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8/15/2019 Algebra de Proposiciones (1)
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Matemáticas DiscretasMatemáticas Discretas
FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONESFACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONES
Docente: Carlos A. Ruiz De La Cruz Melo
Correo: [email protected]
Algebra de Proposiciones
8/15/2019 Algebra de Proposiciones (1)
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple las
siguientes leyes:
1. Ley de clausura.
Si p y q son proposiciones, p ν q, p Λ
q son también proposiciones.
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Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple las
siguientes leyes:
LGEBR DE PROPOSICIONES
2. Leyes de idempotencia.
Idempotencia significa igual valor
Una proposición o la mismaproposición equivale a la mismaproposición.
Una proposición y la mismaproposición equivale a la mismaproposición
p ν p ≡ p
p Λ p p.≡
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LGEBR DE PROPOSICIONES
3. Leyes conmutativas.
onmutar significa cambiar delugar u orden:
observar que las variables proposicionales
p y q cambiar de lugar.
observar que las variables proposicionales
p y q cambiar de lugar.
p ν q ≡ q ν p
p Λ q ≡ q Λ p
Sean p, q y r proposiciones
cualesquiera, se cumple las
siguientes leyes:
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposiciones
cualesquiera, se cumple las
siguientes leyes:
4. Leyes asociativas.
!ara asociar los conectivos lógicosdeben de ser iguales:
asociamos la segunda proposición con la
tercera proposición.
asociamos la primera proposición con la
segunda proposición.
p ν q ν r ≡ p ν (q ν r)
p Λ q Λ r ≡ (p Λ q) Λ r
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LGEBR DE PROPOSICIONES
p ν q ν r ≡ p ν (q ν r)
p q r p ν q ν r ≡ p ν (q ν r)
!
!
! !
!
! !
! !
! ! ! ! !
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposiciones
cualesquiera, se cumple las
siguientes leyes:
5. Leyes distributivas.
!ara aplicar la ley los operadores de la
proposición, deben de ser diferentes:
p ν "q Λ r# " "p ν q# Λ "p ν r#
p Λ "q ν r# " "p Λ q# ν "p Λ r#
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LGEBR DE PROPOSICIONES
p ν "q Λ r# " "p ν q# Λ "p ν r#
p q r p ν (q Λ r) ≡ (p ν q) Λ (p ν r)
!
!
! !
!
! ! ! !
! ! ! !
! ! ! ! !
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposiciones
cualesquiera, se cumple las
siguientes leyes:
. Ley de doble ne!aci"n.
$a negación de la negación equivale a
la misma proposición.#(# p) ≡ p
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposiciones
cualesquiera, se cumple las
siguientes leyes:!ara # "p ν q# %p Λ %q≡
se niega la primera proposición"p#
se cambia ν por Λse niega la segundaproposición.
$. Leyes de %or!an.
#"p ν q# %p Λ %q≡
# "p Λ q# %p ν %q≡
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LGEBR DE PROPOSICIONES
La primera proposición# tiene
su contrario dentro delpar$ntesis# la proposición
contraria se elimina y se copia
la segunda proposición.
p % &p ' q( " p
p ' &p % q( " p
p % &)p ' q( " p % q
p v &)p % q( " p v q
p % &p ' q( " pLa primera proposición se
repite dentro del par$ntesis#
el resultado es igual a la
proposición que se repite.
p % &)p ' q( " p % q
&. Leyes de 'bsorci"n
Sean p, q y r proposiciones cualesquiera,
se cumple las siguientes leyes:
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
*( se niega la primera proposición &p(+( se cambia por v
,( se copia la segunda proposición
-( el segundo operador queda igual
8. Ley condicional.
p q " )p ' q
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La primera proposición implica la
segunda proposición y la segunda la
segunda proposición implica la primera
proposición
9. Ley Bicondicional.
p↔q " p q % q p
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
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1. Leyes de neutro.
Una proposición y falsoequivale a la proposición
Una proposición y verdaderoequivale a esa proposición
p v &o " p.
p Λ 'o " p
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
LGEBR DE PROPOSICIONES
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11. Ley inversa.
