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http://146.83.190.52/matematicas/varios/victor Prof: Victor Henriquez Rojas
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANADEPARTAMENTO DE MATEMATICA
TALLER : ALGEBRA MATERIAS : ALGEBRA DE FUNCIONES__________________________________________________________ Sea entonces ( sonY ‘ Ò‘ ‘ÐEß Ñ œ 0Î0 À E ß E © ß 0 „ 1Ñà Ð0 † 1Ñà Ð0 À 1ј ™
también funciones de definidas por :E Ò‘
a)
Ð0 „ 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ „ 1ÐBÑ,Ñ Ð0 † 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ † 1ÐBÑ
-Ñ Ð0 À 1ÑÐBÑ œ ß -981ÐBÑ Á !0ÐBÑ1ÐBÑ
Ejercicios resueltos:
Dadas las funciones reales :
0ÐBÑ œ B $B " à 1ÐBÑ œ à 2ÐBÑ œ B # # B$ $$B% B
determinar:
a) Ð0 1ÑÐBÑ
solución: Ð0 1ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ 1ÐBÑ œ B $B " œ# B$ $B "$B "'B"
$B% $B%
$ #
a ("Ñ 0 1ÑÐ #Ñ œ œ$Ð#Ñ "$Ð#Ñ "'Ð#Ñ"
$Ð#Ñ% #$
$ #
b (Ñ 2Î1ÑÐBÑ
Solución:
(2Î1ÑÐBÑ œ œB ÐB $ÑÐ$B%Ñ
BÐB$Ñ
# $B
B$$B%
$
b ("Ñ 2Î1ÑÐ#Ñ œ œ &&Ð# $ÑÐ$†#%Ñ
#Ð#$Ñ
$
c) Ð0 † 2ÑÐBÑ
Solución:
Ð0 † 2ÑÐBÑ œ 0ÐBÑ † 2ÐBÑ œ ÐB $B "Ñ † ÐB Ñ# # $B
œ B $B B $B *% $ # $B
Ejercicios propuestos:
En los siguientes ejercicios, hallar las funciones indicadas y determine en cada casosu dominio.
+ 0ÐBÑ œ $B #B % à 1ÐBÑ œ $B " à Ð0 1ÑÐBÑ à Ð0 † 1ÑÐBÑ) #
,Ñ 0ÐBÑ œ B à 1ÐBÑ œ B #à Ð0Î1ÑÐBÑ à Ð0 1ÑÐBÑ È-Ñ 0ÐBÑ œ Ð$B )Ñ à 1ÐBÑ œ B à Ð0 † 1ÑÐBÑ à Ð0 1ÑÐBÑ "
#"B
.Ñ 0ÐBÑ œ # # B $ à 1ÐBÑ œ *B % ( à Ð0 † 1ÑÐBÑ È È #
/Ñ 0ÐBÑ œ B "' à 1ÐBÑ œ B % à Ð0‡1ÑÐBÑ à Ð0Î1ÑÐBÑ #
0 Ñ 0ÐBÑ œ $B à 1ÐBÑ œ $B à Ð0 1ÑÐBÑ à Ð0Î1ÑÐBÑ " "
B" B"È È
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Ejercicios propuestos:
"Ñ Ð0 ‰ 1Ñ C Ð1 ‰ 0Ñ Hallar, si es posible, las funciones compuestas , justifique su existencia, ycuando no exista, redefinalas si es posible y halle las compuesta.ß
+Ñ 0ÐBÑ œ " B à 1ÐBÑ œ B "# È ,Ñ 0ÐBÑ œ B B & à 1ÐBÑ œ B %#
-Ñ 0ÐBÑ œ à 1ÐBÑ œ B "#
B"#
.Ñ 0ÐBÑ œ B " à 1ÐBÑ œ B "È #
/Ñ 0ÐBÑ œ à 1ÐBÑ œ" "B B'
0Ñ 0ÐBÑ œ à 1ÐBÑ œ $BBB &#
1Ñ 0ÐBÑ œ B % à 1ÐBÑ œ B %$ È#Ñ 0 C 1 Dada la función compuesta hallar las correspondientes funciones Ð0 ‰ 1Ñ
+Ñ Ð0 ‰ 1Ñ œ ÐB &Ñ ,Ñ Ð0 ‰ 1Ñ œ B B# $ #È$ ( * ) -Ñ Ð0 ‰ 1Ñ œ Ð$B "Ñ Ð$B "Ñ .Ñ Ð0 ‰ 1Ñ œ# "
#B )B#
