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Material de Apoyo
ÁLGEBRA I CÁLCULO I
FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD PEDRO DE VALDIVIA
Prof. Haroldo Cornejo Olivarí
ÁLGEBRA
LOS NÚMEROS
El concepto de número en la sociedad actual nos es tan familiar que es difícil concebir hoy en día que el proceso de abstracción y construcción del sistema numérico y su aritmética ha sido largo y lento.
El proceso más interesante es el aprendizaje del conteo. En la época de los romanos, los cabreros utilizaban piedrecillas para contar sus rebaños.
Esta acción puede abstraerse a términos matemáticos estableciendo una aplicación biunívoca entre el objeto "piedra" y el objeto a contar, en este caso "una cabra", si se establece que existen tantas piedras como cabras, entonces, nuestro conteo es correcto, eso se denomina establecimiento de una biyección entre dos conjuntos equipotentes.
En pleno siglo XIX, muchas doncellas de la aristocracia inglesa no sabían contar, pero enseguida se daban cuenta si faltaban cubiertos o algún comensal no tenía asiento.
Muchas sociedades menores en sus respectivos idiomas tienen palabras para designar al número "uno", "dos" e incluso "tres", pero más allá, se dice "muchos", es decir, no hay un sistema numérico formalizado.
No obstante, ha servido de base, el uso de los dedos de las manos, de los pies, e incluso de las partes del cuerpo, para contar.
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Sus características estructurales más importantes son:
No son conjuntos finitos
Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable
Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)
Admiten relación de orden
Admiten relación de equivalencia
Son representables mediante diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler‐Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.
El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:
N: Conjunto de los números naturales Z: Conjunto de los números enteros Q: Conjunto de los números racionales R: Conjunto de los números reales C: Conjunto de los números complejos
Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto C de los números
complejos, que sería el Universo de los Números.
Conjunto de los Naturales
Surgieron en el proceso de aprendizaje que tuvo el hombre cuando descubrió la forma de contar. Son los números más simples de los que hacemos uso, están formados por los números 1,2,3,4,5...
El conjunto de los números naturales, se define por extensión de esta forma:
IN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …………. }
Su construcción axiomática parte de los axiomas de Peano, que a partir de un primer elemento, el uno, se genera el elemento siguiente, y el siguiente del siguiente, de tal forma que obtenemos un conjunto, que si bien está acotado inferiormente (es la única excepción existente entre los conjuntos numéricos), no lo está superiormente, por lo que podemos conjeturar que este conjunto tiene un número infinito de elementos.
NÚMEROS Z ENTEROS:
Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de expresar situaciones tales como: Temperaturas bajo cero, deudas, posiciones bajo el nivel del mar (10 pies bajo el nivel del mar, por ejemplo). Aparecen los Inversos aditivos de los Naturales y el Cero.
El conjunto de los Enteros se denotan por Z y están formados por los números Naturales, el cero y los inversos aditivos de los naturales.
Por extensión, sería aproximadamente: Z = { ……. –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …..} El conjunto de los números enteros incluye a los naturales. Los naturales son un subconjunto de los enteros.
NÚMEROS Q RACIONALES:
Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y , como por ejemplo: 3/5, ‐ 2/3. etc. En general:
Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1).
También se consideran números racionales los siguientes decimales:
a) Los decimales finitos: aquellos que tienen un número finito de cifras decimales, como por ejemplo: 0.23, 2.3, ‐ 0.324
b) Los decimales infinitos periódicos puros (d.i.p.p.): Aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por ejemplo: 0.2222… ,0.3535353… ,2.3333…, ‐ 1,7777…
c) Los decimales infinitos periódicos mixtos (d.i.p.m.): Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales que no se repiten y a continuación un número infinito de cifras decimales que se repiten, como por ejemplo: 0.23333…, 0.2355555…., ‐ 0.32424242…, 3.25555…., ‐ 1.2345454…
Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al dividir dos números enteros. La fracción que los origina se denomina fracción generatriz.
El conjunto de los números racionales incluye a los enteros.
NÚMEROS Q’ IRRACIONALES:
Surgen por la necesidad de encontrar la medida exacta de la hipotenusa de un triángulo rectángulo; así mismo de la necesidad de expresar las raíces inexactas reales. Se denotan por Q’ y son todas las raíces inexactas reales y los decimales infinitos no periódicos, como por ejemplo:
2 =1,414213562…, π = 3.14157… , e = 2,71828 18284……
NÚMEROS IR REALES
Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por IR.
NÚMEROS IR’ IMAGINARIOS:
Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i:
i = 1− Se debe tener en cuenta que:
i = 1− i 2 = – 1 i 3 = –i i 4 = 1
La unión de los números reales con los imaginarios dan origen a los números complejos notados C, así que: C = IR U IR’. Observar bien que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)
Con los números naturales no era posible realizar diferencias (restas) donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.
En la resta A – B se tiene que A= Minuendo B = Sustraendo
Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.
El conjunto de los números enteros está formado por:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en
tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y el cero.
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales como un subconjunto de los enteros.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al
suprimir su signo. Algebraicamente se define:
⎩⎨⎧
<−≥
=0xsix0xsix
x
Orden en los números enteros: Los números enteros están ordenados. De dos números representados
gráficamente, es mayor al que él está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.
Criterios para ordenar los números enteros
1. Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0 2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0 3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
−7 > −10 |−7| < |−10|
4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
10 > 7 |10| > |7| Suma de números enteros
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.
3 + 5 = 8 (−3) + (−5) = −8
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
− 3 + 5 = 2 3 + (−5) = −2
Propiedades (Axiomas) de la suma de números enteros
1. Clausura o Interna: El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a + b 3 + (−5)
2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]
5 − 5 = 2 + (−2) 0 = 0
3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a 2 + (−5) = (−5) + 2
−3 = −3 4. Elemento Neutro Aditivo: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él
da el mismo número. a + 0 = a
(−5) + 0 = −5 5. Aditivo Inverso u opuesto: Un número es el aditivo Inverso del otro si al sumarlos obtenemos como
resultado el cero. a + (‐a) = 0 5 + (−5) = 0
El Inverso Aditivo del Inverso Aditivo de un número es igual al mismo número.
−(−5) = 5
La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el Aditivo Inverso del sustraendo.
a − b = a + (−b) 7 − 5 = 2
7 − (−5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de números enteros
1. Clausura o Interna: La resta dos números enteros es otro número entero.
a − b 10 − (−5)
2. No es Conmutativa: a − b ≠ b − a 5 − 2 ≠ 2 – 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que
tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
Regla de los signos
2 ∙ 5 = 10 (−2) ∙ (−5) = 10 2 ∙ (−5) = −10 (−2) ∙ 5 = −10
Propiedades (Axiomas) de la multiplicación de números enteros
1. Clausura o Interna: El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
a ∙ b 2 ∙ (−5)
2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c
son números enteros cualesquiera, se cumple que: (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
(2 ∙ 3) ∙ (−5) = 2∙ [(3 ∙ (−5)] 6 ∙ (−5) = 2 ∙ (−15)
−30 = −30 3. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
a ∙ b = b ∙ a 2 ∙ (−5) = (−5) ∙ 2
‐10 = ‐10
4. Elemento neutro Multiplicativo: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número
multiplicado por él da el mismo número. a ∙ 1 = a
(−5) ∙ 1 = (−5) 5. Distributiva respecto a la suma: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos
de dicho número por cada uno de los sumandos. a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
(−2) ∙ (3 + 5) = (−2) ∙ 3 + (−2) ∙ 5 (−2) ∙ 8 = (−6) + (−10)
−16 = −16
6. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma
en producto extrayendo dicho factor. a ∙ b + a ∙ c = a ∙ (b + c)
(−2) ∙ 3 + (−2) ∙ 5 = (−2) ∙ (3 + 5)
División de números enteros
La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la misma regla de los signos que en el producto.
Regla de los signos
10 : 5 = 2 (−10) : (−5) = 2 10 : (−5) = −2 (−10) : 5 = −2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna, No cumple la propiedad de Clausura: El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número
entero.
(−2) : 6
2. No es Conmutativa: a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
GUÍA Nº 1
Conjunto de los enteros (Z)
I. Completar con los signos > o < 1. 3 ____ 2 R: > 2. −3 ____ 4 R: < 3. 6 ____ 9 R: <
II. Calcular el valor de las siguientes expresiones:
1. (+6) + (−12) R: −6 2. (+7) + (−3) R: 4 3. (+10) + (−4) R: 6 4. −12 + (−15) R: −27 5. 8 + 7 + (−3) + 2 R: 14 6. −2 + (−4) + 3 + (−1) R: −4 7. −3 + (−2) + (−6) + (−10) R: −21 8. 18 + 6 ÷ (−3) − 3 ⋅ (−2) R: 22 9. 3 ⋅ 5 − 6 ÷ (−2) + 3 ⋅ (−3) R: −1 10. −10 ÷ (−2) − 8 ÷ (−4) R: 7 11. 4 + 5 ⋅ (6 − 4) + 8 ÷ 2 12. 4 + 5 ⋅ 6 − 4 + 8 ÷ 2 R: 34 13. (4 + 5) ⋅ 6 − (4 + 8) ÷ 2 14. 4 + (5 ⋅ 6 − 4 + 8) ÷ 2 R: 21
GUÍA N°2 Conjunto de los Enteros (Z)
1.– Obtenga la suma de: a) –23– 5 + 19–1 + 4 – 23– 5 + 19–1 + 4 (R: –12) b) (–4 –2)–1+(–3–8)–(–4+2–6) (R: –10) c) 0 –7+(– 4 –3+2– (5 – 2 –8) (R: –7) 2.– Obtenga el resultado de: a) 4∙(–3)–2 (R: –24) b) (–1)∙4∙(–2)–5∙(–3) (R: –120) c) 9∙[–2∙ (–1) ∙0]∙ (–3) (R: 0) d) (0∙379) + (–5 + 0) (R: –5) e) (–2)∙(–1) + 5∙(–3 –1 + 4) (R: 2) f) (1–3–4–6)∙(–4)+(1–7–2) (R: 40) 3.– Un hombre que tenía $ 87.553 hizo una compra por un valor de $ 93.201. Exprese su estado
económico. (R: Debe $ 5.648)
4.– Tenía US$ 200. Cobré US$ 56 y pagué deudas por US$189. ¿Cuánto tengo? (R: US$ 67). 5.– Compro ropas por valor de $ 66.500 y alimentos por $ 117.800. Si después recibo $ 228.000,
¿Cuál es mi estado económico? (R: Tiene $ 43.700 sobre 10que tenia antes de comprar).
6.– Tenía US$ 20. Pagué US$ 15 que debía; después cobré US$ 40, y luego hice gastos por US$ 75.
¿Con cuánto quedé finalmente? (R: Debo US$ 30). 7.– Al empezar el día no tenia dinero. Después de recibir US$ 200 hago tres gastos sucesivos por
US$ 78, US$ 81 y US$ 93. Más tarde me dan US$ 41 y hago un nuevo gasto por US$ 59. ¿Cuál es mi situación finalmente? (R: Estoy debiendo US$ 70).
8.‐ Pedro tenía deudas de $ 45.000; $ 66.000 Y$ 79.000. Al recibir $ 200.000 pagó sus deudas y
luego gastó $ 10.000, ¿cuánto tiene? (R: No tiene dinero) 9.‐ A las 9:00 hrs., el termómetro marca 12° C y después de once horas la temperatura ha bajado
15° C. ¿Qué temperatura marca el termómetro a las 20:00 hrs. del día?. (R: ‐3° C o 3 grados Celsius bajo cero)
10.‐ A las 3:00 hrs. el termómetro marca _8° C y al mediodía +5° C ¿Cuántos grados ha subido la
temperatura? (R: Ha subido 13° C) .
11.‐ A las 8:00 hrs. el termómetro marca –1 ° C; Desde las 8:00 hrs. a las 11:00 hrs. baja a razón de 2° C por hora y de 11:00 hrs. a 14:00 hrs. sube a razón de 3° C por hora. Indique, ¿cuál será la temperatura a las 10:00 hrs., a las 11:00 hrs., a las 12:00 hrs. y a las 14:00 hrs?.
(R: –5º C; ‐7° C; _4° C y +2° C, respectivamente). 12.‐ Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que corre hacia la izquierda de A,
va a 8 m/s y el que corre hacia la derecha va a 9 m/s. Exprese a qué distancia del punto A se encuentra cada uno al cabo de 6 segundos.
(R: 48 metros a la izquierda; 54 metros a la derecha, respectivamente). 13.‐ Un poste de 40 pies de longitud sobresale sólo 15 pies sobre el suelo. Después de un tiempo,
el poste se enterró 3 pies más. Determine cuántos pies del poste sobresalen y cuántos están enterrados. (R: 12 pies sobre salen y 28 pies están enterrados).
14.‐ Un móvil recorre 55 m. a la derecha del punto A y luego en sentido contrario retrocede 52 m.
¿A qué distancia se halla de A, finalmente? (R: 3m. a la derecha de A). 15.‐ A partir de un punto B una persona recorre 90 m. a la derecha y retrocede, con la misma
dirección, primero 58 m. y luego 36 m. ¿A qué distancia de B se encuentra definitivamente? (R: ‐4 m. ó 4 m. a la izquierda de B).
16.‐ Un automóvil recorre 120 Km. a la izquierda de una cierta ciudad M y luego se devuelve a
razón de 60 Km. por hora ¿ A qué distancia de la ciudad M se hallará al cabo de la 1ª, 2ª, 3ª y 4ª hora desde que se devuelve?
(R: ‐60 Km.; 0Km.; +60 Km.; +120 Km., respectivamente)
Potencias
ANTECEDENTES:
Sin duda el término potencia nos da la idea de poder, intensidad, energía y fuerza. Ya en tiempos remotos, se aplicó esta idea a los números. Los babilonios utilizaban la elevación a potencia, como auxiliar de la multiplicación. Los griegos tenían una especial preferencia, por los cuadrados y cubos.
Diofanato, insigne matemático del siglo III d de C, utilizó la yuxtaposición sucesiva de símbolos iguales, para la notación de potencias. Asimismo, se sabe que en 1554 el alemán Michel Stfen (1487‐1567) en su trabajo titulado Ariymñetica Integra usó por primera vez, el término exponente.
Según la teoría del Bing‐Bang sobre el origen del universo, el instante que demoró la explosión que le dio origen fue de 0,000….01 segundos (43 cifras), lo que en forma de potencia se
expresa como 4310− s. Del mismo modo, el radio del universo que se estima en 15.000 millones de
km, se escribe 10105,1 ⋅ km.