Una proposición o su negaciónequivale a verdadero
Una proposición y su negaciónequivale a falso.
p ν %p " 'o.
p Λ %p " &o
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
LGEBR DE PROPOSICIONES
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12. Ley de identidad
'erdadero y verdadero equivale averdadero
falso o falso equivale a falso
'o Λ 'o " 'o
&o ν &o " &o
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
LGEBR DE PROPOSICIONES
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13. Ley de denominaci"n
p v 'o " 'o
p Λ &o " &o
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
LGEBR DE PROPOSICIONES
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q , r y s proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
&/ 0 1( &R 0 2( &/ R(3 &1 2(∧ ∧ ∨ ⇒ ∨
14. ilema constructivo
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q , r y s proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
&p 0 q( &r 0 s( &4q 4s(3 &4p 4r(∧ ∧ ∨ ⇒ ∨
15. ilema destructivo
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
1. *ilo!ismo +ipottico
&p 0 q( &q 0 r(3 &p 0 r(∧ ⇒
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LGEBR DE PROPOSICIONES
Sean p, q y r proposicionescualesquiera, se cumple lassiguientes leyes:
1. *ilo!ismo isyuntivo
&p q( 4p3 q∨ ∧ ⇒
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#(p q) ⇔#p #q
*. si )&p ∨ q( es verdad# entonces p ∨ q es
5also
+. luego p y q son# ambas# 5alsas
,. y# por lo tanto# )p es verdad y )q esverdad
-. Consecuentemente# )p ∧ )q es verdad
(emostrar las $eyes de )organ
Solución
EJERCICIO 1
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#(p q)⇔
#p #q
(emostrar las $eyes de )organ
Solución
*. si )&p ∧ q( es verdad# entonces p ∧ q
es 5also
+. luego una de las dos proposiciones
6a de ser 5alsa y su negación verdad
,. luego )p ∨)q es verdad encualquiera de los casos.
EJERCICIO 2
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Simplifique:
# p (p Λ q) Solución:
% p"p Λ q# ley condicional: pq " %p ν q
" % "%p# ν "p Λ q# ley doble negación: %"%p# " p" p ν "p Λ q# ley de absorción: p ν "p Λ q# " p" p
EJERCICIO 3
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EJERCICIO 3
p q # p (p Λ q) ≡ p
!
! ! !
! ! ! !
# p (p Λ q)
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Simplifique:"pq# Λ q
Solución:
"p q# Λ q ley condicional: p q " %p ν q
" "% p ν q# Λ q ley de absorción p Λ "p v q# " p
" q
EJERCICIO 4
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EJERCICIO 5
Estoy gordo o delgado. Ciertaente no estoy delgado.
p : 7stoy gordo.
q : 7stoy delgado
7ntonces#
p q : 7stoy gordo o delgado.∨4q : 8o estoy delgado.
7l argumento ser9a# &p q( 4q.∨ ∧
/or el silogismo disyuntivo# &p q( 4q p∨ ∧ ⇒
y la regla de in5erencia es
p q∨4q
∴ p
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EJERCICIO 6
!i corro" e q#edare sin aliento. $o estoy sin aliento
2ean
p : Corro.
q : 7stoy sin aliento
7ntonces# el argumento seria: &p 0 q( 4q∧
y por modus tollens# &p 0 q( 4q 4p∧ ⇒
siendo la regla de in5erencia#
p 0 q4q
∴ 4p
2i corro# me quedare sin aliento.8o estoy sin aliento.
∴ 8o 6e corrido.
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El cielo a%#l e pone contento y el cielo gris e pone triste. El cielo estaa%#l o gris
EJERCICIO 7
2ean
p : 7l cielo esta azul.
q : 7l cielo esta gris.
r : 7stoy contento.
s : 7stoy triste.
7l argumento seria: &p 0 r( &q 0 s(3 &p q(∧ ∧ ∨
/or el dilema constructivo# &p 0 r( &q 0 s(3 &p q( &r s(∧ ∧ ∨ ⇒ ∨
siendo la regla de in5erencia#
p 0 rq 0 s
p q∨
∴ r s∨
7l cielo azul me pone contento.7l cielo gris me pone triste.
7l cielo esta azul o gris.
∴ 7stoy contento o triste.
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DEMOSTRACIONES
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EJERCICIO 8
p q∧
p & r '''''
∴ r q∧
&q p( &p 0 r( Conmutatividad de ;∧ ∧ ∧
q p &p 0 r(3 Asociatividad de ;∧ ∧ ∧
q r Modus ponens;∧
r q Conmutatividad de ;∧ ∧
eostracin
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EJERCICIO 9
p q∨
p & r ''''''
∴ r q∨
&4q 0 p( &p 0 r( ley del condicional∧ p q " )p ' q ;
4q 0 r 2ilogismo 6ipot$tico &p 0 q( &q 0 r(3 &p 0 r(∧ ⇒ ;
44q r ley del condicional∨ p
q " )p ' q ;
q r Doble negación;∨
r q Conmutatividad de ;∨ ∨
eostracin
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EJERCICIO 10
2i ayer 5ue lunes# 6oy es martes. 2i 6oy es martes# ma<ana ser=
mi$rcoles. Ayer 5ue lunes. /or tanto# ma<ana ser= mi$rcoles.
