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Logica di Boole
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7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 1
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Algebra di Boole e Circuiti Logici
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 2
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Perch importante la logica
alla base del ragionamento umano costituisce il fondamento teorico per
trattare i circuiti digitali che sono alla basedei calcolatori
essenziale per la costruzione deglialgoritmi e quindi per i linguaggi di
programmazione alla base di linguaggi non procedurali
come il Prolog
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 3
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
LAlgebra di oole fu ideata nella prima met! del "#" secolo dal
matematico inglese $eorge oole, con lintentodi ricondurre al rigore matematico il
ragionamento umano fu utilizzata da %& E& 'hannon allinizio del ""secolo per descri(ere il comportamento deicircuiti a commutazione )rela*s+, in uso nella
telefonia, e da qui ai dispositi(i digitali una struttura algebrica, potrebbe essereintrodotta in modo formale& -ui (err! proposta inmodo intuiti(o&
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 4
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Le basi dellalgebra booleana
.ellalgebra di oole/ 'i mettono in corrispondenza le
proposizioni, o in generale gli e(enti binari,con le variabili logiche)o booleane+
Le (ariabili logiche sono denotate con lelettere dellalfabeto )A,,0a,b,0+
Le (ariabili logiche possono assumeresolo due (alori/ 1ero )2, o anche 3+ o4also )4, o anche 5+
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 5
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Le basi dellalgebra booleana )6+
Esempi/macchina_parteP )7 2, o 3, se lamacchina parte, 4, o 5, se non parte+semaforo_verde' )7 3 se (erde, 5altrimenti+interruttore# )7 3 se chiuso, 5 se
aperto+.ota/ lassociazione stato (alore di(erit! arbitraria&
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 6
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Le basi dellalgebra booleana )8+
.ellalgebra di oole/ si possono mettere in relazione n9ple di
(ariabili indipendenti con una particolare(ariabile dipendente
la (ariabile dipendente detta funzionebooleana
le funzioni booleane possono assumeresolo due (alori, 2 o 4, o((ero 3 o 5 Esempio * 7 F):3, :6, 0 :n+&
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 7
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
2a(ola di (erit!
;na funzione descritta in modoesausti(o stabilendo, per ognicombinazione delle (ariabili di ingresso,se (ale 3 oppure 5&
'i crea dunque una tabella, detta tavola diveritdella funzione&
-ui di seguito un esempio di ta(ola di(erit!/
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 8
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Esempio di ta(ola di (erit!
M M l Eli Pi l
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 9
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Esempio applicati(o
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 10
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Esempio applicati(o )6+La tavola di verit della funzione telefonare
M M l Eli Pi l
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 11
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
-uante funzioni di n (ariabili@
#l numero di combinazioni delle (ariabili diingresso 6n& #nfatti la prima (ariabile pu=assumere 6 (alori, per ciascuno di essi laseconda (ariabile pu= assumere 6 (alori,e cos (ia, per un totale di 6 6606 76n&
-uante funzioni si possono costruire con n(ariabili@
M M l Eli Pi l
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 12
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
-uante funzioni di n (ariabili@ )6+n varabili
k
combinazioni
m funzioni
Numero variabili: n
Numero combinazioni:
k = 2n= 2^n
Numero funzioni:
m = 2^k = 2^(2^n)
Esempio: se n = 4
k = 2^4 = !" e
m = 2^!" = "#$#%"
M M l Eli Pi l
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 13
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
Bperatori logici/ lA.C
Bperatore A.CD esprime il concetto di
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 14
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
A.C )6+
D esempio/ mi_compro_il_gelatose fa_caldoA.C ho_i_soldi&
D (iene anche dettoprodotto logico, per
analogia con operatore matematico&D #l simbolo circuitale dellA.C/
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 15
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
A.C )8+
analogo elettrico delloperatore A.C/ dueinterruttori in serie&
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 16
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
B
Loperatore BD Esprime il concetto di disgiunzione logica
)una cosa oppureunaltra oppureentrambe+D indicato nei seguenti modi/ A B , A F
oppure A D opera secondo la seguente ta(ola di (erit!/
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 17
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
Capire linformatica
B )6+
D esempio/ esco_con_lombrellosepioveBnevica&
D (iene anche detto somma logica )ma quilanalogia con loperatore aritmetico piG
lasca+D #l simbolo circuitale dellB/
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 18
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