Definición: Potencia es la multiplicación de un número (llamado base) por si mismo, tantas veces como lo indique otro (llamado exponente), es decir:
bn =b⋅ b⋅ b⋅ b⋅ b⋅ .... ⋅ b / b є lR n є lN Ejemplos: 1) 43 = 4∙ 4∙ 4 2) (–5)2= (–5) ⋅ (–5)=25 3) –52 = ‐(5⋅5)= –25
4) 81
21
21
21
21 3
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
Propiedades
1.‐ La potencia no es conmutativa an ≠ na 2.‐ Producto de potencias con la misma base: am ∙ a n = am+n 3.‐ División de potencias con la misma base: am : a n = am ‐ n 4.‐ Potencia de una potencia: (am)n=am ∙ n 5.‐ a0 = 1 ∙ ∀ a≠0 6.‐ a1 = a 7.‐ 0n = 0 ∀ n>0 8.‐ Producto de potencias con el mismo exponente: an ∙ b n = (a ∙ b) n 9.‐ Cociente de potencias con el mismo exponente: an : b n = (a : b) n 10.‐ Dos potencias de igual base son iguales, si sus exponentes también son iguales
Si ax = ay → x = y
11.‐ Potencias de exponente entero negativo La raíz cuadrada
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.
Raíz cuadrada exacta (Racional) La raíz cuadrada es exacta, siempre que la cantidad subradical (radicando)
sea un cuadrado perfecto. Números Irracionales
La raíz cuadrada es irracional, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.
Ejemplos:
Prioridades de Operaciones combinadas
1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º. Calcular las potencias y raíces. 3º. Efectuar los productos y cocientes. 4º. Realizar las sumas y restas.
NOTACION CIENTIFICA Prof: Patricia Rojas Salinas
Es una manera de escribir cantidades muy grandes o muy chicas en forma abreviada utilizando
un entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, junto a una potencia de 10 tanto con exponentes negativos como positivos.
A continuación se presenta un resumen de las potencias de 10 y los prefijos y sufijos que se sustentan en ellas y que son de gran utilidad en las diferentes asignaturas de tu especialidad:
NOMBRE SIMBOLO VALOR Yotta Y 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2410 Zetta Z 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2110 exa E 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 1810 peta P 1. 000. 000. 000. 000. 000 = 1510 tera T 1. 000. 000. 000. 000 = 1210 giga G 1. 000. 000. 000 = 910 mega M 1. 000. 000 = 610 kilo K 1. 000 = 310 hecto H 100 = 210 deca D 10 unidad 1 deci d 0.1 = 110− centi c 0. 01 = 210− mili m 0. 001 = 310− micro μ 0. 000. 001 = 610− nano n 0. 000. 000. 001 = 910− pico p 0. 000. 000. 000. 001 = 1210− femto f 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1510− atto a 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1810− zepto z 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2110− yocto y 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2410−
Ej: 2 nanómetro=2 nm = 9102 −⋅ = 0. 000. 000. 002 m = 0. 000. 001mm= 0. 001μ m
Guía N° 3 Prof. Patricia Rojas Salinas
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS POTENCIAS DE 10. 1) Usando notación científica, escribir en forma abreviada
a) 0,000.001.8= b) 400.000.000.000= c) 0,0342 = d) 5,36 = e) 62,8 = f) 108.000.000= g) 0,000.49= h) 200.000= i) –0,000.0002= j) –32.500=
2) Escribir en notación científica, las magnitudes indicadas:
a) En el espacio, la luz recorre 25.920.000.000 km diario.
b) El espesor de una hoja de papel blanco corriente, es 7 cienmilésimas de metro.
c) La longitud de un meridiano terrestre, es de 40.000.000 m.
d) La velocidad del sonido, es de 1.200.000 m/hr.
e) La distancia de la tierra al sol, es de 150.000.000 km.
f) La velocidad de la luz, es de 300.000.000 m/s.
g) La masa del electrón, es 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.91kg
h) El diámetro de un glóbulo rojo de la sangre, es de un cienmilésimo de metro.
i) La sal de mesa está formada por iones de sodio y cloro. La distancia entre un ión de sodio y uno de cloro es de 0,000000028 cm., aproximadamente. Expresar esta distancia en metros.
j) El espesor de la película que forma una pompa de jabón, mide aproximadamente un cienmilésimo de centímetro.
k) En un milímetro cúbico de sangre hay, aproximadamente, 5.500.000 glóbulos rojos.
l) La distancia media de Marte al sol, es de 229.000.000 km
m) Uno de los átomos más pesados es el de Plutonio, cuyo peso y diámetro son respectivamente 0,000.000.000.000.000.000.000.000.39 kg y 0,000.000.06 cm.
3) Determinar el valor con decimales (cifra) que corresponde a:
a) =⋅ 3102,7 b) =⋅ −2104,6
c) =⋅ −4109 d) =⋅ −21018,1
e) =⋅ −2102,3 f) =⋅ −5106
g) =⋅ 3102,1 h) =⋅ 2106,3
4) Aplicando notación científica y las propiedades de las potencias, calcular:
a) =⋅000.000.53100000.25
b) =⋅
⋅032,0004,0
000.000.1686,0
c) =⋅
08.000,0006.000,0400
d) =⋅
⋅⋅⋅ −−
2
43
105,01014105,2
e) =⋅
⋅+⋅ −−
2
11
104102,2103
f) =⋅⋅
−
−
3
4
105104,0
g) =⋅⋅
2
3
106,11064,0
h) =⋅⋅ −
3
2
1005,010025,0
i) =⋅⋅
−1
2
1016,0108,4
j) =⋅⋅ −
5
4
1081096
k) =⋅
⋅900001,0
00045,05,7 l)
( )=
⋅⋅−
−⋅−
25
1012
1,010101010
m) =⋅
⋅032,04.000,0000.000.1618,0
n) ( )
=⋅−⋅
00001,0015,0000000025,0000075,0
Guía N° 4 EJERCICIOS DE LAS PROPIEDADES DE POTENCIAS.
Prof: Patricia Rojas Salinas
1) Potencias de exponente entero negativo; es conveniente que siempre dejes expresado las potencias con exponente entero positivo.
Ejemplo: 91
313 2
2 ==− 425
25
52 22
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
a)2 3− = b) 3 1− = c) –4 )( 24 − =
d) 22 −− b = e) )( =− −22b f) =⋅ −3105
g) =−2108
h) =⋅ −− 22
4yx
i) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−3
43
j) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−3
yx
k) ( ) =−102,0 l) =−
−
baab
2
4
m) ( ) ( ) ( ) =++ −−− 336 125,025,05,0
n) ( )
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
3
3
311
75,0
2) Propiedad Exponente fraccionario; de esta propiedad nacen las raíces.
Ejemplo: 86444 323
===
a) =32
8 b) ( )32
8− = c) ( ) =− 31
3x
d) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
1
161
e) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
32
81
f) =− 31
x
g) =−
32
8 h) ( )1−− =53
i) ( ) =−−
31
3x
3) Propiedad Exponente cero: sólo se afecta la letra o número que lleva de exponente el 0.
Ejemplo: 202 33 aba =
a) =07 b) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
0
32
c) ( ) =− 03
d) =⋅ 0104 e) ( ) =− 0yx f) =03x
g) ( ) =03x h) ( ) ( ) =00 43 yx
4) Potencia de otra potencia:
Ejemplo: ( ) 3331 ++ = nn xx
a) ( ) =242x b) ( ) =
+− 11 nnx
c) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
432
32 ya d) ( ) =
633,0 x
e) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
32
54 t f) ( ) =
4051,0 ym
5) Multiplicación de potencias de igual base:
Ejemplo: bababa xxx 2332 −−+ =⋅
a) =⋅ xx 23 2 b) =⋅ −+ 11 nn xx
c) =⋅ abba 5,032 2 d) =⋅ −54 3,03,0 xx
e) =⋅ aa x 5,0511 f) =⋅ xx n 6,0
412
6) Multiplicación de potencias de igual exponente:
Ejemplo: ( ) 102
42
24
313
313 xxxxx =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
a) ( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
222
2126,0 nn aa b) ( ) ( ) =⋅ −+ nnnn xx 121 5,06,0
c) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
nn
xx 2
52
211 d) ( ) ( ) =⋅
xx aa 32
7) División de potencias de igual base:
Ejemplos: 2464
6
xxxx
== − 337474 1
xxxxx ===÷ −−
a) =÷ xx 5 b) =÷ 106 22
c) =÷ +163 xx aa d) =÷ +− 11
43
32 nn xx
e) =+
+
3
42
x
x
aa
f) =−
x
x
33 1
8) División de potencias de igual exponente:
Ejemplo: 91
31
34
94
311
94 2222
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ÷=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
a) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
33
310
25
b) ( ) ( ) =÷ −+ 3232 xx aa
c) =2
2
51,0
d) =3
3
75,02
GUÍA Nº 5
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Potencia 1) Si a es un número real y n es un número natural, entonces,
aaaaa n ⋅⋅⋅⋅= ..... , (n veces) 2) Si a es un número real distinto de cero y n es un número natural, entonces,
nn
aa 1
=−
3) Si a es un número real distinto de cero, entonces,
10 =a
1. Calcule el valor de las siguientes potencias.
a) 42 b) 35 c) 27 d) 54 e) 56 f) 68 g) ( )62− h) ( )53− i) ( )25− j) 42− k) ( )32−− l) 35−
2. Calcule el valor de las siguientes potencias. a) 43− b) 15− c) 36− d) 52− e) 27− f) 18− g) ( ) 25 −− h) ( ) 43 −− i) ( ) 15 −−−
3. Calcule el valor de las siguientes potencias.
a) 3
21⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ b)
5
32⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ c)
2
45⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
d) 2
52⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− e)
3
56⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− f)
4
23⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
4. Calcule el valor de las siguientes potencias.
a) 2
23 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ b)
1
65 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ c)
3
27 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
d) 1
32 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− e)
2
74 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− f)
3
53 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
Propiedades de Potencias 1) mnmn aaa +=⋅ 2) mnmn aaa −=: 3) ( )nnn baba ⋅=⋅ 4) ( )nnn baba :: =
5) ( ) mnmn aa ⋅= 5. En cada caso, calcule el valor de la expresión.
a) 6
53
222 ⋅ b)
64
73
6666⋅⋅ c) 78
23
5555⋅⋅ −
d)
810
29
8888
−
−
⋅⋅ e) ( ) ( )
( )42
2143
2
22 −⋅ f) ( ) ( )( ) 432
2324
55
55−−
−
⋅
⋅
6. En cada caso, calcule el valor de la expresión.
a) 13
24
52212
−−
−
⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
b) 22
1
345+
−
c) ( )21
32
43522−+⋅
+−
−
d) ( )
4
1
3
2
21
22
415
−
−
−
− −−⋅
e) 33
22
2232
31
−
−
⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
f)
( )
( ) 22
222
202,02
103,031
⋅⋅−
⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
7. En cada caso, calcule el valor de la expresión.
a) 22
23
32
22
12
21
5272
2415
4232
−−
⋅+−
⋅−−−
−−
−−
−
−−
b)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−− 1221
23
312:
32
21
c) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− −
−−−2
212
7329:
41
315
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Notación científica Un número se escribe en notación científica de la forma:
M x n10
donde M es un número tal que 1 ≤ M < 10; y n es un número entero.
8. Los siguientes números están escritos en notación científica. Escríbalos en
notación estándar (normal).
a) 65,7 x 510 b) 8,6 x 310 c) 3,9 x 710 d) 5 x 410 e) 5,2 x 110− f) 2,7 x 210− g) 7,4 x 510− h) 61,2 x 610−
9. Escriba los siguientes números en notación científica.
a) 93.000.000 b) 68.000 c) 160.723,4 d) 7.281,3 e) 0,08 f) 0,7 g) 0,000047 h) 0,00022
10. Usando una calculadora científica, realiza las siguientes operaciones y luego el
resultado lo escribes en una hoja.
a) 9.800.000 x 4.500.000 b) 2.540.000 x 1.900.000 c) 8.100.000 x 6.500.000 d) 5.260.420 x 2.682.521 e) 2 : 5.687.945.122 f) 6 : 6.897.254.211
11. Realiza las siguientes operaciones (SIN CALCULADORA) y el resultado lo escribes en notación científica.
a) (2,52 x 210− ) : (4,2 x 310− ) b) (4,1 x 210 )· (2 x 310 ) c) (6 x 410 ) · (2,2 x 310 ) d) (3,2 x 210− ) : (0,16 x 410 ) e) 000000002,0:000128,0
f) 000000009,02780000 ⋅ g) 00060000000000,0:20000000001,0003430000000000,0 ⋅
h) 00000120000000000,0000000000000003000000000:0000000001548000000 ⋅
i) 0040000000002,08970000000452,02120000000000,0 −+
j) 0000030000000000,012000000000000000002,0:0000004532,0 ⋅−
k) 0,00000000000024 30000000000 : 0,00002 0,000000000036 : 0,0000000000012 0,0000005⋅ − +
PROBLEMAS DE APLICACION 12. Una camioneta de reparto, entrega en 6 almacenes el mismo pedido durante
una semana. “6 cajas con 6 bebidas cada una, 6 veces a la semana”. ¿Cuántas bebidas reparte en una semana?
13. A un cubo de arista 4 le aumentaron los lados al doble. a) ¿Cuál es el volumen del cubo de arista 4? b) ¿Cuál es el volumen del nuevo cubo? c) ¿En cuántas veces aumenta el volumen? Volumen del cubo = a 3 , con a : medida de la arista
14. ¿Cómo se puede expresar como potencia el siguiente enunciado? “Pedro camina la cuarta parte de la cuarta parte de la cuarta parte del viaje que hace en bus”
15. Una bacteria cada una hora se reproduce 10 veces más que la hora anterior.
a) ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 4 horas?
b) Si se tienen 10 millones de bacterias ¿ Cuántas había en la hora anterior?
16. Los exponentes pueden utilizarse para medir el crecimiento poblacional. Si suponemos que la población mundial se incrementa a razón de 2 % cada año (los expertos dicen que la tasa se encuentra entre un 2% y un 4%), podemos predecir la población mundial para el año siguiente multiplicando la población actual del mundo por 1,02, así:
La población P después de 1 año es P⋅02,1
La población P después de 2 años es ( ) PP ⋅=⋅⋅ 202,102.102,1
La población P después de 3 años ( ) PP ⋅=⋅⋅⋅ 302,102.102,102,1 Si la población P en el año 2001 era de 6730 millones de personas, ¿ Cuál es la población al término del año 2005?. Exprese el resultado en notación científica.
17. La velocidad de la luz puede medirse al dividir la distancia desde el Sol a la Tierra (1,47 x 10 11 metros), con el tiempo que le toma a la luz del Sol llegar a la Tierra (4,9 x 10 2 segundos). Por lo tanto la velocidad de la luz es:
2
11
109,41047,1⋅⋅
. ¿A cuántos metros por segundo equivale esta expresión?
18. La fisión nuclear se utiliza como fuente de energía ¿Cuánta energía proporciona
un gramo de uranio 235?. R: 235
107,4 9⋅ Kilocalorías.
Escríbalo en notación científica.