2ean
p: ayer 5ue lunes
q:6oy es martes
r: ser= mi$rcoles
* p q
+ qr
, p
>>>>>>
∴ r
Demostración
- q Modus ponens *# ,;
? r Modus ponens -# +;
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7n la solución de la mayor9a de losproblemas algor9tmicos se requiere tomardecisiones en base a evaluaciones deepresiones lógicas que se<alan el caminoalternativo a seguir.
7l tipo de resultado de una estructuraselectiva es lógico &booleano(# es decir
verdadero o 5also.
Las estructuras selectivas se clasi5ican en:
ESTRUCTURA SELECTIVA
Estructura de selección simple ( Si- Fin_si)
Estructura de selección doble ( Si – Sino- Fin_si)Estructura de selección múltiple ( Si anidado En casosea –Fin_caso)
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Est!"t!# $% s%&%""'() s'*+&%, S'-
.')/s'
7vala una epresión lógica y si su resultado esverdadero# se eBecuta una acción determinada. 2usintais es:
!i (e*presion'logica) entoncesAccin (s)
+in'si
La acción puede ser simple &una sola acción( ouna acción compuesta &un conBunto de acciones(
2i la acción es 5alsa no se 6ace nada
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Ps%!$"($' $'##*# $% &!
PSEUDOCDIGO DI GR M DE .LUJO
Acción simple
Si (expresion_logica) entonces Acción
Fin_si
Acción Compuesta
Si (expresion_logica) entonces Acción1 Acción2…… AcciónN
Fin_si
NO SIE!presion_lo"ica
#ccion
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E4%*+&0
,aga el pse#docodigo q#e peritacabiar #n n#ero negati-o a #nn#ero positi-o
nicio entero nroescribir /0ngresar n#ero
1Leer nro!i (nro 2 3) entonces
nro 456nro+in'si.
Escribir nro+in
PSEUDOCDIGO DI GR M
Inicio
Entero: nro
Leer (nro)
Escribir (nro)
Fin
$% S&nro<0
nro -1*nro
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include iostream.6E
include stdlib.6Eint main&(
int nroF
coutGHn ingresar numero: GF
cinEEnroF
i5&nroI(
nroJK*nroF
coutGHn nroJGnroGHnGF
getc6&(F
return IF
;
PSEUDOCDIGO PROGR M
0nicioentero nro
escribir /0ngresar n#ero1Leer nro!i (nro 2 3) entonces
nro 456nro+in'si.
Escribir nro+in
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Estructura de seecci!" d#$e% Si & Si"#&Fi"'si
2e evala la epresión lógica# si esteresultado es verdadero se eBecuta la accion*#si el resultado es 5also se eBecuta la accion+.2u sintais es la siguiente:
2i &epresión>lógica( entonces
accion* 2ino
accion+
!in>si
La acción* o accion+# puede ser simple &unasola acción( o una acción compuesta &un
conBunto de acciones(
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0nicioEntero nroLeer (nro)!i (nro 7od 3 ) entonces
Escribir 1par/ !ino
Escribir 1ipar 1+in'si
+in
E4%*+&0
aga el pseudocodigo para
determinar si un nmero es par o
impar
Ps%!$"($' $'##*# $% &!
Inicio
Fin
$% S&nro Mod 2 = 0
Escribir“!r"
Escribir“i#$!r"
Leer (nro)
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include iostream.6E
include stdlib.6E
int main&(
int nroF
coutGHn ingresar numero: GF cinEEnroF
i5&&nro N +(JJI(
coutGHn es parHnGF
else
coutGHn es imparHnGF
system&G/AO27G(F return IF
;
Pnicio7ntero: nroLeer &nro(2i &nro Mod + J I ( entonces
7scribir Qpar 2ino
7scribir Qimpar Q!in>si
!in
Ps%!$"($' +#*#
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Est!"t!# $% s%&%""'() *&t'+&%,
S'- #)'$#$
:n !i anidado es #na sentencia!i q#e esta contenido dentro deotro !i o !ino. !# sinta*is es lasig#iente
2i &epresión>lógica*( entonces
accion* 2ino
2i&epresión>lógica+(entonces
accion+ 2ino
accion,!in>si
!in>si
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E%*+&
Escribir #n pse#docdigo" q#e lea #nn;ero y deterine si es positi-o"negati-o o cero.
