Algebra - cms.dm.uba.arcms.dm.uba.ar/Members/jpinasco/historia18/jpp-algebra2.pdfcu al es el cuadrado que, combinado con diez de sus ra ces, dar a una suma total de 39. La manera de

Algebra

Juan Pablo Pinasco

Departamento de MatematicasFCEyN - UBA

2018

Juan Pablo Pinasco Algebra

Parte I

Algebra


al-Khwarizmi

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850, Bagdad):

”me he animado a componer un breve trabajo sobre elcalculo por al-jabr y al-muqabala, reduciendolo a lo quees mas facil y mas util en la aritmetica”.

Aquı, al-jabr significa componer o restaurar, y al-muqabala esbalancear o comparar.


al-Khwarizmi

Sin introducir sımbolos, va a escribir las ecuaciones de primer ysegundo grado en seis grupos:

1 Cuadrados iguales a raıces.

2 Cuadrados iguales a numeros.

3 Raıces iguales a numeros.

4 Cuadrados y raıces iguales a numeros.

5 Cuadrados y numeros iguales a raıces.

6 Raıces y numeros iguales a cuadrados.


Shin

Cuando los traductores espanoles quieren simbolizar shin, utilizanla letra griega χ, que es la que tenıa el sonido mas similar, ycuando pasa del latın al espanol, frances, ingles..., se deforma en x.


al-Khwarizmi

cual es el cuadrado que, combinado con diez de susraıces, dara una suma total de 39. La manera de resolvereste tipo de ecuacion es tomar la mitad de las raıcesmencionadas. Ahora, las raıces en el problema quetenemos ante nosotros son diez. Por lo tanto, tomamos 5que multiplicadas por sı mismas dan 25, una cantidadque agregaras a 39 dando 64. Habiendo extraıdo la raızcuadrada de esto, que es 8, sustraemos de allı la mitadde las raıces, 5, resultando 3. Por lo tanto el numero tresrepresenta una raız de este cuadrado.


¿por que escribo al-Jabr y no Al-jabr?

Basicamente, porque no se arabe, y culpa del ingles.


¿por que escribo al-Jabr y no Al-jabr?

Basicamente, porque no se arabe, y culpa del ingles.


Parte II

Cardano, Tartaglia y la cubica


Conflicto

Tartaglia resolvio la cubica.

del Ferro la habıa resuelto antes.

Por un duelo o desafıo, Cardano se entera.

Cardano le sonsaca a Tartaglia el secreto de como resolverla.

Cardano publica el metodo (no como propio).

Tartaglia lo acuso de robo, se pelearon, etc.

La historia es mucho mas compleja:


del Ferro resolvio un caso.

Tartaglia otros.

Cardano con Ferrari, los restantes.

Cardano se entera de la solucion de del Ferro y los publica.

Por que tantos casos? Por que se pelean?


La ecuacion tiene siempre coeficientes positivos, por eso sontantos.

Wang Xiaotong resuelve numericamente 25 (∼ 600 dC), noincluye cuando son todos cero, o se iguala a un numero.

Del Ferro y Tartaglia resuelven casos particulares.

Cardano con Ferrari resuelven el caso general.

El conocimiento es un arma. Los duelos y disputas permitenascender, mostrarse en la corte como personas de ingenio, yocupar puestos de responsabilidad.


[Ya vimos el poema que le manda Tartaglia a Cardano con lasolucion]


Parte III

Galois


Racionalizacion

Esto ya lo conocemos del secundario:

1√2− 1

=(√

2 + 1)

(√

2− 1)(√

2 + 1)

=

√2 + 1

√22 − 12

=√

2 + 1

Y que pasa con1

3√

2− 1?

no anda, pero...


Racionalizacion

(3√

2− 1)1 =3√

2− 1,

(3√

2− 1)2 =3√

22 − 2

3√

2 + 1,

(3√

2− 1)3 =3√

23 − 3

3√

22

+ 33√

2− 1,

Multiplicamos las dos primeras por 3 y sumamos,

(3√

2− 1)3 + 3(3√

2− 1)2 + 3(3√

2− 1)1 = 1

(3√

2− 1)2 + 3(3√

2− 1) + 3 =1

3√

2− 1

13√

2− 1=

3√

22

+3√

2 + 1.

Conseguimos un conjugado, si multiplicabamos por eso,racionalizabamos la expresion.


Raıces y extensiones

Si a Q le agregamos 3√

2, obtenemos

Q[3√

2] = {a + b3√

2 + c3√

22 : a, b, c ∈ Q}.

Este tipo de cuentas muestra que tenemos un cuerpo, perotambien lo podemos pensar como un espacio vectorial sobre Q, en

este caso de dimension 3, y base {1, 3√

2, 3√

22}.