EJERCICIOS PARA ESTUDIO PERSONAL. 19. El valor de la potencia, ( )43− es:
a) – 81 b) 81 c) 27 d) – 27 20. El valor de la potencia, 62− es:
a) 64 b) 32 c) – 64 d) – 34 21. El valor de la potencia, ( ) 52 −− es:
a) 0,125 b) – 0,0625 c) 0,25 d) – 0,03125
22. El valor de la potencia, 2
32 −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ es:
a) 23
b) 49
c) 94
d) 49
−
23. El valor de la expresión, 7
54
222 ⋅
es:
a) 4 b) 8 c) 2 d) 16
24. El valor de la expresión, ( )
( )3
22
2
221
−
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
es:
a) – 2 b) 2 c) 1 d) – 1 25. La expresión, 6,25 x 610 representa al número:
a) 6.250 b) 62.500 c) 6.250.000 d) 625.000 26. La expresión, 2,1 x 410− representa al número:
a) 0,00021 b) 0,21 c) 0,021 d) 0,0021 27. Al realizar la operación: (4,2 x 610 ) · (2 · 510− ) se obtiene el número:
a) 8,4 b) 840 c) 84 d) 8.400
28. Al realizar la operación: (4,62 x 210− ) : (2,2 x 410− ) se obtiene el número:
a) 2100 b) 2,1 c) 21 d) 210
SOLUCIONES GUÍA DE EJERCICIOS Nº 5
POTENCIAS Y NOTACIÓN CIENTÍFICA 1. a) 16 b) 125 c) 49
d) 1.024 e) 7.776 f) 262.144 g) 64 h) – 243 i) 25 j) – 16 k) 8 l) – 125
2. a) 811
b) 51
c) 2161
d) 321
e) 491
f) 81
g) 251
h) 811
i) 51
3. a) 81
b) 24332
c) 1625
d) 254
e) 125216
− f) 1681
4. a) 94
b) 56
c) 3438
d) 23
− e) 1649
f) 27
125−
5. a) 4 b) 1 c) 145−
d) 58 e) 4 f) 125
6. a) – 2560 b) 125
1 c)
21299
d) 64321
e) 4 f) 6481
−
7. a) 475.11496.10
b) 44
153 c) 0
8. a) 765.000 b) 6.800 c) 93.000.000 d) 50.000
e) 0,25 f) 0,072 g) 0,000047 h) 0,00000261 9. a) 9,3 x 710 b) 6,8 x 410 c) 1,607234 x 510
d) 7,2813 x 310 e) 8 x 210− f) 7 x 110−
g) 4,7 x 510− h) 2,2 x 410−
10. a) 4,41 x 1310 b) 4,826 x 1210 c) 5,265 x 1310
d) 1,411118712 x 1310 e) 3,516 x 1010− f) 8,6991 x 1010− 11. a) 6 x 010 b) 8,2 x 510 c) 1,32 x 810 d) 2 x 510− 12. 6 4 = 1296 cajas 13. a) 64 b) 512 c) 8 veces
14. 33
441 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 15. a) 104 bacterias b) 106 bacterias
16. 1,024 * 6730000000 = 7,28 x 10 9 aproximadamente.
17. 3 x 10 8 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
sm
18. 2 * 10 7
Respuestas de selección múltiple Pregunta 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Respuesta b c d b a d c a c d
GUÍA Nº 6 POTENCIAS CON OPERATORIA ALGEBRAICA.
Prof: Patricia Rojas Salinas
1) ( ) ( )
=⋅−
+−
22
11
n
nnnn
xxx
Rp: 2x
2) ( ) =÷÷ −−− xxx 321 1648 Rp: x5112 −
3) ( ) ( )
( )=
−−⋅−+
+−
n
nn
62
1412
222
Rp:41
4) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 33
6475
7532
nmqp
qpnm
Rp:81
5) =++
+
+
pp
pp
25555
1
12
Rp:1
6)( )( ) =⋅
⋅−
−
25
28
4224
Rp:4
7) ( ) =÷÷ −−− 43213 5,0125,025,0 nn Rp: 115,0
8) =++
+
+
12
136
64842
pp
pp
Rp:131
9) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+ nnn1
22
24255
Rp:25
10) ( ) ( ) ( ){ } ( ) =−÷−−−−− −−− 321 3333 nnnn Rp:‐33
11) ( ) ( ) =−÷+ −−− 211 2222 nnnn Rp:6
12) Si xa =2 ; ya =3 , entonces ¿cuál es el valor de a12 ?
13) ( ) ( ) =+nn 23 84 Rp: n612 +
14) ( )[ ]{ } 132 −−−−−− x = Rp:61⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
x
15) Si x=2 , calcular ( ) ( )
( )=
+−⋅−
−
−
2
32
123
xx
Rp:6481
−
16) =⋅−
−−
−
2
20
22222
Rp21
17) Si x=‐6, entonces ( ) =−−2
3 2x Rp41
18) =−⋅⋅−− 3
2043
32
82168 Rp41
19) Si x=4, y=81 entonces =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+ −− 013
20123
2354 yyyxxx Rp:89
20) ( )
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1
31
0
82
Rp:2
21) Si x=8, calcular =++− 031
32
234 xxx Rp:9
22) Si a= x+2, b= x‐2 entonces =− 22 ba Rp:8x
23) Si a= 2x+1, b= x‐2 Calcular; ‐[ 2a ‐ (‐b+a)]= Rp:1‐3x
24) ( )( ) =++ pppp xxxx 335 Rp: px 2
25)
111
12
11
233
1332
−−−
−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
= Rp:121
26) =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
÷⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
−
−−3
1
22
13
131
1312
121
Rp: 41015 ⋅
27) =++
7
777
3333
Rp:3
28) ( ) =+042 24 Rp:3
29) =++++++ −− − 310123 22222222
30) =++++ −− 21123 1010101010
31) =⋅+
+
q
p
ppq
qp
2
2
33
33
Rp: qp−3
32) =÷ −125,01 Rp:0,25
33) ( ) ( ) =−⋅− −1112 22 Rp:‐2
34) ( ) ( ) 33 25,05,0 −−⋅− = Rp:8
35) ( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛÷
22
2125,12 Rp:25
36) =⋅⋅ 121
41
31
aaa Rp: 32
a
37) ( ) ( ) 101 111 +−+− − = Rp:1
38) ( ) ( ) ( ) =++ −−− 321 2,02,02,0 Rp:155
39) =÷ −− 45 xx Rp:x1
40) ( ) =+− 2103
2253327 x Rp:11
41) ( ) ( ) =+⋅−+ − 312
13
12
10 027,04825,025 Rp: 0,8
42) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−− 53
76
4936
Rp67
43) ( ) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
−34
2544,0 Rp:
425
44) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−55
94
32
Rp:32243
45) ( ) 25,1 − : =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3
32
Rp:23
46) ( ) ( ) ( ) =÷⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
−− 3
244 4,0
4162,08,0 Rp:‐
1280507
47) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛÷
+ 3
6
54
23
222
Rp:92
48) =++
−− xx
xx
bbaa 26
Rp: xxba4
49) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2.053
135.02
xxx aaa Rp: xa1
3
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q) En la Unidad anterior recordaste y trabajaste con los números enteros pero, a medida que ha progresado la Humanidad, el hombre se ha enfrentado a situaciones problemáticas que consideran la idea de fracciones o partes de una unidad entera como las que se señalan a continuación: Situación 1: Un hacendado tenía una hacienda de 200 hectáreas y vendió un sexto de 48 hectáreas. ¿Qué parte o fracción de la finca le queda? Situación 2: Un caballo, que costó US$ 1.250, se vende por los 2/5 de su costo. ¿Cuánto dinero se pierde? Situación 3: De una hacienda de 500 Hectáreas se cultivan tres vigésimas partes; se alquila una décima parte y el terreno restante se vende a US$ 500 la hectárea. ¿Cuánto es el dinero obtenido por la venta? Situación 4: En un colegio hay 42 alumnos varones que representan los 3/13 del total de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en total y cuántos de ellos son mujeres?
Se llama número racional a todo aquel número que se puede representar como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Se representa por Q.
Donde a = Numerador b = denominador
Representación de los números racionales
Los números racionales se representan en la recta numérica junto a los números enteros.
Para representar con precisión los números racionales: 1.‐ Tomamos un segmento de longitud la unidad, por
ejemplo. 2.‐ Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo
dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.
3.‐ Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.
A menudo se utilizan número racional y fracción como sinónimos, aunque
no siempre corresponde, dado que hay fracciones que son irracionales, dependiendo su estructura.
Amplificación de un racional: Es la multiplicación del numerador y denominador de la fracción por un mismo número, sin alterar su valor o representatividad. Ejemplos:
5030
1010
53
3018
66
53
106
22
53
53
=⋅==⋅==⋅=
Simplificación de un racional: Es la división del numerador y denominador de la fracción por un mismo número, sin alterar su valor o representatividad. Ejemplos:
65
318315
1815
=÷÷
=
Suma y resta de números racionales
Para sumar o restar racionales, estos deben tener el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se transforman los denominadores a un común denominador (amplificando cada fracción), y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
1217
122135
1221
1235
22
61
33
45
61
45
=⋅+⋅
=⋅
+⋅
=⋅+⋅=+
1213
12215
122
1215
22
61
33
45
61
45
=−
=−=⋅−⋅=−
Para encontrar el Mínimo Común Múltiplo ( M.C.M.) o Mínimo Común
Denominador (M.C.D.) 1º Se descompone cada denominador en sus factores primos 2º Se expresan en forma de potencias agrupando aquellas de igual base. 3º Se eligen todas las potencias existentes con el mayor de los exponentes. 4º El producto de dichas potencias (3º) es el M.C.M. Ejemplos: El M.C.M. entre 4 y 6 es: 4 = 22 6 = 2 ⋅ 3 En esta dupla de números existen las potencias de 2 y 3 las cuales con sus
máximos exponentes nos entrega el M.C.M. = 22 ⋅ 3 = 12 El M.C.M. entre 12, 16 y 10 será: 12 = 22 ⋅ 3 16 = 24 M.C.M. = 24 ⋅ 3 ⋅ 5 = 240 10 = 2 ⋅ 5
(habitualmente no es recomendable multiplicar los factores) El M.C.M. entre 18, 24 y 16 será: 18 = 32 ⋅ 2 16 = 24 M.C.M. = 24 ⋅ 32 = 144 24 = 23 ⋅ 3 El M.C.M. entre 36, 24 y 20 será: 36 = 32 ⋅ 22
20 = 22 ⋅ 5 M.C.M. = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 = 360 24 = 23 ⋅ 3 El M.C.M. entre Δ3⋅#2, Δ ⋅#2, Δ2⋅# es Δ3⋅#2
El M.C.M. entre: (x + 1)2 (x + 1)(x – 1)3 M.C.M. = (x – 1)3(x + 1)2 (x – 1)(x + 1)
Comparación de fracciones
Fracciones con igual denominador De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que
tiene menor numerador. Fracciones con igual numerador De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor la que
tiene mayor denominador. Con numeradores y denominadores distintos En primer lugar las tenemos que poner a común denominador, buscando el
M.C.D. y amplificando individualmente cada una de las fracciones a comparar. Es menor la que tiene menor numerador (de las fracciones amplificadas).
Producto de números racionales
El producto de dos números racionales es otro número racional que
tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores.
dbca
dc
ba
⋅⋅
=⋅ donde b ≠ 0 y d ≠0
Recordar que cualquier entero se puede representar como racional dividiéndolo por 1 Ejemplos:
133 =
1xx =
155 −
=−
División de números racionales
Si recordamos que toda división es equivalente a multiplicar por el Inverso multiplicativo (o recíproco del número), y el recíproco de una fracción o racional es la fracción invertida.
cd
ba
dc1
ba
dc
ba
dc
ba 1
⋅=⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=÷
−
Podría quedar más evidente la regla: “Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la segunda invertida”.
Guía N° 7 NÚMEROS RACIONALES (Prof. Patricia Rojas Salinas)
1) Escribe la fracción que representan cada una de las figuras.
a) b)
c) d)
2) Completa con el signo <, > ó =, según corresponda.
a)41 ‐‐‐‐‐
61 b)
97 ‐‐‐‐‐
118 c)
114 ‐‐‐‐‐
73 d)
357
‐‐‐‐‐ 7592
3) Amplifica la fracción dada por el número indicado.
a) 53 ; 5 = b)
119 ; 3 = c)
101 ; 6 =
4) Simplifica al máximo las siguientes fracciones.
a) 42 = b)
96= c)
5117
= d) 327129
=
5) Resuelve las siguientes operaciones con fracciones
a) 52: ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
1915*
542
1071
87
43
= b) =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −− 1
43
94
1211
c) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡•⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
3028
85
732
536 d) =+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
•⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ÷+
21
2475
187
3221
877
43
e) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −•⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ÷+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ •÷⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − 7
325
2517
523
95
536
1497
7310
f) g) h) i)
211
11
11
++
+
211
11
11
−−
−
212
22
22
++
+
212
12
21
2
−−
+
k) = l) j) m)
n) o) p) q)
6) Resolver los problemas planteados
a) El nuevo automóvil del papá de Pedro consume 3
17 litros por cada 150 kilómetros, mientras que
el automóvil antiguo que tenía consumía 4
30 litros por cada 150 kilómetros. ¿Cuántos litros de
gasolina consumen cada automóvil en 1 kilómetro? b) Ángel pesa 65 kilogramos, y Ana,
54 de esa cantidad. ¿Cuántos kilos pesa Ana?
c) A la mitad de los 30 estudiantes de una clase le gusta el fútbol, a 31 del curso le gusta más el
baloncesto, y los demás prefieren otros deportes. Calcula cuántos estudiantes son aficionados al fútbol, al baloncesto y a otros deportes.
d) Tres amigos se reúnen para hacer un trabajo. El primero realiza los 52 , y el segundo,
31 del
mismo. ¿Cuánto realizará el tercer integrante del grupo?
e) Gabriel compró 85 de barniz para las puertas de su casa. Sólo usó
41 del barniz. ¿Cuánto barniz
le sobró?
f) Al final del primer trimestre, falta trabajar los 2/3 del libro de Ciencias Sociales. Durante el segundo trimestre, se trabaja el equivalente a medio libro. ¿Cuánto resta del libro para ser trabajado en el tercer trimestre?
g) Tengo 3/4 de maní y lo quiero repartir entre varias personas dándole 1/20 de kilo a cada una, ¿para cuántas personas me alcanza?
j) Ricardo pasa 1/3 del día en el colegio, de esa parte, 7/8 está en la sala de clases, y el resto está en recreo. ¿Qué fracción del día pasa Ricardo en la sala de clases?
156
51
63
31
+
+=
++
++
212
64
311
53
41
85
81
43
+
+=
−
−
412
416
314
312
=−
−+
212
222
=+
+
4312
85
21
=
+−
41
21
121
21
57
141
1011
212
94
23
411
87
•+−
•−+
Guía Nº 8 Racionales
Guía Nº 9 RACIONALES
I. Calcular:
1.
47
165
21
83
+
− R:
332
−
2.
31
187
65
94
−
−
3. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
3268
3150 R:
355
−
4. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+
354
322
32
5. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+−
32
21
32
21
R: 34
−
6.