Pnicio
entero: nrocadena: mescribir QPngresar numero:Leer nro2i &nro J I ( entonces
m QCero2ino
2i &nroEI( entonces m Q/ositivo 2ino m Q8egativo!in>si
!in>si7scribir nro# m
!in
Inicio
Fin
S&
nro %0
# "ne&!ti'o"#
"$ositi'o"
nro =0
# cero
Escribirnro #
Escribir“in&res!r n#ero"
Leer (nro)
$%
$% S&
Ps%!$0"($'10 2 $'#1#*# $% 3&!40
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C!#& s%'# %& "($'10 %) C8
Pnicio
entero: nro
cadena: m
escribir QPngresar numero:
Leer nro
2i &nro J I ( entonces
m QCero
2ino2i &nroEI( entonces
m Q/ositivo
2ino
m Q8egativo
!in>si
!in>si
7scribir nro# m!in
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Est!"t!# s%&%"t'# *&t'+&%,
E) "#s s%#-.')/"#s
/ermite elegir un camino entre los Qn posibles#usando para ello una variable denominada selector .7l selector se compara con una lista de constantes
enteras o de car=cter C*# C+# ...# Cn para cada una
de las cuales 6ay una acción *# +# ...# 8
En caso sea &selector( <acer c*: Acción *
c+: Acción +
.
cn: Acción 8
!ino Accion c
+in'Caso !i el selector coincide con #na constantede la lista" se e=ec#ta la accincorrespondiente a dic<a constante.
!i el selector no coincide con ning#naconstante de la lista" se e=ec#ta la accinc correspondiente al !0$>.
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7n un centro de ense<anza se 6an
incrementado las pensiones de acuerdo
a la siguiente tabla:
7laborar un pseudocódigo que permita
calcular el nuevo monto de la pensión
de un alumno que se encuentra en una
categor9a determinada.
CA?E@>A 0$CE7E$?>()
A S
T ?
C -
E4%*+&0
Pnicio7ntero: sU IReal: pension# nueva/ension7scribir &QPngresar pension:(
Leer &pension(7scribir &QPngresar categoria:(Leer &cat(7n caso sea &cat( 6acer
VAW : inc I.IS pensionVTW : inc I.I? pensionVCW : inc I.I- pension
2ino
7scribir &Q!uera de rango(sU *!in>Caso2i &sU J I( entonces nueva/ension pension X inc 7scribir &Qpension Q# nueva/ension(!in>si
!in
Ps%!$0"($'10 2
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Pnicio7ntero: sU IReal: pension# nueva/ensionLeer &pension(7scribir &QPngresar categoria:(Leer &cat(7n caso sea &cat( 6acer
VAW : inc I.IS pensionVTW : inc I.I? pensionVCW : inc I.I- pension
2ino7scribir &Q!uera de rango(sU *
!in>Caso2i &sU J I( entonces nueva/ension pension X inc 7scribir &Qpension Q# nueva/ension(
!in>si!in
Ps%!$0"($'10 2$'#1#*# $% 3&!40
S&nro DA
3.3F6pension
Escribir Pension" n#e-a Pension
Leer (cat)
$%
S& $%
3.3G6pension $%
sH
5
sH 3
n#e-aPension
pensionIinc
FI
II+I,
sH
3
nro DB
nro DC
3.3J6pension
S&
S&
$%
8/15/2019 Algebra de Proposiciones (1)
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include conio.cE
include Giostream.6G
int main&(
int sUJIF c6ar catF
5loat pension# nueva/ension#incF
coutGHn ingresar pension: GF cinEEpensionF
coutGHn ingresar categoria: GF
cinEEcatF
sUitc6&cat(
case YAY:incJI.I?pensionF breaZF
case YTY:incJI.I?pensionFbreaZF case YCY:incJI.I-pensionFbreaZF
de5ault:
coutGHn 5uera de rangoGF
sUJ*F
;
i5&sUJJI(
nueva/ensionJpensionXincF coutGHn pensionJGpensionF
coutGHn nueva/ensionJGnueva/ensionGHnGF
;
system&GpauseG(F
return IF
;
PROGRAMA
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E) "#s s%# *&t'+&%
2e presenta de dos 5ormas:
A( Cuando mas de una alternativa
debe eBecutar la misma acción.
