44��� �2�2�� �3 F 2�� �33 4��� �22� F 32�� �33

2�3 � 2�3 ��������� �� � � �� ����������/ 2�3 ������������ �� � � /2�3 �<� � �� ����������� �� ����� #���������

+����'� ���� � �� ����� 2����3�

� �� ���� 6�� � � � � ��������/ � �6��#������ � �� ���� 6����� ��� �� � % � ��� ��� �� � � � �����>

�� 2� � �32�� F ��� �3 4 2� � �32��� �3 F 2� � �32��� �3�� 2� � �32�� �� F ��3 4 2� � �32�� ��3 F 2� � �32�� ��3�� 2� � �32��� �3 4 �22� � �32�� �33�� 2� � �32�� ��3 4 �22� � �32�� �33

�� ������� �� 2�����3

Page 278: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� ���

2� � �32�� F ��� �3 4��� �2�2�� F ��� �3 4

4��� �2�2��� �3 F �2��� �33 4��� �2�2��� �33 F �2�2��� �33 4

4��� 2� � �32��� �3 F 2� � �32��� �3

+����'� ���� � �� ����� 2�����3

2�3 � 2�3 ��������� �� ���������� �� ��� ����������/ 2�3 �������������� � / 2�3 �<� � �� ����������� �� �� ����� #��������

�� ������� �� 2�����3

2� � �32��� �3 4��� �2�2��� �3 4��� �2�2�2�� �33 44��� 2��32�2�� �33 4��� �2�2�2�� �333 4���4 �22� � �32�� �33

2�3 � 2�3 �������� �� ���������� �� ��� ����������/ 2�3 �������������� � / 2�3 �<� � �� ����� #�������� "�7�%/ 2�3 �� �����#���� ���� ������������� �� � � ���' "�7�%�

+����'� ���� � �� ����� 2�����3

��)���� �*�*� � ��� ���� !������ ��� ����� �� �� ������� �� ��� �� �� % � �� / � �� ������ 3�2%� � G/ 3�

1�������� �*�*� ���� % � � � / ���� ��������� ������� ��� ��������� 32%� � G/ 3 �� �� �������� ������� �

�����������

C�� 6�� �� ���� � �= �<� � �� ����� #�������� ��� ������ ����� "�7�� � "�7��

"�7��� "� ����� � �� ���������� �������� ����/ ������� * � �������� �'��

* > % � � / G *2�� �3 4 * �2�� �3 � % �

2* F �32�� �3 4 *2�� �3 F �2�� �3 4 * F �2�� �3 4 �2�� �3

���' * F � 4 �

Page 279: Algebra lineal

��% ���� ������ ����� ����

"�7��� ���� � > % � � / ��������/ � ���������� �������� ������ ������� �� � � ����� ��

�� > % � �/ G 2��32�� �3 4 �2�2�� �332� F 2��332�� �3 4 �2�� �3 F 2��32�� �3 4 �2�� �3 F�2�2�� �33 4 *

���' � F 2��3 4 *

0%���-����

"� .9�/ �� ������ ���� �� ���

2�� �3 � 2��� ��3 4 ��� F ��� 4 ���F ��� 4 2��� ��3 � 2�� �3"�� ���#����� � ������ �� �'������ ������

��)���� �*�*� ��� � > � � � / ��� �� ����� � ��� � ������� ��� � �� ������� �

�2�� �3 4 �2�� �3 �2�� �3 � � �

�'�����

"� �� ���������� �������� ��� �������� 2���3 � �����

�22�� �3� 2��� ��33 4 ���� � ���� � ���� F ���� 44 ����� ���� � ���� F ���� 4 �22��� ��3� 2�� �33

� �����/�2�� �3 4 �2�� �3G � �� � � .9�

�'�����

��� � > .9� .9� � .9/ ������� ��>

�22��� ��3� 2��� ��33 4 ���� F ����� F ����� � ����

Page 280: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� ��!

"�� ���������� � �������� � � ��������

�'�����

��� � 4 �� > J*� �K� .9G � ����;����"�����

2�� 3 4� �

��23 23� 2���3

� � �������� " �����/ �� ������ ��#������ ��� .9 � � �������

!�� .� � ���������

��)���� �*�*� ��� � �� ������ ������� ����� �� ��� &����%����� ��%�� � � �� ��� �� ����� � ���

� > � � � �

�'�����

� > .9� .9� � .9G �22�� �3� 2��� ��33 4 ���� � ���� � ���� F �����" 8����� #�� 6�� � � ��� 8� � ���������

�'�����

��� � 4 �� > J*� �K� .9G � ����;����� "�����

=2�� 3 4� �

��23 23�

� ��� 8� � ���������

0%���-����

������� �� 8� � �������� �� �� ��8������� 2���3

Page 281: Algebra lineal

�%* ���� ������ ����� ����

� > .9� .9� � .9G �22�� �3� 2��� ��33 4 ���� � ���� � ���� F ����

"� �� � ��� ������� �� ��� 3 4 �2�� �3� 2*� �3� � ( 4�2�� *3� 2��� �3� �� .9�/ � �� �-6������ � � �� �����=� �������#� ������� �����>

�22�� �3� 2�� *33 4 �� � 4 *

�22�� �3� 2��� �33 4 � � � � 2��3� � � � � �� � � 2��3 � � F � � � � � 4 �

�22*� �3� 2�� *33 4 � � * � �� � � * � *� � � � � � F � � � � * 4 ���22*� �3� 2��� �33 4 � � * � 2��3� � � * � �� � � 2��3 F � � � � � 4 �

0������ ���� �� ���������;�

2� G3�(3 4�* ��� �

"8����#� ���� � ��� 8� � �������� �� ������ ��� ����- �������� � � ��� ���� �� �� ����� ������� ������� �����

����� ��� �� ������ � ��� ! �� ��������

���� % � � � �$����� #��������� ���� 3 4 ���� ��� � � � � ��� �( 4 ���� ��� � � � � ��� ��� ������� �� % � � �������#� �����

��� �� � � % � � � � � �����

� 4�����

����� � 4�����

����

��� ��� 8� � �������� � > % � � � � ���� �� �� ������������/ ������

�2�� �3 4 �

�� �����

����������

����

� 4

�����

�����

�����2��� ��3

��� 2���3 4 �2��� ��3G � � * � �/ � � 0 � ��

Page 282: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �%�

�� ������ �� ����- " 4 2���3 � ����2�3 �� � ��;��� � � ��� ��/�� ���� � ��� � ����7 �� � !���� � ��� � �� ���� � �� ����� 3 �(/ ������� 2� G3�(3�

9���;���� ����/ � ��� ����- " 4 2���3 � ����2�3/ �� ����������� ������ 8� � �������� � > % � � �/ ������� ��

�2�� �3 4�����

�����

�������

�� ���� � ���������

�� ����� ������ �� ���� � �'������>

2������ �*�*� ���� % � � ��� ��������� ������� �� �� ���������� � � � ��������������� .��� ���� ��� �� ����� 3 4 ���� ��� � � � � ����� % � ( 4 ���� ��� � � � � ��� �� � � ����� ��� �������

? > 32%� � G�3�����2�3� �� 2�2��� ��3 4 2���33

� ��� �� �� �����"��� �� ������� ������� ���

��)���� �*�*� �� ����7 ��� ����������� � � �� ��� ���� ���� &���� %����� � ��� �������� � �� ����� 3 � (�

����� "�� ���������� ��� ����� � ���� ��

��� � � 32%� � > �3 � � ������������ ����- " 4 2���3/ ��� 6��" � ����2�3/ �� �� � �� �������/ ������# � �� ��� 3 � (�� % � � �������#� �����

��� �� 2�� �3 � % � � �����

�2�� �3 4�����

�����

������� 4�����

��

�� �����

�����

Page 283: Algebra lineal

�%� ���� ������ ����� ����

������� �� ������ ��� ��

� 4

��������������

� G H 4

������

���������

"� ������ "H � ��� ����- ��� �� �� � ���� "� ��� ��� �� ��

��� * ������

������

"� ������ �"H �� �� ����- ��� � �� �� ����- ��� �� "H ���� ����- �� ����2�3 6�� �����/ �� ��� ��� ����� �

�����

��

�� �����

�����

9�����/ ����������� ��� �� ����- �� �� � ��� ��� � ��� ���$ ���

�2�� �3 4 � "H

1�������� �*�*� ���� % � � ��� ��������� ������� �� �� ���������� < � � ��������������� �� �� ���� � �� ����� 3 � ( �� %� � � " �� � ����7 �� � � 32%� � > �3 � � � � H ��� �� �������� �� ����� �� �� ����������� �� � � % � � � � �� ����� �������������� �� ����

�2�� �3 4 �"H

�'�����

7�#� �� �������� �� �� ��8������� 2���3

� > .9� .9� � .9G �22�� �3� 2��� ��33 4 ���� � ���� � ���� F ����

3 4 �2�� �3� 2*� �3�/ ( 4 �2�� *3� 2��� �3�

2�� �3 4 �2�� �3 F 2� � �32*� �32��� ��3 4 2�� F ��32�� *3 F ��2��� �3

Page 284: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �%�

"�����

�22�� �3� 2��� ��33 4 2� � � � 3�* ��� �

���� F ��

��

!�� "���� "��������

��#�� � ��� ������

�����������

"� .9�/ ������� �� ��� �������� �Q;�QR� QS������ � 4 ��* F ��0 F ��� � � 4 ��* F ��0 F ��� � #����� �� .9

��"����� �� ������ ���� �� � � � � ����� ��

� � � 4 ���� F ���� F ����

��� �� ��;/ ��� � � #����� � �� ���� �� ��� �� ���� � �����'���� '� ������ � �� ���� �� �����

&� �� � � ����� ��

��� 4���� F ��� F ���

� �����/ ���� 4 � � �"�� ������ ���� ����� �� ����� �� ������ �� ��� 4 ����������/���� � � �� ��� ���'�� � ������� ����� � � �/ �� � �4 *� +�� ��� � � 4 * � � �� � � � �

��

&��' � � � 4 * � � �� � � � � � ���������������

& ������ �� ������ ����/ ��'���� �� �� #����/ ��'������������ '�������-�� � ����� #�������� 6�� � ������ 8����� ������$���� '� ������� � � .9�/ � � � � � ����� �� 8������/ � ��.9� � .9� � ����� ������ �� � ��� 6�� �� ������ �����

/���( "� ��� ������ ������� �� ���� 8� � ��������� 6�������� �� �� ��� � ��� �� �����/ ��� �� �� �� ��� #� � �����-�� �� ������ �� �����

Page 285: Algebra lineal

�%� ���� ������ ����� ����

0%���-����

"� �� 8� � �������� ��� �������� �� ��8������� 2���3 � �����

�22�� �3� 2�� �33 4 ��� � ��� F ��� 44 �� F 2�� � ��� F ���3 F �� 4 �� F 2�� ��3� F ��

6�� � �� ��� �� ��� �� ����# ���/ ��� � � � �� ��������

��)���� �*�*� ��� � > � � � .9 ��� !���� � ��� � ��������� � �� ����-� �

�2�� �3 � * �� � �

�'�����

"� �� ��� �� 2���3 � ����� 6��

2�� �3 4� �

��23��

� ��� ����#/ ��� �� ������ ��#������ �� � ���' � �/��������� �� ����� ��� �� ���#� �23� ��� ���� ����� �� �� ��� � ��� �� ��� ��

0%���-����

"� �� 8� � �������� ��� �������� 2���3 � ����� 6�� �22�� �3� 2�� �33 4 *� ����� 6�� �� F 2�� ��3� F �� 4 * ���' � 4 � 4 */ � ����� 2�� �3 42*� *3�

��)���� �*�*� ��� � > � � � .9 ��� !���� � ��� � ��������� � �� ��)��� ������ � ���� ������ �� � ��� ����!��� �2�� �3 4 *�� � ������ � 4 �*� �� ���� �2�� �3 4 *� � 4 �*�

Page 286: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �%�

�'�����

"� �� 8� � �������� ��� �������� 2���3 � ����� 6�� � 2�� �3 4 * ��$

����� �

��23�� 4 * ���' �23� 4 * � � .9 ���' �23 4 * � � .9

� ����� � 4 *�

��)���� �*�*� � � > � � � .9 �� ��� !���� � ��� � �������������� ��� � �� �� �������� ������� � � �� �������� ������ ���"���� /������( �2�� �3 4>, �� � -

�'������

&� 8� � ��������� ��� �������� 2���3 � ��� �������� 2���3 � ��$���� ��������

��)���� �*�*� ��� � �� .9������� ������� � ������ ��� � �� �������� �������� � ����� � �� ����� ��"�� �� �������� ���� ���

��#�� $ ��

0%���-����

"� .9� �� �� ������ ����/ � ������� �� ��'���� �� � �� ��#����/ �� �� ����� �'������

��2�� �3�� 4��� F ��

��� �� F �� �������� �� ������ ���� �� 2�� �3 ���' � /� �����

��2�� �3�� 4�2�� �3 � 2�� �3

"� ������ �� �� � � '�������-� �� �� ����� �'������>

��)���� �*�*� ��� � �� ������ ��� ����� ��� �� �������� ����� �� , 2�� �3 -� ���� � � � � �� ����� ����� ��� -����� ���������� ������ � ������ ��� �������

����� 4 �, �� � -

Page 287: Algebra lineal

�%� ���� ������ ����� ����

�'�����

"� .9�/ ��������� �� ������ ����/ � �����

��2�� �3�� 4 ��� F �� 4

��

��2�� �3�� 4 ��� F �� 4 �

�'�����

"� .9�/ ��������� �� ������ ��� �������� 2���3 � �����>

��2�� *3�� 4 �� � �� � � � � � * F � � *� 4 �

��2�� �3�� 4 �� � �� � � � � � � F � � �� 4 �

��

��2�� �3�� 4 �� � �� � � � � � � F � � �� 4 �

�*

��2����3�� 4�� � �� � � � � � �� F � � 2��3� 4

���� ���

�'�����

� 4 �� >���

�� ��

�� .9 ����;���� �� �� ������

2�� 3 4� �

���

�23 23�

+�'�� ��� �� �� ��� �� �>

��� � � .0��������� 4 2����� ����3 4

� ��

���

������� 4

4� �

���

�� � ����

�� 4�

��������

���

� �

�������

������

���

4C

&��' ������� 4�

���� � .0

��� � � .0

Page 288: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �%�

�� ������ 4 2���� ���3 4� �

���

������ 4

4� �

���

� F � ���

��� 4

��������

���

F�

�������

������

���

4C

���' �� ������ 4 ���� � .0

�'�����

"� .9� �� �� ������ ������ ���� � �����

��2��� ��� � � � � ��3�� 4�, 2��� ��� � � � � ��3� 2��� ��� � � � � ��3 - 4

4���� F ��� F � � �F ���

1�������� �*�*� ��� � �� ������ ��� ����� �������� �� ����

�& ������ 4 ��� � ����� �� � .9� �� � �

�& ����� � * �� � �

�& ����� 4 * � � �� � � � 4 �*

����������� �&

������ 4 �, ��� �� - 4

��� , �� � - 4

��� � �, �� � - 4

4 ��� � �����

����������� �&

, �� � - � * �� � � � �, �� � - ���� ������� �� � � ��

, �� � - � * �� � � ���' ����� � * �� � �

����������� �&

����� 4 *� �, �� � - 4 *�, �� � -4 *� � 4 �*

Page 289: Algebra lineal

�%% ���� ������ ����� ����

1�������� �*�*� 5���������� �� 3���<?. �<B��� 6 ��� ��� ������ ��� ����� ��������

� , �� � - � � ����� � ����� ��� � � �

�����������

����'� ��� �� 6�� � 4 �*� "����� � � �� �� �� ���'������ � ��� 2��������3�

����'� � �4 * ���' , �� � -�4 *� ��� 9 4 �����

������

� �� 8� � �������� � ����#�/ � ����� 6��

, �� 9�� �� 9� -� *

�� �� ������������/ � ������

, �� � - �9 , �� � - �9 , �� � - F9� , �� � -� *

5��� �� �������� � ������� � �� ��������� �� 9 � �����

, �� � - ��, �� � -�

, �� � -F

, �� � -�

, �� � -� *�, �� � - �, �� � -�

, �� � -� *

)����������� �� , �� � - � �����

, �� � -, �� � - � , �� � -�� *�, �� � -, �� � -�, �� � -�

���'

�, �� � -

�, �� � - � � , �� � - � � � , �� � - � � ����� � �����

�'�����

"� .9� �� �� ������ ������ ����/ � �����

� , 2��� ��3� 2��� ��3 - � � ��2��� ��3�� � ��2��� ��3��� �����

����� F ����� ����� F ��� �

���� F ���

Page 290: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �%!