211
11
11
11
++
++
7. 1
52
854
232
254,0
31
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅−+
R: 45
563
8. 54
212,1
1722
413
956
74
25308,1
25164,0
25,1548,0
÷⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
÷⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅÷
II. Si
ab
ba
abb2a
−
−+ es igual a Z, ¿Cuál es el valor de Z para a = 3 y b = 1?
III. Determine el valor exacto de T si 21x = e
41y = , donde:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
++−
=+ 22 yx
22 xy1xy2
yxyxyx
yxyxT
IV. Resolver:
1.‐ Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en l impieza.
a) ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en l impieza? b) De acuerdo con la fracción de ingresos empleada, ordena las partidas
enumeradas de menor a mayor. 2.‐ Realizar las siguientes operaciones:
3.‐ Resolver simplificando al máximo:
4 Simplificar al máximo:
5 Alicia dispone de 300 € para compras. El jueves gastó 2/5 de esa
cantidad y el sábado los 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuánto gastó cada día y cuánto le queda al final?
Logaritmos
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo. De la definición de logaritmo podemos deducir:
Propiedades de los logaritmos:
Logaritmos decimales:
Son los de base 10. Se representan por log (x). Logaritmos Naturales o Neperianos:
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
GUÍA Nº 10 POTENCIAS, RAICES Y LOGARITMOS
I. Calcular:
1. 24
13
212
52−
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
⋅ R:82
1−
2. 1
22
543
−+
3. ( )32
21
22435
+
−+⋅−
− R:
99212
4. 22
33
32
31
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−
−
5. 112024
221610
91036182475⋅⋅⋅⋅ R: 4
6. ( ) ( )( ) ( )
2
243
35
30635144815
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⋅⋅
7. ( ) ( )( ) ( )
1
23
32
23
2222 −
−−
−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−−− R: 4
8. ( ) ( )( ) ( )
2
243
35
30635144815
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⋅⋅
9. ( )32
3132
6623
23
−
−−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − R:
2536
10. 1
52
854
232
254,0
31
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅−+
11. 54
212,1
1722
413
956
74
25308,1
25164,0
25,1548,0
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅
II. Sabiendo que: 1. Si : 32 =x , calcular : xxxE 1684 ++=
2. Si: 32 =n , hallar : 18 += nE
3. Si:
122
21
3
52
12116
31
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−−
A . Entonces el valor de : 31
152⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
AA ;
es :
4. Si : 143 −− =n , entonces n29 es igual a :
5. Si : yx 75 = , calcular el valor de : 11
23
5775
++
++
−−
xy
yx
6. Siendo : 2
3
6
6
3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅= −
−
−
−
xx
xxA ; Efectúe :
2
3
6
6
3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅= −
−
−
−
AA
AAB
III. Calcular: 1. 32827250 +++ R: 219
2. 2721007512 +++
3. 333 1000827 +−+ R: 11
4. 16144169 +++
IV. Expresar en notación logarítmica 1. 2x = 5 R: log 2 5 = x 2. 3x = 7 3. 6x = 1 R: log 6 1 = x 4. 11y = 2
V. Expresar como potencias: 1. log p q = c R: pc = q 2. log a x = y 3. log 2 a = 5 R: 25 = a 4. log 5 4 = a 5. log 10 1000 = x R: 10x = 1000 6. log a+1 x = y 7. log 2 8 = 3 R: 23 = 8 8. log 1/2 16 = −4
VI. Calcular el valor de x:
1. log 2 x = 1 R: 2 2. log 6 x = 3 3. log 0,2 x = −1 R: 5 4. log x 121 = 2 5. log x 16 = 4 R: 2 6. log x 1/9 = 2 7. log 2 32 = x R: 5 8. log 3 81 = x 9. log 4 16 = x R: 2
VII. Si log 2 = a, log 3 = b y log 7 = c determine:
1. log 8 R: 3a 2. log 9 3. log 5 R: 1 − a 4. log 54
5. log 61 R: −(a + b)
6. log 981
7. log 361 R: −2 (a + b)
Guía Nº 15
Guía Nº 11 Ejercicios de logaritmos
I.‐ Calcular, aplicando la definición de logaritmo el valor de: 1.‐ log 3 81 2.‐ log 2 16 3.‐ log 8 2 4.‐ log 9 3 5.‐ log 16 2 6.‐ log 81 3 7.- 25,0log
21
8.- log 27 (3) = 9.- log 5 (0,2) =
10.- log 2 (0,25)=
11.‐ log 0,5 (16) =
12.‐ 125log 5
13.‐ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
5e1ln
14.‐ log 0,001
15.‐ 53 81
1log
16.‐ log 2 32 17.‐ log 0,1 (100) =
18.‐ log 5 (25) − log 5 (5)
19.‐ log 4 (64) + log 8 (64) = 20.‐ log (0,1) − log (0,01) =
21.‐ 31log 9
22.‐ 25,0log21
23.‐ 49 3log
24.‐ 41log 2
25.‐ log (5) + log (20) = 26.‐ log (2) − log (0,2) =
27.‐ log (32) / log (2) =
28.‐ log (3) / log (81) =
II.‐ Calcular el valor de x si:
log x 81 = – 4 log 2 x3 = 6
III.‐ Si log 2 = “a” y log 3 = “b”, calcular los siguientes logaritmos. 1.‐ log 0,02
2.‐ log 4 8 3.‐ log 5 4.‐ log 0,0625 5.‐ log 12
6.‐ log 24 7.‐ log 36
8.‐ log 45 9.‐ log 60
IV.‐ Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrollar las expresiones que se indican:
1.‐ nm
)nm(yxln2
⋅+⋅⋅
2.‐ babalog
22
2 ⋅−
3.‐ 2222log
Guía Nº 12
Raíces
I.‐ Aplicar las propiedades de raíces a los siguientes ejercicios:
II. Desarrollar las operaciones indicadas:
III.‐ Racionalizar las siguientes expresiones:
Guía 13 Ejercicios sobre Raíces
1.‐ 10242565
1236184
35
⋅⋅⋅⋅
2.‐ 56
2
11055221112081211331
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3.‐ 3 18
4.‐ 30
5.‐ ( )31
23
6.‐ 32
51
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
7.‐ 222
8.‐ 3871
127
432
54
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
9.‐ 1
32
157
32
21
154 ·
35
32
6526
+
+−+
−
−
−
10.‐ ( ) ( ) ( ) 32333 27 :3913 ·21 ·1 −−++−−−+−−
En los ejercicios 11 al 25, calcular el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las raíces y de las potencias. ( Suponer todas las cantidades sub‐radicales positivas).
11) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
++−
bababa
baba 2222 2
: ba − 12) 2222 21
21
yxyxyxyx +−−
++
13) 3
3
2
6 ∙ 313 − 14)
27
12
5
5 ∙ 325 + 15) ( )
66
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
16) 3 3 33 : 9 53− 17) 4 xy ∙ 12 1
x 18)
4
22
a
aa −
19) 3 4 3x ∙ 6 x ∙ x 20) 24250 + 21) 53
6 64
1·3
−
−
z
zz : 60 z
22) 116 2 +x siendo x = 23
32+ 23)
n
n
nn
1
21
41
33·99
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+
24) 22222 25) 65618193
26) Resolver la ecuación exponencial. 15 32 −xa :
20 94 −xa = 30 278 −xa ∙
24 681 xa − : 4 9a
Respuestas: 11) 2 ; 12) ‐ 22
2yx
y−
; 13) 3 ; 14) 25 ; 15) 8 ; 16) 3
17) 24 3xy ; 18) aa ; 19)
6 5x ; 20) 4 4 2 ; 21) 1 ; 22) 6
23) 27 24) 32 312 ; 25) 9 ; 16) 103
En los ejercicios 27 al 38 , expresar en la forma más simple posible usando las propiedades de las potencias y raíces.
27) )1()1()1( −−− xxx 28) 4 4913
4 175
ayx
yxa ∙
4 55
4 94
yxb
xyb
29)
4
222
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
−
−ba
b abb
ba
xx
x 30)
5,1
32
3−
−
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
b
a:
2
12
6 35,0−
−−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
caba
31)
( ) ( )3 21
66321
6632⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−
−
yxxyxxx
yx =
32)
6
2/1
3/12
3/1
2/1
4 1
3
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡÷⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
− ba
ab
ba
33) nnn 4629 +•−
34)
cb
abc
bac
bca
cba
cab
464
5
43
32
2
: 322
bcba
35) =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
⋅
⋅−
−−
−4
31
522
1
221
xyyx
xy
yx 36) ) =
⋅
⋅
⋅
⋅−
−
−
−
2
4
46
132
ab
ba:ab
ba
37) =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
31
434
31
31
21
:: xaxxa 38) ( )
aaa
n nn
nn
2112
++− =
Respuestas :
27) (x‐1)7/8 28) 3
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
xy
29) x16(a‐b) 30) a8 c2 31) yx +
1 32) b4 b 33)
3n ‐ 2n 34) 622
cba
ca
35) 322
1·1xx
36) ba3
37) 91
x
GUÍA Nº 14 Racionalización
Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:
RESPUESTAS:
Guía Nº 15 Racionalización
I.‐ Evaluar las expresiones para el valor indicado de la variable, racionalizar los denominadores de las expresiones, simplificando al máximo para volver a evaluar.
1.‐ x2
x4−
− x = 4 R: x2 + 4
2.‐ 7x38x6x 2
+−
+− x = 2 R: ( ) )7x3(4x ++−− 12
3.‐ 3 x1x1
−
− x =1 R: 3 23 xx1 ++ 3
I.‐ Evaluar las expresiones para el valor indicado de la variable, racionalizar los numeradores de las expresiones, simplificando al máximo para volver a evaluar.
1.‐ 1x1x
−−
x = 1 R: 1x
1+ 2
1
2.‐ 9x3x
−− x = 9 R:
3x1+
61
3.‐ x3
5x21−
−− x = 3 R: 5x21
2−+
1
4.‐ 49x
3x22 −
−− x = 7 R: 7x
1+
− 14
1−
5.‐ 1x
23x−
−+ x = 1 R: 23x
1++
41
6.‐ 2x
2xx−
+− x = 2 R: 2xx
1x++
+ 43
7.‐ 1x
38x2
−−+ x = 1 R:
38x
1x2 ++
+ 31
8.‐ 2x
x22x3−−− x = 2 R:
x22x31+−
41
9.‐ x
x1x1 −−+ x = 0 R:
x1x12
−++ 1
10.‐ 2
33 2
)1x(1x2x
−+− x = 1 R:
233 2 )1xx(
1
++ 91
11.‐ 2x
4x1x2−
+−− x = 5 R: ( ) 4x1x21x
1++−−
241
12.‐ 3x4x
6x2x6x2x2
22
+−−+−+− x = 3 R:
x14−
2−
13.‐ 2
3 2
x1x1 −+ x = 0 R:
( ) 1x1x1
13 23 22 ++++
31
14.‐ 4x
3xx1−
−+− x = 4 R: ( )( )3xx1x22
−−−+
− 41
15.‐ ( )( )2
2
5x21x
−
−− x = 5 R: ( )221x
1
+− 161
16.‐ 2x3x
xx29xx32
22
+−+−−++ x = 2 R:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+++− 22 xx29xx3)1x(
3
17.‐ 2x
1x3x2 55
−−−−
x = 2
R : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 45 355 25 255 35 4 1x1x3x21x3x21x3x23x2
1
−+−−+−−+−−+−
II.‐ Evaluar las expresiones para el valor indicado de la variable, racionalizar los numeradores y denominadores de las expresiones, simplificando al máximo para volver a evaluar.
1.‐ x51x53
−−
+− x = 4 R: x53x51
++
−+−
31
2.‐ 4x8x
3 −
− x = 64 R: 8x
16xx 33 2
+
++
49
3.‐ 1x17x3
−−
+− x = 2 R: 7x31x1
++
−+ 31
4.‐ 23x38x
−+
−+ x = 1 R: 38x23x
++
++ 32
5.‐ 3x7x25x1x2
−−−
+−+ x = 4 R: 5x1x23x7x2
+++
−+− 31
6.‐ 1x1x
4
3
−
− x = 1 R: ( )( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
++
1xx
1x1x33 2
4
34
7.‐ 1xxx 2
−
− x = 1 R: ( )( )xx
1xx1xx2
2
+
+++
3
8.‐ 3x211x1 3
−−
−− x = 2 R: ( ) 11x1x
3x2133 2 +−+−
−+ 31
9.‐ x22x2x2x
2
2
−
+− x = 2 R: ( )( )( )( )2x2x4x2xx
x22x4x4x2x22
223
++++
++++ 67
10.‐ 8x1
2x52
3
−−
−− x = 3 R: ( )
( )3x2x5
8x19x3x
3
22
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+++
109
Expresiones algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Llamaremos, término algebraico, al producto de un número real por una o más variables. El número real se llama "coeficiente" y las variables, "factor literal".
Por ejemplo, 3xy, ‐ 4abc son términos algebraicos; donde 3 y ‐ 4 son los coeficientes numéricos y xy, abc son los factores literales.
Llamaremos multinomio, a la suma y/ó diferencia de términos algebraicos.
Por ejemplo, 2x+3xy‐abe y ‐3ex+2by‐4dz son multinomios.
Valor numérico (Imagen)
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión.
Monomios:
Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras
o variables. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Suma de Monomios: Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte
literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
Producto de un número por un monomio: El producto de un número por un monomio es otro monomio
semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomiopor el número.
Producto de monomios:
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
Cociente de monomios:
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
Polinomios: Un POLINOMIO es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an x n + an ‐ 1 x
n ‐ 1 + an ‐ 2 x n ‐ 2 + ... + a1 x
1 + a 0
Siendo an, an ‐ 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural. x la variable o indeterminada. ao es el término independiente.
Grado de un polinomio: El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra
elevada la variable x.
Polinomio completo: Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
Valor numérico de un polinomio (Imagen) Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
Suma de polinomios: Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. La DIFERENCIA consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
Producto:
Producto de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene el mismo grado del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
Producto de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
a( b + c – d) = ab + ac – ad
Producto de polinomios
1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
2 Se suman los monomios del mismo grado.
(x – b)(a + b – c) = ax + bx – cx – ab – b2 + bc
Productos notables:
Binomio al cuadrado (a ± b)2 = a2 ± 2 ∙ a ∙ b + b2
Suma por diferencia (a + b) ∙ (a − b) = a2 − b2
Binomio al cubo (a ± b)3 = a3 ± 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 ± b3
Prod. de 2 binomios con término común ( Δ + a)(Δ + b) = Δ2 + (a + b) ⋅ Δ + a⋅b
Suma y diferencia de cubos (a3 + b3) = ( a + b)(a2 – ab + b2)
(a3 – b3) = ( a – b)(a2 + ab + b2)
Factorización: Es la transformación de una suma y/o diferencia en un producto (proceso inverso al producto de polinomios).
Factores son los componentes de un producto o multiplicación.