B )8+
analogo elettrico in un circuito dellB/due interruttori in parallelo
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 19
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
.B2
Bperatore .B2/D ha il significato di negazione logica
D indicato nei seguenti modi/ .B2 A, oppureA&
D Bpera secondo la seguente ta(ola di (erit!/
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 20
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
.B2 )6+
D Esempio/ _serenose nuvoloso&
D #l simbolo circuitale del .B2/
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 21
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
.B2 )8+D analogo elettrico delloperatore .B2/
.ota/ per realizzare la funzione di .B2 occorre undispositi(o
realizzato di solito con un semplice transistor&
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 22
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
Altri operatori note(oli
sono deri(abili dagli operatori elementari
sono di uso frequente o sonoconcettualmente rile(anti
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 23
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
E"9B
Loperatore E"9B )B esclusi(o+/D #ndicato nei seguenti modi/ A E"9B , oppure A
D opera secondo la seguente ta(ola di (erit!/
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 24
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
E"9B )6+
DA
equi(alente allespressione
D #l simbolo circuitale dellE"9B/
BABA +
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 25
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
E"9B )8+
Alcune interpretazioni dellE"9B )facendoriferimento alla ta(ola di (erit!+/D indica di(ersit! )(ale 3 se e solo se A e sono
di(ersi+D corrisponde alla somma9modulo96 )in cui si tieneconto solo del risultato e non del riporto+
D condizionamento/ sia il segnale condizionante&
-uando 75, luscita dellE"9B corrisponde alsegnale A& -uando 73, luscita corrisponde alsegnale A in(ertito )in(ertitore pilotato+&
Marco Mezzlama Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 26
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
#mplicazione logica
Loperatore di implicazione logicaD modella il costrutto logico
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 27
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
#mplicazione logica )6+
D (ale la seguente equi(alenza/
)la formula equi(alente permette le
manipolazioni algebriche+D si noti che se la premessa 4alsa )A 7 5+, la
formula resta 1era indipendentemente da
D esempio/ 'e triangolo_rettangoloalloraun_angolo_novanta_gradi
D il fondamento del ragionamento deduttivo
BABA +
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 28
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
Espressioni logiche
%ombinazione di (ariabili e operatori logici possono essere (alutate per ogni combinazione
delle (ariabili presenti e possono assumere il(alore 5 o 3
anche le espressioni si rappresentano mediantela ta(ola di (erit!&
.ota/D 'pesso loperatore di prodotto logico (iene omesso/
T7 abF cD (ale la priorit! degli operatori )nellordine, .B2, poi
A.C e infine B+
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Marco Mezzlama, Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 30
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
Espressioni equi(alenti )6+
Esempio di equazioni equi(alenti/
ba
b
a
TT
yzxzTyzxxzT
=
+=
+=
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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Marco Mezzlama, Elio Piccolo
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 32
,Capire linformatica
Espressioni complementari
E3ed E6sono complementari se/D per tutte le combinazioni delle (ariabiliindipendenti per cui E37 3 risulta E67 5
eD per tutte le combinazioni delle (ariabiliindipendenti per cui E37 5 risulta E67 3
.ota/ se due espressioni sono complementari/
E37 E6
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 33
,Capire linformatica
Espressioni complementari )6+
Esempio di funzioni complementari/
ba
b
a
TT
xyyxT
yxyxT
=
+=
+=
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 34
,Capire linformatica
Espressioni complementari )8+
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 35
Capire linformatica
Espressioni duali
E6 dualedi E3 se pu= essere ottenuta da E3/ sostituendo lHoperatore B con lHoperatoreA.C e (ice(ersa )tenendo conto delleprecedenze degli operatori in E3 II+?
sostituendo il (alore 5 con il (alore 3 e(ice(ersa&
egola di complementazione/ lHespressionecomplementare di E3pu= essere ottenuta dallasua duale E6complementando tutte le (ariabili inE6)teorema di De Morgan+ &
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 36
Capire linformatica
Espressioni duale e complementare
F(a,b,c) = a (b + c) Fd = a + (b c) F = a + (b c)
a b c F Fd F
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 0
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 37
Capire linformatica
2eoremi dellalgebra di oole
si possono dimostrare per induzione completa/ sufficiente fare la ta(ola di (erit!&
(ale inoltre una propriet! legata alla dualit!/ stato dimostrato che se vale un teorema vale
anche il teorema duale, senza che di debbaripetere la dimostrazione&
ecco le propriet! e i teoremi piG importanti/
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 38
Capire linformatica
2eoremi dellalgebra di oole )6+
!:
&)
:
)
&:
!)