�'�����

"� .9� �� �� ������ ������/ � �����

� , 2��� ��� � � � � ��3� 2��� ��� � � � � ��3 - � �� ��2��� ��� � � � � ��3�� � ��2��� ��� � � � � ����

� ����� ����������

����

����� ����� ��

���

��� ����� ��

���

���

���#��� �� �������/ � �����

������

�� � �����

��� ������

���

������ � �� ���'������ �� &�'���'��

3������� �*�*� 5���������� ��������� �� ��C�B�C?6

���F ��� � �����F �����

�����������

���F ���� 4, �F �� �F � -44, �� � - F , �� � - F , �� � - F , �� � -44, �� � - F� , �� � - F , �� � -4 ������ F � , �� � - F������ �� ������ F ������ � �����F ������ 4 2�����F �����3�� ���F ��� � �����F ����� � ����#/ ������

���F ��� � �����F �����

3������� �*�*�

� ����� � ����� � � ���� ���

Page 291: Algebra lineal

�!* ���� ������ ����� ����

�����������

��� 6�� � 4 2�� �3 F �/ �� �� ������ ������� � �����

����� � ���� ���F �����

���'

����� � ����� � ���� ��� 2���3

+�� �� � 4 2� � �3 F �/ ���'

����� � ��� � ���F �����

���'����� � ����� � ��� � ��� 4 ���� ���

�� ��������� � ����� � ���� ��� 2���3

� 2���3 � 2���3

� ����� � ����� � � ���� ���

��#�# % � �����

"� .9�/ ��������� �� ������ ���� � ����� 6�� �� ������ ������ #����� � ��� � � �� � �� ���'�� � ������� � �� �

��������/

� �����/ � � �� � �� #����� � ��'�����

"�� ������ �� ��'������� � '�������-� �� �� ����� �'������>

��)���� �*�*� �� �� ������ ��� ���� � � ������ ��� ��� ��������� � � � ��� ����������� � � �������� ���� �� ����� � �� �� �� ��

�'�����

"� .9�/ ��������� �� ������ ���� � ����� 6�� � 4 2�� *� *3 �� 4 2*� �� *3 � ��'����� ,� ����� � 4 2�� *� *3/ � 4 2*� *� �3 ���'�����

Page 292: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �!�

�'�����

7�#���� �� �������� 2���3

�22�� �3� 2�� *33 4 � � � � �� � � � � *� � � � � � F � � � � * 4 *

"����� ���� 6�� � 4 2�� �3 � � 4 2�� *3 � ��'���� �������� � ��� �������

��)���� �*�*� ��� ! 4 ���� ��� � � � � ��� �� �� ������ ��� ����� � ������ ��� ! �� �� ���'���� ��������� �� �������� � �� ��������� �� ! ��� �������� �� �� ��� �� ���� � ������ ����� � �� ���������� )� ������ ��� ! �� �� ���'���� ���������� �� ���������

�'�����

"� �� �������� 2���3 �� ������ 3 4 �2�� �3� 2�� *3� � ��'����"� ������ ( 4

����� ��

���

���� *�!

� ���� ���

�'�����

��� � 4 �� > J�8� 8K � .9G � ����;����/ �� �� ������ �������'������>

2�� 3 4� �

���2�3 2�3��

�� ��� 6����

��C�

8

�� ��

��C�

8

�G � 4 *� �� �� � � �� � �� ��$

���� ��'���� ����� ��� ��� �� �� �� � �� ���� #�����

������

� ��� � �4 ���

��C�

8

�� �

��C�

8

��4� �

���

��C�

8

��

��C�

8

��� 4

4� �

��

"�

�2�F �3C�

8

F �

�2�� �3C�

8

#�� 4 *

Page 293: Algebra lineal

�!� ���� ������ ����� ����

� ��� � �4 �

���

��C�

8

�� ��

��C�

8

��4� �

����

��C�

8

���

��C�

8

��� 4

4� �

���

"�

�2�� �3C�

8

� �

�2� F �3C�

8

#�� 4 *

� ���� � .0��

��C�

8

�� ��

��C�

8

��4� �

���

��C�

8

���

��C�

8

��� 4

4� �

���

"��

�2�� �3C�

8

F ��

�2�F �3C�

8

#�� 4 *

+=�� ��6�� �� �� � �� ��� 8������

� ��� � �4 */ � ����� � *� 4 � � � �� � �

������ 4� �

���� 4 �8

� �����/ ����� 4 ��8

� ��� � � ����������

��C�

8

���������� 4

� �

����

��C�

8

��� 4

4�

� �

��

�� F �

���C�

8

���� 4

4�

�� F

��C���

���C�

8

�������

��4 8

� �����

���������

��C�

8

��������� 4 �

8

Page 294: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �!�

� ��� � � �����������

��C�

8

���������� 4

� �

�����

��C�

8

��� 4

4�

� �

��

��� �

���C�

8

���� 4

4�

��� �

��C���

���C�

8

�������

��4 8

� ����� ����������

��C�

8

��������� 4 �

8

��)���� �*�*; ��� � �� ������ ��� ���� �� ������� "���������� ��� � ��� ���� 3 4 ���� ��� � � � � ��� �� ��� %��� �������.��� �� � � � 3 �� ��� ���� �� � � 3 �� �� ��� ���� ��������� ���������� �� � �

2������ �*�*�51������ �� ���������� ���� �� D���. �<���6

5��� ������ ��� ���� � �� ������� "��� �� �� �� �� ����� ������� ��������� � �� �� � � � � ���

�����������

�� ��� �� � 4 �� ��� ��� ��� ��� �� � / ������ 4�

������ � ������� 6�� �� ��� 4 ��

�� �� �� � 4 �� ��� ���� ��� ��� ��� �� � / ������ � 4 �

����������� �� 4 ��� , ��� � - �� �� ����� 6��

, ��� � - 4 , ��� , ��� � - �� � -44 , ��� � - � , ��� � -, �� � -4 *

�� ������� � 4�

������ � ��"����� � �� �� � ��� ��� ���� �� �� � �

Page 295: Algebra lineal

�!� ���� ������ ����� ����

�� �� �� � 4 �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �� � � �� ������� �� ���� ����� �'������

�� 4 ��� , ��� � - �� , ��� � - �

�� ����� 6�� , ��� � -4 * � , ��� � -4 * 2� ���� �� ���������� �����3� &��' � ������� � �� �� ����� �'������

� 4�

��������

"� '������ � ������� �� �� �� ����� �'������

�� 4 ��� , ��� � - �� , ��� � - � � � � , ��� ��� - ���

� 4�

��������

"�� ���� ���� ��� ���� �� ��'��� ��� ��� �� �������������� �������� � �� �� ����� ������

��)���� �*�*$ ������ ��� � �� � � � � �� �� � %��� ����������. ��� �� ���� ��� � � � � ����

�'�����

�� ������ �� ������ ������

, 2�� �3� 2��� ��3 -4 ���� � ���� � ���� F �������� ����� �� ��� 3 4 �2�� �3� 2����3�

������

��� �� 4 2�� �3

������ 4, 2�� �3� 2�� �3 -4 � � � � �� � � � � �� � � � � � F � � � � � 4 �

� 42�� �3

��� 4 ��� , ��� � - �

�� 4 2����3�$2����3� �����

%������

�� 4 2����3� , 2����3� 2�� �3 - �����

Page 296: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �!�

�� 4 2����3� 2� � � � �� � � � � �� � � � � 2��3 F � � 2��3 � �3 � �����

�� 4 2����3� � � �����4 ������������

�4 ������

, ��� �� - 4 �, 2����3� 2����3 -4

4 �2� � �� � � � � � 2��3 F � � 2��3�3 4 ��

������ 4 �, ��� �� - 4

����4 �

����

� 4������

&�*

�� � � 4

���������

&� ��� ���� ���-��� � 3 4 ������

� ���������

!

�'�����

"� .9�/ �� �� ������ ����/ �� ������

! 4 ��� 4 2�� *� � � � � *3� �� 4 2*� �� *� � � � � *3� � � � � �� 4 2*� � � � � *� �3�� �� ������ ���� ���

�'�����

"� � 4 �� > J*� �K� .9 ����;���� �� �� ������ ������, �� -4

��23 23�/ �� ������

! 4

'()�

�����

��8

���

�����

��8

G ��� � .0���

� �� ������ ���� �� �� #������

�'�����

"� .9�/ �� �� ������ ���� 3 4 �2�� *3� 2*� �3� � ��� ��� ����$ �� �� .9��

Page 297: Algebra lineal

�!� ���� ������ ����� ����

1�������� �*�*� ��� � �� ������ ��� ����� ��� % �� ���������� �� � � �������� � ��� ���� ! 4 �� � � G , �� � -4 * �� � %��� �� ���������� ������� �� � �

�����������

���� ��� �� � % ������

�� , �� F ��� � -4, ��� � - F , ��� � -4 * F * 4 */ ���'�� F �� � % �

�� +�� �� , ���� � -4 � , ��� � -4 � � * 4 * ���' ��� � %

� 2��3 � 2��3 ! � �� ��$����� #������� �� � �

��)���� �*�*�# � ���������� ! �� � ��������� ������� ������������ !� � �� ����� � ��%������ ��������� � !�

��#�& �� �� ' �������� ��� � ���� ��

"� .9�/ ��������� �� ������ ����/ � ������ �� ��� ��� ���'�� ��� ����� � #����� �� �� �'������

, �� � -4 ����� � ����� � � �

"�� ������ � '�������-� �� �� ����� �'������>

��)���� �*�*�� ��� � �� ������ ������� ��� ���� ��� ��������� ���� �� , �� � -� �� ��"�� � ������ �� ���� � ����� ����������� ����� ��� �������� �� �� �� ����

� � 4, �� � -

����� � �����

Page 298: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �!�

�'�����

"� .9� �� �� ������ ������ ����/ �� ���'�� ��� ����� � #������ 4 2�� *3 � � 4

�������

��

� � 4, 2�� *3�

�������

�-������2�� *3 � ��

�����

������� 4��

� � � 4�

���' � 4 ��� � ����� 6�� �� ���'�� ����� � 4 2�� *3 � � 4 2��

��3

� �� ����� � 4 ��

�'�����

"� .9�/ ��������� �� ������ ������ ��� ��� �� 2���3� "� ���'�� ��� ����� � #����� � 4 2�� *3 � � 4 2��

��3 �

� � 4 ��������������

�������������������� 4����������������������������

���

������4 ������

��

������

0%���-����

"� .9�/ ������� �� ������ ����� &� �������� ����� � ������ .9�/ 5� 4 2��� ��3 � 5� 4 2��� ��3 �

�25�� 5�3 4�2�� � ��3� F 2�� � ��3�

"�� ��� �� �������� � ��2��� ��3 � 2��� ��3��/ � �����/ � ���������� � �� �������� ����� � #�����

�22��� ��3� 2��� ��33 4 ��2��� ��3� 2��� ��3��"�� ������ �� �������� ����� � #����� � ����� '�������-�� ���� ����� �'������>

��)���� �*�*�� ��� � �� ������ ��� ���� ��� ����� ������ ��������� � �� ����� � > � � � .9�

� ��"��� ��� �2�� �3 4 ���� ������ ����� � &����� �������� � ������ �2�� �3 �� ����� �������� ����� � ? � �

Page 299: Algebra lineal

�!% ���� ������ ����� ����

1�������� �*�*� ��� � �� ������ ��� ����� ��������

)� �2�� �3 � * ��� � � �

,� �2�� �3 4 * � � �� � � � 4 �

-� �2�� �3 4 �2�� �3 ��� � � �

0� �2�� �3 � �2�� �3 F �2�� �3 ��� �� � � �

&� �� ������� �� ���� �� �����

��)���� �*�*�� �� ������ ������� ��� ������ �� ��� ��������� ����� �� ������ �������

!�� .� � ��������� � �������

"� ����� �� �� 8� � ��������� ���� �;��� � ���� ��'�� �� ������� �� 8� � ������������

��)���� �*�*� ��� � > � � � � ��� !���� � ��� ������������������� ��� !����� &� > � � � ��"��� ���

&� 2�3 4 �2�� �3 �� � � 2���3

���� !����� �� ��� ����� �� �� ����� � &���� ��������� ������ ������� � � !���� � ��� � �

�'�����

&� 8������ ����������� ������ �� ������ ������ ���� �� .9� �

&2��� ��� � � � � ��3 4 ��� F ��� F � � �F ���

Page 300: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �!!

�'�����

��� � > .9� .9� � .9 ��� �������� 2���3�

"����� �� 8������ ����������� ������ � � �

&22�� �33 4 ��� � ��� F ���

/���( 9���;���� ����/ � & � �� 8� � ����������� ������ � ���8� � �������� � / ��� ��������� � �� �� ����� �'������>

�2�� �3 4�

�J&2�F �3� &2�3� &2�3K ��� � � � 2���3

&� 8�� ��� 2���3 � 2���3 � ������ � ���������� �� �����-�$���� � ������ 6�� � �� ���� & ���� ���;#�� ���� ����� ������� � / �� �� ����� & ����� ��� ���;#�� ���� � � �

1�������� �*�*� ��� � > � � � .9 � ��� �������� ��2�� �3 4 * �� � � � �������� � �� �� ��

�����������

��� �� � � � / ������

* 4 �2�F �� �F �3 4 �2�� �3 F ��2�� �3 F �2�� �3 4

4 ��2�� �3 ���' �2�� �3 4 * ��� � � � ���' � 4 *�

!�� "������� ������

�'�����

��� � >��2.93��2.93� .9/ �� 8� � �������� ������� ��>

�2�� �� �

���� � 7

�3 4 �� F ��� F �� F �7

�� �� ��� 6�� � � �� ������ ������ �� ��2.93�

Page 301: Algebra lineal

�** ���� ������ ����� ����

�� ����

" 4�� ��* �

�� 3 4

�� ��� �

������� ��"��/ ��3��/ �2"�33 � �� ���'�� � ������� �����" � 3

������ �� 5�6

�� =� ����� 6�� � � ��������� ���� �� ���� ������>

2�3 �� ��� 6�� � � � ��������

�2�� �� �

���� � 7

�3 4 ��F ��� F �� F �7

�2�� � 7

���� �� �

�3 4 ��F ���F � �F 7�

� � ������ � �'����/ ���' � � � ��������

2�3 �� ��� 6�� � � ����#��

�2�� �� �

���� �� �

�3 4 �� F ��� F ��� F �� � *

2�3 �� ��� 6�� � ���� ���� ��������

�2�� �� �

���� �� �

�3 4 �� F ��� F ��� F �� 4 *

� � 4 * 4 � 4 � 4 �

�� 2�3/ 2�3 � 2�3 � � �� ������ �������

������ �� 5�6

��"�� 4 �, "�" - 4

&,�� ��* �

���� ��* �

�- 4

4�� F � F * F � 4

�� 4 �

��3�� 4 �, 3�3 - 4

&,�� ��� �

���� ��� �

�- 4

Page 302: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �*�

4�� F � F � F � 4

��*

�2"�33 4 ��"�3�� 4 ���� ��* �

���� ��� �

��� 4

4 ����� ��� *

��� 4

&,�� ��� *

���� ��� *

�- 4

4�� F % F � F * 4

��� 4 �

��

,��� 6�� ��"�� � ��3�� � � 4, "�3 -/ ���'

� � 4, "�3 -

��"�� � ��3�� 4,�� ��* �

���� ��� �

�-

���*

4�

���*

���'

� 4 �����

���*

�'�����

��� � > .9� .9� � .9 ��� 8� � �������� ������� ��>

�22��� ��3� 2��� ��33 4 ����� F ����� F ����� F �*����

�� �� ����� 6�� � � �� ������ �������

�� ���� � 4 2����3 � � 4 2�� *3� "�������� �� �� � �� �� �#�����/ �� �������� ����� ��� � �� ��� ��� ���'�� � ����$��� ����� ����

������ �� 5�6

�� =� ��� �� ����� 6�� � ��������� ���� �� ���� ������>

2�3 � � � ��������

"� �8���

Page 303: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

�22��� ��3� 2��� ��33 4 ����� F ����� F ����� F �*����

�22��� ��3� 2��� ��33 4 ����� F ����� F ����� F �*����

+ �� � ��'��� ��������/ ���' � � � ��������

2�3 � � ����#��

"� �8���

�22�� �3� 2�� �33 4 ���F���F�*�� 4 ���F2��F���F���3F��� 4

4 ��� F 2� F ��3� F ��� � * �2�� �3 � .9�

2�3 � ���� ���� ��������

"� �8���

�22�� �3� 2�� �33 4 *� ��� F 2� F ��3� F ��� 4 *

� � 4 � 4 *� 2�� �3 4 2*� *3

�� 2�3/ 2�3 � 2�3 � � �� ������ �������

������ �� 5%6

����� 4 ��2����3�� 4��22����3� 2����33 4 �

����� 4 ��2�� *3�� 4��22�� *3� 2�� *33 4

��

�2�� �3 4 ���� ��� 4 ��2����3� 2�� *3�� 4 ��2*���3�� 4�� � *� F � � * � 2��3 F �* � 2��3� 4 �

�*

,��� 6��

, �� � -4 ����� � ����� � � �

���' � � 4, �� � -

����� � �����, �� � -4, 2����3� 2�� *3 -4 �����F����*F���2��3F�*2��3�* 4 �

&��' � � 4�

���

Page 304: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �*�

�'�����

���� ��2.93/ ������� �� ������ ������ �'������>

� >��2.93��2.93� .9G �2"�33 4 '2"33

��� ! ������� �� ��2.93 �� ���

( 4 ��� 4�� �� *

�� �� 4

�� ��� *

�� �� 4

�� ** �

��

�� ����� ����� �� ��� �� ( �� !