Guía Nº
Guía 16 EXP. ALGEBRAICAS Y REDUCC. TÉRMINOS SEMEJANTES
Reducir los términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas: a. =−−+−+ cabcaaba 4253
b. =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ abaaba 80
41254 22
c. ( ) =−+− abcbaac 3454
d. ( ) ( )[ ] =−−+−+++−−− 525754238 abcabcbccbaab
e. ( ) ( )[ ]{ } =−−−−+−+−−− abcababacbccbaac 435667537 22
Factorice las siguientes expresiones algebraicas: a. =+ acab b. =−+ zababfabc
c. =− 22 abba
d. =+ caca 332 36
e. =+− 22323 15279 caabcca
f. =−+ zyyxy 342 1269
g. =+++ abbaba 22
MULTIPLICACION DE MONOMIOS, BINOMIOS Y POLINOMIOS
a. (2 x + 1)(2 x − 1) b. ( x + 1)( x + 1) c. (5 x + 3)(4 x + 6) d. (4 x − 2)(4 x − 6) e. (−2 x − 3)(3 x + 6) f. (7 − 3 x)(4 x − 9) g. (15a + 30)(15a − 30) h. (a x+ b)(a x− b) i. (2 x 2 − 3) (4 x 2 + 6 x + 9) j. ( x − 4) ( x + 4) k. ( x + 3) ( x + 1) ( x − 4) l. (2 x + 1) (3 x − 2) (3 − x) m. (2 x 2 + 3) (9 x 2 ) + (3 x3 − 2) (4 x) n. ( x3 − 2 x + 1) (2 x) + ( x 2 − 2) (3 x 2 − 2) o. (2 x3 − x 2 ) (6 x − 5) + (3 x 2 − 5 x) (6 x 2 − 2 x)
p. ( x 4 − 3 x 2 + 5) (2 x + 3) + ( x 2 + 3 x) (4 x 2 − 6 x)
PRODUCTOS NOTABLES: Simplificar las siguientes expresiones usando factorización y productos notables si es necesario
a. ( ) =++ 2cba
b. ( ) =− 2ba
c. ( ) ( ) =−++ 22 baba
d. ( ) ( ) =−−+ 22 baba
e. ( ) ( )( ) =−−−222 baab
f. ( ) =+ 4ba
g. ( )( ) ( )( ) =++++ dbacba
h. ( )( ) ( ) =−−⋅+− 221 yxyyyxxy
i. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]=−⋅+−−⋅− yxyxyxyx 2222
j. ( )( ) ( )[ ] ( ) =−−−−−+− xyyxyxyxyx 222 12537753
k. ( )( )[ ] ( ){ } =+−+−23223 nmnmnm
Factorice las siguientes expresiones algebraicas mediante el uso de productos notables:
a. ( ) =−−− baba 722
b. =− 22 814 ba
c. =− 222 3616 zyx
d. ( ) ( ) =+−+ 22 7456 dcba
e. =−+− 22 4129 yxx
f. =++ 169 2 aa
g. =++ 22 168 baba
h. =+− 4129 22 xyyx
Guía Nº 17 ALGEBRA DE POLINOMIOS
1. Desarrollar los productos algebraicos, y reducir términos semejantes:
[ ]
{ } { }
[ ]
( )( )22432234432234
32222
322
22
2
2
222
b - ab + ab - ba + ba - )(ab + ab + ba + ba + a )m
b) + 2(a - 1) + b + 1)(a + b + (a + b) + b)(a + (a - b) + b)(a - a(a - 3b) - b)(a + a(a)l
a41b3ba
52ab3ab
83)k
ba34ab
89ba
32 j)
4b)] - (a + 2b) + 4(a - b)[5b - (2a)i
6x)}] + 3(3 -{9x - x[7x - 2 h)
3c) - 3(2b - c) - 2(3a - 2b) - (7a g)
y) +2z(4x +8y -4x y2x - 4z + 4x) -3y + (6z4x -48y 2y +44x f)
9b) - 4(3a - 7b) - 2(14a - 9 - 3b) + (10aa - 8 e)
4y) +3x)(15x -(4y - 2y) +8y)(5x -(9x -26xy d)
7b)-4a(a5b)-3(3a-8b)2(5a c)
)z2x3y5(3)z2y3x2(5)b
)yx4xy5x3(2xy6)a
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
++
−−++−
−−−
2. Desarrollar los siguientes productos notables:
a) ( )2432 57 xba +
b) ( )( )2323 baba +−
c) ( )( )zyxzyx −+++
d) ( )32 2ba −
e) ( )( )86 33 −+ xx
f) ( )( )66 3333 +− yxyx
g) ( )( )4575 11 −− ++ xx aa
h) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + −− 23462346 11
3211
32 abcbaabcba
i) ( )32 35 −x
j) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − −−+−−+ 2712/12712/1
517
517 cbbacbba mxmx
k) ( )2312 32 −−+ nmmn
l) 2
432
51
32
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − yxba
m) ( )( )22 mmnnmm +++−
n) ( )232 cba +−
o) ( )( )cbazyxcbazyx 7363273632 55 +− −−−−
3. Factorizar
a) 22
98
43 xyyx −
b) 24524332
161
81
41
21 babababa +−+
c) babaabba 3322
2516
158
512
354
−+− .
d) 18x ‐ 12 ‐ 3xy + 2y + 15xz ‐ 10z
e) zxyzxyxzx 753
143310
421
415 2 −++−−
f) bnbmamam5
1654
38
32
+−−
g) x2 + 14xy + 24y2
h) h2 ‐ 27h + 50
i) 2x2 ‐ 17xy + 15y2
j) 22
3649
259 ba −
k) 45m3n ‐ 20mn
l) 16x6y8 ‐ 8 x3y4z7 + z14
m) 3x2 ‐ 75y2
n) 2a5 ‐ 162 a3
o) 321 myymy −−+
p) 25a2c2 + 20acd + 4d2
q) 16x6y8 ‐ 8 x3y4z7 + z14
r) 222222 )(4 zyxyx −+−
s) x6 – y6
t) 278
81 3 +x
u) 6413 −x
4. Simplificar las siguientes expresiones:
a) 168
162
2
++−xx
x
b) )(
)(22
22
cbacba
−−−−
c) yxyx
33441824
−−
d) 106
25309 2
+++
xxx
e) 232 2
2
++−−
xxxx
f) 2
6
41641
cc
−−
g) 11ab
ba
ab
−
−
h)
111
11+1
+−
a
a-
i)
yxy2x
xx+y
yxyx
x-yx+y
++
−
+−
−
5. Calcular:
a)
1493
:13
1
31
31
−−
−+•
+−
aaa
a
aaa
b)
i)
xx
xx
x
xx
xx
x
1
111
2
1
111
2
2
2
2
−−
−
−+
++
−
6. Si bc
acbx2
222 −+= e 22
22
)()(acb
cbay−+−−
= , calcular: xyyxz
−+
=1
7. Si a, b, c son números reales positivos, probar que:
a) ( ) ( ) 333
23332333
4acb
cbacba=
+−−−++
b) ( )⋅
+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−+
⋅++−+
+122
22
22
2 2344
22.na
aaaa
aacaca
aa
8. Simplifique la expresión:
a) ( )bc
accc
cca
cbcbaca
cacaaa −+
÷⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−−
+⋅−−
⋅++−+ 1112
22
33
22
2
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )yzzxz
zyyxy
zxyxx
−−−
−−−
−−
222
9. Sea 0≠a un número real, con 31=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
aa . Calcule: 3
3 1a
a +
Guía Nº 18
Expresiones Algebraicas y Factorización
Respuestas:
Respuestas:
Guía Nº 19
Ejercicios de racionales algebraicos
I.‐ Simplificar las fracciones algebraicas:
1.‐
2.‐
3.‐
4.‐
5.‐ II.‐ Resolver simplificando al máximo:
6.‐
7.‐
8.‐
9.‐
10.‐
11.‐
12.‐
13.‐
14.‐
Resolver Simplificando al máximo:
Respuestas:
Resolver las operaciones simplificando al máximo
ba
b3ba2
a3ba2
−−
−+
3a
4a2a2
)2a(31a2
2 −−−
−−−
22 yxy2xy4x2
yxyx3
yxx2
+−
−+
−−
−+
25a4a2
5a6a
6a7a
2 −−
+−−
−−+
2xx3x2
4x4x
2x3xx2
222 −−−
+−+
−++
9x3
16x1
12x7x2
222 −−
−+
++
x6x2x24
12xx4x2
x12x34x
222 −−
−−+
−−
+−
x9x3x3x2
15x8xx4
x15x3x3
2
2
22 +−
+++
++
Ecuaciones
Igualdad Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2 Una igualdad puede ser: Falsa:
2x + 1 = 2 ∙ (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2. Cierta
2x + 2 = 2 ∙ (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2 Identidad Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras o variables.
2x + 2 = 2 ∙ (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
Ecuación Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las variables.
x + 1 = 2 x = 1 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las variables (incógnitas) para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2 x = −5 2 ∙ (−5) − 3 = 3 ∙ (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Ec. polinomiales según su grado:
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado. 5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuación de tercer grado. 5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado.
Tipos de ecuaciones Ecuaciones polinómicas enteras:
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un
polinomio. Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones polinómicas: El grado de una ecuación polinómica es el mayoe exponente al que está elevada la incógnita.
Ecuaciones de primer grado o lineales: Son del tipo mx + n = 0 , con m ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al
operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. Ejemplos:
2x + 1 = ‐2 2x + 3 = 0 (x + 1)2 = x2 ‐ 2 x2 + 2x + 1 = x2 – 2
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas: Son las ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas ax2 = 0 ax2 + b = 0 ax2 + bx = 0
Ecuaciones polinómicas racionales: Las ecuaciones polinómicas son de la forma 0
)x(Q)x(P= , donde P(x) y Q(x) son
polinomios. Por ejemplo:
Ecuaciones polinómicas irracionales: Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio
bajo el signo radical.
Ecuaciones no polinómicas: Ecuaciones exponenciales
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.
Ecuaciones logarítmicas
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Ecuaciones trigonométricas Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función
trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.
Problemas de ecuaciones de primer grado
Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es prop. a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x2 Un número al cubo: x3 Dos números consecutivos: x , x + 1. Dos números consecutivos pares: 2x , 2x + 2. Dos números consecutivos impares: 2x + 1 , 2x + 3. Descomponer 24 en dos partes: x , 24 − x. La suma de dos números es 24: x , 24 − x. La diferencia de dos números es 24: x , 24 + x. El producto de dos números es 24: x , 24/x. El cociente de dos números es 24; x , 24 ∙ x.
Guía Nº 20 Ecuaciones de primer grado
Resolver:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
Guía Nº 21 Problemas de ecuaciones de primer grado
1.‐ Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del
padre tres veces mayor que la edad del hijo? 2.‐ Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? 3.‐ La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si
el perímetro mide 30 cm? 4.‐ En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número
de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
5.‐ Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
6.‐ Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
7.‐ Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: a) Litros de gasolina que tenía en el depósito. b) Litros consumidos en cada etapa.
8.‐ En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana?
9.‐ Las dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
10.‐ Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
11.‐ Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro?
12.‐ Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
Guía Nº 22
Ecuaciones de Primer Grado
Resolver las ecuaciones:
1.‐ x6
x73131
x49
x38
x27 −
=−+−
2.‐ 8
1x54
3x3
1x212
5x3 −=
++
−−
−
3.‐ 1)5x(8758)4x(
6851
=−−−
4.‐ 211
37x2
)6x(230x11x 2
=−
−−+−
5.‐ 16x4
9x3x21x3
=−+
−−−
6.‐ 6x47x2
9x4441
3x27x
2 +−
−−
=−−+
7.‐ 21x3x
3x1x
=−−
+−−
8.‐
x811
x311
x1
31
x1
31
−
+=
+
−
9.‐ baxx =−
10.‐ 2a
bxb
ax=
−+
−
11.‐ 0c6
axc11b3
cxb5a2bxa7
=−
−−
−−
12.‐ 22 xa
)x2c(axaxc
xaxb
−
−=
−−
++−
Problemas de Planteo:
13) La diferencia entre los 127 y los
158 de un número es 6.¿ Cuál es el número?
14) Un deudor paga 3/5 de una deuda y queda debiendo los 3/10 más $450. Cuál era la deuda? 15) Cierto número de personas debe pagar una cuenta en partes iguales. Si cada uno paga $435,
falta $20 y si paga $440 sobran $20. ¿A cuánto ascendía la cuenta y cuántas personas eran?
16) ¿Qué número debe agregarse a los términos de la fracción 4023 para que valga
32 ?
17) A las 6 A.M. parte un mensajero desde un lugar A, recorriendo un kilómetro en 12 minutos. A las
2110 A.M. se envía otro mensajero que recorre un kilómetro en 3 minutos para alcanzar al
primero. A qué distancia y a qué hora el segundo mensajero alcanzará al primero? 18) Un obrero puede hacer un trabajo en 12 días y otro en 15 días de nueve horas de trabajo. ¿En
qué tiempo hacen el trabajo los dos juntos? 19) La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la
diferencia de los cuocientes es 6. ¿Cuáles son los números? 20) Calcular la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 años la edad de la primera era el doble
de la segunda y que 12 años después de la edad actual, la edad de la segunda será 43 de la
edad de la primera. 21) Una persona compra una casa en US$ 12.600 A tres meses plazo; pero habiendo pagado al
contado, se le hizo el 6% de descuento. Cuál es el precio de la casa? 22) Los
43 de un capital están colocados al 16% y el resto al 5%. El interés anual de la primera parte
es US$ 910 mayor que la primer. Cuál es el capital? 23) Dividir $ 88.000 en dos partes tales que colocadas al 5% la primera durante 5 años y la segunda
durante 10 años, produzcan la misma suma entre capital e intereses? 24) Dos automóviles se encuentran a una distancia de 39 Km. uno del otro, parten al mismo
tiempo a encontrarse. El primero recorre 3 Km. en cinco minutos y el segundo 2 Km. en tres minutos. Después de cuántos minutos estarán a una distancia de 20 Km.?
25) Se mezcla perfume de US$12,85 y US$ 9,60 litro. ¿Cuántos litros de cada clase entran en una mezcla de 100 litros a US$ 11,55 el litro?