T( Cuando se presentan
selecciones basadas en dos o
mas niveles.
E%*+&
Mostrar la estación al cual
pertenece# si se ingresa el
numero de mes:
erano: enero# 5ebrero# marzo
[to<o: abril# mayo# BunioPnvierno: Bulio# agosto# setiembre
/rimavera: octubre# noviembre#
diciembre
Pnicio7ntero: nroMesLeer &nroMes(7n caso sea &nroMes( 6acer
*: +: ,: 7scribir&Qerano(-: ?: S: 7scribir&Q[to<o(\: ]: ^: 7scribir&QPnvierno(*I: **: *+: 7scribir&Q/rimavera(
2ino7scribir &Q!uera de rango(
!in>Caso!in
include conio.cE
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include Giostream.6G
int main&(
int nroMesF
coutGHn Png 8um de mes: GF
cinEEnroMesF
sUitc6&nroMes( case *:
case +:
case ,:coutGHn veranoHnGF breaZF
case -:
case ?:
case S:coutGHn oto<oHnGFbreaZF case \:
case ]:
case ^:coutGHn inviernoHnGFbreaZF
case *I:
case **:
case *+:coutGHn primaveraHnGFbreaZF
de5ault: coutGHn 5uera de rangoGF
;
system&GpauseG(F
return IF
;
PROGR M
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C!#)$ s% +%s%)t#) s%&%""')%s :#s#$#s
%) $s *#s )'%&%s;
e=eplo /seudocódigo para calcular la pensión
que tiene que pagar un alumno de uninstituto cuya cuota de matricula tiene unporcentaBe de descuento que se estableceen la siguiente tabla y esta en 5unción delcolegio de procedencia del alumno y delas tres categor9as que eiste en elinstituto. Considere que la pensión esta
eonerada de impuesto.
Colegio deprocedencia categorKa A T C
8acional ?I -I ,I
/articular *? +I +?
Pensin Colegio CategorKa esc#ento Pensininal
*III 8acional A *IIII.?IJ?II ?II
*?II /articular T *?III.+IJ,II *+II
En la sig#iente tabla se#estran res#ltados paradierentes -alores de las-ariables
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Pnicio
real: cuota# dscto# importe I
caracter: colegio# categor9a entero: sU I
Leer &colegio(
7scribir &QPngresar categor9a &A# T# C(:(
Leer &categoria(
7scribir &QPngresar cuota:(
Leer &cuota(
7n caso sea &colegio( 6acer
V8W: 7n caso sea &categoria( 6acer VAW : dscto I.?I cuota
VTW : dscto I.-I cuota
VCW : dscto I.,I cuota
2ino
7scribir &Q[pción no contemplada(
sU *
!in>caso
V/W: 7n caso sea &categoria( 6acer
VAW : dscto
I.+? cuotaVTW : dscto I.+I cuota
VCW : dscto I.*? cuota
2ino
7scribir &Q[pción no contemplada(
sU *
!in>caso
2ino
7scribir &Q[pción no contemplada( sU *
!in>caso
2i &sU J I( entonces
importe cuota _ dscto
7scribir&Q7l importe a pagar es: # importe(
!in>si
!in
Ps%!$"$'
C!#& s%'# %& "($'10 %) C8
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*. +scriba un pseudocódigo lea como dato el sueldo de un trabaador, apliqueun aumento del *- si su sueldo es inferior a -// y */ en caso
contrario. Imprima el nuevo sueldo del trabaador.
0. +scriba un pseudocódigo que calcule el total a pagar por la compra decamisas. Si se compran cinco camisas o m=s se aplica un descuento del0- sobre el total de la compra, sino se aplica un descuento del */.
1. +n una tienda se reali2an descuentos en las compras en función delimporte total de dic3as compras. Se desea calcular el importe que se cobraa un cliente, teniendo en cuenta los siguientes supuestos:
Si el importe total de la compra es menor de 0// soles no 3aydescuentos.
Si el importe total de la compra est' comprendido entre 0// y 4// se3ace un descuento del */ Si el importe total de la compra es mayor de 4// se 3ace un
descuento del 0/.
Se pide mostrar el nombre del cliente, el importe total, el descuento yel importe a cobrar a un cliente cualquiera
EJERCICIOS