!!:
&&)
=+
=
=+
=
=+
=
=+
=
XXDuale
XXd
XXXDuale
XXXc
XXDuale
XXb
XDuale
Xa
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 39
Capire linformatica
2eoremi dellalgebra di oole )8+
ZYXZXYXDuale
vadistributiproprZYXZXYXh
ZYXZYXDuale
DeMorganteoremaZYXZYXg
ZYXZYXZYXDuale
assocproprZYXZYXZYXf
XYYXDualeacommutativproprXYYXe
+=++
+=+
=+++
+++=
++=++=++
==
+=+=
)()(:
'$')()
$$$$$$:
''$$$$$$)
)()(:
$'$')()()
:'$')
Marco Mezzlama, Elio Piccolo
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 40
Capire linformatica
2eoremi dellalgebra di oole )J+
)()()()(:
)
)(:
)
)()(:
'$')
)(:
'')
YZXZYXZXZDuale
YZXZYXZXZl
YXYXXDuale
YXYXXk
XYXYXDuale
direttafusioneteorXYXYX
XYXXDuale
inclusionedellteoremaXYXXi
++=+++
+=+
=+
+=+
=++
=+
=+
=+
Marco Mezzlama, Elio PiccoloC i li f i
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 41
Capire linformatica
2eoremi dellalgebra di oole )K+
)$$$!&()$$$(:
)$$$&!()$$$()
)()(:
)()()
)()()()()(:
)
ZYfXZYXXfXDuale
ZYfXZYXXfXo
YXZXZXYXDuale
YXZXZXYXn
ZXYXZYZXYXDuale
ZXYXZYZXYXm
+=+
=
+=++
++=+
++=+++
+=++
Marco Mezzlama, Elio PiccoloC i li f ti
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 42
Capire linformatica
2eoremi dellalgebra di oole )+
atogeneralizzdeMorganZYXfZYXf!
ZYfXZYfXZYXXfDuale
ZYfXZYfXZYXXfp
'')$$$()$$$()
)$$$&!(()$$$!&(()$$$(:
)$$$!&()$$$&!()$$$()
+=+
++=
+=
Ca notare che nellalgebra di oole la propriet! distributi(a(ale sia per ilprodotto)logico+ che per la somma)logica+&
Marco Mezzlama, Elio PiccoloC i li f ti
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 43
Capire linformatica
Calle funzioni alle espressioni logiche
;na funzione logica si rappresenta mediante lasua ta(ola di (erit!
Esempio/ un comitato di tre persone A, e %
prende le decisioni a maggioranza& 'i (uole lafunzione che esprima che una mozione appro(ata )passa, P+&
%on le stesse lettere A, e % si indicano le
(ariabili logiche che assumono il (alore 3 se lacorrispondente persona ha dato (oto fa(ore(ole,5 altrimenti&
Marco Mezzlama, Elio PiccoloC i li f ti
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 44
Capire linformatica
Calle funzioni alle espressioni logiche )6+2a(ola di (erit! della funzione /
Marco Mezzlama, Elio PiccoloC i li f ti
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 45
Capire linformatica
Calle funzioni alle espressioni logiche )8+
possibile rappresentare questa funzione medianteuna espressione@
'i ricorre al concetto di equi(alenza/ una funzione pu!essere rappresentata mediante una espressione che
abbia la stessa tavola di verit& ;na delle possibili espressioni si rica(a seguendo il
seguente algoritmo/D si indi(iduano le combinazioni per le quali la funzione (ale 3?D ogni combinazione fornisce un termine, formato dalla
congiunzione )operatore A.C+ di tutte le (ariabili, affermate se le(ariabili in quella combinazione assumono il (alore 3, negate seassumono il (alore 5?