Respuestas: 1) 2,5 2) 5 3) 8 4)‐10 5) 5 6) ½ 7) 7 8) 11/77
9) 1a
ab−
10) a + b 11) 0 12) cb
ab−
13) 120 14) 1500
15) 8; 3.500 16) 11 17) 30 Km.; 12AM 18) 6 días, 6 horas 19) 160 ; 40 20) 28 Y 18 años 21) $12.411 22) $28000 23) 48000 Y 40000 24) 15 minutos 25) 60 lts. de la primera y 40 lts. de la segunda
Guía Nº 23 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
(Prof. Raúl Adasme Gallegos)
I. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones:
1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
a) 5y + 6y − 81 = 7y + 102 + 65y b) x − [ 5 + 3x − ( 5x − (6 + x) ) ] = −3 c) 3x ⋅ (x − 3) + 5 ⋅ (x + 7) − x ⋅ (x + 1) − 2 ⋅ (x2 + 7) + 4 = 0 d) 14 − (5x − 1) ⋅ (2x + 3) = 17 − (10x + 1) ⋅ (x − 6) e) 7 ⋅ (x − 4)2 − 3 ⋅ (x + 5)2 = 4 ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 1) − 2 f) (x + 2) ⋅ (x + 3) ⋅ (x − 1) = (x + 4) ⋅ (x + 4) ⋅ (x − 4) + 7
g) ( )
2
222
x36x7
x156x4
x54x2
37x2 +
=−
−−
−+
h) 4x2
312
2x23
2x2
1x1
−−
−=
−−
−
i) 24x6
76x2
112x7x
1x32 +
++
=++
−
2. ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO:
a) m2
m1
xm
=− R: 3
m2
b) xa4
2b
xa
=+ R: ba6
c) 1xn
mn
xm
+=+ R: 1
d) x
2a321
a1a −
=+−
R: m
e) ( )
abba2
bxb
axa −
=−
−−
R: 2a
f) a1
abxa2
aa3x
2 =−
−−
R: 2
g) 2mn
nmn
nxm
mx 22−
+=
+−
+ R: 2a
h) b
ax2a
bx −−=
− R: n − m
i) 233
ba2x4
=−+
R: a + b
j) ( )
ax4ax62
axx3a2
+−
=++
R: 8
b3a6 +
k) ( )
( ))bx4cx2
bx4cx2
−+
=−−
R: −4a
l) x1
mn1
xm
n1
−=− R: ( )c2b2bc3+
m) ( )( )( )( ) 2
xb2aaxax2b2x
=+−−+−
R: mn
n) xmxn
nxmx
++
=−+
R: ( )ab32 −
o) ( )( ) 22 bbxx2
b3xbxb3x2x
+−=+
++ R:
m2nm 22 +
−
p) a12
b13a5ax
bx
31
ax
bx
43 +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + R:
5b3
q) ( )
a3x9b3ab3
ax3bx
3ax 22
−−
+−−
=+
R: b
r) ax3bx5
bx3ax5
−−
=++
R: 2a
s) ( )
22 axabx2a
axax
axax
−
+=
+−
−−+
R: 2
ab −
t) 22 a16xa112
a4xa3x2
−=−
+−
R: 4a − 1
u) a
axaxa
xax
12
2 +=
++
+ R:
2a1−
v) ( ) ( ) ( )
abb2a6
axb3
bxa2 22 −
=+
−+
R: 2a + 3b
w) ( ) ( )( ) ( )nm3mn2n1nxmnmxnm 222 −−=+−−− R: n − 2m
x) ( ) ab2xb2aabx 222 =−+
Problemas característicos
Problemas de grifos:
En una hora el primer grifo llena 1/t1 del depósito. En una hora el segundo grifo llena 1/t2 del depósito. Si existe un desagüe En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósito. En una hora los dos grifos juntos habrán llenado: Sin desagüe
Con desagüe
Ejemplo: Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos juntos el depósito?
En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito. En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito. En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:
7x = 12 x = 12/7 horas
Problemas de mezclas
C1 1ª cantidad. C1 = x
C2 2ª cantidad. C2 = Cm ‐ x
Cm Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2
P1 Precio de la 1ª cantidad
P2 Precio de la 2ª cantidad
Pm Precio de la mezcla C1 ∙ P1 + C2 ∙ P2 = Cm ∙ Pm
También podemos poner los datos en una tabla
Cantidad Precio Coste
1ª sustancia C1 P1 C1 ∙ P1
2ª sustancia C2 P2 C2 ∙ P2
Mezcla C1 + C2 P C1 ∙ P1+ C2 ∙ P2
C1 ∙ P1 + C2 ∙ P2 = (C1 + C2) ∙ Pm
Ejemplo: Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg. ¿Cuántos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?
1ª clase 2ª clase Total
Nº de kg x 60 − x 60
Valor 40 ∙ x 60 ∙ (60 − x) 60 ∙ 50
40x + 60 ∙ (60 − x) = 60 ∙ 50 40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000 − 3600; 20x = 600 x = 30; 60 − 30 = 30 Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase.
Problemas de aleaciones:
La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino, es decir, más valioso, y el peso total.
Se resuelven del mismo modo que los problemas de mezclas, teniendo en cuenta que la ley de la aleación equivale al precio de la mezcla.
C1 ∙ L1 + C2 ∙ L2 = (C1 + C2) ∙ La Ejemplo:
Se tienen dos lingotes de plata, uno de ley 0.750 y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?
1ª ley 2ª ley Total
Nº de g x 1800 − x 1800
Plata 0.750 ∙ x 0.950 ∙ (1800−x) 0.900 ∙ 1800
0.750 ∙ x + 0.950 ∙ (1 800−x) = 0.9 ∙ 1800 0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620 0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710 −0.2x = − 90 x = 450
1ª ley 450 g
2ª ley 1350 g Problemas geométricos con ecuaciones de primer grado:
Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
C → x B → x + 40 A → x + 40 + 40 = x+ 80 x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x = 180 − 40 − 80; 3x = 60; x = 20 C = 20º B = 20º + 40º = 60º A = 60º + 40º = 100º
Problemas de móviles:
Para plantear problemas sobre móviles que llevan velocidad constante se utilizan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme:
distancia = velocidad × tiempo
Caso 1
Los móviles van en sentido contrario.
eAC + eCB = eAB
Ejemplo: Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60 km/h. Se pide: 1) El tiempo que tardarán en encontrarse.
90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2 horas
2) La hora del encuentro. Se encontraran a las 11 de la mañana .
3) La distancia recorrida por cada uno. e AB = 90 ∙ 2 = 180 km e BC = 60 ∙ 2 = 120 km
Caso 2 Los móviles van en el mismo sentido.
eAC − eBC = e AB
Ejemplo: Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las 9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide: 1) El tiempo que tardarán en encontrarse. 90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6 horas 2) La hora del encuentro. Se encontraran a las 3 de la tarde. 3) La distancia recorrida por cada uno.
e AB = 90 ∙ 6 = 540 km e BC = 60 ∙ 6 = 360 km
Caso 3:
Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido. e 1 = e 2
Ejemplo:
Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro coche en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. Se pide:
1) El tiempo que tardará en alcanzarlo.
90t = 120 ∙ (t − 3)
90t = 120t − 360 −30t = −360 t = 12 horas
2) La distancia a la que se produce el encuentro.
e 1 = 90 ∙ 12 = 1080 km
Guía Nº 24
PROBLEMAS DE PLANTEO EC. DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
1) Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?
2) ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?
3) El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?
4) Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
5) El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.
6) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?
7) En el triángulo ABC, los lados BC3AB = y AC21BC = . Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide
cada lado?
8) Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado.
9) Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y en ancho.
10) Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?
11) Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?
12) Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era
43 de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen actualmente?
13) La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen actualmente?
14) La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.
15) Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?
16) Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.
17) Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?
18) Se compran 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más $ 20 y cada lápiz cuesta el doble de cada goma, más $ 8. ¿Cuánto cuesta cada material?
19) Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14 a Gladys y $ 35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
20) Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. ¿Cuánto tardarían si la pintaran entre las tres?
21) El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le
suma 3, la fracción queda equivalente a 34 . Hallar la fracción.
22) Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
23) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.
24) Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
25) La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.
26) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
27) Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.
28) Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor.
29) Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.
30) La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?
31) La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cuociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.
32) Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cuocientes sea 12.
33) ¿Qué número debe sumarse al numerador y al denominador de la fracción 138 y
simultáneamente restarse del numerador y del denominador de 5140 para que las fracciones
resultantes sean equivalentes?
34) Un trozo de alambre de 28 cm. de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.
35) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?
36) Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una dueña de casa pagó $ 119. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 más caro que el kilo de papas?
37) La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?
38) En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta cuántos hombres y cuántas mujeres son”
39) Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5.050. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.
40) Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?
RESPUESTAS 1) 5 2) P – 3 3) 17 4) 25, 27 Y 29 5) 20 6) 51 Y 52 7) AB = 42 m., BC = 14 m y AC = 28 m. 8) 10 m 9) largo: 43,75 y ancho: 26,25 10) 4 unidaes 11) 8 y 28 años 12) 28 y 34 años 13) 14, 12 y 1 año 14) Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María: 21 años 15) Andrés: 36 años; Guido: 9 años; David: 3 años 16) 14 y 38 años 17) Hace 10 años 18) Lápiz: $ 198, cuaderno: $ 305; goma: $ 95 19) Hernán: $ 126, Gladys: $ 63; María: $ 42 20) 2 horas 13 minutos 20 segundos 21) 17/15 22) 51 y 52 23) 67, 68 y 69 24) 96 y 98 25) 31, 33 y 35 26) 27) 28) 29) 30) 11040 gramos 31) 30 y 68 32) 99 y 81 33) 7 34) 20 cm 35) 28 alumnos 36) $ 25 37) 80 niños 38) 4 hombres 16 mujeres 39) $ 50; $ 1.250; $ 3.750 40) 38 ciruelas.
Guía Nº 25
SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Método de Reducción
1.‐
2.‐
3.‐
4.‐
5.‐
6.‐
7.‐
Método de Igualación
1.‐
2.‐
3.‐
4.‐
5.‐
6.‐
Método de Sustitución
1.‐
2.‐
3.‐
4.‐
5.‐
6.‐
Guía Nº 26 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
I.– Resolver las ecuaciones exponenciales:
1.‐ 812
2x1 =−
2.‐ 6483 x =
3.‐ 163844 x62x =−
4.‐ 024 21x1x =− +++
5.‐ 273 12x =− 6.‐ 2 2x ⋅2 = 3x ⋅ 35 7.‐ 3 x ⋅ 5 2x = 150
II.– Resolver las ecuaciones exponenciales:
1.‐ 3 1 – x – 3 x = 2 2.‐ 2 4x – 2 2x – 12 = 0 3.‐ e x – 5e –x + 4e –3x = 0
4.‐ 8
1272.......121
41
81 x =+++++
5.‐ 4 x – 1 + 2 x + 2 = 48
III.– Resolver los sistemas de ecuaciones exponenciales:
1.–
17y2x3
222 8
2y3
3x2
=−
=+
−
2.– 123123
2y1x
yx
=−=−
−−
3.– 64225255
2y1x
7yx
=⋅=⋅
+−
IV.– Resolver las ecuaciones logarítmicas:
1.– xlog24
625log5xlog4 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2.– 2 log x – 2 log(x + 1) = 0
3.– xlog
xlog2xlog −=
4.– log ( 25 – x 3) – 3 log ( 4 – x) = 0
5.– 3)x5log(
)x35log( 3=
−−
6.– 27
xlog125log
xlog5
55 =+
V.– Resolver los sistemas de ecuaciones logarítmicas:
1.‐ 20yx2ylogxlog
=−=+
2.‐ 5yx
2logylogxlog22 =+
=+
3.‐ 1ylog2xlog23ylogxlog−=−=+
4.‐ 21)3x(log
2)18y(log
y
x
=+
=−
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0, que tiene 2 soluciones o raíces
Se resuelve mediante la expresión:
Ejemplo 1: Las soluciones de la ecuación x 2 –5x + 6 = 0 son:
Ejemplo 2: Las soluciones de la ecuación 2x 2 –7x + 3 = 0 son:
Ejemplo 3: En la ecuación –x2 + 7x – 10 = 0
Si a<0, podemos multiplicar los dos miembros por (−1).
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado:
ax2 +bx +c = 0
b2 − 4ac = Δ se llama DISCRIMINANTE de la ecuación porque permite discriminar
o averiguar en cada ecuación cómo son las dos soluciones.
Podemos distinguir tres casos:
Si Δ = b2 − 4ac > 0 → La ecuación tiene dos raíces reales distintas.
Si Δ = b2 − 4ac = 0 → La ecuación tiene dos raíces reales e iguales.
Si Δ = b2 − 4ac < 0 → La ecuación no tiene soluciones reales, tiene 2 complejas. Ejemplo 3: Las soluciones de la ecuación x 2 –5x + 6 = 0 son:
Dos raíces reales y distintas, que nos permite factorizar el polinomio (x – 3)(x – 2)=0
Ejemplo 4: Las soluciones de la ecuación x 2 –2x + 1 = 0 son:
Dos raíces reales e iguales, que nos permite factorizar el polinomio (x – 1)(x – 1)=0
Ejemplo 5: Las soluciones de la ecuación x 2 + x + 1 = 0 son:
Dos raíces complejas
Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado:
• La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
abxxS 21 −=+=
• El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:
acxxP 21 =⋅=
Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:
X2 – Sx + P = 0
Ejemplo 6: La ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2. S= 3 − 2 = 1 P = 3 ∙ 2 = 6
x2 − x + 6 = 0
Ec. de segundo grado incompletas Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de
los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.
Por ejemplo: ax2 = 0 ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0
Resolución de ec. de segundo grado incompletas ax2 = 0 La solución es x = 0.
Ejemplos:
2x 2 = 0 → x1 = x 2 = 0
0x52 2 = → x1 = x 2 = 0
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x:
x(ax + b) = 0
abx0bax
0x
−=→=+
=
Ejemplos: Las soluciones de la ecuación x 2 –5x = 0 son:
x(x – 5) = 0 → x = 0 y x – 5 = 0 x1 = 0 y x2 = 5
Las soluciones de la ecuación 2x 2 –6x = 0 son:
2x(x – 3) = 0 → 2x = 0 y x – 3 = 0 x1 = 0 x2 = 3
ax2 + c = 0
Despejamos: 0acx
22 =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
Factorizando la diferencia de cuadrados 0acx
acx =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
De donde ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
acx1 y
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
acx 2
Ejemplo: 2x 2 – 25 = 0 → (x+5)(x–5)=0 → x1 = 5 y x2 = –5
2x 2 + 8 = 0 → x 2 – (–4)=0 → x 2 – ( 4− ) 2 = 0
(x – 2 1− )(x + 2 1− ) = 0 → x1 = 2i y x = –2i donde 1− =i (unidad imaginario)
Guía Nº 27 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1.‐ 0122 =+− xx
2.‐ 0122 =−− xx
3.‐ 08144 2 =−− xx
4.‐ 020105 2 =−− xx
5.‐ 0693 2 =+−− xx
6.‐ 0181836 2 =−−− xx ( )( ) xxx 653 −=+−
7.‐ ( )( )( ) xxxxx −=+−+ 3211
8.‐ 40)4)(13()43)(32( =−−−−− xxxx
9.‐ 22 )8(2)2(8 xx −=−
10.‐ 22 1 1 1 22 3 6
x x x− − −− =
11.‐ 22 1 1 1 22 3 6
x x x− − −− =
Problemas de planteo con ecuación de segundo grado.
1.‐ Encuentre dos números pares consecutivos, tal que el producto entre ambos números sea 4224.
2.‐ Un sitio rectangular tiene un área de 448m2 y el largo mide 4 metros más que el doble de su ancho. ¿Cuánto mide cada lado?
3.‐ El número de sillas en un salón es 180. Si están colocadas en filas, y el número de sillas por fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántas sillas hay por filas?