�� (�6�� �� ������� ��'��� � !

������ �� 5�6

������ 4&'�� �� *

� � � �� *

�4��

��� � 4���

�� �� *

�� ����� 6�� �� 4 ��� , ��� � - � 4

4�� ��� *

�� ,

�� ��� *

�� ��

�� �� 2

�- ��

�4

4�� ��� *

�� 2� F 2��3 F �3�

�� �� *

�4� �

���

���

*

������ 4�2��3� F 2��

�3� F 2�

�3� 4 �

��

� 4�

��

��� �

���

���

*

�4 ��

�� ��� *

�� ����� 6��> �� 4 ��� , ��� � - �� , ��� � - �

�� 4�� ** �

�� ,

�� ** �

�� ��

�� �� *

�- ��

�� �� *

��

Page 305: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

,�� �� *

�� ��

�� ��� *

�- ��

�� ��� *

�4

4�� ** �

�� �

�� �� *

�� �

�� ��� *

�4� �

�*

���

������ 4&'� �

�*

���

��� �

�*

���

�4�2��3� F 2��

�3� F �� 4

���

� 4

� ��

*��

��

��

��

4

��

��

���

*

���

���

����

&��' � �� �� �� � �� ��� ���� �� �� ! ������� �� �� ������ M��=�$��= ����

������ �� 5�6

(�6�� �� ������� ��'��� � !

������� �� ��� � �� �������� �'������>

,�� �

���� �� *

�-4 * � � F � F 4 *

,�� �

���� ��� *

�-4 * � �� � F 4 *

,�� �

���� ** �

�-4 * � � F 4 *

�� ������ �� ��� � ���� > � 4 �G � 4 *G 4 �

&��' �� ������� ��'��� �� ! � !� 4,��� *� �

�-

�'�����

��� � > .9� .9� � .9 ������� ��>

�22��� ��� �3� 2��� ��� �33 4 �����F�����F�����F����F����F���

Page 306: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �*�

�� (�6�� �� 8� � ����������� ������ � ��� 8� � ��������� ��������

�� (�6�� �� ����- ������ � � �� ������ � �� ������������

������ �� 5�6

&2�� �� 3 4 �22�� �� 3� 2�� �� 33 4 ��� F ��� F ��� F �� F �� F ���

&��' &2�� �� 3 4 ��� F ��� F �*� F ��

������ �� 5�6

,��� 6�� =���� � �'������ �������>

�22�� *� *3� 2�� *� *33 4 �G �22�� *� *3� 2*� �� 233 4 �G

�22*� �� *3� 2�� *� *33 4 *G �22�� *� *3� 2*� *� �33 4 *

�22*� *� �3� 2�� *� *33 4 *G �22*� �� *3� 2*� �� *33 4 *

�22*� �� *3� 2*� *� �33 4 �G �22*� *� �3� 2*� �� *33 4 �

�22*� *� �3� 2*� *� �33 4 �

&��' 2� G(�(3 4

��� � * *� * �* � �

�'�����

��� & > .9� � .9 ������� ��> &2�� �� 3 4 ��� F �� � �*� F ��

�� (�6�� �� ����- ������ � & �� ������ � �� ��� ��������( 4 ���� ��� ���

�� (�6�� �� 8� � �������� ������ � &

Page 307: Algebra lineal

�*� ���� ������ ����� ����

������ �� 5�6

,��� 6��

&2�� �� 3 4 2 � � 3

��� � � �

� � �� � �

���� ��

� 4

4 2 �� F �� F � �� F �� F � �� F �� F � 3

�����

� 4

4 2��� F ���� F ��� F ��� F ��� F ��3 4

4 2��� F ���� F ��� F ��� F ��� F ��3

&��' � 4 �G � 4 *G � 4 �G � 4 *G � 4 ��G � 4 �

&��'

2&G(3 4

��� � * �* * �� �� �

������ �� 5�6

�2��� ��3 4 �G �2��� ��3 4 �2��� ��3 4 *G �2��� ��3 4 �2��� ��3 4 �G

�2��� ��3 4 *G �2��� ��3 4 �2��� ��3 4 ��G �2��� ��3 4 �

��� � 4 ���� F ���� F ���� � � 4 ���� F ���� F ����

�2�� �3 4 �2���� F ���� F ����� ���� F ���� F ����3 4

4 ���� � � F 2���� F ��� ��3 � * F 2���� F ����3 � � F ���� � * FF 2���� F ����3 � 2��3 F ���� � �&��'

�2�� �3 4 ����� F ���� F ���� F 2��3���� F 2��3���� F �����

� ���� � ����;� =���� ������ �� �� ����� �'������>

Page 308: Algebra lineal

��������� $� ����������� %������� �*�

�22��� ��� �3� 2��� ��� �33 4 2 �� �� � 3 ���� � � �� � �� � �

� �

��������

Page 309: Algebra lineal
Page 310: Algebra lineal

������ �

+��� �� ��� ����/ 6���� 8���������� �� ���'�� =��� �� ���� �� ���������

��� 6�� ������� �� ���� 1���- ��� � ������� ��� �� � ������� � � �� ����� ���� D1�����������E "��� 6�� �=�� �������� ��� � � #�� ��������� �� ��� �������

�� ���� ��8����-�� ��� �� �� ���<� � ����/ ������ ����

����/ �� � =� ���;� �� ������ #��� � � � ������� �������/ ��� ��� � #�#�� � =���� �� �� ���# � ��= ��� 6������� @,� �� ���#A �� D,� �� ���#E/ ��� �� ���<� � �������������� �� ���� � ��� #�- �� �� � ���- �� ��� ���#� ����� ���� #��� �� ���������� D�� �=�� �� �������� �� ���� �������E

(��� � #��� �� ���<� � ����� @(��� A

&� ��� ��-/ ���'��;� � � �� 1�� �� 8���- �� ������� �� ��� �� ��� �� M������

�*!

