Isometrie

Una applicazione F:VW fra i due spazi euclidei V e W unisometria se conserva le distanze, ovvero F v F v

= v v

per ogni

v1,v2V.

Una isometria lineare una isometria che anche applicazione lineare

Una applicazione lineare f:V W unisometria se e solo se preserva la norma dei vettori, ovvero f v

= v

per ogni vV.

Per una matrice reale quadrata U di ordine n sono equivalenti:

1. U ortogonale

2. Lapplicazione lineare rappresentata da U conserva la norma (standard) dei vettori

in Rn

3. Lapplicazione lineare rappresentata da U conserva il prodotto scalare (standard) in

Rn

Una matrice ortogonale rappresenta una isometria di Rn

Ogni autovalore reale di una matrice ortogonale U 1 o -1

Sia un autovalore reale di U, poich U ortogonale x = Ux = x = x .

Isometrie lineari in R3

Una isometria lineare in R3 rappresentata da una matrice ortogonale U di ordine 3.

Rispetto ad una opportuna base ortonormale di R3 una isometria lineare f di R3 pu

essere rappresentata da una delle seguenti matrici:

A=

1 0 0

0 cos sen

0 sen cos

, B=

1 0 0

0 cos sen

0 sen cos

con 1=1

Ogni matrice di ordine 3 ha almeno un autovalore reale, quindi ogni matrice ortogonale ha almeno un autovalore1=1.

Sia v1 un autovettore associato a 1 (che possiamo supporre di norma 1). Estendiamo v1 ad una base ortonormale B={v1 ,v2 ,v3} di R

3 . Rispetto a questa base f(v1)=[1,0,0]T. Inoltre f(v2) e f(v3), dato che f conserva norma e prodotto scalare, sono versori fra loro ortogonali ed ortogonali a f(v1). Quindi le matrici che rappresentano lisometria f sono

del tipo indicato.

La matrice A ha determinante 1 e rappresenta una rotazione di un angolo attorno alla retta generata da v1composta con un cambiamento di direzione di v1 se 1 =-1.

La matrice B ha determinante -1 e tre autovalori reali che sono 1 , 1, -1, quindi ha un autovalore doppio ed uno semplice. Si verifica facilmente che lautovalore doppio sempre regolare, ed lautospazio di dimensione 2 (piano per

O) associato allautovalore doppio ortogonale allautospazio dellautovalore semplice (retta per O). Se lautovalore

doppio 1, la isometria rappresenta dunque la simmetria ortogonale rispetto al piano rappresentato dallautospazio

dellautovalore 1 (calcolato rispetto alla matrice B, e quindi rispetto alla base B). Se lautovalore doppio -1 la

isometria rappresenta invece la simmetria ortogonale rispetto alla retta rappresentata dallautospazio dellautovalore

1 (calcolato rispetto alla matrice B, e quindi rispetto alla base B).

Complemento ortogonale

Sia H un sottospazio di uno spazio euclideo V

H ={v|v ortogonale ad ogni vettore di H}

(H ) =H

H H={0}

Se H ha dimensione finita, per ogni vV si ha v=vH+v con vHH, v

H

V somma diretta di H e H e H si chiama complemento ortogonale di H.

Se V ha dimensione finita n, dim H =n-dim H

Se V ha dimensione finita n, sia {b1,b2,,bh} una base ortogonale di H e

sia B={b1,b2,,bh, bh+1,,bn} il suo completamento ad una base ortogonale

di V, allora {bh+1,,bn} una base (ortogonale) di H. Quindi se v H

v|B=[x1,x2,..,xh,0,,0]T e se v H v|B=[0,...,0,xh+1,..,xn,]

T.

Matrici di una proiezione ortogonale

Sia H un sottospazio di Rn. La funzione che ad ogni vettore vHassocia la sua proiezione ortogonale vH su H unapplicazione lineare f:Rn Rn.

Se {q1,q2,,qh} una base ortonormale di H, ed A=[q1|q2||qh] la matrice di tipo (n,h) formata dallaccostamento dei vettori della base di H, la matrice P che rappresenta la proiezione ortogonale di Rn su H AAT

Estendiamo {q1,q2,,qh} ad una base ortonormale {q1,q2,,qh,qh+1,,qn} di V e poniamo Q= [q1||qh||qn] =[A|B]. Per ogni vettore v di H si ha Pv=v, quindi ogni vettore di H un autovettore di P associato allautovalore 1, per ogni vettore w di H si ha Pw=0, quindi ogni vettore di H un autovettore di P associato allautovalore 0. Le colonne di Q sono perci una base di autovettori

e P risulta essere simile alla matrice diagonale diag(1,,1,0,,0)=I 0

0 0e la

matrice di passaggio Q, che ortogonale. Allora Q-1PQ=QTAQ=

diag(1,,1,0,,0), da cui P=[A|B]I 0

0 0

A

B

=AAT.

Caratterizzazione delle matrici di proiezione ortogonale

Osserviamo che per ogni matrice reale A si ha ker A= (row A) .

Una matrice reale quadrata P di ordine n la matrice di una

proiezione ortogonale su un sottospazio H di Rn, se e solo se P

idempotente (P2=P) e simmetrica.

Sappiamo che, se P la matrice di una proiezione ortogonale, P=AAT e quindi P

simmetrica. Inoltre per ogni vV, si ha Pv=vH e quindi P2v=PvH =vH=Pv da cui

P2=P

Sia P idempotente e simmetrica e sia H=col(P), allora PvH, essendo Pv una

combinazione lineare delle colonne di P. Inoltre P(v-Pv)=0 per lidempotenza di

P e quindi v-Pvker P=ker (PT). Ma ker (PT)=(col P), quindi v-PvH

Se P una matrice idempotente e ortogonale la matrice della

proiezione di Rn sul sottospazio H=col P, inoltre H=ker P.