4.‐ Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de los hijos y nietos es 56 ¿Cuántos hijos y nietos tiene?
5.‐ En un rectángulo, la medida del largo es 15cm y la de su ancho es 8cm. ¿En cuántos centímetros habrá que disminuir el largo y el ancho para que la medida de la diagonal disminuya en 4cm?
6.‐ Con un cartón cuadrado se quiere construir una caja sin tapa. Al cartón se le corta un cuadrado de 3cm de lado en cada una de sus esquinas. Calcule la medida del lado del cartón, sabiendo que el volumen de la caja debe ser 192cm3.
7.‐ Un paseo a los glaciares del Sur tiene un costo para un grupo de turistas de US$ 800, costo que se divide en partes iguales entre los turistas que forman el grupo. A última hora, 5 personas desisten de hacer el viaje, lo que significa que el costo para el resto de turistas aumenta en US$ 8. ¿Cuántos turistas eran inicialmente?
8.‐ Durante la liquidación de accesorios deportivos en un centro comercial, un atleta gastó $231.000 en camisetas para su club. Si cada camiseta hubiera tenido un costo de$1250, habría podido comprar cinco camisetas más por la misma cantidad de dinero. ¿Cuántas camisetas compró originalmente? ¿Cuál fue el precio original de cada camiseta?
9.‐ Las medidas en centímetros de la hipotenusa y del cateto mayor de un triángulo rectángulo son números naturales consecutivos. Si al cateto menor le faltan 7cm para igualarse con el mayor. ¿Cuánto miden los tres lados?
Guía Nº 28
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Respuestas
Guía Nº 29 Ecuaciones Irracionales.
Resolver las ecuaciones:
RESPUESTAS:
Los números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto no se pueden expresar en forma de fracción o racional.
El número es irracional porque no se conocen todos los componentes de él y no porque tenga infinitos decimales (conocidos o definidos por una regla de periodicidad).
Los números periódicos o semiperiódicos son racionales.
Toda raíz cuadrada de una cantidad que no sea cuadrado perfecto es un número irracional.
Por ejemplo: 3 5 7 son irracionales
El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
Otro Número Irracional conocido es e, base de los logaritmos neperianos y cuyo valor se obtiene a través de un límite (materia a revisar más adelante).
Los números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los NÚMEROS REALES y se designa por IR.
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par con radicando negativo y la división por cero.
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
AXIOMAS DE CUERPO DE LOS REALES
Dada la operación binaria de la suma, las propiedades (Axiomas) son: 1.Interna o de clausura (Axioma de orden 1):
a + b 2.Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ∙ 3.Conmutativa:
a + b = b + a 4.Elemento neutro:
a + 0 = a 5.Elemento inverso:
a + (– a) = 0 Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el
cero (elemento neutro).
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
– ( –a ) = a LA DIFERENCIA de dos números reales se define como la suma del minuendo
más el opuesto del sustraendo. a – b = a + (‐ b)
Dada la operación binaria de Multiplicación, las Propiedades (Axiomas)
1.Interna o de clausura (Axioma de orden 2):
a ∙ b 2.Asociativa:
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) 3.Conmutativa:
a ∙ b = b ∙ a 4.Elemento neutro:
a ∙1 = a 5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como
resultado el elemento unidad.
6.Distributiva respecto a la suma:
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c La DIVISIÓN de dos números reales se define como el producto del
dividendo por el recíproco del divisor.
Axioma de orden 3: Ley de tricotomía Para todo a є IR, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:
a = 0 a є IR +
– a є IR + Axioma de Completitud: Enuncia es que los números reales tiene la propiedad de "completar" la recta numérica. Es decir, entre un número real y otro representado siempre se puede hallar otro.
Intervalos
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.
Intervalo abierto
(a, b) = {x / a < x < b}
Intervalo cerrado
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la izquierda
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Semirrectas
x > a
(a, +∞) = {x / a < x < +∞}
x ≥ a
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}
x < a
(‐∞, a) = {x / ‐∞ < x < a}
x ≤ a
(‐∞, a] = {x / ‐∞ < x ≤ a}
Valor absoluto
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Propiedades |a| = |−a| |a ∙ b| = |a| ∙|b| |a + b| ≤ |a| + |b|
Guía Nº 30 Inecuaciones
(Prof. Patricia Rojas Salinas)
p) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x tal que:
4) MODULOS O VALOR ABSOLUTO. 4.1) Resuelva las siguientes inecuaciones:
4.3) Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
5) SISTEMAS DE INECUACIONES.
GEOMETRÍA PLANA
El punto: En geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema de coordenadas preestablecido. La recta: o línea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. El plano El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
• Tres puntos no alineados. • Una recta y un punto exterior a ella. • Dos rectas paralelas. • Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego. Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita). Segmento Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Ángulo: Un ángulo es la "abertura" entre dos líneas que se cruzan en un punto. Esta noción de ángulo es muy familiar para nosotros, pues durante nuestra vida hemos observado y descrito los ángulos de todos los objetos que vemos. En geometría se estudian con todo detenimiento y precisión estos ángulos. Es en esta rama de las matemáticas en donde miden y clasifican estos ángulos, se estudian sus propiedades y sus relaciones con otros ángulos. Los ángulos se miden principalmente en grados sexagesimales, aunque existen otros tipos de unidades para medirlos. Por ejemplo, las revoluciones, que son vueltas enteras; los gradianes o grados centesimales, que dividen la vuelta entera en 400 partes iguales en lugar de 360, como los grados sexagesimales
Triángulos:
Líneas y puntos notables en un triangulo
Altura: es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. Ortocentro: es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
Transversal de Gravedad: es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto. Baricentro o Centro de gravedad: es el punto de intersección (T) de las tres transversales de gravedad del triángulo.
Bisectriz: es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentro: es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.
Simetral: de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Circuncentro: es el punto de intersección (H) de las tres Simetrales del triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.
Teorema de Pitágoras:
Relaciona los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo
c 2 = a 2 + b 2
a 2 = h 2 + q 2
b 2 = h 2 + p 2
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. Clasificación de los cuadriláteros
Paralelogramo: Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.
Los paralelogramos se clasifican en:
• Paralelogramos rectángulos: son aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación se incluyen Cuadrado: es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó p / 2 radianes, y la suma de todos ellos es 360º ó 2p radianes. Cada ángulo externo del cuadrado mide 270º ó 3p / 2 radianes.
Rectángulo: es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Paralelogramos no rectángulos: son aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos. En esta clasificación se incluye:
El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus cuatro lados son iguales en longitud y son paralelos dos a dos. El cuadrado es un caso particular de rombo.
En geometría, se denomina romboide al paralelogramo cuyos ángulos no son rectos (no es rectángulo) y cuyos cuatro lados no son de igual longitud (no es un rombo).
No paralelogramos Trapecio: es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos. Trapecio Isósceles a aquel que tiene sus lados no paralelos iguales.
Trapezoide: es un polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro. El trapezoide no tiene propiedades especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que la suma de sus ángulos internos es de 360º.
Los trapezoides pueden ser inscriptibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180º.
Puede ser circunscriptible si las sumas de sus pares de lados opuestos son iguales entre sí.
Guía Nº 31 Aplicaciones del álgebra a la geometría”
1) En cada caso expresa algebraicamente el perímetro y área de cada figura plana, de la forma más reducida.
a) b)
c) d)
e) f)
2) Expresa algebraicamente el perímetro y área de cada figura:
3) Expresa algebraicamente el perímetro y área del rectángulo ABCD en términos de c y d:
4) Si c= 3 y d=2, calcula el perímetro de la figura anterior
5) Dado el cubo de la figura
a) Expresa algebraicamente el área total b) Expresa algebraicamente el volumen
6) Si el volumen de un cubo es 27x3,
a) Encuentra la medida de su arista b) ¿qué expresión algebraica corresponde al área total del cubo?
7) Dado el paralelepípedo de la figura
a) Expresa algebraicamente el área total b) Expresa algebraicamente el volumen
8) El volumen del paralelepípedo dibujado es 2x2 + 4x, ¿cuánto mide a?
9) Si el área de un rectángulo es x2 – 5x – 14 y el ancho x – 7 , a) ¿cuánto mide el largo? b) ¿cuáles son los posibles valores de x, para que el ancho y el largo tengan sentido
como expresión de medidas de lados
Circunferencia
Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Centro de la circunferencia (O): Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la circunferencia (R): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Elementos de la circunferencia
Cuerda Diámetro Arco Semicircunferencia
Segmento que une dos puntos de
la circunferencia.
Cuerda que pasa por el centro.
Cada una de las partes en que una cuerda divide a
la circunferencia . Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Es la porción de la circunferencia delimitada
por el diámetro.
Elementos de un círculo
Segmento circular Semicírculo Zona circular Sector circular Corona circular Trapecio
circular
Porción de círculo l imitada por una cuerda y
el arco correspondiente.
Porción del círculo l imitada por un diámetro
y el arco correspondiente.
Equivale a la mitad del círculo.
Porción de círculo l imitada por dos cuerdas.
Porción de círculo l imitada por dos radios.
Porción de círculo l imitada por dos círculos concéntricos.
Porción de círculo l imitada por dos radios y
una corona circular.
Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
Punto Interior Punto sobre la circunferencia.
Punto exterior a la circunferencia
Su distancia al centro es
menor que el radio. Su distancia al
centro es igual que el radio.
Su distancia al centro es mayor que el
radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Recta secante Recta tangente Recta exterior
La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
La recta corta a la circunferencia en un punto.
Es perpendicular al radio en el punto de contacto
No tiene ningún punto de contacto con la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias
Exteriores Interiores Concéntricas Tangentes interiores
Tangentes exteriores Secantes
La distancia entre los centros es mayor que la suma de las
radios.
La distancia entre los centros es menor que la
diferencia de los radios.
Los centros coinciden.
La distancia entre los centros es
igual a la diferencia de los
radios.
La distancia entre los centros es
igual a la suma de los radios.
La distancia entre los centros es mayor que la
diferencia de los radios.
Ningún punto en común Un punto común Dos puntos en común
Medidas en la circunferencia
Longitud de una circunferencia
Longitud de un arco de circunferencia
L = 2πR LAB = 360αRπ2
Áreas en el Círculo
Área de un círculo Área de un sector
circular Área de una corona
circular
Área de un trapecio circular
Área de un segmento
circular
A = π⋅R2
360αRπA
2= A = π⋅(R2 – r2) 360
α)rR(πA22−
=
Área del segmento circular
AB = Área del sector circular AOB − Área
ΔAOB
Es igual al área del círculo mayo
r menos el área del círculo men
or
Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor
Guía Nº 32
Geometría plana
1.‐ Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?
2.‐ Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.
3.‐ Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.
4.‐ Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
5.‐ En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.
6.‐ Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
7.‐ En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.
8.‐ El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
9.‐ Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.
10.‐ El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
11.‐ La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.
12.‐ Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.
13.‐ Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.
14.‐ Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
15.‐ Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del círculo menor mide 2 cm.
16.‐ Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños mide 2 cm.
17.‐ Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.
18.‐ A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de lacorona circular así formada.
19.‐ En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
20.‐ Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
21.‐ En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.
22.‐ Sobre un círculo de 4 cm se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
23.‐ Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.
24.‐ El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.
25.‐ A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de lacorona circular así formada.
Guía Nº 33 Cuerpos Geométricos
1.‐ Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.
2.‐ Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de US$6 el metro cuadrado.
a. Cuánto costará pintarla. b. Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.
3.‐ En una bodega de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos almacenar?
4.‐ Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.
5.‐ Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 lts. de capacidad.
6.‐ Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 tarros de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.
7.‐ Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular:
a. El área total. b. El volumen
8.‐ En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?
9.‐ La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de radio 50 m. Si restaurarla tiene un coste de US$ 300 el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
10.‐ ¿Cuántas cerámicas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
11.‐ Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
12.‐ Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
13.‐ Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?
14.‐ Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista. 15.‐ Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5
cm de arista 16.‐ Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista. 17.‐ Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo
que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm. 18.‐ Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista. 19.‐ Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un
rombo de de diagonales 12 y 18 cm. 20.‐ Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10
cm de arista básica y 12 cm de altura. 21.‐ Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm
de arista básica y 28 cm de arista lateral. 22.‐ Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de
pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm. 23.‐ Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13
cm y el radio de la base es de 5 cm. 24.‐ Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y
el radio de la base es de 3 cm. 25.‐ Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de
radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm. 26.‐ Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios
12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm. 27.‐ Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio
mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm. 28.‐ Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de
altura. 29.‐ Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio. 30.‐ Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico. 31.‐ Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen
de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.
Guía Nº 34 EJERCICIOS DE GEOMETRIA
(Prof. Raúl Adasme G.)
1.‐ La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es 1800 0. Indicar cuantos lados tiene el polígono. R: 12
2.‐ Hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono regular cuyo ángulo central mide 72 0 . R: 540 0.
3.‐ Indicar cuantas diagonales se pueden trazar en un polígono de 15 lados. R: 90
4.‐ La suma de los ángulos interiores y exteriores de un polígono convexo es de 2700 0 . Determinar el número de diagonales que se pueden trazar en dicho polígono. R: 15
5.‐ Indicar cuántos lados tiene un polígono en el que se pueden trazar hasta 20 diagonales. R: 8
6.‐ En un polígono se han trazado en total 44 diagonales. ¿ Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono ? R: 1620
7.‐ En triángulo ABC 0 90 =− βα . CD es bisectriz del ángulo ACB. Determine la medida del ángulo ADC .
8.‐ En el triángulo ABC , rectángulo en C , la altura CD y la transversal de gravedad CM,
forman un ángulo de 240 . Determine la medida del ángulo α .
9.‐ En el triángulo ACB , rectángulo en C , se tiene que AE y DB son rectas cualesquiera verificar que: ( ) ( ) ( ) ( ) 2222 DE AB AE BD +=+
10.‐ Si uno de los catetos de cierto triángulo rectángulo es tres veces mayor que el otro determine en que razón dividirá a la hipotenusa la altura correspondiente a la misma.
11.‐ En la figura se tiene que EC = 1 y EB = b , encuentre la medida del segmento DE en función de b.
12.‐ El perímetro de un triángulo isósceles es igual al doble de la base , si “ a “ es el lado no basal determine el perímetro del triángulo en función de “ a “.
13.‐ El triángulo ABC es rectángulo en A , D es punto medio de AB , si ED ⊥ BC ;
EB = 3 y AD = 2 3 encuentre la medida de EC.
14.‐ Se desea construir un triángulo tal que dos de sus lados midan 1,3 y 2,5 cm. Respectivamente y la medida del tercer lado sea un numero entero. Determine Cuantos triángulos que satisfagan estas condiciones se puede construir.
15.‐ Una persona viaja 8 Km. al norte , 3 Km. al oeste ,7 Km. al norte y finalmente 11 Km. al este . Determine a que distancia se encuentra la persona del punto de partida.
16.‐ Una escalera de 6 pies se coloca contra una pared con la base a dos pies de la pared . ¿ A qué altura del suelo está la parte más alta de la escalera?
17.‐ PQRS rombo , si QR = QE determine el valor del ángulo x en función de α
18.‐ .‐ El área sombreada es igual a la tercera parte del área del triángulo ABC .