Page 311: Algebra lineal
Page 312: Algebra lineal

#�$��� �%���

J�K !�����A 3����A @�������A E�� ���/ + ����� �����/ C��$����

J�K 3* �* 3�����A F* F* ��������A 7* 3* @* 3����/ + ���������� � �� ������/ +�����

J�K �* �������/ .� ���� �� + ����� ������� 7�������

J�K G* !* @�����</ + ����� ���� / +����$T���� .���� ���$�����

J�K �* D������/ /���� �� + ������ + ����� ���� / ������� ��+�(��� +����

J�K * D�������/ + ����� ���� / )��M��P C����

J�K 4* F�H��� ? 7* 4�� �/ + ����� ���� � �������$C��� C�$���� �������/ ��+�

J%K !* 4�����/ + ����� ���� / +����$T���� .���� ��������

J!K * ����/ ����� + �����/ �����'��$7����' 0�P H�S .���

J�*K �* 1���C���C�-/ .��� ���� �� + ����� ��� / )��� )���

J��K 1* 3* <����/ + ����� ���� / .����� ��������

���

Page 313: Algebra lineal
Page 314: Algebra lineal

������ �� �������

+�'�� ����� #�����/ �!�+����� (��� � �������/ ��%+��������� ������/ ���+��������� ����/ ���+��������� (��������/ ���/ ��%/

��*+�� �� / ��!/ �!�

(��/ %�(�� ���'����-����/ ���(�� ��������/ !�(�� ���� ��/ �!�(�� ���� ���-���/ �!�

�� �� �� ���/ �!%� �������� ������/ ��/ �!� ������/ %%� ������ �� �� / �%������� �<� �� ����/ %������� ��� ��/ �������� ��'���/ �!������� ���� ��/ �!�

���'������ �� ����=�$��=P���-/�%%

���'������ �� &�'���'�/ �%!���'������ �����'����/ �%!����� ������/ ���/ ���/ ��*U

�������� ������ �� �� ��� �$

� / ��%/ ��!

���'����-����/ ���/ ������'����-�����/ ����� �����/ !�/ �**/ �*��������� ����� #�����/ �!�

"������� �6��#������/ !"�� ��� ����/ ���"�� �� / ��%"�� �� / ��%"�� #��� � ����/ �*�"���� "��������/ �%�/ �%�"���� ������/ �!%"���� #�������/ ��"���� #������� ����/ ��

1� ���� �� ��� �/ ��1� � (�������/ ��!1� � �����������/ �!%1� � �������/ �%�1� � �������� �� �2�3 4 �/

�%!1� � �������� �� �� ��� �

�� "��/ �!�1� � ����#�/ �%�

C �����/ ���

.��������/ ���

. �� / ��%

. �8/ ���

���

Page 315: Algebra lineal

��� ���� ������ ����� ����

&����� ���� �����������/ ��&����� ���� �������������/ ��

)������ �6��#������/ �!%/ �!!)������ � ������/ �**)����-/ ��)����- �������/ ���/ ���)����- ����� �������/ �*�)����- ������/ ���/ ���/ ��!/

�%*/ �%�)����- �� �� �� �� ���/ �!�/

�!%)����- ��� �����/ �!�)����- ��� ������/ �*�)����- ��#�������/ �!�)����- ���������/ �*%)����- ��'���/ ���)����- ��'����/ �!�)����- � �������/ �*�)����- ���������/ ���/ ���)� �� / ��%)�� / ��%

0�����/ ���/ ��!0� �/ �%�

��������� ��� �����/ ��/ ����������� ��� ������/ �����'�������/ �!*

��� � ���������;���/ ��* ��� � �����/ �� ��������� �� ��� +����� (���/

��� ����� 9 � � / �%� ����� 9 �� / �%� ����� �� ������/ �%�/ �%� ����� ������/ �%�/ �%�

����� �� ������/ �*/ ��%

9�V�<���/ ���9������/ ��%

���� � �� ��� ��/ ������ � �� "�� ����/ ������ � �� "�� ����/ ������ � �������/ �!���� � ������/ �����$����� '������/ �����$����� � �/ �*����$����� #�������/ �!/ �*���$����� ����/ ������$����� ���� ������/ ������$����� #��������/ �%�������� ������/ ��*�������� ��'���/ �!��������� ����/ ��!�� � �� +����� (��������/ ����� � �� ������/ �%��� � �� �� / �%��� � �� ��$�����/ �*�/ ����� � ������� �� ��$�����/

���/ ���

,�� M�� $��= ���/ �!�,��� � +����� (���/ ���,��� � �� ��#��������/ �**,��� � �� �������-/ !�,��� � 8���� �����/ ���,���������/ ���

7��� ����/ ��%7��� ���� ��������/ ��!7��� ���� � ���/ ���7���� ����/ ��%7����� �������/ !�

Page 316: Algebra lineal

��������� $������������ %������� ���

7����� ����/ ��7����� ����/ ��7����� ��'����/ �!*