D lespressione la disgiunzione )operatore B+ di tutti i termini
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 46
Capire linformatica
Calle funzioni alle espressioni logiche )J+
Espressione equi(alente del tipo sommadi prodotti)minterm+/
AB""AB"BAB"A# +++=
ABA"B"# ++=
Applicando i teoremi di base )quellodella fusione diretta+, si ottiene la forma
minima/
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 47
Capire linformatica
Esempio applicati(o/lanalisi di un circuito
Cato il circuito in figura, desumerne ilfunzionamento&
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 48
Capire linformatica
Lanalisi di un circuito )6+
'iano A, e % le (ariabili logicheassociate agli interruttori )7 3 se chiuso, 5altrimenti+&
'ia L la (ariabile associata alla lampadina)7 3 se accesa, 5 spenta+&
La ta(ola di (erit! si realizza controllando
se, per ogni combinazione delle (ariabiliindipendenti, la luce accesa o spenta&
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 49
Capire l informatica
Lanalisi di un circuito )8+
AB""BAB"A$ ++=
*onsiderando le combinazioni per cui L = ! si ottiene:
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 50
Capire l informatica
Lanalisi di un circuito )J+
Applicando i teoremi )propriet! distributi(a e"F"7"+, si minimizza lespressione/
"BAA"B"
A"BBB"AA
AB""BAAB"B"AAB""BAB"A$
+=+
=+++
=+++
=++=
)(
)()(
la luce si accende solo se chiuso linterruttore %e insieme uno dei due interruttori A o &
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 51
Capire l informatica
'intesi di un circuito
Problema/ in una stanza lilluminazione comandata da due de(iatori A e , situatiin punti di(ersi& Allinizio la luce spenta e
i due de(iatori si tro(ano in una posizioneche chiamiamo "& 'e uno dei duede(iatori, diciamo A, (iene spostato nellaposizione , (ogliamo che la luce si
accenda& 'e anche laltro de(iatore (ienespostato in posizione , (ogliamo che laluce si spenga&
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 52
Capire l informatica
'intesi di un circuito )6+
'iano A e le (ariabili logiche associate aide(iatori& A ciascuna posizione assuntada un de(iatore associamo un (alore
logico/ ad esempio associamo 5 allaposizione ", 3 alla posizione & 'ia L la (ariabile associata alla luce )7 5
se spenta, 3 se accesa+& La ta(ola di (erit! della funzione L la
seguente/
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
53/63
2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 53
Capire l informatica
'intesi di un circuito )8+
%onsiderando le combinazioni per cui L 7 3, si halespressione/
BABABA$ =+=
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
54/63
2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 54
Capire l informatica
'intesi di un circuito )J+
icordando che lA.C si ottiene con unaconnessione serie e lB con una connessioneparallela, si ottiene il circuito/
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
55/63
2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 55
Capire l informatica
Esempio/ il full9adder
La somma ' di 6 numeri binari A e di n bit pu=essere ricondotta a n somme elementari di 8 bittenendo conto che/
ak, bkono i bit di peo k di A e B
k! il k"eimo bit di #
rk! il riporto generato dalla omma dei bitdi peo k"1, k"$, %%% 0 di A e B%
r"1= 0
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
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2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 56
Capire l informatica
4ull9adder/ tabelle di (erit!'i possono rica(are le tabelle di (erit!
di sNe rNin funzione di aN, bNe rN93
0 0 0 0 0
0 0 1 1 00 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
ak bkrk"1 k rk
Marco Mezzlama, Elio PiccoloCapire linformatica
7/21/2019 Algebra Boole Circuiti Logici
57/63
2010 Marco Mezzalama, Elio Piccolo, Capire linformatica 57
Capire l informatica
4ull9adder/ espessioni booleane
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 00 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
ak bkrk"1 k rk
akbkrk+!
akbkrk+!
akbkrk+!
akbkrk+!
akbkrk+!
ak
bk
rk+!akbkrk+!
akbkrk+!
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Capire l informatica
4ull adder/ semplificazione delle espressioni
kkkkk
kkkkkk
kkkkkkkkkkkkk
kkk
kkk
kkk
kkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkk
babarbararb
rbarbarbarbar
bar
barbar
babarbabar
rbarbarbarbas
++=
=++=
=+++=
=
=+=
=+++=
=+++=
)(
)()(
)()(
!
!!
!!!!
!
!!
!!
!!!!
Le espressioni di sNe rNsono date da/
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Capire l informatica
4ull adder/ schema circuitale
Le funzioni che forniscono sNed rNpossono essererealizzate in un unico circuito elettronico )full adder+/
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Cap e o at ca
'ommatore a n bit
#l full9adder pu= essere usato come circuitobase per un sommatore a n bit/
an bn rn"1 a0 b0 0an"1 bn"1 rn"$
r0rn"1rn 0n"1n
carr&
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p
Esercizio
Problema/'i considerino due (alori A 7 a3a5e 7 b3b5espressi in complemento a 6 su 6 bit&
'cri(ere lespressione di una funzione booleana4 che (era se e solo se A 7 9
'oluzione/
con(iene considerare i bit che costituiscono A e come (ariabili indipendenti e scri(ere lafunzione come 4 )a5,a3,b5,b3+&
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p
Esercizio )6+a1 a0 b1 b0
A B F
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 -2 0
0 0 1 1 0 -1 0
0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 -2 00 1 1 1 1 -1 1
1 0 0 0 -2 0 0
1 0 0 1 -2 1 0
1 0 1 0 -2 -2 0
1 0 1 1 -2 -1 0
1 1 0 0 -1 0 0
1 1 0 1 -1 1 1
1 1 1 0 -1 -2 0
1 1 1 1 -1 -1 0
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p
Esercizio )8+
)(
)(
!!&&&!&!
!!!!&&&!&!
&!&!&!&!&!&!
bababbaa
babababbaa
bbaabbaabbaa%
+=
=++=
=++=