Si CM es bisectriz y AC = 15 cm., encuentre el valor de BC . R: 30 cm
19.‐ ABC Δ rectángulo en C. AM MB= , encuentre el valor del ángulo AMC . R: 2 α
20.‐ ABCD cuadrado de lado 2 cm., DEFG cuadrado, BAC sector circular, considerando que π = 3.
Determine el área achurada. R: 4 2 5−
21.‐ En el círculo de centro o , 5 ., 3 ., 1 ., 1.2 .,AB cm BC cm EF cm GF cm= = = =
,CF AB⊥ determine el valor de AG R: 3.63
22.‐ Un recipiente de base rectangular de 42 cm., de largo y 20 cm., de ancho contiene un líquido que alcanza una altura de 40 cm . ¿ Qué altura debe tener otro recipiente de base rectangular de 48 cm, de largo por 25 cm., de ancho para contener exactamente todo ese líquido ?. R: 28
23.‐ La figura muestra un cubo en el que la superficie del plano diagonal achurado mide 2 cm 2 . Determine el volumen del cubo. R: 1 cm 3
Guía Nº 35
APLICACIONES de ECUACIONES EN LOS REALES (Prof. Leonardo Ahumada)
1) Un químico debe preparar 350 ml. De una solución compuesta por dos partes de alcohol y tres partes de acido. ¿Cuánto debe utilizar de cada una?
2) La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $ 6 y el costo fijo de $ 80000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el número de artículos que deben venderse para obtener una utilidad de $ 60000.
3) Sport produce ropa deportiva para damas y planea vender su línea de pantalones a las tiendas minoristas. El costo para ellos será de $33 por pantalón. Para mayor comodidad del minorista. Sport colocará una etiqueta con el precio en cada par de pantalones. ¿Qué cantidad debe ser impresa en las etiquetas de modo que el minorista pueda reducir este precio en un 20% durante una venta y aun obtener una ganancia de 15% sobre el costo?
4) Se invirtió un total de $ 10000 en acciones de dos compañías, A y B. Al final del primer
año, A y B tuvieron rendimientos de 6% y 234
%, respectivamente, sobre las inversiones
originales, ¿Cuál fue la cantidad original asignada a cada empresa, si la utilidad total fue de $588,75?
5) El consejo de administración de Maven Corporation acuerda redimir algunos de sus bonos en dos años. Para entonces se requerirán $ 1102500. Suponga que en la actualidad la compañía reserva $ 1000000. ¿A qué tasa de interés compuesto anual, capitalizado anualmente, debe invertirse este dinero a fin de que su valor futuro sea suficiente para redimir los bonos?
6) Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos jardines de Parklane, que comprende 96 departamentos (pisos). Si la renta es de $550 mensuales, todos los departamentos se ocupan. Sin embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. La compañía requiere recibir $54.600 mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la renta mensual de cada departamento?
7) Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120000 al mes y el alimento se vende a $134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000?
8) La gerencia de la compañía Smith quiere saber cuántas unidades de su producto necesita vender para obtener una utilidad de $ 150000. Se cuenta con los siguientes datos: precio unitario de venta, $50; costo variable por unidad $ 25; costo fijo total $ 500000. A partir de esta información, determine las unidades que deben venderse
9) Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso
total por las ventas en dólares, será 100 q . Si el costo variable por unidad es de $2 y el
costo fijo de $1200, encuentre los valores de q de manera que los ingresos sean iguales a los costos.
10) Un fabricante de juegos de video, vende cada copia en $21.95. El costo de fabricación de cada copia es de $14,92. Los costos fijos mensuales son de $8500. Durante el primer mes de ventas de un juego nuevo, ¿cuántos debe vender para llegar al punto de equilibrio(esto es para que el ingreso total sea igual al costo total)
11) Suponga que los clientes compraran q unidades de un producto si el precio es de 80 − q( )4
dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso por ventas sea de $400?
12) Si se compra un artículo para utilizarlo en un negocio, al preparar la declaración de impuestos puede repartirse su costo proporcionalmente a lo largo de la vida útil del articulo. Esto es llamado depreciación. La depreciación lineal es un método en el que la depreciación anual es calculada dividiendo el costo del articulo menos su valor estimado de desecho, entre su vida útil. Suponga que el costo es C dólares, la vida útil N años y que no existe el valor de desecho. Entonces el valor V (en dólares) del articulo al final de n años esta dado por
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
NnCV 1
Suponga que se compro mobiliario nuevo para una oficina por un valor de $ 1600, con una vida útil de8 años y no tiene valor de desecho. ¿Después de cuantos años tendrá un valor de $ 1000?
13) Una vendedora gana un salario base de $ 600 por mes más una comisión de un 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 1,5 horas realizar ventas por un valor de $ 100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $ 2000?.
14) Un comerciante de ganado compro 1000 reses a $ 150 cada una. Vendió 400 de ellas obteniendo una ganancia de 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser de un 30%?
15) La Señora Alicia va a invertir $ 70000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $ 5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8,5% de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $ 5000?
16) Una compañía vitivinícola requiere producir 10000 litros de jerez encabezando vino blanco, que tiene un contenido de alcohol de un 10%, con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol del 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado.
17) Un hombre invierte al 8% el doble de la cantidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $ 840.¿Cuanto invirtió a cada tasa?
18) Un colegio destina $ 60000 a un fondo a fin de obtener ingresos anuales de $ 5000 para becas. Parte de esto se destinara a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10,5 %. ¿Cuánto deberían invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?
19) Durante una venta de liquidación un artículo tiene marcada una rebaja de un 20%. Si su precio de liquidación es de $ 4000. ¿Cuál era su recio original?
20) Un comerciante ofrece 30% de descuento sobre el precio marcado de un artículo, a aún así obtiene una ganancia del 10%. S al comerciante le cuesta $ 35 el articulo ¿Cuál debe ser el precio marcado?
21) A un fabricante le cuesta $ 2000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de $ 0,60 por artículo, y si el fabricante puede vender cada artículo en $ 0,90, encuentre cuantos artículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $ 1000.
22) Un vendedor de autos usados compro dos automóviles por $ 2900. Vendió uno con una ganancia de 10% y otro con una pérdida de 5% y aun obtuvo una ganancia de $ 185 en la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil.
23) La eficiencia de un proceso administrativo, se define como la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Al ingresar 6.000 operaciones y salir 4500 de ellas. ¿Cuál es la razón de eficiencia?
24) Un índice de confianza de inversión se define como la razón entre el tiempo en meses, hasta el primer retorno de la inversión y el monto en dólares asignado a ella. (IC=t/mi). Si en una instancia (IC= 0,50) y t se triplica, mi se aumenta al doble. ¿Cuál es la nueva razón?.
25) En una empresa trabajan 84 personas. Si hay 21 mujeres. ¿Cuál es la razón inversa entre el número de mujeres y de hombres?
26) En la revista Estrategia, se ve un gráfico de barras que indica las compras de refrigeradores durante los meses de Junio y Julio de este año, por cada centímetro se venden 800 refrigeradores. Si en junio la barra tiene 9,6 cm. y en julio 5,5 cm., ¿Cuál es la venta real de refrigeradores en estos meses?
27) Se efectúa una partición de los bienes de una cierta sociedad. Se deja explícita referencia que la diferencia entre los socios es de $750.000. Si se sabe que la razón en que dichos bienes son asignados es de 3:5. Determine la cantidad de dinero que corresponde a cada uno de ellos.
28) En un control, motivo de un ahorro de recursos, se determinó que un equipo quedó encendido, desde las 20:00 hrs. del día Miércoles hasta las 8:00 hrs del día Jueves siguiente. ¿Cuál será el costo y energía utilizada, si dicho equipo tiene consumo de 85 Kilowatt/hr tiene un valor de $60?.
29) Se está proyectando la construcción de un cinematógrafo, las dimensiones entre el largo y
el ancho de la sala es de 10:18. Se considera que cada espectador debe ocupar 0,55 2mpara estar cómodo. Si la sala tiene un ancho de 20 m. ¿Cuál será la capacidad de espectadores en un cine?
30) Se desea adquirir un terreno. Hay un sitio cuyo fondo es de 7 m. Se desconoce la dimensión del frente, pero la razón entre sus dimensiones es de 4:6 respectivamente. Si el metro cuadrado vale 300 UF. Determinar cuánto se pagará por el terreno.
31) Una empresa comercializadora de ropa usada importada, recibe dos fardos de ropa usada, los que son calificados, de primera categoría y de segunda categoría. Se disponen ofertas por: dos artículos de primera y tres de segunda por $28.800. Si los precios de los artículos, están en razón de 3:4 y el valor de los artículos de cada categoría es igual. ¿Cuál es el valor de los artículos de cada clase en esta oferta?
32) En un examen de selección de personal, para operadores de un específico sistema de información, se aplicó el test de Dr. Jhonson. Un postulante usando el artefacto para operaciones pudo ejecutar 8 operaciones en 20 seg. ¿Cuál es la razón correspondiente de dichas operaciones por minuto?.
33) La señora Rodríguez tiene un capital de US$ 3.500.‐ Parte de él lo invierte en un negocio que paga 8% de interés y el resto lo invierte en otro negocio que produce 12% de interés . ¿Qué cantidad debe invertir en cada negocio para obtener una ganancia del 11% sobre todo su dinero después de un año?
34) Un almacén que está en liquidación anuncia que todos los precios fueron rebajados en un 30%. Si el precio de un artículo es de US$3.395 ¿Cuánto valía este artículo antes de la liquidación
35) En una heladería producen diariamente 2.150 helados de dos sabores: fresa y chocolate. Los helados de fresa se venden a US$1,2 cada uno y los de chocolates a US$0,9. Si los ingresos en un día fueron US$2.316. ¿Cuántos helados de cada sabor se vendieron?
36) El costo de producir un traje de caballero es US$288 y depende de la materia prima y la mano de obra. Si el costo de la materia prima es el triple del costo de la mano de obra ¿Cuál es el costo de cada uno?
37) Una compañía pagó un total de US$4.300 por pasar un comercial en dos canales de televisión diferentes. Un canal cobró US$700 más que el otro. ¿Cuánto cobró cada uno de los canales por pasar el comercial?
38) Si a un cierto número se le agrega el triple del número disminuido en cuatro, es igual al doble del número aumentado en 20. ¿Cuál es ese número?
39) Si un número aumentado en ocho es multiplicado por el mismo número disminuido en cuatro, resulta el número al cuadrado aumentado en veinte. ¿Cuál es ese número?
40) Si un número aumentado en seis es elevado al cuadrado, da como resultado el número multiplicado por el número aumentado en tres. ¿Cuál es ese número?
Guía Nº 36
APLICACIONES de INECUACIONES en IR (Prof. Leonardo Ahumada)
1) Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos son de $70000. Si el precio de venta de un calentador es de $35, ¿cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades?
2) Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una maquina excavadora. Si fuese a rentar la maquina, el costo de la renta seria de $3000 mensuales (sobre la base de un año) y el costo diario (gas, aceite y operador) seria de $180 por cada dia que la maquina se utilice. Si fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serian de $20000 uy los costos diarios der operación y mantenimiento serian de $230 por cada día que la maquina se utiliza. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que utilizar el constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?
3) La razon de circulante de un negocio es el cociente de sus activos circulantes (como efectivo, inventario de mercaderías y cuentas por cobrar), sobre sus pasivos circulantes (como préstamos a corto plazo e impuestos).
Después de consultar con el controlador, el presidente de la compañía Ace Sports Equipment decide pedir un préstamo a corto plazo para aumentar su inventario. La compañía tiene activos circulantes de $350000 y pasivos de $ 80000. ¿Cuánto puede pedir prestado si quiere que su razón de circulante no sea menor que 2,5? (Nota: los fondos recibidos se consideran como activo circulante y el préstamo como pasivo circulante?
4) Una Editorial determina que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1,50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $1,40 por revista. El ingreso por publicidad es 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10000 ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben venderse de modo que se obtengan utilidades?
5) La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.
6) Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $2,5 y el de mano de obra de $4. El costo fijo constante, sin importar el volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades.
7) Una fábrica de camisetas produce N prendas con un costo de mano de obra total (en dólares) de 1,3N y un costo total por material de 0,4N. Los costos fijos constantes de la planta son de $6500. Si cada camiseta se vende a $ 3,50, ¿cuántas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?
8) El costo unitario de publicación de una revista es de $0,55. Cada revista se vende al distribuidor en $0,60 y la cantidad que se recibe por publicidad es el 10% de la cantidad recibida por todas las revistas vendidas por arriba de las 30000. Encuentre el número mínimo de revistas que pueden publicarse sin pérdida (esto es tal que la utilidad sea mayor o igual a cero) suponiendo que se venderán el 90% de los ejemplares.
9) Suponga que los consumidores compraran q unidades de un producto al precio de 100q
+1
dólares por cada una. ¿Cuál es el número mínimo que deben venderse para que el ingreso por ventas sea mayor que $5000?
10) Suponga que una compañía le ofrece un puesto en ventas en el que usted elige entre dos métodos para determinar su salario anual. Un método paga $35000 más un bono del 3% sobre sus ventas del año. El otro método paga una comisión directa del 5% sobre sus ventas. ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor seleccionar el primer método?
11) El analista de una empresa ha determinado que el costo de producir y vender x unidades de cierto producto es C = 20x +1000. El ingreso para ese producto es R = 70x . Encuentre los valores de x para los que la empresa alcanzara el punto de equilibrio o tendrá una ganancia por el producto.
12) Un hombre tiene $7000 para invertir. Quiere invertir parte al 8% y el resto al 10%, ¿Cuál es el monto máximo que debe invertir al 8% si desea un ingreso anual por interés de al menos $600 anuales?.
13) La señora K tiene $ 5000 que quiere invertir, parte al 6% y el resto al 8%. Si ella desea un ingreso anual por intereses de al menos $370, ¿cuál es la cantidad mínima que debe invertir al 8%?
14) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12000 al mes y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?
15) Un fabricante de relojes puede vender todas las unidades al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $15000 y costos por unidad de $100 en materiales y mano de obra. Determine el numero de radios que debería fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $ 1000
16) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $2,50 cada una. La fabricación de las correas por la empresa incrementara sus costos fijos en $ 1500 al mes, pero solo le costará $ 1,70 fabricar cada correa. ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?
17) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $2,75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una maquina empacadora. Su instalación incrementara los costos fijos de la empresa en $2000 al mes y el costo de empaquetamiento seria de $1,50 por unidad. ¿Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación de la maquina empacadora fuera rentable?
18) Las ventas mensuales x de cierto articulo cuando su precio es p dólares están dadas por p = 200 − 3x . El costo de producir x unidades al mes del artículo es C = 650+ 5x( ) dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 220 dólares?
19) Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $ 0,75 en el precio el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el precio máximo que puede cobrar de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
20) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto articulo pueden venderse al mes en el mercado, con p = 600 −5x ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $18000?
21) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p = 200 − x . ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $ 9900?
22) Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno. Porcada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos por lo menos de $ 300000?