Galois vio la relacion con los polinomios:

x2 − 2x − 1 = (x − 1 +√

2)(x − 1−√

2)

es irreducible en Q (no es producto de otros con coeficientes enQ), una factorizacion similar a la factorizacion en primos para losnumeros..

...pero si multiplicamos todas las raıces de un polinomio de gradon con coeficientes en Q, obtenemos siempre un numero en Q: eltermino independiente por (−1)n.



Esto resuelve el problema de racionalizar denominadores:busquemos todas las raıces de algun polinomio con coeficientes enQ que se anule en el denominador, y listo. En algun sentido, nosalcanza con el de grado menor, que sera irreducible.

Para x3 − 2, tenemos tres raıces que son 3√

2, j 3√

2, y j2 3√

2, dondej = e i2π/3.

Galois introducen la idea de ambiguedad de las raıces: nada lasdistingue -desde la aritmetica- entre sı. Cualquier formula quecumpla una de las raıces vale si se la reemplaza por alguna de lasotras.



Esto resuelve el problema de racionalizar denominadores:busquemos todas las raıces de algun polinomio con coeficientes enQ que se anule en el denominador, y listo. En algun sentido, nosalcanza con el de grado menor, que sera irreducible.

Para x3 − 2, tenemos tres raıces que son 3√

2, j 3√

2, y j2 3√

2, dondej = e i2π/3.

Galois introducen la idea de ambiguedad de las raıces: nada lasdistingue -desde la aritmetica- entre sı. Cualquier formula quecumpla una de las raıces vale si se la reemplaza por alguna de lasotras.



Ojo: Lagrange habıa observado ya mucho de esto, y que laconstruccion de funciones de las raıces dejaba ciertos valoresinvariantes. Por ejemplo, para grado 4, la funcion

r + s + tu

no tomaba los 24 valores posibles, es facil ver que son comomucho 6.

Ejercicio: ¿Cuantos puede tomar realmente?



Recordemos que r , s son raıces de

p(x) = x2 − (r + s)x + rs

Y r , s, t son raıces de

p(x) = x3 − (r + s + t)x2 + (rs + st + tr)x − rst

Funciones simetricas en las raıces:

ϕ1 =∑i

ai , ϕs =∑i 6=j

aiaj , ..., ϕn =∏i

ai

son los coeficientes del polinomio de grado n.



En suteorıa de la ambiguedad Galois veıa grupos de simetrıas,funciones f : Q[r1, ..., rn]/Q→ Q[r1, ..., rn]/Q que no modificabangran cosa.

Por ejemplo, para el polinomio x2 + 1 tenemos las raıces ±i , y unade estas simetrıas es reflejar en el eje x , es decir

a + ib → a− ib,

la conjugacion... ops... otra vez esa palabra! claramente no es poraccidente!

Estas simetrıas dentro de la extension forman el llamado grupo deGalois, pero puede ser muy difıcil estudiarlo en general.



En suteorıa de la ambiguedad Galois veıa grupos de simetrıas,funciones f : Q[r1, ..., rn]/Q→ Q[r1, ..., rn]/Q que no modificabangran cosa.

Por ejemplo, para el polinomio x2 + 1 tenemos las raıces ±i , y unade estas simetrıas es reflejar en el eje x , es decir

a + ib → a− ib,

la conjugacion... ops... otra vez esa palabra! claramente no es poraccidente!

Estas simetrıas dentro de la extension forman el llamado grupo deGalois, pero puede ser muy difıcil estudiarlo en general.



Visto ahora, es natural la idea que tuvo Galois: cada subgrupo deese grupo dejara invariante algo dentro de Q[r1, ..., rn], y nosera cualquier cosa, debe ser un subcuerpo.

Recıprocamente, cada subcuerpo determina un subgrupo, el de lassimetrıas que restringidas al subcuerpo sean la identidad. Elresultado es que hay una biyeccion entre ambos objetos.



Visto ahora, es natural la idea que tuvo Galois: cada subgrupo deese grupo dejara invariante algo dentro de Q[r1, ..., rn], y nosera cualquier cosa, debe ser un subcuerpo.

Recıprocamente, cada subcuerpo determina un subgrupo, el de lassimetrıas que restringidas al subcuerpo sean la identidad. Elresultado es que hay una biyeccion entre ambos objetos.



Dihedral 3 (simetrıas del triangulo), o S3, permutaciones de treselementos D3 = S3.


Referencias:

Gran parte de las dos primeras, Al Kwharizmi y Galois, deScience4all,http://www.science4all.org/tag/algebra/Para Cardano, Tartaglia, y Lagrange,Benjamin Wardhaugh, How to read historical mathematics,Princeton, 2010.


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