3) Dadas las funciones compuestas : hallar una expresión para +Ñ 0ÐB "Ñ œ $B #ß 0ÐBÑ Solución: Sea . Entonces,? œ B " B œ ? "Ö
0Ð?Ñ œ $Ð? "Ñ # œ $? &
Por lo tanto, la expresión para es: 0ÐBÑ 0ÐBÑ œ $B &
hallar una expresión para ,Ñ 0ÐB $Ñ œ &B )ß 0ÐBÑ
hallar una expresión para -Ñ 0Ð#B (Ñ œ B $ß 0ÐBÑ#
hallar una expresión para .Ñ 0Ð" #BÑ œ Bß 0ÐBÑ
hallar una expresión para /Ñ 0Ð Ñ œ ß 0ÐBÑ#B $B#$ %
Determine las siguientes funciones compuestas justificando su existencia:
+Ñ Ð0 ‰ 1 ‰ 2Ñ 0ÐBÑ œ $B # 1ÐBÑ œ B 2ÐBÑ œ si ; ; ÐBÑß# B"
&
,Ñ Ð0 ‰ 1 ‰ 2Ñ 0ÐBÑ œ B 1ÐBÑ œ B 2ÐBÑ œ &B $ si ; ; ÐBÑß%È$
-Ñ Ð0 ‰ 1 ‰ 2Ñ ß 0ÐBÑ œ B 1ÐBÑ œ #B & 2ÐBÑ œ si ; ; ÐBÑ$ B&
#
#Ñ Dadas las siguientes funciones compuestas, identificar las funciones que la componen:
+Ñ >ÐBÑ œ B #B ,Ñ >ÐBÑ œ 68È ¹ ¹# "B"B
#
#
-Ñ >ÐBÑ œ .Ñ >ÐBÑ œ 691 B 68B¹ ¹ ¸ ¸B #B #
#
#
$#
Graficar las siguientes funciones indicando en cada caso :ß H97ß V/-ß G/<9=
+Ñ 0ÐBÑ œ B ) ,Ñ 0ÐBÑ œ B & -Ñ 0ÐBÑ œ B $B #¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸#
.Ñ 0ÐBÑ œ /Ñ 0ÐBÑ œ B B 0Ñ 0ÐBÑ œ B B¹ ¹ ¸ ¸ ¸ ¸"B
1Ñ 0ÐBÑ œ 2Ñ 0ÐBÑ œ B ¹ ¹ ¹ ¹B" "B# B
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Definición :
Sea una función real, diremos que :0ÐBÑ
a) ; 0 /= Í 0Ð BÑ œ 0ÐBÑ aBß B − H970TEV
,Ñ 0 /= Í 0Ð BÑ œ 0ÐBÑà aBß B − H970 MQTEV
Ejemplo : Determinar si la función es par, impar o no satisface ninguna de las0ÐBÑ œ B $ , #
condiciones.
Solución : , 0Ð BÑ œ Ð BÑ $ œ B $ œ 0ÐBÑ ¾ 0 /=TEVÞ# #
Ejemplo : Determinar si la función es par, impar o no satisface ninguna de las0ÐBÑ œ B $B ß $
condiciones.
Solución : 0Ð BÑ œ Ð BÑ $Ð BÑ œ B $B œ ÐB $BÑ œ 0ÐBÑ3 $ $
¾ 0 /= MQTEVÞ
Ejemplo : Determinar si la función es par, impar o no satisface ninguna de las0ÐBÑ œ B $B ß $
condiciones.
Solución : 0Ð BÑ œ Ð BÑ $Ð BÑ œ B $B3 $
œ ÐB $BÑ Á 0ÐBÑ$
ÐB $BÑ Á 0ÐBÑ$
¾ 0 89 /= TEV 83 MQTEVÞ
Ejercicios propuestos :
Determinar si las funciónes siguientes son o no satisfacen ninguna de las pares, imparescondiciones, determine además los ceros y estudie las simetrías.
a) b) 0ÐBÑ œ #B B " 0ÐBÑ œ " B B$ %
c) d) 0ÐBÑ œ " B B 0ÐBÑ œ BÈ # $
e) ( * ) f) 0ÐBÑ œ B # B 0ÐBÑ œÉ¸ ¸ # $B &B
B #
#
$
g) h 0ÐBÑ œ Ñ 0ÐBÑ œ $B #B )B #B#BB
#
#% #
